618154978-Cac-Bổ-Đề-Trợ-Giup-Giải-Cac-Bai-Toan-Hinh-Học-Thcs (1).pdf

các bổ đề hình học thcs

1. https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen
Liên hệ tài liệu word Toán qua SĐT & Zalo: [phone].
CÁC BỔ ĐỀ TRỢ GIÚP GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC THCS
1

1/28
CÁC BỔ ĐỀ TRONG ĐƯỜNG TRÒN:
1. Tính chất bằng nhau:
AD,BE,CF là 3 đường cao hạ từ A,B,C
hh
HAB HCB= (cùng phụ với
h
FBD
hh
HAB OAC= ( do
h h
90HAB ABC= − =
t
h
( )
h
( )
h
1 1
180 2. 180
2 2
ABC AOC OAC


− = − = 


t t
2.Mối quan hệ trực tâm H và tâm O. 2 .AH OM=
G
ọi M là trung điềm BC,T đối xứng với
A qua
O AT⇒ là đường kính đường
tròn tâm O
B,C thuộc đường tròn đường kính AT
nê
n BA BT;CA CT⊥ ⊥ (
1)
H là trụ̣c tâm nên B
A CH;CA BH⊥ ⊥
(2
)
Từ (1) và (2) suy ra
CH / /BT;BH / /CT BHCT⇒ là hình
bì
nh hành, có M là trung điềm đường
ch
éo BC. nên M cũng là trung điềm
đư
ờng chéo HT;O là trung điểm
AT OM⇒ là đường trung bình của tam
gi
ác AHT 2AH OM⇒

CÁC BỔ ĐỀ TRONG ĐƯỜNG TRÒN.
TOÁN THCS

2. https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuye
n
Liên hệ tài liệu word Toán qua SĐT & Zalo: [phone].

CÁC BỔ ĐỀ TRỢ GIÚP GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC THCS

2

2/28

3. Tính chất OA ⊥ EF.

BE, CF là 2 đường cao hạ từ B,C. Kẻ tiếp
tuyến tại A của đường tròn tâm O

xAB ACB⇒ =

90 BFECBFC BEC= = ⇒
/
là tứ giác nội
t
iếp

AFE ACB=> =

Do đó, Ax / /EF mà AOxAB AFE= =>
Ax nên AO EF⊥ ⊥


4. Tính chất OH= 3OG.

Trung tuyến AM của tam giác ABC,T
đối xứng với A qua O.
Theo trên ∆AHT có M là trung điểm của
HT,⇒ AM là trung tuyến của ∆AHT, có
tỉ số
2
G
3
AG
AM
= => cũng là trọng tâm tam
giác
2
AHT
3
HG
GO
=> = 3OOH G⇒ =

5. Tính chất “ Điểm R đối xứng với H qua BC”
⇒R thuộc ( O).

3. https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuye
n
Liên hệ tài liệu word Toán qua SĐT & Zalo: [phone].

CÁC BỔ ĐỀ TRỢ GIÚP GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC THCS

3

3/28

R,H đối xứng với nhau qua BC nên

HBC RBC= H là trực tâm => theo trên
thì

HBC HAC=
Do đó,

RBACRBC HAC= ⇒ nội tiếp
()R O⇒ ∈


6. Tính chất “ D,E,F là chân đường cao” hạ từ A,B,C thì H là tâm đường tròn nội tiếp tam
giác DEF.

Chứng minh DH là phân giác

EDF
BFHD, CEHD là 2 tứ giác nội tiếp nên


;HDF HBF HDE HCE= =
Mà theo trên,

HBF HCE=
Suy ra

HDF HDE=
Tương tự, EH,FH là phân giác góc

,FED EFD
H→ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF


7. Tính chât “Phân giác trong Fl cắt () tại ư ờn ư là tâm đường tròn ngoại tiếp gca”

4. https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuye
n
Liên hệ tài liệu word Toán qua SĐT & Zalo: [phone].

