4- DERIVADA definição e regras -PARA ALUNOS.pdf

Cálculo 1

1. Prof. Nilson Costa
[email protected]
São Luis 2011
1

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTREGAL I







Prof. Nilson Costa
[email protected]
São Luis 2012

2. 2

DERIVADAS
Nesta aula, apresentaremos a definição de Derivada
de uma Função.
Inicialmente, apresentaremos a noção de derivada a
partir da reta tangente (interpretação geométrica) ao
gráfico de uma função.
Posteriormente, definiremos funções deriváveis e
derivada de uma função em um ponto.
Ao final da aula, daremos outros significados ao
conceito de derivada fazendo várias aplicações.

3. 3

A Reta Tangente e a Derivada
Muitos problemas interessantes de Cálculo envolvem
a determinação da reta tangente a uma curva dada
num determinado ponto. Para uma circunferência,
sabemos da Geometria Plana que a reta tangente em
um ponto é a reta que tem com ela um único ponto em
comum.
Essa definição não é válida para uma curva em geral.
Por exemplo, na figura, a reta que queremos que seja
a tangente à curva no ponto T intercepta a curva em
outro ponto S.

4. 4

A Reta Tangente e a Derivada
Para chegar a uma definição adequada de reta
tangente ao gráfico de uma função num de seus
pontos, começamos pensando em definir a inclinação
da reta tangente no ponto.

Então, a tangente é
determinada por sua
inclinação e pelo
ponto de tangência

5. 5

A Reta Tangente e a Derivada
Consideremos uma função f contínua em um certo
x ∈ Dom(f ). Seja I o intervalo aberto que contém x e
no qual f está definida. Consideremos P(x, f(x)) e
Q(x + △x, f (x + △x)) pontos distintos do gráfico da
função f . Tracemos a reta através de P e Q, ou seja, a
secante PQ.

6. 6

A Reta Tangente e a Derivada
Suponha que Q se aproxima de P, deslocando–se
sobre o gráfico da função f . Cada vez que Q ocupar
nova posição, trace a nova secante correspondente. A
inclinação da reta secante PQ é


onde ∆x é a diferença entre as abscissas de Q e de P,
e ∆y é a diferença entre as ordenadas de Q e de P.
Chamamos ∆x e ∆y por incremento de x e incremento
de y, respectivamente.

7. 7

A Reta Tangente e a Derivada
Se Q se aproximar muito de P ou ∆x → 0, a reta
secante PQ tenderá a uma “posição–limite”.
É esta posição–limite que queremos usar como a reta
tangente ao gráfico da função f , no ponto P.

8. 8

A Reta Tangente e a Derivada

9. 9

A Reta Tangente e a Derivada

10. 10

A Reta Tangente e a Derivada
Se Q se aproximar muito de P ou ∆x → 0, a reta
secante PQ tenderá a uma “posição–limite”.
É esta posição–limite que queremos usar como a reta
tangente ao gráfico da função f , no ponto P.

11. 11

A Reta Tangente e a Derivada
Portanto, definimos a inclinação da reta tangente ao
gráfico no ponto P por


se esse limite existir.

Observe que se o limite for ∞, então, a reta tangente
ao gráfico da função, em P, é a reta perpendicular ao
eixo das abscissas em x.

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A Reta Tangente e a Derivada
Exemplo. Ache a inclinação da reta tangente ao
gráfico da função definida por y = f (x) = x
3
−3x+4 nos
pontos (a, f (a)), (1, f (1)) e (−1, f (−1)).
Solução: Temos f (a) = a
3
− 3a + 4 e
f (a + ∆x) = (a + ∆x)
3
− 3(a + ∆ x) + 4. Logo,

13. 13

A Reta Tangente e a Derivada



ou seja, a inclinação da reta num ponto (a, f (a))
qualquer do gráfico da função f é dado por
m(a) = 3a
2
− 3.
Portanto, fazendo a = 1 e a = −1, temos
m(1) = m(−1) = 0.
Isso quer dizer, que nos pontos (1, 2) e (−1, 6) as retas
tangentes nesses pontos são paralelas ao eixo das
abscissas. Veja a figura.

