10 2025A METODOS NUMERICOS EN LA CONDUCCION DE CALOR1 (1).pptx

TEORÍA Y EJERCICIOS DE METODOS NUMERICOS EN LA CONDUCCION DE CALOR DEL CURSO TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA

1. MÉTODOS NÚMERICOS EN LA CONDUCCIÓN DE CALOR Ing. Pedro Flores Larico 2025A

2. MÉTODOS NÚMERICOS EN LA CONDUCCIÓN Razones para la utilización de métodos numéricos -Limitación por soluciones analíticas. -Una mejor elaboración de modelos: solución “aproximada” a una solución exacta. -Flexibilidad: respuesta por métodos iterativos. -Complicaciones: analíticas requieren eigenvalores, transformadas, funciones bessel, sumas de series infinitas. -Naturaleza humana: formular y resolver numéricamente problemas con ayuda de software.

3. FORMULACIÓN EN DIFERENCIAS FINITAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Se reemplaza las ecuaciones diferenciales por ecuaciones algebraicas. El método de las diferencias finitas reemplaza las derivadas por diferencias. Considere una función f que depende de x. La primera derivada de f(x) es un punto equivalente a la pendiente de una recta tangente a la curva en ese punto.    

4. EXPANSIÓN DE TAYLOR Esta expresión aproximada de la derivada en términos de diferencias es la forma en diferencias finitas de la primera derivada También se puede obtener la ecuación anterior al escribir la expansión en la serie de Taylor de la función f en torno al punto x ,   despreciando el tercer término y siguientes, el error es proporcional a ∆x 2

5. NODOS Una pared plana de espesor L, la pared se subdivide en m secciones de espesor   La pared se subdivide en M secciones o, 1, 2, … m-1, m, m+1,……., M, llamados nodos o puntos nodales. La coordenada x de cualquier punto m es y la temperatura en ese punto      

6. ECUACIÓN DE CONDUCCIÓN UNIDIMENSIONAL Segunda derivada es la derivada de la primera derivada. Para la temperatura en el nodo m     Ecuación unidimensional en estado estacionario en pared plana   para nodos internos m= 1, 2, 3, ………, M-1  

7. ECUACIONES Temperaturas superficiales T o y T M M-1 nodos interiores M-1 ecuaciones M-1 Temperaturas desconocidas de nodos interiores Total M+1 nodos

8. CONDUCCIÓN BIDIMENSIONAL   m =1, 2, 3, ……., M-1 n = 1, 2, 3, ……., N-1 Nodos (M+1)(N+1) nodos interiores (M-1)(N-1)

9. CONDUCCIÓN UNIDIMENSIONAL DE CALOR EN ESTADO ESTACIONARIO MÉTODO DEL BALANCE DE ENERGÍA La pared plana se subdivide en elementos de volumen y se aplica el balance de energía en cada elemento. Seleccionar los puntos nodales, que van a ser las temperaturas nodales. Forma lo elementos o volúmenes de control sobre los nodos. Trazar rectas que pasen por los puntos medios entre los nodos. Los nodos interiores se mantienen a la mitad de los elementos Las propiedades en el nodo, como temperatura, velocidad de generación de calor representan las propiedades promedio del elemento

10. Placa de espesor L. Se subdivide en M regiones iguales de espesor ∆ x=   Divisiones entre las regiones son los nodos M+1 nodos, 0, 1,2…m-1, m, m+1,…M   Coordenada X de cualquier nodo m X m =m∆x T (x m )= T m   -Los elementos se forman al trazar restas verticales que pasen por los puntos medios entre los nodos. -Los elementos interiores son de tamaño completo espesor ∆ x -Los dos elementos de frontera son la mitad.

11. BALANCE DE ENERGÍA     Variación de temperatura lineal, es cero  Pero se puede aproximar la variación de la temperatura entre los nodos como lineal.  

12. Se supone que la dirección de la transferencia de calor en ambas superficies del elemento es hacia el nodo m.         Para M-1 nodos interiores, los cual da M-1 ecuaciones y 2 de frontera.

13. CONDICIONES DE FRONTERA -Temperatura específica, flujo específico de calor, convección y radiación. -Superficie izquierda x=0 nodo 0, superficie derecha x=L, nodo M. Ancho del elemento de volumen es Temperatura especifica =   Balances para Flujo Específico de Calor, convección, radiación, convección y radiación combinada, frontera de interfase.

14. BALANCE DE CALOR EN FRONTERA     Q superficie izquierda se reemplaza por una expresión apropiada

15. a) Condición de frontera de flujo de calor especifico   Caso especial: frontera aislada (     b) Condición de frontera de convección c)Condición de frontera de radiación  

16. d) Condición de frontera de convección y radiación combinadas    

17. e) Condición de frontera de convección, radiación y flujo de calor combinados     f) Condición de frontera de interfase, dos medios diferentes  

18. CONDUCCIÓN BIDIMENSIONAL DE CALOR EN ESTADO ESTACIONARIO Considerar una región rectangular, en donde conducción de calor es significativa en las direcciones x o y. Dividir en malla rectangular de puntos nodales con espacios ∆x y ∆y. Profundidad unitaria ∆Z = l Notación de índice doble (m,n) m = 0, 1, 2, 3, 4,…………, m dirección x n = 0,1, 2, 3, 4,………, n dirección y Coordenadas x = m∆x, y = n*∆y Temperatura de nodo (m,n) = T (m,n)

19. RED NODAL Y ELEMENTO DE VOLUMEN DE UN NODO

20. BALANCE BIDIMENSIONAL     Área de transferencia de calor Ax = ∆y*l, Ax = ∆y*l Para nodo interior m = 1, 2, 3,………, M-1 n = 1, 2, 3,………, N-1 total de nodos  

21. NODO INTERIOR (m,n)   Dividir por K∆x∆y     si ∆x =∆y  

22. NODO INTERIOR Si e m,n = 0  

23. NODOS FRONTERA

24. CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO Temperaturas varían con el tiempo, requieren diferenciación en el tiempo. Se usa el superíndice i como el índice o contador de los intervalos de tiempo, correspondiendo i = 0 a la condición inicial especifica.

26.   Temperaturas del nodo m, en los instantes, t i = i∆t, t i+1 = (i+1)∆t        

27. MÉTODOS MÉTODO EXPLÍCITO   MÉTODO IMPLÍCITO  

28. CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO EN UNA PARED PLANA Pared plana, espesor L, generación de calor e(x,t) y K constante ∆x=L/M, nodos 0, 1, 2, ……., M V = A∆x

29. EXPLÍCITA NODO INTERNO     Módulo de Fourier     para m = 1, 2,….., M-1  

30. IMPLÍCITA NODO INTERNO    

31. NODO FRONTERA IZQUIERDO Para el caso de condición de frontera de lado izquierdo    

32. CRITERIO DE ESTABILIDAD DEL MÉTODO EXPLÍCITO se debe satisfacer que los coeficientes de todos los son mayores o iguales a cero para todos los nodos.   Para una pared plana        

33. CONDUCCIÓN BIDIMENSIONAL DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO ∆X, ∆Y x = m∆x, y = n∆y V elemento = ∆x*∆y*l  

34. Si K constante y ∆x=∆y     Criterio de estabilidad 1-4F  

35. NODO ESQUINA FRONTERA SUJETO A CONVECCIÓN Y AISLADO Al dividir entre k/4 y simplificar, En la cual se puede despejar para dar  

36. NODO FRONTERA SUJETO A CONVECCIÓN Al dividir entre k/2, simplificar y despejar da  

37. NODO ESQUINA FRONTERA SUJETO A CONVECCIÓN POR LOS DOS LADOS Al dividir entre k/4, simplificar y despejar da  

38. NODO ESQUINA FRONTERA CONVECCIÓN Y CALOR ESPECÍFICO Al dividir entre k/4 simplificar y despejar da  

39. NODO ESQUINA REENTRANTE Al dividir entre 3k/4, simplificar y despejar da