2.0 sistema de coordenadas rectangulares

sistema de coordenadas rectangulares

1. Sistema de coordenadas rectangulares

2. Sistema de coordenadas rectangulares Cada punto en el plano puede ser identificado mediante dos números, , llamados par ordenado .  

3. Sistema de coordenadas rectangulares Cada punto en el plano puede ser identificado mediante dos números, , llamados par ordenado .   (4, -3) un par ordenado

4. Sistema de coordenadas rectangulares Cada punto en el plano puede ser identificado mediante dos números, , llamados par ordenado . Para localizar a , se empieza en el origen (0, 0) y se define:   (4, -3) un par ordenado

5. Sistema de coordenadas rectangulares Cada punto en el plano puede ser identificado mediante dos números, , llamados par ordenado . Para localizar a , se empieza en el origen (0, 0) y se define: = cantidad que hay que moverse hacia la derecha (+) o la izquierda (-),   (4, -3) un par ordenado

6. Sistema de coordenadas rectangulares Cada punto en el plano puede ser identificado mediante dos números, , llamados par ordenado . Para localizar a , se empieza en el origen (0, 0) y se define: = cantidad que hay que moverse hacia la derecha (+) o la izquierda (-), = cantidad que hay que moverse hacia arriba (+) o hacia abajo (-).   (4, -3) un par ordenado

7. Sistema de coordenadas rectangulares Cada punto en el plano puede ser identificado mediante dos números, , llamados par ordenado . Para localizar a , se empieza en el origen (0, 0) y se define: = cantidad que hay que moverse hacia la derecha (+) o la izquierda (-), = cantidad que hay que moverse hacia arriba (+) o hacia abajo (-).   (4, -3) un par ordenado Por ejemplo, el punto correspondiente a (4, -3) es 4 a la derecha y 3 hacia abajo del origen. 4 a la derecha 3 hacia abajo

8. Por ejemplo, el punto correspondiente a (4, -3) es 4 a la derecha y 3 hacia abajo del origen. Sistema de coordenadas rectangulares Cada punto en el plano puede ser identificado mediante dos números, , llamados par ordenado . Para localizar a , se empieza en el origen (0, 0) y se define: = cantidad que hay que moverse hacia la derecha (+) o la izquierda (-), = cantidad que hay que moverse hacia arriba (+) o hacia abajo (-).   Los puntos en el eje tienen la forma (a, 0)   (a, ) (4, -3) 4 a la derecha 3 hacia abajo un par ordenado

9. Por ejemplo, el punto correspondiente a (4, -3) es 4 a la derecha y 3 hacia abajo del origen. Sistema de coordenadas rectangulares Cada punto en el plano puede ser identificado mediante dos números, , llamados par ordenado . Para localizar a , se empieza en el origen (0, 0) y se define: = cantidad que hay que moverse hacia la derecha (+) o la izquierda (-), = cantidad que hay que moverse hacia arriba (+) o hacia abajo (-).   Los puntos en el eje tienen la forma (a, 0) y los puntos en el eje tienen la forma (0, b), con a y b números reales   (a, ) ( , b) (4, -3) 4 a la derecha 3 hacia abajo un par ordenado

10. Por ejemplo, el punto correspondiente a (4, -3) es 4 a la derecha y 3 hacia abajo del origen. Sistema de coordenadas rectangulares Cada punto en el plano puede ser identificado mediante dos números, , llamados par ordenado . Para localizar a , se empieza en el origen (0, 0) y se define: = cantidad que hay que moverse hacia la derecha (+) o la izquierda (-), = cantidad que hay que moverse hacia arriba (+) o hacia abajo (-).   Los puntos en el eje tienen la forma (a, 0) y los puntos en el eje tienen la forma (0, b), con a y b números reales   (4, -3) 4 a la derecha 3 hacia abajo un par ordenado (a, ) ( , b)

11. Los ejes dividen al plano en cuatro cuadrantes , numerados 1, 2, 3 y 4 en el sentido contrario a las manecillas del reloj. Sistema de coordenadas rectangulares

12. Los ejes dividen al plano en cuatro cuadrantes , numerados 1, 2, 3 y 4 en el sentido contrario a las manecillas del reloj. Q1 Q2 Q3 Q4 Sistema de coordenadas rectangulares

13. Los ejes dividen al plano en cuatro cuadrantes , numerados 1, 2, 3 y 4 en el sentido contrario a las manecillas del reloj. En la figura se muestran los signos de los pares ordenados en cada cuadrante. Q1 Q2 Q3 Q4 (+,+) Sistema de coordenadas rectangulares

