05 inferencias logicas. matematica basica

interferencias logicas de matematica básica

1. II. IMPLICACIONES NOTABLES
En el capítulo anterior hemos citado un
conjunto de reglas equivalentes que nos
permiten transformar fórmulas; donde a
partir de una fórmula “A” encontramos otra
fórmula “B” equivalente. Sin embargo este
método resulta insuficiente de un conjunto
de premisas. Es necesario entonces
introducir leyes lógicas que nos permitan
obtener conclusiones válidas pero que no
sean equivalentes; a estas leyes también se
le llaman implicaciones lógicas; las cuales
serán expresadas en forma de regla con el
objeto de facilitar la operatividad en la
derivación.
Las implicaciones a diferencia de las
equivalencias, también pueden ser
“deducciones mediatas” porque parten de
una premisa o conjunto de premisa para
interrelacionarlas y llegar a una conclusión
válida lógicamente.
P
1
P
2
P
3
⇒concl usi ón
Es importante saber distinguir los
conceptos condicional e implicación; porque la no distinción de estos conceptos ha generado entre otros problemas, la "Paradoja de la implicación material", donde
se considera el operador “→” como “implica”
en vez de leerlo como símbolo de “si … entonces”.
Se dice que:
“A” implica a “B” cuando unidos por el
condicional, “A” como antecedente y “B”
como consecuente, la relación es válida o
mejor dicho, su esquema condicional
resulta ser tautológico.
Si “A” implica a “B” entonces A → B
representa un esquema tautológico.
Si A → B es tautológico entonces “A”
implica a “B”.
Ejemplo :
Sea :
A = p ∧ q Analicemos en las tablas de verdad
B = p ∨ q los valores matriciales de la fórmula
A → B
p q (p ∧ q) → (p ∨ q)
V V V V V
V F F V V
F V F V V
F F F V F
↑ ↑
Como vemos, el esquema condicional es
Tautológico , luego podemos decir recién que
(p∧q) implica a (p∨q) o que “A” implica a ”B”.
Este ejemplo nos muestra que no es lo
mismo el concepto condicional “Si A
entonces B” con el concepto implicación “A
implica a B”.
Cabe aclarar que si una fórmula “A” es
equivalente a una fórmula “B” entonces podemos decir que “A implica a B”
Si A ≡ B → A implica a B
Pero esto no quiere decir que si “A implica a
B” entonces “A es equivalente a B”.
Si A implica a B ⇒/ A ≡ B
Por lo tanto la relación es de inclusión y la
podemos representar como :
Equi val enci a
I mpl i caci ón
Existen dos tipos de representar una
implicación :
1.Forma vertical: Ubicamos la representación
de una premisa sobre la otra y la separamos de la conclusión mediante una línea horizontal.
1
P
2
P

n
P
C
2.Forma Horizontal: Juntamos en forma
horizontal al conjunto de premisas mediante el operador conjuntor; luego las unimos con la conclusión mediante la operación condicional.
( )
n21
ppp∧∧ → C
PRINCIPALES IMPLICACIONES O
IMPLICACIONES NOTABLES
1.M odos .- En su estructura constan de dos
premisas y una conclusión; son 4 modos diferentes validos solo para determinados conectores.
A. Ponendo Ponens (Afirmando - afirmo)
• Regla : La afirmación del antecedente,
implica la afirmación del consecuente.
• Conectores : (→, ↔)
P1 = A → B
P
2 = A
B
[(A → B) ∧ A] → B
P1 : A ↔ B
P
2 : A
B
[(A ↔ B) ∧ A] → B
P1 : A ↔ B
P
2 : B A
[(A ↔ B) ∧ B] → A
• Excepción:Cuando el conector en la primera
premisa es condicional, la afirmación del consecuente no implica la afirmación del antecedente (Falacia Formal)
P1 : A → B
P
2 : B
A FALACIA FORMAL
B)Tollendo - Tollens (Negando - Niego)
• Re
gla: La negación del consecuente, impl ica
la negación del antecedente.
• Conectores : (→ , ↔)
P1 : A → B
P
2 : - B
-A
[(A → B) ∧ - B] → - A
P1 : A ↔ B
P
2 : - B-A
[(A ↔ B) ∧ - B] → - A
P1 : A ↔ B
P
2 : - A
-B
[(A ↔ B) ∧ - A] → - B
• Excepción: Cuando el conector lógico en la
primera premisa es condicional; la negación del antecedente no implica la negación del consecuente (Falacia formal).
P1 : A → B
P
2 : - A -B FALACIA FORMAL
Nota : El Bicondicional no es excepción en las
reglas anteriores.

