8vo-mayo raices cuadradas para octavo año

Raices cuadradas

1. MATEMÁTICA Raíces Cuadradas Profesora: Paulina Opazo

2. Son números cuadrados perfectos aquellos números que forman un cuadrado  , es decir, su área . Números cuadrados perfectos El cuadrado de la derecha tiene 6 puntos en cada lado y su área es 36. Recordar que el área de un cuadrado se obtiene al multiplicar su base por altura, es decir, en este caso su área es 𝟔 ∙ 𝟔 = 𝟔 𝟐 = 𝟑𝟔 . Por lo tanto, 36 es un número cuadrado perfecto , ya que son 36 puntos los que componen al cuadrado (área). Otros números cuadrados perfectos son, por ejemplo: 16, 9 y 4. 𝟑 𝟐 = 𝟗 𝟐 𝟐 = 𝟒

3. Raíz cuadrada exactas Las raíces cuadradas exactas permiten encontrar el lado del cuadrado a partir del área. Por ejemplo, si el área del cuadrado es 36, entonces la raíz cuadrada de 36 es 6 y se simboliza de la siguiente forma 𝟑𝟔 = 𝟔. Otros ejemplos: 𝟏𝟔 = 𝟒 𝟑 𝟐 = 𝟗 𝟗 = 𝟑

4. Elementos de una raíz = Radical , signo que representa la operación de radicación 𝑎 = Subradical o radicando , n° al que se le extrae la raíz cuadrada. 𝑏 = Base o resultado , n° que multiplicado por si mismo la veces que indica el índice se obtiene el radicando. n = Índice , indica si la raíz es cuadrada, cúbica, etc. Nota En raíces cuadradas, donde el valor del índice es 𝑛 = 2 , no es necesario indicarlo en la raíz, por ejemplo: 2 9 = 9 = 3

5. Si un número entero 𝒂 multiplicado por si mismo "2 veces” da como resultado el número entero 𝑏 , tal que se tiene la potencia 𝒂 ∙ 𝒂 = 𝒂 𝟐 = 𝒃 entonces siempre se cumple que: 𝒃 = 𝒂 . La expresión anterior se dice: “ 𝒂 es la raíz cuadrada de 𝒃 ” . Raíces cuadradas exactas Cálculo de raíces exactas método 1 Como 𝟑 ∙ 𝟑 = 𝟑 𝟐 = 𝟗, entonces se cumple 𝟗 = 𝟑 y se lee: “3 es la raíz cuadrada de 9” Como 𝟓 ∙ 𝟓 = 𝟓 𝟐 = 𝟐𝟓, entonces se cumple 𝟐𝟓 = 𝟓 y se lee: “5 es la raíz cuadrada de 25”

6. Cálculo raíces cuadradas exactas método 2 Primero, se deben conocer algunas potencias Ejemplo : 𝟕𝟖𝟒 = ? Paso 1: Se buscan dos potencias en la tabla cuyo resultado sea inmediatamente mayor y menor a 784. Como 400 < 784 < 900 entonces las potencias son 20 2 < 784 < 30 2 Por lo tanto, el 784 es el resultado de una potencia mayor a 20 2 y menor a 30 2

7. 2 = 5 2 = 25 1 2 = 1 6 2 = 36 2 2 = 4 7 2 = 49 3 2 = 9 8 2 = 64 4 2 = 16 9 2 = 81 Paso 2: Buscar la potencia cuyo resultado es 784. Para no tener que buscar todas las potencias entre 21 2 y 29 2 , nos fijamos en la última cifra de 784. Como el número termina en 4, puede ser 𝟐 𝟐 𝟐 o 𝟐 𝟖 𝟐 (pues 𝟐 𝟐 = 𝟒 y 𝟖 𝟐 = 𝟔𝟒 ). *Mirar tabla de la derecha* Paso 3: Buscar el resultado de 784 Como 28 2 = 784 , entonces el resultado de 784 = 𝟐𝟖 22 2 = 484 28 2 = 784