CÁC BỔ ĐỀ TRỢ GIÚP GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC THCS

4

4/28

Chứng minh KI KB=


IBK IBC KBC IBA KAC IBA KAB KIB= + = + = + =

⇒ tam giác KIB cân tại K
Tương tự, tam giác KIC cân tại
K KI KC=> =
Do đó, K là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác IBC Lưu ý:
K cũng là điểm chính giữa cung
BC không chứa A⇒>
OK BC⊥


8. Tiếp tuyến tại o của àhđ cắt ca tại ạ. ot là phân giác trong góc o ừn ạo ờ ạt



PAD PAB BAD ACB DAC= + = + =

ADP=> tam giác PAD cân tại P=>
PA PD=


9. Phân giác trong ot cắt àhđ tại ( ờ c( là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác
otc

5. https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuye
n
Liên hệ tài liệu word Toán qua SĐT & Zalo: [phone].

CÁC BỔ ĐỀ TRỢ GIÚP GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC THCS

5

5/28
Ta cần chứng minh BE BK⊥







180
90
2
90 d.p.c.m
BFD
FBD BAD
KBC KAC BAD
FBD KBC
−
= = −
= =
⇒ + = ⇒>
/
/
/



10. Phân giác trong Fl cắt đường tròn () tại ư ờn ù và p đối xứng với nhau qua ư

Đường tròn bàng tiếp có tâm J là giao của 1
đường phân giác trong và 2 đường phân giác
ngoài của tam giác ABC⇒ có 3 đường tròn
bàng tiếp
A,I,J cùng nằm trên đường phân giác trong
góc A⇒> , ,A I J thẳng hàng
BI,BJ là 2 đường phân giác của 2 góc kề bù
BI BJ⇒ ⊥ ⇒> tam giác BIJ vuông tại B
Theo tính chất trên , K là tâm đường tròn ngoại tiếp BIC
=> KB KI=
K⇒ là trung điểm IJ KI KJ=> =


11. Tính chất A,L,N thẳng hàng.

6. https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen
Liên hệ tài liệu word Toán qua SĐT & Zalo: [phone].

CÁC BỔ ĐỀ TRỢ GIÚP GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC THCS

6

6/28
1,
a
I là tâm đường tròn nội tiếp, và bàng tiếp góc A
tiếp xúc với BC lần lượt tại ,M N. L đối xứng với
M qua I A,I,I
a
=> thẳng hàng (1)
L
ại có:
( )
IL / / 2
a
a
IL BC
I
N
I N BC
⊥
=>
⊥


H, K là tiếp điểm của ()()I ,
a
I với AB
( ) do IH / /
a
a
a a
IL IH IA
I K
I N I K I A
⇒ = =
Từ (1), (2), (3) suy ra A,L, N thẳng hàng


12. Tính chất BM=CP.

Đường tròn nội tiếp tâm I, tiếp xúc
với BC tại M. Kẻ đường kính
MN. AN cắt BC tại P
Kẻ tiếp tuyến của (I) tại N, cắt
,AB AC tại ,E F. K là tiếp điểm
của (I) với AB
⇒ IE là phân giác góc

KIN
Có IB là phân giác góc

KIM

180KIN KIM+ =
/
nên

90 ∆BIEEIB= =>
/
vuông tại I có
IK là đường cao
2 2
r IK=> = =
KE KB NE MB⋅ = ⋅
Tương tự,
2
.r NF MC=
D
o đó, NE.MB=NF.MC NE NF NE NF EF
MC MB MC MB BC
+
=> = = =
+

L
ại có
EF/ /BC nên
NF EF
CP BC
= Do
đ
ó
CP BM=

7. https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen
Liên hệ tài liệu word Toán qua SĐT & Zalo: [phone].

CÁC BỔ ĐỀ TRỢ GIÚP GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC THCS

7

7/28
13. Tính chất

=
0
90 .BKC

D,E,F là tiếp điểm của (I) với BC,CA,AB. EF cắt BI tại K







Ta có 90 90
2 2
180
90
2 2
BAC BAC
BIC KIC
BAC BAC
KEC AEF
= + => = −
−
= = = −
/ /
/
/

D
o đó,

KIC KEC= ⇒> Tứ giác EKCI nội tiếp, có

90IEC=
/
nên

90IKC=
/
⇒ Đpcm

8. https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen
Liên hệ tài liệu word Toán qua SĐT & Zalo: [phone].

