ACV-TS004-AR-Razones y Proporciones III - SuperAcademy.pdf

Razones y proporciones parte tres

2. Tema:RazonesyProporcionesIII
ARITMÉTICA
(Teoría)
Docente:Julio Omar Torres Pérez

3. Utilizarrazonesenproblemasdeedades,
reuniones,mezclaymóviles.1
Reconocerlasclasesdeproporciones:
aritméticaygeométrica.2
AplicarlaspropiedadesdeunaSRGEen
laresolucióndeproblemas.
3
OBJETIVOS

4. INTRODUCCIÓN
Lasrazonesyproporcionestienenunagran
aplicaciónendiversasdisciplinas;eningeniería
seempleanlasescalaspararealizarmaquetas;
eneláreacontablepararealizarmovimientos
financierosyenlavidadiariaparaefectuar
ciertasoperacionesaritméticas.
LagranpirámidedelaplaniciedeGizeh,la
conocidacomopirámidedeKeops,siempreha
sidounafuentedemisterios,ylamayoría
estánaúnporresolver.Susmedidashansido
estudiadasexhaustivamenteportodoslos
inquietosdelosenigmasantiguosyconlos
datosobtenidospodemosafirmarquelos
Egipciosnoconstruyeronlapirámidedándole
unasmedidasalazar,sinoquesus
proporcionesmantienenunasrelaciones
matemáticasmuyinteresantesentresí.

5. Esaquellaenlaqueapartirdelasegundarazón,cada
antecedenteesigualalconsecuentedelarazón
anterior.
S.R.G.E CONTINUA
Ejemplos:
108
= 3
36
36
=
12
12
=
4
2
=
4
4
=
8
8
=
16
1
2
•
•
En General:
�
�
=
�
�
=
�
�
=??????
Se puede cambiar a la siguiente expresión:
�=�.??????
�=�.?????? →�=�.??????
2
�=�.?????? →�=�.??????
3
=�.????????????
=�.??????
2
??????
�??????
3
�??????
2
=
�??????
2
�??????
=
�??????
�
=??????
Observación:
Cuandoseconoceelvalordelaconstantede
proporcionalidad,podemosobtenerlostérminosdela
S.R.G.E.continua.
Ejemplos:
•Cuandoson2razones,laconstanteseelevaalcuadrado
yencontramoslosextremos:
=
6
4
=
�
�6
9
x 2
x 2
x 3
�
�
�
�
x 3
Hacemos lo siguiente:

6. •Cuandoson3razones,laconstanteseelevaalcubo
yencontramoslosextremos:
=
45
27
=
??????
�45
75
x 9
x 9
x 15
x 15
�
�
�
�
=
75
125�
�
x 25
x 25
Aplicación 1
Resolución:
Enunaigualdadde3razonesgeométricasequivalentes
continuas,lasumadeantecedentesesalasumade
consecuentescomo12esa36.Silasumadelostérminos
delasegundarazónes48,calculelasumadelmayory
menorantecedente.

7. PROPORCIÓN
Eslaigualdaddedosrazonesdelamismaclaseque
poseenigualvalornumérico.
CLASES DE PROPORCIONES
1. Proporción Aritmética
Eslaigualdaddedosrazonesaritméticasdelmismo
valornumérico.
Ejemplo:
En General:
LasedadesdeMilagrosyJulioson24añosy20años
respectivamente.
Hoy Futuro
Milagros 24
Julio 20
3 años
27
23
Diferencia de
edades
(−)
4
(−)
4=
Podemos generar la proporción aritmética:
24−20=27−23
Términos medios
Términos extremos
•24 y 27: Antecedentes.
•20 y 23: Consecuentes.
Sea la proporción aritmética:
�−�=�−�
Donde:
•�??????�: Antecedentes.
•�??????�:Consecuentes.
•�??????�: Términos extremos.
•�??????�: Términos medios.
Además:
•�: 1er término.
•�: 2do término.
•�: 3er término.
•�: 4to término.
Propiedad
En toda proporción aritmética se cumple que:
Sumadetérminos
extremos
=
Sumadetérminos
medios

