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Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Análisis matricial de estructuras
por el método de la rigidez
Apuntes
Resolución de problemas
Introducción a los Elementos finitos
Brayan D. Novely
Edición revisada
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2

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Análisis matricial de estructuras por el
método de la rigidez
Apuntes

Brayan D. Novely Cabrales

Ingeniero Civil, Universidad de Pamplona
Especialista en Análisis y Diseño de estructuras,
Universidad del Norte

Revisión técnica

Andrés Fernando Guzmán Guerrero , Dr. Ing.
Docente asociado a Universidad del Norte

Ingeniero Civil, Universidad Nacional de Colombia
Magíster en Ingeniería Civil, Universidad de los Andes
Doctor en Ingeniería, Universidad de los Andes

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Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Acerca del autor

Brayan D. Novely (Riohacha, 1989) es un ingeniero civil joven egresado
de la Universidad de Pamplona , Colombia, facultad de ingenierías y
arquitectura, Especialista en análisis y diseño de estructuras de la
Universidad del Norte.

Ha realizado diversos trabajos de consultoría en el área de evaluación
sísmica y diseño estructural en concreto reforzado. Ostenta trabajos de
investigación en su alma mater relacionados con la evaluación del módulo
de elasticidad estático del concreto, presentando modelos matemáticos
para la obtención de este parámetro vital en el análisis y el diseño de
estructuras de hormigón reforzado.

Actualmente se desempeña como consultor en la ingeniería estructural e
instructor en el Servicio Nacional de aprendizaje (SENA), en el programa de
obras civiles.

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Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Catalogación bibliográfica

Análisis Matricial de estructuras por el método de la rigidez
Problemas Resueltos e introducción a los elementos finitos

Autor: Novely Cabrales, Brayan D.
Derechos de autor reservado

Correo electrónico: [email protected]
[email protected]

Editor: INDEPENDIENTE
Colombia, 2015

Área: Ingeniería Estructural

Formato: Carta 20.0 cm x 25.0 cm

Esta obra se realizó de forma libre y abierta con la intención de apoyar la
formación y enseñanza académica en la disciplina de estructuras
específicamente el análisis estructural a estudiantes de pregrado y postgrado.
No está permitido el tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna
forma o cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por
registro u otros métodos, con fines comerciales sin la autorización del autor.

TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS 2016

Impreso en Colombia

5

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Prólogo

Este texto, originado a partir de las notas de clase del módulo de Análisis
estructural en el Postgrado de Análisis y diseño de estructuras de la
Universidad del Norte, se realizó con el fin de plasmar el ejercicio académico
desarrollado en este y contribuir a modo de apoyo a estudiantes y profesores
de ingeniería civil a nivel de Pregrado y Postgrado en el aprendizaje y
enseñanza del análisis estructural.

Se denomina análisis es tructural al cálculo de las fuerzas internas y
deformaciones que desarrollan los elementos de una estructura cuando ésta
se ve sometida a la aplicación de cargas externas.

La finalidad del cálculo matricial consiste en agrupar toda la información
necesaria en matrices que relacionan todas las variables como son las cargas,
propiedades mecánicas de los miembros de la estructura y los
desplazamientos desconocidos, que a su vez describen ecuaciones de
equilibro en todos los nudos de la estructura, por lo tanto la solución puede
ser de manera automática mediante el uso de programas o software de
ordenadores que es la práctica habitual hoy en día.

En esta oportunidad se presenta el método de la rigidez o método de los
desplazamientos para el análisis de estructuras bidimensionales, que consiste
en la relación de una carga y el desplazamiento que esta produce asumiendo
un comportamiento elástico y lineal del material para un estado de pequeñas
deformaciones, o también se puede definir la rigidez como la fuerza necesaria
para producir un desplazamiento unitario en el sentido y dirección de la
carga.

El método de los elementos finitos es realmente una extensión del método de
la rigidez ya que requiere subdividir la estructura en elementos discretos y
sus extremos definidos como nodos; estos elementos no solo son de tipo
barra sino que pueden ser tridimensionales de distintas formas geométricas
que modelan en mayor complejidad un problema físico.

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Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

El texto de conceptualización general y sentido práctico, esta enfatizado en la
resolución de una diversidad de ejercicios y presenta una metodología
sencilla con el fin encontrar la respuesta en base a las propiedades elásticas
de la estructura, además lleva al lector a comprender la forma en que operan
programas de diseño reconocidos como SAP2000, ETABS, ANSYS, COMSOL,
MIDAS GEN entre otros, ya que se basan en esta teoría.

El texto se divide en cinco capítulos. En el capítulo 1 se exponen los
conceptos generales del método así como la matriz de rigidez para cada tipo
de elemento sea armadura, viga o pórtico con la matriz de transformación de
coordenadas con su respectiva demostración y su aplicabilidad para cada
elemento.

En los capítulos 2,3 y 4 se analizan ejercicios de cerchas, vigas y pórticos
respectivamente con su metodología de análisis teniendo en cuenta las
condiciones de frontera propuesta en los ejercicios. En el capítulo 5 se
presentan problemas que permiten vislumbrar los conceptos y la filosofía del
método de los elementos finitos y la confiabilidad del método de la rigidez y
límites de su aplicabilidad en estructuras cuyos elementos son en concreto.

Brayan D. Novely

A Dios, fuente de mi inspiración.

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Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Índice de contenido

CAPÍTULO 1 9
CONCEPTOS GENERALES 9
1.1 Matriz de rigidez local 9
1.1.1 Elemento tipo cercha 9
1.1.2 Elemento tipo viga 11
1.1.3 Elemento tipo pórtico 13
1.2 Matriz de transformación de coordenadas 15
1.3 Matriz de rigidez global de los elementos 18
CAPÍTULO 2 19
CERCHAS 19

2.1 Ejercicio 1. Cercha asimétrica con elementos inclinados 19
2.2 Ejercicio 2. Cercha rectangular con elementos inclinados 38
CAPÍTULO 3 59
VIGAS 59

3.1 Ejercicio. Viga de tres luces con cargas puntual, continua y variable. 59
3.2 Ejercicio. Viga de dos luces y sección en voladizo 72

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Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

CAPÍTULO 4 77
PÓRTICOS PLANOS 77

4.1 Análisis de pórtico simple con elemento en diagonal. 77
4.2 Análisis de un pórtico con carga distribuida sobre elemento inclinado. 96
CAPÍTULO 5 111
INTRODUCCIÓN A LOS E LEMENTOS FINITOS 111

5.1 Análisis de una viga con inercia variable y sección trapezoidal. 112
5.2 Ejercicio 5.1 realizado en sap2000 versión académica 131
5.3 Análisis sísmico de pórtico bidimensional de concreto con base en el
reglamento NSR-10. 153
5.4 Análisis de la sección trasversal de un puente apoyado sobre una
columna. 179
APÉNDICE A 197
Momentos de empotramiento en vigas 197
BIBLIOGRAFIA 198

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Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Capítulo 1
CONCEPTOS GENERALES
Este capítulo presenta la matriz de rigidez local de los elementos planos tipo
cercha, viga y pórtico con la representación de los grados de libertad para
cada elemento. Se incluye la matriz de transformación de coordenadas
locales a globales con su respectiva demostración la cual se utilizará en la
resolución de los diferentes ejercicios.

Para el completo entendimiento de la metodología presentada es necesario
tener conocimientos previos de álgebra matricial y el manejo de a lo sumo un
programa donde se puedan operar eficientemente matric es como Matlab,
Scilab, Excel, Mathcad, entre otros.
1.1 Matriz de rigidez local
1.1.1 Elemento tipo cercha

Un elemento tipo cercha (Fig. 1.1.1 -a) solo presentará fuerzas axiales
internas siempre y cuando las cargas externas sean aplicadas en los nudos de
la cercha y los apoyos sean rotulados para que no se desarrollen momentos
flectores. Para el elemento mostrado a continuación la matriz de rigidez será
la presentada en la figura 1.1.1-b.

Figura 1.1.1-a. Elemento tipo cercha

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Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Figura 1.1.1-b. Matriz de rigidez para un elemento tipo
Cercha, solo consideración axial

Dónde:

A: es el área de la sección transversal del elemento
E: módulo de elasticidad del material
L: longitud del elemento

Para facilitar las operaciones matriciales en el presente texto, la numeración
de los grados de libertad (gdl) para el elemento y la matriz de rigidez local se
representan de manera numérica (Figuras 1.1.1-c, 1.1.1-d).

Figura 1.1.1-c. Elemento tipo cercha con los gdl representados
numéricamente X1 Y1 X2 Y2
0 0 X1
0 0 0 0 Y1
0 0 X2
0 0 0 0 Y2
1 2 3 4
[ k ] =

-

-

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Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Figura 1.1.1-d. Matriz de rigidez de un elemento tipo cercha
Representado por los grados de libertad numéricamente.

1.1.2 Elemento tipo viga

La matriz de rigidez de un elemento viga (figura 1.1.2-a) sin consideración de
la rigidez axial será la presentada en la figura 1.1.2-b.

Figura 1.1.2-a. Elemento tipo viga

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Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Figura 1.1.2-d. Matriz de rigidez para un elemento tipo viga sin
consideración axial ni aportes de cortante.

Dónde:

Iy: es el momento de inercia de la sección transversal de l elemento con
respecto al eje y, para este sistema de referencia.

La matriz mostrada en la Figura 1.1.2-b, solo sería aplicable para vigas sin el
estudio de la rigidez axial, la principal solicitación para estos elementos es a
cortante y flexión, En caso de tener cargas inclinadas sobre la viga y se
desean conocer la fuerzas axiales se utiliza la matriz de rigidez de un
elemento pórtico que si involucra esta variable.

Para facilitar las operaciones matriciales en el presente texto se trabajaran
los grados de libertad de manera numérica en coordenadas locales del
elemento (figuras 1.1.2-c, 1.1.2-d).

Figura 1.1.2-c. Elemento tipo viga representado numéricamente Z1 Y1 Z2 Y2
Z1
Y1
Z2
Y2
[k]=

-

-

-

-

-

-

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Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Figura 1.1.2-b. Matriz de rigidez para un elemento tipo viga sin
consideración axial ni aportes de cortante representada
numéricamente

1.1.3 Elemento tipo pórtico

La matriz de rigidez de un elemento tipo pórtico (figura 1.1.3 -a) sin la
consideración por aportes de cortante es la representada en la figura 1.1.3-b.

Figura 1.1.3-a. Elemento tipo pórtico.

1 2 3 4
1
2
3
4
[k]=

-

-

-

-

-

-

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Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Figura 1.1.3-b. Matriz de rigidez de un elemento tipo pórtico sin la
consideración de aportes de cortante

Al igual que en los elementos tipo cercha y vigas, Para facilitar las
operaciones matriciales se trabajaran los grados de libertad en coordenadas
locales del elemento como se aprecia en las figuras 1.1.3-c y 1.1.3-d.

Figura 1.1.3-c. Elemento tipo pórtico representado numéricamente
X1 Z1 Y1 X2 Z2 Y2
0 0 0 0 X1
0 0 Z1
0 0 Y1
0 0 0 0 X2
0 0 Z2
0 0 Y2
=[k]

-

-

-

-

-

-

-

-

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Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Figura 1.1.3-d. Matriz de rigidez de un elemento tipo pórtico sin la
consideración de aportes de c ortante representada numéricamente
1.2 Matriz de transformación de coordenadas
La matriz de rigidez de toda la estructura será en las coordenadas globales
establecidas X, Y y Z, por lo tanto es necesario rotar el sistema coordenado local de
cada elemento al global. Para este fin, se dará uso de la matriz de transformación de
coordenadas obtenida de la figura 1.2-a.

Figura 1.2-a. Rotación del sistema coordenado local a global 1 2 3 4 5 6
0 0 0 0 1
0 0 2
0 0 3
0 0 0 0 4
0 0 5
0 0 6
[k]=

-

-

-

-

-

-

-

-

Tx= Tx’cos Ɵ – Tz’sen Ɵ
Tz= Tx’sen Ɵ + Tz’cos Ɵ

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Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Matricialmente se obtiene

Dado que el ángulo de giro alrededor del eje Y no se ve afectado por la rotación del
sistema, se concierne que el giro del eje local coincide con el global, de esta manera
se afecta la matriz de rotación con esta nueva identidad (caso elemento de pórticos).

Despejando en coordenadas locales, resulta

Tx cosƟ-senƟ Tx'
Tz senƟcosƟ Tz'
= Tx cosƟ-senƟ 0 Tx'
Tz senƟcosƟ 0 Tz'
ɸ 0 0 1 ɸ
= Tx' cosƟ-senƟ 0 Tx
Tz' senƟ cosƟ 0 Tz
ɸ 0 0 1 ɸ
=
-1

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Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Se obtiene entones la matriz de rotación del sistema

Locales Matriz de rotación Globales

Matriz de rotación

Por lo tanto, la matriz de rotación con los 6 grados de libertad para un elemento tipo
pórtico mostrado en la Figura 1.1.3-a. será:

Figura 1.2-b. Matriz de transformación de coordenadas para un elemento
tipo pórtico

Tx' cosƟsenƟ 0 Tx
Tz' -senƟcosƟ 0 Tz
ɸ 0 0 1 ɸ
= Tx1' cosƟsenƟ 0 0 0 0 Tx1
Tz1' -senƟcosƟ 0 0 0 0 Tz1
ɸ1' 0 0 1 0 0 0 ɸ1
Tx2' 0 0 0 cosƟsenƟ 0 Tx2
Tz2' 0 0 0 -senƟcosƟ 0 Tz2
ɸ2' 0 0 0 0 0 1 ɸ2
= *

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Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

La matriz de rotación para un elemento tipo cercha será el presentado en la figura
1.2-c.

Figura 1.2-c. Matriz de transformación de coordenadas para un elemento
tipo cercha

Para los elementos tipo viga la matriz de rigidez local coincidirá siempre con la global
ya que este tipo de elementos por lo general no tienen inclinación, es decir el ángulo
será igual a 0 por lo tanto no será necesario aplicar la matriz de transformación de
coordenadas.
1.3 Matriz de rigidez global de los elementos
La matriz de rigidez global de un elemento está dada por:

K global= [T’]*[K local]*[T]

Dónde:

[T]: es la matriz de rotación del sistema
[T’]: es la transpuesta de T
[k local ]: es la matriz de rigidez local del elemento en estudio.