14. Los ejes dividen al plano en cuatro cuadrantes , numerados 1, 2, 3 y 4 en el sentido contrario a las manecillas del reloj. En la figura se muestran los signos de los pares ordenados en cada cuadrante. Q1 Q2 Q3 Q4 (+,+) (–,+) Sistema de coordenadas rectangulares

15. Los ejes dividen al plano en cuatro cuadrantes , numerados 1, 2, 3 y 4 en el sentido contrario a las manecillas del reloj. En la figura se muestran los signos de los pares ordenados en cada cuadrante. Q1 Q2 Q3 Q4 (+,+) (–,+) (–,–) Sistema de coordenadas rectangulares

16. Los ejes dividen al plano en cuatro cuadrantes , numerados 1, 2, 3 y 4 en el sentido contrario a las manecillas del reloj. En la figura se muestran los signos de los pares ordenados en cada cuadrante. Q1 Q2 Q3 Q4 (+,+) (–,+) (–,–) (+,–) Sistema de coordenadas rectangulares

17. Cambiar las coordenadas ( , ) del punto P corresponde a mover a P:   Sistema de coordenadas rectangulares

18. Cambiar las coordenadas ( , ) del punto P corresponde a mover a P: i. Cambiar el signo de o refleja al punto P.   Sistema de coordenadas rectangulares

19. Los puntos ( , ) y ( - , ) son reflexiones entre sí a través del eje .   Cambiar las coordenadas ( , ) del punto P corresponde a mover a P: i. Cambiar el signo de o refleja al punto P.   Sistema de coordenadas rectangulares

20. Los puntos ( , ) y ( - , ) son reflexiones entre sí a través del eje .   (5,4) ( – 5,4) Cambiar las coordenadas ( , ) del punto P corresponde a mover a P: i. Cambiar el signo de o refleja al punto P.   Sistema de coordenadas rectangulares

21. Los puntos ( , ) y ( - , ) son reflexiones entre sí a través del eje .   Los puntos ( , ) y ( , - ) son reflexiones entre sí a través del eje .   (5,4) ( – 5,4) Cambiar las coordenadas ( , ) del punto P corresponde a mover a P: i. Cambiar el signo de o refleja al punto P.   Sistema de coordenadas rectangulares

22. Los puntos ( , ) y ( - , ) son reflexiones entre sí a través del eje .   Los puntos ( , ) y ( , - ) son reflexiones entre sí a través del eje .   (5,4) ( – 5,4) (5, – 4) Cambiar las coordenadas ( , ) del punto P corresponde a mover a P: i. Cambiar el signo de o refleja al punto P.   Sistema de coordenadas rectangulares

23. Los puntos ( , ) y ( - , ) son reflexiones entre sí a través del eje .   Los puntos ( , ) y ( , - ) son reflexiones entre sí a través del eje .   Los puntos ( , ) y ( - , - ) son reflexiones entre sí a través del origen.   (5,4) ( – 5,4) (5, – 4) Cambiar las coordenadas ( , ) del punto P corresponde a mover a P: i. Cambiar el signo de o refleja al punto P.   Sistema de coordenadas rectangulares

24. Los puntos ( , ) y ( - , ) son reflexiones entre sí a través del eje .   Los puntos ( , ) y ( , - ) son reflexiones entre sí a través del eje .   Los puntos ( , ) y ( - , - ) son reflexiones entre sí a través del origen.   (5,4) ( – 5,4) (5, – 4) ( – 5, – 4) Cambiar las coordenadas ( , ) del punto P corresponde a mover a P: i. Cambiar el signo de o refleja al punto P.   Sistema de coordenadas rectangulares

25. Los puntos ( , ) y ( - , ) son reflexiones entre sí a través del eje .   Los puntos ( , ) y ( , - ) son reflexiones entre sí a través del eje .   Los puntos ( , ) y ( - , - ) son reflexiones entre sí a través del origen.   (5,4) ( – 5,4) (5, – 4) ( – 5, – 4) Cambiar las coordenadas ( , ) del punto P corresponde a mover a P: i. Cambiar el signo de o refleja al punto P. ii. Al cambiar el valor de o , P se mueve hacia la derecha, izquierda, arriba o abajo.   Sistema de coordenadas rectangulares

26. Sea A el punto (2, 3). A (2, 3) Sistema de coordenadas rectangulares

27. Sea A el punto (2, 3). Si sumamos 4 unidades a la coordenada x, esto corresponde a mover A 4 unidades hacia la derecha . (2 + 4 , 3) = (6, 3) A (2, 3) Sistema de coordenadas rectangulares

