Algebraic fractions for Russian Programme

Algebraic fractions
Russian
Year 8

1. 1. Рациональные выражения Выражения, составленные из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения, а также деления на число, отличное от нуля, называют целыми выражениями. Так, целыми являются выражения . ?

2. 1. Рациональные выражения Эти выражения помимо действий сложения, вычитания и умножения, содержат деление на выражение с переменными. Такие выражения называют дробными выражениями.

3. 1. Рациональные выражения Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями. Выражение вида называется, как известно, дробью. Дробь, числитель и знаменатель которой многочлены, называют рациональной (алгебраической) дробью.  

4. 1. Рациональные выражения Целое выражение имеет смысл при любых значениях входящих в него переменных, так как для нахождения значения целого выражения нужно выполнить действия, которые всегда возможны. Дробное выражение имеет смысл только при тех значениях переменных, при которых все знаменатели рациональных дробей, содержащихся в этом выражении, будут отличны от нуля.  

5. 1. Рациональные выражения Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных. В рациональной дроби допустимыми являются те значения переменных, при которых не обращается в нуль знаменатель дроби.

6. 1. Рациональные выражения

7. 1. Рациональные выражения Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных. В рациональной дроби допустимыми являются те значения переменных, при которых не обращается в нуль знаменатель дроби.

8. 1. Рациональные выражения Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных. В рациональной дроби допустимыми являются те значения переменных, при которых не обращается в нуль знаменатель дроби.

9. 1. Рациональные выражения Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных. В рациональной дроби допустимыми являются те значения переменных, при которых не обращается в нуль знаменатель дроби.

10. 1. Рациональные выражения Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных. В рациональной дроби допустимыми являются те значения переменных, при которых не обращается в нуль знаменатель дроби.

11. Упражнения

12. Упражнения

13. Ответы 2. a) целыми выражениями:  7x² - 2xy, a/9, 1/4 m² - 1/3 n², a(a - b) б) дробными выражениями:  12/b, b/(3a), a/(a+3) - 8

14. Ответы 3. Найдите значение дроби ( y-1)/4 при y = 3; 1; -5; 1/2; -1,6; 100. y = 3: (3-1)/4 = 2/4 = 1/2 = 0.5 y = 1: (1-1)/4 = 0/4 = 0 y = -5: (-5-1)/4 = -6/4 = -3/2 = -1.5 y = 1/2: (1/2 - 1)/4 = (-1/2)/4 = -1/8 = -0.125 y = -1,6: (-1,6 - 1)/4 = -2,6/4 = -1,3/2 = -0.65 y = 100: (100 - 1)/4 = 99/4 = 24.75

15. Ответы 4. Найдите значение дроби: a) (a-8)/(2a+5) при a = -2:  (-2 - 8) / (2*(-2) + 5) = -10 / (-4 + 5) = -10 / 1 = -10 б) (b²+6)/(2b) при b = 3:  (3² + 6) / (2*3) = (9 + 6) / 6 = 15 / 6 = 5/2 = 2.5

16. Ответы 5. Чему равно значение дроби ((a+b)²-1)/(a²+1) при: a = -3, b = -1:  ((-3 + (-1))² - 1) / ((-3)² + 1) = ((-4)² - 1) / (9 + 1) = (16 - 1) / 10 = 15 / 10 = 3/2 = 1.5 б) a = 1 1/2, b = 0,5:  ((1.5 + 0.5)² - 1) / (1.5² + 1) = (2² - 1) / (2.25 + 1) = (4 - 1) / 3.25 = 3 / 3.25 = 300/325 = 12/13 ≈ 0.923

17. O тветы : x -13 -5 -0,2 1/17 1 5 2/3 7 (x+5)/(x-3) 8/(-16) = -1/2 0/(-8) = 0 4.8/(-3.2) = -3/2 = -1.5 5/(-3) = -5/3 (1/17 + 85/17) / (1/17 - 51/17) = 86/(-50) = -43/25 6/(-2) = -3 (17/3+15/3)/(17/3-9/3) = 32/8 = 4 12/4 = 3

18. Ответы

19. Задача на движение

20. Ответы Итак: t = s / (v₁ + v₂) Теперь найдем значение t для каждого случая: a) s = 250, v₁ = 60, v₂ = 40: t = 250 / (60 + 40) = 250 / 100 = 2.5 часа б) s = 310, v₁ = 75, v₂ = 80: t = 310 / (75 + 80) = 310 / 155 = 2 часа

21. Составь дробь...

22. Ответы 9. Составьте дробь, числитель которой — произведение переменных x и y, а знаменатель — их сумма. xy / (x + y) б) Составьте дробь, числитель которой — разность переменных a и b, а знаменатель — их произведение. (a - b) / ab в) Составьте дробь, числитель которой — сумма переменных c и d, а знаменатель — их разность. (c + d) / (c - d)

23. Значение переменной...

24. Ответы a) x ≠ 2 б) b - любое число в) y ≠ 0 и y ≠ 3 г) a ≠ 0 и a ≠ 1

25. Ответы a) x / (x - 2): Знаменатель: x - 2 x - 2 = 0 => x = 2 Вывод: Выражение имеет смысл при всех x, кроме x = 2. То есть, x ≠ 2. б) (b + 4) / (b² + 7): Знаменатель: b² + 7 b² + 7 = 0 => b² = -7 Квадрат числа не может быть отрицательным, поэтому b² + 7 никогда не равно 0. Вывод: Выражение имеет смысл при всех значениях b.

26. Ответы в) (y² - 1) / y + y / (y - 3): Первый знаменатель: y Второй знаменатель: y - 3 y = 0 y - 3 = 0 => y = 3 Вывод: Выражение имеет смысл при всех y, кроме y = 0 и y = 3. То есть, y ≠ 0 и y ≠ 3. г) (a + 10) / (a(a - 1)) - 1: Знаменатель: a(a - 1) a(a - 1) = 0 a = 0 или a - 1 = 0 => a = 1 Вывод: Выражение имеет смысл при всех a, кроме a = 0 и a = 1. То есть, a ≠ 0 и a ≠ 1.

27. Допустимые значения переменной

28. Ответы 11. a) x - любое число б) x ≠ 1/2 в) x - любое число г) x ≠ 0 и x ≠ -1 д) x - любое число е) x ≠ 0 и x ≠ -8 12. a) y - любое число б) y ≠ 9 в) y ≠ 0 и y ≠ 2 г) y - любое число д) y ≠ 6 и y ≠ -6 е) y ≠ 0 и y ≠ -7

29. Попробуем еще...

30. Ответы 14. a) x = 8 б) x = 3 в) x = -2 г) x = 18 15. a) y = 5 б) y = -1.5 в) x = 0 или x = 1 г) x = 0 16. a) m = -4 б) n = 1.4 в) b = 0 или b = 1 г) y = -5

31. Ответы 14. При каком значении переменной значение дроби (x-3)/5 равно: a) 1:  (x - 3) / 5 = 1 => x - 3 = 5 => x = 8 б) 0:  (x - 3) / 5 = 0 => x - 3 = 0 => x = 3 в) -1:  (x - 3) / 5 = -1 => x - 3 = -5 => x = -2 г) 3:  (x - 3) / 5 = 3 => x - 3 = 15 => x = 18

32. Ответы 15. При каких значениях переменной равно нулю значение дроби: Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. a) (y - 5) / 8:  y - 5 = 0 => y = 5 б) (2y + 3) / 10:  2y + 3 = 0 => 2y = -3 => y = -3/2 = -1.5 в) x(x - 1) / (x + 4):  x(x - 1) = 0 => x = 0 или x - 1 = 0 => x = 1. Проверяем знаменатель: если x = 0, то x + 4 = 4 ≠ 0; если x = 1, то x + 4 = 5 ≠ 0. Итак, x = 0 или x = 1. г) x(x + 3) / (2x + 6):  x(x + 3) = 0 => x = 0 или x + 3 = 0 => x = -3. Проверяем знаменатель: 2x + 6 = 2(x+3). Если x = -3, то знаменатель = 0. => x ≠ -3. Если x=0, 2x+6 = 6 != 0. Итак, x = 0.

