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CALCULO

1. Teorema fundamental del cálculo Ing. Netzahualcóyotl Saucedo Martínez

2. Introducción El teorema fundamental del cálculo consiste en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la integral de su derivada es igual a ella misma.

3. ¿Qué son las sumas de Riemann? Una suma de Riemann es una aproximación del área bajo la curva, al dividirla en varias formas simples (tales como rectángulos o trapecios). En una  suma de Riemann izquierda  aproximamos el área con rectángulos (normalmente de ancho igual), donde la altura de cada rectángulo es igual al valor de la función en el extremo izquierdo de su base.

4. ¿Qué son las sumas de Riemann? En una  suma de Riemann derecha  la altura de cada rectángulo es igual al valor de la función en el extremo derecho de su base. En una  suma de Riemann de punto medio  la altura de cada rectángulo es igual al valor de la función en el punto medio de su base.

5. ¿Qué son las sumas de Riemann? Podemos también usar trapecios para aproximar el área (esto se llama  regla del trapecio ). En este caso, cada trapecio toca la curva en sus dos vértices superiores. Las referencias difieren en este punto, pero nosotros llamamos suma de Riemann a cualquier aproximación que use rectángulos y suma trapezoidal a cualquier aproximación que use trapecios.

6. ¿Qué son las sumas de Riemann?

7. ¿Qué son las sumas de Riemann?

8. ¿Qué son las sumas de Riemann?

9. 1.4 Integral definida Competencias Objetivos Específicas Comprende los dos teoremas fundamentales del cálculo para establecer la relación entre cálculo diferencial y cálculo integral. Genéricas Capacidad de abstracción, análisis y síntesis. Capacidad para identificar, plantear y resolver problemas. Aplicar el teorema del valor intermedio y el teorema fundamental del cálculo para evaluar integrales definidas

10. Integral definida Dada f(x) una función continúa y positiva en el intervalo [a, b]. Se define la integral definida, en el intervalo [a, b], como el área limitada por las rectas x=a, x=b, el eje OX y la gráfica de f(x) y se nota De esta manera, la lectura de la integración se puede dar de manera alternativa; la función derivada “f(x)” proporciona la altura de cada rectángulo delimitado por la curva, “ dx ” es la base infinitesimal de cada rectángulo y “∫” representa la suma (o integración) de todas estas áreas infinitesimales, lo cual proporciona como resultado el área total, obtenida a partir de la primitiva “F(x)”.

11. Integral definida Si f(x) es una función continua y negativa en el intervalo [a, b] entonces se define la integral definida, en el intervalo [a, b], como el valor del área limitada por las rectas x = a, x = b, el eje OX y la gráfica de f(x), cambiado de signo. Por lo tanto, se puede decir que A( x+h ) − A(x) es aproximadamente igual a f(x)·h, y que la precisión de esta aproximación mejora al disminuir el valor de h. En otras palabras, ƒ(x)·h ≈ A( x+h ) − A(x), convirtiéndose esta aproximación en igualdad cuando h tiende a 0 como límite

12. Teorema de existencia Cuando f(x) es la razón de cambio de la función F(x) y f(x) = 0 en [a, b] entonces la integral definida tiene la siguiente interpretación: ∫𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝒃𝒂 = cambio total en F(x) cuando x cambia de “ a” a “ b” . Decir que f(x) es la razón de cambio de F(x) significa que f(x) es la derivada de F(x) o equivalentemente que F(x) es una primitiva de f(x). El cambio total en F(x) cuando x cambia de “ a” a “ b” es la diferencia entre el valor de F al final y el valor de F al principio, es decir, F(b) - F(a). ∫𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝒃𝒂 = F(b) - F(a).

