Unsolved Problems in Mathematical Systems and Control Theory Vincent D. Blondel (Editor)

Visit https://ebookfinal.com to download the full version and
explore more ebooks
Unsolved Problems in Mathematical Systems and
Control Theory Vincent D. Blondel (Editor)
_____ Click the link below to download _____
https://ebookfinal.com/download/unsolved-problems-in-
mathematical-systems-and-control-theory-vincent-d-
blondel-editor/
Explore and download more ebooks at ebookfinal.com

Here are some suggested products you might be interested in.
Click the link to download
Mathematical Methods in Systems Optimization and Control
Festschrift in Honor of J William Helton 1st Edition Harry
Dym
https://ebookfinal.com/download/mathematical-methods-in-systems-
optimization-and-control-festschrift-in-honor-of-j-william-helton-1st-
edition-harry-dym/
General Systems Theory Problems Perspectives and Practice
2nd Edition Lars Skyttner
https://ebookfinal.com/download/general-systems-theory-problems-
perspectives-and-practice-2nd-edition-lars-skyttner/
Automotive Fuel and Emissions Control Systems 2nd Edition
James D. Halderman
https://ebookfinal.com/download/automotive-fuel-and-emissions-control-
systems-2nd-edition-james-d-halderman/
Schaum s Outline to Theory and Problems of Introduction to
Mathematical Economics Third Edition Edward T. Dowling
https://ebookfinal.com/download/schaum-s-outline-to-theory-and-
problems-of-introduction-to-mathematical-economics-third-edition-
edward-t-dowling/

Contemporary Social Problems 6th Edition Edition Vincent
N. Parrillo
https://ebookfinal.com/download/contemporary-social-problems-6th-
edition-edition-vincent-n-parrillo/
Stochastic Control and Mathematical Modeling Applications
in Economics 1st Edition Hiroaki Morimoto
https://ebookfinal.com/download/stochastic-control-and-mathematical-
modeling-applications-in-economics-1st-edition-hiroaki-morimoto/
Operation and Control in Power Systems Prof P Murty
https://ebookfinal.com/download/operation-and-control-in-power-
systems-prof-p-murty/
Vagabond Vol 29 29 Inoue
https://ebookfinal.com/download/vagabond-vol-29-29-inoue/
Control Systems 1st Edition U.A.Bakshi
https://ebookfinal.com/download/control-systems-1st-edition-u-a-
bakshi/

Unsolved Problems in Mathematical Systems and Control
Theory Vincent D. Blondel (Editor) Digital Instant
Download
Author(s): Vincent D. Blondel (editor); Alexandre Megretski (editor)
ISBN(s): 9781400826155, 1400826152
Edition: Course Book
File Details: PDF, 1.11 MB
Year: 2009
Language: english

Unsolved Problems in
Mathematical Systems and
Control Theory
Edited by Vincent D. Blondel Alexandre Megretski
PRINCETON UNIVERSITY PRESS
PRINCETON AND OXFORD

iv
Copyrightcﬀ2004 by Princeton University Press
Published by Princeton University Press, 41 William Street, Princeton, New
Jersey 08540, USA
In the United Kingdom: Princeton University Press, 3 Market Place, Wood-
stock, Oxfordshire OX20 1SY, UK
All rights reserved
Library of Congress Cataloging-in-Publication Data
Unsolved problems in mathematical systems and control theory
Edited by Vincent D. Blondel, Alexandre Megretski. p. cm.
Includes bibliographical references.
ISBN 0-691-11748-9 (cl : alk. paper)
1. System analysis. 2. Control theory. I. Blondel, Vincent. II. Megretski,
Alexandre.
QA402.U535 2004 2003064802
003—dc22
The publisher would like to acknowledge the editors of this volume for pro-
viding the camera-ready copy from which this book was printed.
Printed in the United States of America
10987654321

I have yet to see any problem, however complicated, which, when
you looked at it in the right way, did not become still more compli-
cated.
Poul Anderson

This page intentionally left blank

Contents
Preface xiii
Associate Editors xv
Website xvii
PART 1. LINEAR SYSTEMS 1
Problem 1.1. Stability and composition of transfer functions
Guillermo Fern´andez-Anaya, Juan Carlos Mart´ınez-Garc´ıa 3
Problem 1.2. The realization problem for Herglotz-Nevanlinna functions
Seppo Hassi, Henk de Snoo, Eduard Tsekanovski˘ı 8
Problem 1.3. Does any analytic contractive operator function on the polydisk
have a dissipative scattering nD realization?
Dmitry S. Kalyuzhniy-Verbovetzky 14
Problem 1.4. Partial disturbance decoupling with stability
Juan Carlos Mart´ınez-Garc´ıa, Michel Malabre, Vladimir Kuˇcera 18
Problem 1.5. Is Monopoli’s model reference adaptive controller correct?
A. S. Morse 22
Problem 1.6. Model reduction of delay systems
Jonathan R. Partington 29
Problem 1.7. Schur extremal problems
Lev Sakhnovich 33
Problem 1.8. The elusive iﬀ test for time-controllability of behaviors
Amol J. Sasane 36

viii CONTENTS
Problem 1.9. A Farkas lemma for behavioral inequalities
A.A. (Tonny) ten Dam, J.W. (Hans) Nieuwenhuis 40
Problem 1.10. Regular feedback implementability of linear diﬀerential behaviors
H. L. Trentelman 44
Problem 1.11. Riccati stability
Erik I. Verriest 49
Problem 1.12. State and ﬁrst order representations
Jan C. Willems 54
Problem 1.13. Projection of state space realizations
Antoine Vandendorpe, Paul Van Dooren 58
PART 2. STOCHASTIC SYSTEMS 65
Problem 2.1. On error of estimation and minimum of cost for wide band noise
driven systems
Agamirza E. Bashirov 67
Problem 2.2. On the stability of random matrices
Giuseppe C. Calaﬁore, Fabrizio Dabbene 71
Problem 2.3. Aspects of Fisher geometry for stochastic linear systems
Bernard Hanzon, Ralf Peeters 76
Problem 2.4. On the convergence of normal forms for analytic control systems
Wei Kang, Arthur J. Krener 82
PART 3. NONLINEAR SYSTEMS 87
Problem 3.1. Minimum time control of the Kepler equation
Jean-Baptiste Caillau, Joseph Gergaud, Joseph Noailles 89
Problem 3.2. Linearization of linearly controllable systems
R. Devanathan 93
Problem 3.3. Bases for Lie algebras and a continuous CBH formula
Matthias Kawski 97

CONTENTS ix
Problem 3.4. An extended gradient conjecture
Luis Carlos Martins Jr., Geraldo Nunes Silva 103
Problem 3.5. Optimal transaction costs from a Stackelberg perspective
Geert Jan Olsder 107
Problem 3.6. Does cheap control solve a singular nonlinear quadratic problem?
Yuri V. Orlov 111
Problem 3.7. Delta-Sigma modulator synthesis
Anders Rantzer 114
Problem 3.8. Determining of various asymptotics of solutions of nonlinear time-
optimal problems via right ideals in the moment algebra
G. M. Sklyar, S. Yu. Ignatovich 117
Problem 3.9. Dynamics of principal and minor component ﬂows
U. Helmke, S. Yoshizawa, R. Evans, J.H. Manton, and I.M.Y. Mareels122
PART 4. DISCRETE EVENT, HYBRID SYSTEMS 129
Problem 4.1.L
2-induced gains of switched linear systems
Jo˜ao P. Hespanha 131
Problem 4.2. The state partitioning problem of quantized systems
Jan Lunze 134
Problem 4.3. Feedback control in ﬂowshops
S.P. Sethi and Q. Zhang 140
Problem 4.4. Decentralized control with communication between controllers
Jan H. van Schuppen 144
PART 5. DISTRIBUTED PARAMETER SYSTEMS 151
Problem 5.1. Inﬁnite dimensional backstepping for nonlinear parabolic PDEs
Andras Balogh, Miroslav Krstic 153
Problem 5.2. The dynamical Lame system with boundary control: on the struc-
ture of reachable sets
M.I. Belishev 160

x CONTENTS
Problem 5.3. Null-controllability of the heat equation in unbounded domains
Sorin Micu, Enrique Zuazua 163
Problem 5.4. Is the conservative wave equation regular?
George Weiss 169
Problem 5.5. Exact controllability of the semilinear wave equation
Xu Zhang, Enrique Zuazua 173
Problem 5.6. Some control problems in electromagnetics and ﬂuid dynamics
Lorella Fatone, Maria Cristina Recchioni, Francesco Zirilli 179
PART 6. STABILITY, STABILIZATION 187
Problem 6.1. Copositive Lyapunov functions
M. K. C¸ amlıbel, J. M. Schumacher 189
Problem 6.2. The strong stabilization problem for linear time-varying systems
Avraham Feintuch 194
Problem 6.3. Robustness of transient behavior
Diederich Hinrichsen, Elmar Plischke, Fabian Wirth 197
Problem 6.4. Lie algebras and stability of switched nonlinear systems
Daniel Liberzon 203
Problem 6.5. Robust stability test for interval fractional order linear systems
Ivo Petr´aˇs, YangQuan Chen, Blas M. Vinagre 208
Problem 6.6. Delay-independent and delay-dependent Aizerman problem
Vladimir R˘asvan 212
Problem 6.7. Open problems in control of linear discrete multidimensional sys-
tems
Li Xu, Zhiping Lin, Jiang-Qian Ying, Osami Saito, Yoshihisa Anazawa221
Problem 6.8. An open problem in adaptative nonlinear control theory
Leonid S. Zhiteckij 229
Problem 6.9. Generalized Lyapunov theory and its omega-transformable regions
Sheng-Guo Wang 233

CONTENTS xi
Problem 6.10. Smooth Lyapunov characterization of measurement to error sta-
bility
Brian P. Ingalls, Eduardo D. Sontag 239
PART 7. CONTROLLABILITY, OBSERVABILITY 245
Problem 7.1. Time for local controllability of a 1-D tank containing a ﬂuid
modeled by the shallow water equations
Jean-Michel Coron 247
Problem 7.2. A Hautus test for inﬁnite-dimensional systems
Birgit Jacob, Hans Zwart 251
Problem 7.3. Three problems in the ﬁeld of observability
Philippe Jouan 256
Problem 7.4. Control of the KdV equation
Lionel Rosier 260
PART 8. ROBUSTNESS, ROBUST CONTROL 265
Problem 8.1.H
∞-norm approximation
A.C. Antoulas, A. Astolﬁ 267
Problem 8.2. Noniterative computation of optimal value inH
∞control
Ben M. Chen 271
Problem 8.3. Determining the least upper bound on the achievable delay margin
Daniel E. Davison, Daniel E. Miller 276
Problem 8.4. Stable controller coeﬃcient perturbation in ﬂoating point imple-
mentation
Jun Wu, Sheng Chen 280
PART 9. IDENTIFICATION, SIGNAL PROCESSING 285
Problem 9.1. A conjecture on Lyapunov equations and principal angles in sub-
space identiﬁcation
Katrien De Cock, Bart De Moor 287

xii CONTENTS
Problem 9.2. Stability of a nonlinear adaptive system for ﬁltering and parameter
estimation
Masoud Karimi-Ghartemani, Alireza K. Ziarani 293
PART 10. ALGORITHMS, COMPUTATION 297
Problem 10.1. Root-clustering for multivariate polynomials and robust stability
analysis
Pierre-Alexandre Bliman 299
Problem 10.2. When is a pair of matrices stable?
Vincent D. Blondel, Jacques Theys, John N. Tsitsiklis 304
Problem 10.3. Freeness of multiplicative matrix semigroups
Vincent D. Blondel, Julien Cassaigne, Juhani Karhum¨aki 309
Problem 10.4. Vector-valued quadratic forms in control theory
Francesco Bullo, Jorge Cort´es, Andrew D. Lewis, Sonia Mart´ınez 315
Problem 10.5. Nilpotent bases of distributions
Henry G. Hermes, Matthias Kawski 321
Problem 10.6. What is the characteristic polynomial of a signal ﬂow graph?
Andrew D. Lewis 326
Problem 10.7. Open problems in randomizedµanalysis
Onur Toker 330

Preface
Five years ago, a ﬁrst volume of open problems in Mathematical Systems
and Control Theory appeared.
1
Some of the 53 problems that were published
in this volume attracted considerable attention in the research community.
Thebookinfrontofyoucontainsanewcollectionof63openproblems.
The contents of both volumes show the evolution of the ﬁeld in the half
decade since the publication of the ﬁrst volume. One noticeable feature is
the shift toward a wider class of questions and more emphasis on issues
driven by physical modeling.
Early versions of some of the problems in this book have been presented at
the Open Problem sessions of the Oberwolfach Tagung on Regelungstheorie,
on February 27, 2002, and of the Conference on Mathematical Theory of
Networks and Systems (MTNS) in Notre Dame, Indiana, on August 12, 2002.
The editors thank the organizers of these meetings for their willingness to
provide the problems this welcome exposure.
Since the appearance of the ﬁrst volume, open problems have continued
to meet with large interest in the mathematical community. Undoubtedly,
the most spectacular event in this arena was the announcement by the Clay
Mathematics Institute
2
of theMillennium Prize Problemswhose solution
will be rewarded by one million U.S. dollars each. Modesty and modesty of
means have prevented the editors of the present volume from oﬀering similar
rewards toward the solution of the problems in this book. However, we trust
that, notwithstanding this absence of a ﬁnancial incentive, the intellectual
challenge will stimulate many readers to attack the problems.
The editors thank in the ﬁrst place the researchers who have submitted
the problems. We are also very thankful to the Princeton University Press,
and in particular Vickie Kearn, for their willingness to publish this vol-
ume. The full text of the problems, together with comments, additions,
and solutions, will be posted on the book website at Princeton Univer-
sity Press (link available fromhttp://pup.princeton.edu/math/)andon
http://www.inma.ucl.ac.be/∼blondel/op/. Readers are encouraged to
submit contributions by following the instructions given on these websites.
The editors, Louvain-la-Neuve, March 15, 2003.
1
Vincent D. Blondel, Eduardo D. Sontag, M. Vidyasagar, and Jan C. Willems,Open
Problems in Mathematical Systems and Control Theory, Springer Verlag, 1998.
2
Seehttp://www.claymath.org.