CÁC BỔ ĐỀ TRỢ GIÚP GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC THCS

8

8/28
14. Tính chất cát tuyến và tiếp tuyến.
Cho ();O R và điểm M không thuộc đường tròn. Qua M vẽ đường thẳng cắt ()O tại 2 điểm
A, B. Khi đó tích MA.MB không phụ thuộc vị trí cát tuyến MAB.




M
ở trong ()
2 2
; :O R MA MB R OM⋅ = −






M ở ngoài
(); :O R MA.
2 2 2
(MB OM R M MT= − = là tiếp
t
uyến tới
()O.




Hệ quả 1

Cho tứ giác ABCD có 2 đường chéo cắt nhau tại N.AB,CD
cắt nhau tại M.

9. https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen
Liên hệ tài liệu word Toán qua SĐT & Zalo: [phone].

CÁC BỔ ĐỀ TRỢ GIÚP GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC THCS

9

9/28
a) Nếu MA. MB = MC.MD hoặc NA. NC = NB. ND thì
ABCD nội tiếp.
b) Nếu ABCD nội tiếp thì MA.
MB MC MD; NB ND NA NC= ⋅ ⋅ = ⋅ .


C
ho tam giác
ABC. Nếu M
thuộc tia đối của tia BC mà
2
.MB MC MA= thì MA là tiếp
tuyến đường tròn ( )ABC.


Hệ quả 2.


•
ABC△ đều OA 2R AB R 3⇔ = ⇔ =
• ABOC là hình vuông 2OA R AB R⇔ = ⇔ =
• OA cắt ( 0) tại I,K(AI AK)< thì I,K lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và bàng tiếp
ABC△ .
• MN là tiếp tuyến của ()0 2MN MB NC AM MN AN AB⇔ = + ⇔ + + = ⇔

1
MON BOC
2
= ⋅

10. https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen
Liên hệ tài liệu word Toán qua SĐT & Zalo: [phone].

CÁC BỔ ĐỀ TRỢ GIÚP GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC THCS

10

10/28
• Nếu MN tiếp xúc (0) tại I:
AMN A
MN
P min S max I⇔ ⇔
△ △
là điểm chính giữa cung BC.


15. Đường tròn ngoại tiếp.
15.1.

Đ ABC nhọn nội tiếp ( O;R).3 đường cao
AD,BE, CF đồng quy tại H. I, J, K lần lượt là trung điểm của HA,HB,HC.M, N,P lần
lượt là trung điểm của BC,CA,AB.
• 9 điểm D, E, F, I, J, K, M, N, P thuộc đường tròn (
R
:
2
Q ) (đường tròn Euler, tâm Q là
trung điểm của OH ).
• Các điểm A ,B ,C′ ′ ′ đối xứng H qua BC,CA,AB thuộc (O).
Các tính chất trên vẫn đúng khi

BAC 90≥
/
.
■ Cần phân 9 điểm trên thành 3 nhóm:
a.
Nhóm trung điểm các cạnh của tam giác.
b. Nhóm các chân đường cao
c. Nhóm trung điểm các đoạn nối trực tâm với các đỉnh.

11. https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen
Liên hệ tài liệu word Toán qua SĐT & Zalo: [phone].

CÁC BỔ ĐỀ TRỢ GIÚP GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC THCS

11

11/28
Trong thực tế ít khi đề bài yêu cầu chứng minh cả 9 điểm thuộc đường tròn (vì dài nhưng ... dễ!). Đôi khi chọn mỗi nhóm 1 điểm và đổi cách phát biểu, tự nhiên ta thấy lạ và khó. VD:
• Chứng minh JFKN nội tiếp
• Cho
B,C cố định. A di động sao cho

BAC 90>
/
. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam
giác JFN luôn đi qua 1 điểm cố định.


15.2

Cho tam giác ABC nội tiếp (0). D, E,F lần lượt là điểm chính giữa các cung
D D
BC,CA,AB
nhỏ. Ta có các đường tròn tâm D qua A,B; tâm E qua B,C; tâm F qua C,A đồng quy
tại tâm tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.