Tx1' cosƟ senƟ 0 0 Tx1
Tz1' -senƟcosƟ 0 0 Tz1
Tx2' 0 0 cosƟ senƟ Tx2
Tz2' 0 0 -senƟcosƟ Tz2
= *

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Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Capítulo 2
CERCHAS
2.1 Ejercicio 1. Cercha asimétrica con elementos inclinados

Para la cercha mostrada en la figura 2.1-a. Determine el desplazamiento
horizontal y vertical en el punto D y la fuerza interna del elemento AC ,
Considere A=1 cm
2
y E=200 000 MPa.

Figura 2.1-a.

Resolución:

Propiedades de los elementos

A=0,0001 m
2
E=200 000 000 kPa

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Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

 Numeración de los grados de libertad y elementos de la cercha

La numeración de los grados de libertad en una estructura será arbitraria,
pero los que estén asociados a las restricciones cinemáticas (reacciones),
deberán estar agrupados preferiblemente al inicio o al final de la numeración
para facilitar el desarrollo de las operaciones matriciales.

Figura 2.1-b. Numeración de los grados de libertad y elementos de la
cercha

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Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

 Resumen de las propiedades de los elementos de la cercha

Nota: los ángulos son medidos desde el eje global x positivo hasta el eje local
longitudinal positivo del elemento (anti horario).

Matriz de rigidez local y global de los elementos de la cercha

La matriz de rigidez local de un elemento cercha expresando sus grados de
libertad numéricamente como se expresó en capítulo 1, está dada por

Área (m2) L (m) ángulo
Elemento 1 0,00010 2,83 135°
Elemento 2 0,00010 2,24 63,43°
Elemento 3 0,00010 4,47 116,56°
Elemento 4 0,00010 2,00 90°
Elemento 5 0,00010 4,12 75,96° 1 2 3 4
0 0 1
0 0 0 0 2
0 0 3
0 0 0 0 4
1 2 3 4
[ k ] =

-

-

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Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Donde

A: es el área de la sección transversal del elemento
E: módulo de elasticidad del elemento
L: longitud del elemento

Remplazando los valores de área, longitud y módulo de elasticidad de los
elementos se obtiene la matriz de rigidez local de los elementos.

Elemento 1

Angulo de rotación 135° (2,36 rad).

??????&#3627408388;
??????
=
&#3627409358;,&#3627409358;&#3627409358;&#3627409358;&#3627409359;&#3627409358;∗&#3627409360;&#3627409358;&#3627409358; &#3627409358;&#3627409358;&#3627409358; &#3627409358;&#3627409358;&#3627409358;
&#3627409360;,&#3627409366;&#3627409361;

??????&#3627408388;
??????
=&#3627409365;&#3627409358;&#3627409365;&#3627409360; ,&#3627409359;&#3627409361;&#3627409363; ????????????/??????

Asociando la rigidez a axial (EA/L) en kN/m a la Matriz de rigidez en
coordenadas locales presentada en la figura 1.1.1-d resulta: E= 200000000 kpas
L= 2,83 m
A= 1,0 cm2
A= 0,0001 m2
Ѳ= 135,00 °
Ѳ= 2,36 rad

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Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

La numeración representa los g rados de libertad locales descritas en el
primer capítulo, Para un Angulo de rotación de 135 ° medido desde el eje
global X positivo al eje longitudinal del elemento (antihorario) y
sustituyéndolo en la matriz de transformación de coo rdenadas para un
elemento cercha, se obtiene

Se obtiene

Realizando la operación matricialmente K global = [T’]*[K local]*[T] se
obtiene la matriz de rigidez global del elemento (girado los 135 °), la
numeración hace correspondencia con los grados de libertad glob ales
mostrados en la Figura 2.1-b,” ya que el elemento fue girado”.
1 2 3 4
7072,14 0 -7072,14 0 1
0 0 0 0 2
-7072,14 0 7072,14 0 3
0 0 0 0 4
[ k
1 ] = cosƟsenƟ 0 0
-senƟcosƟ 0 0
0 0 cosƟsenƟ
0 0-senƟcosƟ
=[ T ] -0,71 0,71 0 0
-0,71 -0,71 0 0
0 0 -0,71 0,71
0 0 -0,71 -0,71
[ T ] =

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Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

En la siguiente ilustracion se puede apreciar la correspondencia de los grados
de ibertad locales y globales, por que los grados de libertad 3 y 4
permanecen igules en la matriz global y la forma en que opera la matriz de
rotación del sistema resuelta en el primer capítulo.

Matriz de rigidez global del elemento 1 en kN/m resulta

Locales 1 2 3 4
Globales 5 6 3 4
3536,07 -3536,07 -3536,07 3536,0751
-3536,07 3536,07 3536,07 -3536,0762
-3536,07 3536,07 3536,07 -3536,0733
3536,07 -3536,07 -3536,07 3536,0744
Globales
Locales
[T'][k][T] =

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Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Elemento 2

Angulo de rotación 63,43° (2,36 rad).

Matriz de rigidez en coordenadas locales kN/m será

Matriz de rotación para 63,43°

E= 200000000 kpas
L= 2,24 m
A= 1,0 cm2
A= 0,0001 m2
Ѳ= 63,43 °
Ѳ= 1,11 rad 1 2 3 4
8944,54 0,00 -8944,54 0,0 1
0,00 0,00 0,00 0,0 2
-8944,54 0,00 8944,54 0,0 3
0,0 0,0 0,0 0,0 4
[ k
2 ] = 0,447 0,894 0,0 0,0
-0,894 0,447 0,0 0,0
0,0 0,0 0,447 0,894
0,0 0,0 -0,894 0,447
[ T ] =

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Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Matriz de rigidez global del elemento 2: K global= [T’]*[K local]*[T]

Elemento 3

Angulo de rotación 116,56° (2,03 rad).

Matriz de rigidez con coordenadas locales en kN/m

5 6 1 2
1789,53 3578,28 -1789,53 -3578,285
3578,28 7155,02 -3578,28 -7155,026
-1789,53 -3578,28 1789,53 3578,281
-3578,28 -7155,02 3578,28 7155,022
[K
2] = E= 200000000 kpas
L= 4,47 m
A= 1,0 cm2
A= 0,0001 m2
Ѳ= 116,56 °
Ѳ= 2,03 rad 1 2 3 4
4472,27 0,00 -4472,27 0,00 1
0,00 0,00 0,00 0,00 2
-4472,27 0,00 4472,27 0,00 3
0,00 0,00 0,00 0,00 4
[ k
3 ] =

27

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Matriz de rotación para 116,56°

Matriz de rigidez global del elemento 3 en kN/m

Elemento 4

Angulo de rotación 90° (1,57 rad).

-0,447 0,894 0,0 0,0
-0,894 -0,447 0,0 0,0
0,0 0,0 -0,447 0,894
0,0 0,0 -0,894 -0,447
[ T ] = 7 8 3 4
894,14 -1788,67 -894,14 1788,677
-1788,67 3578,13 1788,67 -3578,138
-894,14 1788,67 894,14 -1788,673
1788,67 -3578,13 -1788,67 3578,134
[K
3] = E= 200000000 kpas
L= 2,00 m
A= 1,0 cm2
A= 0,0001 m2
Ѳ= 90,00 °
Ѳ= 1,57 rad

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Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Matriz de rigidez local en kN/m

Matriz de rotación para 90°

Matriz de rigidez en coordenadas globales del elemento 4 en kN/m

1 2 3 4
10000,00 0 -10000,00 0 1
0 0 0 0 2
-10000,00 0 10000,00 0 3
0 0 0 0 4
[ k
4 ] = 0,0 1,0 0,0 0,0
-1,0 0,0 0,0 0,0
0,0 0,0 0,0 1,0
0,0 0,0 -1,0 0,0
[ T ] = 7 8 5 6
0,0 0,0 0,0 0,0 7
0,0 10000,0 0,0 -10000,08
0,0 0,0 0,0 0,0 5
0,0 -10000,0 0,0 10000,06
[ K
4 ] =

29

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Elemento 5

Angulo de rotación 75,96° (1,33 rad).

Matriz de rigidez local en kN/m

Matriz de rotación para 75,96°

E= 200000000 kpas
L= 4,12 m
A= 1,0 cm2
A= 0,0001 m2
Ѳ= 75,96 °
Ѳ= 1,33 rad 1 2 3 4
4850,84 0,00 -4850,84 0,00 1
0,00 0,00 0,00 0,00 2
-4850,84 0,00 4850,84 0,00 3
0,00 0,00 0,00 0,00 4
[ k
5 ] = 0,243 0,970 0,0 0,0
-0,970 0,243 0,0 0,0
0,0 0,0 0,243 0,970
0,0 0,0 -0,970 0,243
[ T ] =

30

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Matriz de rigidez en coordenadas globales del elemento 5 en kN/m

Matriz de rigidez de la cercha

Para obtener la matriz de rigidez de toda la estructura, se tendrá en cuenta
que la rigidez concentrada en un nodo es la suma de las contribuciones de la
rigidez de todos los elementos estructurales conectados a tal nodo, por lo
tanto se suma la rigidez que aporta cada elemen to de su matriz de rigidez
global, al final esta será cuadrada y simétrica del tamaño de los grados de
libertad establecidos en la numeración de la estructura, es decir matriz de
K8x8.

Ejemplo:

K1,2= (K1,2)
e1
+ K1,2
e2
+ K1,2
e3
+ K1,2
e4
+ K1,2
e5

K1,2= (0,0) + (3578) + (0,0) + (0,0) + (1141)
K1,2= 4720 kN/m

K 8, 5= K 8, 5
e1
+ K 8, 5
e2
+ K 8, 5
e3
+ K 8, 5
e4
+ K 8, 5
e5

K 8, 5= 0,00 + 0,00 + 0,00 + 0,00 + 0,00
K 8, 5= 0,00 kN/m

K 8, 7= K 8, 7
e1
+ K 8, 7
e2
+ K 8, 7
e3
+ K 8, 7
e4
+ K 8, 7
e5

K 8, 7= 0,00 + 0,00 + (-1788,67) + (0,00) + 1141,43
K 8, 7= -647,24 kN/m 7 8 1 2
285,37 1141,43 -285,37 -1141,437
1141,43 4565,46 -1141,43 -4565,468
-285,37 -1141,43 285,37 1141,431
-1141,43 -4565,46 1141,43 4565,462
[ K
5 ] =

31

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

De esta manera se suman todas las rigideces que aportan cada elemento y se
ensambla la matriz de rigidez de toda la estructura.

Matriz de rigidez global de la cercha

Los grados de libertad entre 1 y 4, están asociados a las fuerzas
desconocidas de la cercha y sus desplazamientos serán 0, la matriz esta en
unidades de kN/m.

Vector de fuerzas actuantes en la cercha (F) en kN

1 2 3 4 5 6 7 8
2074,9 4719,7 0,0 0,0 -1789,5 -3578,3 -285,4 -1141,4 1
4719,7 11720,5 0,0 0,0 -3578,3 -7155,0 -1141,4 -4565,5 2
0,0 0,0 4430,2 -5324,7 -3536,1 3536,1 -894,1 1788,7 3
0,0 0,0 -5324,7 7114,2 3536,1 -3536,1 1788,7 -3578,1 4
-1789,5 -3578,3 -3536,1 3536,1 5325,6 42,2 0,0 0,0 5
-3578,3 -7155,0 3536,1 -3536,1 42,2 20691,1 0,0 -10000,0 6
-285,4 -1141,4 -894,1 1788,7 0,0 0,0 1179,5 -647,2 7
-1141,4 -4565,5 1788,7 -3578,1 0,0 -10000,0 -647,2 18143,6 8
[ Ke ] = gdlfuerzas
1 Bx
2 By
3 Ax
4 Ay
5 0
6 0
7 0
8 -90
Solo en el grado de libertad 8 existe una
fuerza externa, por lo tanto los otros
grados de libertad donde se presentaran
desplazamiento no hay fuerzas externas,
las fuerzas Bx, By, Ax y Ay son
desconocidas, y corr esponden a las
reacciones.
Fuerzas
Desconocidas
(Reacciones)
Fuerzas
Conocidas

32

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Vector de desplazamientos

Se sabe que La rigidez (K) está dada por:

??????=
&#3627408389;
??????

La matriz de rigidez global de la cercha está estructurada como se muestra
en la figura 2.1-c, conforme a la distribución de los grados de libertad
establecidos en la discretización

Representado la ecuación F=K*U con los esquemas matriciales del ejercicio
resulta

Figura 2.1-c. Representación general de la matriz de rigidez global de
la estructura
Fuerzas Desplazamientos
F
desconocidas
KttKt0 0
F conocidas K0tK00 U
=
Rigidez gdlfuerzas
1 2 3 4 5 6 7 8
[U]
1 Bx 2074,9 4719,7 0,0 0,0 -1789,5 -3578,3 -285,4 -1141,4 1 0,01
2 By 4719,7 11720,5 0,0 0,0 -3578,3 -7155,0 -1141,4 -4565,5 2 0,02
3 Ax 0,0 0,0 4430,2 -5324,7 -3536,1 3536,1 -894,1 1788,7 3 0,03
4 Ay 0,0 0,0 -5324,7 7114,2 3536,1 -3536,1 1788,7 -3578,1 4 0,04
5 0 -1789,5 -3578,3 -3536,1 3536,1 5325,6 42,2 0,0 0,0 5 U5
5
6 0 -3578,3 -7155,0 3536,1 -3536,1 42,2 20691,1 0,0 -10000,0 6 U6
6
7 0 -285,4 -1141,4 -894,1 1788,7 0,0 0,0 1179,5 -647,2 7 U7
7
8 -90 -1141,4 -4565,5 1788,7 -3578,1 0,0 -10000,0 -647,2 18143,6 8 U8
8
= x
Donde F es la carga y U el desplazamiento elástico que
produce dicha carga.

