UNIDAD 2 ALGEBRA LINEAL. Problemas de álgebra

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1. UNIDAD 2
MATRICES Y DETERMINANTES

2. 2.1 DEFINICIÓN DE MATRIZ, NOTACIÓN Y ORDEN.
Unamatrizesunatablacuadradaorectangulardedatos
(llamadoselementos)ordenadosenfilasycolumnas,dondeunafilaes
cadaunadelaslíneashorizontalesdelamatrizyunacolumnaescadauna
delaslíneasverticales.
Aunamatrizcon�filasy�columnasseledenominamatriz�por
�(escrito��).Lasdimensionesdeunamatrizsiempresedanconel
númerodefilasprimeroyelnúmerodecolumnasdespués.

3. Comúnmentesedicequeunamatrizm-por-ntieneunordendem×n
("orden"tieneelsignificadodetamaño).Dosmatricessedicequeson
igualessisondelmismoordenytienenlosmismoselementos.
�
�1�
�2…�
��
⋮⋮⋱⋮
�
21�
22…�
2�
�
11�
12…�
1�

4. 2.2 OPERACIONES CON MATRICES.
Sean las matrices:
Las operaciones con matrices son:
Suma.
Resta.
Multiplicación por un escalar.
Multiplicación de dos matrices.
�=
��
��
�=
��
�ℎ
??????���������??????

5. SUMA DE MATRICES 2X2
Sean dos matrices cuadradas de 2x2:
La fórmula para la suma es:
�=
��
��
�=
��
�ℎ
�+�=
(�+�)(�+�)
(�+�)(�+ℎ)

6. EJEMPLO: Resuelva A+B
�=
67
−31
�=
02
8−5
�+�=
(6+0) (7+2)
(−3+8) [1+−5]
�+�=
69
5−4
Resultado
�+�=
(6+0)(7+2)
(−3+8)(1−5)
Multiplicación de signos

7. RESTA DE MATRICES 2X2
Sean dos matrices cuadradas de 2x2:
La fórmula para la resta es:
�=
��
��
�=
��
�ℎ
�−�=
(�−�)(�−�)
(�−�)(�−ℎ)

8. EJEMPLO: Resuelva A-B
�=
67
−31
�=
02
8−5
�−�=
(6−0) (7−2)
(−3−8) [1−−5]
�−�=
65
−116
Resultado
�−�=
(6−0)(7−2)
(−3−8)(1+5)
Multiplicación de signos

9. MULTIPLICACIÓN DE MATRIZ 2X2 POR UN ESCALAR
Sea la matriz cuadrada de 2x2:
La fórmula para la multiplicación por un escalar es:
�=
��
��
??????∗�=
(??????∗�)(??????∗�)
(??????∗�)(??????∗�)
??????���������??????

10. EJEMPLO: Resuelva K*A
�=
67
−31
??????∗�=
3642
−186
Resultado
??????=6
??????∗�=
(6∗6)(6∗7)
(6∗−3)(6∗1)

11. EJEMPLO: Resuelva K*B
??????∗�=
0−4
−1610
Resultado
??????=−�
??????∗�=
(−2∗0)(−2∗2)
(−2∗8)(−2∗−5)
�=
02
8−5

12. Sean dos matrices cuadradas de 2x2:
La fórmula para la resta es:
MULTIPLICACIÓN DE DOS MATRICES
��=
[�∗�+�∗�][�∗�+�∗ℎ]
[�∗�+(�∗�)][�∗�+�∗ℎ]
�=
��
��
�=
��
�ℎ

13. EJEMPLO: Resuelva AB
�=
67
−31
�=
02
8−5
Resultado
��=
[6∗0+7∗8][6∗2+7∗−5]
[−3∗0+(1∗8)][−3∗2+1∗−5]
��=
[0+56][12+(−35)]
[0+8][−6+−5]
��=
56−23
8−11

14. 2.3 CLASIFICACIÓN DE LAS MATRICES.
Matriz fila
Una matriz fila está constituida por una sola fila.
Matriz columna
La matriz columna tiene una sola columna.
815
10
−3
7

15. Matrizrectangular
Lamatrizrectangulartienedistintonúmerodefilasquedecolumnas,siendo
sudimensiónmxn.
CLASIFICACIÓN DE LAS MATRICES.
901
−582
−4 2
5 7
9−13

16. CLASIFICACIÓN DE LAS MATRICES.
Matrizcuadrada
Lamatrizcuadradatieneelmismonúmerodefilasquedecolumnas.
Matriz nula
En una matriz nula todoslos elementos son ceros.
120
0−25
123
456
789
00
00

17. CLASIFICACIÓN DE LAS MATRICES.
Matriztriangularsuperioroescalonadasuperior.
Enunamatriztriangularsuperiorloselementossituadospordebajodela
diagonalprincipalsonceros.
123
056
009

18. CLASIFICACIÓN DE LAS MATRICES.
Matriztriangularinferioroescalonadainferior.
Enunamatriztriangularinferiorloselementossituadosporencimadela
diagonalprincipalsonceros.
100
450
789

19. CLASIFICACIÓN DE LAS MATRICES.
Matriz diagonal
Enunamatrizdiagonaltodosloselementossituadosporencimaypordebajo
deladiagonalprincipalsonnulos.
100
050
009

20. CLASIFICACIÓN DE LAS MATRICES.
Matrizescalar
Unamatrizescalaresunamatrizdiagonalenlaqueloselementosdela
diagonalprincipalsoniguales.
.
500
050
005

21. CLASIFICACIÓN DE LAS MATRICES.
Matrizidentidadounidad
Unamatrizidentidadesunamatrizdiagonalenlaqueloselementosdela
diagonalprincipalsonigualesa1.
100
010
001

22. CLASIFICACIÓN DE LAS MATRICES.
Matriz traspuesta
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A, a la matriz que se obtiene
cambiando ordenadamente las filas por las columnas.
�=
30−1
9−76
245
�
??????
=
392
0−74
−165

23. 2.4 TRANSFORMACIONES ELEMENTALES POR RENGLÓN.
ESCALONAMIENTO DE UNA MATRIZ. NÚCLEO Y RANGO DE UNA MATRIZ.
TRANSFORMACIONES ELEMENTALES POR RENGLÓN.
Sellamatransformaciónelementaldeunamatrizacualquieradelas
siguientesoperaciones:
Intercambiardosfilas(ocolumnas)delamatriz.
Sumaraunafila(ocolumna)delamatrizelresultadodemultiplicarotra
fila(ocolumna)porunnúmerorealnonulo.
Aumentarunamatrizdeidentidad.

24. 2.4 TRANSFORMACIONES ELEMENTALES POR RENGLÓN.
ESCALONAMIENTO DE UNA MATRIZ. NÚCLEO Y RANGO DE UNA MATRIZ.
Sedicequeunamatrizesescalonadasi:Todoslosrenglonesceroestánenla
parteinferiordelamatriz.
Unmétodoconvenienteparaescalonarunamatrizconsisteenhacerceros
todosloselementosqueestánpordebajodelaentradaprincipal(pivote)en
cadafila,comenzandoporlaprimerafila,hastaquelamatrizesté
escalonada.

25. 2.4 TRANSFORMACIONES ELEMENTALES POR RENGLÓN.
ESCALONAMIENTO DE UNA MATRIZ. NÚCLEO Y RANGO DE UNA MATRIZ.
Paracalcularelnúcleodeunamatriz,sedeberáencontrarelespacionulo
delamatrizdelaaplicaciónlineal.
Elrangodeunamatriz,seencontraráeligiendolasubmatrizdemayor
ordenposibleycalcularsudeterminante.Elordendelamayorsubmatriz
cuadrada,cuyodeterminanteseadistintodecero,seráelrangode
lamatriz.

26. 2.5 CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ.
Sea la matriz:
Su inversa esta dada por la siguiente formula:
�=
��
��
�
−1
=
1
��−��
∗
�−�
−��

27. EJEMPLO: Calcule ??????
−�
Sea la matriz:
�=
38
−51
�
−1
=
1
��−��
∗
�−�
−��
�
−1
=
1
(3∗1)−(8∗−5)
∗
1−8
−(−5)3
�
−1
=
1
[3−−40]
∗
1−8
53
Multiplicación de signos
Multiplicación de signos

28. EJEMPLO: Calcule ??????
−�
�
−1
=
1
(3+40)
∗
1−8
53
�
−1
=
1
43
∗
1−8
53
�
−1
=
1
43
−8
43
5
43
3
43

29. 2.6 DEFINICIÓN DE DETERMINANTE DE UNA MATRIZ.
Eldeterminantedeunamatrizindicasilossistemassonsingularesomal
condicionados.Enotraspalabras,sirveparadeterminarlaexistenciayla
unicidaddelosresultadosdelossistemasdeecuacioneslineales.
Eldeterminantedeunamatrizesunnúmero.
Undeterminanteconvalordeceroindicaquesetieneunsistemasingular.
Undeterminanteconvalorcercanoaceroindicaquesetieneunsistemamal
condicionado.

