04__Persamaan_Nirlanajar_dengan_Metode_Secant.pdf

Persamaan nirlanjar, atau persamaan nonlinier, merupakan salah satu konsep penting dalam matematika yang memiliki peranan besar dalam berbagai bidang ilmu. Berbeda dengan persamaan linier yang dapat dengan mudah diselesaikan dengan teknik dasar, persamaan nirlanjar menantang kita dengan sifatnya yang lebih kompleks.

Bayangkan Anda sedang melakukan penelitian tentang pertumbuhan populasi. Dalam model tersebut, Anda mungkin menghadapi persamaan kuadrat yang menggambarkan bagaimana populasi berubah seiring waktu. Misalnya, persamaan berbentuk
𝑎
𝑥
2
+
𝑏
𝑥
+
𝑐
=
0
ax
2
+bx+c=0 mencerminkan hubungan antara pertumbuhan populasi dengan faktor-faktor lain, seperti sumber daya dan tingkat kelahiran.

Persamaan nirlanjar dapat mengambil berbagai bentuk, mulai dari polinomial hingga fungsi eksponensial dan trigonometri. Misalnya, saat berusaha menemukan titik di mana fungsi sinus
sin
⁡
(
𝑥
)
=
0.5
sin(x)=0.5, Anda berhadapan dengan tantangan yang berbeda dibandingkan hanya menyelesaikan persamaan linier.

Karena banyak persamaan nirlanjar tidak dapat dipecahkan secara analitik, para ilmuwan dan insinyur sering kali beralih ke metode numerik. Metode biseksi, misalnya, melibatkan pembagian interval yang berisi akar. Dengan cara ini, kita dapat mempersempit kemungkinan solusi hingga menemukan nilai yang cukup akurat. Di sisi lain, metode Newton-Raphson menawarkan pendekatan yang lebih cepat dengan memanfaatkan turunan fungsi untuk mendekati akar dengan lebih efisien.

Dalam dunia nyata, persamaan nirlanjar muncul di berbagai bidang, mulai dari fisika yang menjelaskan gerakan benda hingga ekonomi yang memodelkan perilaku pasar. Dengan memahami dan mampu menyelesaikan persamaan-persamaan ini, kita dapat memperoleh wawasan lebih dalam tentang fenomena yang kompleks dan dinamis.

1. Persamaan Nirlanjar dengan Metode
Newton-Raphson dan Metode Secant
Kode: 123NF4567IF
Asep Saepulrohman, M.Si.
October 15, 2025

2. Pengantar Metode Newton-Raphson
Metode Newton-Raphson adalah metode numerik iteratif untuk
mencari akar dari persamaan non-linearx
Menggunakan turunan pertama
′
(x
perbaikan nilai akar.
Dikenal memiliki konvergensi yang cepat jika tebakan awal cukup
dekat dengan akar sebenarnya.
Asep Saepulrohman, M.Si. Persamaan Nirlanjar dengan Metode Newton-Raphson dan Metode SecantOctober 15, 2025

3. Penurunan rumus Newton-Raphson secara geometri
Asep Saepulrohman, M.Si. Persamaan Nirlanjar dengan Metode Newton-Raphson dan Metode SecantOctober 15, 2025

4. Penurunan rumus Newton-Raphson dengan bantuan deret
Taylor
Asep Saepulrohman, M.Si. Persamaan Nirlanjar dengan Metode Newton-Raphson dan Metode SecantOctober 15, 2025

5. Ide Dasar
Persamaan Garis Singgung
yx n) +
′
(xn)(x n)
Menentukan Titik Potong dengan Sumbu-x
Dengan
xn1= n−
fxn)
f
′
(xn)
Rumus ini digunakan secara iteratif untuk memperbaiki nilai hampiran
akar.
Asep Saepulrohman, M.Si. Persamaan Nirlanjar dengan Metode Newton-Raphson dan Metode SecantOctober 15, 2025

6. Langkah-langkah Metode Newton-Raphson
1
Tentukan fungsix
′
(x.
2
Pilih tebakan awal 0yang mendekati akar sebenarnya.
3
Gunakan rumus:
xn1= n−
fxn)
f
′
(xn)
4
Ulangi hingga memenuhi kriteria konvergensi:
|xn1−n|fx n1)|
Asep Saepulrohman, M.Si. Persamaan Nirlanjar dengan Metode Newton-Raphson dan Metode SecantOctober 15, 2025

7. Contoh Soal
Cari akar dari:
fx
3
−
dengan tebakan awal 0=.5.
Turunan Fungsi
f
′
(xx
2
−
Asep Saepulrohman, M.Si. Persamaan Nirlanjar dengan Metode Newton-Raphson dan Metode SecantOctober 15, 2025

8. Proses Iterasi
Iterasi 1
f1.5) =0.125,
′
(1.5) =.
x1=.5
−0.125
5.75
=.5217
Iterasi 2
f1.5217) =.0021,
′
(1.5217) =.948
x2=.5217
0.0021
5.948
=.5214
x.521
Asep Saepulrohman, M.Si. Persamaan Nirlanjar dengan Metode Newton-Raphson dan Metode SecantOctober 15, 2025

9. Masalah yang Diberikan
Cari akar dari:
fx
3
−
dengan tebakan awal:
x0=.5
Turunan Fungsi
f
′
(xx
2
−
Asep Saepulrohman, M.Si. Persamaan Nirlanjar dengan Metode Newton-Raphson dan Metode SecantOctober 15, 2025