Ktt Kt0
K0t K00
Uc
Ud
Fd
Fc

33

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Resolviendo la matriz, se obtiene

Fd = [Ktt] [Uc] + [Kto] [Ud]
Fd= [Kto][Ud] ecu. 1

FC = [K0t] [0] + [K00][Ud]
FC= [K00][Ud] ecu. 2

Despejando los desplazamientos desconocidos (Ud) de la ecuación 2, Se
obtiene:

[Ud] = [K00]
-1
[FC] (Desplazamientos para las fuerzas conocidas)

Y las fuerzas desconocidas (Reacciones) serán la aplicación de la ecuación 1

[Fd]= [Kt0] [Ud] (Reacciones de la estructura)

Se sustrae la sub matriz de rigidez donde están asociadas las fuerzas
conocidas (K00) para calcular los desplazamientos que estas producen en la
cercha aplicando la ecuación anterior.

5 6 7 8
5325,59 42,21 0,00 0,00 5
42,21 20691,08 0,00 -10000,00 6
0,00 0,00 1179,51 -647,24 7
0,00 -10000,00 -647,24 18143,60 8
[K
00]=
0
0

34

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Obteniendo la inversa de la matriz Kc:

Los desplazamientos generados por las fuerzas externas aplicadas sobre la
cercha serán: [U]= [K00]
-1
[P]

Resolviendo matricialmente se obtiene:

U5= 0,0000266 m
U6= -0,0033575 m
U7= -0,0038120 m
U8= -0,0069469 m
5 6 7 8
0,00018778 -0,00000053 -0,00000016 -0,00000030 5
-0,00000053 0,00006636 0,00002047 0,00003731 6
-0,00000016 0,00002047 0,00087105 0,00004236 7
-0,00000030 0,00003731 0,00004236 0,00007719 8
[K
00]
-1
= 5 6 7 8 Fcgdl
0,00018778 -0,00000053-0,00000016-0,00000030 0 5
-0,00000053 0,00006636 0,00002047 0,00003731 0 6
-0,00000016 0,00002047 0,00087105 0,00004236 0 7
-0,00000030 0,00003731 0,00004236 0,00007719 -90 8
[U]= X
El desplazamiento horizontal y vertical en el
Nodo D será:
U7=-0,0038120 m ≈ 3,81 mm H ◄
U8=-0,0069469 m ≈ 6,947 mm V ▼

35

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Figura 2.1-c. Deformada de la cercha debido a la aplicación de la
carga de 90 kN en el nodo D.

Fuerza interna del elemento AC

Se sustraen los desplazamientos globales del elemento AC (elemento 1)
teniendo en cuenta el número correspondiente a cada grado de libertad.

U5= 0,00002661 m
U6= -0,00335751 m
U3= 0
U4= 0

36

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Es necesario conocer los desplazamientos locales del eleme nto para
determinar su fuerza axial interna, así como establecer si el elemento está
sometido a esfuerzos de tracción o compresión, para lo anterior se multiplica
matricialmente la matriz de rotación del elemento por los desplazamientos
globales calculados, de esta manera se obtiene

[U Locales]= [T]*[U Globales]

Donde la matriz de rotación “T” es

Se establece la operación matricial

u1= -0,002393 m
u2= 0,002355 m
u3= 0,00000 m
u4= 0,00000 m

Para obtener la fuerza axial interna del elemento se parte de la hipótesis
principal del método, donde la rigidez es igual a una fuerza F sobre el
desplazamiento elástico que esta produce.
cosƟsenƟ 0 0
-senƟcosƟ 0 0
0 0 cosƟsenƟ
0 0-senƟcosƟ
=[ T ] Ug gdl
-0,707 0,707 0,000 0,000 0,000027 5
-0,707 -0,707 0,000 0,000 -0,003358 6
0,000 0,000 -0,707 0,707 0,000000 3
0,000 0,000 -0,707 -0,707 0,000000 4
[U] = X
Estos son los desplazamientos
locales del elemento 1.

37

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

??????=
F
U

F = [K local]* [U local] (elemento 1).

Se obtiene

Resolviendo matricialmente se obtiene la fuerza interna del elemento:

Bx= -16,92 kN
By= 0 kN
Ax= 16,92 kN
Ay= 0 kN

Teniendo en cuenta que los valores obtenidos anteriormente corresponden a
la fuerza interna del elemento en sus coordenadas locales se determina el
tipo de esfuerzo al que está sometido el elemento , en este caso son de
tensión, ya que f1 es negativo es decir actúa en dirección contraria a la
supuesta inicialmente, mientras que f3 es positiva como se observa en la
figura 2.1-d, como se esperaba las fuerzas f2 y f4 serán cero porque es la
funcionalidad de este tipo de elementos.

Figura 2.1-d

Fuerza axial del elemento será 16,92 kN (Tensión) U
L gdl
7072,14 0,00 -7072,14 0,00 -0,002393
1
0,00 0,00 0,00 0,00 0,002355
2
-7072,14 0,00 7072,14 0,00 0,000000
3
0,00 0,00 0,00 0,00 0,000000
4
[f]= X

38

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

2.2 Ejercicio 2. Cercha rectangular con elementos inclinados

Para la cercha mostrada en la figura 2.2 -a. Determine el desplazamiento
vertical en el nudo C y la fuerza interna del elemento BF, Considere A=1.27
cm
2
y E=200 000 MPa.

Figura. 2.2-a

Resolución:

Propiedades de los elementos

A=0,000127 m
2
E=200 000 000 kPa

39

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

 Numeración de los grados de libertad y elementos de la cercha

Figura 2.1-b. Numeración de los grados de libertad y elementos de la
cercha

 Resumen de las propiedades de los elementos de la cercha

Nota: los ángulos son medidos desde el eje global x positivo al eje longitudinal del elemento. Area (m2) L (m) Angulo
Elemento 1 0,000127 1,20 90
Elemento 2 0,000127 1,44 56,309
Elemento 3 0,000127 1,20 90
Elemento 4 0,000127 1,56 50,194
Elemento 5 0,000127 1,20 90
Elemento 6 0,000127 0,80 0
Elemento 7 0,000127 1,00 0
Elemento 8 0,000127 0,80 0
Elemento 9 0,000127 1,00 0

40

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Matriz de rigidez local y global de los elementos de la cercha

Elemento 1

Angulo de rotación 90° (1,57 rad).

??????&#3627408388;
??????
=
&#3627409358;,&#3627409358;&#3627409358;&#3627409358;&#3627409359;&#3627409360;&#3627409365;∗&#3627409360;&#3627409358;&#3627409358; &#3627409358;&#3627409358;&#3627409358; &#3627409358;&#3627409358;&#3627409358;
&#3627409359;,&#3627409360;

Por lo tanto la rigidez axial del elemento 1 será:

??????&#3627408388;
??????
=&#3627409360;&#3627409359; &#3627409359;&#3627409364;&#3627409364;,&#3627409364;&#3627409365; ????????????/??????

Sustituyendo el valor en la Matriz de rigidez local en kN/m se obtiene

E= 200000000 kpas
L= 1,20 m
A= 1,270 cm2
A= 0,0001270 m2
Ѳ= 90,00 °
Ѳ= 1,57 rad 1 2 3 4
21166,67 0,00 -21166,67 0,0 1
0,00 0,00 0,00 0,0 2
-21166,67 0,00 21166,67 0,0 3
0,0 0,0 0,0 0,0 4
[ k
1 ]=

41

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Matriz de rotación del elemento: Angulo de rotación 90° (1,57 rad).

Matriz de rigidez global del elemento en kN/m

Elemento 2

Angulo de rotación 56,309° (0,98 rad).

0,000 1,000 0,000 0,000
-1,000 0,000 0,000 0,000
0,000 0,000 0,000 1,000
0,000 0,000 -1,000 0,000
[ T ] = 1 2 3 4
0,00 0,00 0,00 0,00 1
0,00 21166,67 0,00 -21166,672
0,00 0,00 0,00 0,00 3
0,00 -21166,67 0,00 21166,674
[ K
1 ]= E= 200000000 kpas
L= 1,4420 m
A= 1,270 cm2
A= 0,0001270 m2
Ѳ= 56,309 °
Ѳ= 0,98 rad

42

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Matriz de rigidez local en kN/m

Matriz de rotación del elemento: Angulo de rotación 56,309° (0,98 rad).

Matriz de rigidez global del elemento en kN/m

1 2 3 4
17614,42 0,00 -17614,42 0,0 1
0,00 0,00 0,00 0,0 2
-17614,42 0,00 17614,42 0,0 3
0,0 0,0 0,0 0,0 4
[ k
2] = 0,555 0,832 0,000 0,000
-0,832 0,555 0,000 0,000
0,000 0,000 0,555 0,832
0,000 0,000 -0,832 0,555
[ T ] = 1 2 5 6
5420,09 8129,84 -5420,09 -8129,841
8129,84 12194,34 -8129,84 -12194,342
-5420,09 -8129,84 5420,09 8129,84 5
-8129,84 -12194,34 8129,84 12194,346
[ K
2] =

43

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Elemento 3

Angulo de rotación 90° (1,57rad).

Matriz de rigidez local del elemento en kN/m

Matriz de rotación del elemento para 90°

E= 200000000 kpas
L= 1,2000 m
A= 1,270 cm2
A= 0,0001270 m2
Ѳ= 90,000 °
Ѳ= 1,57 rad 1 2 3 4
21166,67 0,00 -21166,67 0,0 1
0,00 0,00 0,00 0,0 2
-21166,67 0,00 21166,67 0,0 3
0,0 0,0 0,0 0,0 4
[ k
3 ] = 0,0 1,0 0,0 0,0
-1,0 0,0 0,0 0,0
0,0 0,0 0,0 1,0
0,0 0,0 -1,0 0,0
[ T ] =

44

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Matriz de rigidez global del elemento en kN/m

Elemento 4

Angulo de rotación 50,19° (0,88 rad).

Matriz de rigidez local del elemento en kN/m

11 12 5 6
0,00 0,00 0,00 0,00 11
0,00 21166,67 0,00 -21166,6712
0,00 0,00 0,00 0,00 5
0,00 -21166,67 0,00 21166,676
[ K
3 ] = E= 200000000 kpas
L= 1,5620 m
A= 1,270 cm2
A= 0,0001270 m2
Ѳ= 50,194 °
Ѳ= 0,88 rad 1 2 3 4
16261,20 0,00 -16261,20 0,0 1
0,00 0,00 0,00 0,0 2
-16261,20 0,00 16261,20 0,0 3
0,0 0,0 0,0 0,0 4
[ k
4] =

45

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Matriz de rotación del elemento a 50,19°

Matriz de rigidez global en kN/m

Elemento 5

Angulo de rotación 90° (1,57 rad).

0,640 0,768 0,000 0,000
-0,768 0,640 0,000 0,000
0,000 0,000 0,640 0,768
0,000 0,000 -0,768 0,640
[ T ] = 11 12 7 8
6664,55 7997,34 -6664,55 -7997,3411
7997,34 9596,66 -7997,34 -9596,6612
-6664,55 -7997,34 6664,55 7997,34 7
-7997,34 -9596,66 7997,34 9596,66 8
[ K
4] = E= 200000000 kpas
L= 1,2000 m
A= 1,270 cm2
A= 0,0001270 m2
Ѳ= 90,000 °
Ѳ= 1,57 rad

46

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Matriz de rigidez local en kN/m

Matriz de rotación del elemento a 90°

Matriz de rigidez global del elemento en kN/m

1 2 3 4
21166,67 0,00 -21166,67 0,0 1
0,00 0,00 0,00 0,0 2
-21166,67 0,00 21166,67 0,0 3
0,0 0,0 0,0 0,0 4
[ k
5 ] = 0,0 1,0 0,0 0,0
-1,0 0,0 0,0 0,0
0,0 0,0 0,0 1,0
0,0 0,0 -1,0 0,0
[ T ] = 9 10 7 8
0,0 0,0 0,0 0,0 9
0,0 21166,7 0,0 -21166,710
0,0 0,0 0,0 0,0 7
0,0 -21166,7 0,0 21166,7 8
[ K
5 ] =

47

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Elemento 6

Angulo de rotación 0° (0 rad).

Matriz de rigidez local en kN/m

Matriz de rotación; como no hay rotación del elemento la matriz de rotación
tendrá solo el valor de uno en su diagonal (matriz identidad), multiplicando
matricialmente por la matriz de rigidez local del elemento se obtendrá la
misma matriz de rigidez local.

E= 200000000 kpas
L= 0,8000 m
A= 1,270 cm2
A= 0,0001270 m2
Ѳ= 0,000 °
Ѳ= 0,00 rad 1 2 3 4
31750,00 0,00 -31750,00 0,0
1
0,00 0,00 0,00 0,0
2
-31750,00 0,00 31750,00 0,0
3
0,0 0,0 0,0 0,0
4
[ k
6 ] = 1,0 0,0 0,0 0,0
0,0 1,0 0,0 0,0
0,0 0,0 1,0 0,0
0,0 0,0 0,0 1,0
[ T ] =

48

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Matriz de rigidez global del elemento en kN/m

Elemento 7

Angulo de rotación 0° (0 rad).

Matriz de rigidez local en kN/m

3 4 5 6
31750,00 0,00 -31750,00 0,00 3
0,00 0,00 0,00 0,00 4
-31750,00 0,00 31750,00 0,00 5
0,00 0,00 0,00 0,00 6
[ K
6 ] = E= 200000000 kpas
L= 1,0000 m
A= 1,270 cm2
A= 0,0001270 m2
Ѳ= 0,000 °
Ѳ= 0,00 rad 1 2 3 4
25400,00 0,00 -25400,00 0,0 1
0,00 0,00 0,00 0,0 2
-25400,00 0,00 25400,00 0,0 3
0,0 0,0 0,0 0,0 4
[ k
7 ] =

49

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Matriz de rotación del elemento para 0°

Matriz de rigidez global del elemento en kN/m

Elemento 8

Angulo de rotación 0° (0 rad).

