17 aula intervalos reais

17 aula intervalos reais

1. Intervalos reais

2. 2–3
Considere os conjuntos A = {x Î ℤ /–3 ≤ x < 2} e
B = {x Î ℝ /–3 ≤ x < 2}. É verdade que A = B?
O conjunto A tem apenas os elementos –3, –2, –1, 0 e
1, enquanto o conjunto B tem infinitos elementos,
dentre os quais estão os elementos de A.
O conjunto B pode ter seus elementos representados
na reta real, delimitando-se uma parte dessa reta. veja

3. Muitas vezes trabalhamos com determinados
subconjuntos de ℝ (partes da reta), denominados
intervalos reais. Em geral eles são definidos por
desigualdades.
Suponhamos dois números reais a e b tais que
a < b. Os subconjuntos de ℝ definidos a seguir são
chamados de intervalos reais de extremos a e b.

4. ba
Intervalos reais – limitados
Intervalo fechado a, b.
Representações: [a, b] = {x Î ℝ /a ≤ x ≤ b}
Na reta real:
ba
Intervalo aberto a, b.
Representações: ]a, b[ = {x Î ℝ /a < x < b}
Na reta real:

5. ba
Intervalos reais – limitados
Intervalo fechado em a e aberto em b.
Representações: [a, b[ = {x Î ℝ /a ≤ x < b}
Na reta real:
ba
Intervalo aberto em a e fechado em b.
Representações: ]a, b] = {x Î ℝ /a < x ≤ b}
Na reta real:

6. Cada intervalo inclui todos os reais entre a e b; para
os extremos a e b, temos:
inclusão do extremo Û fechado Û bolinha cheia
(•) Û colchetes normais [ ].
exclusão do extremo Û aberto Û bolinha vazia
(o) Û colchetes invertidos ] [.

7. a
Intervalos reais – ilimitados

Intervalo de a fechado até +¥.
Representações: [a, +¥[ = {x Î ℝ / x ≥ a}
Na reta real:
a

Intervalo de a aberto até +¥.
Representações: ]a, +¥[ = {x Î ℝ /x > a}
Na reta real:

8. a
Intervalos reais – ilimitados

Intervalo de –¥ até a fechado.
Representações: ]–¥, a] = {x Î ℝ / x ≤ a}
Na reta real:
a

Intervalo de –¥ até a aberto.
Representações: ]–¥, a[ = {x Î ℝ /x < a}
Na reta real:

9. 5–3
Exemplos
Vamos analisar, em detalhes, o intervalo real
A = [–3, 5[
Temos um intervalo fechado em –3 e aberto em 5;
Representa todos os reais entre –3 e 5;
Inclui o extremo –3 e exclui o extremo 5.
A = {x Î / –3 ≤ x < 5}
ℝ
Note que: –3 Î A; 4,99 Î A; 5 Ï A

10. Analisando o intervalo B, representado na reta real:
temos um intervalo aberto de 2 a + ¥;
estão indicados todos os reais maiores que 2;
o extremo 2 está excluído;
B = {x Î / x > 2}
ℝ
Note que: 0 Ï B; 2 Ï B; 2,001 Î B; 10
35
Î B
2

11. Operações com
intervalos reais

12. Operando com intervalos reais
Podemos efetuar, com intervalos, as operações
usuais com conjuntos.
A Ç B ® A interseção B: conjunto dos elementos
comuns a A e B;
A È B ® A união B: conjunto dos elementos que
pertencem a pelo menos um dos conjuntos A ou B;
A – B ® A menos B: conjunto dos elementos que
pertencem a A e não pertencem a B.
Na prática, operações que envolvem intervalos são
efetuadas a partir da representação na reta real.

13. –2 5
3
3 5
Exemplo
1)Dado os intervalos A = ]–2, 5] e B = ]3, + ¥[ ,
obter: A Ç B, A È B e A – B.
Cálculo de A Ç B.
A = ]–2, 5]
B = ]3,+¥[
A B
⋂
= ]3, 5]

14. –2 5
3
–2
Cálculo de A È B.
A = ]–2, 5]
B = ]3,+¥[
A È B = ]–2, +¥[

15. –2 5
3
–2 3
Cálculo de A – B.
A = ]–2, 5]
B = ]3,+¥[
A B
⋂
= ]–2, 3]

16. 2) Complete o quadro abaixo.
{x Î ; x ≥ 3}
ℝ
[3,+¥[
{x Î ; –7 ≤ x < 4}
ℝ
[–7, 4[
{x Î ; –2 ≤ x ≤ ½}
ℝ
[–2, ½]
{x Î ; x > –1}
ℝ
]–1, +¥[
{x Î ; –5 < x ≤ 2}
ℝ
]–5, 2]
{x Î ; x ≤ 5}
ℝ
]–¥, 5]
Subconjunto de
ℝ
Representação na
reta
intervalo
5
2–5
–1
½ –2
4–7
3

17. 3) Chama-se amplitude de um intervalo real limitado
e fechado a medida de seu comprimento na reta real,
ou ainda, a distância entre seus extremos.
a)Qual é a amplitude dos intervalos [2, 5] e [–3, 4]?
b)Sendo a e b reais, com a < b, qual é a amplitude
do intervalo [a, b]?
c)Escreva todos os intervalos fechados de amplitude
4, sendo –1 um de seus extremos.
3 e 7
b – a
[–5, –1] e [–1, 3]

18. Exemplos
4)Escreva dois intervalos A e B, limitados, aos quais
pertença o real p e não pertençam os reais 3 e 4.
Escreva, também, um intervalo limitado C, de
amplitude 1,5 e ao qual pertençam dois números
primos.
A = ]3, p] e B = [p, 4[
C = [2; 3,5]

19. Referências:
•IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo;
DEGENSZAJN, David; PÉRIGO,
Roberto. MATEMÁTICA – Ensino
Médio. 6ª edição. São Paulo: Atual,
2015.
•DANTE, Luiz Roberto. Matemática.
Ensino Médio. Projeto Múltiplo. São
Paulo: Ática: 2014.
•GIOVANNI, José Rui; PARENTE,
Eduardo. Aprendendo Matemática.
São Paulo: FTD, 2007
•Prof. Jorge. <
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