28. Sea A el punto (2, 3). Si sumamos 4 unidades a la coordenada x, esto corresponde a mover A 4 unidades hacia la derecha . (2 + 4 , 3) = (6, 3) (A se mueve al punto B) A B Sumamos 4 unidades a la coordenada x (2, 3) (6, 3) Sistema de coordenadas rectangulares

29. Sea A el punto (2, 3). Si sumamos 4 unidades a la coordenada x, esto corresponde a mover A 4 unidades hacia la derecha . (2 + 4 , 3) = (6, 3) (A se mueve al punto B) A B De manera similar, si restamos 4 unidades a la coordenada x, esto corresponde a mover A 4 unidades hacia la izquierda . (2 – 4 , 3) = (–2, 3) Sumamos 4 unidades a la coordenada x (2, 3) (6, 3) Sistema de coordenadas rectangulares

30. Sea A el punto (2, 3). Si sumamos 4 unidades a la coordenada x, esto corresponde a mover A 4 unidades hacia la derecha . (2 + 4 , 3) = (6, 3) (A se mueve al punto B) A B De manera similar, si restamos 4 unidades a la coordenada x, esto corresponde a mover A 4 unidades hacia la izquierda . (2 – 4 , 3) = (–2, 3) (A se mueve al punto C) C Sumamos 4 unidades a la coordenada x (2, 3) (6, 3) (–2, 3) Sistema de coordenadas rectangulares Restamos 4 unidades a al coordenada x

31. Sea A el punto (2, 3). Si sumamos 4 unidades a la coordenada x, esto corresponde a mover A 4 unidades hacia la derecha . (2 + 4 , 3) = (6, 3) (A se mueve al punto B) A B De manera similar, si restamos 4 unidades a la coordenada x, esto corresponde a mover A 4 unidades hacia la izquierda . (2 – 4 , 3) = (–2, 3) (A se mueve al punto C) Por lo tanto, concluimos que los cambios en la coordenada corresponden a mover al punto a la derecha o a la izquierda.   C Sumamos 4 unidades a la coordenada x (2, 3) (6, 3) (–2, 3) Sistema de coordenadas rectangulares Restamos 4 unidades a al coordenada x

32. Sea A el punto (2, 3). Si sumamos 4 unidades a la coordenada x, esto corresponde a mover A 4 unidades hacia la derecha . (2 + 4 , 3) = (6, 3) (A se mueve al punto B) A B De manera similar, si restamos 4 unidades a la coordenada x, esto corresponde a mover A 4 unidades hacia la izquierda . (2 – 4 , 3) = (–2, 3) (A se mueve al punto C) C Sumamos 4 unidades a la coordenada x (2, 3) (6, 3) (–2, 3) Sistema de coordenadas rectangulares Restamos 4 unidades a al coordenada x Por lo tanto, concluimos que los cambios en la coordenada corresponden a mover al punto a la derecha o a la izquierda. Si el cambio en es positivo, el punto se desplaza a la derecha. Si el cambio en es negativo, el punto se mueve hacia la izquierda.  

33. Nuevamente, sea A el punto (2, 3). A (2, 3) Sistema de coordenadas rectangulares

34. Nuevamente, sea A el punto (2, 3). Si sumamos 4 unidades a la coordenada , esto corresponde a mover A 4 hacia arriba . (2, 3 + 4 ) = (2, 7) (A se mueve al punto D)   A D (2, 3) (2, 7) Sistema de coordenadas rectangulares Sumamos 4 unidades a la coordenada y

35. Nuevamente, sea A el punto (2, 3). Si sumamos 4 unidades a la coordenada , esto corresponde a mover A 4 hacia arriba . (2, 3 + 4 ) = (2, 7) (A se mueve al punto D)   A D Si restamos 4 unidades a al coordenada , esto corresponde a mover A 4 unidades hacia abajo . (2, 3 – 4 ) = (2, –1) (A se mueve al punto E)   E (2, 3) (2, 7) (2, –1) Sistema de coordenadas rectangulares Sumamos 4 unidades a la coordenada y Restamos 4 unidades a al coordenada y

36. Nuevamente, sea A el punto (2, 3). Si sumamos 4 unidades a la coordenada , esto corresponde a mover A 4 hacia arriba . (2, 3 + 4 ) = (2, 7) (A se mueve al punto D)   A D Si restamos 4 unidades a al coordenada , esto corresponde a mover A 4 unidades hacia abajo . (2, 3 – 4 ) = (2, –1) (A se mueve al punto E)   Por lo tanto, concluimos que los cambios en la coordenada corresponden a mover al punto hacia arriba o hacia abajo.   E (2, 3) (2, 7) (2, –1) Sistema de coordenadas rectangulares Sumamos 4 unidades a la coordenada y Restamos 4 unidades a al coordenada y