33. Ответы 16. Найдите значения переменной, при которых равно нулю значение дроби: a) (m + 4) / 6:  m + 4 = 0 => m = -4 б) (7 - 5 n) / 11:  7 - 5n = 0 => 5n = 7 => n = 7/5 = 1.4 в) ( b² - b) / (b + 2):  b² - b = b(b - 1) = 0 => b = 0 или b = 1. Проверяем знаменатель: если b = 0, то b + 2 = 2 ≠ 0; если b = 1, то b + 2 = 3 ≠ 0. Итак, b = 0 или b = 1. г) ( y² - 25) / (3y - 15):  y² - 25 = (y - 5)(y + 5) = 0 => y = 5 или y = -5. Проверяем знаменатель: 3 y - 15 = 3(y - 5). Если y = 5, то знаменатель равен 0, значит y ≠ 5. Если y = -5, то знаменатель 3*(-5-5) = -30 != 0. Итак, y = -5.

34. Ответы

35. Ответы 17. а) + б) - в) - г) + 19. а) a = 0 б) a = 3

36. Ответы 18. Докажите, что при любом значении переменной значение дроби: a) 3 / (x² + 1) положительно:  x² всегда неотрицательно (больше или равно нулю). Значит, x² + 1 всегда больше или равно 1 (т.е. всегда положительно). Число 3 положительное. Положительное число, делённое на положительное, даёт положительное число. => Дробь всегда положительна. б) -5 / (y² + 4) отрицательно:  y² всегда неотрицательно. Значит, y² + 4 всегда больше или равно 4 (т.е. всегда положительно). Число -5 отрицательное. Отрицательное число, делённое на положительное, даёт отрицательное число. => Дробь всегда отрицательна. в) (a - 1)² / (a² + 10) неотрицательно:  (a - 1)² - это квадрат числа, а квадрат любого числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю). a² всегда неотрицательно, значит, a² + 10 всегда больше или равно 10 (т.е. всегда положительно). Неотрицательное число, делённое на положительное, даёт неотрицательное число. => Дробь всегда неотрицательна. г) (b - 3)² / (-b² - 1) неположительно:  (b - 3)² - это квадрат числа, а квадрат любого числа всегда неотрицателен. -b² всегда неположительно, значит, -b² - 1 всегда меньше или равно -1 (т.е. всегда отрицательно). Неотрицательное число, делённое на отрицательное, даёт неположительное число. => Дробь всегда неположительна.

37. Ответы 17. Определите знак дроби a/b, если известно, что: а) a > 0 и b > 0:  Положительное число, делённое на положительное, даёт положительное число. Знак:  + б) a > 0 и b < 0:  Положительное число, делённое на отрицательное, даёт отрицательное число. Знак:  - в) a < 0 и b > 0:  Отрицательное число, делённое на положительное, даёт отрицательное число. Знак:  - г) a < 0 и b < 0:  Отрицательное число, делённое на отрицательное, даёт положительное число. Знак:  +

38. Ответы 19. При каком значении  a  принимает наибольшее значение дробь: Нужно минимизировать знаменатель, чтобы дробь стала максимально большой. a) 4 / (a² + 5):  a² всегда неотрицательно. Значит, a² + 5 будет минимально, когда a² = 0, т.е. a = 0. => Наибольшее значение дроби достигается при a = 0. б) 10 / ((a - 3)² + 1):  (a - 3)² всегда неотрицательно. Значит, (a - 3)² + 1 будет минимально, когда (a - 3)² = 0, т.е. a - 3 = 0 => a = 3. => Наибольшее значение дроби достигается при a = 3.

39. Реши самостоятельно:

40. Ответы 20. а) b = 0 б) b = 2 21. а) Неверно б) Верно в) Неверно

41. Ответы 20. При каком значении  b  принимает наименьшее значение дробь: Для того чтобы дробь принимала наименьшее значение, нужно: Минимизировать числитель. При этом числитель должен быть неотрицательным. а) (b² + 7) / 21: b² всегда неотрицательно. Значит, b² + 7 будет минимальным, когда b² = 0, то есть при b = 0. В этом случае дробь равна (0 + 7) / 21 = 7/21 = 1/3. б) ((b - 2)² + 16) / 8: (b - 2)² всегда неотрицательно. Значит, (b - 2)² + 16 будет минимальным, когда (b - 2)² = 0, то есть при b - 2 = 0 => b = 2. В этом случае дробь равна ((2 - 2)² + 16) / 8 = 16/8 = 2.