15.3.

12. https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen
Liên hệ tài liệu word Toán qua SĐT & Zalo: [phone].

CÁC BỔ ĐỀ TRỢ GIÚP GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC THCS

12

12/28
Cho tam giác ABC nội tiếp ()O :
• A,C cố định, B di động trên cung
D
AC thì chu vi và diện tích tam giác ABC lớn nhất
B⇔ là điểm chính giữa cung
D
AC.
• Suy ra: Tứ giác lồi ABCD nội tiếp ()O có đường chéo AC cố định có chu vi và diện tích
lớn nhất B⇔, D là các điểm chính giữa 2 cung AC
,
.
• Trong các tam giác nội tiếp (O), tam giác đều có chu vi và diện tích lớn nhất.
• Trong các tứ giác lồi nội tiếp (O), hình vuông có chu vi và diện tích lớn nhất.


15.4.

Cho tam giác ABC đều nội tiếp ()
B
O;R .M ,AMBC∈ cắt BC tại D.
• MB MC MA+ =
•
1 1 1
MB MC MD
+ =
Tổng quát hơn:
• Cho tam giác ABC cân ở A, nội tiếp ()O;R và
B
120 .AMBC≥
/
cắt BC ở D thì:
a) MB MC MA+ ≥
b)
1 1 1
MB MC MD
+ ≥
• Cho tam giác ABC cân ở A, nội tiếp ()O;R và
B
120BC≤
/
. AM cắt BC ở D thì:
a) MB MC MA+ ≤
b)
1 1 1
MB MC MD
+ ≤

13. https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen
Liên hệ tài liệu word Toán qua SĐT & Zalo: [phone].

CÁC BỔ ĐỀ TRỢ GIÚP GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC THCS

13

13/28




15.5.
Các cung đặc biệt và độ dài dây tính theo R:
S
ố đo cung
B
BC Độ dài dây BC
180
o
BC 2R=
150
o

( )R 6 2
BC
2
+
=
120
o
BC R 3=
90
o
BC R 2=
60
o
BC R=
30
o

( )R 6 2
BC
2
−
=

16. Đ

14. https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen
Liên hệ tài liệu word Toán qua SĐT & Zalo: [phone].

CÁC BỔ ĐỀ TRỢ GIÚP GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC THCS

14

14/28

T ABCD ngoại tiếp ()O AB CD AD BC⇔ + = +
Cho tam giác ABC nội tiếp ()O;R và có đường tròn nội tiếp ()I;r. Gọi M, N,P lần
lượt là điểm chính giữa các cung
D D
BC,CA,AB. Ta có:
• M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC
• Tâm các đường tròn ngoại tiếp (AIB), (BIC), (CIA) thuộc (O)
• ( )OI R R 2r= −
• R 2r≥


17. Các tính chất về góc.
17.1.

15. https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen
Liên hệ tài liệu word Toán qua SĐT & Zalo: [phone].

CÁC BỔ ĐỀ TRỢ GIÚP GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC THCS

15

15/28
Tính chất 1: C ABC△ và đường tròn đường tròn nội tiếp (I).Khi đó:


90
2
BAC
BIC= +
/
.
Đ
ây là một tính chất cơ bản dễ dàng chứng minh dựa vào biến đồi góc.
*Hệ quả:Gọi
J là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc

BAC thì

90BJC BAC= −
/
.


17.2.

Tính chất 2:
C
ho
ABC△ có I là tâm đường tròn nội tiếp.Gọi D,E,F là các tiếp điểm của (I) với
BC,CA,AB. Gọi K là giao điểm của EF và BI.Khì đó:

90BKC=
/
.
Chứng minh:
Theo tính chất 1 thì:

90BIC BAC= +
/
nên:

90CIK BAC= −
/
.
L
ại có:

90CEK AEF BAC= = −
/
.(vi tam giác AEF cân tại A.)
D
o đó tứ giác IEKC là tứ giác nội tiếp.Suy ra:

90IKC IEC= =
/
.
Vậy ta có:

90BKC=
/
.
Từ kết quả này ta có thể suy ra:l E,K,C,D cùng nằm trên một đường tròn có đường kính IC.
Đây là một bổ đề quen thuộc và có rất nhiều ứng dụng.