This page intentionally left blank

Associate Editors
Roger Brockett, Harvard University, USA
Jean-Michel Coron, University of Paris (Orsay), France
Roland Hildebrand, University of Louvain (Louvain-la-Neuve), Belgium
Miroslav Krstic, University of California (San Diego), USA
Anders Rantzer, Lund Institute of Technology, Sweden
Joachim Rosenthal, University of Notre Dame, USA
Eduardo Sontag, Rutgers University, USA
M. Vidyasagar, Tata Consultancy Services, India
Jan Willems, University of Leuven, Belgium

This page intentionally left blank

Website
The full text of the problems presented in this book, together with com-
ments, additions and solutions, are freely available in electronic format from
the book website at Princeton University Press:
http://pup.princeton.edu/math/
and from an editor website:
http://www.inma.ucl.ac.be/∼blondel/op/
Readers are encouraged to submit contributions by following the instruc-
tions given on these websites.

This page intentionally left blank

PART 1
Linear Systems

This page intentionally left blank

Problem 1.1
Stability and composition of transfer functions
G. Fern´andez-Anaya
Departamento de Ciencias B´asicas
Universidad Iberoam´ericana
Lomas de Santa Fe
01210 M´exico D.F.
M´exico
[email protected]
J. C. Mart´ınez-Garc´ıa
Departamento de Control Autom´atico
CINVESTAV-IPN
A.P. 14-740
07300 M´exico D.F.
M´exico
[email protected]
1 INTRODUCTION
As far as the frequency-described continuous linear time-invariant systems
are concerned, the study of control-oriented properties (like stability) re-
sulting from the substitution of the complex Laplace variablesby rational
transfer functions have been little studied by the Automatic Control com-
munity. However, some interesting results have recently been published:
Concerning the study of the so-called uniform systems, i.e.,LTIsystems
consisting of identical components and ampliﬁers, it was established in [8]
a general criterion for robust stability for rational functions of the form
D(f(s)), whereD(s) is a polynomial andf(s) is a rational transfer function.
By applying such a criterium, it gave a generalization of the celebrated
Kharitonov’s theorem [7], as well as some robust stability criteria underH
∞-
uncertainty. The results given in [8] are based on the so-calledH-domains.
1
As far as robust stability of polynomial families is concerned, some Kharito-
1
TheH-domainof a functionf(s) is deﬁned to be the set of pointshon the complex
plane for which the functionf(s)−hhas no zeros on the open right-half complex plane.

4 PROBLEM 1.1
nov’s like results [7] are given in [9] (for a particular class of polynomials),
when interpreting substitutions as nonlinearly correlated perturbations on
the coeﬃcients.
More recently, in [1], some results for proper and stable real rational SISO
functions and coprime factorizations were proved, by making substitutions
withα(s)=(as+b)/(cs+d), wherea,b,c,anddare strictly positive real
numbers, and withad−bcΣ= 0. But these results are limited to the bilinear
transforms, which are very restricted.
In [4] is studied the preservation of properties linked to control problems (like
weighted nominal performance and robust stability) for Single-Input Single-
Output systems, when performing the substitution of the Laplace variable (in
transfer functions associated to the control problems) by strictly positive real
functions of zero relative degree. Some results concerning the preservation of
control-oriented properties in Multi-Input Multi-Output systems are given in
[5], while [6] deals with the preservation of solvability conditions in algebraic
Riccati equations linked to robust control problems.
Following our interest in substitutions we propose in section 22.2 three in-
teresting problems. The motivations concerning the proposed problems are
presented in section 22.3.
2 DESCRIPTION OF THE PROBLEMS
In this section we propose three closely related problems. The ﬁrst one con-
cerns the characterization of a transfer function as a composition of transfer
functions. The second problem is a modiﬁed version of the ﬁrst problem:
the characterization of a transfer function as the result of substituting the
Laplace variable in a transfer function by a strictly positive real transfer
function of zero relative degree. The third problem is in fact a conjecture
concerning the preservation of stability property in a given polynomial re-
sulting from the substitution of the coeﬃcients in the given polynomial by
a polynomial with non-negative coeﬃcients evaluated in the substituted co-
eﬃcients.
Problem 1:Let a Single Input Single Output(SISO)transfer functionG(s)
be given. Find transfer functionsG
0(s)and H(s) such that:
1.G(s)=G
0(H(s)) ;
2.H(s)preserves proper stable transfer functions under substitution of
the variable s byH(s),and:
3.The degree of the denominator of H(s) is the maximum with the prop-
erties 1 and 2.

STABILITY AND COMPOSITION OF TRANSFER FUNCTIONS 5
Problem 2:Let aSISOtransfer function G(s) be given. Find a transfer
functionG
0(s)and a Strictly Positive Real transfer function of zero relative
degree (SPR0), say H(s), such that:
1.G(s)= G
0(H(s))and:
2.The degree of the denominator of H(s) is the maximum with the prop-
erty 1.
Problem 3:(Conjecture) Given any stable polynomial:
a
ns
n
+an−1s
n−1
+···+a 1s+a 0
and given any polynomial q(s) with non-negative coeﬃcients, then the poly-
nomial:
q(a
n)s
n
+q(a n−1)s
n−1
+···+q(a 1)s+q(a 0)
is stable (see[3]).
3 MOTIVATIONS
Consider the closed-loop control scheme:
y(s)=G(s)u(s)+d (s),u(s)=K(s)(r(s)−y(s)),
where:P(s) denotes the SISO plant;K(s) denotes astabilizing controller;
u(s) denotes the control input;y(s) denotes the control input;d(s) denotes
the disturbance andr(s) denotes the reference input. We shall denote the
closed-loop transfer function fromr(s)toy (s)asF
r(G(s),K(s)) and the
closed-loop transfer function fromd(s)toy (s)asF
d(G(s),K(s)).
•Consider the closed-loop systemF
r(G(s),K(s)), and suppose that
the plantG(s) results from a particular substitution of thesLaplace
variable in a transfer functionG
0(s) by a transfer functionH(s),
i.e.,G(s)= G
0(H(s)). It has been proved that a controllerK 0(s)
which stabilizes the closed-loop systemF
r(G0(s),K 0(s)) is such that
K
0(H(s)) stabilizesF r(G(s),K 0(H(s))) (see [2] and [8]). Thus, the
simpliﬁcation of procedures for the synthesis of stabilizing controllers
(proﬁting from transfer function compositions) justiﬁes problem 1.
•As far as problem 2 is concerned, consider the synthesis of a controller
K(s) stabilizing the closed-loop transfer functionF
d(G(s),K(s)),
andsuchthatΘF
d(G(s),K(s))Θ
∞
<γ,foraﬁxedgivenγ>0. If we
known thatG(s)= G
0(H(s)), beingH(s) a SPR0 transfer function,
the solution of problem 2 would arise to the following procedure:
1. Find a controllerK
0(s) which stabilizes the closed-loop transfer
functionF
d(G0(s),K 0(s)) and such that:
ΘF
d(G0(s),K 0(s))Θ
∞
<γ.

6 PROBLEM 1.1
2. The composed controllerK(s)=K 0(H(s)) stabilizes the closed-
loop systemF
d(G(s),K(s)) and:
ΘF
d(G(s),K(s))Θ
∞
<γ
(see [2], [4], and [5]).
It is clear that condition 3 in the ﬁrst problem, or condition 2 in
the second problem, can be relaxed to the following condition:the
degree of the denominator ofH(s)is as high as be possible with
the appropriate conditions. With this new condition, the open
problems are a bit less diﬃcult.
•Finally, problem 3 can be interpreted in terms of robustness under
positive polynomial perturbations in the coeﬃcients of a stable transfer
function.
BIBLIOGRAPHY
[1] G. Fern´andez, S. Mu˜noz, R. A. S´anchez, and W. W. Mayol, “Simulta-
neous stabilization using evolutionary strategies,”Int. J. Contr. , vol. 68,
no. 6, pp. 1417-1435, 1997.
[2] G. Fern´andez, “Preservation of SPR functions and stabilization by sub-
stitutions in SISO plants,”IEEE Transaction on Automatic Control, vol.
44, no. 11, pp. 2171-2174, 1999.
[3] G. Fern´andez and J. Alvarez, “On the preservation of stability in fam-
ilies of polynomials via substitutions,”Int. J. of Robust and Nonlinear
Control, vol. 10, no. 8, pp. 671-685, 2000.
[4] G. Fern´andez, J. C. Mart´ınez-Garc´ıa, and V. Kuˇcera, “H
∞-Robustness
Properties Preservation in SISO Systems when applying SPR Substitu-
tions,”Submitted to theInternational Journal of Automatic Control.
[5] G. Fern´andez and J. C. Mart´ınez-Garc´ıa, “MIMO Systems Properties
Preservation under SPR Substitutions,”International Symposium on the
Mathematical Theory of Networks and Systems (MTNS’2002),University
of Notre Dame, USA, August 12-16, 2002.
[6] G. Fern´andez, J. C. Mart´ınez-Garc´ıa, and D. Aguilar-George, “Preserva-
tion of solvability conditions in Riccati equations when applying SPR0
substitutions,” submitted toIEEE Transactions on Automatic Control,
2002.
[7] V. L. Kharitonov, “Asymptotic stability of families of systems of linear
diﬀerential equations, ”Diﬀerential’nye Uravneniya, vol. 14, pp. 2086-
2088, 1978.

STABILITY AND COMPOSITION OF TRANSFER FUNCTIONS 7
[8] B.T.PolyakandYa.Z.Tsypkin,“Stabilityandrobuststabilityofuni-
form systems, ”Automation and Remote Contr., vol. 57, pp. 1606-1617,
1996.
[9] L. Wang, “Robust stability of a class of polynomial families under non-
linearly correlated perturbations,”System and Control Letters, vol. 30,
pp. 25-30, 1997.

Problem 1.2
The realization problem for Herglotz-Nevanlinna
functions
Seppo Hassi
Department of Mathematics and Statistics
University of Vaasa
P.O. Box 700, 65101 Vaasa
Finland
[email protected]
Henk de Snoo
Department of Mathematics
University of Groningen
P.O. Box 800, 9700 AV Groningen
Nederland
[email protected]
Eduard Tsekanovski˘ı
Department of Mathematics
Niagara University, NY 14109
USA
[email protected]
1 MOTIVATION AND HISTORY OF THE PROBLEM
Roughly speaking, realization theory concerns itself with identifying a given
holomorphic function as the transfer function of a system or as its linear frac-
tional transformation. Linear, conservative, time-invariant systems whose
main operator isboundedhave been investigated thoroughly. However, many
realizations in diﬀerent areas of mathematics including system theory, elec-
trical engineering, and scattering theory involveunboundedmain operators,
and a complete theory is still lacking. The aim of the present proposal is
to outline the necessary steps needed to obtain a general realization theory
along the lines of M. S. Brodski˘ı and M. S. Livˇsic [8], [9], [16], who have

THE REALIZATION PROBLEM FOR HERGLOTZ-NEVANLINNA FUNCTIONS 9
considered systems with a bounded main operator.
An operator-valued functionV(z) acting on a Hilbert spaceEbelongs to the
Herglotz-Nevanlinna classN, if outsideRit is holomorphic, symmetric, i.e.,
V(z)
∗
=V(¯z), and satisﬁes (Imz)(ImV(z))≥0. Here and in the following
it is assumed that the Hilbert spaceEis ﬁnite-dimensional. Each Herglotz-
Nevanlinna functionV(z) has an integral representation of the form
V(z)=Q+Lz+
Θ
R
∆
1
t−z
−
t
1+t
2
Γ
dΣ(t), (1)
whereQ=Q
∗
,L≥0, and Σ(t) is a nondecreasing matrix-function onRwith
Λ
R
dΣ(t)/(t
2
+1)<∞. Conversely, each function of the form (1) belongs
to the classN. Of special importance (cf. [15]) are the classSof Stieltjes
functions
V(z)=γ+
Θ
∞
0
dΣ(t)
t−z
, (2)
whereγ≥0and
Λ
∞
0
dΣ(t)/(t +1)<∞,andtheclassS
−1
of inverse Stieltjes
functions
V(z)=α+βz+
Θ
∞
0
∆
1
t−z
−
1
t
Γ
dΣ(t), (3)
whereα≤0,β≥0, and
Λ
∞
0
dΣ(t)/(t
2
+1)<∞.
2 SPECIAL REALIZATION PROBLEMS
One way to characterize Herglotz-Nevanlinna functions is to identify them
as (linear fractional transformations of) transfer functions:
V(z)=i[W(z)+I]
−1
[W(z)−I]J, (4)
whereJ=J
∗
=J
−1
andW(z) is the transfer function of some general-
ized linear, stationary, conservative dynamical system (cf. [1], [3]). The
approach based on the use of Brodski˘ı-Livˇsic operator colligations Θ yields
to a simultaneous representation of the functionsW(z)andV (z)intheform
W
Θ(z)=I−2iK
∗
(T−zI)
−1
KJ, (5)
V
Θ(z)=K
∗
(TR−zI)
−1
K, (6)
whereT
Rstands for the real part ofT. The deﬁnitions and main results
associated with Brodski˘ı-Livˇsic type operator colligations in realization of
Herglotz-Nevanlinna functions are as follows, cf. [8], [9], [16].
LetT∈[H], i.e.,Tis a bounded linear mapping in a Hilbert spaceH,and
assume that ImT=(T−T
∗
)/2iofTis represented as ImT=KJK
∗
,where
K∈[E,H], andJ∈[E] is self-adjoint and unitary. Then the array
Θ=
∆
TKJ
HE
Γ
(7)