42. Ответы 21. Верно ли утверждение:  Чтобы ответить на этот вопрос, преобразуем выражение в знаменателе. 4x² + 9 + y² + 4xy = 4x² + 4xy + y² + 9 = (2x)² + 2 * 2x * y + y² + 9 = (2x + y)² + 9 Т.к. (2x + y)² >= 0, то (2x + y)² + 9 >= 9 а) наибольшее значение дроби 18 / (4x² + 9 + y² + 4xy) равно 1: Дробь будет наибольшей, когда знаменатель будет наименьшим. Наименьшее значение знаменателя: (2x + y)² + 9 = 9 при 2x + y = 0. Тогда дробь = 18/9 = 2. => Утверждение НЕВЕРНО. б) наибольшее значение дроби 18 / (4x² + 9 + y² + 4xy) равно 2: Как мы уже выяснили, наибольшее значение дроби действительно равно 2. => Утверждение ВЕРНО. в) наименьшее значение дроби 18 / (4x² + 9 + y² + 4xy) равно 2?: Знаменатель может быть любым числом больше или равным 9, тогда дробь будет максимальна при 2 и не ограничена сверху. Значит, минимальное значение дроби стремится к 0. => Утверждение НЕВЕРНО.

43. Упражнения для повторения

44. Ответы 22. a) 4a² - 9 б) y² - 25b² в) y² - 0.64x² г) b² + b + 0.25 д) a² - 4ax + 4x² е) a²b² - 2ab + 1 23. a) (x - 5)(x + 5) б) (4 - c)(4 + c) в) (a - 3)² г) (x + 4)² д) (a - 2)(a² + 2a + 4) е) (b + 3)(b² - 3b + 9) 24. Покупка выгоднее в магазине «Джем». Анна Александровна сможет сэкономить 35 рублей.

45. Ответы 22. Преобразуйте в многочлен:  Используем формулы сокращенного умножения и просто раскрываем скобки. а) (2a + 3)(2a - 3):  Это разность квадратов: (2a)² - 3² = 4a² - 9 б) (y - 5b)(y + 5b):  Это разность квадратов: y² - (5b)² = y² - 25b² в) (0.8x + y)(y - 0.8x):  Это тоже разность квадратов, но нужно переставить местами слагаемые во второй скобке: (y + 0.8x)(y - 0.8x) = y² - (0.8x)² = y² - 0.64x² г) (b + 0.5)²:  Квадрат суммы: b² + 2 * b * 0.5 + 0.5² = b² + b + 0.25 д) (a - 2x)²:  Квадрат разности: a² - 2 * a * 2x + (2x)² = a² - 4ax + 4x² е) (ab - 1)²:  Квадрат разности: (ab)² - 2 * ab * 1 + 1² = a²b² - 2ab + 1

46. Ответы 23. Разложите на множители:  Используем формулы разности квадратов, квадрата суммы/разности и суммы/разности кубов. а) x² - 25:  Это разность квадратов: (x - 5)(x + 5) б) 16 - c²:  Это разность квадратов: (4 - c)(4 + c) в) a² - 6a + 9:  Это квадрат разности: (a - 3)² г) x² + 8x + 16:  Это квадрат суммы: (x + 4)² д) a³ - 8:  Это разность кубов: (a - 2)(a² + 2a + 4) е) b³ + 27:  Это сумма кубов: (b + 3)(b² - 3b + 9)

47. Ответы 24. Анне Александровне в подарок необходимо купить пять одинаковых коробок конфет. В магазине «Сладость» одна коробка конфет стоит 350 р., но сейчас там проходит акция: три коробки по цене двух. В магазине «Джем» каждая коробка стоит 390 р., но при покупке больше четырёх коробок действует скидка 30% на всю покупку. В каком магазине покупка будет более выгодной? Сколько рублей при этом сможет сэкономить Анна Александровна? Давайте сравним стоимость покупки в обоих магазинах. Магазин «Сладость»: Три коробки стоят как две: 350 * 2 = 700 р. Еще две коробки нужно купить по полной цене: 350 * 2 = 700 р. Итого: 700 + 700 = 1400 р. Магазин «Джем»: Пять коробок стоят: 390 * 5 = 1950 р. Скидка 30%: 1950 * 0.3 = 585 р. Итого: 1950 - 585 = 1365 р. Сравнение: «Сладость»: 1400 р. «Джем»: 1365 р.