1,000 0,000 0,000 0,000
0,000 1,000 0,000 0,000
0,000 0,000 1,000 0,000
0,000 0,000 0,000 1,000
[ T ] = 5 6 7 8
25400,00 0,00 -25400,00 0,00 5
0,00 0,00 0,00 0,00 6
-25400,00 0,00 25400,00 0,00 7
0,00 0,00 0,00 0,00 8
[ K
7 ] = E= 200000000 kpas
L= 0,8000 m
A= 1,270 cm2
A= 0,0001270 m2
Ѳ= 0,000 °
Ѳ= 0,00 rad

50

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Matriz de rigidez local en kN/m

Matriz de rotación del elemento para 0°

Matriz de rigidez global en kN/m

1 2 3 4
31750,00 0,00 -31750,00 0,0 1
0,00 0,00 0,00 0,0 2
-31750,00 0,00 31750,00 0,0 3
0,0 0,0 0,0 0,0 4
[ k
8 ] = 1,0 0,0 0,0 0,0
0,0 1,0 0,0 0,0
0,0 0,0 1,0 0,0
0,0 0,0 0,0 1,0
[ T ] = 1 2 11 12
31750,00 0,00 -31750,00 0,00 1
0,00 0,00 0,00 0,00 2
-31750,00 0,00 31750,00 0,00 11
0,00 0,00 0,00 0,00 12
[ K
8 ] =

51

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Elemento 9

Angulo de rotación 0° (0 rad).

Matriz de rigidez local en kN/m

Matriz de rotación para 0°

E= 200000000 kpas
L= 1,0000 m
A= 1,270 cm2
A= 0,0001270 m2
Ѳ= 0,000 °
Ѳ= 0,00 rad 1 2 3 4
25400,0 0,0 -25400,0 0,0 1
0,0 0,0 0,0 0,0 2
-25400,0 0,0 25400,0 0,0 3
0,0 0,0 0,0 0,0 4
[ k
9 ] = 1,000 0,000 0,000 0,000
0,000 1,000 0,000 0,000
0,000 0,000 1,000 0,000
0,000 0,000 0,000 1,000
[ T ] =

52

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Matriz de rigidez global en kN/m

Matriz de rigidez global de la cercha (kN/m)

La matriz de rigidez de toda la cercha o armadura, se ensambla de igual
manera como efectuó para el ejercicio 1.1, sumando los aportes de rigidez
global de cada elemento a los nodos de la misma.

11 12 9 10
25400,00 0,00 -25400,00 0,00 11
0,00 0,00 0,00 0,00 12
-25400,00 0,00 25400,00 0,00 9
0,00 0,00 0,00 0,00 10
[ K
9 ] = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
37170,1 8129,8 0,0 0,0 -5420,1 -8129,8 0,0 0,0 0,0 0,0 -31750,0 0,0 1
8129,8 33361,0 0,0 -21166,7 -8129,8 -12194,3 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 2
0,0 0,0 31750,0 0,0 -31750,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 3
0,0 -21166,7 0,0 21166,7 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 4
-5420,1 -8129,8 -31750,0 0,0 62570,1 8129,8 -25400,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 5
-8129,8 -12194,3 0,0 0,0 8129,8 33361,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -21166,7 6
0,0 0,0 0,0 0,0 -25400,0 0,0 32064,5 7997,3 0,0 0,0 -6664,5 -7997,3 7
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 7997,3 30763,3 0,0 -21166,7 -7997,3 -9596,7 8
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 25400,0 0,0 -25400,0 0,0 9
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -21166,7 0,0 21166,7 0,0 0,0 10
-31750,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -6664,5 -7997,3 -25400,0 0,0 63814,5 7997,3 11
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -21166,7 -7997,3 -9596,7 0,0 0,0 7997,3 30763,3 12
[KE]=

53

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Vector de fuerzas actuantes

Vector de desplazamientos

Para obtener los desplazamientos se aplica el procedimiento del ejercicio
anterior, los cuales estarán dados por:

[U]= [K00]
-1
[FC] Fc: son fuerzas conocidas

Se sustrae la sub matriz de rigidez (K00) que asocia las fuerzas externas
conocidas y los desplazamientos desconocidos (ver figura 2.1-c del ejercicio
1.1). gdlFuerzas
1 Ax
2 Ay
3 Bx
4 By
5 0
6 -15
7 0
8 -10
9 0
10 -15
11 0
12 0
El vector describe las fuerzas externas que
actúan sobre la estructura y el grado de
libertad asociado a esa fuerza, por ejemplo
en el grado de libertad vertical No 8 actúa 10
kN, en la dirección de la gravedad, en
nuestro sistema de referencia será negativo.

54

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Obteniendo la inversa de la matriz Kc:

Los desplazamientos generados por las fuerzas actuantes en la estructura
estarán dados por: [U]= [KOO]
-1
[FC]

5 6 7 8 9 10 11 12
62570,09 8129,84 -25400,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 5
8129,84 33361,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -21166,67 6
-25400,00 0,00 32064,55 7997,34 0,00 0,00 -6664,55 -7997,34 7
0,00 0,00 7997,34 30763,32 0,00 -21166,67 -7997,34 -9596,66 8
0,00 0,00 0,00 0,00 25400,00 0,00 -25400,00 0,00 9
0,00 0,00 0,00 -21166,67 0,00 21166,67 0,00 0,00 10
0,00 0,00 -6664,55 -7997,34 -25400,00 0,00 63814,55 7997,34 11
0,00 -21166,67 -7997,34 -9596,66 0,00 0,00 7997,34 30763,32 12
[K
00]= 5 6 7 8 9 10 11 12
0,00003 -0,00002 0,00003 -0,00005 0,00000 -0,00005 0,00000 -0,00002 5
-0,00002 0,00010 -0,00002 0,00011 0,00000 0,00011 0,00000 0,00010 6
0,00003 -0,00002 0,00007 -0,00008 0,00000 -0,00008 0,00000 -0,00002 7
-0,00005 0,00011 -0,00008 0,00035 0,00003 0,00035 0,00003 0,00016 8
0,00000 0,00000 0,00000 0,00003 0,00007 0,00003 0,00003 0,00000 9
-0,00005 0,00011 -0,00008 0,00035 0,00003 0,00040 0,00003 0,00016 10
0,00000 0,00000 0,00000 0,00003 0,00003 0,00003 0,00003 0,00000 11
-0,00002 0,00010 -0,00002 0,00016 0,00000 0,00016 0,00000 0,00014 12
[K
OO]
-1
= 5 6 7 8 9 10 11 12
Fc
0,000031 -0,000021 0,000031 -0,000047 0,000000 -0,000047 0,000000 -0,000021 5 0 5
-0,000021 0,000096 -0,000021 0,000114 0,000000 0,000114 0,000000 0,000096 6 -156
0,000031 -0,000021 0,000071 -0,000080 0,000000 -0,000080 0,000000 -0,000021 7 0 7
-0,000047 0,000114 -0,000080 0,000354 0,000026 0,000354 0,000026 0,000161 8 -108
0,000000 0,000000 0,000000 0,000026 0,000071 0,000026 0,000031 0,000000 9 0 9
-0,000047 0,000114 -0,000080 0,000354 0,000026 0,000401 0,000026 0,000161 10 -1510
0,000000 0,000000 0,000000 0,000026 0,000031 0,000026 0,000031 0,000000 11 0 11
-0,000021 0,000096 -0,000021 0,000161 0,000000 0,000161 0,000000 0,000143 12 0 12
[ U ] = X

55

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

U5= 0,001496 m
U6= -0,004278 m
U7= 0,002316 m
U8= -0,010541 m
U9= -0,000656 m
U10= -0,011250 m
U11= -0,000656 m
U12= -0,005459 m

Figura 2.2-c. Deformada de la cercha debido a las cargas

Calculo de las reacciones de la cercha

Las reacciones se calculan igual que el ejercicio anterior, si se conocen los
desplazamientos, estos se multiplican matricialmente por la sub matriz de
rigidez asociada a las fuerzas desconocidas (K0t)

Fd= [Kt0]*[U] donde Fd son las fuerzas desconocidas (Reacciones)

Aplicando la ecuación anterior, se obtiene
El desplazamiento horizontal y vertical en el
Nodo C será:

U9= -0,000656 m ≈ 0,656 mm H ◄
U10= -0,0112 m ≈ 11,20 mm V ▼

56

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Ax= 47,5 kN
Ay= 40,0 kN
Bx= -47,5 kN
By= 0,0 kN

Figura 2.2-d. Reacciones en los apoyos de la cercha

[U]
0,0014965
5 6 7 8 9 10 11 12
-0,004286
-5420,1-8129,8 0,0 0,0 0,0 0,0 -31750,0 0,0
1
0,0023167
-8129,8-12194,3 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
2
-0,010548
-31750,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
3
-0,000669
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
4
-0,0112510
-0,0006611
-0,0054612
8x1
X[F]=
4x8

57

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Fuerza axial del elemento BF

Sustrayendo los desplazamientos globales del elemento BF (elemento 4) y
teniendo en cuenta el número correspon diente a cada grado de libertad, se
obtiene

U11= -0,000656 m
U12= -0,005459 m
U7= 0,002316 m
U8= -0,010541 m

Se calculan los desplazamientos locales del elemento dando uso a la matriz
de rotación para el ángulo de este elemento que es 50,19° (0,88 rad).

[U local]= [T]*[U global]

De esta manera se establece la operación matricial como sigue

u1= -0,00461 m
u2= -0,00299 m
u3= -0,00661 m
u4= -0,00853 m U
globales
0,640 0,768 0,000 0,000 -0,000656
-0,768 0,640 0,000 0,000 -0,005459
0,000 0,000 0,640 0,768 0,002316
0,000 0,000 -0,768 0,640 -0,010541
4 x 1
X[ u
4 local] =
4 x 4
Estos son los despla zamientos
locales del elemento 4.

58

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Para calcular la fuerza interna del elemento se multiplica matricialmente la
matriz de rigidez local del elem ento por sus desplaza mientos locales
respectivamente.

??????=
F
U

f = [K local]* [U local]

Se obtiene la operación matricial

Resolviendo matricialmente se obtiene la fuerza axial interna del elemento:

f1= 32,54 kN
f2= 0,0
f3= -32,54 kN
f4= 0,00

Mediante la resolución de la fuerza interna del elemento se observa que está
sometido a esfuerzos de compresión, como se observa en la figura 2.1-e. en
cuanto a las fuerzas f2 y f3, serán cero puesto que se trata de una cercha y
solo se considera el aporte axial como se mencionó en el capítulo 1 de
presente texto.

Figura 2.2-e 1 2 3 4
U
locales
16261,20 0,00 -16261,20 0,00 1 -0,004611
0,00 0,00 0,00 0,00 2 -0,002992
-16261,20 0,00 16261,20 0,00 3 -0,006613
0,00 0,00 0,00 0,00 4 -0,008534
4 x 1
X[ f
4 ]
=
4 x 4

59

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Capítulo 3
VIGAS

3.1 Ejercicio. Viga de tres luces con cargas puntual, continua y
variable.

Para la viga en concreto mostrada en la figura 3.1-a, encontrar las reacciones
y el giro en el punto D, considere E= 20 GPa.

Figura 3.1-a
Resolución:

Propiedades de la sección de la viga

A=0,10 m
2
Iy=0,001333 m
4

E=20 000 000 kPa

60

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

 Numeración de los grados de libertad y elementos de la viga

Solo se tendrán en cuenta los grados de libertad verticales y giros ya que la
viga estará sometida solo a fuerzas cortantes y flexión como se mencionó en
el primer capítulo, como no existen cargas con componentes en la dirección
X, la fuerza axial en cualquiera de los tres elementos será cero.

La enumeración de los grados de libertad se realiza de manera que queden
agrupados aquellos que no tienen restricción cinemática y los demás
corresponderán a las reacciones de la viga, como se aprecia en la figura 3.1-b

Figura 3.1-b Discretizacion de la viga

Como se estableció en la discretización de la viga solo se estudiaran tres
elementos conectados por sus nodos A, B, C y D, por lo tanto se llevaran las
fuerzas equivalentes generadas por las distintas cargas sobre los elementos a
cada nodo, para ello se asume la condición de empotramiento perfecto de los
elementos y se calculan las reacciones para cada uno como se muestra en la
figura 3.1-c. al final las fuerzas actuantes serán la suma de los efectos de las
cargas de cada elemento teniendo en cuenta su dirección y magnitud, estas
actuaran sobre la viga en el sentido contrario a la supuesta reacción.

61

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Figura 3.1-c

Las fuerzas que actúan en los grados de libertad establecidos para el
presente análisis son las que se presentan en la figura 3.1-d y 3.1-e, después
de realizar la suma de los efectos debido a las cargas, y aplicación de la
estática en el elemento 3 para obtener las reacciones verticales.

Figura 3.1-d

62

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Figura 3.1-e. Fuerzas actuantes en los nodos de la viga

De esta manera se obtienen las fuerzas actuantes sobre la viga, La dirección
predominante de la carga corresponde a la de mayor magnitud, estas actúan
en la dirección opuesta a reacción idealizada.

Matriz de rigidez local y global de los elementos de la viga

Para la obtención de la matriz de rigidez local de los elementos se sustituyen
los valores de E, Iz y L en la matriz mostrada en el primer capítulo para
vigas.

Elemento 1

Angulo de rotación 0° (0,0 rad). L=5.0 m

E= 20000,00
E= 20000000,000 kpas
L= 5,00 m
B 0,25 m
H 0,40 m
A= 0,1000000
I= 0,0013333
Ѳ= 0,00 °

63

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

12EIy/L
3
= 2560 kN/m
6EIy/L
2
= 6400 kN/m
2EIy/L = 10666,67 kN/m
4EIy/L = 21333,33 kN/m

Matriz de rigidez en coordenadas locales en kN/m

Como los elementos de la viga están alineados horizontalmente no se
presentaran rotaciones y no será necesario el uso de la matriz de
transformación de coordenadas del sistema local a global ya q ue coinciden,
siendo directamente la matriz de rigidez local la global, solo se agrega la
correspondencia de los grados de libertad locales a los globales de la viga
según el elemento.

1 2 3 4
2560,00 6400,00 -2560,00 6400,001
6400,00 21333,33 -6400,0010666,672
-2560,00-6400,00 2560,00 -6400,003
6400,00 10666,67 -6400,0021333,334
[ k
1 ] = 1 2 3 8
2560,00 6400,00 -2560,00 6400,001
6400,00 21333,33 -6400,0010666,672
-2560,00-6400,00 2560,00 -6400,003
6400,00 10666,67 -6400,0021333,338
[ K
1 ] =

64

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Elemento 2

Angulo de rotación 0° (0,0 rad).

