8 derivada funciones trigonometricas inversas

MATEMATICAS

1. 131
CAPÍTULO 8
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
8.1 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS (Área 2)
Como en este momento del curso el estudiante ya debe estar bastante familiarizado con el
uso de las fórmulas de derivación, en este capítulo se darán las fórmulas de derivación de las
funciones trigonométricas inversas acompañadas de unos cuantos ejemplos.
Algunas características de las fórmulas de derivación de las funciones trigonométricas in-
versas, así como de su escritura, son:
a) Todas son una fracción cuyo numerador es la derivada del argumento.
b) Las cofunciones son iguales, diferenciadas solamente de un signo negativo, es decir,
la fórmula del
arco seno
es igual a la del
arco coseno, solamente que ésta última es
negativa; la fórmula de la
arco tangente
es igual a la de la
arco cotangente, siendo
ésta última negativa. Y algo semejante sucede con la
arco secante
y la
arco cose-
cante.
c) El símbolo de una función trigonométrica inversa, por ejemplo del
seno inverso, de-
be ser
arc sen, que se lee “arco seno” y significa “seno cuyo arco es”, es decir, “seno
cuyo ángulo es”, ya que el arco en una circunferencia es igual al ángulo central que

2. Funciones trigonométricas inversas
132
abarca. En matemáticas el símbolo universal para denotar un inverso es un exponente
a la menos uno, por ejemplo, A
- 1
significa el inverso de A.
Sin embargo, en virtud de que las reglas de escritura matemática recomiendan, para
evitar confusiones, no emplear el mismo símbolo que pueda tener dos significados
diferentes, resulta incorrecto escribir
sen
- 1
u en vez de
arc sen u, ya que la primera
simbología podría tener dos significados que confundirían al lector, una como el
se-
no inverso, la otra como
1
1 11sen u cscu
sen u sen u
−
===
8.2 FÓRMULAS:
(17)
2
1
du
d dx
arc sen u
dx u
=
−
(18)
2
1
du
d dx
arc cos u
dx u
=−
−
(19)
2
1
du
d dx
arc tan u
dx u
=
+
(20)
2
1
du
d dx
arc cot u
dx u
=−
+

3. Funciones trigonométricas inversas
133
(21)
2
1
du
d dx
arc sec u
dx uu
=
−
(22)
2
1
du
d dx
arc csc u
dx uu
=−
−
Ejemplo 1: Derivar ( )
3
y arc sen x x=−
Solución: El argumento es u = x
3
- x, de manera que por la fórmula (17):
()
()
3
2
3
1
d
xx
dy dx
dx
xx
−
=
−−
()
2
2
3
31
1
dy x
dx
xx
−
=
−−
Ejemplo 2: Calcular la derivada de yarc tan x=
Solución: El argumento es , por lo que conforme a la fórmula (19) se obtiene:ux=
()
2
1
d
x
dy dx
dx
x
=
+

4. Funciones trigonométricas inversas
134
1
2
1
dy x
dx x
=
+
()
1
21
dy
dx xx
=
+
Ejemplo 3: Calcular la derivada de
1
y arc sec
x
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
Solución: El argumento es , por lo que conforme a la fórmula (21) se obtiene:
11
ux
x
−
==
()
1
2
11
1
d
x
dy dx
dx
xx
−
−−
=
−
2
12
1
1
dy x
dxxx
−
−−
−
=
−
2
2
1
11
1
dy x
dx
xx
−
=
−
Aplicando la ley de la herradura en las dos fracciones que aparecen afuera del radical y sa-
cando común denominador adentro del radical:

5. Funciones trigonométricas inversas
135
2
2
2
1
dy x
dx
x
x
x
−
=
−
2
2
1
1
dy
dx
x
x
x
−
=
⎛⎞
−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
2
1
1
dy
dx x
−
=
−

6. Funciones trigonométricas inversas
136
EJERCICIO 14 (Área 2)
Calcular la derivada de las siguientes funciones trigonométricas inversas:
1) 2)
4
5
yarcsen
x
= ( )38yarccos x=−
3) 4) ( )
7
5yarctan x=−
2
31
yarccot
x
⎛⎞
= ⎜⎟
−⎝⎠
5) 6)
2
x
yarcsece= ()
8
41yarccscx=−
7) 8)
5
311y arc sen x=− ()
7
34
1yarccos x=−
9) 10) ( )
2
3115yarctanx x=−+ ( )
7
5yarccotx x= −
11) 12) ( )
3
5y arc sec x x=− ( )6yarccsc x= −−
13) 14)
1
y arc sen
x
=
7
2
yarccos
x
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
15) 16)
2
6
7
x
yarctan
⎛⎞
= ⎜⎟
⎝⎠
37
5
x
yarccot
−⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
17) 18)
2
78
13
x
yarcsec
⎛⎞+
= ⎜⎟
⎝⎠
87
9
x
yarccsc
−⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
19) 20)
7
2
yarc sen x=
5
7yarccosx=
21) 22) ( )
6
219yarctan x=− 6yarccotx=
23) 24) 6y arc sec x=
8
7yarc csc x=