3. VOLUMEN DE UN SOLIDO DE REVOLUCION.pdf

4

1. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Volumen de un sólido de revolución
Una de las aplicaciones de la integral definida, es su uso para encontrar el volumen de un
sólido tridimensional o sólido de revolución.
Un sólido de revolución es un cuerpo que puede obtenerse mediante una operación
geométrica de rotación de una superficie plana, alrededor de una recta que se halla en el
mismo plano, llamada eje de revolución.





Para calcular el volumen de sólidos de revolución hay varios métodos, estos son: método de
disco, método de anillo y método de capas cilíndricas.

Método de disco
El sólido más simple es un cilindro circular recto o disco que se forma al girar un rectángulo
en torno a uno de sus lados como se muestra en la figura. El volumen de tal disco es:



wRVolumen
2
=

Eje de
revolución
Eje de
revolución

2. donde R es el radio del disco y w es el espesor.
Ahora bien, usaremos el volumen de un disco para encontrar el volumen de un sólido general
de revolución. Para ello, consideremos un sólido de revolución formado al girar la región
plana, alrededor del eje indicado. Para determinar el volumen de este sólido, considerar un
rectángulo representativo en la región plana. Cuando este rectángulo gira alrededor del eje
de revolución, genera un disco representativo cuyo volumen es:
xRVolumen =
2


Para calcular el volumen del solido de revolución, podemos aproximar el valor de este
volumen si dividamos el intervalo ,ab sobre el eje x, en n subintervalos de igual longitud
y dibujamos n discos de radio R y cuyo espesor es x .

3. Si se suma el volumen de los n discos de radio R y espesor x , podemos aproximar el
volumen del sólido de revolución, así el volumen del sólido es:
Volumen del sólido xxR
i
n
i
=
=
2
1
)(
Esta aproximación parece mejor cuando →n . Así, se puede definir el volumen del sólido
como:






Si el eje de revolución es el eje y, se define como:









 

2
1
2
lim ( )
()
n
i
n
i
b
a
V R x x
V R x dx


→
=
=
=



=
d
c
dyyRV
2
)(

4. Ejemplo 1 Uso de método de disco
Encuentre el volumen del sólido de revolución generado cuando la región acotada por las
curvas y = x
2
, el eje x y las rectas x = 1, x = 2; se hace girar alrededor del eje x.


Ejemplo 2 Uso de método de disco
Calcule el volumen del sólido generado, al hacer girar la región limitada por: f(x) = 2 – x
2
y
g(x) = 1; en torno a y = 1.
( ) 
3
1
1
53
1
1
42
2
1
1
2
2
1
1
2
15
16
5
1
3
2
1
5
1
3
2
1
5
1
3
2
)21(
)1(
12
uV
V
xxxV
dxxxV
dxxV
dxxV






=












−+−−





+−=






+−=
+−=
−=
−−=
−
−
−
−





3
2
1
5
2
1
4
2
2
1
2
5
31
5
1
5
32
5
)(
uV
V
x
V
dxxV
dxxV





=
−=














=
=
=



5. Ejemplo 3 Uso de método de disco
Calcule el volumen del sólido generado, al hacer girar la región limitada por las gráficas de
y = x
3
, y = 1, y = 8, el eje y; alrededor del eje y.



Método de anillo circular

El método de los discos puede extenderse a sólidos de revolución huecos, reemplazando el
disco por una arandela (anillos). La arandela se forma al girar un rectángulo alrededor
del eje, como se muestra en la figura. Obsérvese, que el eje de revolución no es frontera de
la región que se rota.



3
3
5
8
1
3
5
8
1
3
2
2
8
1
3
1
5
93
5
3
8
5
3
3
5
uV
V
y
V
dyyV
dyyV





=
−





=








=






=






=



6. Si r y R son los radios interiores y exteriores de la arandela y w es el espesor, el volumen
está dado por:



Para ver cómo este concepto puede usarse para encontrar el volumen de un sólido de
revolución, considerar una región acotada por un radio exterior R(x) y un radio interior r(x)
como se muestra en la figura. Si la región se gira alrededor de su eje de revolución, el
volumen del sólido resultante está dado por:









 
−=
b
a
dxxrxRV
22
)()(
( )wrRVolumen
22
−=

7. Ejemplo 1 Método de anillo

Determine el volumen del sólido que se genera, al hacer girar alrededor del eje x, la región
acotada por la parábola y = x
2
+ 1 y la recta y = x + 3.


