2025-2 Cal1 Sem1.pdfffffffffffffffffffffffffffffffffff
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Oct 26, 2025
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About This Presentation
fdgdfgdg
Slide Content
Cálculo
Diferencial
•Introducción.
•Límites de funciones
reales de variable real.
•Teoremas sobre
límites. Cálculo de
límites
•2025-2
Diferencial
•Introducción.
•Límites de funciones
reales de variable real.
•Teoremas sobre
límites. Cálculo de
límites
•2025-2
Descripción
general
1.Funciones reales de variable real.
•Límite a un número, límite al
infinito y asíntotas.
•Continuidad
•Teorema del valor intermedio y
aplicaciones
2.La derivada
•Recta tangente. Razones de
cambio relacionadas.
Aproximaciones lineales
•Reglas de derivación. Regla de la
cadena y consecuencias.
•Teorema de Rolle. Teorema del
valor medio
•Optimización
3.Introducción a las integrales y
aplicaciones
•Integral indefinida
•Problema de valor inicial con
ecuaciones de primer orden
•Aplicaciones
general
1.Funciones reales de variable real.
•Límite a un número, límite al
infinito y asíntotas.
•Continuidad
•Teorema del valor intermedio y
aplicaciones
2.La derivada
•Recta tangente. Razones de
cambio relacionadas.
Aproximaciones lineales
•Reglas de derivación. Regla de la
cadena y consecuencias.
•Teorema de Rolle. Teorema del
valor medio
•Optimización
3.Introducción a las integrales y
aplicaciones
•Integral indefinida
•Problema de valor inicial con
ecuaciones de primer orden
•Aplicaciones
Funciones y
los números
reales
Repaso
los números
reales
Repaso
Propiedades
algebraicas de los
números
ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ
Se definen las operaciones usuales de
suma +y multiplicación ∙.
•“Se podrá restar − y dividir ÷”.
•Se puede “ ordenar ≤ ” con los
“números positivos ??????” (cerrado con
la suma y el producto) y obtener
tricotomía:
ℝ=??????∪����∪{−�:�∈??????}.
Valor absoluto
algebraicas de los
números
ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ
Se definen las operaciones usuales de
suma +y multiplicación ∙.
•“Se podrá restar − y dividir ÷”.
•Se puede “ ordenar ≤ ” con los
“números positivos ??????” (cerrado con
la suma y el producto) y obtener
tricotomía:
ℝ=??????∪����∪{−�:�∈??????}.
Valor absoluto
La función
Definición. Una función es una regla que
asigna a cada número de un subconjunto
??????⊂ℝ un único número real �(�).
•El conjunto ?????? es llamado el domino de
la función
•El rango viene dado por
{��:�∈??????}.
•El gráfico es el conjunto de pares
ordenados
{�,��:�∈??????}
Definición. Una función es una regla que
asigna a cada número de un subconjunto
??????⊂ℝ un único número real �(�).
•El conjunto ?????? es llamado el domino de
la función
•El rango viene dado por
{��:�∈??????}.
•El gráfico es el conjunto de pares
ordenados
{�,��:�∈??????}
La función: representación
Palabras
A cada número real se
le asigna el cuadrado
de dicho número
Gráfica
Formula
��=�
2
Tabla
Palabras
A cada número real se
le asigna el cuadrado
de dicho número
Gráfica
Formula
��=�
2
Tabla
Ejemplo de funciones
Ejemplo 1 ��=4−�
2
con |�|≤2.
El dominio es �:−2≤�≤2 y el rango es el intervalo y:0≤y≤2=0,2.
Ejemplo 2 La función de Dirichlet
��=ቊ
0� �� ??????����??????����
1� �� ���??????����
en ℝ.
Está definido en todos los reales y su rango es el conjunto de dos elementos {0,1}
Ejemplo 3 La función signo
��=ቐ
−1�<0
0�=0
1�>0
en ℝ.
Está definido ℝ y su rango es el conjunto {−1,0,1}
Ejemplo 4 Función polinomial
��=�
0�
??????
+�
1�
??????−1
+⋯+�
??????,�
0≠0 �
� ����������.
Ejemplo 1 ��=4−�
2
con |�|≤2.
El dominio es �:−2≤�≤2 y el rango es el intervalo y:0≤y≤2=0,2.
Ejemplo 2 La función de Dirichlet
��=ቊ
0� �� ??????����??????����
1� �� ���??????����
en ℝ.
Está definido en todos los reales y su rango es el conjunto de dos elementos {0,1}
Ejemplo 3 La función signo
��=ቐ
−1�<0
0�=0
1�>0
en ℝ.
Está definido ℝ y su rango es el conjunto {−1,0,1}
Ejemplo 4 Función polinomial
��=�
0�
??????
+�
1�
??????−1
+⋯+�
??????,�
0≠0 �
� ����������.
