TP_Modelo_Poblacional_Resuelto_Analisis_Matematico.pptx

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1. Evolución Poblacional con Modelo Diferencial Informe de Análisis Matemático II Samir Madrid López

2. Planteo del problema Modelo: dP/dt = kP - m Donde: - P(t): población en el tiempo t - k: tasa neta de crecimiento (α - β) - m: tasa constante de emigración - α, β, m > 0 - k = α - β

3. Resolución de la ecuación diferencial 1. dP/dt - kP = -m 2. Factor integrante: μ(t) = e^(-kt) 3. Integramos: e^(-kt)P = (m/k)e^(-kt) + C 4. Solución: P(t) = (m/k) + (P₀ - m/k)e^(kt)

4. Condición para crecimiento exponencial P(t) = (m/k) + (P₀ - m/k)e^(kt) Para crecimiento: P₀ > m/k Entonces: El término de e^(kt) es positivo y la población crece exponencialmente.

5. Población constante o decreciente - Si P₀ = m/k → población constante - Si P₀ < m/k → población decrece La población tiende a m/k en el largo plazo

6. Aplicación: Irlanda (1847) - P₀ = 8.000.000 - k = 0.016 - m = 210.000 m/k = 210000 / 0.016 = 13.125.000 Como P₀ < m/k → población en descenso

7. Conclusiones del modelo - Modelo útil para prever evolución de población - Umbral m/k decide si crece o decrece - Aplicable a otras áreas: economía, biología, sociología

8. Consigna del Trabajo Práctico Unidad temática: Ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden Contenidos: - Primer orden, separables, homogéneas, Bernoulli - Segundo orden con coef. constantes Objetivos: - Identificar, aplicar, modelar, argumentar, presentar digitalmente

9. Preguntas del trabajo práctico 1. ¿Qué tipo de ecuación representa dP/dt = kP - m? 2. ¿Qué método se usa para resolverla y por qué? 3. ¿Cuándo crece o decrece la población según P₀? 4. ¿Qué predice el modelo para Irlanda en 1847? 5. ¿Qué utilidad y limitaciones tienen estos modelos?