Matriz de rigidez en coordenadas locales en kN/m

Al igual que el elemento 1, el No 2 está alineado horizontalmente por lo tanto
no se presentaran rotaciones y no será necesario el uso de la matriz de
transformación de coordenadas del sistema local a global ya que coinciden.
Solo se realiza la correspondencia de los grados de libertad locales a los
globales de la viga según el elemento.

E= 20000,00
E= 20000000,000 kpas
L= 4,50 m
B 0,25 m
H 0,40 m
A= 0,1000000
I= 0,0013333
Ѳ= 0,00 ° 1 2 3 4
3511,66 7901,23 -3511,66 7901,231
7901,23 23703,70 -7901,2311851,852
-3511,66-7901,23 3511,66 -7901,233
7901,23 11851,85 -7901,2323703,704
[ k
2 ] =

65

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Matriz de rigidez en coordenadas globales

Elemento 3

Angulo de rotación 0° (0,0 rad).

3 8 4 7
3511,66 7901,23 -3511,66 7901,233
7901,23 23703,70 -7901,2311851,858
-3511,66-7901,23 3511,66 -7901,234
7901,23 11851,85 -7901,2323703,707
[ K
2 ] = E= 20000000,0 kpas
L= 5,50 m
B 0,25 m
H 0,40 m
A= 0,1000000
I= 0,0013333
Ѳ= 0,00 ° 1 2 3 4
1923,37 5289,26 -1923,37 5289,261
5289,26 19393,94 -5289,26 9696,972
-1923,37-5289,26 1923,37 -5289,263
5289,26 9696,97 -5289,2619393,944
[ k
3 ] =

66

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Matriz de rigidez en coordenadas locales en kN/m

Matriz de rigidez en coordenadas globales

Ensamble de la matriz de rigidez de la viga

Ejemplo:

K3,4= K3,4 elemento1 + K3,4 elemento2 + K3,4 elemento3
K3,4= (0,0) + (-3511,66) + (0,0)
K3,4= - 3511,66 kN/m

K8,3= K8,3 elemento1 + K8,3 elemento2 + K8,3 elemento3
K8,3= (-6400,00) + (7901,23) + (0,0)
K8,3= 1501,23 kN/m

4 7 5 6
1923,37 5289,26 -1923,37 5289,264
5289,26 19393,94 -5289,26 9696,977
-1923,37-5289,26 1923,37 -5289,265
5289,26 9696,97 -5289,2619393,946
[ K
3 ] = 4 7 5 6
1923,37 5289,26 -1923,37 5289,264
5289,26 19393,94 -5289,26 9696,977
-1923,37-5289,26 1923,37 -5289,265
5289,26 9696,97 -5289,2619393,946
[ K
3 ] =

67

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Matriz de rigidez de la viga

Los grados de libertad comprendido s entre 6 y 8 están asociados a las
fuerzas externas conocidas, mientras que los cinco primeros grados de
libertad corresponden a las fuerzas desconocidas que son las reacciones de la
viga.

Vector de fuerzas

A diferencia de los ejercicios anteriores, en este caso existen fuerzas que
actúan en los nodos donde se presentaran las reacciones de la viga y que
actúan en el sentido contrario a la misma reacción, por lo tanto afectara la
magnitud final de cada una, como se observa en la figura 3.1-f.

1 2 3 4 5 6 7 8
2560,0 6400,0 -2560,0 0,0 0,0 0,0 0,0 6400,0 1
6400,021333,3-6400,0 0,0 0,0 0,0 0,0 10666,7 2
-2560,0-6400,0 6071,7 -3511,7 0,0 0,0 7901,2 1501,2 3
0,0 0,0 -3511,7 5435,0 -1923,4 5289,3 -2612,0-7901,2 4
0,0 0,0 0,0 -1923,4 1923,4 -5289,3-5289,3 0,0 5
0,0 0,0 0,0 5289,3 -5289,319393,9 9697,0 0,0 6
0,0 0,0 7901,2 -2612,0-5289,3 9697,043097,611851,9 7
6400,010666,7 1501,2 -7901,2 0,0 0,0 11851,945037,0 8
[K
viga] =

68

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Figura 3.1-f

Vector de fuerzas sobre la viga en kN

gdlFuerzas
1 Ay-17,5
2Ma-21,875
3 By-51,25
4 Cy-50,250
5 Dy-38,50
6 30,25
75,1458333
8 -3,4375

69

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Vector de desplazamientos

Se sabe que la rigidez (K) es la relación entre una fuerza y el desplazamiento
elástico que produce.

??????=
F
U

[U]= [K]
-1
[F] ecu 3.

Se sustrae la sub matriz de rigidez asociadas a las fuerzas conocidas (K00)
para calcular sus desplazamientos aplicando la ecuación No 3.

Obteniendo la inversa de la matriz [K00], resulta

6 7 8
19393,99696,97 0 6
9696,9743097,611851,9 7
0 11851,9 45037 8
[K
00] = 6 7 8
0,000059 -0,000014 0,000004 6
-0,000014 0,000028 -0,0000077
0,000004 -0,000007 0,000024 8
[K
00]
-1
=

70

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Los desplazamientos serán

U6= 0,0016889 rad
U7= -0,0002583 rad
U8= -0,0000083 rad

Reacciones en la base

Las reacciones de la viga serán el producto de la sub matriz asociada al
vector de fuerzas, con los desplazamientos calculados.

[F]= [Kt0]*[U]

6 7 8
Fuerzas
0,000059 -0,000014 0,000004 6 30,25 6
-0,000014 0,000028 -0,000007 7 5,15 7
0,000004 -0,000007 0,000024 8 -3,44 8
3 x 1
X[U] =
3 x 3 6 7 8
0 0 6400 1 [U]
0 0 10667 2 0,0016889 U6
0 7901 1501 3 -0,0002583 U7
5289 -2612 -7901 4 -0,0000083 U8
-5289 -5289 0 5 3 x 1
5 x 3
X[F] =
El giro en el punto D será:
U8= 0,00169 rad

71

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Las fuerzas en la base serán:

F1= -0,053 kN
F2= -0,089 kN
F3= -2,053 kN
F4= 9,6738 kN
F5= -7,5668 kN

Por lo tanto las reacciones en la base se obtendrán como sigue

-0,053=Ay-17,5 ; Ay= 17,447 kN
-0,089=Ma-21,875 ; Ma= 21,786 kN.m
-2,053=By-51,25 ; By= 49,197 kN
9,6738=Cy-50,250 ; Cy= 59,92 kN
-7,566=Dy-38,50 ; Dy= 30,93 kN

Figura 3.1-g. Reacciones de la viga

72

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

3.2 Ejercicio. Viga de dos luces y sección en voladizo

Para la viga en acero cuya sección transversal es de tipo cajón como se
aprecia en la figura 3.2-a, encontrar la carga (P) aplicada en el punto C para
que el giro en B sea 0,5° en el sentido horario. Asumir Es=200.000 MPa

Figura 3.2-a

Resolución:

Propiedades de la sección de la viga

A=0,0104 m
2
Iy=0,00004619 m
4

E=200 000 000 kPa

 Numeración de los grados de libertad y elementos de la viga

Para la discretización de la viga solo se tendrán en cuenta los grados de
libertad rotacionales del nudo A y B ya que se obtendría el momento y el giro
respectivamente, para obtener las reacciones verticales en esos mismos
nudos se calcularían por estática.

73

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Figura 3.2-b

La carga P por la longitud del elemento BC sería el momento equivalente
debido a esa carga que actúa en B, recordando que se asume la condición de
empotramiento perfecto en los nudos de la viga como se muestra a
continuación.

Figura 3.2-c

74

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Figura 3.2-d. Fuerzas actuantes en los nodos A y B de la viga

Como la viga solo tendrá un desplazamiento angular en el apoyo B la matriz
de rigidez se puede determinar cancelando los renglones y filas asociados a
los desplazamientos verticales de dicho elemento, se tiene

Cancelando los renglones y filas expuestos anteriormente, se obtiene

Z1 Y1 Z2 Y2
Z1
Y1
Z2
Y2
[k]=

-

-

-

-

-

-

75

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

De este modo, la matriz de rigidez será:

Reemplazando los valores de E,I y L se obtiene la matriz de rigidez en kN/m:

El vector de desplazamiento ya es conocido, será 0 en el empotramiento y en
B no podrá girar más de 0,5° (0,00872 rad) según la magnitud de la carga.

Y el vector de fuerzas será igual a:

1 2
[ k ] =

1 2
14780,807390,401
7390,4014780,802
[ k ] =
0 1
-0,00872
[ U ] = Ma - 0,7811
2P - 0,7812
[ F ] =

76

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Teniendo en cuenta que K=F/U y despejando la fuerza F= [K]*[U], se
obtiene entonces:

Resolviendo la matriz, se obtiene

Ma – 0,781= 14781*0 - 7390,4*0,00872 (1)
2P - 0,781= 7390*0 - 14781,8*0,00872 (2)

Ma – 0,781= - 64,44 (1)
2P - 0,781= - 128,88 (2)

Resolviendo las ecuaciones 1 y 2 se obtienen el momento en A y la carga
para que se dé la condición inicial.

Ma= -63,66 kN.m
P= 64,06 kN

La carga para que se presente una rotación de 0,5° en el nudo B deber ser de
6,6 toneladas.

Ma - 0,781 14780,80 7390,40 0
2P - 0,781 7390,4014780,80 -0,00872
= x

77

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Capítulo 4
PÓRTICOS PLANOS
4.1 Análisis de pórtico simple con elemento en diagonal .

Para el pórtico mostrado en la figura 4.1-a determine las reacciones en la
base, desplazamiento horizontal y vertical en el punto C, así como las fuerzas
internas del elemento AB. Los elementos CD y BD articulan
independientemente en el nodo D. Considere E=200 GPa

Fig. 4.1-a
Resolución:

Propiedades del perfil W14x132

A= 0,0248 m
2

Iy= 0,000636 m
4

78

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Para enumerar los grados de libertad del pórtico es necesario tener claridad
sobre los posibles desplazamientos y giros que se puedan presentar en los
nudos para cada elemento, teniendo en cuenta las condiciones de frontera.

Ejemplo: los elementos que convergen en el nodo D comparten los mismos
grados de libertad horizontales y verticales, mas no tendrá el mismo ángulo
de giro, por lo tanto cada uno tendrá un grado de libertad rotacional diferente
como se observa en la figura 4.1-b.

Figura 4.1- b

Establecidos los nudos de pórtico (A, B, C y D), se llevan las fuerzas
actuantes a cada uno. Debido a que se cuenta con un elemento con carga
distribuida, se asume la condición de empotramiento perfecto en sus
extremos y se calculan sus reacciones como se observa en la figura 4.1-c,
las cuales actuarán en esos nudos como fuerzas equivalentes del pórtico en el
sentido opuesto de la reacción.

79

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Figura 4.1- c

Las fuerzas equivalentes que actúan en los nodos del pórtico formaran parte
del vector de fuerzas en el arreglo matricial, y se resumen en la figura 4.1–d.

Figura 4.1- d

80

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Se sabe que la matriz de rigidez de un elemento en el sistema global está
dado por:

K global= [T’]*[K local]*[T]

Donde T es la matriz de rotación de coordenadas presentada en el capítulo 1
par elementos tipo pórticos.

Matriz de rigidez local y global de los elementos del pórtico

Para la obtención de la matriz de rigidez local de los elementos se
reemplazan los valores de A, E, Iz y L de la matriz de un elemento pórtico
establecido en el primer capítulo.

Elemento 1

Angulo de rotación 90° (1,57 rad).

E= 200000000 kpas
L= 3,00 m
A= 0,02480 m2
I= 0,0006360
Ѳ= 90,00 °
Ѳ= 1,57 rad

81

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Matriz de rigidez en coordenadas locales en kN/m

La numeración representa los grados de libertad locales del elemento.

Para un ángulo de rotación de 90° medido desde el eje global positivo (X) al
eje local positivo longitudinal del elemento y sustituyéndolo en la matriz de
transformación de coordenadas, se obtiene

Realizando la operación matricialmente K global= [T’][K local][T] se obtiene
la matriz de rigidez global del elemento (girado los 90°), la numeración hace
correspondencia con los grados de libertad globales mostrados en la figura
4.1- b.

1 2 3 4 5 6
1653333,33 0,00 0,00 -1653333,33 0,00 0,00 1
0,00 56533,33 84800,00 0,00 -56533,33 84800,00 2
0,00 84800,00 169600,00 0,00 -84800,00 84800,00 3
-1653333,33 0,00 0,00 1653333,33 0,00 0,00 4
0,00 -56533,33 -84800,00 0,00 56533,33 -84800,00 5
0,00 84800,00 84800,00 0,00 -84800,00 169600,00 6
[ k
1 ] = 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0
-1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0
0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,0
0,0 0,0 0,0 -1,0 0,0 0,0
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0
[ T ] =

82

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Se obtiene entonces:

Elemento 2

Angulo de rotación 139,4° (2,43 rads).

1 2 3 11 12 13
56533,33 0,00 -84800,00 -56533,33 0,00 -84800,00 1
0,00 1653333,33 0,00 0,00 -1653333,33 0,00 2
-84800,00 0,00 169600,00 84800,00 0,00 84800,00 3
-56533,33 0,00 84800,00 56533,33 0,00 84800,00 11
0,00 -1653333,33 0,00 0,00 1653333,33 0,00 12
-84800,00 0,00 84800,00 84800,00 0,00 169600,00 13
[ K
1 ] = E= 200,00 Gpas
E= 200000000 kpas
L= 4,609 m
A= 0,02480 m2
I= 0,0006360
Ѳ= 139,40 °
Ѳ= 2,43 rad

83

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Matriz de rigidez en coordenadas locales en kN/m

Para el Angulo de rotación 139,4° (2,43 rads) en sentido anti horario se
obtiene

Matriz de rigidez global del elemento 2, asociado a los grados de libertad
globales será:
1 2 3 4 5 6
1076155,35 0,00 0,00 -1076155,35 0,00 0,00 1
0,00 15590,08 35927,33 0,00 -15590,08 35927,33 2
0,00 35927,33 110392,71 0,00 -35927,33 55196,35 3
-1076155,35 0,00 0,00 1076155,35 0,00 0,00 4
0,00 -15590,08 -35927,33 0,00 15590,08 -35927,33 5
0,00 35927,33 55196,35 0,00 -35927,33 110392,71 6
[ k2 ] = -0,759 0,651 0,000 0,000 0,000 0,000
-0,651 -0,759 0,000 0,000 0,000 0,000
0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000
0,000 0,000 0,000 -0,759 0,651 0,000
0,000 0,000 0,000 -0,651 -0,759 0,000
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000
[ T ] = 4 5 7 11 12 13
626998,44 -524040,35 -23380,58 -626998,44 524040,35 -23380,58 4
-524040,35 464746,98 -27278,59 524040,35 -464746,98 -27278,59 5
-23380,58 -27278,59 110392,71 23380,58 27278,59 55196,35 7
-626998,44 524040,35 23380,58 626998,44 -524040,35 23380,58 11
524040,35 -464746,98 27278,59 -524040,35 464746,98 27278,59 12
-23380,58 -27278,59 55196,35 23380,58 27278,59 110392,71 13
[ K2 ] =

84

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Elemento 3

Angulo de rotación 90° (1,57 rads).

