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Resolução de problemas

1. Resolução de Resolução de
ProblemasProblemas
Luciana Moura
Consultora Pedagógica Especialista em
Matemática
Mestre em Ensino de Matemática
Co-autora da obra coletiva
Matemática – construção e significado
da Editora Moderna

2. “A arte de resolver problemas”
George Pólya
1
a
edição: 1944

3. Como Resolver um ProblemaComo Resolver um Problema
COMPREENSÃO DO PROBLEMACOMPREENSÃO DO PROBLEMA
Qual é a incógnita? Quais são os
dados? Qual é a condicionante?
É possível satisfazer a condicionante?
A condicionante é suficiente para
determinar a incógnita? Ou é
insuficiente? Ou redundante? Ou
contraditória?
Trace uma figura. Adote uma notação
adequada.
Separe as diversas partes da
condicionante. É possível anotá-las?
Primeiro
É preciso compreender
o problema

4. Como Resolver um ProblemaComo Resolver um Problema
ESTABELECIMENTO DE UM PLANOESTABELECIMENTO DE UM PLANO
Já o viu antes? Ou já viu o mesmo
problema apresentado sob uma forma
ligeiramente diferente?
Conhece um problema correlato? Conhece
um problema que lhe poderia ser útil?
Considere a incógnita! E procure pensar em
um problema conhecido que tenha a
mesma incógnita ou outra semelhante.
Segundo
Encontre a conexão
entre os dados e a
incógnita.

5. Como Resolver um ProblemaComo Resolver um Problema
ESTABELECIMENTO DE UM PLANOESTABELECIMENTO DE UM PLANO
Eis um problema correlato e já antes
resolvido. É possível utilizá-lo? É possível
utilizar o seu resultado? É possível utilizar o
seu método? Deve-se introduzir algum
elemento auxiliar para tornar possível a sua
utilização?
É possível reformular o problema? É
possível reformulá-lo ainda de outra
maneira? Volte às definições.
Segundo
É possível que seja
obrigado a considerar
problemas auxiliares se
não puder encontrar
uma conexão imediata.

6. Como Resolver um ProblemaComo Resolver um Problema
ESTABELECIMENTO DE UM PLANOESTABELECIMENTO DE UM PLANO
Se não puder resolver o problema proposto,
procure antes resolver algum problema
correlato. É possível imaginar um problema
correlato mais acessível? Um problema mais
genérico? Um problema mais específico? Um
problema análogo? É possível resolver uma
parte do problema? Mantenha apenas uma
parte da condicionante, deixe a outra de lado;
até eu ponto fica assim determinada a
incógnita? É possível variar a incógnita, ou os
dados, ou todos eles, se necessário, de tal
maneira que fiquem mais próximos entre si?
Utilizou todos os dados? Utilizou toda a
condicionante? Levou em conta todas as
noções essenciais implicadas no problema?
Segundo
É preciso chegar afinal
a um plano para a
resolução.

7. Como Resolver um ProblemaComo Resolver um Problema
EXECUÇÃO DO PLANOEXECUÇÃO DO PLANO
Ao executar o seu plano de resolução,
verifique cada passo. É possível
verificar claramente que o passo está
correto? É possível demonstrar que ele
está correto?
Terceiro
Execute o seu plano

8. Como Resolver um ProblemaComo Resolver um Problema
RETROSPECTORETROSPECTO
É possível verificar o resultado? É
possível verificar o argumento?
É possível chegar ao resultado por um
caminho diferente? É possível perceber
isto em um relance?
É possível utilizar o resultado, ou o
método, em algum outro problema?
Quarto
Examine a solução obtida

9. ““Heurísticas na sala de aula”Heurísticas na sala de aula”
Alan H. Schoenfeld
Heurística: sugestão ou estratégia geral,
independente de algum tópico particular ou
do assunto em questão, que ajude os
resolvedores de problemas a abordar e
entender um problema e a dirigir
eficientemente seus recursos para resolvê-lo