2. C. Ponendo - Tollens (Afirmando - Niego)
• Regla : La afirmación de una de las
variables de la primera premisa implica la
negación de la otra variable.

• Conectores : (
∨)
P
1 : A
∨ B
P
2 : A
- B
[(A
∨ B) ∧ A] → - B

P
1 : A
∨ B
P
2 : B
- A
[(A
∨ B) ∧ B] → - A

D. Tollendo - Ponens (Negando - Afirmo)
• Regla : Al negar una de las variables de
la primera premisa, concluimos en la
afirmación de la otra variable.


• Conectores : (
∨, ∨)

P
1 : A
∨ B
P
2 : - A
B

[(A
∨ B) ∧ - A] → B

P
1 : A
∨ B
P
2 : - B
A

[(A
∨ B) ∧ - B] → A

P
1 : A ∨ B
P
2 : - A
B

[(A ∨ B) ∧ - A] → B

P
1 : A ∨ B
P
2 : - B
A
[(A ∨ B) ∧ - B] → A

Nota.- No hay problema al trabajar con el
Bidisyuntor en cualquiera de las dos reglas
anteriores (C y D)



Encontrar la conclusión válida (si es que la hay)
en c/u de los siguientes casos :

1. [(-A → B) ∧ - A] →
2. [(-A → - B) ∧ B] →
3. [(A→ - B) ∧ - B] →
4. [(-A ∨ B) ∧ A] →
5. [(-A ∨ - B) ∧ B] →
6. [(A ∨ - B) ∧ A] →
7. [(A ↔ - B) ∧ - B] →
8. [(-A ↔ -B) ∧ - A] →
9. [(-A ↔ B) ∧ A] →
10. [(A ↔/- B) ∧ - B] →
11. [(- A ↔/- B) ∧ - A] →
12. [(-A ↔/B) ∧ A] →


2. Silogismo Hipotético Puro : Es una forma
de razonamiento que consta de dos
premisas (condicionales) y una conclusión.

• Regla : Las dos premisas deben tener
forma condicional. Tiene que existir un
término medio (que aparezca tanto en la
primera como en la segunda premisa).

• Conectores : (→)

P
1 : A → B
P
2 : B → C
A → C

[(A → B) ∧ (B → C)] → (A → C)

P
1 : B → A
P
2 : C → B
C → A

[(B → A) ∧ (C → B)] → (C → A)

• Excepciones : El término medio no puede
ser causa en ambas premisas, ni
tampoco ser en las dos premisas efecto.

P
1 : A → B
P
2 : C → B
A → C
FALACIA FORMAL

P
1 : B → A
P
2 : B → C
A → C FALACIA FORMAL

3. Transitividad Simétrica : Es similar al
Silogismo Hipotético Puro pero en este caso
no importa la ubicación del término medio en
las premisas.

• Regla : Las dos premisas deben tener
representación Bicondicional,

• Conector : (↔)

P
1 : A ↔ B
P
2 : B ↔ C
A ↔ C

[(A ↔ B) ∧ (B ↔ C)] → (A ↔ C)

P
1 : A ↔ B
P2 : C ↔ B
A ↔ C

[(A ↔ B) ∧ (C ↔ B)] → (A ↔C)

P
1 : B ↔ A
P
2 : B ↔ C
A ↔ C

[(B ↔ A) ∧ (B ↔ C)] → (A ↔ C)

4. Conjunción: Consta de dos premisas y una
conclusión.
• Regla : De un conjunto de premisas se
puede concluir en la conjunción de las
mismas.
• Conectores : (∧, en la conclusión)

P
1 : A
P
2 : B
A ∧ B
(A ∧ B) → (A ∧ B)
5. Simplificación: Es una deducción inmediata
porque está formada por una sola premisa y
una conclusión.

• Regla : Si se tiene como premisa una
fórmula conjuntiva podemos simplificar y
aceptar como conclusión a una de sus
variables o componentes.