10 PROBLEM 1.2
deﬁnes a Brodski˘ı-Livˇsic operator colligation, and the functionW Θ(z)given
by (5) is the transfer function of Θ. In the case of the directing operator
J=Ithe system (7) is called a scattering system, in which case the main
operatorTof the system Θ is dissipative: ImT≥0. In system theory
W
Θ(z) is interpreted as the transfer function of the conservative system
(i.e., ImT=KJK
∗
)oftheform(T−zI)x=KJϕ −andϕ +=ϕ−−2iK
∗
x,
whereϕ
−∈Eis an input vector,ϕ +∈Eis an output vector, andxis
a state space vector inH,sothatϕ
+=W Θ(z)ϕ −. The system is said to
be minimal if the main operatorTof Θ is completely non self-adjoint (i.e.,
there are no nontrivial invariant subspaces on whichTinduces self-adjoint
operators), cf. [8], [16]. A classical result due to Brodski˘ıandLivˇsic [9]
states that the compactly supported Herglotz-Nevanlinna functions of the
form
Θ
b
a
dΣ(t)/(t −z) correspond to minimal systems Θ of the form (7) via
(4) withW(z)=W
Θ(z) given by (5) andV(z)=V Θ(z) given by (6).
Next consider a linear, stationary, conservative dynamical system Θ of the
form
Θ=
ﬃ
A KJ
H
+⊂H⊂H − E
Σ
. (8)
HereA∈[H
+,H−], whereH +⊂H⊂H −is a rigged Hilbert space,A⊃
T⊃A,A
∗
⊃T
∗
⊃A,Ais a Hermitian operator inH,Tis a non-Hermitian
operator inH,K∈[E,H
−],J=J
∗
=J
−1
,andImA=KJK
∗
. In this case
ΘissaidtobeaBrodski˘ı-Livˇsc rigged operator colligation. The transfer
function of Θ in (8) and its linear fractional transform are given by
W
Θ(z)=I−2iK
∗
(A−zI)
−1
KJ, VΘ(z)=K
∗
(AR−zI)
−1
K.(9)
The functionsV(z) in (1) which can be realized in the form (4), (9) with a
transfer function of a system Θ as in (8) have been characterized in [2], [5],
[6], [7], [18]. For the signiﬁcance of rigged Hilbert spaces in system theory,
see [14], [16]. Systems (7) and (8) naturally appear in electrical engineering
and scattering theory [16].
3 GENERAL REALIZATION PROBLEMS
In the particular case of Stieltjes functions or of inverse Stieltjes functions
general realization results along the lines of [5], [6], [7] remain to be worked
out in detail, cf. [4], [10].
The systems (7) and (8) are not general enough for the realization of general
Herglotz-Nevanlinna functions in (1) without any conditions onQ=Q
∗
and
L≥0. However, a generalization of the Brodski˘ı-Livˇsic operator colligation
(7) leads to analogous realization results for Herglotz-Nevanlinna functions
V(z) of the form (1) whose spectral function is compactly supported: such
functionsV(z) admit a realization via (4) with
W(z)=W
Θ(z)=I−2iK
∗
(M−zF)
−1
KJ,
V(z)=W
Θ(z)=K
∗
(MR−zF)
−1
K,
(10)

THE REALIZATION PROBLEM FOR HERGLOTZ-NEVANLINNA FUNCTIONS 11
whereM=M
R+iKJK
∗
,MR∈[H] is the real part ofM,Fis a ﬁnite-
dimensional orthogonal projector, and Θ is a generalized Brodski˘ı-Livˇsic
operator colligation of the form
Θ=
∆
MF K J
HE
Γ
, (11)
see [11], [12], [13]. The basic open problems are:
Determine the class of linear, conservative, time-invariant dynamical sys-
tems (new type of operator colligations) such that an arbitrary matrix-valued
Herglotz-Nevanlinna functionV(z)acting onEcan be realized as a linear
fractional transformation(4)of the matrix-valued transfer functionW
Θ(z)
of some minimal systemΘfrom this class.
Find criteria for a given matrix-valued Stieltjes or inverse Stieltjes function
acting onEto be realized as a linear fractional transformation of the matrix-
valued transfer function of a minimal Brodski˘ı-Livˇsic type systemΘin(8)
with: (i) an accretive operatorA,(ii)anα-sectorial operatorA, or (iii) an
extremal operatorA(accretive but notα-sectorial).
The same problem for the (compactly supported) matrix-valued Stieltjes or
inverse Stieltjes functions and the generalized Brodski˘ı-Livˇsic systems of the
form(11)with the main operatorMand the ﬁnite-dimensional orthogonal
projectorF.
There is a close connection to the so-called regular impedance conserva-
tive systems (where the coeﬃcient of the derivative is invertible) that were
recently considered in [17] (see also [19]). It is shown that any function
D(s) with non-negative real part in the open right half-plane and for which
D(s)/s→0ass→∞has a realization with such an impedance conservative
system.
BIBLIOGRAPHY
[1] D. Alpay, A. Dijksma, J. Rovnyak, and H.S.V. de Snoo, “Schur func-
tions, operator colligations, and reproducing kernel Pontryagin spaces,”
Oper. Theory Adv. Appl., 96, Birkh¨auser Verlag, Basel, 1997.
[2] Yu. M. Arlinski˘ı, “On the inverse problem of the theory of characteristic
functions of unbounded operator colligations”,Dopovidi Akad. Nauk
Ukrain. RSR, 2 (1976), 105–109 (Russian).
[3] D. Z. Arov, “Passive linear steady-state dynamical systems,”Sibirsk.
Mat. Zh., 20, no. 2, (1979), 211–228, 457 (Russian) [English transl.:
Siberian Math. J., 20 no. 2, (1979) 149–162].

12 PROBLEM 1.2
[4] S. V. Belyi, S. Hassi, H. S. V. de Snoo, and E. R. Tsekanovski˘ı,
“On the realization of inverse Stieltjes functions,”Proceedings
of the 15th International Symposium on Mathematical Theory of
Networks and Systems, Editors D. Gillian and J. Rosenthal,
University of Notre Dame, South Bend, Idiana, USA, 2002,
http://www.nd.edu/∼mtns/papers/20160
6.pdf
[5] S. V. Belyi and E. R. Tsekanovski˘ı, “Realization and factorization prob-
lems forJ-contractive operator-valued functions in half-plane and sys-
tems with unbounded operators,” Systems and Networks: Mathemati- cal Theory and Applications, Akademie Verlag, 2 (1994), 621–624.
[6] S.V.BelyiandE.R.Tsekanovski˘ı, “Realization theorems for operator-
valuedR-functions,”Oper. Theory Adv. Appl., 98 (1997), 55–91.
[7] S. V. Belyi and E. R. Tsekanovski˘ı, “On classes of realizable operator-
valuedR-functions,”Oper. Theory Adv. Appl., 115 (2000), 85–112.
[8]M.S.Brodski˘ı, “Triangular and Jordan representations of linear op-
erators,” Moscow, Nauka, 1969 (Russian) [English trans.: Vol. 32 of Transl. Math. Monographs, Amer. Math. Soc., 1971].
[9]M.S.Brodski˘ı and M. S. Livˇsic, “Spectral analysis of non-selfadjoint
operators and intermediate systems,” Uspekhi Mat. Nauk, 13 no. 1, 79, (1958), 3–85 (Russian) [English trans.:Amer. Math. Soc. Transl., (2)
13 (1960), 265–346].
[10] I. Dovshenko and E. R.Tsekanovski˘ı, “Classes of Stieltjes operator-
functions and their conservative realizations,” Dokl. Akad. Nauk SSSR, 311 no. 1 (1990), 18–22.
[11] S. Hassi, H. S. V. de Snoo, and E. R. Tsekanovski˘ı, “An addendum
to the multiplication and factorization theorems of Brodski˘ı-Livˇsic-
Potapov,”Appl. Anal., 77 (2001), 125–133.
[12] S. Hassi, H. S. V. de Snoo, and E. R. Tsekanovski˘ı, “On commuta-
tive and noncommutative representations of matrix-valued Herglotz- Nevanlinna functions,”Appl. Anal., 77 (2001), 135–147.
[13] S. Hassi, H. S. V. de Snoo, and E. R. Tsekanovski˘ı, “Realizations
of Herglotz-Nevanlinna functions viaF-systems,”Oper. Theory: Adv.
Appl., 132 (2002), 183–198.
[14] J.W. Helton, “Systems with inﬁnite-dimensional state space: the
Hilbert space approach,”Proc. IEEE, 64 (1976), no. 1, 145–160.
[15] I. S. Ka˘c and M. G. Kre˘ın, “TheR-functions: Analytic functions map-
ping the upper half-plane into itself,” Supplement I to the Russian edi- tion of F. V. Atkinson,Discrete and Continuous Boundary Problems,
Moscow, 1974 [English trans.:Amer. Math. Soc. Trans., (2) 103 (1974),
1–18].

THE REALIZATION PROBLEM FOR HERGLOTZ-NEVANLINNA FUNCTIONS 13
[16] M. S. Livˇsic, “Operators, Oscillations, Waves,” Moscow, Nauka, 1966
(Russian) [English trans.: Vol. 34 ofTrans. Math. Monographs,Amer.
Math. Soc., 1973].
[17] O. J. Staﬀans, “Passive and conservative inﬁnite-dimensional
impedance and scattering systems (from a personal point of view),”Pro-
ceedings of the 15th International Symposium on Mathematical Theory
of Networks and Systems, Ed., D. Gillian and J. Rosenthal, Univer-
sity of Notre Dame, South Bend, Indiana, USA, 2002, Plenary talk,
http://www.nd.edu/∼mtns
[18] E. R. Tsekanovski˘ı and Yu. L. Shmul’yan, “The theory of biextensions
of operators in rigged Hilbert spaces: Unbounded operator colligations
and characteristic functions,”Uspekhi Mat. Nauk, 32 (1977), 69–124
(Russian) [English transl.:Russian Math. Surv., 32 (1977), 73–131].
[19] G. Weiss, “Transfer functions of regular linear systems. Part I: charac-
terizations of regularity”,Trans. Amer. Math. Soc., 342 (1994), 827–
854.

Problem 1.3
Does any analytic contractive operator function on
the polydisk have a dissipative scattering nD
realization?
Dmitry S. Kalyuzhniy-Verbovetzky
Department of Mathematics
The Weizmann Institute of Science
Rehovot 76100
Israel
[email protected]
1 DESCRIPTION OF THE PROBLEM
LetX,U,Ybe ﬁnite-dimensional or inﬁnite-dimensional separable Hilbert
spaces. Consider nD linear systems of the form
α:







x(t)=
n
k=1
(Akx(t−e k)+B ku(t−e k)),
y(t)=
n
k=1
(Ckx(t−e k)+D ku(t−e k)),
(t∈Z
n
:
n

k=1
tk>0)
(1)
wheree
k:= (0,...,0,1,0,...,0)∈Z
n
(here unit is on thek-th place), for all
t∈Z
n
such that

n
k=1
tk≥0 one hasx(t)∈X(the state space),u(t)∈U
(the input space),y(t)∈Y(the output space),A
k,Bk,Ck,Dkare bounded
linear operators, i.e.,A
k∈L(X),B k∈L(U,X),C k∈L(X,Y),D k∈L(U,Y)
for allk∈{1,...,n}. We use the notationα=(n;A,B,C,D;X,U,Y)for
such a system (hereA:= (A
1,...,An), etc.). ForT∈L(H 1,H2)
n
and
z∈C
n
denotezT:=

n
k=1
zkTk. Then thetransfer functionofαis
θ
α(z)=zD+zC(I X−zA)
−1
zB.
Clearly,θ
αis analytic in some neighbourhood ofz=0inC
n
.Let
G
k:=
ﬃ
A
kBk
CkDk
Γ
∈L(X⊕U,X⊕Y),k =1,...,n.
We callα=(n;A,B,C,D;X,U,Y)adissipative scattering nD system(see
[5, 6]) if for anyζ∈T
n
(the unit torus)ζGis a contractive operator, i.e.,

