4. Limit Fungsi materi kalkulus 123.pptx

Limit Fungsi

1. LIMIT FUNGSI Wardhani Utami Dewi, M.Mat .

2. Limit Fungsi Aljabar Peta Konsep Limit Fungsi Teorema Limit Pengertian Limit Limit fungsi yang tidak memiliki nilai limit Limit fungsi untuk x →∞ Metode substitusi Metode faktorisasi Metode perkalian bilangan sekawan Menentukan nilai Limit dengan Aljabar Bentuk tak tentu Bentuk tak tentu Bentuk tak tentu ~  ~ dan k  c o o ~ ~

3. Pengertian Limit Limit fungsi f(x) adalah suatu nilai yang didekati oleh fungsi f(x) jika x mendekati suatu nilai tertentu. Misal untuk x mendekati a maka f(x) mendekati L. Istilah mendekati dinotasikan dengan lim f(x)  L x  a X mendekati a fungsi Nilai limit Cara membaca : Limit f(x) = L untuk x mendekati a

4. Selidikilah nilai limit dari mendekati 1. apabila x x mendekati 1 dari kiri : …, - 1, x mendekati 1 dari kanan : 2, 3, … Nilai f(x) : x - 1 1 2 3 y 1 ? 3 4 x  1 x 2  1 f ( x )  Pengertian Limit

5. x  1 x 2  1 f ( x )  y x - 1 1 2 3 y 1 ? 3 4 4 1 2 3 y x 3 2 1 - 1 lim x 2 - 1  x  1 x - 1 lim (x – 1)(x + 1) x  1  x - 1 x + 1 lim x  1     Pengertian Limit

6. untuk x didekati dari kiri : f(x) = −∞ didekati dari kanan : f(x) = ∞ Dari kiri Dari kanan x F( x) x f(x) 2 - 1 4 1 2,5 - 2 3,5 2 2,8 - 5 3,8 1,25 2,9 -10 3,1 10 2,99 - 100 3,01 100 x  3 1 Selidikilah nilai limit fungsi f ( x )  mendekati 3. Limit Fungsi Yang Tidak Memiliki Nilai Limit

7. Dari tabel diatas , dapat disimpulkan bahwa limit f(x) tidak ada untuk mendekati 3, atau secara umum ditulis : atau disebut : 1 Tidak ada untuk x mendekati 3 divergen untuk x mendekati 3 x  3 fungsi f ( x )  lim = 1 x  3 3 Limit Fungsi Yang Tidak Memiliki Nilai Limit

8. Selidikilah nilai limit fungsi untuk x mendekati tak hingga. Kesimpulan : x f(x) 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 1,01 1,001 1,0001 1,00001 1,000001 *Semakin besar nilai x, maka nilai f(x) akan semakin dekat dengan 1 Limit Fungsi Untuk X → ∞

9. Nilai Tentu Dalam Limit a  k b  k k  ~ ~  ~ k k  ~ ~  ~  ~ (~) k  ~ k (~)  ~ = tak hingga K = bilangan a s l ~ i Keterangan :

10. Nilai Tidak Tentu Dalam Limit o o ~  ~ ~ ~ ~ = tak hingga Keterangan :

11. Teorema 1 lim k  k x  a lim 7  7 x  8 Contoh : lim 5  5 x  Teorema 2 lim x  a x  a lim x  - 2 x  - 2 Contoh : lim x  x  Teorema 3 x  a Contoh : lim kx  k limx  k . a x  a x  - 2 lim 3x  3 lim x  3 . (- 2) = - 6 x  - 2 1 x lim x   lim  Contoh : x   x n Teorema 4 k 

12. Teorema 5 lim [f(x) + g(x)]  x  a Contoh : limf(x) + lim g(x) x  a x  a lim [f(x) - g(x)]  x  a limf(x) - lim g(x) x  a x  a x  2 lim [3x + 6]  lim 3x + lim 6 x  2 x  2 x  2  3. lim x + lim 6 x  2  3. 2 + 6  12 Contoh : x  lim [4x - 7]  lim 4x - lim 7 x  x  x   4. lim x - lim 7 x   4. - 7  - 7