Gráficas
•Intervalos de longitud finita: cerrado, abierto y semi-abiertos
•Intervalos ilimitados
•Intervalos y valor absoluto
•Intervalos de longitud finita: cerrado, abierto y semi-abiertos
•Intervalos ilimitados
•Intervalos y valor absoluto
Gráficas
•Plano cartesiano
•Distancia
•Gráfico de una función
•Plano cartesiano
•Distancia
•Gráfico de una función
Gráficas
•Monóntonas
•Simetría con los ejes
•Traslaciones
•Monóntonas
•Simetría con los ejes
•Traslaciones
Las funcione: familias
•Operaciones
�+�, �−�, �∙�,
�
�
•Composición
(�∘�)(�)=�(�(�))
•Polinomiales, potencias y racionales
??????
0��
??????
+??????
1��
??????−1
+⋯+??????
??????�=0
??????
�(�) son polinomios (algebraicas)
•Funciones trigonométricas y sus inversas
•Funciones exponenciales y logarítmicas
•El número � y las funciones hiperbólicas
•Operaciones
�+�, �−�, �∙�,
�
�
•Composición
(�∘�)(�)=�(�(�))
•Polinomiales, potencias y racionales
??????
0��
??????
+??????
1��
??????−1
+⋯+??????
??????�=0
??????
�(�) son polinomios (algebraicas)
•Funciones trigonométricas y sus inversas
•Funciones exponenciales y logarítmicas
•El número � y las funciones hiperbólicas
Funciones: verdadero y falso [4]
Quiz de entrada
Quiz de entrada
Límites al
infinito.
Asíntotashorizontales
infinito.
Asíntotashorizontales
Límites al infinito
Ejemplo Considere
��=
1
??????
2
¿Qué sucede con los valores de ??????(??????)
cuando ?????? crece indefinidamente?
Los valores de �(�) tienden a cero,
cuando � crece
Ejemplo Considere
��=
1
??????
2
¿Qué sucede con los valores de ??????(??????)
cuando ?????? crece indefinidamente?
Los valores de �(�) tienden a cero,
cuando � crece
Límites al infinito
•Los valores de ��=
1
??????
2
tienden
a cero, cuando � crece
indefinidamente.
��=�(−�)
•Los valores de ��=
1
??????
2
también
tienden a cero, cuando � decrece
indefinidamente.
•Los valores de ��=
1
??????
2
tienden
a cero, cuando � crece
indefinidamente.
��=�(−�)
•Los valores de ��=
1
??????
2
también
tienden a cero, cuando � decrece
indefinidamente.
Limite al infinito
Ejemplo Considere
��=
??????
2
−1
??????
2
+1
¿Qué sucede con los valores de ??????(??????)
cuando ?????? crece indefinidamente?
Los valores de �(�) tienden a uno,
cuando � se aleja indefinidamente de
cero.
Ejemplo Considere
��=
??????
2
−1
??????
2
+1
¿Qué sucede con los valores de ??????(??????)
cuando ?????? crece indefinidamente?
Los valores de �(�) tienden a uno,
cuando � se aleja indefinidamente de
cero.
Límites al
infinito:
definición
Sea �:(�,+∞)→ℝ, una función y �∈ℝ
•Se dice que � es el límite de �(�) cuando �→ +∞ y
se escribe:
�=lim
??????→ +∞
�(�)
para indicar que los valores �(�) están arbitrariamente
cercanos de � cuando x es suficientemente grande.
•Dado �>0,∃�>0 tal que
Si �>�⇒��−�<�.
infinito:
definición
Sea �:(�,+∞)→ℝ, una función y �∈ℝ
•Se dice que � es el límite de �(�) cuando �→ +∞ y
se escribe:
�=lim
??????→ +∞
�(�)
para indicar que los valores �(�) están arbitrariamente
cercanos de � cuando x es suficientemente grande.
•Dado �>0,∃�>0 tal que
Si �>�⇒��−�<�.
Límitesal infinito
Ejemplo Mostrar que ��=
??????
2
−1
??????
2
+1
, definida en
(1,+∞) satisface
lim
??????→∞
�(�)=1.
Solución.
||��−1=ቤ ቤ
−2
�
2
+1
•Dado �>0,∃�>0 tal que �>
2
??????
.
•Como �<�
2
+1 se cumple
Si �>�⇒ቚቚ
−2
??????
2
+1
<
2
??????
<
2
�
<�.
Ejemplo Mostrar que ��=
??????
2
−1
??????
2
+1
, definida en
(1,+∞) satisface
lim
??????→∞
�(�)=1.
Solución.
||��−1=ቤ ቤ
−2
�
2
+1
•Dado �>0,∃�>0 tal que �>
2
??????
.
•Como �<�
2
+1 se cumple
Si �>�⇒ቚቚ
−2
??????
2
+1
<
2
??????
<
2
�
<�.
lim
??????→ +∞
�(�)∉ℝ
��=sin(�)
•la función oscila frecuentemente cuando la
variable se aleja indefinidamente de cero.