8. Ejemplos de raíces cuadradas exactas Resolver las siguientes raíces cuadradas exactas 10 2 = 100 20 2 = 400 30 2 = 900 Método 1 Método 2 𝟏𝟐𝟏 = ? Encontrar un número, que multiplicado por si mismo, de como resultado 121. Como 𝟏𝟏 ∙ 𝟏𝟏 = 𝟏𝟏 𝟐 = 𝟏𝟐𝟏, entonces se cumple 𝟏𝟐𝟏 = 𝟏𝟏 y se dice: “11 es la raíz cuadrada de 121” . El método 1 es más útil con raíces “sencillas”, es decir, considerado números de hasta 3 cifras, siempre que se conozcan los primeros 30 cuadrados 𝟏𝟔𝟗 = ? Buscar las dos potencias más cercanas (menor y mayor), las cuales son 100 < 169 < 400 entonces las potencias son 10 2 < 169 < 20 2 Como 169 termina en 9, puede ser 13 2 o 17 2 . 13 2 = 169 17 2 = 289 Como 13 2 = 169 , el resultado es 169 = 13 . perfectos. De lo contrario, es mas útil el segundo método.

9. A diferencia d e las ant e ri o res, e n las raíces cuadrad a s i n exact a s n o trabaj a m os con n ú m eros cuadrados exactos y su resultado es un número decimal infinito , por ejemplo, 1 2 = 3 , 46 4 1 … . Dado lo anterior, no podemos “resolverlas” directamente, por lo que buscaremos entre qué números está contenido su valor. Raíces cuadradas inexactas 16 9 12 Paso 2: Establecer el intervalo 9 < 12 < 16 9 < 12 < 16 Paso 3: Resolver raíces cuadradas exactas 𝟑 < 𝟏𝟐 < 𝟒 Ejemplo: ¿Entre qué números se encuentra 𝟏𝟐 ? Paso 1: Identificar los números cuadrados perfectos inmediatamente inferior y superior a 12

10. Ejemplos de raíces cuadradas inexactas ? < 𝟐𝟐 < ? Encontrar cuadrados perfectos inferior y superior. Establecer el intervalo. 16 < 22 < 25 16 < 22 < 25 Resolver las raíces cuadradas exactas 4 < 22 < 5 ? < 𝟒𝟐 < ? E nc o n t r ar c u ad r a d o s per f ec t o s i n f er i o r y super i or (Sin utilizar el diagrama). 36 42 49 Establecer el intervalo. 36 < 42 < 49 36 < 42 < 49 Resolver las raíces cuadradas exactas 6 < 42 < 7 Determinar entre qué números se encuentran las siguientes raíces cuadradas inexactas

11. Orden de las raíces El orden de raíces cuadradas va a depender del número subradical (o radicando) que tenga cada una, ya que es análogo al orden de números naturales . Este orden puede ser ascendente (menor a mayor) o descendente (mayor a menor). Ejem plo : “ Ordenar las sigu i entes ra í ces de for m a asc e ndente 12, 15, 1 0, 3 y 1 1 .” Paso 1: Al ordenar los subradicales se tiene: 3 < 10 < 11 < 12 < 15 Paso 2: Por lo tanto, el orden de las raíces será: 3 < 10 < 11 < 12 < 15

12. Ejemplos de orden entre raíces cuadradas 𝟑𝟐, 𝟗𝟗, 𝟐𝟓, 𝟔𝟒 y 𝟏𝟐𝟐 (Forma ascendente) Paso 1: Ordenar los subradicales. 25 < 32 < 64 < 99 < 122 Paso 2: El orden ascendente de las raíces es el siguiente. 25 < 32 < 64 < 99 < 122 𝟏𝟐, 𝟗, 𝟏𝟎, 𝟓 y 𝟏𝟓 (Forma descendente) Paso 1: Ordenar los subradicales. 15 > 12 > 10 > 9 > 5 Paso 2: El orden descendente de las raíces es el siguiente. 15 > 12 > 10 > 9 > 5 Ordenar las siguientes raíces de forma ascendente o descendente, según se indica