8. 2. Proporción Geométrica
Eslaigualdaddedosrazonesgeométricasdelmismo
valornumérico.
Ejemplo:
Vino
•12 y 18: Antecedentes.
Semezclan30litrosdevinoy10litrosdeagua;luego
seextraen16litros.
Podemos generar la proporción geométrica:
Agua
16 litros24 litros
•4 y 6: Consecuentes.
33 3
1
1 1
(4)
(4)
(6)
(6)
12
4
=
18
6
Términos extremos
Términos medios
En General:
Sea la proporción geométrica:
�
�
=
�
�
Donde:
•�??????�: Antecedentes.
•�??????�:Consecuentes.
•�??????�: Términos extremos.
•�??????�: Términos medios.
Además:
•�: 1er término.
•�: 2do término.
•�: 3er término.
•�: 4to término.
Propiedad
En toda proporción geométrica se cumple que:
Productode
términosextremos
=
Productode
términosmedios
Nota:
Cuandoenuntextonoseespecificalaclasede
proporción,seasumela“ProporciónGeométrica”.

9. TIPOS DE PROPORCIONES
Lasproporcionesaritméticasygeométricas
dependiendodesustérminosmediospuedenser:
PROPORCIÓN ARITMÉTICA
DISCRETA
CONTINUA
(Sus términos medios son diferentes)
�−�=�−�
Donde:
�:Es la cuarta diferencial de �;�y �, en
ese orden.
(Sus términos medios son iguales)
�−�=�−�
Donde:
�:Es la tercera diferencial de �y �, en ese orden.
�:Es la media diferencial de �y �, en ese orden.
PROPORCIÓN GEOMÉTRICA
DISCRETA
CONTINUA
(Sus términos medios son diferentes)
Donde:
�: Es la cuarta proporcional de �;�y �, en
ese orden.
�
�
=
�
�
(Sus términos medios son iguales)
Donde:
�:Es la tercera proporcional de �y �, en ese orden.
�:Es la media proporcional de �y �, en ese orden.
�
�
=
�
�

10. Veamos algunos
ejemplos …
•17−12=28−23
Cuarta diferencial de 17; 12 y 28
•35−25=25−15
Tercera diferencial
de 35 y 25
Media diferencial
de 35 y 15.
Ellos son los
últimos términos
de cada
proporción.
Se cumple:
=
�??????+�??????
�
20
4
=
15
3
Cuarta proporcional
de 20; 4 y 15
20
10
=
10
5
Ellos son los últimos
términos de cada
proporción.
Media proporcional
de 20 y 5
=205
•
•
Se cumple:
Media proporcional
=25
=10
Tercera proporcional
de 20 y 10
Media diferencial

11. Observación 1
ComolaproporciónesuncasoparticulardelaS.R.G.E.,
entonces,sepuedeaplicarsuspropiedades.
Observación 2
Enunaproporcióncontinua,todoslostérminos,
exceptoelúltimosepuedenexpresarenfuncióndel
últimotérminoylaconstantedeproporcionalidad.
=
�??????
�
=??????
�??????
�??????
2
Ejemplo:
Ten en cuenta estas
observaciones, al resolver los
problemas de este tema.
Aplicación 2
LascantidadesdedinerodeAlondra,BrunellayClaudia
formanunaproporcióngeométricacontinua,enese
orden,yconunarazónconstanteiguala4.Sientotal
tienenS/630.¿CuántodinerotieneBrunella?
Resolución:

12. B I B L I O G R A F Í A
❑AsociaciónFondo de
InvestigadoresyEditores.
Aritmética: Colección
compendioacadémicoUNI.
LumbrerasEditores,2010.
❑AsociaciónFondo de
InvestigadoresyEditores.
AritméticaEsencial-
Colección Esencial.
LumbrerasEditores,2016.
❑AsociaciónFondo de
InvestigadoresyEditores.
RazonesyProporciones
ColecciónTemasSelectos.
LumbrerasEditores,2019.