16. https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen
Liên hệ tài liệu word Toán qua SĐT & Zalo: [phone].

CÁC BỔ ĐỀ TRỢ GIÚP GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC THCS

16

16/28
17.3.

Tính chất 3 : ABC△ có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với AC,AB tại E,F tương ứng ;
( )
a
I là đường tròn bàng tiếp góc A tiếp xúc BC,CA,AB tại M, N,P tương ứng. BI cất EF
t
ại H.B
a
I
PM tại J.Ta có

: 90BHC BKC AJC= = =
/
.
T
ính chất này dễ dàng chứng minh tương tự tính chất 2 và sử dụng tứ giác nội tiếp.
Nhận xét : +)Ta có : BHCK là hình chữ nhật củng bài toàn 1 của tính chất 2 thi ta có ngay
KH
là đường trung bình của ABC△ .
+
)Ta cūng có :CJ//PN//FH và CK//PM//BH.







CÁC BỔ ĐỀ TRONG TAM GIÁC.
CÁC BỔ ĐỀ TRONG TAM GIÁC.
TOÁN THCS

17. https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen
Liên hệ tài liệu word Toán qua SĐT & Zalo: [phone].

CÁC BỔ ĐỀ TRỢ GIÚP GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC THCS

17

17/28
1 Nếu 1 tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền hoặc một cạnh góc
v
uông bằng cạnh huyền nhân
3
2
hoặc cạnh huyền bằng một cạnh góc vuông nhân
2 3
3
thì
tam giác vuông ấy có 1 góc bằng 30
o
và 1 góc bằng 60
o
.
2 Cho ABC△ nhọn, 3 đường cao AD,BE,CF đồng quy tại H.
2.1. H

∆DEF.
2.2. T
a ABC,
∆DEF∆ có chu vi bé
nhất. (Định lý Fagnano).
2.3. V

A,H đổi nhau nếu
ˆ
A 90>
o
. Khi đó A là giao điểm 3 đường phân giác của
DEF△ .

3 Cho tam giác ABC có các đường cao AD,BE,CF. Nếu M, N lần lượt là đối xứng của D
qua AB,AC thì M, N,F thẳng hàng.

18. https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen
Liên hệ tài liệu word Toán qua SĐT & Zalo: [phone].

CÁC BỔ ĐỀ TRỢ GIÚP GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC THCS

18

18/28
4 Cho tam giác ABC có trung tuyến AM :
4.1
BC
AM A 90
2
BC
AM A 90
2
BC
A 9
ˆ
ˆ
A
2
ˆ
M 0

> ⇔ <



⇔


= ⇔ =

o
o
o

4.2.


AB<AC MAB > MAC
AB AC M AMCA B
 ⇔


< ⇔ <

4.3. Nếu E AB,F AC,EF / /BC∈ ∈ thì AM qua trung điểm N của EF.

5. C

ABC. Lấy D nằm giữa B và C, E nằm trên đường thẳng BC nhưng không nằm
giữa B,C.
• Nếu
DB AB
DC AC
= thì AD là đường phân giác trong của tam giác ABC.
• Nếu
EB AB
EC AC
= thì AE là đường phân giác ngoài của tam giác ABC.
• Nếu AD,AE lần lượt là đường phân giác trong và phân giác ngoài, m là đường thẳng bất kì
không qua A cắt AB,AC,AD,AE lần lượt tại M, N,P,Q thì

PM QM MP NP
;
PN QN MQ NQ
= =



6
. Tính chất đối xứng của đường phân giác

19. https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen
Liên hệ tài liệu word Toán qua SĐT & Zalo: [phone].

CÁC BỔ ĐỀ TRỢ GIÚP GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC THCS

19

19/28


AD là phân giác trong góc A của tam giác ABC. M là điểm bất kì trên ,AB N là điểm đối xứng
với M qua AD N AC=> ∈
Do M,N đối xứng với nhau qua AD.


