1. Tema2_Aprox y Error de Redondeo (Actualizado).pdf

Estudio de metodo numerico para mejorar la comprensión de redondéo y aprox.

1. Aproximaciones y errores de
redondeo
Métodos Numéricos

2. Cifras significativas
Lascifrassignificativasdeunnúmerosonaquellasquepuedenutilizarse
enformaconfiable.Setratandelnúmerodedígitosqueseofrecencon
certezamásunoestimado.
Losmétodosnuméricosdanresultadosaproximados.
Losnúmerosrepresentadosenlascomputadorastienenunnúmerofinitode
cifrassignificativas.Alaomisióndelrestodecifrassignificativassele
conocecomoerrorderedondeo.

3. 1.-Los métodos numéricosobtienen resultados aproximados.
Por lo tanto, se debe desarrollar criterios para especificar que
tan precisos son los resultados obtenidos.
2.-Aunque ciertos números representan número específicos,
no se pueden expresar exactamente con un número finito de
cifras.
Importancia del concepto de cifras
significativas en Métodos Numéricos.

5. Exactitud y precisión
Laexactitudserefiereaquetancercano
estaelvalorcalculadoomedidodelvalor
verdadero.Entérminosestadísticos,la
exactitudestárelacionadaconelsesgode
unaestimación.Cuantomenoreselsesgo
másexactoesunaestimación.
Laprecisiónserefiereaquetancercanos
seencuentran,unosdeotros,diversos
valorescalculadosomedidos.Serefierea
ladispersióndelconjuntodevalores
obtenidosdemedicionesrepetidasdeuna
magnitud.Cuantomenoresladispersión
mayorlaprecisión.Unamedidacomúnde
lavariabilidadesladesviación
estándardelasmedicionesylaprecisión
sepuedeestimarcomounafuncióndeella.
Aumenta la exactitud
Aumenta la precisión

6. Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos, o sin sesgo
para satisfacer los requerimientos de un problema particular de ingeniería.
También deben ser lo suficientemente precisos para ser adecuados en el
diseño de ingeniería.
En el curso usaremos el término error para representar tanto la inexactitud
como la imprecisión en las predicciones.
Importante

7. Loserroresnuméricossepuedenclasificarcomo
•Errordetruncamiento:resultandelempleodeaproximacionescomocálculos
exactos.Estetipodeerrorocurrecuandounprocesoquerequiereunnúmeroinfinitode
pasossedetieneenunnúmerofinitodepasos.
Tipos de Errores y su definición.

8. Tipos de Errores y su definición.
Errorderedondeo:porutilizarnúmerosquetienenunlímitedecifrassignificativas.El
errorderedondeoseoriginaporqueunamáquinainvolucranúmerosconsólounnúmerofinito
dedígitos;porlotanto,loscálculosserealizanconrepresentacionesaproximadasdelos
númerosverdaderos.Dichodeotramanera,elerrorderedondeosedebealanaturaleza
discretadelsistemanuméricodemáquinadepuntoflotante,elcualasuvezsedebeasu
longituddepalabrafinita.Cadanúmero(real)sereemplazaporelnúmerodemáquinamás
cercano.Estosignificaquetodoslosnúmerosenunintervalolocalestánrepresentadosporun
solonúmeroenelsistemanuméricodepuntoflotante.
Existen dos métodos de terminar:
a) Cortando los dígitos
b) Redondeando el número

9. Tipos de Errores y su definición.
Errorverdadero=E
t=valorverdadero–valoraproximado
Estadefiniciónnotomaencuentalamagnituddelascantidadesinvolucradas.
Errorrelativofraccionalverdadero=errorverdadero/valor
verdadero
Elerrorrelativoporcentualverdaderosedefinecomo
e
t=errorverdadero/valorverdaderox100%
Elerroraproximadoseutilizacuandonoseconoceelvalorverdadero.Se
definepor
e
a=erroraproximado/valoraproximadox100%
Elerrorenlosmétodositerativosconlasaproximacionesactualyanterior.
e
a=(aproximaciónactual–aproximaciónanterior)/aproximaciónactualx
100%

10. Ejemplo
Semideunpuenteyunremache,yseobtienen9999y9cm,
respectivamente.Silosvaloresverdaderosson10000y10a)encontrarel
errorverdaderoyb)elerrorrelativoporcentualverdaderoencadacaso.
a)
Puente: E
t= 10000 –9999 = 1 cm
Remache: E
t= 10 –9 = 1 cm
b)
Puente: e
t= 1/10000 x 100% = 0.01 %
Remache: e
t= 1/10 x 100% = 10 %

11. Errores Aproximados

12. Cifras Significativas y Error
Sepuededemostrarquesielsiguientecriteriosecumple,setendrálaseguridad
queelresultadoescorrectoenalmenosncifrassignificativas:

13. Errores de Redondeo

14. Representación de Enteros y Notación
Posicional

15. Representación de Enteros en la
Computadora

16. Representación de Punto Flotante.e
bm.

17. Normalización con los Números de
Punto Flotante

18. Normalización de los números de
punto flotante

19. Representación en Formato IEEE-754
ElformatoIEEEdedobleprecisión
ElformatoIEEEdenúmerosencomaflotantededobleprecisiónesunapalabrade64bits
divididaen:unindicadordesignosde1bit,unexponenteede11bits,yunaparte
fraccionariafdelamantisade52bits.Unarepresentacióndeesteformatoseríala
siguiente:
Características de la Doble precisión y sencilla

20. Ejemplo:
Determineunconjuntohipotéticodenúmerosenpuntosflotantesparauna
procesadorqueguardainformaciónutilizandopalabrasde7bits.Elprocesador
empleaelprimerbitparaelsignodelnúmero,lostressiguientesparael
signoymagnituddelexponenteylosrestantesparalamantisa.
Solución: El número representable más pequeño será
equivalente a :  
10
3
0625.025.0 


21. Ejemplo
Sepuedeobservarqueelintervaloentrelosnúmerosendecimaleses
constante,0.015625.
Luegocambiaelexponentede(111)base2a(110)base2(de-3a-2).
Lamantisadisminuyeasuvalormáspequeñoquees0.1.Elresultadoes
elnúmero:
Todavíasemantieneelintervalo0.125000-0.109375=0.015625.Sin
embargoesteespacioaumentanconformenlosnúmerosaumentande
valor.Elpróximointervaloesde0.03125 
10
2
125000.025.0 
  
 
 
10
3321
10
3321
10
3321
109375.02)212121(0111111
093750.02)202121(0111110
078125.02)202021(0111101







22. Ejemplo 
 
 
10
2321
10
2321
10
2321
218750.02)212121(0110111
187500.02)202121(0110110
156250.02)202021(0110101






En estos la brecha se incrementa a 0.03125.
Todo se repita hasta que encuentran el número máximo:
10
3321
72)212121(0011111 


23. Corte vs Redondeo

24. Consideraciones Importantes de la
Representación de Punto Flotante

25. Consideraciones Importantes de la
Representación de Punto Flotante

26. Ejemplos:

27. Ejemplos: