Análisis Matemático I - Eduardo Espinoza

Analisis Matematico I

1. i iiiiiüi;

2. ANALISIS
MATEMÁTICO I
PARA ESTUDIANTES DE CIENCIA E INGENIERIA
(TERCERA EDICION)
♦ SISTEMA DE NUMEROS REALES
♦ RELACIONES Y FUNCIONES
♦ LIMITES Y CONTINUIDAD
♦ DERIVADAS
♦ APLICACIONES DE LA DERIVADA
♦ DIFERENCIALES
EDUARDO ESPINOZA RAMOS

3. IMPRESO EN EL PERÚ
20 - 03 - 2002
39 EDICIÓN
DERECHOS RESERVADOS
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registros m agn éticos o d e alim entación d e datos, sin expreso consentim iento f
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del autor y Editor.
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RUC N9 10070440607
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Ley d e D erechos del Autor N9 13714
Registro co m e rcia l Ne 10716
Escritura P u blica N2 4484

4. PRESENTACION
Eduardo Espinoza Ramos, catedrático en la especialidad de matemática pura, me
hace el honor de pedirme la presentación de su obra Análisis Matemático I para Estudiantes de
Ciencia e Ingeniería.
El objeto principal de la presente obra Análisis Matemático I, es precisamente
llenar el vacío que existe para su fácil y mejor aprendizaje, desarrollando y analizando los
conceptos básicos necesarios y su aplicación hacia las especialidades de Ingeniería, de tal manera
que permita a los estudiantes disponer de una herramienta de trabajo práctico y comprensible.
El método didáctico empleado en todo el libro consta de cinco capítulos: Sistema
de Números Reales; Relaciones y Funciones; Límites y Continuidad; Derivadas y sus
Aplicaciones y Diferenciales.
Para orientación del estudiante, el trabajo llevado a cabo por el autor, en esta
obra, es digno de elogio. Su lenguaje sencillo y desarrollo al alcance del estudiante, producto de
sus años de experiencia como docente Universitario le permiten tratar rigurosamente estos, desde
el punto de vista científico en forma didáctica y amena.
Los ejercicios y/o problemas cuidadosamente seleccionados complementan los
propósitos y métodos empleados en la teoría.
Finalmente, expreso mi felicitación al autor de la obra EDUARDO ESPINOZA
RAMOS, quien ya se suma a la legión de autores nacionales que tienen más conocimiento de
nuestra realidad Universitaria.
ING. EDUARDO BULNES SAMAME
JEFE DE DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA UNIVERSIDAD RICARDO PALMA,
i A-SECRETARIO ACADEMICO DE LA FACULTAD DE INGENIERIA

5. PROLOGO
En la presente obra Intitulada “Análisis Matemático I para Estudiantes de
Ciencia e Ingeniería” en su 3ra. Edición, hemos aprovechado de los numerosos y valiosos
comentarios y sugerencias de mis colegas que elaboran en las diversas universidades de la capital,
motivo por el cual se ha ampliado la demostración de propiedades así como los conceptos básicos
teóricos e incluyendo propiedades y teorema de acuerdo a las exigencias de la nueva curricula. Al
igual que su 2da edición se expone en forma teórica y práctica, los conceptos de sistemas de
números reales, relaciones y funciones, límites y continuidad, derivadas y sus aplicaciones, así
como la regla de L’Hospital, las funciones hiperbólicas y la diferencial con sus aplicaciones, así
mismo se ha incluido algunos teorema en cuanto corresponde a las aplicaciones de las derivadas
antes de los Teoremas de Rolle y del Valor Medio, también se han incluido mas ejercicios
desarrollados y propuestos en las practicas y exámenes de las diversas universidades de la capital
proporcionados por mis colegas y en especiales de los coordinadores de área académica.
La parte teórica se desarrolla de manera metódica y con especial cuidado,
tratando de no perder el rigor matemático pero tratando de no caer en el excesivo formulismo que
confunde al lector.
La lectura provechosa del presente trabajo requiere del conocimiento previo del
álgebra elemental, geometría plana y trigonometría.
La presente obra es recomendable para estudiante de ciencias matemáticas,
física, ingeniería, economía y para toda persona interesada en fundamentar sólidamente sus
conocimientos matemáticos del análisis real.
Por ultimo deseo agradecer y expresar mi aprecio a las siguientes personas por
sus valiosos comentarios y sugerencias.

6. DO CTO R PEDRO CONTRERAS CHAM ORRO
Ex-Director de la Escuela Profesional de Matemática Pura de la Universidad Nacional
Mayor de San Marcos.
Catedrático Principal en Pos-Grado de la Facultad de Matemática Pura de la UNMSM
Miembro Fundador de la Academia Nacional de Ciencia y tecnología del Perú.
Catedrático de la Universidad Particular Ricardo Palma.
DOCTOR EUGENIO CABANILLAS LAPA
Doctor en matemática Pura, Universidad Federal de Río de Janeiro —Brasil.
Director de Pos-Grado en la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.
Catedrático de la Universidad Nacional del Callao.
LIC. ANTONIO CALDERON LEANDRO
Ex-Jefe de Departamento Académico de la Facultad de Ing. Pesquera y Alimentos de la
Universidad Nacional del Callao.
Jefe de Departamento Académico de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática de la
Universidad Nacional del Callao.
Coordinador del Area de Matemática en la Facultad de Ingeniería de la Universidad Ricardo
Palma.
LIC. SER GIO LEYVA HARO
Ex Jefe del Centro de Computo de la Facultad de Ingeniería Química de la Universidad
Nacional del Callao.
Catedrático en la Facultad de Ingeniería Ambiental y de Recursos Naturales de la
Universidad Nacional del Callao.
LIC. JUAN BERNUI BARROS
Director del Instituto de Investigación de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática de
la Universidad Nacional del Callao.
Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.
LIC. PALERM O SOTO SOTO
Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.
Catedrático de la Universidad Particular Ricardo Palma.
Mg. JOSE QUIKE BRONCANO
Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.
Coordinador del área de matemática en la Facultad de Ciencias Matemáticas Puras.
Lic. GUILLERMO MAS AZAHUANCHE
Catedrático de la Universidad Nacional del Callao
Catedrático de la Universidad Nacional de Ingeniería.
Catedrático de la Universidad Ricardo Palma.
E D U A R D O E S P I N O Z A R A M O S

7. DEDICATORIA
Este libro lo dedico a mis hijos R O N A L D ,
J O R G E y D IA N A , que Dios ilumine sus
caminos para que

8. INDICE
CAPITULO I
[* ■S í.-» T E M A S D E N U M E R O S R E A L E S
1.1 Introducción 1
1.2 Definición 2
1.3 Axiomas de Sustitución 4
1.4 Axiomas Distributivas 4
1.5 Teorema de Igualdad para la Adición 4
1.6 Teorema de Igualdad para la Multiplicación 4
1.7 Teorema de Cancelación para la Adición 4
1.8 Teorema de Cancelación para la Multiplicación 5
1.9 Sustracción de Números Reales 5
1.10División de Números Reales 5
1.11Ejercicios Desarrollados- 6
1.12 Representación de los Números Reales 10
1.13 Desigualdades 11
1.14Axioma de la Relación de orden 12
1.15 Definición 12
1.16Teorema 12
1.17 Teorema 13
1.18 Teorema 13
1.19Teorema 14
1.20 Teorema 14

9. 1.21 Teorema 15
1.22 Ejercicios Desarrollados 15
1.23 Ejercicios Propuestos 23
1.24 Inecuaciones 29
1.25 Conjuntos solución de una Inecuación 31
1.26 Resolución de una Inecuación 31
1.27 Inecuación de Primer Grado en una Incógnita 31
1.28 Inecuación de Segundo Grado en una Incógnita 33
1.29 Inecuaciones Polinómicas 38
1.30 Inecuaciones Fraccionarias 42
1.31 Inecuaciones Exponenciales 45
1.32 Inecuaciones Irracionales 47
1.33 Ejercicios Desarrollados 58
1.34 Ejercicios Propuestos 84
1.35 Valor Absoluto 101
1.36 Propiedades Básicas para resolver Ecuaciones e Inecuaciones donde
interviene Valor Absoluto 102
1.37 Máximo Entero 104
1.38 Propiedades del Máximo Entero 106
1.39 Inecuaciones Logarítmicas 111
1.40 Ejercicios Desarrollados 116
1.41 Ejercicios Propuestos 155
1.42 Conjuntos Acotados 176
1.43 Axiomas del Supremo o Axiomas de la mínima cota superior 177
1.44 Principio Arquimediano 178
1.45 Ejercicios Propuestos 180

10. CAPITULO II
2.1 Introducción 182
2.2 Relaciones Binarias 191
2.3 Gráfica de una Relación de R en R 198
2.4 Ejercicios Desarrollados 202
2.5 Ejercicios Propuestos 212
2.6 Funciones 215
2.7 Dominio y Rango de una Función 216
2.8 Criterio para el Calculo del Dominio y Rango de una Función 217
2.9 Aplicaciones de A en B 218
2.10 Funciones Especiales 219
2.11 Evaluación de una Función 224
2.12 Función definida con Varias Reglas de Correspondencia 224
2.13 Trazado de Gráficas Especiales 225
2.14 Ejercicios Desarrollados 229
2.15 Ejercicios Propuestos 247
2.16 Operaciones con Funciones 258
2.17 Composición de Funciones 264
2.18 Propiedades de la Comprensión de Funciones 270
2.19 Ejercicios Desarrollados 270
2.20 Ejercicios Propuestos 282
2.21 Funciones: Inyectivas, Suryectivas y Biyectivas 293
2.22 Funciones Crecientes, Decrecientes y Monotomas 295
2.23 Calculo de Rango de Funciones Inyectivas Monotomas 297
2.24 Función Inversa 298
2.25 Función Inversa de una Composición 300
2.26 Ejercicios Desarrollados 300
2.26 Ejercicios Propuestos 313

11. CAPITULO III
3. LIMITES Y CONTINUIDAD
3.1 Introducción 325
3.2 Definición 326
3.3 Ejercicios Propuestos 334
3.4 Proposición 337
3.5 Proposición 337
3.6 Teorema (Unicidad de Limite) 338
3.7 Teorema 339
3.8 Teorema 339
3.9 Propiedades sobre Limite de Funciones 340
3.10Ejercicios Desarrollados 343
3.11Ejercicios Propuestos 354
3.12 Limites Laterales 365
3.13 Ejercicios Propuestos 370
3.14Limites al Infinito 375
3.15Ejercicios Propuestos 381
3.16 Limites Infinitos 386
3.17 Ejercicios Propuestos 389
3.18 Teorema de Sándwich 390
3.19 Limites Trigonométricos 391
3.20Ejercicios Propuestos 399
3.21 Función Exponencial y Logarítmica 404
3.22 El Numero e 408
3.23Calculo de Limites de la forma Uní (/(.v))?í' '
X ->a '
409
3.24 Ejercicios Desarrollados 410
3.25Ejercicios Propuestos 413

12. 418
424
426
427
433
440
446
499
451
453
453
454
455
457
462
464
468
471
474
477
482
484
486
487
Asíntota de una Curva
Ejercicios Propuestos
Continuidad de una Función
Tipos de Continuidad
Ejercicios Propuestos
Problemas Sobre Limite
Problemas Propuestos
CAPITULO IV
L A D E R I V A D A
Definición
Inierpretación Geométrica de la Derivada
Definición
Definición
Derivadas Laterales
Derivabilidad y Continuidad
Algunas Reglas de Derivación
Derivadas de una Función Compuesto (Regla de la Cadena)
Derivación de la Función Exponencial y Logarítmica
Teorema
Derivación de las Funciones Trigonométricas
Teorema (Derivadas de las Funciones Trigonométricas)
Derivación de las Funciones Trigonométricas
Regla de Derivación para las Funciones Trigonométricas Inversas
Derivación Implícita
Derivada de la Función de la Forma y = ( f(x))s(r)
Ejercicios Desarrollados

13. 4.18 Ejercicios Propuestos 511
4.19Ecuaciones de la Tangente y Normal a una Curva 526
4.20Ecuaciones Paramétricas 529
4.21Derivadas de Orden Superior 533
4.22 Ejercicios Desarrollados 538
4.23Ejercicios Propuestos 555
CAPITULO V
5 . A P L I C A C I O N E S D E L A D E R I V A D A
5.1 Valores Máximos y Mínimos de una Función 565
5.2 Teorema 566
5.3 Extremos de una Función 566
5.4 Teorema (de los valores intermedios) 569
5.5 Teorema de Rolle 570
5.6 Teorema del Valor Medio 573
5.7 Teorema (de la función constante) 574
5.8 Teorema (de la diferencia constante) 575
5.9 Función Creciente y Decreciente 574
5.10Teorema 580
5.11Criterio de la Primera Derivada para Extremos Relativos 581
5.12Criterio de la Segunda Derivada para Extremos Relativos 582
5.13 Concavidad y Punto de Inflexión 583
5.14Ejercicios Desarrollados 587
5.15Ejercicios Propuestos 626
5.16Razón de Cambio Promedio y Razón de Cambio Constante 639
5.17Formula que Relaciona dos Variables cuya Razón de Cambio es Constante 640
5.18 Razón de Cambio Promedio 641

14. 5.19 Razones Instantáneas 641
5.20 Velocidad y Aceleración Rectilínea 642
5.21 Razones de Cambio Relacionadas 642
5.22 Procedimiento Aconsejado para Resolver Problemas de Variables
Relacionadas 642
5.23 Problemas Desarrollados 643
5.24 Problemas Propuestos 651
5.25 Aplicación a la Económica 658
5.26 Ejercicios Desarrollados 661
5.27 Problemas Propuestos 673
5.28 La Regla de L’Hospital 678
5.29 Ejercicios Desarrollados 680
5.30 Ejercicios Propuestos 684
5.31 Funciones Hiperbólicas 687
5.32 Ejercicios Propuestos 693
5.33 Derivadas de las Funciones Hiperbólicas 694
5.34 Ejercicios Propuestos 698
5.35 Funciones Hiperbólicas Inversas 701
5.36 Derivación de las Funciones Hiperbólicas Inversas 704
5.37 Ejercicios Propuestos 706
5.38 Diferenciales 708
5.39 Diferenciales como una Aproximación 710
5.40 Diferenciales de Orden Superior 711
5.41 Ejercicios Propuestos 717
BIBLIOGRAFIA 722

15. Sistema de Números Reales 1
CAPITULO I
1. SISTEMA DE NÚMEROS REALES.-
1.1 flSTROPUCClON.-
E1 sistema de los números reales de los cuales ahora disponemos, es el resultado de
una enorme cantidad de reílexión por parte del hombre.
Los enteros positivos, es decir: 1,2,3,..., pueden encontrarse desde el comienzo de nuestra
civilización. Los enteros tan grandes como 100,000 se usaban en Egipto en fechas tan
tempranas como es 300 A.C.
Los antiguos Egipcios y Babilonios desarrollaron una aritmética con los enteros positivos
con los cuales podían efectuarse las operaciones de adición y multiplicación, aunque la
división no se desarrolló por completo.
Estos antiguos pueblos usaron ciertas fracciones, tenemos pues, que los números
racionales aparecieron también en una temprana etapa de nuestra civilización (un número
racional es cociente de dos enteros).
Los Babilonios fueron los que más éxito tuvieron en el desarrollo del aritmética y el
álgebra por que tenían una notación para los números muy superior a la de los Egipcios.
Esta notación en principio, análoga a nuestro sistema decimal, excepto por el hecho de
que su base es 60 en lugar de 10. Una buena notación es el pre-requisito para el desarrollo
de los matemáticos.
Nuestro sistema decimal con los números llamados arábigos fue inventado por los
Hindúes e introducido en Europa occidental en el siglo XII a través de las traducciones de
textos Arabes. Sin embargo, la aceptación generalizada de esta notación demoró mucho
en llegar.

16. Eduardo Espinoza Ramos
La espera fue aun mayor para la aceptación de los números negativos, incluso hasta
finales del siglo XVI se descartaban las raíces negativas de las ecuaciones.
La aritmética y el álgebra se desarrollaron bajo él estimulo de problemas prácticos en
contradicción de la'geometría que desarrollaron los griegos solamente para su satisfacción
intelectual y en un modelo del sistema lógico.
Sin embargo, con el desarrollo del cálculo, los números reales especialmente los números
irracionales tales como ~Jl, n, V 5. tuvieron que sustentarse sobre una firme
fundamentación lógica, esto se logro en la ultima parte del siglo XIX.
Disponemos ahora de un sistema de axiomas que describen completamente los números
reales partiendo de estos axiomas podemos derivar todas las propiedades de los números
reales.
Esto es el método usado en la geometría Euclidiana, se acepta un cierto número de
proposiciones, a las que se llama axiomas o postulados o hipótesis y basándose en esas
axiomas se prueban todos los teoremas de la geometría.
1.2 DEFlNÍClQNv-
Llamaremos sistema de los números reales a un conjunto R, provisto de dos operaciones
adición (+) y multiplicación (.) (leyes de composición interna) y una relación de orden
denotado por “<”, es decir:
Io LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA:
+: R x R
----->R
(a,b) -—-> +(a,b) = a + b
Además debe cumplirse los axiomas siguientes:
Af, Cerradura: V a, b e R => a + b e R
Ax Conmutatividad: a + b = b + a , Va.beR
A-, Asociatividad: (a + b) + c = a + (b + c), V a,b,c e R

17. Sistema de Números Reales
»
3
Aj Identidad aditiva: VaeR, 3 0eR/a+0=0+a=a
A4 Opuesto Aditivo: VaeR, 3 - a e R, y es único, tal que: a + (-a) = (-a) + a = 0
2o LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA: • : R x R - ^ R
Además debe cumplirse los axiomas siguientes:
A/„ Cerradura: V a, b e R => a.b e R
Ml Conmutativa: a.b = b.a, V a,b e R
M 2 Asociativa: (a.b).c = a.(b.c), V a,b,c e R
M 3 Identidad Multiplicativa: V a e R, 3 1 * 0, 1 e R, tal que: 1.a = a
M 4 Inverso Multiplicativo: V a * 0, 3 a~1 e R, tal que: a.a ~l - a 1 .a = 1
3o RELACIÓN DE ORDEN:
Ox V a.b e R una y solamente una de las relaciones se cumple a<b, a = b, b<a (ley de
tricotomía).
O2 Si a < b y b < c entonces a < c (transitiva).
Oy Sia<b=> a + c< b+ c, V a,b,c e R.
0 4 Sí a < b, c > 0 entonces a.c < b.c
OBSERVACIÓN:
i) A los números a_ y b los llamaremos sumando, y al número a + b suma de a y b.
i¡) En a.b; a los números a y b los llamaremos factores y al número a.b producto de a y
b.
iü) El opuesto es único, así mismo cuando existe el inverso es único.

18. 4 Eduardo Espinoza Ramos
1,3 AXIOMA DE SI STITÜCION.-
Si a y b pertenecen a un conjunto B y si a = b, entonces en toda relación se puede
sustituir al elemento a por el elemento b sin que altere el significado de la relación.
a) a.(b + c) = a.b + a.c, V a, b, c e R distributiva a izquierda
b) (a + b).c = a.c + b.c. V a, b, c e R distributiva a derecha
1.5 TEOREMA PE IGUALDAD PARA LA APICIO N~
Si a = b entonces a + c = b + c, para todo a, b, e e R
Demostración
Io a = b. por hipótesis.
2o a + c = a + c, propiedad reflexiva.
3o a + c = b+c, Io. 2° y axioma 1.3
Sí a = b entonces a.c = b.c, para todo a, b, c e R
Demostración
Io a = b por hipótesis.
2° a.c = a.c. propiedad reflexiva.
3° a.c = b.c, Io, 2° y axioma 1.3
j ,7 TEOREM A DE CANCELACION PARA LA APICFON.-
Sean a,b,c e R ; S ía + c = b + c entonces a = b
Demostración
Io a + c = b + c . por hipótesis.
2o a + c + (-c) = b + c + (-c), Io y teorema 1.4?

19. Sistema de Números Reales 5
3o a + (c + (-c)) = b + (c + (-c)), 2° y A2
4° a + O = b + U, 3° axioma A4
5° a = b. 4o, axioma A¿
J.8 TEOREMA DE CANCELACION PARA LA MULTIPLICACION.-
Sean a,b,c e R; Si a.c = b.e y e * 0, entonces a = b
Demostración
Io a.c = b.c, ... por hipótesis.
2 o c * 0, ... por hipótesis
3o 3 — e R / (a.c).— = (b.c). —, ...2 o, I o y axioma MA
c c c
4o a.(c.—) =b.(c.—) , . .. 3 o y axioma M-,
c c
5o a .l= b .l, . .. 4 o y axioma M4
6° a = b, ... 5o y axioma M 3
1.9
DEFINICION.- Para cualquier números reales a,b e R, definiremos a la sustracción
de números reales por:
a - b = a + (-b)
1.10 DIVISION DE NÚM EROS REALES.-
DEFINICION.- Para cualquier números reales a,b e R, donde b * 0, definiremos al
cociente de números reales por:

20. 6 Eduardo Espinoza Ramos
1.11 EJERCICIOS DES ARROLLADOS.-
© Para cada número real a e R, demostrar que a + a = 2a
Demostración
1°a = a.l . .. Por
2o a + a = a.l + a.l ... 1° y axioma 1.4
3oa + a = a.(l+ l) ... 2o y axioma 1 J .a
4°
a + a = a.2 ... 3o y por M•,
5oa + a = 2a ... 4o y por M,
Para cada número real a e R, demostrar que a.0 = 0
Demostración
1°a.0 = a.0 + 0 ... Por Aj
2o a.0 = a.0 + (a + (-a)) ... 1° y por A4
3oa.0 = (a.0 + a) + (-a)... 2o y por A2
4°
a.0 = (a.0 + a.l) + (-a)... 3o y por M 3
5oa.0 = a(0 + l) + (-a) ... 4o y por axioma 1.3.a
6° a.0 = a.l + (-a) ... 5o y por A}
7 0
a.0 = a + (-a) ... 6° y por M 3
8o a.0 = 0 ... 7o y por A4
(3) Para cada número real a e R, demostrar que: -a = (-l).a
Demostración
Basta demostrar que a + (-l)a = 0, porque (-l).a, y - a son inversos aditivos de a por A4

21. Sistema de Números Reales 7
Luego a + (-1 )a = 1 .a + (-l)a, ... por axioma 1.3
a + (-l)a = (1 + (-1 ))a, ... por axioma vfy.b.
a + (-l)a = 0.a, ... por A4
a + (-l)a = 0, ... por ejercicio 2.
.-. -a = (-l)a
(4) Para cada número real a e R, demostrar que -(-a) = a
Demostración
Io a + (-a) = 0 ... por A4
2° (-a) + (-(-a)) = 0 ... por A4
3 0 (-a) + (-(-a)) = a + (-a) ... Io,2o
4o -(-a) = a ... 3o y por teorema 1.6
(5) Para cada número real a,b e R, demostrar que (-a).(-b) = a.b
Demostración
1° (-a).(-b) = [(-1 )a][(-l )b] ... por el ejercicio 3
2o (-a).(-b) = (-1 )[a((-1 )b)] ... 1° y M 2
3o (-a).(-b) = (-1 )[(-1 >a].b ... 2o y Mx, M 2
40
(-a).(-b) = (-1 )[(-a)].b ... 3o y ejercicio3
5o(-a).(-b) = [(-1 )(-a)].b ... 4o y M2
6o (-a).(-b)=a.b ... 5o y ejercicio4
( ó ) V a.b e R, demostrar que a.(-b) = -(a.b)
Demostración
I o a.(-b) = a.((-l).b) ... por ejercicio 3

22. 8 Eduardo Espinoza Ramos
©
2°
a.(-b) = (a.(-l)).b ... 1° y p o rM ,
3oa.(-b) = ((-1 )a).b ... 2o y por Mx
4°
a.(-b) = (-l)(a.b) ... 3o y por M2
5o a.(-b) = -(a.b) ... 4o y ejercicio3
6o-(a-b) = (-1 )(a.b) ... Por el ejercicio 3
?o
-(ab) = ((-l)a).b ... 6o y por M2
8o -(ab) = (-a).b ... T y ejercicio 3.
9°
a(-b) = -(ab) = (-a).b
O
OC
O
V a,b g R, demostrar que a.(b -c) = a .b -a .c
Demostración
1° a.(b - c) = a.(b + (-c)) ... definición de sustracción
2o a.(b - c) = a.b + a.(-c) ... 10 y axioma 1.3 .a
3o a.(b - c) = a.b + (-(a.c)) ... 2o ejercicio 6
40
a.(b - c) = a .b -a .c ... 3o definición de sustracción
Para a e R, demostrar sí a * 0, entonces a"1 =
Demostración
Io a 1 = (a _l).l ... por M-,
2o a~l = l.( a _l) ... Io y
3o a "1 = — ... 2o definición de división

23. Sistema de Números Reales 9
(9) V a,b e R, a.b* O, demostrar que (a.b) 1 =a 1 .b
Demostración
I o (a.b).— = 1
{ab)
2° (ab).{aJb)~l =1
por A/4
y definición de división
3° (a.b).(a 1 b 1 ) = (a).(a)1 .(b).(b 1 ) por M2
■ u 1, * 1 . - 1.
4° (a.b).(a .h ' ) = (a.-).(b.-)
a b
3°, M2 y definición de división.
5° (a.b).(a [.b ‘ ) = (1 )(!) = !
6° (a.b).(a l.b l) = 1
4° y M 4
de 5°
7° (a.b).(a.b) 1 = (a./>)(a 1 i> 1 )
8° (ai?) 1 1
... de 2° y 6°
... 7° y teorema 1.7
10J V a,b,c,d e R, b * 0, d * 0. demostrar que: —+ — = +- ^'c
^ b d b.d
Demostración
Io - + - = a.b 1 +c.dx
b d
por definición de división
2° T + Ì 7 = (a.bì).{d.-) + {c.d-x).(b.-)
b d d b
Io y por Ma
3° — + — = (a.bl).(d.d x) + (c.d 1 ).(b.b ') ... 2o y definición por división.
b d

24. 10 Eduardo Espinoza Ramos
4o - + - = (a.d).(b]. d l) + (b.c).(b1. d l ) ... 3o, A/,
b d '
50 — + — = (a.d).(b.d) 1 + (b.c).(b.d)~x ... 4° y ejercicio9
h d ’
6" — + — -(aM + bx;).(bd) 1 ... de 5° y axioma 1.3.b.
b d
1° — + — = + — ... 6o y definición de división
h d hd
U 2 REPRESENTACION PE LOS NÚMEROS R E A LE sT
Entre los números reales y los puntos de una recta existe una correspondencia, es decir:
51 sobre una recta se fija su origen “O”, una unidad, y un sentido positivo, entonces, a
cada punto de una recta le corresponde un número real y reciprocamente, a cada número
real le corresponde un único punto de la recta, al número real correspondiente a un punto
de la recta se le llama abscisa del punto.
------1--------1--------1-------1-------1-------1--------1--------1---------1— ►
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
NOTACION PARA LOS CONJUNTOS DE NÜMEROS.-
N: Conjunto de los: números naturales.
Z: Conjunto do los números enteros.
Q: Conjunto de ios números racionales,
í: Conjunto de los números irracionales.
R: Conjun ¡o de los números reales.
C: Conjunto de los números complejos.;

25. Sistema de Números Reales 11
CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES
R
0
racionales
entero positivo
N0 = {0,1,2,...,«,...}
Z enteros negativos
Decimales periódicos = 0.abe =
999
Decimales periódico mixto = 0.abede -
abede - ab
99900
Decimales exactos = 0 .abe =
abe
1000
Q = { -la .b e Z ,b * 0}
b
I f propios: a /2 , -73 ,...
V Irracionales! trascendentes = {e, 7t,...}
1.13 DESIGUALDADES.,
La correspondencia entre los números reales y los puntos de una recta pueden usarse para
dar una interpretación geométrica de la relación de orden entre los números reales.
La relación a < b significa que sobre una recta numérica el punto A corresponde al
número “a”, que se encuentra a la izquierda del punto B correspondiente al número “b”.
A B
------------1----------------------1-----------►
a b
El símbolo < se lee "Es menor que”. También usaremos los símbolos siguientes:

26. 12 Eduardo Espinoza Ramos
1.13.a DEFINICIÓN.-
i) Un número real “a” es positivo sí, a > 0.
¡i) Un número real “a” es negativo sí, a < 0.
1.13.b DEFINICIÓN.-
Llamaremos desigualdad a una expresión que indica que un número es mayor ó menor
que otro. Por ejemplo: 5 < 9.
V a,b,c e R., se tiene:
Ox Orden de tricotomía: una y sólo una de las siguientes posibilidades se cumple:
a = b v a < b v a > b
O, Orden transitivo: sía<b a b<c => a < c
03 Orden de adición: sía<b => a+c<b + c
04 Orden Multiplicativo: sí a < b y c > 0 => a.c < b.c
En base a estos axiomas daremos las siguientes definiciones:
U 4 AXIOMA DE LA RELACION DE ORDEN.-
L15 DEF1N1CJON.-
i) a<b<=>b-aes positivo. ii) a > b <=> a — b es positivo.
iii) a < b <=> a = b v a < b iv) a > b <=> a > b v a = b
1.16 TEOREMA.-
V a,b,c,d e R ; Sí a < c A b < d a + b < c + d
Demostración
O
a < c por hipótesis
2° a + b < b + c i° y o3.

27. Sistema de Números Reales 13
3 o b < d por hipótesis
4° b + c < c + d 3 °y 0 3
5o a + b < c + d 2o, 4o y O,
L17 TEOREMA.»
Para a.b € R, si a < b => -a > -b
Demostración
1° a < b por hipótesis
2ob-a> 0 1° y definición 1.1$ i.
3o( b - a ) + (-b) > 0 + (-b) 2o y 0,
4°
-a + (b + (-b))>-b 3 o,a2 y A
5o-a + 0 > -b 4o y A4
6o-a > -b 5° y a3
1.18 TEQREM A.-
Sí a, b, c e R, donde a < b a c < 0 => a.c > b.c
Demostración
1 ° a < b por hipótesis
2 o c < 0 por hipótesis
3o 0*c>() 2o y definición 1.14.i)
4o - a.c < -b.c I o, 3o y 0 4 y ejercicio 6
5o a.c > b.c 4o y teorema 1. bfa

28. 14 Eduardo Espinoza Ramos
1.1911LUKIUMA.-
Para a e R, a * 0=> a2 > 0
Demostración
1° a * 0 por hipótesis
2o a> 0 v a< 0 l° y 0,
3osí a > 0 => a.a > 0.a 2° y 04
4o
O
A
N
3o y ejercicio 2
5osí a < 0 => -a > 0 2o y definición 1.15i
6o (-a)(-a) > 0. (-a) 5o y o4
Ta2 > 0 6o, ejercicio 2 y 5
\ MTEOREM A.-
Para a e R. a * O entonces a 1 tiene el mismo signo que “a” es decir:
i) Sí a > 0 => a~x > 0 ¡i) Sí a < 0 => a~l < 0
Demostración
i) I o a>0 por hipótesis
2o éT 'cO hipótesis auxiliar
3o ¿7.a’1 < 0 I o, 2o y teorema 1.18
4o 1 < 0 3o y M 4 es absurdo
5o íT '>0, por 2 o y 4o
6o Sí a>0 => a~x >0 Io y 5o
ü) Su demostración es en forma similar.

29. Sistema de Números Reales 15
« /« < T C A D C M A
Para a,b e R, donde a y b tienen el mismo signo, sí a < b => a 1 > d 1
Demostración
Como a y b tienen el mismo signo entonces se tiene dos casos:
i) a> 0 a b>0 i¡) a < 0 a b < 0
i)1° a < b por hipótesis
2°a > 0 a b > 0 por hipótesis
Ta 1 >0 a b x >0 2o, teorema 1.20
4oa.a~ < b.a~l 3o y 1°; 04
5o(a.a~l)b~l < (b.a x)b~x 3o y 4o; 04
6o(a.a~1)b~1 <(b.b~{)a~l 5o y m2
7°
l i T1 <1 .a~l 6o y A/ 4
8ob~x <a 1 7° y M3
9osí a < b => a~l >b~l l ° y8°
V
ii)Su demostración es en forma similar.
1 IT l t ? D C i r i f t C W c A D D A T T A n / W
i ,¿¿ GiJüiKvlv Iva ÜÍ-SAKKULLAUU5.-
© Si a > b > 0, Demostrar que: a1 >b2, donde a,b e R.
Demostración
Por hipótesis se tiene a > b > 0 => a > 0 a b > 0
Como a > b => a + b > 2b > 0 => a + b > 0
a > b => a-b> 0
...( a )
.. (ß)

30. 16 Eduardo Espinoza Ramos
de (a) y (f¡) se tiene: (a + b)(a — b) > 0.(a — b)
de donde a1- b 1 > 0 => a2 >b2 Sí a > b > 0 =s> a2 > b2
Sía,b>0 y a2 >b2 =>a>b
Demostración
Por hipótesis se tiene a2 > b2 => a2- b 2 > 0 de donde (a +b )(a -b ) > 0 ... (a)
como a > 0 a b>0 => a + b > 0, de donde —— > o ...<p>
a+b
de (a) y (P) se tiene ^ + —— > 0 , de donde a-b>0 entonces a>b.
a + b
®
Sib>a>0 y c > 0. Demostrar: > —
3 h-Lr- h
b+c b
Demostración
Como b>a>0 => a.b>0 ...(1 )
b > a y c>0 => b .c> a.c . . . ( 2)
en (2) sumando a.b > 0 en ambos lados. a.b + b.c > a.b + a.c
, . v .. . i t 1 d + C Cl
b.(a + c) > a.(b + c) , de donde:
------> —
b+c b
a c „ a+c c
> —
®
Si a,b,c,d > 0 y — > — Demostrar
r» /i
b d b+d d
Demostración
a c
Como — > — , donde b ,d > 0 => a.d >b.c ... (1)
b d
Además c > 0, d > 0 entonces c.d > 0
Sumando c.d > 0, a ambos miembros en (1): a.d + c.d > b.c + c.d

31. Sistema de Números Reales 17
d.(a + c) > c.(b + d), de donde: a + ° > —
b + d d
( ^ ) Para a,b,c números reales. Demostrar que a2 +b1 +c2 >a.b + a£ + b.c
Demostración
V a.b e R, (a-b)2 > 0
V a.c e R, (a - c)2 > 0
V b,c e R, (b -c)2 >0
a2 + b2 - 2a.b > 0
a2+c2- 2a r >0
b2 +c2 -2b.c > 0
2(a2 +b2 + c2)-2(a.b + a.c + b.c) > 0
de donde a2 +b2 +c2 >a.b + a.c + b.c
( 7 ) V a,b e R ' , demostrar que ü + ^ > -Jali
Solución
Como a,b e R+ => -Ja -4b e R
Sí 4a —4b e R => (4a ~4b)2 > 0, de donde a+b-24a4b> 0 => a + b>24ab
a + b
->4ah
(l) Demostrar que sí a < b, Entonces a < ■ < b
Demostración
Como a < b => a + a < a + b => 2a<a + b ...(1 )
a<b=>a + b<b + b=^a + b< 2b ..-( 2)
de (1) y (2) por transitividad se tiene: 2a < a + b < 2b a < < b
^8) Demostrar que si, a2 +b2 = 1, c2 +d2 = 1, entonces: 1 > a.c + b.d, para a,b,c,d e R

32. 18 Eduardo Espinoza Ramos
Demostración
V a,c e R, (cr-c’)2 > 0 => a2 +c2 >2a¿ ...(1 )
V b,d e R, (b-d)2 > 0 => b2+d2 >lb.d ...(2 )
sumando (1) y (2) se tiene: a2 +b2 +c2 +d2 >2(a£ + b.d)
2 > 2(a.c + b.d) 1 > a.c + b.d
V a,b,c,d e R+ y n e Z + , demostrar que: a2" +b2n +c2n +d2" > 4(abcd)"12
Demostración
a,b e R+ => a",bn e /?+ ,pero a”- b n e R, entonces:
(an - b n)2 > 0 => a2n +b2n >2anb” . . . ( 1)
c,d e R^ => c",dn e R+ , pero c "-d " e R, entonces:
(c" -d " )2 > 0 => c 2" + ¿ 2n >2cnd" ...(2 )
Sumando (1) y (2) se tiene: a 2" + ¿>2n +c2" +d2n >2(anb" +c"d") ...(3 )
(Ja"bn - a / c V"”)2 > 0 => anb" +cnd n >2^¡anbncnd n ...(4 )
a 2" + />2” + c 2" + ¿ 2n > 4-Janbncnd n
... a 2" + 62” + c 2" + í/2n ¿4(a¿>c</)”/2
(lo) Si a + b + c=l, donde a,b,c > 0, Demostrar que (1 — a)(l - b ) ( l - c ) > 8abc
Demostración
Como a,b,c> 0 => -J~a,-Jb,-Jc > 0 entonces:

33. Sistema de Números Reales 19
©
-Je e R b + c> 2-Jbc
-Je e R => •a+ c> 2-Jac
-Jb e R a + b> 2-Jab
(b + e)(a + c)(a+ b ) > 8abe
Pero sí a + b + c = 1
1 -a = b + c
\ - b - a + c
\-c+a+b
. . (2)
Reemplazando (2) en (1) se tiene: (1 — a)( 1 — b)( 1 - c) > 8abc
Si a.b.c.d e R" , Demostrar que: (ab + cd)(ac + bd) > 4abcd
Demostración
Como a,b,c,d e R+ => ab > 0, cd > 0, ac > 0, bd > 0
De donde -Jai) -~Jcd e R, y -Jac--Jbd e R. entonces:
\(-\fab—Jcd)2 > 0 \ab + cd > 2-Jabcd
\(4ac- -J b d )1 >0 I ac + bd > 2-Jabcd
multiplicando se tiene: (ab + cd)(ac + bd) > 4abcd
a c , a a+c c
Sean a,b,c,d e R tal que — < —. demostrar que: — <
-------< —
b d b b+d d
Demostración
Como — < — => a.d < b.c por que b,d e R 1 a.d < b.c, sumando a.b, a ambos
b d
miembros ad + ab < be + ab, factorizando
a(b + d) < b(a + c), de donde ~ . . . ( 1)
En ad < be sumando cd, a ambos miembros ad + cd < be + cd,

34. 20 Eduardo Espinoza Ramos
Factorizando d(a + c) < c(b + d), de donde:Ü í £ < £
b+d d
. . . (2)
^ . a a+c a + c c
De (1) y (2) se tiene: — <
---------- a ----------< —
b b+d b+d d
_ , , . a a + c c
De donde por transitividad se tiene: — <
-------< —
b b + d d
Si a,b,c y d, son números reales cualesquiera. Demostrar que: a4 +b4 + c4 + d 4 > Aabcd
Demostración
Como a,b,c,d e R => a2,b2,c2,d 2 e R, además:
\a2- b 2 e R
\c~ —d~ e R
(a2 - b 2)2 > 0
(c2- d 2)2 > 0
de donde al efectuar se tiene: a4 +b4 > la 2b2
cA+dA> lc2d 2 ... (2)
Sumando (1) y (2) miembro a miembro se tiene:
a4 +b4 + c4 +dA>l(a2b2 +c2d 2) ...(3 )
Como ab. cd e R => ab - cd s R, entonces:
a~b2 +c2d 2 >2abcd => 2(a2b2 +c2d2)> 4abcd
(ab-cd)'> 0 de donde
...(4 )
de (3) y (4) por transitividad se tiene: a4 +bA +c4 +d4 > 4abcd
Si a > 0, a e R, demostrar que: a + — > 2
a
Demostración
Como a > 0 => - J a > 0, de donde 4 a — e R por lo tanto

35. Sistema de Números Reales 21
(Va —7=)2 ^ 0 , desarrollando se tiene: a - 2+ —> 0 de donde a + — > 2
Va a a
, „+ , bc ac ab ,
Si a,b,c, e , demostrar que: — +
------1- — >a + b + c
a b c
Demostración
Por hipótesis se tiene que a,b,c > 0, entonces
— > 0, —>0 ,—>0 entonces aplicando el ejercicio 14).
b c c
Ahora a (1) multiplicamos por c,a,b respectivamente.
ac bc ^ _
— + —>2c
b a
ab a c . - -a c „bc -a b
— + — > 2 a => 2 — + 2 — + 2 — >2c + 2a + 2b
c b b a c
ab
— + — > 2 b
c a
.h e ac ab s -, , ,
2(
-----h — + — ) > 2(a + b + c)
a b c
bc ac ab ,
— + — + — >a + b + c
a b c
r.- ^ i ^ rv j a + b _ a b
Si a > 0, b > 0, demostrar que:
-----:— - < -— - + -
a+b+1 6+1 a + l
Demostración
Como a > 0, b > 0, entonces a + 1 > 1, b + 1 > 1 luego se tiene:
a + l > 1
Z> + 1>1
a + è + 1> è + 1
a + b + \> a + l
ahora inviniendo cada una de las desigualdades: -----
----< —— y ----------< — —
a+b +1 ¿> + 1 a + b +1 a + l

36. 22 Eduardo Espinoza Ramos
multiplicando a las desigualdades por a y b respectivamente.
a a b _ b
----------<------ y ----------<-------
o + b +1 b +1 ¿7 + ¿> + l +1
• a + b ^ a b
Sumado estas dos desigualdades se t i e n e :
----------<------+
a + b +1 b +1 a +1
1 4
17) Si a,b e R, b * 0, demostrar que: —
a2+ab + b2 3 b2
Demostración
Completando cuadrado en a +ab + b se tiene: cr+ab + b = (a + — (1)
Como a.b e R => a + — e R, de donde (a + —)2> 0
2 2
o J 3t>2 ■ , b ■, 3b2 3b2
Sumando
------se tiene: (a +—) ' + ------->------ ...(2 )
4 2 4 4
Ahora de (1) y (2) se tiene.
2 . , t 3b2 , . . 1 4
a' +ab + b~ como b *0 invertimos —
------—
a2+ab + b2 3b2
18) Si a > 0 y b < 0, Demostrar que: < —
' a a
Demostración
Como a > 0, b < 0 => ab < 0, sumando “a” a ambos miembros se tiene:
a + b.a < a, de donde a(b + 1) < a ... ( 1)
Como a > 0 => -X- > 0, ahora multiplicamos a (1) por -\-
a~ a~
. . . a(b + l) a . , ¿ + 1 1
Obten íendose
-----< —r- simplificando .'. -----< —
a a a a

37. Sistema de Números Reales 23
19j Si a>0. b>0 tal que a + b=l, demostrar que: a^ - ~
Demostración
Como a > 0, b > 0 => a-be R, de donde:
(a-b)2 > 0 => a2 -2ab + b2 > 0 sumando 4ab.
a2 +2ab + b2 > 4ab de donde: (a + b)2 > 4ab
pero como a + b=l, se tiene l>4ab, por lo tanto a^>-~
20j Si a>0, b>0, 3a * 5b, demostrar que: — +— >2
5b 3a
Demostración
Como 3 a * 5 b => 3a-5b*0 y 3a-5beR entonces (3 a -5 6 )2 > 0
Desarrollando se tiene: 9a2 -30ab + 25b2 > 0
Sumando 30ab, a ambos miembros: 9a2 +25b2 > 30ab multiplicando por
9 a2 +25Z>2 30ab . . . 3a 5b ,
-------------->-------, de donde: — + — >2
15ab 15 ab 5b 3a
15 ab
i.23 EJERCICIOS PROPUESTOS.-
© Si a y b son números reales positivos, demostrar que: (— + —)(a + b) > 4
a b
(T ) Si a,b,c son números reales positivos, demostrar que: (— + — + -) (a + b + c) > 9
a b e
© Si a,b,c,d son números reales positivos, demostrar
( - + — + - + — )(a + b + c + d)> 16
a b c d
que:

38. 24 Eduardo Espinoza Ramos
(4) Si a y b dos números reales positivos tal que a > b, demostrar que: — + — > — + 3
b a a2
( J ) V a e R. a * 0, demostrar que: a2 + — > 6
Si a,b,c e R* , demostrar que: (b + c)(a + c)(a + b) > 8abc
(T ) Si a,b e R, demostrar que: a^b + ab* < a4 + bA
Si a,b,c e R, demostrar que: a2 +b2 +c2 +3 > 2(a + b + c)
® Si 0 < a < 1, demostrar que a2<a
^0) Si a,b,c son números reales positivos y . Demostrar que:
a b e
d d+e+f f
a a+b+c c
Demostrar que si a,b,c son números positivos y no iguales entre si, entonces:
(a + b + c)(a2 +b2 +c2) >9abc
© Si a.b.c son números positivos y no iguales entre si. Demostrar que:
(a + b + c)(a~l + ¿ _1 + c _1) > 9
13J Si a y b son números reales diferentes de cero. Demostrar que:
a2 16Z>2 8a 32 b
— + — — + 24> — +
----
b~ a b a
¿4) Si a2+b2 = 1. Demostrar que: -^¡2<a + b< 4l
Sug. (x -y )2 > 0 => 2(x2 +>’2) > (x + y)2
15) Si a + b = c, a > 0, b > 0, demostrar que: a2,i +b2,3 > c2li
®
Si a + b > c > 0, demostrar que: —— +
l + o \ + b 1 + c

39. Sistema de Números Reales 25
© Si a,b,c > O, demostrar que: 3abe < a3 + 63 + c3
®
Si c > 0, d > 0, 2d * 3c, demostrar que: — > 1
3 c 4 d
(í? ) Si a > 0, b > 0, a * b, demostrar que: 2
4b -Ja
(20) Si a,b,c e R, demostrar que: b2c2 +c2a2 +a2b2 > abc(a + h + c)
2 l) Sea a + b = 2, donde a y b son números reales, demostrar que: a4 + b4 > 2
^ \ 7 7 ? 9 9 9
221 Si a~ +b~ +c~ = 1 y x +>> + z =1, demostrar que: ax + by+cz<l
b 1 1"
23) Si a > 0, b >0, demostrar que: — + —— > — + —
‘ J 4 b2 a2 a b
24) Si 0<a<l, demostrar que: a2 < a
25) Si a,b > 0, demostrar que: -Jab >
a + b
26) Si a > 0, b > 0, demostrar que: ° > (—í^ ) 3
(27) Si a>0, a * 1, demostrar que: al +^—>a2 + ~
a a~
28) Sia>0 y b > 0, demostrar que: 4(a +b )>(a + b)
29) Si a y b son números reales, demostrar que: ~J(a~+ c)2 +(b + d)2 < -Ja2 +b2 + -Je2 +d2
3(y Si a.b,c e RT, demostrar que: (a + ¿> + c)3 >21abc
(31) Si a,b,c y d son números reales cualesquiera. Demostrar (ab + cd)2 < (a2 + c2)(b2 + d 2)

40. 26 Eduardo Espinoza Ramos
2) Si a.b e R, demostrar que: a4 + b4 > — (a + b)4
8
33) Si a > 0 y b>0, demostrar que: (g+ —)2 + (b + —)2 + +¿*)2
“■ a h 2 a + b
1 1 25
^ Si a>0, b>0 tal que a + b=l, demostrar que: (a + — )2 + (b + — )2 >-^-
(35) Si a,b.t\d e R, demostrar que: ac+bd <^(a2 + b2)(c2 + d 2)
(3ó) Si a,b e R tal que a + b = 1, demostrar que: a4 +bA > ^
®
8 j
Si a,b e R tal que a + b = 3, demostrar que: a4 + b4 > —
38) Si a,b.c,d e R+, demostrar que: ~(a + b + c + d)>^J a bed
9) Si a:,a2,...,a„. bx,b2,...,b„ eR tal que: a2+a2 +...+a2 = \,b2 +b2 +...+b2 =1
demostrar que: axbx + a2b2 +...+a„b„ <1
40) Demostrar que si -1 < a < 0 entonces a 3 > a
Si -a>0 y (a-b)2 > {a + b)2, entonces b >0
(42) Si a, b e R, tal que 2a +4b = 1, Demostrar que: a2 + b2 >
.43) Si a > 0. b > 0 =? a3 +bl >a2b + ab2
X1 +x2 +X1 + — +xn
44) Si jc,,x,,...,jcn e R y si p =^Jxxjc2..jc„ y a = —
-2-----——— demostrar
^ - V n
que: p < a.
Í Í ) Si a,b,c,m,n,p eR/m>0, n>0, p>0: — < — < — entonces: — < ^ + a + c <
^ m n p m m +n +p p

41. Sistema de Números Reales 27
®
_ , . Qi + di +...+ a„
Probar que si al <a2 < — <a„ entonces ax <—
-----P-----------<a„
a3 - b l
47) Demostrar que si 0<a<b<c entonces: —
--------<a + b+c
s*-' 3 c(b-a)
(4?) Probar que: a4 +bA + c4 + d 4 > A\abcd\ para a,b,c,d e R
(49) Si a,b,c > 0, demostrar que: 2(a3 +lr + c:3) > bc(b + c) + ac(c + a) + ab(a + b)
(501 Demostrar que: <j2b2 +b2c2 +a2c2 > abc(a + b + c) V a,b,c e R
x" 1
51) V x e R y n par, demostrar que: —
-------< —
“ 7 x2n+l 2
52) Demostrar que si r>0ya<b entonces a a < ---- -- < b
' 1 + r
531 Si a y b son números positivos y distintos, demostrar que: ~ + ~ > — + —
b2 a2 a b
54) Consideremos x, y, z, w números reales, demostrar que:
■>22'>^2
x + y + z + w > — (xy + xz + xw + yz + yw + zw)
a2 b2
55) Si a y b son números desiguales positivos demostrar que: a + b< — + — •
b a
56) Si a,b y c son números positivos distintos. Demostrar que: (a + b + c)2 < 3(a1 +b2 +c2)
51) Si a y b son números positivos distintos, demostrar que: (a3 +b3)(a + b)> (a2 +b2)2
,58) Si x,y son números distintos, demostrar que: (x4 + y 4 )(x2 +>’2) > (x3 +>'3)2
59) Si x,y,z son números positivos distintos, demostrar que:
xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) > 6xyz

42. 28 Eduardo Espinoza Ramos
a -2 b -2
(£0) Demostrar que: a < b < 1 => —
----<
a -1 b -1
61J Sean a,b,c,x,y,z números positivos distintos, demostrar que:
(a2 +b2 +c2 )(x2 + y 2 + z2) > (ax + by + cz) 2
(62) Demostrar que: 0 < d < c => ^ — ^ - > d 2 (c-d)
_ 4 .3
@ Si 0 < d < c => d3(c-d)< — - — <c2(c-d)
(64) Si x > 0 , y > 0, z > 0, demostrar que:
a) xyz = 1 => x+y+z>3
b) xyz =1 a x + y + z = 3 o x = y = z = 1
®
x y z x y z
Demostrar que: x>0, y>0, z>0 =>— + — + —>3 (s u g :
-----— = 1 y ejercicio 64)
y z x y z x
(óó) Demostrar para todo a y b real \[ab < -~= \¡a2 +b2
(ó?) Si x e y e R, demuestre que: |x| + |y| > |x + y|
(68) Si x1,x2,...,x „ e R~ tal que x¡ = 1 . Entonces x x + x2 > 1
(69^ Si a,b e R, demostrar que: (a + b)4 < 8(a4 + b4)
2 i
(70) Si a > 0, probar que: X . + +a >a+ 1
x +a
Ji) Si a,b,c ei?* ,y si a2 +b2 +c2 =8 . demostrar que: a3 +b3 + c3 > 1 6 ^
72) Si a>0, b > 0, demostrar que: (-^- + -^-)(a2+Z>2) > 4

43. Sistema de Números Reates 29
73) Demostrar que sí a,b,c nos números reales positivos entonces a+ +C > Ifabc
^4) Sí V a,be R talque a > 0 Ab>0 y a< x2 <b => -Ja<x<4b v --Jb < x< —Ja
^5) Si JC], x2, —, x„ e R, talque x¡ jc2...jc„ =1. Demostrar que xx +x2 +...+x„ > n
Si a,h e. R ' , Demostrar que (a2 +b2)(a + b)2 >&a2b2
77) Si a + b + c = 0, Demostrar que: (—+ —+—)2 = ——+ - Î - + —
^ a b c a- b2 c 2
1 1
78) Si a,b g R , Demostrar que —— + —— >
a2 b2 (a + b)2
1.24 JNECUACÏONES.-
1.24.1 DEFINICION.- Una inecuación es una desigualdad en las que hay una o más
cantidades desconocidas (incógnita) y que sólo se verifica para
determinados valores de la incógnita o incógnitas.
Ejemplo.- La desigualdad: 2x + 1 > x + 5, es una inecuación por que tiene una
incógnita “x” que se verifica para valores mayores que 4.
1.24.2 INTERVALOS.- Los intervalos son sub-conjuntos de los números reales que sirven
para expresar la solución de las inecuaciones, estos intervalos sé
representan gráficamente en la recta numérica real.
Consideremos los siguientes tipos de intervalos:
a) Intervalo cerrado.- a < b
[a,b] = {x e R/a<x<b} a b
b) Intervalo abierto.- a<b
— otymtMtmtyé)
<a,b> = {x e R / a < x < b} a b

44. 30 Eduardo Espinoza Ramos
c) Intervalo cerrado en a y abierto en b.-
[a,b>= {x eR/a<x<b[ „
d) Intervalo abierto en a y cerrado en b.-
<a,b] = {x e R / a < x < b}
e) Intervalo infínitos.-
[a,+oo>= {x e R/x>a} a
<a,+*> = {x e R / x > a} < OHHmHHiHHMtHtttttt *•
a
<-oo,b] ={xeR/x<b¡
b
<-oo,b> = {x e R / x < b} * m m m m m tm m Q
------1
b
<-oo,+oo> = {x/x g R}
<-», a> u <a,+oo> = {x e R/x* a} mmHtHHHmHMMttommmtHHmwmmm
a
Nota.- ( l ) S ix e [a,b] <3> asx¿b
Ejemplo.- Demostrar que: síx e[2,4] entonces 2x + 3 € [7,11]
Solución
x e [2,4] => 2 < x < 4, multiplicando por 2
4 < 2x < 8, sumando 3
7 < 2x + 3 < 11
Sí 7<2x + 3<ll => 2x + 3 e [7,11]
Por lo tanto, sí x e [2,4] => 2x + 3 g [7,11]

45. Sistema de Números Reales 31
© I S j Q g L <=> &<x<b
Ejemplo.- Demostrar que: Sí 2x — 6 e <-4,4> => x e <1,5>
Solución
2x — 6 e <-4,4> =?> -4 < 2x — 6 < 4, sumando 6
2 < 2x < 10 dividiendo entre 2
l<x<5, entonces x e <1,5>
Por lo tanto, sí 2x - 6 <= <-4,4> => x e < 1,5>
1,25 CONJUNTO SOLUCION DE UNA INECUACION.-:
Se llama conjunto solución de una inecuación a todos los números reales que la
verifiquen, es decir, que dichos números reales dan la desigualdad en el sentido prefijado.
1.26 RESOLUCION DE UNA INECUACION.»:
El resolver una inecuación consiste en hallar un conjunto solución; es decir, encontrar el
intervalo donde están los valores que puede tomar la incógnita para que verifique la
inecuación.
1.27 INECUACION DE PRIMER GRADO EN UNA INCOGNITA.-
Las inecuaciones de primer grado en una incógnita, son de la forma:
Para resolver estas inecuaciones se debe considerar a > 0, es decir, sí a > 0, entonces:
b . b
X >
------O X < —
a a
Su representación gráfica es
OM M t M H H M H m tm ► Ó ■ ■tH M tm tH ftH H H tH tH iO
ax + b>0 ó ax + b < 0 , a=£Q
b X X b
a a

46. 32 Eduardo Espinoza Ramos
Luego la solución es dado en la forma: x e < — ,+oo > ó x e < -oo,— >
a a
Ejemplos.- Resolver las siguientes inecuaciones.
0 3x —4 < x + 6
Solución
Las inecuaciones de primer grado en una incógnita, se resuelve, expresando la inecuación
en la forma:
En un sólo miembro se pone la incógnita, en el otro miembro los números, es decir:
3x - x < 6 + 4, simplificando se tiene: x < 5, es decir: x e <-oo,5>
mmHHMHtMmmtO
------► La solución es: x e <-oo,5>
5
0 3(x —4) + 4x < 7x + 2
Solución
Poniendo en un sólo miembro la incógnita y en el otro miembro los números:
3x - 12 + 4x < 7x + 2 => 3x + 4x - 7x < 2 + 12 simplificando 0 < 14
esta desigualdad obtenida es cierta, entonces la solución de la inecuación dada , es el
conjunto de todos los números reales (x e R).
0 5x — 4(x + 5) < x — 24
Solución
En forma análoga a los ejemplos anteriores en un sólo miembro ponemos las incógnitas y
en el otro miembro los números: 5x — 4x — x < -24 + 20 simplificando 0 < - 4
Como la desigualdad obtenida no es correcta, entonces no hay ningún valor de x, que
verifique que la inecuación dada. Por lo tanto la solución es el vacío (<¡>).
0 2 < 5 —3x < 11
Solución
Aplicando la propiedad de transitividad: a<b<c o a<b Ab<c

47. Sistema de Números Reales 33
2 < 5-3x< 11 <=> 2<5-3x a 5-3x< 11
» 3x<5—2 a 5 —ll<3x
o x < 1 a -2 < x
-- O/////////////////////////////!
-2 1
La solución es: xe<-2,l]
-----------------------
1.28 ÍINECUACION DE SEGÜNOD GRADO E3\ UNA INCOGNITA,,
Las inecuaciones de segundo grado en una incógnita son de la forma:
ax2 +bx + c>0 ó aje2 + e <Q, a* Oí
donde a,b,c e R, siendo a * 0, la solución de estas inecuaciones, se obtiene mediante las
propiedades de los números reales ó también por medio de la naturaleza de las raíces del
trinomio ax2 +bx+c- 0 .
a) CARÁCTER DE LAS RAICES DEL TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO.
Consideremos el trinomio de segundo grado
al analizar el valor numérico de la ecuación (1) dando valores reales a x se presentan
tres casos:
I o Caso.- Si A = b2 - 4ac > 0, entonces hay dos valores diferentes rx < r2 que
anulan el trinomio ax1 +bx + c = 0 .
Es decir: a(x - rx )(x - r2) = 0 , si se hace variar x a lo largo de la recta real resulta:
i) Cuando x toma valores menores que r , , los factores (x- r ¡ ) y (x-r2) son
negativos, luego el trinomio ax2 +bx + c , tiene el mismo signo del coeficiente
de “a”.
¡i) Cuando x toma valores intermedio entre i\ y r2 ; entonces el factor (x ) es
positivo y el factor (x-r2) es negativo, luego el trinomio ax2 +bx+c , tiene
signo opuesto del coeficiente de “a”.

48. 34 Eduardo Espinoza Ramos
iii) Cuando x toma valores mayores que r2, entonces los factores ( x - r ¡ ),
(x-r2) son positivos, luego el trinomio ax1 + bx + c , tiene el mismo signo
del coeficiente de “a”.
2o Caso.- Si A = b2 -Aac = 0 , entonces hay un solo valor real >\ =r2 = r, que
anulan el trinomio ax2 + bx + c , luego como (x -r)1 es positivo, el
signo del trinomio ax2 + bx + c es el mismo del coeficiente de “a”.
3o Caso.- Si A = b2 - 4ac < 0, entonces se tiene dos valores no reales
-■ r¡ = a + fíi y r2 = a - fii que anulan el trinomio ax1 + bx + c , y para
i » / J * ' ' -
cualquier valor de x, el trinomio: ax2 + bx + c tiene el mismo signo del
coeficiente de “a”.
NOTA.- Sí ax2 + bx + c = 0 entonces x = —-
-----------
2a
b) RESOLUCION DE UNA INECUACION DE SEGUNDO GRADO.-
Para resolver una inecuación cuadrática de las formas ax1 +bx + c>0 ó
ax2 + bx + c < 0 , donde a,b,c eR,a#0, por medio de la naturaleza de las raíces
primero se resuelve la ecuación ax2 + bx+c = 0 , y de acuerdo a la naturaleza de las
raíces se presenta tres casos:
Io Caso.- Si la ecuación ax2 +bx+c = 0 , tiene dos raíces reales diferentes
< ri ' " + v 7 v ~
*
---------------© — :— e -------------
i) Si la inecuación es de la forma ax2 + bx + c > 0 , con a > 0, la solución es todos
los valores de x que pertenecen al intervalo < -oo,> U < r ¡ ,+ao >.
¡i) Si la inecuación es de la forma ax2 + bx + c < 0 con a > 0, la solución es todos
lo valores de x que pertenece al intervalo < r¡, r2 > .

49. Sistema de Números Reales 35
2° Caso.- Si la ecuación ax2 + bx+c = 0 , tiene una raíz real única rx =r2 = r .
+— 1 6 ' >
r
i) Si la inecuación es de la forma: ax2 +bx + c> 0 , con a > 0.
La solución es todos los valores de x * r, es decir: x e <-oo,r> U <r,+oo>
ii) Si la inecuación es de la forma: ax2 + bx + c < 0 , con a > 0.
No se verifica para ningún valor real de x.
3o Caso.- Si la ecuación ax2 + bx+c = 0 , tiene dos raíces no reales.
i) Si la inecuación es de la forma: ax2 + bx + c > 0, con a > 0.
La solución es todos los valores reales de x.
ii) Si la inecuación es de la forma: ax2 +bx+c < 0 , con a> 0.
No se verifica para ningún valor real de x.
RESUMIENDO EN EL SIGUIENTE CUADRO.
Forma de la Inecuación
Raíces de la Ecuación
ax2 +bx + c = 0
Conjunto Solución
ax2 +bx + c> 0 , a > 0
Raíces diferentes
r\ <r2
< —oo, r, > U <r-, ,+oo >
Raíz Real Unica r R — {r}
Raíces no reales R
ax2 +bx + c < 0 , a > 0
Raíces diferentes
r\ <r2
<rx,r2 >
Raíz Real Unica
<t>
Raíces no reales
<l>

50. 36 Eduardo Espinoza Ramos
©
Ejemplos.- Resolver las siguientes inecuaciones.
2x2 —jc-10 > 0
Solución
Resolveremos la inecuación usando propiedades de los números reales:
a,b > 0 o Ca>ÖA b > 0 ) v {a < 0 a b < 0)
2;t“ - ; t - 1 0 > 0 => (x + 2)(2x — 5)> 0
(x + 2)(2x- 5 ) > 0 <=> (x + 2>0a2x — 5>0)v(x + 2<0a2x — 5<0)
©
O-
<=> (x > -2 a x > 5/2) v (x < -2 a x < 5/2)
-----------------► -« ---------------O
-2
O
---------------
Q//////////A
5
2
-O
« / / / / / / / / / / / O
-2
-6 — ►
5
2
La solución es: x e < —oo,—2 >U < — ,+
2
Otra forma de resolver esta inecuación, es por la-naturaleza de sus raíces de la ecuación
, 5 ,
2x~ -jc- 1 0 = 0, de donde = - 2 , r2 = —, luego < r2 y como 2x — je: — 1 0 > 0,
de acuerdo al cuadro la solución es: 7
¥
x e < -00,-2 >U < — ,+«>>
2
;t2 +8jc-6 5 < O
Solución
Usando propiedades de los números reales.
¡ sr < ¿ > ,b > flO -^h < a < -4 b
completando cuadrados en x2 + 8x-6 5 < O, se tiene:

51. Sistema de Números Reales 37
x2 + 8x + 16 < 65 + 16 => (x + 4)2 < 81, aplicando la propiedad
(x + 4)2 <81 o -^|8Í <x + 4<4%Í
<=> -9<x + 4<9 o -13<x<5
La solución es x e <-13,5>
Ahora resolveremos la inecuación por medio de la naturaleza de las raíces de
x 2 + 8 x -6 5 = 0 , es decir: (x + 13)(x — 5) = 0 de donde rj =—13, r-, =5
de acuerdo al cuadro es: x e <-13,5> "* O / / / // / / / // / / // / O *"
- lo o
0 x2 + 20x + 100>0
Solución
Mediante propiedad de los números reales se tiene:
x2 + 2 0jc + 1 0 0> 0 => (x + 10)2 > 0 entonces:
V x e R; x *-10, (x + 10)2 > 0 , por lo tanto la solución es; x s R -{ -1 0 ¡
Ahora veremos de acuerdo a la naturaleza de las raíces: x 2 + 20x +100 = 0 => r = -10,
multiplicidad 2, y como x 2 + 20x +100 > 0 , de acuerdo al cuadro de solución es:
x g R — {-10}
®
, 3 9
x ~ + —jc + — < 0
inn
Solución
Aplicando la propiedad de los números reales: VxeR, x2 > 0
3 9 3 'i 3
luego x 2 + —x +
-----<0 => (x + —)2<0 pero (xh -------)2 > 0 , entonces no existe
5 100 10 F 10
ningún valor real para x que verifique a la inecuación, es decir: <j>.

52. 3 9
Ahora resolvemos mediante la naturaleza de las raíces de la ecuación x~ +—x + -—- = 0 ,
5 100
3 9 3 9
de donde r =
-----de multiplicidad dos, pero se tiene que x~ + — x + --------< 0 y de
10 5 100
acuerdo al cuadro la solución es: (|).
38 Eduardo Espinoza Ramos
I M INECUACIONES POLINOM ÍCAS.-
Una inecuación polinómica en una incógnita, es de la forma siguiente:
P{x}-anxn +,..+atx+a$ > 0 ó '. P{x) ~ a„xn + < 0
donde o0, s o n constantes y a„ * 0 , neZ4 .
a) RESOLUCION DE UNA INECUACION POLINOMICAS.-
Una inecuación polinómicas de la forma P(x) > 0 ó P(x) < 0, se resuelve de acuerdo
a la naturaleza de sus raíces de la ecuación polinómica P(x) = 0, en una forma
sencilla y rápida, considerando a„> 0 .
Para esto hallaremos primero las raíces del polinomio
P(x) = a„xn +...+£7lx + a 0 = 0, y como éste polinomio es de grado n entonces tiene
n raíces, lo cual pueden ser reales diferentes, reales de multiplicidad y no reales.
I o Caso.- Cuando las raíces de la ecuación polinómica p(x) = 0, son reales
diferentes. Es decir: rx < r, < ...< rn_x < rn
a) En los intervalos consecutivos determinados por las raíces del polinomio
P(x) = 0, se alternan los signos “+” y reemplazando por asignar el signo
(+) al intervalo < rn ,<x> > .
^ A A ^ A ^ T A A ^ A A ^ r
■ ■ ■ ■ ■ rn-3 rn -2 rn -l rn

53. Sistema de Números Reales 39
b) Si la inecuación polinómica es de la forma: P(x) = anxn +...+alx + a0 > 0 ,
an > 0; al conjunto solución será la unión de los intervalos a los cuales se le
ha asignado el signo
c) Si la inecuación polinómica es de la forma: P(x) = anx" +...+axx + a0 < 0 ,
a„ > 0 ; el conjunto solución, será la unión de los intervalos a los cuales se le
ha asignado el signo
NOTA.- Explicar el método de Ruffini
Ejemplo: Resolver las inecuaciones siguientes:
© jc5+3x4-5x3-15x2+4 jc + 12>0
Solución
Expresamos el I o miembro de la inecuación en forma factorizada
(x + 3)(x + 2)(x— l)(x + 1 )(x — 2) = 0
1 3 -5 -15 4 12 1
1 4 -1 -16 -12
1 4 -1 -16 -12 0 2
2 12 22 12
1 6 11 6 0 -1
-1 -5 -6
1 5 6 0 -2
-2 -6
1 3 0 -3
-3
1 0

54. 40 Eduardo Espinoza Ramos
Luego las raíces son: /•, = - 3 , r2 = -2, r3 = -l, rA = 1, /-5 = 2
©
-3 -2-1 1 2
Como P(x) > 0, la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (+).
Es decir: x e <-3,-2> U < -l,l> U <2,+oo>
2x3 - 3 jr2 -1 l.v + 6 < 0
Solución
Hall aremos las raíces de la ecuación 2x3 - 3x2 -1 Le + 6 = 0
2 -3 -11 6 -2
-4 14 -6
2 -7 3 0 3
6 -3
2 -1 0 '/2
1
2 0
Luego las raíces del polinomio son: r, = - 2 , r2 = —, r, = 3
Como la inecuación es de la forma P(x) < 0, la solución es la unión de los intervalos
donde aparecen el signo (-). Es decir: x e < -oo,-2 >{/< — ,3 >
2
2° Caso.- Si algunas de las raíces del polinomio P(x) = 0 son reales de
multiplicidad de orden mayor que 1 se tiene:

55. Sistema de Números Reales 41
a) Cuando el orden de la multiplicidad de una de las raíces del polinomio P(x) = 0
es par, en este caso a la raíz no se considera para la determinación de los
intervalos y para dar la solución se sigue el mismo proceso del I o caso.
b) Cuando el orden de la multiplicidad de una de las raíces del polinomio
P(x) = 0, es impar, en este caso a la raíz se considera para la determinación de
los intervalos y para dar la solución se sigue el mismo proceso del I o caso.
Ejemplo.- Resolver las inecuaciones siguientes.
0 (x-l)2(x + 2)(x + 4) > 0
Solución
Resolviendo la ecuación (x - 1 ) 2 (x + 2)(x + 4) = 0 , de donde rx = - 4 , r, = - 2 , y
= 1, de multiplicidad 2.
-4 -2 1
Como la inecuación es de la forma P(x) > 0, la solución es la unión de los intervalos
donde aparecen el signo (+), es decir: x e <-co,-4> U <-2,+co> - {1}
© (2x +1 )(3x - 2)3 (2x - 5) < 0
Solución
1 2
Resolviendo la ecuación (2x + l)(3 x -2 )3(2 x -5 ) = 0 , de donde ri = y de
multiplicidad 3, r, = —
-1/2 2/3 5/2
Como la inecuación es de la forma P(x) < 0, la solución es la unión de los intervalos
1 2 5
donde aparecen el signo (-). Es decir: x e < -oo,- — > U < —, — >
3o Caso.- Cuando alguna de las raíces del polinomio P(x) = 0 no son reales, en
este caso a estas raíces no se consideran en la determinación de los
intervalos y para dar la solución se sigue el mismo procedimiento de los
casos anteriores.

56. 42 Eduardo Espinoza Ramos
©
Ejemplo.- Resolver las siguientes inecuaciones.
(.v2 -7 ) (x 2 +16)(.v2 — 16)(jc2 + 1) < 0
Solución
Resolviendo la ecuación: (x 2 -l)(x2 + 16)(x2 -1 6 )(x 2 +1) = 0, de donde
rx =-4, r2 =—j 7 , i\ = ^7, r4 =4, r¡¡ =-4/, r6 = 4 i , r-¡ = /,
+ A A T - i
-4 -V7 V7 4
Como la inecuación es de la forma P(x) < 0, la solución es de la unión de los intervalos
donde aparecen el signo (-), es decir: x e < -4--Jl > U < -Jl,4 >
( ? ) (1+x + x 2)(2- x - x2) > 0
Solución
La inecuación la expresaremos así: (x2 + x + 1)(jc 2 + x - 2) < 0
ahora resolviendo la ecuación (x1 + x + \){x2 +x-2) = 0 de donde: r¡ =-2, r2 =1,
-1 + V3i -1 -V 3 ;
-----
r 3 =- - - -r- - - -,#4=--------- •
AA~rA/'
+
-2 1
Como la inecuación es de la forma P(x) < 0, la solución es la unión de los intervalos
donde aparecen el signo (-), es decir: x e [-2,1]
L30 INECUACIONES FRACCIONAR! AS.-
Una inecuación fraccionaria en una incógnita es de la forma:
donde P(x) y Q(x) son monomios o polinomios diferente de cero.

57. Sistema de Números Reates 43
©
Para resolver una inecuación fraccionaria debe tenerse en cuenta que las inecuaciones:
P(x) . . P(x) _ . , ,
------ > 0 o ------- < 0 , son equivalentes a las inecuaciones
Q(x) Q(x) M
P(x).Q(x)>0 ó P(x).Q(x)<0 es decir: Si Q(x)*0=> Q2(x)> 0, de donde se tiene:
Si ^ > 0 =* P(x)n f ' (x)>0.Q2(x) =¡> P(x).Q(x) > 0
Q(x) O(x)
Si ^ > < 0 => P(X)Q (X)<0.Q2(x) => P(x).Q(x)< 0
Q(x) Q(x) V ’ w v w
Ejemplo.- Resolver las inecuaciones siguientes:
(.t2 -1)(x + 3)(jc- 2 )
;> u
Solución
/ ^ \ (-Y- -1 )(jc +3)(* - 2 ) ^ Q
^ (x—5)(x + 7)
, • (* 2 -l)(* + 3 )(* -2 ) , • • • ■■
La inecuación
----------- ——----------> 0 , es equivalente a la siguiente inecuación.
(x-5)(x + 7) H B
(jc2 — 1)(jc+3)(jc—2)(jc—5)(jc-»- 7) > 0 , para x * -7 ,5
ahora hallaremos las raíces de la ecuación (x 2 — 1 )(jc -i- 3)(jc — 2)(jc — 5)(jch- 7) = 0 .
De donde r, = -7 , r2 - 3 , = -1 , r4 = 1, rs =2 , r6 = 5, que son reales diferentes.
-7-3-11 2 5
P(x)
Como la inecuación es de la forma
------> 0, la solución es la unión de los intervalos
Q(x)
donde aparecen el signo (+) es decir: x e <-»,-7> U <-3,-l> U <1,2> U <5,+oo>
x -2 jc + 1
<-
x + 3 x

58. 44 Eduardo Espinoza Ramos
Solución
La inecuación dada se expresa en la forma, mayor que cero o menor que cero, es decir:
x -2 .r + 1 x(x-2)-(x + l)(x+3)
---------------<0 => — -------— --------------- < 0 , de donde:
x + 3 x x(x + 3)
6 x —3 2x +1 .
<0 =>
----------> 0 , que es equivalente a:
x(x + 3) a'(x + 3)
x(2x + 1 )(x + 3 )x > 0, para x * -3,0 ahora encontramos las raíces de la ecuación.
(2x + l)(x + 3)x = 0, de donde r, = - 3 , r2 = — , r3 = 0
-3 -1/2 0
Como la inecuación es de la forma: (2x + l)(x + 3)x > 0,
la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (+). es decir:
x e < —3,— >U < 0 .+ » >
2
x x - \ 2x
- +
-----<-
x -1 X X + 1
Solución
x x — 1 2.x
La inecuación dada expresaremos en la f o r m a :
-------h:----------— < 0
jc -1 .v x +1
x'(.v + l) + (.í-lK .r-l)(x + l ) - 2 x ‘ f x - l) .
----------------------------------------------------- < 0 , simplificando
(x-DxU + l)
2x2- x + l
< 0 , que es equivalente a la inecuación.
(a- - 1 ) .v(a- + 1)
(2x2 -x + l)(x-l).v(.v +1) < 0, para x * -1,0,1

59. Sistema de Números Reales 45
ahora encontramos las raíces de (2x2 - x + l)(x-\)x(x + 1) = 0 , de donde sus raíces son:
. - V + \ / ~ V + “ „
-1 0 1
P(x)
Como la inecuación es de la forma
------< 0 , la solución es la unión de los intervalos
Q(x)
donde aparecen el signo (-), es decir: x e <-*>,-1> U <0. 1>
1,31 INECUACIONES E X P ( Í Ü Í I Ü M C
Las inecuaciones exponenciales en una incógnita son de la forma:
donde f(x) y g(x) son expresiones en x, a e R + , a 1.
Para resolver estas inecuaciones, se consideran dos casos:
1 ° Caso.- Si a > 1, entonces los exponentes de la inecuación dada son desiguales en el
mismo sentido prefijado, es decir:
Si > a ^ y. <=> f[x)>g& }
Sí a ri'^<asM o f|x)<g(&)
2o Caso.- Si 0 < a < 1, entonces los exponentes de la inecuación dada son desiguales en
sentido contrario al prefijado, es decir:
Sí afíx)> a ^ o f(x)<g(x>
Si afiA < a ^ <=> fíx) > gíx)
Ejemplos.- Resolver las siguientes inecuaciones:

60. 46 Eduardo Espinoza Ramos
0 3/3(S,-l>/3
Solución
5jr-t-l 3(x + l) 5x+l 6x+6
La inecuación dada es equivalente a: 3 9 < 9 10 => 3 9 < 3 10
, ^ , 5jr + l 6.v + 6
como a = 3 > 1 entonces
-------< ---------
9 10
50.y + 1 0 < 54.r + 54 =?> —44<4.v => x>-ll => xe<-ll,+oo>
La solución es: x e <-11 ,+»>
0 [(0,2>tv^1K' 2) ]A 3 > (0,°12^
3jr-l
Solución
La inecuación dada se puede escribir en la forma:
(jr-j-'Xjr -2) . (x+l)(.r-2)
( 0 , 2 ) * - 3 > ( u - ^ z o ) 3 x - i d e d o n d e : (0<2) v-3 > ( 0 , 2 ) 12a- 4 ,
8
, . (x + \)(x-2) (jc + 1)(jc — 2)
como a = 0.2 < 1, se tiene:
---------------<12-4 => ------- ------- - 1 2 * + 4 < 0
x -3 jc—3
1 lx2 -3 9 x + 14
efectuando operaciones y simplificando tenemos:
--------------------> 0, esta inecuación es
x - 3
equivalente a: (1 be2 -3 9 x + 14)(j c-3) > 0 p arax * 3 .
Ahora hallando las raíces de : (1 lx 2 -3 9 x + 14)0c-3) = 0 , de donde:
3 9 -^ 9 0 5 , 39+^905
r, =
-------------, r7 = 3 , = -------------
1 22 2 3 22
39-V905 3 39 + ^905
22 22

61. Sistema de Números Reales 47
P(x)
Como la inecuación es de la forma
------> 0, la solución es la unión de los intervalos
Q(x)
, ■ . ■ 3 9 -^ 9 0 5 , „ 39 + ^905
donde aparece el signo (+) es decir: x e <
--------------j> U <--------------,+w >
22 22
1.32 INECUACIONES IRRACIONALES.»
Las inecuaciones irracionales en una incógnita son de la forma:
.....Ó ............................. 0
donde P2 (x),P-¡ (x),...,P„ (x) son monomios o polinomios diferentes de cero.
Para que la solución de la inecuación sea valida debe resolverse antes la condición
P¡(x)> 0 , i = 2,3,...,n en las expresiones con una radical par, cuyo conjunto solución
constituirá el universo o dentro del cual se resuelve la inecuación dada. Debe observarse
que quiere decir, (+^P(x)) y si se desea la raíz negativa se escribirá
expresamente como (--JPfx)); es decir:
i) V P(x) > 0 , ^P(x) > 0 ii) -JP(x) = 0 <» P(x) = 0
para resolver las inecuaciones radicales se debe tener en cuenta las siguientes
propiedades:
O 0 < x < y <=> 0<4x < © 0 < x < y o 0 <4x <Jy
© 0<x<y <=> 0 < 4 x< ^y
Si n es un entero positivo par.
ax) V P(x) > 0 !{¡P(x) > 0 <=> P(x)>()
a2) H¡P(x)= 0 <=> P(x) = 0
ö3) » 0 < P(x) < Q(x)

62. 48 Eduardo Espinoza Ramos
J
ii) Si n es entero positivo impar.
bx) ^jP(x) > 0 <=> P(x) > 0
b2 ) '-{]P(x) < 0 o P(x) < 0
bi) !{[PM<!{lQM » P(x) < Q(x)
Las propiedades 6, ) , b2 ) indican que '-{jP(x) tienen el mismo signo que P(x) si n es
impar.
OBSERVACION.- Cuando en una expresión existen k radicales par entonces se
calculan los universos relativos UX,U 2,...,U k para cada radical
y el universo general será U = Ul n U 2 n...nU k .
Daremos algunos ejemplos de ilustración de estas propiedades, para después estudiar las
diversas formas de inecuaciones irracionales.
Ejemplos.- Resolver las siguientes inecuaciones
Q -Jx + 5 > -2
Solución
Como -Jx + 5 > -2 es valida para todo x tal que xeU: x + 5>0 => x>-5
=> U = [-5,+»>, luego el conjunto solución es [-5,+*»
© -Jx + 1 > 0
Solución
Como -Jx + 7 > 0 entonces el conjunto universal es x + 7 > 0 => x>-7 U = [-7,+co>
Además -Jx + l > 0 <=>x + 7>0=>xe <-7,+oo>.
Luego el conjunto solución es x g [-7,+*>> A <-7,+oo> x g <-7,+oo>
@ -Jx^5 <0

63. Sistema de Números Reales 49
Solución
Como sjx- 5 < 0, el conjunto universal es x - 5 > 0 => x > 5 => U = [5,+oo> y como
0 < -Jx-5 < 0 0 '/i-5 = 0 => x—5 =0 => x = 5 e U, luego el conjunto solución es {5}.
@ <0
Solución
Como -Jx-H < 0 es absurdo entonces la solución es (|).
© V-v + 9 >0
Solución
Como a/-í + 9 > 0 es verdadero V x e U: x + 9 > 0 es decir U = [-9,To>, luego el
conjunto solución es x e [-9,+oo>.
© V8-2.v <VÍ3
Solución
El conjunto universal es 8 — 2x > 0 => x < 4 de donde U = <-oo,4],
-Jü-2x < ~ j v í o 8 - 2 x < 1 3 => de donde j c g [ - ^ , + o o > . Luego el
conjunto solución es: Un [ — ^-,+«>>=[-—,4]
© -VAT3" -4- > -3
Solución
Calculando los universos relativos.
L\ : x + 3 > 0 => x > -3 => x e [-3,+oo>
U2'. 4 — x > 0 x < 4 x e <-»,4]
U = í/j nt/2 = [-3.+ oo> n< -oo,4] = [-3,4]
como la suma de dos positivos es siempre mayor que un negativo.
-Jx + 3 +-J4-X > -3 es valido V x g U = [-3,4],

64. 50 Eduardo Espinoza Ramos
® -Jx^7 >3
Solución
Sea U: x — 7 > 0 => x > 7 = > x e [7,+*>
-Jx—7 >3 o x - 7 > 9 = > x > 1 6 => x e <16,+*>
el conjunto solución es x e U n < 1 6,+oo> = < 16,+*>
( ? ) -V -v -5 > 0
Solución
- V-v- 5 > 0 o -Jx-5 < 0 el conjunto solución es <j>.
©
V-í2 - x - 1 2 <-Jx2 - 6x + 5
Solución
Calculando los universos relativos.
U] : x 2 - x - 1 2 > 0 => (x — 4)(x + 3) > 0 + \ / . \ / +
-3 4
Ul =< -oo,-3] U [4,+x> >
U2 '■ x2 - 6x + 5 > 0 => (x —5)(x —1 )> 0 + +
U2 =< -oo,l] U [5,+*> 1 5
U = Ul n U 2 = < - « - 3 ] U [5,+co >
Vx2 - x —12 <-Jx2 -6 x + 5 <=> x 2 - x - 1 2 < x 2 - 6 x + 5
17 17
de donde 5x< 17 => x < — => x e< - 00,— ]
5 5
17
Luego el conjunto solución es: x e V A < - 00,— ] = < -oo,-3]
Vx2 - 4(x- 2 ) 2(x3 -13x + 12) ^ ^
(x + 4)3(x3 + 8x2 + 4 x -4 8 ) “

65. Sistema de Números Reales 51
Solución
Como t/x 2 - 4 tiene el mismo signo que x2-4 y (x + 4 )3 tiene el mismo signo
que x + 4 entonces la inecuación dada es equivalente.
\¡x2 - 4 ( x - 2 ) 2(x3 -13x + 12) (x2 - 4 ) ( x - 2 ) 2(x3 -13x + 12) _
---------¿ U <=> ---------------:------------------------> U
(x + 4)3(x 3 + 8x2 + 4 x -4 8 ) (x + 4)(xi + 8.x2 +4x- 48)
Como V x e R, (x-2)2 > 0 entonces
(x 2 — 4)(.v — 2)2( r 1 -13,v + 12) (x2 -4 )(x 3 -13x + 12)
■ U O
-----------;-------;--------------¿ U
(x + 4)(x3 + 8x2 + 4 x -4 8 ) (x + 4)(x3 + 8x2 + 4 x -4 8 )
(x + 2 )(x -2 )(x - l)(x2 + x -1 2 )
(x + 4 )(x -2 )(x + 6)(x + 4)
> 0 , para x * 2, - 4
(x + 2 )(x -l)(x + 4 )(x -3 )
(x + 6)
> 0, para x * 2, - 4
-6 -4 -2
Luego el conjunto solución es: x e <-6,-4] U [-2,1] U [3,+oo>
Vx + 7 (x + 2 )4 (.v + 3);líx2^7x +12 VhT I
fyx + 9(x- 8 ) 3(x3 - 2 7 ) (x2 - 1 4x + 48)
<0
Solución
Los radicales pares nos da el universo U. 1 0 - x > 0 A x + 9 > 0 => x < 1 0 A x > -9
x e <-9.10] => U = <-9,10]
(no se incluye el -9 por que anula al denominador)
como los radicales pares son positivos la inecuación es equivalente a:

66. 52 Eduardo Espinoza Ramos
Vx + 7(x + 2)4(x + 3)^Jx2 -7 x + \2 $ ]\0 -x < ^ ^ $Jx+7(x+2)4Jtf+3)^jx2 —7jc+12 ^ ^
^ + 9 ( j c - 8 ) 3(x3 -2 7 )(x 2 -14x + 48) ~ (jc-8>3(jc3 -27)(x2 -14x+48) ~
como los radicales impares tienen el mismo signo que las cantidades subradicales
entonces:
(x + 7)(x + 2)4(x + 3)(x2 - 7 x + 12) „ , _ . 4 „
- < 0, como para todo x e R (x + 2) >0
(or—8)3 (x—3)(x') + 3x+9)(x-6)(x -8)
(x + 7)(x + 3 )(x -3 )(x -4 ) .
-— ,
------------- ----- —-< 0, para x * 3, 8 simplificando tenemos
(x —8) (x —3 )(x -6 )(x -8 )
(x + 7)(x + 3 )(x -4 ) ^ A + \ A ~ ^ ~ ~ V + _»
---------— ---------< 0 , x * 3,8 -7-3 4 6
x e [-7,-3] U [4,6> luego el conjunto solución es: x e U n ([-7,-3] U [4,6>)
/. x e [-7,-3] U [4,6>
ahora veremos como resolver diversas formas de la inecuación con radicales aplicando
criterios de acuerdo a cada tipo de inecuación irracional.
1 ° Para las inecuaciones irracionales de las formas:
a) J P M > Q(x). La solución se obtiene así:
JPÜj > Q(x) o (P(x) > 0 A [Q(x) < 0 V (P(x) > 0 A P(x) > Q2(x))])
b) sJP(x) > O(x) ; la solución se obtiene así:
J P M > Q(x) o [P(x) > 0 A (Q(x) < 0 V [P(x) > 0 A P(x) > Q2 (x)])]
2o Para las inecuaciones irracionales de las formas:
a) -JP(x) < Q(x); la solución se obtiene así:
Jpüc) < Q(x) « • [(P(x) > 0 A (Q(x) > 0 A P(x) < Q2(x))]

67. Sistema de Números Reales 53
b) -JP(x) < Q(x) ; la solución se obtiene así: /
JP(x) < Q(x) <=> P(x) > 0 A [Q(.x) > 0 A P(x) < Q2(x)]
3o Para las inecuaciones irracionales de la forma:
a) -JP(x) +^¡Q(x) > 0; La solución se obtiene así:
4P(x)+4Q(x) > 0 => P(x) > 0 A Q(x) > 0
b) ,JP(x) + ~JQ(x) > 0; La solución se obtiene así:
^P(x)+^Q(x)> 0 => P(x) > 0 A Q(x) > 0
4o Para la inecuación irracional de la forma:
s¡P(x) +s[Q(x) > K , K > 0; La solución se obtiene así:
-¡FV¡)+4Q(x)>K ^ [(P U )> 0 A Q(x)> 0) A P(x) > (k ~ 4 0 M )2]
5o Para las inecuaciones irracionales de la forma:
-JP(x) +^¡Q(x) < 0 ; La solución se obtiene así:
^P(X)+^Q^j<0 => P(x) = 0 A Q(x) = 0
OBSERVACION.-
C’onsíderemos otros casos más generales.
Io Caso.- Si n es impar positivo mayor que uno.
P í » ) # w > 0 o f w . e w >0
R(x) R(x)
b) _ < 0 « — <o
R(x)'i¡Q(x) R(x)Q(x)

68. 54 Eduardo Espinoza Ramos
c) ’-ljP(x) <H¡Q(x) o P(x) < Q(x)
2o Caso.- Si n es par positivo
, P(x)
C)
d)
’<¡QWR(x)
P(x)
A
O
2
IV
o
A
o
VI
Ó
A P U ) > o
R( x)
AP W < 0
R(x)
'4q(x)R(x) ~
e) nJP(x) > Q(x)o(P(x) > 0 A [Q(x) < 0 V (P(x) > 0 A Q(x) > 0 A P(x) > Q" (*))]
f) !{fPÜ) < Q(x) o P(x) > 0 A [Q(x) > 0) A P(x) < Qn (jc)]
Ejemplo.- Resolver las siguientes inecuaciones
(7) -n/.v2 — 14jc-i-13 >x-3
Solución
V-v2 -14.V + 13 > .v -3 <=> x~ -1 4 .v + 13> 0 A [jt — 3 < 0 V
(a-2 -14.V + 13 > 0 A .v2 -14.V +13 > (jc- 3 ) 2)]
o jc2 -1 4 .V + 13> 0 A [x<3 V (jc2 -1 4jc +1 3>0 A x<~)]
o jc2 - 1 4a + 1 3 > 0 A [j[ : < 3v x g< —*,1 ] U [1 3 ,oo> A x < —]
o x2 -14x + 13> 0 A [jc <3 V x < —1
2
o A 2 -1 4 .r + 1 3 > 0 A x<3

69. Sistema de Números Reales 55
o (x —13)(x — 1) > 0 A x < 3 x
» x e <-oo,l]U[13,+oo> A x < 3 x e < -* ,l]
-Jx2 -14* + 13 < x + l
Solución
Aplicando la parte b) del Io caso:
■\¡x2 - 1 4 X + 13 < x + l <=>(.v2 -14 .V + 13 > 0 A [jc + 1 > 0 ) A (x2- 1 4 * + 1 3 < ( x + l)2 ])
<=> ((jc — 1 3)(jc —1>> 0 A [ . v > - 1 ) A ( ( jc - 1 3 ) ( . v - 1 ) < ( . y + 1)2 ])
<=> ((jc-13)(x-1) > 0 A [x > — l) A jc > —]
4
<=> x e <-1,1] U [13,+*» A x > - ]
4
o x e < —.1] U[13.+oo>
4
2x - 8 5-.v
¿ il
Solución
Aplicando la parte b), del 3 o caso: -JP(x) +s]Q(x) > 0 P(x)> 0 A Q (x )> 0
Í 5 ^ > 0 0 A — 2 0
i x - i ]¡x + 3 -v-1 x + 3
o ( x - 4 ) ( x -1) > 0, x * 1 A (5 -x )(x + 3 ) > 0, x * 3
» (x —4)(x—1) > 0, x * 1 A (x —5)(x + 3) < 0, x * -3
~ + \ / - V + „ yV
____~IA / - ,
1 4 -3 5

70. 56 Eduardo Espinoza Ramos
x e <-oo,l> U [4,oo> A x e <-3,5] /
----------------------------o • -------------------------
-----------e / / / / / / / / / / e----------------------------
-3 1 4 5
O ---------------------------------------------------------------------- •
La solución es: x e <-3,l> U [4,5]
OBSERVACION.- Si n es un numero positivo impar, entonces:
© 'jJP(x) <'ifQ(x) » P(x) < Q(x) © # W < # W « P (x)< 0(x)
© o P(x) > Q(x) © '4p oT)>'4qÜ ) o P(x) > Q(x)
3 j2 _ j.
Ejemplo.- Resolver la inecuación
__*------------> 0
Solución
El conjunto de referencia o conjunto universal se obtiene del radical par y diferente de
cero: x 2 -1 > 0 , dé donde x 2 > 1 => x > 1 v x < -1 x e <-oo,-l> u <l,+oo>
luego el radical par resulta positivo y puede simplificar quedando la inecuación
> 0 , que de acuerdo a las observaciones, las expresiones del subradical tiene el
\¡x + 5
mismo signo - —— > 0 , de donde ——- < 0
------ -.....^..................
x + 5 .v + 5 .5 3
x e <-5,3>
Luego la solución de la inecuación es: x e <-5.3> n (< -».-1> u < 1 ,+oc>)
.-. x e <-5,-l> u < l,3 >
n i i • •• V A -A .(x 3 + 8 x 2 + 4 x -4 8 )
Ejemplo.- Resolver la inecuación-------------
-—-------------------> 0
(* + 4)5(x -1 3jc + 12)

71. Sistema de Números Reales 57
Solución
De acuerdo a las observaciones indicadas se tiene que ^x 2 - 9 tiene el mismo signo que
x 2 - 9 y que (x + 4)5 tiene el mismo signo que x + 4, por lo tanto la inecuación dada
resulta equivalente a la inecuación:
(x2 -9)(x3 +8x2 + 4 x -4 8 ) .
------------------------------------> 0 factorizando el numerador y el denominador
(x + 4)(x -1 3 x + 12)
(.v + 3 )(x - 3 )(x - 2 )(x + 6)(a + 4) (a + 3 )(a-2 )(a + 6)(a + 4)
— ---------------------------—
-----—> 0 o ---------------------------------> 0 , x * 3
<a + 4)(a-1)(a + 4 )(a-3 ) (x + 4) (a —1)
(a + 3)(a--2)(a46Xx + 4) ~ + V ' V + V 1 V + ■
x-1 " -6-4-3 12
x u [-6,-4] u [-3,1 > u [2,+oo> - -¡3}
OBSERVACION.- Si n es un numero positivo par, entonces:
O ¡(/PW < ’4 Q (x) « 0 < P(x) < Q(x) © o O < P (x )< 0 (x )
132-2v i-
Ejemplo.- J
--------->V-V
V x + 2
Solución
Aplicando la observación a) se tiene:
r 3 2 - 2 a „ 3 2 - 2 a
a/x < — ------ O ()< x < — —
V x+2 x+2
3 2 - 2a
x + 2
<=> X > 0 A a - 32 - 2x <0
. a + 2
r 2 + 4x - 32
<=> x > 0 a --------------— < 0
a + 2

72. 58 Eduardo Espinoza Ramos
„ x >o a í í ± w £ z í ) < o Z2¿ Z2¿ H2¿ -
+
x + 2
<» x > 0 a x e <-oo,-8] u <-2,4]
-8 -2 4
x e [0,4]
1.33 EJERCICIOS DESARROLI.ADOS.-
o
Resolver la inecuación cuadrática: - 4x2 + 4x + 3 > 0
Solución
La inecuación dada expresaremos en la forma: 4x2 - 4 x - 3 < 0
faclorizando (2x + l)(2x - 3) < 0, aplicando la propiedad de números reales:
(2x + 1 )(2x — 3) < 0 <=> (2x + 1 > 0 A 2x — 3 < 0) V (2x +1<0 A 2x — 3 > 0)
1 3 1 3 *
«■ ( * > - - A x<•— ) V ( x< — A x > - )
2 2 2 2
O
-------------------------*
--------------------------O
--> V
-1/2 3/2
-O O
-1/2 3/2
La solución es: x e < - — ,— >
2 2
Ahora resolvemos mediante la naturaleza de las raíces la ecuación 4x2 - 4x - 3 = 0 , de
donde r, = —- , r-, = —
+ +
-1/2 3/2
Como la inecuación es de la forma 4x2 —4jr —3 < 0 . la solución es la unión de los
intervalos donde aparece el signo (-), es decir:1 1
W M
© x 5 + 8x4 +12x3 - x 2 — 8jc — 12 > 0

73. Sistema de Números Reales 59
Solución
Aplicaremos el criterio de las raíces de la ecuación: .r + 8x4 +12*3 - x 2 -8 .Í-1 2 = 0
La ecuación que queda es: x 2 + x +1 = 0 , cuyas raíces son:
/• = —* ■ Luego las raíces reales son: /•, = - 6 , r2 = - 2 , r-, = 1
-6 -2 1
Como la inecuación es de la forma P(x) > 0, la solución es la unión de los intervalos
donde aparece el signo (+). es decir: x e íi <L+<o>
(? ) 12x4 - 56x3 + 89x 2 - 56x +12 < 0
Solución
Encontrando las raíces de la ecuación
12x4 -5 6 x 3 + 89x2 -5 6 x + 12 = 0 dividiendo entrex2

74. 60 Eduardo Espinoza Ramos
Reemplazando en la ecuación (1) se tiene:
y
12(r2 - 2 ) - 5 6 - + 89 = 0 . entonces: 12r2 - 5 6 r + 65 = 0 => (6 r-1 3 )(2 r-5 ) = 0
de donde r = — . r = —
6 2
13 1 1 3 3 2
para : = — => ,v + — = —• => 6x -13x + 6 = 0 , de donde r-> = —
6 x 6 2 " 3
para r = — => x + — = — => 2x2 -5x + 2 = 0 , de donde r3 = — , r4 = 2
2 A' 2 ' 2
ordenando las raíces en la recta numérica
+
1/2 2/3 3/2 2
Como la inecuación es de la forma P(x) < 0. la solución es la unión de los intervalos
donde aparece el signo (-), es decir:
x(2x + 1 )(x — 2)(2x — 3) > 63
Solución
Hallaremos las raíces de la ecuación:
x(2x + 1 )(x — 2)(2x — 3) — 63 = 0, entonces x(2x-3)(2x + 1 )(x — 2) — 63 = 0
(2x2 - 3x)(2x2 -3.v - 2) - 63 = 0
Sea r = 2.\'2 -3 x z (z -2 )-6 3 = 0
r 2 - 2 r -6 3 = 0 => ( ; - 9 ) ( r + 7) = 0 , dedonde z = 9, z = -7, entonces:
Para z = 9 => 9 = 2.y2 -3.y => 2.t2 — 3jc—9 = 0 , dedonde: r, = — . r-, = 3
i 2 .

75. Sistema de Números Reales 61
Para z = -7 => --7 = 2x — 3jc => 2 jr - 3 jc + 7 = 0 , dedonde: r =
3 + V47i
+
-3/2 3
Como la inecuación es de la forma P(x) > 0, la solución es la unión de los intervalos
donde aparecen el signo (+), es decir:
I !
X >U <3„+0t>
©
x < x-3
1- x 2 -x
Solución
La inecuación dada se escribe en la forma:
.v x-3
1 — x 2 -x
-2x + 3
(l-x)(2-x)
2x-3
<0
x(2-x)-(x-3)(l-x)
( l- x ) ( 2 - x )
< 0 , simplificando
< 0
2 x -3
(x-l)(x-2)
> 0 , es equivalente a la inecuación
> 0 , entonces la inecuación
(x-l)(x-2)
(2x — 3)(x — 1 )(x - 2 ) > 0 para x ^ 1,2 encontrando las raíces de la ecuación
( 2 x - 3 ) ( x - l) ( x —2) = 0, se tiene: r, = 1, r, = —, r-, = 2
1 . 2 3
3/2
como la inecuación es de la forma
------> 0 , la solución es la unión de los intervalos
Q(x)
donde aparecen el signo (+), es decir: XC< ! ,- } £ / < >

76. 62 Eduardo Espinoza Ramos
©
x - 2 x + 1
■ <
----
x + 3
Solución
La inecuación dada se escribe en la forma:
x -2 x + 1 A x(x - 2) - (x + \)(x + 3) .
--------— < 0 => ----------;-------------------< 0 , simplificando
x + 3 x x(x + 3)
- 6 x —3 n 2x +1 „ . . ., 2x +1 _ . ,
----------<0 => -----------> 0 , entonces la inecuación -----------> 0 es equivalente a la
x(x + 3) x(x + 3) x (x +3)
inecuación (2x + l)x(x + 3) > 0, para x * -3,0, ahora encontraremos las raices de la
ecuación: (2x + 1 )(x + 3)x = 0, de donde rx = -3 , r2 =—~ , r3 = 0.
-3 -1/2 0
Como la inecuación P(x) > 0, la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el
signo (+) es decir:
i
______2_______
x 1 -5 x + 6
¿ u
Solución
0 * ; - 5 » + 6 > o
^ x + x - 4 2
x -5 x + 6 „ (x - 2 )(x -3 ) ,
— > 0 <=> ------------------> 0 , esta inecuación es equivalente a:
x + x - 4 2 (x + 7)(x - 6)
(x—2)(x—3)(x + 7)(x - 6) > 0 para x * -7,6, ahora encontraremos las raíces de la ecuación,
(x — 2)(x — 3)(x + 7)(x — 6) = 0, donde i\ = - 7 , r2 = 2 , r3 = 3 , r4 = 6.
-7 2 3 6

77. Sistema de Números Reales 63
P(x)
Como la ecuación es de la forma
------> 0 la solución es la unión de los intervalos
Q(x)
donde aparecen el signo (+), es decir: x £ -7> U [2,3
®
- x 3 + J 2 +22.V--40
x(x + 7)
> 0
Solución
La inecuación dada escribiremos en la forma:
x1 -.v 2 - 22x + 40 (x -2 )(x -4 )(x + 5)
< 0 =>
-------:----------------- < 0
x{x + 7) x{x + 7 )
, -, ( x-2 )(x-4 )(a: + 5) . ,
La inecuación
----------—......... < 0 , es equivalente a:
x(x + 7)
(x — 2)(x — 4)(x + 5)x(x + 7 ) < 0, para x * -7,0
ahora encontramos las raíces de la ecuación
(x -2 )(x -4 )(x + 5)x(x + 7) = 0 de donde: rx = -7, r2 = - 5 , r3 = 0 , r4 =2 , r5 = 4
P(x)
Como la inecuación es de la forma
------ < 0 , la solución es la unión de los intervalos
Q(x)
donde aparecen el signo (-), es decir: x 6 <-aj,-7> tí U [2,4]
©
i 24~ 4x n
1 + —
-------------> 0
x 2 — 2jc —15
Solución
La inecuación dada escribiremos en la forma: ——6x + 9 ^ ^ ^
a-2 - 2a--1 5
( x - 3 y
(,r-5)(.r + 3)
> 0

78. 64 Eduardo Espinoza Ramos
i ( t —3)“
pero ( x - 3 ) 2 > 0 , x * 3 , entonces: — —— — — > 0 <=>
1
(x-5Kor+3) U-5KX+3)
> 0 para 3
1
(.r-5)(.t + 3)
> 0 . x * -3,5 •» (x — 5)(x + 3) > 0. para x * -3, 5,
ahora encontraremos las raíces de (x — 5)(x + 3) = 0, de donde jj = - 3 , r2 = 5 .
A A ~ ^ A A
-3
Pi Jr)
Como la inecuación es de la forma —— > 0 , la solución es la unión de los intervalos
donde aparecen el signo (+). es decir: | x 6 <-se,t3> U <5v*>> - f$f
3.V + 5
< 3
2x + l
Solución
A la inecuación dada escribiremos en la forma:
----------3 < 0 o ----------< 0 C3> ---------> 0
Z t + 1 2x +1 2x+ l
— —— > 0 o (3x — 2)(2x + 1) = > 0 , para x *——
2 x + 1 2
I 2
ahora encontramos las raíces de: (;3x —2> (2x + I) = 0, donde ri = —*r2 = y
-1/2 2/3
P{x}
Como la inecuación es de la forras —— > 0 , la solución es la unión de los intervalos
Qix)
donde aparecen el signo (+>, es decir

79. Sistema de Números Reales 65
©
(2.v2 -8 x + 8)(x + 3)
x + 6
(2x2 -8 x + 8)(x + 3)
x + 6
x + 3
> 0
Solución
x + 6
> 0 , ( x - 2 ) > 0 , V x e R
x + 6
> 0 <=> (x + 3)(x + 6) > 0, para x * -6
Luego las raíces de (x + 3)(x + 6) = 0 son rx = - 6 , r2 = -3
-6 -3
P{x)
Como la inecuación es de la forma
------> 0 , la solución es la unión de los intervalos
Q(x)
donde aparecen el signo (+), es decir: X, e <~to,~6> U
( l - x - x ~ ) ( 2 - x - x )
( 3 - x )(2 -x )
( l - x - x 2) ( 2 - x - - x 2)
(3 - x )(2 -x )
(x2 + x - l) ( x 2 + x - 2 )
> 0
> 0 <=>
Solución
(x + x - l) ( x ~ + x - 2 )
>0
(x -3 )(x -2 )
>0<=>(x2 + x - l) ( x 2 + x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 2 ) > 0 , p arax * 2 ,3
(x - 3 )(x -2 )
ahora encontramos las raíces de: (x2 + x - l) ( x 2 + x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 2 ) = 0 , dé donde
- 1 - V 5 -1 + ^ 5 , 0 ,
rx = - 2 , r2 =
---------, r3 = — - — , r4 = 1, /-5 = 2 , r6 =3
-2 — 1 —v/5 -1 + V5 1 2 3

80. 66 Eduardo Espinoza Ramos
Como la inecuación es de la forma
P(x)
Q(x)
> 0, la solución es la unión de los intervalos
donde aparecen el signo (+), es decir:
2 lili
5 i 5 ->
x -1 x - 2
x 4 + l x +2
Solución
V x e R, x4+ l > 0 , x4+ 2 > 0 , entonces la inecuación dada se puede escribir en la
forma: (x5 - l) ( x 4 + 2 )< (x 5 -2 ) (x 4 +1), efectuando operaciones y simplificando se
tiene: x 4(x + l ) <0, luego encontrando las raíces de
x 4(x + l) = 0 se tiene /¡ = - 1 , r2 = 0 , multiplicidad 4.
-i
punto critico de
multiplicidad par.
Como la inecuación es de la forma p(x) < 0, la solución es:
(x ¿ - 2x + 4)(x-1)
(2x + l)(x + 4)
<0
Solución
(x 2 - 2 r + 4 )(x -l)
La inecuación
---------:--------------< 0 , es equivalente a:
(2x + l)(x + 4) M
(x2 -2 x + 4)(x -l)(2 x + l)(x + 4) < 0 , para x * - 4 , - -
ahora encontramos las raíces de la ecuación.
(x2 - 2x + 4)(x - l)(2x + l)(x + 4) = 0 , de donde.

81. Sistema de Números Reales 67
Á
------------------
= - 4 , r2 = — , r3 = 1, r4 = l+^¡3i, r5 = 1 - ^ 3 /
-1/2
P (X )
Como la inecuación es de la forma — — < 0, la solución es la unión de los intervalos
Q(x)
donde aparece el signo (-), es decir:,t € < - » ,- 4 > U < i >
x + 5 x -1
x —6 x-3
Solución
x + 5 x — 1 x + 5 x—1
------<------- c? -------------- < 0 , efectuando operaciones se tiene:
x - 6 x - 3
3x - 7
x - 6 x - 3
< 0 <=> (3x — 7)(x — 6 )(x -3 ) < 0, x * 3,6
(x -6 )(x -3 )
ahora encontramos las raíces de la ecuación
(3x - 7)(x - 6)(x -3 ) = 0, de donde r, =—, /•, = 3, r-, = 6
3
+
7/3
P(x)
Como la inecuación es de la forma — — < 0 , la solución es la unión de los intervalos
Q(x)
donde aparece el signo (-), es decir:x €< -*>,-] V <3,6 >
3

82. 68 Eduardo Espinoza Ramos
------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ^
-----------------
Solución
(x + 2)2 > 0 , para x * -2, la inecuación dada es equivalente.
(x -3 )(x + l)(x + 4) ,
---------------------- —= —----p - > 0 , la cual es equivalente a:
(jc+ 2)x(x + 3)(x + V 3 )(x -V 3 )
(x -3 )(x + l)(x -4 )x (x + 3)(x + -j3)(x--j3)(x + 2) > 0 , x ^ O ,-3,-2, -^3 , —73
ahora encontramos las raíces de la ecuación,
(x + 2 )(x - 3)(x +1 )(x - 4)x(x + 3 )(x + V3 )(x - V3) = 0 , de donde
/•, = -3 , r2 = - 2, /-3 = —s/3 , r4 = - 1 , r5 = 0 , r6 = -y/3 , r7 = 3, r8 = 4
-3 -2 -V3 -1 0 -73 3 4
P(x)
Como la inecuación es de la forma - — - > 0, la solución es la unión de los intervalos
Q(x)
donde aparecen el signo (+), es decir:
xe < >U <-2 ,-7 3 > l / < - ! ,ü > t/ < a/3,3> £/ < 4,+^o>
17) *
x + 2 x" + 2
Solución
^ 2 2
X - 2 X x - 2 X n j j
------< —------- <=>--------------------------------------- --< 0 , de donde
x + 2 x + 2 x+2 x '+ 2
- 4 x 2 + 2 x - 4 2x2 - x + 2 a
-----------------<0 ------------------->0
(x + 2)(x +2) (x + 2)(x +2)
V xeR , 2x2 -x -t 2 > 0 y x 2 + 2 > 0 , entonces se simplifica la inecuación
------> 0
x + 2

83. Sistema de Números Reales 69
L uego
------> 0 o x + 2 > 0, para x * -2. La solución es:
x+ 2
x + 4 x
■ > -
x - 7 x+l
Solución
x+4 x x+4 x . , , ,
• >
----- -—---r > 0, de donde
x - 7 x + l
12x + 4
x - 7 x + l
> 0 o (3x + l)(x -7 )(x + 1) > 0, para x *-1,7
(x -7 )(x + l)
ahora encontramos las raíces de la ecuación (3x + l)(x — 7)(x + 1) = 0, de donde
r2 — ■r . r3 - 7
-3 -1/3
P(x)
Como la solución es de la forma
------> 0, la solución es la unión de los intervalos
Q(X)
donde aparecen los intervalos donde aparece el signo (+), es decir:
x £< < 7,+üG >
2 x ' - 6 x + 3
x 2 - 5 x + 4
2x2 -6 x + 3
x 2 -5 x + 4
x 2 — x — 1
Solución
> 1 <=>
2x - 6x + 3
x 2 -5 x + 4
-1 > 0 , de donde
> 0 <=> (x 2 — x — 1 )(x2 — 5x + 4) > 0 p a r a x * l ,4 ;
x 2 - 5x + 4
ahora hallaremos las raíces de la ecuación.
(x2 - x - l ) ( x 2 -5 x + 4) = 0 , dedonde r2 = 1 , r3 = ~ , r4 = 4

84. 70 Eduardo Espinoza Ramos
i + SI - V5
P(x)
Como la inecuación es de la forma
------> 0, la solución es la unión de los intervalos
Q(x)
donde aparecen el signo (+), es decir:
2jc -1 x x + \
<
------<
I - -s/5 „ l + $ 5 r , „
x e < - í s ,
-------->U <1.--------->U <4,+30>
a : 2 2
x + 4 x + 4 x + 4
Solución
2 x - l x x + 1 2x-l x
< - — - < <=>
x + 4 x + 4 x + 4 x + 4 x + 4 x + 4 x + 4
- — — < 0 A —
----- ^ - < 0 , de donde !-<0 A
x + 4 x+4 x + 4 x + 4 x -4 x + 4
> 0 , estas
ecuaciones son equivalentes a:
(x — 1 )(x + 4) < 0 A x + 4 > 0, para x * -4 ahora encontraron las raices de las
ecuaciones, (x —2)(x + 4) = 0 A x + 4 = 0 , de donde t\= -4 , r2 = 1 A r3 = —4
A
+
-4
de acuerdo a la forma de la inecuación la solución es: x e <-4,l> A x e [-4,+to>
4 x2 - x - 2 <5-x
Solución
Aplicando la propiedad: ^jP(x) < Q(x) <=> (P(x) > 0 A [Q(x) > 0) A (P(x) < Q2 (x)])
4 x2 -x -2 < 5 -x <=> (x2 - x - 2 > 0 A [ 5 - x > 0 A x 2 - x - 2 < ( 5 - x ) 2 ])

85. Sistema de Números Reales 71
<=> (x2 - x - 2 )>0 A [ 5 - x > 0 A j:2 —jc — 2 < 2 5 —1 Ojc-hjc2])
<=> (jc - 2)(x +1) > 0 A (x<5 A x<3)
-1
x e <-oo,-l ] U [2,5] A x e <-*>,3>
5
-o
/W/iWWiWO
---------QW////////////zO
-1 2 3
----------------o
La solución es: x 6 <-'/„,-! j U [2,3>
3.V-4
22J y(0.8) 4 > v(0.64) 5
2 . V - 2
Solución
3j- 4 4 x- 4
La inecuación dada es equivalente a: (0.8) 16 >(0.8) 40
como a = 0.8 < 1, entonces los exponentes son desiguales en sentido contrario, es decir:
3.V-4 4.t- 4
16 40
3 * -4 x-1
■, efectuando y simplificando.
8
< -
12
=> x< — , la solución es:
5 7
12
X<£< >
-\¡24-2x-x2 <x
Solución
Aplicando la propiedad siguiente:
-JP(x) < Q(x) <=> (P(x) > 0 A [Q(x) > 0 A P(x) < Q2 (*)])

86. 72 Eduardo Espinoza Ramos
V 24 — 2x — jc2 < x <=> ( 2 4 - 2 x - x 2 > 0 A [x > 0 A 2 4 - 2 x - x 2 < x 2 ])
<=> (x + 2x < 24 A [x > 0 A 2x + 2x > 24])
<=> ((x + 1)2 <25 A [x > 0 A (x + y ) 2 >—~\)
« (-6 < x < 4 A [x > 0 A (x > 3 V x < -4)])
<=> x e [0,4] A x e <-oo, -4> U <3,+*>
x r <3,4
6.V- 4 2*-3 3.V-4 4.V-2
( 0 . 2 5 ) ~ . ( 0 . 5 ) ~ < (0.0625) ^ .(0.125) ^
Solución
12*-» 2*-3 6x-8 4x -2
La inecuación dada es equivalente a: (0.5) 3 .(0.5) 4 <(0.5) 3 .(0.5) 3
12*-» 2.V-3
Operando tenemos: (0.5)
6.t-8 4.V-2
4 <(0.5) 3 ' 3
Como a = 0.5 < 1, entonces los exponentes son desiguales en sentido contrario a la
. ., , . 1 2 x -8 2 x -3 6 x -8 4 x -2
inecuación, es decir:
---------+-------->----------b--------
1 2x-8 2 x -3 10x-10 . 2x + 2 2 x -3 8x + 8 + 6 x -9
---------+ — — - > -------------------------------------------------------------------- , sim plificando:-----------+---------> 0 => -----------> 0
3 4 3 3 4 12
1 4 x - l > 0 => x > — ; la solución es:
14
32-^2**^ > (42A.8Jr~3) 2/5
Solución
jr+l
La inecuación dada es equivalente a: 25.2 2 > (24a.23a~9) 2' 5 , de donde

87. Sistema de Números Reales 73
A-+U 14.V-18
2 2 > 2 5 , como a = 2 > 0, entonces:
x + 11 1 4jc —18
------->-----------5 x + 5 5 > 2 8 x - 3 6 => x <
91_
23
La solución
o- 1 i * 3 x + 2 ^
Si — < x < 1, Demostrar que: — <
------< —
2 8 jc + 3 7
x + 2
x + 3
= 1 —
x + 3
Solución
(se obtiene dividiendo)
, 1 1 A 11
- < jc < 1 => — < x + 3 < 4 => — <
4 x + 3< 7
_ 2
7 x + 3
1 1
— < —
4
1- - <1-
7
-----------------<1 —
x + 3 4
5 x + 2 3
— <
----< —
7 x + 3 4
3 x + 2 6
8 x + 3 7
27) -Jl^x<^5 + x
Solución
91 •
X € < ~tXJ ~~~ >
23
V T A á V s + I <=> ( l - x > 0 A x + 5 > 0 ) A (V T A )2 <(V* + 5 )2
<=> ( x < l A x > - 5 ) A ( l - x < ~Jx + 5)
-Jx + 5 > 1 -x o [x + 5 > 0 A (1 - x < 0 v (x + 5 > OAx + 5 > (1—x 2))]
[x > - 5 A(x > 1 v (x > -5Ax + 5 > 1 - 2x + x 2 ))]
o [x > -5A(x > 1 v (x > -5A x2 - 3 x - 4 < 0 ) ) ]
...( 1 )

88. 74 Eduardo Espinoza Ramos
• (2)
o [jc > - 5 A (je > 1 v (jc > -5 A jc e [ - 1 , 4 ] ) ) ]
<=> [jc > -5 A ( x > 1 v x e [-1,4])]
<=> [ x > - 5 A x > -1 ] => x > - l => x e [-l,o o >
ah ora (2 ) en (1) se tie n e : (x < 1 A x > -5) A x e [-l,+ o o >
x e [-5, 1] A x e [-l,+
V3jc + 7 - V * r 2 >9
Solución
7
C a lc u la n d o e l cam p o de e x is te n c ia 3.r + 7 > 0 a .v - 2 > 0 o x> A x> 2
p o r lo ta n to x e [2,+oo> es el c a m p o de e xiste n c ia
~j3x + l > 9 + V * -2 <=> jce[2,+oo> A [3jc + 7 <81 + 18V *-2 +x-2]
<=> Jce[2,+oo> A (jc- 3 6 < 9 V * - 2 )
<=> jte[2,+oo> A x 2-153jc + 1458< 0
r~ A . 153 2 17577
<=> x € [2 ,+oo > A ( j c
-------) ' <------—
2 4
„ 153-^17577 153 + Vi 7577
jc e [ 2 , + o o > a--------------------------< jc <
------------------------
2 2
1S3-V17577 153+VÍ7577
m
-Jx +1 + V*-2
V9-JC2 -Vjc
> 0
Solución
Calculando el campo de existencia

89. Sistema de Números Reales 75
(x — 1 > 0 A x - 2 > 0) A ( 9 - x > 0 A x > 0)
(x > 1 a x > 2 ) a ( x 2<9 a x > 0)
(x > 1 a x > 2) a (-3 < x < 3 a x > 0)
x> 2a0<x<3, de donde x e [2,3] es el campo de existencia.
Como -Jx-l + V x -2 > 0 , V x e [2,3]
a/x- 1 + ylx-2
■J9-X2 -4 x
: 0
-s/x-l +ylx~ 2 l
-J9- X2 —s[x V x-1 + V x -2 V x-1 + V x -2
>0.-
simplificando , .
-------> 0 <=> -j9-x2 ~4x > 0
-J9-X2 —sjx
de donde Vx <^¡9-x2 => x < 9 —x 2
x + x - 9< 0
1 2 37
(x + — ) < — (completando cuadrados)
. 1 , 37
(* + —) ' < —
2 4
Luego la solución es:
^37 1 ^37
---------< X H-----<---------
2 2 2
V37+1 «y/3 7 - l
--------— < x <----------
Solución
■y]2-^[T+x <-j4 + x » ( 2 - ^ 3 + x > 0 A 4 + x > 0 ) A ( 2 - ^ 3 + x < 4 + x)
<=> (a/3 + x < 2 A x > - 4 ) A (a/3 + x > - x - 2 ) ... (1)

90. 76 Eduardo Espinoza Ramos
-s/3 + jc < 2 <=> (3-t-jc> O A 3 + x < 4 )
o ( x > - 3 A x < l ) => x e[-3,l]
a/3 + jc >—x — 2 <=> x + 3 > 0 A \—x — 2 < 0 V (x + 3 > 0 A x + 3 > (x + 2 ) 2 ) ]
<=> x> -3 A [x > - 2 V (jc > -3 A .x2 + 3.r + l < 0 )]
(2)
”5 C
<=> i > - 3 A [ i > - 2 v ( i > 3 A ( j t + - ) 2 < -)]
o i > - 3 a [ i > - 2 v (x > 3 a
2 2
^ , r i/ ^ + 3 ^ “3 i
o i> - 3a i > - 2 V x e <
-----------,--------->1
2 2
-v/5+3
o x > 3 a x e<-----------,+
2
^ 5 + 3
x e <
----------,+00 >
2
... (3)
Luego de (2), (3 ) en (1) se tiene:
■^2—\[¡^+3 <-^A + x <=> (x e [-3,1] a x > —4) a x e< - ^ ’+0° >
r 1 n ^ 5 + 3
<=> x e [-3,1] a x e <
------—- ,+00 >
<=>
■J$+3 „
jr €< - - - - - - J]
3 13 1
x 4(x -1) 4jc + 12
Solución

91. Sistema de Números Reales 77
A la inecuación dada expresaremos así:
313 1
> 0 , efectuando operaciones
1 3 (x + 3 )+ x (x -l)-1 2 (x -l)(x + 3 )
4(jc — 1) 4(jc + 3) x
I3x2 + 39x + x 2 ~x-\2(x2 + 2 x -3 )
4(x-1)(jc + 3)x
> 0
4x(x-l)(x+3)
> 0 , simplificando
2x2 +14JC + 36
4jc(jc-1 )(jc + 3)
> 0
x + 7x + 18
x(jc-l)(jt+3)
>0
VJ n 1 -i i o n » X~+7X+18
V x e R, j r + 7x + 18 > 0 entonces:
----------------- «
1
1
jc(j c—1 )(x 3 ) x(x - 1)(jc + 3)
> 0 o jc(jc — 1)(j c3 )> 0 , para x * 1,-3, 0
> 0
x (x -l)(x + 3)
resolviendo la ecuación x(x — l)(x + 3) = 0, de donde, i\ = -3 , r2 - 0 , r3 - 1
-3
como la ecuación es de la forma
0 1
P(x)
Q(x)
> 0 la solución es la unión de los intervalos donde
aparecen los signos (+), es decir:
3 1 3
- +
------>-
j t - l x + l x
Solución
La inecuación dada escribiremos en la forma:
3 1 3 3x2 +3x + x 2 — x~3x2 + 3 ^ n
- +
-----------> 0 o ----------------------------------- >0
x — 1 X + l X x(x — l)(x + 1)
x +2x + 3 ^ „
<=>
-----------------> 0
x (x -l)(x + l)

92. 78 Eduardo Espinoza Ramos
como V x e R, x2 +2x + 3 > 0 , entonces
x 2 +2x+ 3 . 1 .
> 0 <=>
-----------------> 0
x(jc-1)(x + 1) x (x -l)(jt + l)
--------—------> 0 <=> x(x — l)(x + 1) > 0, para x *-1,0,1
x(x-\)(x + l)
Ahora resolviendo x(x — 1 )(x + 1) = 0, de donde t\ = -1 , r2 = 0 , r3 = l
-1 0 1
P(x)
Como la inecuación es de la forma —
----> 0 la solución es la unión de los intervalos
Q(x)
donde aparecen el signo (+), es decir: * « lí
2x-25 2x + l l 1
33)
------------------+----------->
2(x2 +2x-3) 2(x2 -1 ) * + 3
Solución
La inecuación dada escribiremos en la forma:
2x-25 2x + l 1 1 A . . , . .
- +
----- -------- —— > 0 , factorizando en el denominador
2(x2+2x-3) 2(x -1) * + 3
2x-25 2x + U 1 A , J .
+ ---------------------------> 0 , efectuando operaciones
2(jc + 3)(x-1) 2(x-1)(jc + 1) x+3
(2x - 25)(x + \) + (2x + l 1)(-t + 3) - 2(x - l)(x +1)
2 (.r-l)(x + l)(x+3)
,v” -3 x + 5
> 0 , simplificando se tiene:
(.y-1)(jc + 1)(jc+3)
> 0 , como V x e R, x -3 x + 5 > 0 , entonces:
x ¿ -3x+5 n 1 „
■>0 o
------------------------>0
(x -1)( x + 1)(jc + 3) (x - l)(x + l)(x + 3)

93. Sistema de Números Reales 79
1
(jc-1)(x + 1)(jc + 3)
> 0 «> ( x - l) ( x + l)(x + 3 )> 0 , x * -3, -1,1
encontrando las raíces de (x - l)(x + l)(x + 3) = 0, donde rx = -3 , r2 = - 1 , r3 = 1
-3
P(x)
Como la inecuación es de la forma - — - > 0 la solución es la unión de los intervalos
Q(x)
donde aparece el signo (+), es decir: x e < -3 ,-^ U O ,+x»
(x -\)--(x + 2)¿
(x-2)2-(x + l)2
>0
Solución
Por medio de la diferencia de cuadrados se tiene:
[( x - l ) - ( x + 2 )][(r-l) + (x + 2 ) ] ^ 0 | simpliricand0.
[(.v - 2) - (x + l)][(x - 2) + (x +1)]
- > 0 <=> (2x + 1 )(2x - 1) > 0 para x * —
-3 (2jc-1) 2
encontrando las raíces de (2x + l)(2x - 1) = 0, de donde, /¡ = , 72 = y
-1/2 1/2
P(x)
Como la inecuación es de la forma
------> 0 la solución es la unión de los intervalos
Q(x)
donde aparecen el signo (+), es decir:

94. 80 Eduardo Espinoza Ramos
35) * 4 + 5* ’ -2 0 * — 1K<0
x + 2.x -1 3jc + 10
Solución
Factorizando tanto en el numerador y denominador.
(x -2)(x + 2)(x 4 1 )(x + 4)
---------------------------------< 0 , para x * -5,1,2
(jc+5)(x—2)(x—\)
la inecuación dada es equivalente a:
(x —2)(x + 2)(x + l)(x + 4)(x + 5)(x-2)(x - 1) < 0 para x * -5 ,l,2
(x-2)2(x + 2)(x + 1)(x + 4)(jt + 5)(.v + 1) < 0 para x * -5,1,2
como V x e R, x * 2, (x-2)2 > 0 entonces
(x + 2)(x + l)(x + 4)(x + 5 ) ( x - 1) < 0 , para x * -5,1,2
encontrando las raíces de (x + 2)(x + l)(x + 4)(x + 5)(x - 1) = 0 , de donde:
rx = - 5 , r2 = - 4 , r, = -2 , r4 = -1 , r5 = 1
-5 -4 -2 -1 1
P(x)
Como la inecuación es de la forma
------ < 0 la solución es la unión de los intervalos
Q(x)
donde aparecen el signo (-), es decir: x € < -$> O < -4, -2> U < -I, 1>
2-v—1 -j4-.v
Solución
La inecuación dada expresaremos en la forma
3 2 , - 1+4-.r—6*+l > 3 ( 2 ^ 1 K - - 2 ) ) d e d o n d e ; y S x + 4 > 3 2x> -3x-2

95. Sistema de Números Reales 81
como a = 3 > 0 => - 5jc + 4 > 2jc‘ -3 x - 2 , de donde
2x2 - 2 jc - 6 < 0 <=> x2 +x- 3 < 0 , completando cuadrados x 2 + x + -^-<3 + ^-
, 1 , 13 -JÍ3 l o/¡3
( * + — ) " <
---- v = >----------------< X + — <---------
2 4 2 2 2
VÍ3+1 V Í3 -1 , , ,
-----------< x <----------, de donde
2 • 2
1
+
--- >
2x
x 2 -5x + 6 2x 3-4x + x 2
Solución
A la inecuación dada expresaremos en la forma
2x
,v2 - 5 .y + 6 2.y 3-4x+ x2
2x2(x-\) + (x- 2)(x - 3)(x -1 ) - 4x2 (x - 2)
2x(x -3)(x - 2){x - \)
> 0 , efectuando las operaciones:
> 0 , desarrollando:
2x' -2 x ¿+x' - 6x2 + llx -6 -4 x 3 +%x
2x(x-3)(x-2)(x-\)
x~ -1Ly + 6
■ > 0 , simplificando
, ,4, , 3-o/Í7w , 3+VÍ7\
(x - 3)(x +
---------)(x +----------)
.y(.v- 3 ) (x- 2 ) (a--1)
< 0 <=>
x(x-3)(x-2)(x-l)
< 0
para x * 3 se tiene
, , 3 - V n ^ . 3 + -Jn
(x + — - — )(x +
---- ----)
x(x - 2)(x - 1)
<0
- 3- 0/7 - 3+ 0/7 o

96. 82 Eduardo Espinoza Ramos
P(x)
Como la inecuación es de la forma — — < 0 la solución es la unión de los intervalos
Q(x)
donde aparece el signo (-) es decir:
3 + VÌ7 ,T - 3 + ^1? *
— >U < $> f] <i¿>>
2 S l l l i l l ^ ! *
@
1 x - 3 2
— <
-----< —
5 x + l 3
Solución
Aplicaremos la propiedad siguiente:a<b<c o a< bA b< c
1 x-3 2 1 x-3 . x-3 2
— <
-----<— o —< ------- A --------< —
5 x + l 3 5 x + l x + l 3
x -3 1 . . x-3 2
o
----------->0 A------------<0
jc + l 5 x + l 3
»
5jc —15—jc—1 n . 3 x-9 -2 x -2
■ > 0 A
------------------<0
5(jc + 1) 3(jc +1)
<=>
x ~ 4 a * n
•> 0 A
-------< 0
x + l x + l
<=> (x — 4)(x+ 1 )> 0, x * - l A ( x - l l ) ( x + 1)< 0, x * - l
ahora encontrando las raíces de (x — 4)(x + 1) = 0, de donde r, = —1, r, = 4 ,
r3 = - 1 , r4 =11
-1 4
A
-i 11
de acuerdo a la forma de la inecuación la solución es:
x g <-oo,-1> U <4,+oo> A x e <-1,11>

97. Sistema de Números Reales 83
-1
o-
4 11
---------------o
x 4 5x2 +36
<-
x4 -1 6 x 4 -1 6
Solución
A la inecuación dada escribiremos en la forma
x4 5x2 +36
x4 -1 6 x 4 -16
(x2 -9 ) (x 2 +4)
< 0 <=>
x 4 - 5 x 2 -1 6
x 4 -1 6
< 0 , factorizando
< 0 <=>
x 2 - 9
x2 - 4
<0
(x 2 — 4)(x +4)
+ ~^'r—^ 1 < 0 <=> (x + 3)(x — 3)(x + 2)(x — 2)< 0, p a ra x *-2,2
(x + 2 )(x -2 )
ahora encontrando las raíces de:
(x + 3)(x - 3)(x + 2)(x - 2 ) = 0 de donde rx = - 3 , r, = - 2 , r3 = 2 , r4 = 3
+
como la inecuación es de la forma
P(x)
Q(x)
< 0, la solución es la unión de los intervalos
donde aparecen los signos (-), es decir:
( x - 9 ) 2'' (1 —x 3 )2 n(x4 - 9 ) < 0 , si n > 1, n e N
Solución
Para x * 9, ( x - 9 ) 2" > 0 . ( 1 - x 3) 2" > 0 , p arax * 1.
Entonces a la inecuación dado se puede simplificar, es decir: (1 - x 3)(x4 - 9 ) < 0

98. 84 Eduardo Espinoza Ramos
Factorizando (x-l)(x2 +x + \)(x-^J3)(x + 43)(x2 +3)> 0, x * l ,9
como VxeR, x 2 +jc + 1>0, j r + 3 > 0
entonces (x-\)(x--j3)(x + -Jí) > 0 , x * l ,9
ahora encontrando las raíces de: (x - I)(x ~ j3 )(x + -J í) = 0
de donde: t\=-^¡3, r2 = 1, r3 = -\¡3 *
_____ \ / ^ \ / ^ »
—73 1 43
Como la inecuación es de la forma P(x) > 0, la solución es la unión de los intervalos
donde aparece el signo (+), es decir:X €< -~V-U > U < Vi,+ » > -**j
1.34 EJERCICIOS PROPUESTOS.
I. Resolver las siguientes inecuaciones
©
-1 <-3 + 3 x < 2
2 5
Rpta. [ - , - >
3 3
© í - i > 2 í + i
2 4 3
Rpta. < -oo,
----->
18
©
-3x + 4 < 4x +5 Rpta. [ -y ,+ o o >
©
©
©
©
2x + 6 x ,
-------------< 5
3 4
5x — 2 < 1 Ox + 8 < 2x — 8
1,11
— <3.r — < ­
5 4 3
a~-b~ a + b a -b
D * 36
Rpta. <-oo,— >
Rpta. <¡>
1 7
Rpta. ]
60 36
„ . 5a + 5b
Rpta. < -o o ,
----— — >
\ + 3a-3b

99. Sistema de Números Reales 85
©
©
11.
©
©
©
©
©
©
©
©
©
— + 4 > — + 2x, a>b> 0
3 a 6 b
_ 6-3x .
2x +--------< 4
X X . X , „
— + — >1 + —, c>b>a>0
a h c
Rpta. <-oo.
24 ah
2x - 6 •
3.V + 8
3(x — 5) — 4(4-3 x ) > 2(7 — x) —3 (x - 5)
Resolver las inecuaciones siguientes:
2x2 - 6jc + 3 < 0
2.v2 + 6.v - 9 < 0
9.y 2 + 54.y > -76
-4 x 2 + 4x + 3 >0
4x~ + 9.y + 9 < 0
4x2 - 4.y + 7 > 0
x4 -2 x 2 - 8 < 0
-4.V2 - 8 <-12.Y
.y 2 - 2-j3x- 2 > 0
5a + \2ab-4b
Rpta. < -oo,2 >
Rpta. <
a he
ac + bc - ab
-.+00 >
» 38
Rpta. < oo,— >
Rpta. <3,+»>
„ , 3 - ^ 3 3 + ^3
Rpta. <
--------.--------->
_ . - 3 - 3V3 - 3 + 3V3
Rpta. <
------------,------------->
„ . 9+V5 V 5 -9
Rpta. < -0 0,-----------> U <
---------, + 0 0 >
Rpta. (|>
Rpta. V x e R - {— \
Rpta. <-2,2>
Rpta. <-oo,l> U <2,+oo>
Rpta. < -oc.^3 —s/5 > U <-j3 + V5,+oo >

100. Eduardo Espinoza Ramos
10) 3x~ -S .v + 11 > 4<x-l) Rpta. V x g R
© 3x2 - iOx+3 < o Rpta. < — 3 >
12) x(3x + 2) < (x + 2) Rpta. <-oo,-1> U <2,+oo>
13) 4 a -8 x + l < O
_ , 2 - ^ 3 2 + ^3
Rpta. <
--------,--------->
©
5 a - — 14x + 9 < O Rpta. [1.—]
15) .v2 + 3a + 2 > O Rpta. <-oo,-2> U <-1 ,+*>
-2 x -3 x > 0 Rpta. [ - 1 , - ]
17) 3x2 -5 x —2 > O Rpta. < —oo,— > U < 2,+oo >
3
18) (x2 +2x)(x2 —1) —24 > O
19) x(x — 3 )(x — l)(x +■ 2)> 16
Rpta. <-oo,-3 > U <2,+oo>
„ „ 1 -^ 3 3 - 1 + ^33
Rpta. < -oo,——— > U <
-----------,+oc>
( j y
©
x 4 + 2x3 - x 2 + 4x — 6 < O
(x" + x - 6 ) ( 4 x - 4 - x _ ) < O
Rpta. <-3,l>
Rpta. <-oo,-3] U [2,+»>
22) 2x3 + 3x2 — 1 l x - 6 > O Rpta. [-3,-y]í/[2,+oo >
23) x 3 - 3 x 2 -13x + 15>0 Rpta. <-3,l> IJ <5,+oo>
(24) x 4 - 4 x \ - x 2r+ 1 6 x -1 2 > 0 Rpta. <-oo,-2> U <1,2> U <3,+x>
25) x 5 + 3x4 — 5x3 - 1 5x2 + 4x +12 > O Rpta. <-3,-2>U < -U > U<2,+oo>

101. Sistema de Números Reales ) 87
@ x 5 - 6 x 4 - x 3 + 2 9 x 2 + 8 x - 1 5 < 0
R p ta . < -oc,z l z j l > [ / < - i , ~ 1 +^5 > < 3 >
2 2
@ ( x 2 - 2 x - 5 ) ( x 2 - 2 x - 7 ) ( x 2 - 2 x - 4 ) > 0
R p ta . < -oo, 1 - 2V2 > t / < l - V ó , 1-0 / 5 > t / < I + a/ 5 , 1 + a/ 6 >
@ x 5 - 2 x 4 - 1 5 x 3 > 0 R p ta . < -3 ,0 > U <5,+oo>
@ ( x 3 - 5 x 2 + 7 x - 3 ) ( 2 - x ) > 0 R p ta . [2 ,3 ]
^ 0 ) ( x - a ) ( x — b ) ( x - c ) ( x — d ) < 0, si a < b < c < d R p ta . < a ,b > U < c ,d >
@ ( x 2 + 6 x - l ) ( x 3 - 2 x 2 - 2 x + 4 )( x + 5 ) 5 > 0
R p ta . < -00.-/3 -a/ÌO > U < -5-0/2 > U < -3 + o/T (),o/2 >U< 2 ,+ 0 0 >
( 3 2 ) ( 6 x + 3 ) 2 (xJ - 1 )j(3x-5 ) 7 < 0 R p ta . < - o o , - l > £ / < 1, - >
(33) ( 3 - x )3( x2 - l )2( l - x ) 5x > 0 R p ta . <-0,l>U<3,+oo>
( 3 4 ) x4 - 2 x2- 3 x - 2 > 0 R p ta . <-oo,-l]U[2,+oo>
(3 5 ) x4 - 3x3 + 5x2 - 27x -36 < 0 R p ta . < - 1,4>
@ x 4 < x2 R p ta . < - l , l > - { 0 }
( 3 7 ) ( 2 x2 - 4 x - l ) ( 3 x2 -6x + 4 ) ( x2 + 4 x - 2 ) > 0
R p ta . < -00,-2 -0/6 > V < 2- - 2 + 0/6 > U < -2- - - — ,+00 >
(3 8 ) x5 +8x4 + 1 2 x3 - x2 - 8 x - 1 2 > 0 R p ta . < -6 ,-2 > U <1,+qo>
(3^ ( X 2 — 1 )(x2 +9)(x + 4)(x-5) > 0 R p ta . <-oo,-4> U<-1,1> U <5,+oo>

102. 88 Eduardo Espinoza Ramos
(4iy
©
©
(43)
{46
©
III.
O
©
©
©
©
©
(x + 2)(x + 3)(x - 4)(x — 5) > 44
x 6 +6.v4 +9x2 + 4 > 0
x4 ~3x2 -6 x -2 < 0
x5 - 6 x 4 - 1 7x3 + 17x2 + 6 x - l > 0
—3 — -Js — 3 + -\¡5 .. .
Rpta. < --------— ,
-------— >U< 4­
2 2
x4 -2 x 2 + 8 x -3 > 0
x4-2x3 - 5 x 2 + 1 0 x -3 < 0
(x — 7)(x — 3)(x + 5)(x + 1) > 1680
(x + 9)(x — 3)(x -7 )(x + 5) <385
Resolver las ecuaciones siguientes:
X + 1 X
------<
2 -x3 + x
1 ^4
3x-7 '" 3-2x
x2 +2
x - 2
?
x~
X
x + 4x -2
x 3 - 4
x 2 +2
x -2
<
--------
x 2 +1
2x x
Rpta. V x e R
Rpta. V x e R
Rpta. < 1-a/2,1+ V 2>
-715,1 >U< 4 + VÍ5,-+ * >
Rpta. < —oo.— l--\Í2 > U < —1+-J2,+00 >
1-V Í3 3 —s/5^ — 1 —s/3 3 -a/5 ,
Rpta. [
-------,
2 2 2 2
Rpta. <-00,-7] U [9,+oc>
Rpta. [-l-V 7 l,-4 ]t/[2 ,-l+ V 7 T ]
Rpta. <-00,-3> U <2,+oo>
3 31ir , 7
Rpta. < —, — lt/< — ,+00 >
2 14 3
-]
x +1 x -1
Rpta. <2,+oo>
Rpta. < -00,-4 > t/[— ,2 >
Rpta. <-2,0> U <0,+oo>
Rpta. < —oo,—l > U < 0,1 >

103. Sistema de Números Reales 89
©
©
©
©
x 2 + 2 x 2 +l
■ > -
x4 +1 x4 +1
x' — 2x ^ ,t+ 8
x —4 ~ 2
I 3.V + 1
< 4
X X
x1 +8 5,v-8
x + 4 ~ 5
x + 4 x -2
>
x2 +4x + 4 x 2 — 4
1 2
• < •
x+1 3x-ì
2x2 -3x + 3
— < .
2 (x-2)(2x + 3)
jc + 1 x + 2 jc —1
x x -3
x2 + 4 x 2 +x + 4
{x2 - 2)(x + 5)(x- 3)
>0
x(x- +2K.V + 3)
(6 .y + 3)2(.t2 +1)3 (3jc — 5 )7
Rpta. V x € R
Rpta. <-oo,4>
Rpta. <-oo,0> U < 1 ,+oo>
Rpta. <-4.6]
Rpta. V x e R - {-2,2}
Rpta. < -oo.-l > [ / < - 3 >
(.y + 6 )-(2a- + 3)
17
3 7
Rpta. < -oo,— > £ /< (),— >U < 2,+oo >
2 6
Rpta. < -2 ,— > u <
Rpta. (fi
Rpta. < -oo,-5 > U < - 3 ,- ^ 2 >U <0,^2 >U < 3,+oo >
3 5
> 0 Rpta. < -0 0 , - 6 > U < -6,— > U < — ,+oo >
2 3
(4.Y + 2)2(.r2 + 2 )5(2.y- 8 ) 9
(.v + 1)2(2,v + 5)13
x+4 x -2
____ < ____
x—5 x+3
< 0 Rpta. < - - , 4 > - { - l , - - }
2 2

104. 90 Eduardo Espinoza Ramos
20) -J— + A L< - 2 Rpta. <-3,-2> U <1,4>
" J x - 4 x + 2
U 2 + ! ~ 6)(J:; ~ J:~ 6) > 0 Rpta. < -to,-3 > U < - J l M > U < 3.4* •
(v — 4)(x - 2)
_ -y 2
22) ——— < —
------ Rpta. <-2,+oo>
^ x + 2 x + 2
23) - A _ + - i - > 2 Rpta. < -3,-l> U < l,2>
‘ J jc + 3 x - l
24) 2 > > -L Rpta. [ - 1,0>
y~ — ?v4-3 3
25) > -3 Rpta. < -oo,l >U< — ,2>U< 3,+» >
" x~ —4*+ 3 2
, 2jc4 7jc3 + 8x2 + 6x + 1
26) — -— -——— ■—
-------- ----------> 0
6x + 17x + 23x + 18x +lx + \
_ „ - 5 —yry . . . i i - 5 + V n
Rpta. <
------------,-1 > £/ <-----,— > U < -------------,+oo >
2 2 3 2
7 f. "2
2 7 ) —— < 5 Rpta. < -oo,-l >(J < — ,1 > {/ < 2,+>
^ x - l x l 5
2g> 12x5 -3 5 x 4 -5 3 x 3 + 53x2 + 35x-12
x 6 +15x5 +78x4 +155x3 +78x2 +15x + l <
Rpta. < -o o ,~ 5 ~ -^ > ¿ / < - l , - 2 > t / < - -5 ^ A -.2 -7 3 > ¿ / < l,2 + V3 >
2 3 4 2
2x ~1 A' + 2 A' — l
29) ——— h
---->-------- Rpta. <-ao,-4> U <-3,3>
^ x + 4 3 - x .í + 3
(30) ■
.......> +9
( l - x - ) d - x ) ( l - x ) - ( l + x)
Rpta. < - o o - l - V3 > U < -1 + -s/3,1 > 1/ < 1,2 > í/ < 2,+oc >

105. Sistema de Números Reales 91
4x
-----20jc2 + 8 <8 ^ 2 >U < —1,1 > t/ < 2 ,-Jó >
W x — 5x + 4
®
( x - l ) 2(x 2 — 1)(a 4 -1 ) A
---------------------------- > 0 Rpta. <2,+oo>
(x + \)(x-2)
/ ^ \ (x2 + 5x + 6)(x4 -16)(x2 - 4x - 12) ^ Q
(1 — 3 jc )3 (.v — 1 )( j: 2 +1)
Rpta. < -oo,-3 > U < -2, j > U < 1,2 > U < 6,+oo >
34 ) —
--------X- ^ - < - Rpta. <0,2> U <4,+oo>
" J 4 -x 5 x
35) - , -+- 7--+- < 2 Rpta. <-2,-l>
k x~ +3x + 2
36) --Y- - - - - - - - v--T~ —- < 0 Rpta. <-4,-3]U [3,4>
" (x — 4)(x -16)
(1 + x + x 2) ( 2 - x - x 2)(x4 - 2 x 2 —3 x -2 ) < ß
(2x~ - 4 x - l) ( 3 x 2 -6 x + 4 )(x 2 + 4 x -2 )(x 2 -7 )
[7 [7
Rpta. < -* ,-V 7 > U < -l-~ -,-2yj[-l,~ j6+ 2> U < ^j— U>U [2,^f > U < ^6 + 2,+oo>
®
x 12 x +1 „ 5 12
— < — < — — Rpta. < —, — >
x + l 19 x + 2 P 7 7
/£ > (x - 3)(x + 2)2 (x +1 )(x - 4) ; 0
^ x(x + 2)(x2 -3 )(x + 3)(x2 +4)
Rpta. < -00,-3 }U < -2 ,-7 3 > t/[-l,0 >U < -73,3]i/[4,+
40) A + ~ > X * ~ Rpta. <2,+oo>

106. 92 Eduardo Espinoza Ramos
©
2 3 a + 5
- + ------>
A + l X — 1 1 -X 2
x 2 2a
c2 - 5 a + 6 2 -x (3-x)(l-x)
Rpta. <l,+oc>
Rpta. <-oo,-6] U <2,3>
l< .
x 4( .y — 1) 4x + 12
13 1
- + - Rpta.
(a-- +4x + 4)(x-9)'
(1 \-x)(x2 + 5)
3 1 3
----+------>
< 0
X — 1 X +1 X
x -\
-<1
a + 2
(x2 ~5)(x2 + 7)
___
(x2 +.v + l)(x 2 - 3 x + 2)
> 0
3a
a2 - x - 6
x2 - 3a+ 2
a2 - 4a + 3
2a- 2 5
>1
<2
2a + 1 1 1
- + ---------
---------------------->
2(a2 + 2a- 3 ) 2(a2 -1 ) x + 3
x2 + 4a + 4
a2 - 4A - 5
2 a - a 2 -1
A2 - A 4
> 0
<0
(2a - 8a + 8)(a -i- 3)
a + 6
>0
r 31+ a/889 . . V889 — 31 „ ..
[
---------------,-3 > U[ --------------,0 > U < 1,+» >
Rpta. <11 ,+oo>
Rpta. <-1,0> U < 1 ,+oo>
Rpta. <-2,+oo>
Rpta. < -oo, - V 5 ]í/< 1 ,2 > C /[-n/5,+oo>
Rpta. <-2, 2-VÍO >C/<3, 2+VÍO >
Rpta. <-oo,3> U <4,+oo> - {1}
Rpta. <-3,-l> U <l,+oo>
Rpta. <-oc,-l> U <5,+oo>
Rpta. <-l,0>U«),l>
Rpta. <-oo,-6> U [-3,+oo>

107. Sistema de Números Reales 93
©
x~ -2-y + I
x — 1
2x + \
> 0
>3
x + 1
x2 +4.Í + 9
x2 —4x—5
x2 + a + 2
x(x2 —x —2)
< 0
<0
2 3
< -
3jc — 2 x + 2
32 _ x
x2 —4 x - 2 x + 2
2 + x - x 2
> 0
x2 -2x + \
jc3 — x~ —8a + 12
x 2 + 5 a -1 4
< 0
a-- +X.V-12—jf
l x - x 2 - 6
3
> 0
a + 3x + 2 a - 2
a - 2 a + 2
1 2 3
- +
------> ■
A + l a+3 a+ 2
A +1 , 1-A
--------2 <------
1 —x X
X 2 + 8a + 24
a + 2
>8
Rpta. < 1 ,+oo>
Rpta. [-2,-l>
Rpta. < -l,5>
Rpta. <-oo,-1> U <0,2>
„ ^ 2 rr 10
Rpta. <-2,— >U < — .+oo >
3 7
Rpta. t-4.-2> U <2,6]
Rpta. [-1,1> U <1,2]
Rpta. <-oo,-7> U [-3,2>
Rpta. [-3,1> U <6,+oo> U {2}
Rpta. <-oo,-2> u <0,2>
Rpta. <-3,-2> u <-!,!>
Rpta. < -o o ,-l > u < 0,
Rpta. <-2,+oo>
1

108. 94 Eduardo Espinoza Ramos
x - 2 2x-3
■ > -
x + 2 Ax -1
6 3 7
<0
x -1 x +1 a + 2
x 4 -3.v3 - 6 x 2 - 2 8 x - 2 4
40 + (x - 1)(.y - 3 )(x + 4)(x + 6)
■<0
7 30 7
. +
------< .
x - 4 x + 2 .y + 1
2x2 - 6x + 3 ,
. >]
x~ -5x + 4
Rpta. < -oo,-2
1
,l]u[4,+oo>
Rpta. < -2 ,— > u <
4
©
3x
>1
x 1 —x — 6
1 7
- +
---------<2
x -2 x + 4
, x -2 x-3
2
-------->-------
x - l x -2
(79)
iV .
©
©
©
©
©
2x2 + 7x + 5 x2 + 6x + 5
-3x + 2
>0
x 2 + 3x + 2
3x2- 4 ^ £
----------< x + 6
x -6
Resolver las ecuaciones siguientes:
4.V-3 l x - 2
(0.5)“ > ( 0 .0 6 2 5 ) ~
27-V-! < 9 .v+3
2**1 2.V-2
(0.2) 2 <(0.0016)
2 5'" 8 <16Jt+5
2x 3 ->4 .v
3
-----3----- 32,M)(.v-2)
l5.v I ' ’
x +1 Ox +16
x - l
>10
x - 2
- + 4>x+10
Rpta. < — ,+
4
Rpta. <-oo,9>
Rpta. <-oo,—>
Rpta. <-oo,12>
4 4
„ . -1 —733 -1 + ^33
Rpta. <
----------—--------— >

109. Sistema de Números Reales 95
© t ( 0 .5 )'! (0.5)‘ r ' - , < í ^
8 '
©
@
9x*i .3
x ) < X~-IÍ322
2x4-5
V81A"1S < V243A w
Mx-zy
(n) (256) 2 > 29 (jJ~,)\83j;+1.2565(
729A\243A' 2436.275jr_6
812x
3A’ .3 2 v > 27
x - 5 x -9
2 ~ > 8 ~
5^+3
27
2x+l
Rpta. VxgR
Rpta. V x e R
Rpta. <-oo,-1> U <l,+oo>
Rpta. < 110,+oo>
XM6, u , . 42293 +33 a/2293-33
Rpta. <
--------—------,-------— — >
86
Rpta. <-oo,-1 > U <2,+oo>
Rpta. <l,+oo>
Rpta. <-oo,13>
o * 131
Rpta. < -oo,
-------->
217
86
(16) (42 ) »"-1 >(64)-'~1
17; [(0.3)ív“1)(a:~2)]v"3 >[(0.09)vi-4]r2~9
18) ^/(0.00032)5' 2 < "y (0.2)
2a-+1
Rpta. < -oo,-l > U < 1,— >
Rpta. VxgR
43
Rpta. < — ,+oo >
94
Rpta. <-oo,-3> U <-2,-1 ]

110. 96 Eduardo Espinoza Ramos
__________ ___________ *Jx-1
20) (0.16) ^ . 'í*Z¡ j m ) 2 5 6 ) ^ ) ~ < ^ / o . 004096
2j) ^(O.OOS)-'“1 > l^/(0.04)jr*3 Rpta. < 1,2> U [3,5]
22) x+l¡(0.G4)2x~l > V(°-2)2v l Rpta. <-3,0>t/[|,3]
Jf+^(0.0016)jr+3 > x ^(0 .2 )4x+1 Rpta. < - — -2 > í/ < 5,+oo >
X~^¡4X~4 > X+J ¡ 2 ^ Rpta. < —1,2] [ / < 5,+ 0 0 >
@ ^(O .O l ) ^ 2 < x ^¡(0A)lx i Rpta. <-3,-1 > u [3 ,+oo>
(2ó) x+^¡(0.04)2x~1 >^(0.2)2x~1 Rpta. < - 3 , 0 > u < - , 3 >
®
(— ) ' ( - ) 4jr2+1 < ( - ) í+2(— J*2“3* Rpta. < —oo,-2]u[—— ,+00 >
250 5 5 625 2
28) - ^ p x(j)~¿ <-'^9(-)x Rpta. <-3,3>
29) á xy j )2x2 Rpta- <_* ’*3> u
® ( 2 -9-57 T
----- < x+^ 2 2x+í Rpta. < - l , + 0o > - { - i }
@ 15a"1 <lj(0.2)x+l @ (0.1) v~3 < 1 0 v+3
@ 2x-jj(0.00032)'"2 < J ( - ) 3jr_1 @ [(0.5)^ .(0.5)6](r2~3) >
V 5 gv
@ V(0.5)4*-3 > a/(0.625)3v-2

111. Sistema de Números Reales 97
V.
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
i ¡ y
Resolver las ecuaciones siguientes:
-J3x + 1—\Jx-2 > 3
-Jx +5 +^fx < 5
■\¡x2 - x - 2 <5-x
-Jx-9Í¡x+nX>0
x + 2 < \[)x3 +8
a/x- 4 -V 8 -X > 1
-Jx2 -1 < -\Jx + \
-j2x-9 <3-x
-%/3x +1 --Jx — 2 > 9
(x-4)sjx2 -2 x + 2
< 0
x l +2
-Jx1 - 2x -15 > x + 1
V3x - 6 > -V 4jc —12
^ 5 x - 3 - 4 x ^ ->0
■\J\fx - 4 - 4 x
x — 1
> 0
>0
V x -T + o /x -2
V 9 - x 2 -a/x
-Jx-3 +^¡6-x <^Jx + l
Rpta. [2,3> U <6,+oo>
Rpta. [0,4>
Rpta. <-o o -l] £/ [2,3 >
Rpta. [0,81] U [1296,+oo>
Rpta. <-2,0>
V7
Rpta. [—^- + 6,8]
Rpta. [1,2>
Rpta. 4>
Rpta.
Rpta. <-oo,4]
Rpta. <-oo,-3 ]
Rpta. [3,+oo>
Rpta. [ 1 ,+oo>
Rpta. [64,+oo>
Rpta. [2 .^ Ä- - 1 >
Rpta. <3,+oo>

112. 98 Eduardo Espinoza Ramos
©
a / x- 1 + a / * - 3 >^Jx + 1 R p ta . < y , 5 ]
©
o /V *~ 3 + V6- V *
^ +1
R p ta . [9 , 84 + 16^ ]
R p ta .
©
a/4 - V i -X - a / 2-X >0
©
A¡X1 - 1 4 x + 13 > jc —3 R p ta . <-oo,3 ]
©
a /a2+ 3 a + 4
a / Ï T + a / x2 - 4
R p ta . < -oo,-2] U [2,+oo>
R p ta . < - o o , ^ ]
©
■\l~x + 2 < a / - 4 x + 2 + a / - 9 x + 6
©
a / ó 2 5 - x 2 V a2-4 (a + 4)*(x2- l)2
a3 -2x2 - x + 2
R p ta . [-2 5 ,-2 ] u < - l , l > u {25}
©
—= i— > a/a +1
■Jx - 1
R p ta . < 1 ,2 >
©
lx+6 lx + 2
V A' ' V JC-1
R p ta . <-oo,-6] u < l , 2 >
©
a /a2 - 1 4 a - 1 3 < a + 1 R p ta . < | , l ] i / [ 1 3 , + o o >
©
J x 2-4ljx + 4
a /a2 - 4 a ' + 3 "
R p ta . <-oo,- 4 ] u [2 ,3 >
©
l ^ S , - 4
y 2-A/A + 4
R p ta . (|)
©
1 A' A - 2
------<-------<---------
A - 2 X + 4 A + l
R p ta . <8,+oo>

113. Sistema de Números Reales 99
©
@
(33
®
Í39)
{42)
(43)
I x - 91 -2x
I jc + 5 1 +5
<0
4 x + 4
<
------< 2
x - 4 x - 4
3x*4(3x~a -1 ) < 3* - 8 !
■n/a-2 -3a-4
y -J2I - Va2 - 4
>0
a - 3a- 4
[5-V16-A2
>a2 - 2a- 2 9
32 - 2 a
a + 2
>-Jx
N x 2 -X-2-:
> a- 5
v 2 — 4 x — 4
V a 2 - 6 a + 5 + a /a 2 - 7 a + 10 <0
V a 2 - 6 a + 5 + V x 2 - 7 a + 10 > 0
V 4 -V a + 13 < V r + 5
V a 2 - 2 a - 1 5 ( a 3 - 6 a 2 + 9a)
(x-1) (a- 2 )
<0
a + 4
> 4 x
x-2
V 3 -3 a <^2l + 4 x - x 2
Va2 -a- 1 2 (a-5 )(2a2 - 3x- 2 ) < 0
Rpta. < V Ì0 -1 , l+-JÍ0>
Rpta. <18,+oo>
Rpta. <0,4>
Rpta. <-5,-2] U [4,5>
Rpta. [-4,-1] U {4}
Rpta. [0,4]
Rpta. [-4,-2] U [2,3]
Rpta. x = 5
Rpta. <-0 0,1] U <5,+oo>
Rpta. [-5,3]
Rpta. [-3,0] u <2.5]
Rpta. <2,4]
Rpta. [-2,1]
Rpta. <-oo,-3] u [4,5]

114. 100 Eduardo Espinoza Ramos
44) ^j4~y¡í—X —\¡2-X > 0
@
®
*- -1 6
>0
V U -4I-U -
Jx2 -3x + 2>2-x
lx + 4
Íx-2
y¡24-2x-x2
<1
3JL il+ lzl> o
x+2 Vx+1
■^4—J l^ x —j 2 - x > O
4jc- 5
> x -6
V 4-Vx2 -9
'Jx2~-x—l2(x ~5)(2x2 -3 x -2 ) < O
+*-2+3
V 9 - x 2 -1
l^x2 -5x + 4 - 2
I 2--Jx-2
>x-4
>x-6
Í £ z * + í í z £ > o
x -1 ^ x + 3
(56) V x2 — JC + 1 < V 4 - j
Rpta. < - 2 , - —>
Rpta. <-0 0,-4>
Rpta. <2,+oo>
Rpta. <2,4]
Rpta. [-6,3]
Rpta. <-2,l> U [3,5]
Rpta. < - 2 ,- — >
Rpta. [-5,-3] U {5}
Rpta. <-0 0,-3] U [4,5]
Rpta. < -2 ^ 2 , —2] £/ [1, 2^2 >
Rpta. [-2,0] U [4,5]
Rpta. <-3,l> U [4,5]
Rpta. < -t/3 , a/3 >

115. Sistema de Números Reales 101
V'x 2 +l(x2 - 4 x + l)
4x + 4
■Jx-Ì +-Jx + 2
■\¡9-x2 -o /x
>0
>0
5?) -Jx + 3 + a/x - 6 > a /6 -j
6Ì) V2x — 1 + a/3x- 2 >a/4x- 3 +a/5x- 4
Rpta. <-1, 2-0 / 3 > u < 2 + a/3 , 00 >
Rpta. [ 1 , ^ — !->
óo) 0/x 2 -2 x - a /x 2 + 4x > 2
a/x2 -2 x -a/x2 +4x > 2
63) a/2x + 3 +a/3x- 2 -a/2x + 5 < a/3x
a/ö-x2 -a/x
( i? ) V 2 x + 3 + a/3x- 2 ~a/2x + 5 < a/3x
1.35 VALOR ABSOLUTO.-
a) DEFINICION.- Al valor absoluto del número real x denotaremos por |x|, y se
define por la regla.
lili
x sí x > 0
-X si x < 0
Ejemplo.- |7| = 7. |-7| = -(-7) = 7
b) PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO.-
(T ) |a| > 0, V a e R ( 2) |a| > a V a e R
Q |a| = |-a| @ |ab| = |a||b|
b*0
6 1*1
Demostraremos la 6o propiedad, las demás dejamos para el lector.
© |a+b|<|a| + |b| (desigualdad triangular)

116. 102 Eduardo Espinoza Ramos
\a+b\2= |(a+b)2 \ = (a + b)2 =a2 +2ab+b2
< | a | 2 + 2 |fl||¿)| + |¿)t2= (\a\ + \b \)2
|fl + ¿>|2< ( |a | + |f>|)2 entonces /. |a + b{< |a| + |b|
IM PROPIEDADES BASICAS PARA RESOLVER ECUACIONES" 1
INECUACIONES DONDE INTERVIENE VALOR ABSOLUTO»
(7 ) [a| = 0 <=> a = 0
|a| = b <=> [b>0A ¡a = b v a = -b)J
^ 3 ) |a| = |b) <=> a = b v a = -b
© Si b > 0, entonces:
i) |a| < b o -b < a < b B) |áf < b o -b < a < b
© Si a, b e R se verifica
i) |a| > b <=> a > b v a < -b ü) |a| > b <=> a > b v a < -b
La demostración de estas propiedades dejamos paira el lector.
Ejemplo.- Resolver la ecuación |4x + 3| = 7
Solución „
|4x + 3{=7 <=> 4x + 3 = 7 v 4x + 3 = -7
. 5
O X = l V X =
------
2
Luego para x = 1, .1 = - — son soluciones para la ecuación dada.

117. Sistema de Números Reales 103
Ejemplo.- Resolver la ecuación |2x + 2| = 6x - 1 8
Solución
|2x + 2| = 6x —18 o [6x —18 > 0 A (2x + 2 = 6x—18 v 2x + 2 = -6x + 18)]
<=> [x > 3 A (x = 5 v x = 2)]
Luego la solución de la ecuación es x = 5.
Ejemplo.- Resolver la ecuación |x — 2| = |3 — 2x|
Solución
|x - 2 | = |3 -2 x | <=> x — 2= 3 — 2x v x —2 = -3 + 2x
<=> x = — vx=l, la solución es: {1,—}
3 3
. t» ,, , , j , •. |4 x + l | —|jc- 1 | , . ,
Ejemplo.- Hallar el valor de la expresión:---------------------, si x e <0,1>
>
2 3 5
X
Solución
4x +1 , x > —
4
1
14x + 11 =■
- 4 x - l , x < —
4
si x e <0,1> => |4x + 11 = 4x + 1 , |x — 11 = 1 — x
Luego:
14x + 1 1 — | x — 11 _ 4x + l —(1 -x ) _ 5x
— = 5
x X X
|4 x + l|-|x-l|
— 5 , para x e <0,1>
x

118. 104 Eduardo Espinoza Ramos
Ejemplo.- Resolver la inecuación |2x — 5| < 3
Solución
|2x - 5| < 3 <=> -3 < 2x - 5 < 3 » 2<2x<8
<=> 1 < x < 4 <=> x e <1,4>
Luego la solución es x e <1,4>
2x-5
Ejemplo.- Resolver la inecuación: |
--------1 <3
x -6
Solución
2x-5 2x-5 2x-5 2x-5
--------1<3 <=> - 3 < ---------<3 o - 3 < --------- A --------<3
x - 6 x - 6 x - 6 x -6
5x-23 x-13
<=>
---------> 0 A --------> 0
x -6 x -6
<=> (5x—23)(x —6)> 0 A (x —13)(x —6)>9, x*6
23/5 6 6 13
23
x e < -o o ,— >U< 6,+oo> A < —»,6 > í/< 1 3 ,+ o o >
5
•4 wMMHmHHMtmmQ
------------©---------(ywmHwmmim►
23/5 6 13
----------------------------O O-----------
23
La solución es: x e < -oo, — > U < 13,+oc >
5
Si x es un número real, el máximo entero de x representaremos por [| x |] y es el mayor
de todo los entero menores o iguales a x. es decir:

119. Sistema de Números Reales 105
[| x |] = máx {n eZ/x>n|
Para calcular el máximo entero de un número real x, se observa todos los enteros que se
encuentran a la izquierda de x (o que coinciden con x, en caso que x sea entero) y el
mayor de todos ellos es el máximo entero [| x |] , por ejemplo:
-------1-------1-------1-------1-------1-------1--------h — *
-1 0 1 2 x 3
De donde [| x |] = 2
Ejemplo.- Hallar [| 3.7 |]
De donde [| 3 .71] = 3 ^ Q 1 2 3 3 7 4
Si x se encuentra entre dos enteros consecutivos de la forma:
•4
------
n x n+1
Entonces: f[jk|]=n <9 nsx<n+f, n«Z
Ejemplo.- Sí [|x|]=5 <=> 5<x<6
[| x |] = -5 <=> -5 < x < -4
NOTA.- Como se podrá observar siempre se toma él numero entero mas próximo a la
izquierda.
OBSERVACION.- Por definición de máximo entero se tiene:
[| x |] = n <=> n < x < n + 1, n e Z
<=> x e [n, n+l>, n e Z
Ejemplo.-[| x |] = -4 <=> -4 < x < -3 => x g [-4,-3>
Ejemplo v H ?.. ■ \ '.■■■; absurda-, puesip que todo máximo entero.es un numero entero.

120. 106 Eduardo Espinoza Ramos
1.38. PROPIEDADES DEL MAXIMO ENTERO.-
[| x |] e Z, por definición © [| x |] = x o x e Z
( 3) V x e R, [| x |] < x, por definición ( 4) [| x |] < x < [| x |] + 1, V xeR
© 0 < x — [| x |] < 1, V x e R © [ |[ |x |] |] = [|x |], VxeR
0 [| x + n |] = ti x |] + n, n e Z
En efecto: Sea [| x |] = k, k e Z, entonces k < x < k + 1
=> k + n < x + n<(k + n) + 1
=> [|x + n|] = k + n=[|x|] + n
© [| x |] < n o x < n + 1, neZ © [| x |] < n <=> x<n, neZ
^0) [| x |] > n <=> x > n, neZ, xeR ^ l ) Sí yeZ [| x |]<y <=> x < y+1
^ 2 ) V x, y e R, si x < y <=> [| x |] < [| y |]
© [| x + y |] > [| x |] + [| y |]
En efecto: Sean
[| x |] = m ni < x < m +1
[| y |] = n n< y <n +1
m + n < x + y<(m + n) + 2
entonces [|x + y|] = m + n o m + n + 1
por lo tanto [| x + y |] > m + n [| x + y |] > [| x |] + [| y |]
Si 11 e Z + => [| nx |] > n [| x |]
1 efecto: Sea [|x|] = m => m < x < m + l
=> nm < nx < nui + n
=> [| nx |] > nm [| nx |] > n [| x |]

121. Sistema de Números Reales
15) Si x e R y a? e Z + , entonces [| |] = [| — |]
n n
(16) Si aybeZ, xeR, entonces se cumple:
i) a<[|x|]<b=>a<x<b+l ii) a<[|x|]<b=>a<x<b
¡ii) a < [| x |] < b ;=> a+l<x<b
Ejemplo.-
( I ) Resolver la ecuación [| 3x + 1 |] = 2
Solución
1 2 1 2
[| 3x + 1 |] = 2 => 2<3x+l<3 => — < x< — entonces x e[— >
3 3 3 3
© Resolver la inecuación [| 5x |] < 3
Solución
3 3
[| 5x |] < 3 => 5x < 3 => x< — j g < —oo, — >
5 5
© [| 2x |] < x
Solución
Si x < 0 => 2x < x => [| 2x |] < 2x < x
Es decir [| 2x |] < x =< -*>,0 >
Sí 0 < x < y => 0 < 2x < 1 => [| 2x |] = 0 < x
Es decir [| 2x |] < x S2 -< 0, -- >
Si x > y => 2x > 1 => [| 2x |] > 1 es decir: [| 2x |] * x S3 -■ <f>
S =< -oo.O > u < 0, — >
2

122. Eduardo Espinoza Ramos
© [I 2x |] < [| 4x I]
Solución
1 f[l 2jc |] = 0
SiO<x<— =>{ => 0 < 0 falso
4 [[| 4x |] = 0
, , 1
Ahora si x > —
4
2x>— [| 2jc|]> 0
2 =>
4x>\
Entonces [| 2x |] < [| 4x |] 5 = [­
i
© [| -5x |] < [| x |]
Solución
1 í 0 < 5jc < 1
Sí 0 < x < — => \ => -1 < -5x < 0 => [| -5x |] = -1 y -1
5 [[|x |] = 0 11 U ^
/. =< 0, j >
Sí x > y => -5x < x => [| -5x |] < [| x |] S2 = [-j ,T° >
S = <0,+oo>
© [I x - 1|] < [| x |]
Solución
Sí x > 1; supongamos que: [| x |] = k
=> [| x — 11] = k — 1 < k = [| x |] de donde = [l,+>
Si x < 1, entonces [| x — 1 |] < 0 a [| x |] < 0
entonces [| x — 1 |] < [| x |] S2 =< -»,1 > S = R
© ([I x |] — 2)(x — 2)(x + 1) > 0
Solución
,+oo >
<0

123. Sistema de Números Reales 109
a) Si x < 2 [| x |]—2 < 0. luego resolveremos
-(x -2 )(x + 1 )> 0 es decir -2)(x+l)<0 de donde 5, =<-1,2
b) Sí 2 < x < 3, entonces [| x |] - 2 = 0 de donde S2 = </)
c) Si x > 3 => [| x |] — 2 > 0 luego resolveremos (x — 2)(x+l)>0
Sy = [3.+» > n(< --»,-1 > i^>{2,+* >) /. Sj = [3,+oc >
S = <-1,2> o [3,+x>
® (.*'-\)(x2+\)J[\x\]-x>0
Solución
[| x |] — x > 0, entonces [| x |] > x, pero por definición se tiene: [| x |] < x,
V x e R => [| x |] = x e Z
Luego resolveremos (x ' -1)(jc2 +1) > 0 => x > 1 S = Z
( 7 ) ([| x — 2 [| x |]) (x — 1 )(x + 1) > 0
Solución
[| x — 2[| x |] |] = [I x |] — 2[| x |] = [| -x |]
i) Si x<0, => -[| x |] > 0. entonces resolveremos
(x —l)(x+l)>0 5 , = < —oo.-l]
ii) Si 0<x<l ^ [| x |] = 0 entonces S=[0,I>
iii) Si x > l => [| x |] > 0, entonces resolveremos (x — l)(x+l)<0 S3 = {H
... s = <-*,-!] u [0,1]
Solución

124. Ill) Eduardo Espinoza Ramos
Sc conoce que [| .v |] + n <=> n < x < n + 1
x + 2\
jr + 3
x+2
a + 3 a-+ 3
O 1 <
-------< 2 <=> 1 <---------A -----------
x + 3 .v + 3 .V + 3
<=>1 +
------< 0 A 2 +-------
A+3 A + 3
x + 4 2 a + 7
-----< 0 A —— -> ()
A + i A + 3
f(x + 4)(x + 3) < 0 A (2x + 7)(x + 3) > 0], x*-3
©
Luego la solución es: x e [ - 4 ,- — >
x - l
Resolver la inecuación [| — |] > 4
Solución
Aplicando la propiedad siguiente: Si y e Z, [|a|]>_v <=> x > y
4 e Z.
r i*h
L
X -
> 4 <T> j—i— > 4 <=> |x| - 1 > 20
5
<=> |x| > 21 <=> x > 21 V x < -21
La solución es: x e < -o o ,-21 ] U [ 21 ,+<*>
Resolver la inecuación [|| a | -2 a |] = 0
Solución

125. Sistema de Números Reales 111
Por definición de máximo entero se tiene:
[|| x | -2x |] = 0 •» 0 < |x| - 2x < 1 o 2x < |x| < 1 + 2x
ahora por la propiedad transitiva ( a < b < c o a < b A b < c )
se tiene: 2 x < |x |< l + 2 x <=> 2x < |x| A |x |< 1 + 2x ...(1)
además se conoce que: | x | =
x, x > 0
-x, x < 0
Io Si x > 0 => |x| = x reemplazando en (1 ) se tiene:
2x < 0 A x < 1 + 2x = > x< 0A x> -l :=> x e <-1,0]
La primera parte de la solución es: x e [0,+oo> A <-l,0] => x = 0
2° x < 0 => |x| = -x reemplazando en (1) se tiene:
2x < -x A -x < 1 + 2x => x < 0 A jc> — => x e < - —,01
3 3
la segunda parte de la solución es: x e <-oo,0> A < — ,0] => jc€ < ~ —,0>
3 3
Por lo tanto la solución de [||jc|- 2x|] = 0 es: .r e < - y ,0 > t/{ 0 [ = < - ÿ ,0 ]
1.39 INECUACIONES LOGARITMICAS.,
Para el estudio de las inecuaciones logarítmicas es necesario recordar lo siguiente:
En primer lugar la definición de logaritmo es decir:
N**x o A N > 0 a b > 0
En segundo lugar las propiedades del logaritmo
a) log/, AB = log/, A + log6 B b) log,, — = logfc A-log* B
D

126. 112 Eduardo Espinoza Ramos
c) log* A" = ulog* A
e) log,, 1 = 0
d) \ogh '4a = -\ogh A
ti
f) log* b = 1
g) log„ N:
log/, N
log* a
En tercer lugar se observa la gráfica y = log/, x cuando b > 1 y 0 < b < 1. También
dentro del campo de los números reales, solo tiene logaritmo los números reales positivo:
ahora gratificamos la ecuación y = log* x .
Al observar la gráfica se tiene los siguientes casos:
I o Caso.- Cuando la base es b > 1, en la gráfica podemos observar:
i) Los números mayores que 1 tiene logaritmo positivo.
ii) Los números entre 0 y 1 tiene logaritmo negativo, entonces para cualquier
A,, x 2 eR se tiene
Sí b > 1 y 0 < xx < x2 <=> log* xx < logA x2
De donde deducimos las relaciones siguientes:
a) Sí x > 0, b > 1; N e R => log* x > N <=> x > b"
b) Si x > 0, b > 1; N e R => log* x < N <=> x < b"

127. Sistema de Números Reales 113
2o Caso.- Cuando la base es 0 < b < 1. en la gráfica podemos observar:
i) Los números mayores que 1 tiene logaritmo negativo.
ii) Los números entre 0 y 1 tiene logaritmo positivo, entonces para cualquier xx,x2 de
R+ se tiene:
Sí 0 < b < 1 y 0 < xx < x2 <=> logfc xx > logfc x2
de donde deducimos las relaciones siguientes:
Sí x > 0, 0 < b < 1 y N e R => log/, x > N o 0 < x < bN
Sí x > 0, 0 < b < 1 y E e R => log6 x< N <=> x > bN
OBSERVACION.- Resumiendo, para la solución de las inecuaciones logarítmicas se
obtiene de la siguiente manera:
a > c si b > 1
a <c si 0<b<\
a > br si b > 1
a <bc si 0 < b < 1
Ejemplo.- Resolver las inecuaciones siguientes:
O log2(2x + 4) > log2(5x + 3)
Solución
Calculando el campo de existencia de los logarítmicos dados
3
2x + 4 > 0 a5x + 3 > 0 de donde x > -2 a x > —
5
como la base es 2 > 1, entonces se tiene:

128. 114 Eduardo Espinoza Ramos
, , 3 13 1 „31
La solucion es: a e< — ,+oo> n <-oo,—>=<— , —> S =< — ,—>
5 3 5 3 5 3
© log, (2x + 5 )< -2
3
Solución
Calculando el campo de existencia del logaritmo
2x + 5 > 0, entonces * > - — de donde U =< ,+oo>
2 2
, , 1 , •
como la base es — < 1, entonces se tiene:
3
lo g , (2,r+ 5) < - 2 o (2x + 5 > ( —y 2 => 2x + 5> 9=>x> 2 => x e <2,+»>
3 3
Luego la solución es: x e< ,+oo > n < 2,+oo >=< 2,+» > S = <2,+oo>
© log2 (| -v — 2 1 -1) > 1
Solución
Calculando el campo de existencia del logaritmo
| x — 2 | - 1 > 0 => | x — 2 | > 1 => x — 2 > 1 v x — 2 < - 1 => x > 3 v x < l
de donde U = <-oo,l> u <3,+'»>
como la base es 2 > 1, entonces se tiene:
log2 (| -Y — 2 1 —1) >1 => | jc — 2 1 —1 > 21
=> | x — 2 | > 3 => x - 2 > 3 v x - 2 < - 3 => x > 5 v x < - l
x e <-ao,-1> u <5,+oo>
La solución es: x e (<-oo,l> u <3,+oo>) n (<-*>,-1> u <5,+oo>)
S = <-oo,-l > vj <5,+oo>

129. Sistema de Números Reales 115
© iogjr( £ ± i l ) > i
jc-1
-v + 15.
ì > i
Solución
jc + 15
El logaritmo dado esta bien definida sí x > 0 y x * 1 además
-------> 0
JC-1
Luego el campo de existencia es U ” < 1 ,+oo>
x +15, . x + 15 ¡ x + 15
Ion. (------—) > 1 => — — • > x => ——— - x > 0 , de donde
w x -1 x—1 x -1
,r + 15-,v2 +x „ jc2 - 2 x - 1 5 . , , , (jc — 5)(jc 3) „
> 0 => ----------------< 0 de donde - — < 0
.v - 1 .V -1 x - 1
de donde x g <1 ,+oo> u <1,5>
La solución es: x e <1,+oo> n (<-oo,-3> u <1,5>) = <1,5> S = <1,5>
Resolver la inecuación log1/3 (2x + 5) < -2
Solución
Aplicando la propiedad siguiente: x > 0, 0 < b < 1, N e R, log* x < N <=> x > b v
para nuestro caso 2x + 5 > 0 =í> x > ~ ^
log1/3(2jt + 5 ) < - 2 <=> 2x + 5 > (^ y 2
2x + 5 > 9 <=> 2 x > 4 => x > 2 , la solución es: x g <2,To>
( ó ) Resolver la inecuación log2( |x - 21-1) > 1
Solución
Aplicando la propiedad siguiente: x > 0, b > 1, NgR, logft x> N •» x> bh
para nuestro caso se tiene |x — 2| - 1 > 0

130. 116 Eduardo Espinoza Ramos
| x - 2 | > l o x - 2 > l v x - 2 < - l o x>3 v x <1
log2( |jc—2 1 —1) > 1 o |x — 2| - 1 > 2
|x - 2 |> 3 <=> x -2 > 3 v x - 2 < - 3 <=> x>5 vx<-l
La solución es x e <-oo,-l> U <5,+*>>
1.40 EJERCICIOS DESARROLLADOS,-
Resolver las siguientes ecuaciones:
© |x 2 + 2 |= 2 x + l
Solución
Aplicando la siguiente propiedad: |a| = b <=> [b > 0 A (a = b V a = -b)]
|x 2 +2 |= 2x + 1 <=> [2x + l > 0 A (x2 +2 =2x + l V x2+2 = - 2 x - l) ]
o [ . r > - y A (x 2 -2 x + l = 0 V x 2 + 2x + 3 =0)]
<=> x>~— A (x = l V x — (j>) ---------------é
---------------e-
2 -1/2
Luego la solución es: x = 1
© |x 2 —x - 6 | = x + 2
Solución
|x2 -x- 6 | =x + 2 <=> [x + 2 > 0 A (x2 -x- 6 = x + 2 v x2 -x- 6 = -x- 2 ) ]
o [x > - 2 A (x2 - 2x- 8 = 0 v x 2 =4)]
<=> [x > -2 A (x = 4, x = —2 v x = ±2)]
-2 2 4
La solución es el conjunto {-2,2.4}
© x 2 — 2 1 x | —3 = 0

131. Sistema de Números Reales 117
Solución
La ecuación dada se expresa así:
2 1je| = je2 —3 o [x 2 - 3 > 0 A (2x = x 2 - 3 v 2jc = - x 2 +3)]
<=> [,v2 >3 A (jc2 -2 .v -3 = 0 v x2 + 2x-3 = 0)]
« > (x>yf3 V x < —J3) A (x = 3,-1 v jc = -3,1)
Solución
Aplicamos la propiedad: |a| = |b| o a = b V a = -b
|x — 4| = |x — 2| <=> x —4 = x —2 V x — 4 = -x + 2
<=> -4 = -2 V 2x = 6
<=> <|> V x = 3, La solución es x = 3
|x — 2| = |3 — 2x| <=> x — 2 = 3 — 2x V x — 2 = -3 + 2x
-3 —s/3 -1 1 V3 3
0 |x — 4| = |x — 2|
La solución es {-3,3}
0 |x — 2| = |3 —2x|
Solución
«> x = — V x=l. La solución es: {1.—>
3 3
0 2|j:+2|- | 2 jr+1- l |= 2 jf+l+l
Solución
Aplicando la definición de valor absoluto

132. 118 Eduardo Espinoza Ramos
-2 -1
para x < -2
x + 2\ = -x -2
12x+l - 1 1 = 1 - 2 '
reemplazando en la ecuación 2U' 21 - 12*+1 - 1 1 = 2'v*1 +1, se tiene:
2 v~2 - (1 - 2 'M ) = 2a*1 + 1 , simplificando 2~x 2 - 2 ==> -x-2=l =>x = -3
Lueiío x < -2, la solución es x = -3
Para -2 < x < -1
x + 2\ - x + 2
12'v+1 - 1 | = 1 - 2 jr+1
reemplazando en la ecuación 2 r* - ( 1 -2x+ ) = 2*+! +1, simplificando
2 r"2 = 2 => x + 2 = l => x = -1, como - 2 < x < - l entonces x = -l no es solución
Para x > -1
j\x+2 \ = x + 2
ll2 í+1 - II =2*+1 -1
reemplazando en la ecuación se tiene: 2X~~ - ( 2 A+1 -1) = 2 J+1 +1, simplificando
2 '" 2 = 2'f+2 => x + 2 = x + 2, V xeR
Luego la solución para x > -1 es R A [-1,*£> = [-1 ,oo>
Por lo tanto la solución de la ecuación es: x = -3 y [-l,+
© \x2 - 9 | + |jr2 — 4 1 = 5
Solución
A la ecuación |.v2 —9 | + |x 2 —4 | = 5 expresaremos en la forma:
|x + 3||x —3| + |x —2||x+2| = 5 ...(1)

133. Sistema de Números Reates 119
II I2 *3 U I5
----------h — H--------------------------------1---1-----------►
-3-2 2 3
analizando en cada intervalo /,■, i = 1, 2, 3, 4, 5
D Í| jt + 3| = -x-3 ; |x - 3 |= 3 - x
Para x < -3 => i ... (2)
[|x + 2 | = -x-2 : \x-2\ = 2-x
Reemplazando (2) en (1) se tiene: (-x — 3)(3 —x) + (-x —2)(2 —x) = 5
efectuando y simplificando x2 = 9 => x = ±3
luego como x < -3 la solución es: x e <-oo,-3> A {± 3} = <|>
f|x + 3 |= x + 3 ; |x - 3 |= 3 - x
Para -3 < x < -2 => \ ...(3 )
]\x + 2 \= -x -2 : \x-2 \ = 2-x
Reemplazando (3) en (1) se tiene: (x + 3)(3 — x) — (x + 2)(2 - x ) = 5
efectuando operaciones y simplificando: 9 —x 2 - 4 + x 2 =5 => 5 = 5 es valido V x e R
luego la solución es:
d l\x + 3\=x + 3 ; \x -3 \= 3 -x
Para -2<x<2 => { ...(4 )
[U + 2 | = x + 2 ; | x - 2 | = 2 - x
Reemplazando (4) en (1) se tiene: (x + 3)(3 — x) + (x + 2)(2 — x) = 5
9- x 2 + 4 _ r 2 =5 => x = ± 2
luego la solución es: [-2,-2> n {± 2} = {-2}
\\x + 3\=x + 3 , |x —3 1 = 3 - x
para 2 < x < 3 => {
1 |Jx + 2 1 = x + 2 , |x — 2 1 = x - 2
reemplazando (5) en (1) se tiene: (x + 3)(3 - x ) + (x + 2)(x - 2 ) = 5
efectuando y simplificando 5 = 5 es valido V x e R
...(5)

134. 120 Eduardo Espinoza Ramos
Luego la solución es:{23>nR - [2,3>
í|.Y + 3 |= jr + 3 , |jc—3 1 = _v—3
Para x > 3 => ^ ... (6)
||x + 2|=x + 2 , \x -2 \= x -2
Reemplazando (6) en (1) se tiene: (x + 3)(x - 3 ) + (x + 2)(x — 2) = 5
efectuando y simplificando: x 2 -9 => x = ±3
Luego la solución es: [3,+eO n - {3}
Por lo tanto la solución de la ecuación es: [-3,-2> v {-2 ¡ U [2,3> v {3¡-
[-3,-2] U [2,3]
© \x2-4\= -2x+ 4
Solución
Por la propiedad: |a| = b <=> b > 0 A (a = b v a = -b)
|A-2 - 4 1 = -2,v-h4 o -2 x + 4 > 0 A (x2 -4 = -2x+4 \ x 2 - 4 = 2x-4)
•» x<2 A (.v2 + 2 ,r-8 = 0 v x 2 -2jc = 0)
» x < 2 A ((x + 4)(x — 2) = 0 v x(x — 2) = 0)
<=> x < 2 A (x = 2, -4 v x = 0,2)
Luego {-4, 0, 2\ son las soluciones de la ecuación dada
© \x2 + 3 | = |2 x + l |
Solución
Por la propiedad: |a| = |b| <=> a = b v a = -b
|.x2 + 3 1 = \2x+] | x 2 + 3 = 2x + \ v ,v2 +3 = -2„v-l
<=> .t2 - 2 x + 2 = 0 v x 2 + 2 a + 4 = 0
<=> <{> V ({) = (J)
La solución es él (j> puesto que V x e R, a*2 - 2x + 2 > 0 , x 2 + 2x + 4 > 0

135. Sistema de Números Reales 121
(ÍO) | je2 +6.V + 1I =2.c + 6
Solución
Por la propiedad: |a| = b <=> b > 0 A (a = b v a = -b)
|.v2 +6.V + 11 =2.c + 6 » 2x + 6 > 0 A [x2 +6a + 1 =2x + 6 v x1 +6x + \ = -2x-6]
« x > - 3 A (x 2 + 4 .t-5 = 0 v x 2 +8,r + 7 = 0)
<=> x > -3 A (x = l,-5 v x = -l,-7) +
-7 -5 -3
Luego la solución es {-1.1}
©
3-v + 8
Ix - 3
1=8
Solución
3x + 8
2x - 3
| = 8 <=>
3x + 8 3x + 8
--------= 8 v --------
2 x -3 2x-3
= -8 , para x * —
o 13x = 32 v 19x = 16, Luego la solución es: x = — ,
16
jt = —
©
| |x| — 5 | = 2x — 3
Solución
| |x| — 5| = 2x — 3 « 2x — 3 > 0 A (|x| — 5 = 2x — 3 v |x| — 5 = -2x + 3)
o x ~~2 ^ (I ■* N 2jc + 2 v' | jc |= —2jc + 8)
=> x = -2 v x = —, por lo tanto la solución es x = —
3 3

136. 122 Eduardo Espinoza Ramos
@ |-v — 4 12 - 5 1JC-41+6 = O
Solución
Factorizando se tiene: (|x - 4| - 3)(|x - 4| - 2) = 0
« • |x — 4| — 3 = 0 v |x — 4| — 2 = 0
<=> |x — 4| = 3 v |x — 4| = 2
<=> (x - 4 = 3 v x - 4 = -3) v ( x - 4 = 2 v x - 4 = -2)
<=> x = 7vx=lvx = 6vx = 2, las soluciones son: {1,2,6,7¡
Hallar el valor de la expresión: + ^— ——Zi si x £ <2,5>
x
Solución
Por la definición de valor absoluto se tiene:
14x + 7 | = •
x — l si A>7
1 - x si X<1
- 4 a - 7 si x < —
4
ahora para x e <2,5> <=> |4x + 7| = 4x + 7, |x — 7| = 7 — x
como x e <2,5> o
| 4a + 7 | - 1 a - 7 1 _ 4a + 7 - (7 - a) _ 5a
— = 5
A A A
| 4a + 7 1 — | a — 7 1
= 5 si x e <2,5>
A
Hallar el valor de la expresión:
| 5a + 4 1 - 14 + 3a I
si x e <0,3>
Solución
Aplicando la definición de valor absoluto

137. Sistema de Números Reales 123
15.V + 4 1 =
5x4 4 si x > —
5
c „ ■ 4
- 5 x - 4 s i x< —
5
; |4 + 3;c| =
4 + 3x si x > —
3
4
- 4 - 3 x si x< —
ahora para x e <0,3> <=> |5x + 4| = 5x + 4, |4 + 3x| = 4 + 3x
| 5jc + 4 1 — 14 —3jc I 5x + 4 - ( 4 + 3x) 2x „
corno x e <0,3> <=>
----------1 1-------— =-------------------- = — = 2
15x + 4 1 - 14 + 3x |
-2 si x e <0,3>
rr li l i j i | 5jc — 2 0 1 — 13x — 2 0 1 .
Hallar el valor de la expresión:
-----------1--------------1 si x e <-3,-2>
Solución
Aplicando la definición de valor absoluto
Í5 x -2 0 si x>4
|5 x - 2 0 | = ; 13x-201
20 - 5x si x <4
l
3x - 20 si x > —
3
ln , . 20
2 0-3x si x< —
3
ahora para x e <-j.-2> <=> |5x — 20| = 2 0 -5 x , |3x — 20| = 20 - 3 x
, . 15.v - 2 0 1 - 13x - 2 0 1 2 0 - 5 x - ( 2 0 - 3 x ) 2x „
corno x e <-3,-2> <=> —— ■— '— ---------------------------------------------------!• =
----------- ----------=--------= -2
15x - 2 0 1 - 13x - 2 0 1
= -2 si x e <-3,-2>
17) Resolver la inecuación | x 2 - 41< 5
Solución
Por la propiedad: |a| < b <=> -b < a < b donde b > 0
IX2 — 4 1<5 <=> - 5 < x 2 - 4 < 5

138. 124 Eduardo Espinoza Ramos
o - 1<a2 <9 «> - 1 <a2 A x 2 <9
o xeR A -3 < x < 3
c=> -3 < x < 3, Luego la solución es
|9-x | >3
Solución
Por la propiedad |a| > b <=> a > b V a < -b
19 -,v2 | >3 <=> 9-a2 >3 v 9-a2 <3
<=> x 2 <6 v a-2 >12
<=> - a/ó < x < a/ó v x > a/Í2 v x < -a/T2
- s í ñ
Luego la solución es:
,3 a - 3
- M wm» m
-a/6 S VÍ2
/////////////////►
a€<^cdt“-a/Í2] V [-^¡6,-M] U [-a/Í2^,+3o>
A + l
<2
Solución
Mediante la propiedad: |a| < b o -b < a < b
, 3a - 3 3 a - 3
-------- < 2 <=> - 2 < --------< 2
A+l A+l
3a- 3 3 a-3
<=> - 2 < -------- A
--------<2
V
A + l A + l
o — —- > 0 A * — < 0 , para x * -1
A + l A + l
o (5x- l)(x + 1) > 0 A (x —5)(x + 1)<0, x*-l

139. Sistema de Números Reales 125
a < A / ~ r V ~ + ~ t>
-1 1/5 -1
x e < - » ,- 1 > £ /< — ,+
5
-1
o-
1HHHM
1 ¡5 / 5
-o
Luego la solución es X S < ~ ,5 >
Resolver: —!— e [—,1]
x + 4 3
Solución
—— e [ - , l ] => <1 => 1 < x + 4 < 3
x+4 3 3 x + 4
=> -3 < x < - l, luego la solución es x e [-3,-1 ]
21) Resolver
* 1 — r l
2 x - l x - 2
Solución
2 x - l
1 , 5 1 1 ,
------ o ---------->--------- para x * — ,2 se tiene
x -2 \2x-\\ | x - 2 | 2
5|x—21 > |2x - 1|, elevando al cuadrado 2 5 (x -2 )2 > ( 2 x - l) ? efectuando y simplificando:
7x 2 -3 2 x + 33 > 0 o ( 7 x - l l ) ( x - 3 ) > 0
+
11/7 3
Como (7x — 11 )(x - 3) > 0, se toma los intervalos donde aparecen el signo (+), es decir
< -oo,-y-] U [3,+to >. Luego la solución es: U [3,+*>-{!>'

140. 126 Eduardo Espinoza Ramos
22) Resolver la inecuación: | jr — 11 + 2 1 x - l | -3 < 0
Solución
Completando cuadrados se tiene:
(|jc-1|+1)2 < 4 o -2 < |x + 1|+ 1 < 2
o -3 < |x + 11 < 1
<=> -3 < |x + 11 A |x + 11 < 1 <=> R A -1 < x + 1 < 1
<=> R A -2 < x < 0,la solución es x e <-2,0>
23) i jc—31 —3 1 jc—3 1 —18 > 0
Solución
Factorizando se tiene:
(|x — 3| - 6)(|x - 3 | + 3) > 0 « (|x — 3| > 6 A |x — 3| > -3) v (|x — 31 < 6 A |x — 3| < -3)
<=> (|x — 3| > 6 A R) v 4>
<=> (x - 3 > 6 v x -3 < -6 ) A R
<=> (x > 9 v x < -3) A R
<=> (x < -3 v x > 9)
La solución esx e <sg,-3> U <9,+<x>>
\x\-\
2 -x
> 0
Solución
Por la definición de valor absoluto | x |=
x, x > 0
-x, x < 0
Si x < 0 => |x| = -x, reemplazando en la ecuación dada se tiene

141. Sistema de Números Reales 127
-x-\
>0
x + \
> 0
2 -x x —2
de donde (x+l)(x-2) = 0
x + 1
x + \
x -2
>0 « (x + l) ( x - 2 ) > 0, para x * 2
r _2
como
decir:
x -2
-1 2
> 0 la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (+) es
x e (<-oo,-1 ] U <2,+oo>) A <-f»,0]
X fe <-x:A] ...(1 )
Si x > 0 => |x| = x, reemplazando en la ecuación dada se tiene
.r-1
2 -x
> 0
-C-l
x -2
< 0 de donde
x — 1
Si
------< 0 <=> (X- l)(x - 2 ) < 0 para x * 2
x -2
Entonces (x - 1 )(x — 2) = 0 => t\ = 1, r2 = 2
x — 1
Como — —-< 0 => la solución es: x e [0,+»> A [1,2> = [1,2>
x -2
x e [ Ì s2> ...(2 )
La solución de la inecuación es la unión de (1) y (2) es decir: x e <-oo,-l] U [1,2>
I 1 — I T~~i I
2x + 3 3x + 7
Solución
1 . . x , 1 .1x1
2.V-+3 3x + 7 \2x + 3\ |3x + 71
7 3
Para x * — ,~—, se tiene: |3x + 7| < |x| |2x + 3|

142. 128 Eduardo Espinoza Ramos
-7/3 -3/2
a) si x <
13x + 7 | = —3x - 7
\x\= -x
|2x + 3 | = —2x—3
reemplazando (2) en (1) se tiene: -3x— 7 < (-x)(-2x —3) de donde 2x'
pero como VxeR, 2x2 + 6x + 7 > 0
la solución es:
. v o- 7 3
b) Si — <x< —
3 2
7 7
<~oo,~- - >K R ~ < - >
13x + 7 1= 3x + 7
| X |= - x
12x + 3 |= -2 x - 3
reemplazando (3) en (1) se tiene: 3x + 7 < -x(-2x - 3) de donde
2x2 - 7 > 0 => (V2x + V 7 )(V 2 x -V 7 )> 0
'V2
V7
V2
7 3 7 7
La solución es: < - y > A (< -o o ,-J—] [/ U íy >+0° >)
■ < _ Z _ ¡Ir
" 3 ' 1 2 }
...(2 )
! + 6x + 7 > 0
...(3)
2x2 - 7 > 0
^ [ |3 x + 7 | - 3x + l
c) Si — < x < 0 => • | x | = - x
2 I
12x + 3 1 = 2x + 3
• (4)

143. Sistema de Números Reales 129
reemplazando (4) en (1 ) se tiene: 3x + 7 < (-x)(2x + 3 ) de donde 2 x 2 + 6x + 7 < 0
como V x e R, 2x2 + 6x + 7 > 0 entonces la solución es:
_ * <L A
__ A.
2
d) Si x > 0 =>
13.v + 7 ! = 3x + 7
|x|=x
12x + 3 1 = 2x+3
... (5)
reemplazando (5) en (1 ) se tiene: 3x + 7 < x(2x + 3) => 2x2 - 7 >0
1S0
2.v2 - 7 > 0 <=> (V2x+V 7)(a/2x-V 7 );
La solución es:
luego la respuesta es: < y > t/ < - y ,-^ jy ] £/ [,+oo >
lx-H-ixl
1-1 x¡
> 0
Solución
[ Jt — 1, SÍ JC ^ 1
Aplicando la definición de valor absoluto: | x — 11 = < ’ ; | x |
11 — x, si x < l - x , si x < 0
x, si x > 0
0
a) Si x < 0
j |x | = - x
j | x — 1 ¡=1—x
...(2)
reemplazando (2) en la inecuación dada. —— — > 0
1 — (—x) I +x
>0
como
------> 0 <=>x+l>0, x*-l <=> x>-l
x +1

144. 130 Eduardo Espinoza Ramos
La solución para esto caso es: <-x,0> A <~c.~ )> - <-! ,0>
b) Si 0 < x < 1 =>
j¡,.V 1= A
ll A--1 |=1-A-
reemplazando (2) en la ecuación dada:
2 a -1
...(3 )
- A - A
I -A
> 0
A -l
> 0 <=> (2x — 1 )(x — 1) > 0 para x * 1
ahora mediante el criterio de los puntos críticos se tiene:
1 /2
La solución para este caso es:
í| a I = —A
c) Six>l => 1
1|A-1 i =A -1
reemplazando (4) en la inecuación dada:
——'—— >()<=> —í— >0 <=> x - 1 > 0 para x * 1 de donde x > 1.
1 “ A A - l
• <4)
La solución para este caso es:
Por lo tanto la respuesta es:< l.o > U f0,~3 v < !.+« > - ^ < ~ f.~ J V < 1,-x >
|2a2 - 3a- 9 1< 2 1 a2 - 2a-31
Se conoce que:
Solución
í 2a 2 - 3a - 9 = (2a + 3)(a - 3)
[a2 - 2a - 3 = (a +1 )(a -3 )
Reemplazando (1) en la inecuación dada
-.(1)

145. Sistema de Números Reales 131
\2x2 -3.V -9 | < 2 1 je2 —2jc—3 1 o |(2x + 3)(x- 3)| < 2|(x + l)(x - 3 )|
de donde: |2x + 3| |x — 3| < 2 |x + 11 |x — 31 para x * 3
se tiene: |2x + 3| < 2 |x + 1|, elevando al cuadrado:
4x2 +12x + 9 < 4x2 + 8x + 4 => 4x < -5 de donde:
.v < — ; luego la solución es:x ->x‘,— >
'•
........
I — 2| <1
x
Solución
Mediante la propiedad: |a| < b <=> -b < a < b
| —- 2 1 <11 <=> -11 < —- 2 <11 o —9 < — < 13
X X X
mediante la propiedad: a<b<c » a<b A b< c
-9 < — < 13 <=> -9 <— A -<13
9x + l . . 1 3 x -l .
<=>
-------> 0 A ---------> 0
1/9 0 0 1/13
La solución es: ,v e (<-■»,—^-> {/< 0 ,+ o o > ) A (< -» ,0 > U < — ,+*> >)
9 13
1 1
> (/< -,+ * >
9 13
©
|3x + 2| < |2x — 11 + |x + 3|
Solución

146. 132 Eduardo Espinoza Ramos
Aplicando la desigualdad triangular
V x e R: |3x + 2| = |(2x — 1) + (x + 3)| < |2x— 1| + |x + 3|
Por lo tanto la solución es:
4*+2X*3 - 9 > 0
Solución
Se conoce: 4 ' = 22'. 2 r+3= 8.2jr
4 V + 2'^ — 9 > 0 <=> 22v + 8 .2 r -9>0
2lx + 8.2A - 9 > 0 o (2* + 9)(2A -1) > 0
(2A + 9)(2A -1) > 0 o (2A +9>0 A 2A-1>0) V (2x +9<0 A
o (2X > -9 A 2X > 1) V (2* < -9 A 2X <1)
o x e (R A [0,+*>>) V (<j> A <-oo,0])
Demostrar que: Si |x — a| < R => x e [a — R, a + R]
Solución
Si |x — a| < R => -R < x — a < R
=> a - R < x < a + R
x e [a - R, a + R]
Demostrar que: Sí |x + 4 | < 1 => |
2jc + 3 7
Solución
2 t + 3 2x + 3
A la expresión
----- expresaremos en la forma: —— — = 2 +
x - l x - \ x - l
2 A -1 < 0)
. . . í l )

147. Sistema de Números Reales 133
Como |x + 4|<l => -I<x + 4<1 sumando —5 se tiene:
=> -6 < x — 1 < -4 inviniendo
1 1 1 , • j r
- — <
----- < — , multiplicando por 5
4 x —1 6
< —— < - — sumando 2
4 jc + 1 6
3 5 7 7
— < 2 +
----< — < —
4 x — 1 6 4
3 2a-+ 3 7
— < ——— < —
4 x — l 4
2a- + 3, 7
T T ' " 4
| 2a- 11 +1
a2 - 2a-3
<0
Solución
Por definición de valor absoluto: | 2a -11=
a z:
2 a - 1 , ,v> —
2
, ■> 1
1 - 2 a , x < —
+
1/2
Sí a < — => |2x — 11 = 1 — 2x
Reemplazando en la inecuación dada:
- 2a +1 A 2 a-2 n
---------<0 <=> — — - > 0 (x~ l)(x -3 )(x + 1)>0
a- - 2a- 3 ( a-3 (a' + Ì)
para x * -1,3. Mediante el criterio de los puntos críticos se tiene:
-1 1 3

148. 134 Eduardo Espinoza Ramos
La solución para este caso es: x € < - » , — > A (<-1,1] U< 3.+oo>)
x&< - J ,~ >
2
Si -v>— => |2x — 11 = 2x — 1, reemplazando en la inecuación dada
2x - 1 +1
.V2 -2.V -3
<0 <=>
(x-3)(x+\)
> 0 => x (x -3 )(x + l)>0,x*-l,3
Mediante el criterio de los puntos críticos se tiene:
-1 0 3
La solución para este caso es: x e [— ,+oo > A (< -1.0] U < 3.+oo >
X € <3,+«3>
Por lo tanto la solución de la inecuación es:x e < -1, — > U < 3,-f<*> >
* M ' '
I-V--.VI-2
\x\-l
> 0
Solución
A la inecuación expresaremos en la forma
-v - i 1*1-1
Ahora aplicamos la definición de valor absoluto.
x si x > 0
m=<¡ . , I-k- J K , . ,
-X SI X < 0 1 -X, SI X < 1
..(1 )
x - i si * > i < + \y - \ / + t
0 1
parax<0 =>|x| = -x , |x -l|= l-x ...(2 )

149. Sistema de Números Reales 135
-a(1-x )-_2 ^Q ^ -v2 -,-v.- 2 < o => ^ ~ 2^ + 1> < q
— A' — 1 A + 1 A + l)
para x * 1, —
----^'v-~ - < 0 => x — 2 < 0, x * -1
A+l
=> x e <-oc,-l> U <-l,2]
Luego la solución para este caso es: x e <-*,0> A (<-*>,-!> U <-1,1])
X € <-cO;r \> C J < - ] ,( ) > ...(a)
para 0 á x < 1, -=> |x| = x, |x — 11 = 1 — x ... (3)
reemplazando (3) en (1) se tiene:
>|l~Jrl~2 >o » = £ —ü ± l < o
A -1 A - 1 A - 1
pero como V x e R. a 2 —x + 2 > 0 => — <0 => x — 1 < 0
x # 1 => x < 1, luego la solución para este caso es: x e [0,1> A <-oc,l> = [0,1 > ... O )
para x > 1 => |x| = x. |x — 11 = x — 1
reemplazando (4) en (1) se tiene:
x U -0 - 2 ^ o :Y- — - I - > Q ^ (x ~ 2)(x+- ^ > o
A — 1 A — 1 A -l
=> (x — 2)(x + l)(x — 1) > 0, para x * 1
Ahora por el criterio de los puntos críticos se tiene
x e <Y>

150. 136 Eduardo Espinoza Ramos
Por lo tanto la solución general de la inecuación es: la unión de (a), (p) y (y)
x € <-'/v-l> U <-1,0> U [<),!> U [2.+x>
35) |4 a' - X1L~5 > 0
\ ~ 4 ?
Solución
A la inecuación dada expresaremos en la forma.
|4,-->iL-s>o =. Ly.!l£2-4.!y5>o ...(l|
1 - 4 7 h * i
Aplicando la definición de valor absoluto:
I -v |=1 si 1 2 0 , |.Y - 4 b { * ~ 4 51
-x si x < 0 4 - x si x < 4
4
Parax<0 => |x| = -x, |x — 4| = 4 — x ...(2 )
—x ( 4 —iri — 5 v2 —4r — S
Reemplazando (2) en (1) se tiene:
---------:------> 0 => —-----— > 0
1 + x x +1
|-, - 5 ) ( t t l | >0 para x x - 5 >0 =» x>5
jr +1
La solución para este caso se tiene: x e <-*,fl> A [5,+*>> = <j) ...( a )
Para 0<x<4 => |x| = x, |x — 4| = 4 — x ...(3 )
Reemplazando (3) en (1) se tiene:
x(4 — v)-5 4 x - x 2 - 5 A x 2 — 4x + 5 ^ A
—
- > 0 => --------------¿ 0 = >---------------> ()
1 -x 1 -x x — 1
como VxeR, x2 - 4x + 5 > 0 => —-— >0 => x — 1 > 0. x * 1
x -1
entonces x > 1, por lo tanto la solución para este caso es:

151. Sistema de Números Reales 137
x g [0,4> A <l,+ob>
para x > 4 => |x| = x , |x — 4| = x — 4
reemplazando (4) en (1) se tiene:
x e <1,4> ... (ß)
... (4)
jc(jc - 4) - 5
> 0
x~ — 4x — 5
> 0
x1 - 4x - 5
> 0
1 — X 1 — X x - \
para x * 1, (x — 5)(x+l)(x— 1) >0, ahora mediante el criterio de los puntos críticos se tiene:
-1 1 5
la solución para este caso es: x e [4,+oo> A ([-!,!> V [5,+oo>)
(Y)
La solución general es la unión de (a), (ß), y (y)
\2 -x \-x
8a- 19 - jc 2 |
<0
Solución
A la inecuación dada se puede expresar en la forma:
I*- x\ x ^ o ^ _[£—- 1 X— < 0 (propiedad del valor absoluto)
8x |9-jc
\2 -x \-x
< 0 <=>
8 j c - 1x - 9 1
| x - 21 -x 2
<0
8 jc — 19 — j c “ | 8 a — | x + 3 || x - 3
ahora aplicando la definición de valor absoluto
l* + 3| =
(1)
[ x + 3 , x > -3 Íjc- 2 ,
| A- - 2 1 =
, x > 2
|a- 3 |
, jc> 3
l—jc—3 , jc < —3 ’' ' 1.2—-C ., A < 2 ’1 ' \3 -x .. A <3

152. 138 Eduardo Espinoza Ramos
------©---------©---------©----►
-3 2 3
Sí x<-3, => |x + 3| = -x — 3, |x — 2| = 2 — x, |x — 31 = 3 — x ...(2)
Ahora reemplazamos (2) en (1) se tiene:
-i 2 i 2
£ 0 => 2- X- 1
-------SO
8 x -(-jc -3 )(3 -.v ) 8x + (3 + x)(3-x)
8jt + 9 -x2 jc2 V8jc—9
(x + 2){x-l)
(x -9 )(x + l)
< 0 <=> (x + 2)(x— l)(x — 9)(x + 1) <0, x -1,9
-2-11 9
de donde x e [-2,-l> U [1,9>
La solución para el caso en que x < -3 es: x e ([-2,-l> U [ 1,9>) A <-*>,-3> = ())
para - 3 < x < 2 =>|x + 3| = x + 3, |x - 2 | = 2-x, |x - 3 | = 3 — x ...(3 )
reemplazando (3) en (1) se tiene:
< 0 => => > 0
8x-(.v + 3)(3-x) 8X- 9 + * 2 x~ + 8x —9
(x + 2)(x-l)
(x + 9)(x-l)
> 0 <=> (x + 2)(x—l)(x + 9)(x —1) > 0, parax ^ -9,1
U + 2)(.v + 9 ) ( x - l) 2 > 0 , x * -9,1
-9 -2 1
de donde x e <-oo,-9> U [-2,1> U <l,+oo>
La solución para este caso en que -3 < x < 2 es:

153. Sistema de Números Reales 139
x e (<-oo,-9> U [-2,1> U<l,+oo> A [-3,2>
\ x e [-2 .1 > U < I,2 >
8x-(x + 3)(3-x) 8x-9 + x2 x 2 + 8jc-9
como x2-x + 2 > 0 V xeR => —— -------->0
x2 +8x-9
>0 => --------
--------->0 => (x + 9)(x—1) > 0, x * -9 ,l
x2+8a-9 ( x + 9)(x-1)
-9 1
8.v-(x + 3)(x-3) 8 x -x 2 +9 x 2-8 x -9
corno x 2 - x + 2 >0, V x => —-
-----------<0
x 2 - 8 x —9
+ V ' V +
< 0 <=> (x — 9)(x + 1 ) < 0, x * 9,-1 <
-------------*--------------v-------------►
x 2 - 8 x - 9 -1
de donde x e <1,9>
..(a)
para2<x<3 => |x + 3| = x + 3, |x — 2| = x — 2, |x - 3 | = 3 — x ...(4 )
reemplazando (4) en (1) se tiene:
* - 2 - * 2 < 0 = <Q 3 2 0
de donde x e <-oo,9> U <l,+oo>
La solución para este caso en que 2 < x < 3 es:
x g <-x,-9> U <1 ,+qo> A [2,3> = [2,3> ... (p)
para x > 3 => |x + 3| = x + 3, |x — 2| = x —2, |x - 3 | = x — 3 -.(5)
reemplazando (5) en (1) se tiene:
< „ 3. > - / .<: l l a l l i <Q

154. 140 Eduardo Espinoza Ramos
La solución para este caso es: x e <-l,9> A [3,+oo> = [3,9> ...(y)
la solución es: x e [-2.1 > U <1,2> U [2,3> U [3,9>
k37j | l í l | < 4 x + 3
Jt + 1
Solución
x + 3 x + 3
| — - | < 4x + 3 o (4x + 3 > 0 A - 4 x - 3 <
------< 4x + 3)
x + l x + l
, 3 . . . . x + 3 x + 3 .
<=> (x > — A (-4 * -3 <
------ A ------< 4x + 3))
4 x + l x+1
3 r-f 3 X + 3
o ( x > - - A (— - + 4 x + 3 > 0 A 4 x + 3 - -— — > 0))
4 x+l x+l
, 3 . , 2 x 2 + 4 x + 3 x (2 x + 3)
<=> (x > — A (
----------------> 0 A --------—L > 0))
4 x + l x + l
, 3 A / 1 A * x(2 x + 3)
o ( x > —- A (— -> 0 A
-------— >0))
4 x+l x+l
puesto que 2x2 + 4x + 3 > 0
-3/4
A ( <----------------------------------J tm m iH * A iLw//» /
V -1 -3/2 -10'
/ °--------------------------------- \
A l ■*
------------------------HMMHHHmHHMHtHH* /
V -3/2 - 1 0 '-3/4 \ -3/2 -1 o
o---------------o o
3
x e< — ,+oo > A < 0,+oc >=< 0,+oo >
4

155. Sistema de Números Reales 141
38) > ' - 3
x'+4| x2+x + 4
Solución
Aplicando la propiedad: VxeR, x 2 > 0 de donde
x~+4>0 A x~+x + 4>0, entonces
|x2+ 4 |=x2+4 luego reemplazando se tiene:
X > X 3— <=> x(x2 + x + 4 )> ( x -3 )( x 2 +4)
x 2 + 4 x 2 + x + 4
<=> x 3 + x 2 +4x>x2 - 3 x 2 + 4 x -1 2
<=> x2 >-3 => V x e R
@ J í M d d i _ ü l z i L d l + V 9 ^ > 0
y Ir + yi+l I r — 1 I +4|x + 2 |+ l | x - 1 1 +4
Solución
4
X II X | — | —12 11 1 — X | —3 1 f -
------ .
------------------------------- +V9-X > 0 , entonces
|x + 2|+l | x — 11 +4
x||xI —11-12 _jll~xI-31 ^ Q A 9_ ^ 0
|x + 2|+l | x -11 +4
^Mx-l|-12^j|l,-x |-3|
|x + 2|+l | x - 1 1 +4
además como U_!_LL_11 > o , entonces:
| x - 1 1 +4
x iix M i-n j i - x i ^ j ^ dedonde
|x + 2|+l | x - 1 1 +4
iLÜül—L!—— > o A x < 9 como |x + 2| + 1 > 0 entonces
lx + 21+1 ' '

156. 142 Eduardo Espinoza Ramos
x |x — 11 - 12 > O A x < 9 ... (1)
í jc, x > 0
Por definición: | x |= < , entonces
(-je, x<0
si x < 0 => x|-x — 11 - 12 > 0 => x|x + 1| - 12 > 0
I x+1 , x > — 1 .
como |.v + l| = i => x e <-go,0> = <-oo,-1 > U [-1,0>
| —x—1, X < - 1
si x e <-oo,-1> => |x + 1| = -x — 1 como
x|x + 11 - 12 > O => —jc2 —jc — 12>0 => x2+x + 12 < O v
=> 3 x e R, tal que x 2 + x + 12 < O; por lo tanto (j)
si x e [-1 ,0 => |x + 1| = x + 1 => x(x + 1 ) - 12 > 0
x2 +x-l2> 0 :=> (x + 4)(x — 3)> O *— + ^ y +
----------*
Luego x e [-1,0> A <-oo.-4] U [3,+ oo> = (j>
Ahora si x > O => x|x — 11 -12 > O A x < 9
=> x(x— 1)— 12 > O Ax<9
=> jc2 —jc—12>0 A x<9 => (x —4)(x + 3) > 0 Ax<9
-3 4
x e <-oo,-3] U [4,+oo> A x < 9
x g <-oo,-3] U [4,9]
como x > O A x g (<-oo,-3] U [4,9])

157. Sistema de Números Reales 143
@ ri
x + l x ~ + 2x + l
Solución
■ 1 i i x i 1 1*1
I
------l < l ^-----------1 ,
x + l x2 +2x + l |x + 1| \x + l\2
1 1*1 1 , l*l , j
<
- para x * -l => l <-------7 de donde
|x + l |x + l |2 l* + l|
|x + l| < |x| para x * -l => x + 2x + l < x , x * -l
2x + l < 0, x*-l => x< — , x*-l
2
I — 1! -2|— -|>0
x + 3 x+3
Solución
Completando cuadrados se tiene: | —+- |2 - 2 1 * + - 1 + l > l de donde
x+3 x+3
n * + l i ^2 , , x + l . , , . x + l , , ,
( |------l-l) 2 > l <» |
---- 1 -l > l v |-----| -l < -l
x+3 x+3 x+3
, x + l, „ . x+1, .
» I
----ri > 2 v I----- | < 0
x + 3 x+ 3
x + l . . x + l . x + l .
------1 > 2 => -------> 2 v -------< -2
x + 3 x + 3 x+ 3
x + l -, « x + l „ .
--------2 > 0 v -------+ 2 < 0
x + 3 x+ 3
x + 5 3x + 7
< 0 v
---------< 0
x + 3 x + 3

158. 144 Eduardo Espinoza Ramos
-5 -3 -3 -7/3
5 - 3 *
[ |- ——— I] = 2
x
Solución
| í z 3 í n , 2 « 2 < ^ < 3
X x
5 -3 x 5 -3 * 5 - 3 jc
2 < --------<3 <=> 2<— — A --------<3
0 2 - í ^ í s O A í ^ - 3 < 0
X X
5* - 5 ^n A 6x- 5 .
<=>
--------< 0 A --------> 0
X X
, + v - V + ,
0 1
u
5/6
jce<0,ll A x e< -oo,0 > U < — ,+°o >
6
0
o-
5/6 1
La solución es:

159. Sistema de Números Reales 145
Solución
<1 o 0 <
la expresión esta definida para 2 o / x - l * 0 , x > 0
2-Vjc * 1 => 4.v * 1 => x —
4
Por lo tanto analizaremos en: [0, — > U < — ,+to >
4 4
si -v > ~ entonces en (1) se tiene: .v > 0 A jc < 2-v/x -1
x> 0 A x-2-Jx + 1 < 0
x> 0 A (Vx - l ) 2 < 0 => x í <j)
[ |- x |] > 0 => [ |-jc|] > 1 o -x2l
como -x > 1 => x < -1 => x g <-oo,-1 ]
© [| -A' |] < 0
Solución
[| -x |] < 0 <=> -x <0 => x > 0 => x e <0,+oc>
si 0<x< — =;• x<0 A x>2y[x-l => c<0 A (Vx-1)2>0
4
=> x < 0 A x > 0 x = 0
Solución

160. 146 Eduardo Espinoza Ramos
46) [ |2 * - l|] = -3
Solución
[| 2jc—11] = —3 « • -3 < 2x - 1 < -2
o -2 < 2x < -1
47) [|Vx + lQ = - l
Solución
[|Vx+l|] = - l -1 < a /x + 1<0. La solución es <j> puesto que -Jx+1>0
48) tlx2-2x-8|] = |
Solución
Como — t Z => no tiene solución.
2
49) [\^x-[\x\] |] = 0
Solución
ti V *-11*11 l] = 0 o 0<4x-[\x\]<\
« 0 < jc- [ |jc|]<1
» [ U |] < x < [ |* |] + 1 , V x e R
§ ) [U 2 |]< 15
Solución
[|x 2 |] < 15 => [| -v2 |] < 16 => x 2 < 16 => -4 < x < 4
x e<-4,4>

161. Sistema de Números Reales 147
5Ì) [ |jc2 - 2jc- 3 |] = 0
Solución
[|;c — 2jc —3 |] = 0 «■ 0 < jc - 2jc- 3 < 1
0 < jr2 — 2jc—3< 1 <=> 0 <x2- 2x-3 A jc2 — 2jc — 3< 1
<=> (jc-3)(jc + 1) > 0 A (a* — 1)2 <5
\ / ~ . V + —» A - V 5 + l < x < V 5 + l
-1 3
» x e< -oo,-l][/[3,-t-oo > A x e< \-~Js,l+-yf5 >
<---------
-1
[MI]
<0
Solución
CI --V |]
< 0 <=> (x > 0 A [| —JC|]< 0) V (jc<0 A [ |- x|] > 0)
<=> (x > 0 A x > 0) V (x < 0 A x <-1)
<=> (x > 0 V x<-l)
oX € <-00,-1] U <0,+dO>
i'rAiiViírYiY¿iiwiii'v¿
JC+ {JC I
UHU I]
<2
Solución
Se conoce que | x |=
JC , JC > 0
-jc, , x < 0

162. 148 Eduardo Espinoza Ramos
i) si x > O => — — — < 2 <=> — - — < 1
x-[\x\] jc-[|jc|]
X - [ | x | ] X~[\x\] JC -C |X |]
- M - < 0 o ( [ |jc| ] > 0 A jc- [ |x| ] < 0 ) V ([|jc|]< 0 A jc- [ |jc| ] > 0 )
-Y — [| JC |]
» ( [ U l ] > 0 A jc< [|jc|]) V ( [ |jc| ] < 0 A [ |jc| ] >jc)
<=> (x > 0 A x e Zq ) V (jc < 1 A x e R)
o (jc e Z¿ ) V (jc < 1)
<=> x e <-oo,l> .*. x e <0,+oo> A (<-oo,1>) = <0,1>
¡i) Si x < 0 . .veZ => |x| = -x
< 2 => 0 < 2 => x < 0 , j c eZ " x e Z ”
-jc- [ |jc|]
x e Z " U <0,1 >
5 ^ D e m o s tra r que V x e R ; |x |> ^ /[|jc3 |]
Solución
P or p ro p ie d a d : V x e R , [| x |] < x < [| x |] +1
Si x e R => x7, e R ,
Luego V x 3 e /?: [| jc3 | ] <jc3 < [ |jc3 |] + 1 => [ |jc3 | ] <jc3 ... (1)
además V x e R: x < |x| => jc3 < |jc3 | ... (2)
Luego (2) en (1) se tiene: VxeR, [| jc3 1] < jc3 < | jc |3 => [| jc3 |] < I jc |3

163. Sistema de Números Reales 149
55) [|x [ |x |]|] = x
Solución
Se conoce que [| x |] e Z entonces como [| x[| x |] |] = x e Z
Es decir x e Z [|x | ]=xeZ => x [|x |] e Z
Luego: [ |x [ |x |]|] = x => [|x.x|] = x
[Ix2 I] = x => x2 =x = > x ( x - l) = 0 => x = 0, x = 1
por lo tanto [|x [|x |]|] = x
56) [||x|+l|]<2
Solución
Aplicando la propiedad [| x + n |] = n + [| x |] , n e Z
[I Ix | +11]< 2 => [||x|0+l<2 => [ ||x ||] < 1
como [ ||x ||] <1 => |x|< 1 => -1 < x < 1
D ^ D í3
3x - 2
Solución
Api icando la propiedad [| x |] < a => x<a+ l
ti £ ± > 3
3x - 2
3x + l
3 x -2
< 4
3x + l
3 x -2
- 4 < 0
3x + l- 4 ( 3 x - 2 ) 3x + l-1 2 x + 8
< 0 =>
-------------------< 0
3 x -2 3 x -2
—9 v + 9 x — 1
< 0 =>
------— > 0 , aplicando el criterio de los puntos críticos.
3.V-2 3 x -2

164. 150 Eduardo Espinoza Ramos
2/3 1
j c- 1 2
Como la inecuación es
------- > 0 , entonces la solución es: jt € < —» , - >U < l,+oo>
3x-2 3
[| x~ — 2jc — 2 1] < 13
Solución
Por la propiedad: si [| x |] < a => x < a
[\x2- 2 x - 2 |] < 1 3 => x 2 -2x-2 < 13 => x2-2x + 1<16
( jc — 1)2 <16 = > -4<x-l<4 => -3 < x < 5
59) 2[U + l |r - l l [ |. v |] < - 4
Solución
Como [|af + l|] = [ |i|] + l entonces: 2([| x |] + 1)2 - 1 1[| jc |] < -4 desarrollando
2[|jc|]2 +4[|jc|] + 2-11[|jc|]< -4
2[l jc I]2 - 7 [ |x |] + 6 < 0 =» < 2 [ |r |]-3 ) ([|* |]- 2 )< 0 . — -
3/2
como (2 [|:r|]-3 )([|jr|]-2 )< 0 entonces: [ |j c|] e [— ,2] => [ | j c | ] = 2 =>2<x<3
[| 2jc- | jc | | ] = jc
Solución
Se sabe por propiedad que si [| a |] e Z A [| a |] = a => a e Z
Luego como [| 2x- \ x \ |] = jc => x e Z => 2x — |x| = x
De donde |x| = x => jc e Z(j U solución es {0,1,2,...^}

165. Sistema de Números Reales 151
(61) |[|¿ I]~ ^ -^ I< V T
Solución
Calculando los valores de x en donde la expresión esta definida, es decir:
x — í
> 0 A x > 0 de donde x e [ 1 ,+x>
ahora calcularemos [| — |] cuando x e [l,+
2x
como x e [!,+*> => x > 1 => 2x > 2 inviniendo
0 < — < — => [| — |] = 0 , por lo tanto:
2x 2 2x
\ < ^ => 1 0 - J — \< J¿
2x V x V x
x - \
: -Jx
como
X-Ì
: -Jx
JC-1
< x => x 2 - x + 1 > 0
como x2-x + l>0, V xeR entonces para x e [l,+»>, x 2 - x + 1 > 0
Por lo tanto la solución es:
62) log, 3 (2x + 5) < -2
Solución
Aplicando la propiedad: logax<b sí 0 < a < 1 <=> x> a
log1/3(2x + 5)<-2 <=> 2x + 5>(—)
2x + 5 > 9 => 2x > 4 => x > 2
(ó?) log2(3x + 2)-log2(l-2x)>2
x e <2.+oc>

166. 152 Eduardo Espinoza Ramos
Solución
loga * > ¿>, a > 1 <=> x> ah A x > 0
3x + 2
log,(3* + 2 ) - lo g ,( l- 2 * ) > 2 => log2(-—- —)> 2
1 -2x
,3* + 2 3* + 2 3* + 2 i
lo g ,(
--------) > 2 <=> --------> 0 A --------->2*
l- 2 .t 1 -2 * 1-2*
3*+ 2 3*+ 2
<=>
--------< 0 A-----------4 > 0
2 * - l 1 -2 *
3*+ 2 11*-2
o < 0 A ----------< 0
2* - l 2* - l
-2/3 1/2 2/11 1/2
2 1 2 1
* e <
----,—> A * e< — ,—>
3 2 11 2
2 1
6^ log1/5(2* 2 - 3*4 5 )< lo g 1/5(* 2 +2* + l)
Solución
logu P(x) < loga Q(x) •» P(x) > Q(x) A (P(x) > 0 A Q(x) > 0), 0 < a < 1
1 og,,5í2jc2 -3 * + 5)< log1/5(*2 +2* + l), 0< j < l
\ 7
2*2 - * + 5 > * 2 +2* + l A (2*2 —3* + 5 > 0 /V *2 +2* + l>0)
* 2 -5 * + 4 > 0 A x*-1

167. Sistema de Números Reales 153
(x -4 )(x — 1)>0 A x*-l
x e <-to.1> U <4..+oo> x * -1
.....
. ■ ■ .....ni’...... ....... ■ ».».i ■ um
■ X « < - 3 0 . . 1 > u < - ] . ) > l i < 4 ,+ 5 C >
i .v + 3
logt( -)>1
-V'-l
Solución
x + 3
La variable x debe cumplir x> O A - —- > 0
-3 0
o-
x + 3
Como x > l aplicamos la propiedad: logr (
------)>1
x - 1
x + 3 [--------> X — X
x -1
x + 3 x + 3 .
> x = >
--------x > 0
x + 3 - x ' + x
X — 1
x 2 -2x-3
x — l x-1
>0
<0 => M K £ i i ) <0
x — 1 -1 1 3
x e <- <o,-l > U <1,3>
La solución es: x e<l,+oo> A (<-»,-1> U <1,3>)
x —9
66/ Hallar el menor de los números M tales que:
x - 6
| < M , sí x e [2,5]
Solución
x - 9 3
------= 1---------, como x e [2,5] => 2 < x < 5
x - 6 x - 6
-4 < x — 6<-1 => -1<—— < - -
x-6 4

168. 154 Eduardo Espinoza Ramos
- <
----— <1
4 x -6
1 jr — 9
—+ 1 < ——— < 2
4 x -6
5 x — 9
7 ái^ |á2
4 x - 6
Hallar el mayor número M de tal manera que: ——^ ' Y+—-- > M , si x e [-2,2]
.r3 +27
Solución
.v2 + 6.r + 14 = (x + 3)2 + 5 entonces: si x e [-2,2] => -2 < x < 2
l<x+3<5 => 1 < (jc + 3)2 < 25 de donde 6 < ( j c + 3)2 + 5<30
6 < .r2 + 6.v + 14<30
como x e [-2,2] =?> -2<x<2 => — 8<jc3 <8
19 < jc3 +27 <35 — < — -— < —
35 x +27 19
...(2 )
. . 6 . v2 + 6x + 14 30
de (1) y (2) se tiene: — <
-----------— < —
35 x + 27 19
M í
\x~ +6x + 6\ > 6
x3 +27 “ 35
M
1 1
Hallar el número mayor de m y el número M tal que para todo x e [ — ,1] se cumple:
x + 2
m <
------< M
x + 3
Solución
x + 2 x •+■ 2 1
A la expresión :— — escribiremos en la forma:
------= 1---------
x + 3 x + 3 x + 3
com o.ve[—,1] => — <„r<l sumando 3
2 2

169. Sistema de Números Reales 155
1.41
I
©
©
©
©
©
©
©
©
7 1 1 2
— < x + 3 < 4 , inviniendo — <
------< —, multiplicando por - 1
2 4 x + 3 1
2 1 1 J ,
— <
--< — sumando 1
7 x + 3 4
. 1 1 5 x + 2 3
1 — < 1
--------------------< 1 — entonces — <----< —
7 x + 3 4 7 x + 3 4
de donde
4 » * - 4
7 '■ .4
EJERCICIOS PROPUESTOS
Hallar los valores de x que satisfacen a las siguientes ecuaciones.
i 2x + 3 | + 4 = 5x Rpta. x = y
|3 x -l| = 2x + 5 Rpta.
| x2 - 4 1 = -2x + 4 Rpta. {0,2,-4}
1 - ^ - 1 = - Rpta. {2-2 + 2s¡2)
x — 1 x
(x-4)2 — 2|x-4|-15 = 0 Rpta. {-1,9}
12x + 9 | = x — 1 Rpta. (j)
|x2-3x-7|=3 Rpta. {-1,-2,4,5}
y I O
I —r l =3 Rpta. {-5,-2}
x + 4
©
|3x + 11 = 7 —x Rpta. { -4 .|}

170. 156 Eduardo Espinoza Ramos
|jc2 2 1 = 2jc + 1 R p ta .
{1}
©
| 3 x — 5 | + x — 7 = 0 R p ta .{ - 1 ,3 }
©
| 5 x - 3 | = | 3 x + 5 | R p ta .
< - >
©
| 2 x — 6 1 = | 4 —5 x | R p ta .
{_2 10.
' 3 ' 7
©
|6x + 3 |= |1 8 + x| R p ta .{ - 3 . 3 }
©
13x — 1 | = | 5x — 15 | R p ta .{ 2 ,7 } ^
©
| 5 x + 3 | = 3 x — 1 R p ta .
©
||x2 — 1 1 — JC | = x R p ta .{1,-1 + V2,1 + V2}
©
| 2 x — 3 | + 2 = | x — 6| R p ta .
4
©
| 3 x — l | - | x + 2| = l R p ta .
4 «
©
| jr — 4 12 - 5 | jc - 4 1 +6 = 0 R p ta .{1,2.6,7 }
©
2 1x2 - 2 |+ 5 = 6 | 2 jc2 - 3 | R p ta . { ± V2, ±2}
©
| 6x + 3 | = | 18 + x | R p ta .{ - 3 , 3 }
©
3 11jc + 1 1 —4 12 - 5 | | j c + 1 | - 4 | = 2 R p ta .{- 7 ,-3 ,1 ,5 }
©
1 lx I - 3 | = | 3 x + 2 | R p ta .
{_7 ’Í }
4 4
©
|| jc + 21 -1 12 - 5 | | j c + 2 | - 1 | - 6 = 0 R p ta .{- 9 .5 }
©
| 2x — 3 | - 1 = | x — 3 | R p ta .
< - 4

171. Sistema de Números Reales 157
@ ||x 2 -5jc + 1 5 |- x 2 + 8|=3jc + 9 Rpta. {-,16}
@ |x + 1 | + 2 | x —2| = | x — 8 | Rpta.
@ 3 |x + 1 |- 2 | x — 2 | = 2x — 1 Rpta. { |, 8}
® 2 11 A* — 5 1 -t-212 -11 II Jt- 5 1- 2 1+12 = 0 Rpta. {3,7}
II. Hallar el valor de las siguientes expresiones:
© |12 + 5-rJ ~ |1 2r 4*J si x € <1,3> Rpta. 9
®
| 7jc +101 — I 5a* — 101 . . . _ ^ ,
-----------y-!----------- si x e <0,1> Rpta. 6
®
|9jc + 8 |- |2 j c - 8 | . „ ,,
----------—---------' si x e <1.2> Rpta. 11
34) f f i .t 31 J3 -* ! si x e <0,1 > Rpta. 3
15.V-201-|3.V- 2 0 1 . „ „ „ ,
55) -
----- -----——------ si x e <-3,-2> Rpta. -2
© |6* + 32 | - 4I«-*I si x e <.3,.2> R pta. 2
© I 4-V + 1 | - | A -1 | g . x e < Q l > R p ta > j
38) 17Y + 2 1 I3-y + 2 1 si x e <0,3> Rpta. 4
3 1 3jc - 8 1 - 13x + 2 4 1 . e , „ ,
— !—
----------- si x € <-5,-4> Rpta. -6
2x

172. 158 Eduardo Espinoza Ramos
l$2)
n i.
(41)
15^41-14.4,1 six£<03>
Resolver cada una de las siguientes inecuaciones.
x + 2
2.V-3
I < 4
3 + .v 2
4 + - | <5
x
JC H
---I <6
X
x + 3jc +11
x -2
5 — | <1
x
x + -\ < 6
x
l<3
3 - 2x
2 + x
x + 3
I < 4
6-3.v
2x
<2
x + 1
> 6
.v
3-3.v
x - \
I>1
I > 2
Rpta. 1
Rpta. < -00,
10
9 5
Rpta. [— ,- ]
11 3
Rpta. < -00,— > U < 1,+od >
9
Rpta. [-4,-2] U [2,4]
Rpta. [-5,-1]
Rpta. [ -3-2V2 - 3 + 2V2] U [3 -2 o /2 ,3 + 2V 2]
w, 11 ,, 5
Rpta. <-00,
-----> U < — , » >
2 6
Rpta. < --,-l> U < - l , - - >
2 4
Rpta. <.-1 > U < - 1 ,- — >
2 4
Rpta. < -oc,0 > U < 0, — >
Rpta. <-», 1> U <1, *>>

173. Sistema de Números Reales 159
' f ^ ' 43+.v 2
2.V-5
4 -x
1*1
Rpta. < -oo,-3 > U < -3, — ][/[!, » >
Rpta. <-oo, 1] U [3,4> U <4, x »
i— i ì-
6-2.V 2
Rpta. [0,3> U <3, co>
©
, 3.V -1
I > - 6
| x —4 1 < -2x + 4
. x + 3
< 5-x
x + Z
I “ " 7 1 < 4jc + 3
.r + 1
Rpta. <-oc,2> U <2, oo>
Rpta. <-4,0>
Rpta. < -00.22 - -Jvì > U < -2.1 + 2sÌ2 >
Rpta. <0, oo>
|x — 2| < 2x Rpta. <y,0O>
| x -Q\-2x
<0
| x + 51 +5
|3x — 9| < x + 1
x - 2 . x + 3
.V + 4 x - 6
\x2 +3x|+x2 - 2 > 0
x + 16 x - 4
\4x~ — 8jc + 4 1 <4jc + 10
Rpta. <y[U) + \>
Rpta. <2,5>
Rpta. <6. oo>
2 1
Rpta. < -oo,-
3M 2 ’
00 >
Rpta. <-oo,4>
_ „ r3-V Ì5 3 + VÌ5
Rpta. [
----------,----------->

174. 160 Eduardo Espinoza Ramos
(68)
[69)
(70)
K !2 )
(73)
I x + 5 I > 2x — 3
12. r - l I +1
a)
.r2 -2 x -3
< 0
b) I 4x — 3 I > x + 2
I x2 - 4 1 > —2x + 4
|2x + 11 > 2 + x
© |4x + 3| > x + 2
Rpta. <--x>,8>
Rpta. <-l,3>
Rpta. <5,00>
|3x + 8| > 8x — 3
Demostrar que:
a) Sí I x I < 3 => —5— e<— —— >
x -1 4 10
c) Sí I x I < 2 I
x + 4 2
e) Sí I x — 3 I < 1 => | ^ | < 7
x - 1
g) Sí I x I < 3 => I ^ 4 1 <7
x-4 4
i) Sí Ix — 3 I< 1 => 1 < _ ! _ < I
8 x+4 6
k) Si Ix -2 |< y =>|x2- 4 |< ||x - 2 |
74) Sabiendo que: b > 0 y | x — a | < 2b probar que:
Rpta. <-00,-4> U <0,2> U < 2 ,00>
Rpta. <-0 0 , - 1 ] U [ 1. oo>
Rpta. < 00, 1_> U < — ,0 0 >
„ 11,
Rpta. < -00, —]
5 x +1 3
Si I x I < 1 =* I ——7 1 < 2
x - 2
b)
d)
f) Si I x —2 I < 1 => I x" —4 1 < 5
h)
j)
Si I x —4 I < 1 =>
2 x - 2
Si Ix I< 1 => | —-|<-
x + 3 2
Si I x — 5 I < 1 => — < —i— < 1
3 x - 3
1 1 ,
e < - , l >
x - a + 2b 5

175. Sistema de Números Reales 161
©
D e m o s tra r que si x ,a e < -o o ,- l] U [1 , * > entonces:| - - - | < | j c - ì / |
jc a
©
| — | 2 + 3 | — | < - ­
2 2 4
R p ta . -1 < x < 1
©
I M + 2 | < |jc2 | R p ta . < -to ,-2 ] U [2 , no >
©
l- v - 2 1 2 —3 1 jc—2 1 — 4 < 0 R p ta . < -2 ,6 >
©
| . c - I | 2 + 2 1 jc - 1 1 - 3 < 0 R p ta . < 0 ,2 >
©
| . v - 2 |2 —2 1 jc—2 1 —15 > 0 R p ta . < -3 ,7 > ~
© U l 2+ U l < v
4
3 3
R p ta . < — ,— >
H 2 2
©
2< | , v | 2 + \x\ R p ta . 1 ] U [ 1, » >
©
|jcj- 1 | 2 — | jc 3 — 11 —3 < 0
„ 4 r i — s/nr 3 + v r j -,
R p ta . [ 2 , 2 ]
©
| jc—3 12 —3 1 jc—3 1 - 1 8 > 0 R p ta . < -oo,-3> U < 9 , * »
©
| x — 1 12 + 5 1 jc —1 1 - 3 6 > 0 R p ta . < -oo,-3> U < 5,+co>
©
| * + ' | ! - 2 | * + ì | > 0
jc + 3 jc + 3
R p ta . < - 5 , - 3 > U < - 3 , -
©
1 x — 1 1 > | x | —2 R p ta . R
| x - 3 | + 2| x | < 5
„ 2 „
R p ta . < - y , 2 >
.v2 + 2|jc + 3|-1(x0 R p ta . [ 1 - - T Í 7 - 1 + V 5 ]
© 12,v- 5 i - 1 .V- 2 1 + 1 je I2 > 7 Rpta. <-*.-Ì6]t/[2V 2.+oo>
r~ | rn

176. 162 Eduardo Espinoza Ramos
(91J
©
©
©
@
©
(98)
,y2-|3 .v + 2|+.v> 0
| 3x —2 | < | x + 6 |
|x + 2| < \ x \ 2
|3.v2 - 2.v +11 > 3 1x2 + x - l |
| x — 1 | + |x + 1 |< 4
12x2- 4 x - 6 \ > 12xJ — 3jc — 9 1
| x + 6 | > | x + 9-| + | x —2 |
|4 x + 2|>|x — 1 | + 3 |x + 1 |
Rpta.
Rpta. <-oo,-2 - V2]£/[l+o/3,+oo>
Rpta. <-l,4>
Rpta. <-oo,-1 > U <2,+to>
1 + V 4 8 Í TT 1 — 7481 22
<-oo,
------------->U <------------,— >
12 12 5
Rpta. <-2,2>
Rpta. <-oo,—]
Rpta. (j)
Rpta.
13.v3-2 x 2 - l x - 21 > |x3 +6.y2 — 9jr — 141
|10-3.y + jc | < \x~ + x-6|
\2x¿ +JT-1I <\2xz - x - \ \
x —6|-|x —3|<|x — 1 I
(|x-l| + |*-2|X|l-*|-|*-2|) < jc2-6
6 -3 x |jc + 3|
x x + 12
x-3 4
3
Rpta.
2,v +1 < -
\x+2\
Rpta. <-oo,-2> U <3. oo>
Rpta. [4, oo>
Rpta. < -no,—]= > U < 0, >
V2 V2
Rpta. <-oo,-2]í/[^,+oo >
Rpta. <-oo,.l] U [3 ,« »
D . 15 3^/30-, t7 r25 3-^30
Rpta. <-oo,
---------—] U [— — ]
7 35 7 35
3sÍ33 -J33 -3 . ,, . . .
< -00,
----— ] U [-—- — ,3 > U < 3.4]
Rpta. <-*>-2>U < -2,~5+ >

177. Sistema de Números Reales 163
3 5
- < -
12.v - 31 *2+* + l
„ „ r 13 + 5Vl3 -13 + 5-/Í3 n
Rpta. [
-----------,---------------]
I—— I > -
1-l-vl x
Rpta. < -o o -l > U < -1,0 >U< >U< 1’+0° >
| x " — 2x — 4 8 1 ( | x ” — 2x 1 — | x — 121 )
| x —21 —6
<0 Rpta. {-6} U<-4,-3]U [4,oo>
2-|2-x|-x
|x -x 21-2
<0 Rpta. <2, oo>
l + | x | X
Rpta. < -oo,0 > U ^ o o >
2x-l x-2
Rpta. [-l-V6,|>t/<|,-l+V6>t/<2,oo>
x - l
>|x + 3| Rpta. [-1 —s/7,—n/6] U [1 + V 7,2> U h/6,+oo>
x + 1 1
< —
I x + 1 1 X
Rpta. <0,1>
| x 2 — 161 < x 2
x + 4 | x-11
12x2 +lOx|
14x|
x + 4
- < 3x
| x " + 4x + 4 1 x ' + 4
Rpta. < -oo,-4 > C/[— ,1 > U < l,+oo >
Rpta. [L+oc>
Rpta. R — {-2}
|x|+l|
■ > x — 1 Rpta. < -oo, -Jl >

178. 164
©
@
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
@
Eduardo Espinoza Ramos
14x2-91
12x + 51
>0
|x + 1 | - 2 | x | + 3 | x — 2 | < 6
Rpta. V x e R - { - :
3— | -Y -4x[
| x - 51+X2
<0
3|2x + 6|-|x + --| <6
V
1 x2 -16 , + 8(x +4) ^ o
x-3 9-x4
I / ' I - I ~~T 1
x' —4x + 8 x — 1
x x-2
2-|2-x[-x
|x2-x|-2
>0
[x|3 —4x 2 +20
|x | +1
16x-x2 |-4
4-lxl
>-1
Rpta. < —0 0 ,2 - -Jl ] U [1.3] U [2 + ^,+oo>
Rpta. <:-00.-3] U [ - 1 , - |] U < 0,—^ y ^ ]
Rpta. [-4,-3> U <3,5]
Rpta. < -oo, — ] - {1}
Rpta. [-V 2,V 2]-{0}
Rpta. <-oo,-l> U <-l,2>
Rpta. <-oo,-4] U [-2,2] U [4
Rpta. <-4,0> U <0,4í> U <5,7>
(|x + 21 +1x — 21)(| 1—x| —12—x|)>x -6Rpta. [-1,3]
| x — 1 | - 1 x | + | 2x — 3 |> x + 2 Rpta. < -oo, — > U< 6,+oo >
( V |x - l |- 3 - V 5 - |x - 4 |) ( V |x - l |- 3 + V 5 - |x ^ 4 |) < | x | - 6 Rpta. [4,7]

179. Sistema de Números Reales 165
(| x | +2)(| x [ -2hlx2 + 4
(| je2 + 3 1 -4 a )a /a 2 +5
>0 Rpta. <-oo.-2] U <1,2] U <3,To>
,Al£Ì^£|<_L.
X+1 x+l
x - 3
(a + 3)(x - 5) | x |
U I2+2
Rpta. < — ,5 > -{3}
Rpta. <-3,5> - {0}
3a-a2
I
------— I
A' + 2
(a + 3)(a- 5 ) |a[
I a | 2 +2
<0
Rpta. <0O, —] - {-2}
Rpta. <-3,0> U <0,5>
138) (| x | - l)(2x+ l)(|x| + 3)>0 Rpta. [—1,—— ]u[l,+oo>
139) ! 6a + 9a-3 |< | 2x -9 x + 21
o * 11 21
Rpta. <— ,— >u< —,—>
2 4 5 2
(140) | a 2 - 512 - | a 2 - 51< 12
141) (|x —2 | + |a —3|)(|2 —x |-|3—a|)>|a
Rpta. [-3,-1] u [1,3]
Rpta. [->73-1,2]
Rpta. <-oo,4 ]—{-2}
U43J |x-6 |-a+|x + 2-[<3
Rpta. -,+oo >
[144) I*-4| + |2a + 3 |^ 2
I A — 11 —1
Rpta. <0,2>

180. 166
©
©
©
©
©
©
0
0
©
0
©
0
Eduardo Espinoza Ramos
|x-5| + l*+![
x — 1
| A' - 8 1 -JC+ I A' + 4 I
A-+ 2
-r|-3 ^2-U|
<3
Rpta. <-oo, 1> u [3,+oo>
Rpta. < -*,-2 > u < — ,+oo >
5 - 1x | |jc|+1
(^j\x-\\-3 -^¡5--\x-4\)(y¡\x-l\-3 +^¡5-\x-4\)<x-6 Rpta. [4,7]
(Vi *-21-4 - V^-lx-3 | ) ( V U - 2 1-4 + a/6-|a--3| ) < \x-- 21 -5 Rpta. [-3 ,-2]u [6,9]
|x + l|.||jc-l|-2|
I Jr—11
-1 +
x-3
x~ + 4 | x + jc + 4
>0
Rpta. < -00,-3]u [ | (1 + V Í7)3 > u [ |( 3 + a/Í7 ),+oo >
a||a + 1 |- 2 |- 6 Hx + 31-11 , ^
| a - 2 1 +5 IJC + 1 1 +2
|x~2 | —x
8a- | 9 -jc2
. 1
>0
Ia-I-1
<2
|x~ + 2.r+ 3 | + 1 A'2 —1| <6
|x —1 I- |x 1 + |2x-3 |>x + 2
\x2-x \-2
Rpta. [4,9]
1*2 + 2 | (jc2 +a- 1 2 )
\x2 + JC + 1|
x 2 — 3 jc+ | jc — 11 +4
|jc- 1 |+jc2 +10JC + 27
| A2 +71 \(x2 - 5a' + 6)
<0
<0
<0
(jc- — 9)(jc +jc + l)
| a 2 + 9 1 +3
> 0
Ia-I+1
>0
I A2 -1
(a-2)(a-4)
<1

181. Sistema de Números Reales 167
[ ,v + 5 1 -4x+ | x - 2 1
|x2+2|
| x + 5 | +8
>0 163/ ||x|-|2x + 3||< ||x|-|2x + 2||
165) |x - 4 |+ 8 > |x-2|+4x
|3x + 2| a/x2 +5
- x 2 +6x-3
I x — 212
>0
|x~ + 4| x(x + 2) + 2(x + 3)
- 2 1x2 | + |x2 - t |+l
x2 —5x + 6
x2 +3-|x2 — 2x — 151
<0
19 -x | -8x
<0
m 1 3 £ Ì+ 5 £ + 2 Is 0
x 2 +5
169) | x — 1 |-|x + 2| + |x + 4|<8
|x2 — 161 < x2 + 4
x + 4 |x-
|4x-x2 |-5
1 + Vx
>0
x3 -x 2 +4x
|x2 - 3x + 2 1
>0 1757 1 <
x2 + |x| -3
l+|x|
[176) x-lx + H-lxl^Q
Il X1 -1 1
[177) 4 < i f ± ^ L ± l £ ± l L l < 2 5
| x + 2 1 +2
(178) —
----
< 0
I x | -1
[2x-x2 |-3
|x2 - 2 x - 1 5 1 - x 2 - 3
¡ x 2 - x | - 2 1 x 2 C O S TC I +1
x 2 - 5x - 6 cos n
< 0
[,79} | j ~3 |t7 ~it>»
| x + 3 | -2
1181) |X| <x-l
Il x | -41
lui+n
> 2x 4-1

182. 168 ■duardojjspiítoza Ramos
[186) |j í| - |2j- -1J >ü
JCÍJr-l)
188) a 2 + a + 1—|x 3 — 11 > O
190) L - — l 3- ^ i < |x | -4
192) |jc- +2jc + 3| + |.y --1 | < 6
\ x - x 2 |.(V^ — 1)
x - 6x
1 1 6 - A2 I —A'2
a2- | 2 -a|
>0
> 0
| V-v2 — 6jc + 9 — 3 1 > -JJ-x
200) | x ' - 5 a + 7 | > x " - 1
!.* .! > ||x2 +6[-3|
||x2 +l|+ 3|
j c- |jc + 1 | - |j c|
IUI-11
1 4 x -x 2 1-5
<0
> 0
- e o s n -^ x '
V | x - 3 | - | x - l |
x 2 - 9
\4x - i \ - 4 x
< 0
U 4|
l*2 + |3x||
> 0
< |x |- 4
1199) x 2 + x + l - | x 3 - 1 1>0
3 - |x - 4 x |
| x - 5 | + x 2
<0
202) ( x 2 - 6 x + 8 ) V ^ - | 4 - x 2 | < 0
( | 4 x - x 2 | —5)-y/Á(x-l)(x —3)
I x | -1
| x —3 |3 +2(x-3)2 - 5 1 a-3 | -6
( x - 2 ) 2 —2 1 x —2 1 -24
14 —x | + 1 2x + 3 I
I A — 11 —1
| 3a 2 + 5x + 2 1 - 4
a2+ 5
< 0
< 0
■ < 2
>0
I A — 1 | +2 | — | A — 1 |
x +2
> 0
U - 4 |
4 — | x |
> -1
. a - 6x + 7 , 2
I
--------- ----1<-----:¡
A — 1 A — 1
[209) |^ _ 8 |< ||- 6 | + |x-2|
A3 - A2 +4X
| a2 - 3a + 2 1
>0

183. Sistema de Números Reales 169
-Vl-v-41-l jc-11 w UI-1
IV. Encontrar el menor número M con la propiedad de que para todo x e R se cumple:
© 2x - x 2 <M Rpta. M = 1
© \ - 4 x - x 2 <M Rpta. M = 3
© 2 - jc 2' 3 - x lli < M Rpta. M
© 2jc 2 3 -Jt4 ' 3 < M Rpta. M =1
© \ + 6x—x2<M Rpta. M = 10
© 3 + 36jc-12x2<M Rpta. M = 30
V. Encontrar el número mayor M con la propiedad de que para todo x eR se cumple:
© M< 3 + 4 - - - Rpta. M = —
x~ x 6
^5 ) M < x 2/5 - x lls - 2 Rpta. M = - ^
© M <9.v2 —4 8 * -3 6 Rpta. M = -100
A /< 5x2-20x + 16 Rpta. M =-4
© Si 2x + 3 e [7,11] encontrar el valor M que satisface a la siguiente desigualdad
X+ <M Rpta. M = ——
x - 7 5
( 7 ) Si x g [y ,y ] encontrar el mayor valor M que satisface a la desigualdad M < - + ^
Rpta.

184. 170 Eduardo Espinoza Ramos
©
©
©
©
©
[15)
fí?)
1 x — 1
Sí — e ¿>[< -oo,l > U < 2,+ro > ]. Hallar el menor valor de M tal que |
--------1 < M
x 2x+5
x + 5
Sí |x — 31 < 1. Hallar el número M tal que: |
------1 < M
x + l
Hallar M tal que sí |x| < 2 =>
x + 4
<M
Encontrar un número M positivo tal que:
Encontrar un número M positivo tal que:
Encontrar un número M positivo tal que:
Encontrar un número M positivo tal que:
14) Encontrar un número M positivo tal que:
Encontrar un número M positivo tal que:
x 3 -2x2 + 3 x - 4 | <M
x + 2 , 1 3
------\<M si .te - ,— 1
x -2 2 2
x -3 x + 4|<Af sí x g [-2,2]
x2 +4,v-3 | < M sí x g [-2,4]
x + 2
x —4
< M sí x g [5,8]
x +2x~ - 3 x - 6 | <M sí x g [-2,5]
Encontrar un número M positivo tal que: | x 4 - 2x3 + x 1 - 3x -51 < M sí x g [-3,-1]
x — 6x + 2 9
Encontrar un número M positivo tal que: |
--------------1 < M sí x e [— ,4]
x + 5 2
18) Encontrar un número M positivo tal que: |
x + l
x 2 +4x + 4
< M sí x g [-1,3]
x — 3x + 5
Encontrar un número M positivo tal que: | —
-----------1 < M si x g [0,4]
x ' -2x-5
x ” + 6x + 14
Hallar el mayor número N tal que: |
-----_ ■' ■—- 1 > N si x g [-2,2]
x 3 +27

185. Sistema de Números Reales 171
21) Si — e (< -to,1 >U < 2,+oo> ), Determinar el menor número M tal que | ——— | <M
x x + 4
22) Determinar el número M tal que: | ——<M , V x e <l,3>
®
x^ +14
Hallar el menor número M tal que: | —-
--------------1 < M , sí x e [-1,2]
x -4jc + 14
( 2 ^ Hallar un número M tal que: sí |x| < 1 => | -í-í— | < M
x + 3
VI. Resolver las siguientes ecuaciones:
© [| 3x |] = x + 2 Rpta. x = 1
© [| 3jc I] = 2x + 2 Rpta. x = 2 ,^
© [| l £ r -21- 3 1] = 5 Rpta. <-7,-5]U [9,11>
© [|2-|jt||] = 1 Rpta. [-1,0> U <0,1]
© [| 3 x -51] = 2x + \ Rpta. {6,-^}
© [|V 3--v |] = 2 Rpta. <-6,-1 ]
© [| U ~31 |~ 1 13 = 2 Rpta. <-9,-6] U [8,11>
© [lliy ^ l l ] = - l Rpta. 4)
© [II—y —_ 3 1|] = -1 Rpta. <J,
© t i l t i l ] = 5 Rpta. [- 4 , - ^ > í / < - ^ , - Z ]

186. 172 Eduardo Espinoza Ramos
©
[II - ^ 7 II] = 3
x + 1
Rpta.
4 3 \
[-3.-2 >U< — , - - ] \
5 5
©
( l % + 3 |) = 3 Rpta.
23 m r ,
< ------,-9] U [6,— >
2 2
©
[ | | 2, : - 1||] = 1 Rpta. <
©
x ■+■ 2
t l ^ l ] = 2
x+3
Rpta.< ü .8]
2
©
[1 U - 2 |+3 n = 4
Rpta.[-1 ,0 u <0,1]
©
[| 2 - 1 x 11] = 1 Rpta.[7,9>
© [1 ~ ~ T 1] = ^
x + 3
Rpta.
r 13 16
T ' ~ T >
©
[I* 2 - 2 x |] = 3 Rpta.< l- 7 5 ,- l] u [ 3 4 + V 5 >
©
[| 2x |] - 1 x — 11 = 2x —3 Rpta.{-2 — — 4}
3 ’ 3
©
l[U 2 |]—11=3 Rpta.< -V 5 ,-2 ]u [2 ,V 5 >
©
r. | x - 2 | + | 2x - l |- 2
3
Rpta.
5 2 . r8 11
< — .— ] ^ [ - , — >
3 3 3 3
©
ti x—11]2 + 2 [|x |]2 =57 Rpta.[-4,-3>
VIL Resolver las siguientes inecuaciones:
©
[ | ~ ~ ~ l ]< 2
x + 2
Rpta.<-oo.-2> U <-l,3>
©
[|4 x 2 — 5x—4 1] < 1 Rpta.< ——,2 >
4

187. Sistema de Números Reales 173
©
[112* ' + 5.t | —2 11 < 1
©
|[ |- j c |) - l |< 2
[ |* - - i |] a o
©
[1-73- 2jc|] < V3
©
[|.v2 - l | ] < 0
© i l f ' l K i
5 - x
©
[12a: — — 1] > 1
X
© [ |x2 -41] < -1
©
2x + 3
[ | | ^ - f - l | | ] < l
x + 1
©
4
©
[12.V-— |] > 1
X
©
o
V
n
l
<N
1
r*i
•—i
i—i
©
y ü R _< 0
[|x — 2 jc — 191]
©
-J[\x\]2-I2([\x\}2-
©
f i * s „
[|.v -2.V -3 |]
R p ta . <-3,--> U <-!,->
2 2
Rpta. <-3,0]
Rpta. <-oo,-1] U [ 1 ,+oo>
Rpta. <0,+oo>
Rpta. < -V 2 ,V 2 >
Rpta. <0,5>
Rpta. [-2,0 > U [ - ,+ * >
Rpta. <-2,2>
2
Rpta. < -oo,—— > U <6,+oo>
Rpta. < -oo,-5] U [5,+oo >
Rpta. [-2,0 > u[-j ,+oo >
Rpta. [0,2]
Rpta. < 1 -2^5,-3]u[3,1 + 2^5 >
Rpta. <-oo,-3> <4,+oo>
Rpta. [2,3>

188. 174 Eduardo Espinoza Ramos
V ili.
©
©
©
©
©
[ |x - 2 [ |x |] |](x2 -4)>O
([|x |]-2 )V Ü y + 2 |(x 2 -4 x + 3)>0
19) [| jc — 2 |].(x2 — x + 2) > O
ti - * 0 - 2
Vl-J
x 2 - [ |x |] - 4
<1
<0
1*1]-
| * - 1 1 -ti * |] | < x ©
(|x — 5 1 +2x + -Jx-5 —[|x — 2 |]x + 5)(x-^y-)
a/ 6 -x
(x 2 +4x + 5)-V x-l(2jr + senx)(x + 2)
< O 129
>0
([!* !]--)(* —2 x -3 )
Resolver la inecuación logarítmica.
log,,, 12x—3 1 > —3
log2(x-3-\/x + l +3) <1
>0
6 - [ |x |]
23) ( [ |x |] - x ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) 2 > 0
V 2-j
1*1 [| * - i 13—9
> 0
- 2 x - l_ l > x - 2 JxJ
5x + 26 x + 7 x
[I* - 9 1]
< 0
31) n ^ ± Í D * 4
Rpta. <>-{-}
2 2 2
Rpta. [-1,0> U <3.15>
, |x + 4 x |+ 3 A
log 7 7 ¡
-----
x + 1 x — 5 1
Rpta. [— ,+oo >
4 x - l 1
1o82[- ^ —
----- I - " 1
2x‘ -4x-6
Rpta. [2,-i- > U < 4,+oo >
, rl 2 * —3 L .
log[^
------— > 1
x +1
Rpta. < ^ ( V 2 l - 3 ) ,l >

189. Sistema de Números Reales 175
© l‘>g(.v 4) (3 -* ) <2
0 log, (2.r + 6 )< -2
( s ) log v > 1
v -1
log, 13 - 4.v|> 3
@ lo g ,1 3 - 4 v |> 2
© l()gf.[l 1 +35] > 2
©
2 4 - 2 * - v2
k W ^ Ì
------- — » 1
® ,08'(i T ^ ’21
(h) log(a - 3 V-v +1 -4-3) < 1
(i? ) log5(3.v-5) > log,(7-2.V )
^ ò ) log, (.v -4.Y + 3) > -1
© log2(| -V — 2 1 -1) > 1
© l0 g ^ H (l ^ 7 ) - °
(Í9) log(;(2 + .v )< l
@ log2(.v2) + log2(.v4) > 3
Rpta. cj)
Rpta. < 2 ,+ x >
Rpta. < 1,3>
^ 5 11
Rpta. < —x ,— > u < — .+■» >
4 4
Rpta. < -0 0,—y > u < 3,+» >
7
Rpta. < — ,5 > u < 5,+x >
Rpta. < - 3 . 1 > u < 3 , 4 >
Rpta. < -1 + VÄ.2 > u < 2,5]
Rpta. [-1,0> u < 3 , 1 5 >
_ 12 7
Rpta. < — ,—>
5 2
Rpta. [0.1> 'u <3,4]
Rpta. < - x , - 1 > u < 5 ,» >
Rpta. < 0 , i> l [2,+to>
(2 0 ) lo g , (.v2 - 4 ) > lo g , ( 4 .v - 7 )
1 1
(22) log, (8-2a)>3
T

190. 176 Eduardo Espinoza Ramos
1.42 CONJUNTOS ACOTAPOS.-
a) DEFINICION.- Llamaremos cota superior de un conjunto A c R a todo
número k e R tal que x < k, VxeA, ósea que cualquier número
que sea mayor o igual que los elementos de A se llama “cota superior de A”.
Cuando A tiene alguna cota superior, diremos que el conjunto A es acotado
superiormente.
Ejemplo.- Sea A = <-*,3> y la cota superior k = 5
c ota s su p e rio re s de A
A .
---------C ...............,.............,.................,...............;.......R
x 3 4 5 6 7
Observamos que cualquiera de los números reales mayores que 3 e incluso el 3 es cota
superior de A.
De todas estas cotas superiores de A, él número 3 es la menor. Luego daremos la
siguiente definición.
b) DEFINICION.- A la menor de las cotas superiores de un conjunto A c R y
acotado superiormente, se le llama supremos de A o mínima cota
superior de A y se denota por Sup(A).
OBSERVACIÓN.-
O El supremo de A es también una cota superior de A.
© La menor cota superior k = Supremo de A = Sup A esta caracterizada por las
condiciones siguientes que es equivalente a la definición.
K = Sup A o V x e A y para toda cota superior k' de A, se tiene que x < k < k'
© El supremo de un conjunto A, si existe, no es necesariamente un elemento de A.
como en el caso de A = <-x,3> cuyo supremo es 3 no pertenece al conjunto A.
La existencia del supremo para conjuntos acotados superiormente esta dado por el
siguiente axioma.

191. Sistema de Números Reales 177
1.43 AXIOM A DEL SUPREM O O AXIOM A DE LA M ÍNIM A COTA
SUPERIOR.-
......
Todo conjunto A de números reales, no vacío y acotado superiormente, tiene una menor
cota superior en R.
Ejemplo.- Demostrar que sí A = <-oo,3> entonces Sup A = 3
Solución
Probaremos esta afirmación por el absurdo.
Supongamos que 3 no es la menor cota superior de A, entonces se puede asegurar que
k + 3
existe una cota superior k de A tal que k < 3 y puesto que k < —-— < 3
Tomamos k'=—— => k<k'<3 ...(1 )
2
De donde k'e A = < -oo,3 > , pero siendo 1 cota superior de A debería tenerse k'< k
contradiciendo a (1).
La suposición es absurda por lo tanto Sup A = 3.
a) DEFINICION.- Llamaremos cota inferior de un conjunto A c R a todo
que sea menor o igual que los elementos de A se llama “cota inferior de A”.
Cuando A tiene alguna cota inferior, diremos que el conjunto A es acotado
inferiormente.
Ejemplo.- Sea A = [-2,7> y la cota inferior k = -2.
Se observa que cualquiera de los números reales menores que -2 e incluso el —2 es cota
inferior de A.
número k e R tal que k < x, V x eA. Osea que cualquier número
co ta s in fe rio re s de A
A
R
-4 7

192. 178 Eduardo Espinoza Ramos
De todas estas cotas inferiores de A el número -2 es la mayor. Luego daremos la
siguiente definición.
b) DEFINICION.- A la mayor de las cotas inferiores de un conjunto A c R y
acotado inferiormente, se le llama infimo de A o máxima cota
inferior de A y se denota por inf (A).
OBSERVACIÓN.­
, © El infimo de A es también una cota inferior de A.
(T ) La mayor cota inferior k = inf(A) = infimo de A esta caracterizada por la condición.
K = inf(A) o V xeA y para (oda cota inferior k' de A se tiene k'< k < x .
© El ínfimo de un conjunto puede no ser elemento del conjunto dado.
Ejemplo.- El conjunto A = [-2,7> esta acotado superiormente por 8 e inferiormente por
—3, además la mayor cota inferior es -2 y la menor cota superior es 7 por lo
tanto: Sup(A) = 7 y Inf(A) = -2 de donde Sup(A) í A, Inf(A) e A
Cuando en un conjunto A se tiene que Sup(A) e A entonces el Sup(A) también se le
llama el máximo de A y si el Inf(A) e A entonces al ínfimo de A también se le llama el
mínimo de A.
c) DEFINICION.- Un conjunto A se dice que es acotado, si es a la vez acotado
inferiormente y superiormente.
Ejemplo.- El conjunto A = <1,7> U [30,50] es acotado y Sup(A) = 50, Inf(A) = 1.
Ejemplo.- El conjunto A = <-x>,-5] U <l,+oo> no es acotado inferiormente ni
superiormente.
1.44 PRINCIPIO ARQLIMEDIANÜ.-
Si x es un número real positivo entonces existe un número natural n0 tal que
0 < — < x (o equivalentemente tal que xn0 > 1 )
»<>

193. Sistema de Números Reales 179
D em ostración
Demostraremos por el absurdo. Suponiendo que nx < 1, V n e N
Por lo tanto el conjunto A = {nx / n e N} esta acotado superiormente al menor por k= 1,
y por el axioma del supremo el conjunto A posee una menor cota superior k (Sup A) en R
que satisfece la condición nx<k<l, V n eN pero siendo x > 0 => k—x<k y por
lo tanto (k — x) no puede ser cota superior de A puesto que k es la menor de todas ellas.
Luego existe un elemento de A: /n,jc como e iV tal que k - x < m^x < k . . . ( 1 )
Pues si así no fuese, entonces se tendría que nx<k-x, VnxeA => k — x seria cota
superior de A lo cual es felso.
Luego de (1) => Jt<(m1+ l)x => k<mx, con m = (m1+l)eiV
lo cual es absurdo, pues siendo k = Sup A debería tenerse mx < k, de esta manera el
principio queda demostrado por el absurdo.
E jem plo.- Probar que el conjunto A = {—ln&N} es acotado.
n
Solución
Ubiquemos los elementos de A en una recta para x = —, n e N.
n
n = 5 n = 3 n = 2 n = 1
ò l i i i r
n 5 3 2
Ahora encontraremos el supremo y el ínfimo de A como:
VneN => n> 1 => 0<x= — <1
n
Cuando n crece los elementos de A se acercan al cero (0) pero sin coincidir con el 0 para
n e N de esta observación se tiene:
R
... (i)
Sup (A) = 1 e A inf (A) = 0 e A

194. 180 Eduardo Espinoza Ramos
Probaremos que inf(A) = 0, de (1) se vio que 0 es una cota inferior, si no fuese la mayor
existiría otra cota inferior k mayor que 0 y por principio Arquimediano se tiene que existe
un n0 e N tal que 0 < — < k lo cual es absurdo pues — e A y siendo k cota inferior
«o «o
de A debería cumplirse que k < — , de manera que Inf A = 0.
«o
© Si A * <|>, B (|), dos conjuntos acotados superiormente tales que A cB , probar
que Sup A < Sup B.
© Si A * <)>, B * (|> son dos conjuntos acotados inferiormente tales que Ac=B probar
que Inf (B) < Inf(A).
©
Hallar supremos y el ínfimo de A = {-—— / n e N ) , B = — +^n / n&N}
3«+ 4 3«+ 8
Rpta. sup(^) = - — , inf(A) = - 2 , sup(S) = 4 , inf(5) = 0.2
© Determinar el supremo y el ínfimo si existen en cada uno de los ejercicios.
a) A = { x e R /x ¿ <9} Rpta. Sup A = 3, Inf A = -3
b) A = {xeR /2l + 4 x -x 2 >0} Rpta. Sup A = 7, Inf A = -3
. . ,3 + 2« ,
c) A={- / n gN}
3 - 2 n
Rpta. Sup A = 5, Inf A = -7
d) A = {x&R/x — 4jc—12 < 0} Rpta. Sup A = 6, Inf A = -2
e) /Í = {jce7?/|*||jc + l | <2} Rpta. Sup A = 1, Inf A = -2
f) A={x&R! \6 + x-x |<6} Rpta. Sup A = 4, Inf A = -3

195. Sistema de Números Reales 181
( 5) Encontrar el supremo y el ínfimo de A = | cosw7r / n & N }, B = t^ + ^n / n e n}
2 + n 2 - 7 «
Rpta. su p (/í)= y , inf(A) = ~~ , sup(#) = - y , inf(2?)=-2
Hallar el supremo y el ínfimo si existe de:
A = {x e R / x 2 - 4x-1 2 <0}, B = {x2 - 4jc —12 /x e< - 00,00 >}
Rpta. Sup (A) = 6. Inf (A) = -2, Sup (B) = 3 , Inf (B) = -16
( j) Dar un ejemplo de dos conjuntos A y B, mediante intervalos tales que
Inf (A o B) > Sup {Inf(A), Inf(B)}.
© Determinar el supremo y el ínfimo si existe de los siguientes conjuntos.
a)A = {x eR /\4 -x\> x} b) A = {x&R/\I*2 -4 1 <16}
c)A = { x e R /|x + 6 | + |3-*| =9} d) A={xeR!\|x2 + 2x - 41 <7}
e)A = {xzR I\x-% \-\4 x1 -11 <0}

196. 182 Eduardo Espinoza Ramos
c a p i t u l o h
2 X r a m o m i c c i O N .
a) PAR ORDENADO.-
Llamaremos “par ordenado” de números reales a la expresión (a,b) donde a es
llamada la primera componente y b es llamada la segunda componente.
Ejemplo.- Son pares ordenados, (3,5), (-2,7), (etc).
b) IGUALDAD DE PARES ORDENADOS.-
Los pares ordenados (a,b) y (c,d) diremos que son iguales si sus correspondientes
componentes son iguales, esto es: _
Ejemplo.- Los pares ordenados (5,6) y (5,4) no son iguales sus segundas
componentes son diferentes.
Luego diremos que dos pares ordenados son diferentes si una de sus componentes
correspondientes son diferentes esto es:
Ejemplo.- Determinar el valor de x e y de tal manera que (5x+2y, -4) = (-1, 2 x - y)
Solución
Para calcular el valor de x e y aplicamos el concepto de igualdad de pares
ordenados:

197. Relaciones y Funciones 183
(5x + 2y, -4) = (-1,2x — y) «>
5x + 2y = - \ x = - \
2 x -y = -A y = 2
c) PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS.-
Consideremos dos conjuntos A y B arbitrarios; llamaremos producto cartesiano de A
y B, al conjunto formado por todos los pares ordenados (a,b) de tal manera que la
primera componente a pertenece al conjunto A y la segunda componente b pertenece
al conjunto B.
La notación del producto cartesiano de A y B es: AxB. Simbólicamente el producto
cartesiano se representa:
También puede determinarse A x B mediante el método del “diagrama del árbol” el
cual nos permite observar el conjunto de pares ordenados, este método consiste en
disponer los elementos de A y B del modo siguiente
B » « A A b €
Nota: (a,b) e A x B <=> a e A A b e B
Ejemplo.- Sean A = {1,3,5} y B = {2,4} Entonces:
A x B = {(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)}
A B A x B

198. 184 Eduardo Espinoza Ramos
OBSERVACION.- Cuando los conjuntos A y B son finitos entonces:
donde: n(A): es el número de elementos del conjunto A.
n(B): es el número de elementos del conjunto B.
n(A x B): es el número de elementos del conjunto A x B.
Ejemplo.- Si A={2,4} y B = {1,3,5} entonces: AxB={(2,l),(2,3),(2,5),(4,l),(4,3),(4,5)}
De donde: n(A x B) = n(A).n(B) = (2)(3) = 6
Además se tiene:
B x A = {(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)} de donde se observa que A x B íB x A
d) PROPIEDADES DEL PRODUCTO CARTESIANO
(T) AxBícBkA, no siempre se cumple { ! ) ' A x ^ ^ x A ^ f
® A x (B u C )~ A x S U AxC 0 Ax(B(^C) = AxBaAxC
0 Ax(B-C) = Axb ') (A<l’n C ~ Ak(B\C)
(t) Si Ac8 í>A*CcBxC¿.VC '
(D li. A c e | ,b ;c d j JJ.§¡ c cx d |
e) REPRESENTACION GEOMETRICA DEL PRODUCTO CARTESIANO.-
En el producto cartesiano A x B, a cada uno de los conjuntos A y B lo
representaremos sobre dos rectas perpendiculares, en donde los elementos del
conjunto A se representa sobre el eje horizontal y los elementos del conjunto B se
representan sobre el eje vertical, de tal manera que las líneas verticales que pasan
por los elementos de A y las líneas horizontales que pasan por los elementos de B al
interceptarse se obtienen los pares ordenados de A x B.

199. Relaciones y Funciones 185
Ejemplos.-
Sí A ={1,3,5} yB={2,4} entonces:
A x B = {(1,2),( 1,4),(3,2)(3,4)(5,2)(5,4)}
A los elementos del conjunto A lo representaremos
en el eje horizontal y a los elementos del conjunto B
lo representaremos en el eje vertical.
OBSERVACION
Como los conjuntos A y B son arbitrarios, entonces consideremos los siguientes casos:
( 1 ) Si A = B, el producto cartesiano denotaremos por AxB - A x A - A 2
© Si A = B = R entonces AxB = RxR = R2 este producto nos representa al plano
cartesiano.
f) DIAGONAL DE UN CONJUNTO.-
Dado un conjunto A * <|>, a la diagonal del producto cartesiano A x A denotaremos
por IA y es definido por:
IA = {(x,y)eAxA/y = x}
Ejemplo.- Sí A ={1,3,5} entonces:
A x A = {(1,1),(1,3)(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)}
Entonces: IA = {(1,1), (3,3), (5,5)}
g) EJERCICIOS DESARROLLADOS.-
7) Determinar los valores x e y, en cada caso:
a) (4, 2x — 10) = (x—1, y + 2)
Solución

200. 186 Eduardo Espinoza Ramos
Mediante la igualdad de pares ordenados se tiene:
Í4 = x - 1 fx = 5
(4 .2x —1 0) = (x — 1, y + 2) => ] => l
[2 ;t-1 0 = j> + 2 \y = -2
b) (y —2,2x + 1) = (x — 1, y + 2)
Solución
Mediante la igualdad de pares ordenados se tiene:
[y - 2 = x -1 \x = 2
(y -2,2x + 1) = (x — 1, y + 2) => ; =*
[2x +1 = y + 2 [>> = 3
© Dados los conjuntos A = {x e z/-l <x<3} ; B={xez/
C = {x e z / 1 < x á 4}
Hallar los siguientes conjuntos y graficar:
a) A x B b) B x C c) (A-C)xB
Solución
Tabulando los conjuntos dados se tiene:
A = {-1,0,1,2,3}, B = {1,2,3,4}, C = {1,2,3,4}
a) A x B = {(-1,1),(-1,2),(-1,3),(-1,4),(0,1),(02),(0,3),(0,4),(1,1),(1,2),(1,3)(1,4),(2,1),
(2.2)(2,3)(2,4)(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)}
b) B x C = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2,),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),
(4.2),(4,3),(4,4)}
c) A —C = {-1,0}
(A-C) x B = {(-1,1), (-1,2), (-1,3), (-1,4), (0,1), (0,2), (0,3), (0,4)}

201. Relaciones y Funciones 187
A = {x e R/ x —3 < 7}, B = {y e R / -2 < y < 3}. Graficar, Ax B, B x A
Solución
Como x — 3 < 7 => x<10
A x B = {(x,y) / x < 10 A -2 < y < 3}
BxA= {(x,y) / -2 < x < 3 A y < 10}

202. 188 Eduardo Espinoza Ramos
© Para A y B subconjuntos arbitrarios de R, geométricamente visualizar, como superficie, el
producto cartesiano A x B en el espaciq bidimensional R2, entonces:
© Que parte del plano cartesiano se obtiene si se representa gráficamente los siguientes
productos cartesianos.
a)<0,+oo> X <0,+oo> b)<-oo, 0> x <-oo,0>
c)<-oo,0> x <0,+oo> d)<0,+oo> x <-oo,0>
Solución
a)<0,+oo> x <0,+oo>=>{(x,y)/ x > 0 A y>0}
b)<-00,0> X <-QO,0> =>{(x,y) / x < 0 A y < 0}
c)<-oo,0> x <0,+oo>=> {(x,y) / x < 0 A y > 0}
d)<0,+oo> x <-oo,0>=> {(x,y) / x > 0 A y < 0}

203. Relaciones y Funciones 189
h) EJERCICIOS PROPUESTOS.
I. En cada caso determinar los valores de x e y.
o
(x,4) = (-2,y)
©
(4 ,2x — 10) = (x — 1, y + 2)
®
(y—2, 2x + 1) = (x — 1, y + 2)
©
(5x + 2y, -4) = (-1,2x — y)
©
(x + 4, 6) = (10, y —x)
©
(x + 5, 3 - y ) = (7,2)
©
(x + y. 3) = (5. y-x)
©
(x —7y, 2x —6y) = (15,-10)
©
(3x —8y, 4x + 3y) = (4-2x-10y, 2x + 4y+ 7)
@
(5x + 2y, -4) = (-1,2x — y)
©
(x3 -19, jc2>’ — 6) = (>’3, xy
©
(2x — y, x + y+ 3) = (x + y + l,2x + y)

204. 190 Eduardo Espinoza Ramos
II. En cada caso hallar los conjuntos y graficar:
( 7 ) Dado los conjuntos: A ={xe z /-1 <x < 3}, B ={xe z / 1 < x <4}, C= {xez/1 <x < 4};
Hallar los conjuntos y graficar:
a) A x B b) B x C c) (A-C)xB
Sea A = {x e R /1 < x < 3} y B = {y e R / 2 < y < 4}. Hallar A x B y graficar
0 Sean A = {a.b}, B = {1,2,3,4,5} y E = {3,5,7,9}. Hallar (A x B) n(AxE)
( 4) Representar al conjunto producto cartesiano: {x e R / |x| < 5} x {x e R / -2 < x < 3}
Sombreando el área apropiada en el sistema bidirnensional.
Dado los conjuntos A = {x eN /x =~^~< k 6 N} , B = {xeN /x2-14x + 40 = 0},
C = {x e N /x2-1 = 0}, entonces el número de elementos del conjunto
[(A n B) u C] x (B - C) es.
Qó) Si A={x eR /2 <x<5¡ y B = {xeR /1 < x < 4}. Graficar A x B, luego graficar BxA.
Si A= {x e R / 2 < x < 5} , T = {x eR /1 < x < 4}. Graficar T x A, luego graficar AxT.
r 3 , 2 „2
( 8 ) Sí A = {—y - ^ /( x - 2 ) ( x + 3 )(x -5 ) = 0} y 5 = { y + 3 /í( jt + 2 )( í- 4 ) = 2 } V x eR
Hallar A x B, B x A y graficar.
© Si A = { x e N / x = - ^ - , k sN}, B = {x e N ¡x 2 +1<12). Hallar (A n B) x (B - A)
@ Sí A ={x2-1/0<jc<5, xez}, B = {x2 +1/-5 < x <-3, x e z},
C = {x3 +4/(x-l)(x + 2)(x-3) = 0, x e z } . Hallar AxB, AxC, BxC
(Ti) Si A={—/x e z A -2 < x <4}, B = {xeN /x< 2 A x e {3,2,4,5}}
x
Hallar y graficar A x B y B x A

205. Relaciones y Funciones 191
^ 2) Si A = {3x + 1 / (x e N A x < 3) V (x e z A O < x < 5)}
Calcular la diagonal del producto A x A y luego grafique.
Dado A = {x e < /-12 < x + 6 < 20} y B = {x e z/10 < x 2 < 400}
Cuantos elementos tiene A x B.
^ 4) Dados los conjuntos: A={xeN/x<3} , B = {x eN / x es par y x < 5},
C = {x e N /x es impar y x <4}. Hallar el conjunto (AnB)x(C-A)
^5) Sí A = {x e z+ /x = — , k Gz+} y & = {x ez+ ¡ +1 -1 2 } . Hallar (AnB) x (B-A)
(ló ) Si A y B son dos conjuntos arbitrarios demostrar que: A x B = 4> <=> A = (j) V B = (j)
( 17)Demostrar que: A x (B u C) = (A x B) u (A x C)
@ Demostrar que:A x (B n C) = (A x B) n (A x C)
©
Demostrar que:(A — B) x C = (A x C) — (B x C)
©
Demostrar que:Sí A c B entonces A x B cB x B
©
Den ostrar que:Sí AczB entonces A xA cA xB
©
Den ostrar que:Ax(E-B) = (AxE)-(AxB)
©
De; istrar que: (A n B) x (E n F) = (A x E) n (B x F)
©
Den istrar que:(A xE)u(BxF)c(A uB)x(Eu F)
©
Dei jstrar que:A c B y E c D implica que A x E c B x D
2.2 Rf ACIONES BINARIAS.-
a) DEFINICION.- Consideremos dos conjuntos A y B no vacíos, llamaremos
relación binaria de A en B ó relación entre elementos de A y B a
todo subconjunto R del producto cartesiano A x B, esto es:
RcsitnaíelacíóndeAert B o Re A x B

206. 192 Eduardo Espinoza Ramos
Ejemplo.- Sean A ={2,4} y B = {1,3,5} entonces
A x B = {(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,3),(4,5)}
Los siguientes conjuntos de pares ordenados son relaciones de A a B:
Rx ={(2,1),(2,5)}, R2 ={(2,3),(4,1),(4,5)}, R3 = {(2,1),(4,3),(2,3)} , i?4 = AxB
Pero los siguientes conjuntos de pares ordenados no son relaciones de A en B:
Rs ={(1,2),(4,1),(4,5)} , R6 ={(2,1),(4,1),(3,4)} puesto que (1,2) sé A x B, (3,4) ¿A xB
por lo tanto R5 g: Ax B, R6 A x B .
Observación.­
© Si A = B, entonces R es una relación en A ó, R es una relación entre elementos de A.
© La definición 1.1 establece una comparación entre elementos de pares ordenados,
motivo por el cual se le llama “relación binaria”.
(T ) Si R es una relación entre elementos de A y B, al conjunto A le llamaremos conjunto
de partida y al conjunto B le llamaremos conjunto de llegada.
© Generalizando: una relación R, entre los elementos del conjunto de los números
reales R, está determinado por una función proposicional P(x,y); esto es:
E ~ GÜ.X.R/ P(xTy)}
© Cuando el par ordenado (a,b) satisface a la íúnción proposicional P(x,y) de la
relación R, diremos que (a,b) e R en caso contrario (a,b) <£ R.
© Si A tiene p elementos y B tiene q elementos entonces 3 2" relaciones entre A y B
donde n = pq.
Ejem plos.-Sí A = {1,3} yB={2,4} entonces A x B = {(1,2),( 1,4),(3,2),(3.4)}
El número de relación que se obtendrá de A x B es 2lxl = 24 =16 es decir: que se
puede formar 16 relaciones:

207. Relaciones y Funciones 193
{(1,2)}, {(1,2),(3,2)}, {(1,4)}, {(3,2)}, «3,4)}, {(1,2),(1,4)}, {(1,4),(3,2)}, {(1,2),(3,4)},
{(1,4),(3,4)}, {(3,2),(3,4)}, {(1,2),(1,4),(3,2)}, {(1,2),(1,4),(3,4)}, {(1,4),(3,2),(3,4)},
{(1,2),(3,2),(3,4)}, {(1,2),(1,4),(3,2),(3,4)}, <j>
b) DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACION BINARIA.
Consideremos una relación R de A en B: es decir que RcAxB.
El dominio de la relación R denotado por DR es el conjunto definido por:
D# »{(t&AÍS b&B A {■«*$)
El rango de la relación R denotado por Rr es el conjunto definido por:
: Rfi ~ @ e B f3 q e A A
Ejemplo.- Si R = {(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)} entonces — {1,2}, Rr = {3,4,5}
OBSERVACION.-
Para determinar el dominio de una relación, primero se despeja “y” enseguida se analiza
los valores que pueden tomar “x” para que la variable “y” sea real.
Pa ra determinar el rango de una relación se despeja “x”, enseguida se analiza los valores
que puedan tomar “y” para que la variable “x” sea real.
E mplo.- Determinar el rango y dominio de la siguiente relación:
R={(x,y)GRxR/x2 + y 2 + 1 0 y -7 5 = 0}
Solución
En primer lugar despejamos la variable “y” para obtener el dominio, es decir:
x 1 + y 2 + 10y-75 = 0 , completando cuadrado
(y + 5)2 = 100—oc2 dedonde y = -5±Vl00-x2
Ahora analizaremos los valores que pueda tomar x para que “y” sea número real es decir:
100-jt2 >0 dedonde: jc2 < 100 =>-10<x<10 .\ Df =[-10,10]

208. 194 Eduardo Espinoza Ramos
Ahora despejamos la variable “x” para obtener el rango, como x 2 + y 2 + 10_y—75 = 0
=> x = ± ^ 7 5 -1 0 y - y 2 entonces analizando los valores que puede tomar “y” para que
x sea número real se tiene: 1 5 -\0 y -y 2 > 0
donde ( j + 5)2<100 -10<y+5<10 => -15<y<5 /. Rf =[-15,5]
c) PROPIEDADES DE LA RELACION BINARIA.-
Las relaciones binarias gozan de las siguientes propiedades:
O Propiedad Reflexiva.- Una relación R en A, diremos que es reflexiva si
(a,a) e R para todo a e R esto es:
R ea reflexiva en A <& V a e A>
( ? ) Propiedad Simétrica.- Una relación R en A diremos que es simétrica si
(a,b) e R implica que (b,a) e R, esto es:
R es simétrica V (a,b) £ R (b,a) e R
(¿) Propiedad Transitiva.- Una relación R en A, diremos que es transitiva sí:
(a,b) e R A (b,c) e R implica que (a,c) e R, esto es:
R es transitiva o V a,b,e e A, [(a.b) 6 R A <b,c) € R (a,c) e R]
(4^ Propiedad Antisimétrica.- Una relación R en A, diremos que es
antisimétrica sí:
V a,b e A, (a,b) e R y (b,a) e R implica que: a = b, esto es:
R es aotisimetrica <» V a,b e A, [fe,b) e R A (b,a) & R => a - b|
(¿) Propiedad de Equivalencia.-
Una relación R en A, diremos que es de equivalencia si es: reflexiva, simétrica
y transitiva.
Ejemplo.- Si A = {1,2,3,4,5,6} las relaciones en A.

209. Relaciones y Funciones 195
a) Rx ={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)} es reflexiva en A.
b) R2 - {(1,1),(3,3),(4,4),(5,5), (6,6)} no es reflexiva en A por que falta (2,2).
Ejemplo.- Si A = {2,3,5,7}, las relaciones en A
a) /?, ={(5,3), ( 2 , 7 ) , (3,5), ( 7 , 2 ) , ( 2 , 2 ) } es simétrica porque (x, .y) e =>(>>, jc) e R{
b) R2 = {(5,3),(2,7),(3,5),(2,2)} no es simétrica porque falta (7,2).
Ejemplo.- Si A = {1,3,7,9} las relaciones en A.
a) ={(7,1),(2,2),(1,2)}no es transitiva porque (7,1) e R2 A (1,2) e R2 =>(7,2) eR2
Ejemplo.- Si A = {1,2,3,4,5} la relación R en A dado por
R = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)} es una relación de equivalencia porque
es reflexiva, simétrica y transitiva en A.
Ejemplo.- Sea Z = conjunto de los números enteros y la relación R definida sobre
Z en R = {(x,y) e Z x Z /x — y = 3m, m e Z} es una relación de
equivalencia. En efecto:
(T ) R es reflexiva porque: a - a = 0 = 0.3 VaeZ es decir: (a,a) e R, V a e Z
^ 2) R es simétrica porque: Sía-b = m.3 => b — a = -(a-b) = (-m).3
V a,b e Z => (a,b) e R => (b,a) e R ,
( 3) R es transitiva porque: Si a - b = m.3 y b-c=m'.3 entonces
a - c = (a — b) + (b — c) = m.3 + m' .3
a - c = (m+w')3 => a-c =m.3, V a,b,c e Z
es decir: (a.b) e R A (b,c) e R => (a,c) e R, V a,b,c e Z.
Por lo tanto R es una relación de equivalencia.

210. 196 Eduardo Espinoza Ramos
d) DETERMINACION DE UNA RELACION BINARIA.
Teniendo en cuenta que una relación es un conjunto de pares ordenados, entonces a
una relación determinaremos por extensión o por compresión.
Ira. Por Extensión.-
Una relación queda determinada por extensión cuando se menciona cada uno de los
pares ordenados de la relación.
Ejemplos.-
a) ={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)} , R2 = {(a,b),(c,d),(e,f)}
b) Si A = {2,3,6,9} y B = {1,4,5,6,12}
Expresa por extensión cada una de las relaciones:
(T ) R = {(x,y) e AxB/y = 2x}
Solución
R= {(2,4),(3,6),(6,12)}
R = {(x,y) eA x B /x + y= 12}
Solución
R = {6,6}
2da. Por Comprensión.-
Una relación queda determinada por comprensión cuando se da una propiedad que
caracteriza a todos los pares ordenados que conforman la relación.
Ejemplos.-
a) Si A = Z conjunto de los números enteros la relación R={(x,y)eZx Z / y = x}
es una relación expresada por comprensión.
b) Si U = {x e N / x < 7}. Determinar por comprensión la relación:
R = {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4),(7,5)}

211. Relaciones y Funciones 197
Solución
Se observa que la diferencia entre la primera componente y la segunda componente
es dos unidades por lo tanto expresaremos por comprensión:
R = {(x,y) e UxU/x —y=2}
e) RELACION INVERSA.-
Si R c A x B es una relación de A en B; entonces a la relación inversa de R lo
denotaremos por R~l y está definido por:
R~l ={(y,x) e BxAl(x,y) eR\
Ejemplo.- Sí R= {(3,2),(3.1),(4,2),(4,5),(6,8)} => R~l = {(2,3),(1,3),(2,4),(5,4),(8,6)}
Ejemplo.- Hallar la inversa de las siguientes relaciones.
a) R = {(x,y)e R x R /x + 3y= 12}
Solución
Para determinar la inversa de una relación se despeja x, es decir: x = 12 — 3y
Luego se permuta x por y es decir: y = 12 - 3x
R * ~Ux,y)zRxR,!y ^ n ~ 3 x \
b) R = {(x,y) eRxR/3x + 4y=5 A 1 < x < 7}
Solución
5-4y
Primeramente despejamos x de 3x + 4y = 5 es decir: x = ■■■ ■ , 1 < x < 7
5 - 4 y
Ahora veremos como va variando y; como l<x<7 => 1<
------— < 7
3
3 < 5 —4y < 21 =í> -4< y < ^

212. 198 Eduardo Espinoza Ramos
5 - 4 v 1
Luego x - ———, - 4 < ^ < —, por lo tanto al permutar x por y se tiene:
5 - 4*
v =
--------, -4<jt< —
■ 3 2
jt* = {(x,y)eR xR /y = ^ ^ , -4 < x < -}
3 2
2,3. GRAFICA DE UNA RELACION DE R EN R,-
a) Definición.- Llamaremos gráfica de una relación de R en R al conjunto de puntos
P(x,y) cuyas coordenadas satisfagan a dicha relación, teniendo en
cuenta que una relación puede estar expresada en una de las formas:
E(x,y) = 0 V E(x,y) < 0 V E(x,y) > 0 V E(x,y) < 0 V E(x,y) > 0.
b) Discusión de la Gráfica de una Relación.
Para trazar la gráfica de una relación dada por la ecuación E(x,y) = 0, daremos el
siguiente criterio.
Ira. Determinación de las intersecciones con los ejes coordenados.
- Intersección con el eje X: E(x,y) n eje x = {(x, y) e R 2 / y = 0} = P
Es decir: para hallar el punto P de intersección con el eje X se hace y = 0 en la
ecuación E(x,y) = 0, ósea que se resuelve la ecuación E(x,0) = 0
- Intersección con el eje Y: E(x,y) n eje y = {(x,y) e R 2 lx = 0} = Q
Es decir: para hallar el punto Q de intercesión con el eje Y se hace x = 0 en la
ecuación E(x,y) = 0, ósea que se resuelve la ecuación E(0,y) = 0.
2da. Determinación de la simetría con respecto a los ejes coordenados.
- Simetría con respecto al eje X.
Existe simetría con respecto a eje X si se cumple E(x,y) = E(x,-y). Fig. (a)

213. Relaciones)’ Funciones 199
Simetría con respecto al eje Y.
Existe simetría con respecto al eje Y si se cumple E(x,y) = E(-x,y) Fig. (b)
Simetría con respecto al origen.
Existe simetría con respecto al origen si se cumple E(x,y) = E(-x,-y). Fig. (c)
3ra. Determinación de la extensión de la curva.
Consiste en determinar el dominio y el rango de la relación.
4ta. Determinación de las Ecuaciones de las Asíntotas.
Trataremos solamente de las asíntotas verticales y horizontales.
- Asíntotas Verticales.- La recta x=a, es una asíntota vertical de la relación
E(x,y) = 0, si para cada (x,y) e E(x,y), se tiene que
para “y” bastante grande la distancia de “x”a“a” es decir |x-a| es muy pequeño.

214. 200 Eduardo Espinoza Ramos
Para calcular las asíntotas verticales se despeja la variable y de la ecuación
E(x,y) = 0 es decir: y = —— de donde f y g son expresiones solamente de x,
g(x)
entonces las asíntotas verticales se obtienen de la ecuación g(x) = 0, es decir
haciendo el denominador igual a cero.
Asíntotas Horizontales.- La recta y = b es una asíntota horizontal de la
relación E(x,y) = 0 sí para cada (x,y) e E(x,y) sé
tiene que para “x” bastante grande la distancia de “y” a “b” es decir |y — b| es
muy pequeña.
ecuación E(x,y) = 0, es decir: x ■
8(y)
donde f y g son expresiones
solamente de y, entonces las asíntotas horizontales se obtienen de la ecuación
g(y) = 0 es decir haciendo el denominador igual a cero.

215. Relaciones y Funciones 201
5ta. Tabulación.
Consiste en calcular un número determinado de pares ordenados a partir de la
ecuación E(x,y) = 0.
6ta. Trazado de la curva.- Mapeo de los pares ordenados.
OBSERVACION
(7) Diremos que el par (a,b) pertenece a la relación E(x,y) = 0 sí y solo sí E(a,b) = 0.
Ejemplo.- Discutir y graficar la relación: R = {(x,y) e R x R / xy — 2y—x = 0}
Solución
A la relación dada escribiremos en la forma: R(x,y) = xy—2y - x = 0
Io Intersección con los ejes coordenados:
- Con el eje X; hacemos, y = 0 ; R(x,0) = 0 - 0 - x = 0 => x = 0
- Con el eje Y; hacemos, x = 0; R(0,y) = 0 —2y- 0 = 0 => y = 0
2° Simetrías:
- Con respecto al eje X: R(x,y) = R(x,-y)
pero x(-y) — 2(-y) — x * xy — 2y—x, por lo tanto no existe simetría con el eje X.
- Con respecto al eje Y: R(x,y) = R(-x,y)
pero xy—2y—x * -xy—2y + x, por lo tanto no existe simetría con el eje Y.
- Con respecto al origen: R(x,y) = R(-x,-y)
pero x y -2 y - x * (-x)(-y) - 2(-y) - (-x), por lo tanto no existe simetría con el origen.
3o Extensión:
X
- Calculamos el dominio, para esto despejamos y es decir: y =
------.
jc-2
Luego Dr =R-{2}

216. 202 Eduardo Espinoza Ramos
- Calculamos el rango, para esto despejamos x es decir: x =
------
y -1
Luego Rr = /?-{l}
4° Asíntotas:
x
- Asíntota Vertical: se despeja y. y =
------ la ecuación de la asíntota vertical es x=2
x - 2
- Asíntota horizontal: se despeja x:
2 y
x =
------, la ecuación de la asíntota horizontal es y = 1.
y -1
5o Tabulación:
X 0 1 34-1 -2
Y 0 -1 320.3 0.5
O Hallar el dominio y rango de la relación: R = {(x,y) e RxRIxy2 - x + 3y2 +1 = 0}
Solución
Calculando el dominio de la relación R, para esto despejamos y de la ecuación
xy2 -x+ 3y2 +1 = 0 => (x + 3)y2 = x -\ => y = ±J——-
' V* + 3

217. Relaciones y Funciones 203
Analizando los valores que pueda tomar x para que y sea real, en este caso debe
cumplirse: —— > 0. + \ / - \ / +
* + -3 1
Luego Dr =< -oo,-3 > t/[l,+oo >
Ahora calculamos el rango de la relación R.
Para esto despejamos x de la ecuación: xy2 - x + 3y 2 +1 = 0
2 2 3>’2 + 1
x(v~ -1 ) = -3 y~ - 1 => x -
--------------
J 2 -1
Luego los valores que puede tomar y para x sea real es que y * ± 1
Porlotanto Rr = /J-{ -l,l}
Hallar el dominio y el rango de la relación: R = {(x,y) e. R x R Ix 2y 2 -A x2 -A y 2 =0}
Solución
Sea x2y 2 -Ax2 - Ay2 = 0 ...(1 )
Para calcular el dominio de la ecuación (1) despejamos y = ±
Ax2
x2 -A
Ahora analizaremos los valores que pueda tomar x para que y sea real, en este caso debe
x2 1 1
cumplir: —
-----> 0 => ——— - > 0 ------------------> 0
x -4 x2 -A (x + 2)(x-2)
La solución es x e < -oo,-2> U <2,+*>
Para x = 0 también se verifica. Por lo tanto: DR = < - o o ,- 2 > U < 2,+oo > U {0}

218. 204 Eduardo Espinoza Ramos
Ahora calculamos el rango de la relación para esto despejamos x de la ecuación (1)
4 y 2
x = ± —f—— , analizando los valores que pueda tomar y para que x sea real, en este caso
t y ~4
4 y 2
se tiene —
------> 0
y2-4
V y e R, y2 > 0 => y = 0 se cumple, —~ — > 0 =>
-----—----— > 04¿ - s o = --------
y 2 -4 (y-2)(y+2)
-2 2
La solución es y e <-oo,-2> U <2,+oo>
Por lo tanto: Rr = < -*>,-2 > U < 2,+oo > í/{0}
© Sí A = {2,3,6,9,11} y B = {1,4,5,6,12,14}
Expresar por extensión cada una de las siguientes relaciones:
a) R = {(x,y) eRAxB/y = 3x}
Solución
R = {(2,6)}
b) R = {(x,y) e AxB/x+y= 12}
Solución
R = {(6,6),(11,1)}
c) R = {(x,y) e A x B /y = x}
R = {(6,6)}
Solución

219. Relaciones y Funciones 205
(T ) Si el universo es U = {1,2,3,4,5} determinar por comprensión cada una de las relaciones:
a ) R = {(1,1 ),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5) }
Solución
R = {(x,y) eU xU /y=x¡
b) R = {(3,1 ),(4,2),(5,3)}
Solución
R = {(x,y) e U x U / y = x - 2}
La relación R = {(x,y) eZxZ/x — y = 2k, keZ(. Es una relación de equivalencia
Solución
a) Reflexiva: S ix = y => y —x = 0
=> x —x = 2(0), 0 e Z
Luego V (x,x) e R R es reflexiva. _
b) Simetría: Como x —y = 2k, multiplicando por—1 se tiene: y —x = 2(-k),-k e Z
Luego (y,x) e R .'. R es simétrica
c) Transitiva: Sí (x,y) e R => x - y = 2kx, kx &Z
(y,z) e R => y - z = 2k2 , k2 &Z
x - z = 2(kx + k2) , kx+k2 eZ
Luego (x,z) e R .’. R es transitiva. Por lo tanto R es de equivalencia.
^6^ La relación R definida por: R = {(x,y) € R x R / |x - y| < 4}, R es de equivalencia.
Solución
a) Reflexiva: VxeR, |x — x| = 0<4 => (xjc) e R .\ R es reflexiva

220. 206 Eduardo Espinoza Ramos
b) Simétrica: (x,y) e R => |x - y| < 4
=> |y-x|<4 => (y,x) e R R es simétrica.
c) R no es transitiva: para esto tomemos dos pares ordenados
(7,4) e R => |7 — 4| = 3 < 4
(4.1) e R => |4 — 11 = 3 < 4
(7.1) e R |7 — 1| = 6 ¿ 4, luego R no es transitiva.
Por lo tanto R no es de equivalencia.
© Determinar sí la relación: R = {(x,y)/ + ~Jy =1, x, y e R' } es reflexiva, simétrica y
transitiva.
Solución
a) Reflexiva: Síxe/?+ => x* — ., v V 4
Luego (x,x) í R => R no es reflexiva.
b) Simétrica: Sí (x,y) e R ~Jx +
-Jy+Jx =1 => (y,x) e R
Por lo tanto R es simétrica.
c) Transitiva: Sí (x,y) e R entonces: -Jx+^Jy' = 1
(y,z) e R entonces -Jy + -J: = 1
4x + -Jz = 2(1 - J y ) * 1
(x,z) g R, por lo tanto no es transitiva.

221. Relaciones y Funciones 207
Discutir y graficar la relación: R ={(jc,y) e RxR! x 2 y - 4 y + x = 0}
Solución
La relación dada también se escribe así: R(x, y) = x 2y - 4y + x = 0
Ahora haremos la discusión correspondiente:
Ira. Intersección con los ejes coordenados
- Con el eje X, hacemos y = 0; R(x,0) = 0 — 0 + x = 0 => x = 0
- Con el eje Y, hacemos x = 0; R(0,y) = 0--4y+0 = 0=> y=0
2da. Simetrías
- Con respecto al eje X: R(x,y) = R(x,-y).
Pero x 2 (-y) - 4(-y) + x * x 2y -4 y + x , por lo tanto no existe simetría en el eje X.
- Con respecto al eje Y: R(x,y) = R(-x,y)
Pero x2 y - 4 y + x * (~x)2 y - 4 y - x , por lo tanto no existe simetría con el eje Y.
- Con respecto al origen: R(x,y) = R(-x,-y)
x 2y - 4y +x = (-je)2 - 4(-y) - x, por lo tanto si existe en el origen.
3ra. Extensión.
el rango es todos los reales R, puesto que y = 0, x = 0. la ecuación se verifica.
Calculamos el rango, para esto despejamos x

222. 208 Eduardo Espinoza Ramos
4ta. Asíntotas
—X
- Asíntotas Verticales: se despeja y, y = —-
-----, las ecuaciones de las asíntotas
x~ - 4
verticales se obtienen de la ecuación x 2 - 4 = 0 de donde x = -2, x = +2 es decir:
x = ± 2 son las asíntotas verticales.
-l± Jl + 16>’2
- Asíntotas horizontales, se despeja x, x =
-------------------
. 2 y
La ecuación de la asíntota horizontal es y = 0
5ta. Tabulación.
( ? ) Discutir y graficar la relación: R = {(x,y) e RxR/x2y 2-4 x 2-4y2 = 0}
Solución
A la relación dada escribiremos en la forma: R(x, y) = x 2 y 2 - Ax2 - 4y2 =0
Ahora haremos la discusión correspondiente.

223. Relaciones y Funciones 209
Ira. Intersecciones con los ejes coordenados.
- C o nelejeX , hacemosy=0 de donde i?(x,0) = 0-4x2 -0 = 0 => x = 0
- Con el eje Y, hacemos x = 0 de donde R( 0, jk) = 0 — 0 —4>-2 = 0 => y = 0
2da. Simetrías:
- Con respecto al eje X: R(x,y) = R(x,-y)
Como x 2y 2 -4 x 2 - 4y 2 =x2(-y)2 -4 x 2 - 4(-y)2
Por lo tanto existe simetría en el eje X.
- Con respecto al eje Y: R(x,y) = R(-x,y)
Como x 2y 2 -4 x 2 -4 y 2 = (-x)2y 2 -4(-x)2 -4 y 2
Por lo tanto existe simetría en el eje Y.
- Con respecto al origen: R(x,y) = R(-x,-y)
Como x2y 2 -4 x 2 - 4 y 2 = (-x)2(-y)2 -4(-x)2 - 4(-y)2
Por lo tanto existe simetría en el origen.
3ra. Extensión.
x e <-oo,-2> U <2,+oo> por lo tanto DR =< -qo,- 2 > U < 2,+<x> > U{0}
Calculamos el dominio para esto despejamos y, y = ±
y es real sí ———- > 0 =>
-l-2 __ A
>0
+ +
x2 - 4 (x-2)(x + 2) -2 2

224. 210 Eduardo Espinoza Ramos
4 y
x es real si ——— > 0
y _ 4
1
(>’-2)(>’ + 2)
-2 2
y e <-oo,-2> U <2,+x>>. Por lo tanto .'. Rr = < -*>,-2 > U < 2,+oo > {/{0f
4ta. Asíntotas.
4*
Asíntotas verticales: se despeja y = ± J —
-----
Ijc - 4
Las asíntotas verticales se obtiene de la ecuación x - 4 = 0 => x = ± 2
Asíntotas horizontales: se despeja x = ±
4yJ
ly2-4
Las asíntotas horizontales se obtienen de la ecuación j r - 4 = 0 => y =±2
5ta. Tabulación. »
X±3 ± 4 0
y
i+
i+
w |Si
0
@ Discutir y graficar la relación. R ={(x,y) g RxR/yx2 - 4 y - x 2 =0}
Solución

225. Relaciones y Funciones 211
A la relación dada escribiremos en la forma: R(x, y) = yx2 - 4 y - x 2 = 0
Ahora haremos la discusión correspondiente
Ira. Intersección con los ejes coordenados.
- Con el eje X, hacemos y = 0, de donde R(x,0) = 0 - 0 - x 2 =0 => x = 0
- Con el eje Y, hacemos x = 0, de donde R(0,y) = 0 -4 y -0 = 0 => y = 0
2da. Simetrías
- Con respecto al eje X: R(x,y) = R(x,-y)
pero yx2 -4 y - x 2 * -y x 2 - 4(-y )-x 2
por lo tanto no existe simetría en el eje X.
- Con respecto al eje Y: R(x,y) = R(-x,y)
como yx2 - 4y - x 2 =y(-x)2 -4 y -(-x )2
por lo tanto existe simetría en el eje Y. _
- Con respecto al origen: R(x,y) = R(-x,-y)
pero yx2 -4 y - x 2 * -y(-x)2 -4(-y)-(-x)2
por lo tanto no existe simetría en el origen.
3ra. Extensión.
X
Calculamos el dominio, para esto despejamos y de donde y = —
------, y es real
' x~ -4
si x ±2, luego entonces .\ DR = R -{-2,2}
Calculamos el rango, para esto despejamos x., x = ±
x es real sí: —— > 0
>'-1
+ +
0

226. 212 Eduardo Espinoza Ramos
y e <-oo,0] U <l,+oo>, Rr =< -oo,0] U < l,+oo >
4ta. Asíntotas
x 2
Asíntotas verticales, se despeja y, y =
.... , las asíntotas verticales se obtienen
de la ecuación x2-4 = 0 => x = ±2.
*2-4
- Asíntotas horizontales, se despeja x, x = ±
obtienen de la ecuación y —1 = 0 => y = 1.
5ta. Tabulación.
4y
y- 1
las asíntotas horizontales se
X0±1±1.5±2.5±3
y
0-0.3 -1.2 2.7 1.8
1 US. EJERCICIOS PROPUESTOS.»
Hallar el dominio y rango de las relaciones.
a) R ={(x,y) eRxR/y = x 2 -4x, y< 0}
c) R = {(x,y)eRxR/x2 = .v -l}
e) R = {{x,y)<zRxRI-Jx+fi = X)
b) R = {(x,y) e RxR/y = -^4-x 2}
d) R = {(x,y) e RxR / xy-2y-x=0}
f) R = {(x,y)eRxR/x2y 2 +xy = 5}

227. Relaciones y Funciones 213
g) R = {(x,y)eRxR/y = —
-----------} h) R ={(x,y) gRxR/(x2-4)y = y 2}
2x -3x-5
i) R = {(x,y)eRxR!x2y 2-2x + y 2 - 4 = 0}
j) R = {(x,y)eRxR/(x2-6x + 5)y2 =4y-l}
( 2) Si U = {x g Z '/ x impar Ai<8}. Tabular las siguientes relaciones en U
a) R = {(x,y) eUxU/x=3Vy=5} b) R = {(x,y) eUxU/x+y=8}
c) R = {(x,y) g U x U/xy = 21} d) R ={(x,y)eU xU /x divide a 20}
( 3) En el conjunto de los naturales N se define una relación R de la siguiente forma:
R = {(x,y) e NxN/ x2 +x = y 2 + >>}
es decir si es una relación de equivalencia, justifique su respuesta.
© En R se define las siguientes relaciones, V x,y e R
a) R = {(x,y) g RxR/|x — l| = |y —1|} b) R = {(x, y) g RxR/x2 - x = y 2 -y} .
Demostrar que son relaciones de equivalencia.
© Siendo A = {1,2,3,4,5,6} estudiar las propiedades de las relaciones binarias.
a) R = {(x,y) e A x A/x+ y> 0} b) R = {(x,y) e A x A / x - y < 2}
c) R = {(x,y) eAxA/x<y}
Rpta. a y c es de equivalencia, b) es reflexiva
(^ó) En A = {1,2,3,4} se considera la relación R = {(x,y) eAxA/x = y V x + y= 3}
Es de equivalencia. Rpta. Si
( 7) En Z define la relación R: R = {(x,y) g ZxZ / x2 + x = y 2 + y}. Graficar R.
( ? ) Clasificar la relación R definida en Z x Z mediante (a,b)R(a\b') <=> ab'=ba'
Rpta. R es de equivalencia.

228. 214 Eduardo Espinoza Ramos
© Definimos en el conjunto Z x (Z — 0) la siguiente relación (a,b) R (c,d) <=> ad = be
Es una relación de equivalencia R p ta . R es una relación de equivalencia
© Demostrar que la relación dada por: R = {(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,c),(c,a),(b,d),(d,b)}
En el conjunto A = {a,b,c,d} es una relación de equivalencia.
( í l ) Discutir y graficar las relaciones siguientes:
a ) xy2 -3 y 2 - l = 0 b ) y2(x2-4) =x + 2
c ) y 2 =-?— d ) y = - T
3-x 2x2- 3 x -5
e) x2y 2 -x 2 + y 2 +1 = 0 f ) x2y 2 +4x2 - 4 y 2 =0
g) xy-2x-y-2 = 0 h ) y 2 (x + l) = 4
Discutir y graficar las relaciones siguientes:
\ 2 , ¿ i n wv 3x2-8x+4
a ) x y + x y -6 x -3 = 0 b ) y = — *—
----------
x
v 2 4jc2 _ x2 + 1
C) y
----- d) y=— ----------
x - 4 2xz -5x+2
V 3 2 2 a -V j ( x + 3)
e) x +xy - y = 0 f ) y =
(x + 2 )(x -2 )
x 2 -3 x + 2
(A -l)2
g) yx2 -2 5 y -x = 0 h ) y =
^ 3 ) Discutir y graficar las relaciones siguientes:
, x 2 -2 5 ^ 4 x -5
a) y =
---------— b ) y = ---------------
x + 1 2(x -1)
2x2 -5 x + 2 2 2 , 2 , n n
c ) v = —
-------------- d ) xy - 4 x - 3 y +12x = 0
3x -10x + 3

229. Relaciones y Funciones 215
@
,2
Discutir y graficar la relación R definida por: R = {(x, y) e RxR / y =
(2x-\)
~ ;
----------'
x -7xh 1'.‘
Se va a introducir el concepto de función, hablando libremente una función f de un
conjunto A en un conjunto B es una regla (procedimiento o mecanismo) que nos
transporta de un conjunto a otro de manera que asociamos cada elemento A un único
elemento en B.
a) DEFINICION.- Consideremos dos conjuntos cualquiera A y B, a la relación
binaria f de A en B le llamaremos función de A en B, si y
solo si, verifica:
esto quiere decir, que dos pares ordenados distintos no pueden tener la misma
primera componente.
Gráficamente:
Observaciones:
B
f es función, sí b = c
O Una función f de A en B denotaremos por: f: A
-----> B; ó A ———> B y se lee “f
es una función de A en B”, donde el conjunto A le llamaremos conjunto de partida y
el conjunto B le llamaremos conjunto de llegada.
© Si el par (a,b) e f, escribiremos b = f(a) y se dice que b es la imagen de “a” por f ó
también, que b = f(a) es el valor de f en el punto a.
© Sí A — B — R, ci 1 & función f! R ^ R, se denomins. función re<il de v3.r13.ble reíil.
© Teniendo en cuenta la parte 2) se tiene la siguiente notación:

230. 216 Eduardo Espinoza Ramos
donde y = f(x) se lee “y es función de x” ó “y es la imagen de x por f
(x,y) e f se lee “el par (x,y) pertenece a f \
Ejemplo.- f(l) = 3 <=> (1,3) e f
© De la parte 4), a la función f se puede escribir en la forma:
t ~ ( t o ) , e R x & / y - ffx)}
donde la ecuación y = f(x) es llamada regla de correspondencia.
Observación: Una consecuencia inmediata de la definición a), es que toda función es
una relación pero no toda relación es una función.
Ejemplo.- La relación: R = {(1,2),(2,3),(3,4),(2,5)} no es una función, puesto que para
el elemento 2 existen dos elementos 3 y 5 tales que (2,3),(2,5) e R, que
contradice a la definición de función.
b) DEFINICION GEOMETRICA.- f es una función <=> cualquier recta
perpendicular al eje X corta a la gráfica de f en
un solo punto. Es decir: Gy ( / ) n L = {punto}
G1(/)nL={p}, G2(h) nL={P,Q}
f es función => h no es función
g j, DOMINIO Y IMM0O PE
Sea f: A
-----> B una función de A en B, llamaremos dominio de la función f, al conjunto
de todas sus primeras componentes, al cual denotaremos por D f ,e s decir:

231. Relaciones y Funciones 217
y llamaremos rango de la función f al conjunto de las imágenes de todos los elementos de
A, mediante f al cual denotaremos por Rf es decir:
Ejemplo.- Sea f = {(1,2),(3,4),(5,6),(7,8)} su dominio y rango es: Df ={1,3,5,7};
Rf ={ 2,4,6,8}
2,8. CRITERIO PARA EL CALCULO DEL DOM INIO Y RANGO D I
El dominio de una función f se determina analizando todos los valores posibles que pueda
tomar x, de tal manera que f(x) sea real, salvo el caso en que dicho dominio sea
especificado.
El rango de una función f se determina despejando la variable x en función de “y”, luego
se analiza todos los valores posibles que pueda tomar “y”, de tal manera que x sea real.
Ejemplo.- Hallar el dominio y rango de la función / (x) = -Jl + x - x 2
Solución
Calculando el dominio: como y = f(x,) entonces:
y = -Jl + x - x 2 luego “y” es real si, 2 + x-x 2 > 0 , de donde
^- x - 2 < 0 (x —2)(x + 1) < 0
-1

232. 218 Eduardo Espinoza Ramos
Luego el dominio es: Df = [-1,2]
Calculando el rango: como y = ^2 + x - x 2 , y > 0
l± ^ 9 -4 y 2
y 2 =2 + x - x 2, despejamos x, es decir: x
9 3 3
Luego x es real si 9-4y2>0 => y 2 <— => — <v< —
4 2 2
Porlotanto /?/=[0,+oo>n [-^-,-^-] = [0,^-] de donde Rf =[ 0 ,y ]
Ejemplo.- Hallar el rango de la función: f(x) = x 2 -4x + 7 , x e [2,3]
Solución
En este caso el dominio esta especificado x e [2,3] ahora calculando el rango: como
2 4±J4y —12 i
------
y = f(x) = x -4x + 7 . Despejamos x es decir: x = ----------------= 2±^Jy-3
x = 2 ± J y ^ 3 e [2,3] => 2 < 2 ± ^ 3 < 3
0 < ±-\¡y—3 <1 => 0 < ~Jy—3 <1 => 0 < y —3 < 1
3<y<4 => y e [3,4] porlotanto .\ /?/• =[3,4]
A una función f, le llamaremos aplicación de A en B, si y solo si: D f = A.
En forma simbólica: Un conjunto f c AxB es una aplicación de A en B <=> V x eA,
3 y e B, tal que y = f(x).
Observación.- Una aplicación es un caso particular de una función, luego toda
aplicación es una función, pero toda función no siempre es una
aplicación.

233. Relaciones y Funciones 219
Nota.- Algunos autores consideran a la función y aplicaciones como sinónimos, en estos
apuntes, a las aplicaciones las consideraremos como casos particulares de las
funciones.
Ejemplo.- Sean A = {1,3,5}, B = {2,4,6}, calculando A x B
A x B = {(1,2),(1,4),(1,6),(3,2),(3,4),(3,6),(5,2),(5,4),(5,6)}
a) El conjunto f = {(1,4),(3,2)¡- es función donde D f = {1,3} y R f = {4,2} pero f no es
una aplicación de A en B puesto que D f * A .
b) El conjunto f={(l,2),(3,4),(5,6)¡- es una función donde: Df ={1,3,5} y
«
R f = {2,4,6'f como D r = A entonces f es una aplicación de A en B.
2,10. FUNCIONES ES FE O A L ES,-
A la función f, le llamaremos función constante, si su
regla de correspondencia es:
m ~ c, doado tes tina constante.
También a la función constante, se puede definir por:
f = {(x,y) e R x R / y ~ c, c constante}
donde su dominio es D f - R , su rango es R, = {c}
y su gráfica es:
A la función f, le llamaremos función identidad, si su
regla de correspondencia es:
:f{x) = X
También a la función identidad se define:
f = {(x,y) e R x R / y = x}, donde Df - R , R f = R
y su gráfica es:
( ? ) FUNCION CONSTANTE.-
( 2 ) FUNCION IDENTIDAD.-

234. 220 Eduardo Espinoza Ramos
©
©
©
©
FUNCION LINEAL.- A la fimción f, le llamaremos función lineal, si su regla de
correspondencia es:
f(x) = ax + b
donde a,b son constantes y a # 0. También a la
función lineal se puede expresar en la forma:
X f = {(x,y)eRx R / y = ax + b}, donde Df =R y
Rf = R', a,b e R y a * 0, cuya gráfica es:
FUNCION RAIZ CUADRADA.- A la función f, le llamaremos función raíz cuadrada,
si su regla de correspondencia es:
También se puede expresar en la forma:
donde Df = R r y Rf =[0,+°o>
FUNCION VALOR ABSOLUTO.- A la fimción f, le llamaremos función valor
absoluto, si su regla de correspondencia es:
f(x) = jx¡, donde ¡ * j;
También se puede expresar en la forma:
f= {(x.y) € R x R/y» fx¡|
FUNCION MAXIMO ENTERO.-
Donde Df =R y Rf =[0,+oo> y su gráfica es:
A la función f, le llamaremos función máximo
entero, si su regla de correspondencia es:

235. Relaciones y Funciones 221
f(x) = [j .r j] donde [[x |]= n o n < \ < n + 1, n e Z
También se puede expresar en la forma: j - í(x,_v) e RxRf y =Q x []}
donde Df =R y R¡ = Z
1 Y
4
.
---o
3
o
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 X
Si x e [0,1> f(x) = [|* |] = 0 => f(x) = 0
Si x e [1,2> o f(x) = [|x |] = l => f(x) = 1
Si x € [2,3> o f(x) = [|x |] = 2 => f(x) = 2
Si x e [3,4> <=> f(x) = [| -v |] = 3 => f(x) = 3
Sí x g[-1,0> <=> /( x ) = [|x |] = —1 => f(x) = -l
Sixe[-2,-l> <=> / (x) = [| x |] = —2 => f(x) = -2
Si x g [-3,-2> <» / ( x ) = [| x |] = -3 => f(x) = -3

236. 222 Eduardo Espinoza Ramos
Q FUNCION SIGNO.- A la función f, le llamaremos función signo, si su
regla de correspondencia es:
~~ , x * 0
lililí!!
0 . Jf = 0
o X
También puede expresar en la forma:
f ~ e 8 x R / y -síg(x)}
Donde D f = R, Rf = {-1,0,1} y su gráfica es:
( ? ) FUNCION CUADRATICA.-
A la función f, le llamaremos función cuadrática, si su regla de correspondencia es:
La gráfica de la función cuadrática es una parábola con eje perpendicular al eje X en el
cual se presenta dos casos.
Si a > 0 la gráfica se abre hacia arriba.
Si a < 0 la gráfica se abre hacia abajo.
El dominio de la función cuadrática es: Df - R , El rango se determina completando
cuadrados.
Como f(x) = ax2 +bx + c => f{x) = a{x2 + —x+-^-—-)+c~—
n A^ 2 án
fix ) - a x 1 +bx+c, a,b.e e R, a * 0
También a la ecuación cuadrática se expresa así:

237. Relaciones y Funciones 223
Luego el vértice de la parábola es: V(——, ^ac ■)
2a 4 a
Df =R Df =R
D r4 ac-b¿
Rr =[
-----------,oo>
' 4a
n 4ac-b
R f =< -oo, ------------1
f 4 a
@ FUNCION POL1NOM1AL.-
A la función f, le llamaremos función polinomial, si su regla de correspondencia es:
donde a0,a1,a2,...,a„_l,a„ son números reales, an * 0.
Ejemplo.- f(x) = 5x5 + Ix 4 +3jc + 6 , esuna función polinomial.
(lo) FUNCIÓN RACIONAL.-
A la función f, le llamaremos función racional, si su regla de correspondencia es:
,,_v anxn -t an ,xn _
______
(....- ..... ......J Ä*OT6A
\ . r -rK * -t-.+biX+hf,
donde a0,a1,...,an, b0,bl,...,bm son constantes reales y b„ ± 0

238. 224 Eduardo Espinoza Ramos
x + 5x-17
Ejemplo.- La función f(x) = —
------------, es una función racional cuyo dominio es el
x -5x + 6
conjunto de todas las x, de tal manera que el denominador no se anule, es
decir: D f ={x e R /x 2 -5x + 6* 0} = R-{2,3}
2,11. EVALUACION DÉ m k
Consideremos una función f con regla de correspondencia.
Si x toma valores específicos, por ejemplo: x = x0, entonces y0 = f(x 0) se dice que la
función ha sido evaluada, en otras palabras es:
Cuando x = x0 el valor de la función es /(x0)
Ejemplo.- Si f(x) = 2x3 +x2 +x+2 , el valor de f en el punto x = 2 es f(2) es decir:
/( 2 ) = 2(2)3+(2)2+2 + 2 = 16 + 4 + 2 + 2 = 24
Ejemplo.- Si f(x) = x 2+x + 1 entonces /( z ) = z2+z + 1
f(4 y) = y+ 4y + l
Ejemplo.- Si / (x) = 5* , probar que f(x + y) = f(x).f(y)
Solución
f(x + y) = 5x+y = 5*.Sy = f(x).f(y)
••• f(x + y) = f(x).f(y)
_ _ _ _ _ _ _ ™ CON VARIAS REGLAS m
CORRESPONDENCIA.
_____________" ■ 'K - A .v
En las funciones definidas con dos o mas reglas de correspondencia, su dominio y rango se
determinan de la siguiente forma:

239. Relaciones y Funciones 225
Suponiendo que la función f es definida por:
el dominio de f(x) se determinan así:
el rango de la función f(x) se calcula por:
Df *Dfi sjDfi
Rr ~ R;t <jRft
Esta forma de calcular dominio y rango de una función con dos reglas de
correspondencia, también se extiende, a funciones de tres o mas reglas de
correspondencia.
[2x + l si jcSI
Ejemplo.- Calcular el dominio y rango de la función: /( * ) =
Solución
U 2 - 2 Sí X <0
. í/ iU ) = 2jf + l, si x> 1 \Df = [l,+oo>
Calculando su dominio se tiene: •{ , => \
[f1{x) = x 1 - 2 , si x<0 [Dft = < -oo,O>
Luego su dominio de f(x) es: Dr = Dfi u D f¡ = [l,+oo > u < -<*,0 >
D f = < - o o ,O > u [ l, + o o > *
Ahora calcularemos el rango:
Si x>l=> y=2x+l despejamosx: * = ^ - - > 1 => y > 3 de donde: y e [3,+oo>
Si x<0=> y = x 2 - 2 , despejando x se tiene: x = y + 2 < O => -Jy + 2 > O => y > -2
de donde: y e <-2,+oo>
Luego el rango de la función f es dada por: Rf = < -2,+oo > u [3,+oo > = < -2,+oo >
Cuando se conoce una función y = f(x), en base a esta función, se puede construir otra
función en una forma rápida mediante el siguiente criterio:

240. 226 Eduardo Espinoza Ramos
ler. Si se tiene la gráfica de y = f(x) entonces la
gráfica de la íunción:
F(x) = f(x) + c se obtiene desplazando
verticalmente la gráfica de y = f(x) en c
unidades, siendo hacia arriba si c > 0 y
hacia abajo si c < 0.
2do. Si se tiene la gráfica de y = f(x) entonces la gráfica de la íunción F(x) = f(x — c) se
obtiene desplazando horizontalmente la gráfica de y = f(x) en c unidades, siendo
hacia la derecha si c > 0 y hacia la izquierda si c < 0.
3er. Si se tiene la gráfica de y = f(x) entonces la gráfica de la función F(x) = f{x — h) + k
se obtiene desplazando horizontal y verticalmente la gráfica y = f(x) en h y k
unidades respectivamente.
f(x-h) + k, h< 0, k< 0 f(x - h) + k, h > 0, k < 0

241. Relaciones y Funciones 227
4ta. Si se tiene la gráfica y = f(x) entonces la gráfica de la función F(x) = af(x), a > 0 se
obtiene de la siguiente manera:
i) Si a > 1 la gráfica esta estirándose verticalmente en un factor a en base al eje X.
ii) Si 0 < a < 1, la gráfica esta encogiéndose verticalmente en su factor a.
5ta. Si se tiene y = f(x) entonces la gráfica de la ñinción F(x) = f(ax), a > 0 se obtiene
de la siguiente manera:
i) Si a > 1, la gráfica se encoge horizontalmente en un factor a en base al eje Y.
ii) Si 0 < a < 1, la gráfica se estira horizontalmente en un factor a en base al eje Y.
6ta. Si se tiene la gráfica y = fi(x) entonces la gráfica de la función F(x) = -f(x) se obtiene
haciendo rotar la gráfica y = ffa.) alrededor del eje X.

242. 228 Eduardo Espinoza Ramos
7ma.Si se tiene la gráfica y = f(x) entonces la gráfica de la función F(x) = fT-x) se
obtiene haciendo rotar la gráfica y = í(x ) alrededor del eje Y.
8va. Si se tiene la gráfica y = f (x) entonces la gráfica de la función F(x) = -f(-x) se
obtiene haciendo rotar la gráfica y = f(x) alrededor del eje X y el eje Y.
Ejemplo.- Graficar la función F(x) = -Jx-2 + 2
Solución
La gráfica de F(x) = -Jx - 2 + 2 se construye a partir de la función f(x) = 4x ,
trasladando a la derecha 2 dos unidades y hacia arriba dos unidades.

243. Relaciones y Funciones 229
Ejemplo.- Graficar la función F(x) = |x - 3| +3
Solución
La gráfica de F(x) = |x - 3| + 3 se construye a partir de la función f(x) = |x |, trasladando a
la derecha 3 unidades y hacia arriba 3 unidades.
© Determinar el dominio y rango de la función / (x) = -Jx2 -1
Solución
Como y = f{x) = 4x 2 -1 =>y = 4 x 2 - 1 . Luego analizamos los valores que x puede
tomar para que “y” sea real, y como y ^ J x2 - 1 entonces “y” es real si x 2 -1 > 0
=> x2>l =>x<-l V x>l por lo tanto el dominio es: Df = < -o o ,-l]u [l,o o >
Ahora calculamos el rango, y para esto despejamos x y = ^ x 2 -1 , y > 0 => x = ±Jy2 + 1,
Luego analizamos los valores que “y” puede tomar para que x sea real y como
x = i^fy^Vl entonces x es real Vy e R .
Por lo tanto el rango de f es : R r = [0,+*> > n R=[0,+
© Calcular el rango de f(x) = 2x2 +5x-6
Solución

244. 230 Eduardo Espinoza Ramos
Como y = f(x) => y = 2*2 + 5x-6 es una función cuadrática en estos casos el rango se
determina completando cuadrados:
, . . 2 5 25x 25 . _ . 73 . . 5x2
v + 6 = 2(jc + — x— ) ------dedonde y+— = 2(x + —)
' 2 16 8 8 4
5 73 73
Luego K (-—,— —) por lo tanto el rango de fes: R f = [— — ,+oo>
( 5 ) Determinar dominio, rango y construir la gráfica de la función /(x) =
4x2 -1
2x + l
Solución
_ . . , . , . 4x2-1 (2x + l)(2x-l) 1
Factorizando y simplificando se tiene: /(x) =
----------------------------------------------------=---------- ---------- = 2x -1, x * —
2x +1 2x +1 2
Luego como f(x) = 2x-l , x * -1 / 2 su dominio es: D f = R -{ - —}
Ahora calculando el rango, para esto despejamos x: y = 2x -1 => x =
y + l
1 1 y + l 1 1
c o m o x e c -o o .— > u < — ,qo > entonces
------e< - 00,— > u < — ,00 >
2 2 2 2 2
v+i 1 1 y+1 . - -
-0 0 <
----< — v — < -----<00 entonces -<e< y <- 2 v -2 < y < o o
2 2 2 2

245. Relaciones y Funciones 231
©
©
Determinar el dominio y rango de la función J'(x) =
2x
x 2 - 4
Solución
La función f(x) está bien definida si:
2x
x - 4
> 0 entonces
(x + 2)(x-2)
> 0 , ahora resolvemos la inecuación.
-2 0 2
Luego D r - < -2,0] u < 2,+oo >
Para determinar el rango despejamos x, como y = f(x)
2jf 2 2x 2 2 2
Entonces y= I—
-----, v>0=>v =■— ----- dedonde y x -2 x -4 y = 0, y> 0
’ V x2-4 ' X2-4 ' ’
X =
2±V4 + 16 / . - 1 6 /
— ’ , y > 0 .racionalizando x — -
2>'2 ’ " ’ 2y2(2 + 7 4 + 16/ ) 2 +-^4+16/
x es real si y solo si y eR. Luego R/ = [ 0 ,+ o o > a R = [ 0 , +oo >
x —3
Determinar dominio, rango y graficar la función: f (jc) = sig(
------)
x + 4
Solución
Aplicando la definición de la función signo se tiene:
r, V>0
, . ,x-3
J (x) = sig(
------) =
x + 4
i • * ~ 3 n
-1 SI
-------< 0
x + 4
x — 3
0 s i :
------= 0 , al resolver cada una de las inecuaciones se tiene:
x + 4
1 •*“ 3 n
1 SI
-------> 0
x + 4

246. 232 Eduardo Espinoza Ramos
-1, si-4<x<3
x — 3
-----------
f'(x) = sig(------) = { 0, si x = 3
x + 4 , • * -j
1, si x<-4vx>3
•4
Y
3 ,
Su dominio es: D f =< -oo,- 4>u<-4,oo>
Su rango es R f - {-1,0,1}
0 x*
( ó ) Determinar el dominio rango y graficar la íimción: f(x) = [| 4x |]
Solución
Calculando su dominio se tiene: f(x) está definida si x > 0 , luego D¡ = [0, oo >
Por lo tanto su rango es: Rf ={0,1,2,...} 1 Y
--------------f
----------------0
Sí [ | ^ |]=0=> 0 < ~Jx < 1 = > 0 < x < 1
i
i
i
i
i
Si ti 4x | ] = 1 = > \< 4x<2 = > 1 < x < 4 ^ - 1
• 1 I
¡ : :
1 !
Si [1-7x1] = 2 => 2<-Jx <3 => 4<x<9
1 4 9 X
Determinar el dominio y graficar la función: f(x)= |x| + |x-l|
Solución
Por definición del valor absoluto se tiene:
, . í x si x> 0 . , f x -1 si x>\
X = < . \x ~ 1 = {
V ♦
[—X si X < 0 [—X +1 si X < 1 0 1
Ahora calculando las reglas de correspondencia de f(x)
Si .Y < 0 => |jcj = -x, |x -l¡ = l - x
como /(x) = ¡x| + ¡x - 1| =5- f(x) = -x +1 - x = 1 - 2 x , para x < 0

247. Relaciones y Funciones 233
Si O < x < 1 => |jc| = jc, |jc-1| = 1-jc
Como / (x) =|.r| + |jc-1| =x + l - x = \=> / (jc) = 1, para 0 < x < 1
Si jc > 1 => |jc| = x, |jc —1| = jc — 1
Como / (jc) = |jc]+|jc —1| = jc + jc-1 = 2jc-1 = > /(jc) = 2jc —1, para x > l
Determinar el dominio, rango y graficar la función:
J[U I] si[\x\\espar
|_2jc —[ | jc -t-11] si [| jc |] es impar
Solución
Si x g [0,1> => [| jc |] = 0 es par =>f(x) = 0
Sixe[l,2> =í> [| jc |] = 1 es impar =>f(x) = 2x-2
Si x e [2,3> => [| jc |] = 2 es par => f(x) = 2
Si x g [3,4> => [ | jc |] = 3 es impar => f(x) = 2x - 4
Sixe[-1,0> => [ | j c | ] = -1 es impar => f(x) = 2x
Sixe[-2,-l> => [|x|] = -2 es par => Rx) = -2

248. 234 Eduardo Espinoza Ramos
Sixe[-3,-2> [|x |] = -3 es impar => f(x) = 2x + 2
( ? ) Determinar el dominio, rango y graficar la función: f(x) = sjx-[\x |]
Solución
Calculando el dominio de la función f es decir: f(x), está definida si x-[|x|]>0 de
donde x > [| x |] que por definición de máximo entero se cumple VxeR. Luego D r = R
Como[|x|] = n «> n<x<n + l, neZ
Entonces f(x) = Vx-n , V x e[n , n +1>, n e Z
Si x e [0,1> => [|x|] = 0 => f(x) = 4x
x e [2,3> => tix|] = 1 => /( x ) = V x-1
x e [2,3> => [|x|] = 2 => /( x ) = ^x -2
xe[-l,0>=> [|x|] = —1 /( x ) = Vx + 1
x e [-2.-1> =;• [| x |] = —2 => f(x) =~Jx + 2

249. Relaciones y Funciones 235
Luego el rango es: R r = [0,1 >
10) Hallar dominio, rango y graficar la función f definida por f(x) =
3 - x
Solución
Calculando el dominio de la función, es decir:
f(x) es definida si x - [ |x |] * 0 es decir: Df = R -{ x /1jc| —[| jc|] = 0}
Como | jc |= [| jc |] => x e N puesto que |x|> 0. Por lo tanto D f = R - N
_ , , Íjc si x>0 „
Como I x |= -{ , analizamos en la forma
-x si x < 0
Si x > 0 => f(x) =-
3 — jc
x-[|*|]
X e [0,1> => [I Jc |] = 0
x e [1,2> => [| jc |] = 1
x e [2 ,3 > => [ |jc|] = 2
x e [3,4> => [| jc |] = 3
3 - x 3
=> /(x ) =
------= — 1
X X
/ ( J C ) =
- /(JC) =
3 - x
7 ^ 1
3 - x
x - 2
3 — jc
f(x)= ± -± = - l
x - 3

250. 236 Eduardo Espinoza Ramos
x e [4 .5 > => [ | jc | ] = 4 => f{x) = ^ ~
jc- 4
x e [5 ,6 > => [| jc |] = 5 = > / ( * ) = l z £
jc — 5
X € [-1 ,0 > => [ | j f | ] = - l = > / ( x ) = - ^ í -
-jc+ 1
x e [-2.-1 > => [| JC |] = -2 => / ( x ) = J z f L
- x + 2
x e [-3 ,- 2 > => [ | j c | ] = - 3 =* f(x) = - t ^ L
-jc + 3
Luego el rango es : R r = < -a>,-2 > u {-1} u < 0,+oc >
Determinar el rango y graficar la función definida por
f(x)=[\- X~ l-\] + 2x, six e<-l,0>
x -1
Solución
Por la propiedad [| jc + n|] = u + [| x |], n e Z

251. Relaciones y Funciones 237
/(•* )= [I ~~— ~ I] + 2x = [| —
-----—- 1] = [| 7-----|] + 2jc
x — \ x — \ x - 1 x - 1
/ W = 7 + [ |— - ? - |] + 2*
X - 1
g
Ahora definimos [ |
--------1] es decir:
x - 1
Como x e<- 1 ,0 > = > - I < x < 0 => -2 < x — 1 < -1 => -1 < —— < —-
x -1 2
=> -8< —— < - 4 => 4 < — — < 8
JC-1 -V — 1
[I
-------7 1] =4, 5, 6, 7
x -1
8 8
Además [| — |] = n => n <
--------< n + 1
x — 1 x - l
1 X-ll
<
--------< —
n + 1 8 n
8 8
< -x + 1 < —
n + 1
n +1 n +1
« - 8 n-1
------< x <-------
n n + 1
x e [ - —- , - —— > entonces x e< -1,0> para n = 4, 5, 6, 7
n ti
Luego f(x) = 7 + n + 2x, n = 4, 5 ,6, 7
Ahora definimos f para cada valor de n

252. 238 Eduardo Espinoza Ramos
fix) =
2.v + 7 + A = 2x + \\ si J c e < - l , - 3 / 5 >
2jc + 7 + 5 = 2x + 12 si x e< -3 /5 ,-1 /3 >
2x + 7 + 6 = 2x + 13 si x e f -1 /3 ,-1 /7 >
2x + 7 + 7 = 2x + 14 si x e [—1 / 7,0 >
Graficando la función f se tiene:
_ . 49 54 34 r37 89 r96 , .
R, = < 9 ,— > u [— , — > u [— ,— > u [— , 14 >
’ 5 5 3 3 7 7
Hallar el dominio, rango y graficar la función f(x) definida por: /(x) =
Solución
El dominio se determina en la forma siguiente: D f = < -o o , l] u < l,+ o o >= R
Ahora calculamos el rango:
Si x < 1 => y = 4 - x 2 => x2 = 4 - y
x2 = - ( y -4) => V (0,4) de acuerdo al criterio de la función cuadrática.
4 - x , si x<l
2 + x , si x>\
P a r a x > l => y = 2 + x 2, de donde y~2 = x1 V(0, 2)

253. Relaciones y Funciones 239
Ahora uraficando se
Luego R r = <-qo,4 ] u < 3 , + o o > = R
(l3 ) Hallar el rango y graficar la función f definida por: / (.y) =
Solución
Calculando el rango de la función
X2 -jc- 1 2 , sixe [—4 ,6 ]
x -2
JY+ 1
sixe< 6,+ oo >
tiene:

254. 240 Eduardo Espinoza Ramos
©
Si x e < 6, + oo>
x - 2 , 3
>• =
--------= 1
Jt + 1 x + 1
x e <6, + oo> => 6 < x < +oo => 7<x+l<+oo
0< — < ­
.t + l 7
- - < — — < 0
7 .t + l
3 3
0 < —— < ­
.t + l 7
4 , 3 ,
- < 1
---------------< 1
7 .t + l
Solución
Calculando el dominio de la función f(x) es decir, f(x) está definida si x * -1
Luego el Dr = ^ -•¡-1 }
Ahora a la limción expresaremos en la forma:
. . . . x 3 + x 2 + .t + l (x2+\)(x + \) , .
J (x) =
-------r— r----=------¡----- ---- , como |.t +
\x + 1 \x + 1
X + 1, si x> -1
— JC — 1, si X < —1
Por lo tanto la función f(x) es dada por: f(x) = -
\x2 +1 si x > -1

255. Relaciones y Funciones
( Í 5) Hallar el dominio, rango y graficar la función: f(x) = [| x |] + ^ x - [ |x |]
Solución
La función f(x) está definida si x - [ | x |] > 0
De donde x > [| x |] es valida V x e R, luego D f =R
Si x e [0,1 > => [| |] = 0 => f(x) = 4*
x e [1,2 > => [|* |] = 1 => f(x) = l + 4 7 -¡
x e [2,3 > => [|x |] = 2 => / (x )-2 + ^ x - 2
x e [3,4 > => [|x |] = 3 => /( x ) = 3 + Vxr 3
x e [ - l ,0 > = > [|A'|] = —1 => f(x) = - 1 + Vl + x
x g [-2,-l> => [ |X|] = -2 => / ( * ) = - 2 + J2+H

256. 242 Eduardo Espinoza Ramos
©
Determinar el rango y grafícar la función /(jc) = | j c2 - 9 1
Solución
Aplicando la definición de valor absoluto a la función f(x) expresamos:
/ (x)= U 2 - 9 | = .
|j c2 - 9 , si x2 >9
9 - x2, si jc2 <9
fix) =
|a-2 - 9 , si x e <-00,-3] u[3,+oo >
9- x 2. si x e< -3 ,3 >
El rango de la función f(x) es Rf = [0,+oo>
La gráfica es como se muestra en la figura
Construir la gráfica de la función /(jc) =
Solución
S i x e [ 0 , l > => [|-v|] = 0 es par
\x+[\x\]\ si [|x |] es par
| x + [ | x - l | ] | si [|j c|] es impar
x G
x e
x e
x e
x e
x e
x e
0,1 > => [|-v|] = 0 espar => f(x) = |x| = x
[1,2 > => [| jc |] = 1 es impar =>fl;x) = |x| = x
[2,3 > => [| x |] = 2 es par => f(x) = |x + 2| = x + 2
[3 ,4 > => [ | x | ] = 3 es impar => f(x) = |x + 2| = x + 2
[-1 ,0 > => [| jc |] = — 1 es impar => f(x) = | x - 2 | = 2 - x
[-2 ,-1 >=> [I jc |] = —2 es par => f(x) = | x - 2 | = -x + 2
[-3 ,-2 > => [| jc |] = —3 es impar => f(x) = )x —4| = -x + 4
[-4,-3 > => [| x |] = - 4 es par => f(x) = |x - 4| = -x + 4

257. Relaciones y Funciones 243
118)
Solución
x e [ 0 , l > => [|jc|] = 0 => /( x ) = x2
x e [ l , 2 > [ |x|] = 1 => /( x ) = (x -1 )2
x e [2,3 > => [|x |] = 2 => /( x ) = ( x - 2 ) 2
x e [-1,0> => [|x |] = - l => /( x ) = (x + l)2
x e [-2,-1 > => [| x |] = -2 => /( x ) = (x + 2)2
^ 9 ) Graficar la función / (x) = -J\x]
Solución
Por definición | x | =
x, si x > 0
- x , si x < 0
Df =R, Rf =[0,1 >
/

258. 244 Eduardo Espinoza Ramos
Luego la función f(x) queda expresado así:
. í V * , s i x > 0
f{x) = \
----
[V -x , si x < 0
donde Df = R y Rf =[0 ,+ oo >
20) Hallar el rango y graficar la función f definida por: f(x) = |2x — 11 - x
Solución
Por definición de valor absoluto | 2jc—11 =
2x-l si x> —
2
\-2x si x < —
2
Si jc c — => |2x - 11 = 1 - 2x => flx) = 1 - 3x
x > — => |2x — 11 = 2x — 1 => fl¡x) = x - 1
Ahora la función dada se expresa así: /(x) =
1 -3 * si x< —
2
JC — 1 si x> —
2
calculando el rango de la función f(x)
si => y = 1 - 3 x , despejando x => x = — 2 - 2 y < 3 => y >
Si x -~^ y = x - 1, despejandox => x = .y + l>-^- => y > - ^
1
Por lo tanto Rf = < — ,+oo > u [ — ,+oo > = [ — ,+oo >
Su gráfica es:

259. Relaciones y Funciones 245
211 Hallar el rango y graficar la función f(x) dado por:
f(x) =
x , si jc e [1,2 >
[\x\] + s¡x-[\x\], si x e [-1,1 >
x , si x e [-4,-1 >
Solución
x e [ - l ,0 > => [|jc|] = —1 => /(jc) = —1 + Vx + l
x e [0,1 > => [| x |] = 0 => f(x) = 4x
Graficando cada parte de la función
Si /'(jc) = ax, Demostrar que f(x + y) = f(x) f(y)
Solución
Como f(x) = a~ => f(x +y) = ax+y =ax. ay = f(x).f(y)
Rf = [-2 ,4 >
f(x + y) = f{x).f(y)

260. 246 Eduardo Espinoza Ramos
©
La función f(x) es lineal, hallar dicha función sí f(-l) = 2 , f{2) = -3
Solución
Como fíx) es una función lineal entonces f(x) = ax + b
Ahora calculamos los valores de a y b
/( - 1 ) = -a + b = 2
f(2) = 2a + b = -3
5
a = —
b =
, _5x 1
, por lo tanto / (x) = —— + -j
Dada la función f(x) = mx + b, V xeR , si se sabe que f{3) = 11, f(-3) = 6.
Hallar m + b
Solución
Calculando los valores de m y b
/( 3 ) = 3m + 6 = 11
/ (-3) = -3 m + b = 6
_ 5
m ~6 * . 5 51 56 28
, entonces: m + b = —+ — = — = —
¿ = 1 I 6 6 6 3
6
m + b
28
Dada la función fi[x) = ax + b, x e R, donde a y b son constantes reales, sí
ftx + y) = ffa) + f(y) V x, y e R , y sí f(-2) = -6. Hallar a y b
Solución
Como f(x + y) = f(x) + f(y)
a(x + y) + b = ax + b + ay + b
a(x + y) + b = a(x + y) + 2b => b = 0
Luego f(x) = ax + b => flx) = ax
fí-2) = -2a = -6 => a= 3 .\ a = 3, b = 0

261. Relaciones y Funciones 247
Si f(x + 4) = jc “ + 3x, Hallar f(a + 1)
Solución
Definiremos la función f(x) Para esto se hace una sustitución z = x + 4 => x = z - 4
Ahora se sustituye en f(x + 4) = x2 +3x => f(z) = (z-4)2 + 3 (z -4 ) = z 2 - 5 z + 4
Luego la función f(x) es dado por: f(x)=x2 -5 x + 4
Calculando fía + 1) es decir: f(a + l) = (a + l)2 -5 (a + l) + 4 = a2 -3 a -4
f(a + l) = a -3 a -4
Dado el polinomio P(x) = jc3 +(a + \)x2 + x , se define la función f con dominio
{0,1,2,3,5}, por f(a) = resto de la división de P(x) entre x + a , calcular f(2) + f(3)
Solución
Calculando el resto de la división de P(x) entre x + a
jc3 + (a + l):c2 +x I x + a
- x 3 - a x 2
x 2 +x
~x~ —ax
(1 — a)x
-(1 —a)x —a(l —a)
Como f(a) = a - a
í(2) = 4 -2 = 2
f(3) = 9 — 3 = 6
Luego f(2) + f(3) = 8
a~ -a = resto
12M. mOFIJESTC^
Q Hallar el dominio de cada una de las funciones
a) /(x) = -y]x2 - 4 x + 3 b) f(x) = -Jl-\x\

262. 248 Eduardo Espinoza Ramos
c) fix)
Í^ -X 2
4 , , , 2x¿- x - l
e) /(x)= i — 3r
g) f(x)= 4 x2 -3x+2 +
43+ 2 x -x ¿
d) f(x) =
f) f(x) =
h) f(x) =
x-1
x2 — 5x + 6
I (x2 -4)(x2 -9 )
\ - x 4 +I7x2-16
1
i) f(x)
- M
2 + I 1 -x
1 + x
4 x~\x\
i) f (x) = 4 x - \ + 2-J\-x + 4 x 2 +1
(x + 1)2 x + \
I) /( * ) = .
4 x 2 - 3 x - 4
\ 4 ñ - 4 x 2-4
Rptas:
a)Df - < - o o ,l] u [3 ,+oo > b)Df = [ - 1 4 ]
c)Df — < - o o ,- 2 > u [0 ,2 > d)D f = [1 ,2 > u < 3 ,o o >
e)D f = < - o o ,- 3 > u [ - - ^ - , 0 > u [l,+o o >0 Df = [-3 3 > - {-1^2}
g)Df = < -1,1] u [2,3 > h)Df =<t>
i)Df =<f> i)Df ={ 1}
k)[ - - - 1 > U < - 1 , - - ]
3 4
1) <-5,-2] u [4,5>
( ? ) Determinar el dominio, rango y graficar la función: / (x) =
Rpta. Df =R , R r = [-9 ,+ * >
x -9 si x<4
5x-2 si x > 4

263. Relaciones y Funciones 249
( 3 ) Hallar el dominio de las funciones siguientes:
1
®
©
a) /(* )= -
* M l * l ]
b) /( * ) =
2x-[\x\]
c) /(* ) =
2x
x-[\x\]
d) / ( * ) = [ |- |]
X
2 -x
e) /(* )= [ I-----rl]
x - 3
g) f(x)=-v .
V * + 1
j) /( * ) = >/1-^4—J
h) /( x ) =
4 - x
11*1-1
k) /( x ) =l—\ls~x2 -2x
í) / W = [|x 2 |]
i) /( x ) = V x - x 3
I) /(X ) = V*2 + 4 x -1 2 + - T-- 3 -
Vx + 2 0 - x 2
Determinar el dominio, rango y graficar cada una de las funciones siguientes:
a) /( x )
c) /( x ) :
Jx .Vi X < 1
} -X J .5/ X>1
jV x - 2 s/ x > 2
x 2 + 2 x -3 s / x e < - l , l >
b) g(x) =
d) /( x ) =
3 x - 2 si - 4 < x < 4
si 4 < x < 6
|x - 4 5/ x < 3
12x — 1 si x > 3
Hallar el dominio, rango y graficar la función:
a) f(x) =
c) / ( x ) :
| x + 2 1 - x si x e< -4 ,0 >
sí x e< 0,4 >
2 x -8 si x e< 4,oo>
2[| x | ] + 2 .sí - 5 < x < 1
V i s/ 1 < x < 4
6 sí - 7 < x < - 5
b) /( x ) :
jx 2 -1
1*1
s¡ 4 < x < 7
s/ x < 4
d) /( x ) =
f [ |x - l |] sí 4 < x < 7
lVi*T sí x < 4
e) f(x) = |x - ] | + |x + 11 f) / ( x ) = (x 2 + 4 )[|2 x + 3 |]

264. 250 Eduardo Espinoza Ramos
©
©
g) fix) =
■V4-JC2 +2, si -2<x < 2
|d ] si x<2
2 si x< -2
2[| x |] si x e< -5,1]
■Jx si x e < l,4 ]
x2 +3 si jc e < -7 ,-5 ]
h) / w = í " 2xl1 si * 6[0J1
' [2[U|] si x e<3,5]
j) /( * ) =
l* + 3|si x < 0
2(jc—1)“ si x e [ 0 ,l>
2—\x — 4 | si xe[2,+oo>
Hallar dominio, rango y graficar cada una de las funciones siguientes.
a) f(x) = |x + 1| + |x— 1| — 2|x|
c) f^x) = |x + 2| + |2 x -2 | + |-x + 5|
e) f(x) = |x — 2| + |x + 11
g) f(x)=j2Ü2x + 5 |]- 4 [|x |]
i) f(x)=\x K |x |]
b) f(x)=[\x\]~\x\
d) f(x) = |x| |x — 11
f) f(x) = |x + 2| + |x — 2| — |x| — 1
h ) A x ) =4\ x -2\ ] - [ \x \ ]
|x + 3 |,x < 0
2 ( x - l) 2, x e[0,2 >
2 - 1 x - 4 1, x e [2,00 >
k) f(x) = - x ‘
\x + l\-l
x + 3
, -3 < x < 4 1) f ( x ) \ ¡ 2 x - - J x , s ix e [l,9 ]
Determinar dominio, rango y gráficar cada una de las funciones siguientes.
a) /( * ) = 2[\x\]-2x b) f(x) =^¡5-\x-31 c) f(x) = [| 2 - 3 * |]
d) f(x) =
[\2x\]
g) /( * ) = -
[ |* - 3 |] - [ |* |]
j) f(x)=[\x\]+^l\x\-[\x\]
e) m =
h) f(x) =
2 -x
x - ^ ü ñ
\x\
ti x 0+1
f) /( * )
i) f(x) =
1*1
[|x |] + l
1* H I*13
y¡2-[\x\]

265. Relaciones y Funciones 251
( 8 ) Construir la gráfica de las funciones siguientes.
a) f(x) = sig(¡|* 2 - 1 |- 1 ) b) / ( * ) = [ \4a-x2 |]
c) f(x) = sig (x 4- 1) - sig(x - 1 ) d) f(x) = sig(—
x + 4
( ? ) En cada una de las funciones dadas, hallar el dominio, rango y hacer su gráfica.
(x + l)(x2 + 3*-10) . . , jc2 —IOjc-1
a) /( * ) =
-------------------------- b) f{x) =
x +6x +5 [| x |]—2jc — 1
c) nx) = ^ - ± d) f{x)J x 2+l*-4Kx2 -5*+6)
' 2x + 3 ‘ (x2 -3x + 2)(x-3)
e) f(x)=[\x\]+\x\+x + 2 f) / ( * ) =
------
*~[U I]
g) / W =t tT h) / W = ^ ( [ U - H ] - l ) + « g ( [ U + l |] - l )
1*1-1
.. ,, . [1*1] .. . . ,x2 + x - 6
0 /(x)=—i— j) /( x ) = s/g(
----------^— )
| x | -x +1 x +1
Gráficar las funciones siguientes.
a) /( x ) = [ |- x 2 |] b) / ( x ) = [ |- x 2 + l|]
c) f(x)=4\x] d) /(x )= V tl* l3
e) f(x)= r if ~ iT )V 0 / W = U | 3l ; |l^ 5 |-x g <-5’2]4 |2 x - l |] - 2 x | jc -4-11 —4
^ l ) En cada función, hallar el dominio, rango y hacer la gráfica.
a) f(x)=7TJLr.7 b) /( * ) = - 2_JC
[|x + l|] U H I2 x |]

266. 252 Eduardo Espinoza Ramos
@
©
c) f(x)
1
V i 2x I —2[| x |]
3
d) f(x) =
1*1
[ |jc|]
e) ./(*) = li ,
1 + JC
g) / ( * ) = * - [ ! 1*11]
f) / W = ( í- [ | x | ] ) 2
h) /(* )= [!* !]+ (* -[!* !])
Hallar el rango de la función f(x) = x - |x - 2|, x e R
Gráficar la función / (x) = (x2 + 4)[| 2x + 3 1], D f = [-1,1]
Hallar el rango de f(x) = |x + 2 |-2 |3 - x |, x e [-4,10> gráficar la función f.
15) Sea /(x) = | x | +^J-x-[\x |] , 0 < x < 2 Hallar el rango de f.
Hallar el rango de f(x) = — [| 2 1 x +11|] (| x | -1) para x e <-5/2 , 2 > , gráficar f.
17) Hallar el dominio, rango y gráficar la función
a) f(x) =
1*1-2
3 — jc
| si - 1 < X < 1
-V*2 +2x si 1 < x < 2
2
b) f(x) =
x + 1
si -2 < x < -\
5 —jc , J te < - 2 ,3 >
2
x +
1 - x
, * e [3 ,5 ]
b) f(x) = x 2 -2 x -3
x2 - 9
d) /( * ) = —
x l - 2 x - 3
c) / (jc) = Vi-* + Vl + *
e) /( * ) = Vtl * l]+1 “ Vi - *
h) /(x) = |6+jc-x" | g) /(x) = *2 + |x|-x+ l

267. Relaciones y Funciones 253
© Hallar dominio, rango y gráficar la función
@
a) f(x) =
16 —jc | —1 . , Q
si -1 < x <8
x + 3
116—x2 |
b) /( x ) =
16x |
si -5 < x < -3
(l9 ) Hallar el dominio, rango y gráficar la función: f (x) =
4
[1-1— 1]
x¿ +1
X1 - 2 , -3 < x < 0
x - \ x - 21, 0<x< 8
2 + V jc-4 , 4 < x < 8
, si x < 3
[| —=-----|]+3x , si 4< x< 6
x -1
3(x - 6)
-4|] , si 8<x<9
Hallar el rango de f (x) = ? sí x e [-2,4>
l+|x-3|
2r. 2 — x n
x [ |—— |] + 3 x-l {
Hallar el rango de f(x) =
------------- sí xe< -2,—>
|5x -1|-15 + 6|x + 2 1 5
(22) Determinar dominio, rango y gráficar: / (x) = -\j9 -x 2 s/g + * ) + [| + ^ |] -1
x - 1 x + 3
@
Hallar el dominio, rango y gráficar / (x) =
Construir la gráfica y hallar el rango de:
f[l x —2 1] , si [|x |] es par
|X -[|X |]| , si [|x|] es par
|x-[|x + l|]| , si [|x |] es impar
f( x )= <¡: ~ xr , v * <=[-3,4]
3 x - [ |x + l|]| , si [|x|] es impar
R pta. Rf = [-7,-4] u [-3,0] u [1,4] u [5,8 >
®
Sea f:[-2,4>->R/ /( x ) = ^X + ^ - Hallar el rango de f. R pta. Rr = [ - —,1]
l+|x-3| 5
(26) Dadas las funciones f(x) = - x 2 +3x + l , g(x) = 3x2 +2x + l Hallar Rr a Rx

268. 254 Eduardo Espinoza Ramos
27/ Hallar los valores de a y b para que cada uno de los conjuntos de pares ordenados sea una
función y determinar la función en cada caso.
f = {(1,8),(2,-3),(1, a 2 + b2),(-l,a + b),(a2 + b,b),(b+a2 ,£>)}
g = {(4,3)(-5,-3)(4.a2 - b 2),(-5,a + b),(a2 +b,a),(a2 +b2,b)}
Rpta: a) a = 2 , b = 2 b ) a = -2 , b = -l
28j Sí /'(x) = x2[\ y |] - 441 ~ |] , x e <0,6], Hallar el rango y gráficar
29) Hallar dominio, rango y gráficar la función / (x) z=-x ^x ^x ^
U K U I ]
(30) Determinar el rango y gráficar la función: /{x) = | x2[| |] — 4 1, x e <1,3]
® Sí f(x) = ax2 +bx+c, /( - 1 ) + / ( | ) = ^ , f(-l) = 0 y f(l) = 8. Hallar f(5)
Rpta. a = 3 , b = 4 , c = 1, f(5) = 96
(32) Determinar las siguientes funciones lineales
a) f(l> = 1 y f(3) = 3 b) f(l) = 3 y f(3) = 1
c) f(7) = 0 y f(8) = 42
(33) Si f es una función real es de variable real tal que f(x + 2) = x 2 + x .
' 3 * * is [|x|] 1?. . |[|f+x|]-x£j
. / ( a + 3 ) - / ( a - 3 ) 3 _ 4
Calcular
----------—-------, a * — Rpta. 6
2a-3 2
(34) Si f es una función real de variable real tal que f(x + l) = x2 +3
Calcular + ^ , a * 0 Rpta. a

269. Relaciones y Funciones 255
35) Sea f una función real de variable real definida por flx) = mx + b tal que :
2f(2) + f(4) = 21 y f(-3) — f(l) = -16 Hallar el valor de j / ( l ) Rpta. |
Sea f(x) = ln(—— ) , demostrar que: f(x) + f (y) = f (-X +-~-)
1 - x l + xy
¿7) Sea f(n) la suma de n miembros de una progresión aritmética, demostrar que:
f(n + 3) - 3f(n + 2) + 3f(n + 1) - f(n) = 0
38} Sea tp(x)=-^(ax+ax) y i//(x) =-^-(a-a x)
Demostrar que: <p (x+y) = cp (x) cp (y) + y (x) y (y) y
V (x+y) = (p (x) y (y) + <p (y) (x)
39) Demostrar que, si f(x) es una función exponencial, es decir j'(x) - a x (a<0) y los
números x ,,x 2,x 3 constituyen una progresión aritmética, los números f(x l),f(x2) y
/ (x3) forman una progresión geométrica.
40) Hallar analíticamente el rango de la función f(x) = 4 x - x 2 - 1 , x e [0,10].
4j) Determinar el rango de la función /(x) = -J2x--Jx , sí x e [1,9]
42) Determinar el dominio, rango y graficar la función f{x) = x 1 + | x | -x +1.
43) Hallar el dominio, rango y graficar las funciones dadas.
a) ./(* )= [ | l - x 2 |] b) g(x)=4x + 4 - 4x-5
í l - 2 x , - l < x < 0 íx2 , x < 0
44) Sí f(x)=\ , g(x) = \ '
^ ’ )[|3 + cosx|] , x > 0 ’ sv ' [senx , 0 < x < ? r
Hallar dominio, rango y graficar f + g.

270. 256 Eduardo Espinoza Ramos
(47)
Halle el dominio, rango y dibujar la gráfica.
J x 1 -1 6
a) fix) =
c) fix) =
[U 2 -1 6 |]
X4 1*1
b) fix) =
V 2x-1
|x |- [ |x |]
e) / ( x ) = [ |x 2 - 2 x - 3 |]
d) /( x ) = [| |l - 2 x 11]
f) /( x ) = ^ /[ |x |] - 3 x
g) /( x ) =
i) / (x) =
Vx~2 - 9 , x e < -5 ,-3 ]
| x -e3 1 —2 , x e < -3 ,5 ]
x 2 -10x + 26 , x e< 5 ,7 ]
5 - x , x e < - 2 ,3 >
2
h) /( x )
x - 2 , x e [-3,0 >
x - | x - 2 | , x e [0 ,4 >
2 + V x -4 , x e [4,8 >
x +
1 —x
, x e[3,5]
j) fix) =
I x | +2 , x e [-7,-2]
[ | | | ] + x , I x |< 2
í-ix+n
2x - 1
, xe[2,5]
k) f{x) =
1) fix) =
H) fix) =
I a — 11 —2 |]x - 2 x , x e < - l ,2 >
I x —4 1 , x e [2,9 >
3 x - [ |l + x |] si [|x |] es impar
[| - x |] si [| x I] es par V x e [-2,4]
2 5 -x
7 - x
, x e [ - 5 , — ]
27
V Ü -3 I , * e [ |, 4 >
Determinar una función polinómica de segundo grado f(x) tal que f(0)=-5,f(-l)=l, f'( 1 )=-7
Hallar el rango de la función J'(x)
x + x + 2
si x e [-1,10]

271. Relaciones y Funciones 257
Hallar el rango de la función f (x) = ——— ~+ - X—1 - , sí x e <0.1>
2 - V u n u i ]
Hallar el rango de la función f(x) = 8x[| — —— |] + x 2[| — —- |] donde Dr =<-1,1]
x - 4 x + 2
50) Hallar el rango de la función f(x) = - + ——— sí x e <-3,5>
2 1 jc—2 1 H-l
Si f (x)=-^—T y Df =[4,20], Hallar Rf
l + x~ '
Hallar el rango de la función f(x) = — -
-----, sí x e [1,10]
4x +1
^3) Dado f(x) = 4 --J(x + 6)2 - 9 , x e< -o o ,-ll> . H a lla rá /
54) Determinar le rango y graficar la función f(x)= \4-x [|
2r. 7 -x
55) Determinar él domino, rango y graficar la función / (x) =
1 -x , x > l
COS7T, - 1 < X < 1
x - x 2, X < —1
56) Hallar el rango y graficar las funciones:
a) / W = [ I 1 ^ | ] , x £ [-1,3] b) /(x )= J |x |- |[ |x |] , x 6 [ - 2 ,l>
Calcular el rango y graficar las funciones dadas:
x + 5
a) f(x) =
x -2
si I jc—2 1 > 3
4 x 2 + 4x — 1, si 0 < x < 1 b) /( x ) =
2+ 12 x - 51, si 2 < x < 3
■slx2 - 9 - 2 , - 5 < x < -3
| x + 2 1 -3, 0 < x < 5
3 x -1 6
x > 6
x —5

272. 258 Eduardo Espinoza Ramos
c) /(* ) =
|x + 3 |, si - 4 < x < 0
3 - x 2, si O < x < 4
- 2, si | x | > 4
d) / « =
- |. r + 4 |, .sí - 8 < x < 2
x 2 - 4 x - 2 , s/ 2 < x < 5
- x 2 + 1 0 x -2 2 , s í 5 < x < 8
- 3 , si |x |> 8
Consideremos dos funciones reales de variable real, f,g: R -> R si D f r\Dg ,
Entonces:
a) Igualdad de Funcios^.v-
Diremos que las funciones f y g son iguales sí y sólo sí
Ejemplo.- Las funciones f(x) = 3 - 1 . «(x) = x3 -3
Son iguales porque £ =D, :'x ,~ g (*
Ejemplo.- Las funciones . ’ o ?;on : lies
puesto que D, ■- ' - ' . i '• " .’c ¿ . * £>,,
Ejempíu.- la s funciones ;<x) = \ « !] í ij
son iguales a : x <Jr ner < * •• •• • i.i qi. .
sus d o m m ic '* 1 ■ mv. icn
b) Suma de Fmidoues.-
Teniendo en cuenta v-!(: i ’a • . . ■K id< y -.y
regla de correspondcncn
DEFINICION.- Si f -;on >*. fu* , - >.• r), • ¡
(x )\ f*i ‘
res; ..':!;.i . - , v tv . ' u,, ■ por
ia se si :.ine:

273. Relaciones y Funciones 259
i)
*i>iS + g)(x)^fU) + g{x)Vx<sDf a
Ejemplo.- Hallar f+gsi: f={(-l,2),(0,0),(2,4),(3.-l),(4,3)}, g= {(2,0).(3,4),(4,7),(6,2)}
Solución
Primeramente calculamos el dominio de f y g.
Df = {-1,0,2,3.4} , Dg = {23.4,6}
Luego calculamos el dominio de la suma: D r+g = D r a £>? = {2,3,4}
ahora calculamos los pares ordenados que pertenecen a f + g.
( / + g)(2) = / (2) + g( 2) = 4+0 = 4 (2,4) e f + g
( / + g)(3) = f(3) + g(3) = -1 + 4 = 3 => (3,3) e / + g
( / + g)(4) = /(4 ) + g(4) =3 + 7 = 10 (4,10) e / + g
Luego la suma de f y g es: f + g = {(2,4),(3,3),(4,10)}
\2x +1, si x > 1 Í3x +1, si x < 8
Ejemplo.- Calcular (f + g)(x) sí: f(x) = \ . , g W = ] .
[x - 2 , s i x < 0 [ 2 jc , s i j c> 1 0
Solución
Primeramente calculamos el dominio de f y g
Dr — < —oo,0> u [l,+ * > , = < -o o ,8] u < 1 0 ,+ o o >
Luego calculamos el dominio de la suma f + g es: Dr+g = Dr a Dg
■*
-----------o o-----------------------------------------► Df
• Dn
0 1
'i
8 10
- • o
---------
9
D f+(! = D f A D fi = < -o o ,0 > u [1,8] u< 10,+oo>

274. 260 Eduardo Espinoza Ramos
Ahora definimos la suma en cada intervalo
Si x < 0, ( / + g)(x) = f(x) + g(x) = x2 -2 + 3x + 1 r x 2 +3x-\
Si 1 < x < 8, (f + g)(x) = f(x) + g(x) = 2x + 1 + 3x + 1 = 5x + 2
Si x < 10, ( / + g)(x) = f(x) + g(x) = 2x +1 + 2jc3 = 2jc3 + 2x +1
Luego la suma (f + g)(x) es:
c) Diferencia de Funciones.-
( f + g)(x)-
x~+3x-l si x<0
5x + 2 si 1 < x < í
2x3 +2x + \ si x > 10
Si f y g son dos funciones con dominio D f y Dg respectivamente entonces a la
diferencia de f y g denotada por f - g se define:
i> Df , ~Df / n,
¡i) 11 - g m=m - g(x). v « 0 / a d.
Ejemplo.- Hallar f - g si f= {(1,2),(2,5),(3,4),(4,1)} y g = {(0,2),(1,0),(2,1),(-1,3)}
Solución
Primeramente calculamos el dominio D f y Dg : Df = {1,23,4}, Dg ={-1,0,1,2}
Ahora calculamos el dominio de la diferencia ^ f g = D f aD? = {1,2}
Calculando los pares ordenados que pertenecen a f — g
í(/-á f )(l) = / ( l ) - g ( l ) = 2 - 0 = 2 ^ f(1.2) s .f - g
\(f-g)(2) = f(2)-g(2) = 5 -1 = 4 ^ [(2,4) e f - g
Luego la diferencia f - g es: f — g = {(1,2),(2,4)}

275. Relaciones y Funciones 261
d) Multiplicación de funciones.-
Si f y g son dos funciones con dominio Dr y Dg respectivamente, entonces a la
multiplicación de f y g denotado por f.g se define:
I) D/ g =£)yADs :
V .t 6 /> / AÜg
Ejemplo.- Hallar f.g si: f = {(1,4),(4,5)(2,3),(3,2)} y g = {(0,2),(1,2),(2,-1),(3,0),(5,2)}
Solución
Primeramente calculamos el dominio Df y Dg : Dr = {1,23,4}, Dg = {0,1,2,3,5>
Ahora calculamos el dominio del producto: D f g = Dr a Dg = {1,23}
Calculamos los pares ordenados que pertenecen a f.g
(/.g )(l) = / ( l ) + g(l) = 4.2 = 8
(/.gX 2) = /( 2 ) + g (2 )= 3 .(-l) = -3
(/.g)(3) = /(3 ) + g(3) = 2.(0) = 0
(1.8) € f.g
(2,-3) g f.g
(3,0) e f.g
Luego el producto f.g es: f.g = {(l,8),(2,-3),(3,0»
Ejemplo.- Hallar (f.g)(x) donde: f(x) = \ 2 , g(x)=. 3
2x + l . x>l
\x2- 2 ,x<0
Solución
3.r +1 , x < 8
2x3 , .r > 10
Primeramente calculamos los dominios de f y g:
D f -- < -oo,0 > u [l,+ Dg = < -x>,8] u < 10,+oo >
Ahora calculamos el dominio del producto f.g

276. 262 Eduardo Espinoza Ramos
D fg = Z )r ADg = < - o o , 0 > u [1,8] u < lO .oo >
Ahora definimos el producto en cada intervalo
Si x < 0, (f.g)(x) = f(x).g(x) = (x 2 -2).(3x + 1) = 3x3 +x2 -6 x -2
Si 1 < x < 8, (f.g)(x) = f(x).g(x) = (2x + l)(3x + l) = 6x2 + 5x + l
Si x > 10, {f.g)(x) = f(x).g{x) = {2x + l)2x3 = 4x4 + 2x3
Luego el producto (f.g)(x) es: ( f.g){x) =
3x3 + x1 — 6x - 2, si x < 0
6x2 + 5x +1 , si 1 < x < i
4x4 + 2x3 , si x > 10
e) Cociente de Funciones.-
Si f y g son dos funciones con dominios D f y Dg respectivamente entonces el
cociente de f y g denotado por f/g se define
Ejemplo.- Hallar f/g si:
f ={(-2,3), (0,3), (4.0), (5,-3), (6,3)} y g ={(0,-2), (-2,5), (3,2), (5,0), (8,-2)}
Solución
Primeramente calculamos el dominio de f y g: D f = {-2,0,4,5.6}, Dg = {-2,0,3,5,8}
Ahora calculamos el dominio del cociente f/g
Dr/g = Df A —{x e Dg ig(x) = 0}
= {-2,0,4,5,6}n {-2,03,5,8}-{5 e D , / ^{5) = 0} = {-2,0,5}- {5} = {-2,0}

277. Relaciones y Funciones 263
Calculando los pares ordenados que pertenecen a f/g
g g(~ 2) 5
Y g(0) 2 2
( - 2 , - ^ ) g —
5 g
(0,-2) e Z
2 g
1 f 3 3
Luego el cociente — es: — = {(-2,—),(0,— )}
g g 5 2
/' Í2x +1, si x e[-3,0 > fx2 + 1, si x g [-2,21
Ejemplo.-Hallar (—)(x) si: /( x ) = < ,g W = .
g |x + 2 , si x e [0,4] [x — 4 , si x g< 2,5]
Solución
Calculando los dominios de f y g: Df = [-3,0 > u [0,4] , £>? =[-2,2] u < 2,5]
Ahora calculamos el conjunto {xeDg / g(x) = 0}
a) Si x g [-2,2] => g(x) = x 2 + l = 0 => 3 x tal que g(x) = 0
b) Si x e <2,5] => g(x) = x —4 = 0 => x = 4 entonces: x g <2,4> u <4,5]
-3 -2 0 2 4 5
Dfig =Df a í),, -{4} = [-2,0 > u<0,2] u < 2 ,4 ]-{ 4 } = [-2,0 > u < 0,2] u < 2 ,4 >
( - ) ( * ) =
2x +1
, si x g [-2,0 >
x¿ +1
A ——, si x g< 0 , 2 ]
x ‘ +1
x + 2
x + 4
, síxg<2,4>

278. 264 Eduardo Espinoza Ramos
M í i l COMPOSICIÓN m FDNOONES.-
Definición.- Dadas dos funciones f y g, tales que: f: A
-----> B ; g: B-----> C y que
Rf AÜf, *(j), entonces la función compuesta g o f es aquella función
definida por:
h = g o f \
OBSERVACION. Para que exista la composición de funciones g o f es necesario que:
Rf aDg *<f>.
ILUSTRACION GRAFICA
i») ' ¿ W c C

279. Relaciones y Funciones 265
Ejemplo.- Sean f= {(0,1),(1,2),(2,3),(4,3),(5,2)} yg= {(6,7),(5,4),(4,3),(2,4),(1,4),(0,7)}
Hallar Dgof , Dgof , así como f o g y g o f.
Solución
i) Calculando D
g°f
f o g
{x G Dg / X G DgA g (x ) G D f }por definición:
Dg= { 0, 1, 2, 4, 5, 6}
1 4 4 4 4 4
g(0)g(i)g(2)g(4)g(5) g(6)
ll ii IIIIII ll
7 4 4 3 4 7
_____y
veremos cuales pertenecen al D
f
Se observa que el 4&Dr entonces Dr„g ={ 1,2,5}
Ahora veremos su regla de correspondencia.
(/0g)(l) = /(g (l)) = /( 4 ) = 3
(fog)(2) = f(g (2 )) = /(4) = 3
(/» g )(5 ) = / ( g ( 5 ) ) = /(4)=3
(1.3) G fog
(2.3) g fog
(5.3) g fog
fog= {(1,3),(2,3),(5,3)}
ii) Calculando Dgof ;
Dgof — {x&Df/x&Df a f(x) g Dg} por definición.