AN,AC trùng nhau N ACMAD NAD= => => ∈

7. Tam giác ABC vuông tại A. AD là đường cao. M AD, N CD∈ ∈

• N

M, N là trung điểm của AD,CD thì BM AN⊥
Chứng minh: MN là đường trung bình của tam giác ACD MN / /AC⇒ ; AC AB MN AB⊥ ⇒ ⊥
Tam giác ANB có ,MN AB AM BN⊥ ⊥ nên M là trực tâm tam giác ANB BM AN=> ⊥
• Nếu AN,BM là phân giác

;CAD ABC thì AN BM⊥
Chứng minh: AN

;
CA CN AM BA
AD ND DM BD
= =
M
ặt khác;
ACD BAD∼△ △ nên
CA BA
AD BD
=

20. https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen
Liên hệ tài liệu word Toán qua SĐT & Zalo: [phone].

CÁC BỔ ĐỀ TRỢ GIÚP GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC THCS

20

20/28

Do đó, / /
CN AM
MN AC
ND MD
= =>
T
ương tự phần trên
M=> là trực tâm tam giác ANB AN BM=> ⊥
Hệ quả: , , ,E F N M, I lần lượt là trung điểm của , , , ,AB DH AD CH BH
I, M là trung điểm của BH,CH=> bổ đề 3.10,Al BM⊥
MI là đường trung bình của tam giác HBC MI / /BC / /AD=> và
1 1
MI
2 2
BC AD AN= = =
AIMN⇒ là hình bình hành AI / /MN⇒
MN BM⇒ ⊥
Tương tự, chứng minh được EFMB là hình bình hành ⇒> BM / /EF Al EF=> ⊥ Và EF MN⊥

8
. Trung tuyến
AM,2 đường cao BD,CE. DE cẳt BC tại N NH AM=> ⊥ .

21. https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen
Liên hệ tài liệu word Toán qua SĐT & Zalo: [phone].

CÁC BỔ ĐỀ TRỢ GIÚP GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC THCS

21

21/28

Gọi I, K là trung điểm AH,HM
⇒ I là tâm đường tròn ngoại tiếp AEHD (do

90AEH ADH==
/
)
V
à K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

( )HMF 90HFM=
/

V
à đường tròn tâm I, tâm K cắt nhau tại H, N => NH là trục đẳng phương của 2 đường tròn tâm (I),
(
K)
NH AM⇒






C
ÁC BỔ ĐỀ TRONG TỨ GIÁC.
1 Trung điểm các cạnh của 1 tứ giác là các đỉnh của 1 hình bình hành hoặc trung điểm 2 cạnh
đ
ối và 2 đường chéo là 4 đỉnh của 1 hình bình hành. (nếu chúng không thẳng hàng).
2 Nếu tứ giác có 2 cạnh đối bằng nhau thì trung điểm 2 cạnh còn lại và trung điểm 2 đường
c
héo là 4 đỉnh của 1 hình thoi.
3 Trong hình thang có 2 cạnh bên không song song, giao điểm 2 đường thẳng chứa 2 cạnh bên,
g
iao điểm 2 đường chéo và trung điểm 2 đáy cùng nằm trên 1 đường thẳng.
CÁC BỔ ĐỀ TRONG TỨ GIÁC.
TOÁN THCS

22. https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen
Liên hệ tài liệu word Toán qua SĐT & Zalo: [phone].

CÁC BỔ ĐỀ TRỢ GIÚP GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC THCS

22

22/28

4 Trong tứ giác lồi, tích độ dài 2 đường chéo bé hơn hoặc bằng tổng các tích 2 cạnh đối (bất
đ
ẳng thức Ptolemy). Đẳng thức xảy ra
⇔ Tứ giác nội tiếp
5 Trong tứ giác lồi, tổng dài độ dài 2 đường chéo bé hơn chu vi và lớn hơn nửa chu vi tứ giác
ấ
y.
6 Trong tứ giác lồi, tổng độ dài 2 cạnh đối lớn hơn hoặc bằng 2 lần đoạn thẳng nối trung điểm
2
cạnh còn lại. Đẳng thức xảy ra
2⇔ cạnh đối ấy song song.
7 Nếu 1 tứ giác nội tiếp và có 2 đường chéo vuông góc tại J thì 1 đường thẳng qua J sẽ
vuông góc với 1 cạnh khi và chỉ khi đường thẳng ấy qua trung điểm cạnh đối diện (đinh lý
Brahma Gupta)

