1.2 Variables aleatorias discretas.pptx

El siguiente documento se trata sobre las variables aleatorias en estadística.

1. UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL Facultad de Ciencias Matemáticas y Físicas Curso de: Estadística II Profesor: Marcos Mendoza Ing. Lorenzo Cevallos Torres 29/6/2022 Profesor: Marcos Mendoza 1 Clase 1: Variables aleatorias discretas

2. VARIABLE ALEATORIA Se llama variable aleatoria a toda función que asocia a cada elemento del espacio muestral Ω , un número real. Se utilizan letras mayúsculas X, Y, ... para designar variables aleatorias, y las respectivas minúsculas (x, y, ...) para designar valores concretos de las mismas.

3. Variable aleatoria Discreta Sea ( Ω , L ), el Espacio Muestral de un experimento estadístico y sea X una función cuyo dominio es Ω , y cuyo conjunto de llegada es R, donde R es el conjunto de números reales; bajo estas condiciones, la función X es una variable aleatoria. En definitiva, su representación como función es: X: Ω ® R; lo cual significa que a cada w Î W , la función X le asigna uno y solo un número real. En pocas palabras : Una variable aleatoria es una función que asocia un número real con cada elemento del espacio muestral. 29/6/2022 Profesor: Marcos Mendoza 3

4. (…viene) Variable aleatoria Supongamos que un experimento consisten en lanzar tres monedas y se observa la terna de lados que sale, el conjunto de posibles resultados es Ω ={ ccc,ccs,csc,scc,css,scs,ssc,sss } Si definimos la variable aleatoria X igual al número de monedas en las que sale “cara” en la parte superior. Los valores que toma X son 0,1,2 y 3 Ω ={ ccc,ccs,csc,scc,css,scs,ssc,sss } P(X=0)=1/8 P(X=1)=3/8 P(X=2)=3/8 P(X=3)=1/8 29/6/2022 Profesor: Marcos Mendoza 4 3 2 2 2 1 1 1

5. Soporte de una variable aleatoria El soporte S de una variable aleatoria es el conjunto de valores reales que ocurren con probabilidad distinta de cero. El soporte de la variable X igual al número de monedas en las que sale “cara” en la parte superior del lanzamiento de tres monedas sería Ω ={0,1,2,3} Una variable aleatoria es discreta si su soporte S es un conjunto contable. 29/6/2022 Profesor: Marcos Mendoza 5

6. Función de distribución de probabilidades Con cada variable aleatoria discreta asociaremos una función f(x)=P(X=x): R ® [0,1] a la que denominaremos Función de Distribución de Probabilidades de X, función que debe cumplir las siguientes condiciones: Para la variable X igual al número de monedas en las que sale “cara” en la parte superior del lanzamiento de tres monedas su distribución de probabilidades sería: 29/6/2022 Profesor: Marcos Mendoza 6

7. Histograma de probabilidades 29/6/2022 Profesor: Marcos Mendoza 7

8. EJERCICIOS

9. RESPUESTA

10. Distribución Acumulada Una función de variable real F: R ® [0,1] es definida como Distribución Acumulada de X, si y solo si: F(x)=P(X £ x) para todo valor x real, esté o no en el soporte S de X. La distribución acumulada de X igual al número de monedas en las que sale “cara” en la parte superior del lanzamiento de tres monedas es: 29/6/2022 Profesor: Marcos Mendoza 10

11. Gráfica de la distribución acumulada 29/6/2022 Profesor: Marcos Mendoza 11

12. Ejercicios Si un experimento consiste en lanzar un dado y se define X: Número que sale en la cara superior del dado. Determine la distribución de probabilidades de X y la Distribución Acumulada. Si un experimento consiste en lanzar dos dados y se define X: La suma de los números que salen en las caras superiores de dado. Determine la distribución de probabilidades de X y la Distribución Acumulada. 29/6/2022 Profesor: Marcos Mendoza 12

13. Valores Esperados Sea X una variable aleatoria con distribución de probabilidades P(X=x) y g(x) una función en términos de x. El valor esperado de g(x) si existe, se define como: Propiedades: 29/6/2022 Profesor: Marcos Mendoza 13

14. Media y varianza de una variable aleatoria La media de una variable aleatoria X con distribución de probabilidades P(X=x) se define como: La varianza de una variable aleatoria X con distribución de probabilidades P(X=x) se define como: 29/6/2022 Profesor: Marcos Mendoza 14

15. Ejercicios Se tiene un grupo de 7 artículos de los cuales cuatro presentan defectos. Se eligen al azar tres artículos de los 7 y se define la variable aleatoria X:Número de artículos defectuosos en la muestra, determine la distribución de probabilidades de X así como su media y varianza. Se tiene un sistema como se muestra en la figura, donde cada componente trabaja de forma independiente con probabilidad 0,99 de funcionar; se define la variable aleatoria X: Número de vías abiertas entre el punto A y el punto B. Determine la distribución de probabilidades de X, su media y su varianza 29/6/2022 Profesor: Marcos Mendoza 15 B A