Ejemplo 2 Método de anillo
Calcula el volumen del sólido resultante, cuando la región contenida en el primer cuadrante,
acotada por las gráficas de f(x) = 8
1 x
3
y g(x) = 2x, gira alrededor del eje y.
()( ) 
( )
( )
3
2
1
235
2
1
24
2
1
242
2
1
2
22
5
117
83
3
1
5
1
16
2
24
3
8
5
32
8
2
6
3
1
5
1
86
1296
13
uV
V
xxxxV
dxxxxV
dxxxxxV
dxxxV






=












−++−





++−−=






++−−=
++−−=
−−−++=
+−+=
−
−
−
−




8. Ejemplo 3 Método de anillo
Determine el volumen del sólido que se genera al hacer girar la región acotada por
y
2
= 4x, y = x, alrededor de x = 4








()
3
3
3
5
8
0
33
5
8
0
23
2
8
0
2
2
3
1
15
512
12
512
5
384
12
8
8
5
12
12
3
5
4
4
1
4
2
2
uV
V
V
yy
V
dyyyV
dy
y
yV






=






−=






−=








−=






−=














−





=



9. Método de capas cilíndricas

En los dos casos anteriores, se determinó el volumen de un sólido de revolución tomando los
elementos rectangulares perpendiculares al eje de revolución y los elementos de volumen
obtenidos fueron discos o anillos.
El método de capas cilíndricas considera los elementos de área paralelos al eje de revolución.
Cuando un elemento de área se gira alrededor del eje de revolución se obtiene una capa
cilíndrica de altura f(x) y grosor x .

El volumen de esta capa cilíndrica cuyo radio promedio es x , altura ()fx y espesor x .
estaría dado por: ()
3
4
0
5
32
4
0
4
2
4
0
2
4
2
4
0
2
2
2
5
64
80
1024
6464
80
4
16
38
816
16
216
4
4
4
uV
V
y
yyV
dy
y
yyV
dyyy
y
yV
dyy
y
V






=






+−=






+−=








+−=








−+−+−=








−−








−=




10. Para calcular el volumen del solido de revolución, podemos aproximar el valor de este
volumen si dividamos el intervalo ,ab sobre el eje x, en n subintervalos de igual longitud
y dibujamos n capas de altura f(x), radio x, y espesor es x .

Así, el volumen del sólido se aproxima al volumen de las n capas.
Esta aproximación parece mejor cuando →n . Se puede definir el volumen del sólido
como:








 


=
=
=
→
b
a
iii
n
i
n
dxxfxV
xxfxV
)(2
)(2lim
1


2 ( )Volumen x f x x=
2x

11. Ejemplo 1 Método de capas cilíndricas

La región limitada por la curva y = x
2
, el eje x y la recta x = 2, se gira alrededor del eje y.
¿Calcule el volumen del sólido generado?


Ejemplo 2 Método de capas cilíndricas

Determine el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje y la región
limitada por la gráfica de y = 3x – x
3
, el eje y y la recta y = 2.


3
2
0
4
2
0
3
8
042
4
1
2
2
uV
V
xV
dxxV




=
−=






=
=
( )





5
2
5
1
112
5
1
3
3
2
2
2
)32(2
322
1
0
532
1
0
42
1
0
3
=






+−=






+−=
+−=
+−=


V
V
xxxV
dxxxxV
dxxxxV

12. PRÁCTICA Nº8

Encuentre el volumen del sólido obtenido, al girar la región limitada por las curvas dadas,
alrededor del eje especificado.

1. y = x
2
, x = 1, y = 0, alrededor del eje x.
R: 5
1 
2. y = x
2
, y = 4, x = 0, alrededor del eje y R: 8
3. y = x
2
, y
2
= x, alrededor del eje x
R: 10
3 
4. y = x
2
, y = 4x – x
2
, alrededor del eje x

R: 3
32 
5. y = x
2
, y = 1 + x - x
2
, alrededor de la recta y = -3

R: 32
261 
6. La recta que pasa por los puntos (1,3) y (3,7) y las rectas y = 3,
y = 7, x = 0 alrededor del eje y.
R: 3
52 
7. y
2
= 4x, y = x, alrededor de la recta x = 4.

R:5
64 
8. x = 4 + 6y -2y
2
, x = -4, alrededor de la recta x = -4

R:3
1250 
9. y = x
2
+ 1 y la recta y = x + 3
R: 117
5

10. y = cscx, y = 2, x = 
6
5
,
6
1
=x , alrededor de eje x
R:  32
3
8
2
−

11. x = y , x = -y, y = 2 alrededor del eje x
R: ( )235
15
16
+

12. y
2
= 4x, y = x, alrededor del eje x.
R: 3
32 

13. 13. y = x , eje x, x = 4, alrededor de la recta x = 4

R: 15
256 
14. y = x , eje x, x = 4, alrededor del eje y
R:5
128 
15. y = x , eje x, x =4, alrededor de la recta y = 2
R: 3
40 
16. y = x
2
- x, y = 0, alrededor del eje x

R: 30
1 
17. y = x
2
, eje y, y = 4, alrededor del eje y R: 8
18. y = x
3
, eje x, x = 1, alrededor del eje y

R: 5
2 
19. y
2
= x, x = 4, alrededor del eje x R: 8
20. y = x
2
+ 1, x = -1, x = 1, el eje x, alrededor del eje x

R: 15
56 
21. x = y
2
, y – x + 2 = 0, alrededor del eje y

R:5
72 
22. x
2
= y - 2, 2y – x - 2 = 0, x = 0, x = 1, alrededor del eje x

R:20
79 
23. y = x+4 , x = 0, y = 0, alrededor del eje x R: 8
24. y =x
1 , x = 1, x = 3, y = 0, alrededor del eje x R: 3
2 
25. y = cosx, x = 0, y = 0, alrededor de la recta y = 1

R: 4
2
2

−