05__Sistem_Persamaan_Lanjar_Bagian_1.pdf

Persamaan lanjar, atau persamaan linier, adalah jenis persamaan yang memiliki bentuk dasar
𝑎
𝑥
+
𝑏
=
0
ax+b=0, di mana
𝑎
a dan
𝑏
b adalah konstanta, sementara
𝑥
x adalah variabel. Ciri khas dari persamaan ini adalah kemampuannya menghasilkan grafik yang berbentuk garis lurus, menjadikannya mudah untuk dianalisis dan diselesaikan. Solusi dari persamaan lanjar dapat ditemukan dengan metode aljabar yang sederhana, seperti dalam contoh
2
𝑥
+
3
=
0
2x+3=0, yang dapat diselesaikan dengan mengisolasi
𝑥
x. Persamaan ini banyak digunakan dalam berbagai bidang, termasuk ekonomi untuk model permintaan dan penawaran, fisika dalam hukum gerak, serta statistika dalam analisis regresi. Dengan derajat satu, persamaan lanjar memberikan cara yang efisien untuk memahami hubungan antar variabel dan menyelesaikan masalah secara sistematis.

1. SISTEM PERSAMAAN LANJAR
Kode: 123NF4567IF
Asep Saepulrohman, M.Si.
October 16, 2025

2. Pengertian SPL
Definisi
Sistem Persamaan Lanjar (SPL) adalah sekumpulan persamaan linear yang
memiliki beberapa variabel dan diselesaikan secara bersamaan.
Contoh
(
2xy
x
Asep Saepulrohman, M.Si. SISTEM PERSAMAAN LANJAR October 16, 2025

3. Bentuk Umum SPL













a11x1+ 12x2+ 1nxn= 1
a21x1+ 22x2+ 2nxn= 2
.
.
.
anx1+ nx2+ nnxn= n
aij: koefisien
xj: variabel
bi: konstanta
Asep Saepulrohman, M.Si. SISTEM PERSAMAAN LANJAR October 16, 2025

4. Bentuk Matriks SPL
Ax
A






a11a12· · · 1n
a21a22· · · 2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
anan· · · nn






,






x1
x2
.
.
.
xn






,






b1
b2
.
.
.
bn






Asep Saepulrohman, M.Si. SISTEM PERSAMAAN LANJAR October 16, 2025

5. Metode Penyelesaian SPL
1
Metode Substitusi
2
Metode Eliminasi
3
Metode Gabungan (Substitusi-Eliminasi)
4
Metode Matriks/Invers
5
Metode eliminasi Gauss
6
Metode eliminasi Gauss-Jordan
7
Metode dekomposisi LU
8
Metode lelaran Jacobi
9
Metode lelaran Gauss-Seidel.
Metode 8 dan 9 dikembangkan dari gagasan metode lelaran pada solusi
persamaan nirlanjar
Asep Saepulrohman, M.Si. SISTEM PERSAMAAN LANJAR October 16, 2025

6. Metode Substitusi
Langkah-langkah:
1
Nyatakan satu variabel dari salah satu persamaan.
2
Substitusikan ke persamaan lain.
3
Selesaikan hasilnya.
Contoh
(
x
2x
Dari (1):
Substitusi ke (2): 2x5x
y
Asep Saepulrohman, M.Si. SISTEM PERSAMAAN LANJAR October 16, 2025

7. Metode Eliminasi
Contoh
(
3xy
2xy
Tambahkan kedua persamaan: 5x
Substitusikan ke (1): 3(2) +y
Asep Saepulrohman, M.Si. SISTEM PERSAMAAN LANJAR October 16, 2025

8. Metode Matriks/Invers
Jika
x
−1
b
Contoh
(
2x
xy
A
"
2 1
1 3
#
,
"
5
6
#
A
−1
=
1
5
"
31
−1 2
#
x
1
5
"
31
−1 2
# "
5
6
#
=
"
1.8
1.4
#
Asep Saepulrohman, M.Si. SISTEM PERSAMAAN LANJAR October 16, 2025

9. Jenis Solusi SPL
Satu solusi (unik)A)=
Tak hingga solusi
Tidak ada solusi
Asep Saepulrohman, M.Si. SISTEM PERSAMAAN LANJAR October 16, 2025

10. Satu Solusi/tunggal (unik)
DeterminanA)=
Setiap variabel memiliki satu nilai pasti
Persamaan saling independen
Garis/pesawat berpotongan di satu titik
Asep Saepulrohman, M.Si. SISTEM PERSAMAAN LANJAR October 16, 2025

11. Solusi banyak/tidak terhingga
DeterminanA) =
Persamaan tidak independen (saling bergantung)
Salah satu persamaan merupakan kelipatan dari yang lain
Garis/pesawat berimpit
Asep Saepulrohman, M.Si. SISTEM PERSAMAAN LANJAR October 16, 2025

12. Tidak ada solusi
DeterminanA) =
Persamaan tidak konsisten (bertentangan)
Garis/pesawat sejajar dan tidak berpotongan
Asep Saepulrohman, M.Si. SISTEM PERSAMAAN LANJAR October 16, 2025

13. Aplikasi Sistem Persamaan Lanjar
SPL banyak digunakan dalam berbagai bidang:
Analisis arus listrik (Hukum Kirchhoff)
Model ekonomi input-output
Grafik komputer
Regresi linear dalam machine learning
Simulasi sistem dinamik linear
Asep Saepulrohman, M.Si. SISTEM PERSAMAAN LANJAR October 16, 2025

