14.3 derivadas parciais [pt. 1]

1,051 views 29 slides Aug 27, 2020
Slide 1
Slide 1 of 29
Slide 1
1
Slide 2
2
Slide 3
3
Slide 4
4
Slide 5
5
Slide 6
6
Slide 7
7
Slide 8
8
Slide 9
9
Slide 10
10
Slide 11
11
Slide 12
12
Slide 13
13
Slide 14
14
Slide 15
15
Slide 16
16
Slide 17
17
Slide 18
18
Slide 19
19
Slide 20
20
Slide 21
21
Slide 22
22
Slide 23
23
Slide 24
24
Slide 25
25
Slide 26
26
Slide 27
27
Slide 28
28
Slide 29
29

About This Presentation

Aula de derivadas parciais 2020/3


Slide Content

Semestre especial PLSE 2020/3
Professor Cristiano C. Miranda
Derivadas Parciais

Introdução
Demodoresumido,derivadaéataxadecrescimentopontualdeuma
função,paraocasodeumaouváriasvariáveis.Essataxapodeser
positivaounegativa,oqueindica,respectivamente,seafunçãoestá
ganhandoouperdendovalor.
tan??????=lim
ℎ→0
��+ℎ−��

=�′(�)

Introdução
Ainterpretaçãogeométricadaderivadadefunçãodeumavariáveléa
inclinaçãodeumaretatangenteaográficodafunção.
Vejacomoaderivada
explicaaformade
crescimentodafunção�(�)

Introdução
Paraocasodefunçõesdeduasvariáveis,aderivadapoderepresentara
inclinaçãodeumplanotangenteaográficodafunção.

Motivação
OíndiceHumidex(I)
Emumdiaquente,aumidademuitoaltaaumentaasensaçãodecalor,
aopassoque,seoarestámuitoseco,temosasensaçãodetemperatura
maisbaixadoqueaindicadanotermômetro.OServiçoMeteorológico
doCanadáintroduziuohumidex(ouíndicedetemperatura-umidade)
paradescreverosefeitoscombinadosdatemperaturaeumidade.O
humidex�éatemperaturaaparentedoarquandoatemperaturareal
for??????eaumidaderelativafor�.Dessemodo,�éumafunçãode??????e�
epodemosdescrever�=�(??????,�).
Índice de calor�como
umafunçãode
temperature ??????e umidade
�.
�
�

A tabelade valoresde Ia seguiré a partede umatabelacompilada
peloServiçoMeteorológico.
Motivação
Índicede calorI comoumafunçãode temperaturae umidade
Por hora,
tomaremos
comoexemploo
valor�30,60=
38
Vejaquesefixarmosumvalorde??????=30afunção
dependeráapenasdeH.Setornaumafunçãodeuma
variável��=??????(��,�),ousejaoíndice�varia
conformecaminha-senadireçãode�

A tabelade valoresde Ia seguiré a partede umatabelacompilada
peloServiçoMeteorológico.
Motivação
Índicede calorI comoumafunçãode temperaturae umidade
Peladefinição,jásabemoscomocalcularaderivadade�(�).
�

60=lim
ℎ→0
�60+ℎ−�60

Usaremos os dados da tabela para estimar esse limite

Motivação
Índicede calorI comoumafunçãode temperaturae umidade
�

60≈
�65−�60
5
=
40−38
5
=0,4
�

60≈
�55−�60
−5
=
37−38
−5
=0,2
Parafazeraaproximaçãodovalordaderivada,vamosanalisarovalorde
�

60≈
�60+ℎ−�60

àdireitaeaesquerdade�=60
Seoincrementoℎ=5
temos:
Seoincrementoℎ=−5
temos:
60+560-5
Fazendoamédiatemosqueataxadecrescimentopontualdoíndice�é
0,4+0,2
2
=0,3,ouseja�aumenta0,3°�paracadapercentualde�.

