1TIPOS DE FUNCIONES estudiantes conocimientos básicos .pdf

Funciones1

1. Objetivo: Identificar los tipos de
funciones, sus gráficas,
características, análisis y solución
de ejercicios utilizando funciones
FUNCIONES EN
LOS REALES

2. Funciones
Unafunciónesunarelaciónestablecidaentredos
variablesqueasociaacadavalordelaprimera
variable(variableindependientex),unúnicovalor
delasegundavariable(variabledependientey).
Estarelaciónserepresentamediantey=f(x)
Definición

3. CLASIFICACIÓN DE
LAS FUNCIONES

5. Algunas funciones y sus gráficas
Funciones lineales
????????????=????????????+??????
????????????=??????
??????
�
�
????????????=????????????+??????
??????
�
�
????????????=????????????
�
�

6. Funciones polinómiales
????????????=??????
??????
Funciones de raíz
????????????=
??????
??????
????????????=??????
2
????????????=??????
3
????????????=??????
4
????????????=??????
5
� � � �
� � � �
????????????=?????? ????????????=
3
?????? ????????????=
4
?????? ????????????=
5
??????
� � � �
� � � �

7. Funciones valor absoluto
Funciones recíprocas
????????????=
1
??????
??????
????????????=??????
????????????=
1
??????
????????????=
1
??????
2
�
�
�
�
????????????=?????? ????????????=??????
� �
�
�

9. Dominio:eselconjuntodevaloresparaloscualesestádefinida
(lavariableindependiente(x).
Recorrido:eselconjuntodevaloresquetomalafunción
(variabledependientey).
Ceros:Loscerosdeunafunciónsonlospuntosdecorteconel
ejehorizontalx.Todoscumplenquef(x)=y=0.Sonimportantes
porqueenelloslafunciónpuedecambiardesigno.
Paracalcularlosceros:
Sitenemoslaexpresiónanalíticadeunafunción(su
ecuación),resolvemosf(x)=0
Siloquetenemoseslagráficadelafunción,losceros
sonlospuntosdecortedelagráficaconelejex

10. Enlafunciónfquerepresentaelsiguiente
diagramasagitalloselementosson:
Por ejemplo
Dominiof:{1,2,3,4,5}
Conjunto de llegada o
codominio
f:{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}
Rangof:{2,4,6,8,10}

11. Ceros de la función
Observa que en x=x
1la función pasa de ser negativa a ser positiva; en x=x
2
y x=x
4pasa de ser positiva a ser negativa; En x=x
6no cambia el signo. Por
otro lado, observa que en la asíntota verticalx=x
3y en el cambio de rama
x=x
5, la función pasa de negativa a positiva sin que haya ningún cero.
Cerosdelafunción
Lagráficadelafigura
representaunafuncióncon
tresseccionesoramas.Enazul
sehanseñaladoloscerosdela
misma.Laramamásala
izquierdacuentacondos
ceros,enx=x
1yx=x
2.Enla
segundarama,hayuncero,
enx=x
4.Enlaterceraramahay
unceroenx=x
6.

12. Signo:Consisteendeterminarelconjuntodevaloresdexparalos
cualesf(x)>0,(signopositivo)yelconjuntodevaloresparalos
cualesf(x)<0,(signonegativo).
Estos son: (x
1, x
2), (x
3, x
4) y (x
6, ∞). Los tramos en los que transcurre por
debajo del eje x(y<0) son tramos de signo negativo. Estos son: (-∞, x
1),
(x
2, x
3) y (x
4, x
5).
Signo de una función
En la ilustración tenemos, en
trazo rojo, la gráfica de una
función. Los tramos en los que
transcurre por encima del eje
x(y>0), son tramos de signo
positivo.