10. Algumas heurísticas importantes Algumas heurísticas importantes
na resolução de problemasna resolução de problemas
1. Desenhe um diagrama, se for possível.
2. Examine casos particulares para:
a) exemplificar o problema;
b) explorar as várias possibilidades, através de casos
com limitações; e
c) encontrar padrões de indução fazendo os
parâmetros inteiros iguais sucessivamente a 1, 2, 3, ...
3. Tente simplificar, usando simetrias ou “sem prejuízo da
generalidade”.
Analisando e entendendo um problema:

11. Algumas heurísticas importantes Algumas heurísticas importantes
na resolução de problemasna resolução de problemas
1.Planeje as soluções hierarquicamente.
2.Seja capaz de explicar, em qualquer momento da resolução, o
que você está fazendo e por quê; o que você fará com o
resultado dessa operação
Delineando e planejando uma solução:

12. Algumas heurísticas importantes Algumas heurísticas importantes
na resolução de problemasna resolução de problemas
1.Considere uma variedade de problemas equivalentes:
a) substitua a condicionante por outras equivalentes;
b) recombine elementos do problema por outras equivalentes;
c) introduza elementos auxiliares;
d) reformule o problema:
•com uma mudança de perspectiva ou notação;
•argumentando por contradição ou contrapositivamente;
•Assumindo uma solução e determinando as
propriedades que ela precisa ter.
Explorando soluções para problemas difíceis:

13. Algumas heurísticas importantes Algumas heurísticas importantes
na resolução de problemasna resolução de problemas
2. Considere ligeiras modificações do problema original:
a) escolha metas secundárias e tente alcançá-las;
b) desconsidere uma condicionante e, depois, tente impô-la
novamente;
c) decomponha o problema e trabalhe nele, parte por parte.
Explorando soluções para problemas difíceis:

14. Algumas heurísticas importantes Algumas heurísticas importantes
na resolução de problemasna resolução de problemas
3. Considere modificações amplas do problema original:
a) examine problemas análogos com menor complexidade
(menos variáveis);
b) explore o papel de uma única variável ou condicionante
deixando o resto fixo;
c) explore algum problema de forma, dados ou conclusões
similares; tente explorar o resultado e o método.
Explorando soluções para problemas difíceis:

15. Algumas heurísticas importantes Algumas heurísticas importantes
na resolução de problemasna resolução de problemas
1.Use estes testes específicos:
A solução usa todos os dados?
É adequada a estimativas razoáveis?
Resiste a testes de simetria, análise de dimensões,
escala?
2. Use testes gerais:
Pode ser obtida de forma diferente?
Pode ser comprovada em casos particulares?
Reduzida a resultados conhecidos?
Pode gerar alguma coisa que você conhece?
Verificando uma solução:

16. ““Formulando problemas Formulando problemas
adequadamente”adequadamente”
Thomas Butts
Tipos de Problemas
1.Exercícios de reconhecimento;
2.Exercícios algorítmicos;
3.Problemas de aplicação;
4.Problemas de pesquisa aberta;
5.Situações-problema.

17. 1.Exercícios de reconhecimento;
Exercícios deste tipo normalmente pedem
aos resolvedores para reconhecer ou
recordar um fato específico, uma definição
ou enunciado de um teorema.
São geralmente propostos em forma de
verdadeiro ou falso, múltipla escolha,
preencha os espaços ou comparação.

18. Trata-se de exercícios que podem ser
resolvidos com um procedimento passo-a-
passo, freqüentemente um algoritmo
numérico.
2. Exercícios algorítmicos;
A habilidade para
fazer cálculos, em
seu sentido mais
amplo, requer
exercício e prática;
o desafio é torná-la
interessante.
1.Dê uma seqüência de
exercícios algorítmicos com
um propósito;
2.Faça a inversão de um
problema conhecido.