DISSIPATIVE SCATTERING ND REALIZATION 15
∈ζG∈≤1. It is known [5] that the transfer function of a dissipative scatter-
ing nD systemα=(n;A,B,C,D;X,U,Y) belongs to the subclassB
0
n
(U,Y)
of the classB
n(U,Y) of all analytic contractiveL(U,Y)-valued functions on
the open unit polydiskD
n
, which is segregated by the condition of vanishing
of its functions atz= 0. The question whether the converse is true was
implicitly asked in [5] and still has not been answered. Thus, we pose the
following problem.
Problem:Either prove that an arbitraryθ∈B
0
n
(U,Y) can be realized
as the transfer function of a dissipative scattering nD system of the form
(1) with the input spaceUand the output spaceY, or give an example
of a functionθ∈B
0
n
(U,Y) (for somen∈N, and some ﬁnite-dimensional
or inﬁnite-dimensional separable Hilbert spacesU,Y)thathasnosucha
realization.
2 MOTIVATION AND HISTORY OF THE PROBLEM
Forn= 1 the theory of dissipative (or passive, in other terminology) scatter-
ing linear systems is well developed (see, e.g., [2, 3]) and related to various
problems of physics (in particular, scattering theory), stochastic processes,
control theory, operator theory, and 1D complex analysis. It is well known
(essentially, due to [8]) that the class of transfer functions of dissipative scat-
tering 1D systems of the form (1) with the input spaceUand the output
spaceYcoincides withB
0
1
(U,Y). Moreover, this class of transfer functions
remains the same when one is restricted within the important special case
of conservative scattering 1D systems, for which the system block matrix
Gis unitary, i.e.,G
∗
G=I X⊕U,GG
∗
=IX⊕Y. Let us note that in the
casen= 1 a system (1) can be rewritten in an equivalent form (without a
unit delay in output signaly) that is the standard form of a linear system,
then a transfer function does not necessarily vanish atz=0,andtheclass
of transfer functions turns into the Schur classS(U,Y)=B
1(U,Y). The
classesB
0
1
(U,Y)andB 1(U,Y) are canonically isomorphic due to the relation
B
0
1
(U,Y)=zB 1(U,Y).
In [1] an important subclassS
n(U,Y)inB n(U,Y) was introduced. This
subclass consists of analyticL(U,Y)-valued functions onD
n
,say,θ(z)=

t∈Z
n
+θtz
t
(hereZ
n
+
={t∈Z
n
:tk≥0,k=1,...,n},z
t
:=

n
k=1
z
tk
k
for
z∈D
n
,t∈Z
n
+
) such that for anyn-tupleT=(T 1,...,Tn) of commuting
contractions on some common separable Hilbert spaceHand any positive
r<1 one has∈θ(rT)∈≤ 1, whereθ(rT)=

t∈Z
n
+θt⊗(rT)
t
∈L(U⊗
H,Y⊗H), and (rT)
t
:=

n
k=1
(rTk)
tk
.Forn= 1 andn= 2 one has
S
n(U,Y)=B n(U,Y). However, for anyn>2 and any non-zero spacesU
andYthe classS
n(U,Y) is a proper subclass ofB n(U,Y). J. Agler in [1]
constructed a representation of an arbitrary function fromS
n(U,Y), which
in a system-theoretical language was interpreted in [4] as follows:S
n(U,Y)

16 PROBLEM 1.3
coincides with the class of transfer functions of nD systems of Roesser type
with the input spaceUand the output spaceY, and certain conservativity
condition imposed. The analogous result is valid for conservative systems of
the form (1). A systemα=(n;A,B,C,D;X,U,Y)iscalledaconservative
scattering nD systemif for anyζ∈T
n
the operatorζGis unitary. Clearly,
a conservative scattering system is a special case of a dissipative one. By [5],
the class of transfer functions of conservative scattering nD systems coincides
with the subclassS
0
n
(U,Y)inS n(U,Y), which is segregated from the latter by
the condition of vanishing of its functions atz=0. Sinceforn= 1 andn=2
one hasS
0
n
(U,Y)=B
0
n
(U,Y), this gives the whole class of transfer functions
of dissipative scattering nD systems of the form (1), and the solution to the
problem formulated above for these two cases.
In [6] the dilation theory for nD systems of the form (1) was developed.
It was proven thatα=(n;A,B,C,D;X,U,Y) has a conservative dilation
if and only if the corresponding linear functionL
G(z):=z Gbelongs to
S
0
n
(X⊕U,X⊕Y). Systems that satisfy this criterion are calledn-dissipative
scattering ones. In the casesn= 1 andn= 2 the subclass ofn-dissipative
scattering systems coincides with the whole class of dissipative ones, and in
the casen>2 this subclass is proper. Since transfer functions of a system
and of its dilation coincide, the class of transfer functions ofn-dissipative
scattering systems with the input spaceUand the output spaceYisS
0
n
(U,Y).
According to [7], for anyn>2thereexistp ∈N,m∈N, operatorsD
k∈
L(C
p
) and commuting contractionsT k∈L(C
m
),k=1,...,n,suchthat
max
ζ∈T
n
Λ
n

k=1
zkDkΛ=1<Λ
n

k=1
Tk⊗DkΛ.
The systemα=(n;0,0,0,D;{0},C
p
,C
p
) is a dissipative scattering one,
however not,n-dissipative. Its transfer functionθ
α(z)=L G(z)=zD∈
B
0
n
(C
p
,C
p
)\S
0
n
(C
p
,C
p
).
Since for functions inB
0
n
(U,Y)\S
0
n
(U,Y) the realization technique elaborated
in [1] and developed in [4] and [5] is not applicable, our problem is of current
interest.
BIBLIOGRAPHY
[1] J. Agler, “On the representation of certain holomorphic functions de-
ﬁned on a polydisc,”Topics in Operator Theory: Ernst D. Hellinger
Memorial Volume(L. de Branges, I. Gohberg, and J. Rovnyak, Eds.),
Oper. Theory Adv. Appl. 48, pp. 47-66 (1990).
[2] D. Z. Arov, “Passive linear steady-state dynamic systems,”Sibirsk.
Math. Zh.20 (2), 211-228 (1979), (Russian).
[3] J. A. Ball and N. Cohen, “De Branges-Rovnyak operator models and
systems theory: A survey,”Topics in Matrix and Operator Theory(H.

DISSIPATIVE SCATTERING ND REALIZATION 17
Bart, I. Gohberg, and M.A. Kaashoek, eds.), Oper. Theory Adv. Appl.,
50, pp. 93-136 (1991).
[4] J. A. Ball and T. Trent, “Unitary colligations, reproducing kernel
hilbert spaces, and Nevanlinna-Pick interpolation in several variables,”
J. Funct. Anal.157, pp. 1-61 (1998).
[5] D. S. Kalyuzhniy, “Multiparametric dissipative linear stationary dy-
namical scattering systems: Discrete case,”J. Operator Theory, 43 (2),
pp. 427-460 (2000).
[6] D. S. Kalyuzhniy, “Multiparametric dissipative linear stationary dy-
namical scattering systems: Discrete case, II: Existence of conservative
dilations,”Integr. Eq. Oper. Th., 36 (1), pp. 107-120 (2000).
[7] D. S. Kalyuzhniy, “On the von Neumann inequality for linear matrix
functions of several variables,”Mat. Zametki64 (2), pp. 218-223 (1998),
(Russian); translated inMath. Notes64 (2), pp. 186-189 (1998).
[8] B. Sz.-Nagy and C. Foia¸s,Harmonic Analysis of Operators on Hilbert
Spaces, North Holland, Amsterdam, 1970.

Problem 1.4
Partial disturbance decoupling with stability
J. C. Mart´ınez-Garc´ıa
Programa de Investigaci´on en Matem´aticas Aplicadas y Computaci´on
Instituto Mexicano del Petr´oleo
Eje Central L´azaro C´ardenas No. 152
Col San Bartolo Atepehuacan, 07730 M´exico D.F.,
M´exico
[email protected]
M. Malabre
Institut de Recherche en Communications et Cybern´etique de Nantes
CNRS-&(Ecole Centrale-Universit´e-Ecole des Mines) de Nantes
1 rue de la No¨e, F-44321 Nantes Cedex 03,
France
[email protected]
V. Kuˇcera
Faculty of Electrical Engineering
Czech Technical University in Prague
Technicka 2, 16627 Prague 6,
Czech Republic
[email protected]
1 DESCRIPTION OF THE PROBLEM
Consider a linear time-invariant system (A,B,C,E) described by:

σx(t)=Ax(t)+Bu (t)+Ed (t),
z(t)=Cx(t),
(1)
whereσdenotes either the derivation or the shift operator, depending on
the continuous-time or discrete-time context;x(t)∈XγR
n
denotes the
state;u(t)∈UγR
m
denotes the control input;z(t)∈ZγR
m
denotes the
output, andd(t)∈DγR
p
denotes the disturbance.A:X→X,B:U→X,
C:X→Z,andE:D→Xdenote linear maps represented by real constant
matrices.

PARTIAL DISTURBANCE DECOUPLING WITH STABILITY 19
Let a system (A,B,C,E) and an integerk≥1 be given. Find necessary
and suﬃcient conditions for the existence of a static state feedback control
lawu(t)=Fx(t)+Gd (t),whereF:X→UandG:D→Uare linear maps
such as zeroing the ﬁrstkMarkov parameters ofT
zd, the transfer function
between the disturbance and the controlled output, while insuring internal
stability, i.e.:
•C(A+BF)
l
(BG+E)≡0, fori∈{0,1,...,k−1},and
•σ(A+BF)⊆C
g,
whereσ(A+BF) stands for the spectrum ofA+BFandC
gstands
for the (good) stable part of the complex plane, e.g., the open left-half
complex plane (continuous-time case) or the open unit disk (discrete-
time case)
2 MOTIVATION
The literature contains a lot of contributions related to disturbance rejection
or attenuation. The early attempts were devoted to canceling the eﬀect of the
disturbance on the controlled output, i.e., insuringT
zd≡0. This problem
is usually referred to as the disturbance decoupling problem with internal
stability, noted as DDPS (see [11], [1]).
The solvability conditions for DDPS can be expressed as matching of inﬁnite
and unstable (invariant) zeros of certain systems (see, for instance, [8]),
namely those of (A, B,C), i.e., (1) withd(t)≡0, and those of (A,

BE
ξ
,
C), i.e., (1) withd(t) considered as a control input. However, the rigid
solvability conditions for DDPS are hardly met in practical cases. This
is why alternative design procedures have been considered, such as almost
disturbance decoupling (see [10]) and optimal disturbance attenuation, i.e.,
minimization of a norm ofT
zd(see, for instance, [12]).
The partial version of the problem, as deﬁned in Section 1, oﬀers another al-
ternative from the rigid design of DDPS. The partial disturbance decoupling
problem (PDDP) amounts to zeroing the ﬁrst, sayk, Markov parameters of
T
zd. It was initially introduced in [2] and later revisited in [5], without sta-
bility, [6, 7] with dynamic state feedback and stability, [4] with static state
feedback and stability (suﬃcient solvability conditions for the single-input
single-output case), [3] with dynamic measurement feedback, stability, and
H
∞-norm bound. When no stability constraint is imposed, solvability con-
ditions of PDDP involve only a subset of the inﬁnite structure of (A,B,C)
and (A,

BE
ξ
,C), namely the orders which are less than or equal to
k−1 (see details in [5]). For PDDPS (i.e., PDDP with internal stability),
the role played by the ﬁnite invariant zeros must be clariﬁed to obtain the
necessary and suﬃcient conditions that we are looking for, and solve the
open problem.

20 PROBLEM 1.4
Several extensions of this problem are also important:
•solve PDDPS while reducing theH
∞-norm ofT zd;
•consider static measurement feedback in place of static state feedback.
BIBLIOGRAPHY
[1] G. Basile and G. Marro,Controlled and Conditioned Invariants in Linear
System Theory, Prentice-Hall, 1992.
[2] E. Emre and L. M. Silverman, “Partial model matching of linear sys-
tems,”IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-25, no. 2, pp. 280-281,
1980.
[3] V. Eldem, H.
¨
Ozbay, H. Selbuz, and K.
¨
Ozcaldiran, “Partial disturbance
rejection with internal stability andH
∞norm bound, ”SIAM Journal
on Control and Optimization, vol. 36 , no. 1 , pp. 180-192, 1998.
[4] F. N. Koumboulis and V. Kuˇcera, “Partial model matching via static
feedback (The multivariable case),”IEEE Trans. Automat. Contr., vol.
AC-44, no. 2, pp. 386-392, 1999.
[5] M. Malabre and J. C. Mart´ınez-Garc´ıa, “The partial disturbance re-
jection or partial model matching: Geometric and structural solutions,
”IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-40, no. 2, pp. 356-360, 1995.
[6] V. Kuˇcera, J. C. Mart´ınez-Garc´ıa, and M. Malabre, “Partial model
matching: Parametrization of solutions, ”Automatica, vol. 33, no. 5,
pp. 975-977, 1997.
[7] J.C.Mart´ınez-Garc´ıa, M. Malabre, and V. Kuˇcera, “The partial model
matching problem with stability,”Systems and Control Letters, no. 24,
pp. 61-74, 1994.
[8] J. C. Mart´ınez-Garc´ıa, M. Malabre, J.-M. Dion, and C. Commault, “Con-
densed structural solutions to the disturbance rejection and decoupling
problems with stability,”International Journal of Control, vol. 72, No.
15, pp. 1392-1401, 1999.
[9] A. Saberi, P. Sannuti, A. A. Stoorvogel, and B. M. Chen,H
2Optimal
Control, Prentice-Hall, 1995.
[10] J. C. Willems, “Almost invariant subspaces: An approach to high gain
feedback design - part I: Almost controlled invariant subspaces,”IEEE
Trans. Automat. Contr., vol. AC-26, no.1, pp. 235-252, 1981.
[11] M. M. Wonham, Linear Multivariable Control: A Geometric Approach,
3rd ed., Springer Verlag, New York, 1985.

PARTIAL DISTURBANCE DECOUPLING WITH STABILITY 21
[12] K. Zhou, J. C. Doyle, and K. Glover,Robust and Optimal Control,
Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, Inc., Simon & Schuster, 1995.

Problem 1.5
Is Monopoli’s model reference adaptive controller
correct?
A. S. Morse
1
Center for Computational Vision and Control
Department of Electrical Engineering
Yale University, New Haven, CT 06520
USA
1 INTRODUCTION
In 1974 R. V. Monopoli published a paper [1] in which he posed the now
classical model reference adaptive control problem, proposed a solution and
presented arguments intended to establish the solution’s correctness. Sub-
sequent research [2] revealed a ﬂaw in his proof, which placed in doubt the
correctness of the solution he proposed. Although provably correct solutions
to the model reference adaptive control problem now exist (see [3] and the
references therein), the problem of deciding whether or not Monopoli’s orig-
inal proposed solution is in fact correct remains unsolved. The aim of this
note is to review the formulation of the classical model reference adaptive
control problem, to describe Monopoli’s proposed solution, and to outline
what’s known at present about its correctness.
2 THE CLASSICAL MODEL REFERENCE ADAPTIVE
CONTROL PROBLEM
Theclassical model reference adaptive control problemis to develop a dy-
namical controller capable of causing the outputyof an imprecisely modeled
SISO processPto approach and track the outputy
refof a prespeciﬁed ref-
erence modelM
refwith inputr. The underlying assumption is that the
process model is known only to the extent that it is one of the members of
apre-speciﬁedclassM. In the classical problem Mis taken to be the set of
1
This research was supported by DARPA under its SEC program and by the NSF.