14. 14

A Reta Tangente e a Derivada







Definição. Se f for contínua em x
0, então, a equação
da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x
0, f (x
0)) é:
y − f (x
0) = m(x
0)(x − x
0)

15. 15

A Reta Tangente e a Derivada
Exemplo. Determine a equação da reta tangente ao
gráfico da função f (x) = x
2
, no ponto, (1, 3).
Solução: Seja m
1 o coeficiente angular da reta
tangente ao gráfico de f (x) = x
2
passando pelo ponto
(1, f (1)) = (1, 3).
Sejam P(1, 3) e Q(x
0, x
0
2
) pontos da parábola. O
coeficiente angular da reta secante à parábola
passando por P e Q é:

16. 16

A Reta Tangente e a Derivada
É intuitivo que quando Q se aproxima de P
(x
0 aproxima-se de 1), os coeficiente de ambas as retas
(secante e tangente) ficarão iguais. Logo,


A equação da reta tangente ao gráfico de f , no ponto
(1, 3) é y − 3 = −2(x − 1).

17. 17

A Reta Tangente e a Derivada
Nota. Segue da definição que a equação da reta
normal ao gráfico de f no ponto (x
0, f (x
0)) é:


se m(x
0) ≠ 0.
O tipo de limite em,


usado para definir a inclinação da reta tangente, é um
dos mais importantes no Cálculo e leva um nome
especial, conforme definição a seguir.

18. 18

A Derivada de uma Função
Definição (A Derivada de uma Função). Uma função
f é derivável no ponto x
0 se existe o seguinte limite



Nota. Fazendo-se a mudança de variável x = x − x
0,
temos

e f ′(x
0) é chamada derivada de f no ponto x
0 . Como x
0
é um ponto arbitrário, podemos calcular a derivada
de f para qualquer ponto x ∈ Dom(f ),

19. 19

A Reta Tangente e a Derivada


Assim, f ′ é uma função de x e f ′(x
0) é um número real.

Nota. Outras notações para a derivada de y = f (x)
são:

20. 20

A Reta Tangente e a Derivada
Nota. O processo de cálculo da derivada é chamado
de derivação. Se uma função possui uma derivada em
x
0, a função será derivável em x
0.
Isto é, a função f será derivável em x
0 se f ′(x
0) existir.
Uma função será derivável em um intervalo se ela for
derivável em todo número no intervalo.
Se f é derivável em todos os pontos do seu domínio,
dizemos, simplesmente, que f é derivável. Se f ′(x
0) não
existe ou é ± ∞, dizemos que f não é derivável em x
0.

21. 21

A Reta Tangente e a Derivada
Exemplo: Obtenha a função derivada da função
f (x) = x
3
− 3x + 4.
Solução:

22. 22

A Reta Tangente e a Derivada
Exemplo. Obtenha a derivada da função
f (x) = x
3
− 3x + 4 no ponto x
0 .
Solução:

23. 23

A Reta Tangente e a Derivada
Nota. No exemplo anterior, f (x) = x
3
− 3x + 4 possui
derivada f ′(x) = 3x
2
− 3. Como o domínio de f é o
conjunto dos números reais, e 3x
2
− 3 existe para
qualquer número x real, f é uma função derivável.

Nota. A função F : ( D - {x
0} ) → R, definida por


representa, geometricamente, o coeficiente angular da
reta secante ao gráfico de f no passando pelos pontos
(x
0, f (x
0)) e (x, f(x)).