19. Os problemas de aplicação envolvem
algoritmos aplicativos. Os problemas
tradicionais caem nesta categoria,
exigindo sua resolução:
(a) formulação do problema simbolicamente
e depois...
(b) manipulação dos símbolos mediante
algoritmos diversos.
3. Problemas de aplicação;

20. Alguns critérios para um “bom exemplo”
de problema de aplicação
(segundo o Sourcebook on Applications da MAA - NCTM)
3. Problemas de aplicação;
1. Os dados
deverão ser
realistas, tanto
nas informações
do que é
conhecido como
nos valores
numéricos
usados
2. Deverá ser
razoável
esperar que a
“incógnita” do
problema seja
efetivamente
desconhecida
3. A resposta do
problema
deverá ser uma
quantidade para
cuja procura
possivelmente
se pudesse
encontrar uma
razão

21. São problemas de pesquisa aberta aqueles
em cujo enunciado não há uma estratégia
para resolvê-los.
4. Problemas de pesquisa aberta;
A função mais importante dos
problemas de pesquisa aberta
é incentivar a conjectura.
Jogos matemáticos e quebra-
cabeças são também outra
rica fonte de problemas de
pesquisa aberta.

22. Situações nas quais uma das etapas
decisivas é identificar o problema inerente à
situação, cuja solução irá melhorá-la.
5. Situações-problema;

23. ““Estratégias de resolução de problemas Estratégias de resolução de problemas
na matemática escolar”na matemática escolar”
Gary L. Musser
J. Michael Shaughnessy
1. Tentativa e erro 2. Padrões
4. Trabalhar em sentido
inverso
5. Simulação
3. Resolver um problema
mais simples

24. 1. Tentativa e erro 2. Padrões
4. Trabalhar em sentido
inverso
5. Simulação
3. Resolver um problema
mais simples
Envolve simplesmente a
aplicação das operações
pertinentes às informações
dadas.
Esta estratégia considera
casos particulares do
problema. Generalizando-se
a partir desses casos,
chega-se à solução.
Esta estratégia pode envolver a resolução de um “caso particular” de
um problema, ou um recuo temporário de um problema complicado
para uma versão resumida.
Esta estratégia parte do objetivo, ou
do deve ser provado, e não dos
dados.
Freqüentemente, a solução de um
problema compreende preparar e
realizar um experimento, coletar dados
e tomar uma decisão baseada em uma
análise de dados.

25. ““A solução de problemas em matemática”A solução de problemas em matemática”
María del Puy Pérez Echeverría
Mitos típicos dos estudantes sobre a natureza da Matemática
• Os problemas matemáticos têm uma e somente uma resposta correta.
• Existe somente uma forma correta de resolver um problema matemático
e, normalmente, o correto é seguir a última regra demonstrada em aula
pelo professor.
• Os estudantes “normais” não são capazes de entender Matemática;
somente podem esperar memorizá-la e aplicar mecanicamente aquilo que
aprenderam sem entender.
• Os estudantes que entenderam Matemática devem ser capazes de
resolver qualquer problema em cinco minutos ou menos.
• A Matemática ensinada na escola não tem nada a ver com o mundo
real.
• As regras formais da Matemática são irrelevantes para os processos de
descobrimento e de invenção.

26. Alguns fatores não matemáticos que influenciam na
dificuldade de tradução de problemas matemáticos
• Diferenças no significado de uma mesma expressão na
linguagem cotidiana (mais ambígua e contextual) e na
linguagem matemática (mais precisa).
• Diferentes significados matemáticos de uma mesma
expressão ou palavra (por exemplo, “é”).
• Ordem e forma de apresentação dos dados.
• Presença de dados irrelevantes para a solução do problema.
• Caráter hipotético dos problemas matemáticos (“dados
matemáticos” diante de “dados reais”).
• Diferença ente as teorias pessoais e as teorias matemáticas.

27. BibliografiaBibliografia
Guzmán,Miguel de. Aventuras matemáticas. Lisboa:
Gradiva, 1986.
Krulik, Stephen e Reys, Robert E.A resolução de
problemas na matemática escolar. São Paulo: Atual,
1997.
Polya, George. A arte de resolver problemas. Rio de
Janeiro: Interciência, 1995.
Pozo, Juan Ignacio (org.). A solução de problemas –
Aprender a resolver, resolver para aprender. Porto
Alegre: ArtMed, 1998.

28. [email protected]