??????→ +∞
�(�)∉ℝ
��=sin(�)
•la función oscila frecuentemente cuando la
variable se aleja indefinidamente de cero.
lim
??????→ +∞
�(�)∉ℝ
��=sin(�)
•la función oscila frecuentemente cuando la
variable se aleja indefinidamente de cero.
��=�
??????
•la función crece indefinidamente, cuando la
variable crece.
??????→ +∞
�(�)∉ℝ
��=sin(�)
•la función oscila frecuentemente cuando la
variable se aleja indefinidamente de cero.
��=�
??????
•la función crece indefinidamente, cuando la
variable crece.
Límites al infinito: lim
??????→−∞
�(�)=�
Resulta do de ima g en pa ra ima g enes del limite a l menos infinito
Sea �:(−∞,�)→ℝ, una función y K ∈ℝ.
•Se dice que � es el límite de �(�)
cuando �→ −∞ y se escribe:
K=lim
??????→ −∞
�(�)
para indicar que los valores �(�) están
arbitrariamente cercanos de � cuando
�=−� es suficientemente grande.
•Dado �>0,∃�>0 tal que
Si �<−�⇒��−�<�.
??????→−∞
�(�)=�
Resulta do de ima g en pa ra ima g enes del limite a l menos infinito
Sea �:(−∞,�)→ℝ, una función y K ∈ℝ.
•Se dice que � es el límite de �(�)
cuando �→ −∞ y se escribe:
K=lim
??????→ −∞
�(�)
para indicar que los valores �(�) están
arbitrariamente cercanos de � cuando
�=−� es suficientemente grande.
•Dado �>0,∃�>0 tal que
Si �<−�⇒��−�<�.
Límite al infinito
Ejemplo Mostrar que ��=�
??????
, definida en
(−∞,−1) satisface
lim
??????→−∞
�(�)=0.
Solución. 1>�>0,∃�>0 tal que
�
−�
=�
Si �<−�⇒��−0=�
??????
<�
−�
=�.
Ejemplo Mostrar que ��=�
??????
, definida en
(−∞,−1) satisface
lim
??????→−∞
�(�)=0.
Solución. 1>�>0,∃�>0 tal que
�
−�
=�
Si �<−�⇒��−0=�
??????
<�
−�
=�.
Límite al infinito
Ejemplo Mostrar que ��=
??????+??????
�
??????
, definida en (−∞,+∞)
satisface
lim
??????→−∞
�(�)=0.
Solución. Para �<0
��=0
Ejemplo Mostrar que ��=
??????+??????
�
??????
, definida en (−∞,+∞)
satisface
lim
??????→−∞
�(�)=0.
Solución. Para �<0
��=0
Límite al infinito
Ejemplo Mostrar que ��=
??????
??????+1
satisface lim
??????→∞
�(�)=1.
Solución��−1=ቚቚ
−1
??????+1
<
1
??????
Dado 1>�>0,∃�>
1
??????
2
tal que
�>�⇒�>
1
�
⇒��−1<
1
�
<�.
Observación �=
1
2
existe ෩�>0 tal que
�>෩�⇒1−
1
2
=
1
2
<
�
�+1
<
3
2
=1+
1
2
Ejemplo Mostrar que ��=
??????
??????+1
satisface lim
??????→∞
�(�)=1.
Solución��−1=ቚቚ
−1
??????+1
<
1
??????
Dado 1>�>0,∃�>
1
??????
2
tal que
�>�⇒�>
1
�
⇒��−1<
1
�
<�.
Observación �=
1
2
existe ෩�>0 tal que
�>෩�⇒1−
1
2
=
1
2
<
�
�+1
<
3
2
=1+
1
2
Límite al infinito: propiedades
1.Si � es un entero positivo cualquiera, entonces
i) lim
??????→+∞
1
??????
??????
=0ii) lim
??????→−∞
1
??????
??????
=0
1.Si � es un entero positivo cualquiera, entonces
i) lim
??????→+∞
1
??????
??????
=0ii) lim
??????→−∞
1
??????
??????
=0
Límite al infinito
Ejemplo Calcular
lim
??????→+∞
2�
2
−�+5
�
3
+1
=0
Ejemplo Calcular
lim
??????→+∞
2�
2
−�+5
�
3
+1
=0
Límite al
infinito
Ejemplo Calcular
lim
??????→−∞
3�+4
�
2
−5
infinito
Ejemplo Calcular
lim
??????→−∞
3�+4
�
2
−5
Límite al infinito
Ejemplo Calcular
lim
??????→+∞
3�+4
�
2
−5
Ejemplo Calcular
lim
??????→+∞
3�+4
�
2
−5
Límite al
infinito
Una forma de calcular los límites
cuando �→+∞ ó �→−∞ es
dividiendo tanto el numerador como
el denominador, entre la mayor
potencia de x que aparece en la
expresión y luego aplicar las
propiedades dadas en las
proposiciones anteriores.
infinito
Una forma de calcular los límites
cuando �→+∞ ó �→−∞ es
dividiendo tanto el numerador como
el denominador, entre la mayor
potencia de x que aparece en la
expresión y luego aplicar las
propiedades dadas en las
proposiciones anteriores.
