VALORES PROPIOS Y VECTORrES PROPIOS.pptx

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrerer

1. VALORES PROPIOS Y VECTORES PROPIOS Integrantes: Jose Roman Centeno Gutierrez Wascar Ronaldo Quintero Sanchez Grupo: 2E1-CIV-S Materia: Matematica IV Definición Aplicaciones Teoremas

2. DEFINICIONES Los valores propios y vectores propios son conceptos fundamentales del Álgebra Lineal que permiten estudiar cómo una matriz o una transformación lineal actúa sobre un espacio vectorial. Un valor propio es un número que indica el factor de escala aplicado a un vector, mientras que un vector propio es aquel que no cambia de dirección al ser transformado, únicamente se multiplica por su valor propio. Estos conceptos no solo facilitan el estudio de matrices y sistemas lineales, sino que también tienen aplicaciones prácticas en ingeniería, física, economía, informática y estadística. Su estudio permite simplificar cálculos, diagonalizar matrices, entender modos de vibración, optimizar algoritmos y modelar fenómenos del mundo real. Un eigenvalor es un número que indica cuánto se estira o encoge un vector cuando una matriz lo multiplica. Un eigenvector es un vector que, al ser multiplicado por una matriz, no cambia su dirección, solo cambia su magnitud (se estira, encoge o invierte). Eigen (propio en alemán). DEFINICION DE FORMULA

3. CLASIFICACION VALORES PROPIOS REALES Y COMPLEJOS Reales: Cuando el valor propio es un número real. Complejos: Cuando el valor propio tiene una parte imaginaria, común en matrices con determinantes negativos o rotaciones. VECTORES PROPIOS ASOCIADOS A VALORES PROPIOS DISTINTOS Cada valor propio puede tener uno o varios vectores propios asociados. MULTIPLICIDAD DE VALORES PROPIOS Algebraica: Número de veces que un valor propio se repite como raíz de la ecuación característica. Geométrica: Número de vectores propios linealmente independientes asociados a un valor propio. VALORES PROPIOS POSITIVOS, NEGATIVOS Y NULOS Positivos: Indican que el vector propio mantiene su dirección. Negativos: Invierten la dirección del vector propio. Cero: Indican que el vector propio se colapsa al origen (muy útil en análisis de rangos y determinantes).

4. IMPORTANCIA E UTILIDAD Permiten analizar cómo actúan las matrices y las transformaciones lineales sobre los vectores de un espacio. Facilitan la diagonalización de matrices, simplificando cálculos complejos y resolviendo sistemas de ecuaciones más fácilmente. Son fundamentales en ingeniería, para estudiar modos de vibración y estabilidad de estructuras. En informática y estadística, se usan en algoritmos de reducción de datos, como el Análisis de Componentes Principales (PCA). En física, ayudan a entender fenómenos de resonancia y sistemas dinámicos. Permiten identificar propiedades importantes de matrices, como su rango, determinante y comportamiento frente a transformaciones sucesivas.

5. INTERPRETACION GEOMETRICA Y FISICA INTERPRETACION GEOMETRICA Imagina Que Tienes Una Transformación Lineal (Una Matriz Que Estira, Rota O Deforma Un Espacio). Normalmente, Un Vector Cambia De Dirección Y Magnitud Cuando Aplicas Esa Transformación. Pero Existen Vectores Especiales (Los Vectores Propios) Que, Al Aplicarles La Transformación, No Cambian De Dirección, Solo Cambian Su Longitud (Se Escalan). Ese Factor De Escala Es El Valor Propio. EJEMPLO EN 2D: Piensa En Un Cuadrado Que Lo Transformas En Un Rectángulo Estirándolo. La Mayoría De Los Vectores Cambian De Dirección. Pero Algunos Vectores (Eigenvectores) Quedan Alineados En La Misma Dirección Y Solo Se Hacen Más Largos O Cortos Según Su Eigenvalor. En Física E Ingeniería, Aparecen En Muchos Fenómenos: Vibraciones Mecánicas (Estructuras, Puentes, Edificios, Autos): Cada Modo De Vibración De Una Estructura Corresponde A Un Vector Propio. La Frecuencia Natural De Vibración Es El Valor Propio. Deformaciones En Materiales: Los Eigenvectores Indican Las Direcciones Principales De Esfuerzo. Los Eigenvalores Indican La Magnitud De Esos Esfuerzos. INTERPRETACION FISICA INTERPRETACION GEOMETRICA Y FISICA

6. DEFINICIÓN DE VECTOR PROPIO Y VALOR PROPIO ECUACIÓN CARACTERÍSTICA CÁLCULO DE VECTORES PROPIOS DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES DETERMINANTE EN FUNCIÓN DE LOS VALORES PROPIOS TRAZA DE LA MATRIZ Y VALORES PROPIOS MULTIPLICIDAD ALGEBRAICA Y GEOMÉTRICA METODOS PARA CALCULAR VALORES PROPIOS Y VECTORES PROPIOS

7. POTENCIAS DE MATRICES USANDO VALORES PROPIOS MATRIZ INVERSA USANDO VALORES PROPIOS MATRICES SIMÉTRICAS (PROPIEDAD ESPECIAL) METODOS PARA CALCULAR VALORES PROPIOS Y VECTORES PROPIOS

8. EJEMPLO DE EJERCICIO

9. EJEMPLO DE EJERCICIO