8 Tứ giác điều hoà: Tứ giác nội tiếp có tích các cặp cạnh đối bằng nhau gọi là tứ giác điều hoà.
8
.1. Cho tứ giác
ABCD nội tiếp.
• Đường phân giác của 2 góc

BAD;CAD đi qua 1 điểm trên BD AB.CD⇔ = AD. BC
• Hệ quả: Nếu phân giác các góc

BAD;CAD đi qua 1 điểm trên BD thì phân giác các góc

ABD,ACD đi qua 1 điểm trên AC.

23. https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen
Liên hệ tài liệu word Toán qua SĐT & Zalo: [phone].

CÁC BỔ ĐỀ TRỢ GIÚP GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC THCS

23

23/28

8.2. C
ABCD nội tiếp ( )O có đường chéo AC không đi qua tâm 0 .
• Tiếp tuyến với
( )0 tại A,C và BD đồng quy AB.CD AD.BC⇔
• Hệ quả: Nếu AC,BD không qua tâm 0 thì tiếp tuyến với
( )O tại A,C và BD đồng quy ⇔
t
iếp tuyến với
( )O tại ,B D và AC đồng quy
8.3. Gọ
M, N,P lần lượt là hình chiếu của D trên AB,BC,CA. Ta có M là trung điểm của
PN AB CD AD BC⇔

8.4. Gọ
K là trung điểm của AC.
• AC là phân giác góc

BKD AB CD AD BC⇔ ⋅ = ⋅
• Hệ quả: I là trung điểm của BD. AC là phân giác góc

BKD BD⇔ là phân giác góc AIC.
8.5. I
BD. AC,AM đối xứng nhau qua phân giác của góc

BAD AB CD AD BC⇔ ⋅ = ⋅






CÁC BỔ ĐỀ TRONG HÌNH VUÔNG, HÌNH CHỮ NHẬT, HÌNH BÌNH HÀNH…..
1
. AF BE⊥, trong đó ,E CD F BC∈
khi
=
BF AB
C
E BC
.
CÁC BỔ ĐỀ TRONG HÌNH VUÔNG, HÌNH CHỮ NHẬT, HÌNH BÌNH HÀNH…..

TOÁN THCS

24. https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen
Liên hệ tài liệu word Toán qua SĐT & Zalo: [phone].

CÁC BỔ ĐỀ TRỢ GIÚP GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC THCS

24

24/28






ABF BCE
do có 90 ; )
; lai có 90
90 BE AF
BF AB
ABF BCE
CE BC
BAF CBE BAF BFA
BFA CBE
∼

 = = =

⇒ = + =
⇒ + = => ⊥
/
/
/
△ △

Chú ý: - Khi AB BC= , tức ABCD là hình
vuông, nếu có BF CE= ta cũng có AF BE⊥


Trường hợp, E,F lần lượt là trung điểm của
CD,BC
BF CE AF BE
2
AB
⇒ = = ⇒ ⊥


2. Tính chất
2 2 2 2
⊥ ⇔ − = −AB EF AE BE AF BF

Áp dụng định lý Py-ta-go:
2 2
AE AH= +
2 2 2 2
2 2 2 2
;EH BE EH BH
AE BE AH BH
= +
=> − = −
T
ương tự, ta có
2 2 2 2
AF BF AH BH− = −
Dó đó,
2 2 2 2
AE BE AF BF− = −


3. KH IN⊥, K là điểm đối xứng của C qua , , ,B M N I là trung điểm của , ,BH CH AD

25. https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen
Liên hệ tài liệu word Toán qua SĐT & Zalo: [phone].