24. 24

A Reta Tangente e a Derivada
Logo, quando f é derivável no ponto x
0, a reta, de
coeficiente angular f ′(x
0) e que passa pelo ponto
(x
0, f (x
0), é a reta tangente ao gráfico de f no ponto
(x
0, f (x
0). Daí, se f admite derivada em x
0, temos que a
equação f ′(x
0) no ponto (x
0, f (x
0)) é:


A equação da reta normal ao gráfico de f no ponto
(x
0, f (x
0) é:

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A Reta Tangente e a Derivada
Exemplo: Ache uma equação da reta tangente e da
reta normal à curva f (x) = x
3
−3x +4 no ponto (2, 6).
Solução: A inclinação em qualquer ponto (a, f (a)) do
gráfico da função f (x) = x
3
−3x +4 é dado pela
derivada de f em a.
Mas, a derivada de f é f ′(x) = 3x
2
− 3. Logo, no ponto
(2, 6) a reta tangente tem inclinação f ′(2) = 3(2)
2
− 3
= 9.
Como a equação da reta que passa no ponto (x
0, y
0) e
de inclinação m é dada por y − y
0 = m(x − x
0 ),
temos, então, que a equação da reta procurada é dada
por...

26. 26

A Reta Tangente e a Derivada
y − f (2) = f ′(2)(x − 2), ou seja, y − 6 = 9(x − 2).
Segue que, 9x − y − 12 = 0.
Como a inclinação da reta normal é −1/m, uma
equação da reta normal ao gráfico no ponto (2, 6) é

27. 27

A Reta Tangente e a Derivada
O exemplo a seguir, além de sugerir a definição de
derivada lateral, ilustra que nem toda função contínua
num ponto x
0 é derivável em x
0 .
Exemplo. Seja f a função valor absoluto definida por


Claramente que f é contínua em 0, no entanto


não existe.

28. 28

A Reta Tangente e a Derivada

29. 29

A Reta Tangente e a Derivada
Teorema. Se uma função f for derivável em x
0 , então f
será contínua em x
0 .
Nota.
(i) A definição de derivada é feita usando-se o
conceito de limite. Segue deste fato as definições de
derivada lateral à direita e a esquerda que
apresentamos a seguir.
Seja f uma função definida em x
0 , então:
a derivada à direita de f em x
0, denotada por f
‘
+ (x
0), é

30. 30

A Reta Tangente e a Derivada
se o limite existir.
a derivada à esquerda de f em x
0, denotada por
f ′
−(x
0), é

se o limite existir.

(ii) Do Teorema anterior, segue que não existe a
derivada de f , no ponto x
0, se f é descontínua em x
0 .

31. 31

A Reta Tangente e a Derivada
Exemplo. Seja f a função definida por



(a) Determine um valor de b tal que f seja contínua em
b.
Solução: (a) Para que f seja uma função contínua em
b, pelo menos limite de f(x) com x tendendo para b
deve existir.
Deste modo precisamos que

32. 32

A Reta Tangente e a Derivada

33. 33

A Reta Tangente e a Derivada

34. 34

A Reta Tangente e a Derivada
Exemplo(Interpretação Cinemática). Do estudo da
cinética sabemos que a posição de um ponto material
em movimento, sobre uma curva C (trajetória)
conhecida, pode ser determinada, em cada instante t,
através de sua abscissa s, medida sobre a curva C. A
expressão que nos dá s em função de t é s = s(t), e é
chamada equação horária.
Sendo dado um instante t
0 e t um instante diferente de
t
0, chamamos velocidade média do ponto entre os
instantes t
0 e t o quociente

35. 35

A Reta Tangente e a Derivada
e chama-se velocidade escalar do ponto no instante t
0
o limite

Em outras palavras, a derivada da função s = s(t) no
ponto t = t
0 é igual à velocidade escalar do móvel no
instante t
0 .
Sabemos ainda que a velocidade v de um ponto
material em movimento pode variar de instante para
instante. A equação que nos dá v em função do tempo t
é v = v(t) e é chamada equação da velocidade
do ponto.

