Variacion de funciones

Te presento un trozo de un libro, donde se tratan las variaciones de las funciones tomando en cuenta la derivada.

1. Calculo Diferencial e Integral


Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez

UNIDAD IV.
VARIACIÓN DE FUNCION
4.2. Funciones crecientes y decrecientes y su relac ión con el signo de la derivada

Una función f(x)
es creciente, o aumenta su valor a lo largo del eje X si
su derivada
es positiva, en caso de que su derivada sea negativ a es
decreciente, y la función no crece ni decrece cuand o su derivada es igual a cero.

Por ejemplo en la siguiente gráfica: Sea f(x) u
na función continua con
ecuación y=f(x), definida en un intervalo [a, b].
















¿En que posiciónes del eje X la función se considera creciente, decreciente y ninguna de las dos?

Sea f(x) una función continua en un intervalo cerra do
[a, b]
en el intervalo (a, b) abierto.
Si f’(x)>0 para toda x en [a, b]
, entonces la función f es creciente
en [a, b].

Si f’(x)<0 para toda x en [a,b]
, entonces la función f es
decreciente en [a,b].


4.2. Funciones crecientes y decrecientes y su relac ión con el signo de la derivada


VARIACIÓN DE FUNCION
ES
4.2. Funciones crecientes y decrecientes y su relac ión con el signo
es creciente, o aumenta su valor a lo largo del eje X si
es positiva, en caso de que su derivada sea negativ a es
decreciente, y la función no crece ni decrece cuand o su derivada es
na función continua con
¿En que posiciónes del eje X la función se considera creciente,
[a, b]
y derivable
, entonces la función f es creciente
, entonces la función f es












4.2. Funciones crecientes y decrecientes y su relac ión con el signo de la derivada

1

2. Calculo Diferencial e Integral


Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez

EJEMPLO 1
. Determine los intervalos abiertos donde la funció n
3 2
2
( )
3
f x x x= −
es creciente o decreciente.

Solución: Nótese que f es derivable en todos los re ales, asi que para determinar los puntos críticos derivamos e igualamo s a cero.
Como no hay p
untos donde la derivada de la función no exista
podemos concluir que los puntos críticos son: x = 0 y cuando x = 1.
De tal modo que f es creciente el los intervalos de (
-
decreciente en el intervalo (0,1)







4.2. Funciones crecientes y decrecientes y su relac ión con el signo de la derivada


. Determine los intervalos abiertos donde la funció n
Solución: Nótese que f es derivable en todos los re ales, asi que para determinar los puntos críticos derivamos e igualamo s a cero.


untos donde la derivada de la función no exista
podemos concluir que los puntos críticos son: x = 0 y cuando x = 1.


-
∞
, 0) y (1,
∞
) y

























4.2. Funciones crecientes y decrecientes y su relac ión con el signo de la derivada

2

3. Calculo Diferencial e Integral


Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez








































4.2. Funciones crecientes y decrecientes y su relac ión con el signo de la derivada


EJEMPLO 2
. Aplicación del criterio de la primera derivada.
Determinar los extremos relativos para la función En el intervalo de (0, 2
π
).

Solución: La función f(x) es continua en el determinar los puntos críticos de f en dicho interv alo hacemos f’(x) igual a cero.
1
( ) ( )
2
f x x sen x = −

1
'( ) cos( ) 0
2
f x x= − =

1
cos( ) 0
2
1
cos( )
2
5
,
3 3
x
x
x
π π
− =
=
=

Los intervalos identificados se resumen en la sigue nte tabla:










Como podrá notarse la función presenta en x = y en x = 5
π
/3 un máximo relativo.

A continuación se muestra la gráfica de la función que se ha utilizado en este ejemplo:

4.2. Funciones crecientes y decrecientes y su relac ión con el signo de la derivada

3
. Aplicación del criterio de la primera derivada.

Determinar los extremos relativos para la función
1
( ) ( )
2
f x x sen x = −

Solución: La función f(x) es continua en el
intervalo de (0, 2
π
). Para
determinar los puntos críticos de f en dicho interv alo hacemos f’(x) Los intervalos identificados se resumen en la sigue nte tabla:

Como podrá notarse la función presenta en x =
π
/3 un mínimo relativo,
A continuación se muestra la gráfica de la función que se ha utilizado

4. Calculo Diferencial e Integral 4.2. Funciones crecientes y decrecientes y su relac ión con el signo de la derivada

Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 4


















A continuación se muestra una lista de ejercicios propuestos.

5. Calculo Diferencial e Integral 4.2. Funciones crecientes y decrecientes y su relac ión con el signo de la derivada

Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 5

6. Calculo Diferencial e Integral 4.2. Funciones crecientes y decrecientes y su relac ión con el signo de la derivada

Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 6
REFERENCIAS Y FUENTES DE INFORMACIÓN:
Cortesía:


Cálculo: una variable Escrito por George Brinton Thomas
http://books.google.com.mx/books?id=AD1S4y6jumgC&lpg=PA263&dq=funciones%20crecientes%20y%20decrecientes%2C%20signo%20derivada&pg=PA263#v=onepage&q=funciones%20crecientes%20y%20decrecientes,%20signo%20derivada&f=false



Cálculo: conceptos y contextos Escrito por James Stewart
http://books.google.com.mx/books?id=6X6XSKkr8nYC&lpg=PA280&dq=funciones%20crecientes%20y%20decrecientes%2C%20signo%20derivada&pg=PA280#v=onepage&q=funciones%20crecientes%20y%20decrecientes,%20signo%20derivada&f=false



Matemáticas para administración y economía Escrito por Ernest F. Haeussle r,Richard S. Paul
http://books.google.com.mx/books?id=pj3cB8QGMgoC&lpg=PA533&dq=funciones%20crecientes%20y%20decrecientes%2C%20signo%20derivada&pg=PA532#v=onepage&q=funciones%20crecientes%20y%20decrecientes,%20signo%20derivada&f=false