14. Metode Eliminasi Gauss
Pengertian
Metode Eliminasi Gauss digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan
linear dengan operasi baris elementer hingga matriks berbentuk segitiga
atas (row echelon form).
Ax



a11a12a13b1
a21a22a23b2
a31a32a33b3



Asep Saepulrohman, M.Si. SISTEM PERSAMAAN LANJAR October 16, 2025

15. Langkah-langkah Metode Gauss
1
Bentuk matriks augmented.
2
Lakukan operasi baris elementer (OBE):
▶Tukar dua baris (R i↔ j)
▶Kalikan baris dengan konstanta tak nol (kR i)
▶Tambahkan kelipatan baris lain (R i+ j)
3
Ubah ke bentuk segitiga atas.
4
Gunakan substitusi balik untuk menemukan nilai variabel.
Asep Saepulrohman, M.Si. SISTEM PERSAMAAN LANJAR October 16, 2025

16. Contoh: Sistem 3 Variabel







x
2xz
xy



1 1 1 6
21 3 14
1 21 2



Asep Saepulrohman, M.Si. SISTEM PERSAMAAN LANJAR October 16, 2025

17. Proses Eliminasi
R2= 2−R 1, 3= 3− 1



1 1 1 6
03 1 2
0 12 −4



R3= 3+
1
3
R2⇒



1 1 1 6
03 1 2
0 0
5
3
−
10
3



Asep Saepulrohman, M.Si. SISTEM PERSAMAAN LANJAR October 16, 2025

18. Substitusi Balik
−
5
3
z
10
3
⇒
−3y
x
x,,
Asep Saepulrohman, M.Si. SISTEM PERSAMAAN LANJAR October 16, 2025

19. Metode Eliminasi Gauss–Jordan
Pengertian
Metode Gauss–Jordan merupakan penyempurnaan dari metode Gauss.
Matriks diubah menjadi bentuk eselon baris tereduksi (Reduced Row
Echelon Form) sehingga nilai variabel dapat langsung diperoleh.



a11a12a13b1
a21a22a23b2
a31a32a33b3


⇒



1 0 0x1
0 1 0x2
0 0 1x3



Asep Saepulrohman, M.Si. SISTEM PERSAMAAN LANJAR October 16, 2025

20. Langkah-langkah Metode Gauss–Jordan
1
Bentuk matriks augmented dari SPL.
2
Ubah elemen diagonal utama menjadi 1.
3
Ubah elemen di atas dan di bawah diagonal utama menjadi 0.
4
Hasil akhir menunjukkan langsung nilai setiap variabel.
Asep Saepulrohman, M.Si. SISTEM PERSAMAAN LANJAR October 16, 2025

21. Contoh Soal







x
2xyz
xyz2



1 1 1 9
2 3 7 1
1 32 −2



Asep Saepulrohman, M.Si. SISTEM PERSAMAAN LANJAR October 16, 2025

22. Proses Eliminasi
R2= 2−R 1, 3= 3− 1



1 1 1 9
0 1 5 −17
0 2 −11



R3= 3−R 2⇒



1 1 1 9
0 1 5 −17
0 013 23



Asep Saepulrohman, M.Si. SISTEM PERSAMAAN LANJAR October 16, 2025

23. Bentuk Akhir dan Hasil
R3=
1
13
R3⇒



1 1 1 9
0 1 5−17
0 0 1−
23
13



R2= 2−R 3, 1= 1− 3
x,
46
13
,
23
13
Asep Saepulrohman, M.Si. SISTEM PERSAMAAN LANJAR October 16, 2025

24. Metode Eliminasi Gauss–Jordan
Konsep
Metode Gauss–Jordan digunakan untuk menyelesaikan SPL dengan
mengubah matriks koefisien ke bentuk.
Tidak perlu substitusi balik.
Elemen diagonal utama = 1.
Semua elemen di atas dan di bawah diagonal = 0.
Asep Saepulrohman, M.Si. SISTEM PERSAMAAN LANJAR October 16, 2025

25. Langkah-langkah Gauss–Jordan
1
Tulis SPL dalam bentuk matriks augmented|b.
2
Lakukan Operasi Baris Elementer (OBE):
▶Tukar dua baris (R i↔ j)
▶Kalikan baris dengan konstanta (kR i)
▶Tambahkan kelipatan baris lain (R i+ j)
3
Ubah matriks menjadi bentuk.
4
Solusi diperoleh langsung dari bentuk matriks.
Asep Saepulrohman, M.Si. SISTEM PERSAMAAN LANJAR October 16, 2025

26. Contoh Soal







x
2xy
xyz
⇒



1 1 1
2 3 1
1 2 3



Asep Saepulrohman, M.Si. SISTEM PERSAMAAN LANJAR October 16, 2025

27. Proses Eliminasi Gauss–Jordan



1 1 1
0 112
0 0 1


⇒



1 0 0
0 1 0
0 0 1



x,,
Asep Saepulrohman, M.Si. SISTEM PERSAMAAN LANJAR October 16, 2025

28. Kesimpulan
Ringkasan
SPL membantu mencari nilai variabel dari beberapa persamaan linear.
Dapat diselesaikan dengan berbagai metode (substitusi, eliminasi,
invers).
Banyak diterapkan di bidang teknik, ekonomi, dan ilmu komputer.
Metode Gauss–Jordan adalah penyempurnaan dari metode Eliminasi
Gauss.
Prosesnya mengubah matriks augmented menjadi
baris tereduksi (RREF).
Menggunakan
bentuk sederhana.
Elemen diagonal utama = 1 dan semua elemen di atas maupun di
bawah diagonal = 0.
Nilai variabel dapat diperoleh langsung tanpa perlu substitusi balik.
Metode ini sangat cocok untuk implementasi komputasi numerik.
Asep Saepulrohman, M.Si. SISTEM PERSAMAAN LANJAR October 16, 2025

29. Terima Kasih!
Asep Saepulrohman, M.Si. SISTEM PERSAMAAN LANJAR October 16, 2025