280. 266 Eduardo Espinoza Ramos
Df = { O, 1, 2, 4, 5}
f(0) f(l) f(2) f(4) f(5)
II II II II II
1 2 3 3 2
V.
_______ _______y
Veremos cuales de estos elementos pertenecen al Dg , entonces 1 e Dg , 2 e Dg luego:
Deof ={0,1,5}
Ahora veremos su regla de correspondencia.
(g»n(0) = g (/(0 )) = g(l) = 4
(go/')(l) = g (/(l)) = g(2) = 4
(go.f)(5) = f(g(5)) = g(2) = 4
(0,4) e gof
(1.4) 6 gof
(5.4) e gof
g o f = {(0,4),(1,4),(5,4)}
Ejemplo.- Sean f, g: R — » R tal que: f(x) = x2 + 2x + 3 , g(x) = x —5
Agof)(l) + (fog)(2).(fog)(3) - (gogX 2) 1-2
Hallar [-
(fng)(2)
Solución
Calculando cada una de las operaciones
(goí)(l) = (g(f(D) = g(6) = 1 ; (fog)(2) = (f(g(2)) = f(-3) = 6
(fog)(3) = f(g(3)) = f(-2) = 3 ; (gog)(2) = g(g(2) = g(-3) = -8
Ahora reemplazamos en la expresión dada:
rig o /m + (Jog)(2)lfog)(3) -(gog)(2) 2 _ 1 + (6)(3) - (-8) 2 = 27 2 = ,9 12 = J _
(fog){ 2) J 1 6 J 6 2 81

281. Relaciones y Funciones 267
r . , c , v |- 3 x 2 + l si x > 1 TI „ (gog)(l) + 2 g (-l)
Ejemplo.- Sea g(x) = < . Hallar —
-------------e——
[x-l si x<\ (gog)(-l) + g '( l)
Solución
Calculando cada operación se tiene:
( g o g ) ( l ) = g ( g ( l ) ) = g(-2) = -3
(gog)í-D = g ( g ( - l ) ) = g(-2)=-3
g(-l) = -2,g(l) = -2
Ahora reemplazamos en la expresión: = -3 + 2(-2) =± ± = _1
(gog)(-\) + g 2(l) - 3 + (-2) - 3 + 4
Ejemplo.- Si í{x)=x2 encontrar dos funciones g para los cuales
( fag)(x) = 4x2 -12x + 9
Solución
(fog)(x) = f(g(A-)) = 4.V2 - 12x + 9 = (2.x - 3 ) 2
g 2(x) = (2 .v -3 )' => g(x) = ±(2x-3)
gl(x) = 2x-3 , g2(x) = -2x + 3
Ejemplo.- Dadas las funciones f(x) = 3x- 2 si x e < 0 ,+<»> ; g(x) = x2 sí x e <-3,5>
a) Hallar fog (la función f composición g)
b) Hallar gof (la función g composición f)
Solución
a) 1 ro. calculamos el dominio de f o g: DfoK - {x e Dx lx e Ag(x) e D f}
x e Dg a g(x) e D,
x €< -3,5 > a x 2 e< O.oo > entonces x e <-3,5> A <-x,0> u <0,x»
x e <-3,0> u <0,5>

282. 268 Eduardo Espinoza Ramos
2do. Calculando la regla de correspondencia de f o g
(fog)(x) = f{g(.x)) = / (x 2 ) = 3x2 - 2
Por lo tanto: (fog)(x) = 3x2 - 2 para x g <-3,0> u <0,5>
b) 1 ro. Calculamos el dominio de g o f: Dgof ~{x &D f I x&D r a J'(x) e Dg }
x e D, a f(x) e Dg
x g <fí,oo> A 3x —2 e <-3,5> entonces x g <0,°o> A -3 < 3x —2 < 5
1 7
x e <0,oo> A-l<3x<7 entonces jcg< 0 ,oo>a— < x< — => x e < 0 ,
3 3
2do. Calculando la regla de correspondencia de g o f
(gof)(x) = g(f(x)) = g(3x-2) = (3x~2)2 =9x2 -\2x + 4
Por lo tanto: (gof)(x) = 9,v2 -12x + 4 , para: ,v e < 0 ,- >
Ejemplo.- Hallar fog si f(x) = 3x + 2, x g <-oo,3>, g(x) =
Solución
donde £ )„ = /)„ u £ )„ dominio de la función g
* **2
Ahora calculamos el dominio de f o g
D,og = {xeDg / x e De a g(x)eD, \ = {xeDg lx e D g¡ u D g^ a g(x)eDf }
= {xe Dg¡ a gx (x)D f } u {x g Dg2 a g2 (x) e D f } = D fog¡ u £>^
OJ I

283. Relaciones v Funciones 269
Ahora calculando D ^ y Dto;¡
D roe, = t i e D g, ! x e Dg¡ a g ( ( x ) e Dr\
x e <-x,0> A2x e <-oo.3>
x e <-*,0> A x e <-oo,3/2> entonces x e <--*>,0> por lo tanto D fo^ - < -*>,0 >
Dfog2 = {x e / x e a g 2 (x) e D f }
x e [l,oo> A -3x e <-oc,3> entonces x e [l,x>> A x e <-1,qo> entonces x e [1,*>
D /og, =[1.»>
(/og! )(x) = / ( g , (x)) = f(2x) = 3(2x) + 2 = 6x + 2
(fog2 )(x) = / ( g 2 (x)) = /( - 3 x ) = 3(-3x) + 2 = -9 x + 2
(./«g)(x) =
6x + 2 si x e< —oo,0 >
-9 x + 2.si x e [ l , » >
I x ' si x < 1 í — t si x < 2
Ejemplo.- Hallar (f o g)(x) sí: /( x ) = < , g(.v) = •
[ -x3í/x> 2 [2 x s í x> 4
Solución
Veremos el caso cuando las funciones tienen dos reglas de correspondencia.
í/i(x ) si x e D r íg(x) .sí xeD„
/ W = L . . n ‘ . £ (* )= /' » ■ n
| / 2(x) s; x e D /z [g 2W * e D Í2
el dominio de f o g se obtiene siguiendo el mismo criterio del ejemplo anterior, es decir:
0 Dfw, = V e Dk¡ / x e Dg¡ A g, (x) € Dfi}
x e<-oo,2> A -x e <-,» ,l> entonces x e<-'»,2> A x e <-l,oo> de donde x e<-l,2>
i¡) n Aog2 = ( t e Dg, / x e Sj a g 2(x) e /,}
x e [4,oo> A 2x e <-*>,!> entonces x e [4-oo> A x e <-*>,l/2> => x e

284. 270 Eduardo Espinoza Ramos
¡¡i) D >2 ogi = ^ e / x e a g i (x) e D u }
x e<-oo,2> A -x e [2,oo> entonces x e<-oo,2> A e <-oo,-2> de donde x e<-oo,-2]
iv) Dfi0g¡ = {x e D ?, /x e D gz a g 2(x) e D /2}
x e[4.oo> A 2x e [2,oo> entonces x e[4,oo> A x e [1,*> de donde x e[4,oo>
Luego de i ) , iii), iv), la regla de correspondencia es:
(J\og\ )(x ) = ,/¡ ( g ¡ ( x ) ) = / , ( - x ) = x 2
( Í 2 ° 8i )W = fi(g\ W ) = h (~ x ) = X3
(,/2og2 )(x) = / 2 (g2 (x)) = h (2x) = -8 x ‘ , luego
(fog)(x) =
(/lOgiXx) , .s¡ x e< -1,2 >
( / 2ogi)(x) , s/ x e< -o o ,-2 ] (/og)(x) =
(J2°g2)(x) , si x e [4,oo>
x' , si x e < -a o ,-2 ]
x 2 , .sí x e < - l , 2 >
- 8 x 3 , si x e[4 ,o o >
2.18. PROPIEDADES DE LA COMPOSICION DE FUNCIONES,-
Consideremos las funciones f, g, h, I (identidad)
© fo g * g o f no es conmutativa © (fóg) o h = fo(goh) asociativa
© (f + g) o h = (foh) + (goh) distributiva © (fg) o h = (f o h ).(g oh)
© f o I = f,Io f= f,V f ® I"olm =Jnm,n ,m e Z +
© I v ”ol" = 7" o I 1"' = / , wez+, nimpar © / " = / ./ ./ .. J
2.19. EJERCICIOS DESARROLLADOS.
© Dada las funciones f= {(2,1),(-2,3),(1,5),(-3,4),(7,8)); g = {(3,-2),(7,2),(-3,l),(2,4)}
Calcular f + g, f - g, f.g , f/g

285. Relaciones y Funciones 271
Solución
Calculando el dominio de cada función: Df -{-3,-2,l,2,7} ; D e = {-
Como Dr^g =Dr-g = D fg = Df aDg ={-3,2,7}
(./ + g)(-3) - . / (—3) + g(-3) = 4 + 1=5
( / + íf )(2) = f(2) + g(2) = 1 + 4 = 5 =*
( / + #)(7) = /( 7 ) + g(7) = 8 + 2 = 10
/. f + g = {(-3,5),(2,5),(7,10)}
( / - g ) ( - 3) = 1(-3) -¿K-3) = 4 -1 = 3
( / - g >(2) = / ( 2 ) - g (2 ) = 1 - 4 = -3 =*
( / - g ) ( 7 ) = / ( 7 ) - g ( 7 ) = 8 - 2 = 6
(-3,5)e/ + g
(2,5) e / + g
(7,10) e / + g
(-3,3) e / - g
(2,-3) e / - g
(7,6) e / - g
f-g={(-3,3).(2,-3).(7.6)}
(/.g )(-3 ) = /(-3 ).g (-3 ) = 4(1) = 4
(./.g)(2) = /(2).g(2) = l(4)=4 =>
(/.g )(7 ) = /(7).g(7) = 8(2) = 16
(-3,4) e / .g
(2,4) e f .g
(7,16) e ./ ‘.g
f . g = {(-3,4),(2,4),(7,16)}
Calculando el dominio de f/g: D / /? = / ) ,-a D>r- { * /g(jc) = 0} = {-3,2,7}
(Z|(- ,,= T f = r 4íf g(~3) 1
/( 2 ) _ 1
g(2) 4
(7_)(7) = / Í Z l = | = 4
g g(7) 2
(—)(2) =
g
(-3,4) e —
g
( 2 , 1 ) . /
4 g
(7,4)e —
— = ¡(-3,4), (2,-^-), (7,4)}
2 4
©
Sean f = {(1,3),(3,5),(2,4),(4,6)}; g = {(4,1),(0,-3),(3,2),(1,0)}. Hallar f/g
■3,23,7}

286. 272 Eduardo Espinoza Ramos
Solución
©
Calculando el dominio de cada función: Df = {1,2.3.4} , DR = {0,1,3,4}
Calculando el dominio de f/g: Drig = Dr a De -{ x / g(x) = 0\ = {1,3,4} — {1 }={3,4}
g g(3) 2
áT g(4) 1
2 g
(4.6) e -
/
— - {(3,2),(4,6)|
g 2
®
[jc + 4, x<-l -2 x , — 4 < jc < 3
Si f(x) = 4 , g(x) = < . Calculando f + g
jc —3, —1 <j c< 4 - 4 , x > 3
Solución
Calculando el dominio de cada función:
Df = < - « ,- 1 > u [-1,4 > ; Dg = < -4,3 > u [3,oo >
Ahora interceptamos los dominios
-------u m m r n m m m m w im m im a iiiim r i
-4 -1 3
D rJ.g = D f a D s = < -4,-1 > u [-1.3 > u [3,4 >
Si x e < -4 ,-l> , f(x) + g(x) = x + 4 - 2 x = -x + 4
x e [-1,3>, f'(x) + g(x) = x - 3 - 2 x = - x - 3
x g [3,4>, f(x) + g(x) = x —3 —4 = x —7
de donde ( / + g)(x) =
Hallar (f + g)(x) si f y g están definidas por:
- J C + 4 si jc e< -4 ,-1 >
- x - 3 si x e [-1,3>
jc — 7 ,v ;x e [3 ,4 >

287. Relaciones y Funciones 273
f(x) =
|JC —1 I . -V/ I x - 1 |< 1
3jc , si | .r - 1 1> 1
• g(x) =
[ |jc|] , si - 3 <jc<1
- 2 , si \<x <2
1 - 2jc , si x <2
|x -l|< 1
|x — 11 > 1
Solución
-1 < x — 1 < 1 => 0 < x < 2
x — 1 >1 V x - K - l => x > 2 V x < 0
Ahora a la función f(x) expresamos así: f (x) =
| x - 1 1 si 0 < x < 2
3x si x e< -oo,0 > u < 2,+oo >
Dibujando los dominios de cada función en una recta horizontal.
■ Dr
1
-O
= D f a De = [-3.0 > u [0,1 > u [1,2] u < 2,oo >
Calculando la suma en cada intervalo
x g [-3,0>=>f(x) + g(x) = 3a+[|jc|]
x e [0.1> /(jr) + g W = |jc -l|+ [|jc |]
X € [1,2]=>/( x ) + g(x) = |jc- 1 |- 2
X € <2,00>=>líx) + g(x) = 3x + 1 - 2x = x + l
NOTA.- Se efectúa la operación en sus propias reglas de correspondencia
( / + g)(x) =
3* + [| x |] , si jc e [-3,0 >
jjc - 1 |+ [ |jc|], si .re [0 ,l>
| x - 1 1 -2 , si x e [1,2]
jc + 1 , si .v e< 2 ,+ * >

288. 274 Eduardo Espinoza Ramos
©
[3x + 2, six<0
sr flx) = |x - 2 | + |x + 2 |, g (x )= . y H(x) = fíx) + g (x ), DH
[ l - .t , .s íjc> 0
Hallar la gráfica y el rango de H.
Solución
Primeramente definiremos los valores absolutos
\x~2\ =
x -2 , si x>2
2 -x , si x<2
U + 2| =
x + 2 , si x > -2
- x - 2 , si x<-2
-2 2
Ahora definiremos f(x) en cada intervalo
Si x < -2 , ftx) = (2 — x) + (-x — 2) = -2x
-2 < x < 2 , fíx) = 2 - x + x + 2 = 4
x > 2 , flx) = x - 2 + x + 2 = 2x
por lo tanto f(x) =
- 2x , si x<-2
4 , si -2< x< 2
2x . si x>2
Ahora calculemos los dominios de cada función
-2
Da = [-2,3 > = [-2,0 > u [0,2 > u [2,3 >
Definiremos a la función H(x) en cada intervalo
x e [-2,0> => H(x) = 4 + 3x + 2 = 3x + 6
x € [0,2> => H(x) = 4+ 1—x = 5 —x
D4
D„, Dg
= [-2,3 > .

289. Relaciones y Funciones 275
x e [2,3> H(x) = 2x + 1 —x = x + 1
Y
Por lo tanto la función H(x) queda definida por:
3x + 6 si ~2<x<0
H(x) = < 5 -x si 0<x<2
x +1 si 2 < x < 3
Calculando ífa), para esto x + 2 = y => x = y - 2
Como x e <-5,5] => y-2 e <-5,5] de donde -5< y - 2 <, 5 => -3 < y < 7 = > y e <-3,7]
Luego f(x + 2) = x 2 => f(y) = (y-2) 2, y e <-3,7]
Ahora evaluamos en x: f(x) = (x- 2)2 , x g <-3,7]
Calculando g(x), para esto x - 1 = y => x = y + l
Como x g [-2,2] => y + 1 g [-2,2] => -2 < y + l< 2 = > -3 < y < l => y g [-3,1]
Luego g(x-\) = x 2 => g(y) = (y + \)2 ,y e [-3 .1 ]
Ahora veremos en x: g(x) = (x +1)2, x e [-3,1 ]
( 7 ) Calcular (f+g)(x) y (f/g)(x), donde f(x)
V i - * , Si JC<1
r ;g(*) = {x
V* , si jc> 4
je" - 1 , si jt< 0
x , si Q<xú2
x + 5 , si x > 2
Solución
Calculando el dominio de cada función

290. 276 Eduardo Espinoza Ramos
D, =< —oo,l] u [4,+oo> , Dg = <-oo,0> u [0,2] u <2,+oo>
Ahora calculamos Df+g
0
-o
1 4
Df+g = Df A Dg = < -oo,0 > u [0,1] u [4,+oo >
Calculando f(x) + g(x) en cada intervalo
Si x e <-oo,0> , f(x) + g(x) = -Jl-x +x2 -1
x g [0,1], f(x) + g(x) = J l- x + x
x g [4,+oo> , f(x) + g(x) = -Jx +x+5
•Jl-x +x2 -1 , sí jc<0
( / + g )(*) = f M + g(x) =-JT-x + x , si O < x < 1
-Jx + x + 5 , s¡ x S 4
-► D f
D„
Ahora calculamos D f¡K es decir:
D//g = Df K D g - {* / g(x) = 0} = <-oo,0> u [0,1 ] u [4,+oo> - {O,-1}
= <-oo,-1 > u <-1,0> u <0,1 ] u [4,+oo>
-Jl-x
*2-i
V i-*
JC
jt + 5
, si X G< -00,-1 > U < —1,0 >
, Sí X G< 0,1]
, s / * > 4

291. Relaciones y Funciones 277
©
Calcular (f + g)(x) y (f/g)(x) donde
/( * ) =
x , si x < -2 .
r
----- X2 -1 , SÍ ~10<X<2
V l- x , si -2<x<0 ; g(x) = < r _
X , si 0<x<20 , s i x > 2
Solución
Calculando el dominio de cada función
D f = < -oo,-2 > u f—2,0 > u [0,20 > , Dg = < -10,2 > u [2,+oo >
Ahora calculamos el D f+g
-o
•
--------o
-o D#
-10
o—
-2 20
-> D n
Df+g =Df A Dg = < -1 0 ,-2 > u [-2,0 > u [0,2 > u [2,20 >
Calculando f(x) + g(x) en cada intervalo.
x e <-10,-2>, /(x )+ g ( x ) = x 2 -1 + x 2 - l = 2x2 - 2
x e [-2,0>, /(jc) + g(x) = 4 l- x + x 2 -1
x e [0,2>, f(x) + g(x) = x + x 2 -1
x e [2,20>, f(x) + g(x) = x + -Jx
Luego se tiene: ( / + g)(x) = /( x ) + g(x) =
2x2 - 2 si -1 0 < x < -2
•Jl-x + x 2 -1 si —2<x<0
x + 2 x - l
x +
s/ 0 < x < 2
si 2 < x < 20

292. 278 Eduardo Espinoza Ramos
Calculando (f/g)(x)
(A(x) =
g
x2-l
—2— si -1 0 < JC < 2 —{-1.1}
x —1
si -2 < * < 0 - { -U } ,
x ósea (—){x) =
— si 0 < jc < 2 — {—1,1}
x -1
g
4~x
si 2<x<20
1 si — 10 < jc < —2
x2-l
x2-l
■Jx
si x e [-2,-1 > u < -1,0 >
si x e [0,1 > u < 1,2 >
si xe[2,20>
(9) Dadas las funciones definidas por:
f= {(0,0),(4,3),(2,4),(-3,2),(3,-1)} y g = {(6,2),(3,4),(2,0),(4,7)}. Calcular f o g
Solución
. es decir:
II
Q
{xl x eDg ag(x)eDf }
Dg={ 2, 3, 4,6 }
i 4 4
g(2)8(3)8(4) 8(6)
II II II ll
0 4 7 2
V
Veremos cuales pertenecen al Df
Se observa que: 0 e D y , 4 gDr , 2&Df entonces Dfog = {2,3,6}
Ahora calculamos los elementos de f o g
(f°g)(2) = f(g(2)) = /( 0 ) = 0
(/óg)(3) = /(g (3 )) = /( 4 ) = 3 =>
(fog)(6) = f(g(6)) = f(2) = 4
(2,0) g Dfog
(33) e Dfog
(6,4) g D fag
f o g = {(2,0),(3,3),(6,4)}

293. Relaciones y Funciones 279
(ío ) Sean las funciones reales de variable real /( x ) = J * + ^ ^ g(x) = i* ’ * < ^
[x -1 , x > l (l— x, x > 0
Hallar f o g
Solución
De acuerdo a los criterios establecidos se tiene:
/ W =(/ l W * ’t+ 2 - I S 1 , * w = |* > w " 12 • x < 0
} /,( * ) = ) t - l . » > 1 = * 2 0
Calculando D/ofi = {xe Z)^ A g, (x) e / ) ^
x e< -oo,0 > A x 2 < 1 desarrollando x e <-oo,()> A -1 < x < 1 => x e [-1,0>
(/iOgi)(x) = / 1(g 1(x)) = / i ( x 2) = x2+2, x e [ - l,0 > _
Calculando D/¡ogi = {x / x e A g2 (x) e Df ¡ }
x e [0.+*> A 1 - x e <-ao,l] entonces x e [0,+oo> A 0<x<oo => xe [0,+oo>
(f\Og2 )(x) = fi (g2 (x)) = / i ( l - x ) = l - x + 2 = 3 - x
Calculando D fog¡ = {x / x e Dg A gx (x) e D f}
x g< -» ,0 > A x 2 e<l,+oo>
x e <-oo,0> A x e <-oo,-l> u <l,+oo> = <-ao,-l> => x 6 < -»,-l>
(fr°g\ )(x) = f2(gX (x)) = / 2(X2) = x 2 -1
Calculando Dy j<#j ={x/xeD g A g2(x)^Dfi}
x e [0,+oo> A 1 - x e <!,+«> entonces x e [0,+oo> A x e <-oo,0> => (j)
(fog)(x) =
x2 -1 si X < - 1
x 2 + 2 si x & [—1,0 >
3 - x si xe[0,+oo>

294. 280 Eduardo Espinoza Ramos
( í j ) Dadas las funciones: f(x) = { *’ * E< °°’1] *(*) = {* 8 ’* <0
[-1, xe<l,+oo> [ [ |* l] ,*> 0
Calcular (f o g)(x)
Solución
f ( x ) \ A M = x , x e < ^ ] íf t (x) = x2 -8 si x< 0
I /2 (*) = “ i- x e< l>+a0 > ’ \g 2 W = [|* |] si x>0
Dfog = ^->f,ogl u ^/,0g2 K~JP>f1ogl U ^>f1°g2
Dflog¡ = {xlxeD g¡A g {(x)eDfi}
x < 0 A x 2 - 8 e< -oo,l] x< 0 A -00 <x2 < 9
=> x < 0 A (-00 < x 2 A x 2 < 9) => x < 0 A (R A -3 < x < 3)
=> x < 0 A -3<x<3 => xe [-3,0>
(A°¿i) = A(giO)) = f\(x1 -8) = x2 -8
(/lO gi)(*) = *2-8, X 6 [-3,0>
D.f¡og1 -{ x fx e Dg A g 2(x) eD^ }
i > 0 A [|x |]e< -o o ,l] => jc> 0 A —00< [|ar |] < 1
=> x > 0 A-oo<x<2 => x e [0,2>
(f\Og2 )(*) = /1 (g2(x)) = / j ([|x |]) = [|x |]
(f\Og2)(x)H\x\], x g [ 0 , 2 >
Df2og¡ = {x/xe Dg¡ A g(x) g Df i }
x < 0 A x2 —8g<1,+oo> => x < 0 A 9 < i2 <®
x < 0 A (9 e x 2 A x 2 <+<x>) => x < 0 A (x < - 3 V x > 3) => xg<-oo,-3>

295. Relaciones y Funciones 281
(f2°S\ )(*) = h (Si O » = f 2 (x 2 - 8) = -1
(Í20Si )(*) = “ I . x e <-«v3>
Df2og2 ={x/x&DgiA g2(x)GDf2}
x > O A [| jc |] e< 1,+qo > => jc> 0 A 1 < [|jc|]< +oo
=> x>0A2<x<oo =>xe [2,+oo>
Ü2°S2) = f 2(g2 (*)) = fi (tix I]) = “ I • x e [2,+«»
(f2°g2 )M = " I . x 6 [2,+oo>
(fog)(x) =
x2-8 si x e [ -3 ,0 >
[| x |] si x e [0,2 >
—1 si x e< —oo,-3 > i^{2,+oo >
( Í 2) Si f(x) = x 2 y (fog)(x) = 4x2 -12x + 9 encontrar dos funciones g(x).
Solución
(fog)(x) = f(g(x)) = 4x2 -1 2 x + 9
g 2( x ) = (2 * -3 )2 => g(x) = ± ( 2 x - 3 ) g 1(x) = 2 x - 3 , g 2(x) = -2 x + 3
13) Sí f(x- 1) = x - 2 y (gof)(x + 2) = 2x2 - x. Calcularg(x)
Solución
f(x-l) = x —2 => fTx) = x — 1
(go/)(x + 2) = 2x2-x => (gof)(x) = 2 (x - 2 )2 - ( x - 2 ) = 2x2 - 9 x +10
(gof)(x) = 2x 2 -9 x + 10 de donde g (/(x )) = 2x 2 - 9x +10
g ( x - l) = 2x2 -9 x + 10 => g(x) = 2(x + l)2 -9 (x + l) + 10 = 2 x 2 - 5 x + 3

296. 282 Eduardo Espinoza Ramos
© Si f{x) =x2 +2 y g(x)=x + a, determinar el valor de a de modo que
(f o g)(3) = (g o f)(a — 1).
Solución
(fog)O) = f(g(3)) = f(3 + a) = (3 + a )2 + 2 = a 2 + 6a + l l ...(1 )
(gof)(a-1) = g(f(a -1)) = g((a - l ) 2 + 2)
= g(a2 -2a + 3) = a2 -2a + 3 + a = a 2- a + 3 ... (2)
- , , 8
Igualando (1) y (2) se tiene: a +6a + \\ = a -a+3 => a =
^ 5) Si H(x) = eos 2x y f(x) = sen x encuentre una función g tal que H(x) = (g o f)(x)
Solución
H(x) = (g o f)(x) = g(f(x)) = eos 2x
g(senx) = cos2 x - s e n 2 x = l--2 s e n 2x g(x) = 1 - 2 x 2
© Calcular f ± g , f.g , f/g , donde f = {(1,2),(3,4),(2,5),(4,1)}; g={(3,-l),(2,l),(l,0)(0,2)}
© Calcular f ± g , f.g , f/g , donde f = {(-3,2),(0,0),(2,4),(3,-1),(4,3)} ,
g = {(2,0),(3,4),(4,7),(6,2)}
—“ i» / " r,J
© Si f= {(1,3),(2,6),(4,8),(6,2)} y g = {(1,2),(2,-1),(0,1),(4,5),(7,0)}
Hallar f+ g ,f-g , f.g, f/g
© Si f= {(1,4),(2,5),(3,6),(4,-6),(5,-5)} y g = {(0,8),(1,3),(2,0),(3,7),(4,0),(5,10)}
Calcular f + g , f - g , f.g , f/g
© Sean f= {(2,8),(8,4),(6,9),(4,7),(3,6),(1,5)} y g = {(7,1),(3,2),(5,5),(10,5),(1,3)}
Hallar f+ g ,f-g , f.g, f/g

297. Relaciones y Funciones 283
©
©
©
©
Sean f= i(4,l),(6,5),(5,4),(8,3),(9,2),| y g = <(8,-5),(2,2),(5,-4)¡
Calcular f + g , f - g, f.g , f/g
Calcular f + g , f.g . f/g de las funciones
Í2x + l,x>l
a) f(x) =
b) f(x) =
c) f(x) = •
d) f(x) =
[x 2 - 2 ,x < 0
7 ,x<10
x - \ , x>ll
x2 si X>1
| x - l | s / JC < 1
Í3x + l,x<8
x > 10
3 x - l , U-1K1
x , x > 3
U x + l , x>-l
g(x) = \ 2
[X -1 , x<-l
x~ si XG [-10,-7 >
2x si x e [-4,0 > , g(x) =
2xi -2 si x e < 0 ,8 >
-x 2+x , si x e < - 8 ,- 4 ]
- x + 3 , si x e < -4 ,0 ]
Í2x -1 , x e [ 0 ,l>
e) /( x ) =
Ix , x e [2 ,5 >
f) /( * ) =
g) /( * ) =
x | , x s [-1,3 >
- 2x + 3 , x e [3,6]
x2-l , |x|<2
x , x > 2
g(*) =
g(x) =
gW =
x +2 , si x e< 0 ,3 ]
3x , x e< -1,1]
2x , x e< 1,4]
-v/x-1 , x e [ l,4 >
[| X |] , x e[5,7 >
x — 1 , 0 < x < 3
x + 1 , x < 0
Hallar (f+g)(x) y (f / g)(x) sí: /( x ) =
í-\/l—x , x < l
IVx , x > 4
g(*) =
x 2 - 1 , x < 0
x , 0<x<2
x + 5 , x > 2
Hallar (f + g)(x), donde:
/( x ) =
[| X — 11] , x e < -4,-1]
[|x |] + l , x e [0,2]
| x - 2 1 +3 , x e< -1,0 > u < 2,3]
g(x) =
5 , x e < - 3 ,- l >
- 2 , xe<0,2>
- 3 , x e [ - l,0 > u [ 2 ,3 >

298. 284 Eduardo Espinoza Ramos
f 4jc + [ | jc | ] , j c e < - 3 , 0 >
Dadas las funciones definidas por: f{x) = { .
I|jc + l |- 3 , x e< 1,6 >
g(*) =
[| —jc I]—5jc , x e< -4,-1]
| jc —3 1 , i g < 0 , 2 ]
(I I) Hallar ( f / g ) ( x ) donde: / ( j c ) =
1*1
2x
Hallar (f + g)(x) y graficar
x g [—5,—1] f[| * —2 1] , x e [0,3 >
* 6 [1,4] ' gX { X1 , x g [3,6]
Hallar (f + g)(x) y graficar donde
/( * ) =
[ |* - 1 |] , x e < - 4 , - l ]
[|*|]+ 1 , * G[0,2]
|jc — 2 1-1-3 , jc e < - l,0 > u < 2 ,3 ]
g(x) =
7 , x e [-3 ,-1 >
1 , x e [0,2 >
- 2 , x e [ - l,0 > u [ 2 ,3 ]
11) Hallar (f + g)(x) y graficar donde
/( * ) =
sig (| x2 - 4 1) si x2 <9
Ü ^ D
jr2 + 10X + 21
si x - 12jc < -27 , g(x) = 3 , x e R -[9,+oo>
si | x - 31 > 6
rf\
Dado las funciones f{x) = 2 x - 3 , -l<x<3 ; g-(jc) = jc—[| jc |] , x 6 R, hallar (—)(jc)
g
7 - jc
Vi * - 3 1
Dadas 1 as funciones: f(x) = i
o (rí= í[ll * - 11- 2 1]*2 -2 jc , -1< *<2
[ | jc - 4 1 , 2 < jc< 9 '
Hallar (f+g)(x) y graficar donde
x + 2 5
---------< 0 A jc < —
x - 4 2
— <x<4
Hallar (f + g)(x) y graficar
/ ( * ) =
[I*2 l]+1 * 2 - 1 1 -3 , x e [-2,2]
2jc —1
jc—1
JC e< 2,4 >
, g ( * ) =
j4 — [|x |] , x < 2
- 2 , jc> 2

299. Relaciones y Funciones 285
©
Dada las funciones f(x) = 2x - [ | 2x+[| x |] |] , -~<x<\
g(x) = ||x —2|-|x || , |x| < 1 ; Hallar (f+ g)(x)
Hallar (f+g)(x), (f-g)(x), (f.g)(x) donde
Í3x+1
/ w - L
5x
, x e [-1,1 >
, x e< 1,6]
g(x)
2-sfx -1
x -2
x e[0,3 >
x g < 3 ,5 ]u [6 ,8 >
Hallar (2f — 4g)(x), donde
[[I * ~ 3 1], x e [1,4 >
U 2-4|
x + 2
, x g< - 2 , 1 >
x e [u o >
x 3x + 5
Calcular (f + g) (x), (f.g) (x), (f/g) (x) y graficar donde
Í2x --1 , x e[0,2] r
a) . /(x) = j ; g (x )= J x , D =[1,4]
[3 , x g [3.5]
b) f(x) =
x x < 1
3x, 1 < x < 3 : g(x) =
eos x , x > 3
- x , x<-2
11 , 2 < x <3
34 , x < 6
í[|x |][|x 2 - 4 |] , x < 3 íx , x < 2
c) j(x) = \ r -
------ , g(x) = {
U /x "-1 6 ,x>4 ^ ' x > $
d) f(x) =
1 -2x , -3 <x<-1
[[|-4 + cosx|] , x > 0
g(x) =
■ x < 0
sen x , 0 < x < n
í x + 3 si x g[ - 4 , 0 ]
e) J(x)=\ , g(x) =
3 x + 2 si x e < 0 , 5 >
2 x - 4 , x e [-3 .2 ]
2 - x , xg<2,8>
f) f(x)=<
V x -2 , xg [2,4>
Ix2-14x + 48 , x g[ 6 , I 0 >
g(x) =
[ | - | ] , X G [1,8 >
1 2x — 10 1, x g[8,12 >

300. 286 Eduardo Espinoza Ramos
, . \\x -4 , x e[-6,0] , . Jx + 2 , x > -2
g) ,f(x) = \' ' J , g(x) =
2 , jte [l,6 > l 1 , x < -2
ux 4 f|x - l|[ |.v ig (3 - x )|] , xe[0,6] [ | x -2 \ , x e < - 8 ,3 >
h) Si f(x) = ■ , , g(x) = {
x 2 , x e< 6 ,1 0 > |x|x-2| , x e<3,8]
[x2 -4 x -4 .s7 g (|x |-3 ) , x e [0,2]
^ |], .v/ x < 3
x~ +1
X2 + X + 1
x - 1
, si x e [5,10 >
j) Si /( x ) =
V x2 +16 , x e < - 4 ,- 2 > ,
2x + 4 , x e < - 3 ,- l >
[| x |] — 2x , x e [ - l,2 > , g{x) -
x 2 + 2 | , xe<4,6>
[|x2- 2 1 , x g [-1,5 >
21; Determinar fog , cuando f = {(l,3),(2,4),(3,5),(4,6)f y g = {(4,l),(l,2),(6,3),(0,-2)}
(22) Determinar fog , g o f, cuando: f= {(0,1),(1,2),(2,3),(4,3),(5,2)}
g = {(6,7),(5,4),(4,3),(2,4),(1,4),(0,7)}
0 Hallar gof sí: f= {(2,5), (3,4), (6,2), (5,0), (1,7)} y g= {(4,8),(5,3),(0,9),(2,2),(7,4)}
@ Hallar gof sí: f = {(2,5),(5,7),(3,3),(8,1)} y g = {(1,2),(2,3),(4,5),(6,7)}
®
Í3 x -2 ,xeM ,4> ,
Sí / (x) = <^ ; g(x) = x" +1. Hallar (fog)(x)
[x , xe[4,6]
(26) Consideremos las funciones reales de variable real
[x2 x < 0 íx + 2 , x — 1
g(x) = \ ' ; f(x) = \ . Hallar fog
[ l - x , x > 0 [x — 1 , x > l
{Y n Sean las funciones f y g definidas por:

301. Relaciones y Funciones 287
Hallar: f(0) + g(0) , fll) íT-3) , (fog)(-2) , , (gof)(3) , (gog)(-3/2)
g ( - l )
28} Hallar fog sí /(jc) = 2x2 +1 , x e <-2,20>, g(jc) =
29} Hallar fog sí flx) = 3x + 2 , D f =< -oo,3 > , g(x) =
- j c + 1 , x s< -oo,-2 >
2jc , J c e < 6 , a o >
2x , j c< 0
- 3 j c , jc > 1
Í2jc — 1 , jc < —1 Í jc , jc<0
Determinar gof si. /(jc) = < g(x)= \
[jc + 2 , x > 2 [2x , x > O
x > * <_1 r-> .
2 , x < 1
-1 , 1<jc<2 , g(x) = <31) Hallar fog s í , /( * ) =
1 , jc> 4
1 , jc > 2
©
Í2jc-1 , jc e [0,2] <—
Hallar fog y gof, donde, f(x) = \ , g(x)=4x
[jc , jce<3,5]
jc , j c > 4
| x | —x , JC < O
^3) Sí H(x) = 4 x 2 -2jc + 3 y (Hof)(x) = -y/[| jc|] + 3 . Calcular f(x)
3
[| JC2 — 11 , JC < 3
Calcular (fog)(x), donde f(x) = \
---- , g(x) =
[V *2 + 1 , jc> 3
Í[|jc|] , jc< 0 ,------
35) Calcular fog y graficar sí: g(jc) = < , , f(x)=-Jx + l , -l<x<2
I jc" — 2jc , jc < 1
l e ' ,
3 6 } Calcular fo g , donde, g(x) = < , g(jc) =
íu 2-11, x < 3
U c 2+1, jc> 3
JÜ*I]
, x < 0
= V - i ,jc > 0
Í2jc- 5, x <2
~ [ - j c - 2
fN
Al
*
37) Sí / (x) = -j2x-\ y g(x) = ^2x2 -7 . Hallar la función h talquefoh = g
38} Dadas las funciones / (jc) = 2 jc- [ | 2 x + [ | 2 j c | ] | ] ,
g(x) = 11 x + 2 | - 1 x | , |x| < 1. Hallar fog , gof

302. 288 Eduardo Espinoza Ramos
©
(40)
©
©
©
Sean / (x) = 2x2 - 1 , g(x) = 4x3 - 3x , x e R , probar que fog = gof
Si ffa+1) = 3x+l , g(x) = 2x-3 , hallar (fog)(x+l)
© Sean f(x) =
Jx2 , <1
- x 3, x>2
g(x)-
- x ,x < 2
2x , x > 4 ’
hallar gof
Hallar fog y gof si existen , donde
1
f(x) =
xe<-U > f[|x|] , x e [0,1 >
x — 1 , g(x) = '
l'Jx2 -1 , X G [1,3 >
|x 2 + 1 1 , x e< 1,2 >
Hallar (fog oh)(x) si f(x) = x 2 +2x + l , g(x) = x-2, h(x) = x - 3
Sean f(x) = ax + 2 , g(x) = x —6 , a^O, b*0 si fog = gof hallar b(a-l)
Sean / M - P ” 1 • y J * V l]-2|*l, >i J l < x i O
[x/2 , 4<x<6 ( x [ |x - 3 |] + 2 , si 2<x<4
Hallar fog si existe
Dadas las funciones f y g definidas por: / (x)
2
[ 1 ^ 1 ] , *6<-U >
3 -x
Vx2 + 2x , xe[l,2>
g(x) =x — 1 ’ 'Y ef Calcular (fog)(x) y (gof)(x)
|- 1 | , xe<0,3>
íx , x e [-3,0]
Determinar gof sí f(x) = \ , ,g(x) = x - 1 5 , xe<-10,9]
|x¿ , x e< 0,5]
Sean /( x ) = [|x |] y g(x) =
[|x -4|] , x > 0
. Hallar: h(x) = ¡
\(fog)(x2) , x < 0
x* , x < 0 \(g<>f)(4x) , x > 0
SiF(x) = ctgx y g(x) = cosecx encontrar una función f tal que F(x) = (fog)(x)

303. Relaciones y Funciones 289
¿0/ Si (gqf)(x+2) = 2x~ -x y f(x—l) = x —2 Calcular g(x).
5 ^ Si ( fog)(x-\)=x2 -2x y g(x) = x + 3 Determinar ffa).
52) Dadas las funciones f.g: R
------» R, definidas por:
f(2x + 3) = 4x+l y g(.x)=JC2 + 3 . Determinar (fog)(x) y (gof)(x)
^ 3) Si F(x) = (1 — cos2x) secx y ffx) = senx. Hallar una función g tal que F(x) = (gof)(x)
54) Si F(x) = eos2 x y f (x) =— , hallar una función g tal que F(x) = (fog)(x)
' l + JE"
55) Si F(x) = sen 2x y g(x) = eos x , encontrar una función f tal que F(x) = (fog)(x)
56) Determinar gof si, f(x) =
0 , jc < 0
.r2 , x e [0.1] , g(x) =
0 , jc > 1
1 , jc< - 0
2x , x e [0,1]
1 , x > l
51) Si Kx) = 4x-x~ , 0<x<7, g(x) = -jV 4 , x 0 , hallar (gof)(x)
x + 2 , x > 2
58) Si (goi)(x) = x+2 , 1(x) = jc3 + 6x2 + 12jc+8 /hallar g(x).
59) Dadas las funciones /(jc) = j jc2 - 1 1 y g(x) = -j9-x2 . Determinar (gof)(x)
[| x - 1 1], 0 < j c < 3 x + \
^ Si /( * ) = •{ r~-
----—- y g(x) = — determinar gof
-v/i 1 — JC I —2 , JC > 3 JC-4
. [ 2jc -1 . - 4 < x < 4 ,
61) Hallar fog, siendo / ( jc) = i , # ( j c ) = j c - 2jc
■ [[|JC|] , x> 4
62) Si g(2-x) = y (gof)(x) = 2x-1, hallar f(x)

304. 290 Eduardo Espinoza Ramos
2.Y + 1, si X
SÍ / (Y)= -2.v , si X
0 si X
a/[I*I]24 U | ]
. Hallar gof si es que existe.
Sean las funciones f y g definidas por:
, si x < -2
fix) =1 — X
(x + 2)2, si x e [-2,-1]
gix) ■■
|x + 6|
l-v + 3|-3
a/ 5 ~ - 2
, si X €< -4,-1 >
, si x e< -1,5 >
Hallar las funciones (fog)(x) y (gof)(x)
Sean las funciones f y g definidas en R, tales que:
fix) =
x+2 , x < l
(x -1 )2 +3 , x> 1
gix) =
\x2 - 2 . x > 2
x - 5 , x < 2
Hallar las funciones (fog)(x), (gof)(x)
Sean las funciones f(x) = \X ' A < *, g(x) = i x ' x _ Hallar gof
' - x , x > 2 [2x , x > 4
Hallar gof, si f y g son funciones reales, tales que:
, x 2 +1 , X<1 , [x — 1 , x < 2
fix)= \ , y g(x) = \
- x 2 , X > 4 l 2 , x > 4
Sean las funciones f y g definidas por:
/ (x) = | ' V Sí y g(x) = \X 1 ’ í< .2 - Hallar fog y su rango
- x +3 si x >3 i 2 , x > 4
Sean las funciones f y g definida por:
j x 2 + l , x < l íx ' - 4 , xe [0,4]
fix) = \ , y g(x) = -¡ . Hallar fog
- x 2 , x > 4 0 . x e< 4,7 >

305. Relaciones y Funciones 291
70/ Dada las funciones f y g definidas por:
\x +1 , x<l x - -4 , x e [0,4]
./(*) = y g(x) = 1 J
- x , jc>4 o , x e < 4 , 7 >
7 u Dadas las funciones f y g definidas en R por:
f(x) =
sig(\x--4\) si | JCI <3
.y+ 6
si x e< 3,9 > y g(x) = 3 , x e <-oo,9>
j c+10.c + 21 si [ jc —3 1 > 6
Construir la gráfica de f + g, indicando explícitamente su rango.
+1 , x<^3
72) Hallar fog, siendo /(jc) = •
y g ( x ) = | ^ 2 ~ 2 x si x ( x - 2 ) > 0
x>^¡3 [ [ | j c | ] si j c ( j c - 2 ) < 0
r, „ r • , f, , ] x Sl x e<_00,l] , . Jjc2-4 , xe 0,4
73) Hallar fog, siendo: f(x) = \ y g(x) = < J
1 si x e< l,+oo > 0 , jce<4,7>
74) Hallar fog siendo: f(x) =
2x + l , —3 < jc < —1
-1<*<1 y g(x)
I jc2 -4 , x e [0,4]
0 , jce< 4 ,7 >
- , jc > 1
JC
75) Dadas las funciones / (jc) = -
composiciones fog y gof.
1 + JC
y g(x) = 1 - x determinar los dominios de las
76) Si g(2-x) = 4 x - \ y (g o f)(x) = 2x - 1 , Hallar la función fi(x)
77) Dadas las funciones / (jc) :
1 —x
y g(x) = 1 — x, determinar los dominios de las
composiciones fog y gof y sus reglas correspondientes.

306. 292 Eduardo Espinoza Ramos
78) Hallar (fog)(x) sí: f(x) =
^82
©
©
2jc + 1, —3 < jc < —1
1. —1 < JC < 1 , g(x) =
- , x>\
X
-1. .v < O
3jc + 2. jc > O
Si /'(jc) = -Jx2 -1 6 y g(x) = —-— , Hallar (fog)(x)
jc + 2
_ _ , jc2 +3jc, .v/ jc<3 f3 — jc, si x<\
Sean las funciones f y g definidas por: f(x)=< , g(x) ■
\-x +3, si jc>3 5 —jc, si jc>1
Hallar (fog)(x).
1
Si /(* ) =
, x e <- 2 , 2 > f [ | x — 1 1], jc e [0,1 >
jc -2 ,g(x) = < ¡—— Hallar (fog)(x) si es que existe
n/jc -1 , x e [1,3 >
\2x2 +3|, *e< 2,3>
Si / (jc) = jc2 + 2jc + 2 . hallar la función g(x) tal que (fog)(x) = x 2- 4jc + 5
Tj ■> JCG<-00,1] JJC - 8 . JC<0
Hallar (fog)(x) si /( * ) = { , g(*) = -L „ „
■1, x e<l,+oo> [[|jc|], jc> 0
í[ |jc —11], 0<jc<3 jc-t-1
Si /(.c) = { ,--------■— y g(x) = — ~, calcular (gof)(x)
(-^/l 1 — jc| —2. jc > 3 x - 4
Sean f y g dos funciones, tales que: / (jc) =
2
[ l ^ - ^ l ] , xe<-l,l>
3—x ,
■yjx2 +2x, jc e [1,2 >
, jc g[-2 ,-1 > . .
x - l . Hallar fog, si es que existe.
| jc — 11, x e < 0,3 >
Si H(x) = 'jx2 - 2jc + 3 y (HoF)(x) =-J[\x\]+3 calcular F(x)
íx - 1 , x e [0 ,l] [jc3, jc e [—1,1] „ „
Dados f(x) = \ , , g(*) = 'í .H allar
[ j r + 1 , xe< -oo,0>u<l,+oo> [2jc + [ |jc|]jc-, .c e [3,4]
(fog)(x) si es que existe.

307. Relaciones y Funciones 293
2J1 FUNCIONES; INYgCTIVAS» Sm m C 'm A B Y BIY1QWA&~
a) Función Inyectiva.-
La función f: A -» B es inyectiva (univalente) si a cada elemento del dominio le
corresponde un único elemento del rango, es decir, si existen dos elementos
xx x2 e Dr distintos xx * x 2 cuyas imágenes son distintas f{xx) ± f( x 2) loque
es equivalente a decir:
Si xx,x2 e D f : f(xx) = f(x2) => xx =x2 que es la forma más práctica para
' * * t
determinar si una función es inyectiva.
Ejemplo.-
f función inyectiva f no es inyectiva
Ejemplo.- Determinar que la función f(x) = 5x + 3 es inyectiva.
Solución
f es inyectiva sí f{xx) = f(x 2) => x¡ = x2
f( x x) = f(x 2)=> 5xx +3 = 5x2 +3 xx =x2
f(x) = 5x + 3 es inyectiva
Observación.- En forma gráfica se puede determinar si una función es inyectiva o no,
para esto tracemos una recta paralela al eje X, si dicha recta corta a la
gráfica en dos partes o más, entonces la función f no es inyectiva y si corta en un solo
punto, entonces la función f es inyectiva.
Ejemplo.- Si f(x) = x2 y g(x) = 4x

308. 294 Eduardo Espinoza Ramos
b) Función suryectiva.-
La función f: A -> B, es suryectiva (o sobre) si y solo si, V y e B, existe x e
A tal que y = f(x); esto quiere decir que todo elemento de B es imagen por lo menos
de un elemento de A es decir que f: A B es suryectiva si Rf =B
Ejemplo.- La función f: [0,qo> -» [0,oo> tal que f(x) =-Jx es suryectiva puesto que
Rf =[0,*> >
Ejemplo.- Determinar si la función f(x) = 3x+5 es suryectiva.
Solución
Como f: R —> R / f(x) = 3x+5
y — 5 v — 5
y = 3x+5 despejamos x es decir jc= - - Luego V y e R, 3jc = — —
y — 5 y - 5
Tal que f(x) = / —) = 3(—-—) + 5 = y entonces f es suryectiva.
c) Función Biyectiva
La función f: A -> B se llama función biyectiva, si la función f es inyectiva y
suryectiva simultáneamente.

309. Relaciones y Funciones 295
x
Ejemplo.- Determinar si la función f: [0,2> -> <-co,0] tal que /(x) =
------es biyectiva.
x-2
Solución
i) Veremos si i' es inyectiva, es decir: f(x) = f(x{) => x = xx
=> x x¡ —2x = x¡x-2x¡
x - 2 Xy~2
—2x¡ = -2x-¿ => jtj = x2 por lo tanto f es inyectiva.
ii) Ahora veremos si f es suryectiva, para esto es suficiente ver si el rango de f coincide
con el conjunto de llegada.
>■ = — ^ x = ^ ~ e[0,2>=> 0 < - ^ < 2
x-2 y - 1 y - 1
0 < -^ -< 2 <=> 0 < - ^ -a-^ - < 2 •» 0^ ——— a —-— <0
y —1 y—1 y- 1 y—1 y—1
. — y
o 1 1
y e <-oo,0], luego Rf =< -oo,0] entonces f es suryectiva.
Como f es inyectiva y suryectiva entonces f es biyectiva.
2.22, FUNCIONES CRECIENTES» DECRECIENTES Y MONÓTONAS.
a) Función Creciente.
La función f se llama creciente si para todo xx, x2 e D f se tiene:

310. 296 Eduardo Espinoza Ramos
4
f( x 2 )
Y
f(* l)
/ I
/ 1
/ 1
^ 1
!
<
X1 x2 X
b) Función Decreciente.
La función f se llama decreciente si para todo par xx,x2 eDf se tiene:
c)
d)
Función Monótona.
La función 1' se llama monótona si la función f es creciente o decreciente
Teorema.- Si una función f es creciente, entonces f es inyectiva (univalente).
Demostración
Sean x¡,x2 z D f , tales que xx * x 2, de donde se tiene xx <x2 ó x2 <xx
Si xx <x2 entonces f(x x)< f(x 2) por ser f creciente
y = f(x)

311. Relaciones y Funciones 297
Si x2 < entonces f( x 2)< f (x{) por ser f creciente
Por lo tanto en ambos casos se tiene f(x¡) * f (x2) es decir, si x, * x2 entonces
/(x¡) * f (x2) ■ Luego la función f es inyectiva.
e) Teorema.- Si una función es decreciente, entonces f es inyectiva (univalente).
Demostración
La demostración se hace en forma similar al teorema anterior.
2.23CALCULO DE RANGOS DE
MONÓTONAS.-
______________
Cuando las funciones dadas son inyectivas su rango se encuentra en forma muy práctica
de la siguiente manera:
Sea la función inyectiva cuyo D f = [a, b] entonces se tiene:
Si f es creciente se tiene: R r =[f(a),f (b)]; Fig (a)
Si f es decreciente se tiene: Rf =[f(b),f (a)]; Fig(b)
Ejemplo.- Calcular el rango de f(x) =x3 para x e[-2,2].
Solución
f es inyectiva y creciente entonces R f = [ / ( - 2 ) , /( 2 ) ] => R f - [-8,8]

312. 298 Eduardo Espinoza Ramos
2 ¿ á ' : m v N c i m ^ m s m
a) Definición.- Consideremos la función: f ={(x,f(x))/x e£>/} condom inio
Df y rango Rf entonces diremos que existe la función inversa de f.
si y solo si, f es inyectiva.
A la función inversa de f denotaremos por f * ó / 1, la cual es definida en la forma
siguiente:
donde: Dr,= R f y R¡> = Df
Ejemplo.- Consideremos una función inyectiva f= {(1,3),(2,5),(4,7),(6,9),(8,11)}
entonces la función inversa de f es: / * = {(3,1),(5,2),(7,4),(9,6),(11,8)}
donde Df . = {3,5,7,9,11} = Rr y Rf , = [1,2,4,6,8} = Df
b) Gráfico de la Función Inversa
Consideremos una función f y su inversa / * , el gráfico de la función inversa / *
es simétrica a la función f con respecto a la función identidad I(x) = x por tal motivo
dicho gráfico se obtiene por reflexión con respecto a la recta I(x) = x.

313. Relaciones y Funciones 299
c) Propiedad Fundamental de las Funciones Inversas
Sí f: A->B es una función inyectiva y / * : B-»A es la función inversa de f entonces:
d) Cálculo de la función Inversa
Sea f: A-»B una función inyectiva, entonces a la función inversa f*:B -> A se
puede hallar resolviendo la ecuación
Wíí$:
Ejemplo.- Hallar la inversa de la función fl¡x) = 7x + 3
Solución
f(f*(x)) = x => l/*(x) + 3 = x f*(x) =
x-3
También la inversa de una función inyectiva se puede obtener en la forma siguiente:
Ejemplo.- Hallar la inversa de la función f(x) = 5x-3 síx e[0 ,5 ]
Solución
Como y = fl[x) => y = 5x - 3, x e [0,5]

314. 300 Eduardo Espinoza Ramos
v + 3
Primeramente se despeja x: x = ■ , x €[0,5]
Luego se determina la variación de y
x = ^ Í ^ e [ 0 , 5 ] => 0 < ^ - < 5 => 0 < y + 3 <25
5 5
-3 <>-<22 => y e [-3, 22]
y 4-3
x -
------ ,y e [-3 ,2 2 ], ahora permutaremos x por y es decir:
y = , x e [-3,22]. Por lo tantof*(x) = ■ , x e [-3,22]
2,25 FUNCIÓN IN\ ERS A DI UNA COMPOSiCIÓR-
Si dos funciones f y g son inyectivas y la función composición f o g existen entonces la
función f o g es inyectiva por lo tanto tiene inversa (f o g)* en este caso tiene la siguiente
propiedad, (fo g )* = g * o P
( 7 ) Determinar si la función es inyectiva f(x) = ,
\3x3/2+2xU2
Solución
Simplificado 3jc37 2 + 2xXí 2 = -Jx(3x + 2) de aquí se tiene que x>0 => |x| = x entonces
2¡x\+x + 2 _ 3x + 2 _ 1
' X ~ Ux3/2+2x1/2 Í4x(3x + 2)~ ^
debemos probar que f(a) = f(b) =^> a = b con lo cual se determina que es inyectiva.
f(a) = f(b) => -1= = —!= => a = b. Por lo tanto f es inyectiva.
Va Vb
i

315. Relaciones y Funciones 301
Demostrar que f es in>ectiva donde f(x) =5X, V x e R.
Solución
Debemos probar que: f(a) = f(b) => a = b
fía) = ftb) => 5a =5* => a = b
Por lo tanto f es myectiva.
© Dada la función f(x) = x + 'Jx2 +7 , x e [-3,3]. demostrar que f es inyectiva.
Solución
Probaremos que fía) = f(b) => a = b
fía) = ffb) => a+4a2 +7 = b+4b2 +7
a-h = 4b1 +7 - 4 a 2 +7 , elevando al cuadrado:
(a-b)2 =(4b2 + l4 a 2 + 7)2
ab+1 = 4a2 + 74b2+1 , elevando al cuadrado:
0 2/>2 +14a/> + 49 = a2í r + 7 o2 + 7 /r+ 4 9
a2-2ab+h2 =0 => (a-b)2 = 0=>a = b .*. fesinyectiva
© La función f: R —►[(),+*> definida por /(jr) = 5jc 2. ¿Es f suryectiva?
Solución
Debemos de comprobar que: V y e[0,+*>> , 3 x e R tal que f(x) = y
pero como y = 5x2 => x = ±4 y / 5 .entonces:
3x = ±V>’ / 5 , y e[(),*> tal que /( x ) = f(±4y/5) = 5(±4yTx)2 = y
/.ffx) = y => f es suryectiva.

316. 302 Eduardo Espinoza Ramos
Determinar si la lünción f{x) = x +1 - [ | x |] , x e R es inyectiva.
Solución
Definimos él [| x |] , V x e R
[| .v |] = k <=> k < x < k + l,k e Z . Luego la función f(x) queda definida
fix) =
x + 3 , x e [-2,-1 >
x + 2 , x e [ - l , 0 >
jr + 1 , x e [0,1 >
Luego la función f(x) es la unión de una familia de funciones lineales donde cada una de
las cuales es inyectiva, es decir:
f(x) = x+l-[| x|] => f(x) = x + l - k
Probaremos que si f(a) = ffb) => a = b
ffa) = fíb) = > a + l-k = b + l- k => a = b
Por lo tanto cada función f(x) sea inyectiva falta ver que la intersección de los rangos de
dos en dos es el vacío.
f k(x) = x + \- k
x£[k,k+l>=>k<x<k+l => k + l< x + l< k + 2 => l< x + l- k < 2
1 < f k (x) <2 ye [1,2> => Rfi =[1,2 >
tf
C^fk W =[1,2 >±<j). por lo tanto f(x) no es inyectiva.
*=i

317. Relaciones y Funciones 303
( ó ) Determinar sí la función f: <-4,3]
-----> [-9,13> definida por f(x) = -2x + 1 es biyectiva.
Solución
Veremos si f es inyectiva, es decir: / (x,) = / ( x 2) => x¡ = x 2
f f(x ,) = -2 x , +1
<' => -2x, +1 = -2 x 2 +1 => x, = x7. Por lo tanto f es inyectiva.
[ /( x 2) = -2x2 +1
Ahora veremos si fe s suryectiva, es decir: Rf = [-9,13 >
1 — y
Como y=-2x+l => x = e< -4,3]
- 4 < - —- < 3 => -8 < l-y < 6 => -9<-y<5 => -5<y<9
.•. R, = [-5,9 >* [-9,13 > , por lo tanto f no es suryectiva,
Luego la fimción f no es biyectiva.
( 7 ) Determinar el dominio de la función / ( x ) = x 2 - 6 x + 8 para que la función f sea
biyectiva.
Solución
El dominio de una función cuadrática
para que sea inyectiva se determina
completando cuadrado es decir:
" Y
\ y = f(x)
/( x ) = x 2 —6x + 8 = ( x - 3 ) 2 -1 que es
una parábola con vértice en el punto
(3,-1) por lo tanto f es inyectiva si
D r = [3,+oo > ó para Df =< -°o,3]
0
-1
® Si existe f o g, donde f y g son inyectivas. Demostrar que f o g es inyectiva.
Demostración

318. 304 Eduardo Espinoza Ramos
Como f y g son inyectivas, entonces:
f(X! ) = f(x 2 )
g(x3) = f(x 4)
X: =X2 ... (1)
x3=x4 ...(2)
Probaremos que í' o g es inyectiva, es decir:
(fog)(x 1) = (fog)(x2) => Xj = x 2
(/og)(*l) = (/og)(*2) => /(g(*l)) = /(g(*2))
=> g(xt ) = g(x2) , por ser f inyectiva.
=> x, = x , , por ser g inyectiva.
Como (fog)(xx) = (fog)(x2) => Xj = x2 , enlonces f o g es también inyectiva.
( 9) Si f: R
-----> B es una función suryectiva. Tal que f(x) = |x — 3| - x, Hallar el conjunto B.
Solución
Luego a la función f expresaremos así: / (x) =
Donde Df =< - 00,3 > u [3,+00 > , ahora calculamos el rango
Si x > 3 => y = fix) = -3 => y = -3
R f = < -3 ,+00 > u {-3} = [-3 ,+00 >
Por lo tanto la función f es suryectiva cuando: B = [-3,+®>
Si la función f es creciente en todo su dominio demostrar que f es inyectiva.
Solución

319. Relaciones y Funciones 305
Aplicaremos la definición siguiente de función inyectiva f es inyectiva, si xx x2
implicaque f(xx)*f(x2), V xi,x2 eZ)y
Como jcj *■ x2 => JCj < x2 V x2 < xx pero f es creciente entonces:
/( x , )< f(x2) V f( x 2) < f{xx) de donde f(x x) * f(x 2) por lo tanto f es inyectiva.
Demostrar que la función f es inyectiva, donde: /(jc) =
Solución
2 • „
—¡= , si jce<4,+oo>
yx
— x~, si x<0
2 ,
Primeramente veremos si f x (x) = y f 2(x) = -x~ son inyectivas.
2 2
V Xj ,x2 GDfi fi(x1) = f 1(x2) => - = = - = => xx=x2
V*i y xz
Por lo tanto f x (x) es inyectiva.
Vx,,x2 eDfi => f 2(Xj) = f 2(x2) => -x!2 = - x 2 => X! = x 2
Por lo tanto f 2 (x) es inyectiva.
Ahora veremos que R f¡ A R f = 0
„ „ 2 4
Para x e < 4 , +oo> => y = —== => x = ——
Vx y ■
4 4 ,
x = — e<4,+oo> => —r-> 4 => <1 =5. y e <0,1> => Rf=<0,l>
^ .. ‘
para x < 0 => y = -x 2 => x = - s [ ^ y < 0 => -J-y>0 => -y > 0 => y <0
Rr = < —oo,0 >
Jl

320. 306 Eduardo Espinoza Ramos
Rf a Rfi = < 0,1 > a < -oo.O > = (
Por lo tanto es inyectiva.
{
/_ ^ 3 X < 0
- 5 x 2 + 7 x - 3 , x > 0
Solución
La función fx (x) = V ~ x3 , x < 0, es inyectiva.
La función / 2(x) = -5 x 2 + 7 x -3 , x > 0 no es inyectiva. Por lo tanto la función no es
inyectiva.
, Í 2x + 1 , x<0
Hallar la inversa f (x) si existe, de la función f definida por: f(x)=\ 9
[x +1 , x > 0
Solución
Graficandoa la función f(x) se tiene: Si x < 0 => Rj- = < -°o,l]
x > 0 => R f = < l,+oo > además cada función f x (x)
y / 2 (x) son inyectivas, y como a R ( =<¡>
Por lo tanto existe la inversa de f(x). Ahora
calculamos la inversa de fi(x)
Si x<0, /j(x ) = 2x + l
» » x —1
x g <-oo, 1 ], 2/j* (x) +1 = x , de donde f x (x) = ——- , x < 1

321. Relaciones y Funciones 307
Sí x > 0, f 2(x) = x 2 +1
para esto: f 2(f, (x)) = x , x e <l,+oo>
f p (x) +1 = x , de donde f 2 (x) = -Jx-l , x e < l,+ «>
'je—1
por lo tanto: / (x) =
, x < l
2
~Jx-\ , x > 1
14) Probar que f(x) = 4-Jx - x para 0 < x < 1, posee inversa y hallar la función inversa si es
que existe.
Solución
Para que f(x) tenga inversa debe de ser inyectiva y para esto debe cumplir que:
/(x,) = /(x2) =>xx=x2
^ - x x = 4 j x 2 - x 2 => -x2 ) = 0
=> 4 ( ^ ’ - ^ 7 ) - ( ^ " - ^ /x 7 ) ( V * i" + ^ /* 7 ) = o
=> ( ^ - ^ K 4 ~ 4 x í - x 2) = 0
Como0<x!<l => 4-^/x¡~-.^xj" * 0
Luego --4*2 ~ 0 => x, = x2 por lo tanto
f(x) es inyectiva entonces existe f*(x), ahora calculamos la inversa f*(x) para esto:
f(f*(x)) = x, x e [0,3]
despejando f í x ) se tiene: f*(x) = (2 + -j4-x)2 , x e[0,3]
— *[|1 —— |] si - 2 < x < 0
lx2- l|- l si 0 < jc < 1
15} Hallar P (x) si existe donde f(x) =

322. 308 Eduardo Espinoza Ramos
Solución
©
Primeramente definiremos el máximo entero [ |1 - ^ |] y el valor absoluto | x 2 - 1 1 en
cada intervalo [| 1 - |] = 1 + [| —j |] = 1 + 0 = 1
Como -2 < x < 0 => 0 < -x <2
o<-£<i=>[|-£|]=o
=> x ' - l = ( x + l ) ( x - l )
Para 0 < x < 1 =^> | x 2 — 11 = 1—x 2 por definición
-1
Por lo tanto la función f(x) queda en la forma:
í - x si -2<x<0
f(x) = \ ,
-x si 0<x<l
Si -2 < x < 0 , / j (x) = - x , calculando su inversa
/i(./i* (x)) = x
x e < 0 , 2> , (x) = x , de donde f[ (x) = - x , 0 < x < 2
Si 0 < x < 1 , J'2 (x) = -x2, calculando su inversa / 2* (x)
Se tiene: / 2( / 2*(x)) = x ,-1 < x < 0, de donde - / 2*2(x) = x , -l<x<0
fj (*) = V-x , 1 < x < 0
Por lo tanto la inversa de f(x) es: / * (x)
Hallar P(x) si existe donde / ( x ) =
x si 0 < x < 2
V -x si -1 < x < 0
2 1 x | +x + 2
3x3/2 + 2 x 1/2

323. Relaciones y Funciones 309
Solución
Calculando el dominio para definir |x|
3jr3/2 + 2x1' 2 - 4x(3x + 2) de aquíx> 0 => |x| = x
Ahora simplificado se tiene: /(x) =
2\x\+x +2 3x + 2 1
I 3x3/2 + 2xxn ’]¡-^(3 x + 2) V*
Determinaremos si f(x) es inyectiva: f(a) = f(b) => a = b (f es inyectiva)
W = W ~ a = b
Por lo tanto fi(x) es inyectiva entonces f(x) tiene inversa. Ahora calculamos la inversa.
f(f*(x)) = x
—-f- L ■-- - = x , de donde / * ( * ) = ~V
4V 7 * w *
© Si f es la función definida por f(x) = -Jx2 +16 + 2x , x e [0,3] determinar si existe P(x).
Solución
Para que exista P(x) la función f(x) debe de ser inyectiva, es decir:
Sí fía) = f{b) entonces a = b
-Ja2 +16 + 2a = -\jb2 +16 + 2b entonces 2(a-b) = -Jb2 +16 - Va2 +16
para que sea f inyectiva debe cumplir a = b de donde
a —b = 0 => -Jb2 +16 — -Ja2 +16 = 0
-Ja2 +16= Jb 2 +16 => a2 =b2 => \a\2=\b\2
=> |a| = |b| => a = b puesto que a , b e[0,3]
por lo tanto f(x) es inyectiva => 3 f*(x)

324. 310 Eduardo Espinoza Ramos
Ahora calculamos f*(x) mediante la ecuación: f(f*(x)) = x , x e [4,11]
V /* (x ))2 +16 + 2 / * (x) = x => -\/(/* (x ))2 +16 = x - 2 / * (x) elevado al cuadrado
(/* ( * ) ) 2 +16 = x 2 -4 x /* (x ) + 4 (/* (x ))2 => 3 (/* (x ))2 -4 x /* (x ) + x 2 -1 6 = 0
4x± Jlóx2 -1 2 (x 2 -1 6 ) 4* + 2-Jx1 +48
/*(x)=
-------i----------------------- => / * (x) " ~■
2 x ± V x 2 +48 . . . 2x+J.2x+^x2+48 . n
f*(x) =
----------------- •• / (x) = ----------------- , x e[4,l 1]
I
J J Z3 > 3
’ Determinar si P(x) si existe.
x'+2x-3 ,xe[-lj>
Solución
Determinaremos si f(x) es inyectiva
Six>3 => /j(x ) = V x -3 donde = [0,oo>
S i/ j (x,) = / [ (x2) =>-^x, - 3 = ^/x2 - 3 elevando al cuadrado => Xj = x 2 => / es inyectiva
Si —1 < x < 1 => / 2(x) = x 2 + 2 x -3 = (x + 1)2-4
Como -1 < x < 1 => 0 < x + 1 < 2 => 0 < (x + 1)2 < 4
=> —4<(x + 1)2 -4<0 =í> /?/2 = [-4 ,0 >
Si f 2(x1) = f 2(x1)=> (x¡ +1)2 - 4 = (x2 +1)2 - 4
=> (x¡ +1)2 = (x2 +1)2 => X] +1 = x2 +1
=> x, — x2 puesto que x j,x 2 e [ - l ,l > . Por lo tanto f 2 es inyectiva.
Como Rft a. R f - [0,oo > a [-4,0 > = <!>.

325. Relaciones y Funciones 311
Entonces f(x) es inyectiva y por lo tanto 3 f*(x)
Ahora calculando la inversa de cada función: / , ( /j (jc)) = x , x e [0,+»>
t/í./'i* (-V)) — 3 = x => f*(.v) = x 2 + 3, x e[0,+
f 2(./*(x))=x , x e [-4,0>
(/ 2*(x))2 + 2/*(x)-3 = x => f 2 (x) = -Jx + 4 - \ ,x e [-4,0>
■■■ /* ( * ) =
Jx2 +3 , x > 0
Vx + 4 - 1 , - 4 < x < 0
19) Si f(x) = 2x —3b , determinar el valor de b de manera que /( /; +1) = 3f*(b~)
Solución
Calculando la inversa de f(x): f(f*(x)) = x, x e Dt .
2P(x) - 3b = x, x e D,*, de donde / * (x) = , x&Dr,
como /'(b + \) = 3 f*(b2), entonces 2(b + \)-3b = 3(—y ^ - )
3/?2 +1 16-4 = 0 => ( 3 b - l)(b + 4) = 0, de donde b = | , b = -4
, íx 2 -8x + 7 .vi 4 < x < 7 V - 3 < x < -1
20P Sea J (x) = <{
_____ . Hallar f*(x) si existe.
[V 7-2x si -l<x<3
Solución
Anal izaremos sí J\ (x) = x 2 - 8x + 7 , J2 (x) = s¡l - 2x es inyectiva
Sí4<x<7 V —3<x<-l => /,( x ) = x 2 -8 x + 7
./,(x) — x 2 -8 x + 7 = ( x - 4 ) 2 - 9

326. 312 Eduardo Espinoza Ramos
Si x, ,x 2 e Df¡ ; f\(x ,) = /j (x2) => x, = x 2
(Xl _4)2-9 = (x2-4)2-9 => IXj — 4 12 =|x2 — 4 12
=> |Xj - 4 | = |x 2 - 4 | => x, =x2, puesto que |x - 4 | = x - 4
Sí 4<x<7, |x — 4| — 4 — x si—3<x<-l. Luego fx(x) es inyectiva
Sí—l<x<3 => / 2(x) = V 7 -2 x
Sí xx,x2 eZ>/2; f 2(Xj) = f 2(x2) => Xi = x 2
-2xi 2x2 =í> 2xj = 2x2 => x, =x2 . Luego / 2(x) es inyectiva.
Ahora calcularemos el rango de cada función.
Sí 4<x<7 V - 3 < x < - 1 => 0<(x-4)2 <9 V -7< x-4< -5
-9 < (x-4)2 -9 < 0 V 16 < (x-4)2 - 9 < 40, pro lo tanto Ry¡ = < -9 ,0 ] u < 16,40]
Sí —1 < x < 3 => - 6 < - 2x < 2 => 1 < 7 - 2x < 9 => l < ^ 7 - 2 x <3
Entonces =<1,3]
Como Rr¡ a Rf = <j> entonces f es inyectiva en todo su dominio.
Ahora calculamos f*(x)
/ , (/i*(x)) = x , x e <-9,0] u <16,40]
(/i*(x))2 -8 /j* (x ) + 7 - x = 0 ,x e <-9,0] u<16,40]
/j*(x) = 4 ± V x + 9
fi (x) =
4 + Vx + 9 ,x e < -9 ,0 ]
4- Vx + 9 ,xe< 16,40]

327. Funciones y Relaciones 313
/ 2( / 2*(*)) = * ,x e <1,3] => ^ 7 -2 /2 *(x) =x ,x e <1,3]
/ 2*(jc) = 2 (7 -x2) ,x e <1,3]
Luego la función P(x) queda en la forma: f*(x) =
A + ^x + 9 ,x e< -9,0]
4 -J x + 9 ,x e< 16,40]
l/2(7-x2),x e< 1,3]
2.27 EJERCICIOS PROPUESTOS.-
O Sea la función f: [1,4] —> [a,b], tal que /(x ) = x 2 -2 x + 3 , Demostrar que f es inyectiva
y hallar los valores de a y b para que f sea biyectiva. Rpta. a = 2 , b = 11
( 2) Es inyectiva la función real f(x) =
( 3) Seaf: A -> <1,10] dada por f(x) =
x
x 1 +1
4 -1 lx
4 -2 x
a) Determinar A Rpta. <-*>,0]u[4,°o>
b) Mostrar que f es inyectiva
10 + 3*
( 4) Sea f: A -» <-4,1J definida por / (x) = -
10 — 2jc
a) Determinar A Rpta, <-00,0] u<10,oo>
b) Mostrar que f es inyectiva
3 + 4x
© Sea f: A ->[-9,-l> dada por f(x) = -
3 - x
a) Determinar A Rpta. <0,oo>
b) Probar que f es inyectiva
c) ¿fes suryectiva? Rpta. no

328. 314 Eduardo Espinoza Ramos
( ó ) Dadas las funciones reales siguientes:
flx) = 3x + 2|x|, g(x) = ■ , x * 1 y h(x) = 3x + 7, p(x) = x + 2|x|
x - l
¿Cuál de estas funciones es inyectiva?
^ 7) Demostrar que las siguientes funciones son inyectivas
a) f(x) = 3x —2, x > 0 b) f(x) = sen x, jc
2 2
c) f(x) =(x-h)2 + k ,x>h d) f(x) = 2 - x i ,x eR
e) /(jc) = V9+jc2 ,x >1. En forma analítica y gráfica
( ? ) Demostrar que la función f definida por: f(x) = 1--Jx2 ~ 4x - 5 , x < - 1 es inyectiva
( 9) Demostrar que J(x) = ——j , x * -2 es inyectiva
10J Sean f: A —>B, g: B -> c, demostrar que:
a) Si g o f es suryectiva entonces g es suryectiva
b) Si g o f es inyectiva entonces f es inyectiva.
La función f(x) = J—— .¿Es suryectiva?
U _ I «• '*■'
(12) Sea f una función definida por: f (x) = — , x e < 0,2 > u < 2,00>
w x 2 -4
Determinar si f es una función biyectiva Rpta. si es biyectiva
^ 3) Determinar si la función f(x) = 6x~x2 - 5 es f inyectiva, si no lo es, restringir su
dominio para que sea inyectiva. Rpta. No es inyectiva

329. Funciones y Relaciones 315
© Sea f una Junción definida por /( x ) = ^—y—j-,Df =R . Es f una función inyectiva?
Rpta. f es inyectiva
( Í 5) Dada la función f(x) = —— Mostrar que f es inyectiva y graficar
W ' ' (x -2 )(x -4 x - 1 2 )
Sea f(x) = ——— +
- —— -1 , x e <1,2>. Demostrar que f es inyectiva (ó univalente)
x - 1 (x - 1 )2
17) Si se sabe que f(-1) = 4 y f(3) = -2 , donde f es una función lineal, hallar la ecuación que
define P(x) Rpta. /* ( * ) = +
1$) Sí f(x) = 2x+c y /( c ) = 2/*(c2). Encontrar el valor de :
a) fíO). P(0) Rpta. -8 b) Rpta.- 4
© ) Si f(x) = 3x + 2a, Determinar los valores de a de modo que f(a2) = f*(a + 2)
Rpta. a--l V a=\
20) Hallar la inversa f*(x) si existe para la función. f(x) = x2 + 4x -1 , x e <-4,-3>
Rpta: /* ( x ) = -2 - 4 x + 5 ,xe[-4,-l>
21) Hallar la inversa f*(x) si existe de la función, /( x ) = x2-2x-l , x >2
Rpta. / * ( x ) = 1 + Vx + 2 ,x>-l
(22) Hallar la función f*(x) si existe, para la función, f(x) = (|x-51 +l + x )V 5 -x

330. 316 Eduardo Espinoza Ramos
lx2 + '2.x ■+■ 2, x ^ 1
Sí f(x) = < ’ . Hallar la función inversa de fi(x) si existe
x 3 + 4,x <1
Rpta. f *(x) =
-1 + Vx-T,x > 5
3-Jx-4,x < 5
24) Sí la función f: <-1 ,!>-» R, definida por: f(x)
(25) Hallar í*(x) si existe de:
\-Jb-X ,X < 0
a ) f(x) = -
Lr +l,x> 0
1-1*1
Hallar la inversa de f(x) si existe
R p ta . / * (x) =
1+1*1
í-x,x < 0
b) f(x) = \
\-x ,x>0
C) f(x) =(\x-3\+xyj3-x d) f{x) =
|x-6|+x+Vx-6-[|x-4|]x + 6
-Jl -x
2x + 3 7 9
Dada la función f(x)=
---------- ,x e< — > . Hallar P(x) si existe.
' x-1 2 2
®
\2-x\,x>2
Sí f: R -> R tal que f(x) = \ , . Determinar la función inversa f*(x) si existe.
- j r < 0
28} Consideremos la función f definida por: f (x) =
x + 3
, x < -3
/
x2 + 4x-2,0<x<3
7
4-x
, x < 11
Determinar si f es inyectiva, si lo es hallar f*(x).
29) Sea f : R -» R tal que f(x)=
---- -----, si f es inyectiva hallar f*(x)
“ * ~ [|* l]
30) Hallar la inversa f*(x) si existe de:

331. Funciones y Relaciones 317
a ) f(x) =
2x -1,JE < -1
4x1 ,-1 < x < O
x + 4,x>0
b )f(x) =
- j - x +1 , X <1
jc-[x] , 1 <x <2
3jc-5 , x g< 2,4 >
c ) . / ( * ) =
|-4x¿ , x<0
!-^4-x2 , O < x < 2
d) /( x ) = í - ^ r ’- 3Sjf< 0
\3x , 0 < x <4
Dada la función / (x) =
| jc2 - 4 1 , O <*<2
------+ x-l , x> 2
4
Hallar P(x) si existe.
, f 2 V - x + 2, x < O
R p ta : / * ( * ) = ] ---------
[V 4 -jc, O < x < 4
© Dada la función / (x) =
2j c—1 , x < -1
4x2, -1 < x < O , Hallar f*(x) si existe.
x + 4, x>0
'x + \
R p ta : f * (x) =
, x<-3
x -4 , x >4
©
. (x2 + 2x + 2 , j c < —1 „ _ . .
Dada la función /(x) = ^
___ , Hallar P(x) si existe.
-V * + l , x> -\
R p ta . / * (x) =
| — 1 — -v/x—T , x> 1
Ijc2 -1 , x < O
(34) Dada la función f definida por: f(x) =
4 -x2 +x + 2 + \ , -1 < jc< 1 / 2
7
2 —
JC + 1
2 < x < 4

332. 318 Eduardo Espinoza Ramos
Hallar f*(x) si existe. Rpta. f*(x) =
jc + 5 i i
, — <x< —
3 5
. \< x < -
2 2 2
I r + 4|
Hallar la inversa si existe para la función, f(x)=
------------ ,xe<-2,0>u<0,l>
U -ll-l
©
Rpta. f*(x) =
--------,x e <-oo,-5> u < 1 ,*>
* + 1
(3ó) La función f definida por la regla de correspondencia
fix) =
J4 — 1 2jc + 27 , .«*<-11
Lv2 +6jc + 6 , si x>0
. Demostrar que f es inyectiva y hallar P(x)
Rpta. P(x) =
j ó —Jx2 +8x + 25 , x < 0
(Vx + 3 - 3 , x > 6
Sea la función f: R —>R, definida por: f(x) = [| x |]+-Jx-[\x |] , hallar P(x) si existe
Sea las funciones f y g definida por:
-Jx1 +4a' - 5 . 6 < x < 7
fix) =
[ |jc|] , 9 < * < 10
Rpta. f*(x) = k+ ix-k) ,xe[k,k+l>
jc-21 —13—jc| , 3.5 < jc < 7.5
(jc -8)2 —9 , 7.5< jc<9.5
x , 9.5 < jc < 13.5
Hallar (f + g)* si existe
(39) Dadas las funciones f y g definidas por: f(x) =
0, x < 0
jc2,0 < x < 2 , g(x) =
71, x> 2
2, x <0
4x,0<x<\
— l,x > 1
Hallar (f o g)(x), determinar si es inyectiva en caso afirmativo, calcular (f + g)* (x)

333. Relaciones y Funciones 319
40} Dadas las funciones /(x) ■
x + 2
,x<-2 y g(x) =
2x -12x + 2 , -2< x< 3
x + 2
x-3
, x > 3
Hallar f* o g Rpta. (f*og){x) =
, -2<*<3-V¡7
-(2xz -12x + l)
2 ^ + 2
-Jx~3-^Jx + 2
, x> 3
(41) Sean las funciones f(x)=
------ y g(x) = 3x —1. Hallar la intersección del dominio
x + l
í* o g con el dominio de (f o g)(x). Rpta. R -{0 ,2 }
42) Sí / (x) = 3x - 2x + 5 , Df =< 1,4 > y g(x) = | x | + 3. Determinar el dominio de f*o g.
2 4
Si f( x - 2) =
------. Hallar el valor de x que satisfaga ( / * o / ) ( —) = 2.
jc + 3 ' x
Dada la función f definida por: /(x) =
Hallar f*(x) si existe.
\x-5\+4x+*Jx-5 - [ |x |] x + 5
-Jó-x
Rpta. f*(x) =
6x2 +5
x2 +1
x + 4
Si f* es una función biyectiva tal que / * (
------) = D . Hallar el conjunto solución de la
3x
inecuación: / (c) >
3x
jí + 4
Rpta. x e <-4,-l> u <0,2>
@
Sean f(x)=x*+2, glx)- ——- si Hallar g*(a+5)
x + 3 3
Rpta. -
1
47) Dada las funciones reales /(x) = 1+---X ■, g(x) = —, x ^ 0. Hallar el dominio de f*og*
x x
Rpta. <-1 , 1> - {0} = <-1, 0> U <0, 1>

334. 320 Eduardo Espinoza Ramos
48) Si f y g son dos funciones donde f(x-l) = 3x+2, g(2x+3) = 4x+4 . Hallar (g* o g)(x)
Rpta. £ * ± 2
49) Sea f: <-l,l>->R, tal que /( x ) = -— -— , analizar si f es inyectiva.
50) Hallar P(x) si existe, donde, / (x) =
x +x , x > 5
Ix , JC < —1
|x + (x 2 +1)1/2 ,x > 1
51J Analizar la inyectibilidad de la función, / (x) - -i l
-------1 , en caso afirmativo
\ — y/ - x 3 +1 , x< -1
hallar P(x)
52) Sea f y g dos funciones, tales que:
/(* ) =
, x e < - l,l >
3~ x ; g(x) =
4x2 + 2x , x e'[l,2 >
— - , xe[\2> .
x -1 . Hallar f o g si es que existe.
| je —11 , ie<0,l>
53) Hallar P(x) si es que existe de la función, / (x)
x2 + 2x-2, - 3<x<-2
U+3|
lx-21-1
, -1 < x < 1
x H" 2x “ 1 , x 5í 2
54) Analizar la inyectibilidad de tal función, /'(x) = -i ’ , en caso
‘ ( - x 3 , x > 2
afirmativo hallar P(x)
55) Hallar f*(x) si existe donde
a) f(x) = <
¡x +4x-5 , x e [-2 ,l >
x - 5 , x e [5 ,+ * >
b) fix) = •
|x ¿ +2x + 2 , x > l
x2 + 4 , x < l

335. Relaciones y Funciones 321
c) fix)
e) /( * )
t) fix)
g) fix)
h) fix)
O fix)
j) fix) =
k) fix) =
I) f i x ) =
2 x - l , X € < -00,-1 >
• 4x2 , x e [ -l,0 ] d) fix)=<
x 4 4 , xe<0,+oo>
Jx 2 - 8 x + 7 , x e < -3,-1 >U< 4,7]
j / 7 - 2 x , x g[ - 1 3 >
x2 +10x + 21 , x e [-7,-5 > £/[—2,—1 >
•fx + l + l , x e < - l , 3 ]
J x 2 + 2 x + 2 , x e < - o o , - l >
|—\Jx +1 , xg [-1,+ oo>
- (x2 + 6x + 8) , x e < -o o ,-4 ]
• x + 3 , x s < 0 , 3 >
■yfx — 1 , x e [10 ,+00 >
—x 2 — 4x — 3 , x e < -o o ,-2 ]
3 + ^ , x g[1,+oo>
| —x 2 — 2x , x e [ - 3 , - l >
¡2 + V3 + 2 x - x 2 , x e [ - l , l ]
j4---\/x2 +12x + 27 , x < - l
[x2 + 6 x + 6 , x > 0
x 2 , x e [ l , 2 >
[|A|] + V x - [ |x |] , x e [ - l , l >
- V - x , x e [ - 9 , - l >
— + 1 , x e [-4 ,-2 >
2
Vx + 2 , x e [-2,2]

336. 322 Eduardo Espinoza Ramos
0
©
11) fix) =
- 4-(x + 2)2 , Jte[-5 ,-2 ]
2a[|x + 3|] , jc e < - 2 ,- l>
2 + -Jx+ 1 , jte<-13>
4 , x = l
ir2 -I r < —1 Í2.V-1 , JC<0
Dadas las funciones f(x) = < ’ y g(x) = 1 r-
|jc + 1 , x > -\ [-Jx , jc>0
Hallar si existe fog*
Analizar si las funciones reales f y g son inyectivas
fix) =
- 2x +10 , x < 0
■Jx2 +16 , 0 < x < 3 , g(x) ■
3 ,
, .v>3
- x 2-U)x-21 , ,v e [-5 ,-l]
U - 2 1-1
U + 3|
, xe< 1,2]
x2 - 4
Si g: A -> B y f: B -> C, son funciones inyectivas, demostrar que fog: A -» C es
inyectiva.
59) Analizar la inyectividad de la función f(x) ■
afirmativo, hallar su inversa.
- x 2 , x < 0
-J - xJ , x < 0
-5jc2 + 7jc-3 , x > 0
en caso
Si /(x) =i probar si es inyectiva, si lo es, hallar su inversa.
- , x>0
x
¡2-x2 , -f3<x<2 i—j
---------
Dadas las funciones f(x) = < --------- , g(x) = x - 4 1 -3 , x e <-oo,-4]
[\-^ x 2 - 4 ,x< -4
U<0.2] tal que f=h*og
i) Demostrar que f y g son funciones inyectivas.
¡i) Hallar la función h.

337. Relaciones y Funciones 323
62) Dadas las funciones f(x)= —— , xe[fl,4]-{2> y g(*) = i ^ ^ X< ^
' x - 2 Lr + 3 . - 6 < x < 1
Hallar f*og si es que existe.
63J Determinar la inversa P(x) si existe donde / (x) =
x 2 - 4 , x<-2
-Vx-2 , 2<x <6
- 2x +10 , x>6
[ -Jx -3 , x > 3
64) Si f(x) = < . Determinar f*(x) si existe
" ' x 2 + 2x-3 , x e [-1,1 >
x ~ —4 si x < -~2
65) Si /(x) = <
____’ " . Determinar P(x) si existe.
" l-Vx-2 , si x > 2
66) Hallar la inversa de f si existe donde / (x) =
Jx +2x-3 , x < 2
-x 3 , x>2
67) Decir si f(x) es inyectiva, si es así hallar f*(x) donde / (x) =
| x |, x < —1
2-x2, x > 11
2x, x < 3
68) Dado f(x) = < , probar que f(x) es inyectiva y hallar f*(x).
x ‘ , 3<x<5
69) Analizar si es inyectiva la función f(x) = x 2 -3 x + 2 , x e [0,+oo>, en caso que no sea,
determinar el dominio para que sea inyectiva y hallar su inversa.
70) Analizar si la función f(x) =x4 -2x2 -3, x > 2 es inyectiva, en caso afirmativo, hallar
su inversa.
© Sea /(x) = |^ ^ _ ^ L A ^ , mostrar que fes inyectiva y hallar P(x).
-V3-x, x<2

338. 324 Eduardo Espinoza Ramos
x —3 1
Si f(x) =
-------f---------— 1, x e <1,2>, analizar rigurosamente si f es inyectiva, en
x-i ( x - i y
caso afirmativo, hallar f*(x) y sus dominios.
73/ Encontrar f(x) y f*(x), si se sabe que:
[14)
Í75)
i) «■(-.•) = —
----r , (fog)(x) = 2x + 3
4x + l
ii) g(x) = 3x - 2, (gof)(x) = 2x + 4
x - 2
Sean f(x) = 2x~ 4jc — 1, x e [l,+*>, g(x) = -——=- , xgR. Calcular (gof*)(x) si existe.
x +4
Si f(x-l) = 3x + 2, g(2x + 3) = 4x + 4, encontrar (g*oí)(x)
Calcular f*(x) si existe, donde: f(x) =
x2 + 4x-l, x g< -4,-3]
|x + 4 |
, x g< -2,0 > u < 0,1 >
Jl) Sean f(x) = — , x<-2 y g(x) =
2 + x
2x2 -12x + 3, jtgc-2,3]
x+ 2 _ ■ Calcular (Pog)(x), si existe
x -3
, jc>3
18) Hallar f*(x) si existe donde f(x) =
x + 2, x < 2
-j9x-2, x g<23 >
( x - 3 ) 2 +5, x >3

339. Limites y Continuidad 325
CAPITULO III
3 . L I M I T E S Y C O N T I N U I D A D .
3A INTRODUCCION^
La teoría de límites de una función es indispensable conocer la teoría puesto que es la
base sobre el cual se dan los conceptos fundamentales del cálculo como son: la
continuidad, la derivada, la integral, etc.. Antes de dar la definición de límite de una
función daremos la idea intuitiva.
Sea L un número real y f una función definida en las proximidades del número “a”, no
necesariamente en “a” y denotaremos por: lim f(x) = L y diremos que:
x->a
Cuando x se aproxima a “a”; f(x) se aproxima a L. ó para x próximo a “a”; f{x) está
próximo a L. ó para x aproximadamente igual a “a”, f(x) es aproximadamente igual a L.
Ahora daremos algunas definiciones previas a la definición de límite.
a) Punto de Acumulación.- Sean A c R y jc„ e R , al punto x0 le llamaremos
punto de acumulación del conjunto A sí y sólo sí, todo
intervalo abierto de centro jc0 contiene por lo menos un elemento x * xn del conjunto
A.

340. 326 Eduardo Espinoza Ramos
Ejemplo.- Si A = <-l,5> entonces 2 es un punto de acumulación de A, es decir:
-1
Sí A = [2,9> entonces 2 es punto de acumulación de A y también 9 es punto de
acumulación, es decir:
- H — H -----------------
2 9
Si A = [1,5] u <7,9] entonces 6 no es un punto de acumulación de A y tampoco “o” es
punto de acumulación del conjunto A, es decir:
—(
-----H----]—(— -----J—
1 5 6 7 9
Observación.- £1 punto de acumulación x() de A, no es necesario que dicho punto sea
elemento del conjunto A.
b) Función Acotada.- La función f(x) se dice que es acotada, si existe un número real
M positivo, tal que | f(x) \ < M , Vx e D f
Ejemplo.-' La función f(x) = cosx es acotada por que existen n=l, tal que:
|f(x)| = |cosx| <1 = n.
3,2 DEFINIOION. -
Consideremos una función f:A czR -> R (D f = A) y xQ un punto de acumulación
de A = D f , se dice que el número real L es el límite de f(x) cuando x se aproxima
a x() (x —> xt)) al cual denotaremos por: lim f(x) = L , si y sólo si para todo número
e > 0 (épsilon) existe otro número 8 (delta) positivo tal que, para todo
x e D r a 0 < | x~ x{) | < 8 entonces | f(x) - L | < s
En forma simbólica
fám f{x) = L V £>0,3 $ >Q i Vx&Dr a 0 < fx - ¿j, j <<5 =» L \ < s

341. Limites y Continuidad 327
a) Interpretación Geométrica del Límite
A cada parte de la definición de limite haremos su representación gráfica:
Y
i
L + £ ■
l Y
L
1 fe
L-E ■
i
*0 X 0
x 0
-
...—►
X0
jt() en el eje OX
L en el eje OY
“ Y
L -
V e > 0
0
- f
x(, —S x ° xn+¿>
0 < | .V - je,, | < 8 I fíx) — L I < £
Ahora consideremos un arco de la curva y = f(x) sobre el cual se ubica el punto
i-*»,

342. 328 Eduardo Espinoza h'amos
Como el límite de f(x) cuando x -> x0 es el número real L, es decir que pan
s > 0 (tan pequeño como uno quiere) debe existir un número 8 > 0 de tal mane)
i cada
ra que
los puntos (je,/(x)), Vx e (x0 -8 ,x 0 + 8) , debe de estar en el interior del
rectángulo comprendido entre las rectas de ecuaciones: x = x0 -8, x = x0+<5,
y = L - e, y = L + e
OBSERVACION. De la definición de límite se observa que la función f puede no estar
definida en x = x0 , sin embargo existe el limite, es decir:
lim f(x) =L
X ~ * X () -
Ejemplo.- Considerémosla función /'(x) = —— donde f(x) no está definida
x - 3
~ . , .... (x + l)(x -3 ) .
para x = 3, sin embargo el lim
----------------= 4 existe.
*-*3 x - 3
Ejemplo.- Aplicando la definición de límite. Demostrar que: lim 2x — 1 = 11
x —>6
Solución
lint 2x —1 = 11 <^> Vc>0, 35 = 1/ si 0 < |x -6 |< 5 =^> | (2x — 1) — 111 < e
x - * 6
pero |f(x) — L| = |2x— 1 - 11| = |2x — 12| = 2|x — 6| < e <=>|x-6|<-^ = 5
£
Luego dado e > 0, tomamos 5 = — , se tiene:
Sí 0 < | x - 6 1 < S = ^ => | J(x) - ll|= 2 |x -6 |< 2(~) = £ => |f(x) — 111 < e
lim 2x -1 = 11
A—»6
Ejemplo.- Aplicando la definición de límite. Demostrar que: lim x 2 -3x + 5 = 9
a-*4

343. Limites y Continuidad 329
Solución
limx2-3 * + 5 ==9 » V £>0, 3<5>0/.si 0<|jc-4|<5 => |(x2-3 + 5)-9)| < £
:r ~>4
pero | f(x)-L\ - |.v2 -3jc + 5-91 = |x2 — 3jc—4 1 = |x + l1|x -4 \ ..-(1)
tomamos S¡ =1 para acotar |x+l| en efecto:
Sí |x — 4 |< 1 =? -1 < x —4 < 1 => 4 < x + 1 < 5 => |x+l|<6 ...(2)
Luego de (1) , (2) se tiene: |f(x) - L| = |x + 1 ||x - 4| < 6|x - 4 | < e
£ £
| x - 4 1 < — = S2. Por lo tanto tomamos S = min{ 1,—}
6 ' 6
£
Luego dado e > 0 , 3 S = min{l,—\ se tiene que:
6
Sí 0 < |x - 4 | < 5 --=> |ffx )-9 | = |x + l||x - 4 | < 6 |x - 4 | < c .\ lim x 2 -3jc + 5 = 9
*-->4
b) Método General Para Encontrar él 6
En la definición de límite de una función f(x) cuando x -> .v0 (lim f(x) = L),
x - t x „
necesitamos probar que dado cualquier e>0, es posible encontrar un 5 >0 tal que sí:
0 < | jc—jc0 | < ^ =>|f(x) — L|<£
Para encontrar un 8 > 0 se hace de la manera siguiente:
1ro. Se descompone |f(x) - L| en dos factores, en donde uno de los cuales debe de
ser | | es decir: \f(x)-L \ = | g(x) ||x - x0 | < | h(x) \\x-x0 \
2do. Se debe acotar |h(x)| < K , para algún K dentro de un intervalo
0 < | x - x 0 | < 5 ,, donde 5, se elige como cualquier valor que satisface la
relación 5, < | jc0 — a | (diferencia entre xf) y su asíntota)
En particular 5, = - j | x() - a \

344. 330 Eduardo Espinoza Ramos
Nota.- Si se tiene varias asíntotas se toman las diferencias de x0 con todas las asíntotas,
luego se elige la menor de ellas y se toma <5j a la mitad de éste menor.
3 ro. Sí 0 < | x-x0 | < (?! \ f(x) - L\<\h{x)\\x - Xq\<k\x - xü \< s de
£
donde | x - xQ \ < — = S2
4to. Luego el 5 se escoge el menor ó mínimo entre <5¡ y S2 es decir:
c
<5 = m ín Jó ,,—1
1 k
5to. Se tiene: si 0 < | x - x0 \ < 5 \ f(x) - L \ < c con lo cual se prueba que:
lim f (x) = L
x + 3
Ejemplo.- Aplicando la definición de límite. Demostrar que: lim:
-----= 4
Jf-»5 x - 3
Solución
Por definición de límite se tiene:
lim = 4 o Vc>0. 3 8=?/, si 0<|x-5|<5 => \lH-4\<e
x~>5 X - 3 x -3
es decir dado e > 0, debemos de encontrar 8 > 0 en términos de e, tal que:
0 < |x — 5| < 8 = > | ^ Ü - 4 | <e
x -3
Para encontrar el 8 > 0 se hace la forma siguiente:
\ f(x)-L\ = 1 - 4 - 4 1 = | ~ 3 (* ~ 5) | = 31 — ~ [ | * ~ 51 . . . ( 1 )
jc — 3 x-3 x-3
Ahora acotando la función | —-— | y para esto calculamos (5, = — 15—31=1 de acuerdo
.t- 3 2
2do. Paso del método establecido.

345. Limites y Continuidad 331
|jr-5|<5,=l => -1 < x —5< 1, sumando2 => 1 <x-3 <3. invirtiendo
=> | - U < 1 ...(2 )
3 x-3 x-3
Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene:
| /'(x)-£|=3|-— |U -5|< 3|jc-5|< e de donde |jc-5 |< - = 5 ,
x - 3 3
£
Luego se elige S = min{ 1, y}
Por lo tanto, dado c>0, 3 8 = m in{\,^) se tiene: Sí 0<|x-5|<8 => |f(x) —L|<e
x + 3
lim
------= 4
Jf—*5 X -3
X
Ejemplo.- Aplicando la definición de límite demostrar que: lim—
------------= -1
'-»i 2x - 5 x + 2
Solución
Por definición de límite se tiene:
lim—
-------= -1 o Ve>0,38 = ?/si 0<|x-l|<6=> |— — ------------(-1 )| <e
*->'2x--5x + 2 2x -5x + 2
es decir, dado c > 0, existe un 8 > 0 en términos de e.
Tal que 0 < |x - 1| < 8 entonces | — —-
----------(-l)|<c
2x--5x + 2
Para encontrar el 8 > 0 se hace en la forma siguiente:
| / ( , ) - ! | = | = — — 2
-----—Ijc-112 ... (1)
2x~ -5x + 2 1 2 ,t-l || jc -2 |
Ahora acotado la expresión —— —
-------- y para esto calculamos <5, de acuerdo al 2do.
\2x-\\\ x-2\
Paso del método general indicado donde sus asíntotas son | y 2 por lo tanto:

346. 332 Eduardo Espinoza Ramos
\x0 -a\ = \ l ~ \ = ± y U o-a I = |1-2| = 1
Al r)j elegimos la mitad de la diferencia menor.
1,1. 1
5, = — | x0 - a | - —(—) = —
2 2 2 4
0 < |x — 11 <5, = — => <x-l< —
1 4 4 4
3 5 I . , 3 5 . 3
— < .v < — => — < 2x — 1 < —, — <x — 2< —
4 4 2 2 4 4
1 1 4
=> - < 2>
2x-l x-2 3
Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene:
|/(x)-Z,|=2
---- ----.— -— |x -l|2< — |x -l|2<c dedonde: |x -l|< ^ ^ -
12.x - 11 | x — 2 1 3 1 1 4
1 -JJc
Por lo tanto el S = miu\—,— -} se tiene que: Si 0<|x — 1|<5 => |f(x)-L|<c
4 4
A lint— ——
-------= -1
2x - 5 x + 2
Ejemplo.- Aplicando la definición de límite demostrar que: lim 2~Jx + 5 = 7
X - - > \
Solución
Por definición de límite se tiene:
lim 2s[x+5 = 7 o Ve>0,38=?/si 0 < |x — 1| < 5 => \2-Jx + 5 - l\< c
x >1
es decir dado í; > 0 existe un 5 > 0 en términos de e de tal manera que 0 < |x — 1| < 8
entonces 12^x + 5 — 7 1 < c

347. Limites y Continuidad 333
Ahora calculamos el 5 > 0 y para esto se tiene:
12~Jx + 5 - 7 |= 2 1 ~Jx - 1 1= 2 1 -p¡-— 1| * ~ 11 •••(!)
V* +1
Luego acotamos la expresión ' * '
-Jx +1
Tomamos ó', = 1 para acotar | —=l— | en efecto:
*\lx +1
Si 0 < |x-l| <5, =1 => -1 < x — 1 < 1 => 0 < x < 2
=> 0<-/x<-i/2 => 1 <^[x + 1 < -Jl +1
1 < - J — <1 => 1-4— 1<1 ...(2 )
“sfl + 1 -yfx + 1 -yfx + 1
Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene:
| f(x)-L | = 21-¡=— ||jc- 1 | < 2 |x- 1 |< £ de donde: \x -\\< — = 8
V * +1 2
Por lo tanto el 3 8 = min{ 1,y} se tiene que: Si 0 < |x — 11 < 5 => |f(x) — L| < e
.*. //w2^/x+5 = 7
X—>1
x--Jl Í2
Ejemplo.- Aplicando la definición de límite demostrar que: lim -
------¡=r = - , | —
— 0 2x + ^3 V 3
Solución
Por definición de límite se tiene:
lim = 1 1 V c > 0 ,3 5 = ? / si 0 < |x - 0| < 5 =>
* ^ > 2 x + - j 3 V 3 2 x + V 3 V 3

348. 334 Eduardo Espinoza Ramos
es decir dado c > 0, existe 8 > 0 en términos de e de tal manera que 0 < |x — 11 < 8
, x—J l Í2
entonces
--------■== + ■»/—) <£
2x+f3 v 3
Ahora calculamos el 8 > 0 y para esto se tiene:
, x - J l . -Jl , +2-^2 , 1 „ ,
2x + V3 ^3 V3 l 2^ + -V3 " Y| * " ( )
Calculamos S, = — |x 0 -a | = —|0--— |
1 2 2 2 4
1 4 1
Ahora acotamos la expresión | --------¡= I, tomando 8, = —
2x+j3 1 4
, . s 73 V3 ^3 V3 . S
0 < \x < 8, = — = >
------< x < — = > -------<2x < —
1 4 4 4 2 2
V3 , p¡ 3^3 2 1 2
=>
---- <2x + ^ 3 <------ => = r< ---------= < - =
2 2 3-V3 2* + -v/3 V3
* - ®
A1_ , . . . 4 / l v . , x~sf2 V 3, -V3+2V2 2 ,
Ahora reemplazando (2) en ( 1) se tiene: | --------j= + —¡= | <
-j=— . —j= \x \ < c
2x + -v3 V 3 V 3 V3
| jc | <
....- j ' £ - p . = g 2 . Por lo tanto 3 S = min{— ,- '/— . 1 U I i c u n u - 1 ^ r— \
2(V3+V2) ' 4 2(V3+2V2)
3,3. EJERCICIOS PROPUESTOS.-
Mediante la definición de límite. Demostrar que:
( l ) Hm 3x2 - x - 2 = 8 ( 2) lini3x2+2x=5
.r->2 ^ ,r->l

349. Limites y Continuidad 335
©
©
©
©
©
lim 4x~ + x - 4 = 10
X-* 2
3 x - l 1
lim
-------= —
■'—•o x-2 2
3 + 2x 8
lint
■V -»1. 2 5 — JC 9
lim x3 - 3x2 + 3x -1 = 8
jr-*3
lim 3.v1 -2 x 2 +2x-3 = -3 9
A » 2
©
©
©
ío )
lim ax1 +bx + c = axl + bx() + c
lim ——- = -1
*->0 x +1
lim — = -21
x—*-i x + 8
lim x 3 + x 2 -2 x = 140
.V—>5
13) lim
x —1
3x3 +llx2 +x-5 32
x‘ +7x + 10 3
lim —-
------------= —
x-*-2 x - 3 x - 1 0 7
15) lim
1 1
r-*:' x 2 +16 25 ©
/im — — = 5
*-*2 X -l
©
©
(TT)
2x4-6x3+x2+3
//wí
------------------------= -8
*-»i x -1
19) lim -Jx +T = 2
^Í3x^ - ñ 1
lint
-------------= —
•v-»2 3 3
lim -J- 2x = V2
lim l¡2¿ = \ T 2
x—>\
lim \Í2x =V=4
®
lim 3-V 3x =0
v-*“*
18) //w
(24)
@
©
@
2x -2
*-»1 x — 1
= 4
20) lim -J2x = 2
" -v—>2
22) lim a/x + 5 = 3
.r-* 4
lim ifx = -2
lim Vx — 8 = -5
jr->27
lim l¡4 x -5 =3
v->H
lim V2- X 2" - Vx = O

350. 336 Eduardo Espinoza Ramos
3 Í) lint -Jlx - t f x = 2 (32) lim — = -)=
1 W -Jx + Í s¡2
33) lim —- = — (34) lim —= L = r = ^ -
(35) lim ■ — = 1 (3ó) limX t} - 2
< >0 ~Jx + 4 ^ ■' -’■i ~Jx
.37) lim ^ = - (38) lim ^ ~ 2 1
-f-»i je —1 2 *->4 x —4 4
3,1 < ® H n .r« * 7 - 3
x-+2 x — 2 2 x-*5~v x~ — 9 4
41) lim , Y 1
----= 2 (42) lim ^ 2x + 1 3 1
x~*i -yjx2 +3-2 jc2-3x-4 15
43) lim X~ ]0 x+- =-l2 (44) //w 4 -- = 3
~>1 -7 4.c + 5 —4 *-»2 .v —2
45) lim x -— ¿ = - 3 4 (46) lim ^ ~ '^a 1
■> *h ^ x + 3 •,- >a * - a 2 -Ja
47) lim ,v“[|jc + 2|] — 0.5 (48) lim— - = -12
^ r-o.s v- / ,-» 21 jc | —2
(49) lim \ ¡ 4 - x 2 =a/3 (50) lim X_ ^ ?L—— = —4
W v->i W *->i -j9-5x -2
51) lim3 — Í=- = l (52) lim lx ^ + — =l
.<->1 Vx jf—>1/3 y 9
lim • £ —^- = 1 @ //w ^ ~ 4* ~ 3
, ,Myx+3 w -<-->-3 .v + 2
a > 0

351. Limites y Continuidad 337
55) lim —— — —- = O (56) lim j* * +1 7
jr-» 4 X — 3 x —» v 2 x 4 + l 5
57) lim 4x +1 = -5 © limx -+2x+- 2 = 2
2.V + 1 w -v_>o x 2x +1
59) lim_ íli -P-+ i -=:l (60) lim l'X| - 1
í - » v l 3 + x - x 2 jr- * - i x 2 + l 2
3.4. PROPOSICION.-
Sí x e R, |x| < e para todo c > 0, entonces x = 0.
Demostración
La demostración la haremos por el absurdo. Supongamos que x * 0, esto quiere decir
I x I
| x | > 0. Ahora elegimos c, = — de donde e, > 0 y como |x | < c se cumple para
— de donde: | x | < —
2 2
original la cual no es valida, por lo tanto se cumple que x = 0.
£¡ = — de donde: | x | < ^ => 1 < Vi (absurdo) y esto es debido a la suposición
3*5. PROPOSICION.-
Si lint f(x) = L y a < L < b, entonces existe un número 5 > 0, tal que: a < f(x) < b
V—>.V„
para todo x e D f y 0 < |jr-jc 0 | < ¿>
Demostración
Sea e = min {b — L, L — a} como a<L<b=> b — L>0, L -a>0
Entonces e<b--L y e < L — a (por ser mínimo)
Entonces e < L —a => a<L-e<L + e<b ..-(1 )
Además lim f (x) = L , entonces para dicho s > 0, existe un 8 > 0 tal que,
x->x„ '
V x e D f A 0 < |-v — jc0 I < ¿>

352. 338 Eduardo Espinoza Ramos
Entonces |f(x) — L| < c => L —c < f(x) < L + e
Luego de (1) y (2) se tiene: a < L —e < f(x) < L + e < b,
=> a<fíx)<b, V x&D, y 0< |_ r-.r0 | <«5
■t ¿ T C A D r M A /IT V irT rvA T i fU f I IM T T F i
El limite de una lünción si existe, es único, es decir:
Si lim f(x) = L¡ y lim f(x) = L2 entonces =L2
x —>u x —>a
Demostración
Por la proposición 1.8 es suficiente probar que:
1Lx - ¿ 2 I < £ de donde Lx - L2 = 0 => Lx = ¿ 2
£
En efecto para e > 0, consideremos lim f (jc) = Lx; para — > 0 , existe <5, > 0 tal que
x —>a' 2
£ £
0 < \ x - a | < 5, entonces| f(x)-L x \ < — , en forma similar lim f(x) = , para — > 0,
2 x -> a' 2
£
existe 82 > 0 , tal que 0< \x-a\ <S2 entonces \f(x )-L 2\< — además se tiene:
| Lx - L2 | = | (L, - f(x)) + ( / (x) -L 2) | < | f(x) - Lx | + 1 f(x) - L2 | < | + 1 = c
es decir: \Lx- L 2 \<e para 0 < \x-a | < 8 = min{8x,82)
Por lo tanto: se tiene si e > 0 para 0 < |x — a| < 8
Se tiene | Lx - L 2 | < e y esto implica Lx - L 2 = 0 de acuerdo a la proposición 1.8 por
lo tanto: Lx = L2.
...(2)
V x e Dr y 0< |x - J t 0 | < £

353. Limites y Continuidad 339
3.7. TEOKEMA.-
Si f y g son dos funciones tales que f(x) < g(x), V x de un intervalo con x * a, y
lim f(x) = L, lim g(x) = M entonces L< M es decir: lint f (x) < lim g(x)
x~>a x x~*a x —>a
Demostración
Demostraremos por el absurdo. Supongamos que L > M entonces L - M > 0
Como lim f(x)--L y lim g(x) = M , para r. =——— , existen 8¡ >0 y S2 > 0 tales
.v > o' \ >í/ 2
f()<\ x - a\<¿>, \f(x)-L \ <r. \ L -e < f(x)< L + c
que: ■ „ => , , . entonces < ...(•)
|0< |jc — o| <¿>2 I -M \ < £ [M - £ < g(x) <M + £
Ahora tomando S = min{8l ,S2} y si 0 < \ x - a \ <8 entonces se cumple
simultáneamente (1) y como f(x) < g(x), por lo tanto 0 < |x - a| < 8, se tiene:
M - c < g(x) < M + e = L - e < f(x) entonces g(x) < f(x) lo cual es una contradicción
puesto que f(x) s g(x) y esto es debido a la suposición L > M por lo tanto debe cumplirse
L < M.
3.8, TBOREMA--
Si lim f(x) = L entonces existe 8>0, tal que: para todo x e < a - 8 , a + 5>, x * a,
x - -> u
se tiene |f(x)| < k para algún k real positivo.
Demostración
Como lim f (x) - L por definición se tiene, dado c = 1 existe 8 > 0 tal que para todo
x~ > a'
x, |f(x)-L|<c=l siempre que 0<¡x — a¡<8.
Consideremos el mismo 8 > 0 y para x * a, un elemento del intervalo <a — 8, a + 8>
entonces: |f(x)| = |f(x) - L + L| < |f(x) - L| + |L| < 1 + |L|
Luego tomando k = 1 + |L| se cumple que: |f(x)| < k para x e <a - 8, a + 8>

354. 340 Eduardo Espinoza Ramos
i a DDADiFTt a n r c C A ito r i l u v n r c n c c iT v r ir u i v c
Sean f y g dos funciones tales que:
lint f(x) = L , lint g(x) = M y k una constante, entonces:
a) lint k = k b) lim kf(x) = k lini f(x)
x —>a x —*a x~>a
c) lim( f(x)±g(x)) = lim j( x)± lim g(x) = L±M
x *a ' -V—>í/ ' x-> a
d) lim f(x).g(x) = (lim f(x)).(lim g(x)) = L.M
x ~*u x —>a
e) lim—— = ------
-----= — , si M * 0
jt m g(x) lim g(x) M
f( . limf(x) ,
f ) l i m ±
-------= — , si M*0, g(x)*0
,r->" g(x) lim g(x) M
g) lim(f (x))" = (lim f(x))" , n entero positivo.
jr tu x-+ a
h) lim %Jf(x) - nflim f(x) = '^¡L , V n par positivo.
x-> a Y x —fa
i) lim | f(x) | = | lim f(x) | = | L \
x-> a x —>a
Demostración
a) La demostración es inmediata de la definición de límite, dado c > 0, existe 6 > 0, tal
que | f(x) — k | < e siempre que 0 < |x — a| < 8
Como f(x) = k entonces | k - k| = 0 < e siempre que |x - a| < 8, en este caso se
puede tomar cualquier 8 en particular 8 = e.

355. Limites y Continuidad 341
£
b) Como lim f(x) = L por definición dado c > 0, ex = — , existe S > 0 tal que
x-*a \k \
£
| f(x )-L | < = — entonces: \kf(x)—kL\< c. Por lo tanto: limkf{x) = kL
| k | x—*u
E
c) Como lim f(x) = L y lim g(x) = M , dado c > 0, para — > 0 existen <5j > 0 ,
' x-> a 2
Í0< \x-a\ <8y \f( x ) - L \< -
8-, >0 tal que: ' ' 1 => z ...(1 )
| 0 < \ x - a \ <S2
Ahora tomando 8 = min{81,82}, para 0 < |x - a| < 8 se verifica (1)
simultáneamente, además:
| (/(x ) + g(x)) ~(L + M)¡<\ f(x) - L | + 1 g(x) - M | < ! + ! = c
es decir: 0<|x-a|<8 entonces |(f(x) + g(x)) — (L + M)| < c lo que implica:
lim( f(x) + g(x)) = L + M = lim f(x)+ lim g(x)
x x —>a ' x —>a
£
d) Como lim f(x) = L « • V e > 0 y e, —
-------------> 0 , existe <5t > 0 , tal que:
x -ya 2(| M |+1)
0 < \x-a \< 8 l => | f(x) - ¿ | < C], además limg(x) = M , Ve>0 y
x~>a
£
=
------------> 0 , existe 5 , > 0 tal que 0 <\x-a |< 8-, => I g(x) - M |< e-,.
' 2(| ¿|+1) - M 2 h 2
Ahora para r.3 = 1 como limg(x) = M entonces existe <53 > 0 tal que
x-> a
0 < \x — a | < <53 => |g(x) — M|<1 => |g(x)| < 1 + |M|
Ahora elegimos 8 = min{8l , S2, <53 \ , V x e D f f, y 0 < |x — a| < 8 entonces:
|l'(x).g(x) - LM| = |f(x).g(x)- g(x).L + g(x).L— LM| < |g(x)| |f(x) - L| + |L| |g(x) - M|

356. 342 Eduardo Espinoza Ramos
| f(x).g{x) - LM | < (1+ 1M |)+ 1L | c2 = ^ ¡ T T Í T + ?¡Í 7T n < f + 7 = c
2(| M |+1) 2(| L |+1) 2 2
Luego esto prueba que: lim f{x).g(x) = L.M
x —>a'
e) Como lim g(x) = M * 0 , existe 5¡ > 0 , tal que:
X-+tí
0 < | x - a | <S, => — -— < —2 — ...(1)
1 I g W I 1 * 1
(sug. Tomar c, y aplicar la definición de límite),
c M ~
Sea c > 0 para c2 = —-— > 0 , existe 5 , > 0 , tal que:
0<|jc-¿z|<í>2 => |g(x)-M |< £, •••(2)
Ahora tomando 8 = min{8{, S2} para 0 < |x - a| < 8 se verifica (1) y (2) y además:
1 1 , 1 1 2
:lg (*)-*l<
-----T r-2I — — . Xv-'W *'’)
g(x) M IM || g(x) | | M | | g(x) | | M |"
1 2 c M 1 1 1
— — | <-
---------—.—-— = £ , ósea que 0 < |x — a| < 8 => | —— \<£
g(x) M | M | 2 g(x) M
de donde lim —-— = —
*-** g(x) M
f) Como lim f(x) = L y lim
-----= — , Ahora aplicando d) y e) se tiene:
x —>a' x—>a g(X) M
lim - — = lim f(x).—-— = lim f (x). lim —-— = — lim -- — = —
' > « g(x) v ->a g(x) x~*a ‘ x xi g(x) M x->a g(x) M
La demostración de las propiedades g) h) i) se deja para el lector.