13. Propiedades de la integral definida. 1. La integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de las integrales de dichas funciones: 2. La integral del producto de un número real k por una función es igual al producto de k por la integral de dicha función:

14. Propiedades de la integral definida. 3. En una integral definida el límite superior de integración puede ser menor que el límite inferior de integración y Si hacemos a = b, en la igualdad anterior se tiene que Como el único número que coincide con su opuesto es el cero, llegamos a la conclusión de que

15. Propiedades de la integral definida. 4. Dados tres números reales cualesquiera, a, b, c con a < b < c, se tiene que: Si en el intervalo (a, b) la función f es mayor o igual que la función g entonces

16. Propiedades de la integral definida.

17. Funciones inversas: Antiderivada Las  funciones  son un tipo especial de relación matemática donde, a través de una regla de correspondencia, se asigna a un elemento de un conjunto llamado  dominio  con otro conjunto denominado  contradominio . Con base en un diagrama, se puede estipular que esto se da de la siguiente manera:

18. Funciones inversas: Antiderivada En un principio esta situación puede parecer intrascendente; sin embargo, tal apreciación no es correcta. Para ello, se muestra un ejemplo sencillo pero con un enfoque práctico: tienes una pieza de madera cuadrada de 25 centímetros cuadrados de área. Te puedes preguntar cómo construir otra igual; al recordar la forma de construir un cuadrado por la regla de correspondencia en sentido inverso, basta cortar un paralelogramo de cinco centímetros de lado para construir dicha figura. Ésta puede ser una forma simple de ver la conveniencia de contar con una función inversa para ir en uno u otro sentido en una función. De esta forma, la multiplicación y la división representan funciones inversas; la suma y resta, así como la exponenciación y logaritmación, también lo son correspondientemente. Bajo esta reflexión es posible pensar que al tener la operación de derivar una función, y que por sí misma establece una regla de correspondencia univoca, es posible con tal razonamiento establecer un diagrama como el que se muestra a continuación:

19. Funciones inversas: Antiderivada De esta manera, existe una forma de determinar la derivada de una función y encontrar en sentido inverso, a partir de la función derivada “f(x)”, la función que es su antiderivada y se denomina  función primitiva de la derivada  “F(x)”.

20. Funciones inversas: Antiderivada Si f es integrable sobre [ a, b ] y f = F' para alguna función F , entonces (1) Esta igualdad es la famosa fórmula de Newton y Leibnitz, que reduce el problema de calcular la integral definida de una función a la obtención de una primitiva de la misma, y constituye así un enlace entre el cálculo diferencial y el integral.

21. Funciones inversas: Antiderivada Muchos de los problemas concretos estudiados por los más grandes matemáticos se resuelven automáticamente con esta fórmula, que establece sencillamente que la integral definida de la función f ( x ) en el intervalo [ a, b ] es igual a la diferencia entre los valores de cualquiera de sus primitivas en los extremos superior e inferior del intervalo. La diferencia (1) se acostumbra a escribir así:

22. Función primitiva La integración es la operación inversa de la derivación . Dada una función f(x), diremos que F(x) es una primitiva suya si F’(x)=f(x) Nota: La primitiva de una función no es única; por ejemplo, si f(x)=3x 2 , entonces F1(x)=x 3 + c1 F2(x)=x 3 + c2. Propiedad : Si F1(x) y F2(x) son primitivas de una misma función f(x), entonces se diferencian en una constante; o sea F1(x) - F2(x) = c1 – c2 = cte .

23. Función primitiva Si una función f(x) tiene una función primitiva F(x), entonces admite infinitas primitivas, cuyas expresiones serán F(x)+ K , siendo K una constante arbitraria. Al conjunto de todas las primitivas de f(x), se le llama integral indefinida de f(x) y se le denota mediante Por ejemplo: siendo K una constante arbitraria. Si existe la integral indefinida de una función, se dice que ésta es integrable

24. Cálculo de integrales definidas básicas Competencias Objetivos Específicas Comprende los dos teoremas fundamentales del cálculo para establecer la relación entre cálculo diferencial y cálculo integral. Genéricas Capacidad de abstracción, análisis y síntesis. Capacidad para identificar, plantear y resolver problemas. Aplicar el teorema del valor intermedio y el teorema fundamental del cálculo para evaluar integrales definidas

25. Cálculo de integrales definidas básicas Procedimiento para calcular la integral definida A . Integrar la expresión diferencial dada. B . Sustituir en el resultado obtenido (integral indefinida) inicialmente con el valor del extremo superior, a continuación con el inferior, y se resta el segundo resultado del primero. C . No es necesario tomar en cuenta la constante de integración porque siempre se cancela en la sustracción. D. El resultado siempre se expresa en unidades cuadradas

26. Cálculo de integrales definidas Se obtiene la integral F(x) y se evalúa en los límites: Por ejemplo:

27. Cálculo de integrales definidas

28. Cálculo de integrales definidas