IS MONOPOLI’S MODEL REFERENCE ADAPTIVE CONTROLLER CORRECT? 23
all SISO controllable, observable linear systems with strictly proper transfer
functions of the formg
β(s)
α(s)
wheregis a nonzero constant called thehigh
frequency gainandα(s)andβ(s) are monic, coprime polynomials. Allg
have the same sign and each transfer function isminimum phase(i.e., each
β(s) is stable). All transfer functions are required to have the same relative
degree ¯n(i.e., degα(s)−degβ(s)=¯n.) and each must have a McMillan
degree not exceeding some prespeciﬁed integern(i.e., degα(s)≤n). In the
sequel we are going to discuss a simpliﬁed version of the problem in which
allg= 1 and the reference model transfer function is of the form
1
(s+λ)
¯n
whereλis a positive number. ThusM refis a system of the form
˙y
ref=−λy ref+¯cxref+
¯
dr ˙x ref=
¯
Axref+
¯
br (1)
where{
¯
A,
¯
b,¯c,
¯
d}is a controllable, observable realization of
1
(s+λ)
(¯n−1).
3 MONOPOLI’S PROPOSED SOLUTION
Monopoli’s proposed solution is based on a special representation ofPthat
involves picking anyn-dimensional, single-input, controllable pair (A, b)with
Astable. It is possible to prove [1, 4] that the assumption that the processP
admits a model inM, implies the existence of a vectorp
∗
∈IR
2n
and initial
conditionsz(0) and ¯x(0), such thatuandyexactly satisfy
˙z=
⊗
A0
0A
√
z+
⊗
b
0
√
y+
⊗
0
b
√
u
˙¯x=
¯
A¯x+
¯
b(u−z
∞
p
∗
)
˙y=−λy+¯c¯x+
¯
d(u−z
∞
p
∗
)
Monopoli combined this model with that ofM
refto obtain thedirect control
model reference parameterization
˙z=
⊗
A0
0A
√
z+
⊗
b
0
√
y+
⊗
0
b
√
u (2)
˙x=
¯
Ax+
¯
b(u−z
∞
p
∗
−r) (3)
˙e
T=−λe T+¯cx+
¯
d(u−z
∞
p
∗
−r)(4)
Heree
Tis thetracking error
e
T
∆=y−y ref (5)
andx
∆
=¯x−x ref. Note that it is possible to generate an asymptotically
correct estimatezofzusing a copy of (2) withzreplacingz.Tokeep
the exposition simple, we are going to ignore the exponentially decaying
estimation errorz−zand assume thatzcan be measured directly.
To solve the MRAC problem, Monopoli proposed a control law of the form
u=z
∞
p+r (6)

24 PROBLEM 1.5
where∩pis a suitably deﬁned estimate ofp
∗
. Motivation for this particular
choice stems from the fact that if one knewp
∗
and were thus able to use the
controlu=z
Φ
p
∗
+rinstead of (6), then this would causee Tto tend to zero
exponentially fast and tracking would therefore be achieved.
Monopoli proposed to generate∩pusing two subsystems that we will refer to
here as a “multi-estimator” and a “tuner” respectively. Amulti-estimator
E(∩p) is a parameter-varying linear system with parameter∩p, whose inputs
areu,y,andrand whose output is an estimate∩eofe
Tthat would be
asymptotically correct were∩pheld ﬁxed atp
∗
. It turns out that there are two
diﬀerent but very similar types of multi-estimators that have the requisite
properties. While Monopoli focused on just one, we will describe both since
each is relevant to the present discussion. Both multi-estimators contain (2)
as a subsystem.
Version 1
There are two versions of the adaptive controller that are relevant to the
problem at hand. In this section we describe the multi-estimator and tuner
that, together with reference model (1) and control law (6), comprise the
ﬁrst version.
Multi-Estimator 1
The form of the ﬁrst multi-estimatorE
1(∩p) is suggested by the readily veri-
ﬁable fact that ifH
1andw 1are ¯n×2nand ¯n×1 signal matrices generated
by the equations
˙
H
1=
¯
AH 1+
¯
bz
Φ
and ˙ w 1=
¯
Aw 1+
¯
b(u−r) (7)
respectively, thenw
1−H1p
∗
is a solution to (3). In other wordsx=w 1−
H
1p
∗
+ where is an initial condition dependent time function decaying to
zero as fast ase
¯
At
. Again, for simplicity, we shall ignore . This means that
(4) can be re-written as
˙e
T=−λe T−(¯cH 1+
¯
dz
Φ
)p
∗
+¯cw1+
¯
d(u−r)
Thus a natural way to generate an estimate∩e
1ofeTis by means of the
equation
˙
∩e
1=−λ∩e 1−(¯cH 1+
¯
dz
Φ
)∩p+¯cw 1+
¯
d(u−r) (8)
From this it clearly follows that the multi-estimatorE
1(∩p) deﬁned by (2),
(7) and (8) has the required property of delivering an asymptotically correct
estimate∩e
1ofeTif∩pis ﬁxed atp
∗
.

Exploring the Variety of Random
Documents with Different Content

— Todellakin! — Lyylin nauru helähti hopeanheleänä, taas kerran
aikojen takaa. — Näyttää melkein siltä, kuin olisin mielestäsi varmin
lainanottaja koko paikkakunnalla!
Tuomarin katse viivähti hänen hymyilevillä kasvoillaan. Näytti
melkein siltä, kuin valoisan hetken muisto olisi varastautunut hänen
mieleensä menneiltä ajoilta. Mutta äänessä ilmeni vain
toverillisuuden sävy hänen virkkaessaan:
— Aikaa myöten, aikaa myöten. Näes, kaupunki kasvaa juuri
Hietapoukamalle päin. Hietapoukama, luulen, tulee kerran
ostettavaksi kaupungin omaksi. Ehkäpä sen osto on välttämätön jo
läheisessäkin tulevaisuudessa, aseman suhteen — ken tietää. Tämä
on nyt toistaiseksi vain minun oma ajatukseni, mutta kun se on
todenmukainen, täysin todenmukainen, voin sen kernaasti sinulle
ilmeistäkin.
Astuessaan hetkistä myöhemmin alas tuomarilan portaita tunsi
Lyyli rajuilman vaimenneen. Senkin, pahan painajaisen, oli täytynyt
hellittää. Lumikentät kaupungin reunalla, niin märkiä ja sohjoisia
kuin ne olivatkin, loistivat hänen silmissään helmikuun hankien lailla.
Ja kevyt, hiljainen onnen ja ylpeyden tunne nousi kattaen hänen
sydämensä, aivankuin valkea lumi siinä kattoi maan.
Hänen askelillaan oli kiire… niin kiire… Kotiin.

RUNOILIJA
Koko hänen olemuksensa — rouva Heinon nimittäin — teki
miellyttävän ja aran arvokkaan vaikutuksen. Kuitenkin häntä niin
vähän huomattiin siinä piirissä, joka useasti kokoontui hänen
kotiinsa, miehensä — arvostelijan ja sanomalehtimiehen — suositun
seuran puoleensavetämänä.
Useimmilla noista tavallisista vieraista oli hänelle varsin vähän
sanomista. Hän sai pitkät hetket toimiella pöydässä äänettömässä
tarjoilutyössään, muistamatta juuri omaa suutansa, tai istua
käsitöineen syrjässä, ilman että kukaan kääntyi hänen puoleensa
puhutteluineen.
Ja hänellä itsellään taas oli vielä vähemmän sanomista
yhdellekään heistä…
Anja Viita — jota nimitettiin »Liinaharjaksi» hänen vaalean
tukkansa vuoksi — huomasi sen heti ensi käynnillään. Ja seuraavalla
kerralla oli hän jo varma siitä, ettei tässä talossa ollut kaikki aivan
niinkuin piti…
Hän koetti lähestyä hiljaista, umpimielistä rouvaa. Ensin vain
pelkästä kohteliaisuudesta — sillä hän oli eri maata kuin useat muut

— sittemmin syvemmistäkin syistä. Mutta se oli vaikeaa, melkeinpä
ylivoimaista. Vasta sitten, kun hän avoimella herttaisuudellaan oli
voittanut pikku Leilan suosion, lämpeni äitikin hiukan hänelle.
Sinä iltana oli teatterissa ensi-ilta, ja koko seurapiirin piti yhdessä
mennä sinne. Esitettävä kappale oli kotimainen uutuus, jota salatulla
uteliaisuudella riennettiin katsomaan.
— Oletteko kuulleet, että se on ankara moraalikappale — pyh!
huudahti Liisa Orvokki, jonka oma, äskettäin esitetty kappale oli
mennyt »penkin alle» arvostelija Heinon kiittävistä
ennakkoarvosteluistakin huolimatta. Se oli »elänyt» vain pari kolme
iltaa ja näytelty arveluttavan harvalukuiselle yleisölle.
— Tietysti moraalikappale! Tarvitaanko siihen kuulemista tai
näkemistä: tekijän nimihän siitä jo on takeena! tivahti Heino
kynäänsä teroittaen. — Mutta kyllä sille nyt jonkinmoinen kiirastuli
valmistetaan…
Hän sai kiitollisen katseen Liisa Orvokilta.
Rouva Heino hymähti itsekseen. Tuo puheensävy oli niin tuttua
ennestään… Hän silmäsi kelloa väsyneesti: saisivat siitä jo kernaasti
lähteäkin…
— Mutta tehän ette ole vielä pukeutunutkaan, huomautti Anja
Viita. —
Kohta tulee kiire.
— Ei, minähän en ole aikonut lähteäkään, vastasi rouva Heino
hiljaa, katsahtamatta kysyjään.
— Ettekö! tuli pettyneesti.

— Näettekös… nauroi Heino, vieraan äänensävyn satuttamana, —
hänellä on laiminlyötyjä töitä, joita ei käy jättäminen tätä iltaa
etemmäksi. Ja sitten… no niin, suoraan sanoen on hän vain ikävänä
painolastina meidän hilpeässä seurassamme… Ihminen, joka ei
koskaan innostu!
— Kiitän… virkahti rouva tyynesti, toisten sille vain naurahtaessa.
»Liinaharja» seisoi mykkänä hämmästyksestä, ja hänen
kasvoilleen nousi voimakas harmin kajo.
* * * * *
Tuntia myöhemmin, kun rouva Heino luuli heidän kaikkien jo
istuvan teatterin aitiossa, soi ovikello, ja Anja Viita pyörähti sisään.
— Mutta neiti! Nythän te myöhästytte kerrassaan.
— Ei, katsokaas. Minä en viitsinytkään mennä. Ja kun tiesin teidän
jääneen yksin, tulin katsomaan häiritsenkö, jos… jos jäisin tänne
hetkiseksi…
Olihan tuo ystävällisyys ennenkuulumatonta — mutta sittenkin…
rouva Heino tunsi kyllä tulevansa toimeen ilman sitäkin. Hän oli niin
tottunut pitkiin, yksinäisiin iltoihinsa ja — unhoitukseen.
— Teillä ei ole täällä suinkaan mitään hauskaa… sanoi hän melkein
epäkohteliaasti, välttäen Anjan katsetta.
Tämä epäröi hetken.
— Jos ette salli… niin…
Hän laski jo kätensä oven kahvalle.

— Ei, ei! Te olette kovin ystävällinen!
Rouva Heino otti häntä käsipuolesta taluttaen peremmälle ja avasi
hänen päällysnuttunsa napit. Siinä silmänräpäyksessä oli hän
muuttunut, jokin jäykkä ja vierova putosi pois, ja hän seisoi uutena
ihmisenä ihastuvan vieraansa edessä.
— Tiedättekö… minä panen teidät vielä työhönkin täällä! sanoi hän
avomielisesti hymyillen.
— Oikeinko totta! Siinä teette minulle suuren hyvän työn.
Tuntuukin siltä, kuin sitten kotoa lähdön en olisi pannut kortta ristiin
missään hyödyllisessä.
— Saatte liimata ikkunapaperia… Ei, ei, älkää pelätkö, ikkunat ovat
pihanpuolella, mieheni työhuoneessa. Hän on kovin arka vedolle ja
vaatii sisäikkunat näin aikaisin paikoilleen.
— Ja sen työn tähden teidän sitten piti jäämän kotiin! Meidän
muiden mennessä huvittelemaan!
— Siinähän te olette… naurahti rouva Heino. — Minä… minä olen
arka velvollisuuksistani…
— Jota teidän miehenne taas ei ole ensinkään, luulen.
Rouva Heinon katse painui alas. Vieraan rohkea puhe oli
nostattanut helakan punan hänen poskillensa.
* * * * *
Kun työhuoneen ikkunat olivat huolellisesti tilkityt ja paperoidut —
Anjan tullessa ne olivatkin vain sitä vailla — ja pikku Leila huoliteltu

nukkumaan, istuivat molemmat nuoret naiset teepöydän ääreen,
ojensivat sen ylitse kätensä toisillensa ja kiittivät onnea, joka oli
opastanut heille tien toistensa sydämiin.
— Minä näin heti paikalla, ettei tässä talossa asiat olleet oikein…
Sellainen armeija keveitä suunpieksäjöitä miehesi ympärillä… Mutta
sinua itseäsi ei huomata edes oman kattosi alla! Miten voit kestää
sellaista, Toini?
— En tiedä, virkahti Toini väsyneesti. — Enkä minä mahda enää
kauan kestääkään…
— Mutta tähän asti… mitenkä tähänkään asti?
Toini Heino katsoi avoimesti pöydän yli suurilla, mustilla silmillään,
joissa kimmelsi vuosikausien kertyneet surut.
— Pikku Leilan avulla, sanoi hän sitten. — Hän ei ole ainoastaan
lapseni, vaan ystäväni, uskottunikin… Jos sinä tietäisit mikä
ihmeellinen vaisto hänellä on ihmisten suhteen! Niin, ilman hänen
suosiotaan olisit sinäkin jäänyt vieraaksi minulle, ole varma siitä…
Hänellä on voittamaton vastenmielisyys kaikkia noita kohtaan —
Toini teki torjuvan liikkeen kädellään — varsinkaan Liisa Orvokkia
hän ei voi sietää.
— Ajatteles, mikä ymmärrys lapsella! huudahti Anja Viita
ihmetellen. —
Ei nyt uskoisi…
— Ei, ei uskoisi. Mutta tiedätkö, on minulla vielä toinenkin
ylläpitäjä, lohduttaja…