Motivação
Umarepresentaçãográficadessasituaçãoficadaseguinteforma:
�

60≈
�65−�60
5
=
40−38
5
=0,4
�

60≈
�55−�60
−5
=
37−38
−5
=0,2

Motivação
Índicede calorI comoumafunçãode temperaturae umidade
Podemosfazerumaestimativaparaderivadade�(??????,�)nadireçãode??????.Basta
fixar�=60edefinir�??????,60=�(??????)comoumafunçãoquedependeapenas
de??????.
�

30=lim
ℎ→0
�30+ℎ−�30

�

30≈
�32−�30
2
=
42−38
2
=2
�

30≈
�28−�30
−2
=
35−38
−2
=1,5
Seoincrementoℎ=2
temos:
Seoincrementoℎ=−2
temos:
Basta fazer a média
aritmética para determinar
qual é a aproximação da
derivada
�

��≈
�+�,�
�
=�,??????�

Definição
Calculamosatéentão�

(60)e�′30:
�

60=lim
ℎ→0
�60+ℎ−�60

≈0,3e�

30=lim
ℎ→0
�30+ℎ−�30

≈1,75
Porém,pode-severque�60+ℎ=�(30,60+ℎ),e�60=�(30,60)
Assimpodemosreescrever�

60=lim
ℎ→0
??????30,60+ℎ−??????30,60

=�
??????

30,60≈0,3
Etambémreescrever�

30=lim
ℎ→0
??????30+ℎ,60−??????30,60

=�
??????

30,60≈1,75
Generalizando:
�
??????

�,�=lim
ℎ→0
��+ℎ,�−��,�

;�
??????

(�,�)=lim
ℎ→0
��,�+ℎ−��,�

Derivadade??????(??????,�)noponto(�,�)na
direção??????
Derivadade??????(??????,�)noponto(�,�)na
direção�

Definição
Seja??????(�,�)umafunção??????:??????
�
→??????.Pode-secalcularasDerivadasParciaisnoponto
(�,�)nasdireçãode�,
??????
�

�,�=�??????�
�→�
??????�+�,�−??????�,�
�
,
ede�,
??????
�

�,�=���
�→�
??????�,�+�−??????�,�
�
.
AsfunçõesDerivadasParciaisficam:
??????
�

�,�=�??????�
�→�
??????�+�,�−??????�,�
�
,
??????
�

�,�=�??????�
�→�
??????�,�+�−??????�,�
�
.

Exemplos
1.Seja??????�,�=??????−�
�
−�
�
.Encontreasderivadasparciaisnoponto�,−�.
PodemosrepetiroquefizemosnocasodafunçãoHumidex.
Quandofixamos�=1temos:�1,�=8−�
2
=�(�),ouseja,umafunçãode
umavariável.Suaderivadapara�=−1fica:
�

(−1)=lim
ℎ→0
�−1+ℎ−�−1

=lim
ℎ→0
8−−1+ℎ
2
−7

=
=lim
ℎ→0
8−1−2ℎ+ℎ
2
−7

=lim
ℎ→0
(2−ℎ)=2
Tambémpodemosusaroseguintemétodoequivalente:
�
�1,−1=lim
ℎ→0
�1,−1+ℎ−�1,−1

=lim
ℎ→0
8−−1+ℎ
2
−7

,
�
�1,−1=2

Exemplos
1.Seja??????�,�=??????−�
�
−�
�
.Encontreasderivadasparciaisnoponto�,−�.
Domesmomodo,quandofixamos�=−1temos:��,−1=8−�
2
=ℎ(�),ou
seja,umafunçãodeumavariável.Suaderivadaparax=1fica:


1=lim
ℎ→0
ℎ1+ℎ−ℎ1

=lim
ℎ→0
8−1+ℎ
2
−7

=
=lim
ℎ→0
8−1+2ℎ+ℎ
2
−7

=lim
ℎ→0
−2−ℎ=−2
Tambémpodemosusaroseguintemétodoequivalente:
�
�1,−1=lim
ℎ→0
�1+ℎ,−1−�1,−1

=lim
ℎ→0
8−1+ℎ
2
−7

,
�
�1,−1=−2

�??????�
�→�
−��−��
�
=
2.Seja??????�,�=??????−�
�
−�
�
.Encontreasderivadasparciaisdeprimeiraordem.
Usandoadefiniçãodafunçãoderivadaparcial,
??????
��,�=�??????�
�→�
??????�+�,�−??????�,�
�
,
Temosparaafunção??????
�:
�??????�
�→�
??????−�
�
−���−�
�
−�
�
−??????+�
�
+�
�
�
=
Exemplos
�??????�
�→�
−��−�=−��
??????
��,�=−��
??????
��,�=�??????�
�→�
??????−�+�
�
−�
�
−(??????−�
�
−�
�
)
�
=

