4 conjunción disyunción implicación equivalencia

disyuncion y otros 61p

1. CONJUNCIÓN DISYUNCIÓN IMPLICACIÓN
EQUIVALENCIA

LA CONJUNCIÓN:
La conjunción es la parte de una oración que
enlaza dos proposiciones simples mediante el
conectivo y.

La conjunción de las proposiciones simples p
y q se simboliza p ^ q.
Una conjunción es verdadera sólo cuando
ambas
proposiciones simples son verdaderas.



Formemos una conjunción con las
proposiciones simples p y q .
p. Cartagena es la capital de Chocó.
q: Cartagena está situada al norte de Colombia.

La proposición conjuntiva es:
P ^ q: Cartagena es la capital de Chocó y
Cartagena está ubicada al norte de Colombia.
El valor de verdad de la conjunción p ^ q es
falso porque una de las proposiciones es falsa:
p es falsa y q es verdadera.

EJEMPLOS:
Un aviso promocional de cierto almacén ofrece
premios a sus clientes, basado en el valor de la
compra.
El aviso contiene las siguientes proposiciones
compuestas con conjunciones.
Por compras mayores a $ 100 000 reclame 2
entradas para el circo y 2 camisetas. CONJUNCIÓN
Por compras superiores a $100 000:
p: El almacén obsequia 2 entradas para el
circo.
q: El almacén entrega 2 camisetas.

2. Observemos que el almacén cumple con la promoción
sólo si ambas proposiciones son verdaderas.

Encuentra números que cumplan las
siguientes
condiciones.

a. Un número que sea divisible por 2 y por
3.
b. Un número par y primo.
c. Un número que sea divisible por 8, por 9
y que no lo sea por 72.

Halla el valor de verdad de cada conjunción.
a. El enano mide 2,5 m de alto y la carpa
del
circo tiene 2 mm de ancho y 5 m de largo.
b. El entrenador del león le da órdenes al
ani-
mal y la jirafa que está vestida tiene cuatro
patas.
c. La bailarina corre a una velocidad de l00
km/h y los perros amaestrados caen hacia
abajo.
d. El pez payaso nada en el acuario y la
tortuga es más veloz que el tigre.

3. DISYUNCIÓN:
La disyunción es la parte de una oración que
enlaza dos proposiciones simples mediante el
conectivo o

La disyunción de las proposiciones simples p
y q se simboliza p v q.

Una disyunción es verdadera cuando al menos
una de proposiciones simples que la forman es
verdadera.

Formemos una disyunción con las
proposiciones simples r y s.
r: El conjunto de los números naturales es
infinito,
s: El conjunto de los números naturales está
formado únicamente por los números del 0 al
10.
La proposición disyuntiva es:
r v s: El conjunto de los números naturales es
infinito o l conjunto de los números naturales
está formado por los números del 0 al 10.
El valor de verdad de la disyunción r v s es
verdadero, porque una de las proposiciones es
verdadera: p es verdadera y q es falsa.

Por compras superiores a $ 400 000 reclame
boletas
para participar en el sorteo de un viaje a Cartagena
o para el sorteo de un computador portátil.

Encuentra los números que cumplan las
siguientes condiciones.

Un número múltiplo de 10 o múltiplo de 5.
Un número impar o primo.
Un número de cuatro cifras terminado en un
múltiplo de 4 o impar.

Decide el valor de verdad de cada disyunción.
a. El saltimbanqui hace un círculo en el
aire con los pies o recorre el escenario.
b. El presentador explica la escena o el
tigre escribe el libreto.
c. El malabarista lanza una pelota hasta el
Sol o el gigante mide un centímetro.
d. La moto sin combustible gira sin parar
en el globo o la función nocturna inicia a las
7:00 p.m.

4. Escribe las conjunciones indicadas.
q: El circo está ubicado cerca de la casa.
p: Los leones saltan por encima de una cuerda.
r: Los elefantes miran por unas ventanas
pequeñas,
s: Los payasos se burlan del público.
a. p ^ q b. p ^ r c. r ^ s

Para determinar el valor de verdad de una pro-
posición compuesta como [p v q) ^ r, primero
se
resuelve la disyunción en el paréntesis y luego
se
realiza la conjunción entre este resultado y r.

5. IMPLICACIÓN
Una proposición de la forma si p entonces q recibe el
nombre de implicación. A p se le llama hipótesis
ya q conclusión. La implicación se simboliza p -> q y se
lee p implica q.

Una implicación se dice que es falsa sólo cuando
la hipótesis es verdadera y la conclusión es falsa;
en los otros casos es verdadera. Observemos la
tabla de los valores de verdad para estas
proposiciones.

Fn la siguiente implicación identifiquemos ¡a hipó-
tesis y la conclusión. Luego, decidamos su valor de
verdad.
p —> q: Si los artesanos construyen objetos a mano,
entonces la feria se realiza en junio.
Solución
La hipótesis es p: los artesanos construyen objetos a
mano.
La conclusión es q: la feria se realiza en junio.
El valor de verdad de la implicación es falso, ya que p
es verdadera y q es falsa, pues la feria se realiza en
diciembre y no en junio.
Escribamos la proposición en forma de implicación
p -> q y hallemos su valor de verdad.
r: Cuando hace un día soleado en la feria, la
temperatura es mayor a 18°.
Solución
En la proposición r la hipótesis p y la conclusión q son:
p: Hace un día soleado en la feria.
q: La temperatura de día es mayor a 18
o
.
Luego r se puede escribir así:
P -> Q: Si hace un día soleado en la feria, entonces la
temperatura es mayor a 18
o

r es verdadera porque p y q son verdaderas.

Forma la Implicación p -> q con la hipótesis y la
conclusión dadas.
a. Hipótesis: En Colombia hay artesanos.
Conclusión: en muchas partes del país se
hacen ferias.
b. Hipótesis: algunas de las artesanías más
bonitas son las hechas por los indígenas.
Conclusión: el trabajo de los indígenas de la
Amazonia es muy bueno.

6. c. Hipótesis: Para hacer sandalias artesanales se
utilizan cortezas vegetales.
Conclusión: la suela se hace de material
sintético.
d. Hipótesis: El sombrero vuelteado es usado en
zonas cálidas.
Conclusión: es un objeto que los turistas compran con
facilidad.

EQUIVAQLENCIA
Dos proposiciones son equivalentes si tienen los
mismos valores de verdad.
Si r y s son proposiciones equivalentes, entonces se
simbolizan r <-> s o r = s y se lee r es equivalente a s.

a,, Determinemos las proposiciones simples que
conforman las implicaciones r y s y escri-
bámoslas simbólicamente.
r: si el equipo de Juana gana el campeonato, le pagan
$5 000000.
s: si no le pagan $ 5 000 000 es porque su equipo no
ganó el campeonato.
b. Verifiquemos que r y s son equivalentes.
Solución
a. Nombraremos p y q a las proposiciones
simples. p: El equipo de Juana gana el campeonato.
q: al equipo de Juana le pagan $ 5 000 000.
Por tanto r: p -» q y s: ~q -> ~p.

b. Para verificar que las proposiciones son
equivalentes, construimos la tabla de verdad de cada
una y comparamos los valores de verdad
correspondientes.

Como los valores son los mismos, las proposiciones
son equivalentes.
p->q = ~q->~p.