Límite al infinito: propiedades
Sean f y g definidas en (a,+∞) y (b,+∞), respectivamente.
Si lim
x→ +∞
fx=L y lim
x→ +∞
gx=M,
a) lim
??????→+∞
���=��,����������.
b) lim
??????→+∞
��±�(�)=�±�
c) lim
??????→+∞
���(�)=��
d) lim
??????→+∞
�??????
�(??????)
=
�
�
,�??????�≠0.
Nota: Cuando ??????→−∞ se obtienen propiedades similares
Sean f y g definidas en (a,+∞) y (b,+∞), respectivamente.
Si lim
x→ +∞
fx=L y lim
x→ +∞
gx=M,
a) lim
??????→+∞
���=��,����������.
b) lim
??????→+∞
��±�(�)=�±�
c) lim
??????→+∞
���(�)=��
d) lim
??????→+∞
�??????
�(??????)
=
�
�
,�??????�≠0.
Nota: Cuando ??????→−∞ se obtienen propiedades similares
Límite al infinito
Ejemplos. Calcule lim
??????→+∞
5??????
3
−4??????
2
+6
8??????
3
+3??????−2
Ejemplos. Calcule lim
??????→+∞
5??????
3
−4??????
2
+6
8??????
3
+3??????−2
Límite al infinito
Ejemplos. Halle lim
??????→−∞
10??????
4
+3??????
2
+7
9??????
6
−5??????+1
Ejemplos. Halle lim
??????→−∞
10??????
4
+3??????
2
+7
9??????
6
−5??????+1
Asíntota
horizontal
gráficos
horizontal
gráficos
Límite al
infinito: asíntota
horizontal
Definición. Sea � una función definida en un intervalo
de longitud infinita. La recta �=� es una asíntota
horizontal para �=�(�) si
�=lim
??????→ +∞
�(�) o bien �=lim
??????→−∞
�(�)
infinito: asíntota
horizontal
Definición. Sea � una función definida en un intervalo
de longitud infinita. La recta �=� es una asíntota
horizontal para �=�(�) si
�=lim
??????→ +∞
�(�) o bien �=lim
??????→−∞
�(�)
Límite al
infinito:
asíntota
horizontal
Ejemplo Como
lim
??????→−∞
�
??????
=0,
la recta �=0 es una asíntota horizontal de �=�
??????
.
infinito:
asíntota
horizontal
Ejemplo Como
lim
??????→−∞
�
??????
=0,
la recta �=0 es una asíntota horizontal de �=�
??????
.
Límite al
infinito:
asíntota
horizontal
Ejemplo Como
lim
??????→∞
tan
−1
�=
??????
2
�lim
??????→−∞
tan
−1
�=
−??????
2
,
la función �=tan
−1
� tiene dos asíntotas
horizontales.
infinito:
asíntota
horizontal
Ejemplo Como
lim
??????→∞
tan
−1
�=
??????
2
�lim
??????→−∞
tan
−1
�=
−??????
2
,
la función �=tan
−1
� tiene dos asíntotas
horizontales.
Límite al infinito:
asíntota
horizontal
Ejemplo Como
lim
??????→∞
�
2
−1−�=lim
??????→∞
−1
�
2
−1+�
=0
el eje �=0 es una asíntota horizontal
asíntota
horizontal
Ejemplo Como
lim
??????→∞
�
2
−1−�=lim
??????→∞
−1
�
2
−1+�
=0
el eje �=0 es una asíntota horizontal
Limite infinito:
lim
??????→ ∓∞
ℎ�=+∞
•Sea �:(�,+∞)→ℝ,
lim
??????→ +∞
��=+∞:
dado A>0,∃�>0 tal que
Si �>�⇒��>�.
•Sea g:(−∞,�)→ℝ,
lim
??????→−∞
��=+∞:
dado A>0,∃�>0 tal que
Si �<−�⇒��>�.
lim
??????→ ∓∞
ℎ�=+∞
•Sea �:(�,+∞)→ℝ,
lim
??????→ +∞
��=+∞:
dado A>0,∃�>0 tal que
Si �>�⇒��>�.
•Sea g:(−∞,�)→ℝ,
lim
??????→−∞
��=+∞:
dado A>0,∃�>0 tal que
Si �<−�⇒��>�.
Limite infinito: lim
??????→ ∓∞
ℎ�=+∞
??????→ ∓∞
ℎ�=+∞
Limite infinito: lim
??????→ ∓∞
ℎ�=−∞
Existe un significado análogo para los símbolos
•lim
??????→ +∞
��=−∞
∀B>0,∃�>0 : Si �>�⇒��<−�.
•lim
??????→−∞
��=−∞
∀B>0,∃�>0 : Si �<−�⇒��<−�.
??????→ ∓∞
ℎ�=−∞
Existe un significado análogo para los símbolos
•lim
??????→ +∞
��=−∞
∀B>0,∃�>0 : Si �>�⇒��<−�.
•lim
??????→−∞
��=−∞
∀B>0,∃�>0 : Si �<−�⇒��<−�.
Límite de funciones
Introducción
Introducción
Límites:
descripción
numérica y
gráfica
Ejemplo Comportamiento de la función
��=�
2
−�+2
cerca de �=2.
¿Qué sucede con los valores de ??????(??????) cuando
?????? se aproxima de ??????=�?
Los valores de �(�) cuando x→2 se
aproximan de 4.
descripción
numérica y
gráfica
Ejemplo Comportamiento de la función
��=�
2
−�+2
cerca de �=2.
¿Qué sucede con los valores de ??????(??????) cuando
?????? se aproxima de ??????=�?
Los valores de �(�) cuando x→2 se
aproximan de 4.
Límites: descripción
numérica y gráfica
Ejemplo Comportamiento de la
función
��=
sin(�)
�
cerca de �=0.
¿Qué sucede con los valores de ??????(??????)
cuando ?????? se aproxima de ??????=�?
Los valores de �(�) cuando x→0 se
aproximan de 1 (laterales).
numérica y gráfica
Ejemplo Comportamiento de la
función
��=
sin(�)
�
cerca de �=0.
¿Qué sucede con los valores de ??????(??????)
cuando ?????? se aproxima de ??????=�?
Los valores de �(�) cuando x→0 se
aproximan de 1 (laterales).
Límites: descripción numérica y
gráfica
Ejemplo Comportamiento de la función
��=sin
??????
�
cerca de �=0.
¿Qué sucede con los valores de ??????(??????) cuando ??????
se aproxima de ??????=�?
Los valores de �(�) cuando x→0 no se
aproximan de un determinado valor.
Observación
�
1
10
??????
=sin10
??????
??????=0
gráfica
Ejemplo Comportamiento de la función
��=sin
??????
�
cerca de �=0.
¿Qué sucede con los valores de ??????(??????) cuando ??????
se aproxima de ??????=�?
Los valores de �(�) cuando x→0 no se
aproximan de un determinado valor.
Observación
�
1
10
??????
=sin10
??????
??????=0
Límites: descripción
numérica y gráfica
Ejemplo Comportamiento de la función
�ℎ=
�
ℎ
−1
ℎ
cerca de �=0.
¿Qué sucede con los valores de ??????(??????)
cuando ?????? se aproxima de ??????=�?
Los valores de �(h) cuando x→0 se
aproximan de 1.
numérica y gráfica
Ejemplo Comportamiento de la función
�ℎ=
�
ℎ
−1
ℎ
cerca de �=0.
¿Qué sucede con los valores de ??????(??????)
cuando ?????? se aproxima de ??????=�?
Los valores de �(h) cuando x→0 se
aproximan de 1.
Límites: descripción
numérica y gráfica
Ejemplo Comportamiento de la
función
��=
�−1
�
2
−1
cerca de �=1.
¿Qué sucede con los valores de
??????(??????) cuando ?????? se aproxima de
??????=�?
Los valores de �(�) cuando x→
1 se aproximan de 0.5.
numérica y gráfica
Ejemplo Comportamiento de la
función
��=
�−1
�
2
−1
cerca de �=1.
¿Qué sucede con los valores de
??????(??????) cuando ?????? se aproxima de
??????=�?
Los valores de �(�) cuando x→
1 se aproximan de 0.5.
Límites:
descripción
numérica y
gráfica
Definición intuitiva Sean �:??????⊂ℝ→ℝ y �∈ℝ un
punto de acumulación para ??????. Escribimos
lim
??????→??????
��=�
si podemos hacer que los valores de �(�) se acerquen
arbitrariamente a �∈ℝ, tanto como queramos,
tomando valores de x∈?????? suficientemente cerca de c,
pero no iguales a �.
descripción
numérica y
gráfica
Definición intuitiva Sean �:??????⊂ℝ→ℝ y �∈ℝ un
punto de acumulación para ??????. Escribimos
lim
??????→??????
��=�
si podemos hacer que los valores de �(�) se acerquen
arbitrariamente a �∈ℝ, tanto como queramos,
tomando valores de x∈?????? suficientemente cerca de c,
pero no iguales a �.
Límites: descripción numérica y gráfica
Ejemplo
lim
??????→2
3=3,
Ejemplo Muestre que
lim
x→5
9−3x=−6
Solución Sea �x=9−3x. Se debe probar que ��+6 es pequeño cuando
� está cerca de 5, es decir la distancia �−5>0 es pequeña
��+6=9−3�−−6=−3�+15=−3�−5=3|�−5|.