CÁC BỔ ĐỀ TRỢ GIÚP GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC THCS

25

25/28

Theo bổ đề 7 ( Mục bổ đề tam giác)
AM BN⊥, AINM là hình bình
hành AM / /IN=>
BN là đường trung bình của tam giác HCK nên BN//KH
Do đó,
KH IN⊥


4. + =
AB AD AC
AM AN AP

Đường thẳng d bất kì cắt , ,AB AC AD lần lượt tại , ,M P N

Theo định lý ta-let: ;
AB AB AD AD
AM AP AN AP
′
=
′
=
ABCD là hình bình hành,
'
BB / /DD′ nên
' '
B CDA=
D
o đó,
' ' '
AB AD AD D C AC
AB AD AB
AM AN AP
+ = + = = =
′
> +′

AD AB AD AC
AP AP AP
′
=
′ +′
=
N
ếu d đi qua điểm
O thì ta luôn có
2
AB AD
AM AN
+ =


5. Đ
ụ bất kì cắt ocv oa, trung tuyến oh tại ớv iv d

26. https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen
Liên hệ tài liệu word Toán qua SĐT & Zalo: [phone].

CÁC BỔ ĐỀ TRỢ GIÚP GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC THCS

26

26/28

Áp dụng bổ đề 4 , dựng hình bình hành
ABDC
2AB AC AD AO
AM AN AO AG
⇒ + = =
N
ếu
G là trọng tâm, ta luôn có:
3
AB AC
AM AN
+ =


6. DE KE⊥
F,E,K là trung điểm của AB,DO,CO
Vì EF là đường trung bình của △OCD nên
1
2
EF DC=
M
à
1
OK AB
2
= (do OK là đường trung tuyến của OAB△
vuông cân) nên EF OK= . Mặt khác ta có DF = OE;


DFE 180 135 . OFE EOK= − = =
/ /

Suy ra ( )DFE EOK c g c= − −△ △ .
Do đó

FDE OEK=



DEK DEO DEO FDEOEK⇒ = + = + -
=

AOD (tính chất góc ngoài của tam giác)
90=
/
hay KE DE(⊥ đpcm )


7. A

27. https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen
Liên hệ tài liệu word Toán qua SĐT & Zalo: [phone].

CÁC BỔ ĐỀ TRỢ GIÚP GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC THCS

27

27/28

M, N là trung điểm của AB,BC. AN cắt
CM tại I
Gọi P là trung điểm CD
AP cắt DN tại H. theo bổ đề 1,DN CM⊥
Dễ thấy AMCP là hình bình hành
AP / /CM=> hay PH / /Cl, mà P là trung
điểm DC nên H là trung điểm DI
AP / /CM AP DN=> ⊥
Do đó, AP vừa là trung tuyến, vừa là đường
cao => tam giác ADI cân tại A AD AI=> =





8. AM ⊥ PQ.

AD,BE,CF là 3 đường cao hạ từ A,B,C. Đường thẳng qua A
song song BE cắt CF tại P. Đường thẳng qua A song song
CF cắt BE tại Q
APHQ⇒ là hình bình hành. Gọi I là tâm giao của AH và
PQ=> I là trung điểm AH
Có:

ABC AHP= (do tứ giác BFHD nội tiếp)

APH BAC=
(do phụ với 2 góc

PAF

)BAE=
do đó, ( ) g gABC PHA∼ −△ △ có I,M là trung điểm AH và
BC



∆ IKMD noi tiep
90
đpcm
PIH AMB PIH AMD
IKM
=> ∼ => = =>
=> =
=>
/
△

28. https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen
Liên hệ tài liệu word Toán qua SĐT & Zalo: [phone].

CÁC BỔ ĐỀ TRỢ GIÚP GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC THCS

28

28/28
9. CH ⊥ HF.

,F E thuộc ,AB AD thỏa mãn AF AE= ;
H là hình chiếu của A lên BE
Xét AHF△ và BHC△ có:

( )


0
AHF BHC c g c

Mà 90
nên 90
HF HC
HAF AEH HBC
AH BH AH BH
AE BA AF BC
AHF BHC
AHF FHB
BHC FHB
= =
= => =
⇒ ∼ − −
⇒ =
+ =
+ =
⇒ ⊥
/
△ △



………HẾT……..