6. Keprimaan.pptx pada bilangan prima teorema

bilangan prima

1. BILANGAN PRIMA DAN TEOREMA FUNDAMENTAL ARITMETIKA ( teori dan aplikasi )

2. Indikator : Memahami Definisi Bilangan Prima Memahami beberapa teorema dalam bilangan prima Memahami teorema fundamental aritmetika Mengaplikasikan teorema fundamental artimetika terhadap soal olimpiade

3. Definisi : Suatu bilangan bulat p > 1 disebut bilangan prima jika p tidak mempunyai faktor positif kecuali 1 dan p itu sendiri. Selanjutnya bilangan bulat q > 1 disebut bilangan komposit (tersusun) jika q bukan bilangan prima. Bilangan asli dengan elemen yaitu 1 disebut unit Akibat : “ himpunan bilangan asli terbagi menjadi 3 bagian himpunan yang saling lepas ” Himpunan bilangan unit = { 1 } Himpunan bilangan prima = { 2, 3, 5, 7, ... } Himpunan bilangan komposit = { 4, 6, 8, 9,... } BILANGAN PRIMA

4. KETUNGGALAN BILANGAN PRIMA Teorema 1 : Jika p bilangan prima dan p | ab, maka p | a atau p | b. Bukti : Karena p bilangan prima maka p hanya mempunyai faktor 1 dan p, sehingga (a,p) = 1 atau (a,p) = p untuk bilangan bulat a sebarang. Jika (a,p) = 1 dan p | ab, maka p | b Jika (a,p) = p, maka p | a Jadi p | a atau p | b Akibat ( perluasan ) teorema 1 : Jika p bilangan prima dan p | a 1 a 2 .. a n , maka p | a 1 atau p | a 2 atau ..... p | a n

5. PERGANDAAN BILANGAN PRIMA Teorema 2 : Pemfaktoran suatu bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 atas faktor – faktor prima adalah tunggal , kecuali urutan dari faktor – faktornya . Bukti : kita sudah punya teorema 1,, selanjutnya ; Ambil bilangan bulat positif n > 1 * Jika n bilangan prima maka n adalah bilangan prima itu sendiri .. * Jika n suatu bilangan komposit dan diandaikan bahwa pemfktoran n atas faktor – faktor prima adalah tidak tunggal , misalnya ; n = p 1 p 2 p 3 … p t dan n = q 1 q 2 q 3 … p r

6. Lanjutan pembuktian : dengan p i q j adalah bilangan prima untuk i = 1, 2, 3, 4, … t dan j = 1, 2, 3, 4, … r serta p 1 ≥ p 2 ≥ p 3 ≥ … p t dan q 1 ≥ q 2 ≥ q 3 ≥ … p r dengan t ≥ r pandang ke n = p 1 p 2 p 3 … p t dengan sifat sifat yang dipenuhi diatas maka : p 1 | n sehingga p 1 | q 1 q 2 . . . q r Contoh : 900 = 5 . 5 . 3 . 3 . 2 . 2 . 5 | 900 sehingga 5 | 5 . 3 . 2

7. Pencarian bilangan prima Teorema Euclides : “ Pembentukan bilangan prima N sebagai hasil kali semua bilangan prima ditambah 1. Aplikasi : N 1 = 2 + 1 = 3 (prima) N 2 = 2 . 3 + 1 = 7 (prima) N 3 = 2 . 3 . 5 + 1 = 31 (prima) N 4 = 2 . 3 . 5 . 7 + 1 = 211 (prima) N 5 = 2 . 3 . 5 . 7 . 11 + 1 = 21311 (prima) N 6 = 2 . 3 . 5 . 7 . 11 . 13 + 1 = 30031( bukan prima ) karena merupakan hasil kali 59 dengan 509

8. Teorema Fermat : Bilangan prima dapat dihasilkan dari : Rumus ini efektif ketika n ( bilangan bulat tak nol ) = 1, 2, 3, tapi tidak efektif pada bilangan n = 5 karena menghasilkan bilangan komposit . p = 3 p 1 = 5 p 2 = 17 p 3 = 257 p 4 = 65537 p 5 = 4294967297 ( bukan prima ) karena bilangan tersebut merupakan hasil kali bilangan 641 dengan 6700417

9. Saringan Eratosthenes : Pembuatan tabel ( daftar ) 100 atau berapapun bilangan asli dan mencoret bilangan – bilangan komposit atau mencoret kelipatan bilangan prima sehingga membentuk bilangan prima. merupakan teknik pencacahan pencarian bilangan prima.

10. Teorema Fundamental Aritmetika   . " Setiap bilangan bulat positif yang lebih besar atau sama dengan 2 dapat dinyatakan sebagai perkalian lebih atau satu bilangan prima".. Bentuk Merupakan representasi n sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima, sering pula bentuk itu disebut bentuk kanonik n Contoh : 90 = 2.3.3.5 = 2 1 .3 2 .5 1

11. Akibat : maka banyaknya pembagi positif dari n adalah Contoh : Banyaknya faktor pembagi positif pada 13 dan 63 adalah ? Jawab : 13 = 13 1 banyaknya faktor pembagi positif ;(1 + 1) = 2 => {1 & 13} 63 = 3 2 . 7 1 banyaknya faktor pembagi positif ; (2 + 1) (1 + 1) = (3)(2) = 6 => {1, 3, 7, 9, 21, 63}

12. Soal – soal 1. Ubahlah bilangan komposit berikut kedalam bentuk fundamental aritmetika : a). 1638 b). 6776 2. Jumlah faktor prima dari bilangan set (a) dapat dinyatakan dalam (x) dan jumlah faktor prima dari set (b) dapat dinyatakan dalam (y). Tentukan x 2 – y 2 . 3. Seleksi olimpiade SMA tingkat kabupaten tahun 2008 ; Tentukan banyaknya faktor ( pembagi ) positif dari bilangan 2008. 4. Takwa’s challenge ; 137200 = a d . b e . c f maka ; dimana p dan q saling prima, tentukan nilai dari q – p .

13. Pembahasan 1). a). 1638 = 2 1 . 3 2 . 7 1 . 13 1 b). 6776 = 2 3 . 7 1 . 11 1 2). x = 2 + 3 + 7 + 13 = 25 y = 2 + 7 + 11 = 20 x 2 – y 2 = (x + y)(x – y) = (25 + 20)(25 – 20) = (45)(5) = 225 3). bilangan 2008 = 2 3 . 251 1 banyaknya faktor pembagi positif dari bilangan 2008 adalah (3 + 1)(1 + 1) = (4)(2) = 8 jadi banyaknya faktor pebagi positif bilangan 2008 adalah 8. PENCACAHAN => {1, 2, 4, 8, 251, 502, 1004, 2008}