• Conectores : (∧)

P
1 :
A
BA∧
(A ∧ B) → A

P
1 :
B
BA∧
(A ∧ B) → B

• Excepciones : No es posible aplicar la
simplificación cuando la premisa es una
fórmula conjuntiva.

P
1 :
A
BvA
FALACIA FORMAL
6. Adición: Deducción inmediata donde se
agrega una nueva proposición adicional:

• Regla: De una premisa se puede concluir
la disyunción de la misma con cualquier otra fórmula.

• Conectores: (v, en la conclusión)
P
1 :
BvA
A
A → (A v B)
• Excepciones: La adición en la conclusión sólo es válida con el disyuntor; mas no con el conjuntor.

P
1 :
BA
A
∧
FALACIA FORMAL














EJERCICIOS

3. 01. El área de un triángulo está en función de
sus lados y bien o también en la relación de
su base con su altura. Pero como el área del
triángulo no está en función de sus lados.
Luego :

a) El área del triángulo tampoco esta en la
relación de su base con su altura.
b) El área del triángulo en relación de su
base con su altura.
c) Es inobjetablemente falso que el área del
triángulo está en relación de su base con
altura.
d) Concluiríamos una falacia
e) N.A.

02. Solamente si el edificio es antiguo, necesita
urgentemente ser reconstruido. Sin
embargo es cierto que el edificio es una
construcción antigua. Entonces :

a) Es innegable que debe ser reconstruido
b) El edificio objetablemente debe ser
reconstruido
c) Es falso que el edificio sea antiguo
d) Cometeríamos una falacia
e) N.A.

03. Es necesario poner las cosas en claro para
que necesariamente podamos vivir en paz.
Pero como nunca pondremos las cosas en
claro. En consecuencia :

a) Es imposible vivir en paz
b) Es innegablemente falso que no podamos
vivir en paz
c) Objetablemente la paz no estará entre
nosotros
d) Todas
e) N.A.

04. Es falso que la oferta favorezca a la demanda
cuando y solo cuando los precios bajen. Pero
como los precios suben entonces:

a) La demanda favorece a la oferta
b) Es falso que la oferta favorezca a la
demanda
c) Es indudable que la oferta favorecerá a la
demanda
d) Es imposible que los precios bajen
e) N.A.

05. Dado que un conjunto es infinito en
consecuencia tiene un número ilimitado de
elementos. Pero como resulta que este
conjunto no es infinito. Luego diremos :

a) No tiene un número ilimitado de
elementos
b) El número de elementos no es infinito
c) El número de elementos es finito
obviamente
d) Tiene un número limitado de elementos
e) N.A.

06. Un alumno preuniversitario tenía un dilema;
si postular a la UNT o postular a la UPAO.
Sin embargo su padre le dio a escoger solo
una de las opciones y después de un análisis
exhaustivo se dio cuenta que la carrera a la
cual quería postular era conveniente
estudiarla en la Universidad Nacional. Por lo
tanto podemos decir que :

a) Postuló a la Universidad Privada también

b) Postuló a ambas Universidades
posiblemente
c) Es imposible que postule a la Universidad
privada
d) El alumno se molesta y no postula a
ninguna Universidad
e) Llegaríamos a cometer una falacia.

07. Si los números Romanos fueran de carácter
universal, las operaciones matemáticas
serían limitadas. Pero las operaciones
matemáticas serían ilimitadas si el idioma
Latín fuera universal. Entonces diremos :

a) Dado que los números Romanos no son
de carácter universal, es obvio que el
idioma Latín no es universal.
b) Como el idioma Latín no es universal, en
consecuencia los números Romanos no
son de carácter universal.
c) Ni los números Romanos son de
carácter universal, ni el idioma Latín es
Universal.
d) Es falso que, tanto los números
Romanos como el idioma Latín sean de
carácter Universal.
e) N.A.

08. Como es suficiente estar atento para
suficientemente aprender. Además es
necesario ingresar para necesariamente
aprender. Entonces :

a) Estar atento es condición suficiente para ingresar.
b) Estar atento es condición necesaria
para ingresar
c) Se ingresa siempre y solo cuando se
esta atento
d) Todas
e) N.A.