36. 36

A Reta Tangente e a Derivada
A aceleração média do ponto entre os instantes t e t
0 é
o quociente


e, a aceleração escalar do ponto no instante t
0 é o
limite:


Em outras palavras, a derivada da função v = v(t) no
ponto t = t
0 é igual à aceleração escalar do móvel no
instante t
0 .

37. 37

A Reta Tangente e a Derivada





Como o processo do cálculo da derivada de uma
função, a partir da definição, em geral é lento, as
regras de derivação que veremos a seguir nos
possibilitarão encontrar derivadas com maior
facilidade.

38. 38

Regras de Derivação
Proposição (Regras de Derivação). Sejam f , g e h
funções deriváveis e c uma constante real. Então:

39. 39

A Reta Tangente e a Derivada
Prova:
D1. A derivada da função constante: Dada a função
f (x) = c, c ∈ R, temos que

40. 40

A Reta Tangente e a Derivada
D2. A derivada da função potência:
Dada a função f (x) = x
n
, n é um número natural não-
nulo, temos que:


Fazendo-se a mudança de variável x + ∆x = t, temos
que ∆ x = t − x. Segue que, quando ∆ x → 0,
então t → x. Portanto,

41. 41

A Reta Tangente e a Derivada

42. 42

A Reta Tangente e a Derivada
As demais propriedades seguem da aplicação
imediata da definição.
Nota.
• A propriedade D3 pode ser estendida para uma soma
de n parcelas, e a D5 estendida para um produto de n
fatores, ou seja,

43. 43

A Reta Tangente e a Derivada



• A propriedade D4 no caso particular que g(x) = c,
onde c é uma constante, resume-se a:
f ′(x) = ch′(x).

44. 44

Exercícios Propostos
1-Determinar a equação da reta tangente às
seguintes curvas, nos pontos indicados.

45. 45






Exercícios Propostos

46. 46

GRÁFICOS
Exercícios Propostos

47. 47

2. Determine a equação da reta normal à curva
f (x) = x(3x − 5), no ponto x=1/2 e esboçar o seu
gráfico.
Exercícios Propostos

48. 48

3. Determinar a equação da reta tangente à curva
y=1 - x
2
, que seja paralela à reta y =1− x.
Exercícios Propostos

49. 49

4. Influências externas produzem uma aceleração
numa partícula de tal forma que a equação de seu
movimento retilíneo é y=b/t+ct, onde y é o
deslocamento é t o tempo.
(a)Qual a velocidade da partícula no instante t = 2 ?



(b) Qual é a equação da aceleração?
Exercícios Propostos

50. 50


5. Dada a função

Exercícios Propostos

51. 51


6. Dada a função

verificar se existe f’(3).
Exercícios Propostos

52. 52

7. Quantas retas tangentes à curva y=2x/(x+1)
passam pelo ponto P(−4,0) ? Em quais pontos essas
retas tangentes tocam a curva?
Exercícios Propostos

53. 53

Exercícios Propostos

54. 54

Exercícios Propostos

55. 55










Exercícios Propostos

56. 56

7. Calcule a derivada da função polinomial
Exercícios Propostos

57. 57

Derivadas
AGORA É A SUA
VEZ BONS
ESTUDOS

58. 58


[1] IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos; NILTON JOSÉ,
Machado. Fundamentos de Matemática Elementar – Vol. 8.
8a edição. São Paulo: Atual Editora Ltda, 2.004.

[2] ANTON, Howard. Cálculo: Um Novo Horizonte – Vol. 1.
6a edição. Porto Alegre: BOOKMAN, 2.000.

[3] LIMA, Elon Lages. Curso de Análise – Projeto Euclides
– Vol. 1. 10a edição. Rio de Janeiro: IMPA, 2.002.

[4] FLEMMING, Diva Marília. Cálculo A. 5a edição. São
Paulo: Makron Books Ltda., 1.992.
Referências Bibliográficas