De este modo, si �−5>0 es muy pequeño, valor ��+6 también lo será. Es
decir,
si 0<�−5<
??????
3
=� ⇒��+6= 3|�−5| <�.
Ejemplo
lim
??????→2
3=3,
Ejemplo Muestre que
lim
x→5
9−3x=−6
Solución Sea �x=9−3x. Se debe probar que ��+6 es pequeño cuando
� está cerca de 5, es decir la distancia �−5>0 es pequeña
��+6=9−3�−−6=−3�+15=−3�−5=3|�−5|.
De este modo, si �−5>0 es muy pequeño, valor ��+6 también lo será. Es
decir,
si 0<�−5<
??????
3
=� ⇒��+6= 3|�−5| <�.
Límites:
descripción
gráfica
Ejemplos Calcule
lim
??????→0
�(�) usando el
siguiente gráfico de la
función
descripción
gráfica
Ejemplos Calcule
lim
??????→0
�(�) usando el
siguiente gráfico de la
función
Límite: observaciones
• No podemos calcular
lim
??????→−2
�
porque el dominio es el intervalo [0, ∞); por tanto, no puede tomar
valores que se acerquen a −2.
•Sin embargo, si podemos calcular
lim
??????→3
??????
2
−9
??????
2
−5??????+6
,
aunque 3∉??????=ℝ−{2,3}, si podemos tomar valores del dominio tan
próximos a 3 como queramos.
• No podemos calcular
lim
??????→−2
�
porque el dominio es el intervalo [0, ∞); por tanto, no puede tomar
valores que se acerquen a −2.
•Sin embargo, si podemos calcular
lim
??????→3
??????
2
−9
??????
2
−5??????+6
,
aunque 3∉??????=ℝ−{2,3}, si podemos tomar valores del dominio tan
próximos a 3 como queramos.
Límite: punto de acumulación
•DefiniciónSi D⊂ℝ,elelemento�∈ℝes un punto de acumulaciónde D, sicada
intervaloabierto??????=]�−�,�+�[, la intersección
??????∩(??????−�)≠∅
•Notación.D′: lospuntos de acumulaciónde D
•z∈??????′es equivalentea decirque cada??????=]�−�,�+�[satisface
??????∩??????−���??????��??????�??????��.
•z∈??????′es equivalentea decirque porcada�∈ℕ,existeun punto �
??????∈??????talque
0<�
??????−�<
1
�
.
•El complementode D′es siempreun conjunto abierto.
•DefiniciónSi D⊂ℝ,elelemento�∈ℝes un punto de acumulaciónde D, sicada
intervaloabierto??????=]�−�,�+�[, la intersección
??????∩(??????−�)≠∅
•Notación.D′: lospuntos de acumulaciónde D
•z∈??????′es equivalentea decirque cada??????=]�−�,�+�[satisface
??????∩??????−���??????��??????�??????��.
•z∈??????′es equivalentea decirque porcada�∈ℕ,existeun punto �
??????∈??????talque
0<�
??????−�<
1
�
.
•El complementode D′es siempreun conjunto abierto.
Límites laterales:
�:??????⊂ℝ→ℝy �∈ℝun
punto de acumulación de ??????.
•lim
??????→??????−
��=�
•Si los valores de �(�)se
acercan arbitrariamente a �∈ℝ,
tanto como queramos, tomando
valores de x∈??????suficientemente
cerca de a, pero menoresque�.
�:??????⊂ℝ→ℝy �∈ℝun
punto de acumulación de ??????.
•lim
??????→??????−
��=�
•Si los valores de �(�)se
acercan arbitrariamente a �∈ℝ,
tanto como queramos, tomando
valores de x∈??????suficientemente
cerca de a, pero menoresque�.
Límites laterales:
�:??????⊂ℝ→ℝy �∈ℝun
punto de acumulación de ??????.
•lim
??????→??????+
��=�
•Si losvaloresde �(�)se
acercanarbitrariamentea �∈ℝ,
tanto comoqueramos, tomando
valoresde x∈??????suficientemente
cercade �, peromayoresque�.
�:??????⊂ℝ→ℝy �∈ℝun
punto de acumulación de ??????.
•lim
??????→??????+
��=�
•Si losvaloresde �(�)se
acercanarbitrariamentea �∈ℝ,
tanto comoqueramos, tomando
valoresde x∈??????suficientemente
cercade �, peromayoresque�.
Límites laterales
•EjemploEstudiarloslímiteslaterales
de
��=
�
|�|
cuando�→0
Solución
•�<0,��=−1
•lim
??????→0−
��=−1
•�>0,��=1
•lim
??????→0+
��=1
•Los limiteslateralesno son iguales, por
esono existelim
??????→0
��
•Teorema Sea una función tal que el
intervalo abierto ]�−�,�+�[⊂??????. Se
cumple:
•lim
??????→??????