09. (UNT 2000). De la fórmula : P → (Q ∧ R) se
infiere lógicamente:

a) P b) Q c) R
d) P → R e) - R → P

10. Si la mitocondria se encarga de la formación
de energía, es obvio que los ribosomas
sintetizaran las proteínas. Dado que el
Aparato de Golgi sirve de reserva en
consecuencia el Retículo endoplasmático se
encargará de la desintoxicación celular.
Como es inobjetablemente falso que, ni la
mitocondria se encarga de la formación de
energía ni el Aparato de Golgi sirve de
reserva. Luego :

a) Si el retículo endoplasmático se encarga
de la desintoxicación celular es obvio que
los Ribosomas sintetizarán proteínas
b) Dado que el Retículo endoplasmático no
desintoxican la célula en consecuencia
los Ribosomas no sintetizarán proteínas.

c) Si los Ribosomas no sintetizan proteínas
por ello el Retículo endoplasmático se
encargará de la desintoxicación celular
d) Toda conclusión sería incorrecta
e) N.A.

11. Si es cierto que EE.UU es un país
capitalista. Entonces :

a) EE.UU es capitalista además de
industrial
b) EE.UU es imperial amenos que
capitalista también
c) No solo EE.UU. es capitalista sino
también Democrático
d) Si EE.UU. es capitalista es obvio que
posee grandes industrias.
e) N.A.

12. Del sgte. argumento :
“Si un acusado por terrorismo es
condenado; entonces sufrirá prisión por
muchos años. Un acusado por terrorismo no
es condenado; luego, el acusado no sufrirá
prisión por muchos años”. Se afirma que :

a) Es válido
b) Es un Modus Tollendo Tollens
c) Es un Silogismo
d) No es válido
e) Es un Modus Tollendo Ponens

13. El sgte. diagrama de Venn :

PX
Q


se diseña para demostrar la validez de la
regla de inferencia lógica del :

a) Ponendo Tollens
b) Tollendo Ponens
c) Ponendo Ponens
d) Tollendo Tollens
e) Modus Tollens

14. “Es una verdad que a Einstein le gustó la
física” Por lo tanto:

a) También fue matemático
b) Propuso fórmulas que relacionan la masa
con la energía
c) Le gustó la Física o bien las matemáticas
también
d) Todas las anteriores
e) N.A.

15. Si: “Siempre que la producción baja, hay
desempleo y miseria”. Así también, cuando
EJERCICIOS PROPUESTOS

4. hay crisis económica hay delincuencia y
hambre. Pero como es el caso que hay
desempleo y miseria; por eso es falso que
haya delincuencia y hambre”. Entonces :

1) Baja la producción salvo que no haya
crisis económica
2) Como baja la producción es obvio que no
hay crisis económica
3) Al no subir la producción se dice que no
hay crisis económica
4) Si la producción no sube entonces no hay
crisis económica.
5) Es objetablemente incierto que no haya
ni crisis económica ni que la producción
suba.

Son correctas :

a) 2,3,4 b) 1,2,3 c) 1,4,5
d) 2,4,5 e) Todas

16. De las premisas: “Las figuras geométricas
son regulares o aunque son irregulares
también”. Sin embargo: “Las figuras
geométricas no son irregulares”. Se infiere
en:

a) Las figuras geométricas son irregulares.

b) Las figuras geométricas no son
irregulares.
c) Es objetable que las figuras geométricas
son irregulares.
d) Es negable que son regulares las figuras
geométricas.
e) Es estricto que son regulares las figuras
geométricas.
17. “Los ríos del Pacífico son torrentes
irregulares y bien o también son caudalosos
navegables. Pero los ríos del Pacífico no son
torrentes irregulares”. Se infiere:

a) Los ríos del Amazonas son caudalosos
navegables.
b) Los ríos del Pacífico no son caudalosos
navegables.
c) Es objetable que los ríos del Pacífico son
caudalosos navegables.
d) Es negable que los ríos del Pacífico son
caudalosos navegables.
e) Es falso que los ríos del Pacífico no son
caudalosos navegables.