37. Nuevamente, sea A el punto (2, 3). Si sumamos 4 unidades a la coordenada , esto corresponde a mover A 4 hacia arriba . (2, 3 + 4 ) = (2, 7) (A se mueve al punto D)   A D Si restamos 4 unidades a al coordenada , esto corresponde a mover A 4 unidades hacia abajo . (2, 3 – 4 ) = (2, –1) (A se mueve al punto E)   Por lo tanto, concluimos que los cambios en la coordenada corresponden a mover al punto hacia arriba o hacia abajo. Si el cambio en es positivo, el punto se mueve hacia arriba. Si el cambio en es negativo, el punto se mueve hacia abajo.   E (2, 3) (2, 7) (2, –1) Sistema de coordenadas rectangulares Sumamos 4 unidades a la coordenada y Restamos 4 unidades a al coordenada y

38. Sean ( , ) y ( , ) dos puntos y sea D = la distancia entre ellos.   La fórmula de la distancia

39. Sean ( , ) y ( , ) dos puntos y sea D = la distancia entre ellos.   D D La fórmula de la distancia (2, –4) (–1, 3)

40. Sean ( , ) y ( , ) dos puntos y sea D = la distancia entre ellos.   Ejemplo A. Encuentra la distancia entre (–1, 3) y (2, –4). D D La fórmula de la distancia (2, –4) (–1, 3)

41. Sean ( , ) y ( , ) dos puntos y sea D = la distancia entre ellos. . Definimos la distancia al cuadrado como: , donde = diferencia en las 's = , = diferencia en las 's = ,   Ejemplo A. Encuentra la distancia entre (–1, 3) y (2, –4). D D La fórmula de la distancia (2, –4) (–1, 3)

42. Sean ( , ) y ( , ) dos puntos y sea D = la distancia entre ellos . Definimos la distancia al cuadrado como: , donde = diferencia en las 's = , = diferencia en las 's = ,   Ejemplo A. Encuentra la distancia entre (–1, 3) y (2, –4). (–1, 3) – ( 2, –4) D D La fórmula de la distancia (2, –4) (–1, 3)

43. Sean ( , ) y ( , ) dos puntos y sea D = la distancia entre ellos. Definimos la distancia al cuadrado como: , donde = diferencia en las 's = , = diferencia en las 's = ,   Ejemplo A. Encuentra la distancia entre (–1, 3) y (2, –4). (–1, 3) – ( 2, –4) –3, 7 D D 7 -3 La fórmula de la distancia (2, –4) (–1, 3)  

44. Sean ( , ) y ( , ) dos puntos y sea D = la distancia entre ellos. Definimos la distancia al cuadrado como: , donde = diferencia en las 's = , = diferencia en las 's = ,   Ejemplo A. Encuentra la distancia entre (–1, 3) y (2, –4). (–1, 3) – ( 2, –4) –3, 7   D D 7 -3 La fórmula de la distancia (2, –4) (–1, 3)  

45. Sean ( , ) y ( , ) dos puntos y sea D = la distancia entre ellos. Definimos la distancia al cuadrado como: , donde = diferencia en las 's = , = diferencia en las 's = ,   Así, o   Ejemplo A. Encuentra la distancia entre (–1, 3) y (2, –4). (–1, 3) – ( 2, –4) –3, 7   D D 7 -3 La fórmula de la distancia (2, –4) (–1, 3)  

46. La fórmula del punto m edio El punto medio m entre dos números y es el promedio entre ellos, es decir,  

47. La fórmula del punto m edio El punto medio m entre dos números y es el promedio entre ellos, es decir,   Por ejemplo, el punto medio entre 2 y 4 es (2 + 4)/2 = 3.

48. La fórmula del punto m edio El punto medio m entre dos números y es el promedio entre ellos, es decir,   Por ejemplo, el punto medio entre 2 y 4 es (2 + 4)/2 = 3. Gráficamente, el punto medio se ve como: a b (a+b)/2 punto medio

49. La fórmula del punto m edio El punto medio m entre dos números y es el promedio entre ellos, es decir,   Por ejemplo, el punto medio entre 2 y 4 es (2 + 4)/2 = 3. Gráficamente, el punto medio se ve como: a b (a+b)/2 punto medio La fórmula del punto medio se extiende a dimensiones superiores. En el plano (x 1 , y 1 ) (x 2 , y 2 ) x 1 y 1 y 2 x 2