357. Limites y Continuidad 343
OBSERVACIÓN.- Límite de una función polinómica:
Si f\x) = b„xn +bn_1x n l +...+b]x + b0 es una función polinómica donde
b„ , b„ , ,...,b0 son constantes reales, entonces para todo número real “a” se cumple:
lim f(x) = lim b„xn +b„^xn l +...+blx + b0 =a"b„ + a n~1bn_l +...+abx + Z>0
X - + U X - > £ /
(La demostración se deja como ejercicio para el lector).
3.10. EJERCICIOS PESARROLLABOS.-
Calcular los siguientes límites aplicando sus propiedades.
(7) lim 3 x3 -2 x 2 +5x-7
^ j->2
Solución
Aplicando el criterio del limite de una función polinómica:
lim 3x3 -2 x 2 +5jc-7 = 3(2)3 -2 ( 2 )2 + 5 (2 )-7
.v -> 2
= 3 (8 )-2 (4 ) + 10-7 = 24-8+ 10-7 = 3 4 - 15= 19
® ( , - „ 2 í l ± i 2 í ± i
x~>2 5x — 3jc + 10
Solución
Para el caso de los límites de las funciones racionales, primeramente veremos los casos
inmediatos y esto ocurre cuando se evalúa el numerador y denominador, si son diferentes
de cero simultáneamente o uno de ellos por lo menos es diferente de cero, entonces el
límite se obtiene en forma directa (veremos estos casos).
3.y2 +17jc + 4 _ 3(2)2 +17(2)+ 4 _ 50 _ 25
*-2 5x2 —3JC + 10 5(2)2 —3(2) + 10 24 12

358. 344 Eduardo Espinoza Ramos
2x3 - 3 x 2 + 4 x -3 9
Q Hm - ,
4x + 3x + 7
Solución
2x3 -3x2 + 4 x -3 9 _ 2(3)3 -3 (3 )2 + 4 (3 )-3 9 _ 54-27 + 1 2 -3 9 _ _0_ _
'-»s 4x2 + 3x + 7 ~ 4(3)2 +3(3)+ 7 ~ 36 + 9 + 7 “ 52 "
®
„ 2x 2 +7x + 5
hm
0 lim
r—k_
*-*4 x 2 -16
Solución
2x2 +7x + 5 2(4)2 + 7(4) + 5 32 + 28 + 5 65 _
h m
---------------=--------------------=--------------= — 3
*->4 x -1 6 4 -1 6 16-16 0
Nota.- Ahora veremos los límites de las funciones racionales que al evaluar nos da— .
0
en este caso sé factoriza para evitar la indeterminación.
. x 3 -2x2 -4x + 8
.im
----------------------
x~>~2 3 x" + 3x - 6
Solución
x3- 2x2 - 4x + 8 x 2(x -2 )-4 (x -2 ) (x2 -4 )(x -2 )
h m
------- -------------= hm ———— ------ — -— = lim ------------------
3x + 3 x -6 x-> -2 3(x + x -2 ) » - 2 3 (í + 2)(x-l)
(x + 2)(x-2)2 (x -2 )2 (- 2 -2 )2 16
= lim — ■— —
-----------------------------------— = lim --L— = = ---
» - 2 3(x+2)(x-l) x- - > - 2 3(x—1) 3(—2 — 1) 9
© lim
x~+a x~ -(a-2)x-2a
Solución
x2-(a-l)x-í? x 2-ax + x - a x(x-a) + (x-a)
lim —
-------------------= lim ■ , ■ ■— — --------= lim
x~*a x 2-(a -2 )x—2a x^ a x 2 -ax + 2x-2a ar~>" x (x —a) + 2(x—a)
(x + 1 )(x-a) x +1 <3 + 1
= hm
-----------------= lim -
*->« (x + 2)(x - a) x~*a x + 2 a + 2

359. Limites y Continuidad 345
© I J M - l
2
*->2 3x-6 2x2 -5x + 2
Solución
Al evaluar se tiene la forma <x> - oo, en este caso se debe efectuar la operación para evitar
la indeterminación, es decir:
Factorizando tanto numerador como denominador:
4 9 3 -5 -3
i
"3­
1
2 3
4 5 - 2 -3 0
-4 -1 3 -1
4 1 -3 0
4 - 3 0
4x4 +9x3 +3x2 -5 x -3 = (4x-3)(x + lÿ
3x4 +9,v3 +9x2 +3x = 3x(x3 +3x2 + 3x + l) = 3x(x + l)3
4.v4 +9x3 4 3x2 - 5jc-3 (4x-3)(x + l)3 4x-3 7
hm
--------------------1---------= lim----------------— = h m -------= -
*->-> 3jc +9x +9x +3jc x~*~l 3jc(jc + 1) *-*-i 3x 3
4.v4 + 9 r ’ + 3 ;r - 5 ;c - 3
lim
------------------------------
3;<:4 +9;c3 +9;t2 +3;t
Solución

360. 346 Eduardo Espinoza Ramos
©
Solución
Este límite es de la form a, y para calcular se racionaliza:
-Jxl +3-2 (Vjc2+3-2)(V*2+3 + 2) x2- l
hm
----------------- hm---------------, .. ..----------= hm -
' - 1 x ~ ] x~*1 (jc-IkV *2 +3 +2) JMl (x-\)(slx2 +3 + 2)
( a -1) ( a + 1) x + 1 1 + 1 2 1
: lint
------------------------= hm ---- -- —j=---- =------ —
Jt->1 (jc-1)(V*2 + 3 +2) x_>1 V.v2 + 3+2 V4+2 2 + 2 2
,0) l i n , h d ¿ E
*-+4 l —-s/5 — JC
Solución
Este límite es de la forma jj-, y para calcular se efectúa una doble racionalización, se
obtiene:
.. (3-yfT+x) (3-45 + x)(3+45 + x){\+^5-x)
hm
-------r .... = hm -— -— ----— ■— ,■ —-------- ■
*->* (1 — V5- j c ) (3+V5 + jc)(1 -V 5 -jc)(1 + V5--t)
( 4 -jc)(1 + V 5 - I ) 1 + a/ 5 ^c 1 + 1 2 1
= h m
-------,---------------= hm---------===== =--------=-----= —
Jr->4 (3 + 'j5 + x)(x-4) *->4 3 + V5 + jc 3 + 3 6 3
Solución
Este límite es de la forma jj-, y para hallar este límite se puede usar una doble
racionalización pero se hace muy operativo, entonces para los casos en que las cantidades
subradicales son iguales y se tenga diversos tipos de raíces se hace un cambio de variable
con el propósito de simplificar.
El cambio de variable se hace de la siguiente forma:

361. Limites y Continuidad 347
Se elige una variable que se iguala a la cantidad subradical y el exponente de esta variable
es el mínimo común múltiplo de los índices de los radicales.
Solución
Este limite es de la forma -jj-, como se tiene tres tipos de raíces y la cantidad subradical
son iguales, se hace la sustitución en la misma forma que se hizo el ejemplo anterior.
z 12 = x donde el m.c.m. (4,3,2)=12
Para nuestro caso se tiene:lim
-Jx - 8
x->64 Vx-4
Sea v6 = x donde m.c.m. (2,3) = 6
Para x = 64 , y6 = 64 => y = 2
Ahora reemplazamos, se tiene:
4-y/x + 3 -Jx +-yfx — 3
lim---------—
----------—
Como r 12 =x => • 3a/x = z4 . Para x = 1, z 12 = 1 => z = 1
4 ~{x = z 3
(z -l)(z +z +2z +3z +3z + 3)
l,m
-----1--------i-----------—1-----—
(z6 + l)(z3 +l)(z-l)(z2 +z + l)

362. 348 Eduardo Espinoza Ramos
lint
(z + z +2: + 3z + 3r + 3)
= ¡IM
------7---------ó---------7---------—
*-»1 (z + l ) ( z + l ) ( r + r + l)
1+1+2+3+3+3 13 13
_ (1 + 1)(1 + 1)(1 +1 +1) _ (2)(2)(3 ) _ 12
*-J x +* + 'Jx - 3 13
13) lini
a ~>i x -1 1 2
Vx+ Ay + 5-V3.V + 13
•»'-*1 -T - 1
Solución
Este límite es de la forma—, pero como se tiene varias raíces cuyas cantidades
subradicales son diferentes, en este caso se agrupan en la forma siguiente: a cada una de
las raíces se evalúa y dicha cantidad se resta, es decir:
-Jx +V4jc + 5 —\¡3x + 13 (4x-1) + (J~4x + 5-3)-(-J3x+ 13-4)
lim
-------------------------------= lim---------------------------------------------------
-V—>1 X — 1 JT—»1 X — 1
rJ x - l V4x + 5 - 3 -j3x + \3 —4
: hm[
----------b------------------------------------ ]
Jf-»1 JC — 1 x - l x - l
r 1 4 3
: — + —,
------=---------,---------— ]
* ^ 4 x + l 44:t + 5+3 V3À+13+4
1 4
____3 _ . _ i
1 + 1 3 + 3 4 + 4 ~ 2 3 8 _ 24
-*—»i ~J2x-l ~4x
Solución

363. Limites y Continuidad 349
También este límite es de la form a^ , pero observamos que tanto en el numerador como
en el denominador tienen varios radicales en este caso se debe de transformar a la forma
del ejercicio anterior dividiendo numerador y denominador entre x — 1 es decir:
-n/3jc - 2 + -Jx —s/5jc — 1
V3x-2 +4x-y¡5x-\ .. x - l s
h m
-------- — = -------------------= h m-... .— =---
Jr~>1 -j2x-\ --Jx -r” >1 -J2x - 1 - V x
je—1
-JJx-2 + -Jx — -JSx-í
lint
. *->i x -1
~j2x-l —Jx
lim-
Jf->1 x -1
Ahora calculamos cada uno de los límites aplicando el criterio del ejercicio anterior.
V3x-2+Vx-V5x-l (V3x-2-l) + Vx-l)-(V5x-l-2)
//»i------------------------------= hm----------------
---------------------------------
»-»i x -1 *->i x -1
r-v/3jc—2 —1 Vx-1 'JSx-l -2 1
= /j»j[
--------------+--------------------------]
*->i x — 1 x —1 x -1
,. r 3 1 5 .
= hm[ - ¡ = = — + - p
---------p = — ]
*->! V3x-2 +1 Vx +1 -J5x-l + 2
=2 +I - 1 = 2 - 1 = 2
2 2 4 4 4
-Jhx-2 + Vx -V 5 x -1 3
lim
---------------- ------------= - ...(2 )
*->i x -1 4
//„, a/2x-1 - 4x _ /¡m (j2x-\ -l)-(Vx-1) _ ^ V2x-1 -1 _ Vx-1^
JC—*1 x - 1 í-»l x - 1 -r-»l x -1 x -1
r 2 1,211
= ---------=
----] =-------= —
•v->i ^2x — l + 1 ‘yfx + 1 2 2 2

364. 350 Eduardo Espinoza Ramos
... ...(3 )
*->i je—1 2
____ ____ 2
Ahora reemplazamos (2), (3) en (1) tenemos: lim -- - - - —- = -4- = —
*■-*! V2x + 1 —n/jc J_ 2
Ahora resolveremos ejercicios aplicando las propiedades y los criterios explicados en los
ejercicios anteriores.
15)
x-> 2 X 2 - 4
Solución
.. l]5x-2-\[x + 6 V 5x-2 - 3 lx + 6 (3a/5a-2 - 2 ) - ( 3-Jx + 6 -2)
hm
------—r----------------------------------------------------------------------------------= lim--------- lim -- -----------
-r—»2 X"-4 (x-2)(x + 2) A-»2 (x-2)(x + 2)
3
-j5x-2 - 2 3^/x"+í>- 2
_ /( W
------2—2-------------a—2 ----
at—>2 X + 2
5 1
lJ(5x-2)2 +2l]5x-2+4 í/(* + 6)2 + 2Vx + 6 + 4
lim
í->2 X + 2
5 1 5 1
16J lim
x—>0
*¡x3 +8 -•>/a2+4
x 2
a/a3 + 8 ~-\/a2 +4
a2
4 + 4 + 4 4 + 4 + 4 . 12 12 . 1
2 + 2 4 12
Solución
lim
---------—----------= lim --------------------—
jr-»0 x x~^ X

365. Limites y Continuidad 351
©
w ^ - 2>- ^ - 2))
*->0 X2 X 2
.. JC3 X2
= lim
(\j(x*+S)2 +2%]xi +8 -4)x2 x2(4xT +4+2)
x 1 n 1 1
= lim —p= = =
----, - . ■.-------. ----= O------=---
X~>0lj( x i +8)2 + 2^x3 + 8 + 4 Vx2 +4 + 2 2 + 2 4
Vx3+ 8- Vx2+4 1
hm
-----------------------= —
í->0 jf2 4
Vx2 +4 -a/x2 +6x
lim
------------------
x->2 - 4
Solución
Vx2 + 4- Vx2+6x V x2 + 4 -2 )-Vx2+6x-2)
lin t--------
-----------= h m --------------------------
*->2 a: - 4 *->2 jt - 4
.. Vx2 + 4-2 Vx2 +6x -2
= lim----------------
--h m --------
jt- » 2 X2 -4 *-*2 x - 4
1 V x 2 +6x - 4
= í/m —= = = = =
-------------------,— .------/;m
” 2}J(x2+ 4 ) 2 +2Vx2 + 4 + 4 Jr“ >2( x 2 - 4 ) ( ^ x 2 + 6 x + 2 )
1 .. jc2 6jc — 16
— /z/w
4 + 4 + 4 ^ 2{x2 - 4 ) ( ^ x 2 + 6 x + 2 ) ( V x 2 + 6 x + 4 )
12 M 2 ( x - 2 ) ( x + 2 ) ( ^ x 2 + 6 x + 2) (a/x2 + 6 x + 4 )
1 x + 8
=
-----//»i
12 Jf_*2 ( x + 2 ) ( V x 2 + 6 x + 2)(4x2 + 6 x + 4 )
1 2 + 8 _ 1 10 _ 1 5 1
12 4 (2 + 2 )(4 + 4 ) _ 12 128 _ 12 6 4 “ 192

366. 352 Eduardo Espinoza Ramos
jt-»o je
Solución
IJ\ + X—Jü~X .. (Ml + x-l)~(-J\~X - 1 ) V l+ J f - 1 -yjl-X - 1
//»i
------------------- ................... .................. = lim---------------hm -------------
x-> 0 X *-><> X a-—>0 X JT-»0 X
= lim
----;-----------—------------lim
X^°x(^(l + x)2 +VT+X+1) r' >0 xi-JT ^x+ l)
= lim ", : " 'r~
--------------f /?W ■
.v—»0 ;
1 I 1 _ 1 1 1 _ 5
1+1+1 1+1 3 2
x2 Vjc + 6 -Vjc + 1 + 4jc-1
19J lim
-------------= = =----------------
^ - 2 V ^ 3 - l
Solución
.. x2Jx + 6 - \ ¡x + 1 + 4 x - l x2(-Jx + 6 —2) — ( ^ / j c + 1 +l) + 2(x2 -4 ) + 4(jc + 2)
lim
-----------=====-------------- lim--------------------------,-------------------------------------
M ~2 4 x 2- 3 - l x^~2 4 x 2 - 3 -1
x2(Jx+ 6-2) 4 x +1 +1 2(x2 -4 ) + 4(jc + 2)
- /¡«i * + 2 * + ^ 'v + ^ Jt + 2
v^ 2 4 x2- 3 - l
x 2 \
-Jx + 6 + 2 (^/x+T) 2 — (Vx+T) +1
= lim
x + 2
+ 2(x —2) + 4
-2 JC-2
*Jx2 -3+1
4 1 „ o 1 „ 1 ~10
- - — + 4-8 1-4—
----------- .
4 1 + 1 + 1
________3 _ 3 _5
-4 -2 -2 3
1 + 1

367. Limites y Continuidad 353
-r - >0 x2 Xlx+l + %]x + \ - 1
Solución
xVÄ+T + VÄ + T -1 x(\fic + ï-l) + tflx + ï-l) + x
hm , , . - = lim
* ^ 'x 247+ \+ ifc+ \-i ^ o x 2(V7+T-i)+(VÄ+T-i)+x2
-+1
= lim x
,r->0
.................
......... *-+JC
X
x(\i7 + ï-i)+ ^ ^ 1
1
r (^x+I)2+VÂ+T+i (VÂ+T)2 +V*+T+i
+i
= K«[ 7 ,
---------------VV --------------]
-+x
x2 1
(a/ x + 1)2 + \lx +1 +1 (4/ x +1 )2 + a/x +1 +1
0 + — 1— +1 1
(2)(2) , = 4. = 5
0 + —— + 0 -
(2)(2) 4
. « V 3 x + 5 + x + 3
21) / îw — 7 7 =
-------
x~*-2 ljX + l+ \
Solución
\/3x + 5 +1 x + 2
lim = lim ( ^ T I + 1) + (x + 2 ) = ^ x + 2 + x + 2
*-*-2 V-ï +1 +1 SX +1 +1 •r_>' 2 VX + 1 +1
x + 2
____________________+1 3
(\j3x + 5 )2 -3/3x + 5 +1 1 + 1 + 1+ _ 2
= um - ----— =^ =6
.r->-2 1 1 1
(3/x +1 )2 - \ ¡ x + \ +1 1 + 1 + 1 3
22) f a , ^ - * " 1 ^ 1
x—>2 V3X + 10-4

368. 354 Eduardo Espinoza Ramos
Solución
Mx-l -x+s/x2 - 3 (Vx—1 -l) + (-Jx2 - 3 -\)-(x-2)
h m
------. ---------= lim------------------— -—------ ----------
*->2 v3jc + 10-4 x - > 2 V 3jc + 10-4
V x-1 -1 + -Jx2 - 3 -1 x -2
= /,-«[■ xr2_ _ x ^ 2
-------x ^ 2 }
x~>2 *j3x + 10 - 4
7 - 2
1 x + 2 ,
+ - ? = =
-------1
(Mx-l)2 + \jx-1 +1 Vx2 - 3 +1
= lim------------------------
------1— —
x—>2 3
V3x + 10+4
1 4 , 1 i , 1 , 4
- +
-------1 -+2-1 —+ 1 —
1 + 1 + 1 1 + 1 _ 3
______ 3___= 3_= 32
3 3 3 3 9
4+4 8 8 8
\Jx-1 -x+Jx2 - 3 32
Im-------,
........................= —
*->2 V3x + 10-4 9
3.1.1. EJERCICIOS PROPUESTOS
Calcular los siguientes limites, mediante las propiedades.
®
x 2 ~(a + \)x + a a - 1
hm
-------3-----5----- Rpta. —
x—>a i st -
x -a 3a2
x3 - x 2 -8x + 12 n ,
hm —
----------------- Rpta. 0
'-*2x3 - x 2 — 12x + 20
®
.. 3jc2 — 17jc + 20 D ,
hm —
---------- Rpta. I
x~*4 4x -2 5 x + 36

369. Limites y Continuidad 355
© „m *-X- ~ 2? Rpta. 11
í-»2 x 2 - 4
© l,m Rpta. i
^ *-»ijc3 + 2x2 - 7jc + 4 5
/ - \ 5jc2+3jc5-8 17
16J lim------------------------------------------------------------------------;----- Rpta. —
^ V->1 7x -4 .X -3 24
©
x3 + 6x2 + 9x 3
hm —r
------------------------------------------------------------------ --------- Rpta. —
*->3 .y3 +5x2 + 3*-9 2
/^n 2.r3 - 52 - 2 jc - 3 11
(8 ) lim—
--------r----------- Rpta. —
v“x *-Mx3-13x2+4x-3 17
® 1 - x2
lim
---------- ■'--------- , a > O y a 1 Rpta.
1-*1 /I _L *- „ í si I v\^x~*i (1 + ax) — (a + x) 1 - a
2x~" + l- 3 r “2"
10) lim
------ Rpta. 5
r_>13x ~5 + 2x
© lin/ ™ - 2* * 1 Rpta. *
W —ijrso-2x + l 24
2
10
12) lim - —
------X 2)-■ - Rpta. ¿ )
^ 2 ( x 3 - 1 2jc + 1 6 ) 10 2
13) //ro(—---------^—) Rpta. -1
■ 1 x-l 1-X l-JC3
14) Hallar los valores de m de tal manera que lim —— mX- -- ——— = m 1 -2 7
' — j r - * m JC — m
Rpta. m = 5, m = -4
( í i ) Hallar el valor de “a”, a > 0, sabiendo que lim —— 2a x + ax =2a-5 Rpta. a = 2
W *-»1 2 ax+x2

370. 356 Eduardo Espinoza Ramos
Q ) Si lim— ^
-----------= ¿* 0 , calcular el valor de a + b Rpta. -2
*->'ax-+2x + b
(l7 ) Si f(x) = x - 2 y g(x + l) = x 2 - x , calcular lim ^ ° S ) ( X + ^) Rpta. 3
*->2 (go/)(x + 2)
65) Si se sabe que lim ^ = 4 y lim = -6 . Calcular lim — — Rpta. -1
w — n - x 3 n - x 2 *-*igW
b + x , , , f(a+x)— f(a) n ab
Si f(x) =
------, x*b, calcular / r a ;-------------:----- Rpta. ---------—
b - x *->0 x (b-a)
(20) Si f(x) = X+--, x*0, calcular lim ' -------— - Rpta. -1
^ x - 3 *->o 5/¡
(21) Sí lim fS l t 2> - = 8 y lim _£Íí2_ = 3 . Calcular l i m ^ - Rpta. -
w * ^ - ^ h 2 x - 2 x-> -2 x —4 « o g W 3
Si f(x) = j3x + l , Hallar lim f ( x + h)~ f(x). Rpta. — 2=
A 2-j3x + \
V l + x 2 - 1 „ 1
//w ----------
-------- Rpta. —
.V—>0 v-2 K 2
24; Rpta. 1
.v- > 0 j t
25) lim V - .- -—V 3jr 14 Rpta. -1
^ X-.5 X ~ 5
@ ffwVx2-2x + 6 z 2 / x i í 2«z 6 a> _ i
W *-»J x - 4 x + 3 3
(27) lim— Rpta.
^ .v —> 2 1 ¡Ay — 1 2
28) lim , ;Y + 3- Rpta.
x~*~ yx + 7 -4 3

371. Limites y Continuidad 357
©
„ 'h+a+b-Ja*b
Rpta.
1
Jf-»0 X 2-Ja + b
®
2-4x
hm
-----,
j;->4 3-v 2 x + l
Rpta.
3
4
©
.. Vb2 -x -Jb2 -a
Rpta.
1
x->a X-a
2-fb2 - a
©
V8 + JC-2
lim
------------
< ->n x
Rpta.
1
12
©
4x2 +9 -3
a -,
,r->0 x +X
Rpta.
1
6
©
-x/l + X-1
hm
------
*-*<> M\ + x -1
Rpta.
3
2
©
V*-2
hm
--------
•<- >* .v-8
Rpta.
1
12
© l,m 77=
----
*->™yx-2
Rpta. 4
©
tfT -i
hm
•'-*1 v* -1
Rpta.
5
8
©
V*-1
hm
•'->> v* -1
Rpta.
3
2
©
.. VT-1
Al—
■r -»• 4/X - 1
Rpta.
4
3
©
-Jx —ü
hm _
,v-»64 ijx - 4
Rpta.3

372. 358 Eduardo Espinoza Ramos
-i^ T 7 - V 8 F 3
© !'™ T T ~ r R p , a - 7
^ * - i * - 1 12
@
í/(jr + l): -'7 x + 1 - 1 1
í™ ------------
--------------- RP,a - i
@ Rpta. -
v- ' *->i JC-1 F 6
© ) , „ ,K + R p ta . - i
W x -1 6
\[x - 2-Jx + 3x - 2 _ 7
lim
------------------------------- R p ta . -
jc - l 3
®
,. tfx2 -2 lfx +1 _ 1
a (j-i,í - R pta- ?
© Rpta. _ L
W ( jc- 8 ) 144
^ x2+2x
@ & r * £ = L 7.í R p ta .
v - y x-*i JC-1 6
. x 2 -*J x -x-595 4 8 9
5 2 ) im
------------------------------ R p ta . -------
“ J v-»2S x-25 10

373. Limites y Continuidad 359
53) Um x '
56) lini —-
\[x - l
lj3x + 5 + x f 3
60) //»i —
-------------
•v->-2 + 1 + 1
Rpta. 3
•t~>1 V x -1
CN a^ax-x2 „ „
54J lim---------,— Rpta. 3a
^ •'-»« a-~Jax
g ) '
v->a x* - a
Rpta.
----=
6aMa2
Rpta. 6
o , .. J b c - x + i H i ï - J ï _ „ 3V2 - 8
57) lim
-------------------------- Rpta. ---------
^ x~*4 x-4 v 12
g ) U m ^ZSß. Rpta. 3a
^ *-»■ V x -V ä
g ) , „ V ^ T - Æ î t 2 Rpta. _ j_
^ V^O X 10
Rpta. 6
-rjv Vx 2 +4-2 _ 1
61) hm—-------
-------------- R pta. -----
^ »2 X — 2x — 16x + 32 36
© R pla. _ i
.v—»0 jc2 4
63) lim . X—r Rpta. -2
^ W ) V l+ x 3 - V l+ x 2

374. 360 Eduardo Espinoza Ramos
x 2 - 6 —v/x + 6
h m
-----7=--------
Jr_>3 -Jx + l —2
Rpta.
70
3
®
^Jx4 + l —^Jx2 +l
lim —
----------------—
*—►0 X 1
Rpta.
1
2
©
(¿Jx + 6 -%Jx + 7
hm
--------—----------
.<■->2 x - 4
Rpta.
1
24
-Jx—J a + ^ x - a
h m
-------, —-----
-Jx1 - a 2
Rpta.
1
■J2a
.. -ix-~j2a+ ^¡x-2a
hm --------.......... ..
---------
-Jx2 - 4 a 2
Rpta.
1
2 sfa
©
5 V I-3 -V x -4
lim-------------------
Jf->4 x - 4
Rpta.
1
12
©
2 - 4x
hm
------.
*->A 3--J2x + l
Rpta.
3
4
©
3^2x2 - V 8 * - 2
Í 5 V Í - V 2
Rpta.2V2
©
3*j2x2 -2-j3x2 +4 + 2
hm
------------------------------
x~>2 X - 2
Rpta.-1
©
ifx + J - 2 x - x - 1 0
h m--------------------------
X + 8
Rpta.
19
16

375. Limites y Continuidad 361
- 7 - 7 1 V X ^ X 2 ~ 1 “ 6 7
® ¿ 5 3 - x R pta- I
78) lim1 - f f i î ï ï R p ta . I
" y *->o 3x 9
79) lim—1 ~SÍ2X— L =^ Rpta. -12
" r~>2 2 - ^ /9 —>/2x-3
;■ ^/x4 +1 -a/Ä 2 +1 1
80) lim
---------------------- Rpta. —
^ .«-o r P 2
^ * + x 2 2
o-«a i- V Î W 2 T 7 -7 3 i
82) lim
---------------------- Rpta. — =
'-»2 / - 2 K 8- x/3
83) lim - - ^ * Rpta. I
*->i 1 —x 8
1¡3~+4x - 2 1
lim -— ==-------- Rpta. —
*->25 V ^ -5 12
®
V-T2 - 2 x + 6 ~ 4 x 2 + 2 x -6 1
lim
------------;---------------------- Rpta. —
'-Ȓ x - 4 x + 3 3
0iC, Vx2 + 4 - 2 „ 1
86) lim —
---------------------- R p ta .------
v ~*2 x -2x~ -16x + 32 36

376. 362 Eduardo Espinoza Ramos
¡¡m V 7 + ^ T T - V 5 T T Rp(a 22
^ a/jc + -JAx + 5—J3x + 13 19
®
;. 4\[4x - 5j&x - x 2 +16 23
/íW —;
------F= - r— ---- R p t a . -------
*->2jc3-4 ^2 x-5 lf4 x+ lO 25
y « 6 V ^ 3 - 3 18
1 , - 3 1 ^ 2 6 1 ^ 3 1 - 2 6 7 ^ 3 3
‘ ~ 3 lx2 +15x-6
4-21
x - 3
.. V* 2 + 2 7 - 3 _ . 32
93) hm , ■ —----- Rpta. —
^ « 4 / 7 7 1 6 - 2 27
.n jl , ^ 3 x - 2 + x - s^ 2 „ „ 57
94) h m
------- ,,----------------- Rpta. —
k 7 *-1 V ^ + 7 - 2 5
95) lini X -T :\ Rpta. 6
" ^ ^ í - M l - x + x 2
S ) R|„ a, 4
•r-’2 \¡5x-2 +-\¡x + 2 - 2x 288
.. H 5 x -2 + x + % _ t 2560
97) //W ,
...=--------- Rpta. -------
" X^ s j x 2 - X + 2+X + 3 1863

377. Limites y Continuidad 363
,00) Un, S
'- 2 3 x -2 V l5 -3 x 12
101) + ^ + Rpta. -2
jr->0 X - x-jx + 1
[102) 2 Rpta. +oo
'-*> Vx2 -3 x + 2
103) l im
----------V * + ^ —------ Rota. —
v - - 7 = 7 ^ 2 - V ^ T + 2x 18
/• a/x-1 + 41-^ x -l - ^ x - l + 4 4
104) h m—¡ = — -------—
---------- Rpta. —
*-*o ^ T ^ - S ^ x - î + l i x ^ - S 3
+ 3 ^ /x - 3 x - l _ 27
105) /zm-
-----------------^ = - Rpta. —
L ' x + 3^ -3 ^ 7 8
106) lint y i í f —yj—1 Rpta. —
J v.o 3 /f^ 7 _ V l3 7 F 2
506»■ V3x2 + x + 4+ -\/x2 +5x + 1 0 - 6x 2 _
107) lim
-------. . . — :----------------------- Rpta.
•r_>1 \j-Jx + 3 + 6 + Vx + 8 - 5x2 371
(l08j lim ^ X +? ^ 2+3 Rpta. -I
v ' *-»i x —1 4
//w 8 - 2 x + ^ - Æ _ 23
■ y .<->4 x - 4 12
110) lim V2x + 7_ Rpta. —
,v->in x - 9 - c o s ( x - 1 0 ) 54

378. 364 Eduardo Espinoza Ramos
111) lim
4 ¿ j 4 x - 5 ^ x - x 2 +16
» 2 j t 3 -4a/2x-5V 4jc +10
„ 23
R p t a . ------
25
Vl + x 2 —J\~2x
h m---------------
-------
x + x
Rpta. 1
-v/jc — 1 — x + Vx2 —3
h m
------ ---------
'■*2 V3x + 1 0 -4
Rpta. 4
, u ) ,im £ t E j n z
x—»0 r 2
Rpta.
.. a/x + 1 — 1
//w
------------
*-><> X
lim
-----............- -
x^ l - \ ¡ 3 - 4 x ^ \
Vl + 3x - ^ 3 - x
hm
--------------------
*-*> 1- x
a / x -8
lim
----- =
*->64 4 - V x
119) hm
ijx - ifx
121) lim
JT-.1 l - x 2
■Jx—'J 2 x - l
-J$x—1—\¡2x + 2
[,201 t o 3 E Z d ! 5 ± I
jt->0 r
122) lim
x - l
x~*1 V x2 + 3 - 2
-\/ 3.V-2 + Vx + 6 - 4
hm
-----------------------------
Jf->2 x —2
V4.t- 7 - V 4x+1
/znj
-----------------------
*->2 x - 2
V x -4 —s/3x —14
h m
-----------------------
x-*s x - 5
126) lim
-j2 x -2 Ijx
lim
---------------
Jf-»8 x —8
Jm — p =
-------
*-»2 *j2x - 2
VxZ 5 - V 2x+ T + 4
lim
x - * 4
x - 4

379. Limites y Continuidad 365
3.12. LÍMITES LATERALES
Para que exista lim f ( x) , depende del comportamiento de la función f(x) cuando x tiende
x —*a '
hacia a, tanto para valores de x menores que a (por la izquierda de a), como para los
valores de x mayores que a (por la derecha de a).
Para el caso de los límites laterales es más simple, por que depende del comportamiento
de la función f(x) cuando x se aproxima hacia a ya sea por la izquierda o por la derecha de
a y a esto denotaremos en la forma:
Al límite de la función f(x), cuando x se aproxima hacia a por la izquierda es el número lx
que denotaremos por: fim ,/(x j t¿
al límite de la función f(x), cuando x se aproxima hacia a por la derecha es el número l2
que denotaremos por: im / £ * ) ~ / 2

380. 366 Eduardo Espinoza Ramos
a) Definición.- Consideremos una función f definida en el intervalo <c,a>; el límite
de la función f(x) cuando x se aproxima hacia “a” por la izquierda es
el número real L al cual denotaremos por lim f (x) = L si para todo e > 0,
x-> a~
existe un 8 > 0 tal que sí: a — 8 < x < a. Entonces | f(x) — L | < e.
Expresando esta definición en forma simbólica.
hm f{x) -L^> (V í>>0, 3 8 > 0 /si a ~6< x < a z¿> [ flx ) ~ L j<«>
b) Definición.- Consideremos una función f definida en el intervalo <a, d> el límite
de la función f(x) cuando x se aproxima hacia “a” por la derecha es el
número L al cual denotaremos por lim f(x ) = L , si para todo e > 0, existe un
x-*a +
8 > 0 tal que si: a < x < a + 8 entonces | f(x) — L | < e
Expresando esta definición en forma simbólica.
h m / { * ) = £ = » ( V f j > 0 , 3 S > f l / & a < x < 8 + S r - > ¡ ^ x ) ~ L | < g }
OBSERVACION.- Para que exista lim f(x ) debe de cumplirse la condición siguiente:
rl hm f{ x )~ L <■.-■> Hm / ( O Um f{x) ~L
x^4f ' x-'+a*
En otras palabras, existe límite de una función sí y solo si, existen los límites laterales y
son iguales.
OBSERVACIÓN.- No existe lim f(x ) en los siguientes casos:
x —yci
Cuando no existan uno de los límites laterales.
© Cuando los límites laterales existen y son diferentes.
OBSERVACIÓN.- Al calcular el lim f ( x) , cuando la función f(x) tiene diferentes
x —>a '
reglas de correspondencia para x<a, y para x>a se aplica el criterio de los límites laterales

381. Limites y Continuidad 367
Ejemplo.- Calcular si existe lim f(x) donde: f{ x )= \X -Ví * <' 1
*-»> ‘ ' [x +1 si x > 1
Solución
Aplicando el criterio establecido, es decir: 3 lim f(x) = L <=> lim f(x)= lim f(x) = L
n i ' jt-»r ‘ A->r
lim f(x) = lim x 2 +3 =1 +3 = 4 ...(1)
.v -* r x—,>r
lim J'(x) = lim .v + l = l + l = 2 ...(2)
v - » r x—>i *
al comparar (1) y (2) se tiene que: lim f( x ) * lim f(x ) entonces 3 lim f(x)
.T->1 .r->r -V—>1
Ejemplo.- Calcular si existe , lim f ( x) , donde: f(x ) = \ X S‘ v - 2
•r~>2 8 — 2x si x > 2
'■
Solución
Aplicando el criterio establecido se tiene: 3 lim f{x) = 1 o lim f(x ) = lim f(x ) = 1
x~>2 x — »2-* x->2+*
lim f(x)= lim x 2 = 22 = 4 ...(1 )
jr—»2- ' ,v->2-
lim f(x) = lim 8 -2 * = 8 - 4 = 4 ...(2 )
jr-»2+ jt—>2—
al comparar (1) y (2) se tiene que: lim f(x ) = /j'w /(jc) = 4 entonces 3 lim f(x ) = 4
x-> 2-' x-*2+ ' x —>2
Ejemplo.- Calcular, si existe lim x.l—— -1 6
*->0 ^4*2
Solución

382. 368 Eduardo Espinoza Ramos
.. x V1 - 64x2 x V1 - 64x 2 V1 - 64x2 1
lim
---------------= hm ----------------= /i»i —----------= —
2 1 x | -v *o ' 2 x a'—> ti ’ 2 2
xVT- 64x2 xa/i -6 4 x 2 , ¡~¡
Como lim 1
---------:— tí lim ----------— entonces: 3 lim xA— - - 1 6
< -»o 2 [ x | Ji ->n+ 2 1 x | jt-»o ]] 4X -
Ejemplo.- Calcular si existe lim — —^ ——
A > -1
' J x 2 -[\X\]
Solución
Por propiedad se tiene [] jc — 11] = [| x | ] — 1
X^ y ¡ x 2-[\x\] X^ 4 x 2-[\x\] -4 X .3 X . 2
para - 4 < x < -3 => [| -v |] = —4
.. [ |x - l |] - x .. -4 -1 - x - 5 - x -5 + 3 -2
hm , =■ = lim . = lim • •• = ■ r
..... = -==■
r_> 3 -y/x2 - [ |x |] t~> '3 y x 2 + 4 Jr~>“3~ t/x 2 + 4 a/9 + 4 VI3
para -3 < x < -2 => [| x |] = -3
[|x —1|]—x .. —3 —1—x .. —4 —x —4 + 3 1
lim ■■■.■ ■■■■■■■■- . — = lim —,
..... = hm --------= = — ■==■
' ^ r J x 2-[\x\] r- 5W r + 3 j - - 3W x 2 +3 V9 + 3 V l2
[|JC- 1 1]-JC ^ [ | x - l | ] - x . , [|x — 11] — X
Como hm - j - _ * lim ■ . ■ =■ entonces 3 lim
' V * 2 - [ I Jf I ] A' ^ “ r a/ *2 - [ I x I ] v > 3 - t i x | ]
x 2[ | 2x + ! | ] _i o x
Ejemplo.- Calcular lim
--------¡------------------
v->2- x3 - l l x - + 3 8 x -4 0
Solución

383. Limitesy Continuidad 369
Í i ± i = 2 + J L = „ i £ i l l] = 2 + [ l- L .
JC — 1 JC — 1 x -1 x -1
7 3 1 4 3
para — < jc < 2 => — < .x — 1 < 1 => 1 <
------< — => 3 < -------< 4
x 2 4 4 x -1 3 x -1
Por lo tanto [|—— 1] = 3
x -1
* 2[ | ~ “ |] — 1 Ojt , 2 in
y — ] 5x -lO x
lim —
-------------------------= lim
> >2 X1 - 1 L r + 38x - 400 *-*2- x3 -1 lx2 + 38x - 40
5 x (x -2 ) 5x 10
um —
-----------------------= lim
>2'(x2 -9 x + 20)(x-2) >-»2 x 2 -9 x + 20 4 -1 8 + 20 3
Ejemplo.- Calcular lim -J\ x | +[| 3x |] si existe
*->7/3
Solución
Sea 2 < x < \ => 6 < 3 x < 7 => [|3jc|] = 6
________
_ ____ s R
lim J\ x | +[| 3x |] = lim -Jx + 6 =------
.V—>7/3’ JT—>7/3" 3
Sea — < x < - => 7 < 3x < 8 => [| 3x |] = 7
3 3
lim J\ x | +[| 3x |] = //w Vx + 7
■V *7/3* J—>7/3+ 3
Como lim J\x\ +[|3x|] * lim J\ x | +[| 3x |] entonces 3 lim J\ x | +[| 3x 11
.v—>7 / 3” .v-> 7/3+ jc—>7 / 3
Ejemplo.- Calcular si existe //'»i ^ ^ ^ —
*->^3 X - a/3

384. 370 Eduardo Espinoza Ramos
Solución
v r
■J2 < X < -s/ 3
2 < x <3
- 3 < - x 2 < -2
0 < 3-Jc2 < 1 => [ |3 - x 2 |] = 0
, a /[|3 - x 2 |] 0 „
hm ------------------------j=— = hm
---------j= = 0
.v x - a/3 Í - V 3
-------=> -J3<x<-J~4 => 3 <x2 <4
"^3 ^ X = > - 4 < - x 2 < -3 = > - l < 3 - x 2 <0=> Luego [ |3 —x 2 |] = -1
lim ^ 3 * ^ = lim 3 . Por lo tanto 3 lim 3 * ^
■ x —v''3 x->$+x~*j3 •»-»V? x - V J
3.13 EJERCICIOS PROPUESTOS.-
O Calcular si existen lim f( x ) , lim f(x), donde: / (x)
-V —>1
X .Sí X < 1
x .v/ 1 < x < 4
4 - x .y; x > 4
Rpta. a) 1 b) a
(Y ) Calcular si existe lim f(x) donde: /( x ) =
^ jt-*2 ’
6x —x s» x < 2
2x2 - x - 3 sí x>2 Rpta. a) 3
6 sí x = 2
®
x- y ^ H
Calcular si existe lim f (x ). donde /'(x) = <' ’ '
■<-->0' ' x , x < 0
Rpta. 0

385. Limites y Continuidad 371
®
0
í X~ Y < 1
Calcular si existe lim f(x), donde f(x) = { '
»-*1 ' 2 , x > 1
Rpta.
Calcular si existe lim f (x ), donde: f (x) =
x—>5 *
x - 5
i —yjf—4
x 2 -12x + 35
x - 5
, x > 5
, x < 5
Calcular si existen a) lim f(x)
X—>1
donde fix )
1 - x 2 si X<1
1 si 1 < x < 2
x -3 1 si x> 2
b) lim f{x)
x—>2
Rpta. a) 3
Calcular si existe lim f(x) , donde: /( x ) =
r->3 ‘
x 3 - 2 x 2 - 5 x + 6
x - 3
Vx + 1 -1
x + 2
si x < 3
si x > 3
®
©
Calcular si existe lim J |x |+ [ |3 x |]
x —>5 / 2
[ U - | ] - X
10) Calcular lim
r->« X
Calcular si existe lim
2x I x - 1 1
-V-»1 X — 1
Calcular si existe lim í i J J —ñi
*-»1 x +1
13) Calcular si existe lim
1 1 6 -x 2 1+1
'->* ( 4 —x)-y/5— I x — 1 1
x 3 - X 2 + 3 x - 3 ,
Calcular si existe lim I
x->\ x — 1
Rpta.
Rpta. -1
Rpta. 3
Rpta. -
Rpta. 3
Rpta. 4
Rpta. -2
b) 1
Rpta. 3

386. 372 Eduardo Espinoza Ramos
3r + IxI
15) Calcular si existe lim
------------ Rpta. 3
J *-*> 7jc—5 1 jc I
16) Calcular si existe lim — ——
----- Rpta. O
■ J x—*2 I JC — 2 I P
17) Calcular si existe lim [|3jc |] +1 3jc"- 1 1 Rpta. 3
‘ . V - > 3
18) Calcular si existe lim -x/|.v | + [|3 x |]+ 4 Rpta. 3
.V—>5/3
19) Calcular si existe lim --- --- - —— Rpta. 3
I Jc — 21 — [| jc |]
20) Calcular si existe lim -^ 4 -----^ l] + 2jt: Rpta. 3
‘ x~*1 2x + 2 [|x + l |]
12- [ l f l ] 6
21) Calcular si existe lim
----------— Rpta. —
1 J x -» i/6 [|3 x |]-1 0 5
' |J"H } X | * - WM • / J
^ n i i , 2[|x 2 + l|] + |x + 2 |- 2 _ 4 + V2
22) Calcular lim ------------------------------ Rpta.
x —>VT [|3jc + 2 |] 6
23j Calcular lim ^ ^ Rpta. 1
*->1* [|jc + 1 |] + 3jc-1
24) Calcular si existe lim a/|jc |+ [|3 jc |] + 4 Rpta.
^ X—> 5/2 v
3V6
1S) Calcular R pt, ’
x-»2- [| 2jc -11] + 2 8
* M l f l ]
26) Calcular si existe lim
-------------- Rpta. 3
1 *-»6 [| 2* |] + 10

387. Limites y Continuidad 373
(27) Calcular lim ^ * + ^ +-^~
[ |x - 3 1]
Rpta. - ( 2 ^ 7 + 6 )
Calcular lim
' “»r -J9 sig ( x - \ ) - x ¿
Rpta. —
6
Calcular lim [x~ —sig(\x~- 1 |- 1 )] Rpta. 1
Calcular si existe lim [x2 + 5 + .si'g(|;t2 - 1 1-1)] Rpta. 2
x->j2
Calcular si existe lim f(x), donde: f(x) =
A—>1
1 —Jx
1 -l[x
2 X 1
* _ 2 ~ 2
(x -l)
si X > 1
si x < 1
Rpta.
©
Calcular si existe a) lim f (x)
X—>—1
b) lim f(x)
Jr—>1
Donde: /( * ) = (x-2[\x\])¿
Calcular si existe lim [| jc |]+[| 4 - x \
at->3
Rpta. a) 3 b) 1
Rpta. 3
34) Calcular lim f| ———r—- |].[| ——————— |]
.r—>3 10 10
Rpta. 10
35) Calcular si existe lim
Ux2 |]-1
1 x + 1
Calcular lim (x2 + 2.v)[| 1 - x |]
v - > 2 +
Rpta. 3
Rpta. -16
37) Calcular si existe lim ^ X
^ x 2 -[\x\]
Rpta. 3
m I <N

388. 374 Eduardo Espinoza Ramos
©
Calcular si existe
u * ’ - 3 i H i x 2 n
,v->V2 x - 2
Rpta. 3
®
Calcular si existelini([\x-\\]-x)-y]x-[\x\]
jr->3
Rpta. a
M 1 - *
©
Calcular si existelim f (x), donde: f (x) = •
x - t- 2
> - w i
N ] - H l - 8. [ i |i ]
X - | x |
©
©
si - 9 < x < - 2
-, si - 2 < x < 7
Calcular si existe los límites:
a) lini
Evaluar lim f(x) donde: f(x) =
■V->1 '
Rpta. 3
b) Iim(x-\)[\x\]
X->1
x + 2
x + 3
2x + \
lini
x ->.r
36-5 x
10
36 + 5x
10
44) lini
2[| -V2 + l|] + |x + 2 |- 2
*-* [|3x + 2|]
ljrti[j2x + 3\]-3x-2[\x\]
■ si X > 1
si x e< 0,1 >
Rpta. -10
Rpta.
Rpta.
3(4-V 2 )
l - X
Rpta. 3
46) Sea J (x) -
ax2 +bx + 1 ; x < l
2a x-b ; 1 <x <2 . Hallar los valores de a y b para que exista los
x +1 ; x > 2
límites de f(x) en x = 1 y x = 2.
™ 5 , 1
Rpta. a = —, h= —
3 3

389. Limites y Continuidad 375
47) Si fix ) =
x - x -4 x + 4
J+2
, x <-2
ax2 - 2&C+1, - 2 < x < 2 , Hallar a y b de tal manera que existe los limites
x 2 -\3 x + 22
x - 2
de f(x) en x = 2 y x = -2
-, x> 2
D * 1 A 21
Rpta. a = — y b = —
(48) Calcular si existe lini fix ), donde: f (x) = <1 es pai
x-* 2 ' [2x-[\x-2\] si [|x |] es impar
Rpta. 3
49) Calcular si existe lim fix ), donde: f {x) = — Lsen A ^
*->o ' ' I x I
Rpta. 3
(50) Calcular si existe lim (x + 5 + .ï/g(|x - 11- 1))
x->-V2
Rpta. 3
SI) Si fix ) :
x 3 + 3x2 -9 x -2 1
x + 3
, si x <-3
ax9 -2bx+l, si -3 < x < 3 . Hallar a y b de tal manera que exista los
x 2 -22X + 57
x - 3
limites de f(x) en x = -3, x = 3
, si x > 3
Rpta. a = -1 y b =-
3.14. LIMI IES AL INFINITO.-
Consideremos la función fix) = 2 +
------, cuya gráfica es:
x - 2

390. 376 Eduardo Espinoza Ramos
Examinando la gráfica para valores de x cada vez más grande, el valor de la ñinción f se
aproxima a 2, por lo tanto se puede decir que: lim f(x ) = 2 para el caso cuando x
* - * + 0 0 *
decrece sin limite, el valor de la función f se aproxima a 2. Luego podemos decir que
lim f (.v) = 2 . A estos tipos de límites se les llama límites al infinito.
jr-*-«>*
Ahora daremos las definiciones correspondientes.
a) DEFINICION.- Consideremos f: <a, + *>>
-----> R, una función definida en el
intervalo <a,+oo>, él limite de la función f(x) cuando x crece sin
limite es él número L y denotamos por lim f(x ) = L, para todo e > 0, existe un
AT—M-co
N > 0 tal que sí x > N entonces: |f(x) - L| < e; es decir:
lim f(x ) (V e > 0,3 N > 0 / s U > K f"^ ¡ f & P í| < « >
b) DEFINICION.- Consideremos f: < -* ,b >
-----> R, una función definida en el
intervalo <-oo,b> él limite de la función f(x) cuando x decrece sin
limite es él número L y denotaremos por lim / (x) = L , si para todo e > 0 existe
.V—>—OO *
un número M < 0 tal que sí x < M, entonces: | f(x) — L| < c, es decir:
Um f{x) ~ l ** (V 0 0 , 3 M< O/sí •=» ff(x )~ M <2)

391. Limites y Continuidad 377
c) DEFINICION.- Consideremos la función / : D r —> R , una función definida en
su dominio él limite de la función f(x) cuando x -»*>, es él
número real L que denotaremos por lim f(x ) = L sí para todo e > 0, 3 M > 0.
jr—>oo ‘
tal que si |x |> M => |ffx )-L |< £ .
d) TEOREMA.- Sea n un número entero positivo cualquiera entonces se cumple:
i) lim
----= 0 ¡i) lini — = 0
Demostración
i) Por definición: V e > 0 , 3 N > 0 / x > N => I-i— 0 |< £ => I — 1<£
1 n ' 1 n
X X
C o m o x > N > 0 => |*|">AT" => —— < ——
u r N n
Por lo tanto si x > N => —— < — y —í— < e => N n = —
U l" N" |jt|" e
Como N" = — => N =
c V £
Luego sí x > N => | —n— 0 1 < c siempre que: N =
ü) Su demostración es en forma similar que i).
Ejemplos.- Calcular los siguientes límites:
Q Hallar lim 2x2 +3* + 5
>~>ot 3x2 — 2.V + 1
Solución
La forma más práctica de calcular los limites cuando x
-----> To o x -----> -oo es
dividiendo tanto el numerador como el denominador, entre la mayor potencia de x que
aparece en la expresión dada, luego se aplica el criterio del teorema anterior, para nuestro
ejemplo dividimos entre x 2 tanto el numerador como denominador es decir:

392. 378 Eduardo Espinoza Ramos
, 2+ i+4
2x +3.V + 5 x x 1 2 + 0 + 0 2
lim —
------------= lim -------— = -----------= —
*-**’ 3x —2x+l Jr_>“= -i__2 , _J_ 3 - 0 + 0 3
2
X X ¿
2x - 3 x - 4
Solución
Cuando x toma valores positivos bastante grande, se toma x 2 =^[x^ con el cual
dividimos el numerador y denominador entre x 2 = V x 4 se tiene:
.. 2x: - 3 x - 4 X X2 2 - 0 - 0 ,
hni ... — = lim — , . = ■■ -7— ■ = 2
Vx4 +i x-KO h +J _ 4 i+ ó
*-*+* x + 7
Solución
Como x toma valores positivos bastante grandes, se toma x = Vx2" con el cual
dividimos el numerador y denominador entre x = -Jx* se tiene:
Vx2 +4
hm _ = lim
‘V _VTTo=1 i,,
.v-»+oo X + 7 jr-»+oo ^ 7 1 + 0 j r - » + * X + 7
X X
*-»-» x + 7
Solución
Cuando x toma valores negativos bastante grande, se debe tomar x = - J x 2 , con el cual
dividimos el numerador y denominador es decir:

393. Limites y Continuidad 379
4.x■ + 4
-Jx2 + 4 -^[x2
hm
-----------= lim ---------— = hm
A->-CC JC + 7 .V—>—co x + 7 x —>-oo J ^ 7 1 + 0
. ‘Jx2 +4
.. Um
-----------= -1
x - » - » jc + 7
lim (-yjx2 -5 x + 6 -x )
.v-»t-ür.
Solución
En este tipo de ejercicios para poder aplicar el método de los ejemplos anteriores, es
necesario expresar a la función como un cociente y para esto se debe racionalizar:
>• / / •> - 7 ^ (Vx2 -5 x + 6 -x )(a /x 2 - 5 x + 6 +x) -5 x + 6
hm (Vx~ - 5 x + 6 - a ) = /; » ;
--------------= = = = =----------------- Jim ____ ■ -----
™ ^ +0° V*2 - 5 x + 6 + x ™ V * 2 - 5 x+ 6 +x
Como x toma valores positivos bastante grande entonces dividimos entre x = -Jx2 .
6
5*+ 6 x -5 + 0 5
lim (V-í2 -5 x + 6 - x ) = lim , X+= — = lim
’Vx2 - 5 x + 6 + x fi 5 I 6 I¡ V l - 0 + 0 + 1 2
\ x x2
(ó ) lim -Jx2 -2 x + 4 + x
jt-í-k
Solución
En forma análoga al ejemplo anterior debemos expresar a la función como un cociente y
para esto se debe racionalizar:
n ^ 7 »• (V*2 - 2 x + 4 + x ) ( V x 2 -2 x + 4 -x ) -2 x + 4
lim V-V - 2 x + 4 + x = l¡m
--------------- ■ ■ ■ ----------------- = //w - = = = = —
* Vx2 -2 x + 4 - x w W*2 -2 x + 4 - x
Como x toma valores negativos bastante grande entonces dividimos entre x = - V x 2 .

394. 380 Eduardo Espinoza Ramos
4
- 2 x + 4 ~2 + x - 2 + 0 ,
lini =
----= lim —¡===—=— = 1
™ V x 2 - 2x + 4 - x j1_ l + _4_ _ 1 - V l - 0 + 0 - 1
" x x 2
lim -Jx2 - 2 x + 4 + x = l
X—>-«>
x3 + 3x2 + 7x + 5 3 /1 T I
lim (
------r------------------Vx + 2x -30)
,_♦+» x" + 4x + 7
Solución
En el ejercicio dado se observa que el numerador es de un grado mayor que el
denominador en estos casos se resta y se suma x a la vez para luego hacer las operaciones
respectivas.
lim (--y3+^ 2 + 7 r + 5 - V x 3 + 2 x 2 -3 0 )
,->+ce X +4x + 7
r,X3 +3x2 +7x + 5 , 3 / 3 - 2
= lim [(
------------------------x ) - ( - x + Vx +2x -3 0 )]
*->+* x +4x + 7
, - x 2 + 5 - 2x2 + 30 v
= ¡im (— — +
----------= = = = =----p-rr:7----------------)
*-»+• x + 4x + 7 x 2 + xA/x3 + 3x2 - 30 + 3/(x3 + 2x2 - 30)2
Ahora dividimos numerador y denominador entre x 2
,im _ > / 7 T P ^ 3 0 ]
x _ +4x + 7
. - ‘ * 7 - 2 + “
™ ( 4 7 + i 2 30 I 2 30 2 )
1 + - + — i + 3 i +
-------------------r + 3 ( l + ----------r ) 2
x x x x 3 V * x 3
-1 + 0 [ -2 + 0 2 5
1 + 0 + 0 1 + 3 /Í+ 0 + V Í+ 0 3 3

395. Limitesy Continuidad 381
®
J x + J x + a/*+ 2
lin, J
------------
Jx + 2
4x + 2
Solución
Como x loma valores positivos dividimos numerador y denominador entre J x ,
1 1 2
-Jx + -\fx + 'Jx + 2 V y * V * 3 * 4
lim ---------¡
------------- - lim -----------, -----------= - — , -:■■■■—- = 1
V* + 2 *-►+• / 2 a/1 + 0
3.15 EJERCICIOS PROPÜESTOS.-
Calcular si existen los siguientes ejercicios.
© Rp(a i
-r-»K 4jc +3j t+2 x + l 4
©
.. 4.r3 +2jc2 - 5 1
lim
----------------- Rpta. —
*->-<* - 8x +x + 2 2
© lim Rpta. 0
w j f -1 + 2 x + \
r 3 -v2
U ) //w (—---------------------------------------------------------------------- ) Rpta. 2
X' +2 -v + 2
© ,/ra[J í L _ C í d S 4 í í í i l ] Rpta. í
w v— 2x + l 4 jc 2
3 jf - 2 .V - 4 r 3
Um ( i * ' ~T- R pta- T
2x + 1 x —3 2
©
,3 v 2 i
lim (—^
---------- — ) Rpta. —
' 2x -1 2.V + 1 4
.r

396. 382 Eduardo Espinoza Ramos
lim (^\6x2 + 8*+ 6
x-*+ao
- V l 6x 2 - 8x -
lim (4x2 +x —s/x2
.r-»+a
+ 9)
®
^2x2 +\
lim
------------
x-»-<* .v + 3
©
lim (4*2 +2x -x )
©
lim (-Jx2 - 2x - l -
x—>±cc
Vx2 - 7x + 3)
©
lim(-Jx(x + a) -x )
x—*u>
©
lim (sj{x + a)(x + b) -
X—*or-
-*)
©
lim (x+ 4x2 - x 3 + 1)
jr-»•+-*
©
W -X
lim .
' —* V l - 4 x 2
©
lim (x + V l - x 3)
©
lim
------p-------
'■** X -V x 2 +]
©
lim (4-v + 42x ~ 4x--a/2x )
©
, V x+ V x+ 4/x
lim
------, —
v-»x V2X + 1
Rpta. 2
Rpta.
Rpta. —\¡2
Rpta. 1
Rpta.
D * a+b
Rpta.
2
1
Rpta.
„ 1
Rpta.
Rpta. O
Rpta. -oo
Rpta. -J2
Rpta. —=
42

397. Limites y Continuidad 383
¡¡m T-V 7TI Rpla. o
22) lim x(-Jx2 +1 - x ) Rpta. — s
^ / 2
23) lim Rpta. -1
^ ™ a47 ^c-x
24) lim (4 x 4 + x 3 +1 - V x 8 + x 6 +1) Rpta. —
^ X-*-'r 4
V*7 +3 + a / 2 x 3 -1
25) lim
-----------;— .-■■■=— Rpta. 00
^ ™ 4 7 7 7 V \
26) Um f - ' G X ' G * » Rpta. - i
^ *-+-:/)] 243x -11 3
¡27) lim (V-r3 + 2 x 2 + 3 -V -r2 +4x + l) Rpta. - -
^ 3
-Jx + -Jx + y x
28) lim —
----------------- Rpta. 1
^ *— V í + T
S > lim (-Jx + -Jx + a /x --Jx) Rpta. 1
30) lim ] i ? Z I E Æ ± Z - Rpta. ,
3 l) lim x 3'2 (a/x3 +1 - V x3 - 1 ) Rpta. 1
32J lim ^ X- +. } +A 2x:.J ± Rpta. *
C ^ r-w*. 6 / 8 . 7 . ,
i X —> +00 , -00 si X—>-00

398. 384 Eduardo Espinoza Ramos
®
Iim xf^jx2 +-Jx4 +1 -jc-%/2) Rpta. O
X ->V
34) lim y.A + ^—^ j r 1,2 Rpta.
■ 7 x - k t.^ 7 T _ 3/7
3 5) lin , Rpta. i
' ™ 1/x i + 2 i + l - i P ^ Í 3
a/ 8x9 + 3x 4 + 1 + á/jc'^ + x ~ +1 +10
36) lim — , :— ................
.. _........ Rpta. 2
* a/jc4 + x2 +1 + a/x12 + x2 +1 -10
jr—>+ac>
®
.. V* 4 +3 - V * 3 + 4 _ . A
/;»;
------—— Rpta. O
—
^ 8 ) lim ( J4x + ->/4x + -J4x - 2-Jx) Rpta. —
Jt-»+or. 2
39) lim (Mx3 - x 2 +\+%JxA - x 5 +1) R pta.-—
X->-K 1 5
lim (Vx6 - 4 jc 3 - 1 /x 12+ 2 x 9 ) Rpta. - -
JT-»cr 2
(41) lim
---------x) Rpta. O
V ' Jr-Ko V j r - + 3
42) lim(x2 ~ 4 x 6 - 2 x 4) Rpta. —
© lim 'lx 2 + l~ 4 x 2 +\ r j
-\A/x3 +5 + 4x2 + 6 - 2 x 1
lim —
------, :— R p ta . ------
J~ +* x —a/x3 - 12x 2 +1 16

399. Limites y Continuidad 385
45) lim É S t/ l - n n - x 1 1) Rpta. I
Í6) lim V r ' - 2 ^ + 1 + 3 / 7 7 1 R pla. ,
" ilxl'+ fa s + 2 - V i ’ +3x3 +1
.r—
a/,y4 + 1 + a „ . .
47) lim
--------------- Rpta. 2
X—>X x + l
ao\ /■ ^/x6 -1 +2x
48) lim
----------------- Rpta. 3
“■ x-*+cr x + 2
49) lim Rpta. , / í + l
" x->.!f x — \
50) lim ~ x '~ + - Rpta. 2
" jr-»-® X +1
5 l) lim (x -^ J (x -a )(x -b)) Rpta.
a + b
2
®
cXc ^ + 2xc
Hallar el mayor valor de c de modo que él lim —
-------= sea infinito y calcular él
9^3
limite. Rpta. c = 1, L -
(53) Si lim --Jx2 + 3 x -1 0 ) = —, calcular el valor de k Rpta. k = 3
v - ' *->+* x +x + l 2
(54) Hallar las constantes k y b que cumple lim (kx + b - X + ) = 0 Rpta. k = 1, b = 0
*-»+<* x~ + 1
(55) Determinar el valor de las constantes, M y N tal que lim [Mx+N —f— -] = 0
*->+■* x + 1

400. 386 Eduardo Espinoza Ramos
X U LIMITES INFINITOS,-:
Consideremos la función f (x) =
------ cuya gráfica es:
' x - 2
En el gráfico se observa que cuando x se aproxima a 2 por la derecha, la función f(x)
crece sin limite y su notación es:
fo n /< *) = +*>
x-> T
y cuando x se aproxima a 2 por la izquierda, la función f(x) decrece sin limite y su
notación es:
l i m c o
a todo este tipo de limites se les llama limites infinitos.
Ahora daremos las definiciones siguientes:
a) DEFINICION.- Consideremos una función f definida en algún intervalo 1 que
contiene a c, excepto en c, entonces él lim f (x) = +*>, si y solo
x —* r '
si, dado un número N > 0, existe un 8 > 0 tal que 0 < |x - c| < 8 entonces f(x) > N.
Es decir:
lim fix)« +* o (V N > 0 .3 8 > 0 / sí 0 < fx - c| < 8 fix) > N)

401. Limites y Continuidad 387
b) DEFINICION.- Consideremos una función f definida en algún intervalo I que
contiene a b excepto en b, entonces él lim f (x) = -oo, sí y solo
x->b
si, dado un número N<0, existe un 5 > 0 tal que sí: 0 < |x — b| < 8 entonces f(x)<N.
c) TEOREM A.- Si n es un número entero positivos cualquiera, entonces:
. . . 1 . . . 1 í~°° > si n es impar
i) lim — = +oo n) lim — = <
x->o* xa a->°- x" [+oo , si n es par
La demostración del teorema queda a cargo del estudiante.
NOTACION.-
i) — = +
O
..v a «
n) — = -oo, a < O
O
in) — = O, a 5*0
a

402. 388 Eduardo Espinoza Ramos
d) PROPIEDADES.-
Sí lim f (x) = c , lint g(x) = 0 , donde a es un número real, c * 0, entonces:
f(x)
i) Sí c> 0 y g(x) ——> 0, para valores positivos de g(x) entonces: lim - — - = +*>
x - , a g(X)
ffa)
ii) Sí c > 0 y g(x)
------> 0, para valores negativos de g(x) entonces: lim --------= - »
x - , a g(X)
••• f(x)
ii¡) S íc < 0 y g ( x )
------> 0, para valores positivos de g(x) entonces: lim — -------= -oo
X - > a g(x)
f ( x )
iv) Si c <0 y g(x)
------> 0. para valores negativos de g(x) entonces lim —■- = +-»
x->a g(x )
Ejemplos.- Calcular los siguientes limites:
x + 2
jr-»2* X~ —4
© Hm -
- X —‘i
Solución
x + 2 x + 2 1 x + 2
lim —
-----= lim -------------------= lim -------= +oo lim — -----= +x>
x~*2* X~ —4 *-*!' (X-2)(x + 2) r-»2+ X~2 *->2"*2 - 4
© , ¡m J £ Í ± í _
x-»r 2 - x - x ~
Solución
5x3 +1 5,v3 +1 5.r3 +1 (-4) 4
l im------------ = - um —
----------= - lim-------------------=-----------= — = -oo
,->r 2 - x - x x + x -2 (x + 2 )(x -l) 0" 0 ’
W x-,4 X-4
Solución

403. Limites y Continuidad 389
lim
V l6-jc2 1 6 -x2 (4-x)(x+ 4)
= h m
---------= = = = = lim
x + 4 -8
— lim , = —- = -00
4- x - 4 ( x -4 y j\6 -x 2 ^ 4" (x -4 y j\6 -x 2 ” 4~ V l6 -x 2 0+
lim
x—>4” x - 4
■ = —00
©
I ¡ „ ¡ L i J h l
x —»4~ JC- 4
Solución
[ |* |] - 4 3 - 4 -1 -1
lim-----------= h m
-------= hm -------= — = +00
x —>4- X — 4 x—>4- X — 4 x —>4- x — 4 O
[U IJ -4
hm ------— = +00
x —» 4 - X - 4
Calcular los siguientes límites:
(T ) lim — Rpta. +ao
W x—»2* x 4
Ç2) lim ■■X— Rpta. +00
W x-,-4-X + 4
®
lim ■■X.,+ 2 Rpta. -00
x->2~ x —4
( 7 ) lim Rpta. +00
W x - » - 3 " 9 - X
( 5) lim —-— Rpta. +00
x —>5+ X -5
®
lim X + 2 Rpta. -00
x - » r 1 — x

404. 390 Eduardo Espinoza Ramos
( j ) lim ——- Rpta. -oo
^ x + l
( ¿ ) lim ^ * 0 - -- Rpta. -oo
x-»3~ 3 — JC
(T ) lim Rpta. +oo
x-*o* 5x~+3x
®
x 3 + 9 x 2 + 20x
lim
-----:------------- Rpta. -oo
*-*r x + x -1 2
®
lim ■■ - Rpta. +oo
x-»3* x - 3
©
' 3x2 - 7x + 6 _
lim — i
----- — - Rpta. +oo
v 2 _ v _ A
2" x - x - 6
(l3 ) lim— 116 x |+J— Rpta. + 0 0
w x~>4 ( 4 -xh /5-lx + ll
@ lim 2* 2 ~ 5 x ~ 3 Rpta. 00
W * - > 1 x -1
®
lim(—
--------— -------------------------------------------------------------) Rpta. + 0 0
- I l - x x -2 x —1
(íó ) lim(—
----------— ) Rpta. 00
^ x-+2 x - 2 x - 4
Consideremos tres funciones ffr), g(x) y h(x) tales que
i) f(x) < g(x) < h(x), V x * x 0 y
ii) Si lim f (x) = lim h(x) = L , entonces se cumple: lim g(x) = L
jt—>jr0 *-»*0 r->jro

405. Limites y Continuidad 391
Demostración
Mediante la definición de limites se tiene:
lint f (x) = L <=> V c > 0, 3 <5, > 0 / 0 < | x - x0 | < <5j => |f(x) — L| < c
lim h(x) = L o V e > 0 ,3 <5-, > 0 / 0 < |x —x0 | <<5-, =>|h(x) —L |< c
Luego si tomamos 8 = »(¡«{<5,, S2} se tiene:
L — e < h(x) < L + c entonces:
L — c < f(x) < g(x) < h(x) < L + c, de donde: L - c < g(x) < L + c por lo tanto:
Si 0 < | x - x0 | < <5 => |g(x) - L| <£, lo que significa que: tim g(x) = L
Para él cálculo de los límites trigonométricos es necesario establecer algunos criterios, los
cuales mencionaremos en el teorema siguiente:
a) TEOREMA.- Demostrar que:
0 < |jc-jc0 | < 0 =>
0 < \ x - x {) | <
0 < | x - x 0 | < S2
\f{x )-L \< o
| h(x)-L |< e
de donde: L — £ < í{x) < L + £
ii) lim = 1
x —»0 X
iii) lim sen x = sen xn iv) lim eos .ï = eos x()
Demostración
sen x
i) Demostraremos que lim -— — = 1
r->0 x

406. 392 Eduardo Espinoza Ramos
para esto demostraremos la desigualdad:
, x sen x ,
1
------< eos x < --------< 1
2 x
donde x es el ángulo medido en radianes tal que: 0 < | x | < —
Consideremos él circulo unitario con centro en el origen del sistema de coordenadas
rectangulares XY.
Sea 0 < x < — el arco AP, medido en radianes, donde:
2
P(cos x, sen x), A(1,0), B(cosx,0), C (l,tg x ) siendo C el punto de intersección de
la recta que contiene el radio OP con la recta tangente a la circunferencia en A.
En el gráfico observamos que:
Area A POA < Area del sector circular OPA < área A OCA
Donde: Area A POA = — (1) sen x = Sen'Y
2 ’ 2
1 X
Area del sector circular OPA = — arco(radio)2 = —
* tgX , . s e n i i tgx , , ,
Area A OCA = - £—, es decir:
-------< — < , de donde:
2 2 2 2

407. Limitesy Continuidad 393
©
lint
sen x < x < tg x dividiendo entre sen x.
x 1 sen x
1 <
-------<------- tomando inverso eosx < -------<1 ... (1)
sen x eos x x
n
Además d(A,P) < arc.AP, (1 - eos x)1 + sen2 x < x 2
x 2 x 2
l - c o s x < — => 1
------< cosx — (2)
2 2
x 2 sen x
Ahora de (1) y (2) se tiene: 1
-------< eos x <-------<1 ...( a )
2 x
si x e ( ~ | . 0) suponiendo que < x < 0 => 0 < -x < y
que reemplazando en (a) se cumple:
, (-x )2 . , sen(-x) , , x 2 senx ,
1
----------< c o s (-x )<----------^-<1 => 1------< c o s x < --------<1
2 - x 2 x
t i x 2 senx . , n | . n
Luego 1
------< c o s x <-------<1 se cumple para 0 < | x | < —
2 x 2
x 2
Como lim 1
------= 1 y lim 1 = 1 entonces por el teorema de Sándwich se tiene:
j —>o 2 jc-»o
senx ,
lim
-------= 1
jt-»o x
Ejemplo.- Calcular los siguientes límites:
sen 7x
x—>0 x
Solución

408. 394 Eduardo Espinoza Ramos
®
lim
i
ó * -se n 2x
« 2x + 3 sen 4x
Solución
Dividimos numerador y denominador entre x
6x - sen 2x sen 2* . _ sen2x
-------------- o -----------6 - 2------------------- , - ..
lim - ----- — — = lim
- — — — - lim------------------------------------— =----------= —
x~>o 2x + 3 sen4x *->o ^ + ^ sen 4x x^o^ + ^ sen^x 2 + 12 7
X X 4
6 x -se n 2 x 2
lini
*->o 2x + 3 sen 4x 7
®
lim
r—wH
1 - eos x
x-*Q X
Solución
.. 1 -e o s* ■ (l-co sx )(l + cosx) sen2 x sen* sen* 0
lim
----------= lim-------------------------= hm---------------= lim --------.------------= (1)(—) = 0
x-+0 X x-»0 x(l + cosx) -«-»O x(l + COSX) JT-*0 x 1 + cosx 2
1 -c o sx „
lim
----------= 0
x->0 X
l- e o s x
( 4) lim
W *-*“ x J
Solución
.. l- e o s x (1 - eosx)(l +cosx) .. sen2 x
lim
-----— = hm ------- ---------------- = hm — -------------
x>0 x x <0 x '(1 + cosx) m0x‘(1 + cosx)
senx 2 1 n u 1 , 1
= hm(
------) -----= (1)(— — ) = -
*->0 x 1 + eos x 1 + 1 2
cos(mx)-cos(/ix)
lu»
-----------2--------
jr-»n x -
Solución

409. Limitesy Continuidad 395
, cos(w.r) - c o s ( h ) [1 -cos(/;x)]-[l - eos mx] 1 - eos nx 1 - eos mx
hm
---------------------= h m---------------------------------= hm----------------lim-------------
jr—>0 ^ x—>0 x x—»0 x Jr-*0 x
sen2 nx .. sen2 mx
= lim —
-----------------hm
x_>0 .r2 (1 + cos nx) x 2 (1 + eos mx)
vjsennx 2 1 ,msenmx,2 1
= hm(
----------) '--------------lim(-------------)
-»-><> nx 1 + eos nx •<-><> nix 1 + eos mx
2 2 2 2
n m n -m
2 2
1 - eosfsen 4x)
*->l) se n '(se n3x)
Solución
sen2 4x1- cos(sen 4x) 1
¡jm l-cos(sen4x) = ¡jm ' \(,x 2 sen2 4x = 16(1)(2} _ 8
x~*° sen2(sen3x) Jr_>0 ^ sen2 3x ^sen(sen3x)^2 9(1)(1) 9
9x2 sen3;c
NOTA.- Si se tiene que calcular limites de fondones trigonométricos, cuando x tiene a
x0 diferente de cero, aplicaremos el teorema siguiente.
b) TEOREM A.- Sí hm f(x) = L o lim f ( x 0 +h) = L
x->x0 ‘ h-->0 ‘
Demostración
Aplicando la definición de limites se tiene:
Para cada c>0, existe 8 > 0 tal que sí x &Df y 0 < | jc—jc0 | < «5 entonces:
|ffx) — L| < e ...(1 )
Ahora hacemos un cambio h = x - x () de donde x = x0 + h es decir la sustitución
en (1) se tiene: x0 + h s D r y 0 < | jc0 + h - x 0 \ < c entonces
| / (xü +h)-L | < £ , por lo tanto:

410. 396 Eduardo Espinoza Ramos
V e > 0 , 3 8 > 0 /x0 + h e D f A O < |h| < 5 => \ f ( x 0 + h )-L \< e
Luego por definición de limite se tiene: lim f ( x 0 +h) = L
OBSERVACION.- En la práctica este procedimiento consiste en hacer el cambio de
variable de la siguiente forma:
L= lint f(x)= lint f(x) = lint f(x 0 + /;) donde: x - x ()=h => x = x0 + h
* t-jr0->0 h->()‘
A este procedimiento se le da el nombre de reducción del limite de x0 a 0.
Ejemplo.- Calcular los siguientes límites:
O
, 1 - 2 eos x
lint -------------
j i n — 3x
Solución
Aplicando el procedimiento de reducción: lim
... (2)
3 3
Reemplazando (2) en (1) se tiene:
l- 2 c o s x
lint------------- = lim
h-> 0
l-2C0S(/í + y )
= lim
h-> 0
1 - 2[cosh .eos—- senh. sen —1
___ 3 3
-v-3x
n-3(h + - )
3
-3/!
= lim
h-> o

411. Limites y Continuidad 397
1-cosh (l-cosh)(l + cosh) 1 -c o s2 A sen2 A
h m
----------- lim-----------------------= hm------------— = hm --------------
h - >o h a->o h { 1 + cosh) *->o /i(l + cosh) *->o h ( 1 + cosh)
senh senh 0.0.
: lim
------.---------- =(1)(-----)= —= 0
a->o h 1 + cosh 1 + 1 2
©
lim
r -*1
1 + cos nx
'x 2 - 2 x + l
Solución
1 + C O S 7U ' 1 + COS7CC
lim—
----------= hm ----------— .-.(1 )
*-**x - 2 x + l (x -1 )2
Sea x - l = h => x = h + l ...(2)
Reemplazando (2) en (1) se tiene:
1 — cos tot 1 + c o s7t( / ; + 1) .. l + cos7z/icos7r-sen7¡Asen7r
hm —
-----------= hm — ----------------= hm--------------------------------------
x -2 x + l h h—>o ),i
1-cos nh (1 - cos nh)(l + cos nh) ,7rsen7ZÄ,2 1
= hm
-----------= lim----------------------------= lim(------------) . -
h2 h~>o A2(l + cos7iÄ) *-»° nh l + cosm'f
t 2 1 7
■>, l K n l + cos7cc n
n~ (
-------) = -— h m — --= —
1 + 1 2 a- >o*2_2x+1 2
®
lim
w v/l
. 1 - cos 6x
im
------------
-*o sen 6x
Solución
1 - cos 6x
l-c o s 6 x x 0 „
h m
------------= hm — ■ = - = 0
-V—>o sen 6x <->o o sen ox 6
6x
1 — cos 6.v sen 6x sen 6x A
donde hm
------------= hm 6.-— — . --------------= 6(1)(0) = 0
« »o x x-*o 6x 1 + cos 6x

412. 398 Eduardo Espinoza Ramos
©
1 + senx-cosjc
lim
---------------------
a-*o 1 -s e n x -e o s x
Solución
1 + sen-eosx senx 1 -co sx
l + se n x -e o sx x , x x 1 + 0 ,
lim--------------------= lim
--------------------= lint —-------------------=---------= -1
x—>0 l — sen x — cos x *->o 1 -s e n x -e o s x ,r->o sen x + 1 - eos jc -1 + 0
1 + sen x -eo sx
lim--------------------
jc-»o 1 -se n x -e o sx
®
lim
r—nr
sen(7r -x )
v
-------------
* x(n —x)
Solución
s e n ( ^ - - x ) s e n ( 7 T - x )
lim
------------- = lim ------------ •••(!)
x~>x X(X-X) x - n —*0 x(TT-X)
Sea z = x - 7t => x = z + n •••(2)
Reemplazando (2) en (1) se tiene:
sen(Tr-x) sen(-z) senz 1 1 1
lim
-------------= lim---------------= lim-------(-------) = (1)(-------) = —
x (n -x ) (: + n)(-z) 2-»o z z+ n 0 + n n
s e n t e - x ) 1
lim
--------------- —
*->x x (n -x ) n
©
, 1 - eos 3x
lim
------------
x-to 1 - eos 4x
Solución
1 -cos3xé ^sen3x^? 1
lim ]~ cos3x. = lim , x2 - = lim * U c f 3*
jr—>o 1 - cos 4x *->o 1 - eos 4x a >o ^ sen 4x ^ 2 *
x2 x 1 + eos 4x

413. Limites y Continuidad 399
= lim
,, sen3x,2,, „ .
( 3 _ 3 7 “ ) (1 + cos4jc) 9(2)
» o sen4x 2 16(2)
(4
--------) (l + cos3x) v '
4x
©
©
©
©
©
©
©
©
©
fío}
Calcular los siguientes limites:
lint
1 - sen—
2
x->n n —x
eos x - eos 3x
lim
---------r-------
x—>0
tg .t-s e n x
lim
x->0
Jt-sen 2 x
hm
-------------
*->o x + sen 3x
1 -a/cosx
hm -
lim
h-> o
sen(x + A )-senx
.. Vl + senx - V l- s e n x
hm-----------------------------
Jr-»0 x
Vcosx -a/cosx
hm-----------
----------
x~>° sen x
eo s* -eo s 2x
hm
-----------------
*->o 1 - eos x
1 - 2c o s j c+c o s2oc
h m
-----------------------
X-*Q Y
9_
16
Rpta. 0
Rpta. 4
Rpta. I
Rpta. ——
4
Rpta. —
4
Rpta. cosx
Rpta. 1
Rpta. ——
12
Rpta. 3
Rpta. -1

414. 400 Eduardo Espinoza Ramos
1 -cos7jc _ 7
lim
------------ Rpta. —
x - 0 2
©
,. 1 -s e n x „ 1
lim------------ Rpta. —
2
@ Un, Í 2 £ £ Z 2 Í Í Rpta.
, * eos 2x 2.r—>—
4
(h) //m (l-jc )tg — Rpta. —
*->i 2 n
,nx^
cos(— )
15) lim
------j=- Rpta. n
x - > l1 - -Jx
0 Rpta. 2
-VJ / 2 - eos x
6
se n x -c o sx „ 1
17) lim
---------------- Rpta. -
r —>-
4
f. l - t g x ' ^ 2
4
( ís ) l i m ( - - x ) tgx Rpta. 1
' 2
®
,. sen x - s e n a „
//m
---------------- Rpta. eos a
jr-*o X — Q
eos je-eos o „
«m
---------------- Rpta. -sen a
*->« X -< 7
senóje _ „
lint ——— Rpta. 2
r ,2* 3x- 2tt h
3
sen2 (7; + a ) - sen 2 a „ _
lint
-------------------------- Rpta. sen 2a
a-»o h

415. Limites y Continuidad 401
sen 3jc. sen 5 x _ , ,
23) lim
--------------r—;— Rpta. 15
AT-.0 (x - x3)2
. . . 3 sen/cc - sen 37a _ „ ■>
24) h m
--------------------- Rpta. 4n¡
“ J x->0 X1
,• "v-Y2 + 4 —3 eos x +1 _ 7
25) hm —
-------------------------- Rpta. -
" x-»n 1 — eos x 2
s e n 2 6.x + tg 3 x „ ,
26) lim
----------------— Rpta. -1
" 3 x -n
@ lim t g 2 x(-íl s e n 2 x + 3 s e n .t + 4 - V s e n 2 jt + 6 s e n jc + 1 2 ) Rpta. —
x —*—
2
(n + 2x) cos(^~- + 3x) ?
Q s) lim
------------------2--------- R pta. £
s e n ( 3 y + 3 x ) 3
sen(a + 2 x ) - 2 s e n ( e r + x ) + s e n a „
h m
----------------------------------------- Rpta. -sen a
.v—>0 x 2
cos(a + 2x)-2cos(a + x) + cosa „
hm —
--------------------------------------------- Rpta. -eos a
*-*(> x 2
(SÎ) „ „ U t o + 2 * ) - 3 «<■ + *) + lg« 2 s n a
t_>() x eo s3 a
( 1 - c o s x ) 2
hm —
------------— Rpta. oc
x->o tg x - sen x
(33) lim COSX Rpta. 1
t g f l j r - t g 3 ax „
h m
----------------- Rpta. a
-v- >0 tg x

416. 402 Eduardo Espinoza Ramos
(35) lim -- -S- n- - - - Rpta. ~
(1 + eos 2x) 64
36) Rpta. -2
X ~ + \~Jx -1
37) ,,„ ,V Z Z Z ¡ ¡ E I Rpla. 2
JT ►(> 1 - COS X
(55) /*» Rpta. 2
A +0 4
© lim - - - s— Rpta. V3
^ * 7r
*-* y sen(x - —)
(40) lim
-------—-------— Rpta. 4
Jt->0 (tg x -se n x )"
41) lim
--------------------------- Rpta. a
1 v ><) (l - cos ax + x) sec ax
,v\ .. sen(x2 -1 0 x + 25) 1
42) lim —— ^—r
-------------— Rpta. —
*-*$ x + 5x -125*+ 375 20
43) lim(— \
----------- -----) Rpta. —
" « O s e n i 1 -co sx 2
ljm jsenfsen2jr) Rpla. I
k *~>o 1 - cos(sen 4x) 4
© iim cos*.... Rpta. 4 Í
(ü V l - c" " v'sen x

417. Limites y Continuidad 403
, , , .. l- s e n x /2
£ 9 U m ------------------; ---------r R p ta * t
JT-»* ,,W X X\ 2
cos*/2(eos— sen—)
4 4
@ ;im £ ^ í ± Ü z £ ^ í z i > Rpta. -2sena
^ J-*0 X
(3) , * $ + * * * z£ - * Z L Rpta, 1
r->0 tg*
SO) fl„ Rpta. 2
x - * a x 2 H 2
4 e o s x -e o s 2 x -3 „
lim
----------------------- Rpta. oo
x~*° x sen x
/Ç%\ 1 - 4 c o s 2 x „ Ä
(521 hm
------------------- Rpta. O
-V—>f. 8 sen(x - n 12)
53) /f»i(x-l)sen(— ) Rpta. O
Jt-»1 x -1
2x3 - e o s ( x - l ) - l _ „
& ) l™
----------r ~ ; Rpta. 3
*-»> X -1
__A 5 se n x -3 e o sx + 3 „ 5
55) hm------------------------- Rpta. —
*_>(> 2 tg x +1 - eos x 2
®
,. sen2 x - s e n 2 a „ „
hm--------------------- Rpta. sen 2a
cosx-cos(sen2x) 3
57) //m
-------------r---------- Rpta. -
x 2
58) lim 3,
-----------
x~*°y x
2
eos mx - eos nx „ J n 2 - m 2
Rpta.

418. 404 Eduardo Espinoza Ramos
. 1 - cosxcos2xcos3x „ x
59) h m
--------------------------- Rpta. 14
^ r - » 0 1 - COS X
sen(2x + a )-2 se n (x + a) + sena _
601 lint---------------------
------------------- Rpta. sen a
‘ jc2
, x 1 - x -Jx -1 , /rrv 1 -se n x
(61) hm{
------------+ —---------) (62) lint—--------
jt-»i sen (x -l) sen (x -l) x eos*
2
631 ft. izl£“Ll (5) /™2(1-“SJ:)
• f W j - i ) " " X'S*
651 (66) lim Í Í £ z £ i S í z l l £ 2 i £ E
*->o sen x * -»o x
67) ,/m i z £ 5 i £ © í™ '2 " 2 “ “ »2
•t->0 senz x ' ’ x 4
3.21 FUNCION EXPONENCIAL Y LOGARITMIC A.-
a) FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE “A” POSITIVA
Sea a e /? + y a *1, a la íunción exponencial de base “a” definiremos en la forma
siguiente:
exp, -M ix . v) e RxR/ y =- a* }
donde su dominio es <-°o , +oo> y su rango es <0,*»
Si a > 1, la función y = a v es creciente gráfica (a)
Si 0 < a < 1, la función y = a-' es decreciente gráfica (b)
Si a = e entonces y = ex su gráfica es (c)

419. Limites y Continuidad 405
(T ) lim ex = +*>
*—►+00
© lim ex =0
,v->-co
®
limex =1
*->0
(T ) lim e x = 0
b) PROPIEDADES DE LA FUNCION EXPONENCIAL.-
Sí a, b > 0, entonces:
© a ° = l © ax jay = a x*y © (ax)y = a x
© ~ 7= a*~y © (<¡b)x = axbx © (7 ) ' = 4
a-> ^ b b
Ejemplos.- Trazar la gráfica de las siguientes funciones.
© v = 2 v © . v = ( | r
Solución
Como a = 2 > 1 => y = 2 r es creciente Como a = — < 1 => y = (—)x es decreciente
* 2 2

420. 406 Eduardo Espinoza Ramos
c) FUNCION LOGARITMICA DE BASE “A” POSITIVA.-
De la definición de la función exponencial y = f(x ) = a x a > 0, a * 1 se deduce
que dicha función es inyectiva y por lo tanto tiene inversa.
Luego a la función inversa de y = /( x ) = a * le llamaremos función logarítmica de
base “a” y la definiremos en la forma siguiente.
Definición.- A la función f: <0, + oo> ->■ R definida por:
Le llamaremos función logarítmica (ó función logaritmo) de base a donde a>0, a*l
Se sabe que loga x es un número único b, tal que x = ah es decir:
NOTA: loga x = b se lee “el logaritmo en base “a” del número x es b”
OBSERVACION
La función logarítmica de base “a” tiene por regla de correspondencia la ecuación:
donde
i) Si a > 1, la función /( x ) = log„ x es creciente
ii) Si 0 < a < 1, la función f(x) = log0 x es decreciente

421. Limites y Continuidad 407
d) PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Si a, b > 0; entonces:
© lo g „ l= 0
© log„ AB = loga A + loga B
( ? ) log„ A" = wlog„ A
© loga = —
logfc a
© log« a = 1
© log„-^ = logfl A -lo g a B
© iogu Ja ——ioga a
^ n
© l o g . ^ ^ 1
log* a
OBSERVACION.- Sí x - e y <* v=log» x = la je i
DEFINICIÓN.- La función logaritmo cuya base es e, se llama función logaritmo
natural ó neperiano y denotaremos por:
/ ( r > - t o g , x ~ L n x
Y
donde D f < 0,+°o > y R f =R

422. 408 Eduardo Espinoza Ramos
DEFINICIÓN.- La función cuya base es 10, se llama función logaritmo decimal ó
vulgar y se denota por:
OBSERVACION
( ? ) ln ex = x © e'n x =x
3*22 EL NUMERO
La expresión (1 + —)” tiene limite comprendido en 2 y 3 cuando n
-----*x>, es:
n
2 < <3
a) Definición.- Al número e definiremos como el límite de la expresión (1+—)
11
cuando n-Kio, es decir:
• V«»
~>
donde: e s 2.718281828459045....
OBSERVACION
O La función (1+— )x tiende al número e, cuando x -><», es decir:
( 2) Sea z = — => x = — cuando x -» 00; z -> 0, entonces:

423. Limites y Continuidad 409
Para el cálculo de los límites de la forma lim(f(x))g(x) se consideran los siguientes
x-*u *
casos:
ler. Sí existen los límites lim f(x) = A y lim g(x) = B y son finitos, entonces:
x —*a ' x —>a
lim( f(x))g(x) =(lim f ( x ) y ” g(X) = Ab
x —>a x —>a
2do. Sí Hm f(x) = A * l y lim g(x) = ±oo , entonces lim(f{x))g{x) es inmediato.
x —>a' x~*a x-> a '
3er. Si lim f(x ) = A = 1 y lim g(x) = ±oo ( l 00 indeterminado)
x —>a ' x —>a
En estos casos, estos límites se calculan de la siguiente forma.
A la función f(x) expresamos así: f(x) = 1 + 4> (x) donde lim <$>(x) = 0
x —>a
Luego se hace la sustitución y se aplica la definición del número e.
J •. x ~ x t ' a
.v. .......; .i.-..—..........
........ ...■■■■■...y; ......;
OBSERVACION.- En el cálculo de los límites de funciones logarítmicas se aplica
la propiedad siguiente:
i m W fíx ) } ~ L tíh m ÍUW
x->a .. • *-w»

424. 410 Eduardo Espinoza Ramos
Calcular los siguientes límites.
rx-4,,._-)
x-*s X + 1
Solución
x - 4 7 _5 , - 5 — — <*-2> J ~ :2) <
lim[—— ]x~2 = lim[l+— ] ^ 2 = lim[(l + — ) 5 ] *+I = e ~ " *+1 = tT 5
Jr- * * je + 1 r - * » jc + l *-><* j r + 1
-> ~ * -l
jc” +3
*->cr *•- +4*
Solución
x2 +3 ,. + x2 1 + 0 ,
lim —z
------------------------------- = lim ---------=-------- 1
jr-»*' + 4X x~>oc 4^ 1 + 0
Ahora hacemos la transformación indicada en el criterio establecido.
x 2 +3 — 3 - 4 * — 3 -4 x — (— K ^ )
l i m v = fa i[l+ - 1 v = //w [q + . ) 3"4* ] * x+4x
'->r' x~ +4x *->*> x~+4x x~>c' x" + 4x
(x2 -1)(3 —4x) _4
= exp{ h m
--------~ = e
Solución
lim(4x+ l - V x + T ) ^ = lim [l + ( - J x - J x T l) ] ^ = lim [1+—= — ^ = ] V7
*-** *-»■+» *-♦+» Vx -V-v + 1
= lim [(l + - ?=— p = r ) < ^ +^ 7>)] VnvTTT =e^ 7 ^ 7 ^ = e-l/2
V jc-V x + 1

425. Limites y Continuidad 411
(T ) lim — Ln.
<-»oi v l - x
Solución
.. 1 - 11+X .. 1 ,1 + X 1/* 1 r r/- / (1 + X) -
h m -L n
------= hm -L n(-------) =-Ln[hm ( -------------- )]
*-»0
®
.. ,sena + sen3x, „ n1,
lm {
-----------------) sen3jr
»0 sen a - sen 3x
= — Ln(—- ) = — Ln e2 = Ln e = l lim — L n ^ ¡ X = 1
2 e~l 2 » o j t ï l - x
1
sen a + sen 3x
\ S C I ! JA
Solución
sena + sen3x sena + 0 ,
Como lim -
------ —— =------------= 1
a->o sen a - sen 3x sen a - 0
Entonces transformamos la función mediante el criterio establecido.
. sen a + sen 3x . “ 77 „ 2sen3x, . , 3 U 1 M T 3 V 1 I J A . cot, u . . o v i l J A . OQ,„ -j ..
Um(
-----------------)sen3* = /Z/W(l + ------------------yenlx
x—*o sen a - sen 3x *->0 sen a - s e n 3x
sen a -sen 3.v
2
O M ' •* lífft
S e n j X x Z : , Z x->o sen a - s e n 3* ^a
■lim[(l+
--------------------------) 2 s e n 3 x ] sen a - s e n 3* = e = g
*-»0 sen a - sen 3x
®
lim (cosx + a sen hx)1
t\
\l/ X
x—>0 '
Solución
Como //w(cosx + asen¿>x) =1 + 0 = 1 entonces transformamos la función mediante el
-V—>0
criterio establecido
lint (eos x + a sen hx) ' = lim (1 + (eos x + a sen bx - 1)
X - * i ) * - > ( )
eos jr+tf sen.r-1
lim[( 1 + (eos x + a sen bx -1))cos *+<,sen bx~1 ]
.v—>0

426. 412 Eduardo Espinoza Ramos
cosjr+ asen¿w r-l , . sen bx 1 - c o s j t
hm
--------------- limlab--------------) , _ .
= £jr-*o x — g x - ' 0 bx x — e — 6
©
x i
l i m ^ —
Jt->0 x
Solución
Sea a = e x -\= > ex =\+a tomando logaritmo
=> Lnex = Ln(l + a) x Lne = Ln(\+a) => x = Ln(l+a)
Cuando x —>0; a-+0 entonces:
ex -1 « 1 l 1
lim
------- lint Ln(i+a) -- lim-—— = — = - = 1
X a->0 a->0 Ln(\+a) Lne 1
®
lim
.íl
l x -1
®
Um
jt-»0 x
Solución
Sea a = 7X - \ =>7X = l + a =>Ln7x =Ln(l+a) => x = —— Ln(l+a)
Ln 7
Cuando x—>0; a-->0 entonces:
lim —----- = lim —
--------= Ln7. lim--------- — — - Lnl.-^— = Lnl
v-o x a->n_ J _ £ „ n + a ) a-*0 lB ( l+ a ) l a Lne
Ln7
7X -5 *
>0 x
Solución
En este limite se debe de aplicar el criterio del ejemplo (8) es decir la forma del límite del
ejemplo anterior.
i* _ 5 r n x _ d _ ( 5 jc 7* _ i 5 ^ -1
lim
------— = lim ---------—-------= lim-------------lim --------= Ln7 - Ln5 = Ln
x —y() X jt-> 0 X x - * 0 X * -> 0 X

427. Limites y Continuidad 413
9* _ 7 J
lim
----------
jr-.o 8X - 6 X
Solución
Ahora debemos de expresar en la forma del ejemplo anterior, dividiendo entre x
9* -7* 9* -1 7* -1
x
___
= lint
9 ' -1 *
lim----------= lim .. .
jr->o g * _ 6 X « o ^ -1 ex-1 ln 8 - ln 6 j _4
v r r 3
©
lim
sen 3x -s e n *
a:->o Ln( 1 + jc)
sen3x-senjr
lim
-----------------= lim
Solución
sen 3 x - sen*
= lim
sen 3jc sen x
3x _x
____ 3(1) — 1 3 -1 _
*-*o Ln(\+x) *-»o 1 Ln(y + x^° Ln(l+x)Vx Lne 1
= 2
„ax „ß*
e — e
©
©
©
lim
*-»o x
em -e *
lim =
c-»fl JC
em -
lim (
-------
a->0 X
1
X *
1
) =J
3.25 EJERCICIO!
?i:i*í5MísSí:
ÉÉË
f e
Solución
) = Lnea -Lne^ = a L n e - ß Lne = a - ß
Hallar los siguientes límites:
ltm(x ’ \ 2x + 3f ' 1
JT-MO x 3 + 4
, x 2 -2 x + \ ,x
hm (—
-----------) '
x - - 4 x + 2
3 x -4 —
lim(i í - J ) 3
3x+2
Rpta. e
Rpta. e
Rpta. e
•2/3

428. 414 Eduardo Espinoza Ramos
®
lim (cosx + senx)x Rpta. e
r-*0
0 ¡¡m L * a + x ) - L m ^ I
®
lim x(ln(x + a) - Inx) Rpta. a
r —>nr
2 -* ~ sen x
© lint x Rpta. -
^ jr-*° x -3 x + 2 2
2 .
(8) lim(^r— ) x+x Rpta. 1
*-** x" +1
( ? ) Rpta. <?3
w X-*« x 2 - 2
lÓ) lim y l - 2 x Rpta. e
x-+Q
x-*x> x - a
3 - - I- V
(x + a)'"“ (x + b)*'b .
(16) lint----------------
-------— Rpta. e
W (x + a + h)2x+a^h
-2
@ l i n t ( ^ - Y Rpta. <?2fl
12) lim (X ^ - T-+ - ) x Rpta. e~2
1 i
2
x-t+yi x +4
®
lim- sen3x)2x Rpta. e
x->()
m
®
lim(ex + x)x Rpta. e
jc-»0
©
limix + ex)x Rpta. e
r-»l>
2 n
2
(a+b)

429. Limites y Continuidad 415
i
17) Um Ç1^] + scn-sßx ) 3en Æ Rpta. e'5
18) Um ( 4
............. , ) X$en^ Rpta. \¡2
^ jr-» + o o I
16x sen —
4x
lnfe + » ) - l . x 1
» A x
(20) //w (1 + tëJC)senjf Rpta. e 2
v ] >0 1 - tgjc
1 t 1
21) /;»»(■ + tg5_) sen; R pta.
^ jr-»o 1 - sen x
®
lim 2 - J cos x )* 2 Rpta. 1
t->0
®
lim(cosx)*2 Rpta. e
x-,0
15o6
(24J Um(cosJ— )bx Rpta. e 2
jt-t o x
(ex +x)'*x —
lim[—
----—— ] ' Rpta. e
x~*° (1 + sen x) x
26) lim (senx )lÊX Rpta. 1
1 3
v’^ô'cos 2x '
l i m ( - ^ ^ - ) xl Rpta. e 2
28) lim(\ + x 2)< tê~x Rpta. e
*->()

430. 416 Eduardo Espinoza Ramos
i
29) lim(l + tg ^ /x )lx Rpta. -Je
^ *->0
(30) lim(cosx)senx Rpta. 1
jr-»0
31) Rpta. - I
' ' i 1 2
sen.r
@ lim i* ^ - ) * ™* Rpta. -
x - o x e
p in ic o s « * ) R pta. (£)2
x-»o ln(costa) b
© lim ln(1 + g } Rpta. 0
i—k-cr r
35; lim - i -1- — ! Rpta. 1
x ->+cc x
O i / 1—\ 1*^3 In.t —
36) limlplx) Rpta. e 2
x-»o sen ax - sen px
x —>0
ax _ Bx
(37) /;m— -
----- — — Rpta. 1
sen Lx „ „
lim
---------- Rpta. 2
x -» o ln(l + x)
39) lim (sen—+ eos —) jr Rpta. e
X-X» X X
40) lim
------+ g----,a > 0 Rpta. a xLn2a
" a-»0 h

431. Limites y Continuidad 417
x - a
lim ■
x*a Lux - Lna
Rpta. a
lim
e — 1
.v->n frh' _ i
Rpta. —
b
;■ O' - a . A
/zw
----------, a > O
v~*A X — b
Rpta. a bLna
lim— \n\
•f->o ax V I-
1 + ax
ax
R p„. i
5 ' - 4 '
h m —
------ Rpta. - L n —
4
-1
©
lim -
*->i je In je
i
lim(^-)x l
x->2 2
ln ( c o s x )
lim
----------j -
*~>f>ln(l + x~)
sen2 3x
lim —
----------
Jr~>n ln (l + 2x)
Rpta. 1
Rpta. -Je
Rpta. - -
9
Rpta. —
4
lim (
a* +bx
y
lim (eos — + n. sen — ) *
a j x X
Rpta. 1
Rpta. -Jab
Rpta. e an

432. 418 Eduardo Espinoza Ramos
54) lim
. Ln(nx + 41 -m 2*2)
Ln(x + Vi -Je2;
Rpta. n
55) lim(
o 1 + sen x. cos P x
Rpta.
P 2 2
e - a
56) /<»»[•^ 'Y + ( 2 - —)'82u ]
-J x -J a a
Rpta. +e*
3a>
. . . a ' + é ' + c ' -
(57) ltm( -------
----------) '
v ->o 3
58) lim 8 7
x—*0 6J _ 5 J
5 9 1 Jim ln0+j: + -v2) + ln(1~ ji: + x2'
60) lim (1 + c tgx)
.V—»—
2
a) DEFINICIÓN.- Consideremos una recta L y un punto A que se desplaza a lo
largo de la curva C: y = f(x), cuando la distancia entre la recta L
y el punto A de la curva tiende a cero, cuando el punto A tiende al infinito, entonces
a la recta L se denomina asíntota de la curva, es decir:
A • • <-•:

433. Limitesy Continuidad 419
b) DEFINICIÓN.- La recta x = a es una asíntota vertical de la curva C: y = f(x) si se
cumple una de las relaciones siguientes:
i) lint f(x) = ± » ¡i) lint f (x) = ± * iii) lint f(x) = ±*>
Ilustración Gráfica
lint f(x) - +'x>
x > a ’
lint / ( * ) = -*>
.V —

434. 420 Eduardo Espinoza Ramos
c) DEFINICIÓN.- La recta y = k es una asíntota horizontal de la curva y = f(x) si se
cumple una de las siguientes relaciones:
i) lin, f(x) = k ii) lini f(x) = k iii) lin, f(x) = k
d) Definición.- La recta y = a x + b es una asíntota oblicua de la curva C: y = f(x) si
se cumple que:
lint [f(x)-(ax + b)] = fí ó lint [/(,v)-(úur+/>)] = 0
OBSERVACION.- La forma práctica de encontrar las asíntotas oblicuas (horizontales)
de una curva y = f(x) es de la manera siguiente:
, • f(x)
lim it é e //mi _
-----
Si existen los límites lin, ■—■■■■ = k . lim [f(x)—k] = b
X - > Í X X X~ > ± c c
La recta y = k x + b es una asíntota oblicua (a l a derecha cuando x - > +tc y a la izquierda
cuando x—»-*>) y es una asíntota horizontal cuando k=0.

435. Limites y Continuidad 421
Ejemplo.- Hallar las asíntotas de la función:
Q y(x-3) = x 2 +9
©
Solución
2 V2 +9
y(x -3 ) = x + 9 => y -
------—, como el denominador se anula para x = 3 entonces:
jc —3
x~ +9
i im
---------= ± * entonces x=3 es una asíntota vertical
x-3
x~ +9
Ahora calculamos las asíntotas horizontales si existe y = k donde k = lim
--------= +oo
x -3
Por lo tanto no existen asíntotas horizontales.
Calculando las asíntotas oblicuas: y =mx + b donde:
y x 2+b . .
m = hm — = lim
--------= 1 => m = 1
jr->±oo X x->±<*>2 X — 3X
b = lim ( y - mx) = lim (-—— ) = lim — 3 z=>b = 3
A > * :/ x—»±Q0 X — 3 V >T 3T X — 3
Luego la asíntota oblicua es la recta: y = x + 3
x +3
y-
-Jx1 -4
Solución
x 2 +3
Observamos que el denominador se anula para x = ± 2 y además lim . = +00
x ^±2 -yjx2 -4
entonces se tiene que x = ± 2 Son las asíntotas verticales.
v2 +3
Ahora veremos las asíntotas horizontales: y = k donde k = lim
.....= ±00
— 4 7 ^ 4
Por lo tanto no tiene asíntotas horizontales.

436. 422 Eduardo Espinoza Ramos
©
Calculando las asíntotas oblicuas y = mx + b, donde:
k= lint lim *1- - 3 =±1
- 4
x~ + 3
b= lini(y-mx)= lim (—= = ±x) = 0 => b = 0
x-»±oo ^ x _ 4 2
Luego las asíntotas oblicuas son y = x , y = -x
y =
------ + Mx
x - \
Solución
Se observa que el denominador se anula para x = 1 y además lim ——— + \[x = <x>,
'-♦1 JC — 1
entonces la asíntota vertical es x = 1
x~ +1
Calculando la asíntota horizontal y = k, donde: k = lim--------+ \¡x = oo
* ->jc—1
Por lo tanto no tiene asíntota horizontal.
Calculando las asíntotas oblicuas y = mx + b donde:
y jc2 +1 \fx
m = lim — = lim —
------v----= 1
.r - » a X X —X x
b = lim {y - mx) = lim ('x + \[x - x) = oo, Luego, no existe asíntota oblicua.
X— X — » 0 0 J C — 1
®
a~(a-x
y = 3 2
£/“ (£/ — JC)
*> *>
¿7" + J t ~
Solución
Cálculo de las asíntotas verticales, como el denominador no se anula para ningún valor
real de x entonces no tiene asíntota vertical.

437. Limites y Continuidad 423
©
Cálculo de la asíntota horizontal: y = k donde: k = lint a—j ü—y- = 0
* - . 0 0 a - + x 2
Por lo tanto la asíntota horizontal es y = 0.
Cálculo de las asíntotas oblicuas: y = mx + b donde:
y a2(a-x)
m = hm — = hm —
-------— = 0
x->'x *-**■ a~x + x
a~(a—x)
b = lint (y - mx) = lint —
-------- - 0 = 0 , Luego y = 0 es la asíntota horizontal,
X— ► ' / ' X-*CS’ Q + X
v = -
2xl —5jc—3
x—1
Solución
2x2 — 5x — 3
Como el denominador se anula para x = 1 y además: lint----------------= oo, entonces la
*->i x - l
asíntota vertical es calculando la asíntota horizontal: y = k, donde:
k = lim —
---——- = oo. Por lo tanto no se tiene asíntota horizontal.
*-»»■ x -1
Calculando las asíntotas oblicuas: y = mx + b donde:
y 2x2 - 5 x - 3 .
m = hm — = lim
----------------= 2
x x —x
, .. . . .. ,2x2 - 5 x - 3 . , ,2x2 - 5 x - 3 - 2 x 2 +2x -3x-3 -
b= lim(y-mx)- hm(
-----------------2x) = lim(-----------------------------= lint -------- = -3
X-V-t A—K/j X — 1 jr->oo X — 1 X - W X — 1
Por lo tanto la asíntota oblicua es: y = 2x - 3
y 2(x-2a) = x3 - a3
Solución

438. 424 Eduardo Espinoza Ramos
y1(x-2a) = xi -a* =>y = ± J ^ — ^
V x-2a
Se observa que el denominador se anula para x = 2a
i } _ r
Además lim ± , |
----------= ±oo, por lo tanto x = 2a es la asíntota vertical.
x - > 2 a V x - 2 a
Calculando la asíntota horizontal: y = k donde:
I 3 _ a3
k = lim ± J
----------= ±oo, por lo tanto no se tiene asíntota horizontal.
*->•' v x -2 a
Calculando las asíntotas oblicuas y = mx + b, donde:
y ,■ W * 3 - fl3
m = lim — = lim ± — -r=
-----= ±1
x x^jx _ 2a
= ±a
oblicuas
Hallar las asíntotas de las siguientes funciones:
© y{ x-3)2=x2+9
(2) x2(x + y ) -a 2(x-y)
( i) xy2 - 3 y 2 - 4x = 8
y = 4x2 + x - x
^5) xy2 + yx2 = í/3
Rpta. x = 3 , y = 1
Rpta. y = -x
Rpta. x = 3,y = -2,y=2
Rpta. v- -j
Rpta. x = 0. y = 0, y = -x
b = lim (y-mx) = lim ± ( J ——±x) =
x—»±00 y x - 2 a
por lo tanto y = ± (x + a) son las asíntotas

439. Limites y Continuidad 425
©
©
©
©
©
y = x
x + a
x -a
x2(x -y)2 - a2(x2 + ^ 2) = 0
v =
y = \x + 4\ +
1*1-3
„2
10) y = -
x 4 -1 2 x 2 + 2 x 3 -8 x + 32
y =
12) y =
X2 +3
x ¿+l
x ¿ +2x-l
@ _y = 3 - 2 x -
4 x 2-x ~ :
14) f(x) =
16) f(x) =
l - x z
x 2 - 4
x'+ 2x + l
18) f(x)=.
20) f(x) =
/16jc2 + 4x- 6
' 9x2 - 6 x - 8
I 9x2
OC
1
£
i
i 16x2+ 4 x - 6
Rpta. X = a
R pta. x = ±a,y = x ± a 4 2
Rpta. X = 1, X = -1, y = ± X
Rpta. X = ±3, y = x+4, y = -x-4
Rpta. X = ±2, X = -4, y = 0
Rpta. y = - X , y = x
Rpta. x = 0, y = x + 2
5 7
Rpta. x = 1, x = 2, y = -3x + —, y = - x ~ —
15) f(x) =
x - 5
17) fix) =
19) /(* ) =
x 2 - 7 x + 10
2x + 5x - 8
x + 3
x 4 -5 x 2 + 4
x 2 + 2x - 24
21) /( * ) = .
20 + x - x
x 2 + 4 x - 1 2

440. 426 Eduardo Espinoza Ramos
f(x) =
21 + 4 x -x 2
x2+7x-8
@ /(x) = V*3 -3x2 - 9 x + 21
23) f(x) = Vx4 - x 3-9 x 2+9x
25) f(x ) = Vx3 - 5 x 2 -25x + 125
3jc3 + 3x + 1 I 2 7
/(*) = -----------— + < x 1 +4
x + x - 6
271 f (x ) =
x" —x 3 +1 I 2" 7
-------------+V* + 4
x +1
m =
-6 x +4x +5
x3 -6 x 2 -4x + 24
+“js6x¿ +5
a) CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.-
Consideremos una función real de variable real f: R—>R, diremos que la función f es
continua en el punto x = x0, si y solo si, se cumple las tres condiciones siguientes:
OBSERVACION.- Cuando una de las tres condiciones ó más no se cumple, se dice
que la función f es discontinua en el punto x = x0.
b) PROPIEDADES SOBRE CONTINUIDAD.­
© Consideremos dos funciones f y g continua en x = x0, entonces:
a) f ± g es continua en el punto x = x0
b) k f es continua en el punto x = x0, k e R
c) f.g es continua en el punto x = x0

441. Limites y Continuidad 427
^ 2) La función polinomial definida por:
/( x ) = a„xn +an_1x"~1 +...+a1x + a0, a„ * 0 , donde n es entero
positivo y a¡ &R , i = 0,1,.. .,n es continua.
© La función racional / (x) = es continua en todos los puntos x = x0
donde h(x0) * 0
( ? ) Si lim g(x) = b y si f es continua en b entonces:
x->x„
lim f(g(x)) = f(b) = / ( lim g(x))
X—>X0 X~>X0
© Si g es continua en x0 y f es continua en g(xQ), entonces la función
compuesta f o g es continua en x = x0.
a) DISCONTINUIDAD EVITABLE O REMOVTBLE.-
Diremos que la función real de variable real f: R—>R tiene una discontinuidad
evitable ó removible en un punto x = x0 sí:
i) Existe el número lim f(x)
ii) x0 í D f o bien x0 e D f se tiene que: lim f(x) * / (x0) , en este caso
x-> x0
definimos la función

442. 428 Eduardo Espinoza Ramos
©
b) DISCONTINUIDAD NO EVITABLE O IRREMOVIBLE.-
lro. Discontinuidad de primera especie.- Diremos que la función f(x) tiene
una discontinuidad de primera especie si existe los límites
laterales lim f(x)y lim f(x), finitos y diferentes.
jr-»jr0~ jr—
2do. Discontinuidad de Segunda Especie.- Diremos que la función f(x) tiene
una discontinuidad de segunda especie en el punto x0, si no existe lim f (x),
x~*xo
o si uno de los límites laterales es ± oo.
EJEMPLOS DE APLICACIÓN
Determinar los valores de x para los cuales la función f es discontinua y construir la
gráfica.
/( * ) =
2x-\ , x* 2
3 , x = 2
Solución
Analizaremos la discontinuidad en el punto x = 2
i) f(2) = 3 existe
ii) 3 lim f(x) <=> lim / (x) = lim f(x)
x-*2 x-*2~ Jr->2+
lim f(x) = lim 2x -1 = 4 -1 = 3
x-> 2 x->2~
lim f(x)~ lim 2jc—1 = 4 —1=3
jr-»2* x-t2*
como lim f (x) = lim f(x) = 3 => 3 lim f(x) = 3
x-> 2' ' x->2* x->2

443. Limites y Continuidad 429
© m =
iii) lim f(x) = /( 2 ) = 3 , por lo tanto la fruición f(x) es continua en todo x.
x —*l
x 4 -81
x2 -9
Solución
O- , • ,-r n \ X4 -8 1 (x1 + 9)(x + 3 )(x -3 ) 2 n ir,
Primeramente snnphficamos: / (x) = —
-------------------------------------------------------- =-- ---------- ---------- = x + 9 , x^-3,3
x - 9 (x + 3 )(x -3 ) I
La función f(x) tienen puntos de discontinuidad evitable en los puntos x = -3, x = 3
Ahora definiremos a la función de tal manera que sea continua en todo x.
lim x2 +9 = lim x2 +9 =18
Jt->3
f(x) = IX + ^ ^ ara X* . Por lo tanto F(x) es continua V x.
[l 8 para x = -3,3
x 3 - 2 x 2 -1 lx + 12
© f(x) = -
X J X T
Solución
x 2 -5 x + 4
Primeramente simplificamos:
~2f - l b t + 12 = <iz f e g £ . í i l = „ 1,4
' x -5 x + 4 ( x - 4 ) ( x - l)
Luego la función f(x) tiene puntos de discontinuidad evitable en los puntos x = 1, x = 4.
Ahora definiremos la función de tal manera que se continua en todo x.
lim f (x) = lim x + 3 = l+ 3 = 4 y lim f(x) = lim x + 3 = 4 + 3 = 7
x->\ x->l x->4 x->4
x + 3 para x * 1,4
F(x) = 4 para x = 1 . Por lo tanto F(x) es continua Vx.
7 para x = 4

444. 430 Eduardo Espinoza Ramos
® / ( * ) =
2x + 3
8 -3 x
x + 3
5 / X<1
si 1 < x < 3
si x > 3
Solución
Los posibles puntos de discontinuidad son 1,3 analizando la discontinuidad en x= 1 y x=3
i) f( 1) = 5, f(3) = 6 existen
ii) 3 lim f{x),3lim /( x )
x —>\ x —>3
lim f(x) = lim 2x + 3 = 2 + 3 = 5
jr->l
lim f(x )= lim 8 -3 x = 8 - 3 = 5
X - > \ * X ~ > \ *
lim f(x) = lim 8 -3 x = 8 - 9 = - l ^
jr-»3~ x - * Y
3 lim f(x) = 5
X~>\
lim f(x) = lim x + 3 = 3 + 3 = 6
x->3* x - * 3 *
Como lim f (x ) * lim f(x) => 3 lim f{x)
r jr-»3‘ x-»3
Por lo tanto la función tiene una discontinuidad de primera especie en x=3.
© /( * ) =
x - 2 1 sig(x - 1 )
x3 + 3x2 + 3jc - 9[| 1]
x 2 - 9
x 2 - 2 x - 3
9
4
3
2
si -5 < x < 0 a x*-3
si 0 < x < 5 a x*3
si x = -3
si x = 3
Solución
Los puntos donde posiblemente sean discontinuos son: x = -3, x = 0, x = 3

445. Limites y Continuidad 431
Ahora los puntos x = -3, x = 0, x = 3
Para - 5 < x < 0 , [ |^ |] = -1
s / g ( j c - l ) =
1 , jc > 1
0 , x = 1 ; entonces la función f(x) queda simplificado en la forma:
-1 , jc < —1
f(x) =
+ 27
x3 +3x2 + 3jc + 9
x 2 - 9
x 2 -2 x -3
9
4
3
2
si - 5 <jc< 0ajc* - 3
si 0<x<5a x*3
si x--3
si x -3
para x = -3 entonces ff-3) = 9/4 está definida.
x +27 9
3 lim f (x) = lim —-------
------------= —, Luego f(x) es continua en x = -3
* - - 3jc3 + 3x2 + 3x+9 4 ’ * w
Para x = 0 entonces f(0) = 3 está definida
3 lim f (x) <=> lim f (x) = lim f (x) = 3, Luego f(x) es continua en x = 0
x —>0 x —>0 x —>0+
Para x = 3 entonces f(3) = 3/2 está definida
x ¿ -9
3 lim f(x) = lim —
* ^ x 2- 2 x -3 2
= — , Luego f(x) es continua en x = 3
© /(* )■ = ] (^2~4cosx ) si x* 0
1 /8 si x = 0si x = 0
Solución

446. 432 Eduardo Espinoza Ramos
El punto donde la función puede ser discontinua es x = 0 es decir:
•) /( 0 ) = —, la función está definida
8
ii) 3 lim f(x) = limi^Jl- 4eosx)llx = lim (2 -4 c o sx)1/lx2
jr-»0 x->0
1 l-Vcosx 1-Vcosjr
lim -, „2
= lim([ 1 + (1—ycosx]1- ^ 7 ) 2' 2 =e""° 2x1 =<
jc—»0
¡ii) lim f (x) * / ( 0 ) , por lo tanto la función f(x) es discontinua en x =
x—»0
© /(*) = ■
x sen — si x * 0
x
0 si x = 0
Solución
Analizaremos la continuidad en x = 0
i) f(0) = 0 la función está definida en x = 0
ii) 3 lim f (x) = lim x sen 1 / x = 0
jr—>0 Jr—»0
iii) lim /( x ) = /(O ) = 0
jr-»0
Por lo tanto f(x) es continua en todo x.
sen z
NOTA: lim x sen 11 x = lim
-------= 0 puesto que: -1 < sen z < 1
x->0 z —>oc> 2
-1 / z < SCn 2 < 1 / z tomando límite lim-Mz< lim SCn~
0.
< lim 1 / z

447. Limites y Continuidad 433
8J H (x) = sen(-^-— - )
x +4
Solución
3x3 - 2
Sea fix) = senx, g(x) = —
------, de donde g(x) es continua V x e R, y f es continua
x 2 + 4
en todo g(x), para x e R, luego:
,3* - 2 ,
H(x) = f(g(x)) = sen(—-
------) es la función compuesta y es continua VxeR.
x~ + 4
I Determinar los valores de x para los cuales la función es discontinua y construir la
gráfica:
© f(x) =
® f(x) =
1 + x , x<-2
2 -x , -2 < x< 2
2x-l ,x> 2
sen
----,x*0
x
0 , x = 0
©
©
©
f(x) =
-\x\+ x
2
2 , x = 0
,x < 0
f(x) =
f(x) =
3x3 +2x2 -6x + \
x2 -x
2x-|x|
3 x + |x|
Rpta. Cont. en todo x * 1
Rpta. Discont. En x = -2, x = 2.
Rpta. Discont, en x = 0
Rpta. Discont. En x = 0
Rpta. Discont. En x=0, x=l
Rpta. Discont. x=0

448. 434 Eduardo Espinoza Ramos
© /( * ) =
x 3 - x 2 + 2 x - 2
x - l
4,
X *1
x = 1
Rpta. Discont. enx= l
© / w =
x 2 + 2 , x < 0
sen x
2
-------, x > 0
Rpta. Cont. En todo R
© /( * ) =
3x2 - 7 x + 2
x -2
3.
, si x*0
si x = 0
Rpta. Discont. En x=0, x=2
/(x) =
x - [ |x |] | , si [|x |] es par
| x - [ |x |] |, si t|x |] es impar
@ fix)
x2 - x - 2
|x - 4 |
si x * ± 2
— si x = ±2
4
Rpta. Discont. en ± 2
12) f(x) =
¡x2 - 9 , x < 3
x , x > 3
Rpta. Discont. en x=3
13) f(x) =
[ |l - x |] + [ |x - l |]
, si 0 < x < 2
2jx\-[\x\]
2x—5 , six >2
Rpta. Es continua en x = 2, discontinua en x = 0, x = 1
f(x) =
|x |
, X>-1,X*1
| x - l |
% ( |x 2 - l | - l ) , x < - l
Rpta. Es Discont. En x = —7 2 ,-1 ,!

449. Limites y Continuidad 435
/( x ) =
fix) =
.y3 + 8
x + 2
, 5/ x * - 2
5 , s i x = -2, en x = —1
> -x
x < 8
/( x ) =
VX - 2
3 - 2x, x > 8
s/g(x2 - 7 ),
4
x < - l
|x |< l
/ w =
x 2 -9'
— + -Jx2 - 2x + 1, x > 1
8
sig(x2 - 4x) -1 , x < -3
Vx2 + 7 + ^ 3 x 2 - 1 9 - 6
x - 3
9 3 -lO x 1 v
- ¿ 7 ^ + 7 ^ '
V x - 4
a/i 6 — x-\/5x - 4
/( x ) =
sen x - sen a
x — Ü
COS fl
-,x* a
,x = a
- 3 < x < 3
3 < x < 4
x > 4
/( x ) =
cos nix - cos «x
2 2
»I -17
/(X):
2
1 + COS /EC
X2 - 2x + 1
,x = 0
-, X *1
Rpta. Discont. en x = -2
Rpta. Discont. en x = 8
Rpta. Discont. en x = -1
Rpta. discont. en x = -3, x = 3
Rpta. Cont. en x = a
Rpta. Discont. en x = 0
Rpta. Cont. V x

450. 436 Eduardo Espinoza Ramos
II. Determinar el valor de A para que la función f sea continua.
©
fix) =
x — 4
x -2
si x * 2
si x = 2
Rpta. A = 4
©
fix) = -i
J-A x2 six <4
-6x +16 si x>4
Rpta. A =
1
©
fix) =
_ j Ax2 si x <2
si x > 2
Rpta. A= —
4
III. Determinar A y B de modo que la función f dada sea continua en todo su dominio.
©
fix) =
x + 2 A si x < -2
3 Ax + B si - 2<x<\
6x-2 B si x > 1
„ 4 „ 14
Rpta. A= — ,B= —
P 9 9
©
fix) =
-i ^ n
- 2 sen .v , x < —
2
/lse n x + fi , ~— <x< —
2 2
cosx
7T
* X * 2
Rpta. A = -1, B=1
©
fix) =
x + 2 A
3 Ax + B
6.V-2 B
si x <-2
si - 2 < x < l
si x > 1
„ . 1 „ 2
Rpta. A= — , B = —
3 3
©
fix) =
x
Ax+B,
cosx.
x e< -ti,0 >
x e [ 0 , n >
x e [ti,27i >
Rpta. A=0 , B=-l

451. Limites y Continuidad 437
fix) =
12,r2 - 3a - 9 I . 3 ,
-----—----------si x < — V x > 3
2x2 -3 x -9 2
A
B
si x ■
si x = —
Rpta. A = 1 , B = -1
©
/( * ) ■
-2 se rix , x <
----
2
A D 7 1 7 1
A + B sen x , — - < x < —
2 2
1 - sen x x>
n
Rpta. A = 1 , B = -1
©fix) =
3-V 3Z +3
A$lx-2)
AB
2
\2x-l\B
si x < 8
si x ■
si x > 8
©
Jix) =
5[| 3.T + 4 1] , x e [1,2 >
3x^A-2x . xe<23>
18 , x = 2
Rpta. A = 13 , B = 2
Ai
8 - Vx^ 2 4 7 + 2
V 7
©
fix) — •
-x +4Y-
A_
~B
■x2 - 4
■) , "—s/5 < x< -\
a/3 1 — jc — 6x - 8
B2i\l26-x-5x-&)
,x = -\
, x > -1
„ , 24,531 _ 135
Rpta. A =--------- , B =
-----
13,500 204

452. 438 Eduardo Espinoza Ramos
IV
O
©
Analizar la continuidad de la función f en el punto x = y , siendo:
fix) =
2 - s e n x - s e n 2 x
1 -sen x
3
n
' X * 2
K
, X = —
2
Analizar la continuidad de la función f dado por: f(x)
-V2 -5C ly|], - 2 < x < 2
l - * 3 . x<-2
jc + 1 , x>2
Dada la función f(x) =
ax + bx +1, x < 1
2 ax-b , \<x <2. Hallar el valor de las constantes a y b
x + 1 , x > 2
para que la función f sea continua en R.
( 4) Para que valores de a y b la función: f(x) =
intervalo <0,5>
ax2 - 2 , x < 1
1 -fc t2, l < x < 3 es continua en el
- 2-ax, x > 3
Dada la función / (x) =
A , si x < -1
, si | x | < 1. Hallar los valores de A y B para que la
x 6 - l
x 4 -1
3 + x, si x > l
función sea continua en x = ± 1.
Hallar los valores de a y b para que la función: f(x) =
en todo R.
2x + l, x < 3
ax2 + ¿\ 3 < x < 5 sea continua
x 2 +2, x > 5

453. Limites y Continuidad 439
© Halle los valores de A, B y C para que la función: / (x) =
©
- , x<-2
x
Ax~ + Bx, -2< x< 3 sea
ex + 6, x > 3
continua en todo R.
^8 ) Determinar sí la función f dada por: / (x)
-j4 + x --v/4-jc
x
_1_
3
, x * 0
es continua en x = 0
, x = 0
( 9) Hallar los valores de a y b, para que la función: f(x) =
sen 2 (x -3 )
, * < 3
x-3
ax + b , 3 <x <5 sea
7 , x > 5
continua en todo R.
Dada la función / (x) =
continua en x = 2.
Dada la función: / (x) =
¿>[|3x + 4|], l < x < 2
3x4a-2x, 2 < x < 3 . Hallar los valores de a y b para que f sea
18 , x = 2
tgnx 5 .
—-----, — < x < - 2
x + 2 2
ax + b, - 2 < x < 0 . Hallar los valores de a y b para que
2senx + 3sen2 x
x + 2x
-, x > 0
f sea continua en < — ,+00 >
2
12) Hallar los valores de a y b para que la función: f(x) =
continua en todo R.
x + 2o, x < - 2
3ax + b, -2 < x <\ sea
3x-2b, x > l

454. 440 Eduardo Espinoza Ramos
3.31 PROBLEMAS SOBRE LIMITES.
Q En una circunferencia de radio 9, sea L, (d) y L2 (d) las longitudes de dos cuerdas a las
distancias d y — (9 + d) del centro respectivamente, donde 0 < d < 9. Hallar lim ^ 2 ^
2 d ^I^(d )
Solución
Representando gráficamente los datos se tiene:
L2(d)
2 ^4 (9+rf>2
l2(d) = 2 -j8 1 ^ í
£, = 2-n/81 -d
(9 + d)1
8 1 - - ( 9 + rf)2
4
, J324-(9 + d',2 i l(l8-9-d)(l8+9 + d) 1 Í27+7 1 Í36 V I
//« -
-----, ; = ■— = — hm I ---------------------------- = — hm , --------= —_ — = ------
2^ 81 - r f 2 2 ^ (9-d)(9 + d) 2 d - * \9 + d 2 V 18 2
©
En la figura mostrada. Y
-X /
fr
P olpnlor lim r
K x ,
V- dlLUlai i//»#
---
,v~»o /Í5 A \
Solución

455. Limites y Continuidad 441
Dibujo de la figura:
QT=ÂT-AQ ...(1)
EnelAQAS: AQ = AS cotgx ...(2)
EnelA O A T: AT = tgx ...(3)
En el A OPS: OS = sec x a AS = OS - O A se tiene: AS = sec x -1
reemplazando (5) en (4) se tiene:
...(4)
...(5)
QT = tg x - (sec x - l)cotgx =
tg2 x -s e e x + l _ sec2x - s e c x _ secx(secx-1 )
tgx Igx tgx
...(6)
sec2 x (s e c x -l)2
L = lim Q L - = lint -
v->o AS *-*o
lim
sec.v-1
1 - eos x
sec" x (se c x -l) secx -1
= lim
--------------------lim -
x —>0
tg2 x
•t->0
sen x
• lim
1 - eos X
x~y° eos x. sen2 x x~*° eos x(l - eos2 x)
= lim -
1 - eos x
= lim -
1 1
(T ) En la figura, C es una circunferencia unitaria
cuyo centro es el origen de coordenadas, T
Ó COSXÍI-COSXXI + COSX) x-*0 eos x(l + eos x) 1(1 + 1) 2
Y

456. 442 Eduardo Espinoza Ramos
Por trigonometría: OE = eos ecx
nv
__
En el A OPE: cosec x = —- = OE
OP
En la figura DE = OE - OD = cosec x -1
O A = eos .r
, DE cosec x -1 1 - sen x
L = hm - = - = hm
-------------= h m-------------
v ,» O A cosx
' ■) ■) 2
...d)
...(2)
eos2 X(l-se n x )(l + senx)
= lim
---------------------------- = lin t-----------------------------
sen x eos x(l + sen x) , ,» sen x eos x(l + sen x)
' 2 ' 2
eos x _ 0^ _ o
iim
sen x(l +sen x) 2
‘ 2
( 4) Dado el sector circular de radio R y ángulo
central x (como se muestra en la figura), se
inscribe en el un triángulo equilátero de lado L,
calcular:
R -lJ3
h m
-----------
x->— 3 x - / r
3
Solución
L = lim = 0
*-+*-OA
1
Expresaremos a R como una función de x
En la figura: R = OC = OH + ~HC
En el A OHB cotg - = 2JL, OH = HB.coig -
2 HB 2
...(2)

457. Limites y Continuidad 443
/T /T
EnelA BH C: HC = — BC =— L ...(3)
2 2
Ahora
„ -rry; X a/J . rr—: AB L n L X -J3 .
R = HB cotg — + — L pero HB =
----= — entonces R = — cote — + -— L
2 2 2 2 2 2 2
• ¿iinoüD no obní; \ i *^T
, R - L j3 i ( c o t g ^ - V 3 )
hm
--------------= hm — -----------------------------------= lim — -------------------------
x 3x - n 3x-7r x ,« 3 x -n
3 3 3
X rz X X ^ 71 X
, eos— V 3sen— r eos— ctg —.sen —
. L
-------------2 = ¿ 2, , . , E 6 -----2
^ •V“>j (3x - rrjse n ^ ^ x-*y (3.r-7r)sen^
n x n x ,n jr
. sen —eos
----eos —.sen— . sen( --------) .
= lim — 6- . l
___________________6 _ 2 = £ / / w ----—2 _ -I--
2 v_>f (3x-7r)sen —.sen — ^ *-*t - 6(— - —) sen—.sen—
3 ' 6 2 3 6 2 6 2
. 1 1 1 ¿ (1 L . = / . R -L j3 _ L
" 2 6 sen2 - " 12 3 3x-7r " 3
6 3
( ? ) Hallar el límite del ángulo interno de un polígono regular de n lados sí n —
zoíLüí v rninv sbibreiqnHK» ¿JK> »2. íjjnrbup fionil el 3b olr^iTíg'-* omigó-sí ¡3 (iv
Solución
reemplazando (2) y (3) en (1) se tiene:

458. 444 Eduardo Espinoza Ramos
La suma de los ángulos internos de un polígono regular de n lados es: Sí = re (n-2)
Como nos piden el límite de un ángulo interno cuando n — k>c, es decir i = —
ti
_ . n(ti-2) n(tt-2)
Osea i =
---------- entonces lim i = lim ----------= n
2 n —> t» n —>oo fj
( j p Hallar el límite, cuando n-* » , del perímetro de la línea quebrada , inscrita
en la espiral logarítmica r = e ~v> si los vértices de esta quebrada tienen, respectivamente,
los ángulos polares: <p„ = O , q>x = y = ~ -
Solución
Teniendo en cuenta la magnitud del ejercicio daremos algunas reflexiones iniciales.
i) En el espiral r = e ® , r es un radio vector, V valor de cp.
ii) La quebrada inscrita en la espiral significa que a cada vértice le corresponde un
vector.
iii) Cada segmento de la quebrada está obviamente entre dos vértices consecutivos.
¡v) Cada segmento es el lado de un triángulo cuyos otros dos lados son los radios
vectores correspondientes.
Si C es el segmento de la línea quebrada que es el lado de un triángulo se aplica la
fórmula. c 2 = a2 + b2 - 2abeos O
v) A cada vértice M k le corresponde un radio vector
t\ — e~^k donde cpk = — ...(1)
2
vi) El k-ésimo segmento de la linea quebrada Sk está comprendida entre los radios
vectores rk y rk , los cuales forman el k-ésimo ángulo (cpk ~(pk \ )■

459. Limites y Continuidad 445
vii) Calculando el k-ésimo segmento Sk :
Sk -Vrk-1 +rk ~ -rk~\rk cos(<Pk ~<Pk-1) -" í2)
Reemplazando (1) en (2) y simplificando exponentes:
5* = ^ k\ e n +e-k* -2e~kn.eKÍ1 c o s ^ = ^ lrc(ert +1) ...(3)
viii) Calculando el perímetro de la línea quebrada finita se tiene:
n n ti
P„ =P„(M0M lM 2..Mn) = ' £ s k = £ J L 1¿r - ( 4 )
k=i *=i V e
P " = V ß + 1 ( /2 + 2* /2 + 3tt/2 " + nir/2 ^
*=1
Ve* +1 n _ J
______1 _ ___1___
" + + e1"12 g(n-i)»/2*
Para la suma de una progresión geométrica es dado por: 5 =
------------
____ 1 „ ____ ____
V 7 7 T e^'2 +1 J - g '',T/~ -.„g/2 _ ~JeK + 1 .. _ „„n
L 1 -I _ / -) t - /1 . Je e '
71/2 ,
____1 _ g’172 e'r /2 - l e*/ 2 - l
e*
e 1
-------
„*/2
ix) Calculando el perímetro de la línea llevando el límite para n -* » , se tiene:
n ;• r> ;• ^ë^+ ï n -ml2\ Ve* +1 /1 -nnll^ e* +1 , n
P = ¡im P„ = hm—
----(1 -e ) = — ----hm( 1-e ) = — — ----(1-0)
«->«. n - > a ,e ' t /2_ j e"/2 _1 n-»oc e -1
enl1 -1

460. 446 Eduardo Espinoza Ramos
331 PROBLEMAS PROPUESTOS.-
©
©
©
Hallar el límite de las áreas de los cuadrados construidos sobre las ordenadas de la curva
y = 21”' como base, donde x = 1,2,3, . ...,n, con la condición de que n—>oc
Rpta. 4
Hallar el límite de la suma de las longitudes de las ordenadas de la curva y = e~x cosrar
e
trazadas en los puntos x = 0 , 1 , 2 , ,...,n , sin - > o o Rpta.
e + \
Sobre los segmentos obtenidos al dividir el cateto a de un triángulo rectángulo en n
partes iguales, se han construido rectángulos inscritos (ver figura). Determinar el límite
del área de la figura escalonada así construida, si n ->oo
z ]
-A
Rpta. S =
ab
©
©
Hallar el límite de los perímetros de los polígonos regulares de n lados inscritos en una
circunferencia de radio R y de los circunscritos a su alrededor, sí n-»oo Rpta. L=2Rtt
divide elEl punto C( divide al segmento AB=L en dos partes iguales, el punto C 2
segmento AC¡ en dos partes también iguales; el punto C3 divide a su vez, el segmento
C2 C, en dos partes iguales; él C4 hace lo propio con el segmento C2C3 y así
sucesivamente. Determinar la posición límite del punto C„ , cuando n->ao Rpta. j
© Consideremos un triángulo equilátero de lado a sus tres alturas sirven para engendrar un
nuevo triángulo equilátero y así sucesivamente n veces. Hallar el límite de la suma de las
áreas de todos los triángulos cuando n-*© Rpta. a243

461. Limites y Continuidad 447
( ? ) Un círculo de radio R lleva inscrito un cuadrado; éste, lleva inscrito un círculo el cual, a
su vez, tiene inscrito un cuadrado y así sucesivamente n veces. Hallar el límite de la suma
de las áreas de todos los círculos y el de la suma de las áreas de todos los círculos y el de
la suma de las áreas de todos los cuadrados cuando n—*». Rpta. 2nR2
( s ) El segmento AB cuya longitud es a. está dividido en partes iguales por n puntos, desde
los cuales se han trazado rayos en ángulos — (ver figura). Hallar el límite de la longitud
2»
de dicha línea quebrada cuando n crece infinitamente. Rpta. a
A
------------------------------B
( ? ) El segmento AB cuya longitud es a está dividido en n partes iguales. Los pequeños
segmentos resultantes sirven de cuerdas subtienden arcos de circunferencia, cada uno de
los cuales es igual a — radian (ver figura). Hallar el límite de la longitud de la línea
n
resultante cuando n—kc ¿Cómo cambiaría el resultado si las cuerdas subtendiesen una
semicircunferencia? Rpta. a, -y-
(ío ) En los puntos extremos y medios del arco AB de una circunferencia se han trazado las
tangentes y los puntos A y B se han unido por una cuerda. Demostrar que la razón de las
áreas de dos triángulos resultantes tienden a 4, disminuyendo infinitamente el arco AB.
Sea C\ un círculo de radio 7 y Tx el triángulo equilátero inscrito en C ,;C 2 el círculo
inscrito en Tx y T2 el triángulo inscrito en C2 y así sucesivamente se construye T„ el
triángulo equilátero inscrito en C„
Si A„ es la suma de las áreas de los triángulos : Tl,T2,...T„ y B„ es la suma de las
áreas de los círculos C\, C2 . Hallar lim An y lim Bn.
n—>oo w—»oo
( y ) La gráfica de f(x) = V 4 - x 2 es una semicircunferencia de radio 2 con centro en el
origen. Sea Q un punto fijo de la semicircunferencia con Q * (±2,0).