10. Pembahasan
Asep Saepulrohman, M.Si. Persamaan Nirlanjar dengan Metode Newton-Raphson dan Metode SecantOctober 15, 2025

11. Pembahasan
Langkah 3: Lakukan Iterasi
Asep Saepulrohman, M.Si. Persamaan Nirlanjar dengan Metode Newton-Raphson dan Metode SecantOctober 15, 2025

12. Kelebihan dan Kekurangan
Kelebihan
Konvergensi cepat (orde dua).
Hanya memerlukan satu
tebakan awal.
Cocok untuk fungsi yang halus
dan mudah diturunkan.
Kekurangan
Perlu turunan fungsi
′
(x.
Bisa gagal jika
′
(x
akar ganda.
Tidak selalu konvergen bila
tebakan awal jauh dari akar.
Asep Saepulrohman, M.Si. Persamaan Nirlanjar dengan Metode Newton-Raphson dan Metode SecantOctober 15, 2025

13. Pengertian Metode Secant
Definisi
Metode Secant adalah salah satu metode numerik untuk mencari akar
persamaan non-linearx
Newton-Raphson, tetapi tidak memerlukan turunan fungsi secara eksplisit.
Sebagai gantinya, metode Secant mendekati turunan dengan selisih dua
titik terakhir. dengan cara membagi dua interval secara berulang.
Metode Secant adalah metode numerik untuk mencari akar
persamaan non-linearx
Metode ini mirip dengan Newton-Raphson, tetapi
turunan fungsi.
Turunan fungsi diganti dengan pendekatan menggunakan dua titik
terakhir (garis secant).
Asep Saepulrohman, M.Si. Persamaan Nirlanjar dengan Metode Newton-Raphson dan Metode SecantOctober 15, 2025

14. Gambaran Metode Secant
Asep Saepulrohman, M.Si. Persamaan Nirlanjar dengan Metode Newton-Raphson dan Metode SecantOctober 15, 2025

15. Ide Dasar
Persamaan Garis Secant
fxn)x n1)
xn−n1
=
fxn)
xn1−n
Rumus Iteratif
xn1= n−x n)
xn−n1
fxn)x n1)
Asep Saepulrohman, M.Si. Persamaan Nirlanjar dengan Metode Newton-Raphson dan Metode SecantOctober 15, 2025

16. Langkah-langkah Metode Secant
1
Pilih dua tebakan awal 0dan 1.
2
Hitungx 0)x 1).
3
Gunakan rumus iteratif:
xi1= i−x i)
xi−i1
fxi)x i1)
4
Ulangi sampai:
|xi1−i|fx i1)|
Asep Saepulrohman, M.Si. Persamaan Nirlanjar dengan Metode Newton-Raphson dan Metode SecantOctober 15, 2025

17. Contoh Soal
Cari akar dari:
fx
3
−
dengan 0= 1=
Iterasi 1
f1) =2,2) =
x2=
2
4−2)
=.3333
Iterasi 2
f1.3333) =0.9629
x3=.3333−0.9629)
1.3333
−0.9629
=.462
Asep Saepulrohman, M.Si. Persamaan Nirlanjar dengan Metode Newton-Raphson dan Metode SecantOctober 15, 2025

18. Hasil Akhir
x.521
Nilai tersebut merupakan akar hampiran dari persamaan
x
3
−
Semakin banyak iterasi, hasilnya akan semakin mendekati akar
sebenarnya.
Asep Saepulrohman, M.Si. Persamaan Nirlanjar dengan Metode Newton-Raphson dan Metode SecantOctober 15, 2025

19. Kelebihan dan Kekurangan
Kelebihan
Tidak perlu menghitung
turunan.
Konvergensi lebih cepat dari
metode Bisection.
Implementasi sederhana.
Kekurangan
Bisa gagal jika
fxn)x n1)
Tidak selalu konvergen.
Membutuhkan dua tebakan
awal.
Asep Saepulrohman, M.Si. Persamaan Nirlanjar dengan Metode Newton-Raphson dan Metode SecantOctober 15, 2025

20. Implementasi Python
Kode Python
def secant(f, x0, x1, tol=1e-6, max_iter=100):
for i in range(max_iter):
if f(x1) - f(x0) == 0:
print("Pembagi nol, metode gagal.")
return None
x2 = x1 - f(x1)*(x1 - x0)/(f(x1) - f(x0))
if abs(x2 - x1) < tol:
return x2
x0, x1 = x1, x2
return x2
f = lambda x: x**3 - x - 2
akar = secant(f, 1, 2)
print("Akar hampiran:", akar)
Asep Saepulrohman, M.Si. Persamaan Nirlanjar dengan Metode Newton-Raphson dan Metode SecantOctober 15, 2025

21. Kesimpulan
Metode Secant merupakan modifikasi dari metode Newton-Raphson
tanpa turunan.
Menggunakan dua titik awal untuk membentuk garis secant.
Efisien untuk fungsi yang sulit diturunkan.
Konvergensi cepat tetapi tidak selalu stabil.
Asep Saepulrohman, M.Si. Persamaan Nirlanjar dengan Metode Newton-Raphson dan Metode SecantOctober 15, 2025