2.Seja??????�,�=??????−�
�
−�
�
.Encontreasderivadasparciaisdeprimeiraordem.
Usandoadefiniçãodafunçãoderivadaparcial,
??????
��,�=�??????�
�→�
??????�,�+�−??????�,�
�
,
Temosparaafunção??????
�:
�??????�
�→�
−��−��
�
=�??????�
�→�
??????−�
�
−�
�
−���−�
�
−??????+�
�
+�
�
�
=
Exemplos
�??????�
�→�
−��−�=−��
??????
��,�=−��
??????
��,�=�??????�
�→�
??????−�
�
−(�+�)
�
−(??????−�
�
−�
�
)
�
=

RESUMODOSEXEMPLOS
Exemplos
??????
��,−�=−�
??????
��,−�=�
??????
��,�=−��
??????
��,�=−��
Devidasparciaisde??????�,�=??????−�
�
−�
�
,noponto(�,−�)
Devidasparciaisde??????�,�=??????−�
�
−�
�
.
Oresultadoéumnúmeroquerepresentaa
inclinaçãodaretatangenteà�(�,�)noponto
(1,−1).Vejaque(1,−1)pertenceaodomínio
de�(�,�)
Oresultadoéumafunçãoquerepresentaa
inclinaçãodaretatangenteà�(�,�)no
ponto(�,�).Percebaque�,�deve
pertenceraodomíniode�(�,�)
Usaremosadefiniçãoapenasemalgumassituaçõesespecíficas.
Namaioriadassituaçõesasderivadasparciaisserãocalculadas
usandoasregrasdederivaçãojáconhecidasdoCálculoI

Existemalgumasnotaçõesalternativasparaooperadorderivadasparciais.Algumas
maiseconômicasemespaçoeoutrasmelhoresparademonstrações
Notação
??????
��,−�=
????????????(�,−�)
??????�
=
??????�
??????�

�=�
�=−�
=−�
??????
��,−�=
????????????(�,−�)
??????�
=
??????�
??????�

�=�
�=−�
=�
??????
��,�=
????????????(�,�)
??????�
=
??????�
??????�
=−��??????
��,�=
????????????(�,�)
??????�
=
??????�
??????�
=−��
Devidasparciaisde??????�,�=??????−�
�
−�
�
,noponto(�,−�)
Devidasparciaisde??????�,�=??????−�
�
−�
�
.
??????
��,�=??????
�=
????????????
??????�
=
????????????(�,�)
??????�
=
??????�
??????�
=??????
�??????=�??????�
�→�
??????�+�,�−??????�,�
�
??????
��,�=??????
�=
????????????
??????�
=
????????????(�,�)
??????�
=
??????�
??????�
=??????
�??????=�??????�
�→�
??????�,�+�−??????�,�
�
Derivada com
relaçãoa �
mantendo�como
umaconstante.
Derivada com
relaçãoa �
mantendo�como
umaconstante.

3.Usandoasregrasdederivação,calculeasderivadasparciaisdeprimeiraordemde
??????=??????�,�=��
�
�
�
.
Exemplos
??????
��,�=
??????
??????�
��
�
�
�
= ���
�
�
�
Derivada com
relaçãoa �
mantendo�como
umaconstante.
Notação
alternativ
a.
�
�
??????
??????�
��
�
=
O�éuma
constante.
Podesairdo
operador
Usando a
regra do
tombo,
�⋅�=��
??????�
??????�
=
??????
��,�=
??????
??????�
��
�
�
�
= ���
�
�
�
Derivada com
relaçãoa �
mantendo�como
umaconstante.
Notação
alternativ
a.
�
�
??????
??????�
��
�
=
O�éuma
constante.
Podesairdo
operador
Usando a
regra do
tombo,
�⋅�=��
??????�
??????�
=

3.Usandoasregrasdederivação,calculeasderivadasparciaisdeprimeiraordemde
??????=??????�,�=????????????�(�
�
�).
Exemplos
??????
??????�
sin(�
�
�)=
Derivada com
relaçãoa �
mantendo�como
umaconstante.
Usando a
regra do
tombo,fica
��
Nota-seque�(�,�)éumafunçãocomposta,dotiposin(ℎ(�,�)),
ondeℎ�,�=�
2
�.
co??????�
�
�⋅
??????
??????�
�
�
�=
Derivadade
fora
O�éuma
constante.
Podesairdo
operador
co??????�
�
�⋅�⋅
??????
??????�
�
�
=���co??????�
�
�

3.Usandoasregrasdederivação,calculeasderivadasparciaisdeprimeiraordemde
??????=??????�,�=????????????�(�
�
�).
Exemplos
??????
??????�
sin(�
�
�)=
Derivada com
relaçãoa y
mantendoxcomo
umaconstante.
Usando a
regra do
tombo,fica
1
Nota-seque�(�,�)éumafunçãocomposta,dotiposin(ℎ(�,�)),
ondeℎ�,�=�
2
�.
co??????�
�
�⋅
??????
??????�
�
�
�=
Derivadade
fora
O�éuma
constante.
Podesairdo
operador
co??????�
�
�⋅�
�

??????
??????�
�=�
�
co??????�
�
�
Derivadadefora
Derivadade
dentro

4.Calculeasderivadasparciaisdesegundaordemde??????=??????�,�=????????????�(�
�
�).
Derivadas
sucessivas
Játemosoresultadodasderivadasdeprimeiraordem
. ??????
??????�
sin(�
�
�)=�
�
co??????�
�
�
??????
�
??????�
�
sin(�
�
�)=
���co??????�
�
�
Vamoscalcular,então,
??????
�
??????�
�
sin(�
�
�)e
??????
�
??????�
�
sin(�
�
�).
??????
??????�
sin(�
�
�)=
??????
??????�
���co??????�
�
�=
??????
??????�
���⋅co??????�
�
�+���⋅
??????
??????�
co??????�
�
�=
??????
??????�
??????
??????�
sin�
�
�=
��co??????�
�
�+���−sin�
�
�⋅
??????
??????�
�
�
�=
��co??????�
�
�−���sin�
�
�⋅���=��co??????�
�
�−��
�
�
�
sin�
�
�
Regra do
produto
Derivada
da 1ª
função
2ªfunção
1ªfunção
Derivada
da 2ª
função
Funçãocomposta

xéconstante
4.Calculeasderivadasparciaisdesegundaordemde??????=??????�,�=????????????�(�
�
�).
Derivadas
sucessivas
Játemosoresultadodasderivadasdeprimeiraordem
. ??????
??????�
sin(�
�
�)=�
�
co??????�
�
�
??????
�
??????�
�
sin(�
�
�)=
���co??????�
�
�
Vamoscalcular,então,
??????
�
??????�
�
sin(�
�
�)e
??????
�
??????�
�
sin(�
�
�).
??????
??????�
sin(�
�
�)=
??????
??????�
�
�
co??????�
�
�=
??????
??????�
??????
??????�
sin�
�
�=
Função
composta
�
�
??????
??????�
co??????�
�
�=
−�
�
sen�
�
�
??????
??????�
�
�
�=
xéconstante
−�
�
sen�
�
�
Derivada
defora
Derivada
dedentro

5.Calculeasderivadasparciaismistasdeordem2dafunção??????=??????�,�=
????????????�(�
�
�).
Derivadas
sucessivas
Játemosoresultadodasderivadasdeprimeiraordem
. ??????
??????�
sin(�
�
�)=�
�
co??????�
�
����co??????�
�
�
??????
??????�
sin(�
�
�)=
Vamoscalcular,então,
??????
�
??????�??????�
sin(�
�
�)e
??????
�
??????�??????�
sin(�
�
�).
??????
�
??????�??????�
sin(�
�
�)=
??????
??????�
���co??????�
�
�=
??????
??????�
??????
??????�
sin�
�
�=
Regra do
produto
??????
??????�
���⋅co??????�
�
�+���⋅
??????
??????�
co??????�
�
�=��co??????�
�
�+���−sin�
�
�⋅
??????
??????�
�
�
�=
Regra do
produto
Derivada
da 1ª
função
2ªfunção
1ªfunção
Derivada
da 2ª
função
��co??????�
�
�−���sin�
�
�⋅�
�
=��co??????�
�
�−��
�
�sin�
�
�

5.Calculeasderivadasparciaismistasdeordem2dafunção??????=??????�,�=
????????????�(�
�
�).
Derivadas
sucessivas
Játemosoresultadodasderivadasdeprimeiraordem
. ??????
??????�
sin(�
�
�)=�
�
co??????�
�
����co??????�
�
�
??????
??????�
sin(�
�
�)=
Vamoscalcular,então,
??????
�
??????�??????�
sin(�
�
�)e
??????
�
??????�??????�
sin(�
�
�).
??????
�
??????�??????�
sin(�
�
�)=
??????
??????�
�
�
co??????�
�
�=
??????
??????�
??????
??????�
sin�
�
�=
Regra do
produto
??????
??????�
�
�
⋅co??????�
�
�+�
�

??????
??????�
co??????�
�
�=��co??????�
�
�+�
�
−sin�
�
�⋅
??????
??????�
�
�
�=
Regra do
produto
Derivada
da 1ª
função
2ªfunção
1ªfunção
Derivada
da 2ª
função
��co??????�
�
�−�
�
sin�
�
�⋅���=��co??????�
�
�−��
�
�sin�
�
�
Mesmoresultado

Resumindoosexercícios4,5e6
Derivadas
sucessivas
Játemosoresultadodasderivadasdeprimeiraordem
. ??????
??????�
sin(�
�
�)=�
�
co??????�
�
����co??????�
�
�
??????
??????�
sin(�
�
�)=
??????
�
??????(�,�)
??????�??????�
=
??????
??????�
�
�
co??????�
�
�=
??????
??????�
??????
??????�
sin�
�
�= ��co??????�
�
�−��
�
�sin�
�
�
??????
�
??????(�,�)
??????�??????�
=
??????
??????�
���co??????�
�
�=
??????
??????�
??????
??????�
sin�
�
�= ��co??????�
�
�−��
�
�sin�
�
�
??????
�
??????(�,�)
??????�
�
=
??????
??????�
���co??????�
�
�=
??????
??????�
??????
??????�
sin�
�
�= ��co??????�
�
�−��
�
�
�
sin�
�
�
??????
�
??????(�,�)
??????�
�
=
??????
??????�
�
�
co??????�
�
�=
??????
??????�
??????
??????�
sin�
�
�= −�
�
sen�
�
�
Resultado Importante

Teorema de Clairaut
TeoremadeClairautSuponhaque�(�,�)sejadefinidaemumabola
aberta�quecontenhaoponto(�,�).Seasfunções
??????
�
??????(�,�)
??????�??????�
e
??????
�
??????(�,�)
??????�??????�
foremambascontínuasem�,então
??????
�
??????(�,�)
??????�??????�
=
??????
�
??????(�,�)
??????�??????�
�(�,�)=�
3
+�
2
�
3
–2�
2
.Considereafunção
Analiseasseguintesderivadasmistas:
????????????(�,�)
??????�
= 3�
2
+2��
3
??????
??????�
�
3
+�
2
�
3
–2�
2
=
????????????(�,�)
??????�
=3�
2
�
2
–4�
??????
�
??????(�,�)
??????�??????�
=
??????
??????�
????????????�,�
??????�
=
??????
??????�
3�
2
�
2
–4�=6��
2
??????
�
??????(�,�)
??????�??????�
=
??????
??????�
????????????�,�
??????�
=
??????
??????�
3�
2
+2��
3
=6��
2
�se torna
constante
Mesmo
resultado

Teorema de Clairaut
TeoremadeClairautSuponhaque�(�,�)sejadefinidaemumabola
aberta�quecontenhaoponto(�,�).Seasfunções
??????
�
??????(�,�)
??????�??????�
e
??????
�
??????(�,�)
??????�??????�
foremambascontínuasem�,então
??????
�
??????(�,�)
??????�??????�
=
??????
�
??????(�,�)
??????�??????�
Vocêtambémpodeverificarque
??????
�
??????(�,�)
??????�??????�
�
=
??????
�
??????(�,�)
??????�
�
??????�
=
??????
�
??????(�,�)
??????�??????�??????�
??????
??????�
??????
??????�
????????????(�,�)
??????�
=
??????
??????�
??????
??????�
????????????(�,�)
??????�
=
??????
??????�
??????
??????�
????????????(�,�)
??????�
=
??????
�
??????(�,�)
??????�??????�
�
=
??????
�
??????(�,�)
??????�
�
??????�
=
??????
�
??????(�,�)
??????�??????�??????�
??????
??????�
??????
??????�
????????????(�,�)
??????�
=
??????
??????�
??????
??????�
????????????(�,�)
??????�
=
??????
??????�
??????
??????�
????????????(�,�)
??????�
=
Eaindaverificarque

Anote suas dúvidas!
Estarei sempre disposto a tirar vossas dúvidas. Boa leitura!