18. “Si las cosas siguen como están, es obvio
que nunca podré viajar al extranjero. Sin
embargo mañana mismo viajaré al
extranjero”. Por ello:

a) Las cosas no han cambiado
b) Las cosas han cambiado
c) Tal vez mañana las cosas no cambien
d) O viajo al extranjero o las cosas cambian

e) N.A.

19. “Salvo que no diga la verdad, soy honesto.
Más si fuese el caso que deje de ser
honesto”. Entonces:

1. Siempre digo la verdad
2. Dejé de decir la verdad
3. Nunca digo la verdad
4. Hablo mentiras
5. A veces miento y a veces digo la verdad

Son correctas:

a) 1,3,5 b) 1 y 3 c) 2,3,4
d) 1 y 5 e) N.A.

20. De las premisas: “8 es múltiplo de 2 es
condición suficiente para que sea divisible
por 2 exactamente”. Pero 8 es divisible por
2 luego 2 es divisible por 1”. Se infiere en:

a) “2 es múltiplo de 1”
b) “8 es divisible por 1 si es por 2”
c) “Si 8 es múltiplo de 2, 2 es divisible por
1”
d) “1 es divisor de 2 y 8”
e) “4 es divisible por 2 y por 1”

21. Un profesor le replica a su alumno: “O te vas
del aula, o bien me voy yo”. Sin embargo pasó
unos minutos y el alumno salió avergonzado
del aula. En consecuencia:

a) El profesor lo acompañó.
b) El profesor se quedó en el aula.
c) Es sofisma que el alumno se quede.
d) Es paralogismo decir que el profesor se
haya quedado.
e) N.A.

22. “Blanca es una persona inteligente”. Luego:

a) Blanca es inteligente además de hermosa.

b) Blanca es talentosa así como inteligente.

c) A menos que Blanca sea inteligente,
será profesora de educación.
d) Si Blanca es inteligente, aprobará todos
sus cursos en la Universidad.
e) Todas las anteriores.

23. Ya que un segmento es una recta finita, bien
se ve que es un conjunto infinito de puntos.
Pero resulta que un segmento es una recta
infinita. Entonces concluimos que:

a) La recta es un conjunto infinito de
puntos.
b) Es objetable que la recta sea un conjunto
infinito de puntos.
c) Es inobjetable que la recta sea un
conjunto finito de puntos.
d) Nunca la recta será un conjunto no finito
de puntos.
e) N.A.

24. “Sólo si la materia posee masa, se puede
medir su peso. Pero como es posible medir
el peso de la materia”. Entonces:

a) La materia posee masa
b) La materia equivale a energía
c) Es absurdo que la materia posea masa
d) Concluiríamos una falacia
e) N.A.

25. Es suficiente ser profesional en la vida para
que suficientemente seas Universitario;
pero como no eres aún profesional:

a) Todavía no eres universitario.
b) Eres estudiante universitario.
c) Estudiarás en la universidad a menos que
postules a un instituto.
d) Toda conclusión sería una falacia.
e) N.A.

26. Si: x + y = 5 , y + z ≠ 3, pero como:
x + y = 5, entonces:

a) y + z = 3 b) y + z ≠ 3 c) y + z ≥ 3
d) y + z ≤ 3 e) Concluiríamos una falacia

27. El maestro enseña. El discípulo aprende.
Luego:

a) A menos que el maestro enseñe, el
alumno aprenderá.
b) Si el maestro se dedica a la enseñanza,
el alumno se dedicará al aprendizaje.
c) Es falso decir que, si el maestro enseña,
el alumno nunca aprenderá.
d) Ni el maestro enseña ni el alumno
aprende.
e) El maestro enseña salvo que el alumno
no aprenda.

28. Si entrenamos mucho es obvio que
ganaremos. Es suficiente que juguemos para
que campeonemos. Pero es inconcebible
decir que ni entrenamos ni jugamos.
Entonces:

a) Ganaremos así como campeonaremos.
b) Ganaremos a no ser que campeonemos.

c) Si ganamos es obvio que campeonamos.
d) Es inadmisible decir que, ni ganamos ni
campeonamos.
e) N.A.
29. El precio del producto subirá a menos que no
haya ofertas. Salvo que no baje la demanda,
habrá más ventas. Sin embargo, no hay más
ventas o el producto baje. Entonces:

a) Ni baja la demanda ni hay ofertas.
b) Es falso que, baje la demanda así como
hay ofertas.
c) Si la demanda baja, la oferta sube.
d) Si la oferta sube, la demanda baja.
e) N.A.

