230053351 2-torcao-de-eixos-circulares

mecanica dos solidos

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MECÂNICA DOS MATERIAIS
(Tecnologia e Sistemas Estruturais III –10616)
2 –TORÇÃO DE EIXOS CIRCULARES
Professor: Tiago Toitio ([email protected])
NOTA: slides são apenas um material de apoio para direcionar o estudo. Nunca substitui os livros, que devem ser consultados sempre, para estudo e pesquisa.
CONTEÚDO
2.1–Introdução à torção
2.2–Deformações por torção de barra circular
2.3–Barras circulares de materiais elásticos lineares
2.4–Torção não-uniforme
2.5–Tensões e deformações em cisalhamento puro
2.6–Transmissão de potência por eixos circulares

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Torção rotaçãodeumelementosubmetidoamomentostorsores(torques)
aoredordeumeixolongitudinal.
Torque:T=F.d(produtodaforçaqueproduzotorquepelobraçodemomento)
Figura 1 –Representações de momentos torsores (torques).

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Binário(Conjugado) duasforçasparalelasdemesmaintensidade,sentidos
opostoseseparadosporumadistânciaperpendiculard.Comoaforçaresultanteé
nula,oúnicoefeitodeumbinárioéproduzirrotaçãooutendênciaàrotaçãoem
determinadadireção.
MomentoTdevidoaumbinário:
P–forçadobinário[N]
d–distânciaentreasforçasdobinário[m]dPT
Figura 2 –Momento torsor (torque) devido a um binário.

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SejaumabarraprismáticadeseçãotransversalcircularsubmetidaatorquesT
agindonasextremidades(Figura3).
Suponhaqueaextremidadeesquerdadabarraestejafixa.Então,sobaaçãoto
torqueT,aextremidadedireitairárotacionar(comrelaçãoàextremidade
esquerda)deumpequenoângulof ângulodetorçãof(x).
Devidoaessarotação,umalinhalongitudinalretilíneapqnasuperfíciedabarrase
tornaráumacurvahelicoidalpq’.
Figura 3 –Deformações por torção de uma barra de seção circular.

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Considereagoraumelementodebarraentreduasseçõestransversaisdistantes
dxumadaoutra(Figura4).
Emumasuperfícieexternaindentifica-seumpequenoelementoabcdindeformado.
Apósaaplicaçãodotorque,aseçãotransversaldireitarotacionaemrelaçãoà
extremidadeesquerdaemumpequenoângulodetorçãodf.Oelemento
deformadoéab’c’d.
Osângulosentreasfacesdoelementoab’c’dnãosãomais90º oelemento
estánumestadodecisalhamento,istoé,submetidoàdeformaçõesde
cisalhamentog.
Figura 4 –Deformações por torção de um elemento dx.

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Deformaçãodecisalhamentonasuperfíciedabarra:
df/dx razãodetorção(ângulodetorçãoporunidadedecomprimento)
Deformaçãodecisalhamentonointeriordabarra:dx
dr
máx
f
g


. .máx
rdx
d
g

g
f
g 


Deformaçõesdecisalhamentog tensõesdecisalhamentot.
LeideHookeparacisalhamento:gtG

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FÓRMULA DA TORÇÃO:
t
máx.–tensãodecisalhamentomáximadevidaaotorque[N/m²]
T–torque[N.m]
r–raiodoeixodeseçãocircular[m]
p–momentodeinérciapolar[m
4
]p
máx
I
rT

.t
Momentodeinérciapolarparaseçãotransversalcircular:
d–diâmetrodocírculo[m]
r–raiodocírculo[m]322
44
dr
I
p






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ÂNGULO DE TORÇÃO:
f–ângulodetorção[rad]
T–torque[N.m]
G–módulodeelasticidadedecisalhamento[N/m²]
p–momentodeinérciapolar[m
4
]pIG
LT


f
Torçãonão-uniforme torquespodemagiremqualquerpontoaolongodo
eixodabarra,quenãonecessariamenteéprismática.
Análisedetorçãonão-uniforme aplicarasfórmulasdetorçãoparaos
segmentosindividuaisdabarraesomarosresultados;ouaplicarasfórmulaspara
elementosdiferenciaiseintegrar.

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Barraconsistindodesegmentosprismáticoscomtorqueconstanteaolongode
cadasegmento:

 


n
i
i
pi
ii
n
i
i
IG
LT
11
ff

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Eixosrotativos transmitempotênciamecânicadeumdispositivoparaoutro.
Exemplos:virabrequimdeumautomóvel,eixopropulsordeumnavio,eixodeuma
bicicleta,etc.
Potênciaétransmitidaatravésdeummovimentorotatóriodoeixo,eaquantidade
depotênciatransmitidadependedamagnitudedotorqueedavelocidadede
rotação.Umproblemacomumdedimensionamentoédeterminarotamanho
necessáriodeumeixodeformaqueeletransmitaumapotêncianumavelocidade
derotaçãoespecificadasemexcederastensõesadmissíveisparaomaterial.
Figura 5–Eixo transmitindo um torque constante T a uma velocidade angular w.

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TrabalhoW[J]realizadoporumtorqueTdeintensidadeconstante:
y ânguloderotação(deslocamentoangular)[rad]
Potência[W](taxaemquetrabalhoérealizado):
w velocidadeangular[rad/s] *w=2.(frequência[Hz])yTW dt
d
T
dt
dW
P
y
 w
y

dt
d wTP
EXEMPLO1.Umabarradeaçosólidadeseçãotransversalcirculartemdiâmetro
d=40mm,comprimentoL=1,3memódulodeelasticidadeG=80GPa.Abarra
estásubmetidaatorquesTagindonasextremidades.
a.Esboçaradistribuiçãodetensõescisalhantesemumalinharadialnaseção
transversaldoeixo.
b.SeostorquestêmintensidadeT=340N.m,calcularatensãodecisalhamento
máximanabarraeoângulodetorçãoentreasextremidades.

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EXEMPLO2.Umeixopropulsordeumpequenoiateéfeitodeumabarradeaço
sólidadeseçãotransversalcirculardediâmetrod=104mmemódulode
elasticidadeG=80GPa.
Seatensãodecisalhamentoadmissívelé48MPaearazãodetorçãoadmissível
é2,0ºem3,5metros,calcularotorquequepodeseraplicadoaoeixo.
EXEMPLO3.Umeixodeaço(G=78GPa)deveserfabricadocomumabarra
circularsólida(maciça)oucomumtubocircular.Oeixodevetransmitirumtorque
de1200N.msemexcederumatensãodecisalhamentoadmissívelde40MPa
nemaumarazãodetorçãode0,75º/m.
a.Calcularodiâmetronecessáriod
0doeixomaciço.
b.Calcularodiâmetroexternonecessáriod
2doeixovazadoseaespessuratdo
eixoforespecificadacomoumdécimododiâmetroexterno.
c.Calculararazãodosdiâmetrosearazãodospesosdoseixosmaciçoe
vazado.

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EXEMPLO4.Umeixosólidodeaço(G=80GPa)dediâmetrod=30mmgira
livrementeemmancaisnospontosAeE.OeixoéacionadopelaengrenagemC,
queaplicaumtorqueT
2=450N.mnadireçãoindicada(Figura5).Asengrenagens
emBeDsãogiradaspeloeixoetêmtorquesresistentesT
1=275N.meT
3=175
N.m,respectivamente,emsentidoopostoaT
2.OssegmentosBCeCDtêm
comprimentosL
BC=500mmeL
CD=400mm.
Calcularatensãodecisalhamentomáximaparacadapartedoeixoeoângulode
torçãoentreasengrenagensBeD.
Figura 5 –Exemplo 4.

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EXEMPLO5.Ummaciçodeaço(G=76GPa)deseçãocircularésubmetidoaos
torquesT
1=2300N.meT
2=900N.magindonasdireçõesindicadas.
Dados:L
1=760mm;L
2=510mm;d
1=58mm;d
2=45mm.
a.Calcularatensãodecisalhamentomáximanoeixo.
b.Calcularoângulodetorção(emgraus)naextremidadeC.
EXEMPLO6.Umtubovazadoconstruídoemmetalmonel(G=66GPa)é
submetidoatorquesagindonasdireçõesindicadas.Asmagnitudesdostorques
sãoT
1=100N.m,T
2=T
4=50N.meT
3=T
5=80N.m.Otubotemdiâmetro
externod
2=25mm.Atensãodecisalhamentoadmissívelé80MPaearazãode
torçãoadmissívelé6º/m.
Calcularomáximodiâmetrointernopermitidod
1dotubo.

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EXEMPLO7.Ummotorrotacionandoumeixocircularmaciçodeaçotransmite30
kWdepotênciaparaumaengrenagememB.Atensãodecisalhamentoadmissível
paraoaçoé42MPa.
a.Calcularodiâmetronecessárioddoeixoseeleéoperadoa500rpm.
b.Calcularodiâmetronecessárioddoeixoseeleéoperadoa4000rpm.
RESPOSTASDOSEXEMPLOS:
Exemplo1 t
máx.=27,1MPaef=0,02198rad(1,26º)
Exemplo2 T
máx.=9164N.m
Exemplo3 a.d
0=58,8mm.b.d
2=67,1mm.c.1,14e0,47
Exemplo4 t
máx.BC=51,9MPaet
máx.CD=33,0MPa.f
BD=0,0106rad
Exemplo5 t
máx.=50,3MPa.f
C=0,14º
Exemplo6 d
1=20,7mm
Exemplo7 a.d=41,1mm.b.d=20,55mm

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FIM