13. Teorema 6 lim [f(x) . g(x)]  x  a Contoh : L im f(x) . L im g(x) x  a x  a x  2 lim x 2  lim x . x Contoh : x  1 lim [4x . 7x]  lim 4x . lim 7x x  1 x  1  4. lim x . 7 limx x  1 x  1  (4 . 1) . (7 .1)  4.7  28 x  2  (lim x) . (lim x) x  2 x  2  2 . 2

14. Teorema 7 lim lim f(x) f(x )  x  a lim g(x) x  a x  a g(x) lim (x – 1) lim x - 1  x  4 lim (x – 3) x  4 x  4 x - 3  4 - 1 4 - 3  3 Contoh : Teorema 8 lim [f(x)] n  [lim f(x) ] n x  a x  a x  3 lim [2x- 1] 3  [lim (2x-1)] 3 x  3  [2 . 3 – 1] 3  5 3  125

15. 21   lim x  8 lim x  … x  14 3. lim 6x   x  4 lim  … 7 x   x 2 lim [4x + 7]   x  2 1. 2. 4. 5. x  8 6. lim [4x . 7x]   lim x  20   x - 5 x – 15 lim [2x- 2] 3   x  4 7. 8. Latihan Soal

16. Menentukan nilai limit dengan aljabar

17. Menentukan Nilai Limit Dengan Aljabar Bentuk tak tentu Jikanilai x = a disubstitusi langsung ke f(x) pada lim 𝑓 𝑥 , diperoleh bentuk . Maka f(x) perlu diubah bentuknya . 𝑥→𝑎 Contoh: a. lim 𝑥→1 𝑥 2 −1 2 𝑥 −3𝑥+2 = … Jika mensubstitusi langsung nilai x=1 maka: lim 𝑥→1 2 𝑥 2 −1 1 2 −1 = = 𝑥 −3𝑥+2 1 2 −3.1+2 Agar bentukdapatditentukan, makadifaktorkan: lim 𝑥→1 2 𝑥 −3𝑥+2 𝑥 2 −1 𝑥−1 𝑥+1 𝑥−1 𝑥−2 = lim 𝑥→1 = lim 𝑥→1 𝑥+1 𝑥−2 = 1+1 1−2 = - 2

18. Bentuk tak tentu Limit f(x) untuk x   akan menghasilkan bentuk tak tentu apabila x =  disubstitusi secara lagsung pada fungsi pecahan polinom. ~ ~ ~ ~ Pembagian suku-suku pada pembilang dan penyebut dengan x berpangkat tertinggi lim  x   x n k Penyelesaian :

19. x 3 x 2 x 2 x 2 2 2 x 2 lim x   lim 3 x  4 x  1   x  3   3 x 2  4 x  1 x 2 x 2 x 2 x   2 x 2 3 x 2 x x 4  1 x 2 3  lim x   2  1    3   2    3 2 Contoh :

20. x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 2 x 3  4x  6 2 lim x   lim  x  7  3 x   3 x 2  4 x  1 x   2 x 2 6 x 3 lim 1  7 x 3 3  x   2  4  x 2     2    x x 2

21. . = = Bentuk tak tentu & Tentukan nilai dari: 1. = ~  ~ k  c

22. Contoh soal

23. Contoh soal a < p maka L = - ∞ a = p maka L = 1 2

24. 1. x  1 lim x 2  1  .... x  1 lim lim x  1 (x  1)(x  1) x 2  1  x  1 x  1 x  1  lim ( x  1 ) x   1   1  1   2  lim x 2  1   2 x  1 x  1

25. 2. x  2 lim x 2  x  6  .... x  2 x  2 x  2 lim x 2  x  6  lim (x  2)(x  3) x  2 x  2 x 2  li  m ( x  3 )  2  3  5 x  2  lim x 2  x  6  5 x  2