VOLUME DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO-2 2 2.pptx

solidos e revolucao

1. VOLUME DE SÓLIDO DE REVOLUÇÃO Professores: Gezelda, Mara, Marli, Izabela, Olimpio , Vanessa 1

2. 2 SÓLIDO DE REVOLUÇÃO: CÁLCULO DE VOLUMES POR SECÇÃO Há problemas em que observamos que temos um sólido compreendido entre dois planos paralelos e que é conhecida a área da secção transversal obtida por um plano qualquer paralelo aos planos inicialmente dados, então o volume do sólido é dado por: Ou   Os vídeos propostos mostram o desenvolvimento dessa fórmula do volume!

3. 3 Exemplo 1: Utilizando o método da seção transversal, mostre que o volume de uma esfera é .   Note que a área da secção transversal é 𝐴(𝑥) = π(R² − 𝑥²).               y x R

4. 4 Seja definida e contínua em , cujo gráfico é a curva . Se essa curva ou a região for rotacionada em torno de um dos eixos ou em torno de uma reta qualquer, vamos obter um sólido tridimensional, chamado de sólido de revolução. Vamos obter o volume desses sólidos pelos métodos: M étodo do disco; Método das cascas cilíndricas Método do anel; Método usando a área da seção transversal. Cada método é utilizado de acordo com a função que é dada e o eixo de rotação. Existem possibilidades de calcular um mesmo volume usando métodos distintos.   VOLUME DE SÓLIDO DE REVOLUÇÃO Os vídeos propostos mostram o desenvolvimento das fórmulas do volume! Vamos resolver mais exercícios!

5. 5 SÓLIDO DE REVOLUÇÃO: O MÉTODO DO DISCO CASO 1: Sólido de revolução obtido pela rotação da região em torno do eixo 0x Note que o volume do cilindro elementar é: =   Fazendo o fatiamento do sólido no sentido vertical, a área da seção transversal é a área de um círculo. A área é dada por: Onde Assim, Usando a área da seção transversal o volume é dado por: Portanto:   Os vídeos propostos mostram o desenvolvimento dessa fórmula do volume!

6. 6 Exemplo 2: Considere a região delimitada por , , conforme o gráfico . Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada em torno do eixo .          

7. 7 SÓLIDO DE REVOLUÇÃO: O MÉTODO DO DISCO CASO 2: Sólido de revolução obtido pela rotação da região em torno do eixo 0y De modo análogo ao caso anterior pode-se então escrever:   Fazendo o fatiamento do sólido no sentido vertical, a área da seção transversal é a área de um círculo. A área é dada por: Onde Assim, Usando a área da seção transversal o volume é dado por: Portanto:   Os vídeos propostos mostram o desenvolvimento dessa fórmula do volume!

8. 8 8 Exemplo 3: Determine o volume do sólido obtido com a rotação, em torno do eixo y, da região compreendida entre o eixo y e a curva .              

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10. 10 SÓLIDO DE REVOLUÇÃO: O MÉTODO DAS CASCAS CILÍNDRICAS CASO 3: S ólido de revolução obtido pela rotação em torno do eixo , mas com a região voltada para o eixo C onsidere o problema de encontrar o volume de um sólido obtido pela rotação em torno do eixo da região delimitada por e .   Se fatiar perpendicularmente o eixo , obtém-se uma arruela. No entanto, para calcular os raios interno e externo da arruela, é necessário resolver a equação cúbica para em termos de , o que não é fácil. Para isso, existe o método das cascas cilíndricas, que é mais fácil de usar em casos como esse. Pode-se imaginar o sólido como sendo constituído por cascas cilíndricas.   Os vídeos propostos mostram o desenvolvimento dessa fórmula do volume!

11. 11 O volume de cada uma das cascas é dado por: Mas, e . Assim,   Os vídeos propostos mostram o desenvolvimento dessa fórmula do volume!

12. 12 A melhor maneira de lembrar dessa fórmula é pensar em uma casca típica, cortada e achatada como na figura abaixo, com raio , circunferência , altura e espessura ou .   Fazendo o fatiamento do sólido no sentido de descascar uma “cebola”. O volume é a soma dos volumes dos paralelepípedos com lados , e . Portanto:   Os vídeos propostos mostram o desenvolvimento dessa fórmula do volume!

13. 13 Exemplo 4: Considere a região delimitada por e . Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada em torno do eixo .   b) Verifique se o volume obtido é coerente comparando o volume encontrado com o volume de um sólido conhecido.             Considere um cilindro de raio 2 e altura , o volume é e o volume do sólido é 10,048 logo o volume é coerente.  

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15. 15 SÓLIDO DE REVOLUÇÃO: O MÉTODO DE CASCAS CILÍNDRICAS CASO 4: S ólido de revolução obtido pela rotação em torno do eixo , mas com a região voltada para o eixo A demonstração é análoga ao caso anterior, logo a expressão do volume é:   Os vídeos propostos mostram o desenvolvimento dessa fórmula do volume!

16. 16 Exemplo 5: Considere a região limitada pela curva , pelo eixo e pela reta .   a) Use o método das cascas cilíndricas para obter o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo .   b) Use o método dos discos para obter o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo . Compare o resultado com o item a.                       Observe que uma das modelagens recai no método do anel (isto é, tem que fazer a diferença de volumes). Esse exercício encontra-se resolvido no vídeo do TDE 01.

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18. 18 SÓLIDO DE REVOLUÇÃO: MÉTODO DO ANEL Se a região é uma região entre duas curvas e , de equações e , que se I nterceptam nos pontos A e B, de abscissa a e b , respectivamente. Então o volume do sólido é dado por: CASO 1: Sólido de revolução obtido pela rotação da região entre duas curvas em torno do eixo CASO 2: Sólido de revolução obtido pela rotação da região entre duas curvas em torno do eixo   Os vídeos propostos mostram o desenvolvimento dessa fórmula do volume!

19. 19 SÓLIDO DE REVOLUÇÃO: MÉTODO DO ANEL CASO 3: Sólido de revolução obtido pela rotação da região ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados Se o eixo de revolução for a reta y = L , temos: Se o eixo de revolução for a reta x = M , temos:   Os vídeos propostos mostram o desenvolvimento dessa fórmula do volume!

20. 20 Exemplo 6: A região limitada pela curva 𝑦 = 𝑥 2 + 1 e pela reta 𝑦 = −𝑥 + 3 gira em torno do eixo x para gerar um sólido. Determine o volume do sólido.             Esse exercício encontra-se resolvido no vídeo do TDE 01.

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