Hänen äänensä värähti tuntuvasti, ja hän nousi muuta sanomatta,
meni kaapille ja otti sieltä esiin pari kolme pientä paperivihkoa, jotka
hän asetti Anjan eteen pöydälle.
— Ilmaisen sinulle nyt sitten kaikki kerrassaan.
— Runoja, Toini! Sinunko kirjoittamiasi?
— Minun.
Kului pitkä, hiljainen hetki, jonka kuluessa toinen luki, yhä vain
luki, ja toinen istui odotellen, pää käsien varassa.
Kun heidän katseensa toisinaan yhtyivät, oli kumpaisenkin silmissä
kyynelten kiiltoa.
— Sinä olet vuodattanut petetyn, raskautetun sydämesi näihin
säkeisiin, virkahti Anja.
Ja taas hetken kuluttua:
— Nämä ovat todellisia helmiä, mikäli minä ymmärrän.
— Mitä lienevät… Mieheni nauraa niille…
— Usko tai et, ovat nämä koko joukon edellä Liisa Orvokin
runoista, joita miehesi arvostelijana on niin suuresti ylistänyt.
— Edellä… Älä toki. Mieheni luki erään näistä Liisalle, ja he
nauroivat yhdessä.
Anja Viita hypähti kiivaasti pystyyn.
— Nauroivat —! Yhdessä —!

Hän astui Toinin luokse, kiersi kätensä hellivästi hänen
ympärillensä ja sanoi:
— Suostutko?
— Mihin sitten?
— Julkaisemaan nämä. Sittenpähän nähdään kuka viimeiseksi
nauraa!
Toini peräytyi kauhistuneena.
— Mitä sinä ajatteletkaan, Anja! Jo minua on kylliksi ivattu niiden
tähden — näinkin. Vai vielä julkaisemaan… Ja luuletko sitten, että
kustantaja olisi niin vain saatavissa?
— Kyllä luulen. Ja minun arvosteluuni et sitäpaitsi tarvitse
luottaakaan. Salli minun lähettää nämä enolleni, tohtori Aulalle,
hänen tiedän omaavan pätevän ja puolueettoman arvostelukyvyn.
— Sinä olet hyvä, niin ansaitsemattoman hyvä. Mutta minä en
uskalla… en voi! intti Toini vapisevin huulin.
Ystävä huomasi hänen silmiinsä syttyneen oudon palon. Siinä
vanha, haudattu toive rynnisti masentavan ikeensä alta. Eikä hän
hellittänyt.
— Mikset uskaltaisi? Ainakin salanimellä. Olen niin innostunut
tähän asiaan, kuin se olisi omani. Mitä — suostuthan? Sinun täytyy!
Rouva Heino naurahti surumielisesti ystävänsä palavalle innolle. Oli
jo aikoja siitä, kun hän itse saattoi innostua noin lämpimästi.
— Ei, katsos, ei siitä tulisi kuitenkaan mitään. Saisin häpeätä…

— Onko miehesi lukenut nämä vihot lävitse, tarkoitan, tunteeko
hän kaikki runosi?
— Ei. Ainoastaan muutamia. Sinä olet ensimäinen, joka olet
lukenut ne kannesta kanteen.
— Mutta en viimeinen! Ah, Toini, kuinka me vedämmekään heitä
kaikkia nenästä!
Pitkän miettimisen ja epäröimisen jälkeen Toini viimeinkin suostui.
Mutta vain sillä ehdolla, että Anja ottaa kaiken huostaansa, niin ettei
tässä talossa edes aavistetakaan minkään tavattoman olevan
tekeillä.
* * * * *
— Jaha. Me olemme jälleen saaneet uuden runosepän, joka heti
kaikkialla on otettu vastaan mitä suosiollisimmin, pakisi Heino
muutamana iltana ennen joulua vanhan, vakituisen seurapiirin
ollessa koolla hänen kotonaan.
— Onko kukaan teistä ehtinyt tutustua hänen teokseensa?
Toiset olivat, toiset eivät, mutta kaikki he halusivat vanhaan,
totuttuun tapaansa, nyt kuten aina ennenkin, kuulla Heinon
kaikkivoivan arvostelun, ennenkuin lausuivat oman mielipiteensä.
Sitä kävi sitten, jos niikseen tuli, helposti muuttaminenkin…
— Minä odotan äärimmäisellä jännityksellä teidän tuomiotanne!
huudahti
»Liinaharja» siirrellen maltittomana tuoliaan.

— Todellakin! Olen aina luullut, ettei minun sanoillani — sen
pahempi — ole suurtakaan tunnustusta teillä päin…
»Liinaharja» kätki visusti veitikan, joka pyrki esiin hänen
silmistään, hymystään ja koko olennostaan, ja sanoi ylimalkaisesti:
— Noo, olettehan te tunnettu ja yleisesti tunnustettukin arvostelija
— milloin nimittäin seisotte puolueettomalla pohjalla. Antakaa nyt
tulla sukkelaan!
— Tjaah. Minun täytyy yhtyä edelläkäyneisiin arvosteluihin ja
sanoa, että teos on aivan erinomainen näin tekijänsä ensimäiseksi.
Siinä on runsaasti välitöntä tunnetta, raikasta kuin metsän tuoksu —
ja sitten, sitten aivan harvinaista muoto valmiutta. On siinä.
Anja Viita purskahti heläjävään nauruun. Hän ei jaksanut sillä
hetkellä pidättäytyä. Toinin hän näki kääntävän päätään syrjään ja
huultaan purren taistelevan läikehtivien tunteittensa kanssa.
Mutta siinä samassa oli hän vakava jälleen.
— Kas niin, sitähän minä jo sanoin! Kuuletko, Toini, — miehesi on
samaa mieltä kuin minäkin Enni Rannan runojen suhteen.
— Niin kuuluu… virkahti Toini välinpitämättömästi. Eikä yksikään
joukosta keksinyt syytä Anjan nauruun, enemmän kuin siihen
valoisaan silmäykseenkään, jonka rouva Heino loi ylös työstään.
— Onko Toinikin jo ehtinyt lukemaan ja arvostelemaan? tiedusti
Liisa
Orvokki kummeksien.
Heino hymähti lyhyeen.

Arvostelemaan… Hänen vaimonsa ei juuri, herra paratkoon,
pystynyt sellaiseen… Hän oli vain kade jokaiselle uudelle tulokkaalle
kirjallisella vainiolla, uneksittuaan kerran omien tyhmien
sepustustensa ansaitsevan julkisuuden kunnian, siinä se.
— Että te ilkiätte! tivahti Anja Viita kiivaasti, ja hänen kasvoilleen
nousi ankaran vihan ilme. — Haluaisinpa tällä hetkellä lausua teille
musertavan totuuden sanan! Aavistamattoman.
— Olkaa hyvä. Koetan aina olla teidän nöyrin palvelijanne….
Anjan katse riippui hartaasti anoen Toini Heinon kasvoilla.
Mutta Toini pudisti päätänsä.
— Jätä totuus silleen — ehdottomasti, sanoi hän päättävästi. —
Totuuden paikka on toisessa talossa…
— Soisin, että sinunkin… murahti Heino.
Anja huokasi syvään, pettyneestä Hän oli odottanut niin paljon
tästä hetkestä ja nauttinut jo edeltäpäin siitä tyydytyksestä, minkä
se hänen kapinoivalle mielellensä tuottaisi. Sen sijaan luistikin nyt
kaikki käsistä…
Jäätyään kahdenkesken Toinin kanssa purki hän katkeraa
mieliharmiaan:
— Sinua hupsua… ponnetonta… Kärsiä huutavinta vääryyttä ääntä
päästämättä ja heittää käsistään tilaisuus, jolloin voisi
perinpohjaisesti kostaa… ja nolata… nolata niin, että kelpaisi!

— Vastaisuudessa se käy vieläkin perinpohjaisemmin — saathan
nähdä.
Olen aikonut antaa sen hänelle joululahjaksi.
* * * * *
Jouluaattoiltana, hämärän hiljaa hiipiessä ikkunasta sisään, kuuli
Anja Viita kevyen koputuksen ovellaan ja noustuaan avaamaan sai
hän ensin pikku Leilan, sitten hänen äitinsäkin avautuvaan syliinsä.
— Me tulimme sanomaan jäähyväisiä…
— Jäähyväisiä!
Toini Heinon silmät kyyneltyivät, ja hän painoi hetkiseksi kasvonsa
ystävän rintaa vasten.
— En jaksa enää… kuiskasi hän sitten tukahtuneesti. — Uskothan,
etten jaksa enää…
Anja Viita seisoi kivettyneenä hänen edessään — selvillä kaikesta.
— Mutta et suinkaan sinä nyt — jouluiltana —?
— Juuri nyt… junan lähtiessä puolen tunnin päästä. Ehkä sinä
tahdot seurata meitä asemalle. Kellään muulla ei tästä ole
aavistustakaan.
Tämä tuli yhtäkkiä. Ja Anjasta, joka päivä päivältä oli yhä
lujemmin kiintynyt omituiseen ystäväänsä, tuntui se äärettömän
raskaalta.
— Kuinka sinä näin äkkiä? Valmistamatta…

— Rakas, olenhan siihen valmistunut jo kymmenen vuoden
kuluessa…
— Mutta sinun »joululahjasi» — vai joko annoit sen?
— En. Minulla on ilo lähteä hänen luotaan hyvästittä. Ehkä sinä
käyt siellä jättämässä minun »joululahjani». Olisin siitä suuresti
kiitollinen.
— Toini! Ja sinä maltat olla näkemättä miltä hänen kasvonsa sillä
hetkellä näyttävät!
— Se on minulle todellakin yhdentekevää… vastasi hän väsyneesti.
— Kuulenhan sen sitten sinulta. Mutta sinulle, Anja, olen velkaa
kokonaisen ihmiselämän! Sinä se tulit, kun kaikki oli pimeimmillään…
sinä sytytit sammuneen toiveen, sinä johdatit minut jälleen elämään,
iloon — ja arvaamattomiin onnen saavutuksiin! Voinko koskaan kyllin
kiittää sinua!
Hän purskahti rajuun, hillittömään itkuun, joka ei ollut enää surun
eikä ahdistuksen aiheuttamaa, vaan — vapautuksen ilon.
— Hyvästi, Anja, hyvästi! Ensi kerran tapaamme minun omassa
kodissani, pikku Leilan ja minun… Siinä kodissa tulee asumaan
hiljainen työnteon onni ja viihtymys. Sieltä »Enni Ranta» lähettää
vaatimattomat sävelensä maailmalle… Anja, sinä olet aina tervetullut
vieras meidän luoksemme!
Vielä vaununsillalta hän kuiskasi kiinnityönnetyn portin yli
kumartuneena:
— Et usko miltä tuntuu vapauden onni… ja tulevaisuus, joka on
antanut lupauksensa! Onnellista, onnellista joulua kaikille!

* * * * *
Jouluaamuna pudotti Anja Viita postilaatikkoon kirjeen, jossa oli
vain pari riviä:
Lähtösi oli miehellesi vain mieleinen yllätys, — vasta sitten, kun
hän sai »joululahjasi», muuttui se hänelle musertavaksi tappioksi.
Verraton ystävä! Sinä tiesit miten kostit… sinä osasit satuttaa
arimpaan… Sinä todellakin tunsit hänet!

KISSAT
Jo siihen aikaan, kun Osakeyhtiö Kissa virta rakennutti Kissavirran
suulle sahan ja alkoi ostella ympäristön tiloja, heräsi levoton aavistus
lähiseudun pientilallisten keskuudessa. Ja sitä myöten, kun aika kului
ja tapaukset seurauksineen selvenivät, vakiintui tuo aavistus
katkeran pelon kaartamaksi totuudeksi.
Harva enää tunsi omistusoikeuden turvallisuutta.
Ken vain oli joutunut tukkiyhtiön kanssa rettelöihin, tunsi olevansa
aivankuin sen jaloissa, mielivalloissa…
Niinkuin oli käynyt Kylä-Peltolankin. Ei ikinä sanonut mies kapteeni
Mannebergin käsiin kontuaan luovuttavansa — ei niin ikinä. Mutta
kun naapurit, Pöyry ja Metsä-Peltola, möivät yhtiölle maansa, tuli
sama kohtalo pakkona Peltolankin osaksi, sillä hänen metsä- ja
viljelyspalstansa oli nyt kokonaan kapteeni Mannebergin omistaman
maan saartama.
— Ei meillä ole elukoita, emmekä me tarvitse raja-aitoja, sanoi
kapteeni jyrkästi. — Mutta sinä, jolla niitä on, saat pitää huolen siitä,
että karjasi kestää omalla maallasi.

