9 Explicação e Revisão Equações Incompletas do 2º Grau.pdf

Exemplos passo a passo

1. Função do �º ??????���
Forma geral de uma função do 2º grau
�(??????)=�??????
2
+�??????+�
Onde �, � e � são números

Função do �º ??????��� Incompleta
A função de segundo grau pode ser classificada como incompleta se um dos coeficientes b e/ou c, forem iguais
a 0 (zero).
Exemplos: �(??????) = 2??????² + 2 −> � = 2, � = 0 e � = 2
�(??????)= −??????
2
−8?????? −> � =−1, � = −8 e � = 0
�(??????) = 5??????² −> � = 5,� = 0 � � = 0

Observe o esquema para determinação das raízes ou zeros das funções de segundo grau incompletas.
�(??????)=�??????
2
+� (�=�) ⇒ �(??????)=� ⇒ �??????
2
+�=�
�(??????)=�??????
2
+�?????? (�=�) ⇒ �(??????)=� ⇒ �??????
2
+�??????=0

Temos, então, que resolver as equações incompletas do 2º ????????????�??????.
Vamos verificar alguns métodos de resolução de equações incompletas.

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS EM ℝ.
Resolver uma equação é determinar todas as suas soluções. Vejamos, através de exemplos, como se resolvem
as equações incompletas do 2º grau:

1º CASO: �=�
A forma mais indicada para resolver essa equação é levar o coeficiente � para o segundo
membro e, em seguida, dividir esse valor pelo coeficiente �, o que resultará em uma
equação da seguinte forma.
??????
�
=
− �
�

Podemos ainda extrair a raiz quadrada de ambos os
lados, ficando com:
??????= √
−�
�




Exemplos:
Resolver as seguintes equações, sendo ?????? =ℝ:
1) x
2
– 9 = 0
x
2
= 9 passando – 9 para o 2º membro, trocando o sinal.
x =  √9
x =  3 Logo: S = {- 3, + 3}
− � e + � também podem ser chamados raízes da equação ou da função �(??????)=??????
�
−�

2) 4x
2
– 100= 0
4x
2
= 100 passando – 100 para o 2º membro, trocando o sinal.
x
2
=
100
4
passando o 4 para o 2º membro, dividindo.
x
2
= 25
x =  √25
x =  5 Logo: S = {- 5, + 5 }
− � e + � também podem ser chamados raízes da equação ou da função �(??????)=�??????
�
−���
�??????
2
+�=�

RECORDANDO!

2. 3) 7x
2
– 14 = 0
7x
2
= 14 passando – 14 para o 2º membro, trocando o sinal.
x
2
=
14
7
passando o 7 para o 2º membro, dividindo.
x
2
= 2
x =  √2 Logo: S = { – √2,+ √2 }
− √� e + √� também podem ser chamados raízes da equação ou da
função �(??????)=�??????
�
−��

4) 4x
2
– 25= 0
4x
2
= 25 passando – 25 para o 2º membro, trocando o sinal.
x
2
=
25
4
passando o 4 para o 2º membro, dividindo.
x =  √
25
4

x = 
5
2
Logo: S = {−
5
2
,+
5
2
}
−
�
�
e +
�
�
também podem ser chamados raízes da equação ou da função �(??????)=�??????
�
−��


5) x
2
+ 16 = 0
x
2
= – 16 passando +16 para o 2º membro, trocando o sinal.
x =  √− 16 = nenhum real, pois (������ ����)
2
= − 16 → não existe número real que, elevado ao quadrado, resulte em um nº negativo.
Logo: ?????? =∅ (−4)
2
= +16 (+4)
2
= +16
A função �(??????)=??????
�
+�� não tem raiz real.

2º CASO: �=�

Nesse caso, podemos colocar o fator ?????? em evidência, da seguinte forma:
�??????
2
+�??????=0
Fatorando → ?????? .(�??????+�)=0
Temos então uma multiplicação que resulta em zero, mas isso só é possível se um dos fatores for zero.
1ª opção: ?????? = �
2 ª opção: �??????+�= �
Na 1ª opção, não resta fazer nada, pois já temos declarado que um dos valores de ?????? será zero.
Dessa forma, precisamos apenas desenvolver a 2ª opção:
�??????+�= �
�??????=−�
??????= −
�
�

Exemplos:
Resolver as seguintes equações, sendo ?????? =ℝ:
1) x² + 2x = 0
Colocando o x em evidência, temos:
x . (x + 2) = 0
x = 0

x + 2 = 0
x = – 2
Logo: S = { -2, 0 }
− � e � também podem ser chamados raízes da equação ou da
função �(??????)=??????
�
+�??????


�??????
2
+�??????=0
Para que um produto seja nulo é
preciso que um dos fatores seja zero.
� . � = �, então:
� = �
ou
� = �
Observe que, nesse caso, uma das
raízes é sempre 0 (zero).
O conjunto solução é formado por
números opostos ou simétricos
Lembre-se:
O oposto ou simétrico de −5 é o +5.
O oposto ou simétrico de √2 é −√2.
O conjunto solução é formado por
números simétricos.

3. 2) 4x² – 5x = 0
Colocando o x em evidência, temos:
x . (4x – 5) = 0
x = 0

4x – 5 = 0
4x = 5
x=
5
4

Logo: S = {0,
5
4
}
� e
�
�
também podem ser chamados raízes da equação ou da função �(??????)=�??????
�
−�??????

3) 3x² + 6x = 0
Colocando o x em evidência, temos:
3x . (x + 2) = 0
3x = 0 ⇒ x =
0
3
⇒ x = 0

x + 2 = 0
x = -2
Logo: S = { -2, 0 }
− � e � também podem ser chamados raízes da equação ou da função �(??????)=�??????
�
+�??????

4) 8x² + 2x = 0
Devemos identificar os termos comuns (maior número que divide o 2 e o 8 e a letra com o menor expoente), neste caso 2x:
÷ ÷
. (�?????? + �⏟
����������
�����ã�
) = 0
2x = 0 ⇒ x =
0
2
⇒ x = 0

4x + 1 = 0
4x = -1
x= −
1
4

Logo: S = {−
1
4
,0}
−
�
�
e � também podem ser chamados raízes da equação ou da função �(??????)=�??????
�
+�??????








Exemplos:
Determine as raízes ou zeros das funções:
a) f(x) = x
2
- 169
x
2
– 169 = 0
x
2
= 169
x =  √169
x =  13
− 13 e + 13 são as raízes ou zeros da função da função �(??????)=??????
2
−169

b) f(x) = x
2
+ 12x
x
2
+ 12x = 0 x = 0
Fatorando: x(x + 12) = 0 ou
x + 12 = 0  x = - 12
− 12 e 0 são as raízes ou zeros da função �(??????)=??????
2
+12??????
Dada a função �(??????) = �??????² + �, podemos determinar sua raiz considerando �(??????) = �, dessa forma
obtemos a equação do 2º grau �??????² + � = �.
Dada a função �(??????) = �??????² + �??????, podemos determinar sua raiz considerando �(??????) = �, dessa forma
obtemos a equação do 2º grau �??????² + �?????? = �.