462. 448 Eduardo Espinoza Ramos
Sea p un punto que se mueve hacia Q a lo largo de la curva. La secante que pase por P y
0 interceptada a la recta vertical x = 4 en el punto E.
Hallar la posición límite del punto E cuando P se aproxima a Q.
Demostrar que esta posición límite está en la tangente a la semicircunferencia en Q.
13) Una caja cerrada con base cuadrada va ha tener un volumen de 2000 pulg\ El material
para las partes superior e inferior de la caja costara S 3 por pulgada cuadrada y el material
por los lados costara S 1.50 por pulgada cuadrada y el material para los lados costara $
1.50 por pulgada cuadrada. Sea x pulgadas la longitud de un lado de la base cuadrada y
C(x) dólares el costo total del material.
a) Escribir una ecuación que defina C(x) y establezca el dominio de la función C.
b) Calcular él lim C(x) y lim C(x) y explicar estos resultados en términos del
X—>0+ Jr-í+oo
problema.
c) Trazar la gráfica de C.
14) Un campo rectangular que tiene una rea de 2,700 m2 va a ser limitado por una cerca,
además, otra cerca dividirá el terreno por la mitad. El costo de la cerca que dividirá el
terreno es 5 4 por metro y el costo de los lados es de $ 6 por metro. Sea x metros de
longitud de la cerca divisora y C(x), el costo de la cerca.
a) Escriba la ecuación que definida C(x) y establezca el dominio de la función C.
b) Encuentre lim C(x) y lim C(x) y explique sus resultados en termino del
•r->0+
problema.
c) Trazar la gráfica de C.
15j Un tanque abierto de forma rectangular tendrá una base cuadrada y su capacidad será de
125 metros cúbicos. El costo por metro cuadrado para el fondo será de $ 8 y para los
lados será de $ 4. Sea x m la longitud de un lado de la base cuadrada y C(x), el costo del
material.
a) Establezca una ecuación que defina C(x) y determine el dominio de C.
b) Halle lim C(.v) y lim C(x) y explique sus resultados en términos del problema.
jr-MT x->+ct-
c) Trace la gráfica de C.

463. Derivada 449
CAPITULO IV
4 Í A r>FRIVATÍA*»• t-JtUfVt » jrVJL./Tt»
En este capítulo realizaremos el estudio de la derivada de una función, que es un
instrumento matemático muy potente, que sirve para el estudio del cálculo diferencial e
integral.
Las derivadas aparecieron aunque de una forma un tanto obscuras en el siglo XVIII, como
consecuencia del estudio de las velocidades, hechos por el matemático y físico inglés
NEWTON y el estudio sobre tangentes de curvas hecho por el matemático y filósofo
alemán LEIBNIZ.
En este capítulo haremos el estudio de las derivadas en las diversas funciones, de tal
manera que el siguiente capítulo trataremos sus aplicaciones.
Consideremos la función real de variable real y = f(x), si x e D f entonces la derivada de
la función f con respecto a x definiremos por la expresión:
4.1. DEFINICION.-
siempre que dicho límite exista.
El proceso de encontrar la derivada se llama “diferenciación”.
Por definición de derivada se tiene: Si x e D f , f'(x) = lim
1 Ax—>0
f(x + Ax)-f(x)
Ax

464. 450 Eduardo Espinoza Ramos
_ J
_____1_ _____
r<t \ V a / x + A * 4x -Jx-ylx + Ax 1 - 1
f (x) = lim —
----------- — = lim . =— = hm - = - = = —=— = = - ■ = -------------¡=
Ar-.o Ar Ax-»oVxVx+AxAx -Jx^Jx + AxHx +~Jx + Ax) 2x-Jx
Ejemplo.- Si f(x) = x 2, calcular / '( x )
Solución
f(x + Ax)~ f'(x) (x + A t)2 - x 1 x 2 + 2x.At + A t2 - x 2
f (x) = hm ------------------------------------------— — = h m
---;-----------= h m------
A * - > 0 A t A x -» 0 A r A r - > 0 A t
2x.Ax + Ax'
= lim
-----------= /;»;(2x + Ax) = 2x + 0 = 2x / (x) = 2x
Av—>0 Ax Ají-»
Ejemplo.- Si f(x) = eos x, calcular f'(x)
Solución
. . .. f(x + A x )~ f(x) cos(x + A x)-cosx
/ (x) = hm
---------------------= h m-------------------------
a* ->o Ax a* -»o Ax
cosx.cosA x-senx.senA x-cosx r senAx (1-cosA x),
= lim--------------------------------------------= hm [-se n x .
------------cosx---------------J
A.r-*0 Ax Ax—*0 Ax Ax
.. senAx 1-cosA x .14 /A, n
= -s e n x h m
-----------cosx h m -------------= -senx.(l)-cosx.(0)=-senx-0= -senx
Ajt >0 Ax Ax—>0 Ax
f'(x) = — senx
Ejemplo.- Si J'(x)=ex, calcular f'(x)
Solución
k J(x + Ax)-f(x) ex+Ax- e x exe*x - e x
f (x) = hm —
--------= hm------------------------= hm----------------= hm e ( ---------)
A r-» 0 A t Av->0 A t A r-> 0 A t A r ->0 Ax
e** -1
= ex. lim
----------= ex.ln e = e* / ' (x) = es
&«■->() Ax

465. Derivada 451
OBSERVACION:
Si la derivada de una función f(x) se desea calcular en un punto x = x0, simplemente se
reemplaza x por x0 en la definición es decir:
Ejemplo.- Calcular / ’(—1) sí f(x) = 8—2x
Solución
Por definición se tiene: f '( ~ 1) = lim ^ *+ ^ -
*->o h
/' (-1) = lim
h—>0
(8 - 2(—1 + A)3) - (8 - 2(—l)3)
= Jim
h—>0
\-2h + 6A + 2 - 8 - 2
= lim~2h2 + 6/i - 6 = -6
h—> 0
Consideremos una curva C: y = f(x) y un punto fijo P0(x0,y0) de dicha curva, sea Ls
la recta secante que pasa por P0(x0,v 0) y por el punto M(x, y) eC.
La pendiente de la recta secante que pasa por los puntos P0 y M es:

466. 452 Eduardo Espinoza Ramos
mLs = tg a =
f( x ) - f( x 0) = y - y 0 x _^x
Si el punto M(x,y) se aproxima al punto P0 (x0, y0) resulta que la variable x se aproxima
a x0 de tal manera que Ax = x - x 0 se aproxima a cero, con lo cual se está haciendo uso
del concepto de límite.
Por lo tanto, cuando el punto M(x,y) se aproxima al punto P0 (x(), y0 ) la recta secante Ls
se ha transformado en la recta tangente Lr, lo cual indica que el ángulo a tiende a
Luego la derivada de la función f en él P0 (x0, y0 ) es / ' (x0) y representa la pendiente de
la recta tangente en el punto P0 (x0, y0)
NOTACION
Si f es una función que depende de los valores de la variable independiente x entonces a
la derivada de f denotaremos por:
En la notación — , no debe considerarse como una fracción, aunque lo parezca, es un
dx
símbolo para la derivada.
coincidir con el ángulo 0 y tg a =
f(x 0 + A x ) - /( x n)
Ax
tiende a convertirse en:
dy
La notación que más se usa es — la cual se lee: la derivada de “y” con respecto a “x”.
dx

467. Derivada 453
OBSERVACIÓN:
S ix = x„+A x => Ax = h entonces h = x - x 0 y cuando x -» x() se tiene h —> 0,
lo que es lo mismo cuando Ax —> 0, h —> 0: por lo tanto la definición de derivada
r-, * ;• f(x + Ax)-f(x) , , (.
f (x) = hm
-:— 1 , daremos en la forma:
Ar->0 Ax
■m d00< fex+ i 6 ü f
4 3 . DEFINICION,-
La función real de variable real y = f(x) es diferenciable en un punto x = x0 si existe su
derivada en el punto x = x0. es decir si / '( x 0) exis'te.
4.4. DEFINICION«-
Diremos que la función f es diferenciable en un intervalo [a, b] si la función f es
diferenciable en cada uno de los puntos del intervalo [a, b]
x 3,2 cos(—);x > 0
x es
0, x = 0
Ejemplo.- Demostrar que la función f definida por: /( x ) =
diferenciable en el punto x = 0
Solución
Para que f sea diferenciable en x = 0, debe existir / '( 0 ) , en efecto
m =un m iM zm =¡im m - m ¡¡m Ü Z Ü V = rh cos(1 , . 0
a-> o h h~>o h h->o h *->o h
Luego 3 f(0 ) = 0 => f(x) es diferenciable en x = 0
Ejemplo.- Demostrar que la función f definida p o r/(x ) = x 2' 3, x e R, no es
diferenciable en x = 0

468. 454 Eduardo Espinoza Ramos
4,5
Solución
Para que f no sea diferenciable en x = 0, debemos probar que 3 / '( O ) , es decir
/'(O ) = lim
h~> 0
no+h) - m =l¡mm - m _ h
2/3
lim = lim
1
h h->0 II h-*0 h h ->0 fil/3
por lo tanto como /'(O) no existe => f no es diferenciable en x = 0
Consideremos una función real de variable real, y = f(x), entonces:
i) La derivada de la función f en el punto x = x0 , por la derecha representaremos por
/ ' (*o ) y está definido por:
lim
o equivalente a la forma
si el límite existe.
> X - -V(,
ii) La derivada de la función f en el punto x = x0, por la izquierda representaremos por
f'(xo ) y está definido por:
im , w «>o equivalente a la forma:
si el límite existe.
Ejemplo.- Hallar /'(x o ) Y / (*o ) en x = xo s* f(x)
2x~ —3,six <2
8j c—11 , six > 2

469. Derivada 455
Solución
/•(2-)« um m ± a t m = lim
h-> o+ h h-> o+ h
16 + 8 A -1 1 -8 + 3 8 h
= lim
------------------------ hm —
/>-> o+ /¡ *->o+ A
f'(2~)= lim lim (2(2 + * )z - 3 ) - ( 8 - 3 )
A-»0" A h—>0~ h
= lim
h—>0~
\ + %h + 2h - 3 - 8 + 3
h
M + 2h2
= lim
A->0~ h
lim 8+ 2/? = 8
h—>0
OBSERVACIÓN.- Diremos que la derivada de la función f(x) existe en el punto
x = x0, si sus derivadas laterales existen y son iguales es decir:
i
yyyyyyyyyyyyyyy¿yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.
Las propiedades de las funciones más útil en el cálculo son: la continuidad y la
derivabilidad; como estos conceptos son definidos mediante un límite, entonces nos
haremos las siguientes preguntas
- ¿Si una función es continua, es derivable en ese punto?
- ¿Si una función es derivable ha de ser también continua o quizás las dos propiedades
son equivalentes?
Para dar respuesta a estas preguntas daremos un ejemplo;
Sea f: R —> R / f(x) = |x| es continua en R, en particular en x = 0, ahora veremos si es
derivable en x = 0, es decir
/.(O) = I m ZElíLZffi = ¡m m -m = Miz» = Un !*! -f "> 10
h->0 h o h A-»0 h h-}0 h l- l ,/ ¡ < 0

470. 456 Eduardo Espinoza Ramos
entonces / '( 0 +) * / ' (0 ) => 2 f(0 ), esto quiere decir que la función f no es
derivable en x = 0 por lo tanto “Si f es continua en x - x0 =£> f sea diferenciable en:
x = x0 . Si f es derivable en x = x(j => f es continua en: x = x0
a) TEOREMA
Sea f una función y x0 e D¡ , si f es diferenciable en x0 entonces f es continúa en Xq
Demostración
Por hipótesis se tiene que f es diferenciable en x0 , esto quiere decir que3 f'(x0) , y
lim f(x 0 +h)~/ (x0) = lim /(* o + ¿ 0 f(xo) h
h-tO A-> 0 h
. S m k - r M0 = »
h-tO h A-»0
entonces: lim (f(x0 + h) - f(x 0)) = 0 => lim f (x0 +h)~ lim f (x0) = 0
*->o A-»0 h-> o
lim(f(x0 +h)~ f(x0)) = 0 => lim f(x0+h) = f(x0)
*->0 A-»0
f es continua en x0
COMENTARIO:
„ L .... f(x0+h)-f(x0) .
Sabemos que si existe lim
----------------------- entonces existe una recta tangente no
a~»o h
vertical bien definida y es única en el punto (x0, / (jc0 )):
La no existencia de la recta tangente no vertical
cuando las derivadas laterales existen pero no
son iguales.

471. Derivada 457
Tal es el caso del valor absoluto f(x) = |x| en
donde sus derivadas laterales en x0 = 0 son
diferentes / ' ( 0+) * /'(0 ~ ) .También no existe
recta tangente no vertical cuando uno o ambas
derivadas laterales no existen, es +00 ó -00
Como la recta tangente no vertical es única
entonces en la gráfica de las funciones se
presentan esquinas como se muestra en la
figura.
4.7 ALGUNAS REGLAS DE DERIVACION.-
. dy
a) La derivada de una constante es cero.- Sí y = f(x) = c => — = 0
dx
Demostración
dx
b) La derivada de la función identidad es 1.- Sí y = f(x) = x => — = 1
dx
Demostración
dv rw x i- f(x + h)-f(x) .. x + h - x h , dy
= f( x ) = lim —
------- y = lim -----------= lim — = hm 1 = 1 .•. —
dx *->o h *-><* h h-*o h *->0 dx
= 1
c) La derivada de la función potencia simple.-
Si y = f(x)=x"
ax
Demostración
~ = nxn 1, n es cualquier número real.
, l i m {x + h)' - x' .para n <= Z*
dx h—>o h a->o h

472. 458 Eduardo Espinoza Ramos
, .r(x + h)nX+{x + h)n+2x (x + fi)xn 2 +x" 1,
= lim(x + h-x)[-
----------------------------+ ...+ --------- ---------------]
h-> o h h
= lim[(x + h)n +(x + h)n+ x + ...+(x + h)xn +x" ]
h-> o
_ i ^"“1 , . „n-l . „«-1 _ „„n-1 . dy _ „ ”
= x + x + ...+ X + x = n x — - = nx
dx
d) La derivada del producto de una función por el escalar
Sí y = k frx) => ^ = kf'(x)
dx
Demostración
± . l i „ W f r + W - W . t Um / ( * + « ) - / ( * ) s t f w . dy_
dx *->o h *-»o h dx
e) La derivada de la suma de dos funciones
Si y = f(x) + g(x) => % = f{x)+ g\x)
dx
Demostración
dy = Um ( / + g)(x + h ) - ( f + g)(x) = Um f(x + h) + g(x + h)~( /(x)- g(x)
dx h->o h h-*o h
= ^ / ( * + » )- /< £ ). + ,m f) . j .w + ,
A->0 /l A->0 h
^ = f'(x) + g'(x)
dx
f) La derivada del producto de dos funciones.-
Sí y = f(x).g(x) => !j- = f(x)g'(x) + f'(x)g(x)
dx
i
kf'ix)

473. Derivada 459
Es decir: La derivada del producto de dos funciones es igual al producto de la
primera función por la derivada de la segunda más el producto de la derivada de la
primera función por la segunda función.
Demostración
Sea y = F(x) = f(x).g(x), entonces:
dy _ ¡im F(x + h)-F(x) = ^ f(x + h)g(x + h)~ f(x)g(x)
dx h-> o h *-»o h
ahora sumamos y restamos f(x + h) g(x) en el numerador
dy_ = ¡jm /(x + h)g(x + h)~ f(x + h)g(x) - f(x)g(x) + f(x + h)g(x)
dx h—>0 h
ÉLmUm / ( » ) , ) *(» + * )-* (* > +g(x) / ( * + * ) - /( * >
*->o ¿
= t e / ( * + * ) t e + t e g fc r).te
A-»0 A->0 ^ h->0 h->0 h
= / W g 'W + g(x)f (x) : . ^ = f(x).g' (x) + g(x).f' (x)
dx
g. La derivación del cociente de dos funciones.-
Si V = / M ^ É L = ew a - » ^ g(x)<0
g W dx [gW ]
Es decir: La derivada del cociente de dos funciones es igual al producto del
denominador por la derivada del numerador menos el producto del numerador por la
derivada del denominador dividido por el cuadrado del denominador.
Demostración
f (-^0
Sea y = F(x) =
------, entonces
g(x)

474. 460 Eduardo Espinoza Ramos
f(x + h) f(x)
dy _ ¡im F(x + h)-F{x) _ ^ g(x + h) g(x) _ ^ g(x)f(x + h)~ f(x)g(x + h)
dx h~>o h h->o h h->o hg(x)g(x+h)
Ahora sumando y restando f(x) g(x) en el numerador se tiene:
dy _ lim g(x)f(x + h)~ f (x)g(x) - f(x)g(x + h) + f{x)g{x)
dx h-*o hg(x)g(x + h)
g(x)[f{x + h)~ f(x)] f(x)[g(x + h)~ g(x)]
= Um
_________h ___________________h ... g(x)f'(x)- f(x).g'(x)
a-.o g(x)g(x + h) g(x).g(x + 0)
g(x).f'(x)- f(x)g'(x) . dy g(x).f(x)-f(x)g(x)
[g(x)f " dx [g W ]2
RESUMIENDO:
® l ! ! lF(x)=c ^Jy - 0
dx
®
y=
F(x)=x =>
dx
®
y =k F(x) ^ = k r<x\
d\
® *= F{x)**xn
: SXr
--m” 1
y ;
F (\)+ O x)
ísi-3
ft
®
i • s
F(\)G(x.>
•
£ í a -
F f.v io f i ' ,r i .
® ■ J
r • •
'
f e
¡ l i l i
dy _ G\x)f~’(x)- F{x)<j{x) |
G(x} d\ < C r ( ^ : 1

475. Derivada 461
Ejemplo.- Hallar la derivada / '( * ) si la función f(x) es:
0 f(:x)= x1 +x5 + ^ j + 4x
Solución
f(x) =x7 + x 5 + -~ + 4x = x1 + jc5 +x~3 +4jc
x
f'(x) = lx 6 + 5x4 -3x~4 + 4 = 7x6 + 5x4 — ~r + 4 .\ f'(x) = lx 6 +5x4 - ^ - + 4
0 / ( x) = (x5 + 2x)(x3 +x2 +x + 7)
Solución
f ( x ) = (x5 +2x)’.(xi +x2 + x + 7) + (jc5 + 2 jc).(x 3 +x2 + x + 7)'
= (5jc4 + 2 ) . ( x 3 +x2 + x + 1) + (x* + 2jc).(3x2 + 2x + l)
= 8 x 7 +9jc<* + 6 x 5 + 41* 4 + 2jc3 +10x2 +4x + \4
x 3 + 2 x 2 + 7
© /(* )= ■
x -t- x + x
Solución
4 3
JC + JC + JC
/•>/• \ +Jf3 +x).(jc3 + 2 x 2 + 7 )'—(jc3 2jc2 + 7).(.x4 + x3 +jf)'
J \ X ) = 2 - -
(x +x +x)
( * 4 + x 3 + x ) .( 3 x 2 + 4 x ) - ( x 3 + 2 x 2 + 7 ) . ( 4 x 3 + 3 x 2 + l )
(x4 + x 3 -t-x)2
x6 +4x +2x4 + 5 x 3 + I 9 x 2 + 7
(jc4 + x 3 + x ) 2

476. 462 Eduardo Espinoza Ramos
El criterio de la regla de la cadena para la derivada de las funciones compuestas, es la
herramienta más importante del cálculo diferencial.
Antes de dar una demostración formal, le daremos un tratamiento intuitivo y para esto,
consideremos dos funciones diferenciales en general:
y = f(u) "y es función de u"
h = g(x) u es función de x"
entonces a “y” se puede expresar en función de x, es decir y = f(u) = f(g(x)) = (f o g)(x)
esto viene hacer la composición de funciones, ahora para calcular su derivada se hace de
la forma siguiente:
y = f(u)
u = g(x)
du , entonces - j - = -f-.-^- = f'(u)g'(x) = f'(g(x)).g'{x)
du dx du dx
— = g (x)
dx
ÉL~:
dx
dy
Sí y = (f o g)(x) => — = / ' (g(x)).g' (x). Ilustraremos mediante un diagrama
dx
dy
dx
dy
du
du
dx
NOTA.- Cuando se trata de tres funciones f, g, h, se tiene:
(fogoh)(x) = f'(g(fi(x))g' (h(x))h' (x)

477. Derivada 463
(fogoh)(x)
9(h(x))- - tX
dy n
Ejemplo.- Calcular mediante la regla de la cadena — ' donde: y = (f(x))
dx
Solución
Sea y = u", u = f(x) => — = nun^ , — = f'(x)
du dx
~ = = nUn X ~ = n(f(x))n-1 f'(x) entonces ^ = n(f(x))n~1 f \ x )
dx du dx dx dx
OBSERVACIÓN.- Sea f una función derivable en x0 , si y - F(x) = (f(x))n , n e Q
entonces F es derivable en xQ y es dado por:
'I * * (/{ * # » * ' / ’(*#>^x w x-x x^ ^í-x-x-x* »
... : : . . ::
Ejemplo.- Hallar — sí y = [a + bx ]”
dx a-bxn
Solución
Sea f ( x ) - a + bx" =: f ’(x) - nbx" + l(a+bxn)
a-bxn ( a-bx")1
> /’(*) =
labnx
n-1
(,a-bxn)2
ym(sa + tZl r =
a-bx dx dx (a-bx ) a-bx
Ejemplo.- Sí f ( x 2 +1) = V*2 +1 + $Jl6(x2 +1) y f{x 2 - 2 ) = g(x2 +1). Calcular g'(5)
Solución
Sí z = Vx2 +1 entonces z 2 = x 2 + 1, de donde /( z ) = z + a/i ó z2

478. 464 Eduardo Espinoza Ramos
Luego f(z) = z + kj\6.1fz entonces f ( x 2 -2) =x2 - 2 + a/Í6.a/x2 - 2
ahorasí u = x2+1 => x1 = u -1 y g(u) = u-3+^¡\6.\lu-3
de donde g'(«) = l +
$/Í6
3^/(m- 3 ) 2
g'(5)=-
4,9 D ERÍV ACION D I LA
a) Función Exponencial de Base “a” Positiva.-
Sea a e /?+ y a * 1, a la función exponencial de base “a” definiremos en la forma:
donde su dominio es <-oo,+oo> y su rango es <0,+oo>, si a > 1, entonces la función
y = ax es creciente, si 0<a<l entonces la función y = ax es decreciente.
OBSERVACIÓN.- Del gráfico se observa que:
Q ) lim ex = +oo
jc"+oo
©
lim ex = O
x"-00
®
lim e~x = O
A'"-t-OC>
( 4 ) lim
r—>—00

479. Derivada 465
axay = ax*y
-n*-y■ = a
b) Propiedades de la Función Exponencial: Sí a, b > 0, entonces:
© «°=1 ©
© (ax)y =axy ©
© (atí)x =axbx
Ejemplo.- Trazar la gráfica de las siguientes funciones:
© y = 2x © y = (¿ r
Solución
1 1
Como a = 2 > 1 => y = 2 es creciente Como a = — < 1 => y = (—) es decreciente
De la definición de la función exponencial y = f{x) = ax , a > 0, a * 1 se deduce
que dicha función es inyectiva y por lo tanto tiene inversa.
Luego a la función inversa de y = /( * ) = ax le llamaremos función logarítmica de
base “a” y la definiremos en la forma:
d) Definición.- A la función f: <0,+oo> ->R, definida por:

480. 466 Eduardo Espinoza Ramos
Le llamaremos función logarítmica (o función logaritmo) de base “a”, donde
a > 0, a * 1 se sabe que logfl x es un número único b, tal que ab = x
Es decir: I Ü
NOTA: Logax = b se lee “el logaritmo en base a del número x e sb ”
OBSERVACIÓN.- La función logarítmica de base “a” tiene por regla de
correspondencia la ecuación: ,f(x) = logfl x de donde:
i) Si a > 1 => f(x) = logfl jc es creciente
ii) Si 0 < a < 1 => f(x) = log„ x es decreciente.
e) Propiedades de la Función Logarítmica.
© loga l = 0
© logfl a = 1
( ? ) log„ A" =nloga A
© loga¿= 1
logf, a
Las demostraciones de estas propiedades se deja para el lector
© log,, (AB) = log,, A + log,, B
© logfl ^ = log,, A-logfl B
( ó ) log a "sÍA ——log a A
© log
log* a

481. Derivada 467
OBSERVACIÓN.- Sí
f) Definición.-
La función cuya base es e, se llama función logaritmo natural o neperiano y
denotaremos por:
- tag, x «X»x, donde ~ y Rf s> R
g) Definición.- La función logaritmo cuya base es 10, se llama función logaritmo
OBSERVACIÓN.- Casos particulares de las funciones exponenciales y logarítmicas son:
OBSERVACIÓN.- Algunos límites que se dan en la definición de las derivadas:
decimal o vulgar y es denotado por:
Ln e' = x Q eln r = x
( ^ lim (1 + — )x =e
.v-»+ot X
Q lim( l+ - ) x =ea
x ->oo X
7 ) lim
------- = Lna, a > 0, a * 1
v->0 x

482. 468 Eduardo Espinoza Ramos
a) Demostrar que la derivada de la función exponencial: / (x) = ex es / ' (x) = e'
Demostración
Por definición de la derivada se tiene:
r,, x f(x + h)-f(x) ex+h- e x eh -1
f (x) = Lim
--------------------= Lim--------------= e Lim-------- .•.(!)
*--» n /; h-*() h h" o /)
t'A -1
Por la observación 4 se tiene: lim
--------= Lne = 1 ...(2)
A"0 h
Ahora reemplazando 2 en 1 tenemos: / ' (x) =e* (1) de donde / (x) = e'v
b) Demostrar que la derivada de la función exponencial
F(x) = ax, a > 0. a * 1 es F'(x) = ax.Lna
Demostración
Por definición de derivada se tiene:
n„ , r . F(x + h)-F(x) r. ax+h- a x X r . a " - 1
/* (x) = Lim
------------------=Lim-------------= a Lirti-------- ...(1)
/i-> 0 // //-+0 /y A->0 //
/i
_|
Por la observación 4 se tiene: lim---------= Lna ...(2)
*-»o
Ahora reemplazado 2 en 1 tenemos: F '(x) - a ' .Lna
c) Demostrar que la derivada de la función logarítmica: F(x) = Ln x es F‘(x) = —
x
Demostración
Por definición de derivada se tiene:

483. Derivada 469
F | , ) = Im = ¡ M n -H -U a _ /lm li n ( , A ( .. tm LnfX + fty , ,
A->0 /) A -» 0 / j A - » 0 h X * - » 0 X
d) Demostrar que la derivada de la fimción logarítmica: F(x) = log„ x e
1
/r '(x) =
xLna
x > 0
Demostración
Por ser similar al anterior inciso, se deja como ejercicio.
, /
OBSERVACIÓN.- Si y=Ln u donde u=f(x), entonces aplicando la regla de la cadena
y = Lnu
u= f(x)
dy _ 1
du u
~~ = / ' (x)
dx
dy = dy d ^ = \ f ,. _ /'( x )
dx du dx u f(x)
*■ X
Por lo tanto: Sí> - ¿ f l( /< x » =9.
OBSERVACIÓN.- Si _y = e" y u = ffa), entonces:
y — e
u = f(x)
du
£ - / * ( x )
dx
dy = _ e/ (x) ,
rfx du dx
Por lo tanto Si V ™ •= f> f< '>

484. 470 Eduardo Espinoza Ramos
RESUMIENDO:
© Sí y = ex => — = ex © S íy = ax =í> — = ax Lna
W dx W dx
© Sí y= L nx= > - ^ = - © Sí y = loga x => & = — — x > 0
dx x dx xlna
© Sí y = ef(x) = > ^ W {V W © Sí y = Lnfflx» => & =
dx ^ dx f(x)
Ejemplos.- Hallar — si:
dx
©
Solución
y = ex' x
y= exKx => *y=exl+x— (x2 +x) = (2x + l)ex
dx dx
© y = 5 ^ xl
Solución
v = 5 ' ' — = 5A — (xi +x1)Ln5 => — = (3x2-2x)Ln5¿x x
dx dx dx
®
T , / 2 t i rf>’ Dx(a + x+ 4x2 +2ax)
y = Ln[a+x + yx +2ax] => — =
--------------.. . ,, ■, —
^ a + x + y r2 ' —
a + x+ yx +2ax
Solución
, jt + a
1+ -
</>• _ -y/x2 + 2crx ______a + x+4x2 +2ax_____ t _ 1
a+x + 4x22ax (a + x+4x2 +2ax)-Jx2 + 2 ax V-r2 + 2ax

485. Derivada 471
4.11 DERIVACION PE L A S FUNCIONES TRIGONOMETRÍCAS,-
Para definir la derivada de las fiinciones trigonométricas daremos la definición de dichas
funciones:
a) La Función Seno.- Si x e y son números reales, entonces a la función seno
definiremos por:
ít {{*•> - sen x}
ó también mediante la regla f(x)=sen x donde D f = R y Rf [—1,1], cuya gráfica es
b) La función Coseno.- Si x e y son números reales, entonces a la función coseno
definiremos por:
ó también mediante la regla ffx) = eos x , donde D r = R y Rf =[-1,1], cuya
gráfica es:
t Y
-1

486. 472 Eduardo Espinoza Ramos
c) La Función Tangente.- Si x e y son números reales, entonces a la función
tangente definiremos por:
f « {(x,y) e f U Í U y - Igx}
ó también mediante la regla f(x) = tg x , donde: Df = {x e R /x * ~ + knk e z) y
R, =R cuya gráfica es:
d) La Función Cotangente.- Si x e y son números reales, entonces a la función
cotangente definiremos por:
ó también mediante la regla f(x) = ctg x , donde Dr ={x e R/x *kn,k e r} y
Rr = R, cuya gráfica es:

487. Derivada 473
e) La Función Secante.- Si x e y son números reales, entonces a la función secante
definiremos por
f* ffc í# M 'R x R f y-seexj
ó también mediante la regla f{x) = sec x, donde: Df = {jc e i? / x * y + kn, k e : } y
/?; = < -oo,-l]u[l,+qo > cuya gráfica es:
f) La Función Cosecante.- Si x e y son números reales, entonces a la función
cosecante definiremos por:
{(x,y) g R x R / y~cosec xj
ó también mediante la regla f(x) = cosec x , donde: Dy ={x eR /x # ^ + kn,k e z )
y Rf= <-oo,-1] u [l,+oo>, cuya gráfica es:

488. 474 Eduardo Espinoza Ramos
Las funciones trigonométricas son derivables en todo su dominio y.
a) Por definición de la derivada tenemos:
dy .. F(x+h)-F(x) T. senLc + M -se n * r . senx cosh+eos xsetih-senx
— = Lim—
------------— Lim---------------------=Lim--------------------------------------
dx h-> o h h->o h *-> o h
r ■ senh ,1-COSh. /Av
= Ltm cosjc.
--------senx(----------) = cosx (1) —senx (0) = cosx
*-> o h h
b) Por definición de la derivada tenemos
dy T. F(x + h)-F(x) .. cos(.v + h) — eosx .. cosx.cosh-sen x .sen h -c o s j c
— = L m i
---------------------------Lint------------------------------ = Litfi---------------------------------------------------
dx *-» o h *->o h *-»o h

489. Derivada 475
1-cosh senh
= Lim{-eos a :
-------- — - ) - sen x.---------------------------------------------------------------------- ) - eos x(0) - sen x(l) = - sen x
*-»o h h
. dy „ .senx. eosx(senx) - senx(cos x)
c) -j- = Dy tgx = Z)v(
------) = -------i----------------i-------
dx cosx c o s'x
eos x. eos x + sen x. sen x c o s'x + se n * x 1 •>
- = -------= sec' x
eos" x eos2 x cosx
d), e), f) Su demostración dejamos como ejercicio.
OBSERVACIÓN.- Si y = sen u, u = f(x) funciones derivables en general
y = sen u
u = /(x )
dy
du
du
dx
= eos u
= f'(x)
dy
. Calculemos — mediante la regla de la cadena
dx
y
X
4 L = 4 L- ^ = cos w =cos( / w ) - / ' w
ax du dx
por lo tanto: Sí
___.__i
En forma similar se calcula la derivada de las demás funciones trigonométricas.

490. 476 Eduardo Espinoza Ramos
Corolario.- Si u = f(x) es una función derivable entonces:
a) Si >•= sen (f(x)j -r> - f =cos{ A .v ))/’í,v)
dx
' ' '' ’ '' ,
b) Si y “ cos(f(x)) => ~~ ~ ~$en/{*))■/’(x)
. t*x
c> Si y = tg(í\x)) =s> - see¿ (fix)}./’ f.v)
ax
d) Si y - ctg (fix)} => — ~ - msec2 (f (x)}.f (x)
dx '
e> Si y - see ( % » -> H = sec(/ü ')) tg(/(jc.
f> Sí y = coscc (f(x)> 53> ^~wsecxif(x))ctg(f(xyf(x}
Ejemplos.- Hallar — sí:
dx
( l ) y=sen(.v2 +ex)
Solución
— = cos(x2 +ex )(x2 + ex) = (2x + ex).cos(x2 +ex)
dx
y = tg(senx + cosx)
Solución
— = see2 (sen x + cos x) D x (sen x + cos jc) = (cos x - sen x) see2 (sen x + eos x)
dx
(T ) v— cos(sen x + x 2)
Solución
— = -sen(sen x + .v2 )jDv (sen x + .v2) = -(eos x + 2.v).sen(sen x+x 2)
dx

491. Derivada 477
( ? ) y =c tg(ex + Lux)
Solución
— = -cosec2(ex + Lnx)Dx(ex + lnx) = -(ex + —)cos ec2(e* + lnx)
dx x
4.13 DERIVACION DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS]
Antes de definir las derivadas de las funciones trigonométricas inversas, daremos la
definición de dichas funciones:
a) Función Inversa del Seno: Arcoseno.- La función seno: y = f(x) = senx, no es
inyectiva, por lo tanto no tiene inversa
n n
T ’T
sePero si se observa el gráfico de la función f(x) = sen x en el intervalo
tiene que f(x) es estrictamente creciente.
Por lo tanto a pesar que la función seno no tiene inversa, se concluye que para la
71 71
función definida por f(x) = senx, x e [ - —,—] si tiene inversa:

492. 478 Eduardo Espinoza Ramos
A la inversa del seno le llamaremos arcoseno por lo tanto a la función arcoseno de x
denotaremos por:
y = g(x) = arc.senx y definiremos por:
¡ I I
donde Dg =[-1,1] y Rg = [ - y , y ] . La gráfica de la función arco seno es:
De la definición de are. Sen x
&yi(arc.scd) = t , x e £ -U ]
Árcset!{se& y) - y . j e
fm m m
:w:+h+:¿:+h+<
2 2\
b) Función Inversa del Coseno: Arcocoseno.-
La función coseno: y = cosx, no es inyectiva por lo tanto para hallar su inversa
haremos una restricción similar que la función senx.
Entonces a la función coseno definimos por: f(x) = cosx, x e [0,tt]
y a la inversa de la función coseno le llamaremos arco coseno y denotaremos por:
y = g(x) = arc.cosx y definiremos como
donde: D f = [-1,1] y R r = [0, n]. La gráfica de la función arco coseno es

493. Derivada 479
De la definición del ar.cosx se tiene:
c) Función Inversa de la Tangente: Arcotangente.-
Arco tangente la función tangente: y = tgx, no es inyectiva, por lo tanto para
hallar su inversa haremos una restricción similar a las funciones anteriores.
Entonces a la función tangente lo definiremos por:
n n
F(x) = t g x , x > y a la inversa de la función tangente le llamaremos
arco tangente y denotaremos por:
y = g(x) = are.tgx definiremos por:
n n
donde Dg =R y Rr = < > cuyo gráfico de la función arco tangente es:

494. 480 Eduardo Espinoza Ramos
d) Función inversa de la Cotangente: Arcocotangente
La función cotangente: y = ctgx, no es inyectiva, por lo tanto para hallar su inversa,
haremos una restricción en forma similar a la función anterior, entonces a la función
cotangente definiremos por:
•
F(x) = ctgx, x e < 0 ,7t> y a la inversa de la función cotangente le llamaremos arco
cotangente y denotaremos por y = g(x) = arc.ctgx y definiremos por:
donde Dg =R y Rg =< 0, n > . La gráfica de la función arco cotangente es:
y = ctg x
e) Función Inversa de la Secante: Arcosecante
La función secante: y = sec x no es inyectiva , por lo tanto para hallar su inversa se
hará una restricción en forma similar a las funciones anteriores.
Entonces a la función secante definiremos por:
F(x) = sec x, x e [ 0 ,y > u < y ,7 r] y a la inversa de la función secante le
llamaremos arco secante y denotaremos por:
y = g(x) = aic.secx y definiremos por:
donde: Dg = < -» ,-1 ] u [l,+ 00 > y Rg = [ 0 ,- j > u < y ,7 r ]

495. Derivada 481
La gráfica de la función arco secante es:
f) Función Inversa de la Cosecante: Arcocosecante
La función cosecante: y = cosecx, no es inyectiva, por lo tanto para hallar su inversa,
haremos una restricción en forma similar a la función secante.
Entonces a la función cosecante definiremos por: F(x) = cosecx,
71 Tí
x e [— ,0 > u < 0,—1 y a la inversa de la función cosecante le llamaremos arco
2 2
cosecante y denotaremos por y = g(x) = arc.cosecx y definiremos por:
Donde Dg = < -o o -l]u [l,o o > y Rg = [ - y , 0 > u < 0 , y >
La gráfica de la función arco cosecante es:

496. 482 Eduardo Espinoza Ramos
4,14 REGLA DE DERIVACION PARA LAS
Sea u = u (x) una función derivable en x, entonces:
©
Sí y-arcseo«(x} '
©
m | | p - |
Sí v = arc.coSu{x) => ,— - ¿ ^ 5 1 -
* J l -»*<*)
©
g il
Sí y = arc.tguíx) : dy ~-[~ S XL
dK i+U-(X)
'■ P % '
©
Sí y^arcxfgttlx}
dx
©
Si y= are.secuíx.)
, ^ ÍíK *)Í^»20 f)“ i
G )
\ 2 /
31 y ■ "• i
.............
dy
Ejemplos.- Hallar — sí:
dx
(T ) y = arc. tg V 4jc2 -1
Solución
4x
—— dy ü j 4x2 -1 -J4x2 -1
y = arc. tg^/4x -1 => — = — — = —
----
dx l + ( V 4 x 2 - l ) 2 1 + 4 * - - 1
dy 4x
dx 4x2 4 4x2 -1 x ^ 4 x 2 -1

497. Derivada 483
„2*
( ¿ ) y = arc.sen ex + are.sen-J\-e2
Solución
y = are.senex + are.sen Vl - e 2x , derivando se tiene:
e 2'
dy Dxex Dx4 \ - e 2x ex
,2 x
te -J\-e2x + ^ i _ (, / r ^ V é - e2x ^ 7 e 2'
dy _ ex
_________e 2x ^ ex ________ex _ Q=? d y =Q
te V l-e2x ex4 \ - e lx -J l-e2x -J l-e2x dx
y = arc.sen (Lnx)
Solución
,T dy DxLnx 1
y = arc.sen (Lnx) => — = r = —
------ ■
te J l - L n 2x xyll-Ln2x
x sen a .
y = are. tg(-
--------------)
1 -x c o s a
Solución
D x se n a
4 , x s e n a . dy 1 -x c o s a
y = arc.tg(
-------------1 ■*
1 -x c o s a dx ^ | ^ x sen a
1 -x c o s a
(1 - x eos a)(x sen a)'-(x sen a)(l - x eos a )'
Tí
dy (1 -x c o sa )* (1 - x eos a)sena + xsena eos a
dx (1 - x c o s a )2 + x 2 sen2 a 1 - 2xcosa + x 2 eos2a + x2sen2a
(1 - x c o s a )2
sena dy sen a
l - 2 x c o s a + x 2 dx l - 2 x c o s a + x 2

498. 484 Eduardo Espinoza Ramos
nsíiK'iffiyyyyyyyyyyyyyyyy.-ys\-Y.-Yy.
h i M P u e i m -
A las funciones y = f(x) definidas en un intervalo se
denominan funciones explícitas; por ejemplo; la
función y= f(x) = x2 ,a las ecuaciones de las
variables x e y denotaremos por: E(x,y) = 0.
Por ejemplo:
E(x,y) = x 2 + y 2-2 5 = 0 es decir, jc2 +>'2 = 2 5 ,
que nos representa a una circunferencia.
La ecuación x 2+y2 =25, no es una función
definida en forma explícita, pero x2 +y2 = 25
entonces y = ±42 5 -x1
Y
j / f ( x ) = x 2
►
0 X
-
Y
1
1
l \
1 \
l \
1 \
1 \
CJl i y 5 x"
i /
i /
L /
Es decir de la ecuaciónx2 + y 2 = 2 5 , que no es una función definida en forma explícita;
se puede obtener dos ecuaciones, cada una definida en forma explícita; por lo tanto una
ecuación de dos variables E(x, y) = 0, de donde se obtiene dos o más funciones en forma
explícita se denomina función implícita.
En la ecuación E(x,y) = 0 muchas veces no es fácil despejar la variable y, por ejemplo:
y 1 -3 y5 + lyl - .y - j c o s * = 0 •••(!)
entonces para calcular su derivada se hace de la siguiente manera: como E(x, y)=0 se
verifica para y = f(x) entonces remplazando en la ecuación (1) se tiene:

499. Derivada 485
/ 7 (x )-3 f5(x) + 1 f 2(x)- f (x) + xeosx = 0 ahora derivamos aplicando la regla de la
cadena: 7 f 6(x).f'(x)-l5fA (x).f' (x) +1 4 / (x). / ' (x) - f'(x) + eos x - x sen x = 0
como y = f(x) => y'= f'(x), entonces 1 y 6.y'-l5_y4./+ 14y.y'-y'+ eos x - x sen x = 0
/- 6 4 j j j . x s e n x -e o s *
( ly — 15jv +I4y-l)y = x s e n x -c o s x de donde y =
7y 6 -1 5 y 4 + 14y~l
a este proceso de derivar se denomina derivación implícita.
Ejemplo: Hallar y'= — sí
dx
x 3 +ax2y + bxy2 + y 3 = 0
Solución
x 3 +ax2y + bxy2 + y 3 = 0 => 3x2 +2axy+ax2y'+by2 + 2bxy.y'+3y2_y'=0
3x2 +2axy+by2 +(ax2 +2bxy+3y2)y'=0 / = *^by +2axy
ax +2bxy+3y
( 2) x sen y - eos y + eos 2y = 0
Solución
x sen y - eos y + eos 2_y = 0 => sen y + x eos y.>'' + sen >\y' - 2 sen 2y.iy'
sen y
(x eos y + sen y -2 sen 2y)_y' = - sen y ■’■/=-
x eos y + sen y - 2 sen 2_y
dy
OBSERVACION.- La derivada (— ) de la función implícita E(x,y) = 0, se calcula
dx
derivando término a término, considerando a y = f(x) como una función de x, y de esta
ecuación despejamos y'=
rdy^
Kdx,
. Una forma más práctica para calcular ÿ —
dy
Kdx J
de la
ecuación E(x,y)=0, es aplicando la fórmula siguiente:

500. 486 Eduardo Espinoza Ramos
Donde Exx(x,y) es la derivada de E(x, y) = 0 con respecto a “x” donde a la variable “y”
se le considera como constante y E' y(x, y) es la derivada de E(x, y) = 0 con respecto a
“y”, y la variable “x” se le considera como constante.
Ejemplo.- Hallar v '= — sí
dx
x3 + ax2y+bxy2 + y 3 = 0
Solución
Sea E(x,y) = x 3 +ax2y + bxy2 + y 3
=> Ex(x,y)=3x2 + laxy + by2 y Ey (x,y) - ax2 + 2bxy+ 3y 2
dy Ex(x,y) 3x2 +2 axy + by2 dy 3x2 + 2axy+by2
dx EY(x,y) ax2 +2bxy+3y2 dx ax2 +2bxy+3y2
416 DERIVADA DE LA FUNCION DE LA FORMA y » (%x))m .
Para calcular la derivada de la función y = (f(x))g(x), primero se toma logaritmo en
ambos miembros, es decir:
Lny = Ln{J (x))s(x) = g{x)Ln(f (x)). ahora derivamos implícitamente:
— = g' (x)Ln(f(x)) + g(x).^-y^ - , despejando y'
y /(*)
y'=y{g' (x)Ln(f (x)) + g {x ).£ £ k
f(x)
y'={f(x))g(x)[g'(x)JLn(f(x))+g(x).-
f(x)

501. Derivada 487
~ = ( / W ) s(v)_1 f'(x)g(x) + (f(x))gW g'(x)L„(f(x))
dx
Ejemplo.- Hallar— sí _y = x senAr
dx
Solución
Tomando logaritmo a y = xsenJr se tiene: Lny = LnxseDX = sen x.Lnx
, . , . y T senx , , , , , , sen*
derivando se tiene: — = eos x.Lnx + ------- de donde y = y(cos x. ln x + -
------)
y x ' ' x
d y sen r / , S e n X x
— = x (cosx.lnx +
-------)
dx x
4.17 EJERCICIOS DESARROLLA DOS. -
I Hallar — sí
dx
1+V1-*2
Solución
A la función expresaremos en la forma:
y = arcc° sx —[ln(l-y ¡\-x2 )-ln(l + V l-* 2)], derivando aplicando la regla
dy _ x 2Dx arccosx-(arccosx)Dxx2 1 Dx(\-'J \-x 2) Dx(l + y¡\-x2)
dx x 4 2 í - V l - x 2 1 + V l - x 2
-2x arccosx
Vi -X2
_____________^ J_ r V l-X2 ______Vi — X "
x 4 2 Í - V i - X 2

502. 488 Eduardo Espinoza Ramos
(x2+2xV l-x^ árceos x) + 1 j. x + x
xa4~x2 2 V l-x2 (1 —v/l — x2) V l~x2(l + V l-x 2)
x3V l-x2 2V1- X2 (l-V l-x 2)(l + V l-x 2)
x + 2-Jl-x2 arccosx 1 _ dy_x2-x-2^1-x2x arccos x
x3 V l~x2 x-y/l-x 2 x 3 Vi — jc*
j = ln(x + Vx2 -1)-
V T^I
Solución
1 + -
x r í 7 x 2
VP^T—
¿y ^ Dx(x + Vx2 -1) Vx2 -l(x)'-x(V x2 -1)' = Vx2 - 1
__________Vx2 -1
X+Vx2 -1 (Vx 2 - l)2 x +Vx 2 -1 x 2-1
X + Vx2 -1 x 2 -1- x2 1 1 X2
r + -
de donde
Vx2 -l(x + V*2 -1) Vx2 - l( x2 -1) Vx2 -1 Vx2-l( x2-l) (JC2-1)
rfy _ x2
3/2
(x2 -1 ) 3 /2
(T) y = — sen(5x 2) - —senx2
w • 20 4
Solución
— = —cos(5x2)Dv(5x2) - —cos(x2)Dx(x2) =^^cos5x2 - — cosx2 =-cos5x2 - —cosx2
<¿t 20 4 20 4 2 2

503. Derivada 489
( 7 ) y = 1 n(1 + ) + 2 arctgVsen x
' 1—v/senx
Solución
Antes de derivar, a la íunción expresaremos asi:
y = ln(l + Vseñjc) - ln(l - V senx) + 2 arctgVsenx
Ahora derivando mediante las reglas establecidas:
C O S X COS .Y
dy_D x(l+-Jseñx) Dv(l-V senx) Dx*jsenx _ 2-^senx , 2-Jsenx
dx 1+Vsenx 1—Vsenx l+(V senx)2 1+Vsenx \-4sen x
cosx , 1-Vsenx+ 1 + Vsenx x cosx
___ ( -------- ---------- ) -i---------------------
2-Vsenx (l + -\/senx)(l--Jsenx) (l + senx)Vsenx
eos x eos x eos x ^ 1 + sen x +1 - sen x ^
-Jsenx(\ -se n x ) (1 + senx)Vseñx Vsenx (1 - senx)(l + senx)
_ 2 cosx _ 2 cosx _ 2
Vsenx(l - sen2 x) ^fseñx(cos2 x) Vseñx.cosx
sen x - eos x
>' =
----------------
sen x +cosx
Solución
Derivamos mediante la regla del cociente:
dy _ (sen x + eos x)Dx (sen x - eos x) - (sen x - eos x)D r (sen x + eos x)
dx (senx + cosx)2
_ (sen x + eos x)(cos x + sen x) - (sen x - eos x)(cos x - sen x)
(sen x + eos x )2
(sen x + eos x ) 2 + (sen x - eos x ) 2
(sen x +eos x )2
cosx,
Vsenx
1 + senx

504. 490 Eduardo Espinoza Ramos
CD
sen2 x + cos2 x + 2 senxcosx + sen2 x + cos2 x - 2 sen x cosx
(sen x + cosx)2
2(sen2 x + cos2 x) 2 dy
(sen x + cosx)2 (sen x + co sx )2 dx (sen x + cosx)2
(5 ^ >’ = (1 + Ln(senx))"
Solución
— = ii(l + Ln(senx))n ] Dx(l + Ln(senx)) = n(\ + Lii(s e n x ))" 1 ^ x SCnX
dx sen x
_ ncos-r ^| + ¿ /;(s e n ! . ^ = 77ctgx(l + ¿«(senx) ) " _1
( ? ) y = (sen y - cos —)
sen x dx
X x 2
Solución
dy x x x x 4 , , x x . . l . x x x%
— = 2( sen eos — )D r (sen eos —) = 2(sen
-----eos —)(— (eos— + sen —))
dx 2 2 2 2 2 2 2 2 2
, X X X X x 2 * 7 X r f v
= (sen — eos—)(sen —+ cos—) =sen — eos- —= -c o s x .\ — = - c o s x
2 2 2 2 2 2 ¿x
_ a / x +1 —/ x-1
V x+1 + Vx~~T
Solución
A la función y = /( x ) . Expresamos en la forma siguiente:
Vx + 1 + a/x-1
_ (V x + T -V x -1) _ (Vx + 1 - a / x -1)(Vx + 1 —s/x — 1)
( a / x +1 + Vx -1) (Vx + l + V x -1) ( a / x + 1 - V x -1)
(V x T T -V x -l)2 x + 1 -2i/x + l i / x - l + x - l 2x - 2-Jx2 -1 r~, 7
V =
---------------------— - -----------------------------------=--------------------= x - Vx~ + 1
(x + l ) - ( x - l ) x + l - x + 1 2

505. Derivada 491
Ahora calculamos la derivada — , es decir: — = 1
-------—
d x’ ' Vx2 +1
® y = x 6(l-c o s 2 x )2
©
Solución
Aplicando la regla del producto se tiene:
— = x 6 Dx (1 - eos 2x) 2 + (1 - eos 2x) 2 Dxx6 = x 6 (2 sen 2x)2(l - eos 2x) + 6x5 (1 - eos 2x)2
dx
= 2x5 (1 - eos 2x)(2x sen 2x + 3(1 - eos 2x))
— = 8x5 (2x eos x + 3 sen x) sen3 x
dx
10) y . L n
- y \ l + s e n *
Solución
A la función dada la expresaremos así: y = \ ~ sen *) ~ + sen *)]
ahora derivando de acuerdo a las reglas establecidas:
dy _ 1 (1-se n x ) D x(l + senx)^ _ 1 ^ -c o s x cosx
í/x 2 1-s e n x 1 + senx 2 1-s e n x 1+senx
cosx ,1 + senx + l- s e n x . cosx 2 1 ¿/y
= —-— (-----------5
------) = —-—.---r— = —— — = -secx
2 1-se n x 2 eos x cosx íit
Vx2 + o2 + x x
>' = ln(/-2 2 >
Vx +a - x
Solución
A la función dada expresaremos en la forma:
y _ ^ _ in(Vx2 + a 2 + x )- ln(-\/x2 + a 2 - x)
Vx2 + a2 - x

506. 492 Eduardo Espinoza Ramos
ahora derivando mediante la regla establecida:
DJslx2 +a2 +x)Dx(-Jx2 +a2 - xVx2 +a2
/ 2 , 2 . / 2 , 2 1 2 . 2 .
V* +a +x Vx + a - x Vx + a + x
x + Vx2 +a2 x - J x 1+ a 2
Vx2 +a2 (Vx2 +a2 + x) -Jx2 +a2 (Vx2 +a2 -x)
1 1 2 dy
r + - - •
Vx2 +a2 Vx2 +a2 Vx2 +a2 ¿x Vx2 + a 2
.senx + cosx,
12) y = arctg(
-----------------)
sen x - eos x
Solución
Aplicando la regla de derivación del arco tangente:
sen x + eos x (senx -cosx)(senx+ eosx)Msenx+ eosx)(senx - cosx)'
d y _ *^senx-cosx^
_________________(senx-cosx)2 _________________
dx i | (Senx + coss 2 (senx-cosx) 2+(senx+cosx)2
sen x -e o s x (senx-cosx )2
_ (sen x - eos x)(cos x - sen x) - (sen x + eos x)(cos x + sen x)
sen2 x + c o s2 x -2sen x eosx + sen2 x + cos2+ 2senx cosx
-( s e n x - c o s x)2 -(se n x + cosx)2
2
sen2 x + cos2 x - 2 senx eos x + se n 2 x + cos2 x + 2 senxcosx 2
= -1 .
2
dx
(Í5) y - Varctgx -(aresenx)3

507. Derivada 493
Solución
Aplicando la regla de la potenciación
dy Dx arctgx ^ 1 3 . x2
— = —7= - 3(arcsenx) Dx arcsenx =
------- — ,, . .■ ■— . (arcsenx)
dx 2^/arctgx 2(1 + x ^arctgx y i - x2
„ dy _ 1 3(arcsenx )2
2(l + x 2)Varctgx V i-*2
______ 2 i ______
14) >' = yVx2+a2 +^-Ln(x + 4 x 2 +a2)
Solución
Derivando mediante los criterios establecidos:
■» - * n ,/^TTT . tZ oxX . jj¿ + «*>
* 2 2 * 2 , +
= _ ¿ 1 _ + : £ ± Z + £ L [! ! 3 S Z ]
2 , / T T ? 2 2 x + 4 ? 7 7
2x2+a2 a2 . x + 4 x2 +a2 2x2 + a2 a2
~ + - - ( • _ — =
----r - - ) = r - - +-
2-Jx2 +a2 ^ -y/jc2 + a 2 (x + Vx2 + a 2 2-\/x2 + a2 2^|x2~+a2
2(xz + a2) l~2 2" dy l 2 2
= —
.... = V x¿ + a = Vx + a
2 V ? ^ V *
g ) .v = t g ( / " (<"ct^ ' 3>)
Solución
Antes de derivar aplicamos la propiedad: e ln“ = a
e ¿»(ore.tg 3> = arc.tgx173 dedonde y = tg(eÍB(aretEJr* 3)) = tg(arc.tgx1/3) = x1/3
Ahora derivando se tiene: — = —------
í£c

508. 494 Eduardo Espinoza Ramos
4a -b senx.
16J y = arctg(—
----------------)
b + a. cosx
Solución
Derivando mediante la regla del arco tangente:
4 a - b 2 Sen r J^2 (b+ac os x)Dx sen x - sen xDx (b+a eos x)
dy _ ° x b + a.eos* =
____________________(b+a.cosx)2____________
dx . ,4a2 -b2 sen a: , (b + acosx)2 +(a2 -Z r)sen2 x
l + (
--) ----------------------------------------------------j-------------
b + a.cosx ( b+acosx)
II.
4a2 - b 2 [(b + a eosx) eosx + a sen2 x]
b1 +2abcasx + a2 eos2 x + a2 sen2 x -b 2 sen2 x
4a2 - b 2 (¿> eos x + a eos2 x+a sen2 x)
b2 + labeosx + a2 eos2 x + a2 - a 2 eos2 x - ¿ 2(l-c o s2 x)
4a2 ~b2 (a + b.eosx) _ 4a2 - b 2 (a + beosx) dy _ 4a2 -b2
( l ) Si y = f(z), z = g(x), calcular
dx"
Solución
d~ v
Para calcular — aplicaremos la regla de la cadena
dx~
dy _ dy dz
dx dz dx
b" + eos x + 2abcosx + a (a + b cosx) dx a+b.cosx
Ahora calculemos la derivada de la ecuación (1)

509. Derivada 495
d 2y _ dy d 2z dz d dy
dx2 dz' dx2 dx 'dx dz
d y ^ z ^ x dy dy d ,dy dz d 2y dz
dz ’ dx dz dz dz dx dz2 dx
± (± ) = £ i . i - ...(3)
dx dz dz dx
reemplazando (3) en (2) se tiene: ^—y = — .^—^- + ^—y.(— )2 •••(4)
dx dz dx dz dx
y = m
como =>
z = g(x)
dy
dz
dz
dx
= /'( * )
= * ’(*)
d 2y
dz2
d 2z
dx2
= /" (* )
= g"(x)
...(5)
Ahora reemplazando (5) en (4) se tiene: = f(z).g"(x) + f" (z).(g'{x))2
dx
©
Sí /'(* ) = sen * 2 e p / ( — ——). Calcular
x + l dx
dy = dy_te donde
dx dz dx
y = m
2x—l
z =
-------
x + l
dy
dz
dz
= / '( * )
3
dx (x + l)2
dy dz 2 3 3 , 2* ~ lx 2
— = / (z)— = senz .
--------- =---------.se n (-------)
dx dx (* + l) (x + l) x + l

510. 496 Eduardo Espinoza Ramos
dy 3 2 x - l 2
— =
.......v -sen(--------)
dx (x + 1)2 x + \
Hallar f'(x) sí f(x) = sen3 (sen2 (senjc))
Solución
Aplicando la regla de la cadena se tiene:
/( x ) = sen3 (sen2 (sen x)) => f'{x) = 3 sen2 (sen2 (sen x))Dx sen(sen2 (senx))
f'(x) = 3 sen2 (sen2 (sen x))cos(sen2 (senx)).Dx sen2 (senx) -.(1 )
Dx sen2 (sen x) = 2 sen(sen x)Dx sen(senx) = 2 sen(sen x). cos(sen x) eos x
Dx sen2(senx) = 2 sen(senx)cos(senx)eosx = sen(2senx)cosx ...(2)
Reemplazando (2) en (1) se tiene:
/ ' (x) = 3 sen2 (sen2 (sen x)).cos(sen2 (senx)).sen(2 sen x) eos x
( ! ) Dada la función /(x) =
2 1
x sen — + x, x * 0 „
x . Demostrar que / (0) = 1
0 , x = 0
Solución
~ a a * a / - . / m ;• / ( 0 + A )- /(0 ) m - 0
Por definición de derivada se tiene: / (0) = lint
-------------------------------= hm
h->0 h h-*0 h
,2 1 j,
h sen — + h f
= lim
---------*--------= lim(hsen—) + l = 0 + 1 = 1 / ’(0) = 1
*->o h *->0 h
NOTA.- V h * 0 , - l< s e n — < 1 , -h<hsen — <h
h h
lim{-h)< lim /¡sen — < lim(h) ; de donde lim(-h)sen~ = 0
h—> 0 h—>0 h h-*0 h—> 0 h

511. Derivada 497
( ? ) Sea f(x) =
x 5/2sen —, x * 0 „ , „
x . Hallar /( O )
0 , x = O
Solución
Por definición de derivada se tiene:
15/2 1
h sen—
n 0 ) = n m = nm = lirn
O h h->0 h *-» O h />->()
— - lim //3/2 sen — = 0
h
puesto que: - l< s e n — <1 => - / i 3' 2 < /r3' 2 sen — < /¡3/2
h h
lim(-h3l2)< lim h3' 2 sen —< lim A3' 2
a-»o /¡-»o / j A->0
0 < lim /?3,2 sen — < 0
A—»0 /z
luego: lim Ir"2 sen— = 0 , por lo tanto: f' (0) = 0
A->0 /í
( 7 ) Dada la función / (x) =
f' (x) exista
a x ' + b , x<\
1 . Hallar los valores de a y b de tal forma que
, X > 1
Solución
Como para x > 1, se tiene [x| = x entonces: / (x ):
ax2 +b , x < 1
l
x
, X > 1
mediante derivadas laterales en x = 1 se tiene
/ (1) = 2 ax |x=1 = 2 a
X“
2a = -l= > a = —
2

512. 498 Eduardo Espinoza Ramos
además de ser continua en x = 1 entonces: lim f (x) = lint f(x) => a + b = 1
1 1 . , , 3 , 1 , 3
como a = — = í>
-----i-o = l => b =— por lo tanto: a = — ; b = —
2 2 2 2 2
( l) Hallar A, B y C para que la función que se da, sea continua en -2 y derivable en 3
f(x) =
Ax + 5 , x < -2
Bx2+cx , -2< x< 3
Ax2 + Bx , x > 3
Solución
Para que f sea continua en x = -2 se tiene: lim f (x) = lim f(x)
x-> -2 ~ x —>—2+
lim Ax+5= lim Bx~+cx
x - * - Y x-> -2 *
- 2A + 5 = 4B - 2C de donde 2A + 4 B -2 C = 5
Para que f sea derivable en x = 3 debe 3 / ' (3)
3 /'( 3 ) « f_ (3) = f + (3)
2Bx + C |a=3 = 2Ax+ B\ r=3 => 6B + C = 6A + B de donde 6 A - 5 B - C = 0 ...(2)
como f es derivable en x = 3 <=> f es continua en x = 3, si f es continua en x = 3 entonces
se tiene: lim f (x) = lim f (x) entonces lim Bx2 + Cx = lim Ax2 + Bx
x - > y x —>3* x —>-3“ .r->-3+
9B + 3C = 9A + 3B de donde 9A - 6 B -3 C = O 3 A -2 B —C = O .(3)
luego
2A + 4B -2C = 5
6A -5B -C = 0 resolviendo el sistema se tiene: A = — = B = C
4
3A -2B -C = O
( 8 ) Sea f(x) =
3 — 4(jc — 1) si x< 2
x-3 six > 2
probar que f es continua pero no derivable en x = 2

513. Derivada 499
Solución
La función f es continua en x = 2 sí y solo sí lim f (x) = lim f (x) y además 2 e D f
x->2 ' -v—>2+
lim 3 — 4(jc — 1)“ = lim x-3 =-1
x—>2 x—»2
Por lo tanto lim f(x)=lim f(x) y 2 e D r
*->2“ ' x^>2* ' '
Luego f(x) es continua en x = 2, ahora probaremos que f(x) no es derivable en x = 2
í/'(2) = -8(x-l)|,=2=-8
En efecto: / i ( 2 ) * / ] (2 )
[ / l w = i
como f[(2) * / ] (2) => 3 / '( 2 ) por lo tanto la función f(x) no es derivable en x = 2
Hallar los valores de a, b, c para que la función: / (jc) =
continua en x = 2, y derivable en x = -2
Solución
|x |> 2 o x > 2 V x <-2 además |x| < 2 o -2 < x < 2
a la función f(x) lo expresaremos en la forma:
l * f
,\x\>2
. Sea
ax~ +bx+c , | jc | < 2
J'(x) =
, x<-2
- x
ax2 +bx + c , -2< x< 2
8 .
—r , x>2
la función f(x) es continua en x = 2 si lim f (jc) = lim f(x) = f (2)
x—> 2 a- —> 2
fl 7
lim —— = lim ax" + bx + c, de donde 1 = 4a + 2b + c
x—>2* x x—>2

514. 500 Eduardo Espinoza Ramos
la función f(x) es derivable en x = -2 si 3 / ' (-2) y 3 / ' (-2) <=> /_ (-2) = f + (-2)
24
í=_2 = 2ax + ¿ |jr=^2 de donde ...(2)
como f(x) es derivable en x = -2 => f(x) es continua en x = -2, si:
lim fix) = lint f( x ), -2 g D f
x-> -2 ~ a- > - 2 +
lim — - = lim ax2 +bx+c entonces
*->-2~ x *-> 2*
...(3)
luego se tiene:
4a+2b+c = \
3 5
-&a+2b =3 resolviendo el sistema se tiene: a = — , b = 0, c = —
8 2
% -2 ¿ + c = l
Si la función f está definida por : / (x) =
3 . 1
ax +4x , x < —
¿ x -3 , x >
2
Hallar los valores de a y b para que f sea derivable en todo R
Solución
La función f(x) es derivable para x < - - y para x > - i- ahora veremos si es derivable
en x = , por lo tanto f(x) es derivable en x = —i- si 3 / ' ( - —)
3 / ' (—-) => fi (-Í-) = /+ ( - “ ) entonces (3ax2 + 8x) | t
2 2 2 -
2
al evaluar se tiene: .(1)
si f(x) es derivable en x = , luego f(x) es continua enx = - — si lim f(x) = /’( - —)
2 2 jc—>-i/2 ‘ 2
3 lim fix) <=> lim / ( x ) = lim fix)
v _ » _ l / 2 -v — 1 / 2 2 a' > 1 / 2

515. Derivada 501
lim (ax3 + 4x2)= lim (b x -3 )
-V—>-1 / 2~ Jr—>—1/2+
- - + l - - - 3 = > - a + 8 = - 4 6 - 2 4 =>
8 2
& -4bIB ... (2)
\3a-4b = 16
luego se tiene: < , de donde 2a = -16 => a :
1 a - 4b = 32
S ia = -8 => b = - —— = —- ———■ = —10 . Por lo tanto b = -10
4 4
La respuesta es: a = -8 y b = -10
© Calcular A y B para que la derivadas de: / (x) = sea f '( x ) =
2x
V 4 -x ( 4 - x ) 3/2
Solución
f(x) = ^¡X~- ^ , derivamos mediante la regla del cociente
V 4 -x
J 4 -x D v(Ax+B)-(Ax+B)Dx*j4-x _ ' 2 ^4 -x 2A(4-x) + Ax+B
J \X)
( V í ^ ) 2 4 -x 2(4— JC)
3/2
-A r+8^4 + 3 2x -y4x+8/4 + 5 „
=> -------------r v =
---------r r => ------------------= 2x
2(4 —x) (4 - x ) 2
-Ax + 8A + B = 4x, ahora por identidad se tiene:
A = 4 A = -4
SA + B = 0 ^ B =32
12) Hallar /'(O ) si /( x ) =
x 3 - 3 x 2 + 2 x - 6
x 2 - 2 x - 3
Solución
Calculando la derivada de la función f(x) por medio de la regla del cociente:

516. 502 Eduardo Espinoza Ramos
x 3 - 3 x 2 + 2 x - 6 , 3 x -9
/ ( x ) =
------, _ -----— = x - l + -
x 2 - 2 x - 3 x 2 - 2 x - 3
P(x)- 1 i 3(*2 - 2 x - 3 ) - ( 3 x - 9 ) ( 2 x - 2 )
(x 2 - 2 x - 3 ) 2
/ ’(x) = l + 18* 3x2 27 => / '( 0 ) = 1 + —— = 1 — 3 = -2
(x - 2 x - 3 ) (0 —3)
luego si: f(x) = - — 3x +2x 6 y (O) = _2
(x2 - 2 x - 3 ) ‘
13) Si / (x) = 4tg 3x + Vi + 2x3 , Hallar /'( 0 ) = 0
Solución
o p- r r r ^ DyU(x)
Como se conoce que: Si y = -Jit(x) =>— = — ------
dx 2,]u(x)
9 tg 2 3xsec2 3x + -
D J tg 3 3x + Vl + 2x3 ) Vl + 2x3
/ M ; -
2 Í W ^ ■ 2T/tg3 3x + VT+2x3
/'( 0 ) = , 0 + Q = j = 0
2V O + V 1 + O 2
m u n dy . 1 + sen2 x 3
14) Hallar — si y -
fifr ’ l + cos3 x 2
Solución
Aplicando la regla del cociente se tiene:
dy 0 + cos3 x 2)O v(l + sen2 x 3) - ( l + sen 2 x 3)D v(l + cos3 x 2)
/ ' ( 0) = 0
(1 + cos3 x 2) 2

517. Derivada 503
6x2 senx3 cosx3(l + cos3 x 2) + 6xcos2 x 1 senx2(l + sen2 x3)
(1 + cos3 x 2) 2
15) Dada la función f definida por: f (x) ■
x 2 + x + l . .
, si x < 1
x + a
x 3 +fct2 -5 x + 3 , si l < x < —
Hallar el valor de a y b para que f sea diferenciable en <
Solución
2
La función f\ (x) = ——+x + ^ y f 1(x) = xi +bx2 -5x + 3 son diferenciables en sus
x + a
dominios respectivos como f debe ser diferenciable en x = 1 entonces: debe 3 / '( l )
entonces /_ (1) = f + (1), donde:
f ' /lv _ x 2 + 2ax + a - l , _ 3a
( 1 ) ? \ x = l — T
(x + a)~ (1 + fl)
f i (1) = (3x 2 + 2bx - 5) |x=1 = 2b - 2
como fjl) = fi( l) => -3a , =2b-2 ...(1)
(a+1)
si f es diferenciable en x = l f es continua en x = 1, la función f es continua en
x = l o 3limf(x) = / ( l )
JC—>1
3 lim f(x) <=> lim f(x) = lim f (x)
A-»f jt-»i .r—>r
lim X- — = lim x 3 + bx2 -5 x + 3, de donde =b- 1 ...(2)
-V—>1 x + a .v->r 1 + a
lu eg o — — ■ =2b- 2 y - - = b—\
(o + l)2 1 + a

518. 504 Eduardo Espinoza Ramos
de donde
3 a
(a + 1)2 1 + a a + 1
■ 2 => a = 2a + 2 entonces a = -2 y b = -2
16) Hallar f \ x ) , si f(x)
x2 +1
x 2 +2
Solución
x~ +1
= 1-
x2 +2 x 2 +2
(dividiendo)
x 2 +1
? -i
x +2
1 —
x +2
= 1 +
-1
2 + x ‘
por propiedad
como V x e R , i > 0 = > x “ + 2 > 2 > 0 invirtiendo
0< - ■ < - => - i < -
x~ +2 2 2 x +2
<0
sumando 1 — < 1
----------
2 x +2
<1 => - <
1 x¿ +l
2 x2 +2
< 1, de donde:
x 2 +1
x +2
= 0 => f(x) = 0 => / ' (x) = 0, V x e R
Calcular f'(x), si /( x ) = [ |x |] + [ |- x |]
Solución
/( x ) = [ |x |] + [ |- x |] =
0 , six e Z
-1, s ix íZ
por lo tanto f es diferenciable V x í Z entonces f(x) = -1 de donde f(x) = 0, V xeZ
Calcular f'(x), si f(x) = [ |x + [ |x |] |]

519. Derivada 505
Solución
Por la propiedad [| x + n |] = [| x |] + « <=> n e z como [| x |] e Z
=> [|* + [|* |]|] = [|* |] + [|* |] = 2[|x|] luego V x e z, /( x ) = 2[\x\]
=> f'(x) = 0
19) Si f(x) = tg(A S(^n X) + sen2 (x eos 2x). Hallar / '
Solución
Calculando la derivada de acuerdo a las reglas establecidas:
... . 2/Jfse n x .^ .x se n x , . , „ x
f (x) = sec (— - —)DX (— - — ) + 2 sen(x eos 2x)Dx sen(x eos 2x)
y ,xsen x..x eosx + senx. - , _ , . _ w _ _ _
= sec (— - — )(
-------- ---------) + 2 sen(x eos 2x) ,cos(xcos2x)(cos2x-2xsen2x)
f' (—) = sec2 — (—) + sen (-—) eos — (eos n - n sen n) = 1 + 0 = 1 f (—) = 1
2 4 2 2 2 2
20) Si x 3 + y 3 = 8xy Hallar Dxy
Solución
Derivando implícitamente se tiene: 3x2 +3y 2Dxy = 8_y + 8xDxy
donde despejamos Dxy = —
----
8x-3_v
• .
, • • . dy Ex(x,y) .
aplicando el otro criterio de: — = --------------se tiene:
dx Ey (x, y)
sea E(x,y) = x +y -ixy Ex(x,y) = 3x2-8y y Ey(x,y) = 3_y -8 x
dy _ Ex(x,y) _ 3x2 - 8 y _ 3x2 - 8 y _ dy _ 3x2 - 8y
dx Ey(x,y) 3_y2 - 8x 8 x -3y 2 dx 8 x - 3 y 2

520. 506 Eduardo Espinoza Ramos
Si sen(v-x2 )-L n (y -x 2 ) + 2 J y - x 2 - 3 = 0 . Hallar —
dx
Solución
Sea E(x,y) = sen(y-x2)-L n (y -x 2) + 2 ^ y - x 2 - 3 .derivando
_ t , 2w a . ~2x 2x „ . 2x 2x
Ex (x, y) = cos(y - x )(-2 x )
--------- -----= -2x cos(y - x ) +
Ex(x,y) = -
y~x2 -Jy-x2 ' y -* 2 V -
-2x(y-x)2 c o s (y -x 2) + 2 x - 2 x - J y - x 2
x2
y - x 2
E,(x,y>=a* y - x' ) - ^ - r + *— =
—X sjy -x 2 y ~ x
-2x(y-x2) cos(y-x2) + 2 x -2x^1 y - x 2
dy _ Ex(x,y) _
_______________y - x z________________)
dx £ ,,(x ,y ) ( y - x 2)c o s (y -x 2) - l + -y/y-x2
t/y _ 2 x [(y -x 2)c o s (y -x 2) —l + -^/y—x 2] _ - ^ = 2
^ ( y - x 2)c o s (y -x 2) - l + - J y - x 2
22J Si x 2 seny + y 3 c o s x - 2 x - 3 y + l = 0. H a lla r-^
Solución a
Sea E(x,y) = x2 s e n y + y 3 c o s x - 2 x - 3 y + l .derivando:
£ v(x,y) = 2 x s e n y - y 3 s e n x - 2 y £ y (x,y) = x 2 cosy + 3y 2 c o sx -3
dy _ Ex(x,y) _ 2x sen y - y 3 s e n x -2
dx Ey(x,y) x2 co sy + 3 y 2 c o s x - 3

521. Derivada 507
(23) Hallar y'=— si tg(x2 + y 2) + ex' +ey2 = 0 por dos métodos que se han establecido.
dx
Solución
Aplicando el primer criterio se tiene: derivamos la ecuación tg(x2 + y 2) + e*2 +e}" = 0
sec2(x2 + y 2)Dx(x2 + y 2) + ex Dxx 2 +ey Dxy 2 = 0
sec2(x2 + y 2)(2x + 2y.y') + 2xe*2 +2 y.y'ey2 = 0
2>’sec2(x 2 +y2)y'+2yer y'=-(2xsec2(x2 +y2 ) + 2xex2)
2y(sec2(x2 + y 2ey2 )y'= -2x(sec2(x2 + y 2) + ex¡)
. dy _ _ x ^.sec2(x2 +y2) + ex2
' dx y sec2(x2+y2) + exl
Ahora aplicando el segundo criterio se tiene:
Sea E(x,y) = tg(x2 + y 2) + ex' +er .derivando
Ex(x,y) = 2xseo.2(x2 + y 2) + 2xex y Ey(x,y) = 2xszc2(x2 +y2) + 2yey
dy E (x, y) 2x(sec2(x2 +y2) + ex‘)
como — = -----—
-----= —------------------—---------
dx Ey(x,y) 2y(sec2 (x2 + y 2) + ey2
_ dy _ _ x ^.sec2(x2 + y 2) + ex¡
dx y sec2(x2 + y 2)+eyl
'24) Hallar ^ si y = (x 2 + l)sen*
dx
Solución
Tornando logaritmo a ambos miembros: ln_y = ln(x2 +1)sen v = sen x ln(x2 +1)

522. 508 Eduardo Espinoza Ramos
ahora derivando implícitamente se tiene
y'
_____ „ 2x
= senx.DxLn(xl +l) +Ln(x¿ +l)Dx senx => y'= v[senjc.— + cosx.Ln(x2 +1)]
y ' ' ‘ x +1
dv , ■> . , sen r ,2xsenx 2
— = (x +1) (—
------+ cosx.£w(x +1))
¿X X‘ + l
— = (x2 + l)senA_I2xsenx + (x2 + l))senjr eosxLn{x2 +1)
dx
25j Hallar — si y = x C0SJr
dx
Solución
Tomando logaritmo en la ecuación y = xC0SX
ln y = ln x C0SJr = co sxlnx derivando implícitamente
y*
— = eos x.DxLnx + Lnx.Dx eos x de donde
, r cosx , , COSA-r cosx . , dy COSJ:rcosx , n
y = vi
---------lnx.senx] = x [— -ln x se n x ] = x [ ---------lnx.senx]
x x dx x
26) Hallar — si v = xLnx
dx
Solución
Tomando logaritmo en la ecuación y - xLnx
lny = ln(xlnx) = lnx.lnx derivando implícitamente:

523. Derivadas 509
Solución
Tomando logaritmo a ambos miembros lnxy = lny*
aplicando propiedad de logaritmo y Ln x = x Ln y derivando implícitamente
y'\nx+ — = lnj>+—y' de donde ( l n x - —)y’= l n ^ - —
x y ' y x
y ln .v -x ,_ x\ n y - y y fx l n y - y s dy y
. y — => y — ( - ) —— — i
y x x y ln x -x dx x
, 0, u „ dy . x 2sjx + 1
28) Hallar — si y~
dx ' (x -l)3Z]5x-\
Solución
Tomando logaritmo y aplicando sus propiedades:
ln y = ln(— X -- /r —— r) =lnxtyx + l — ln(cjc — 1)3^5jc — 1)
(x-l) ZfSx-l ’
ln y = lnjc2 + In^x +1 - ln(x - 1)3 - In^Sx-l
ln y = 2 ln x + 1 n(jr +1) - 3 ln(jc -1) - j ln(5x -1)
y’ 2 1 3 1 . . . , r 2 1 3 1
— = — i-
----------------------------- de donde y = y[—+:
y x 2(x + l) x - \ 5 x - l x 2(jc + 1) jc-1 5 x - l
dy _ x 2 -Jx + 1 j- 2 + 1 3 1
dx (x -1 )3a/5x-1 x 2(x + l) x - l 5je-1
29) Hallar & si y = X ..arctgx
' J dx ' 1 + * 2
Solución
Tomando logaritmo y aplicando propiedades:
x ia y - y
y ln x -x

524. 510 Eduardo Espinoza Ramos
1 n y = ln(X arctk * ) = ln x2 + ln . arctgjc - ln(l + x2)
1+x~
y' 2 1 2x , 2 1 2x
— = - +
----------------------------- dedonde y = y [ - + — , ---------------------j]
y x (l + x )arctgx l + x x (l + x )arcAgx l + x
dy _ x ~ are. tg x 2 + 1 2x
dx l + x 2 x (\ + x 2)arc. tgx l + x 2
u ,, dy . (x + l)3^ ( x - 2 )
30) Hallar — si y -
dx ‘ ■' ^/(x — 3)2
Solución
Tomando logaritmo y aplicando propiedades:
(x + 1)3^ ( x -2)3 3 2
Z,«y = Ln
------, ■ ■ -----= 3 Ln(x + 1) + — Ln(x - 2) — Ln(x - 3)
V (x-3)2 4 5
y' 3 3 2 3 3 2
i - = —— + —
-----------------dedonde / = _y[—— +------- ------- -----— ]
y x + l 4(x - 2) 5 (x-3) x + l 4 (x -2 ) 5 (x-3)
dy (x + l)3^ /(x -2 )3 3 , 3
_______2
^ ^ /(x -3 )2 X + 1 4 (x -2 ) 5(x-3)
dv . (x + l)(2 x -3 )1/2
31) Hallar — si y =
dx l¡3x - 2
Solución
Tomando logaritmo y aplicando propiedad:
1/2
l n y = l n (* + 2i(2x~ 3)— = ln(x + 2 )(2 x -3 )1/2 -ln ty 3 x -2
' V 3 x -2
ln y = ln(x + 2) + ln(2x-3)1/2 -ln (3 x -2 )1/3

525. Derivadas 511
ln y = ln(x + 2) + — \n(2x - 3) - j Ln(3x - 2)
y 1 1 1 J j ^ • r 1 1 1
- - +
-— — de donde y = y[ ------------------+ -
y x + 2 2x-3 3x-2 x + 2 2x-3 3x-2
. d y _ (x+2)(2x-3)1/2 1 | 1
_______1 _
dx l¡3x-2 x + 2 2x-3 3x-2
418 EJERCICIOS PROPUESTOS.-
I. Calcular las siguientes derivadas, usando la definición
^ = R p t 3 ' f '(X)z
(D A(x)=—f= = Rpta. f'(x)--
^ slx + 2
® f(x) = x-J x +1 Rpta. /'(*) =
( 4 ) f(x) = 4 4 - x 2 Rpta. f'(x) -
© f(x) = l]2x + 3 Rpta. f (x) =
(ó) f(x) = 43-2x Rpta. / '(x) -
( 7 ) f (x) — —~z
----- Rpta. f \ x ) -
x +]
( ? ) f ( x ) = - f L = Rpta. f ' ( x ) =
*Jx +1
-13
(3x-2)2
-1
2(x + 2)3/2
3x + 2
2^1' x +1
X
~ 'J4--X2'
2
3(2x + 3)2/i
1
43-2x
4x
(x2 +1)2
1
2 ( x + l ) 3 /2

526. 512 Eduardo Espinoza Ramos
Cx + D (Cx + D)2
x 3 + l „ . ... . 2x3 -1
©
f(x)=4ax+-jL= Rpta. / '( x ) = —^
Vox 2 ^
a
2-fax 2 x-Jax
13) f(x)J a2+x2- Rpta. /'(*) = ^
-1 4 ; / w ” ^ 7 R p,a- ^
15} f ( x ) = - ^ ~ Rpta. / '( x ) =
2 x - l 1 “ ( 2 x - l) 2
16) f(x) = ¥ Rpta. / ’ (x) = 3X Ln3
17) f(x) = cosx Rpta. / ’ (x) = - sen x
18) / ( x ) = l ± ^ Rpta. / ’(x )= 12
3 - 2 x (3 - 2 x )2
II. Calcular la derivada en el punto indicado usando la definición
(T ) /( x ) = V l + 9 x , a = 7 Rpta. f'{a) = ^~
16
f = = . a = 3 Rpta. /• (a) = - J -
-Jlx + 3 27
/ ( x ) = —+JC + X2. a = -3 Rpta. / ’(a) = - ^
9

527. Derivadas 513
© f(x) = (x2 +x)2, a = 2 Rpta. f'(a) = 60
© f(x) = V*2 - 4 , a = 5 Rpta. / ’(a) =
V 2l
©
f(x) =
-Jl-3x
, a = -e Rpta. f'(a) =
----
250
©
©
©
/( * ) =
lW 5 + llx
, a = 1
/ (jc) =| J c -ll3, a = 1
/ W = - p - - 1 , a = 4
Vx
Rpta. / - ( a ) - - -
Rpta. f'(a) = 0
Rpta. /'(«) = - —
ÍO) f(x )= J x 2 - 9 ,a = 5
"> n x ) ’ i ñ - * - 2
f (x) = 3 -V 5 + x , a = -4
Rpta. /'(a) = -11
Rpta. /'(«) = - i
III. Determinar, cuales de las funciones siguientes son derivables en los números dados por
© f(x)
-Jx , x<4
, X0 =4 © f(x) = 7 Ü I , x0 = 0
2 (x -8 ) , x> 4
© f(x)=\x2-4\ ,x0 =2ax0 =-2 © / ( * ) =
-Jl-x ,x< 1
> Xn =1
(1 -X)2 ,X>1

528. 514 Eduardo Espinoza Ramos
Vm
,x < 1
©
fix) = , *0 =1
x2 , X>1
©
x2 -4 ,x < 2
/(*)=• , x„ =2
Vx-2 , x> 2
1 x + 2 1 ,x < 0
© / w=•2 -2 x 2, 0 < x < 2 , x0 = 0,2
x2 -4x+ 2, x> 2
3 5
© /(x )= V U H U II. - 1-4',
©
/ ( x ) = |* - 3|3 (x -3 ) + x3x —, x0 =3
/( * ) =
s/ x < -1
, *0 = - !
-1 - 2 x sí jc > —1
IV. Problemas de diferenciabilidad.
( ? ) Calcular los valores de a , b y c para que la función:
fix) ■■
— si | x | > 2
I x | sea continua en x = -2 y diferenciable en x = 2
ax 4bx + c si \ x\ <2
(T ) Calcular los valores de a y b de la fimcion f para que sea derivable en x = 2
fix) =
J -3 x , si x <2
\ax+b , si x>2
Rpta. a = -12, b = 12

529. Derivadas 515
(T ) Halle los valores de a y b tales que f sea diferenciable en 2 sí:
[ax + b , si x < 2
f(x) = \ . Rpta. a = 8, b = -9
' \2x -1 ,si x>2
© Sí f(x) =j x - 8 1 (x - 8 ) . Hallar los puntos donde f es diferenciable.
( ? ) Si f(x) = \ X si x< 1 Encontrar los valores d e a y b ta lq u e f'( 1) existe.
[ax + b si x > 1
Rpta. a = 2, b = -1
ax+b, si x<2
( ó ) Hallar los valores de a y b de manera que exista / '( 2 ) sí: f(x)
Rpta. a = 4, b = -7
x 2 -3 , si x>2
0
1 X X < 1
Hallar los valores de a y b de manera que la función: /(x) = < ’ sea derivable
[ax + b, x> l
en todo su dominio. Rpta. a = 2, b = 1
© Hallar los valores de a y b, de manera que la función: f(x) ■
ax~ +b, si x<\
1 sea
— , si x > 1
.1*1
1 3
derivable en todo su dominio. Rpta. a = — , b = —
2 2
© Hallar las constantes m y n de tal manera que la función / (x) =
sea derivable en x = -1. Rpta. m = 2, n = 10
x 1 +mx + 3, jc < —1
-4mx+n, x > —1
Í3— x, x<l
10^ Sea f la función definida como: f{x) = , donde a y b son constantes.
[ax +bx, x > 1
i) Si la función es continua para todo x ¿Cuál es la relación entre a y b?
¡i) Determinar los únicos valores de a y b que hacen a f continua y diferenciable.

530. 516 Eduardo Espinoza Ramos
Si / ( x ) = | x - 3 |3 ( x - 3 ) + x 3[ | x ~ | ] ¿Sea f derivable en x = 3?
12) Dado /( x ) = ( x - l) [ |x |] , trace la gráfica de f para x e [0,2], halle si existen /_ (1 ),
A ( i ) . / ' ( i).
13^ Dado / (x) = (5—jc)[| x |] , trace la gráfica de f para x en [4,6], obtenga si existen /_ (5),
f 'A5). /'(5 )
14) Dada f(x) = (x - a)[| x |] , demuestre que: f! (a) +1 = /' (a)
1?) Determine / '( - 3 ) sí f(x)=(\x\-x)\¡9x Rpta.
dy
V. Hallar la derivada — sí
CD
©
©
©
©
©
y-
í
dx
1
(.x + a)m (x + b)n
4a2 - x 2
y =
x + a
y=-
y = -
-Jx + -Ja
-J2x2 -2 x + 1
x
Vx3 + 3x2
Rpta.
Rpta.
= (3x2 + 4x + 8 )V x -l Rpta.
dy n(x + a) + m(x + b)
dx ( x + a)m+x (x + b)n+l
dy a 2
dx(a2 -x2 ) 3/2
dy -Ja(4x --Ja)
dx2-Jx-Jx + a (4 x +-Ja)
dy x - 1
dx
x 2y¡2x2 - 2 x + l
dy - 1
dx(x3 + 3x2)2/3
dy" '15x2
dx 2 ( x - l)
1/2

531. Derivadas 517
©
©
©
fío)
n-1
©
©
y=
y =
d + x)n
Vi + X + -\/l ~x
- \ / l + X -~J 1 -x
y = (x + a)m(x + b)n
v _ 4 x 2 + 1+ V * 2 -1
V 4 x2 + \- 4 x 2 -1
y - ■
y =
i-V x
ll + Vx
4x + 6
V* 2 + 3x + 4
3
2x +1
_ 4a + bx —4a — bx
-Ja + bx+4a-bx
_ tx? +3x + 5 45
16) y = ^ ( l - x ) m(l+x)n
IV y-
1 + x
y-
i - x
4X + -\[x + 4 x
Rpta.
rfy _ « x
dx (x + 1)
«+i
Rpta. ¿l = - l r[l + -F±=)
dx
dy
Rpta. — = (x + a)m 1 (x + b)n l[m(x + b) +n(x +a)]
dx
n dy x
Rpta. — =
* V*4 - i
Rpta. ^
Rpta.
Rpta.
(Vx2 +1 W x 2 - 1)2
í¿X
2(4x + l)4 x -x 2
1
dx(x2 +3x + 4)3/2
¿y _36x2(x3 —l)3
dx (2x 3 + l)5
r. ^ dy a ri
Rpta. - f = - _ [ ! -
dx bx2 4 a 2- b 2x 2
dy 5(2x2 -2 x - 1 3 ) x 2 +3x + 5 4
Rpta. — =
-------------------(-------------)
dx (2x - l ) 2x —1
Rpta. ^ = [ÍZ 1 Z ^ L Z Z 2 ) £ ](1 - X)W . (1 + X)
dx m + n
-m
m+n
dy _ 2x 2 J - x 3
dx~ (1- x 3) 2 1 + x 3'
2/3
Rpta.
dy _ 1 + 2-Jx + 44x^x-Jx
Z - TxJ ^ T x -\/x + a / x + a / x

532. 518 Eduardo Espinoza Ramos
(Í9) y = l l Rpta. ^ = — (1 + ^1 + V ^)"2/3d + ^ ) ' 2/3x*2/3
^ dx 21
a t -v/l - eos x _ , rfy 1
20) y = a r c t g - = _ Rpta. — = -
Vi + eos x dx L
cosx 1 , . x. _ ^ ¿y 1
21) y =
------------—ln (tg -) Rpta. - -
2sen2 x 2 2 dx sen3
t g x - t g 3 x dy 1
l - 6 t g 2 x + tg4 x dx eos2 4x
x ex - e x x cosx + 2senx n . dy 1 ,
23) y = arctg—
----— - are. tg--------- ------- Rpta. -f- = -----—— + 1
e +e senx-2cosx dx cosh2x
..a .x 2" -1 dy 2nxn~l
24) y = are.cos(—
-------) Rpta. ' -
x 2" + l dx x 2n+l
25) _v=— arc. tg(emx J - ) Rpta ^ ^
m'■Jab ' U ' dx aemx + b e mx
1 x2arc. tg.r+—Z,ar+1
1 x¿arc.lgx+—Lnx+l c[y l e 2
26) y = —j=e 1 RPta- — = (2x
--------r-) r-
4x dx 1 + x Vx
, sen a.sen x . „ dy sen a
21) _y = a/r.sen(
--------------------) Rpta. — = -
1 -c o sa .se n x dx 1 -c o sa .c o sx
,6 + ac o sx dy -Ja2 - b 2
28) y = are. cos(
-------------) Rpta. -
a + b cos x dx a+ b eos x
i r a sent2(r ^ r ^
2/-1- Vx 1+Vx
29) y — eos (
-----j=) Rpta. — =— = ------------------= —
1 + Vx dx V x (l+ v x )
->,1 -Ira; „ . rfy Lnx-2 1-Z ,rar..
30) v = sen"(
---------) Rpta. — = ------— sen[2(---------)]
^ y ' x dx x~ x

533. Derivadas 519
©
\ - e \
•‘' =,S(I 7 7 )
2 1 x
y = - are. Ig x + - arctg
-------
3 3 \ - x
y = Lti( tg —) - c tg x.Ln( 1 + sen x) - x
1 1 ,1 + x* 1 ♦
>’= T ln("¡
-----) —-a rc tg x
4 1 -x 2
55) y = \n(x + 4 x 2 -1 )
y = 4xarc. sen -Jx + 4 l- x
• = L«(V2senx + l + se n x -1 )
y = Ln.
1 + sen x
1 -se n x
y = Lti(3x2 +V 9x4 +1)
^ 4 tg x + l - 2 ^ tg x
7 4 tg x + T + 2Vtgx
y = ln(
21n (senx) + 3
21n2(se n x )-3
)
y = y a/íí/r. sen -Jx1 +2x Rpta.
dy
dx
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
dy _ -2ex
dx (\ + ex)
dy _ 1 + x 4
dx l + x 6
sec (--------)
l + ex
dy _ Ln(l + sen x)
dx sen2 x
dy _ x 2
dx I - * 4
dy _ 1
dx Vx2 -1
dy _ 1
dx l4x
are. sen
dy cosx
dx V 4sen2 x - \
dx eos x
„ . ífy 6x
Rpta. — -
* ^ 9 x 4 +1
2sec2 x
Rpta.
dx tgx + 1)
í/y _ 241n(senx)rtgx
dx 41n4(se n x )-9
x + 1
&4x2 + 2 x V l - x 2 - 2 x(are.sen-Jx2 + 2 x )
3/4

534. 520 Eduardo Espinoza Ramos
43J y = arc.tg (Ln(ax+b)) Rpta.
-------------------------------
(ax + b)( 1 + Ln ~ (ax+b))
44) ,= i|ln (se „ ü ¿ ) Rpta. ^ 1 ct8«* + 3>'4>
4 dx 12 z,„2/3(sen(jc + 3)/4))
4S) >> = ln2 x-ln(lnx) Rpta. — = 2^n.~X—-
^ dx xLnx
(4ó) y = (2 - x 2)cosx2 + 2 x sen x 3
Rpta. — = -2 x c o sx 2 + (jc2 -2)2xsenx2 + 2 sen x 3 + 6x3 eos*3
dx
(47) y = sen(cos2 x) cos(sen2 x) Rpta. — = - sen 2x cos(cos2 x - sen2 x)
w dx
(4§) y = sen(sen(senx)) Rpta. — = cos(sen x(sen x)) cos(sen x) eos x
dx
( 4 ^ 7 = sen3 (sen2 (sen x))
dy 9 9 1
Rpta. — = 3 sen'(sen (senx))cos(sen (senx)).sen(2senx)cosx
dx
S0j >■ = sen(,sen7 jr7 +1)7) Rpta. | - 3 4 3 * V . , x « ’ W , 7 + l)‘ .coS(K „ 7 , 7 + 1)7
51) y = sen(x2 +sen(x2 + se n x 2))
Rpta. — = cos(x2 +sen(x2 + senx2)).[2x + cos(x2 + senx2)(l + cosjt2)2x]
dx
© >'=<— r = r > ' «p«“- r— r )" ‘
W 1 + V l-x 2 (l+Vl-JC ) (1 + Vl-Jf2)
(53) _v = (-\/x + l +4x — l ) 4 Rpta. — = 2(-\lx +1 +4x — l ) 3( —. )
v -^ dx -Jx + \ V x-1

535. Derivadas 521
54; y - . R pta. d y ^ 2(x2 - x + l)
3^(1+ x 2) 3 te (x2+l)512
^ 5) y = {x + 4 ~ x )n R pta. ^ - = n(x + 4 x )n~l(l - } )
^ dx 2*J- x
56) Sí / • ( * ) = — í _ , j, = / ( _ £ _ ) . Hallar
^ x 2 + l Jf + 1 dx
■CT\ . (x —l) 3(x - 2 ) dy 3 1 1
57) y = ln(-
-------—-----' ) R pta. — = -------+ -
x-3 dx x - l x - 2 x-3
58) 2 arcsen3" + ( 1 -árceos3x)2 R pta. = 3 ln 2.2arcse^ _ 6(1 - arccos3x)
( g ) y = ln(arcsen(5x)) + arcsen(lnx) R pta. — = . ^ ^
te -Jl-25x2 are. sen 5 x jcVI — ln jc 2
dy
VI. Derivación Implícita. Hallar sí:
dy 1
e y = x + y R pta. — =
dx ey - 1
© l „ >l + i = * R pta. *L = J L -
y dx x - y
( ? ) arctg—= —ln(jr2 + y 2) R pta. — = X + ^
x 2 dx x - y
¿ _x~y ^
y 3 = ——— Rpta,
x + y dx 2 - 3 y (x + y)
©
x „ dy y l - x 2 - y 2
xy = are. tg — R pta. — = —.
u /7v V
>' ' dx x 1 + jc2 + y 2

536. 522 Eduardo Espinoza Ramos
x sen y -e o s y + eos 2y = 0
sen y
dx 2 sen 2y - sen y - x eos .y
( j ) y sen x - eos (x - y) = 0 Rpta.
dy _ y eos x + sen(x - y)
dx sen (x -.y )-sen x
sen xy + eos xy = tg (x + y)
_ dy y eos2 (x + v)(eos xy - sen xy) -1
Rpta. — =
-------- ----- ----- ------ —— —
dx xcos (x + >>)(cos xy - sen xy) -1
© x 3 +ax2y + bxy2 + y 3 = 0
dy 3x2 +2 axy+by2
Rpta. — =
---------------------
dx ax +2bxy+3y
10) x 4 + / = x V Rpta.
dy x y 2 -2 x 2
dx y '2y2- x 2
©
x — y = are.senx — arc.seny
í y x 2 -a-Jxy + y 2 = a
Rpta.
Rpta.
dy _ J l - y 2d - 4 l - x 2)
<** V l - x 2 ( l - V l- y 2)
dy _ 4xjxy + y
dx 4 y-Jxy + ax
13) 2x*y2 -4 x 2y 4 +x2y 2 =6
_ dy y .4 x 2 - 4 v 2 +1
Rpta. — =
-----(— ------ )
dx x 2x2 -S y 2 +1
4) y 5 -2 x 2y 3 +3x4y - x 5 = 5
dy 5x4 —4xy3 -1 2x3y
Rpta. — =
----------V —------f
dx 5 j4 - 6 x y +3x
í s ) -Jy+iJy+tfy* =x
Rpta.
dy _ 1
dx~ 1 .+ !+. 1
2 J y 3 4 7 W 7 "
16) -Jxy+ 2 x =4~y Rpta.
dx Vx - x

537. Derivadas 523
^7) x - y = arc.senx - arc.seny R pta. — = ^ L = £ = iÍ — ^ L.J L J
(Ts) y = x + arc.tgy R pta. — =
^ dx
dy _ l + y 2
3 , 2 2 -> 3 ^ dy 3x2+ 4 x v - v2
x +2x~y-xy +2y = 2 R pta. — =
--------------f-— :— r
dx 2x y -2x -6y
@ x3 -3axy+y3 = a3 R pta. d y - a y x
2
dx v 2 -y -ay
© 4 + 4 = 1 « * »
@
3 2 2 _ dy 2xy-3x2 - y 2
x +xy = xy R pta. -7- = 7
n r
(11) (x + y)3+ (x-y)3 =x4+yA R pta.
dx 2 x y-x 2
dy 2x3 -3x2 - 3y 2
dx 6xy-2y3
© R p ,.. $ = ^ T T
w dx 4x-3y
.3
@ (x + ^ J = * - y R pta. £ = 1 l 3
l + 3xy + 4jy
VII. Derivadas de las funciones y = ( f(x))*w
(T ) j> = (x 2 + l)sen' R pta. ^ = (x 2 +1)sen * (eosxln(x2 +1) + 2 "-)
w dx x2+l
(2) >» = e x R pta. — = e x' x x x ' ( — + (Z,nx + l))
w dx x

538. 524 Eduardo Espinoza Ramos
© y = ( l « 2)*“ '*' Rpta. +
dx l + x l + x
© y - * f' RP«.
w dx V x
( ? ) y = x senx Rpta. Q = xseDX(— +eosxLnx)
w dx x
© y = xLnx Rpta. ^ = 2xLnx~lLnx
dx
( 7) y = (Lnx)x Rpta. — = (Lnx)(Ln(Lnx) + —^—)
dx Lnx
12) y - x 1"
( 8 ) y = (sen x)cosx Rpta. — = (sen)cosx (c tg x eos x - sen xZ,« sen x)
w dx
dy
dx
dy xLny-y y
( 9) y = (cosx)* Rpta. — = (eos x) * (Ln eos x - x tg x)
dx
10) xy = yx Rpta.
dx yLnx-x x
© y = xx2 Rpta. ^ = x*2+1(1 + 2 Lnx)
dx
, dy i-\-Lnx
Rpta. -f- = Sjx-----
-—
dx X
x W T " R p t a '
14) , = , < * -? * Rpta. * = , ( - »
______1_______* _ )
" ^/(x + 2)2 i/(x + 3)3 * l¡{x + 2)2-J(x + 3)' x ~ 2 3(* + 2> 2^ + 3>

539. Derivadas 525
VIII.
O
©
©
©
©
©
©
©
11V* + l o . dy
y = .
---------Rpta. — = -----------------------
V (x - l)5( x - 3 ) n dx -J(x-l)5 (x - 3 ) 11 2(* + 1) 2 Í * - 1) 2(* ~ 3)
)
y
- 3
|x(x2 +1)
X2-l
y = -
y
( x - 2 ) 2V ^T Í
(jc- 5 ) 3
(x+1^47^2
S¡(x- 3)2
Derivadas en un punto
Si y = tg3 - ^ , Hallar ^ U 2
6 dx
Rpta. ^ , í l ± f a L ± í , K !+1>
dx 3 x (l-x 4) 'Y(jc2-1 )2
Rpta. 2 (x -2 )(x 2 +11jc + 1)
d* 3(x-5)A4(x + l)2
dy _ 51x 2 -302x + 361 (x + l)24 / ^ 2
dx 20 (x -2)(x-3) 5j(x -3) 2
Rpta.
Si f(x) = tgx y g(x) = Ln(l —x); H allar—-
/ ’(O)
g ’(0)
Si f ( x ) = l - x y g(x) = l- s e n — ; Hallar ^ ^
J s 2 / ’(I)
Calcular /'(O ) sí f(x) = e x cos3x
Hallar / ' (1) sí f(x) = ln(l + x) + arcsen—
Rpta. 671
Rpta. -1
Rpta. 0
Rpta. -1
„ 1 V3
Rpta. — +
----
f 2 3
Sí /( * ) = ln(tg^)— Hallar / " £ )
2 sen x 4
Sí f(x) = 2jLrtx . Hallar / ' (e)
Si f(x)=em sen me. Hallar / ' ( - )
Rpta. 4V2
„ 1
Rpta. —
3e
71
Rpta. /re2

540. 526 Eduardo Espinoza Ramos
® Si /( x ) = l n ( ± ± ^ ) Hallar / ' £ )
^ tgx 4
Rpta. -1
10) Hallar y' sí y = arctg(-— + arcsen(— ^ X_ )
1 + tgx
V í
+ tg x
_ j x 2(sen(l/x) + x , x * 0
© Dada la función /( x ) = '"~“ v ’ ' ~ ^ ” ; Demostrar que / ’(O) = 1
^ 2 ) Dada la función / (x) =
x 2 + senx , x = 0
¡x + 0.2l|]+x2 eos— ,x * 0
Hallar / ’(O) si existe, usando la definición de derivada.
¡ 3) Si y 3 = V 5* 3 + 3* 2/V /3 Calcular — para x = 1, y = 1
dx
V5 —^8x"
14) Dada la función / (x) = ■ _ , determinar los valores de m, sí:
I jlx -l
15) Si /( x ) = cos3(x + 7r), hallar / ' ( —_)
4
S ) Si f(x) = 4x + \£ X,i^ , hallar / ’(0)
Sí f: I—» R es una función derivable en el punto x = a, (a e I), entonces la ecuación de la
recta tangente a la gráfica de f en el punto P(a, f(a)) es dado por:

541. Derivadas 527
Si / '(a) O , entonces la ecuación de la recta
normal que pasa por el punto P(a, f(a)), es
dado por:
ln -y-ña)**-
Para el caso en que / ' (a) = 0, la ecuación
de la recta normal es: x = a.
Llamaremos longitud de la tangente, al segmento de la tangente comprendida entre el eje
X y el punto de tangencia y denotaremos como: L, = d(A, P ).
Llamaremos longitud de la subtangente al segmento AB que es la proyección ortogonal
del segmento AP sobre el eje X, al cual denotaremos como: Ls, = d(AB).
Llamaremos longitud de la subnormal al segmento BC que es la proyección ortogonal del
segmento PC sobre el eje OX .
De la ecuación de la recta tangente L , : y - f (a) = f' (a)(x - a) .
Calculamos el punto de la intersección A con el eje X, para y = 0, entonces:
m
x = a
/'( « )
como el punto de tangencia es P(a,f(a))
m
A ( a - £ f - , 0)
/(a)
L, = d(A,P) =
Ls, - d(A,B) =
f'(a)
m
+ (f'(a))2 - Longitud de la tangente.
f'(a)
= longitud de la subtangente.
De la ecuación de la normal L„ : y - f( a ) ~
----------(x-a ), calculamos el punto C de la
f'(a)
intersección con el eje X.

542. 528 Eduardo Espinoza Ramos
Para y = 0 =i> x = a + f(a)f'(a) =i> C(a + f(a)f'(a),0).
Ln = d(P, C) + (a))2 = longitud de la normal.
Ls„ = d(B,C) = \f(a)f'(a)\ = longitud de la subnormal.
Ejemplos:
Hallar las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva y = x3 -3x en el punto
(2.2)
Solución
Calculando la pendiente = mL, = — \p(2 2>, pero como y = x3 - 3x=> — = 3x2 -3 .
dx dx
dy
Entonces mL, = — 1^2,2)=12 - 3 = 9
Luego Lt : y - y 0 = mL,(x-x0), dedonde L, :y-2 = 9 (x -2 ) => L, :9 x -y -\6 = 0
como L„ ± L, => mL„ = -■^ , entonces Ln : y - 2 = -^ (x -2 )
Ln :x + 9 j - 2 0 = 0
© Hallar la ecuación de la recta tangente y de la normal a la curva x5 + y 5 - 2xy = 0 en el
punto P(1,1)
Solución
Para calcular la pendiente de la recta tangente, en primer lugar calculamos su derivada, es
decir: x5 +y5 -2xy = 0 => 5x4 +5y4y'-2y-2xy'-0
( 5 / -2x)y'=2y-5x4 => y’= 2/ A~5~~ -
5 y '-2 x
dy _ 2_y-5x4 _ 2 - 5

543. Derivadas 529
entonces L, : y - y 0 = mL,(x-x0) => L, : >>-1 = —(x - 1 ) , de donde L, :x + y - 2 = 0
como L„ 1 L, => mLn = 1, entonces tenemos que:
L „ :y -\= x -\ => L „ :x-y = 0
a) Representación de curvas en forma parainétricas
Las coordenadas (x,y) de un punto P de una curva pueden ser funciones de una
variable t llamado parámetro, es decir:
1 *(n
c.
A la ecuación (a) se denomina ecuación paramétrica en donde cada valor de t le
corresponde un punto P(f(t),g(t)) del plano XY. El lugar geométrico que describe los
puntos f(t) y g(t) se denomina curva parametrizada de la ecuación paramétrica, para
obtener la ecuación cartesiana se elimina el parámetro t y de esa manera se
obtiene una ecuación de la forma cartesiana y = f(x) ó E(x, y) = 0
Ejemplos: Trazar la gráfica de las siguientes ecuaciones paramétricas.
( ! ) x = 2t, y = -5t
t K
0 0 0
1 2 -5
2 4-10
-1 -2 5
-2-410

544. 530 Eduardo Espinoza Ramos
( 2) x = t - l y = t2
Solución
Ejemplos.- Trazar la gráfica de las ecuaciones paramétricas pasando a coordenadas
cartesianas
x = -1 + cosG , y = 2 + 2sen0
Solución
® x = t y = l-
Solución
Eliminando el parámetro t para obtener la ecuación cartesiana
x = t
• l => xy = 1 ecuación cartesiana cuya gráfica es una hipérbola.

545. Derivadas 531
b) Derivadas de las Ecuaciones Param étricas
Consideremos dos funciones f y g derivables en un intervalo [a, b], tal que:
[* = / ( / )
...(a), son las ecuaciones paramétricas
y = g(0
dy
La — donde x e y están dados en forma paramétrica, se obtiene aplicando la regla
dx
de la cadena, es decir:
Sí
x = f ( t )
y= g(0
dx
~dt
-J '(0 dy
, entonces: — = ~ - = 8 ; f'(0 ^ 0
dx dx^ f'(t) '
dt
f
. dy _ g'(t) #
dx f'(t) ' "
n o * 0
Para obtener la segunda derivada, se aplica nuevamente la regla de la cadena, es
decir:
± (dy, d f'(Q g"(0-g'(0f"(0
( / ’(O)2d~y_= d_(dy_._dt dx _dt f'(t)
dx' dx dx dx_ / '( / ) / ’(/)
di
d \ v _ f'(0g"(0-g'(0f"(0
dx2 (./"(O)’

546. 5 3 2 Eduardo Espinoza Ramos
©
Ejemplo.- Calcular la derivada — de las funciones dadas en forma paramétrica.
dx
/ +1
>• = (—t)
í + r
Solución
/ + 1
y = ( - Z ) 2
/ + 1
1 2/
0 + 0 , . , í/y v,
de donde — = — = —
2 / dx x,
(1 + 0 2/(1+/)'
1
(1 + 0 3 d + 0 '
( l + o3
2/
1+/
©
í/v _ 2/
í¿t 1 + /
.y = a (/-s e n /)
y = a(\ - eos 0
para I - -
Solución
x = a(t-sent) x, = a ( l-c o s /)
y - a( 1 - cos I) V/ - a sen /
dy _ .v, _ a sen / _ sen /
dx x, a(l -e o s/) 1 -c o s/
£'
1
i - o
—i — i
dx
Ejemplo:
Encontrar las ecuaciones de la tangente y normal de la curva x = / 2 + 1 , y = / ’ + 2/ en el
punto donde t = -2

547. Derivadas 5 3 3
Solución
I .v = I ~ +1 x, = 21
y = r + 2/ >•, = 3 /- + :
dv y, 3 r + 2
entonces — = — =
---------
d.v ,v, 2/
, dy 7
mL, = — I, 2 = - ^
Í7X 2
el punto para t = -2 es P(5,-12) por lo tanto L, : y + 12 = ——(jc-5)
-12 2
«;L„ =
-----= — por lo tanto L„ : v +12 = — (.v - 5)
n,L, 1 ' 7
4.21 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR.-
Sí f: R —»R es una función derivable en x entonces:
que es otra función la cual puede derivarse es decir:
/ 'U W o - '/ ’Cx)
a esta función le llamaremos la segunda derivada de f y si la función f"(x) se vuelve a
derivar, se obtiene otra función:
r"(x)- hm Ax).
' : /;
y lo llamaremos la tercera derivada de f y así sucesivamente se tiene, que la derivada de la
función f (" °(,v) es:
h
y se denomina la n-ésima derivada de f con respecto a x.

548. 5 3 4 Eduardo Espinoza Ramos
NOTACION: /*"* (jc) = Duf(x) = f(x)
a) Propiedades de las Derivadas de Orden Superior
Si D''/(x). D"g(x) existen en un intervalo entonces
Q D" (./ (x) ± g(x)) = D"x f(x) ±
n
0 d ; ( f(x)g(x)) = £ ( Z )D'' */(jr)D Í jí(-v) (Regla de Leibniz)
k 0
ttí!
(w - //)!
m\
si 0</i< m
si n = w
si n > m
O
Ejemplos:
Hallar f {n)(x) si J'(x) =
Jt + 1
Solución
./‘(jc) = —r=> /''(*) =
-----------i
-v + l (x + 1)“
, / " W ~
(JC + 1)
/ ' ” (*) =
-1.2.3
(-v + 1)4
/ "( V) =
(—1)" (1.23..ji)
(-V + 1)
ii+l
: ..r " ( x )
(-1)” »!
(Jf + l) " '1

549. Derivadas 535
Hallar f in)(x) si f(x) = Ln(x + a)
Solución
f(x) = Ln(x + a) => f'(x)
(x + a)
f"(x) =
------- —-
(x + a)~
r w 12
(x + a)3
(x + a)4
,y, x 1.2.3.4
./ (x) =---------—
(x+a)
r { x ) j-ir 'i.2 ....(n -i) f n ( x ) J - , r \ n - i y .
(x + a)n (x + a)n
© Demostrar que la función y = Axn + Bxl ”, satisface la ecuación diferencial:
n(n-l)y-x2y”=0
Solución
.V = Ax" + Bxl~” => y = + (1 - n)Bx"
n(n-\)y = ti(n-\)x" +n(n-\)Bxx~" ... (1)
.v" = »(/; -1 )Ax" 2 -n (l-n )B xnl
x 2y"—n(n — l)Ax" + n(n—l)xl " ... (2)
Luego restando (1) y (2) se tiene: n(n-l)y-x2y"—0

550. 536 Eduardo Espinoza Ramos
©
senh x cosh x
Demostrar que la función y = A----------(- B
--------, satisface a la ecuación diferencial:
x x
x v"+2xy'-x~y = 0
Solución
, ,,x coshx-senhx, „^xsenhx-coshx, coshx „senhx 1 senhx coshx,
y = A(
--------------------) + B( -------------------) =A-------+ B------------(A--------+B--------)
x~ X' X X X X X
y
coshx „sen h x y , . ,
= A
-----------B-----------— , derivando nuevamente
X X X
, x sen h x ~ co sh x . x c o sh x -se n h x xy’- y
V = A(
---------------------) + B(-----------r---------) - - V 1
senhx „coshx 1 ..c o s h x _ senhx, xy’- y 1 , . y . x y '- y
= A
--------+B--------------(A---------+ B---------) — = y — (y + —) — :LT Z-
X X X X X X' x X x~
„ x 2 y - x y '- y -x y ' + y x 2y - x y '- x y ' 2 t > 2 n
y = — :
------ — j----- — — = — :----- -----— dedonde x y +2xy-x y = 0
x" x'
© Muestre que eos bx)(n) = r"eax eos(bx+ncp) determinando r y ip en función de a y b
Solución
(eax eosbx){l) = ae“x eosbx-be“1 senbx = eax(aeosbx-bsenbx)
2+b2 4 ci2 +b2
sen /?x]
= Va2 + b2 eax (eos cp eos bx - sen <p sen bx) = Va2 +b2 e“x eos ((p + bx)
pues en el siguiente gráfico se tiene:
b
sen (p ,---------------------; eos <p = -
-----------------------
Va2 + b2 V «2 +b2

551. Derivadas 537
(em eosbx){1) = \Ja2 + b2 [aeax eos(bx + <p)~beax sen(bx + (p)]
= (4a2 +b2 )2[—j= a. --- eax cos(bx + (p) — . Jü. ...... e“x sen(¿>,r + <p)]
•Ja2 +b2 -Ja2+b2
= (a2 +b2)eax[cos(pcos(bx + (p)-sen(psen(bx + (p)] =(a2 +b2)eax cos(fcc+2<p)
En forma similar obtenemos: (eax eosbx)m = (4a2 +b2 )3 eos(bx + 3(p)eax
Luego por inducción, para un n e Z ^, tenemos:
(e“x eosbx)(n) = (4a2 +b2 )" cos(bx + n<p)e“x
y se pide demostrar: (eax eos bx)(n) = r "eax cos(bx + n(p)
I ? , i b
entonces r = ^a~ + b~ y (p = arctg—
a
( ó ) Si f(x) = a sen 3x + b eos 3x, Hallar los valores de a y b tal que se cumple la igualdad:
f"(x) + 4 / ' (x) + 3 f(x) = 10 eos 3x
Solución
í f' (jc) = 3a eos 3x - 3b sen 3x
f(x) = a sen 3x + b eos 3x => <' , entonces:
[ / '' (x) = -9a sen 3x - 9b eos 3x
-9a sen 3x — 9b eos 3x + 12a eos 3x — 12b sen 3x + 3a sen 3x + b eos 3x = 10 eos 3x
(-6 a - 12b) sen 3x + (-6b + 12a) eos 3x = 10 eos 3x
igualando coeficientes se tiene:
- 6 a - 1 2 Z ) = 0
, resolviendo el sistema
- 6 /j + 1 2 f l = 0
2
a = —
3
6 - 1
3

552. 538 Eduardo Espinoza Ramos
4,22 EJERCICIOS DESARROLLADOS.-
8
( ? ) Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva y = —
-----en el punto (2,1
Solución
c r ¿y i a a a dy 16x
Se conoce que mL, = — | r=1, de donde — =
-------------
dx ' dx (x~+4)~
]6x
__ =_32=_32=_I
(x2 +4)2 82 ~~ 64 "" 2
L, : y -1 = —j( .y - 2 ) , de donde L, : x + 2y = 4
(T ) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva x5 + y 5-2xy = 0 en el punto (1,1).
Solución
Primeramente calculamos la derivada, es decir:
x5 +>,r> -2xy = 0 => 5x4 + 5_y4 — - 2 y - 2 x — = 0
' dx ' dx
, , 4 ,dy 4
_ dy 2y-5x4
(5 y -2x) — = 2>‘-5 .r -
dx ' dx 5y -2x
dv 2 y - 5 x 4 2 - 5
pero como mL, = — |P(U) = — - - - - - |P(11) = —— = - i
ax 5_k -2x
además L, : y - y0 = mL, (x - xfí) , de donde L, :x + y - 2 = 0
(T ) Encontrar una ecuación de cada una de las rectas normales a la curva y = x 3 - 4 x que
sean paralelas la recta L: x + 8y - 8 = 0
Solución
Como L,1L„ y Ln || L : x + 8.y - 8 = 0 . entonces:

553. Derivadas 539
L,1L,,=> mL. = — — donde mL=——
mL 8
por lo tanto: mL, = — — = í
Además sea P„ (x0, y0) un punto de la curva y = x 3 - 4 x , entonces y
m L , = -7- l.r=.v„ = 3* 2 ~ 4 U , „ = 3 * o - 4
dx
igualando (1) y (2) se tiene: 3x,2 - 4 = 8=> x 2, =4=> x(, =±2
para x(t = - 2 , y» = 0 => P, (-2,0) y x0 = 2 , y n = 0 => P2 (2,0)
I
como Ln : y - y 0 = mLn (x- x0) , entonces se tiene:
: y - 0 = ~ ( x + 2 ) , £ n : y - 0 =-■^ ( x - 2 ) |
© Demuestre que para la hipérbola cuya ecuación es b2x 2 - a 2y 2 = a2b
la línea tangente en (x0,y 0)es b2x0x - a 2y0y = a2b2
Solución
Calculando la derivada se tiene: 2b2x -2 a 2 y ~ = 0 =>
J ~ ydx dx a2
si (jt„, _y0) es punto de tangencia de la hipérbola entonces: b2xl - a2y
, . , dy b2x . b2x()
ademas mL, = — l/>n(^ ^ o) = — lpo(Wo) = ~ T ~
ax a y a y()
b2x
como L, : y - y 0 =mL,(x-x0) entonces L, : y - y 0 = ■ / 0 (x - x ,
a'yo
— Xo -4 * „
...(2)
' , una ecuación en
2 - „2,2
n — a b

554. 540 Eduardo Espinoza Ramos
T 2 2 2 r.2 1.2 2
L, :a y0y - a y0 = b x0x - b x0
r 1.2 2 . 2 2 2 2 2.2
L, :/> x{)x - a y0y = b x0 -a y0 = a b
L, :b2x0x - a 2y0y = a2b2
© Demuestre que la elipse cuya ecuación es: b2x 2 +a2y 2 =a2b2, una ecuación de la línea
tangente en (x „,y n )es b2x()x + a2y0y = a2b2
Solución
Calculando su derivada se tiene: 2b2x + 2a2v —- = 0
dx
dy - 1)2x
_____ d>'
de donde: — =
----, como mL. = — I „ ,x v , *
dx a2 y d x ™ 0'™
r b2x ir./ \ b"xQ
entonces : mL, = — — | P() (x0, y{)) = — -— , ademas
a y a-y0
b2Xn
L, : v - i-'o =mL,(x-x0) , entonces: L, : y - y0 = — r— ( x - x 0)
a'y0
L, :b2x„x + a2yny = a2b2
( ó ) Encontrar la ecuación para cada una de las rectas que pasan por (-16,-3), y que sean
x —l
tangentes a la curva y =
x + 3
Solución
El punto (-16,-3) no está en la curva, entonces para calcular la pendiente tomamos un
punto de la curva P(a,b) que es por donde pasa la tangente.
Calculando la pendiente mL, = — -
fl + 16

555. Derivadas 541
además mL, = — \, h) donde — = — - —-.en to n ces mL, = — - —— ...(2)
dx ' dx (x+3)~ (a+ 3)"
igualando (1) y (2) se tiene: ^ ■ = — - —- = > - 3 + ...(3)
a + 16 (a + 3) (a + 3) 2
como el punto P(a, b) pertenece a la curva, entonces satisface a la ecuación
b = ^ \ ...(4)
a+3
ahora reemplazando (4) en (3) se tiene: ——- = -3 + simplificando se tiene:
a + 3 (a + 3)2
a1 + 4a -1 0 = 0 => a = —2 + -Jl4 , a = —2 —J\4
•JÍ4-3 . 4
para a = - 2 + -JÏ4., b= —j=—.=>mLr =
-J\4+ 1 ' ' (l-r-J\4)2
4
L, : v + 3 = --------.= — (x +16)
(1+V Î4)2
- rrr , *J\4 + 3 4
para a = - 2 - v i 4 , b = —¡ = — => mL, =■
V Í4 -1 ' (1 -V Í4 )2
L, :y + 3 =
------^ = ^ - ( * + 16)
(i —y íí)
( 7) Hallar la ecuación de la tangente a la curva x2y ~ x+ 1 cuya inclinación es de 45°
Solución
Como 45° es el ángulo de inclinación de L, , entonces:
mL, =lg45" =1 => mL, =1 *..(1)
- ’ , * + 1 1 1 , ■ ,
ademas: x~ v = x +1 => y = —— = — + ——, derivando

556. 5 4 2 Eduardo Espinoza Ramos
dv 1 2 dv . 1 2
_ = — — z^ mL¡= ¡ -
dx x x' dx a“ a"
K-~ ..2 „3 => mLt - ^ U o - ^ '_ 3 -.(2 )
1 2
igualando (2) y (1) se tiene: — -
-------- = 1 de donde a 3 +a + 2 = 0 => a = - 1
o - a
como p(a, b) pertenece a la curva => b = para a = -1, b = 0 => P(-1,0),
a~
L, : y - 0 = l(x +1), de donde L, : x - y +1 = 0
( ? ) Si una recta tangente a la curva x4 -2 x 2 - x + y = 0 en el punto (-1, 0) es también
tangente a la misma curva en el punto P(a, b), hallar las coordenadas de P. ■
Solución
Como mL, = ^ | /)(-i,0)= (l + 4 x - 4 r , ) |/,(_U)) = l ...(1)
mL, = C-~\P(a.h) = l+4<7-4a3 ...(2)
igualando (1) y (2) se tiene: \ + 4a-4a3 =\ =?• (1 - a 2) = 0 => a = ± 1 :=> a = 1
como P(a,b) es punto de la curva entonces: a4 -2a 2 -a + b = 0 para a = 1 => b = 2
El punto es Pf 1, 2)
( 5 ) Probar que la suma de las intersecciones con los ejes coordenadas de cualquier recta
tangente a la curva x Xl 2 + >■* 2 = b1'2 es constante e igual a “b” (b > 0)
Solución
Calculando la recta tangente xhl + y in =bl‘2 => — = - J —
dx V x

557. Derivadas 543
, d>' i yo
mL, = — p = - —
dx'P" Vx0
l, =y-yo =-J—(x-x0)
4*üy+4 ñ x - y o - x0-J ñ = o
4 7 y + sjyüx - -Jx o.Vn (Xfí 2 + y O 2) = o
L, : -Jx~^y+yfyñx = -\/-vo>'o ^ 1 2 • Ahora calcularemos las intersecciones
A s L, a ejex => y - 0 , x = ^Jxob^2 y B&L,Aejey => x = 0, y =
por demostrar que x + y = b (constante).
Luego x+ y = Jx^bu2 + Jy^bh2 = ( ^ + 4 ñ ) bhl = bh2.bv2 =b
x + y = b
Encontrar una ecuación para cada una de las rectas tangentes
3y = x3 - 3x1 + 6x + 4 que sean paralelas a la recta 2x — y + 3 = 0
Solución
Se sabe que L, II L: 2x — y + 3 + 0 => mL, = mL = 2
Además 3 y = .v3 - 3x2 +6x + 4 = > — = x 2 -2x + 2
' dx
como mL, = -^-\P(a.b)=a2 - 2a+ 2
Ahora igualando (1) y (2) se tiene: a1 -2 a + 2 = 2 => a (a —2 ) = 0 => 1
además el punto p (a, b) pertenece a la curva entonces:
b^1
a la curva
i*
...(2)
a = 0, a = 2

558. 5 4 4 Eduardo Espinoza Ramos
3b = cr3 -3a2 + 6a + 4 => paraa = 0 => A = y => /?(0,-j)
4 4
L ,: y
----= 2(x — 0 ), de donde L, : 2x - y + — = 0
para a = 2, b = 4 => p(2,4), L, = y -4 = 2(x-2) , de donde L, :2 x -y = 0
© Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva .r3 + y 2 + 2 .v -6 = 0 , en
el punto cuya coordenada es y = 3.
Solución
Calculando el punto de tangencia para y = 3
jr3 + 2x + 3 = 0 , Ahora resolveremos la ecuación
Es la única solución real
Luego el punto de tangencia es: p(-l, 3)
1 0 2 3 -1
-1 1 -3
1 -1 3 0
Ahora calculamos la pendiente de la recta tangente:
Para esto derivamos x*+y~+ 2x-6 = Q de donde:
*i->dy~n .. . dy 3x2+2
3jc~+2y — + 2 = 0 de donde — =
------------
dx dx 2y
evaluando en el punto p(-l,3) se tiene: mL, = — |„(„t 3) = ~ ^X +2 L {_! 3)= ~
dx ' 2y ' 6
la ecuación de la tangente es: L, : y - yt) =mL,(x-x0), de donde: L, :5x + 6 y -1 3 = 0
también: L„ : y - 3 = y (x +1) de donde: L„ : 6x + 5.v + 21 = 0
12) Demostrar que el área del triángulo formado por los ejes coordenados y la recta tangente,
en cualquier punto a la curva de ecuación xy = 5 es siempre constante.