50. La fórmula del punto m edio El punto medio m entre dos números y es el promedio entre ellos, es decir,   Por ejemplo, el punto medio entre 2 y 4 es (2 + 4)/2 = 3. Gráficamente, el punto medio se ve como: a b (a+b)/2 punto medio La fórmula del punto medio se extiende a dimensiones superiores. En el plano , el punto medio entre y es:   En el plano (x 1 , y 1 ) (x 2 , y 2 ) x 1 y 1 y 2 x 2  

51. La fórmula del punto m edio El punto medio m entre dos números y es el promedio entre ellos, es decir,   Por ejemplo, el punto medio entre 2 y 4 es (2 + 4)/2 = 3. Gráficamente, el punto medio se ve como: a b (a+b)/2 punto medio La fórmula del punto medio se extiende a dimensiones superiores. En el plano , el punto medio entre y es:   En el plano (x 1 , y 1 ) (x 2 , y 2 ) x 1 y 1 y 2 x 2 (x 1 + x 2 )/2 (y 1 + y 2 )/2  

52. Encuentra y marca en el plano las coordenadas de los siguientes puntos . Dibuja ambos puntos . Sistema de coordenadas rectangulares El punto A que está a 3 unidades a la izquierda y 6 unidades abajo de (–2, 5). 2. El punto A que está a una unidad a la derecha y 5 unidades arriba de (–3, 1). 3. a. El punto B está a 3 unidades a la izquierda y 6 unidades arriba del punto A(–8, 4). Encuentra las coordenadas del punto B. b. El punto A(–8, 4) está a 3 unidades a la izquierda y 6 unidades arriba del punto C. Encuentra las coordenadas del punto C. 4. a. El punto A está 37 unidades a la derecha y 63 unidades abajo del punto B (-38, 49). Encuentra las coordenadas del punto A.      b. El punto A (-38, 49) está 37 unidades a la derecha y 63 unidades abajo del punto C. Encuentra las coordenadas del punto C.

53. 1. x – y = 3 2. 2x = 6 3. –y – 7= 0 4. y = 8 – 2x 5. y = –x + 4 6. 2x – 3 = 6 7. 2 = 6 – 2y 8. 4y – 12 = 3x 9. 2x + 3y = 0 10. –6 = 3x – 2y 11. B. Grafica las siguientes ecuaciones siguiendo estos pasos: i. grafica las líneas horizontales (x = #) y las líneas verticales (y = #) (inspeccionando la ecuación). Ii . identifica las rectas inclinadas que se pueden graficar utilizando las intersecciones x & y completando la siguiente tabla: iii. grafica las otras rectas inclinadas que pasan        a través del origen utilizando la siguiente tabla: 3x = 4y 12. 5x + 2y = –10 Ecuaciones lineales y rectas 13. 3(2 – x) = 3x – y 14. 3(y – x) + y = 4y + 1 15. 5(x + 2) – 2y = 10

54. Ecuaciones lineales y rectas C. Encuentra las coordenadas de los siguientes puntos suponiendo que están uniformemente espaciados. 1. 1 4 2. – 1 5 1 3 11 3. a. Encuentra x e y. x z y El número z es el “ promedio ponderado ” de {1, 3, 11}, cuyo promedio es 5. En este caso z es el promedio de {1, 3, 3,11} porque “3” es utilizado para calculary tanto x como y. 1 3 11 b. Encuentra z (el punto medio entre x e y) x y Encuentra las coordenadas de los siguientes puntos . ( – 4, 7) (2, 3) ( , 0) (8, 0) ( 2 , 6) 4. 5.

55. Ejercicio A. 1. B=(-5,-1) 3. B=(-11,10), C=(-5,-2) Sistema de coordenadas rectangulares

56. 1. x – y = 3 3. –y – 7= 0 5. y = –x + 4 Ejercicio B. x y -3 3 x y 4 4 y=7 Ecuaciones lineales y rectas

57. 7. 2 = 6 – 2y 9. 2x + 3y = 0 11. 3x = 4y x y 1 -2/3 x y 1 3/4 y=4 Ecuaciones lineales y rectas

58. x y -6 1 x y 1 5/2 13. 3(2 – x) = 3x – y 15. 5(x + 2) – 2y = 10 Ecuaciones lineales y rectas

59. Ejercicio C. 1. 1 4 1 3 11 3. a. 2 4.5 7 1 3 11 b. 2 7 1.75 2.5 3.25 ( , 0) (8, ) ( 2 , 6) 5. (4, ) (1, 3 ) (6, 6 ) (10, 6 ) (9, 3 ) (5, 3 ) (3.5, 4.5 ) (7.5, 4.5 ) (6.5, 1.5 ) (2.5, 1.5 ) Ecuaciones lineales y rectas