30. Unsistemaessingularcuandoenelsistemadeecuacionessetieneamásdeuna
ecuaciónconelmismovalordelapendiente.Porejemplo,ecuacionesquerepresentan
líneasparalelas.
X
Y
Sistema singular: No existe solución

31. 2.7 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.
Unamatrizcuadradaconunafilaounacolumnaenlaquetodosloselementos
sonnulostieneundeterminanteigualacero.
Eldeterminantedeunamatrizcondosfilasodoscolumnasigualesesnulo.
Cuandodosfilasodoscolumnasdeunamatrizsonproporcionalesentresí(una
sepuedeobtenermultiplicandolaotraporunfactor),sudeterminanteescero.
Alintercambiardosfilasodoscolumnasdeunamatriz,sudeterminantecambia
designo.

32. 2.7 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.
Almultiplicartodosloselementosdeunafilaounacolumnadeunamatrizporun
número,eldeterminantedelamatrizresultanteesigualaldelaoriginal
multiplicadoporesemismonúmero.
Eldeterminantedeunamatriztriangularounamatrizdiagonalesigualal
productodeloselementosdesudiagonalprincipal.
Cuandoaunafila(ocolumna)deunamatrizselesumaorestaunacombinación
linealdeotrasfilas(ocolumnas),elvalordesudeterminantenosealtera.

33. CÁLCULO DE DETERMINANTES (Matriz 2*2)
Sea la matriz cuadrada de 2*2
El determinante se calcula a través de la siguiente formula:
����=[�∗�−�∗�]
�=
��
��

34. EJEMPLO: Calcule Det(A)
Sea la matriz cuadrada de 2*2
����=[�∗�−�∗�]
����=8∗2−20∗−5
����=[16−−100]
����=[16+100]
??????�????????????=���
�=
820
−52

35. CÁLCULO DE DETERMINANTES(Matriz 3*3)
REGLA DE CRAMER
Sealamatrizcuadradade3*3
Paracalcularsudeterminante,seutilizarálaRegladeCramer,lacual
establecequesedeberáagregarlasdosprimerasfilasocolumnasala
matrizprincipalymultiplicarenformadiagonal.
�=
���
���
�ℎ�

36. CALCULO DE DETERMINANTES
�=
���
���
�ℎ�
��
��
�ℎ
�=
���
���
�ℎ�
��
��
�ℎ
PRIMERPASO:Agregarlasdosprimerascolumnasdel
ladoderechodelamatrizprincipal.
+ + +
---
SEGUNDOPASO:Multiplicarenformadiagonalde
izquierdaaderechadearribahaciaabajo
comenzandoconsignopositivo.

37. CALCULO DE DETERMINANTES
�=
���
���
�ℎ�
��
��
�ℎ
+ + +
---
=�∗�∗�+�∗�∗�+�∗�∗�−�∗�∗�−�∗�∗�−(�∗�∗�)

38. EJEMPLO: CALCULE EL DETERMINANTE PARA LA
SIGUIENTE MATRIZ 3*3
det�=
259
385
743
25
38
74
=2∗8∗3+5∗5∗7+9∗3∗4
+ + +
---
�=
259
385
743
−7∗8∗9−4∗5∗2−(3∗3∗5)

39. det�=
259
385
743
=48+175+108−504−40−(45)
det�=
259
385
743
=−���
Continuación…
Resultado

40. CÁLCULO DE DETERMINANTES(Matriz 3*3)
MÉTODO DE COFACTORES
Sealamatrizcuadradade3*3
�=
�
11�
12�
13
�
21�
22�
23
�
31�
32�
33

41. Elmenordelelementoparaunamatriz;eslamatrizcuadradaformadafueradela
matrizexcluyendolafilaylacolumnadelelemento.Serepresentapor??????
��.
Ejemplo:Sea
Paraobtenerelmenor??????
11,seomitelaprimerfilaycolumnatomandocomopivote
elelemento�
11.
�=
�
11�
12�
13
�
21�
22�
23
�
31�
32�
33
�=
�
11�
12�
13
�
21�
22�
23
�
31�
32�
33
Pivote

42. Loselementosrestantesdelamatrizformanelmenor??????
11
�=
�
11�
12�
13
�
21�
22�
23
�
31�
32�
33
??????
11=
�
22�
23
�
32�
33