Se kävi ajanmittaan Peltolalle mahdottomaksi, ja eräänä
kevätpäivänä hykerteli kapteeni Manneberg ilkkuen käsiänsä: hän oli
saanut Kylä-Peltolankin, vieläpä hyvällä hinnalla, huostaansa.
Monen muun talon kävi samalla tavalla. Kysymys oli vain siitä,
kuka ensin, kuka sitten … Kansa nimitti yhtiön johtomiehiä Kissoiksi
— ja »Kissojen» kynsistä oli vaikea pelastua.
Kylä-Peltolan jälkeen näytti tulevan Hietalan vuoro.
* * * * *
Hietalan pihaportin pielessä kasvava komea kuusi nosti siron
latvansa kuin taisteluhaluisen keihään korkeutta kohti. Ikäänkuin
säälien se näytti hymyilevän vinttikaivon miekkapuulle, jonka huippu
ei kohonnut puoliväliinkään kuusen korkeutta, vaikka se joka kerta,
kun vedennostajan kädestä pääsi, kimmahutti tulisella kiireellä
nokkansa ilmaan.
Sen kuusen oli Hietalan isäntä itse poikasena istuttanut, ja kilvan
olivat kumpikin kasvaneet. Puu tavoitteli kirkontornin korkeutta,
isännän hiukset lumen valkeutta.
Kerrottiin isännän istuttaman puun toisinaan salaperäisesti
humisevan, humisevan, vaikka ei tuulen henkäystäkään tuntunut, ja
silloin tiedettiin aina jonkun vahingon tai ikävyyden taloa
kohtaavan…
Ei kukaan talonväestä ollut niin herkkä tuota ennustavaa huminaa
kuulemaan ja kuuntelemaan kuin Hilja — eikä sen
todenperäisyydelle muut niin huomaavaisia ja hienotunteisiakaan
olleet. Jo lapsena oli tuo tarina hänen mieleensä painunut. Silloin oli

hän kuvitellut talon hyvän haltijan asuvan kuusen vihreiden oksien
suojassa — melkeinpä eli se tunne hänessä vielä nytkin…
Kuluvan syksyn sumuisina, puolihämärinä päivinä ja pilkkopimeinä
iltoina oli hän jälleen kuullut ennustavan äänen. Mutta
voimakkaampana kuin koskaan ennen. Ja hän tiesikin mitä se
merkitsi: »Kissojen» tuloa se ennusti… niiden kynsistä varoitteli…
Isä oli uhannut myydä talonsa yhtiölle. Hänen mielestään
Mannebergin epämieluinen naapuruus oli tuonut jo tarpeeksi
ikävyyksiä — eikä niistä olleet muutkaan pelastuneet kuin sen yhden
ainoan tien kautta. Hiljan kiihkeitä, epääviä pyyntöjä ei hän ottanut
kuullakseenkaan.
Eräänä sumuisena syyspäivänä liekehti levottomuus kuin loimuava
takkavalkea Hiljan rinnassa. Hän oli nähnyt Mannebergin
kaksivaljakon kylätiellä ja pelkäsi joka hetki sen ilmestyvän
kotiportillekin.
Hämärtäessä saapui isä työmaalta, pyyhki huolellisesti kirveensä
terän uunin loukossa riippuvaan riepuun ja asetti sen sitten tuvan
oven päälle kirveshäkkiin.
— Huhhuh sitä kosteutta… urahti hän nyreästi, viskaten harmaan,
syksyisten härmähelmien kostuttaman huopahattunsa huolettomasti
penkin nurkkaan ja istahti illalliselle.
— Viimeisiä syystöitäpä tässä tehtäneen…
Hiljan sydän löi rauhattomasti.
— Peloittaa kuulla puhuttavankaan siitä asiasta, virkkoi hän
kolkosti.

— Mitä sitten, jos todellakin niin tapahtuisi…
— Vieläkö sinä sitä sitten epäilet?
— Vielä viimeiseen asti. Ponnistaisin minä vaikka yli voimien!
Pistäessään suuren, kulmikkaan leipäpalasen suuhunsa nauroi isä
katkerasti.
— Se on hyvin sinun näköistäsi… Niin kai tekisi moni muukin, joka
ei älyäisi ajatella eilistään etemmäksi. Olisi edes Juho pysynyt
kotona, isänsä apuna, niin olisi tässä paremmin voitu puoliamme
pitää. Mutta siellä sekin pysyy minne meni — joutava.
Hiljan kasvot kirkastuivat hetkiseksi.
— Isä! Luovutko aiheestasi, jos Juho lupaa tulla takaisin?
Isän ainoa vastaus oli karkea kirous.
Hiljan katse painui masentuneena alas. Noustuaan jälleen kiintyi
se äitiin kuin apua anoen. Mutta äiti söi levollisena, ääneti. Hänelle
oli aina ollutkin ihmeen helppoa taipua isän tahdon mukaan, olipa
sitten kysymyksessä oleva asia vaikka hyvinkin vastenmielinen
hänelle itselleen… Ei tytär häneltä nytkään apua odottanut. Yksi
ainoa yhtyvä sana äidin huulilta olisi vain tuntunut lievittävän voiteen
pisaralta hänen epätoivonsa kirveltävässä haavassa.
— Niin… isähän sen asian paraiten ymmärtää.
Se oli äidin amen.
— Joko se nyt sitten on aivan päätetty asia — isä?

— Jo. Näinä päivinä käyn kapteenin puheilla.
Hilja karkasi ovesta ulos.
Ulkona oli hämärä muuttunut pimeydeksi, ja pimeyden läpi
vihmoivat usvan inhat vyyhdet. Ne kietoutuivat kuin
hämähäkinverkot Hiljan kasvoihin hänen painunein mielin astuessaan
pitkin märkää rinnepolkua, joka alastoman koivikon läpi vei alas
kylän sivutse juoksevalle vähävetiselle joelle. Joen poukamassa
seisoi matala, mustaotsainen paja. Sen avoimesta ovesta juoksi
leveä valojuova harmaankeltaiselle nurmikolle, ja taonnan
kirkasääninen kalke kajahti tutunomaisesti ympäristössä.
— Hyvää iltaa!
— Ka, iltaa!
Suuri vasara, joka ahkerin lyönnein oli noussut ja iskenyt, vaipui
alasimelle, ja alasimen terässävelet sammuivat hiljaa jäähtyvän
raudan kanssa.
— Nyt se on päätetty asia… sanoi Hilja matalalla äänellä nojaten
kyynäspäänsä palkeen silkinsileän käsitangon varaan, joka painui
vitkaan alaspäin pannen hiilet hiljaisella ritinällä ahjossa hehkumaan.
Nuoren sepän otsa rypistyi, katse tuimeni, ja ajatuksissaan hän
nosti vasaran olkansa tasalle. Kun se jälleen putosi alasimelle,
vavahti pajan maapermanto, ja orren hiiltyneestä hirrestä karahti
kevyt karsta punaiseen ahjoon.
— Sitä jo odotinkin.
— Yksi pelastuksen oljenkorsi on ehkä vielä olemassa.

— Mikä sitten?
— Se, että tulet takaisin kotiin ja pysyt siellä.
— Takaisin kotiin… kertasi seppä, ja hänen otsansa rypistyi
uudelleen. — Olisikohan tuosta mitään apua…
— Koeta, Juho, koeta! rukoili Hilja. — Tiedän kyllä kuinka tämä
paja sinua kiehtoo, varsinkin sen jälkeen, kun uhkamielin kotoa
läksit, mutta koeta sittenkin, koeta!
— Ja nytkö luulisit meidän paremmin sopeutuvan isän kanssa?
— En tiedä. Tokko juuri paremminkaan… Mutta ajattele kotia, äitiä
— ajattele toki minuakin!
— Hm…
Juhon huulille nousi hyväntahtoinen hymy, leuka painui
vasaranvarren varaan, ja silmiin syttyi syvämietteinen ilme.
Myönny… Myönny… Sinun täytyy… täytyy! kertasi Hilja
ajatuksissaan. Näkymättömien teiden kautta tahtoi hän siirtää oman
halunsa voimakkaan toisinnon veljensä myötätuntoiseen sieluun.
— Sinun täytyy — täytyy!
Juhon katse oli kiintynyt suureen tahkoon, joka seisoi jykevällä
telineellänsä ovensuun nurkassa. Sen harmaan, täyteläisen kyljen
alle oli ruostuneilla rautavitjoilla kytketty yhdestä puusta koverrettu
kaukalo, jonka pohjassa ruosteenkiiltoinen, seissut vesi kiilui.
Sisäisen taistelun väreet näki Hilja veljensä kasvoilla.

— Sinulle on tämä paja kyllä kotitaloa rakkaampi…
— Hm.
— Mutta et sinä sittenkään tahtoisi nähdä Hietalaa »Kissojen»
kynsissä — et!
— Ehkä en.
— Kun siinä, missä nyt Korpiveräjän hongikko humisee, näkisit
vain kantoja… kun kotitalo seisoisi ammottavin ovin ja akkunoin
niinkuin Laukon torpat…
— Niin…
— Ja kun kaiken ikäsi tietäisit minun lapsuudenkotia kaipaavan…
— Jaa… jaa…
Sitä sananvaihtoa seurasi pitkä vaitiolo. Sen kuluessa lisäsi Juho
hiiliä ahjoon, työnsi keskentekoisen työnsä hiilten alle ja alkoi lietsoa.
— Lupaatko, Juho?
— Anna kun mietin huomiseen.
Toivon tuoma kevennys mielessään lähti Hilja paluumatkalle.
Kenties ei
Korpiveräjän honkien tuomio ollutkaan vielä langetettu… kenties ei
Hietalaa, rakasta kotitaloa, kohtaakaan Laukonläänin kohtalo…
Kenties… kenties…
Toivon valkeilla siivillä on niin hyvä lentää!

Mutta Juhon huominen vastaus oli kieltävä.
Hän sanoi miettineensä asiaa läpi yön ja tulleensa siihen
päätökseen, ettei hänen kotiintulostaan kuitenkaan ratkaisevaa apua
olisi. Se voisi vain siirtää kaupanteon tuonnemmaksi. Siksi hyvin
sanoi hän tuntevansa isän mielen.
— Ethän sentään vihastune minuun ikipäiviksi, Hilja?
Ei, Hiljan sielussa vallitsi vain yksi tunne: tuska. Ja se humisi siellä
aivan samalla tavalla kuin kotikuusi ikävyyksiä ennustaessaan.
— Huomenna menee isä yhtiön konttoriin … Kun hän sieltä palaa,
on meillä vain muutama kurja, haihtuva seteli kaiken sen pysyväisen
sijasta, mitä Hietala niin auliisti, lämminkätisesti meille antoi…
Suru ei sallinut hänen nukkua sinä yönä.
Se yö oli tyyni, musta ja usvainen.
Kun hän seuraavana aamuna astui ulos kamaristaan, kohtasi hän
oudon näyn. Isän istuttama, komea kuusi, jonka latva tavoitteli
kirkontornin korkeutta, makasi taittuneena kuihtuneella nurmella.
Oliko sen jättiläisrunko saanut näkymättömän iskun… Ennustiko se
kaatumisellaankin jotakin…
Kummallisin aavistuksin riensi Hilja tupaan isää ja äitiä tapaamaan.
Mutta äiti tuli jo ovessa häntä vastaan kalvakkana, silmät itkusta
punaisina.
Ja sanoi nyyhkyttäen:
— Isä on kuollut äkkiä.

Molemmin käsin tarttui Hilja ohimoihinsa, tieto oli tehnyt hänet
aivan sanattomaksi. Mutta varmana, horjahtamattomana kiteytyi
ajatus yhden ainoan pisteen ympärille:
Ei Hietalaa »Kissoille» — ei millään ehdolla!
POHJAVIRTOJA
<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
<<<<<37
Puisto, joka muodosti pikkukaupungin sydämen, vihannoi vasta
puhjenneen kevään herkin värein. Talot sen reunoilla madaltuivat
vaatimattomuuttaan vanhoissa, vaalahtaneissa maalauksissaan.
Puiston ainoalla penkillä, jonka toiseen päähän leikkivät lapset
olivat keränneet hietaa ja kiviä, istui nuorehko mies, puvusta ja
ulkomuodosta päättäen yksi niistä, jotka syystä tai toisesta lausuvat
jäähyväiset ihmisyydelle ja hyville päiville ja astuvat sille elämän
varjopolulle, jonka kulkijoiden yhteinen nimitys on renttu.
Rentun hartiat olivat velton väsähtäneet ja katse tylsempi kaiken
maailman välinpitämättömyyttä. Kevään ihanuudella ei ollut mitään
sanottavaa hänelle. Hänen olemuksestaan huokui äärimmäinen
tyhjyys.
Pieni, valkopukuinen tyttö juoksi tanssiaskelin pitkin käytävää
hypitellen kimmahtelevaa kumipalloa edellänsä. Leikki miellytti lasta,
ja hän antoi yhä kovemman ja kovemman töytäyksen pallollensa,

kunnes se viimein töksähti penkin selustaa vasten ja siitä viistoon
penkillä-istujan olkapäähän.
Kaksi katsetta, anteeksipyytävän hämmästynyt ja
välinpitämättömän tylsä, kohtasivat toisensa.
— Antakaa anteeksi, sanoi lapsi reippaasti. — Se sattui
vahingossa.
Mahtoiko renttu tajutakaan anteeksipyyntöä. Hän tuijotti hetkisen
tyttöön, oikaisihe, näytti elostuvan ja virkkoi käheällä, salaista
ihastusta tulkitsevalla äänellä:
— Hilja Lilja…
— Mistä te tiedätte kuka minä olen, sanoi lapsi hiukan nyrpeästi
vetäytyen edemmäksi.
— Minä aavistan… Äitinnekin on Hilja Lilja. Uskallan olla varma
siitä.
Tuopa nyt oli merkillinen muukalainen! Sen kaikkitietäväisyys
suututti pikkutyttöä, mutta se, että häntä oli teititelty kuten
aikaihmistä eikä sinuteltu kuten tavallisesti lapsia, asettautui
vastapainoksi vaakaan. Ja heitettyään pallonsa korkealle ilmaan ja
otettuaan sen jälleen käsiinsä sanoi hän hieman ylvästelyn:
— Niin onkin. Ja tuossa hän jo tuleekin.
Renttu loi säpsähtäen aran katseen osoitettuun suuntaan,
kohottautuen hiukan kuin paetakseen, mutta vetäytyi siinä samassa
penkkinsä nurkkaukseen kuten satutettu etana kuoreensa.