Matriz de rigidez local en kN/m

E= 200,00 Gpas
E= 200000000 kpas
L= 3,00 m
A= 0,02480 m2
I= 0,0006360
Ѳ= 90,00 °
Ѳ= 1,57 rad 1 2 3 4 5 6
1653333,33 0,00 0,00 -1653333,33 0,00 0,00 1
0,00 56533,33 84800,00 0,00 -56533,33 84800,00 2
0,00 84800,00 169600,00 0,00 -84800,00 84800,00 3
-1653333,33 0,00 0,00 1653333,33 0,00 0,00 4
0,00 -56533,33 -84800,00 0,00 56533,33 -84800,00 5
0,00 84800,00 84800,00 0,00 -84800,00 169600,00 6
[ k
3 ] =

85

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Matriz de transformación de coordenadas, Para el Angulo de rotación 90°
(1,57 rads), se obtiene:

Matriz de rigidez global del elemento No 3, asociado a los grados de libertad
globales será:

Elemento 4

Angulo de rotación 0°, como no existe rotación del sistema, la matriz de
rigidez local coincide con la global del elemento. 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00
-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00
0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00
0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00
[ T ] = 4 5 6 8 9 10
56533,33 0,00 -84800,00 -56533,33 0,00 -84800,00 4
0,00 1653333,33 0,00 0,00 -1653333,33 0,00 5
-84800,00 0,00 169600,00 84800,00 0,00 84800,00 6
-56533,33 0,00 84800,00 56533,33 0,00 84800,00 8
0,00 -1653333,33 0,00 0,00 1653333,33 0,00 9
-84800,00 0,00 84800,00 84800,00 0,00 169600,00 10
[ K
3 ] =

86

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Matriz de rigidez local en kN/m

Matriz de transformación de coordenadas, para el ángulo de rotación=0°, se
obtiene
E= 200,00 Gpas
E= 200000000 kpas
L= 3,50 m
A= 0,02480 m2
I= 0,0006360
Ѳ= 0,00 °
Ѳ= 0,00 rad 1 2 3 4 5 6
1417142,86 0,00 0,00 -1417142,86 0,00 0,00 1
0,00 35601,17 62302,04 0,00 -35601,17 62302,04 2
0,00 62302,04 145371,43 0,00 -62302,04 72685,71 3
-1417142,86 0,00 0,00 1417142,86 0,00 0,00 4
0,00 -35601,17 -62302,04 0,00 35601,17 -62302,04 5
0,00 62302,04 72685,71 0,00 -62302,04 145371,43 6
[ k
4 ] = 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00
0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00
0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00
0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00
[ T ] =

87

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Matriz de rigidez global del elemento No 4, asociado a los grados de libertad
globales.

Matriz de rigidez de la estructura

Para obtener la matriz de rigidez de toda la estructura se suma la rigidez que
aporta cada elemento, al final la matriz será cuadrada y simétrica del tamaño
de los grados de libertad establecidos en la numeración de la figura 4.1-b, es
decir M13x13.

Ejemplo:

K11,12= K11,12 elemento1 + K11,12 elemento2 + K11,12 elemento4
K11,12= (0,0) + (-524040) + (0,0)

K11,12= -524040 kN/m
K13,13= K13,13 elemento1 + K13,13 elemento2 + K13,13 elemento4
K13,13= (169600,0) + (110392,7) + (145371,4)

K13,13= 425363,4 kN/m

11 12 13 8 9 10
1417142,86 0,00 0,00 -1417142,86 0,00 0,00 11
0,00 35601,17 62302,04 0,00 -35601,17 62302,04 12
0,00 62302,04 145371,43 0,00 -62302,04 72685,71 13
-1417142,86 0,00 0,00 1417142,86 0,00 0,00 8
0,00 -35601,17 -62302,04 0,00 35601,17 -62302,04 9
0,00 62302,04 72685,71 0,00 -62302,04 145371,43 10
[ K
4 ] =

88

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Matriz de rigidez del pórtico

Los grados de libertad comprendidos entre 6 y 13 están asociadas a las
fuerzas externas conocidas, mientras que los cinco primeros grados de
libertad a las fuerzas desconocidas que son las reacciones en la base de la
estructura.

Vector de fuerzas externas

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
56533 0 -84800 0 0 0 0 0 0 0 -56533 0 -848001
0 1653333 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1653333 0 2
-84800 0 169600 0 0 0 0 0 0 0 84800 0 848003
0 0 0 683532-524040 -84800 -23381 -56533 0 -84800-626998524040 -233814
0 0 0 -5240402118080 0 -27279 0 -1653333 0 524040-464747 -272795
0 0 0 -84800 0 169600 0 84800 0 84800 0 0 0 6
0 0 0 -23381 -27279 0 110393 0 0 0 23381 27279 551967
0 0 0 -56533 0 84800 0 1473676 0 84800-1417143 0 0 8
0 0 0 0 -1653333 0 0 0 1688934 -62302 0 -35601 -623029
0 0 0 -84800 0 84800 0 84800 -62302 314971 0 62302 7268610
-56533 0 84800 -626998524040 0 23381-1417143 0 0 2100675-52404010818111
0 -1653333 0 524040-464747 0 27279 0 -35601 62302 -5240402153681 8958112
-84800 0 84800 -23381 -27279 0 55196 0 -62302 72686 108181 89581 42536413
Equilibrio70,0 1 2 3 4 5 6 7 8
[Ke] = gdl Fuerzas
1 Ax
2 Ay
3 MA
4 Dx
5 Dy
6 0
7 0
8 0
9 -35,00
10 20,42
11 100,00
12 -35,00
13 -20,42
Fuerzas desconocidas
(Reacciones)
Fuerzas Conocidas

89

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Vector de desplazamientos

Se sabe que la rigidez (K) es la relación entre una fuerza y el desplazamiento
elástico que produce.

??????=
F
U

[U]= [K]
-1
[F] ecu 3.

Se sustrae la sub matriz de rigidez [K00] donde actúan las fuerzas conocidas
para calcular sus desplazamiento aplicando la ecuación No 3.

Obteniendo la inversa de la matriz Kc:

6 7 8 9 10 11 12 13
169600,0 0,0 84800,0 0,0 84800,0 0,0 0,0 0,0 6
0,0 110392,7 0,0 0,0 0,0 23380,6 27278,6 55196,4 7
84800,0 0,0 1473676,2 0,0 84800,0 -1417142,9 0,0 0,0 8
0,0 0,0 0,0 1688934,5 -62302,0 0,0 -35601,2 -62302,0 9
84800,0 0,0 84800,0 -62302,0 314971,4 0,0 62302,0 72685,7 10
0,0 23380,6 -1417142,9 0,0 0,0 2100674,6 -524040,4 108180,6 11
0,0 27278,6 0,0 -35601,2 62302,0 -524040,4 2153681,5 89580,6 12
0,0 55196,4 0,0 -62302,0 72685,7 108180,6 89580,6 425364,1 13
[K
00]= 6 7 8 9 10 11 12 13
0,0000073 -0,0000001 -0,0000011 0,0000000 -0,0000018 -0,0000008 -0,0000002 0,0000005 6
-0,0000001 0,0000098 -0,0000003 0,0000000 0,0000004 -0,0000003 -0,0000002-0,00000127
-0,0000011-0,0000003 0,0000026 0,0000000 -0,0000004 0,0000019 0,0000005 -0,00000058
0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000006 0,0000001 0,0000000 0,0000000 0,0000001 9
-0,0000018 0,0000004 -0,0000004 0,0000001 0,0000040 -0,0000003 -0,0000002-0,000000610
-0,0000008-0,0000003 0,0000019 0,0000000 -0,0000003 0,0000019 0,0000005 -0,000000511
-0,0000002-0,0000002 0,0000005 0,0000000 -0,0000002 0,0000005 0,0000006 -0,000000212
0,0000005 -0,0000012 -0,0000005 0,0000001 -0,0000006 -0,0000005 -0,0000002 0,000002813
[K
00]
-1
=

90

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Los desplazamientos en los grados de libertad serán: [U]= [K00]
-1
[F]

Se obtienen entonces los desplazamientos para cada grado de libertad

U6= -0,000121 rad
U7= 0,0000127 rad
U8= 0,0001755 m
U9= -0,0000219 m
U10= 0,0000668 rad
U11= 0,0001793 m
U12= 0,0000297 m
U13= -0,0001161 rad

Reacciones en la base

Las reacciones en la base será el producto de la sub matriz asociada al vector
de fuerzas (K0t), con los desplazamientos calculados.

[f]= [K0t]*[U] ecu 4.
6 7 8 9 10 11 12 13
Fuerzas
0,0000073 -0,0000001 -0,0000011 0,0000000 -0,0000018 -0,0000008 -0,0000002 0,0000005 6
0
6
-0,0000001 0,0000098 -0,0000003 0,0000000 0,0000004 -0,0000003 -0,0000002-0,00000127
0
7
-0,0000011-0,0000003 0,0000026 0,0000000 -0,0000004 0,0000019 0,0000005 -0,00000058
0
8
0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000006 0,0000001 0,0000000 0,0000000 0,0000001 9
-35,00
9
-0,0000018 0,0000004 -0,0000004 0,0000001 0,0000040 -0,0000003 -0,0000002-0,000000610
20,42
10
-0,0000008-0,0000003 0,0000019 0,0000000 -0,0000003 0,0000019 0,0000005 -0,000000511
100,00
11
-0,0000002-0,0000002 0,0000005 0,0000000 -0,0000002 0,0000005 0,0000006 -0,000000212
-35,00
12
0,0000005 -0,0000012 -0,0000005 0,0000001 -0,0000006 -0,0000005 -0,0000002 0,0000028 13
-20,42
13
[K
00]
-1
= X [U]
-0,0001211 U6
6 7 8 9 10 11 12 13 0,0000127 U7
0 0 0 0 0 -56533 0 -848001
0,0001755 U8
0 0 0 0 0 0 -1653333 0 2
-0,0000219 U9
0 0 0 0 0 84800 0 84800 3
0,0000668 U10
-84800 -23381 -56533 0 -84800 -626998 524040 -233814
0,0001793 U11
0 -27279 0 -1653333 0 524040 -464747 -272795
0,0000297 U12
-0,0001161 U13
8 x 1
x
5 x 8
[ F ] =
El desplazamiento horizontal y
vertical en el punto C será:

U8= 0,000176m ≈ 0.176mm H►
U9= -0,000022m≈ 0.22mm V ▼

91

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Las reacciones en la base serán:

Ax= -0,29 kN
Ay= -49,2 kN
MA= 5,36 kN.m
Dx= -99,7 kN
Dy= 119,2 kN

Figura 4.1- e. Reacciones de la estructura

92

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Figura 4.1- f. Deformación de la estructura debida a las cargas
externas

Fuerzas internas del elemento 1

Se sabe que las coordenadas locales del sistema en función de las globales
para un elemento tipo pórtico está dada por:

Con la matriz de transformación de coordenadas multiplicada matricialmente
por los desplazamientos globales del elemento 1, se obtiene n
desplazamientos locales del elemento para el posterior cálculo de las fuerzas
internas de este como se ha realizado en los ejercicios anteriores

93

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

 Desplazamientos locales del Elemento 1

Se sustraen los desplazamientos globales del elemento teniendo en cuenta el
número correspondiente a cada grado de libertad.

Para Los desplazamientos en coordenadas locales serán UL= [T]*UG, resulta
entonces

U global
1 0,00
2 0,00
3 0,00
110,000179
120,000030
13-0,000116 U global
0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,000000 1
-1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,000000 2
0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 0,000000 3
0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,000179 11
0,0 0,0 0,0 -1,0 0,0 0,0 0,000030 12
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 -0,000116 13
U local = x

94

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Aplicando la ecuación [f]= [k1]*[U1 local] se obtendrán las fuerzas internas del
elemento 1:

Por lo tanto las fuerzas internas del elemento 1 serán:

0,0000000 1
0,0000000 2
0,0000000 3
0,0000297 4
-0,00017935
-0,00011616
1 2
U local = 1 2 3 4 5 6 U local
1653333,33 0,00 0,00 -1653333,33 0,00 0,00 0,0000000 1
0,00 56533,33 84800,00 0,00 -56533,33 84800,00 0,0000000 2
0,00 84800,00 169600,00 0,00 -84800,00 84800,00 0,0000000 3
-1653333,33 0,00 0,00 1653333,33 0,00 0,00 0,0000297 4
0,00 -56533,33 -84800,00 0,00 56533,33 -84800,00 -0,00017935
0,00 84800,00 84800,00 0,00 -84800,00 169600,00 -0,00011616
6 x 16 x 6
[ f
1 ] = x f internas
1(A1)
-49,18 kN
2(v1)
0,29 kN
3(M1)
5,36 kN.m
4(A2)
49,18 kN
5(v2)
-0,29 kN
6(M2)
-4,49 kN.m

95

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Como los momentos tienen signos contrarios indica que el elemento se curva
simplemente.

Figura 4.1- G. Fuerzas internas del elemento 1

96

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

4.2 Análisis de un pórtico con carga distribuida sobre elemen to
inclinado.

Para el pórtico en concreto mostrado en la figura 4.2-a determine las
reacciones en los nodos A y D, el desplazamiento horizontal y vertical en los
nodos B y C así como las reacciones de la estructura.
Asuma f’c=28 MPa y E= 3900√&#3627408467;′&#3627408464; (MPa)

Figura 4.2-a

Resolución:

Propiedades de la sección
A=0,09 m
2

I=
??????ℎ

=0,000675 m
4

E=20.636,86 MPa

97

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

 Discretización del pórtico

Se numera los grados de libertad de tal manera que las reacciones resulten
agrupadas, para este caso al igual que ejercicios anteriores se numeran de
primero como se observa en la figura 4.2-b.

Figura 4.2-b

Para los elementos 2 y 3 con carga distribuida se asume la condición de
empotramiento en sus extremos y se llevan las reacciones como fuerzas
equivalentes a dichos nodos, en la dirección opuesta a la reacción.

Elemento 2: W=30 kN/m

98

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Elemento 3: se calculan las reacciones en la proyección horizontal del
elemento es decir L= 2.0 m

Wn=
0????????????
cos ( ,87)

Wn=37,5 kN/m (Normal al eje longitudinal del elemento).

Se superponen las fuerzas resultantes de ambos elementos como se observa
en las figuras 4.2-c y 4.2-d.

99

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Figura 4.2-c

Figura 4.2-d

100

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Las fuerzas equivalentes actuantes en los nodos A, B y C serán las obtenidas
por la suma de los efectos de las cargas teniendo en cuenta su dirección. En
la figura 4.2-e se presenta el resultado de la suma algebraica de las acciones
presentes en cada nodo. Se debe tener en cuenta que las accio nes externas
obedecen al sistema de referencia global. Por ejemplo, en el nodo B se
cuenta con un momento resultante horario de 2.5 kN.m debido a la suma de
las acciones opuestas a las reacciones generadas por la carga dentro de cada
vano, así: Nodo B= + 10 kN.m - 12.5 kN.m (ver Figura 4.2-d).

Figura 4.2-e

101

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Matriz de rigidez local y global de los elementos de la estructura

Elemento 1

Angulo de rotación 90° (1,57 rad). L=2,5 m

Matriz de rigidez en coordenadas locales en kN/m

E= 20636860 kpas
L= 2,50 m
B 0,30 m
H 0,30 m
A= 0,0900
I= 0,0006750
Ѳ= 90,00 °
Ѳ= 1,57 rad 1 2 3 4 5 6
742926,97 0,00 0,00 -742926,97 0,00 0,00 1
0,00 10698,15 13372,69 0,00 -10698,15 13372,69 2
0,00 13372,69 22287,81 0,00 -13372,69 11143,90 3
-742926,97 0,00 0,00 742926,97 0,00 0,00 4
0,00 -10698,15 -13372,69 0,00 10698,15 -13372,69 5
0,00 13372,69 11143,90 0,00 -13372,69 22287,81 6
[ k
1 ] =

102

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Para un Angulo de rotación de 90° y sustituyendo en la matriz de rotación del
para un elemento pórtico, se obtiene

Realizando la operación matricialmente K global= [T’]*[K local]*[T] se
obtiene la matriz de rigidez global del elemento (girado los 90°), la
numeración hace correspondencia con los grados de libertad globales
mostrados en la figura 4.2- b.

Elemento 2
Angulo de rotación 0° y L=2.0 m

Matriz de rigidez en coordenadas locales en kN/m 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0
-1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0
0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,0
0,0 0,0 0,0 -1,0 0,0 0,0
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0
[ T ] = 6 7 8 3 4 5
10698,15 0,00 -13372,69 -10698,15 0,00 -13372,696
0,00 742926,97 0,00 0,00 -742926,97 0,00 7
-13372,69 0,00 22287,81 13372,69 0,00 11143,90 8
-10698,15 0,00 13372,69 10698,15 0,00 13372,69 3
0,00 -742926,97 0,00 0,00 742926,97 0,00 4
-13372,69 0,00 11143,90 13372,69 0,00 22287,81 5
[ K
1 ] = E= 20636860 kpas
L= 2,00 m
B 0,30 m
H 0,30 m
A= 0,0900
I= 0,0006750
Ѳ= 0,00 °
Ѳ= 0,00 rad

103

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Para un Angulo de rotación de 0° y sustituyendo en la matriz de rotación
resulta

Realizando la operación matricialmente K global= [T]*[K local]*[T’] se
obtiene la matriz de rigidez global del elemento la cual coincide con la local
ya que el ángulo de giro es 0°

1 2 3 4 5 6
928658,7 0,0 0,0 -928658,7 0,0 0,0 1
0,0 20894,8 20894,8 0,0 -20894,8 20894,8 2
0,0 20894,8 27859,8 0,0 -20894,8 13929,9 3
-928658,7 0,0 0,0 928658,7 0,0 0,0 4
0,0 -20894,8 -20894,8 0,0 20894,8 -20894,8 5
0,0 20894,8 13929,9 0,0 -20894,8 27859,8 6
[ k
2 ] = 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00
0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00
0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00
0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00
[ T ] = 6 7 8 9 10 11
928658,71 0,00 0,00 -928658,71 0,00 0,00 6
0,00 20894,82 20894,82 0,00 -20894,82 20894,82 7
0,00 20894,82 27859,76 0,00 -20894,82 13929,88 8
-928658,71 0,00 0,00 928658,71 0,00 0,00 9
0,00 -20894,82 -20894,82 0,00 20894,82 -20894,8210
0,00 20894,82 13929,88 0,00 -20894,82 27859,76 11
[ K
2 ] =

104

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Elemento 3

Angulo de rotación 143,13° y L=2.0 m

Matriz de rigidez local en kN/m

Matriz de transformación de coordenadas

E= 20636860 kpas
L= 2,50 m
B 0,30 m
H 0,30 m
A= 0,0900
I= 0,0006750
Ѳ= 143,13 °
Ѳ= 2,50 rad 1 2 3 4 5 6
742927,0 0,0 0,0 -742927,0 0,0 0,0 1
0,0 10698,1 13372,7 0,0 -10698,1 13372,7 2
0,0 13372,7 22287,8 0,0 -13372,7 11143,9 3
-742927,0 0,0 0,0 742927,0 0,0 0,0 4
0,0 -10698,1 -13372,7 0,0 10698,1 -13372,7 5
0,0 13372,7 11143,9 0,0 -13372,7 22287,8 6
[ k
3 ] = -0,80 0,60 0,00 0,00 0,00 0,00
-0,60 -0,80 0,00 0,00 0,00 0,00
0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00
0,00 0,00 0,00 -0,80 0,60 0,00
0,00 0,00 0,00 -0,60 -0,80 0,00
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00
[ T ] =

105

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Matriz de rigidez del elemento 3 en coordenadas globales
K global= [T]*[K local]*[T’]

Matriz de rigidez de la estructura

La matriz de rigidez de la estructura será cuadrada simétrica, su tamaño es
igual al número de grados de libertad en este caso será de 12x12.

La matriz se ensambla sumando la rigidez que aporta cada elemento como se
mencionó en los ejercicios anteriores

Matriz de rigidez de la estructura (kN/m)

1 2 12 9 10 11
479335,61 -351466,62 -8023,44 -479335,61 351466,62 -8023,44 1
-351466,62 274289,51 -10698,27 351466,62 -274289,51 -10698,272
-8023,44 -10698,27 22287,81 8023,44 10698,27 11143,90 12
-479335,61 351466,62 8023,44 479335,61 -351466,62 8023,44 9
351466,62 -274289,51 10698,27 -351466,62 274289,51 10698,27 10
-8023,44 -10698,27 11143,90 8023,44 10698,27 22287,81 11
[ K
3 ] = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
479335,61 -351466,62 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -479335,61 351466,62 -8023,44 -8023,44 1
-351466,62 274289,51 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 351466,62 -274289,51 -10698,27-10698,27 2
0,00 0,00 10698,15 0,00 13372,69 -10698,15 0,00 13372,69 0,00 0,00 0,00 0,00 3
0,00 0,00 0,00 742926,97 0,00 0,00 -742926,97 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4
0,00 0,00 13372,69 0,00 22287,81 -13372,69 0,00 11143,90 0,00 0,00 0,00 0,00 5
0,00 0,00 -10698,15 0,00 -13372,69 939356,86 0,00 -13372,69 -928658,71 0,00 0,00 0,00 6
0,00 0,00 0,00 -742926,97 0,00 0,00 763821,79 20894,82 0,00 -20894,82 20894,82 0,00 7
0,00 0,00 13372,69 0,00 11143,90 -13372,69 20894,82 50147,57 0,00 -20894,82 13929,88 0,00 8
-479335,61 351466,62 0,00 0,00 0,00 -928658,71 0,00 0,00 1407994,32 -351466,62 8023,44 8023,44 9
351466,62 -274289,51 0,00 0,00 0,00 0,00 -20894,82 -20894,82 -351466,62 295184,33 -10196,55 10698,27 10
-8023,44 -10698,27 0,00 0,00 0,00 0,00 20894,82 13929,88 8023,44 -10196,55 50147,57 11143,90 11
-8023,44 -10698,27 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 8023,44 10698,27 11143,90 22287,81 12
[Ke]=

106

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Vector de fuerzas actuantes en la estructura para cada grado de libertad

Vector de desplazamientos

La rigidez (K) será igual a

??????=
F
U

[U]= [K]
-1
[F]

Se sustrae la sub matriz de rigidez donde actúan las fuerzas conocidas (K00)
para calcular sus desplazamientos como sigue gdl fuerzas
1 Ax
2 Ay - 37,5
3 Dx
4 Dy
5 M
D
6 0,0
7 -30,0
8 -10,0
9 0,0
10 -67,5
11 -2,5
12
12,5
Donde las fuerzas comprendidas
entre los gdl entre 1 a 5
corresponden a las fuerzas
desconocidas (reacciones).

107

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Obteniendo la inversa de la matriz Kc

Los desplazamientos en los grados de libertad serán

6 7 8 9 10 11 12
939356,86 0,00 -13372,69-928658,71 0,00 0,00 0,00 6
0,00 763821,79 20894,82 0,00 -20894,82 20894,82 0,00 7
-13372,69 20894,82 50147,57 0,00 -20894,82 13929,88 0,00 8
-928658,71 0,00 0,00 1407994,32-351466,62 8023,44 8023,44 9
0,00 -20894,82-20894,82-351466,62 295184,33 -10196,55 10698,2710
0,00 20894,82 13929,88 8023,44 -10196,55 50147,57 11143,9011
0,00 0,00 0,00 8023,44 10698,27 11143,90 22287,8112
[K
00] = 6 7 8 9 10 11 12
0,000051 0,000001 0,000039 0,000050 0,000064 0,000006 -0,000052 6
0,000001 0,000001 0,000000 0,000001 0,000001 0,000000 0,000000 7
0,000039 0,000000 0,000052 0,000038 0,000051 -0,000002-0,000037 8
0,000050 0,000001 0,000038 0,000050 0,000064 0,000006 -0,000052 9
0,000064 0,000001 0,000051 0,000064 0,000086 0,000008 -0,000069 10
0,000006 0,000000 -0,000002 0,000006 0,000008 0,000026 -0,000019 11
-0,000052 0,000000 -0,000037 -0,000052 -0,000069 -0,000019 0,000106 12
[K
00]
-1
= 6 7 8 9 10 11 12 Fuerzas
0,000051 0,000001 0,000039 0,000050 0,000064 0,000006 -0,000052
0
6
0,000001 0,000001 0,000000 0,000001 0,000001 0,000000 0,000000
-30
7
0,000039 0,000000 0,000052 0,000038 0,000051 -0,000002-0,000037
-10
8
0,000050 0,000001 0,000038 0,000050 0,000064 0,000006 -0,000052
0
9
0,000064 0,000001 0,000051 0,000064 0,000086 0,000008 -0,000069
-67,5
10
0,000006 0,000000 -0,000002 0,000006 0,000008 0,000026 -0,000019
-2,5
11
-0,000052 0,000000 -0,000037 -0,000052 -0,000069 -0,000019 0,000106
12,5
12
[U] = x

108

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

U6= -0,00541 m
U7= -0,00009 m
U8= -0,00439 rad
U9= -0,00541 m
U10= -0,00724 m
U11= -0,000819 rad
U12= 0,00639 rad

Figura 4.2-f. Deformada de la estructura por la acción de las cargas
externas.

Reacciones de la estructura

Las reacciones en la base será el producto de la sub matriz asociada al vector
de fuerzas, con los desplazamientos calculados como se ha visto en los
ejercicios anteriores:

[F]= [Kto]*[U]

Donde Kto será
El desplazamiento horizontal y
vertical en el Nodo B y C será:

Nodo B
U9=-0,00541m≈ 5,41mm H►
U10= -0,00724m≈7,24mm V ▼

Nodo C
U6=-0,00541m≈ 5,41mm H►
U7= -0,00009m≈0,09mm V ▼

109

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Y es la sub matriz de la global que asocia las fuerzas con los desplazamientos
ya calculados mostrado en el ejercicio 1.1.

Por lo tanto las fuerzas serán

Ax = 0,89kN
Ay - 37,5 =27,02kN
Dx =-0,89kN
Dy = 70,48kN
MD = 23,36kN.m

A diferencia de las demás reacciones, La vertical en A será a Ay menos la
fuerza equivalente que actúa en ese punto y esta diferencia será igual a la
fuerza encontrada correspondiente a f2 como sigue

f2 – Ay = 27,02
f2 – 37,5 = 27,02
f2 = 27,02 + 37,5
f2 = 64,52 kN
6 7 8 9 10 11 12
0,00 0,00 0,00 -479335,61 351466,62 -8023,44 -8023,441
0,00 0,00 0,00 351466,62 -274289,51 -10698,27-10698,272
-10698,15 0,00 13372,69 0,00 0,00 0,00 0,00 3
0,00 -742926,97 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4
-13372,69 0,00 11143,90 0,00 0,00 0,00 0,00 5
[K
to] =
5 x 7 [U]
6 7 8 9 10 11 12
-0,00541U6
0,00 0,00 0,00 -479335,61 351466,62 -8023,44 -8023,441 -0,00009U7
0,00 0,00 0,00 351466,62 -274289,51 -10698,27-10698,272 -0,00439U8
-10698,15 0,00 13372,69 0,00 0,00 0,00 0,00 3 -0,00541U9
0,00 -742926,97 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4 -0,00724U10
-13372,69 0,00 11143,90 0,00 0,00 0,00 0,00 5 -0,00082U11
0,00639 U12
7 x 1
X[F]=
5 x 7

110

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Figura 4.2-g. Reacciones de la estructura

111

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Capítulo 5
INTRODUCCI ÓN A LOS ELEMENTOS FINITOS
El método de los elementos finitos es un método poderoso para analizar los
esfuerzos y deformaciones en componentes y sistemas estructurales. Este
aproxima las ecuaciones diferenciales gobernantes para sistemas continuos
con ecuaciones mediante un número finito de variables discretas que miden
los desplazamientos y fuerzas en los nodos.