13. Funciónafínmodeloy=mx+b
b:Nosdicedondelarectacruzaconelejey
m:Indicaquetaninclinadeslarecta(pendiente)

15. Cincopropiedadesdelasfunciones
1)Cerosoraíces
2)Conjuntodepositividad
3)Conjuntodenegatividad
4)Monotonía
5)Paroimpar
∀??????∈Τ??????????????????=0
∀??????∈Τ??????????????????>0
∀??????∈Τ??????????????????<0
Creciente
Decreciente
∀??????
1>??????
2∈??????→??????(??????
1)>??????(??????
2)
∀??????
1<??????
2∈??????→??????(??????
1)<??????(??????
2)
Par
Impar, ( ) ( )x D f x f x  = − , ( ) ( )x D f x f x  = −

16. FUNCIÓN CUADRÁTICA
Unafuncióncuadrática(ofuncióndesegundogrado)esunafunción
polinómicadegrado2,esdecir,elmayorexponentedelpolinomioesx
elevadoa2(x
2
).
Sona,bycescalares,valoresconstantesodenominados,que
tambiénsedenominanloscoeficientesdelafunción.
Surepresentacióngráficaesunaparábolavertical.2
( ) 8 , 0f x ax x c siendoa= + + 

17. Existendoselementosfundamentalesenlaparábolaque
definencomoesesta:
1.Elejedesimetría,queesunarectaverticalquepartela
parábolaendosramasiguales.
2.Elvértice:eselpuntodeinterseccióndelaparábolaconel
ejedesimetría.
Sielescalara>0,laparábolaseabrehaciaarribayelvértice
eselmínimodelafunción.Encambio,sia<0,laparábolase
abrehaciaabajoyelvérticeeselmáximodelafunción.

18. Cuanto mayor sea el valor absoluto de a, |a|, más
juntas estarán las ramas de la parábola.

19. Unafuncióncuadráticapuedetenerdosraícesreales,
unaoningunaraízreal(enestecasoserándosraíces
imaginarias).Lasraícesdeunafunciónsonloselementos
deldominiotalquesuimagenesnula(f(x)=0).Dichode
otramanera,lasraícessonlospuntosdondelagráfica
delafuncióncortaelejex.
Lafórmulaparaelcálculodelasraícesdeunaecuación
cuadráticaes:
Alcontenidocomprendidodentrodelradicaldeesta
fórmulaselellamadiscriminanteyserepresentaasí:

20. Lafórmulaparaelcálculodelasraícesdeunaecuación
cuadráticaes:
Alcontenidocomprendidodentrodelradicaldeesta
fórmulaselellamadiscriminanteyserepresentaasí:
Sepuedetambiénexpresarlaecuacióncuadrática,en
funcióndesusraícesydelescalara,deestamanera,por
factorización:

22. Laecuacióndelarectadelejedesimetría,porelmismo
conceptodelasimetría,sepuedehallarconlamedia
aritméticadelospuntosdecorteconelejex,esdecir,la
mediaaritméticadesusraíces:
Traslación horizontal
Cuando se cumple que a > 0 y b > 0 o, también, que a < 0 y b < 0, en
ambos casos, el eje de simetría se encuentra a la izquierda del eje y.
Cuando se cumple que a > 0 y b < 0 o, también, que a < 0 y b > 0, en
ambos casos, el eje de simetría se encuentra a la derecha del eje y.
Si el valor del escalar b = 0, el eje de simetría coincide con el eje y.
Estos casos se ven en esta figura:

24. Intersecciones o puntos de corte
Lasinterseccionessonlospuntosenlosquelafuncióncortalos
ejesyyx.
Laintersecciónconelejeydeunafuncióncuadráticase
producecuandohacemosx=0.Essiempreelpunto(0,c).Sila
funciónesincompletaynoexisteelparámetroc(esdecir,
c=0),laintersecciónseráelpunto(0,0).
Laintersecciónconelejexde
unafuncióncuadráticasonlas
raícesx
1yx
2delamisma.Se
producencuandohacemos
y=0.Comosehadichomás
arribaydependiendo del
discriminanteΔ,pueden
haberdosounaraícesreales,
oenelcasodequeΔ<0
entonces son raíces
complejas.

25. Característicasde la función cuadrática
Siendo f(x)=ax
2
+bx+c, entonces tenemos que:
Rango:
Dominio:

26. Función cuadrática completa f(x)=ax
2
+bx+c
Enestecaso,lostresescalaressondistintosde0(a≠0,b≠0yc≠0).Se
denominaecuacióncuadráticacompleta.
Elejedesimetríaeslarectadelaecuación:
El vérticede la parábola es: