12 circuito indutivo em ca

Análise de circuito indutivo em CA. Processo de carga e descarga. Potência reativa.

1. Análise de circuitos elétricos CC e CA Pedro Barros Neto
12 - Circuito indutivo em CA
12.1 - Auto indução em corrente alternada
Um indutor ideal sob uma tensão CA senoidal instantânea vs(t), com frequência linear de 60
Hz, terá internamente uma corrente primária instantânea i
pr(t), atrasada de
π
2
rdem relação à
tensão, que ao circular nas suas espiras, cria um campo magnético variável (B), com fluxo dado
por: Φ=
di
pr(t)
dt
, ou seja, diretamente proporcional à “rapidez” da variação dessa corrente.
Na (fig. 12 – 01) mostramos um indutor alimentado por uma fonte de tensão CA, com a tensão
no semiciclo positivo, onde a LTKinstantânea será: vs(t)−vdL(t)=0V.
Vamos analisar o comportamento desse indutor, considerando que o mesmo já estava energizado:
escolhemos o instante inicial quando i(0)=0A, variando da região negativa para a positiva.
No instante inicial, a queda de tensão no indutor, dada na expressão (7.3) vdL(t)=L
di(t)
dt
será
a tensão positiva de pico vdL(0)=V
P(senoide azul) forçando o aparecimento de uma corrente
primária instantânea i
pr(t), dentro do indutor, cuja variação (slope) é positiva e crescente
(senoide laranja)
di
PR(0)
dt
=0→
di
PR(t)
dt
=+∞e provocará um campo magnetizante variável
(B), que pela Lei de Lenz, auto induzirá uma tensão contrária, dada na expressão (7.1)
−v
L
(t)=L
di(t)
dt
, mas com amplitude menor do que a tensão da fonte (senoide vermelha). No
mesmo instante, essa tensão autoinduzida forçará o aparecimento de uma outra corrente instantânea
−iL(t), se opondo à corrente primária, mas com amplitude menor (senoide verde).
Este conjunto de ocorrências, dentro do indutor, vai refletir nos seus terminais, causando uma
reação às variações da corrente de alimentação dada na expressão (7.2) i(t)=
1
L
∫
0
t
v
L(t)dt.
1

2. Análise de circuitos elétricos CC e CA Pedro Barros Neto
É por isso que nos terminais do indutor a tensão senoidal estará sempre adiantada ϕ=
π
2
rdem
relação à corrente.
Análise da figura 12 – 02: Um indutor já estabilizado no regime forçado senoidal terá a seguinte
relação entre a queda de tensão nos seus terminais e a corrente no circuito, de acordo com a
expressão (7.3) vdL(t)=L
di(t)
dt
:
1) - Nos instantes angulares ωt=
π
2
rd e ωt=
3π
2
rd a corrente no circuito estará com
amplitudes de pico ±i
P(t), portanto ela “pára de variar”, e teremos
di(t)
dt
=0 . Uma reta
tangente nesses pontos estará com “ângulo zero” em relação à horizontal, e assim não haverá queda
de tensão vdL(t)=0V.
2)- No instante ωt=πrd a senoide da corrente de
alimentação cruza o eixo horizontal, “descendo” da
região positiva para a negativa, é onde ocorre a
“máxima variação negativa” da sua derivada
di(t)
dt
→−∞. Uma reta tangente nesse ponto
estará com ângulo máximo negativo, em relação à
horizontal, portanto a queda de tensão será máxima
negativa vdL(t)=−V
P.
3) - Nos instantes ωt=0rde ωt=2πrd a
senoide da corrente no circuito cruza o eixo horizontal,
“subindo” da região negativa para a positiva, é onde
ocorre a “máxima variação positiva” da sua derivada
di(t)
dt
→+∞. Uma reta tangente nesse ponto estará
com ângulo máximo positivo, em relação à horizontal,
portanto a queda de tensão será máxima positiva
vdL(ωt)=+V
P.
Queda de tensão instantânea no indutor
A partir da expressão (7.3), e em função da tensão de
pico, teremos: V
P
cosωt=L
di(t)
dt
(12.1)
Relação fasorial entre a corrente e a tensão
Da expressão (12.1) vamos calcular a corrente
instantâneai(t):
2

3. Análise de circuitos elétricos CC e CA Pedro Barros Neto
1.Trazer o termo diferencial para o primeiro membro e multiplicar os dois membros pordt:
L.di(t)=(V
Pcosωt)dt.
2.Levar Lpara o segundo membro: di(t)=
V
P
L
(cosωt)dt.
3.Integrar os dois membros:∫di(t)=
V
P
L
∫(cosωt)dt.
Método da substituição: u=ωt →
du
dt
=
dωt
dt

du
dt
=ω du=ωdtou dt=
du
ω
∫di(t)=
V
P
L
∫(cosu)
du
ω
como ω é constante, ∫di(t)=
V
P
ωL
∫(cosu)du.
Resolvendo: i(t)=
V
P
ωL
(senu) então i(t)=
V
P
ωL
(senωt)+i(0) ou i(t)=
V
ωL
+i(0)
(12.2)
Esta expressão nos indica que a corrente instantânea no indutor é:
•Diretamente proporcional ao valor de pico da tensãoV
P.
•Inversamente proporcional à indutância L e à frequência angular ω.
•A função seno indica que a corrente é atrasada 90° em relação à tensão:
φ=−j(
π
2
)rd.
A constante C representa o valor médio da corrente em um período, ou nível CC. Se a carga
for puramente indutiva, a corrente média é “zero” e a constante pode ser desprezada.
Como o termo ω.L é a Reatância indutiva X
L
, a corrente de pico corresponde a I
P
=
V
P
X
L
ou em valores eficazes I=
V
X
L
.
Relação de fase e impedância
A tensão estará adiantada em relação à corrente, e num gráfico onde a corrente é a referência de
fase, o ângulo “fi” será positivo, com o vetor da tensão para cima (j).
Assim teremos, para um indutor ideal, ϕ=
π
2
rd como cos
π
2
=0, teremos: X
L
=jωL
ou X
L=j(2πf)L.
•Com R=0Ω e C=0Ωno indutor ideal: Z=jX
L
Ω (impedância igual à reatância)
e FP=0.
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4. Análise de circuitos elétricos CC e CA Pedro Barros Neto
Potência instantânea no indutor:
Tomando a expressão da potência instantânea dada no capítulo 9 (9-09):
S(ωt)=[P−Pcos2ωt]−[Qsen2ωt]. Como a defasagem entre a corrente e a tensão é
ϕ=
π
2
rd, teremos: cosϕ=0, o que vai anular o primeiro termo da potência eficaz
P=VIcosϕ(9.10) , enquanto que sen−ϕ=1determinará o sinal da segunda parcela, que é
a potência reativa Q=V.I(sen+ϕ)(9.08). Assim, a potência total instantânea, será:
S(ωt)=Qsen2ωt.
A simetria da senoide da potência em relação ao eixo “zero” faz com que sua integração seja “zero”,
portanto há apenas uma troca de potência reativa entre fonte e o indutor, com uma circulação de
corrente que não produz trabalho e apenas ocupa a capacidade dos condutores elétricos.
Nesta caso não há triângulo das potências pois a potência aparente é igual à potência reativa:
S=Q.
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