30. Que haya calor es condición necesaria para
que sea verano. Es suficiente que sea
invierno para que necesariamente haga frío.
Pero como no hace calor a menos que no
haga frío”. Deducimos que:

a) Ni es verano ni es invierno.
b) Estamos en verano salvo que estamos
en invierno.
c) No es verano o también no es invierno.
d) Deduciríamos una falacia.
e) N.A.

5. En el capítulo anterior hemos introducido un
conjunto de reglas equivalentes que nos
permiten transformar fórmulas. Sin embargo;
estas reglas solo nos permiten derivar una
conclusión equivalente a la premisa y no nos
ayuda a derivar una conclusión que no es
equivalente a pesar de que el conjunto de
premisas implica a la conclusión.
Por lo tanto las Reglas de equivalencia resultan
insuficientes para derivar cualquier conclusión
que se deduce válidamente de un conjunto de
premisas. Entonces era necesario introducir
leyes lógicas que permitan derivar válidamente
conclusiones no equivalentes y pare el efecto
enunciamos otras leyes lógicas denominadas
LEYES IMPLICATIVAS o llamadas también
IMPLICACIONES NOTABLES. Cada una de estas
implicaciones es expresada en forma de regla
lógica con el objeto de facilitar la operatividad en
la derivación evitando el laborioso trabajo de
aplicar el método de LAS TABLAS DE VERDAD.
La derivación como método es la aplicación de
un conjunto de reglas lógicas, para demostrar si
una conclusión está implicada por un conjunto
de premisas. Si hablamos de implicación
entonces la derivación solo sirve para demostrar
fórmulas o inferencias válidas. “Esta
demostración consiste en obtener la conclusión
a partir del conjunto de premisas aplicando
reglas lógicas en una sucesión finita de pasos,
donde cada paso debe estar justificado
mediante una regla lógica....” (Diógene s
Rosales; Introducción a la Lógica. pág. 103)

I. La Prueba Directa (P.D.)
La demostración de la validez de una
inferencia mediante la prueba directa
consiste en derivar la conclusión partiendo
de una secuencia finita de pasos, los mismos
que deben ser justificados por alguna de las
reglas lógicas; terminando el proceso
cuando llegamos a obtener la fórmula
deseada o la conclusión que pretendíamos
demostrar.

Ejemplo:
Demostrar: “r” partiendo de las siguientes
premisas:

P1) p → - q
P2) r → q
P3) P

Solución:
Podemos expresar el proceso a utilizar de la
siguiente forma:

P1) p → - q
P2) r → q
P3) P
4) - q (MPP. 1,3)
5) - r (MTT. 2,4)

Podemos observar que 4 se deduce de
relacionar la premisa 1 y 3 mediante el
Modus Ponendo Ponens; a la vez, llegamos a
obtener la fórmula 5 relacionando 2 y 4 por
el Modus Tollendo Tollens y como para
obtener esta consecuencia han participado
todas las premisas, aquí se detiene el
proceso porque nuestro objetivo es
demostrar que “-r” se deriva del conjunto de
premisas, aplicando en este caso sólo dos
reglas de inferencia.

Ejemplo:
Demostrar:

P1) P → (q v –r)
P2) ∼(∼ p v q) // ∴ -r

Ejemplo:
Demostrar:

P1) r → (q ∧ s)
P2) p ↔ q
P3) (- r v p) t // ∴ - t → s


Ejemplo:
Demostrar:

P1) P → (-r → -q)
P2) ∼ (S → – p)
P3) S → q // ∴ r
↔ s


II. La Prueba Condicional (PC)
Este método de derivación sirve para
demostrar inferencias válidas. Sin embargo
tiene algunas limitaciones, a diferencia del
método anterior; porque sólo puede
demostrar inferencias que tengan como
conclusión una fórmula CONDICIONAL.
El procedimiento consiste en asumir como
una premisa “adicional” el antecedente de la
fórmula condicional que se pretende
demostrar y a partir de ellos usando las
reglas de implicación derivar el consecuente
de la fórmula que aparece en la conclusión;
si es posible llegar a tal caso entonces
podríamos decir que el consecuente de esta
fórmula está implicada por su respectivo
antecedente en la fórmula de la conclusión,
y a la vez queda la validez de la inferencia
demostrada.

Ejemplo:

Demostrar:
P1) p → q
P2) q → r // ∴ p → r

Solución:
Podemos esquematizar el proceso de la
siguiente manera:

P1) p → q
P2) q →
r
P3) p (premisa adicional)
P4) q (MPP. 1,3)
P5) r (MPP. 2,4)
P6) p → r (PC. 3,5)
Como podemos ver, acabamos de demostrar mediante el método de “La prueba condicional”, el silogismo Hipotético Puro. De la misma manera podemos demostrar muchas otras reglas lógicas mediante PC, mientras que por la prueba directa no sería posible tal demostración.

Ejemplo:

Demostrar:

P1) p → q
P2) r → s
P3) –q v –s // ∴ p → -r

Ejemplo:

Demostrar:
P1) (p v s) → r
P2) r ↔ t // ∴ p → t

Ejemplo:
Demostrar:
P1) p → (r → q)
P2) (q v s) → t
P3) s ↔ t // ∴ r → (p → s)


III. La Prueba Indirecta (P.I.)
La prueba indirecta, más conocida como la
prueba por Reducción al Absurdo (RA) es un
método usado frecuentemente por los
matemáticos para la demostración de
teoremas donde resulta muy dificultoso
llegar a la concusión partiendo de la premisa
o conjunto de premisas.
Esta prueba tiene su base en la
contraposición:
(A → B ≡ – B → –A); si no se puede analizar
la fórmula o enunciado original, trabajamos
con su fórmula equivalente asumiendo como
cierto la negación de la conclusión de una
inferencia como premisa adicional y
relacionándola con las demás premisas
mediante las reglas de implicación, llegando
a una contradicción con ellas o a un absurdo.
Es decir suponemos la falsedad del
consecuente para llegar a la falsedad del
antecedente, demostrando de manera
indirecta que la conclusión está implicada
por el conjunto de premisas.

Ejemplo:
Demostrar:
P1) p → q
P2) r → s
P3) p v r // ∴ q v s

Solución:
Empecemos suponiendo la negación de la
fórmula de la conclusión como una premisa
adicional:

P1) p → q
P2) r → s
P3) p v r
4) –(q v s) (prem. ad.)
5) – q ∧ -s (D.M. 4)
DEMOSTRACION
FORMAL

6. 6) – q (simpl. 5)
7) – p (MTT. 1,6)
8) r (MTP. 3,7)
9) S (MPP. 2,8)
10) – S (Simp. 5)
11) S ∧ - S (Conj. 9,10)
12) ∼∼ (q v S) (R.A.)
13) q v S (DN. 12)

Como vemos en el punto 11 llegamos al
absurdo; ya que (S ∧ – S) nunca pueden
estar juntos (principio de la no
contradicción); dicho absurdo es
consecuencia de haber supuesto la falsedad
de la fórmula de la conclusión; por lo tanto la
conclusión es válida o mejor dicho está
implicada por el conjunto de premisas.

Ejemplo:
Demostrar:
P1) p → (q v r)
P2) - p → S
P3) - q ∧ -S // ∴ p ∧ r

Ejemplo:
Demostrar: P1) q → p
P2) q v -r
P3) t v r
P4) S → –t // ∴ p v -S
Ejemplo:
Demostrar:
P1) p ↔ - q
P2) ∼ (S v -r)
P3) q → (t ∧ s) // p ∧ r

7. 01. Encontrar la conclusión válida partiendo de
las siguientes premisas:
:P
1
EA∧
:P
2
BA→
:P
3
CB−→

a) C b) -A c) -B
d) D e) -C

02. Dadas las premisas:
:P
1
CA→−
:P
2
DC−→
:P
3
ED∧
se infiere deductivamente en:

a) C b) -D c) A
d) -A e) -E
03. Dadas las siguientes premisas formales:
:P
1
)]DvC()BvA[( ∧
:P
2
)]DB()CA[( →∧→
:P
3
- C
llegamos a concluir formalmente:

a) A b) - B c) A v C
d) C v D e) N.A.
04. Encontrar la deducción válida partiendo de las siguientes premisas:
:P
1
qp−∧−
:P
2
)sr(q →→−
:P
3
pv)rt(→

a) – t → s b) t → s c) t → - s
d) t ∧ s e) N.A.