��=�
•si y solo si
•lim
??????→??????+
��=��lim
??????→??????−
��=�
•EjemploEstudiarloslímiteslaterales
de
��=
�
|�|
cuando�→0
Solución
•�<0,��=−1
•lim
??????→0−
��=−1
•�>0,��=1
•lim
??????→0+
��=1
•Los limiteslateralesno son iguales, por
esono existelim
??????→0
��
•Teorema Sea una función tal que el
intervalo abierto ]�−�,�+�[⊂??????. Se
cumple:
•lim
??????→??????
��=�
•si y solo si
•lim
??????→??????+
��=��lim
??????→??????−
��=�
Límites
Ejemplo. Estudiar los límites y los
limites laterales en c=0,2,4 de la
función dada por la figura
Ejemplo. Estudiar los límites y los
limites laterales en c=0,2,4 de la
función dada por la figura
Límites
Ejemplo. Estudiar los límites y los
limites laterales en c=0,2,4 de la
función dada por la figura
Ejemplo. Estudiar los límites y los
limites laterales en c=0,2,4 de la
función dada por la figura
Limites
Ejemplo Muestre que
lim
??????→2+
�
2
−4
�−2
∉ℝ
Solución Para valores mayores que 2
se tiene
�−2=(�−2)
2
Ejemplo Muestre que
lim
??????→2+
�
2
−4
�−2
∉ℝ
Solución Para valores mayores que 2
se tiene
�−2=(�−2)
2
Cálculo de
límites
Propiedades algebraicas
límites
Propiedades algebraicas
Límite: unicidad
Teorema. Considere c∈ℝ un punto de acumulación del
dominio de �. Si
lim
??????→??????
�(�)=� � lim
??????→??????
�(�)=�,
entonces �=�
Teorema. Considere c∈ℝ un punto de acumulación del
dominio de �. Si
lim
??????→??????
�(�)=� � lim
??????→??????
�(�)=�,
entonces �=�
Límite: Propiedades
Propiedades. Las siguientes reglas se cumplen si �,�,� son números
reales y
lim
??????→??????
�(�)=� � lim
??????→??????
�(�)=�,
•Suma : lim
??????→??????
[��+�(�)]=�+�.
•Resta : lim
??????→??????
[��−�(�)]=�−�.
•Producto : lim
??????→??????
[��·�(�)]=�·�.
•Cociente : lim
??????→??????
�??????
�(??????)
=
�
�
, �?????? �≠0.
•Potencia : lim
??????→??????
�(�)
??????
=�
??????
, �?????? �∈ℚ � �
??????
∈ℝ.
Propiedades. Las siguientes reglas se cumplen si �,�,� son números
reales y
lim
??????→??????
�(�)=� � lim
??????→??????
�(�)=�,
•Suma : lim
??????→??????
[��+�(�)]=�+�.
•Resta : lim
??????→??????
[��−�(�)]=�−�.
•Producto : lim
??????→??????
[��·�(�)]=�·�.
•Cociente : lim
??????→??????
�??????
�(??????)
=
�
�
, �?????? �≠0.
•Potencia : lim
??????→??????
�(�)
??????
=�
??????
, �?????? �∈ℚ � �
??????
∈ℝ.
Ejercicios
Límite
Ejemplo Para las constantes �∈ℕ y �∈ℝ se cumple
lim
??????→??????
�
??????
=��
??????
,
Ejemplo Para cada función polinomial
��=�
0�
??????
+�
1�
??????−1
+⋯+�
??????,�
0≠0 �
� ����������
Se cumple
lim
??????→??????
�(�)=�
0�
??????
+�
1�
??????−1
+⋯+�
??????=�(�)
Ejemplo Calcular
lim
??????→2
�
3
+5�+7
62
Ejemplo Para las constantes �∈ℕ y �∈ℝ se cumple
lim
??????→??????
�
??????
=��
??????
,
Ejemplo Para cada función polinomial
��=�
0�
??????
+�
1�
??????−1
+⋯+�
??????,�
0≠0 �
� ����������
Se cumple
lim
??????→??????
�(�)=�
0�
??????
+�
1�
??????−1
+⋯+�
??????=�(�)
Ejemplo Calcular
lim
??????→2
�
3
+5�+7
62
Límite
Ejemplo Calcular
lim
??????→3
�
−1/4
(�+5)
1/3
Ejemplo Calcular
lim
??????→3
�
−1/4
(�+5)
1/3
Límite
Ejemplo Calcular
lim
??????→1
�
2
−1
�−1
Solución
Ejemplo Calcular
lim
??????→1
�
2
−1
�−1
Solución
Límites
Para calcular límites (caso
0
0
) se utiliza algunas propiedades algebraicas elementales así como la racionalización
Observación. En general, para racionalizar debemos tener en cuenta lo siguiente:
�
??????