559. Derivadas 545
Solución
Primeramente encontraremos la recta tangente,
como: xy = 5 => y = — entonces su pendiente
x
CS: mL'
T - 5 I - 5
mLi - r k h .>■„)- 7
x- xn
L ,: v - vo = — ^ - ( x - x 0 ) => l, \5x+xly = ynxl + 5x0
*<7
encontrando las intersecciones con los ejes coordenados:
, , • _ _ O'o*o+5)x0
A g Lj a eje x ==> y = 0 => x
------------------
B g L, a eje y x = 0 => y -
y0x0 + 5
*0
©
área del triángulo = = constante
Area - OV^o + 5>*o 0^*0 + 5) _ (>’0*0 + 5)2 _ (5 + 5)2 _ 2Q
5x0 5 5
Hallar las ecuaciones de la tangente y la normal a la curva:
y = -^5 + x2-Js + x 2 V ? + x 2" , en el punto de abscisa 2.
Solución
y = 1/5 + x 2 a/s + x 2 V5 + x 2 " elevado al cuadrado
y 2 = 5 + x2^5 + x 2^jT+xi2^ ^ . de donde y2 = 5 + x 2.y

560. 546 Eduardo Espinoza Ramos
ahora calculando el punto para x = 2 => y 2 = 5 + 4 y => y 2 -4 y ■
(y —5)(y + 1) = 0 => y = 5, y =-1 como y > 0 => p(2,5)
derivando y 2 = 5 + x 2y se tiene: 2yy' = 2xy+x 1 y'
„ 2v . t _ d>' 2xy
(2y - x )y = 2xy => —— =
-------
dx 2\-x~
_ dy 20 20 10
m ' dx /'(2-5)~ 1 0 -4 ~ 6 “ 3
como L, : y - y„ = mL, (x -x n), de donde L, : I Ojc - 3 v - 5 = 0
1 3
como L„1L,=> mL„ = -
mL, 10
L„ :.y -5 = - —(jc-2) porlotanto L„ :3jc + 10>' - 5 6 = 0
dv d~ y . i a ,
Hallar — y — ~ si x — t - t , y = t +1
dx " dx2
v = / +1
x = r -t
dt
— = 2í — 1
dt
d 1 y
dt2
Solución
f = 6l
dy
dy dx 3 1
, entonces: — = =
d 2x
= 2
dx 2 1-
dt
dr
dx d 2y dy d 2x
d2y _ dy dt ’ dt2 dt 'dt2 _ (2/ —1)6/ — 3/2(2)
■> ~ ' J,, _
dx dx
4 » ’
dt
C 2 í-l)J
[15) Hallar — y — si x = cos3 / , y = a sen3 /
dx'
■ dv - 3/2
1 ’ Í¿Y 2/ -1
r f2.y -6t + 6t2
dx2 ~ (2r — l)3

561. Derivadas 547
Solución
x = a eos /
v = a sen /
— = -3 o e o s2 /sen/
di
dv „ 2
— = 3er sen / eos t
di
d \
dt2
d 2y
dt2
= 6a eos/sen- /- 3 a e o s - t
= 6a sen /e o s2 / - 3 a sen3 /
dv
dv (h 3asen2 /.eos/ sen/ rfy
— = =
---------------------=---------= - tg / , entonces: — = - tg / ,
dx av -3 a e o s~ /.se n / eos/ í¿y
dt
dx d 2y d 2x dy
d 2y dt dt2 dt2 dt _ -3 a c o s 2 /.sen/(6a sen/.eos2 /- 3 a s e n 3 /)
dt
(-3a eo s/2, sen)3
(6a eos /se« / - 3a eost)(3asen t eos /)
(-3a eos/2..ve//)3
-1 8 a 2 eos4 / sen2 /+ 9 a 2 eos2 / sen4 / 18a2 eos2 / sen4 / - 9 a 2 eos4 / sen2 /
(-3 a e o s2 / sen/)3 (-3a e o s/2, se n /)’
9 a 2 eos2 /se n 2 /(sen2 / + cos2 /)
- 2 7 a 3 eos6 / sen3 /
1
(eos /sen/)3a
_ í/ 2j _ sec4 /.esc/
dx 3a
. d 2 y . , |x = Z,n(l + / 2)
16) Hallar — j- para t = 0 si <
dx' v = / 2
Solución
c/x 2/
x = Ln(\ + t2)dt l + / 2
=> ■ => ■
•>
>*=/'
1 ^
II
dt
d 2x 2 - 2 / 2
¿ /2 (1 + / 2 )2
d 2 y
= 2
dt1

562. 548 Eduardo Espinoza Ramos
dx d 2y d 2x dy -1 ^ ~ ~ ~ r 2/
d 2y d i'd i2 di1 dx l + t2 (1 + r ) 2
dx-
A >
dt
( - V
l + r
rf2V 4/(l + í 2) - 4 r + 4 ^ (1 + / 2 ) = 8/3( l + / 2)
8r3
= (1 + r ) , de donde: |f=0=(1 +12) |,=0 = 1
d f di1
Hallar las ecuaciones de la tangente y normal a la curva en el punto correspondiente al
valor del parámetro que se indica
a) x = t2 +1, v = / 3 +2/,t = -2
Solución
>■=/•* +2/
* = 3 ,J + 2
dt
^-1 -1 4
dt 2_
=> • => •
x — t2 +1 ÍÉC -
— = 2/
dt
— 1 - - 4
[ J ' -
dy
14
mL, = — \p =■%— -
---------—
dx " dx, - 4 2
dt
i t = - 2
como L ,: y - y0 = mL, (x - x0) donde para t = -2, x = 5, y = -12 => p(5,-12 )
L, : v + 12 -= — ( x - 5 ) , de donde: L, :7x + 2y = 1 1
'■ 2
además L„±L,=> mL„ = -
1
mL, 7
L„ : y - y,, = mL, (x - x0) , de donde: Z,„ : 2x - 7 y = 94

563. Derivadas 549
b) x = 3sent - 4, y = 5 + 2cost, t =
5n
4
Solución
y = 5 + 2 eos t
x = 3 sen t - 4
dy
— = -2 sen/,
dt
dx , t
— = 3 eos /,
dt
dy
dt
-42
5n 3~Jl rr 3-J2 , _ /r-
para f = — , x0 = — — 4 , >•„ = 5 -V 2 => ;?(
---------4,5-V 2 )
dr ^ <fr. -3 ^ 2 3
~ lí= 57r/4
-------
dt 2
como L, : y - y 0 =mL,(x-x0) , de donde: ¿ f :2x + 3y-7 + &J2 = 0
1 3
además L„\L, => mL„ =-
mL, 2
L„ - y - y n — rnL„(x—x0)
L„\y- 5 + ^ 2 = | ( x + ^ + 4 ), de donde: Ln :3x-2y + 22 + ^ = 0
Si f(x) — —-— . Hallar / '(n)(x)
1 -jt
Si /( .v) =t- L = > /■(*) = - 1
Solución
1-jr
O -Jf)
/" (x ) = - ^ T
( 1 - x ) 3

564. 550 Eduardo Espinoza Ramos
1.2.3
O - * ) 4
/•<->w - i Ü 4 = - í - ... í - r
(1- x )""1 (1- x ) " '1 (1 - x )
19) Si /(x ) = —-— . Hallar f {n)(x)
l + x
/ ( * ) = —^— => / '( x ) = - 1
Solución
1 + JC ' ' ' (1- x ) 2
1.1
r ( jc ) =
a - * ) 3
r " {X)= —^
( i- * )
/ /V(JC)= 12 *3 4
, /rC-)(l ) = J Z & .
(5 q ) Si /( x ) = -^7— — ; Hallar / '(")(x)
x ' - 4
Solución
5 x -2 5 x -2 A B A(x-2) + B(x + 2)
x2 - 4 ~ (x + 2 )(x -2 ) ~~ x + 2 x - 2 _ (x + 2 )(x -2 )

565. Derivadas 551
5x - 2 = (A+B)x + -2A + 2B, por igualdad se tiene:
4 5 x -2 3 2 a ■ a
f(x) = ,
......=-------+-------, derivando se tiene:
x —4 x + 2 x -2
A + 3 = 5 \A = 3
-2A + 2B = -2 ^ \B = 2
(x + 2)2 (x-2)2
3.1.2. 2.1.2.
./ ( * ) = -
-----T7T +
f"'(x) = -
(x + 2)3 ( x - 2 ) 3
3.1.2.3 2.1.2.3.
(x + 2)4 ( x - 2 ) 4
, , v/ 4 3 .1 .2 .3 .4 2 .1 .2 .3 .4
/ (* )=
---------r +---------r
(x + 2) ( x - 2 ) '
/•<«>/ > _ 3.(-1)"1.2.3...j» 2.(-1)” 1.2.3..j» . 3 (-l)"« i 2.(-1 ) "h!
(x + 2)"+I (x -2 )"" 1 W (x + 2)"+1 ( x - 2 ) " “1
JC ~ + X *+■ 1
21) Determinar la derivada n-ésima de la función f (x) = —
-----------
^ ' x - 7 x + 6
Solución
Para calcular la derivada n-ésima de la función f(x) primeramente descomponemos en
fracciones parciales.
x ~ + x +1 x ~ + x +1 A B C
- +
----+ -
x —7x + 6 (x - 2 )(x -l)( x + 3) x - 2 x -1 x + 3
A(x - l)(x + 3) + B(x - 2)(x + 3) + C(x - 2)(x -1)
( x - 2 ) ( x - l ) ( x + 3)

566. 552 Eduardo Espinoza Ramos
x2 + x + l = A(x2 + 2x-3) + B(x2 + x - 6 ) + C (x2 -3x + 2)
x2 +x + l = (A+ B + C)x2 +(2A+B-3C)x-3A-6B + 2C
por identidad de polinomios se tiene:
A+B+C= 1
2A + B - 3C = 1 , la solución es:
-3A-6B + 2C = 1
v -v + x +1 7 1 3 1 7 1
/ ( x ) = —
-----------= - (-----+ ^
x —7x + 6 5 x - 2 4 x -1 20 x + 3
7 1 3 - 1 7 - 1
/ '( x ) = -C
--------------------------" ) + ” (--------~)
5 (x - 2 ) 4 (x - 1 )2 20 (x + 3)2
4 7 1.2 3 1.2 7 1.2
f =
------r)—7(—— + ------r>
5 ( x - 2 ) 3 4 (x -1 )3 20 (x + 2)
7 -1.2.3 3 -1.2.3 7 -1.2.3
5 ( x - 2 ) 4 4 (x -1 )4 20 (x + 3 )4
rlv, 4 7 1.2.3.4 3 1.2.3.4 7 . 1.2.3.4
/ (x) = - ( ---------t) -t(
---------------------------r )
5 ( x - 2 ) 5 4 (x -1 )5 20 (x + 3)5
5
B = -
20
f(n)( 7 ( - ! ) ” />! 3 (-1)"»! | 7 (-!)"»!
* 5 ( x - 2 )" +1 4 (x - i ) " +1 20 (x + 3)n+l
22) Hallar la n-ésima derivada de la función / (x) =
------------------
^ ' (x -1 )2 (x - 2 )
Solución
Descomponemos de la función f(x) en sumas parciales

567. Derivadas 553
/( * ) =
A B C
- +
------+ -
(jc—1)2 (jc — 2) x - 2 x - \ (x-1)2
1 A(x-l)2 +B(x-2)(x-l) + C(x-2)
(x- 1 ) 2(x- 2 ) ( x - 2 ) ( x - l ) 2
1 = A(x — l) 2 +B(x2 -3 x + 2) + C(x —2)
1 = (A + B)x2 +(~2A-3B + C)x + A + 2B-2C , por igualdad de polinomios se tiene:
A + B = 0
-2A -3B + C = 0 , resolviendo se tiene:
A + 2B-2C = \
A = -l
B = - 1
C = - 1
f(x) =
1 1 1 1
/ '( * ) = -
(JC—1)2(JC—2) x - 2 x - 1 ( ¿ - 1 ) 2
1 - 1 - 1.2
( x - 2 ) ¿ (x — 1) (x -1 )3
/ " ( x ) = -
1.2
( x - 2 ) J (x -1 )3 (x -1 )4
/ ' ’ ' (x) = - = ^ - - ( ^ 4 ) - ( Z l ^ )
( x - 2 ) (x -1 )4 (x -1 )5
1.2.3.4 1.2.3.4 1.2.3.4.5
/ ,v(x) =
( x - 2 ) 5 (x -1 )5 (x -1 )6
t _ ( - ! ) " ! . 2. .j i ( - 1 ) " 1 . 2 . 3 . .j i ( - 1 ) * 1 . 2 . .j i(i i + 1 )
r ' n(x) = -
(x -2 )
n+i
(x -1 )
w+l
(x-1)
n+2
/•c>(jc)- (~1)n»! +
( x - 2 ) n+I ( x - l ) n+1 (x -1 )""2

568. 554 Eduardo Espinoza Ramos
23) Calcular f (n) (0) si f(x) = Ln{-^— )
Solución
f(x) = Ln(—!—) = -£«(1 -je) , derivando
1 —x
.. -1 1
./( * ) = -
/"(*> = 2
(l-jc )2
/■'(,»: 12
1-JC 1 -x
1
( l - * ) 3
( 1 - J C ) 4
/•<"> (x) = — si f in)(x)= (n 1)! /■(n>(0) = (n-1)!
(1 -x )" (1 -* )" ‘ (\-x)n
24) Si f(x) = £/K— ——); Hallar / (n)(l)
“ mx-b
Solución
m r -4- /)
/(x ) = ¿«(-—■— ) = Ln(mx + b)-L?i( mx - b)
mx-b
fu \ m m
f (x) =
ivc + b mx-b
f" (x) = ( - ^ - ) - (
(mx+b)~ (mx-b)"

569. Derivadas 555
4 , m \ 1.2 , , m \ 1.2 x
./ ( * ) = (
------------r ) - (------------r )
(mx + b) (mx-b)
m \ 1.2.3, .- m 41.2.3,
/ ,vu ) = ( • • 7 ) - (
(w.v + ¿ )4 (mx-b)4
r (x) = ( WI •113;4) ~3-4)
(mx + b) (mx-b)
,(»), , w " (-l)" +11.2.3...(n-1) w ''(-l)" +11.2.3...(w-1) .
/ ' ' (x) =
------------------------—--------------------------------, entonces:
(mx + b)" (mx-b)"
. « " ( - U ^ í n - l ) ! m "(-l)" +I(» -l)!
./ (x)=-
(mx + b)" (mx-b)"
(«i2 - é 2) n
4.23 EJERCICIOS PROPUESTOS.»
G) Formar las ecuaciones de las tangentes a la línea y = x - — en los puntos de su
~ ' x
intersección con el eje de abscisas. Rpta. y = 2x - 2, y = 2x + 2
(T ) Trazar la tangente a la hipérbola y = x + ^ de modo que atraviese el origen de
x + 5
coordenadas. Rpta. x + 25y = 0 , x + y = 0
2 2
(J) Formar las ecuaciones de las tangentes a la hipérbola -y— -y - = 1 que sean
perpendiculares a la recta: 2x + 4 y - 3 = 0 Rpta. 2x-y+1=0 2x —y—1=0

570. 556 Eduardo Espinoza Ramos
( 4) Formar la ecuación de la tangente a la línea y = .v3 +3x2 - 5 , perpendicular a la recta
2x — 6y + 1 = 0 Rpta. 3x + y + 6 = 0
( ? ) Formar la ecuación de la normal a la línea y = ~4x + 2 en el punto de su intersección
con la bisectriz del primer ángulo coordenado. Rpta. 2x — y — 1 = 0 .4x — y —12 = 0
© Formar la ecuación de la normal a la parábola: y = .t2 - 6 x + 2 perpendicular a la recta
que une el origen de coordenadas con el vértice de la parábola. Rpta. 4x — 4y —21 = 0
© Trazar la normal a la línea y = xLnx que sea paralela a la recta 2x - 2y + 3 = 0
Rpta. x - y - 3 e 2 = 0
© Hallar la ecuación de la recta tangente a la línea x 2 (x + y) = a2 (x - y) en el origen de
coordenadas. Rpta. y = x
( 9) Halle una ecuación de la recta tangente a la curva y = x4 - 6 x, y perpendicular a la recta
x - 2y + 6 = 0 Rpta. 2x + y + 3 = 0
QÖ) Determine una ecuación de cada una de las rectas normales a la curva y = x3 -4x y
paralela a la recta x + 8y — 8 = 0 Rpta. x + 8y + 2 = 0, x + 8y— 2 = 0
( n ) Determine una ecuación de cada una de las rectas normales a la curva y = x 3 -4x y
paralela a las rectas que pasan por el punto (4, 13) y que son tangente a: y = 2x2 -1
Rpta. 4 x - y - 3 = 0, 2 8 x - y —99=0
Obtener una ecuación de la recta tangente a la curva y = (7x-6)~u3 que es perpendicular
a la recta: 12x — 7y + 2 = 0 Rpta. y = — —— (x-
V2 12 7
(Í3) ¿En que punto de la curva x + -Jxÿ + y = 1, la recta tangente es paralela al eje X ?
Rpta. p( 1,0)

571. Derivadas 557
14) Hay dos rectas que pasan por el punto (-1,3) que son tangentes a la curva
x2 + 4y 2 - 4x - +3 = 0 , obtenga una ecuación de cada una de estas rectas.
Rpta. 4 y + llx — 1 = 0, 4 y + x - 13 = 0
15) Obtenga una ecuación de la recta tangente a la curva ¿Jx}' = 14x + y , en el punto (2,-32)
Rpta. 352x + 23y + 32 = 0
íó ) Obtener las ecuaciones de las rectas tangentes y normal a la curva 2x3 + 2y 3 -9 x y = 0
en el punto (2,1) Rpta. 5x— 4y- 6 = 0, 4x + 5 y - 13 = 0
n ) Hallar las ecuaciones de las dos tangentes a la elipse 4x2 +y2 -12 que pasan por el
punto (4,4) Rpta. 2x + y = 12 , 14x + y = 60
18) Hallar las ecuaciones de la tangente a la estrofoide y = - x J ——— en el punto
V a+x
Rpta. 31x + 8y + 9a = 0, 8x — 3 ly + 42a = 0
19) Demostrar que la ecuación de la tangente a la curva y = ax2+bx+c en el punto
(Xj, Vj) es: y = 2(axx + b)x- ax2 + c.
20) Demostrar que la ecuación de la tangente a la curva y - x 3 +ax + b en el punto
(Xj, >')) es: _y = (3x2 + a)x -2 x ¡3 +b
21) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2) y es normal a la curva
x2 = 4y Rpta. y = - x + 3
(22) Hallar las ecuaciones de las tangentes a la curva y 2 + 4x = 0 y que pasa por el punto
(2,1) Rpta. x + 2 y - 4 = 0, x —y—1 = 0

572. 558 Eduardo Espinoza Ramos
23) Hallar las rectas normales a la curva xy - 2x + 4 = 0 en donde su abscisa es igual a su
ordenada. Rpta. y=-—+—, y = ~ — , x + 2y—4 = 0
3 3 ' 3 3
24) Demostrar que la hipérbola x 2 - y2 = 5 y la elipse 4x2 + 9 y2 = 72 se cortan en ángulos
rectos.
25) Demostrar que los círculos x1+y1 =%axy la cisoide (2 a -x ).y 2 = x 3 son
perpendiculares en el origen.
¿ó) Hallar las ecuaciones de las normales a la hipérbola 4x2 - y2 =36 paralelas a la recta
2x + 5y = 4 Rpta. 2x + 5y — 50 = 0, 2x + 5y + 50 = 0
2 ^ Hallar una ecuación de la recta normal a la curva x - y = -Jx + y en el punto (3. 1)
Rpta. 5x + 3y = 18
2 8 Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva y = 8 sen 2x en el punto
(— ,1) Rpta. y = & j3 x -^ ^ - + l, y = ——j= + l— —¡=
12 H ' 2 72^/3 6^3
^ 9) Demuestre que las tangentes al folio de descartes x 3 + .y3 = 3axy en los puntos de
intersección con la parábola y 1 =ax son paralelas al eje de las Y.
30) Halle la ecuación de la parábola y - x 2 +bx+cque es tangente a la recta y = x en el
p u n to (l,l) Rpta. >' = x 2 - x + l
31) Hallar una ecuación de la recta tangente y una ecuación de al recta normal a la curva dada
en el punto indicado.
a) x 3 -3 x y 2 +y* = 1 , p(2,-l) b) x 2 -2x>' + _y2 +2x + .y -6 = 0 , p(2,2)
c) x 3 + y 2 + 2 x - 6 = 0 en y= 3 d) x 3 - 2 x 2_y2 +5x + j - 5 = 0 en x = l
2x2
e) xy[xy+2y2 -3 = 0, p (l,l) f) V3 + x\y2 — ^ = 0 . p (l.l)

573. Derivadas 559
32J Hallar las ecuaciones de la recta tangente y normal en el punto p(-1,2) a la curva
yex+l + 2xy2 - y + 2x2 + 6 = 0
33J Hallar las ecuaciones de la recta tangente y normal a la gráfica de
f(x) = (2 - 3.v + .V3 )Vl + jc2 en el punto x = 0.
34) Determinar la ecuación de la recta que pasa por (0,2) y es tangente a la gráfica de
J’{x)=2xi - 5.r + 6.
(37)
@
(39)
Determinar los valores de a, b y c de modo que: f(x)=x~ + ax + b y g(x) = x~ +cx,
tienen la misma recta tangente en el punto (2,2).
VUvl —
Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto p(-1,2) y es tangente la curva
xy+ 3y = x — 1.
Hallar la ecuación de la tangente a la curva x 2y = x +1 cuya inclinación es 45°.
Encontrar una ecuación de la recta normal a la curva y - xVl6 + x 2 en el origen.
dy
Hallar — de las lünciones siguientes dadas en forma paramétricas:
a)
2 al
l + r
l + r
dy
Rpta. — =
2 /
dx 1 - i ¿
b)
,v = a(cosr + /sen /)
y = a(sen t- t eos t)
dy
Rpta. — = tgC
dx
c)
eos 3 !
a/cos 2t
sen3 i
•J eos 2t
„ ¿ dy 3 - 4 sen2 /
R pta- — ~a—
dx l- 4 s e n - /

574. 560 Eduardo Espinoza Ramos
d)
x = arc. cos( . ' =)
Vi
y = are. sen(
Vi+t
Rpta. -^ = -1
dx
e)
x =a(Ln tg — + c o s í-s e n /)
y = o(sen / + eos t)
Rpta.
dy _ a(cost-sent)
dx ,1 t
a(— tg—- sen í - eos t)
Hallar íL Z de las siguientes funciones dadas en forma paramétrica.
dx
a)
x - Lnt
v = / 3
Rpta. =
dx~
b)
x = arc. tg I
y-Ln(l + t2)
d 2y
Rpta. - ~ y = 2
dx
c)
Ijc = a eos31
v = a se n31
Rpta.
1d 2y
_____________
dx2 3a eos4 /.sen/
d)
x = arc. tg I
1
t
V =T
Rpta. = +0 + t2)(3t2 +1)
dx~
e)
[jé = are. eos-Jt
y = -Jt-t2 dx "
Hallar la ecuación cartesiana en cada una de los siguientes casos:
Rpta.
d 2 y
Wt - l 2
a)
c)
\x — t -1
\y = 4 t-t2
x -2 eos 9 +1
y = 3 sen 9
b)
x = 2 sen 9 + eos 9
y = 2sen0 -1
Rpta. (^ -J-)2 + Z - = 1
2 9

575. Derivadas 561
d)
x =-
v = -
at
ü ?
ai1
1 + / 3
Rpta. x '+ y 3-axy = 0
x = a sed x 2 y 2
e) < Rpta. —— = 1
\y~ btgt p a 2 bi
( 3, 2 2 2
„ \x = acos i - - -
f) j Rpta. x 3 +>' =a3
| v = a sen t
42) Comprobar que la función dada en forma paramétrica mediante las ecuaciones
x = 2t + 3/2 , y - 12 + 2t3 satisface la relación y = y'2 +2y'3
43) Comprobar que la función dada en forma paramétrica mediante las ecuaciones x = ,
r
3 2
y = —r H— satisface la relación xy'3 = 1 + y’
' 2t t • •
44) Comprobar que la función dada en forma paramétrica mediante las ecuaciones
1 _ 1 + Vl + r
x =
■Ji
, - Ln—— —— , y = , 1 , satisface la relación vJl+v'2 = y'
45) Comprobar que la función dada en forma paramétrica mediante las ecuaciones
1 + ln/ 3 + 2 Luí , ,2
x = — -— . y =
----------- satisface la relación yy = 2xy +1
46^ Demostrar que y, determinada como función de x por las ecuaciones x = sent e
v = ae1’^2 +be~’^2 satisface la ecuación diferencial (1 - x 2)^~~--x— - 2 y,
dx- dx
cualquiera que sean a y b

576. 562 Eduardo Espinoza Ramos
d-y
47) Hallar
dx~
n I* = a ( /-c o s í)
para í =— donde: ■{ para a > 0 , t e[0,27r]
d)\2l 3/2 2 ^ = 0(1-c o s í)
ax
Rpta.
2-Jía
Hallar las ecuaciones de la tangente y la normal a la curva en el punto correspondiente al
valor del parámetro que se indica.
a)
x =
3/
,2V . t = o
3 r
r 3 + l
b)
v = 2 sen21
C)
x = 3 s e n /-4
V = 5 + 2 cos I
t=-
5 K
d)
x = ae cost
, t = 0
y = ae sen t
e)
x = 2Ln(c tg/) + l
>' = tg / + C tg t
f>
x = t(t c o s í- 2 sen t)
, t=-
y = t(t sen t + 2 eos t)
Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva x = , y = — — + —
P 2t 21
en el punto (2,2) Rpta. 7 x - 10 y + 6 = 0, 10x + 7 y -3 5 = 0
Escribir la ecuación de la tangente a la curva x = t cost , y = t sent en el origen de
coordenadas y en el punto t = —
nA+n ti
Rpta. v— - =
-------(x----
' 8 A —7i 8
5 l) Escribir las ecuaciones de la tangente y la normal a la cicloide .y = -J2 eos' /,
y = V 2sen31 en el punto t=— Rpta. x + y = 1, x — y = 0
4

577. Derivadas 563
52) Escribir las ecuaciones de la tangente y la normal a la cicloide x = t - sent,
y = 1 — cost en el punto para que el í = —
53) Escribir las ecuaciones de la tangente y la normal a la parábola semicúbica x = t2,
y = / 3 en el punto para que t = 2 Rpta. 3 x —y —4 = 0 , x + 3y—28 = 0
54) Hallar f (n) (x) en cada una de las funciones sgtes:
a) f(x) = senx Rpta. / (n)(x) = sen(x+— )
b) f(x) = cos2x Rpta. / (n)(x) = 2" cos(2x + -^ -)
c) f(x) = (ax+b)n Rpta. / (n) (x) =nla"
d) f(x) = cosx Rpta. / (n)(x) = cos(x + yp-)
e) f(x) = e*J Rpta. f^ n)(x) = k nekx
?5) Hallar / (M)(x) si f(x) = x"-Jx Rpta. f (n)(x) = 3.5.1...(2n + l)^fx
5ó) Hallar f (n)(x) si f(x) = ^ Rpta. f <n)(x) = n'(‘ad —
^ cx+d (cx+d)
5 ^ Hallar f (n)(x ) , si f(x) = sen ax+ eos bx
f (n)(x) = an sen(ax+— ) + bn eos(bx + — )
Rpta. J w 2 2
58) Hallar / (B,(x) si:
a) J(x)=xex Rpta. / <n)(x) = ex(x + n)

578. 564 Eduardo Espinoza Ramos
b) f(x) = xLnx Rpta. / " > ( , ) , n > 2
c) f(x) = serr x
d) f(x) = —
(x -2 )"* 1 ( x - l ) n+1
e) /(or) =
x 2 - l
1
2 L(x + l)n+1 ( x - l) ',+1
0 ./(x) = e 's e n x
n
Rpta. f (n)(x) = e x^T C* sen(x + Á~ —)
*=o
59) Hallar / ‘"’(x) si:
1+x
a) J(x) =
1 -x
b) J(x) =
x + 1
x-x
8 x -5
C) /( * ) = — -
2x" + x - 6
.. r , , 4x2 +3x + 5
d) / W = 7 T - T X —
x-’ +2x - x - 2
, ,, . 4x +1
e) /(x ) = —
----------
2x + x - 3
3x2 + 5x -1
g) / (JC> = —
-----r “ :------7
x - x - 4 x + 4
r 2x3 -19x + 43
0 /( * ) = — -
x -9 x + 20
h) f(x) = —
2x + l
6x' - x -1
i) fix) =
5x -1
x 2 + x -1 2
j) f(x) = —
x 6 + x 2 -1
x" + x - 2

579. Aplicaciones de la Derivada 565
Ya se ha tratado una aplicación de la derivada, al hacer el estudio de las rectas tangentes
y normales a la gráfica de una función.
Una de las aplicaciones más importantes y útiles de la derivada está en el estudio de los
valores máximos y mínimos de una función. Existen muchos problemas prácticos en los
cuales se trata de encontrar una “mejor” manera de formularse problemas relacionados en
la determinación de los valores máximos y mínimos de una función; ahora nos
dedicaremos gran parte de este trabajo al estudio de los máximos y mínimos.
Cuando se piensa que una derivada como en la razón instantánea de una función, se
presenta muchas aplicaciones físicas de la derivada, las aplicaciones más obvias de la
derivada en problemas de este tipo, es la determinación de la velocidad y aceleración de
un objeto móvil los cuales también estudiaremos.
a) DEFINICION.- La función f: D c R -> R, tiene un valor máximo absoluto en
f(c) donde:
b) DEFINICION.- La función f : D c R - > R , tiene un valor mínimo absoluto en f(c)
donde:
OBSERVACIÓN.- Algunas funciones tienen máximos ó mínimos absoluto sobre un
intervalo y otras no.

580. 566 Eduardo Espinoza Ramos
Ejemplo.
La función f(x) = x3 , tiene a 8, como valor
máximo absoluto y a “0”, como valor mínimo
absoluto en el intervalo cerrado [0, 2] pero en
él, intervalo abierto <0, 2> no tiene máximo ni
mínimo absoluto.
5.2 TEOREMA.-
Sí f es una función continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f tiene un valor
mínimo absoluto y un valor máximo absoluto en el intervalo cerrado [a, b].
OBSERVACION. Si el intervalo no es cerrado, el teorema no necesariamente se
cumple. Por ejemplo:
La función f(x) = — es continua en <0,1 >
x
pero no tiene máximo absoluto.
Consideremos una función f continua en el intervalo cerrado [a, b].
Observando la figura se tiene que los puntos A y D son los más saltantes de la curva
desde x = a hasta x = b, y el punto B es el más bajo; luego a las ordenadas de A y D que
son f(a), f(c) le llamaremos valores máximos absolutos, pero los puntos F y H se
denomina máximos relativos y los puntos C, E y G se denomina mínimos relativos. Por lo
tanto, llamaremos extremos de una función a un valor máximo relativo ó a un valor
mínimo relativo de una función.

581. Aplicaciones de la Derivada 567
a) DEFINICIÓN.-
Diremos que f(c) es una valor máximo relativo de una función f si existe un
intervalo abierto <c —5, c + 8> con 5 > 0 tal que f(x) está definida y f(x) < f( c),
V x e <c — 8, c + 8>
b) DEFINICIÓN.-
Diremos que f(c ) es un valor mínimo relativo de una función f si existe un intervalo
abierto <c - 8, c + 8>, tal que: f ( c) está definida y f(x) > f( c) V x e <c— 8, c+ 8>.
c) TEOREMA
Consideremos una función f continua en el intervalo abierto <a, b> y sea c e <a, b>,
si f(c) es un extremo relativo de f, entonces / ' (c) = 0 ó / ' (c) no existe.
Demostración
Consideremos que f(c) sea un valor máximo relativo, suponiendo que / ' (c) existe
=> 3 <c - 8, c + 8>, con 8 > 0, tal que V x * c, f(x) < f(c ) f(x) — f(c ) < 0,
cuando x e <c-8,c> =>x<c=>x — c<0. Luego V x e <c — 8, c>,
> 0 , de donde f'(c) = lim f(x)~ f(c) > o => f\c )> 0 ...(1)
x —c x - c

582. 568 Eduardo Espinoza Ramos
cuando x e <c, c+8> => x > c => x — c > 0
f(x)— f(c)
luego V x e <c, c+8>,-——— :
-----< 0 , de donde
x-c
f'(c) = lim < o => f'(c) < 0 ...(2)
x—*c x-c
por lo tanto de (1) y (2) se tiene que: / ' (c) = 0
d) DEFINICIÓN.-
Un número c para el cual una función f está definida y además f (c ) = 0 ó no existe,
le llamaremos número crítico o valor critico de f.
Ejemplo.- Encontrar los puntos críticos de:
0 /( x ) = jc 4 + 8x3 - 2 j r - 2 4 jc + l
Solución
Como: f(x)= x4 +8jc3 -2x2 -24at + 1 => f'(x) = 4xi +24x2 -4x-24
para hallar los números críticos de f, hacemos / ' (x) = 0 es decir:
4x3 + 2 4 2 -4 .v -2 4 = 0 => (x2 -l)(x + 6) = 0 de donde los números críticos son {-6,-1,1}
0 f(x) = (.v -l)2/3 +1
Solución
I/I 2
Como f(x) =(x-l)~ +1 => f'(:x) = — ¡ =
' ' 3 \ f x - l
Luego para hallar los números críticos se tiene que no existe f'(x) por lo tanto
Mx-\ = 0 => x = 1 es un número crítico.

583. Aplicaciones de la Derivada 569
Solución
_ „ „ x 4 +3 3 3 ... „
Como f (x) =— ■—- = x +— => / (x) =
X X X2
Los puntos críticos se encuentran cuando f'(x) = 0 ó no existe f'(x)
Si f( x ) = 0 => x 4 -1 = 0 => x = ± l valores críticos
Si no existe f'(x) => x 2 = 0 = > x = 0
Sin embargo no es un valor crítico, porque la función f(x) no está definida en x = 0.
Luego x = 0 es punto de discontinuidad.
Si f es una función continua en [a,b], m y M son los mínimo y el máximo de f en [a,b] y d
es tal que: m < d < M. Entonces existe: c e <a,b> tal que: f(c) = d
En algunos casos es muy difícil determinar los números críticos de una función, de hecho
no siempre hay números críticos.
El siguiente teorema que se atribuye al gran matemático francés: MÍCHEL ROLLE, da
condiciones suficientes para la existencia de un numero critico.
El teorema se anuncia para funciones continuas en el intervalo cerrado [a,b] y derivable
en <a,b> tal que f(a) = f(b).

584. 570 Eduardo Espinoza Ramos
Observando la gráfica deducimos que es razonable esperar que existe un numero c entre a
y b tal que la recta tangente en el punto (c, f(c)) sea horizontal o equivalente: / ' (c) = 0 ,
que viene a ser precisamente la conclusión del siguiente teorema:
Ejemplo.- Halle el posible valor de z que satisface el teorema del valor medio para la
función / (x) =x2 -2x + \ , x e [-1, 4]
Solución
Según el teorema del valor medio se tiene:
Si f(x) es continua en [-1,4] y derivable en <-1, 4> entonces 3 z e <-l,4>, tal que:
, / ( 4 ) - / ( —1) 9 - 4 ,
_______
/ (r) = -----------------=-------= 1, como:
4 - ( - l ) 5
f(x) = x 2 -2x+\ => f \ x ) = 2x-2 => f'(=) = 2z-2 = l
2z= 3 z = — e < - l,4 >
2
5,5 T E O R E M A B E R O L L E .-
Sea f una función continua en [a, b] y derivable en el intervalo abierto <a,b>; si
f(a) = f(b), entonces existe un número z e <a, b>, tal que: / ' (z) = 0 .
Demostración

585. Aplicaciones de la Derivada 571
Primeramente daremos una interpretación
geométrica del teorema.
Geométricamente quiere decir, si f es
una función continua y derivable en <a,b>
y f(a) f(b) => 3 z e <a, b>, donde la recta
tangente es horizontal.
Ahora daremos la demostración del teorema:
Si f(x) = f(a), V x e [a, b] => es una función constante y por lo tanto / '( - ) = 0 ,
V z e <a,b> si f(x) > f(a) para algún x e <a, b> => el valor máximo absoluto de la
función continua f en [a, b] no es f(a) ni f(b), es decir que 3 z e <a, b> tal que f(z) es el
valor máximo absoluto de f en [a, bj. Como el valor máximo absoluto, también es un
valor máximo relativo, además f( z ) existe entonces / '( z ) = 0 , porque f(z) es un
extremo relativo.
Si f(x) < f(a) para algún x e <a, b> => el valor mínimo absoluto de la función continua f
en [a, b] no es f(a) ni f(b) es decir que 3 z e <a, b>, como el valor mínimo absoluto,
también es un mínimo relativo, además f (z) existe por hipótesis => f'(z) = 0 , puesto
que f(z) es un extremo relativo.
OBSERVACION.-
Si la derivada de la función no existe en algún punto de <a, b>, puede ser que no haya
tangente horizontal, aunque la función sea continua y f(a) = f(b).
yT

586. 572 Eduardo Espinoza Ramos
APLICACIONES.-
( 7 ) Demostrar que la ecuación x 3 + x -1 = 0 m tiene exactamente una raíz real.
Solución
Primero usamos el teorema del valor intermedio para demostrar que existe una raíz.
Esto es: f(x) = x3 + x - l , entonces f(0) = -1 < 0 y f(l) = 1 > 0 puesto que f es un
polinomio, es una función continua de esta manera el teorema del valor intermedio dice
que existe un número c entre 0 y 1, tal que f(c) = 0, por consiguiente la ecuación dada
tiene una raíz. Para demostrar que esta raíz es única aplicamos el teorema de ROLLE y
razonamos por contradicción.
Esto es: Supongamos que la ecuación tiene dos raíces a y b: entones f(a) = f(b) y como f
es un polinomio; entonces es diferenciable f(a) = f(b) y como f es un polinomio;
entonces es diferenciable en <a,b> y continua en [a,b], por lo tanto, por el teorema de
ROLLE, existe un numero c entre a y b tal que / ' (c) = 0 ; pero f'(x) = 3x2 +1 > 0 , V x.
Es decir: / ' (x) no puede ser cero, lo que da lugar a una contradicción, por lo tanto, la
ecuación no puede tener dos raíces.
( ? ) Demostrar que la ecuación: x 7 + 5x3 + x - 6 = 0 , tiene: exactamente una raíz real.
Solución
Sea /(x ) = x 7 + 5x3 + x - 6 , y f(0) = -6 < 0 y f(l) = 1 > 0
Puesto que f(x) es un polinomio, es una función continua y diferenciable en todo x;
entonces es continua en [0,1] y diferenciable en <0,1>; Entonces, existe c e <0,1> tal
que f(c) = 0, es decir la ecuación tiene una raíz real para demostrar que esta raíz es
única, aplicamos el teorema de Rolle y razonamos por contradicción.
Esto es; supongamos que la ecuación tiene dos raíces a y b entonces fía) = f(b) y como f
es un polinomio, entonces f es diferenciable en <a,b> y continua en [a,b], por lo tanto por
el teorema de Rolle, existe un numero c entre a y b tal que / ' (c) = 0 pero
/ '(x) = 7x6 + 15x2 + 1 > 0 , V x es decir: / ' ( x) no puede ser cero, lo que da lugar a una
contradicción.

587. Aplicaciones de Ia Derivada 573
Por lo tanto, la ecuación no puede tener dos raíces: La principal aplicación del teorema de
ROLLE radica en la demostración del siguiente teorema.
5.6 T E O R E M A B E L V A L O R M E D I O. -
Si f es una función continua en el intervalo [a, b], derivable en <a, b> => 3 z e <a, b>, tal
f(b)-A b)
b-a
Demostración
Primeramente daremos una
interpretación geométrica del teorema.
Geométricamente quiere decir, que la
función continua tiene una tangente en
todo punto entre A y B => por lo menos
un punto en la curva entre A y B en la
cual la tangente es paralela a la cuerda
ad . f(b)-f(a) ,
AB, puesto que
---------------, es la
b -a
pendiente de la cuerda que une los
puntos A y B por otra parte f'(z) es la
pendiente de la recta tangente en el
punto (z. f(z>), por lo tanto:
/'( - ) = —— —LJ—1 _ cuando f(a)=f(b) este teorema se transforma en el teorema de Rolle.
b - a
Ahora daremos la demostración del teorema.
Consideremos una función g definida por: g(x) = f(x)(b - a) - x(f(b) — f(a)), g(x) es
continua porque f(x) ( b - a ) y x(f(b) - f(a)) es continua en [a, b]
Además g'(x) = f'(x)(b-a)-f'(x)(b-a)-(f(b)-f(a)), com og'(x) existe en <a, b>;
entonces g(x)es derivable en <a, b> g(a) = f(a)(b —a) —a(f(b) —f(a)) = bf(a) —af(b)
g(b) = f(b)(b-a)-b(f(b)-f(a)) = bf(a)-af(b)

588. 574 Eduardo Espinoza Ramos
Luego g(a) = g(b), por lo tanto cumple las condiciones del Teorema de Rolle
=> 3 z e <a, b> tal que g' (z) = 0
como g'(x)= f'(x)(b-a)-(f(b)-f(a)) => g'(:) = f'(:)(b-a)-(f(b)-f(a)) = 0
f'(:)(b-a) = /(b)-f(a) de donde f'(z) = ^ ^ —
b-a
Ejemplo.- Verificar si se cumple el teorema de Rolle de la función /(x) = 2x2 -3 jc - 2
en x e [-—,2] en caso afirmativo halle el valor posible de z.
Solución
La función íTx) es continua en [~,2] y derivable en <-■j , 2 > además
f ( ~ ) = .1(2) = 0 por lo tanto cumple con las condiciones del teorema de Rolle.
Ahora calcularemos el valor de ; e< - — ,2 > como
2
f(x) = 2x2—3x~2 => f'(x) = 4 x -3 , para : e < - ^ - ,2 >
3 1
f'(z) = 4 r - 3 = 0 => : = — e< — ,2 >
4 2
5.7. TEOREMA (PE LA FUNCION CONSTANTE).-
Sí / '( x ) = 0,Vx en algún intervalo <a,b>, entonces: fes constante en <a,b>.
Demostración
Sean .y, , x-, puntos cualquiera en <a,b> con .v, < x2 puesto que f es diferenciable en
<a.b>, entonces será diferenciable en < ,y¡ ,x 2 > y continua en [x, ,x 2 ].

589. Aplicaciones de la Derivada 575
Ahora aplicaremos el teorema del Valor Medio a la función f en el intervalo [xj ,x2 ] y
tenemos un numero c tal que xx <c<x 2 y / ( x , ) - / ( x , ) = f'(c)(x2 - x ¡ ) pero se tiene
que: / ' (x) = 0 V x => / ’(c) = 0 . Luego f\(x2) - / ( x , ) = 0
,\ / (X[) = / (x2 ). Es decir la función f es contante en <a,b>
5.8. TEOREMA (PE LA DIFERENCIA CONSTANTE).-
Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en el intervalo cerrado [a,b]. Entonces:
/ ' (x) = g' (x) en a < x < b, si y solo si f(x) = g(x) + c, donde c es una constante.
Demostración
1 ° Sí / ' (x) = g' (x ), en a < x < b, entonces: (f(x) - g(x))'= 0 en a < x < b
ahora por le teorema de la función constante se tiene: f(x) — g(x) = c = constante.
2o Si f(x) = g(x) + c. con c constante, entonces derivando se tiene: f'(x) = g'(x)
APLICACIONES.-
(T ) Resolver: {>'- 3 * n * + 5*J +2
W [ V'(0) = 4
Solución
Tenemos >''=3senx + 5x3 +2 = (-3cosx + —x 4 +2x)'
4
Lueuo por el teorema de la diferencia constante, se tiene: y = -3 eos x + —x 4 + 2x + c
• 4
donde c es una constante. Para hallar c evaluamos la ecuación en x = 0
y(0) = c => c = 4 y = -3 c o sx + — x 4 +2x + 4
4
( ? ) Resolver: ! " ' (,) = 2r’ " sen' + 3
W 1/40) = 1

590. 576 Eduardo Espinoza Ramos
Solución
2 9
Tenemos: n'(t) = 2t2 - s e n / + 3 = (— t2 +cos/ + 3/)' entonces: n(t) = — + cosf + 3/ + c
3 3
Evaluando la ecuación t = 0. ja(0) = 1 + c = 1 => c = 0 .\ /u(l) = ^ t ' + eos i + 3í
3
Ejemplo.- Usar el teorema del valor medio para probar la siguiente desigualdad
| sen x - sen y | < | x — y |, V x , y e R
Solución
Sea f(t) = sen t, esta función satisface las condiciones del teorema del valor medio, en
f( y ) - A x )
todo intervalo [x,y] c R con x < y, entonces 3 c e <x,y> tal que / ' (c) = -
y - x
sen y
_sen \
y, f(x) = senx, / '(x) = cosx , f(y) = sen y. Luego :— —— = co sc , c e <x,y>
y - x
Con | eos c | < 1, V c e R , entonces
, sen v - sen x
v - x
cos c |< 1 => | sen y — sen x | < | x — y |, V x, y e R
Ejemplo.- Usar el teorema del valor medio para probar la siguiente desigualdad:
b-a , b-a . , n
------— < tgb-tga < ------— , 0< a <b< —
eos- a eos" b 2
Solución
Sea f(x) = tg x. Esta función es continua en [a,b] cz< 0 ,y > y diferenciable en <a,b>;
tg b — tg a i 7
entonces 3ce<a,b> tal que f'(c) =
------------ y / ' (x) = sec ~ x entonces / ' (f) = sec ‘ c
b-a
Ahora para a < c < b se tiene sec2 a < sec2 c < sec2 b
i ^ s ^ •> ; ■> ^ tg f t- tg a í ,
sec’ a < f (c) < sec- b => sec a< —
------<sec b
b-a

591. Aplicaciones de la Derivada 577
. . b—a , b—a „ , n
es decir:
------— < t g / ; - t g a <-----— , pues O <a<b< —
cos~ a eos b 2
Ejemplo.- Usar el teorema del valor medio para probar la desigualdad:
ln (1 + x) < x, V x * -1
Solución
Sea f(t) = ln (1 + t). Esta función es continua y diferenciable en todo su dominio.
Luego es continua en [0,x] y diferenciable en <0,x> entonces por el teorema del valor
/ ( * ) - / ( 0 ) _ ln(l + jr)-lnl _ lnfl + x)
medio 3 c e <0,x> tal que / '( c ) = -
jc — 0
Pero r W = — => /'(<•)= — < 1, c * - l
1 + x ' 1 + c
De donde + £) < | p0r iQ tanto ln(l + x )< x , V x ^ -1
Ejemplo.- Usar el teorema del valor medio para probar la siguiente desigualdad:
l - - < -----
-----< 1--------; -1 < x < 0; x > 0
2 1 I
(1 + x ) 2 2(1+ x )2
Solución
a) Sea / ( / ) = - +
---------
(1 + ty -
Esta función es continua y diferenciable en <x,0>, con —1 < x < 0 entonces
3 c e <x,0> tal que / ' (c) =
a -x
x 1
2 ì I I
c , ■ , w 4 (1 + x ) 2 2(l + x)2 -x(\ + x)2 -2
Es decir: f (c)= -——
------;— =---------------------- --------
- x I
-2.v(l + x )2

592. 578 Eduardo Espinoza Ramos
/•./ 1 1 1 /■./ v 1 1
y como / ( / ) = —
-----------r => / ( c ) = -------------j
2(1 + O1 ~ 2(1+ c ) 2
r 1 1 i 1 ,
Luego
------------- = — ( 1 - ----------- ) ...(1)
2 1 x 2 i
2(1 +c)2 (l+jc)2
Ahora sí c e <x,0> cz <-l,0> => -1 < c < 0
3
Entonces: 0 < 1 + c < 1 => 0 < (1 + c ) 2 < 1
, 1 1 / 1 X 1 1 1 / 1 V n
=> i <
-------- => - - (--------—)< => - - - ( --r < °
2 2 1 2 2 2 3
(l + <-)2 (1 + c )2 (1 + c) 2
además; como x < 0 = > -x > 0 => - — > 0
x
X 1
entonces de (1) se tiene: 1
----------—— — < 0
" (1 + * )2
x 1
de donde tenemos: 1
---<--------— ... (a)
2 i
(1 + x )2
b) Sea / ( 0 = — -—— +
--——; x > 0
(1 + í ) 2 2(1 + / ) 2
Esta función es continua y diferenciable en <0,x>: entonces 3 c e <0,x> tal que
— L ^ + _ * i
* f(x )-f(0) . . , (1+x)2 2(1 + x)2 -3/
f'(c) = - -- - - es decir: f (c)=-
----------- --------------------------------------------------- ------- ----------, pero f (t) = ----r
jt- 0 x 1
2(1 +1)2
Ahora como t > 0 => -t < 0 => f'(t)<0

593. Aplicaciones de la Derivada 579
Entonces / '( e ) < 0 : pero x > 0 , por lo tanto:
■1 + - +
-——— < 0 de donde ---------- -----< 1--------—
\ ' 2
(1 + a: )2 2(1 + . r ) 2
I "" 1
( l+ .V ) 2 2(1 +,Y) 2
... (p)
X 1
Luego de (a) y (p) se tiene: 1 - —<
--------r <'
(l + .v)2 2(l + .r)2
5.9 FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES.-
a) DEF1NICION.-
Consideremos una función f definida
en un intervalo 1, entonces f(x) es
creciente en el intervalo; si para todo
par A] ,.íi del intervalo, se tiene que
/ (A'i) < f(x-,) siempre que xx <x2
b) DEFINICION
Consideremos una función f
definida en un intervalo I, entonces
f(x) es decreciente en el intervalo,
si para todo par x^.xj del
intervalo, se tiene que
/ ( y, ) > f(x-,) siempre que
a-, <x-,

594. 580 Eduardo Espinoza Ramos
5J0 TEOREMA,-
Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en <a, b>, entonces:
i) Si / '( x ) > 0 , V x e <a, b> => f(x) es creciente en <a, b>
ii) Si / '( x ) < 0 , V x e <a, b> => f(x) es decreciente en <a, b>
Demostración
i) Suponiendo que _/'(x) > 0 , V x e <a, b>, sea xx,x2 e <a, b>, tal que x, < x 2
^ j
_ ^ ^ Y j
entonces: /'(;) = -— 1—— , donde z está entre x, y x , (por el teorema del
x2 -x ,
valor medio), pero x 2 - x ( > 0 y además ./ '(:) existe por hipótesis.
Luego f(x 1) - f ( x l)> 0 , es decir / ( x 2)> / ( x 1), ó sea, / ( x 1)< / ( x 2) para
x, ,x 2 e< a,b>. entonces f(x) es creciente en el intervalo <a,b>
ii) Suponiendo que / '( x ) < 0 , V x e<a,b>, sea xx ,x 2 e<a,b>, tal que: x, < x 2
j |
_ j (X |
entonces: = -
----- — ;----— , donde z está entre x, y x-, (por el teorema del
x 2 -x¡
valor medio) pero x¡ - x 2 < 0 como f'(-) < 0 por hipótesis.
Luego / ( x 2) —f(x\) < 0 »entonces f(x 2) < / ( x 1),ó sea, que / ( x , ) > / ( x 2) para
Xj ,x 2 e< a,b> , entonces f(x) es decreciente en <a, b>
Ejemplo.- Hallar los intervalos donde la función: f(x) = x 5 - -5x3 -2 0 x —2 es
creciente y decreciente.
Solución
Los intervalos donde la función f(x) es creciente o decreciente se encuentra con los
puntos críticos de la función es decir haciendo /'(x ) = 0 entonces:
/ '( x ) = 5x4 -1 5 x 2 - 2 0 = 0 de donde (x2 -4 ) (x 2 +1) = 0 => ¡-2,2¡son los puntos
críticos, ahora los puntos críticos los dibujamos en la recta real

595. Aplicaciones de la Derivada 581
- o
-2
O
2
y se obtienen los intervalos '<-*>,-2>, <-2,2> y <2,+»>
Luego determinaremos en que intervalo es creciente o decreciente.
Si xe<-*,-2>, f ( x ) = (x+ l)(x-2)(x' +!)>() => la función f(x) es creciente sobre <-oo,-2>
Si xe< -2,2> ,/'(x) = (x + l)(x-2)(x2 +1) < 0 =>la función f(x) es decreciente sobre <2,+x>
Si xe<2,+oO, /'( x ) = (x + l)(x -2 )(x 2 +1) > 0 =>la función f(x) es creciente sobre <2,+oo>
5.11 CRITERIO DE L A
RELATIVOS.»
l'RIMLRA MMi\ A PARA . Vi RFMOS
Consideremos una función f continua en [a, b] y sea c e <a, b> un número crítico y
/ '( x ) está definida para todos los puntos de <a, b> excepto posiblemente en c, entonces:
. /'( x ) > 0 ,V x e < o ,c > l
i) Si > => f(c) es un valor máximo relativo de f
f '(x) < 0, Vx e< c, b > j
.. r ( x ) < 0 .V x e < O.c >
ii) Si ^ f(c) es un valor mínimo relativo de f
f' (x) > 0, Vx e<c,b > j
¡ii) Si / '( x ) no cambia de signo, cuando x pasa por c entonces f(c) no es un valor
máximo ni mínimo relativo.

596. 582 Eduardo Espinoza Ramos
Ejemplo.- Hallar los valores máximos y mínimos relativos de la función
f(x) = .r5 — 5jc3 -2 0 jc -2
Solución
Para calcular los máximos y mínimos relativos, primeramente se debe de calcular los
números crítico, es decir: f'(x) = 0 para obtener los números críticos como;
/ (x) = x-~5x3 - 20.V- 2 => ./"(.t) = 5*4 - 1 5x2 - 20 = 0
de donde x = ±2 números crítico.
(x -4 ) (.v +1) = 0
f'(x) = 5(x + 2)(x -2)(x~ +1)
- o -
-2
- O
2
Para x = - 2 Sí
, x < -2, f'(x) > O4
Para x = 2 Sí
- 2 < x < 2, / ' (x) < 0
-2 < x < 2 , / '(x) < 0“ |
x > 2,f'(x) > 0+
=> máximo relativo en f(-2) = 46
mínimo relativo en f(2) = -50
Ejemplo.- Hallar los máximos y mínimos de la función f(x )= x 5-5 xi —20x-2,
mediante el criterio de la segunda derivada
Solución
Primeramente hallaremos los números críticos de la función f(x), es decir:

597. Aplicaciones de Ia Derivada 583
/ ( * ) = .r 5 - 5 x 3 - 2 0 x - 2 => f'(x) = 5x4 -15x2-20 = 0=>(x2 -4)(x2 + l) = 0 = > x = ± 2
números críticos ahora calculamos la segunda derivada, es decir:
J'"(x) = 20 x3 -3<)x, ahora evaluamos en los números críticos.
/ " ( - 2 ) = -100 < 0 => 3 máx.relativo en f(-2) = 46
/" ( 2 ) = 100 > 0 => 3 min.relativo en f(2) = -50
5.13 CONCAVIDAD Y PUNTO DE INFLEXION.-
Consideremos una función f derivable y sea P un punto de la gráfica f, si todos los puntos
de f arbitrariamente cercano a P están por arriba de la recta tangente a f en el punto P,
entonces la gráfica es cóncava hacia arriba en P.
Si todos los puntos de f arbitrariamente cercano a P están por debajo de la recta tangente
en P, entonces la gráfica es cóncava hacia abajo en P.

598. 584 Eduardo Espinoza Ramos
Cuando f tiene una sola tangente en P y f es cóncava hacia arriba en todos los puntos
cercanos arbitrariamente a P situados a un solo lado y es cóncava hacia abajo en todos los
puntos cercanos arbitrariamente a P situados al otro lado de P, entonces P recibe el
nombre de punto de inflexión.
a) DEFINICION.-
Sea f una función derivable, si P(c, f(c)) es un punto de la gráfica y si existe un
intervalo abierto <a, b> sobre el eje X ye e <a, b>, tal que: V x í c, x e <a, b>. Si
el punto Q(x, f(x)) correspondiente a la gráfica está por arriba de la recta tangente en
P, entonces la gráfica es cóncava hacia arriba en P.
Y
i
\ c ó n c a v a h a c i a
\ a r r i b a /
y = f(x)
\ P ( c , f ( c ) ) /
i \ . / i
l ^ i
1 T 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
Q(x, f(x))
0
a c x b X '
b) DEFINICION
Sea f una función derivable, si P(c, f(c)) un punto de la gráfica y si 3 <a, b> sobre
el eje X y c e <a, b> tal que V x * c, x e <a, b>, si el punto Q(x,f(x))
correspondiente a la gráfica está por debajo de la recta tangente en P entonces la
gráfica es cóncava hacia abajo en P.

599. Aplicaciones de la Derivada 585
c) DEFINICION.-
Un punto P(c, f (c )) es un punto de
inflexión de f si existe un intervalo
abierto <a,b> y c e <a,b> tal que la
gráfica de f sea cóncava hacia arriba
sobre <a,c> y cóncava hacia abajo sobre
<c, b> ó reciprocamente
d) DEFINICION.-
Si P(c, f(c )) es un punto de inflexión de f y si existe /" ( c ) entonces f"(c) = 0 .
e) TEOREMA.-
Suponiendo que f: R -> R es derivable en <a, b>.
a) Si f es una función tal que f"(x) > 0 , V x e <a, b>, entonces la gráfica de f es
cóncava hacia arriba sobre <a, b>.
b) Si f es una función tal que J "(x) < 0 , V x e <a, b>, entonces la gráfica de f es
cóncava hacia abajo sobre <a, b>

600. 586 Eduardo Espinoza Ramos
INTERPRETACION GRAFICA
Y
A
y = f(x)
Y
*•
0 a c b x 0 a c b X
Ejemplo.- Determinar los intervalos en donde la función es cóncava hacia abajo y
0 f(x) =3jc4 -lO .t3-\2x2 +10.V + 9
/( * ) = 3jc4 —IOjc3 -12jc2 +10x + 9
=? i' (.r) = 12x3 - 30,t2 — 24x +10
=> f "(x) = 36x1 - 60x - 2 4 . ahora hacemos:
/ ' '(x) - 0 para determinar los puntos de inflexión.
36.v2 -60.V -24 = 0 =í> 3.v2 - 5 .r - 2 = 0 ^
cóncava hacia arriba.
Solución
2
de donde x = — . x = 2
3
3
Para ~ - < x < 2 , / ”(x)<Q => f(x) es cóncava hacia abajo en < — ,2 >

601. Aplicaciones de la Derivada 587
5.14 EJERCICIOS DESARROLLADOS.-
©
1.- Construir la gráfica determinando los puntos críticos, puntos de discontinuidad, los
extremos relativos, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los puntos de inflexión
y la dirección de su concavidad de la gráfica.
3 2
v = x - 3x
Solución
Calculando, los valores críticos — = 0 , es decir:
dx
dy , 2
— = 3.v - 6.v = 0
dx
x = 0, x = 2 valores críticos
para el valor critico x = 0
dy
x < 0
dx
> 0
0 < x < 2 , ^ < 0
dx
entonces 3 máximo relativo en x = 0 donde se tiene
el punto máximo (0.0)
para el punto critico x = 2
0 < x <2 , — < 0
dx
2<x <+oo, — > 0
dx
entonces 3 mínimo relativo en x = 2 donde se tiene
el punto mínimo (2,-4)
La curva y = .y3 - 3 .í2 es creciente sobre los intervalos <-oo,0> y <2,+oo> y es creciente en
el intervalo <0,2>
Ahora calculamos los puntos de inflexión, es decir:
d*\
dx
— = 6r - 6 = 0 => x = 1 => y = -2

602. 588 Eduardo Espinoza Ramos
Luego (1,-2) es el punto de inflexión
i •
Como — — = 6(a -1)
dx~
d 2y
Para x < 1,—j- < 0 => la gráfica es cóncava hacia abajo sobre el intervalo <-*,l>.
dx~
d 1 •
Para x> l , — r- > 0 => la gráfica es cóncava hacia arriba sobre el intervalo < 1 ,+»>
dx~
X f i x )Conclusiones
< - 0 0 ,( ) >+ Creciente
< 0 , 2 > - Decreciente
<2.oo> + Creciente
X f"(x) Conclusiones
<-*>,l> - Cóncava abajo
< 1 , 0 0 >+ Cóncava arriba
© f(x) =
Solución
Primeramente hallaremos los puntos críticos
12_v — 4 y * i r z
/ ' (x) = —
------1— = 0 => 4jc( 3 -jc' ) = 0 => x = 0, jc = ± V 3
Luego {-7 3 ,0 ,^ 3 } son los valores críticos
- r ■r

603. Aplicaciones de ia Derivada 589
~ = 4x(*j3-x)(^3 + x)
dx
ahora veremos en que puntos críticos se tienen máximos o mínimos.
~ S
x < —s/3 , ^ > 0 *
dx
-V3 <a-<o, 4 : <0
dx
-V3 < .r < 0 , ^ - < 0 “
dx
0 < .y < ^ 3 , — > 0 *
dx
3 máx. relativo en ,y = —73 , (—73,1)
3 mín. relativo en x = 0, (0,0)
para el puato critico x = -73
0<x<^¡3 , — > 0 +
dx
- 7 3 < ,y < + o o , — < 0 ‘
dx
■ 3 máx. relativo en .y = V J , (V3,1)
La función f(x) es creciente sobre los intervalos< -oo,—7 J > ,< 0 ,V3 > y es decreciente
sobre < —73,0 > , < 7 3 ,+ * > ahora calcularemos los puntos de inflexión, es decir:
12 12 5 5
/"(.Y) = — - = 0 => X = ± l => (1.—) . (—1,— )
9 9 9
son los puntos de inflexión. Ahora calculamos los intervalos de concavidad

604. 590 Eduardo Espinoza Ramos
/■•(jr) = ^ ( 1-jcKI + jc)
____+ A/ - V + __
-1 1
para x < -1, f"(x) <0 => f(x) es cóncava hacia abajo sobre el intervalo <-oo, -1>
para -1 < x < 1, / " (x) > 0 => f(x) es cóncava hacia arriba sobre el intervalo <-1, 1>
para x > 1, f ' ( x ) < 0 => f(x) es cóncava hacia abajo sobre el intervalo <1, +oc>
X f + (x)Conclusiones
< -no, -^¡3 >
+ Creciente
< - 7 3, 0 >
- Decreciente
A
o
V
+ Creciente
< -y/3 ,+ 0 0 > - Decreciente
X / " (X) Conclusión
< - O C , - 1 > Cóncava abajo
< -l,l> + Cóncava arriba
< l , 0 O > - Cóncava abajo
©
f(x) =
125
Solución
Hallaremos los puntos críticos es decir:
fax(\~
_5)” i _
/ ' (x) = — ----------= 0 => x = 0, x - ±V5 son los valores críticos
125
f'(x) =
6x(x2 - 5 ) 2
125
-7“ ■ r

605. Aplicaciones de la Derivada 591
ahora veremos en que puntos críticos se tiene máximos y mínimos.
Para ei punto critico x ~ ~^5
Para x < - 45 , / ' (x) < 0 '
- V 5 < .v < 0 , / ' (je) < 0
3 máximo ni mínimo en x = -7 5
-■Js < x <0 , /"'(jc)< 0
Q < x < S, c ) > 0 +
3 mínimos relativo en x = 0, (0, - 1 )
0 < *< V 5 , f'(x) > 0*
s Í 5 < x < + * , / ’ (je) > 0 "
3 máximo ni mínimo en x - 45
además la función f(x) es creciente sobre los intervalos < 0, V5 > , < V5 ,+*> > y es
decreciente sobre los intervalos< -oo,—\¡5 > y < —v/5,0 >.
Ahora calcularemos los puntos de inflexión , es decir:
/ " ( j e ) = Y j t i 2 — 5>(je2 - 1 ) = 0 de donde x = ± 1, je = ± ^ 5
64 64 r - i—
Luego Í - 1 - — ). (1- ^ ’ (-V 5.0). (^5,0)
Son los puntos de inflexión, ahora calculando los intervalos de concavidad
----------4-----------------A---------------------------------i -1-----------
- f
Para x < —\Í5 , / ' ' (.v) > 0
intervalo < y/5 >
•1 1 - n/-
=> la gráfica es cóncava hacia arriba sobre el

606. 592 Eduardo Espinoza Ramos
Para --J5 <x < - 1 , f ”(x)< O => la gráfica es cóncava hacia abajo sobre el
intervalo < —V5,—1 >
Para -1 < x < 1, f"(x)> 0 => la gráfica es cóncava hacia arriba sobre el
intervalo < -l,l>
Para \ < x <-j5 , f"(x)< 0 => la gráfica es cóncava hacia abajo sobre el
intervalo <1, V 5>
Para -J5 <x< +-c, f"(x)> 0 => la gráfica es cóncava hacia arriba sobre el
intervalo <-J5 ,+*> >
X f"{x) Conclusión
A
1
8
l
V
+ Cóncava arriba
< -V 5 - 1 >
- Cóncava abajo
< - l , l > + Cóncava arriba
A
&
V - Cóncava abajo
< V5 , + • » >
+ Cóncava arriba
X
/ '
Conclusión
< -00, — v / 5 > -Decreciente
< —n/5,0 >
-Decreciente
A
O
V
+ Creciente
< 4$ , + Q ° >
+ Creciente
( 4) f(x) = (x + l)Lni(x + \)
Solución
La función f(x) es definida para x e <-1, +oo>
Luego calcularemos los puntos críticos, es decir:
/'(.* ) =[ln(x + l) + 2]ln(.v + l) = 0 , de donde:

607. Aplicaciones de la Derivada 593
Ln(x+1) = O v Ln(x+1) +2 = 0= > x = 0, x = -\+ —
e~
o sea que {0,-1 + — } son los puntos críticos
e~
J'(x) = Ln(x+l)[Ln(x + \) + 2\
-1
~ 1 + 7
0
ahora calculamos los máximos y los mínimos
1
para el punto crítico x - - 1 + ~
-1 < x < - 1 + —, f'(x) > 0"
e
-1 + — < .r < 0 , / ’ (jc) < 0“
e
1 1 4
3 máx. relativo en.v = -1 + — , (-1 + — , — )
e~ e~ e~
para el puato crítico x -Q
-l+ -< .v< 0, r(x)<0~
e
0 < 0 < + oo, f'(x) > 0"
3 mínimo relativo en x = 0, (0,0)
La gráfica es creciente sobre los intervalos < -1,-1 + — > , <0,+oo> y decreciente sobre el
e
intervalo < -1 + - ,0 > . Ahora calcularemos los puntos de inflexión, es decir:
e
z, . w = 3 í ü < í l ! ) ± l l „ o = , — u í
.í + 1 e
de donde (-1 + — ) es un punto de inflexión.
e e

608. 594 Eduardo Espinoza Ramos
W + . H U
---------+ -------------------+ 7 -
x + l -1 + —
e
para — 1 < jc< —1 , f'(x)< O, la gráfica es cóncava hacia abajo sobre el
e '
intervalo < - l , - l + —>
e
para -1 + — <jc<oo, f"(x)> 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre el
e
intervalo < - l + —,+oo>
e
X f ' WConclusionesJ"(x)Conclusiones
< - l , - l + - >
e
+ Creciente
'
Cóncava abajo
< - l + - , 0 >
e
Decreciente + Cóncava arriba
<0,+*>> + Creciente
f(x) =
Solución
La función f(x) está definida en todo R-{-1.1} ahora calcularemos los puntos críticos, es
x2 —3
decir: [' (x) = —
.....— = 0 = > jc = ±V3 valores críticos.
3 ^ 1 ?

609. Aplicaciones de la Derivada 595
--73 l ï
—-s/3) , . , ,
.......................
/ (jc) = ------¡----- , ahora calculamos los máximos o mínimos;
3
para el pimío critico x - S
J C < —s/3 . f'(x)> 0J
—•73 < x < - 1 , / ' (x) < 0
■Æ,
3 máx.relativo en x = -73, (—7 3 ,- - 7=)
V2
para el punto critico je =-73
1 < x < -73 , /'(.c ) < 0
-JÎ < * < * > , f'(x)> (T
■ 3 mín. relativo en x = ^JÏ , (-73, -Jï / V2 )
además la función f(x) es creciente sobre los intervalos < -oo,—73 > y < a/3 ,+°° > .
decreciente en los intervalos < -7 3 ,-1 > ,< -1 , 1> y < 1,-73 > .
Ahora calcularemos los puntos de inflexión, es decir:
/" ( * ) = = 0 => x = 0, x = ± 3,
9*j(x2-l)7
3 3
de donde: (0, 0),(3,—), ( - 3 ,- —) son los puntos de inflexión, además como asíntotas
verticales tiene a x = ±1 ahora calcularemos los intervalos donde f(x) es cóncava
-3-1013
para x <- 3, / " ( v ) > 0 => la gráfica es cóncava hacia arriba sobre el intervalo <-*>,- 3>

610. 596 Eduardo Espinoza Ramos
para -3 < x < -1, / ' " (x) < O, la gráfica es
para -1 < x < O, f"{x) > O => la gráfica es
para O < x < 1, f"(x)< O => la gráfica es
para 1 < x < 3, J "(x) > O => la gráfica es
para 3 < x < < O => la gráfica es
X f'(x)Conclusión
A
1
8
i ,
V
+ Creciente
< -7 3 ,-1 >
- Decreciente
<-1, 1> - Decreciente
A
V
- Decreciente
< V3,oo >
+ Creciente
i i
Y
O
cóncava hacia abajo sobre el intervalo <-3,-l>
cóncava hacia arriba sobre el intervalo <-1, 0>
cóncava hacia abajo sobre el intervalo <0, 1>
cóncava hacia arriba sobre el intervalo < 1,3>
cóncava hacia abajo sobre el intervalo <3, *>>
X f"(x) Conclusión
<-oo, -3> + Cóncava arriba
A
1
i
V
- Cóncava abajo
<-l,0> + Cóncava arriba
<0, 1> - Cóncava abajo
<1, 3> + Cóncava arriba
<3,+ »> - Cóncava abajo
—r=----------------'
--►
-^r 3 x
© f(x)
i](x-2)2
Solución
La función f(x) está definida V x * 2 calculando los puntos críticos, es decir:
x -6
3 ^/Ü ^2)5
■ = 0 => x = 6 valor crítico

611. Aplicaciones de la Derivada 597
ahora calcularemos el máximo o el mínimo. Para x = 6
2 < x < 6, f'(x) < 0
=> 3mínimo en x = 6 , el punto critico (6,—¡=)
v2
6 < x < + x , f ( x ) > 0 '
además la función f(x) es creciente sobre los intervalos <-x, 2>, <6. + x> y es decreciente
sobre el intervalo <2, 6> ahora calcularemos los puntos de inflexión, es decir:
—2(v — 12) 12
f"(x) = — = = = = = 0 => x = 1 2 d ed o n d e (12,—==•) es el punto de inflexión
VToo
9ij{x-2)
calculamos los intervalos de concavidad.
- 2(jc-12)
/ " ( -V) =
>lj(x- 2)g
—<D-
12
para x < 2, f"(x)> 0 => la gráfica es cóncava hacia arriba sobre el intervalo < -x, 2>
para 2 < x < 12, J"(x) > 0 =>la gráfica es cóncava hacia arriba sobre el intervalo <2,12>
para x > 12, f"(x) <0 => la gráfica es cóncava hacia abajo sobre el intervalo <12,+x>
© f(X) = ( J L - ) e '
4 - x

612. 598 Eduardo Espinoza Ramos
Solución
Calculamos los puntos críticos, es decir: / ' (x) = —— ——
(4-x)2
además x = 4 es punto de discontinuidad.
= 0 => x = 2
Luego determinaremos si tiene máximo o mínimo en x = 2
----
2 4
para el valor critico x = 2
para x < 2, f'(x) > 0+
)
=> No existe max. ni min. relativo
para 2 < x < 4, / ' (x) > 0 ' *
además f'(x) > 0, V x e <4,+x>> => f(x) es creciente sobre los intervalos <-*.2>, <2,4>,
- <4,+oc>, ahora calcularemos los puntos de inflexión es decir:
Si x < 0, f"(x) < 0 => la gráfica es cóncava hacia abajo sobre el intervalo <-oo,0>
Si 0 <x < 1, f"(x) > 0 => la gráfica es cóncava hacia arriba sobre el intervalo <0, 1>
Si 1 < x < 2, f"(x) < 0 => la gráfica es cóncava hacia abajo sobre el intervalo <1,2>.
Si 2 < x < 4, f ”(x) > 0 => la gráfica es cóncava hacia arriba sobre el intervalo <2,4>.
Si x > 4, f"(x) < 0 => la gráfica es cóncava hacia abajo en el intervalo <4, +»>.
x (x—2)(x — ))xe *
t (x) =
----------------------
(4-x)
= 0 => x = 0, x = 1, x = 2
de donde (0.0), (1,— ), (2,— ) son los puntos de inflexión
3e f e~ ■
0 1 2 4

613. Aplicaciones de Ia Derivada 599
CONCLUSIÓN
x
/ '
Conclusión
<-x,2>> 0Creciente
<2,4> > 0 Creciente
<4,»>> 0Creciente
X / " ( - Y )Conclusión de f
< -» ,0 > < 0 Cóncava hacia abajo
< 0, 1> > 0 Cóncava hacia arriba
<1,2> < 0 Cóncava hacia abajo
<2,4> > 0 Cóncava hacia arriba
<4,oo> < 0 Cóncava hacia abajo
©
Solución
Calculando los puntos críticos, es decir:
1
f'(x) = (x + l)~ (.r- l)(5,v-l) = 0 , de donde x=-l, .y = —, x=l son los puntos críticos.
Ahora analizaremos en que puntos críticos se tiene los máximos ó mínimos.
/ ' (y) = (.Y+l)2(.r-l)(5,Y -l) T\ * 1
para el punto critica x - - l
para x < -1, f'(x) > 0"
No existe máx. ni mín en x =
para -1 < x < —, / ' (.v) > 0 *

614. 600 Eduardo Espinoza Ramos
para el punto critico x = i
para - 1 < x < —, / ' (a ) > 0 ‘
para < v < 1, / '( * ) < 0
J
. 1 1 3 4 5 6
:=> 3 max. en jc = — , (—,
-------)
para el punto critico x = 1
< x < x . /'■ (x) > 0
=> 3 min. en x = 1, ( 1.0)
La función f(x) es creciente sobre los intervalos <-*, -1>, < - 1 ,— > y <1, +*-> y es
decreciente < -7,1 > ahora hallaremos los puntos de inflexión, es decir:
/ " ( a) = 4(.y + 1)(5,v' — 2x — 1) = 0 =>x = -l, x = -— , x - de donde (-1,0) y
( 1 + -\/6 J ^ ( 29_ 6^ ) > , (i—2^ _lr_(29 + 6^ ) ) son los puntos de inflexión.
5 6 2 5 5 6 2 5
Ahora detenninaiemos los intervalos de concavidad.
,"(x) = Mx + \)(x-]- ^ ) ( x - ]- ^ ) ' 1 t 3 - g .
para x< - 1 ,/" ( .y) < 0 => la gráfica es cóncava hacia abajo sobre el intervalo <-•*>.-1>
para -1 < a < -—— . f' '(a) > 0 => la urálica es cóncava hacia arriba sobre el intervalo
5 '
. , 1-V6 .

615. Aplicaciones de la Derivada 601
para 1 ^ < x < * E ~ , / ” (*)< 0 => la gráfica es cóncava hacia abajo sobre el
. 1 —\fb 1 + 46
intervalo <
--------,--------->
5 5
para x > ■ +^ , f"(x) > 0 => la gráfica es cóncava hacia arriba sobre el intervalo
1 + V6
<
--------,+oo >
x
/ '( * )
Conclusión
<-00, -1>+ Creciente
< - l , - >
5
+ Creciente
< - , l >
5
- Decreciente
<1, 00> + Creciente
X f'ix )Conclusión
<-00, -1> - Cóncava abajo
, 1 -4 6
< 5 >
+ Cóncava arriba
J - 4 6 1 + 46 _
5 ’ 5
'
Cóncava abajo
1 + 46
<
--------,+00 >
5
+ Cóncava arriba
® / w = _ £ ! ^ ñ -
w je + 8x + 16
Solución
4(3* - 4) 4
Hallaremos los puntos críticos, es decir: f' (x) =
---------— = 0 => x = — punto crítico
(x + 4 y 3
además x = — 4 es punto de discontinuidad ahora calcularemos el punto máximo ó
mínimo.

616. 602 Eduardo Espinoza Ramos
/ '( * ) =
4(3*-4)
(* + 4)3
-4 4/3
para -4< x< — , f'(x)< 0"
para — < x < oo, / ' (x) > 0 +
4 4 1
• 3 mínimo en x = — de donde: (—,— )
3 3 8
además para x < — 4, / ’ (x) > 0. Luego la función f(x) es creciente sobre los
4 4
intervalos < - o o , — 4>, < — ,+*>> y decreciente sobre el intervalo < - 4 , —> ahora
calcularemos los puntos de inflexión, es decir:
x - 4 = 0x = 4
(x + 4)
de donde (4,0) es punto de inflexión. Luego calcularemos los intervalos de concavidad
—4(x — 4)
para x < —4, f"(x)> 0 =:
intervalo <— *>,—4>
para - 4 < x < 4, f ”(x) > 0
intervalo < - 4, 4>
para x > 4, / " ( * ) < 0 =>
intervalo <4, + o o >
-4 4
la gráfica es cóncava hacia arriba sobre el
=> la gráfica es cóncava hacia arriba sobre el
la gráfica es cóncava hacia abajo sobre el
X f'(x)Conclusiones
<-00, -4> +Creciente
. 4
< - 4 ,—>
3
”Decreciente
4
< — , + 0 0 >
3
4 Creciente
X f"(x)Conclusiones
< - o o , -4> + Cóncava arriba
<-4, 4> + Cóncava arriba
< 4 , + o o > -■Cóncava abajo

617. Aplicaciones de !a Derivada 603
f(x) = x e
Solución
Calcularemos los puntos críticos, es decir:
f'(x) = x2(3-4a2 )e4~2' = 0 =>x = 0, x = ±
73
puntos críticos. Ahora analizaremos en que puntos hay máximos y mínimos
f(x ) = x2(43-2x)(43 + 2x)e4~2xl
2
para .t < • f(x) < 0
para < x < 0, / ' (x) > O-*
. 73 ,-a/3 -3 ^ 3 5/2,
=>3m m . en x =
------,(-------,--------e )
2 2 8
/3
< jc < 0 , f '(x) > 0 +
2
no existe max. ni min.

618. 604 Eduardo Espinoza Ramos
F
0<x< —j -, / ' (x) > 0*
x> 2y . f(x )< 0
a - • V3 ,V3 3V3 5/2 ,
=> 3 máximo en x = — , (— ,
-----e )
2 2 8
■73 -73
además la función fi(x) es creciente sobre los intervalos <
------,0 > y < 0 .— > y
2 2
•73 -73
decreciente sobre los intervalos < -x,
------> y < — ,+*> > ,ahora calcularemos los
2 2
puntos de inflexión, es decir:
f"(x)=2x(2x+l)(2x-l)(-j2x+-j3)(-j2x-~jí)e42x = 0
n 1 VJ V3 1
=> x = 0, x = — , x =
------, x =-----, x = —
2 2 2 2
( 0 , 0 M - ^ , - - ^ ) , i - ¿ - | | | e ) , ( ^ , | ^ | é ? ) , ( |- , ^ y - ) son puntos de inflexión.
Ahora calcularemos los intervalos de concavidad.
0
f' '(x) = 2x(2x +1 )(2x - 1)(-Jlx + -73 )(-72x - V J )e4~2x''
para x < , f ”(x)< 0 => la gráfica es cóncava hacia abajo sobre el
intervalo: < -•», J - >
V 2

619. Aplicaciones de la Derivada 605
para f"(x)> 0 => la gráfica es cóncava hacia arriba sobre el
intervalo
- I
« 4
para ~—<x<(), f"(x) < 0 => la gráfica es cóncava hacia abajo sobre el
intervalo: < —- ,0 >
2
para 0<x< —, f"(x)> 0 la gráfica es cóncava hacia arriba sobre el
intervalo < 0, — >
2
para / " ( * ) < 0
intervalo < —
2 V 2
la gráfica es cóncava hacia abajo sobre el
para x>^j— , f ”(x)> 0 => la gráfica es cóncava hacia arriba sobre el intervalo
4
RESUMIENDO:
X / '( * )Conclusiones
- Decreciente
< -0 0 ,-------->
2
A
o
V
+ Creciente
A
o
V
+ Creciente
-73
<
-----,+00 >
2
Decreciente

620. 606 Eduardo Espinoza Ramos
X
/ " ( * ) Conclusiones
'
Cóncava abajo
3 l
2’ 2 >
+ Cóncava arriba
< — , 0 >
2
* Cóncava abajo
< 0 , - >
2
+ Cóncava arriba
1 17
< — — >
2 v 2
‘
Cóncava abajo
" i
3
— ,+00>
2
+ Cóncava arriba
( n ) Graficar f(x) = cos(- j X^) +
Solución
© Sea f(x)= , Xl = , Hallar:
4x2 + 7
a) Los intervalos donde f es creciente y decreciente.

621. Aplicaciones de la Derivada 607
b) Los valores máximos y mínimos relativos.
c) Puntos de inflexión y graficar.
II.
O
/( * ) =
x2 + 7
entonces / ' (x) ■
Solución
(x¿ + iy
/ ' (jc) > 0 , V x e R, entonces f es estrictamente creciente en R.
No tiene máximos ni mínimos relativos. Además lim f(x)~ 1 y lim f(x) = -1
x —>+cc< .v—
■ uiolüw» J ob i- )u rn • fií fi soorioiioo {£-,.() rfírnsbc
f(0) = 0, su gráfica es:
X
Si f(x) =axs +bx2, determinar a y b de modo que la gráfica de f tenga un punto de
inflexión en (1,2)
Solución
Como (1,2) es punto de inflexión => / ' ’(1) = 0
/ '(x) = 3ax2 + 2bx => f "(x) = 6ax + 2b
f''(\) = 6a + 2b => 3a + b = 0
además (1,2) pertenece a la gráfica de f(x), entonces:

622. 6 0 8 Eduardo Espinoza Ramos
f(l) = 2 => f(l) = a + b = 2 => a + b = 2. Luego:
3a + ¿> = 0
a = -1
=>
, - b= 3
a + b = 2
© Determinar a y b, tal que: f(x)=2x3 +0*2 +6 presenta un extremo relativo en (1, -2)
Solución
Como (1, -2) es un extremo relativo => /'(1 ) = 0
/ ' (jc) = 6x2 + 2ax => / ' (1) = 6 + 2a = 0 =í> a = -3
además (1,-2) pertenece a la gráfica de f, entonces:
f(l) = -2 => 2 + a + b = -2 => a + b = -4 => b = -l
( ! ) Si / (jc) = ax3 + Ax2 + ex, determinar a , b y c de manera que (1,2) sea punto de inflexión
de la gráfica de f y de pendiente de la tangente de inflexión en dicho punto sea—2.
Solución
Como (1,2) es punto de inflexión => / ' 1 (1) = 0, entonces:
/ ' (x) = 3ax2 + 2bx + c => f"(x) = 6ax + 2b entonces:
/ " ( l ) = 6a + 2b = 0 . de donde 3a + b = 0
además se tiene la pendiente de la tangente de inflexión en (1,2) es / '( l ) = -2
entonces : / ’ (1) = 3a + 2b + c = -2 entonces 3 a + 2b + c = -2
también (1,2) pertenece a la gráfica entonces f(l) = 2, es decir:
íU) = a + b + c = 2 => a + b + c = 2. Luego
3a + b = 0 a = 4
3a + 2b + c = -2 => ¿7 = -12
a + b +c=2 c = 10

623. Aplicaciones de la Derivada 609
( ? ) Hallar a, b, c y d de manera que /(jc) = ax3 +bx2 + ex + d presente extremos relativos en
(1,2) y (2, 3)
Solución
Como (1, 2) y (2, 3) son extremos relativos => / ' (1) = 0 , / ' (2) = 0 , entonces
tenga un extremo relativo en (0, 3) y la gráfica de f con punto de inflexión en (1,-1)
Solución
Como (0, 3) es un extremo relativo => / ’(0) = 0 entonces
f'(x) = 3mx2 + 2nx + r => f(0) = r = 0 => r = 0 además (0, 3) pertenece a la gráfica
entonces f(0) = 3 entonces 0+0+0+1=3 => t = 3. Como (1,-1) es punto de inflexión
=> / " 0 ) = 0 , f"(x) = 6mx + 2n => / " ( l ) = 6w + 2n = 0 de donde:
/ ' (jc) = 3 ax1 + 2bx+c de donde
además los puntos (1,2) y (2,3) pertenece a la gráfica, entonces:
/ ( 1) = 2 a + b + c + d = 2
/ ( 2) = 3 ta + 4b + 2c + d = 3
por lo tanto se tiene:
3a + 2¿>+c = 0
12a + 4é + c = 0
a+ b+c+d=2
8a + 4b + 2c + d = 3
a = -2
¿ = 9
c = -12
d =1
(5) Dada la función / (jc) = mx3 + nx2 +rx + t , determinar las constantes m, n, r, t para que f
3m + n = 0 además el punto de inflexión está en la gráfica => f(l) = -1 entonces

624. 610 Eduardo Espinoza Ramos
m + n + r + t = -l => m + n = -4. Por lo tanto:
3m+n=0
m + n = -4
m = 2
n = -6
r = 0
t =3
( ó ) Sea f(x) = ax3 +bx2 + ex + d una función. Hallar los valores de a, b, c, d tal que f tenga
1 49
un punto de inflexión en ~ ) > y sea tangente a la recta y = 3—2x en el punto Q(0,3)
Solución
1 49 1
Como p(— ,— ) es un punto de inflexión entonces: / ” (— ) = 0
2 12 2
/ ' (x) = 3ax1 + 2bx + c=> f " (x) = 6ax + 2b => / ' ' ( - y ) = -3a + 2b = 0 => -3a+2b=0
1 49
además />(-—, — ) pertenece a la gráfica de f entonces
1 49
/ ( — ) = —
2 12
a b c , 49
— +
-------+ d= —
8 4 2 12
sea L, : y = -2x + 3 => mL, = -2 => / ' (0) = -2 => 0 + 0 + c = -2 =^> c = -2
además el punto Q(0, 3) pertenece a la gráfica => f(0) = 3 => 0+0+0+d=3 => d = 3
3a + 2Z> = 0 -3a + 2b = 0
a b 1 -> a 1
----1 -----h b — —
8 4 12 2 3
1
a , i
3 l l
. Por lo tanto a = — , b~ —, c = -2, d = 3
, l 3 2
b = —
2
III. PROBLEMAS SOBRE MAXIMOS Y MINIMOS
( l ) Una caja rectangular tiene una base cuadrada y no tiene tapa. El área combinada de los
lados y el fondo es de 48 pies cuadrados. Hallar las dimensiones de la caja de máximo
volumen que cumpla estos requerimientos.
Solución

625. Aplicaciones de ¡a Derivada 611
Condición del problema: A = x 2 + 4xy = 48
4 8 — x i
de donde y =
---------- además V = x2y
' 4x '
4x 4
i„, , 48-3.V . .
V (x) =
-----------= 0 => x = ± 4 puntos críticos
V”(x) = - —x=$ V'(4) = -6 < 0 => 3 máximo en x = 4
©
4 8- x
como >• = — — •• => y = 2. Luego las dimensiones de la caja deben ser x = 4, y = 2.
4x
Encontrar la altura del cono recto de mayor volumen que pueda inscribirse en una esfera
de radio R.
Solución
Se sabe que el volumen del cono es:V =
n r2h
Del gráfico se observa que: ACAB = ABAD entonces;
r 2 R -h
r 2 =2 R h -h 2 ...(2)

626. 612 Eduardo Espinoza Ramos
ahora reemplazando (2) en (1) se tiene: V = V(h) = ^ - ( 2 R h -h 2) = ^(2Rh2 - h 3)
V(h) = ^j(2Rh2 - / ; 3) ,0 < h < 2 R
AR
V'(h) = j(4 R h -3 h 2) = 0=>h =
jt 4 R k Ak
V"(h) = -(4R -6h) => F " ( —) = j( 4 / ? - 8 / ? ) = - — «<0
. . , 4 R , ; 4 R . , , . .
=> 3 máximo en /; = — por lo tanto para h = — se tiene el volumen máximo.
© Dada una hoja cuadrada de lado a, se desea construir con ella una caja sin tapa, cortando
en sus esquinas cuadrados iguales y doblando convenientemente la parte restante.
Determinar el lado de los cuadrados que deben ser cortados de modo que el volumen de la
caja sea el mayor posible.
Solución
El lado del cuadrado cortado = x entonces el volumen de la caja es:
V(x) = x(a-2x) ,0< x< —
V (x) = (a - 2x)2 - 4x(a - 2x)
V'(x) = (a-2x)(a-6x) = 0 => x = — , x = —
2 6
X
CM
(C
X a - 2x
X
\
V"(x) = -%a + 24x => F " (—) = -8 a + 4a = -4a < 0
6
3 máximo en x = -
Por lo tanto el lado del cuadrado cortado para obtener volumen máximo es x = -

627. Aplicaciones de la Derivada 613
@ Un rectángulo a de tener un área de 64 pulgadas cuadradas. Hallar sus dimensiones, de
forma que la distancia desde una de sus esquinas al punto medio de un lado no adyacente
sea mínima.
Solución
Datos del problema:
. 64 -, x
A = xy = 64 => v = —,d=Jy~ + —
' x V 4
, , , 4096 x 2 Vi 6384+ x 4
/(x)= J— — + — =
------- -------- entonces
x- 4 2x
f'(x)
x4 -16384
2x2VÍ6384 + x4
Como >• =
64
V = 4 4 / 2 - 7 2
Luego las dimensiones son 4 V2 V2 y 8^2 pulgadas.
©
Hallar los puntos de la hipérbola x2 - y 2 =1 más próximo al punto (0, 1)
Solución
Condición del problema d = V*2 + (,y -l)2
Como x 2 - y 2 =1 => x2 = y 2 +1

628. 614 Eduardo Espinoza Ramos
Entonces / (y) = -J.V'2 + l + ( y - l)2 = ^2y2 -2y + 2
2 v - l 1
/'( > ’) = - p = - -
---------= 0 =>2y — 1 = 0=> y = —
a/2v'2 - 2 y + 2 2
como a-2- y2 =1 => x = ±t/.V2 +1 JC =±
•v/S
©
Por lo tanto los puntos más cercanos a la hipérbola al punto (0, 1) son Pl * y ) y
/> - i
2 ’ 2*
Si un recipiente cilindrico de lámina (cerrado en ambos extremos) ha de tener V como
volumen, encuéntrese las dimensiones que requieran la mínima cantidad de material.
Solución
Datos del problema: V = nr~h de donde h = -
n r
7 7 ~ > V
A, =2nr~ +2nrh entonces A ,-2 n r '+ —
r
7 2V
A, (r) = 2nr + —
r
• IV V
A, (;•) = 4n r
-----— = 0 r = % —
r1 V 2k
A, (/•) = 4n +
4V ■ , V V I4V
A, Q— ) = 12tt > 0 => existe mínimo en r =3 —
i 2n 1 2 n
(T) La sección de un canal de irrigación abierto ha de tener la forma de un trapezoide
4 ' 7
isósceles con lados de pendiente — . Si el área de la sección a de ser 52.674m~ . ¿Qué
dimensiones son las que hacen mínima la superficie sustentadora (el fondo y los lados)?

629. Aplicaciones de Ia Derivada 615
Solución
-»+*—m-
4 h 3/7 . , 3 52.674 3 .
tg0 = — = — => m= — ; z = x + 2m => 52.674 = (x + — h)h => x = — — - — /?
6 3 m 4 4 A 4
Además se conoce por geometría que: s = (x+2y)L, donde y = 4 h2 + m2 => y = —
' 4
52.674 3 , 5/í ... ,52.674 7/i r
■v(/í) = (—
-------- h + — )L => s(h) = (— ---f — )L
h 4 2 h 4
, , . 4 , 52.674 7 _ , ,
■v (h) = (
------------- ) ¿ = 0 ^
/ r 4
4(52.674)
h =30.0994 => h = 5.5 mts.
Como y = — h y = 6.875 mts
' 4
_ 52.674 3 .
Como x =
--------------h
h 4
x = 5.45 mts.
Por lo tanto las dimensiones son: x = 5,45 mts. y =6.87 mts. h = 5.5 mts.
( ¿ ) En un cono circular recto de radio r, se inscribe un cilindro circular recto. Hallar el radio
R del cilindro para que:
a) Su volumen sea máximo b) Su área lateral sea máxima.
Solución
C
• R
IB

630. 616 Eduardo Espinoza Ramos
a) Volumen del cilindro = V — n R2y
h r hR
Además AABC = AECD, de donde —— = — => y = h——
h - y R ' r
i hR^
reemplazando (2) en (1) se tiene: V = n(R2h
--------)
r
V(r) = nh(R2- — )=> V'(R) = nh(2R-— ) = 0 de donde R= —
r /■ 3
V"(R) = nh( 2 - — )=* V"(— ) = n A(2 - 4 ) = -2n h <0
r 3
_ . . , _ 2r
=> 3 máximo cuando R = —
3
b) El área lateral del cilindro es: A = 2?iRy
A( R) = i m h - — ) = 2n h(R - — )
r r
A'(R) = 2n h(\- — ) = 0 =>R=-
r 2
A"(R) = 0 => 3 máximo cuando R = —
r 2
( ? ) Una estatua de 6 mts. de altura tiene su base a 2 mts. arriba del nivel del ojo de un
observador. A que distancia de la estatua debe colocarse el observador para que el ángulo
subtendido desde su ojo por la estatua sea máxima.
Solución
...(2)
Sea x la incógnita correspondiente a 0 máximo sea p = 0 + a , de donde 0 = p - a

631. Aplicaciones de la Derivada 617
tgfl = tg(fi-a) ■
tg /3 - tg a
l + tga.tg/3
. . 2 . 6
ademas tg a = — , tg p = —
x x
tgO
6 2
t g / J - t g a x x 4x
1 + tg a. tg 1+J 2 x2 +12
4 x 4 jc
tg 0 = —^ — =? 0 = are. tg(—
------ ) , derivando:
.xz +12
4 8 - 4jc2
4X 4(x ~ + 1 2 )- 4x(2x)
dO _ Dx(x 2+\2 _ (x2 +12)2
_______________
¿v | 16.y2__ (jc2 + 12)2 +16jc2 x 4 +40.v2 +144
(jc2 +12)2 (x2 +12)2
4 8 -4 x 2
= 0 = ±2^3
A-4 + 40x2 +144
Por lo tanto analizando para x = 2-^3 se tiene que sea máximo.
10) Una ventana tiene la forma rectangular con su parte superior en media circunferencia.
Cuáles serán sus dimensiones para que penetre el máximo de luz para un perímetro dado.
Solución
De los datos del problema se tiene:
„ x x „ , 1 „ nx
P = - y + 2y + x - perímetro. y = - ( P - x— — )
La cantidad total de luz correspondiente a la mayor
superficie es:
n x" x n x
Ai v*\ —--------1
---í P — x-------}

632. 618 Eduardo Espinoza Ramos
2 r . 1 2 r . 1 2
, P* X KX _ X nX
X _ _ 8 ~ + T ~ 1 4 ~2 ~2 T '
... P nx . 2 P
A (x) =
-----x-------= 0=> x = — —
2 4 7T + 4
y4"(jr) = - l - — < 0 ==> 3 máximo en x =
4 ;r + 4
1 „ n-x 1 „ 2 P n , 2P P
como r = - ( P - x
-------) = — (P---------------------------(--------)) =------
' 2 2 2 tt + 4 2 n + 4 n + 4
2 P P
Por lo tanto las dimensiones son: x =
------7 y y =
^■ + 4 7T + 4
© Dada la recta L: x + 2y = 8, encontrar las dimensiones del rectángulo de área máxima
con uno de sus lados sobre esta recta y cuyos otros dos vértices están en los semi ejes
coordenadas positivos.
Solución
entonces tg6 = tg(l80-a ) = -tga =
1
O A a eos 0 , OB = a sen 6
Por simetría de triángulos ABEC = AOBA
B E a ~ B I ? A n
-----= • = pero Bk - 4 - a sen 0
BC OA
entonces BC = h y OA=a eos 0
4 - a s e n 0 a
luego
a eos 6
b = eos 0(4-asen0)

633. Aplicaciones de la Derivada 6 1 9
n i „ 2 . 1
tg 9 = — , eos 9 = —= , sen 9 = —¡=
2 V5 V5
¡ , =4, ( 4-4. ) . 8 7 5 -2 0
V5 V5 5
. . , Ü-j5a-2a2 ,
area = A = ah =
---------------= /4(a) derivando leñemos
A\a) = *—— 4c'- = 0 => a =2^5
A" (a) = < 0 => 3 máximo en a = 2^5
8 ^ 5 - 2 a 8 ^ 5 - 4 ^ 5 4 ^ 5
Luego las dimensiones del rectángulo son: a = 2-%/5 y b =
Un río tiene un codo de 135° (ver figura) un granjero desea construir un corral bordeado
por dos lados por el río y los otros dos por 1 Km. de valle ABC. Hallar las dimensiones
del corral de área máxima.
Solución
Se tiene que z = x por ser triángulo isósceles

634. 620 Eduardo Espinoza Ramos
De los datos del problema se tiene:
AB+ BC = \km. -- 2x + y
de donde y = l — 2x.
3x
A = área total es = xy + - x(\ -2x) + y => A(x) = x -
A’(x) = 1 - 3.V => x = — número crítico
3
1 1 2 1
A”(x) = - 3 => A"(—)< 0 =>3 máximo en x = —, ycomo v = l - 2 x = l — = —
3 3 3 3
por lo tanto las dimensiones son: — y — de Km.
3 3
13) Una hoja de lata de anchura “a” debe ser
encarvada longitudinalmente en forma de
canalón abierto (ver figura). ¿Qué ángulo
central p debe tomarse para que el canalón
tenga la mayor capacidad posible?
Solución
A = área de la parte sombreada
A = área del sector circular área del AAOB.
. p ni n .Rsenpx R-
A= — R‘ -R{
----------) = — (p - s e n p)
2 2 2
dA R~ ,, ,
— =
----( l-c o s p ) = 0 => cosp = 1 => p = 0
dp 2
B

635. Aplicaciones de la Derivada 621
como 0 < p < 7t, por lo tanto para obtener la mayor capacidad posible se tiene p = n.
Es decir que la sección del canalón tiene la forma de semicircunferencia.
14) Determinar la altura minima h = OB que
puede tener la puerta de una torre vertical
ABCD. para que atravéz de ella, se pueda
introducir en la torre, una barra rígida M N, de
longitud L, cuyo extremo M resbalará a lo
largo de la línea horizontal AB. La anchura de
la torre es d < L (ver figura).
Solución
Haciendo rodar la barra por ambas paredes a una distancia “d”, desde la pared vertical, la
barra se levantará una longitud H del suelo. El problema nos pide, este máximo
levantamiento y para esto se tiene:
Por semejanza de triángulos se tiene: ABOM = AMAN
LcosO-d Leos# , , , TI LcosO-d
--------------= ———- , de donde H = ---------------
H L sen 0 c tg 0
H = (L eos 0 - d) tg 0 ahora derivando:
= (L cos0 -í/)s e c 2 9 + tg(?(-/sen0) = 0
dO

636. 6 2 2 Eduardo Espinoza Ramos
L cos 6 - d L sen2 8 * _ d
=> eos 6 = —
eoss2 G eos 0
coa6 = 1 — => sen0 = J l-(—)2'3
U V ¿
1 - ( V ’
= (¿y— - d ) —
-----/----- simplificando se nene: H = (^¡Ll -Vrf"" f 1' "
Inscribir en una elipse dada, un rectángulo de la mayor área posible, que tenga los lados
paralelos a los ejes de la propia elipse.
Solución
y' 1
La ecuación de la elipse es: ~ + ~~ = 1
o “ b
de donde: y = — 4a2 - x2
0
P(x,y)
x
Condición del problema: A=xy =— y a 2 - x 1 => A(x) = — y a 2 - x 2 .derivando
' a
bx
a
dA b ¡~i 7’ fot'
— = —Va - *
-----
dx a aya2 - x 2
n a b
- 0 => x = -7= como v
4 i
b I i ■>
— ya" —x~ =>
Luego las dimensiones del rectángulo son: 2x = —% - \¡2a , 2y = = -Jlb.
a/ 2 V 2
IV. PROBLEMA SOBRE EL TEOREMA DEL VALOR M EDIO Y DE ROLLE
O Verificar las condiciones de la hipótesis del teorema de Rolle son satisfechas por la
función dada en el intervalo indicado. Luego encontrar un valor adecuando para C que
satisface la conclusión del teorema.
a) / ( x ) = x 2 - 4 x + 3 , [1,3]

637. Aplicaciones de la Derivada 623
Solución
i) La función ffx) es continua en [1,3]
ii) Como /'(,r) = 2 x - 4 => 3 / ' (x) V.v
iii) f(a) = f(b) = 0 puesto que f(-l) = 0 y f(3) = 0
ahora hallaremos un valor z e <1, 3>, haciendo:
/ '(:) = 0 para esto se tiene f'(x) = 2.v-4 = 0 => / '(r) = 2 r - 4 = ()=> z = 2
b) f(x)= x*-l6x, [-4,0]
Solución
i) La función f(x) es continua en [-4, 0]
ii) Como f'(x) = 3.v2 -1 6 => 3 f'(x ), Vx f(x) es diferenciable en <-4,0>
iii) f(a) = f(b) = 0 puesto que f(-4) = 0 y f(0) = 0 ahora hallaremos un valor
z e <-4, 0>, haciendo f(z) = 0
.rz
como f'(x) = 3x2 -1 6 => / ( - ) = 3 r 2 -1 6 = 0 de donde r =
----
c) J'(x)=x3 -2 x z - x + 2; [1,2]
Solución
i) La función f(x) es continua en [1, 2]
ii) Como f'(x) = 3jc2 -4 jc -1 3 f'(x)\/x f es diferenciable en <1,2>
iii) f(a) = f(b) = 0 puesto f(l) = 0, f(2) = 0 ahora hallaremos un valor z e <1, 2>,
haciendo f'(z) = 0
como / ' (jc) = 3x2 - 4x -1 f ( : ) = 3_2 - 4 ^ - 1 = 0 = » = = 2+^
7 + ^7
por lo tanto 3 : =
......... en < 1, 2> tal que / ' (:) = 0.

638. 624 Eduardo Espinoza Ramos
(T ) Verificar que la hipótesis del teorema del valor medio se satisface para la función dada
en el intervalo indicado. Luego encontrar un valor adecuado z, que satisfaga la conclusión
del teorema del valor medio.
a) J'(x) = x ~ + 2 x -\, [0,1]
Solución
Se tiene que f(x) es continua y diferenciable V x y con esto satisface las condiciones
del teorema. Ahora hallaremos un valor z en <0, 1>, haciendo
/ '( - ) = . / (1> -./(0) f(]) _ f(0) = 2 — (-1) = 3
como: f ‘(x) = 2x + 2 => / '( - ) = 2z + 2 = 3 , de donde r = y e < 0,1 >
b) / (x) = x 1‘\ [0,1]
Solución
2
Calculamos la derivada: f'(x) - — — entonces f(x) es diferenciable en
' 3.v
<-oo, 0> u <0, +*> y por lo tanto es continua en [0,1],
. * . , , Ab)-.na) m - r n .
Ahora hallaremos un valor para z haciendo / (z)= --------------=> /(z)= -------------=1
' b-a 1-0
como f'(x) = — => / ’(z)=— = 1 => z1/3 = \ => z = ~ e <0, 1>
3.v 3z 3 27
c) /( .v ) = jr—1 h—í—-; [ |, 3 ]
.t + 1 7
Solución
3 1
La función f(x) es continua en [—,3], y como f'(x) = 1
----------—=> f(x) es
7 ' (Jt + 1)-
diferenciable en <-oo, -1> u <-1, +to> en particular es diferenciable en < y ,3 >
ahora hallaremos un valor : e < - , 3 > haciendo
7

639. Aplicaciones de la Derivada 625
I _ L | C0m0 r (x )= ¡—
b-a i§. 40 (x + 1)'
7 7
, 1 33 , tl2 40 . ^ fio" . Í4Ó 3 .
J'(z) = 1
----------- =-— =>(z+i)¿ = — :=> r = - l ± — => z = - l + J — e < - 3 >
(z + 1)2 40 7 V 7 V 7 7
|8 — 4jc2 « x < 1
[4x~2 .y/x>1
en el intervalo [0. 2] en caso afirmativo hallar el valor ó valores que lo verifican.
Verificar si el teorema del valor medio es aplicable a la función: f(x) = ■
Solución
i) Analizamos la continuidad de la función f(x) en [0,2] para esto veremos si es
continua en el punto sospechoso x = 1.
f(x) es continua en x = 1 <=> 3 Lint f (x) = f( 1)
x-> \ '
3 Lim / (x) => Lim f (x) = Lim f (x)
>“»1 ' .v-»l jr—»1*
Lim f(x) = Lim 8 - 4 x 2 = 8 - 4 = 4
X—>1 X ~ > \ *
como 3 Lim f(x) = f( 1) = 4 => f(x) es continua en x = 1.
x-*l '
por lo tanto f^x) es continua en [0,2]
-8 x , x < l
8 y / ( I ) - = m r = -8 => f(x) es diferenciable
— r , x > l ‘
x
ii) Como /*(x) =
en <0, 2> por lo tanto satisface las condiciones del teorema del valor medio,
entonces 3 z e < 0 ,2> y lo hallaremos haciendo
m ) _ / ( 2 ) - / ( 0 ) _ l - ( 8 ) _ 7
' 2-0 2-0 2
como / ’(I) = -8 => z < 1 ó z > 1 pero f'(x) = -8x para x < 1

640. 626 Eduardo Espinoza Ramos
=> /■'(-) = - 8r = - — => r = — g <0, 2> además f'(x) = — parax>l
' 2 16 jc3
=> / '( - ) = - 3 = " | => - = ^ e <0, 2>
7 116
Luego los valores que satisfacen el teorema del valor medio son — y 3/—
- 16 V 7
( 5 ) Verificar si el teorema del valor medio es aplicable a la función f(x) = — —- en el
‘ 3 jc- 4
intervalo [1,2], en caso afirmativo hallar el valor ó valores que lo verifican.
Solución
4
F(x) no es continua en x = — e [1,2], por lo tanto no es diferenciable en < 1,2>
Como ffl) = -1 y /(2 ) = ^ entonces no existe z e < l,2 >
Talque / * ( , ) - Z M
Como ,/"(r) = | y / '( * ) =
-------= *----------------^ - T = 4 => - = ^ r ^
2 ( 3 x - 4 ) ( 3 z - 4 ) 2 2 3
Por lo tanto no existe z real que z e <1, 2>.
Luego no se cumple las condiciones del teorema del valor medio.
5.15 EJERCICIOS PROPUESTOS.-
I. Determinar los puntos críticos, intervalos donde la función es creciente y decreciente, los
máximos y mínimos relativos.
f(x ) = x 4 — 14jc2 -24jc + 1 Rpta. máx. x =-1 y mín. x = -2,3

641. Aplicaciones de la Derivada 627
©
©
©
©
f(x) = —
.ï + 1
X + X + 1
f(x) = 2-3x + x3
@ /( * ) = 1 -( jc -2 )4/5
( ? ) f(x)= x4 \ - x 2
© f(x) = x 2(\-x4x)
© f(x) = x2+2x- 2 3
x -4
f(x) = -
I + x~
f(x) =
1 -x + jc '
^ T
1 -f X-X"
10) /(.v) :
X" + JC + 1
,ÏZ -jc + 1
f(x)= 2.v3 - 6 x '- 1 8 x + 7
______1
¿«(x4 + 4*3 +30)
12) ./(.v) =
/ (jc) = -x 2~Jx2 -t 2
14) f(x) = x —Ln(l —x)
Rpta: máx. x = 0 y inin. x = -2
Rpta. máx. x =-1 y min. x = 1
Rpta. máx. x = 2
„ . 1 . 1
Rpta. max. x - —7= y mm. x = — ;=
42 42
Rpta. máx. x = 2J— y min. x = 0
Af 49
Rpta. máx. x = 3 y min. x = 5
Rpta. máx. x = 1 y inin. x = -1
Rpta. min. x = —
Rpta. máx. x = 1 y min. x = -l
Rpta. máx. x = -1 y min. x = 3
Rpta. máx. x = -3
Rpta. máx. x = 0
Rpta. min. x = 0
15) 1(x)=x-Ln( !+*-) Rpta. No existe, crece.

642. 6 2 8 Eduardo Espinoza Ramos
0 Rpta. máx. x = 0 y mín. x = ±a
©
? 3 7
J(x) = (x~ — 2x)Lnx-—x +4x Rpta. máx. x = 1 y mín. x = e
0
/ W = - j — ^—
.v2 - 6jc- 16
Rpta. es decreciente <*,2>,<-2,8>,<8,+'»>
©
f(\) = xLnx Rpta. mín. en x = —
e
0 f(x) = arc.sen (1+x) Rpta. <-2, 0> crece.
©
f{x) = 2ex2~Ax Rpta. mín. en x = 2
©
/(.x)= % x2- l) ‘ Rpta. mín. x =Z 1 y máx. x = 0
©
x~
Rpta. máx. en x = 3.2
0 f(x) = xarc.tgx Rpta. 3 máx ni mín.
0
■st
i
* OI
II
'SJ'
Rpta. máx. en i = -2-\/3 ; mín. en x = 2-Jl
0 f(x) = x{x—\)*{x—2)i Rpta. mín. x= 0.23, 1.43 y máx. x = 0
©
f(x) =xLn2x
„ . 1 . ,
Rpta. max. en x = — y min. en x = 1
e '
0
... . larc.tgx 1 x v
/( * ) = + are. tg( , )
J J 1-X"
Rpta. No existe máx. ni mín.
©
r t * ) - 16
-2 . 2
Rpta. max. en ,v - —=■ y mín. en x =
V3 V3.y( 4 -jc )
0
4
/ w = r 7 —
4 xl +8
Rpta. máx. en x = 0

643. Aplicaciones de la Derivada 629
II.
O
®
©
©
©
©
(5 ? )
(23)
(25)
Construir las gráficas de las funciones indicando, los puntos de discontinuidad, los puntos
críticos, intervalos en donde es creciente y decreciente, los máximos y mínimos relativos
los puntos de inflexión y los intervalos de concavidad.
f(x) = 3 j c 4 + 4 x 3 + 6 x 2 - 4
/ ( * ) = J f 2 (JC + 4 ) 3
f(x)= xA - 3 x 3 + 3x2 +1
2
/( * ) = '
x—1
/ (x) = 3x2/3 - 2x
/ ( * ) = (. x + 2 ) 4 ^ x
J(x) = x -ln (x + l)
J(x) =
3 - x
17) f(x) = x -a rc tg x
. . , 2 a r c \ t g . v 1 jc
f(x)= — —
-----+ - a re tg -----T
i i \-x~
f(x) =
(-v-1)~
(-V+1)3
f(x) =x2 — 4 1 x | +3
f(x) =
are. sen v
V i- x 2
©
©
©
©
(¿ y
(14)
f(x) = x4 - 4 x 3 + 16.r
f(x) =3x5 + 5.v3
/(x ) = —
----2x3 + 3 x 2 +2
2
/ ( * ) = —
JC- - 4
1 0 ) f(x) = xin + 2 x 4 /3
/ = (x + l)2/3( x - 2 ) 1/3
f(x) = Ln(x2 +1)
16) / ( * ) = —
Lux
18) f(x)=x +
¿0) f(x) = xe'Z
.22) /( x ) =
x 3 + 2 x 2 + 7 x - 3
2x2
24) f(x)=tfx2-x
*26) /( x ) = are.sen(l -^[x2 )

644. 630 Eduardo Espinoza Ramos
@
/ (x) = x + sen x @
© / ( * ) =
-------!---
sen x + eos x
0
©
/( x ) = eos x - e o s2 X 0
f(x) = L n (e + -)
X
0
/ (x) = Ln(x~ -1) + —^—
x 2 -1
0
® / ( x ) = - £ -
Lnx @
©
... , Lux
/ ( x ) = - j —
Vx @
©
f(x) = - ~ — -
Zj(x-2)
©
@
/(x )= V (x + 4)2 - V ( x - 4 ) 20
©
/( x ) = V l - x 1 0
©
/v 4 16
/( x ) = ,
x (x —4)
0
©
./(X) = V 6x2 - x 3 0
©
Vx“ +1
0
©
/ ( x ) = 2x4 - 4 x 3
28) f (x) = cos x. cos 2x
32) f(x) = sen x + eos x
Ln-J.x + 1 —1
36) f(x) = (x +1 )Ln (x +1)
X“1 -1
/( x ) = 2x + 2-3lj(x + 2)2
f(x) = V8 + x —V 8 -x
4 x -1 2
/( x ) =
( x - 2 ) 2
/( x ) = —y — Vx - 4
/(X ) =
X- - 3 x - 4
x - 2

645. Aplicaciones de la Derivada 631
55) f(x) = 2(18x + 6 r 2 - 2 x 3 -5 4 )1/3 (56) f(x)= ^~
x 1 -4
x - 9
* 3- 2
5 ^ /(* ) =
-------- (58) f(x) = arctg(lnx)
(x-\)
(59) f(x) = Ln(3x-x2) (óo) f(x) = e~x cosjc
III.
( 7 ) Si f(x) = ax3 + ¿ t 2 + e x , determine a, b y c de manera que la gráfica de f tenga un punto
de inflexión en (1,2) y que la pendiente de inflexión ahí sea-2.
© Si f(x) = axA +bxy + ex1 + dx+e, determine los valores de a, b, c, d y e de manera que la
gráfica de f tenga un punto de inflexión en (1,-1), tenga ahí su origen y sea simétrica
respecto al eje y.
Obtener a y b tales que la función definida por: f(x) = x 3 +ax2 +b , tenga un extremo
relativo en (2,3).
(4) Determine a, b y c tales que la función definida por f(x) = ax2 +bx + c , tenga un valor
máximo relativo de 7 en 1 y la gráfica y = f(x) pase por el punto (2, -2).
( ? ) Hallar a. b, c y d para y = ax3 + bx2 + ex + d , sea tangente al eje X en (2 ,0) y tenga punto
de inflexión (0, 4). Rpta. a = — , b = 0, c = -3, d = 4
4
( ó ) Determinar los coeficientes a, b, c y d de tal forma que la función f(x)-ax’ +bxl +cx+d
tenga un máximo en (-1, 10) y un punto de inflexión en (1,-6).
Rpta. a = 1 , b = -3, c = -9, d = 5
( 7 ) Determinar las constantes a y b de manera que la función /(x) = x 3 + ax2 +bx + c, tenga
un máximo relativo en x = -1 y un mínimo relativo en x = 3. Rpta. a = -3, b = -9

646. 632 Eduardo Espinoza Ramos
( i ) Determinar la constante a de modo que la función f(x) =x2 +— tenga un
x
mínimo en x = 3. Rpta. a = 16
(9) Determinar las constantes a y b de manera que la función / ( x) = x 3 +ax2 +bx+c tenga
un mínimo relativo en x = 4 y un punto de inflexión en x = 1. Rpta. a = -3 y b = -24
n o ) Determinar la constante a de modo que la función f(x) =x2 +— tenga un punto de
x
inflexión en x = 1. Rpta. a = -1
Sea f(.v) = x 4 + «x3 + bx2 + 2x - 2
a) ¿Qué condiciones deben satisfacer a y b para que en x = 1 exista punto de inflexión?
Rpta. 3a + b = -6
b) ¿Existen a y b de modo que en x = 1 exista punto de inflexión con tangente
horizontal en este punto? Rpta. a = -3, b = 0
(12) Si f(x)=\x\tt\x~\\b, donde a y b son números racionales positivos, demuestre que f
a“bh
tiene un valor máximo relativo igual a la expresión:
----------—
(a + b)a+
IV. PROBLEMAS SOBRE MAXIMOS Y MINIMOS
( 7 ) Encontrar el área del mayor triángulo isósceles que tenga un perímetro de 18 pulgadas.
Rpta. A = 9V3 u2
(T ) Se debe construir una lata cilindrica (con tapa) de manera que se gaste el menor material
posible. Cuál debe ser la relación entre la altura y el radio de la base para que esto ocurra?
Rpta. h = 2r
( ? ) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por P(3, 4) y forma con el primer cuadrante un
triángulo de área mínima. Rpta. 4x + 3 y - 2 4 = 0

647. Aplicaciones de la Derivada 633
(T ) Un rectángulo tiene dos de sus vértices sobre el eje x los otros dos están respectivamente
sobre las rectas y = x, 4y + 5x = 20. Hallar el valor de Y para que el área del rectángulo
• „ 1 0
sea máximo. Rpta. —
9
Una hoja de papel tiene Acnr de material impreso, con márgenes superior e inferior de
4cm. y márgenes laterales de 2cm. Determinar cuales deben ser las dimensiones de la
hoja para que se use la menor cantidad de papel. Rpta. ^ + Base y %+*JlA altura.
( ó ) Si los lados de un rectángulo son a y b, demostrar que el rectángulo más grande que
puede construirse de manera que sus lados pasen por los vértices del rectángulo dada es
un cuadrado de lado a + ~^=.
42
(7) Determinar la superficie lateral del cilindro recto que puede ser inscrito en un cono
circular recto dado. Rpta. A = .
Un alambre de longitud L es cortado en dos partes, con una parte se forma un cuadrado y
con la otra una circunferencia. De que modo debe ser cortado para que la suma de las
áreas sea máxima? Rpta. x = ™—' ■ lado del cuadrado.
n + 4
® Se quiere construir un jardín que tenga la forma de un sector circular con un perímetro de
30 mts. Hallar el jardín de mayor superficie. Rpta. 56.25mis2
10) Se tiene una hoja rectangular de papel, de lados 8 y 15, se desea hacer con ella una caja
sin tapa, cortando en sus esquinas iguales y doblando convenientemente la parte restante.
Determinar el lado de los cuadrados que deben ser cortados, afín de que el volumen sea
el mayor posible. Rpta. —
( í l ) Un punto móvil P describe la curva y = —, x > 0. Determinar la distancia mínima
x
de P al origen. Rpta. 2-^2

648. 634 Eduardo Espinoza Ramos
12) Se necesita construir un embudo cónico cuya generatriz debe ser igual a 20 cm. Cuál debe
20J3
ser la altura del embudo para que su volumen sea el mayor posible. Rpta.
-------cm.
13J Si un paralelogramo y un triángulo tienen un vértice del paralelogramo está sobre los
lados del triángulo dado. Probar que el área del mayor paralelogramo que se puede
inscribir del modo descrito, es igual a la mitad del área del triángulo (se conoce la base y
la altura del triángulo).
14) Se quiere construir un jardín en forma de sector circular con un perímetro de 30 mts.
Hallar el jardín de mayor superficie. Rpta. A = 56.25mis2
15) Hallar un punto sobre la parábola_y = 4 - x 2 , tal que la recta tangente en el segundo
cuadrante, determine un triángulo de área mínima (con los ejes coordenados).
D * 32^3
Rpta.
-------
9
16) Hallar las dimensiones del rectángulo de mayor área y con los lados paralelos a los ejes
coordenados que puede inscribirse en la figura limitada por las dos parábolas
3_y = 1 2 - x 2 , 6_y = x 2 -1 2 . Rpta. Base4, altura4.
YT) Hallar las dimensiones de un rectángulo de área máxima inscrito en un triángulo de lados
8, 10, 12, tal que un lado del rectángulo está contenido en el lado del triángulo de lado
5-J7
12. Rpta. Las dimensiones son — y 6.
18) Debe construirse una lámina triangular isósceles y de 60cm. de perímetro de manera tal
que al rotar sobre su lado común a los ángulos congruentes determine un sólido de
volumen máximo. Cuáles deben ser las dimensiones de los lados de la lámina triangular?
45
Rpta. Las dimensiones son — y 15
19) Hallar la base y la altura de un triángulo isósceles de área mínima circunscrito a la elipse
2 ,2
= 1, y cuya base sea paralela al eje X. Rpta. Altura 3b, base 2^3 a.
a~ b~

649. Aplicaciones de la Derivada 635
2tí) Dados los puntos A(l,4) y B(3,0) en la elipse 2x2 + y 2 =18, Hallar un tercer vértice C
tal que el área del triángulo ABC sea máxima. Rpta. (- 7 6 ,-7 6 )
21J Un cuadrado de altura 1.4 mts. Cuelga de la pared de modo que su borde inferior está
1.8 mts. por encima del radio de la vista de un observador. A qué distancia de la pared
debe colocarse el observador para que su posición sea la más ventajosa para contemplar el
cuadro? (Angulo visual: el mayor posible). Rpta. 2.4 mts.
22) Hallar el área del mayor rectángulo que tiene su base inferior en el eje X y con los
vértices en la curva y = 12 -,v 2 Rpta. A=32u2
23) Si un punto de una elipse inscrito en un semicírculo está sobre el diámetro y tiene otros
dos puntos sobre la semicircunferencia en posición simétrica. Demostrar que su área será
2 n r2
un máximo igual a — = - donde r es el radio del círculo.
3V3
24) Un alambre de longitud L es cortado en dos secciones una para formar un cuadrado y la
otra para formar un triángulo equilátero. Cómo debería cortarse el alambre
a) Para que la suma de las dos áreas sea máxima.
b) Para que la suma de las dos áreas sea mínima.
-73Z. 3 L
Rpta. a) Lado del cuadrado =
--------¡= y Lado del triángulo
9 + 4-73 9 + 4-73
b) Todo el cuadrado (área total máx.) = :
Ú_
16
25) Dado un sector circular de radio r; si el perímetro P mide 100 pies. ¿Qué valor del radio r
producirá un área máxima? Rpta. r = 25
26) Hallar la base superior de un trapecio isósceles de base 12m. y lados 5m. si su área es
máxima. Rpta. 6+ -786

650. 636 Eduardo Espinoza Ramos
27) Hallar los puntos sobre la curva 5*2 -6xy + 5y2 = 4 que están:
a) más cercanas al origen. b) más alejadas del origen.
Rpta. a) ( - L I ) y ( I - I ) b) (1,1) y (-1,1)
2%) Un fabricante de cajas va ha producir cajas cerradas de volumen específico, cuya base es
un rectángulo con longitud igual al triple del ancho. Encontrar las dimensiones más
económicas. Rpta. La profundidad será la mitad de la longitud de la base.
29) La resistencia de una viga rectangular es proporcional al ancho y al cuadrado de su
profundidad. Encontrar las dimensiones de la viga más resistente que pueda ser cortada de
un tronco, en forma de un cilindro recto circular de radio a.
2 2-yfó
Rpta. ancho -=■ a, profundidad
------a
V3 3
30J Un cono recto circular va a ser circunscrito en una esfera de radio conocido. Encontrar la
razón de la altura al radio de la base del cono de volumen mínimo. Rpta. 2-JI
31) Demostrar que el triángulo isósceles de área máxima que puede inscribirse en una
circunferencia es una triángulo equilátero.
32) Un cono es cortado por un plano paralelo a su base. A qué distancia debe ser echo el
corte, para que el cono recto de base en la sección determinada y de vértice en el centro
del cono dado, tenga volumen máximo? Rpta. y de la altura del cono.
33) Una huerta rectangular ha de proyectarse al lado del solar de un vecino, y ha de tener
una área de 10,800w 2 . Si el vecino paga la mitad de la cerca mediana. ¿Cuáles deben ser
las dimensiones de la huerta para que el costo al cercarla sea para el dueño de la huerta
sea mínimo?
2 2
34) En la elipse —^ + ■=-^- = 1, se inscribe un triángulo isósceles cuyo vértice es el punto
a~ b~
(0, b). Hallar la ecuación de la base correspondiente al triángulo de área máxima.
Rpta. 2y + b = 0

651. Aplicaciones de la Derivada 637
Un triángulo isósceles está circunscrito a un círculo de radio R. Demostrar que el
triángulo de perímetro mínimo tiene por altura 3R.
(36) Un agricultor quiere construir y cercar un campo que tenga la forma de un sector circular.
Si para cercarlo posee un alambre de 200m. de longitud. Calcular el radio que debe tener
el sector para que el campo sea la más grande posible. Rpta. r = 50 m.
y¡) Cada lado de un cuadrado tiene una longitud L. Demostrar que entre todos los
cuadrados inscritos en el cuadrado dado, el de área mínimo tiene lados de longitud
L
7 2 '
38J Entre lodos los cilindros circulares sector de área lateral dado “a”. Demostrar que
la menor esfera circunscrita tiene el radio R igual al radio r del cilindro multiplicado por
7 2 .
39J Tres ciudades están situadas en los vértices de un triángulo isósceles. Las ciudades B y C
que distan entre sí 16 millas están situadas en la base, en tanto que A es el tercer vértice y
a una distancia de 10 millas de la base. ¿A que distancia de A sobre la altura del triángulo,
se debe ubicar una instalación de bombeo de manera que se emplee la menor longitud de
g .
cañerías para abastecer de agua a las tres ciudades? Rpta. (10 V§) millas de A
40) Un recipiente abierto está formado por un cilindro terminado por su parte inferior en una
semiesfera; el espesor de sus paredes es constante. ¿Qué dimensiones deberá tener dicho
recipiente para que, sin variar su capacidad, se gaste la menor cantidad de material?
Rpta. La altura de la parte cilindrica de ser igual a cero, es decir el recipiente debe
tener forma semi-esférica.
4 lJ Inscribir un rectángulo de la mayor área posible en el segmento de la parábola y 2 =2px
cortado por el área x = 2a. Rpta. Los vértices deben estar en ± 2 ^ ^ -)
(42) Hallar el área mínima del triángulo isósceles circunscrito a la elipse b2x 2 + a2x 2 = a2b2
cuyo lado desigual es paralelo al eje x. Rpta. ab 3^3

652. 638 Eduardo Espinoza Ramos
(43) Si los lados de un rectángulo son a y b. Demostrar que el rectángulo más grande
que puede construirse de manera que sus lados pasan por los vértices del
rectángulo dado es un cuadrado de iat}0.
V2
(44) Dado el volumen de un cilindro circular recto, hallar su altura y radio si la suma de las
áreas de una de sus bases y de su superficie lateral es mínima. Rpta. b(altura)=r(radio)
45J De una lámina circular de radio “a” se quiere recortar
otra como la figura para hacer un cono circular recto.
Si el cono debe tener Volumen máximo: Determinar el
i J l ñ
ángulo 0. Rpta. Q = ■■■ v/_ radianes
V3
(46) Un hombre puede remar a 2mk/ hora y caminar 4km/hora. Si está a 3 km. De la playa y
quiere llegar al punto 0 que está a 4km. de P. Dónde tiene que desembarcar para que el
tiempo sea mínimo? Rpta. -J3km. de P.
(47) Encontrar las dimensiones del rectángulo de área máxima que se pueda inscribir en el
rectángulo cuyas dimensiones son 10 y 15 cm, (los catetos). Dos lados del rectángulo
están sobre los catetos del triángulo. Rpta. Las dimensiones son: 2.5 cm y 5 cm.
(48) Un jardín rectangular de 400 m2 está rodeado por un camino de 2m. de ancho. ¿Que
dimensiones debe tener el jardín para que el área total del jardín y el área del camino sea
mínima.? Rpta. 20 x 20 (m).
2 2
(4?) Se traza la tangente en un punto de la elipse = 1 de forma que el segmento de
ella interceptado por los ejes coordenados sea mínimo. Demostrar que la longitud de
dicho segmento es 9 unidades.
(50) Una persona está en un bote a 3 millas del punto más cercano a la playa y desea alcanzar
en el menor tiempo posible una caseta de la playa, situada a una distancia de 5 millas en
la perpendicular a la recta que una la posición del bote y el punto de la playa, suponiendo
que puede caminar a razón de 5 millas por hora y remar a la velocidad de 4 millas por
hora. Determinar el lugar donde debe descender a tierra. Rpta. A una milla de la caseta.