— Äiti, äiti! kuului tyttösen reipas ääni. — Tuo vieras, joka istuu
tuossa, tiesi, että minun nimeni on Hilja Lilja ja että…
Nopealla, vaistomaisella liikkeellä vetäisi äiti tytön vierelleen.
Minkälaisen maankiertäjän kanssa hänen lapsensa oli puhellutkaan…
mikä vaara oli saattanut vaania häntä!
Ja rentun osaksi tuli tuikea, epäluuloinen, kaikkea mahdollista
pahaa aavisteleva katse. Tuollainen ränsistynyt, epäilyttävä ihminen,
kuka tiesi minkälaisten rikollisuuksien okaat hänessä piilivät…
Sisäinen mielenliikutus pani miehen kalpeat kasvot
vavahtelemaan, ja syyttävän katseen säilä tunkeutui tuomiona hänen
väsähtäneen sielunsa sopukkoihin. Hän kärsi ja nautti tuosta
katseesta, hän halusi vaipua maan uumeniin sen edessä… eikä
kuitenkaan tuntenut voivansa irroittautua siitä…
Nopeasti hän nousi seisaalleen ja nostaen pahanpäiväistä
hattureuhkaansa teki syvän, kunnioittavan kumarruksen, joka
epäämättömästi paljasti sivistyneen miehen.
— Suokaa anteeksi, arvoisa rouva, mutta ken kerran tunsi teidät,
saattoi helposti sanoa, että tämä pieni, herttainen tyttö on teidän
lapsenne.
Äärimmäisellä voiman ponnistuksella sai hän enemmittä
takaltamisitta sanotuksi sanansa ja näytti itsekin rohkaistuvan
voitostaan. Nuoren rouvan katseen tuikeus muuttui hämmästykseksi,
hän tapaili sanoja, mutta ei saanut niitä äännetyksi, ne takertuivat
hänen kurkkuunsa.
Viimein hän virkkoi:

— On hirveätä kuvitella, että te olisitte entinen Jaakko Sorma.
— Valitettavasti olen juuri hän… vaikkakin nykyinen muotoni eroaa
näin suuresti entisestä… vastasi mies katkerasti hymyillen.
— Kuinka se on mahdollista! Olittehan toivorikas,
eteenpäinpyrkivä…
Pieni Hilja Lilja oli tarttunut ison Hilja Liljan käsivarteen ja seurasi
silmää räpäyttämättä alkanutta keskustelua. Se oli jotakin erikoista
hänen vilkkaalle, herkälle lapsensielullensa.
— Minun toivorikkauteni eli niin ja näin ja eteenpäinpyrkimiseni
jotenkin päällisinpuolista. Sellaista kuin monen muunkin niistä
»hienoista», jotka muodostivat silloisen seurapiirimme! Te olitte
kokonaan toista maata siihenkin aikaan. Teillä oli todellisia
harrastuksia ja sisällistä suuruutta, vaikka te aina pyritte peittämään
kaiken vaatimattomuutenne kuoreen.
— Oo-o! Ellen aivan väärin muista, oli teidänkin mielipiteenne
kokolailla toinen siihen aikaan. Ainakin se, minkä ilmoille toitte.
Konsa minä taisin esiintyäkään hienostoksi itseänsä nimittävien
mielen mukaan… ja mehän, yksinkertaisen kodin tyttärinä, olimme
siihen jo sinänsä kysymyksenalaisia. Muistan aivan hyvin…
— Ja säilyttäkää aina muistissanne se, mitä nyt aiotte ehkä sanoa,
keskeytti vieras. — Se on paras ja kyllin kova rangaistus monelle
turhamieliselle… niin, kaikille niille, jotka olivat olevinaan niin ylen
suuria huvitteluhaluisessa sivistyksessään… Mihin he ovat päässeet?
Missä on heidän aikaansaannoksensa? Tosin minä kaikkein
viimeisimmäksi kelpaan heidänkään tuomarikseen, enää —
ulkoasusta päättäen. Mutta olkaa vakuutettu, arvoisa rouva, että

kurjimpienkin syrjäpolkujen vaeltaja voi saavuttaa jonkinlaista
sisällistä kypsyyttä ja arvostelukykyä ainakin menneeseen aikaan
nähden… ainakin menneeseen.
Rappiolle joutuneen miehen ääni oli saanut vähän eloa ja
kantavuutta. Hänestä oli puolittain kadonnut äskeinen tylsä
tuijottaja. Mutta yhtäkkiä hän lopetti puheensa ja kuultuaan
lähenevien askelten ääniä loi arastellen katseen ympärilleen kuin
tuntien omantunnonvaivoja siitä, että oli tunkeutunut puhelemaan
sivistyneen ja arvossapidetyn henkilön kanssa, vieläpä naisen.
Hänellä oli raskaita muistoja aikaisemmista samansuuntaisista
yrityksistään. Kuinka monesti hänet olikaan osoitettu ovelle …
hävetty hänen tervehdystään… kartettu katsettaan… jo silloinkin,
muutamia vuosia aikaisemmin, kun hän vielä jotenkuten kävi
paremmastakin ihmisestä…
Hilja Lilja muisti entiseltään hänen luonteensa eri vivahduksia sen
verran, että hänelle kävi mahdolliseksi arvata mitä miehen mielessä
liikkui. Hän ei ollut huomaavinaan mitään ja vastattuaan
ohikulkijoiden tervehdyksiin virkkoi hän osaaottaen:
— En tahtoisi kosketella arkaa kohtaa, mutta en voi myöskään olla
kysymättä, mikä saattoi teidät oikealta uraltanne tällaiseen
asemaan?
Mies loi vaieten katseensa alas, tuijottaen hetkisen käytävän
puolikuivuneeseen hiekkaan. Sillä aikaa kohottautui tyttönen
varpailleen ja kuiskasi äitinsä korvaan: minä luulen, että häntä
itkettää…
— Niinpä niin, arvoisa rouva, se on pitkä, mutkikas historia, jonka
kuitenkin voi lyhyestikin kertoa. Monestakin syystä, niin sisällisistä

kuin ulkonaisistakin, on paras käyttää viimeksimainittua muotoa…
Tiedättehän te ehkä minkälainen osuus minulla oli lankoni Fjalar
Almin kavallukseen? Se oli hirveä ja tyhmä teko, mutta sääli
sisartani, hänen vaimoansa, kohtaan sai minut sotkeutumaan peliin…
Luultiin että onnistuttaisiin. Ei, milloin sellaiset onnistuvat. Meidät
kumpaisetkin eroitettiin viroistamme, minut pahemmin merkittynä
miehenä. No, eikö sellaiselta pinnalta ole helppo luisua alaspäin?
Hyvää kyytiä se on käynytkin…
Räikeä ilme, jossa itku ja ylimielinen iva pyrkivät yhtymään, valahti
hetkiseksi puhujan kasvoille, ja kuuntelijoiden, niin äidin kuin
tyttärenkin, huulilta pujahti salainen huokaus.
— On synti synnin päälle antautua sittenkin alenemaan…
Olisittehan voinut saada kunniallista työtä jollakin muulla alalla.
— Työtä! Se ei ollut niinkään helppoa ja,— kun ihmisen sisässä
pohjavirta on saanut onnettomuuden kautta käänteen, käy kaikki
uskomattoman toivottomaksi.
— Pohjavirta… virkkoi rouva mietteissään. — Sehän on vanha,
tuttu sana entisiltä ajoilta. Te ja ne toiset viljelitte sitä usein. Sen
sanan avulla voi hyvin ymmärtää tunteenne. Mutta teidän täytyy
koettaa nousta — on hirveätä, jos ihminen ei edes koeta!
— Minä koetin, vaikka turhaan. Tahtoisitteko tietää mihin aikoihin
vakavimmin?
— Onko siinä ajassa sitten jotakin merkitsevää?
— Siinä? On minulle — teillekin. Siihen aikaan te julkaisitte
ensimäisen runokokoelmanne. Tietäisitte, minkä virkistyksen se toi

minullekin.
Hilja Lilja hymähti surumielisesti.
— Se mahtoi olla kovin lyhytaikainen virkistys. Mutta tehän
mainitsitte äsken pohjavirran osallisuudesta, tai paremminkin sen
suunnasta, ihmisen pyrkimyksiin —
— Niin juuri, keskeytti rappiolle joutunut. — Tahdoin juuri sanoa,
että teidän sielullinen pohjavirtanne on käynyt aina,
käännähtämättä, suurta, ihanaa merta kohti. Sen näki jo niinä
entisinä aikoina. Ja kun sitten luki teidän »Laulajan tervehdyksenne»
terveyttä hehkuvia rivejä, tunsi tunnossaan, ettei niiden läpi kulkeva
pohjavirta uuvu konsanaan, ei mutaan eikä lokaan.
— Kova kamppailu siinä varmaan syntyisi, lausui Hilja Lilja
puoliääneen, ja hänen rauhallinen katseensa harhaili hetkisen
puiston etäisimpien puiden lehteen-puhkeavilla oksilla. — Ja
sentähden on niin kovin raskasta nähdä muidenkaan vaipuvan,
ventovieraittenkaan. Ei —! hän tempautui mietteistään. — Enkö voi
tehdä mitään hyväksenne? Eikö minkäänlainen työ houkuttele teitä
puoleensa ja tarjoudu tueksenne?
Renttu heitti toivottoman katseen pukimiinsa ja hymähti. Se
hymähdys tahtoi kysyä, eikö kunnioitettava rouva nähnyt kaikkien
nousemisen mahdollisuuksienkin jo häipyneen?
Ei, ei hän nähnyt. Hänen uskonsa oli niin sokea lapsellisessa
ehjyydessään ja voimakkuudessaan.
— Minä puhun teistä miehelleni ja koetan hänen avullaan hankkia
teille työtä. Se kiinnittäisi teidät jälleen elämään, hyviin tapoihin,

toivoon. Voihan pohjavirta kääntyä vielä kerran.
— Ei minunlaiseni miehen povessa… eikä niiden kokemusten
jälkeen, joita minulla on… Auttava kätenne ojentuu liian myöhään,
mutta ennemminhän se ei ole voinutkaan ojentua. Nyt voin vain
hartaimmin kiittää ja merkitä hyvyytenne, jaloutenne täytyy minun
sanoa, elämäni viimeiseksi auringonsäteeksi.
Hänen äänensä värjyi liikutuksesta.
— Jospa teillä olisi puoleksikaan hyvää tahtoa noiden kauniiden
sanojen sijasta, niin olisi paljon voitettu. Tulkaa kuitenkin, teidän on
helppo löytää asuntomme ja mieheni avulla saatte aivan varmaan
työtä ja kunniallisen toimeentulon. Te tarvitsette vain tahtoa
parastanne!
Hilja Lilja tarttui pikku tyttösensä käteen ja nyökkäsi rohkaisevasti
vanhalle, onnettomalle tuttavalleen.
— Ja jos ette tule, kun isä ja äiti tahtovat teidän omaa parastanne,
virkahti tyttönen hilpeästi, seuraten äitiänsä, — niin… niin viskaan
teitä vielä kerran pallollani!
* * * * *
Renttu ei tullut konsanaan.
Muutamana aamuna, pari kolme päivää sen jälkeen, hänet
tavattiin kuolleena kaupungin pahanpäiväisimmän vieraskodin
komerosta.
Nuhrautunut, pahoin kulunut kirja, jonka kannesta vaivoin
saatettiin lukea sanat: »Laulajan tervehdys», löydettiin jakkaralta

Welcome to our website – the ideal destination for book lovers and
knowledge seekers. With a mission to inspire endlessly, we offer a
vast collection of books, ranging from classic literary works to
specialized publications, self-development books, and children's
literature. Each book is a new journey of discovery, expanding
knowledge and enriching the soul of the reade
Our website is not just a platform for buying books, but a bridge
connecting readers to the timeless values of culture and wisdom. With
an elegant, user-friendly interface and an intelligent search system,
we are committed to providing a quick and convenient shopping
experience. Additionally, our special promotions and home delivery
services ensure that you save time and fully enjoy the joy of reading.
Let us accompany you on the journey of exploring knowledge and
personal growth!
ebookfinal.com

Unsolved Problems in Mathematical Systems and Control Theory Vincent D. Blondel (Editor)

About This Presentation

Slide Content

Tags

Categories

Download

Quick Actions

Statistics

Related Slideshows

Unsolved Problems in Mathematical Systems and Control Theory Vincent D. Blondel (Editor)

About This Presentation

Slide Content

Slide 1

Slide 2

Slide 3

Slide 5

Slide 6

Slide 7

Slide 8

Slide 9

Slide 10

Slide 11

Slide 12

Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18

Slide 19

Slide 20

Slide 21

Slide 22

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28

Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35

Slide 36

Slide 37

Slide 38

Slide 39

Slide 40

Slide 41

Slide 42

Slide 43

Slide 44

Slide 45

Slide 46

Slide 47

Slide 48

Slide 49

Slide 50

Slide 51

Slide 52

Slide 53

Slide 54

Slide 55

Slide 56

Slide 57

Slide 58

Slide 59

Slide 60

Slide 61

Slide 62

Slide 63

Slide 64

Slide 65

Slide 66

Slide 67

Slide 68

Slide 69

Slide 70

Slide 71

Slide 72

Slide 73

Slide 74

Slide 75

Slide 76

Slide 77

Tags