05. Deducir la conclusión del argumento:
:P
1
BA↔
:P
2
AC→
:P
3
DvB−
a) C → D b) D → C c) D ∧ C
d) – (D ∧ C) e) D

06. Si tenemos las siguientes premisas:
:P
1
)BvA(−− :P
2
)AvC(
:P
3
)DB(→ :P
4
)FE()DC( ∧→∧

se infiere deductivamente en la siguiente
conclusión lógico – formal:

a) B b) – A ∧ C c) E ∧ F
d) - F e) - E

07. Partiendo de las premisas:
:P
1
q)rvp( −→
:P
2
sr→
:P
3
p)rvs( →−
:P
4
qs→

llegamos a concluir:

a) r ∧ -t b) –t → r c) r → t
d) t → r e) N.A.
08. Si se tiene las premisas:
:P
1
CB→ :P
2
DvA−
:P
3
EC→ :P
4
AvE−−
:P
5
FD∧

se infiere de manera correcta en:

a) B ∧ F b) - B ∧ F c) B
d) - F e) –A
09. Encontrar la conclusión lógico formal de las siguientes premisas:
:P
1
1A)4Dv3C( ≠→==
:P
2
2Bv1A ==
:P
3
C = 3
a) A = 1 b) B = 2 c) B ≠ 2
d) D = 4 e) D ≠ 4
10. Encontrar la conclusión lógico formal de las siguiente premisas:

:P
1
)5zyv4zx(3yx =+=+→=+
:P
2
5zyx5zy =++∧≠+
:P
3
4zx≠+

a) x+y = 3 b) x+y+z ≠ 5 c) x + y ≠ 3
d) y+z = 5 e) Absurdo

11. El siguiente argumento:
:P
1
rv)qp(∧ :P
2
Sr↔
:P
3
tS∧ :P
4
qt→
:P
5
u v P // u

a) Es válido b) No es válido
c) Es inconsistente
d) Llegamos a un absurdo e) N.A.

12. Dadas las premisas:
:P
1
xy4x <→≠
:P
2
2y)xy5x( =→<→>
:P
3
4xv2y =≠
:P
4
4x5x ≠→>
La conclusión adecuada para que la inferencia sea válida es:

a) x = 4 b) x ≠ 4 v x < 5
c) x = 4 v x ≤ 5 d) x ≤ 5
e) x > 5

13. Si seguir los principios cristianos es
condición suficiente y necesaria para vivir en
paz. Además se vive en paz salvo que
solamente la conciencia esté tranquila. Pero
como tienes la conciencia intranquila y la
moral baja. Entonces:

a) Vives en paz
b) No sigues los principios cristianos
c) Sigues los principios cristianos
d) Tienes que subir la moral
e) N.A.

14. Hoy es viernes o sábado. Si es viernes iré a
la academia. Si es sábado iré a una fiesta.
Pero como no voy a la fiesta. Luego:

a) Iré a la academia
b) No iré a la academia
c) No iré a la academia pero sí a la fiesta
d) Iré a la fiesta tanto como a la academia
e) N.A.

15. ¿Cuáles de los siguientes argumentos no
son correctos?
I. Si Trujillo no está en Europa, entonces
Perú no está en América; pero Perú está
en América. Por lo tanto; Trujillo no está
en Europa.
II. Si Lógica es un curso importante, vale la
pena estudiarlo, o bien la matemática es
necesario o este curso no vale la pena
estudiarlo. Pero la matemática es un
curso que vale la pena estudiarlo.
Además la matemática no será
necesario a menos que la Lógica sea un
curso importante. Por lo tanto la
matemática es necesaria salvo que no
valga la pena estudiar Lógica.
III. Estoy bien de salud por lo cual y según lo
cual estoy trabajando. O bien no estudio
o bien me divierto. Pero como estoy
divirtiéndome es obvio tengo buena
salud. Por lo tanto si estudio entonces
trabajo.

a) sólo I b) II y III c) sólo III
d) Todas e) N.A.
























EJERCICIOS PROPUESTOS