−�
??????
=�−��
??????−1
+�
??????−2
�+�
??????−3
�
2
+⋯+��
??????−2
+�
??????−1
.
�
??????
+�
??????
=�+��
??????−1
−�
??????−2
�+�
??????−3
�
2
−⋯−��
??????−2
+�
??????−1
, si � es impar.
Ejemplos:
•lim
??????→3
??????
2
+??????−12
??????−3
•lim
??????→4
3
2??????−2
3??????+4−4
Para calcular límites (caso
0
0
) se utiliza algunas propiedades algebraicas elementales así como la racionalización
Observación. En general, para racionalizar debemos tener en cuenta lo siguiente:
�
??????
−�
??????
=�−��
??????−1
+�
??????−2
�+�
??????−3
�
2
+⋯+��
??????−2
+�
??????−1
.
�
??????
+�
??????
=�+��
??????−1
−�
??????−2
�+�
??????−3
�
2
−⋯−��
??????−2
+�
??????−1
, si � es impar.
Ejemplos:
•lim
??????→3
??????
2
+??????−12
??????−3
•lim
??????→4
3
2??????−2
3??????+4−4
Límite
Ejemplo Calcular
lim
??????→1
�
2
−4�+3
�
2
+�−12
Solución
Ejemplo Calcular
lim
??????→1
�
2
−4�+3
�
2
+�−12
Solución
Límite
Ejemplo Calcular
lim
??????→0
�
2
+9−3
�
2
Ejemplo Calcular
lim
??????→0
�
2
+9−3
�
2
Límite
Ejemplo Calcular
lim
??????→4
�−2
�−4
Ejemplo Calcular
lim
??????→4
�−2
�−4
Límite
Ejemplo Calcular
lim
ℎ→5
ℎ−5
ℎ+4−3
Solución
Ejemplo Calcular
lim
ℎ→5
ℎ−5
ℎ+4−3
Solución
Límite
Ejemplo Calcular
lim
??????→1
1
�−1
−
2
�
2
−1
Solución
Ejemplo Calcular
lim
??????→1
1
�−1
−
2
�
2
−1
Solución
Límite
Ejemplo Calcular
lim
ℎ→0
(ℎ+??????)
2
−??????
2
ℎ
donde �∈ℝ es una constante
Solución
Ejemplo Calcular
lim
ℎ→0
(ℎ+??????)
2
−??????
2
ℎ
donde �∈ℝ es una constante
Solución
Ejercicio
Límite: propiedad
•Teorema. Sean ���dos
funcionestales que
•lim
??????→??????
�(�)=0
•∃�>0��������<�,
∀�∈�−�,�+�−{�}
•Entonces
•lim
??????→??????
����=0.
•Ejemplo. Muestre que
•lim
??????→1
1−�(
)
����+
���2�=0.
•lim
??????→0+
��
sin(??????/??????)
=0
•Teorema. Sean ���dos
funcionestales que
•lim
??????→??????
�(�)=0
•∃�>0��������<�,
∀�∈�−�,�+�−{�}
•Entonces
•lim
??????→??????
����=0.
•Ejemplo. Muestre que
•lim
??????→1
1−�(
)
����+
���2�=0.
•lim
??????→0+
��
sin(??????/??????)
=0
Referencias
El Cá lculo. S étima edición
Cá lculo. Una v a ria ble
Cá lculo de una V a ria ble: tra scendentes tempra na s
1.-Apostol T. Calculus. Barcelona Ed. 1973 Reverte
2.- LEITHOLD, Louis. 1998 El Cálculo. Sétima edición. México D.F.: Oxford University
Press.
3.- ROGAWSKI, Jon. 2012 Cálculo. Una variable. Segunda Edición. Barcelona: Editorial
Reverté.
4.- STEWART, JAMES 2012 Cálculo de una Variable: trascendentes tempranas. Sétima
edición. México: Cengage Learning
5.- MICHAEL SPIVAK. Calculus. Editorial Reverté, Barcelona, 3ra. edición, 2012.
Disponible en biblioteca, ID: 10325
El Cá lculo. S étima edición
Cá lculo. Una v a ria ble
Cá lculo de una V a ria ble: tra scendentes tempra na s
1.-Apostol T. Calculus. Barcelona Ed. 1973 Reverte
2.- LEITHOLD, Louis. 1998 El Cálculo. Sétima edición. México D.F.: Oxford University
Press.
3.- ROGAWSKI, Jon. 2012 Cálculo. Una variable. Segunda Edición. Barcelona: Editorial
Reverté.
4.- STEWART, JAMES 2012 Cálculo de una Variable: trascendentes tempranas. Sétima
edición. México: Cengage Learning
5.- MICHAEL SPIVAK. Calculus. Editorial Reverté, Barcelona, 3ra. edición, 2012.
Disponible en biblioteca, ID: 10325
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