653. Aplicaciones de la Derivada 639
5.16. RAZON DE CAMBIO PROMEDIO Y RAZON DE CAMBIO
CONS[ANTE.-___________________________________________________
Sea y una función de x y si xx,x2 son dos valores de x; donde yx,y2 son los
y*> — y\
correspondientes valores de y, entonces el cociente de las diferencias ——— le
x2 ~xx
llamaremos razón de cambio de y con respecto a x en el intervalo(x¡,x2) . La razón de
cambio promedio indica que y cambia en una cantidad y2 - y , cuando x cambia de xx a
x2 ■
Si la razón de cambio no es constante a casi constante no es de tanto interés salvo como
medio de comparación , pero si la razón de cambio promedio es la misma para todos los
valores del intervalo (x^ ,x2) , diremos que y está cambiando con respecto a x en una
razón constante.
y? ~yi
El valor del cociente —
------ se llama razón de cambio de y con respecto a x. Por
X 2 -X ]
ejemplo, suponiendo que se está bombeando aceite, a razón constante en un tanque que
contiene 10 litros a las 10.2’ a.m. y 50 litros a las 10.12’a.m. se observa que el contenido
está aumentando a 40 litros en 10', o sea 4 litros por minuto, por lo tanto en los 5' serán
añadidos 5x4 = 20 litros más, en los siguientes 10' 40 más y así sucesivamente.
Este ejemplo expresaremos de un modo más formal: V = volumen de aceite en el
tanque (función del tiempo) que se mide a partir de las 10 a.m. los valores de t son tx- 2
y l2 =12 y los correspondientes valores de V son V¡ =10 y V2 =50 entonces por
definición de razón de cambio promedio de V con respecto al tiempo en el intervalo
v, -v , 5 0-10 . .. .
(2, 12) es: —— — = — — = 4 litros por minuto.
12-2 H
Puesto que la razón de cambio es constante.

654. 640 Eduardo Espinoza Ramos
5.17. FORM ULA QUE RELACIONA DOS VARIABLES CUVA RAZON
TEOREMA.- Si y es una función lineal de x, la razón de cambio de y con respecto a x
es constante y viceversa.
Demostración
Como y es una función lineal de x entonces y = mx + b siendo m y b constante, sean
x¡,x2 dos valores cualquiera de x; y sea y¡,y2 los correspondientes valores de y,
entonces
Lo cual demuestra que la razón de cambio de y con respecto a x es constante
recíprocamente, si m es la razón de cambio de y con respecto a x donde xl,yl son
valores fijos correspondientes a x, y, y sean x, y, otro par de valores entonces por
definición se tiene:
DE CAMBIO ES CONSTANTE.-!
y2 = mx2 + b
y y = mxx + b
y — y .
-------i- = m => y -y i = m(x - x1 )
que es una ecuación de primer grado y por lo tanto y es una función lineal.
Para el caso del ejemplo anterior t = 2, v = 10
Y
V — 10 = 4(t — 2) => V = 4t + 2
2
0 X

655. Aplicaciones de Ia Derivada 641
5.18 RAZON DE CAMBIO PROVI EDIO.-
DEFINICION.- Si y es función de x, la razón de cambio promedio de y con respecto a
DEFINICIÓN.- Si y es función de x, la razón de cambio instantáneo de y con respecto
a x, cuando x = x, es el límite (si existe) de la razón de cambio
promedio en el intervalo (x,,x, + Ax) cuando Ax se aproxima a cero.
Expresado en otra forma se tiene: Si y = f(x), la función de cambio instantáneo de y con
respecto a x. para x = a, es el valor de — para x = a, es decir:
dx
Razón instantánea = lim — = —
Ejemplo.- A medio día un barco que navega hacia el norte está a 60 km. Al sur de otro
x en el intervalo (x,,x, + Ax). es el valor de — para x = x,
Ax
5.19 RAZONES INSTANTANEAS.*
a.í-»o Ax dx
barco que navega hacia el este. Si el primer barco navega a razón de 15
km/hora y el segundo barco a razón de lOkm/h. Encontrar la velocidad con
que estaría cambiando la distancia entre ellos.
a) a las 14 horas b) a las 15 horas.
Solución
B
D
Sean A y B las posiciones iniciales de los barcos y
C y D las posiciones de t horas, entonces BD = lOt
y C'B = 60 — 15l, sea z la distancia entre ellos
= = 4CB2 +BD2 = 7 (6 0 -1 5 /)2 +100í2
60
151
Para encontrar la razón a la cual está
cambiando z se halla la derivada: A

656. 642 Eduardo Espinoza Ramos
dy 325/-900 , . . . , , dz -250
— = —¡ = . . a las 14 horas t = 2,— = . = -6.9
d' V3600 -1800/ + 325/2 dt V130
quiere decir que los barcos se están aproximando uno a otro a razón de 6.9Km/h. cuando
t= 3, —- = a/5 = 2.5 quiere decir que los barcos se estarán separando a razón de 2.5Km/h.
di
5,20 VELOCIDAD Y ACELERACION RECTILlNEA,-
DEFINICIÓN.- Si s = s(t) es la ecuación de la posición de un objeto que se mueve a lo
largo de una recta, la velocidad del objeto en el instante t está dado por:
Y(t}* hm
A? >ü . Át ■
DEFINICIÓN.- Si s = s(t) es la ecuación de la posición de un objeto que se mueve a lo
largo de una recta, la aceleración del objeto en el instante t está dado
por:
<«/)=» v‘(/> = .y” (0
S a i RAZONES DE CAM BIO RELACIONADQS.-
Frecuentemente se conoce la razón de cambio de una variable con respecto al tiempo, y se
desea encontrar la razón de cambio con respecto al tiempo de una segunda variable que
está relacionada con la primera, dichos problemas se resuelven fácilmente, derivando
implícitamente, con respecto al tiempo, la ecuación que liga las variables, y sustituyen de
los valores dados de las mismas.
_____________________________________ . _____________ I__________________________________j l j n í ) l ? i h- ‘ / . -■ • \ ) d ~ ’ ■ _) V ______________
5.22 PROCEDIM IENTO ACONSEJADO PARA RESOLVER
PROBLEM AS DE VARIABLES RELACIONADAS^
( 1 ) Asignar símbolos a todas las cantidades, tanto a las conocidas como a las incógnitas.
Hacer un dibujo cuando resulta factible.
(T ) Establecer la ecuación que liga las variables tanto conocidas como las que se van a
calcular.

657. Aplicaciones de la Derivada 643
( ? ) Derivar implícitamente por la regla de la cadena ambos miembros de la ecuación
respecto al tiempo t.
(4) Sustituir en la ecuación resultante todos los valores conocidos de las variables y de sus
razones de cambio, despejando entonces la razón de cambio pedida.
5.23 PROBLEMAS DESARROLLADOS.-
Q Un globo está siendo inflado en tal forma que su volumen aumenta a razón de 5m2 / min.
¿A qué rapidez aumenta el diámetro cuando éste tiene 12m?
Solución
4n r
Datos del problema: V = Volumen del globo esférico = ^
D = 2r= 12 => r = 6
dD dr dV , 3 . .
— = 2 — = ? y
----= 5m / min.
dt di di
4 /r r3 dV 2 dr
como V = --------=>— = 4nr —
3 dt dt
ahora reemplazando sus valores se tiene: 5 = 4;r(6)2 — => — = 0.011 m/ min.
dt dt
= 2(0.01 \)m / min. = 0.022m / min.
dt
(?) Un hombre de 1.8m de estatura camina hacia un edificio a razón de 1.5m/seg. Si hay una
lámpara sobre el suelo a 15m. del edificio. ¿Con qué rapidez se acorta la sombra del
hombre sobre el edificio cuando se encuentra a 9m. del mismo?
Solución

658. 644 Eduardo Espinoza Ramos
dx
Datos del problema: — = 1.5miseg
dt
z = 15 mts. y h = 1.8 mts.
dt
? cuando x = 9m.
i
Ahora por semejanza de triángulos.
x h i i
— = — => xy = :h = 15(1.8)m~ entonces xy =- 27m", derivando implícitamente
dv dx . , , t dy 27 dx dy 27
x— +y— = 0 reemplazando tenemos x — +
------— = 0 => 9 — + — (1.5) = 0
dx di dt x dt dt 9
9 — + 4.5 = 0 => — = -0.5
dt dt
©
la sombra se acorta con una rapidez de — = 0.5 mi seg.
dt
Un muchacho lanza una cometa a una altura de 150m. sabiendo que la cometa se aleja del
muchacho a una velocidad de 20m/seg. Hallar, la velocidad a la que suelta el hilo cuando
la cometa se encuentra a una distancia de 250 metros del muchacho.
Solución
Datos del problema: H = 150m. z = 250m.
— 20m / seg. y — = ?
dt dt
En el A ABC, por pitágoras
Se tiene: z = -Jx2 + 22500 derivando implícitamente con respecto a t.

659. Aplicaciones de la Derivada 645
©
dz
dx
~dt
reemplazando valores se tiene
dl Va'2 +22500
— =
----f . = .— , donde jt = -7-2 —1502
dl V-v2 +22500 dl
para z = 250 => a: = ^62500-22500 =200
200 ^ _ 4000 4000
— = -, i- — . (20) = , = ——- = 16
í// 740000 + 22500 762500 250
= 16 m! seg.
Dentro de un tanque cónico está entrando agua a razón constante de 3 w / .veg .El radio
del cono es de 5m. y su altura de 4m. encontrar:
a) La velocidad con que asciende la superficie libre de agua.
b) La razón de cambio (0 variaciones) respecto al tiempo de la velocidad de subida
cuando la profundidad del agua es de 2m. (considere el vértice del cono hacia
abajo).
Solución
Datos del problema: = 3m ' / seg.
V t = (está aumentando).; H = 4 r = 5
a) El volumen del cono: V = -
3
por semejanza del triángulo AABC = AADE
/• 5 5h , 2 5 ^ ,3
— = — => r = — entonces V =
-----h
h 4 4 48
derivando implícitamente con respecto a t.
1 1

660. 646 Eduardo Espinoza Ramos
dV 75/r , -> dh _ 15n ^ dh
— - =
-----\ r— => 3 = ------( 2 ) '—
di 48 dt 48 di
dh 12 / ,, u o
— =
-----m / seg. cuando h = 2.
di 25 n
b) Ahora calcularemos — (— ) = — ^ -, cuando h = 2m
di di dl2
, dV 75 , , dh , 25 , , dh
como 3 — = — n Ir — => 3 = — n fr —
dt 48 di 16 dt
dh 48
di 257 r/r
d-h 96 _ 96 12
d i2 ~ 25nh3 'd l~ (25tt)(8) ' 25tt
dt- 25n
^ 5 ) Una lampara está a 15 pies sobre una recta horizontal. Si un hombre de 6 pies de altura
camina alejándose de la luz a razón de 5 pies/seg. ¿Con qué rapidez se alarga su sombra?
Solución
Datos del problema: h = 15 pies
dx
di
= 5pies/seg.
por semejanza de triángulos: AADE = AABC
V 6 2x . . . .
—:— = — => v = — derivando se tiene:
v + x 15 • 3
dv 2 dx dy 2 10 .
— =
------=> — = — (5 = — pies/seg.
di 3 di di 3 3
(T ) En una pila cónica se está dejando caer arena a razón de 10 pies Vmin. Si la altura de la
pila es siempre el doble del radio de la base. ¿En que razón aumenta la altura cuando la
pila tiene 8 pies de altura?

661. Aplicaciones de la Derivada 647
Solución
dV ,
Datos del problema: = lOpies /m in.
tc r2h
h = 2r, Volumen de la pila cónica V =
implícitamente con respecto a t.
—f,2 — reemplazando cuando h = 8
di A di
1A 64;r dh dh 5 . , .
10 =
----------=> — = — pies/mia
4 di di 87r
©
Un punto se mueve sobre la parte superior de la parábola semicúbica y 2 = .y3 de tal
manera que hace que su abscisa aumente 5 unidades por segundo cuando x = 4. ¿Con qué
rapidez cambia la ordenada?
Solución
Datos del problema: = 5u/seg. y = ?
como y2 = jr3 derivando implícitamente con
respecto al tiempo t
2\ — = 3x2 — , ahora para x = 4, y= 8 y — = 5
di dt dt
dv 7 dy
al reemplazar en la ecuación se tiene: 2(8) = — = 3(4) * (5) => — = 15 pies/seg.
dt dt
(ü) Un punto se mueve la parábola y 2 =12x, de manera que la abscisa aumenta
uniformemente 2 cm/seg. En qué punto aumenta la abscisa y la ordenada a la misma
razón?

662. 648 Eduardo Espinoza Ramos
Solución
Se tiene: — = 2cm/seg
di
Hallar p(x, y) tal que — = —
di di
como y~ = 12x derivando implícitamente con
respecto a t.
~ dv dx dx dv
2y— = 12-— com o— = —
" di dt dt dt
2— = 12 —
di dt
• 2y = 12 => y = 6 de donde x = 3 P(3, 6)
Se tiene un reloj de arena de 3 cm. de radio y 6cm. de altura. Se pasa la arena a un solo
lado y se voltea para que la arena comience a fluir a razón de 2cm3 / seg . Suponga que la
arena en la parte inferior forma un tronco de cono. Cuál es la velocidad de aumento de h
para una altura dada?
Solución
Haciendo un gráfico de los datos del problema:
Sea r el radio del cono como indica la figura
u-- • dV . 3 ..
también se tiene — = 2 cm .seg. Ahora
dt
mediante la regla de la cadena: dV__dV^ dh^^
dt dh dt
para calcular — es necesario hallar una función
dt
que relacione V y h, y esto se obtiene por la
fórmula de la diferencia de los dos volúmenes de
conos.

663. Aplicaciones de la Derivada 649
V^K(3)26-^(Tc)r2(6-h) => V = 1 8 t t - ^ — (6-h)
, . . . . . . r 6-h 6-h
ahora por semejanza de triángulos se tiene: — =
------=> r =-------
3 6 2
F = 1 8 ; r - - ( —- ) 2 ( 6 - / ; ) = 18;r- — ( 6 - /i) 3
3 2 12
dV n i k ■> dV dV dh - n 2 dh
— = ()+—(6 -//) = —(6-A ) com o:— = — .— => 2 = —(6 -h) —
dh 4 4 di dh di 4 di
dh 8 ,
— =
----------- cm/seg.
dt 7T (6 — //) ~
10J Un jugador golpea una bola de billar, haciéndola moverse en línea recta. Si “s” cm. es la
distancia de la bola desde su posición inicial a los t seg. entonces s = 100/2 +100/, si la
bola da en una banda que se encuentra a 39 cm. de su posición inicial. ¿A qué velocidad
pega en la banda?
Solución
Como s = 100/2 -i-100/ por datos del problema s = 39
=> 100/2 +100/ = 39 => tx = 0.3, / 2 = -1 .3
el valor t2 = -1.3 por ser negativo no es para nuestro problema.
Además se conoce V = — = 200/ +100
dt
V(t) = 200t + 100 => V(0.3) = 60 + 100 = 160
Si una pelota es empujada hacia abajo en un cierto plano inclinado de manera que tenga
una velocidad inicial de 24 pies/seg. Entonces s = 24/ +10/2 , donde s pies es la distancia
de la pelota desde el punto inicial a los t seg. y el sentido positivo es hacia abajo del plano
inclinado.

664. 650 Eduardo Espinoza Ramos
a) ¿Cuál es la velocidad instantánea de la pelota a los /, seg.?
b) ¿Cuánto tarda la pelota en llegar a los 48 pies/seg.?
Solución
Como V0 = 24 pies/seg. velocidad inicial, además:
.v(/) = 24/ + 10/2 => F(/) = .v'(/) = 24 + 20/ por lo tanto la velocidad instantánea de la
pelota a los /, seg. será: (20/, + 24)pies/seg. según el problema se tiene:
20t + 24 = 48l = - seg. = l.2seg.
por lo tanto la velocidad tarda — seg. en llegar a los 48 pies/seg.
Rpta: a) (20/, +24)pies/seg. b) — seg. = 1.2 seg.
En un instante dado la longitud de un cateto de un triángulo rectángulo es de 10 pies. Y
está aumentando a razón de 1 pie/min. Y el otro cateto es de 12 pies y esta disminuyendo
a razón de dos pies/min. Hallar la razón de cambio respecto al tiempo del ángulo agudo
opuesto al cateto que en ese instante mide 12 pies.
Solución
Datos del problema: para x = 10, y = 12
— = 1 pie/ min. y — = - 2pies / min.
di dt
tg 6 = — => 0 = are. tg(—)
-V x
derivando implícitamente:
, dy dx. . i
i+ £ )'-
x
dy dx
X dt '* di
■) 1
x- + y

665. Aplicaciones de la Derivada 651
reemplazando se tiene:
dd 10(—2 )—12(1) -32 8
dt 100 + 144 244 61
de 8 . . .
— =
-----pies/min.
dt 61
13) Un cohete se lanza verticalmente hacia arriba y está a Sp sobre el suelo, t seg. después de
ser encendido. Donde .v = 560? -1 6 /2 y la dirección positiva hacia arriba. Encontrar:
a) La velocidad del cohete 2seg. después de haber sido encendido.
b) Cuánto tardará en alcanzar m altura máxima.
Solución
A
La ecuación del movimiento es: S(t) = 560/ - 1 6 /2
La velocidad del cohete, /¡seg. después de haber sido
encendido será: V (/,) = S' (/,)
como ^(z) = 560/ — 16/2 entonces: S' (/) = 560-32/
:.V(tx) = 560-32/,
a) V(2) = 560 —64 = 496 seg.
b) Como V(/¡) = 0 , es para que alcance su altura máxima crece.
0 = 5 6 0 -3 2 t => t = 17.5 seg.
£ _ A
'(lll'l'IM'l'IIIM'lllll
i ni i ni i ni i lint
I III I ¡111*1 III I III H
li • ii 111 ii ■11 li 11111• • i ii
5.24 PROBLEMAS PROPUESTOS.-
© Un depósito de agua, en forma de un cono invertido, es vaciado a razón de 6ny / min. La
altura del cono es de 24m. y el radio de su base es de 12m. Calcule la rapidez con la que
el nivel de agua desciende cuando el agua tiene lOm. de profundidad.

666. 652 Eduardo Espinoza Ramos
(T ) Cierta cantidad de aceite fluye hacia el interior de un depósito en forma de cono invertido
a razón de 3n w 3 / min. Si el depósito tiene un radio de 2.5m. en su parte superior y una
profundidad de l()m. ¿Qué tan rápido cambia dicha profundidad cuando tiene 8m?
Rpta. — = 0.75m / min.
di
(3) Un automóvil que se desplaza a razón de 30 pies/seg. se aproxima a un crucero, cuando
el auto está a 120 pies de la intersección, un camión que viaja a razón de 40 pies/seg.
cruza la intersección. El auto y el camión se encuentran en carreteras que forman un
ángulo recto entre sí. ¿Con qué rapidez se separan 2 seg. después de que el camión pasa
dicho crucero? Rpta. — = 14 pies/seg.
di
(7) Una vía de ferrocarril cruza una carretera bajo un ángulo de 60°. Una locomotora dista
160m. del cruce y se aleja de él a la velocidad de lOOkm/hora, un automóvil dista del
cruce 160m. y se acerca a él a la velocidad de 50km/hora. ¿A que razón se altera la
distancia entre los dos? Rpta. Aumenta 25 km/hora ó 25-j3km/h.
© El radio de la base de cierto cono aumenta a razón de 3cm. por hora y la altura disminuye
a razón de 4cm por hora. Calcule como varía el área total del cono cuando el radio mide
7cm. y la altura 24 cm. Rpta. Aumenta 96n cm1 / h
© Un aeroplano que vuela en dirección norte a 640 millas por hora pasa sobre cierta ciudad
a mediodía; un segundo aeroplano que va a dirección oeste a 600 millas por hora está
verticalmente sobre la misma ciudad 15 minutos más tarde, si los aeroplanos están
volando a la misma altura, ¿con qué rapidez se estarán separando a la 1.15 p.m.?
Rpta. 872 millas por hora.
(2) Un tendedor de alambres trepa a un poste telefónico a razón de 2.5 pies por segundo,
mientras su jefe está sentado a la sombra de un árbol vecino observando. Si el terreno es
llano y el jefe está a 36 pies de la base del poste. ¿Cuántos segundos tiene que trepar el
tendedor de alambres para que la distancia entre él y el jefe crezca a razón de un pie por
segundo? Rpta. 6.2847 segundos.

667. Aplicaciones de la Derivada 653
( ? ) Un objeto que se lanza verticalmente hacia abajo desde la azotea de un edificio, con una
velocidad inicial de Vfí pies/seg. Viaja aproximadamente según la ecuación
S = K,,/ + 16/2 pies en t segundos. Si toca el suelo a los 2.5seg. con una velocidad de 110
pies/seg. ¿Cuál es su altura del edificio? Rpta. 175 pies.
Una escalera de 25 pies de longitud está apoyada en una casa. Si la base de la escalera se
separa de la pared de la casa a razón de 2 pies por segundo. ¿A qué velocidad está
bajando el extremo superior cuando la base de la escalera está a
a) 7 pies de la pared? b) 15 pies de la pared? c) 24 pies de la pared?
7 3 48
Rpta. a) pies/seg. b) pies/seg. c) — — pies/seg.
(ío ) En una planta de arena y grama, la arena está cayendo de una cinta transformadora
formando una pila cónica a razón de 10pies1 / min. El diámetro de la base del cono es
aproximadamente tres veces la altura. ¿A qué razón está cambiando la altura de la pila
g
cuando tiene 15 pies de altura? Rpta.
-------pies/min.
4057T
© La arista de un cubo se expande a razón de 3cm/seg. ¿A qué velocidad cambia el volumen
cuando cada arista tiene:
a) lcm. b) lOcm.
Rpta. a) 9cm3 / seg. b) 900cwi3 / seg.
( í ^ Al caer una gota esférica de lluvia, alcanza una capa de aire más seco en los niveles más
bajos de la atmósfera y comienza a evaporarse. Si esta evaporación se produce a una
velocidad proporcional al área de la superficie (s = 4n r2) de la gota, probar que el radio
se contrae a la velocidad constante.
( u ) Un avión vuela a 31,680 pies de altura, pasando la trayectoria de vuelo exactamente sobre
una antena de radar. El radar detecta el avión y calcula que la distancia s al avión cambia
a razón de 4 millas/min. Cuando tal distancia es de 10 millas, calcular la velocidad del
avión en millas por hora. Rpta. 300 millas/hora.

668. 654 Eduardo Espinoza Ramos
Un barco A navega hacia el sur a una velocidad de 16 millas por hora, y otro B, situado
32 millas al sur de A, lo hace al este con una velocidad de 12 millas por hora. Hallar la
velocidad a la que dichos barcos se aproximan o separan al cabo de una hora de haber
iniciado el movimiento. Rpta. Se aproxima a razón de 5.6 millas/hora
©
©
En que punto de la parábola y~ =18.v, la ordenada crece dos veces más deprisa que la
abscisa?
9 9
Rpta. ( - , - )
8 2
Un peso W está unido a una cuerda de 50 metros de
longitud que pasa por una polea P situada a una altura
de 20 metros con respecto al suelo. El otro extremo de
la Cuerda, se encuentra unido a un vehículo en el punto
A, situado a una altura de 2 metros como indica la
figura, sabiendo que el vehiculo se mueve a una
velocidad de 9 metros por segundo, calcular la
velocidad a la que se eleva el cuerpo cuando se halle a
una altura de 6 metros. Rpta.— = — -</3m/seg.
di 2 5
Un tren que sale a las 11 horas de la mañana se dirige hacia el este a una velocidad de 45
kilómetros por hora, mientras que otro, que sale al medio día desde la misma estación, se
dirige hacia el sur a una velocidad de 60 kilómetros por hora. Hallar la velocidad a que se
separan ambos trenes a las tres de la tarde.
V2
Rpta. 150 - y - Km/hora
Un hombre en un muelle tira de una soga atada al nivel del agua a una bola a razón 50
pies/min. Si las manos del hombre están a 16 pies sobre el nivel del agua. ¿Con qué
rapidez se acerca el bote al muelle cuando la cantidad de soga suelta es de 20 pies?
Rpta. Se aproxima a razón de
250
pies/min.
19) Se bombea aire a un globo, de modo que su volumen se incrementa en 200c'»!'1 / seg.
Despreciando la comprensión del aire. ¿A qué ritmo crece el radio cuando el diámetro
llega a 30cm?
Rpta. —cm/seg.
9 n

669. Aplicaciones de la Derivada 655
2tí) Huyendo de un perro una ardilla trepa por un árbol, corre a 12m/seg. y la ardilla a 6
m/seg. ¿Cuál será el cambio de distancia relativa entre los dos cuando el perro está a 12m.
del árbol y la ardilla ha trepado 5 metros? Rpta. -8.77m/seg.
21) Un cometa que vuela a lOOmts. de altura es empujado horizontalmente por el viento a una
velocidad de 4m/seg. Si la cuerda se va soltando desde un punto fijo. ¿A qué velocidad se
aleja el cometa en el instante en que se han soltado 125m. de la cuerda? Rpta. 2.4 m/seg.
22) Una partícula se mueve a lo largo de la curva 3 y = x3 + 2 . Encuentre los puntos sobre la
curva en los cuales la ordenada está cambiando 9 veces más rápido que la abscisa.
29 25
Rpta. (3,y ) y (-3,——)
23) Un cono recto circular va a ser inscrito en una esfera de radio conocido. Encontrar la
2
razón de la altura al radio del cono de volumen máximo. Rpta. — -Jl
3
24) En lo alto de un farol brilla una luz a 20 pies del suelo, una mujer con una estatura de 5
pies se aleja caminando desde el farol. Hallar la razón en que aumenta su sombra si se
aleja a razón de: a) 4 pies/seg. b) 3 pies/seg.
Rpta. a) 4/3 pies/seg. b) 1 pie/seg.
25,) Un avión vuela paralelo al suelo a una altura de 2km y a una velocidad de 4.5
km./min. Si el aparato vuela directamente sobre la estatua de la libertad. ¿Con qué
intensidad cambia la distancia según una línea visual entre el aparato y la estatua, a los 20
segundos posteriores? Rpta. 2.7 Km./min.
26) Cuando un péndulo con longitud de lOcm. ha oscilado de modo que 0 es el ángulo en
radianes formado por el péndulo y la vertical, entonces sí h(0) cm. es la altura del extremo
del péndulo sobre su posición más baja, h(Q) = 20 sen2 (6 / 2) . Determinar la rapidez de
variación de h(0) con respecto a 0 cuando:
a) 6 = - b) 0 = —
3 2
Rpta. a) 5y[3 b) 10

670. 656 Eduardo Espinoza Ramos
Una piedra es arrojada a un estanque tranquilo, una serie de anillos circulares
concéntricos se extienden por el estanque y el radio de la región perturbada aumenta a
razón de 16 cm/seg. ¿Con qué rapidez aumenta dicha área cuándo el radio es de 4 cm?
Rpta. 128n cm2 / seg.
Un avión vuela con velocidad constante a una altura de 10 000 pies en una trayectoria
recta que lo llevará directamente sobre un observador en tierra. En un instante dado el
observador advierte que el ángulo de elevación del aeroplano es n/3 radianes, y aumenta a
razón de — rad/seg. Determine la velocidad del avión.
60
Rpta.
200
pies/seg.
El lado de un triángulo equilátero mide a cms; si aumenta a razón de k cm/hora. ¿A
razón de cuántos centímetros cuadrados por hora aumenta el área?
Rpta. — -J3cm2 / hora .
Una escalera de 20m. descansa sobre una pared, la parte inferior de la escalera es
empujada horizontalmente a la velocidad de 2m/seg. ¿Cuál es la velocidad del extremo
superior.' Rpta. — =■ m / seg .
V3
A un recipiente como el que se muestra en la
figura, entra agua a la velocidad constante de
1 m3 / min ¿con qué velocidad sube el nivel del
agua cuando la profundidad es de un metro?
Rpta.
dv 1 . .
— = — mi min.
dx 10
A un recipiente semiesférico de radio lOm. entra agua a la velocidad constante de
4 m} / min. ¿Con qué velocidad sube el agua cuando su profundidad es 5m?
4
Rpta.
75 n
- m / min.

671. Aplicaciones de la Derivada 657
33J Un cohete se lanza formando un ángulo de 30° con la horizontal a la velocidad
v = (80 + 40t) m/seg. siendo t el tiempo (seg.) después del lanzamiento. Si 20
segundos después del lanzamiento el sol está directamente encima de él, hallar la
velocidad con que se desplaza su sombra sobre la horizontal. Rpta. 440-^3m / seg.
34J Un avión vuela horizontalmente a la velocidad de 100 m/seg. y a una altura de lOOOm.,
volando en la dirección de un observador que está en tierra. ¿Con qué velocidad se acerca
al avión el observador cuando la distancia entre los dos es de 2000m? Rpta. 50^3 m/seg
¿ y Un avión vuela a lOOOm. de altura a la velocidad de 500 m/seg. y comienza aterrizar
formando su ruta de descenso un ángulo de 30° con la pista y disminuyendo su velocidad
a la razón de 20 m/seg. Si el sol está directamente sobre el avión. ¿Con qué velocidad se
desplaza la sombra 2 segundos después de comenzar a aterrizar? Rpta. 230^/3m / seg.
36j Se apoyan los puntos de un compás sobre una mesa, los brazos del mismo son de
50 cm. de longitud. Si la parte superior del compás desciende a lcm/seg. ¿Cómo varia la
g
distancia entre las puntas cuando están a 60 cm.? Rpta. — m / seg.
37j Para gases ideales se sabe que PV = constante, siendo P la presión del gas y V el volumen
del recipiente que lo contiene. ¿Cómo varía la presión de un gas conteniendo en un
recipiente que disminuye su volumen a la razón de 10c»/3 /seg ?. Cuando V = 500c/n3 y
P = 15kg/crn2. Rpta. — kg/ern2
38) Un helicóptero deja una base, elevándose verticalmente a una velocidad de 15
pies/seg. al mismo tiempo que despega un helicóptero, un observador parte desde un
punto situado a 100 pies de la base y se mueve en línea recta, alejándose de la base a la
velocidad de 80 pies/seg. ¿Con qué velocidad crece el ángulo de elevación del helicóptero
respecto al observador cuando este último esté:
a) a 400 pies de la base? b) a 600 pies de la base?
„ v 1500 . . , 1500
Rpta. a )
----------— —rad/seg. b) ------------— — rad I seg.
4002 + (-^— ) 2 4002 + (— )2
4 4

672. 658 Eduardo Espinoza Ramos
Una torre está al final de una calle, un hombre va en un automóvil hacia la torre a razón
de 50 m/seg. La torre tiene 500m . de altura. ¿Con qué rapidez crece el ángulo
subtendido por la torre y el ojo del hombre cuando éste se encuentra a 1 OOOm. de la torre?
Rpta. 0.02 rad/seg.
del origen. Hallar la velocidad con que se mueve las proyecciones de la posición de la
Las razones de cambio en el campo de la economía, no se miden con respecto al tiempo;
por ejemplo los economistas se refieren al beneficio marginal, ingreso marginal y costo
marginal, como las razones de cambio del beneficio, ingreso y costo respecto al número
de unidades producidas ó vendidas.
La ecuación que relaciona estas tres cantidades es: P(x) = R(x) — C(x)
donde: P(x) = beneficio total, R(x) = ingreso total, C(x) = Costo total.
Ahora la derivada de cada una de estas da los marginales términos usados en Economía.
— = beneficio marginal, — = ingreso marginal, = costo marginal
dx dx dx
O = S(P) función de oferta ; D = f(P) función de demanda.
OBSERVACION
Los problemas planteados son problemas de máximos y mínimos.
Para estudiar el efecto de los niveles de producción en el costo. Los Economistas usan la
función de costo medio c(x) definida por c(x) = donde c(x) función de costo total.
©
Una partícula se mueve sobre la curva y 2 = 4kx con velocidad constante v y alejándose
partícula sobre los ejes OX y OY.
5.25 APLICACIÓN A LA ECONOMIA.-
X

673. Aplicaciones de la Derivada 659
ELASTICIDAD
La elasticidad de una función y = f(x) en el punto x se define como la tasa de cambio
Ey
proporcional de y con respecto a x y denotaremos por: M = —— y es definido por:
Ex
ÉL
Ex dx y dx
x ■ ■
La elasticidad es un concepto importante en la teoría económica y se aplica en el estudio
de la demanda, la oferta, el costo y la productividad.
a) INGRESO NACIONAL CONSUMO, NACIONAL Y AHORRO
Llamaremos función de consumo a la relación entre el ingreso nacional (total)
disponible y el consumo nacional (total).
La función de consumo se caracteriza porque a medida que aumenta (o disminuye)
el ingreso, el consumo aumenta (o disminuye) lo cual se da en menor intensidad y es
la llamada “propensión marginal al consumo” que significa que es mayor que cero y
menor que uno, donde la propensión marginal es la tasa de cambio del consumo con
respecto al cambio en el ingreso disponible. Si c = f(x) es la función de consumo,
donde c representa al consumo nacional y x el ingreso nacional entonces la
propensión nacional es:
En el análisis teórico elemental del ingreso nacional se supone que el ingreso
disponible es igual al consumo c más el ahorro s lo cual expresaremos x = c + s, de
donde la propensión marginal al ahorro es:

674. 660 Eduardo Espinoza Ramos
b) EQUILIBRIO ECONOMICO
El objetivo principal de toda empresa es maximizar su utilidad total (o lucro total), o
minimizar pérdida.
El punto de utilidad máxima es el punto de equilibrio y ocurre cuando el ingreso
marginal (I. mag) es igual al costo marginal (c. mag).
Y
>
/C m g.
Cmg.
p
1 7 '
i /
i/ P = Img
1
1
1
0 x 0
X
En las gráficas mostradas en ambos casos x() es la cantidad de equilibrio.
Si u(x) = ganancia o utilidad total, entonces escribiremos U(x) = l(x) — C(x).
Ahora nuestro objetivo es obtener la cantidad de x que maximice la utilidad u(x).
La cantidad de equilibrio de la empresa es el valor de x que maximiza U(x) y el
punto de equilibrio es P(x0,u(x0)) donde ¡t0 es la cantidad de equilibrio.
_ , . .... . . . , , dU(x) . d 2U(x), .
Para obtener la utilidad maxima debe tenerse que
--------= 0 y--------— L < 0
M dx ’ dx2 0
OBSERVACION
En el punto de equilibrio, el ingreso marginal debe ser igual al costo marginal.
Es decir: como U(x) = I(x) — C(x) entonces
dU(x) _ dl(x) dC(x) _ dl(x) _ dC(x)
dx dx dx dx dx
.-. Im g = Cmg

675. Aplicaciones de la Derivada 661
OBSERVACION
En el caso especial de competición pura, se tiene que: I = Px luego P = Img
Esto quiere decir que existe utilidad máxima sí Cmg = P
5.26 EJERCICIOS DESARROLLADOS.-
© Un fabricante de televisores desea vender un promedio de 1000 televisores al mes a
S50,000. El fabricante piensa que puede vender 100 televisores adicionales al mes por
cada S 2,000 de reducción en el precio. ¿Cuál es el precio que produce el mayor ingreso?
Solución
Sea x el nuevo precio del televisor que produce el mayor ingreso, donde:
I = Ingreso = (precio del televisor)(número de televisores vendidos).
El número de televisores que se desea vender es 1000 más 100 televisores por cada
S 2000 de reducción sobre S50000.
El precio rebajado es el precio original menos el precio nuevo x es decir: 50000 - x.
La cantidad de reducción de $2000 es: 50000——.
2000
Luego el número de televisores, excedentes de los 1000 vendidos será:
50000 — jc 50000-*
2000 ” 20
el número de total de televisores vendidos: 1000 +100(~ ^ ^ - ■■-*-)
2000
,, X /,HA 50000-jc 70000*- x 2 .
entonces: /(* ) = *(100+-
------------) = -----------------ahora derivando
20 20
70000*-2* icnrm
/(x) =
------------------------------= 0 => x = 35,000
20

676. 662 Eduardo Espinoza Ramos
/" (* ) = — => /"(35000) < O entonces se tiene un máximo en x = 35000
10
Por lo tanto el precio de venta por televisor es de $35000.
(2) Una compañia de transporte, con una tarifa de S20, transporta 8000 pasajeros por día, al
considerar un aumento de la tarifa, la compañía determina que perderá 800 pasajeros por
cada S5 de aumento en estas condiciones. ¿Cuál debe ser el aumento para que el ingreso
sea máximo?
Solución
Sea x el número de aumentos de S5 en la tarifa entonces 20 + 5x es la tarifa resultante y el
número de pasajeros será 8000 - 800x donde el ingreso es:
I(x) = (20+5x)(8000-800x) entonces I(x) = 4000(40 + 6 x -x2) , derivando
/ ' (jc) = 4000(6-2x) = 0 para el número crítico, de donde: 6 — 2x = 0=>x = 3
I"(x) = -8000 => I(x) < 0 V x
Luego x = 3 se tiene máximo. El aumento en el pasaje debe ser de 3 x 5 = 15
Y el nuevo valor del pasaje es S35.
© El número de dólares del precio total de la manufactura de x relojes en cierta fábrica está
20
dada por: C(x) = 1500 + 30jc + — , Encontrar:
x
a) La función del costo marginal
b) El costo marginal cuando x = 40 y
c) El costo de la manufactura del cuadragésimo primer reloj.
Solución
Como la función costo total C(x) es dado: C(x) = 1500 + 30.v + — entonces
x

677. Aplicaciones de la Derivada 663
20
a) La función costo marginal = C'(.x) = 30 — —
x
20
b) El costo marginal cuando x = 40 es: C '(4 0 )= 3 0
---------= S29.29
6 1600
c) Costo de manufactura del 4 lavo, del reloj es C(41) — C(40) = S29.95.
( 7 ) Supóngase que un liquido se produce por cierto proceso químico y que la función del
costo total C(x) está dado por C(x) = 6 + A^fx, donde C(x) S es el costo total de la
producción de x galones del líquido. Encontrar:
a) El costo marginal cuando se produce 16 galones y
b) El número de galones producidos cuando el costo marginal es de 40 centavos por
galón.
Solución
C(x) = La función del costo total para producir x galones: C(x) =6 + 4-Jx
2
a) Costo marginal: CM = C"(x) = ~j=, el costo marginal cuando x = 16 galones
4x
CM = C' (16) = —p = = — = 0 / 5$ / galón.
a/Í6 2 S
b) número de galones cuando el CM. es 0.40 cent/gal
2 4
S0.40 = - t= => x =
--------r = 25 galones ,\x = 25 galones.
4 x (0.40)
Suponiendo que la función precio está dado por P(x) = 24 - 8x y la función costo por
C(x) = 4x + 10x supóngase además que el gobierno grava las ventas con un impuesto de
t% por cada unidad.
Determinar en términos de t. la cantidad de producción que maximiza la utilidad.
Determinar también el valor de t que maximiza la renta del gobierno por concepto de
impuesto.

678. 664 Eduardo Espinoza Ramos
Solución
La función utilidad = U(x) = I(x) — C(x) donde I(p) = xP(x) = ingreso = 40.v - 8jc2
C(x) = 4x + 10* + tx- costo total :.U(x) = 4 0 x - 8 jr - 4 .V - 1 0 8-tx
U'(x) = 4 0 - 1 6 * - 4 - / = 0 => x - 1 unidades (en millones)
Renta del gobierno es = / g (/) = xt = (—■— )<
,36-1.
16
Igit) = ^ ü f ~ ^ /s(/) = ^ l6^ = ° ■' t=18%
Có) Si la ley de la demanda es P = ——c. Demuéstrese que el ingreso total disminuirá cuando
la producción aumenta, siendo el ingreso marginal una constante negativa.
Solución
Como la demanda es: P = - - c entonces I(x) = xP = a — ex por lo tanto, si x aumenta, el
x
término ex aumenta y su diferencia con “a” disminuirá además lm e = - ^ ^ = -c
dx
constante negativa.
(l) Si la función de costo total esC(x) = O.lx2 +5x + 200. Determinar el costo promedio y
costo marginal.
Solución
Como la función costo total C(x) = 0. l.r + 5x + 200
- C(x) — ? 00
c(x)~
------= función costo promedio; entonces C(x) = 0. lx + 5 + ------
x x
dC(x) .
--------= costo marginal = 0.2x + 5.
dx

679. Aplicaciones de la Derivada 665
© El número de dólares del costo total de la producción de x unidades de una mercancía es
C(x) = .V2 + 4a: + 8 . Encontrar la ecuación que defina.
a) El costo promedio.
b) El costo marginal y costo promedio marginal.
c) Encontrar el mínimo absoluto del costo unitario promedio.
d) Trazar las curvas del costo total, del costo promedio y del costo marginal en el
mismo sistema de coordenadas verificar que los costos promedios y marginales son
iguales cuando el costo promedio tiene un valor mínimo.
Solución
La función del costo total por manufactura x artículos es: C(x) = x 2 + 4a: + 8.
a) El costo promedio por definición es: C(x) es decir: C(x) = x + 4 + —
X X
b) El costo marginal: Cmg(x) = C'(x) = 2x + 4 y el costo marginal promedio es:
C (x ) = l ~
X ~
c) El mínimo absoluto del costo unitario promedio se obtiene haciendo
_ g _
C" (x) = 1 — — = 0 => x = 2V2 es decir que x = 2^2 es el número crítico de C(x)
x"
- 16 - r- -¡2 — r-
C'(x) = — de donde C"(2v2) = — >0=> C(x) tiene mínimo relativo en x = 2V2
jc3 2
O
C(2V2) = 2^2 + 4 + — — = 4^2 + 4 = $9.64
2-/2
_ g
además se tiene que C(x)=x + 4 + — es continua en <(),+*>. Luego como
x
x = 2^2 . Entonces C(2-j2) = $9.64 es un valor mínimo absoluto del costo unitario.

680. 666 Eduardo Espinoza Ramos
d)
Una empresa tiene una producción de x toneladas de cierto artículo con un costo variable
total dado por C(x) = ax3 -bx2 + ex. Demostrar que la curva de costo medio es una
parábola, hallar la producción que corresponde al costo medio mínimo y el valor del costo
medio respectivo.
Solución
C(x)
El costo medio = Cme = — — = ax2 - bx + c completando cuadrados se tiene:
x
7 b h2 c h1 b 7 b2 b 7 4a c-b 2
Cme(x) = a(x~
----x + — - +---------- ) = a(x-— )- +c~— =a(x—— )~ + ---- ------
a 4 a a 4a 2a 4a 2a 4 a
de donde Cme+—— 4- — = a (x-— )2 ecuación que representa una parábola, con vértice
4 a 2a
b b2 - 4ac , - , , . . Cme(x) b
en (— ,
-), ahora veremos el Cme(x) m ínim o----------------------= 2ax-b = 0 =>x = —
2 a 4a dx 2a
d 2Cme(x) . b
--------— - = 2a > 0 V x => x = —
dx~ 2a
Será la producción que corresponde al Cme(x) mínimo.
El valor del costo medio mínimo será: Cme(— ) = a(— )2 -b(— )+c = ——
2a 2a 2a 4a
Las gráficas son:
Yt

681. Aplicaciones de la Derivada 667
Hy La curva del costo total del producto ó artículo está dado por y = 15x - 8.r2 + 2x3, de
donde y representa el costo total y x representa la cantidad producida. Suponga que las
condiciones del mercado indican que deberán producirse entre 3 y 10 unidades (esto es
3 < x < 10), Determine la cantidad en este intervalo para lo cual el costo medio ó
promedio es mínimo.
Solución
Costo medio = y C(x) = — = 15 - 8x + 2x2
x
tLL = - s + 4.v = 0 => x = 2 número critico
dx
d 2~ d 2~
— -- = 4 , Vx =;• — \x=2 = 4 > 0 = > 3 mínimo en x = 2 pero 2 no está en el intervalo
dx~ dx ' '
3<x<10: si: x = 3, y = 9 y x= 10, y = 135
por lo tanto en el intervalo 3 < x < 10, el valor mínimo de y ocurre cuando x = 3 y el
valor máximo en x = 10 en ninguno de estos puntos — es igual a cero.
dx
Luego entre 3 y 10 artículos, el costo promedio es mínimo para 3 unidades.
Para cada una de las siguientes funciones de costo promedio obtenga el valor mínimo del
costo promedio mínimo, y demuestre que dicho costo promedio mínimo, el costo
marginal y el costo promedio son iguales.
a) y = C(x) = 2 5 - i x + x 2

682. 668 Eduardo Espinoza Ramos
Solución
— y —
Como y - — => y = xy = C(x) = costo total
y = C(x) = 25x - 8x1 +xl
= -8 + 2x = 0 => x = 4 número crítico
dx
d y d' y . , .
— — = 2 — — | v=4 = 2 > 0 => 3 mínimo en x = 4
dx~ dx~
y = C(4) = 2 5 -3 2 + 16 = 9, ...(1)
Cntg(x) = C (x) = 25-16x+3x2 =C' (4) = 2 5 -6 4 + 4 8 = 9 ...(2)
de (1) y(2) y = C(x)
b) _y = 2 + * ln x
Solución
v=C(x) = xv = 2x + x2Lwc de donde — - = Lnx + l = 0=> x = e 1
dx
d y 1 d l y. n a - -i
— — = — =? — — _-, = e > 0 =>3 mínimo en x = e
dx 2 x dx 2 x=e
y = C(e x)-=2 + e lLne 1 entonces y = 2 - —
e
1 2 11 2 1 1
C'mg(x)=2 + 2xLnx + x reemplazando Cmg(—) = 2+— —h— - 2— +- = 2 —
e e e e e e e

683. Aplicaciones de la Derivada 6 6 9
12) El costo total de producir x artículos por semana es de: (ax2 +bx + c) pesos, el precio (en
pesos) al que cada artículo puede venderse es de P - ( P - a x 2). Demostrar que la
J a 2 + 3a(P-b) -a
producción total para la ganancia G es: x = —
------------------------
3 a
Solución
Ingreso total l(x)=xP = xP ~ a x3
Utilidad ó ganancia = U(x) = I(x) — C(x)
U(x) = x f)-a x J -(ax2 +bx + c) derivando U'(x) = P-3a x 2-2ax-b = 0
3 ax 2 + 2ax + b - p = 0 resolviendo:
-2a± J4a2 -A(3a)(b- p) -2a ± 2 ja 2 -3a b + 3ap
x =
--------- -------------------------=------------—— ----------------
6a 6a
-a ± J a 1 +3 a(p-b) - a + J a 2 +3a(P-b)
x ---------
---------------------=> x =----------- ---------------------
3a 3a
13) Un fabricante de radios averigua que puede vender x instrumentos por semana a P pesos
x
cada uno, siendo 5x = 375 - 3P. El costo de la producción es (500 + 15x + — ) pesos.
Demostrar que se obtiene la máxima ganancia cuando la producción es alrededor de 30
instrumentos por semana.
Solución
Ingreso total = I(x) = por la venta de número de instrumentos: I(x) = xP
x 2
Costo total = c(x) = 500 +15x + —
5
Ganancia ó utilidad = u(x) = I(x )-c (x ) ...(1 )
Pero 5x = 375 — 3P => P = - 75~ 5*

684. 670 Eduardo Espinoza Ramos
/(*) =xP =
3 7 5 * -*
Luego
c(x) = 500 + 15* + :
...(2)
375* -5 * x
Reemplazando (2) en (1) se tiene: u(x) =
-----------------(500 + 15* + — ) , derivando
„ 375-10* 1£r 2x 1 8 7 5 -5 0 * -2 2 5 -6 * .
u (*)---------------15
------------------------------------= 0
3 5 15
1650 - 56x = 0 => x = 1 ^ 2 = 29.46 valor crítico
56
«"(*) = - — => u"(29.46) = - — < 0 => d máximo en x = 29.46
15 15
La máxima ganancia se obtiene al producir alrededor de 30 instrumentos por semana.
Si el problema 13 se supone que la relación entre x y P es * = 100-20. Demostrar
que la producción que corresponde a una ganancia máxima es la de unos 25 instrumentos
por semana.
Solución
l(x) = ingreso total = Xp c(x) = costo total = 500 +15* + —
5
como * = 100-20,1— => 20-1— = 1 0 0 -*
V 5 V 5
P , 1 0 0 -* 2 p _ (ÍOO-JC)2
5 20 80
/(x) = xP =
* (1 0 0 -* )'
80
U(x) = I(x) - c(x) reemplazando se tiene:

685. Aplicaciones de la Derivada 671
_ ,v(l00—x)— — 1 5jc—— derivando se tiene
80 5
„ . w = S O ^ _ i (100z í ) _ 2 i
8 40 5 80 5
_ 100—jc 75 + 2x (100 - jc)(100 - 3x) -16(75 + 2x)
~ 80 X 5 80
.... 1 3.r2 -4 3 2 + 8800 „ . . 256
U (x) =
---------------------= 0 => x = 25, x = -------
80 3
U"(x) = - —-32- => í/"(25) = - — < 0
80 40
en x = 25, por lo tanto la máxima ganancia se obtiene al producir 25 instrumentos.
15^ Esta semana en una fábrica se produjeron 50 unidades de cierta mercancía y la cantidad
de producción aumenta a razón de 2 unidades por semana. Si C(x) dólares es el costo de
producción de x unidades donde: C(x) = 0.08*3 - x 2 +10*+ 48 , calcule la rapidez
actual a la que el costo de producción aumenta.
Solución
Sea x = número de mercancía
— = 2 unid/semana
de
= rapidez actual en la que el costo de producción aumenta.
Como c(x) = 0.08x3 - x 2 +10x + 48 derivando se tiene:

686. 672 Eduardo Espinoza Ramos
= 0.24(50)2 (2) — 2(50)(2) + 10(2) =0.48(50)2 -4 (5 0 )+ 20 = 1020
di
D,c{50) = 1020
El costo aumenta a razón de 1020 por semana.
16j En cierto mercado, la demanda por una clase especial de cereal para el desayuno está
indicada por la ecuación de la demanda: Px + 25P = 4000, donde P centavos es el precio
de una caja y x miles de cajas es la cantidad semanal demandada. Si el precio actual de
dicho cereal es de 80 centavos por caja y ese precio aumenta a razón de 0.2 centavos
semanales, calcule la razón de cambio de la demanda.
Solución
dP dx
Datos: — = 0.2 centavos /semana ; — = ? para P = 80
dt dt
, nAft 4000-25P
como Px + 25P = 4000 => x = ---------------
P
4000 „ dv 4000 dP
x =
---------25 => — = -•------------
P dt 2 dt
^ = - « 0 0 --------W _ = ^ 1 0 ; _ ! = _
dt (80)2 (80)(80) 80 8
La demanda disminuye a razón de 0.125 miles de cajas por semana.
© La ecuación de la oferta de cierta mercancía es: x = 1000-^3P 2 + 20P donde cada mes se
surten x unidades cuando P dólares es el precio por unidad. Calcule la razón de cambio en
el suministro si el precio actual es de S20 por unidad y está aumentando a razón de $0.50
por mes.
Solución
dP dx
Datos: — = 0.5 $/mes ; — = ? cuando P = $20
dt dt
x = m<h¡3P* + 20P se surten x unidades cuando p S es el precio por unidad
Ahora calculamos la derivada implícita.

687. Aplicaciones de la Derivada 673
dx 1000(3^+10) dP , _ _n
— =
------— cuando P = 20
V3P2 +20P
1 0 0 0 ( 7 ^ 0 7 0 0 0 0 ?5
di -^1200 + 400 40
El suministro aumenta a razón de 875 unidades por mes.
18j Suponga que “y” es el número de trabajadores en la fuerza laboral necesaria para producir
x unidades de cierta mercancía y, x = 4 y2. Si la producción de esta mercancía, este año,
es de 250,000 unidades y la producción aumenta a razón de 18000 unidades anuales.
¿Cuál es la razón actual a la que se debe incrementar dicha fuerza laboral?
Solución
Datos: x = 250,000 unidades ; — = 18,000 unidades anuales ; — = ?
dt dt
como x = 4y 2, cuando x = 250,000, y = 250 ahora derivando implícitamente la ecuación
x = y 2 con respecto al tiempo.
— = 8y — reemplazando los datos 18000 = 8(250)— => — = 11222. =g
dt ' dt dt dt 8(250)
= 9 trabajadores anuales.
5.27 PROBLEMAS PROPUJE S TOS«-
O Un monopolista determina que si c(x) centavos es el costo total de la producción de x
unidades de cierta mercancía, entonces c(x) = 25x + 20000, la ecuación de la demanda es
x + 50P = 5000, donde son demandas x unidades cada semana, cuando el precio unitario
es de P centavos, si se desea maximizar la utilidad semanal encontrar:
a) El número de unidades que deben producirse cada semana.
b> El precio de cada unidad.
Rpta. a) x = 1875 unidades b) P = $62.5

688. 674 Eduardo Espinoza Ramos
(2) La ecuación de la demanda de cierta mercancía es P = (x-8)2 y la función del costo
total está dada por C(x) = 1 8 x -x 2 donde c(x) dólares es el costo total cuando se compra
x unidades.
a) Determinar los valores permisibles de x.
b) Encontrar las funciones del ingreso marginal y del costo marginal.
c) Encontrar el valor de x que rinde la máxima utilidad.
d) Trazar las gráficas de las funciones del ingreso marginal y del costo en el mismo
sistema de coordenadas.
empleará una barda adicional para dividir el campo por la mitad. Si el costo de la barda
central es de S 2 por metro lineal y el de la barda a lo largo de los lados es de S 3 por
metro lineal encontrar las dimensiones del campo que haga que el costo de la barda sea
mínima.
Rpta. a) x e [ 0 ,8] b) /'(x ) = (x -8 )(3 x -8 ), c'(x) = 18-2x
c) x = 1.89
( ? ) La ecuación de la demanda para cierta mercancía es Px2 - 9 P - 1 8 = 0 donde P dólares
es el precio por unidad cuando 1 OOx unidades son solicitadas. Encontrar:
a) La función del precio. b) La función del ingreso total.
c) La función del ingreso marginal.
d) Encontrar el ingreso total máximo absoluto.
1 O
Rpta. a )
-----— b)
Q -v-2
9 + x
1800x
9 + x 2
( 4) Un campo rectangular que tiene un área de 2700w2, será cerrado con una barda y se
Rpta. Las dimensiones del campo que hacen que el costo mínimo son: 45 de ancho por
60 de largo.

689. Aplicaciones de la Derivada 675
© Un fabricante puede tener una utilidad de $20 en cada artículo si se producen
semanalmente no más de 800 artículos. La utilidad decrece a 2 centavos por artículo que
sobre pasa los 800. ¿Cuántos artículos deben fabricarse a la semana para obtener la
utilidad máxima? Rpta. 900 artículos.
( ó ) Un fabricante puede producir grabadoras de cassette a un costo de $20 cada una. Calcular
que si las vende a x pesos cada una podrá vender aproximadamente 120 — x grabadoras
de cassette al mes. Determinar el precio de venta x que producirá la mayor utilidad para el
fabricante. Rpta. $ 70 cada una.
© Para cada una de las siguientes funciones de costo total, evalúe el costo marginal y
determine el comportamiento del costo marginal (sí es creciente ó decreciente)
a) y = IOOOjc - 1 80x2 + 3jc3 b) y = 220 + 55x-2xJ +x4
( ? ) Determinar el comportamiento de las funciones de costo promedio y marginal (creciente
o decreciente) para cada una de las siguientes funciones de costo total.
a) y = *Jx + 25 , 0 < x < 10 b) y = 9x + 5xe~2x
Rpta. a) 0 < x < 10 creciente el costo promedio y marginal
b) El costo marginal es decreciente para x < 1 y creciente para x > 1, el costo
promedio siempre es creciente.
( 9) La función de ingreso total de la empresa Compañía Manufacturera de Muebles
Coloniales se expresa mediante la ecuación I(x) = 24x-3x2 , en la que I(x) es el ingreso
y x es la cantidad vendida.
a) ¿Cuál es el ingreso máximo que la compañía puede esperar suponiendo que la
ecuación anterior es válida?
b) ¿Cuál es la ecuación correspondiente a la función de ingreso marginal de esta
compañía?

690. 676 Eduardo Espinoza Ramos
La compañía ANTO SA. fabrica gabinetes para aparatos de televisión, y el costo total de
producir cierto modelo está representando por la ecuación: y = 4x- x 2 + 2x3 , en donde y
representa el costo total y x representa la cantidad producida (su valor numérico son
millares de unidades). El departamento de ventas ha indicado que la producción x debe
estar entre 2 y 6. ¿En que cantidad es mínimo el costo marginal?
si los vende a x pesos cada uno podrá vender aproximadamente 50 - x marcos al mes.
a) Exprese la utilidad mensual del fabricante como una función del precio de venta x y
represente gráficamente esta función de utilidad.
b) Use el cálculo para determinar el precio de venta que ha de elevar al máximo la
utilidad del fabricante.
Rpta. a) P(x) = (x-10) (50-x)
b) Precio óptimo de venta $30 utilidad máxima $370
El costo total de una firma que manufactura x bicicletas es c(x) = - 5x2 4-170x4 300.
a) ¿A qué nivel de producción decrece el costo marginal?
b) ¿A qué nivel de producción crece el costo marginal?
c) ¿Cuál es el mínimo costo marginal?
Rpta. En el intervalo 2 < x < 6, CM. es mínimo en x = 2
Un fabricante puede producir para camas de agua a un costo de $10 cada uno, calcula que
Rpta. a) 0 < x < 20 b) x > 20 c) c'(20) = 70
©
Un fabricante de accesorios eléctricos tienen unos costos de producción diarios de
1
X ~
¿• = 8 0 0 -1 0 x 4 — . ¿Cuántos accesorios x se habrían de producir cada día para
4
minimizar los costos? Rpta. 20

691. Aplicaciones de la Derivada 677
14) Un fabricante de radios cobra $90 por unidad cuando el costo medio de producción por
unidad es de $60, para seguir, sin embargo, mayores pedidos de los distribuidores, el
fabricante reducirá el precio en $0.10 por unidad pedida a partir de las 100 primeras.
Hallar el menor pedido que podría admitir el fabricante para obtener beneficio máximo.
Rpta. 200
15) Una empresa que fabrica y vende escritorios trabaja en competición perfecta y puede
vender a un precio de $200 el escritorio, todos los escritorios que produce si x escritorios
se produce y se vende cada semana y c(x) dólares es el costo total de la producción
semanal, entonces c(x) = x 2 + 4x+3000. Determine cuántos escritorios deberán
fabricarse por semana para que la empresa obtenga la mayor utilidad total por semana.
¿Cuál es dicha utilidad total máxima por semana? Rpta. 80, $ 3400
16) Suponga que en una situación de monopolio la ecuación de la demanda de cierto artículo
es P = 6 -y-y/jt-100 , donde P dólares es el precio por artículo cuando se demanda x
artículos y x e[100, 1000]. Si c(x) dólares es el costo total de la producción de x
artículos, entonces: c(x) = 2x + 100
a) Encuentre las funciones del ingreso marginal y del costo marginal.
b) Calcule el valor de x que arroje la máxima utilidad.
1 y
Rpta. a) Img(jc) = 6 — V x -1 0 0
------------------:— ; Cmg(x) = 2
5 10V jc-100
b) 200 ó 100
17) En competencia perfecta, una firma puede vender a un precio de 100 dólares por unidad
todo lo que produce de una cierta mercancía. Si a diario se produce x unidades, el número
de dólares del costo total de la producción diaria, es x2 + 20*+ 700. Hallar el número de
unidades que deben producirse diariamente para que la firma obtenga la máxima utilidad
total diaria. Rpta. La mayor utilidad diaria es cuando se produce 40 unidades por día.

692. 678 Eduardo Espinoza Ramos
(Í8) Un fabricante en la producción de cierto artículo, ha descubierto que la demanda del
artículo viene representando por x = .^22. suponiendo que el ingreso total I(x) está por
P2
I(x) = xP que el costo de producción x artículos está dado por: c(x) = 0.5x + 500, hallar el
precio por unidad que dé un beneficio máximo. Rpta. SI.00
19) La función de demanda de un cierto artículo está dado por P = (1 6 - x ) 1,2.0 < x < 16,
calcular para que precio y cantidad el ingreso es máximo. Rpta. P ■= , x = ~
(20) Un cierto artículo tiene una función de demanda dada por P = 100 - y la función de
costo total es C(x) = 40x + 375.
a) Qué precio da el beneficio máximo?
b) Cuál es el costo medio por unidad si se produce para obtener el beneficio máximo?
Rpta. a) $80.00 b) $99.29
5.28 LA REGLA DE L HOSPITAL.-
Para calcular límites de funciones que asumen formas indeterminadas, se debe tener en
cuenta las siguientes formas indeterminadas.
a) lera. De La Forma 2
0
Consideremos dos funciones derivables f y g en un intervalo abierto I, excepto
posiblemente en a e I. Suponiendo que V x * a en I, g'(x) 0 y sí lim f(x) = 0 y
x - * a
lim g(x) = 0 , entonces:
¿YvV fVvi
...d)
Hmi í s
g(x) » > « g ü ):

693. Aplicaciones de la Derivada 679
OBSERVACION
f w
i) En el caso que / ' (a) -0 , g'(a) = 0 se aplica la expresión (1) al cociente
-------es
g’M
decir:
») En algunos casos puede ocurrir que sea necesario repetir el procedimiento varias
veces.
¡íi) Si a = oo, la sustitución de x = — el problema se reduce a evaluar el límite
z
cuando z —>0 esto es:
, , = lim------7- = lim
1, 1 z - * 0 . ,1, jr->oo g'(x)
g 'M
2
b) De La Forma
f(x)
Para determinar él lim-
----- cuando él lim /( x ) = o o , y lim g(x) = o o, es
x —>a g(x) x-> a x —>a
suficiente aplicar la regla establecida en (1).
c) De La Forma O.oo
Para determinar él lim f(x).g(x) cuando lim f (x) = 0 y lim g(x) = <*>, a la
x —>a x —>a * x~>a
0 00
función f(x). g(x) se expone dé tal manera que adopte una de las formas — ó — es
O oo
decir:
ó también
Luego se aplica la regla establecida en (1)

694. 680 Eduardo Espinoza Ramos
d) De La Forma oo - oo
Para determinar él lim(f(x)-g(x)) cuando: lim f(x) = oo, limg(x) = oo, la
x —>a ' x-> a x —>a
función f(x) - g(x) se expresa en la forma siguiente:
y de esta manera cuando x -> a, toma la forma — luego se aplica la forma
establecida en (1)
e) De la forma 0o, °o0, 1“
Para determinar el lim ( /(x)g('x)) que toma la forma: 0o , oo°, 100, cuando x —» a,
x-> a
se debe tener en cuenta que /(x) g(-x) = e .
5.29 EJERCICIOS DESARROLLADOS.
©
©
©
Lnx
lim------
*-»1 X ~ 1
Um — = lim -= 1
x -> l X — 1 *->1 X
X — 1
lim -
-1
lim —— = lim - 1
x n -1 x~*1 H X
.V - X
e -e
Jim
-----------
sen x
n-1
n
Solución
Solución
x -1 1
.lim
x -> i x ” - 1 n
Solución

695. Aplicaciones de la Derivada 681
®
lim
x- - - * n
X » X
a -n
x ->0 „V
Solución
a * -b x a'Ln(a)-bxLn(b) T T , ax - b x T
lint
----------= lim------------------------- = Lna - Lnb hm -----------= Ln
t- » 0 X Jr—»0 1 jr-» 0 x
(¿) lim x" sen —, n >0
JT-.II X
Solución
a a se n - , , a a , n
hm x sen — = hm
-----------------, donde r = — => x = — cuando x o o , z -> 0
X z-»*1 ~ n X Z
„ a a senz .. a cosz a
lim x sen — = hm
-----------= hm-------- — - —— = oo
x z->0 z -»0 f ¡ ~ n 1 o
®
lim
sen k x
*2 2 -x
Solución
, sen n x , n eos n x
hm
---------= hm —- ........ - = -n
•r->2 2-X -1
0
1im
e - eos x
■V >o x sen x
Solución
.. ex -e o s * .. e ^ - s e n x 1 + 0
hm-------------= hm
-------------------=------= oo
x-+o xsenx *->osenx + xcosx 0
®
lim
v -O
. x - 2
2 x -2
Solución
n -»n n- 1
x -2 nx „^«-i
lim
----------= lim--------= ni
■>'->2 X-2 a~>2 1
cr | Cl

696. 682 Eduardo Espinoza Ramos
¿«(sen x)
© lim ,
x-ntii (n -2x)
Solución
Z,w(senx) c tg x -c o s ec~x 1
lim
-----------— = lim --------------= lim ---------------= —
Jr-xr/2 (ft — 2x) x-*n!2 —4(n —2x) x-*n!2 8 8
10) lim (n - 2 are. tg x)Lnx
^ .r-»or-
Solución
lim(n- 2 are. tg x)Lnx = lim ——2arc-t^ x
x —>zr x —>cc 1
Lnx
-2
®
lim xLn(senx)
x-> 0
1+x2 ,■ 2xLn2x .. 2Ln2x + 4 2
= lim — = lim
-------— = lim -------------= hm — = 0
X—»00 1 x —>00 \ + X x— »00 2.X x —>co X
xLn2x
Solución
Ln(senx) .. ctgx
lim xLn(sen x) = lim------
------= lim — —
x-+ 0 x —fO 1 x—»0 1
I " I 7
-e o s ec2x x 3 .. 3x2 3x 0 .
lim
-------------= - lim---------— = - lim ----------= - lim------------= — = 0
*->o _2_ x-to 2 sen x 2 sen 2x *->o 2 eos 2x 2
3
12} lim xsenx
x-> 0
Solución
. lim sen x.L n x — -— —• „ ,
--------------- n
lim xsenx = lim esenxLnx = = lim e ULnx = e ^ ° VxLn x = e “ = e ° = 1
x —>0 x-+ 0 x —>0
•. lim x senx = 1
jr-*0

697. Aplicaciones de la Derivada 683
©
\[x -\fa
'"'■-Tx-ra
Solución
\ [ x - \ [ a 2-Jx 2a1,2
lint -t=
----= - = lim
■\lx-4a x~*a ilfx* 3a2n 3a 1/6
lim
------
x-m) sen*
Solución
'1 = Uní —lim ■
jr-»o sen * *->ocosx
■ = 1
©
lim
x~*0
Lneos *
Ln eos* . . . . -
lim
-------— = lim ( - tg x) = 0
jr-*0 X jr~*0
lim
x~-,° -e o s P x
Solución
Solución
e ^ -c o s a x ae^-asenax a
lim
----—------------= lim------------------------= —
x~*° fie^* -eo s fí x x->° pe^* - p sen p x P
lim
X - * { )
x - are. tg *
Solución
x-arcAgx
lim
--------;——— = lim
1 -
l + x 2 1
= — lim -
*-*» 3x 3 *->o x (l+x ) 3

698. 684 Eduardo Espinoza Ramos
lint
ea^ -1
'-*0 -Jscnbx
Solución
e ^ - l a
hm ,
-------= lim — ;=e ^ = lim
a sen bx
r~+° Vscn bx x M) 2-Jx b eos bx x -> ‘o b eos bx.-Jx
2-Jsenbx
Vsenbx a .. 2-Jsenbx a bjxco sb x
= — lim ■ ■ — lim -
b >->o eos bx *->o ~Jx b *->o 1 b *-»o -Jseñbx
2^/x
1 a
- a lim - .
---------- r
•t->0 I b sen bx -4b
bx
lim-
-----—
*-*0 cx - d x
a -t
lim
« » c 1 - d x
■ = lim
Solución
axLna-bxLnb _ Lna-Lnb _ ^ d ^
cx Lnc.-dx Lnd Lnc-Lnd i n(^L\
d
©
Lnx
lim
x- *q Ln(sen*)
lim
Lnx
= lim
x
Solución
senje ,
lim
--------1 = 1
Lu(sen x) *-»o eos* x->o x eos x
sen*
5.30 EJERCICIOS PROPUESTOS.-
Hallar los límites siguientes aplicando la Regla de L’Hospital.
O
x - sen x
l i m
■V“ *0 J C - tg X
Rpta. -
1

699. Aplicaciones de la Derivada 685
©
m m
( ? ) lim
------—
x - a
( 4) lim —
------—
x ->() COS X — 1
©
lim ■
e ~e
-v->n sen x. eos x
© l m e‘ ' e ' - 2x
*->0 x - sen x
®
l i m
x X3 x 2
e----------------x — 1
6
___2____
x —>0
eos*+ :
-----1
1
Ln( 1 + x )4 - 4 x + 2x2 - - x 3 + x 4
( i ) lim
------------------------------j-
-v-»° 6 s e n x -6 x + x
© lim
L / / ( l - X ) + t g —
r - » l t ' t g 7T X
eos x.Lnx-a
lim
----------------
v~>fl I « ( e r - e a )
12J //« (—
-------— )
1 Zwx Lux
Rpta. 2
Rpta. — a
n
Rpta. -2
Rpta. 2
Rpta. 2
Rpta. 1
Rpta. 16
Rpta. -2
Rpta. I
Rpta. eos a
Rpta. -1

700. 686 Eduardo Espinoza Ramos
®
Iim xx Rpta. 1
x~*0
© lim(-)seax Rpta. 1
^ x - , 0 x
© limx [ +x2~ l x ~15 Rpta. 26/5
x~*^ x — 5x ■+* 8x “ 6
sen2x + 2sen2 x -2 s e n x „ x .
lim
............................^---------- Rpta. 4
-v eos x -e o s x
m sen x -sen m x _ , ni
17) lint---------------------- Rpta. —
*->o x(cosx-cos/wx) 3
18) l i ni xLn (sen x) Rpta. 0
^ X—>0
19) lint e +SWC 1 Rpta. 2
*-><> Ln( 1 + x)
20) lint ■■■■■ x + L nx= Rpta. -1
• ^ ' l - ^ x - x 2
21) lint ?*-- °°Sx + e - ■ Rpta. 2
v->o xsenx
. . . , sen (o ¡+ x )-se n (a -x ) _
22) !im
---------------------------- Rpta. -ctga
^ »<> cos(a + x) - cos(a - x)
(x-2)ex + x + 2 1
lim-
----- -----—— Rpta. -
.r^o (ex - l f 6
24) H m - tg — Rpta. -
k J JT-+0 x 2 2
7 1 1
25) Hm
----- ------------ Rpta. -
" .v->osen2 1 -c o sx 2

701. Aplicaciones de la Derivada 687
26J lim x1 ' Rpta. e 1
.r —>0
u \ 2/3 , /, 2x3/4
(LtlX) + (1—X )
27) lim
----------—----------- Rpta. 1
sen (x -1 )
28) lim (senx)tg' Rpta. 1
291 Rpta. «
.<•->() t g X - X
(30) lim(
------—=---------Rpta. —
^ '-*1 2(1-V x ) 3(1-V x ) 12
5.31 FUNCIONES HIPERBOLICAS.-
A las funciones trigonométricas a veces se llaman funciones circulares debido a la
estrecha relación que tiene con él circulo x2 +y~ = 1.
En la misma forma ciertas combinaciones de las exponenciales ex , e~x se relaciona con
la hipérbola que son:
Seno hiperbólico, coseno hiperbólico, tangente hiperbólica cotangente hiperbólica ,
secante hiperbólica, cosecante hiperbólica y que denotaremos por: Senh, Cosh, Tgh, Ctgh,
Sech, cosech. respectivamente. Ahora daremos las definiciones de cada una de estas
funciones hiperbólicas.
a) DEFINICION.- La función seno hiperbólico f : R -> R, se define de la forma
siguiente:
/( x ) - s c n h x~
e * - e ‘
lili
donde D f = < -00 ,+0 0 > y R f = < -00 ,+0 0 > . Su gráfica es:

702. 688 Eduardo Espinoza Ramos
b) DEFINICION.- La función coseno hiperbólica f: R —> R, se define de la forma
siguiente:
f Or) = cosh x~-
e*+e~x
donde D f ~ <-oo,+oo> y R, = < -oo,+go > . Su gráfica es:
A la gráfica del coseno hiperbólico se le llama “cateriana”
La cual adopta la forma de un cable flexible y uniforme que cuelga de dos puntos
fijos.
OBSERVACIÓN.- Las funciones Senh x y Cosh x no son independientes pues, de las
dos funciones se tiene:
senh .x ■
Cosh x=
X . - x
e +e
senh2 x •
e2x - 2 + e ~2x
, de donde, cosh2 x- senh2 x = 1
Cosfrx
2x -2 v
2 e + 2 + e

703. Aplicaciones de la Derivada 689
además de:
senh x =
e -e
X . - x
Cosh x =
e +e
ex =senh x + cosh x
e x = cosh x. senh x
c) DEFINICIÓN.- La función tangente hiperbólica f: R —>R se define de la forma
siguiente:
_i- *
e ~ e
+e
donde D r = <-*>,+00 > y Rf = < - ! ,! > . Su gráfico es:
d) DEFINICIÓN.- La función cotangente hiperbólica f: R —>R se define de la forma
siguiente:
x
donde D f = < -oo,0 > U < 0,+oo > y Rf = < -oo,-l > U < l,+oo > . Su gráfica es:

704. 6 9 0 Eduardo Espinoza Ramos
e) DEFINICIÓN.- La función secante hiperbólica f: R-4R define de la forma
siguiente:
donde D f = < -oo,oo > y Rf = < 0,1]. Su gráfica es:
f) DEFINICIÓN.- La función cosecante hiperbólica f: R->R, se define de la forma
siguiente.
/ Ix) ~
donde Df ~< -oo,0 > U < 0,+oo > y R f — < -oo,0 > U < 0,+» > . Su gráfica es:
g) IDENTIDADES FUNDAMENTALES DE LAS FUNCIONES
HIPERBÓLICAS.-
0 cosh2 x -s e n h 2 x = l ( 2) 1 -tg h 2 x = sech2x
(T ) l - c t g h 2 x = -cosech2x ( 7 ) tg h x = — -—
^ c tgh x

705. Aplicaciones de la Derivada 691
©
©
©
©
tío )
senh 2x = 2senh x cosh x ©
senh(x ± y) = senh x.cosh y ± coshx . senhy
cosh(x ± y) = cosh x . cosh y ± senh x.senh y
tgh x ± tgh .y
cosh 2x = cosh2 x + senh2 x
tgh(jc ± y) =
lltg h x . tgh y
©
. _ y .A + B A — B
senh A + senh B - 2 senh(
-------).cosh(-------)
cosh A + cosh B - 2 cosh( ^ +- ^ ). cosh(———)
,2 cosh 2 x - l 2 cosh 2x +1
senh' x =
--------------, cosh x =---------------
©
©
EJEM PLOS DE APLICACION:
Demostrar que: tg(lnx) =
x 2-\
x 2 +1
Solución
Como tgh x ■
e -e e 21 -1
e +e
tgh(lnx) =
2Lnx * Lnx2 -i 2 i
e - l e -1 X -1
+ 1 eLnx +1 X +1
NOTA.- Se ha aplicado las siguientes propiedades
(T ) eLna=a ©
x 2- l
tgh(lnx) = — —
x +1
Arlna = lna
_ 1 + tg h x -,t
Demostrar q u e :
-----------= e~
1 — tgh x
Como tgh x =
e2x-l
e2x +1
Solución
. al reemplazar se tiene

706. 6 9 2 Eduardo Espinoza Ramos
1 +
2 x i 2 x , i . ^ x i 2 x
e -1 e +l + e -1 2e
1 + tgh x _ g^ + i
1 -tg h x e
2 x . i
e +1
-1 e2x + l - e 2x +1
e2*+l _ 2e2x __2*
e2x +1 e2x +1 e2x+l
(T) Demostrar que: (senh x + cosh x)" =cosh n x +senh n x
Solución
1 + tgh x
1 -tg h x
= e
senh x =
e -e
cosh x + senh x = ex
Cosh x = -
(cosh x + senh x)" =enx
senh (nx) ■
cosh (nx) ■
nx - n x
e -e
cosh (nx) + senh (nx) = e" ...(2)
Luego comparando (1) y (2) se tiene que: (coshx + senhx)n = cosh nx + senh nx
© Demostrar que: tgh(-x) = -tghx
Solución
- x - ( - x ) - x X X - x
. , . . e -e v ' e -e e -e . .
tgh(-.v) = — ;
-------------------— = — ----- = —--— = - tgh x
e +e 1 ' e +e e +e
tgh(-x) = -tgh x.
©
Calcular el valor de x si: tgh(lnx) = —
4
Solución
ln * , - l n x -i
é? ~~ (2 1 1
tgh(lnx) : [n +
------bT = - ^ ’ aplicando las propiedades e - a se tiene:

707. Aplicaciones de la Derivada 693
©
I.
©
©
©
©
©
©
©
* — 1
___x_ ___£_
1 4
x + —
X
X -1 _ 1
x~ +1 _ 4
4x2 -4 = - x 2 -1 => 5*2 =3
x = ± ,|— de donde
Calcular el valor de x si senh (ln 2x) = cosh (ln x)
Solución
senh (ln 2x) = cosh (ln x) por definición se tiene:
í,ln2-' - e~,n2x e,nx+e-lDX i i
------------------= -----------------de donde 2x -------= x + — simplificando
-i *
2 2 2 x x
4x2 -1 =2x2 +2 => 2x 2 = 3 => *
, [J . ¡3
= ±J— por lo tanto x = J —
Demostrar las identidades siguientes:
cosh (x ± y) = cosh x. cosh y ± senh x. senh y
senh (x ± y) = senh x. cosh y ± cosh x. senh y
tgh x ± tgh y
tgh(.v ± y) =
1± tgh*. tgh>>
sen A + senh B = 2 senh(
--------) cosh(—— )
cosh A + coshB - 2cosh(^ + -g)cosh(———)
, ,x - v senh x - senh y
tgh(—— ) = —
----------r 1-
2 cosh * + cosh y
sech (-x) = sechx ( s ) cosech(-x) = -cosech x

708. 694 Eduardo Espinoza Ramos
® » n h í = ± f e < Í L £ li 110) coSh | = ± ,lcOShlr + 1
11.
©
Demostrar que:
senh 2x
tgh x :
cosh 2x + l ©
cosh 2x + cosh 4 y
senh 2x +senh 4 y
= c tgh(x + 2y)
( 3) senh2 x - senh2 y = senh(x + y) senh(x - y)
@ senh 3x = 3 senh x + 4 senh3 x © cosh 3x = 4 cosh3 x - 3 cosh;
5,33 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES HIPERBGLICAS.-
Mediante la regla de la derivada de la función exponencial se puede deducir las fórmulas
de derivación de las funciones hiperbólicas.
Sea u una función de x diferenciable, entonces
©
Si y - senh u => ~~ - cosh u.~~
' ih iíx
Si v = coshw =?> w.—
dx dx
( 7 ) Si y = igb 11 => ~ = %cc/r«.
dx
( 4 ) Si y “ ctghu ech2u du
d\
,,. : í;: ' ., dy .>i. , ■ , > da
Si y = seen u s? ™ s= -see h u. tgh u.—
dx dx
Si y - cosech a ~ oc «.í'tgh a . ~
' / í/x " dx

709. Ejemplo.- Hallar la derivada de las siguientes funciones
0 / (x) = ln(senhx3)
Solución
u k fu x (senhx3)' coshx3(x3)' , . 3 , 2
f(x) = ln(senhx') => f (x) =
----------— =------------ — = c tghx 3x
senh x senh x
:.f'(x) = 3x2c tgh x3
(2) f(x) = sech2x + 3cosech2x
Solución
f(x) = sech2x + 2eosech2x => f'(x) = 2 sec/)x.(scnhx) + 6 eosechx.(cosechx)'
= -2 sec h2x. tgh x - 6 eos ech2x.c tgh x
© / ( * ) = .
Aplicaciones de la Derivada 695
tgh x + senh x
senh x - tgh x
Solución
2 cosh2 ~~~
tgh x + senh x senh x(l + cosh x) 1 + cosh x ? , 2 x
------------------=
-----------------------=--- — — =--------------— = c tgh —
senhx -tghx senhx(coshx-l) co shx-1 2 h 2 * ^
... , tghx +senhx , 2 x , x
/ ( * ) = , —
-----------— - Jc tg h — = eig h ­
ty sen h x -tg h x y 2 2
f'(x) =-eos ech2 eos ech2 —
' 2 2 2 2
@ co sh -* . . . „ i .
^2 - v i + cosh2 x
Solución
Simplificando V x * 0 se tiene:

710. 696 Eduardo Espinoza Ramos
. . v y¡2 +Vl-I C O Sh2 X ,2 (V2 +Vl + CO Sh2 x)2 2
f(x)= -
------.................---.senhz x = i — — ---------- — — .senh2 x
V 2 - v l + cosh2 x 2 -1 -c o s h " x
(42 + VT+cosh2 x )2 , 2 (V? + Vi + cosh2 x)2 , 2
=
---------------------------senh x = ----------------------------.senh* a
1 - cosh x senh“ x
f (x) = -(V 2 + v i + cosh2 x) 2, derivando se tiene.
rz í. 71 senh xcoshx
f (x) = -2(V2 + y l + cosh~ x)(0 + -
-----^ ....)
Vi + cosh2 x
..., , - (V2 + Vi + cosh2 x ) senh 2*
••• J w =
---------1— — —-------
Vi + cosh x
dv
Ejemplo.- Usando derivación implícita; hallar y'= —
' dx
y = se n h (x -y )
Solución
y = senh(x - y) => y' = cosh(x - y).(l - y')
=> y'+ cosh(x - y)y' = cosh(x - y)
=> [1 + cosh(x - y)]y' = cosh(x - y) y'
( 2) y = senh(cosh( x 2 + y2 ))
Solución
y' = cosh(cosh (x 2 + y 2 )).(cosh( x 2 + y2))'
>•'= cosh(cosh( x 2 + y 2 )).senh(x2 + y2).(2x + 2y.y')
y'—2 y cosh(cosh( x 2 + y 2 )).senh(x2 + y 2).y'
= 2xcosh(cosh( x 2 + y 2))senh(x2 + y 2 )
cosh(x - y)
1 + cosh(x - y)

711. Aplicaciones de la Derivada 697
[l-2_ycosh(cosh(x2 + y 2))senh(x2 + y 2)]y' = 2xcosh(cosh( x 2 + y 2 ))senh(x2 + y 2)
2x cosh(cosh(x2 + y 2 ))senh(x2 + y 2)
1 - 2 y cosh(cosh(x2 + y 2))senh(x2 + y 2)
@ f(x)=xseDhA
Solución
Tomando logaritmo a ambos miembros se tiene:
Ln( f(x)) = Lnx™hx = senh x.Liix aplicando derivación implícita.
^ xy = cosh x.L//x +senhx.— entonces f'(x) = /(x)(cosh x,L>vc + sen^ X)
f(x) X ‘ ‘ X
y , / \ / , . S e n h X senh j
: .f (x) = (cosh x.Lnx+
--------)x
y + sennx + y-sennx _ ^
y j- s e n h x \ y + senhx
Solución
Elevando el cuadrado a ambos miembros de la igualdad
( f c y e n h £ + b ^ X j . ^ 2
y y -s e n h x yy + senhx
y + senhx y-se:nhx , . y + senhx y -se n h x _
-------------+------------- + 2 = 5 simplificando se tiene - ------------+
---------------= 3
_y-senhx .y + senhx y -s e n h x y + senhx
(y + senhx)2 + (y - s e n h x )2 =3(.y2 -se n h 2 x)
2y 2 + 2 senh2 x = 3,y2 - 3 senh2 x simplificando
>'2 = 5 sen h 2 x derivando implícitamente 2yy’ = 10 senhx coshx despejando y'
, 5 senhx coshx 5senh2x , 5senh2x
V =
--------------------------------= — - — ••• y = —z—
y 2 y 2 y

712. 698 Eduardo Espinoza Ramos
5,34 EJERCICIOS PROPUESTOS mi
Hallar la derivada de las siguientes funciones
( ? ) f(x) = scnh(^¡— i-)
x' - 2
Q ) f(x) = c o sh (^ — 10x+9)
x- + 10X+9
©
©
1 — X + X
f{x) = senh( - )
1 + x + x
f(x) = (— +— ^—) senh x
cosh x cosh x
©
©
©
©
/(-*) =
senh x. cosh x
4 a cosh2 + b see / r ;
/( x ) = tg (^— )
x -1
fi \ . ur*2 ~18x + 32
/ W = tgh(— — — )
x~ + 18x+32
, , , coshx , , , ,x >x
f(x) =
--------~Ln(c tgh(—))
senh . 2
©
©
f ( x ) = tgh(
-----------)
1 - x + x
f(x) = tgh (x -^/x 3 +26)
10) / (x) = ln(cosh x) + -
1
2 cosh"x
12) f(x) =
a + b tgh(x / 2)
a-Z>tgh(x/2)
f(x) = ln[arcsec(
cos(tgh-\/x + -7x)
)]
v 1 , -J2 , + tghx^
/ (x) — — tghx + ~ — ln( V- s )
2 8 1 —s/2 tghx
©
/( x ) =
eos ecAx+ c tgh x
eosechx-c tghx
/ (x) = are. sen(tgh x")
,, v , . x 2 + 7x + 10,
/íx )= t-tg h (— —
-----—)
x 2 - 7x +10
16j f(x)=arcAg(senhx~)
18) / (x) = ln(c tgh 3x - eos ech3x)
t-, * í./ X + 1 i
/(x ) = seeA(—
---------)
x +x + l

713. Aplicaciones de la Derivada 699
II. Usando derivación implícita hallar y'= —
' dx
© ctg(xy) + xy = 0 © cosh (x + y) = y senh x
tgh y = 3x2 + tgh(x + y) y = sen(cosh( x 2 + y 2))
OBSERVACIÓN.- Por medio de las derivadas de las funciones hiperbólicas y la regla
de L’Hospital se puede establecer las propiedades siguientes:
c 0 //w senh x = 0 ( 2 J lim cosh x = 1
vxi '—' v->n
® //» 2 £ ! 5 £ =i @ / » M í
^ J >0 X — jf—>0 X
■ 1
1-senhx „ 1 -co sh x -1
hm© //wi z ! “ 5£ = o (6)
^ jr—>0 r j r —» 0 x jt- > 0 2
Ejemplo.- Calcular el límite de las siguientes fondones
© i,,,,
w <->o 1 - cosh Ix
Solución
®
lin,
v -_ _ v n
l-c o sh 2 x -2senh2x , 4 cosh 2* 4
h m
---------------= lim ----------------= lim----------------—
1 - cosh Ix x-»o - 7 senh7x *-><» 49 cosh Ix 49
senh 9 x -sen h 5x
x cosh x
Solución
senh9x-senh5x 9 co sh9x-5cosh5x 9 - 5 „
hm
---------------------- -- hm--------------------------=-------= 4
v->o x cosh x .v—>o coshx + xsenhx 1 + 0
®
lim
x -se n h 4x
>i» x + senh 5x
Solución
, x -se n h 4 x , l-4 c o s h 4 x 1 -4 -3 1
hm
--------------= hm-----------------=-------= — = —
v >n x + senh 5x >>o l + 5 cosh 5x 1 + 5 6 2

714. 700 Eduardo Espinoza Ramos
( 4) lint
senh(Tr-jt)
©
lint
r—*11
x(n-x)
Solución
senh(7r-jc) -c o s h (^ -x ) -1 1
hm
-------------- = lint-----------------=--------- —
*-nt x(n-x) x->x n -2 x n -2 n n
1 - cosh a x
t-»() 2
Solución
, 1 - cosh a x , -a senh a x , - a 2 cosh a x a2
lint
-------------= lint---------------= lint--------------------------
*-»() x ~ x >0 2x x —>n 2 2
EJERCICIOS PROPUESTOS
Calcular los límites que se indican
senh 15x „ , ,
lint
------------ Rpta. 15
.«»o x
©
, senh 3x „ 3
lint
---------- Rpta. —
*-><> sen 5* 5
®
2 - Jcosh x - cosh x 3
lint
----^-------------------- Rpta. - -
.v—>0 2 4
l-c o s(se n h x ) „ 1
lint
------------------- Rpta. -
*-+° sen (senh 2x) 8

715. Aplicaciones de la Derivada 701
5.35 FUNCIONES HIPERBOLICAS INVERSAS.-
Las funciones hiperbólicas senh x, tgh x, ctgh x y cosech x son inyectivas en todo su
dominio por lo tanto tiene inversas, y las funciones hiperbólicas cosh x, senh x no son
inyectivas, pero si restringimos su dominio en el intervalo [0,+*>>, en éste intervalo las
funciones cosh x, sech x son inyectivas por lo tanto se puede determinar su inversa.
Ahora definiremos la inversa de cada una de estas funciones.
a) DEFINICIÓN.- A la inversa de la función seno hiperbólico denotaremos por
are.senh ó se n h '1 y es definida del modo siguiente:
y ~ arc.scnh x <» % - senh y
í senh(arc. senh x) = x
de donde < . Su gráfica es:
[ are. senh(senh y) = y
b) DEFINICIÓN.- A la inversa de la función coseno hiperbólico denotaremos por
arc.cosh ó cosh 1 y es definido del modo siguiente:
y - a r c * c » s h x o x * cosh y, y > 0
donde su dominio es [l,+x>> y el rango es [0,+«»
í cosh(arc. cosh jc) = x, x > 1
además < . Su gráfica es:
[ are. cosh(cosh y) = y, V S 0

716. 702 Eduardo Espinoza Ramos
c) DEFINICIÓN.- A la función inversa de la tangente hiperbólica denotaremos por
arc.tgh ó tgh”1 y es definida del modo siguiente.
Donde su dominio es < -1 ,1> y su rango es R. Su gráfica es:
d) DEFINICIÓN.- A la inversa de la función cotangente hiperbólica denotaremos
por arc.ctgh ó c tg h '1 y es definido del modo siguiente.
y - arc.ctgb x , x - ctgh y
Donde su dominio es <-*>,-1> u <1, +oo> y el rango R —{0}. Su gráfica es:

717. Aplicaciones de la Derivada 703
e) DEFINICIÓN.- A la inversa de la función secante hiperbólica denotaremos por
arc.sech ó sec h 1 y es definida del modo siguiente:
y = arc.sech x o x M seeb y
donde su dominio es <0, 1] y el rango [0, +«£>. Su gráfico es:
f) DEFINICIÓN.- A la inversa de la función cosecante hiperbólica denotaremos por
arc.cosech x ó eos ech [ y es definida del modo siguiente
; y » arccosecb eose¿#f ;
Donde su dominio es <-oo ,0> U <0, +x> y el rango <-oo, 0> U <0, +oo>.
Su gráfico es:
OBSERVACION.- También a las {unciones hiperbólicas inversas se puede expresar
en términos de logaritmo natural.

718. 704 Eduardo Espinoza Ramos
arc.fótúlx~Ltt(x+4x2 +3}; VxeR
an .cosh x ~ Ln(x +^x2 + 1), para x ¿ 1
1 1 + x
are. Igb x = — !« (-—~ ) . para [x¡ < 1
2 l~x
an x tgh x - -- ¿«f-—~ ) . para |xi> 1
~ 2 1 - x
5.36 DERIVACION DE LAS FUNCIONES HIPERBOLICAS
INVERSAS.- . . v
Sea u una función diferenciable de x, entonces
* 1 1
( l ) y - arc.cosh — - - ~ ^ = , u > }
4u2~i
( 3} y - a te . tgh u(x) => “ » U} X^ , luj < 1
( 4 ) y = arc.etglt u{x> => ~ ~ ~ — —r ; ju¡ > !
:? . : ■ : sá s :§ls¡: § il sí?;:::: w: »I»!:!: 1 ~ U ‘ m i
d* W i --ff
ilí
( f i) y = arc.coseeh u(x) => 4~ ~ , u *■ 0
W ^ i u \ 4 u ^

719. Aplicaciones de la Derivada 705
Ejemplo.- Calcular la derivada de las siguientes funciones
( 1 ) / (x) = x 2 arccos hx1
Solución
2x 2x ^
/ '(x) = 2xarc.coshx2 + x 2 — / ' (x) = 2x arc.coshx2 + -
Vx4 -1 a/x4 -1
( 2) f(x) = Ln(—V /6 + ^ - a r e . tgh(-£=r)
w x +1 3 si 2
Solución
Aplicando propiedades de logaritmo se tiene: f(x) = — Ln(-—-) + — - are. tg h (-^ )
6 x +1 3 V 2
1
4 1 r 1 1 1 , V2 V2 1 , 2 2 1 2
/ W = t [ -----r
-------r] + — = t (-5 ----) +------í ~ =-----5-------------5------
6 x -1 x + 1 3 6 * 2 - l 3(2x ) 3(x -1) 3(x2 - 2 )
2
2
••• / ’(X ) = - *
3(x4 - 3x2 + 2)
J(x) = are. senhe* + are. tgh(—)
x
Solución
Aplicando la regla de derivación se tiene:
ex v2 ex 1 ex
/ '( * ) = / ! + ^ h - = , f - ^ r — ••• /'(* > = -
Ve2jr+1 l - J - 4e2x+l x 2 -l " ■ 4elx +1 * 2 - l
f(x) = arc.senh (Lnx) + Ln(arc.tgh x)
Solución

720. 706 Eduardo Espinoza Ramos
Aplicando la regla de la derivación se tiene
f'(x) | (arc-tgh*)' 1 , (*)'
4Lh2x + 1 are. tgh x V ¿n2x + 1 ( l - x 2)a /t.tg h x
■■■ f ' w = — = L= + — — ------------
xV¿« x + 1 (1 -x )arc.tgh x
537 EJERCICIOS PROPUESTOS,-
I. Hallar / ' (x) si f(x) es dado por:
®
/(.x) = tgh”1 (sen 3x) ©
f(x) = árceos h( eos ecx)
©
f(x) = are. tgh(cos ex)
©
f(x) = Ln4x 2 +1 - x are. tghx
©
f(x) = arcsen/í(tgx)
©
/ (x) = xarc. senh x - Vi + * 2
©
/ (x) = arctg(senhx) - arcsec(coshx)
©
/( x ) = arcsen/;(lnx) + ln(arctg/¡x)
©
, 1
/ (x) = arc. senh e + are. tgh—
X
©
f (x)=3a2 arctg/;J—
-----(3a + 3x)4ax
V x + a
- x 2 , a > 0
II. Hallar — donde
dx
©
arc.tg x = arc.tgh y
©
y 2 +xcosh v + senh2 x = 30
©
arc.senx = sech y ©
cosh2 x -c o s h 2 y = 1
©
arc.tgh x + x arc.cosh y = arc.senh (x+y)
©
arctg h(x + >') = -- [arctg h x + arctg h y]

721. Aplicaciones de la Derivada 707
0 ) v = arctg h — + arctgh — (IT) v = arctg h{ ^ + scnx
' x 2 4 - 5 eos*
y = arctg h{—) + —-
-----— , a>0
' n v
III.
a x
(T ) La gráfica de la ecuación: x = ame.senh J~ T ~ 1 - ^ a 2 - y 2 se denomina tractriz.
— V
Demuestre que la pendiente en la curva en cualquier puesto (x, y) es
-Jn-y2
( 2 ) Sea P(cosh a, sen a). Demostrar que la recta tangente a la hipérbola x 2 - y 2 =1 en su
vértice (1,0) intercepta a la recta OP en el punto (1, tgh a)
^ 3 ) Dadas las funciones definidas por:
x 1
/ (.t) = 4 - are. tg(
-----—) + are. tg — y R(x) = 4 + are.senh (x+2)
l + X- 2
g(x) = - 2 + tg h (x -l) y h(x) = are.tgh('V■■ + ~'X + 4 )- - Ln(-)-2
x- - 5jc + 4 2 5
Hallar el área del rectángulo, tal que el primer vértice en el punto de inflexión de g(x), el
segundo vértice en el punto máximo relativo de f(x), el tercer vértice en el punto extremo
relativo de h(x), y el cuarto vértice en el punto de inflexión R(x). Rpta. 18«2
( 4) Dadas las funciones definidas por f(x) = arc.tg(x + 6) — 1, g(x) = ^ /(x -3 )2 - 1 ,
v2 + x + 9 1
h(x) = 2 - are tghf—
----------) + — L11 6 y la curva dada por la ecuación paramétricas
x -x+ 9 2
x =
61 6/2
y =
-----—, t * 1. Hallar el área del trapecio isósceles con base paralela al eje
l - / 3 ’ ’ 1 -/
x, tal que el primer vértice A es el punto de inflexión de f(x), el segundo vértice B punto
máximo relativo de h(x), el tercer vértice c es un punto que está sobre la asíntota oblicua
de la curva y el cuarto vértice D está sobre ésta asíntota y es punto extremo relativo de
g(x). Rpta. A(-6,-l), B(-3,2), C(0,2), D(3,-l), área = \%u2

722. 7 0 8 Eduardo Espinoza Ramos
© Sea L la recta tangente a la hipérbola x 2 - y 2 =1 en el punto A(cosh u. sen u).
Demostrar que L corta el eje X en el punto (sech u, 0) y el eje Y en (0, -cosech u).
f ó ) Dadas las funciones f y g definidas por f(x) =4 +are. tg(—^— )-are. tg — y
" ' 1+x 2
/ , -> l/*2 + 10x + 9 v 1 r 3 TT „ , . , , .. , . .
gíx) = -3 + are.tgh(—
-------------) — Ln—. Hallar el area del triangulo cuyos verdees
x -10x + 9 2 5
son: El punto (1, -3), el segundo vértice es un extremo relativo de g(x) y el tercer vértice
es el máximo relativo de f(x). Rpta. A = \4u2
538 P1FERENC1ALÉS.-
Consideremos una función f: R —> R, MN el arco de la gráfica de la función y = f(x);
MT es la tangente a la curva en el punto M(xx, / fx-,))
Sea Ax = x - Xj, al cual llamaremos incremento del argumento x en el segmento [x¡, x]
Ay = f(x) - f (xj) , pero como x = x1+Ax , entonces:
Ay = /(X j + A x ) - /( x j) , el cual llamaremos incremento del argumento de la función
A y
y = f(x) en el segmento [x{ ,x] la razón — = tg a , representa el coeficiente angular de la
Ax
recta Ls.

723. Aplicaciones de la Derivada 709
©
©
A . ■ , , Av' /(* ! + A x ) -/(x i)
Ademas wZ,v = tg a = — =
------------------------ y la pendiente de la recta tangente L,
Ax Av­
en e! punto A/(x, , / ( x , )) es:
m i , - & U . Á - f'(xx)^ Km
cix |i|p :
a) DEFINICION.- La diferencial de x. es un incremento cualquiera de la variable
independiente x es decir:
dx~Ax
b) DEFINICIÓN.- La función de la diferencial f (ó variable dependiente y) en un
punto X] es igual al producto de la derivada de f en x¡ por la
diferencial de x es decir: dy = d( f (x j)) = / ’ (x, )dx
d y ~ f ’(xx)dx
c) FÓRMULAS PARA DIFERENC1ALES.-
C'onsideremos dos funciones de x; u = f(x), v = g(x) y c constante, entonces:
©
í de = tí © d(cu) = ciiu
©
; d(u + v)~du+dv ; G ) d(uv) = udv + vdu
©
vdu-udv
d{
V V
Ejemplo.- Hallar la diferencial dy de las siguientes funciones
y = x Lnx-x
Solución
dy = y'dx = (ln.v + 1 - 1 )dx - Inx.rfx
V = are. tg —
a
dy=lnx.dx

724. 710 Eduardo Espinoza Ramos
Solución
Ejemplo.- Hallardysí x2 + 2xy-y2 =a~
Solución
Como dy = y'dx entonces calculando y' se tiene:
i ^ i i , x + v
x ‘ + 2.vv- v" = a" => v =
-—
x - y
dv = y'dx = - ——— dx
x - y
5.39 DIFERENCIALES C O M O UNA A PRO X i MAC! O N.~
Se conoce que dx = Ax. es decir que la diferencial de la variable independiente x coincide
con su incremento además tenemos que:
A y = f(x + A.v) — f(x), dy = J '(c)dx
se observa en el gráfico que el incremento de la función no es igual a la diferencial de la
variable dependiente, es decir que son aproximadamente iguales. Ay = dy, de donde
f(x + Áx)-f(x) = f'(x)dx.
í(x+ Aí) s f(x) + f’íx) Ax
Para calcular el error introducido cuando se utiliza dy para aproximar Ay, cuando Ax es
suficientemente pequeño se tiene:
E = Ay-dy
dv = - ^ - d x
x - v
:.d v
x- +a-
dx

725. Aplicaciones de Ia Derivada 711
dv
/( * , )
se le conoce con el nombre de error relativo
A ——— 100% se le llama error porcentual.
/( * i )
Es decir:
m )
dy
/( i,) !
5.40 DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR.«
Sea f: R-»R una función tal que y = f(x) a la diferencial de f se ha definido por
ahora calcularemos la diferencial de segundo orden de f
d 1 y = d(dy) = d(f'(x)dx) = (f'(x)dx)'dx = [f" (x)dx + f' (x)(dx)']dx = (f"(x)dx + 0)dx
= (f''(x)dx)dx = f'(x)(dx)2
puesto que (dx)'-0 , debido a que dx es independiente de x entonces:
d 2y~ f'(x)(dx)’
en forma análoga se tiene para: d3y = f"{x)(dx)3
Luego en general se tiene que: Si y = f(x) entonces:
EJEM PLO DE APLICACIÓN
( I ) Calcular dysi y = (3x2-2 jt + 1)3

726. 712 Eduardo Espinoza Ramos
Solución
y = (3.v2 - 2.v +1)3 => dy = 3(3.v2 - 2x +1 )(6x — 2)dx
dy = 6(3x2 -2x + l)(3.v-1 )dx
^2 ) Si y = 4x2 -3.y + 1, encontrar A y ,d y .A y -d y para cualquier x y Ax
Solución
Como y = / ( .x) = 4.x2 - 3.x +1, entonces:
Ay = f(x + A x )- T(x) = 4(.v + Ax)2 -3 (x +Av) + l~ (4 x 2 -3 x + l)
= 4x + 8xAx + 4(Av)2 - 3x - 3A.v +1 - 4x2 + 3.x -1 =8.vAv-3A,v + 4(Ax)2
Ay = (8* - 3) At + 4( Ax)2
también: dy = / ’(x)dx = (8x- 3)Ax dy= (8x-3)A x
calculando A v-í/y = (8x-3)Ax + 4(Ax)2 -(8 x -3 )A x = 4(Ax)2
Hallar Ay, dy y E = A y -d y si f(x) = x 2+ 5,x , xx = -1 , Ax = 0.02
Solución
Se conoce que Ay = /(x¡ + Ax) - / (.x,)
Av = / ( - 1 + 0.02) - / ( - l ) = fí-0.98)-fl-1) = (-0.98)2 + 5(-0.98) - (1 - 5)
= 0.9604 - 4.90 + 4 = -3.9396 + 4 = 0.0604.
además dy = f'(x)dx => dy = / ’(-1).(0.02) =(-2+5).(0.02) =3(0.02) = 0.06
dy = 0.06
E = Ay - dy = 0.0604 - 0.06 = 0.0004.

727. Aplicaciones de la Derivada 713
( 7 ) Usando diferenciales calcular el valor de f(3.002). Sí f (x) = x 3 + 2x2 - x +1
Solución
Se sabe que: f(x + Ax) » f(x) + / ' (x)Ax
Luego / (3+ 0.002) * /(3 ) + / ' (3)(0.002)
f(x) = .x3 +2x2 -x + l => f'(x) = 3x2 + 4 x - l
/ ' (3) = 27 + 12—1 = 38
f(3) = 27+ 1 8 -3 + 1 = 43
f(3.002) » 43 + 38(0.002) = 43.076 f(3.002)« 43.076
© Usando diferenciales usar el valor aproximado de ^28
Solución
Sea fia función definida por f(x) = \[x
De donde x = 27 y Ax = 1 reemplazando se tiene: /(2 7 + 1) * /( 2 7 ) + /'(2 7 ).(l)
f(c) = l¡x í/(2 7 )= 3 ^ 2 7 = 3
/ ’(*) = —T T ^ I / “(27) = — = 0.037
3V*2 l 27
/ (28) a /(2 7 + / ' (27)Ax => /( 2 8 ) * 3 + (0.037)(l) = 3.037
.-. /(2 8 ) * /(2 7 ) + / ' (27)0) = 3.037 .'. /(2 8 ) *3.037
Hallar el valor aproximado de £ = -J%L64&L6 mediante diferenciales.
Solución
Definiendo la función / ( * ) = ■Jx'Jx donde x = 81, Ax = 0.6

728. 714 Eduardo Espinoza Ramos
Como £ = /(8 1 + 0.6) * /(81) + /'(81)(0.6)
£ = / ( 8 1 . 6 ) / ( 8 1 ) + /'(81)(0.6)
fix) = -Jxjx /(81) = V W sT = 27
E = 1Í81.6) s 27 + (0.25K0.6) /. V^L6V8L6 »27.15
7; Hallar un valor aproximado mediante diferenciales de (
Solución
5(-l .91)- 4 ( - l ,91)3 +2 2/,
(1.91)2 -0.91
Definamos la función f por:
donde x = 2 y Ax = -0.09, puesto que
( 5(-1.91)-4(-1.91)3 + 2 )2/:, _ ( 5(-1.91) + 4(-1.91)3 +2)2n
(1.91)2 -0.91 (1.91)2 -0.91
como f(x + Aí) « f(x) + f'(x)Ax
/ ( 2 + (-0.09)) = / ( 2 ) + /'(2).(-0.09)
/ (jc) = (- + +2)2n derivando se tiene:
‘ -v 2 -jc + 1
2 x2-x + l . i / 3 / 4x4 — 8x3 +17.V2 — 4x—3
•/ W=TÍ—í
-----------) (------------^ ^ --------->
3 4x3 - 5x + 2 (x —X + 1)-
/■( 2 ) = - (
2 4 - 2 + 1 1,3 6 4 -6 4 + 6 8 - 8 - 3 J9 19
3 3 2 -1 0 + 2 ~ ( 4 - 2 + 1) 2 )_3(3)_9

729. Aplicaciones de la Derivada 715
como / (1.91) * /( 2 ) + /'(2).(-0.09)
( 5(-1.91)-4(-1.91)3 + 2 )2/3 ^ , + 19 ^
(1.91) -0.91 9
( ? ) Calcular aproximadamente el valor de sen 59° si: Sen 60° = 0.86603 y eos 60° = 0.5,
mediante diferenciales.
Solución
Sea f(x) = senx , donde x = 60° y Ax = -1°
Como / (x + Ax)« / (x) + / ' (x)Av entonces /( 6 0 o + (-1 °)) * /( 6 0 o) + / ' (60°)(-l°)
j(x) = senx /( 6 0 o) = sen 60° = 0.86603
/ '( x ) = cosx ^ /'( 6 0 o) = eos 60° = 0.5
. . . . . .v R n n ?
ademas por trigonometría se tiene: -----= — => R = -— -
180 n 180
x = 60° = — , Ax = -1° = — ( - 1 ) = - — = -0.01745
3 180 180
como / (59o) * /( 6 0 o) + / ' (60°)(—1 °)
sen 59° « 0.86603 + (0.5)(-0.01745) .-. sen 59° * 0.857305
© Hallar aproximadamente la variación experimentada por el volumen de un cubo de arista
x cuando esta se incrementa en 1%
Solución
Sabemos que: v = x 3 => dv = 3x2dx
como dx = l%x = O.Olx reemplazando se tiene: dv = 3x2 (O.Olx) = 0.03x2,en?
(ío) Un disco metálico se dilata por la acción del calor de manera que su radio aumenta desde
5 a 5.06 centímetros. Hallar el valor aproximado del incremento del área.
Solución

730. 716 Eduardo Espinoza Ramos
Como el radio aumenta de 5cm a 5.06cm entonces
5.06 = 5 + 0.06, de donde r = 5 y dr = 0.06.
además: A = r i r 2 diferenciando dA = 2Flr dr reemplazando
dA = 2IT(5)(0.06) = 0.6rr de donde dA = 1.88cm2
^ 1 ) Una bola de hielo de lOcm de radio, se derrite hasta que su radio adquiera el valor de
9.8cm. Hallar aproximadamente, la disminución que experimenta su volumen.
Solución
Por dato del problema r = lOcm, dr = 0.2 cm
Además v = diferenciando dv = 4nr2dr = 4;r(100)(0.2) =%0ncm3
dv = 80/T c« r
12J Un cilindro circular recto tiene 10 cm de altura, si el radio cambia de 2 a 2.06 cm. calcular
el cambio aproximado correspondiente al volumen del cilindro y hallar el error porcentual
de cambio en el volumen.
Solución
El volumen del cilindro: V = n r 2h dondeh = 1 Ocm, r = 2 cm y dr = 0.06cm
como V = n r2/¡ => dV = 2rr rh dr
dV = 2tt(1 0)2(0.06) = 2.4/r por lo tanto dv = 2.4tt cm3
dV 2 4 n
el error porcentual es: — 100% =
--------jcI 00% =- 6%
v 40 tt
13j Demostrar que si se comete un error al medir el diámetro de una esfera, el error relativo
del volumen de la esfera es tres veces el error relativo del radio.
Solución

731. Aplicaciones de la Derivada 717
El volumen de la esfera V =
4 7T r
. , dv 4nr2dr dr
Calculando — -=
-------— = 3 —
v 4 /rr' **
5.41 EJERCICIOS PROPUESTOS.
I.
©
©
©
©
©
©
Calcular dy sí
y = x 2 -Jlx + 3
3x
.v- +2
y = tg" .v.sen" x
x + l
' 2.v-l
v = 4.v3 + 5.y2 +1
y =
-Y + 1
A '2 - 1
II. Hallar Ay, dy yE = Ay—dy sí
( ? ) f{ x )-x '+ 3 x 2 -6x-3, * 1 = 2 , Ax = 0.01
©
/ (-Y) = ——— , .Y, = 0 , Ax = 0.1
1 + .Y
© / (x) — — , A-, = 4 , Ax = 0.01
V A '
dV_=3cfr
V ~ r
© y = ctg 2x. cosec2x
®
2 + eos x
y = -
2 -se n a:
2 1 1
y = x sen— x eos —
( ? ) y — x~J\~x2
lo) >■ = 3x2 + 2*Jx
3ax
y ~ , 2 . ,.2

732. 718 Eduardo Espinoza Ramos
©
x 3
/ (x) = — — , x, = 1, Ax = 0.3
x~ +1
IH. Usando diferenciales, calcular el valor que se indica.
©
/(.y) = -v3 + 2x2 - x +1, f(3.002)
©
fix)= .t4 +5.V2
©
f(x) - ^ 5 + 2x . f(2.024)
© fix)
X V1 + JC
©
fix) = x31 + 2 x 32 + 3*5 + 2 x 2 + x + 3, f(0.00009)
©
/ ( J ) = ^ ± L . f(i.91)
x +1
IV. Calcular el valor aproximado de
©
735.5
©
77.45
©
V37.5
0
70.00098
©
a/0.042
©
\l0.009
©
^ 8 2 + 7 8 2
©
\j63
©
V83
©
1
TToT
©
1
\¡25
©
-750
©
VÍ28 Rpta.5.04
©
E’ = [(3.01)2 + (4.0)2 + (12.08)2 ]1/2 ©
V63Ò
©
(2.037)2 - 3
Rpta. 0.355
i
(2.037)2 +5
{(-2.97)

733. Aplicaciones de la Derivada 719
17) - 4 = Rpta. 0.5032
“ J V31
18) '^0.999 Rpta. 0.9999
19) VÍ22 Rpta. 4.96
20) ¿ = 7+[5 + (2.99) ] Rpta. 0.99918
^ [270-(2.99) ]
V.
Se encontrará con un posible error de 0.01 pulg. Que la medida de la arista de un cubo es
15 pulg. Usando diferenciales encontrar el error aproximado al calcular con esta medida.
a) El volumen b) El área de una de las caras
Rpta. a) d V = 6.75pwlg3 b) dA = 0.3pu\g2
© La altura de un cono recto circular es el doble del radio de la base. Al medir se encontró
que la altura es de 12 pulg. Con un posible error de 0.005 pulg. Encontrar el error
aproximado en el volumen calculado del cono. Rpta. dV = 0.18zr pu lg3
© Un tanque cilindrico abierto tiene una capa de 1/8 pulg. de espesor. Si el radio interior es
de 6 pulg. y la altura es de 10 pulg, encontrar usando diferenciales, la cantidad
aproximada de pintura que se necesita. Rpta. dV = pu lg3 .
8
© La medida de la arista de un cubo de 15cm, con un error posible de 0.0lcm. Empleando
las diferenciales, halle el error aproximado al evaluar.
a) el volumen
Rpta. a) 6.75 cm3
b) el área de una de las caras
b) 0.3cm2

734. 720 Eduardo Espinoza Ramos
( ? ) Un tanque cilindrico tendrá un revestimiento de 2cm de espesor. Si la radio interior tiene
6m y la altura es de lOm, calcule mediante las diferenciales la cantidad aproximada de
12 ,
material de revestimiento que se usara. Rpta. — nm
© Una quemadura en la piel de una persona tiene la forma de una circunferencia tal que si r
centímetros es el radio de A cm2 es el área de la lesión, entonces A = n r2. Use la
diferencial para determinar la disminución aproximada en el área de la quemadura cuando
el radio decrece de 1 cm a 0.8cm. Rpta. 0.47T cm2
© Un tumor situado en el cuerpo de una persona tiene una forma esférica tal que si r
centímetros es el radio y V cm3 es el volumen del tumor, entonces v = — r 3 utilice la
3
diferencial para hallar el crecimiento aproximado en el volumen del tumor cuando el
radio aumenta de 15cm a l.cm. Rpta. 0.9 ncm2'.
© La medida de la resistencia eléctrica de un alambre es proporcional a la medida de su
longitud e inversamente proporcional a la medida de su diámetro. Suponga que la
resistencia de un alambre de longitud dada se calcula a partir de una medición del
diámetro con un error posible del 2%. Encuentre el posible error porcentual en el valor
calculado de la resistencia. Rpta. 4%
El error posible en la medición del volumen de un gas es de OApie3 y el error permitido
en la presión es de 0.001 cld r ¡ pie2 . Halle el tamaño del recipiente más pequeño con el
cual es válida la ley de Boye.
© Una caja metálica de forma cúbica de 64pu lg3 de volumen interior, tiene por caras,
planchas de % pulgadas de espesor. Si el costo de metal a emplearse es de 8 dólares
por pu lg3 aplicando las diferenciales hallar el costo aproximado del metal que se
empleará en la construcción de la caja. Rpta. 96 dólares

735. Aplicaciones de la Derivada 721
(7?) El diámetro de una esfera de 9cm, al medirlo se introduce un posible error de
± 0.05cm ¿Cuál es el error porcentual posible en el cálculo del volumen?
(Í2) Se mide el diámetro de una esfera y con el resultado se calcula el valor de su volumen, si
el máximo error posible al medir el diámetro es 0.02cm y el error máximo aceptable al
calcular el volumen es de 3cm3 ¿cuál es el diámetro aproximado de la esfera más grande a
f3"
la que puede aplicarse estas condiciones? Rpta. 10J-— cm.
V n
Si el radio de la base de un cono circular recto es la mitad de su altura y si el radio de la
base mide 2 cm. con un posible error de 0.01, aproximar el error posible cometido al
calcular el volumen. Rpta. AV = 0.80n
© Un contratista acuerda pintar ambos lados de 1,000 rótulos redondos, cada uno de los
cuales tiene un radio de 3m. Al recibir los rótulos, se descubre que el radio tiene lem
más. Emplee las diferenciales para calcular el aumento porcentual aproximado de pintura
que se necesitará. Rpta. 2.77% de aumento.

736. 722 Eduardo Espinoza Ramos
BIBLIOGRAFÍA
(1 ^ Calculus Volumen I por: Tom M. Apóstol
0 Análisis Matemático por: Protter Morrey
© Análisis Matemático Tomo 1 por: L. D. Kudriavtsev
( 7 ) Cálculo con Geometría por: Louis Leithold
( ? ) Cálculo y Geometría Analítica por: Larson —Hostetle
( 7 ) Análisis Matemático Volumen I por: Hasser - Lasalle - Sullivan
( 7) Cálculo de una y Varias Variables con Geometría
Analítica por: Saturnino L. Sales, Einar Hile
( ? ) Cálculo con Geometría por: Edwin J. Purcell
© Cálculo y Geometría Analítica por: Sherman K. Stein
Matemática Superior para Ingeniería por: C. R. Wylie J. R.
( f ¡) Matemática Superior para matemáticos, físicos e
ingenieros Volumen I por: R. Rothe
^ 2) Cálculo Avanzado por: Murray R. Spiegel
(d) Cálculo Diferencial e Integral por: Banach
^ 4) Cálculo Infinitesimal por: Smith - Longly y Wilson
( í ^ Cálculo con Geometría Analítica por: John B. Fraleich
^ 6 ) Análisis Matemático por: M. N. Bentebol, J. Margalef
© Ejercicios y problemas de matemática superior
Tomo I por: P. Danko Popov.

737. Bibliografia 723
(18) Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático por: B. Demidovich.
(T9) Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático por: G. N, Berman
^ o ) Cálculo Diferencial e Integral Tomo I. II por: N. Piskunov
(21) 5000 problemas de Análisis Matemático por: B. P. Demidovich
(22) Análisis de una Variable Real por: Celso Martínez, Carracedo, Miguel A. Sanz Alix
(23) Cálculo Diferencial e integral por: Granville-Smith - Langley
(24) Cálculo con Geometría Analítica por: R.E. Johnson - F.L. Kiokemeister - E.S. Wolk.
(25) Cálculo por: James Stewart
(26) Calculus Tomo 1, II por: Michel Spivak
(27) Problemas de las Matemáticas Superiores I, II por: V. Bolgov, A. Karakulin, R.
(28) Cálculo Diferencial e Integral por: Yu Takeuchi
(29) Cálculo Infinitesimal con Geometría Analítica por: G.B. Thoinas
(30) Principios de Análisis Matemático por: E. LINÉS.
( 3 ^ Calculo con Geometría Analítica por: EDWARDA y PENNEY
(32) Calculo de una Variable por: FINNEY - DEMANA - WAITS - KENNEDY
^ 3 ) Calculo de una Variable por: CLAUDIO PITA RUIZ
(34) Calculo I por: ALVARO PINZON

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' |j | Geometría Analítica Plana
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