43. El cofactorde un elemento de una matriz es eldeterminantedel menor de edadde
ese elemento.
??????
11=
�
22�
23
�
32�
33
���=���??????
11=[(�
22*�
33)]−[�
23∗�
32]

44. Para calcular el determinante de una matriz cuadrada de 3*3 a través del método de
cofactores, se deberán obtener los menores ??????
11, ??????
12y ??????
13.
�=
�
11�
12�
13
�
21�
22�
23
�
31�
32�
33
??????
11=
�
22�
23
�
32�
33
�=
�
11�
12�
13
�
21�
22�
23
�
31�
32�
33
??????
12=
�
21�
23
�
31�
33
�=
�
11�
12�
13
�
21�
22�
23
�
31�
32�
33
??????
13=
�
21�
22
�
31�
32

45. Posteriormentesedeberánmultiplicarloselementosmenoresporlospivotes,
respetandoelsiguienteordendesignos:+,−,+
����=�
11
�
22�
23
�
32�
33
−�
12
�
21�
23
�
31�
33
+�
13
�
21�
22
�
31�
32
Para calcular el determinante de las matrices menores se multiplicará de forma cruzada.
����=�
11
�
22�
23
�
32�
33
−�
12
�
21�
23
�
31�
33
+�
13
�
21�
22
�
31�
32

46. Obteniéndose la siguiente formula:
����=�
11
�
22�
23
�
32�
33
−�
12
�
21�
23
�
31�
33
+�
13
�
21�
22
�
31�
32
����=�
11�
22∗�
33−�
23∗�
32−�
12�
21∗�
33−�
23∗�
31+�
13[�
21∗�
32−(�
22*�
311)]
FÓRMULA GENERAL PARA EL CÁLCULO DE DETERMINANTES A TRAVÉS DEL MÉTODO DE
COFACTORES
FÓRMULA GENERAL PARA EL CÁLCULO DE DETERMINANTES A TRAVÉS DEL MÉTODO DE
COFACTORES

47. EJEMPLO:Calculeeldeterminanteparalasiguientematriz3*3
utilizandoelmétododecofactores.
�=
259
385
743

48. �=
�59
385
743
Primer paso: Obtener pivotes y matrices menores.
�=
2�9
385
743
�=
25�
385
743
??????
11=
85
43
??????
12=
35
73
??????
13=
38
74

49. Segundopaso:Sustitucióndepivoteymenoresenla
fórmulageneral.
����=�
85
43
−�
35
73
+�
38
74
??????�????????????=��∗�−�∗�−��∗�−�∗�+�[�∗�−�∗�]

50. Tercerpaso:Resolverlaecuaciónparaobtenereldeterminante.
??????�????????????=��∗�−�∗�−��∗�−�∗�+�[�∗�−�∗�]
??????�????????????=���−��−��−��+�[��−��]
??????�????????????=�(�)−�(−��)+�(−��) Multiplicar y aplicar regla de los signos
??????�????????????=�+���−���
??????�????????????=−���Resultado

51. 2.8 INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA A TRAVÉS
DE LA ADJUNTA.
PROCEDIMIENTO PARA OBTENER LA INVERSA DE UNA MATRIZ
CUADRADA A TRAVÉS DE LA ADJUNTA.
1.Obtener la Matriz de cofactores.
2.Colocar Cambio de signo.
3.Realizar la Transpuesta.
4.Obtener el Determinante a través de cualquier método.
5.Adjunta.

52. 2.8 INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA A TRAVÉS
DE LA ADJUNTA.
FÓRMULA DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA A
TRAVÉS DE LA ADJUNTA.
�
−1
=
1
det(�)
∗���(�)

53. EJEMPLO:Obtengalainversadelasiguientematrizatravésde
laadjunta.
�=
34−1
103
25−4

54. Primerpaso:Obtenerlamatrizdecofactoresparala
primera,segundaytercerafila.
�=
�4−1
103
25−4
* Cofactores para la Primera fila.
�=
3�−1
103
25−4
�=
34−�
103
25−4
??????
11=
03
5−4
??????
12=
13
2−4
??????
13=
10
25
??????
11=[0∗−4−3∗5]
??????
11=[0−15]
??????
11=−��
??????
12=[1∗−4−3∗2]
??????
12=[−4−6]
??????
12=−��
??????
13=[1∗5−0∗2]
??????
13=[5−0]
??????
13=�

55. �=
34−1
�03
25−4
* Cofactores para la Segunda fila.
�=
34−1
1�3
25−4
�=
34−1
103
25−4
??????
21=
4−1
5−4
??????
22=
3−1
2−4
??????
23=
34
25
??????
21=[4∗−4−−1∗5]
??????
21=[−16−−5]
??????
21=−�1
??????
22=[3∗−4−−1∗2]
??????
22=[−12−−2]
??????
22=−��
??????
23=[3∗5−4∗2]
??????
23=[15−8]
??????
23=�

56. �=
34−1
103
�5−4
* Cofactores para la Tercer fila.
�=
34−1
103
2�−4
�=
34−1
103
25−�
??????
31=
4−1
03
??????
32=
3−1
13
??????
33=
34
10
??????
31=[4∗3−−1∗0]
??????
31=[12−0]
??????
31=��
??????
32=[3∗3−−1∗1]
??????
32=[9−−1]
??????
32=��
??????
33=[3∗0−4∗1]
??????
33=[0−4]
??????
33=−�

57. MATRIZ DE COFACTORES RESULTANTE
����=
−15−105
−11−107
1210−4

58. Lossignosqueseutilizaránparaelcambiodesignomantendrálasiguienteestructura:
Segundopaso:Realizarcambiodesignos.
+−+
−+−
+−+

59. Multiplicandolossignosdeladiapositivaanteriorconlosobtenidosenlamatrizde
cofactores,seobtiene:
����=
+
−15
−
−10
+
5
−
−11
+
−10
−
7
+
12
−
10
+
−4
����=
−15105
11−10−7
12−10−4

60. Recordandoquelatranspuestaeselcambiodefilaporcolumnaoviceversa.
Tercerpaso:Realizarlatranspuesta.
����=
−15105
11−10−7
12−10−4
����=
−151112
10−10−10
5−7−4
Matriz de cofactores original
Matriz de cofactores transpuesta
(ADJUNTA)

61. Paraobtenereldeterminanteseocupalamatrizoriginal.
Cuartopaso:Obtenereldeterminanteatravésdelareglade
CrameroelmétododeCofactores.
�=
34−1
103
25−4
PRIMERA OPCIÓN: REGLA DE CRAMER

62. det�=
34−1
103
25−4
=0+24+−5−0−45−(−16)
Resultado=−��
det�=
34−1
103
25−4
34
10
25
=3∗0∗−4+4∗3∗2+−1∗1∗5
+ + +
---
−2∗0∗−1−5∗3∗3−(−4∗1∗4)
Se obtendrá el determinante a través de la regla de Cramer

63. Comoyaseobtuvieronloscofactoresparalaprimerfila(diapositiva54).Solosedeberá
realizarlamultiplicaciónconlospivotescorrespondientes:
SEGUNDA OPCIÓN: MÉTODO DE COFACTORES
�=
�4−1
103
25−4
�=
3�−1
103
25−4
�=
34−�
103
25−4
??????
11=
03
5−4
??????
12=
13
2−4
??????
13=
10
25
??????
11=[0∗−4−3∗5]
??????
11=[0−15]
??????
11=−��
??????
12=[1∗−4−3∗2]
??????
12=[−4−6]
??????
12=−��
??????
13=[1∗5−0∗2]
??????
13=[5−0]
??????
13=�

64. Recordandorespetarlossignos:+,-y+;entrelasoperaciones
�=
�4−1
103
25−4
�=
3�−1
103
25−4
�=
34−�
103
25−4
??????
11=−��??????
12=−��??????
13=�
??????�????????????=�(−��)−�(−��)+(−�)(�) Aplicando la regla de los signos.
??????�????????????=−��+��−�
??????�????????????=−��Resultado
*Analizandolosresultados,sepuedecomprobar
queseobtieneelmismoporambosmétodos.

65. �
−1
=
1
det(�)
∗���(�)
Quintopaso:SustituciónenlafórmuladelaAdjunta.
�
−1
=
1
−10
∗
−151112
10−10−10
5−7−4
Sedeberárealizarla
multiplicacióndelafracción
1
10
conlamatrizAdjunta.

66. �
−1
=
15
10
−11
10
−12
10
−1 1 1
−5
10
7
10
4
10
Resultadodelamultiplicación.
Delosresultadosmostradosenlamatrizanterior,algunostérminosson
simplificables,siserealizaesteproceso,elresultadofinales:
�
−1
=
�
�
−��
��
−�
�
−���
�
�
�
��
�
�
Resultado Final