El método funciona dividendo la estructura en elementos conectados por
nodos, pueden ser de tipo plano o tridimensional dependiendo del
componente estructural que se vaya a analizar.

Se pueden emplear elementos finitos unidimensionales para modelar una
estructura aporticada con muros (Fig. 5.1).

Fig. 5.1 Abstracción o idealización de una estructura aportica da a
través de elementos finitos

En este capítulo se realizan una serie de ejercicios por el método de la
rigidez, que representan de forma general la filosofía de los elementos finitos
y una forma introductoria a su comprensión.

112

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

5.1 Análisis de una viga con inercia variable y sección trapezoidal.

Se desea diseñar una viga en concreto reforzado para un puente bajo la
solicitación de las cargas dadas según la figura 5.1-a, por lo que se necesita
conocer sus reacciones, la deflexión en los puntos de aplicación de las cargas
y en el punto medio de la viga.
El concreto posee una resistencia a la compresión de 28 MPa y módulo de
elasticidad de 20 GPa.

Figura 5.1-a

Resolución:

La viga representa un problema para su cálculo por la variación lineal de la
sección a lo largo de toda su longitud, recordemos que la matriz de rigidez
está en función de la inercia del elemento y esta a su vez del ancho y altura
por lo que toda la matriz quedaría en función de una ecuación que representa
esa variación y el cálculo sería muy complejo.
La solución a este problema está en dividir la viga en una serie de elementos
finitos de forma cubica con una única altura equivalente (he) unidos por
nodos como se aprecia en la Figura 5.1-b, el número de elementos se puede
establecer de manera arbitraria siempre dependiendo de la aproximación que
se dese del problema.

113

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

La inercia de cada elemento se calcula con una altura equivalente de tal
manera que la inercia equivalente y analítica sea igual y no afecte el cálculo
de la viga.
Discretización de la viga

Para el presente ejercicio se asumió un número de elementos igual es a 8
unidos por nodos que tendrán dos posibilidades de desplazamiento; vertical y
de giro como se muestra a continuación.

Figura 5.1-b. Idealización de la viga en elementos finitos

Para calcular la inercia de cada elemento se realiza con la altura equivalente
en el punto medio de cada uno, por ejemplo para el elemento 1 será como se
muestra en la figura 5.1-c.

114

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Figura 5.1-c

Por lo tanto la inercia para este elemento seria:

=

∗0, ∗0, 5

I= 0,00969 m
4

Realizando el cálculo de manera analítica (ver figura 5.1-d)

Figura 5.1-d

h varia respecto a x; el ancho de la viga es constante e igual a 0,4 m.

115

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

La función que describe esta variación será

&#3627408474;=
0,7−0,

(??????&#3627408466;&#3627408475;&#3627408465;??????&#3627408466;&#3627408475;??????&#3627408466;)

m=0,075 x

La ecuación será entonces:

h= hi – 0,075 x donde hi es la altura inicial de la viga de 0,7 m
h= 0,7 – 0,075x

La inercia de la sección será:

=

∗0, ∗∫(0,7−0,075??????)

&#3627408465;??????

0
Resolviendo el polinomio,

=

∗0, ∗∫(0,3 3−0, 0 5??????+0,0 8??????

−0,000 ??????

)&#3627408465;??????

0

=

30
∗[0,3 3??????−0,055 ??????

+0,00393−0,000 05 ??????
4
]
0

I = 0,00972 m
4

Se observa entonces que la variación entre la inercia a partir de una altura
equivalente y la analítica es muy pequeña.

IPOR he= 0,00970 m
4
y IANALITICA= 0,00972 m
4

Por lo tanto se calcularan las inercias de los demás elementos con la
equivalente para la facilidad del ejercicio, las cuales se resumen en la
siguiente tabla:

116

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Matriz de rigidez local y global de los elementos

La viga no presenta solicitaciones de carga que genere n fuerzas axiales
internas en los elementos, además solo se desean conocer sus giros y
desplazamientos verticales en los puntos de aplicación de las cargas y en su
centro.

La matriz de rigidez local será para elemento tipo viga es la presentada en la
figura 5.1-e

Figura 5.1-e Ancho (m) he Inercia (Iz)
Elemento 1 0,4 0,6625 0,0097
Elemento 2 0,4 0,5875 0,0068
Elemento 3 0,4 0,5125 0,0045
Elemento 4 0,4 0,4375 0,0028
Elemento 5 0,4 0,4375 0,0028
Elemento 6 0,4 0,5125 0,0045
Elemento 7 0,4 0,5875 0,0068
Elemento 8 0,4 0,6625 0,0097 1 2 3 4
1
2
3
4
[k]=

-

-

-

-

-

-

No obstante, para un
cálculo más estricto seria
con las inercias calculadas
analíticamente para cada
elemento como se expuso
en el paso anterior.

117

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

 Elemento 1

Matriz de rigidez local en kN/m

Matriz de rigidez asociado a sus grados de libertad globales

E= 20000000,00 KPa
L= 1,00 m
B 0,40 m
H 0,66250 m
A= 0,2650000
I= 0,0096925
Ѳ= 0,00 ° 1 2 3 4
2326203,13 1163101,56 -2326203,13 1163101,56 1
1163101,56 775401,04 -1163101,56 387700,52 2
-2326203,13 -1163101,56 2326203,13 -1163101,563
1163101,56 387700,52 -1163101,56 775401,04 4
[ k
1 ] = 1 2 5 6
2326203,13 1163101,56 -2326203,13 1163101,56 1
1163101,56 775401,04 -1163101,56 387700,52 2
-2326203,13 -1163101,56 2326203,13 -1163101,565
1163101,56 387700,52 -1163101,56 775401,04 6
[ K
1 ] =

118

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

 Elemento 2

Matriz de rigidez local en kN/m

Matriz de rigidez global

E= 20000000,00 KPa
L= 1,00 m
B 0,40 m
H 0,59 m
A= 0,2350000
I= 0,0067593
Ѳ= 0,00 ° 1 2 3 4
1622234,38 811117,19 -1622234,38 811117,19 1
811117,19 540744,79 -811117,19 270372,40 2
-1622234,38 -811117,19 1622234,38 -811117,19 3
811117,19 270372,40 -811117,19 540744,79 4
[ k
2 ] = 5 6 7 8
1622234,38 811117,19 -1622234,38 811117,19 5
811117,19 540744,79 -811117,19 270372,40 6
-1622234,38 -811117,19 1622234,38 -811117,19 7
811117,19 270372,40 -811117,19 540744,79 8
[ K
2 ] =

119

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

 Elemento 3

Matriz de rigidez local en kN/m

Matriz de rigidez global

E= 20000000,00 KPa
L= 1,00 m
B 0,40 m
H 0,51 m
A= 0,2050000
I= 0,0044870
Ѳ= 0,00 ° 1 2 3 4
1076890,63 538445,31 -1076890,63 538445,31 1
538445,31 358963,54 -538445,31 179481,77 2
-1076890,63 -538445,31 1076890,63 -538445,31 3
538445,31 179481,77 -538445,31 358963,54 4
[ k
3 ] = 7 8 9 10
1076890,63 538445,31 -1076890,63 538445,31 7
538445,31 358963,54 -538445,31 179481,77 8
-1076890,63 -538445,31 1076890,63 -538445,31 9
538445,31 179481,77 -538445,31 358963,54 10
[ K
3 ] =

120

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

 Elemento 4

Matriz de rigidez local en kN/m

Matriz de rigidez global

E= 20000000,00 KPa
L= 1,00 m
B 0,40 m
H 0,4375 m
A= 0,1750000
I= 0,0027913
Ѳ= 0,00 ° 1 2 3 4
669921,88 334960,94 -669921,88 334960,94 1
334960,94 223307,29 -334960,94 111653,65 2
-669921,88 -334960,94 669921,88 -334960,94 3
334960,94 111653,65 -334960,94 223307,29 4
[ k
4 ] = 9 10 11 12
669921,88 334960,94 -669921,88 334960,94 9
334960,94 223307,29 -334960,94 111653,65 10
-669921,88 -334960,94 669921,88 -334960,94 11
334960,94 111653,65 -334960,94 223307,29 12
[ K
4 ] =

121

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

 Elemento 5

Matriz de rigidez local en kN/m

Matriz de rigidez global

E= 20000000,00 KPa
L= 1,00 m
B 0,40 m
H 0,4375 m
A= 0,1750000
I= 0,0027913
Ѳ= 0,00 ° 1 2 3 4
669921,88 334960,94 -669921,88 334960,94 1
334960,94 223307,29 -334960,94 111653,65 2
-669921,88 -334960,94 669921,88 -334960,94 3
334960,94 111653,65 -334960,94 223307,29 4
[ k
5 ] = 11 12 13 14
669921,88 334960,94 -669921,88 334960,94 11
334960,94 223307,29 -334960,94 111653,65 12
-669921,88 -334960,94 669921,88 -334960,94 13
334960,94 111653,65 -334960,94 223307,29 14
[ K
5 ] =

122

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

 Elemento 6

Matriz de rigidez local en kN/m

Matriz de rigidez global

E= 20000000,00 KPa
L= 1,00 m
B 0,40 m
H 0,51 m
A= 0,2050000
I= 0,0044870
Ѳ= 0,00 ° 1 2 3 4
1076890,63 538445,31 -1076890,63 538445,31 1
538445,31 358963,54 -538445,31 179481,77 2
-1076890,63 -538445,31 1076890,63 -538445,31 3
538445,31 179481,77 -538445,31 358963,54 4
[ k
6 ] = 13 14 15 16
1076890,63 538445,31 -1076890,63 538445,31 13
538445,31 358963,54 -538445,31 179481,77 14
-1076890,63 -538445,31 1076890,63 -538445,31 15
538445,31 179481,77 -538445,31 358963,54 16
[ K
6 ] =

123

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

 Elemento 7

Matriz de rigidez local en kN/m

Matriz de rigidez global

E= 20000000,00 KPa
L= 1,00 m
B 0,40 m
H 0,59 m
A= 0,2350000
I= 0,0067593
Ѳ= 0,00 ° 1 2 3 4
1622234,38 811117,19 -1622234,38 811117,19 1
811117,19 540744,79 -811117,19 270372,40 2
-1622234,38 -811117,19 1622234,38 -811117,19 3
811117,19 270372,40 -811117,19 540744,79 4
[ k
7 ] = 15 16 17 18
1622234,38 811117,19 -1622234,38 811117,19 15
811117,19 540744,79 -811117,19 270372,40 16
-1622234,38 -811117,19 1622234,38 -811117,19 17
811117,19 270372,40 -811117,19 540744,79 18
[ K
7 ] =

124

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

 Elemento 8

Matriz de rigidez local en kN/m

Matriz de rigidez global E= 20000000,00 KPa
L= 1,00 m
B 0,40 m
H 0,66 m
A= 0,2650000
I= 0,0096925
Ѳ= 0,00 ° 1 2 3 4
2326203,13 1163101,56 -2326203,13 1163101,56 1
1163101,56 775401,04 -1163101,56 387700,52 2
-2326203,13 -1163101,56 2326203,13 -1163101,563
1163101,56 387700,52 -1163101,56 775401,04 4
[ k
8 ] = 17 18 3 4
2326203,13 1163101,56 -2326203,13 1163101,56 17
1163101,56 775401,04 -1163101,56 387700,52 18
-2326203,13 -1163101,56 2326203,13 -1163101,563
1163101,56 387700,52 -1163101,56 775401,04 4
[ K
8 ] =

125

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Matriz de rigidez de la viga (kN/m)

La matriz es de 18x18 que es el número de grados de libertad establecidos en la discretización de la
viga y está en unidades de kN/m.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
18
2326203 1163102 0 0 -23262031163102 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
1163102 775401 0 0 -1163102 387701 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2
0 0 2326203-1163102 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2326203-1163102 3
0 0 -1163102 775401 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1163102 387701 4
-2326203-1163102 0 0 3948438 -351984-1622234 811117 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5
1163102 387701 0 0 -351984 1316146 -811117 270372 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6
0 0 0 0 -1622234 -811117 2699125 -272672-1076891 538445 0 0 0 0 0 0 0 0 7
0 0 0 0 811117 270372 -272672 899708 -538445 179482 0 0 0 0 0 0 0 0 8
0 0 0 0 0 0 -1076891 -538445 1746813 -203484 -669922 334961 0 0 0 0 0 0 9
0 0 0 0 0 0 538445 179482 -203484 582271 -334961 111654 0 0 0 0 0 0 10
0 0 0 0 0 0 0 0 -669922 -334961 1339844 0 -669922 334961 0 0 0 0 11
0 0 0 0 0 0 0 0 334961 111654 0 446615 -334961 111654 0 0 0 0 12
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -669922 -334961 1746813 203484 -1076891 538445 0 0 13
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 334961 111654 203484 582271 -538445 179482 0 0 14
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1076891 -538445 2699125 272672 -1622234 811117 15
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 538445 179482 272672 899708 -811117 270372 16
0 0 -23262031163102 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1622234 -811117 3948438 351984 17
0 0 -1163102 387701 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 811117 270372 351984 131614618
Kn
[Ke] =

126

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Vector de fuerzas externas

Vector de desplazamientos

La rigidez (K) será igual a:

??????=
F
U

[U]= [K]
-1
[F]

gdl
FUERZAS
1 Ay
2 M
A
3 Iy
4 M
I
5 0
6 0
7 -49,05
8 0
9 0
10 0
11 0
12 0
13 0
14 0
15 -73,575
16 0
17 0
18 0
Estas son las fuerzas externas en kN
asociadas a los grados de libertad de la
viga según la discretización.

127

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Se sustrae la sub matriz de rigidez asociada a las fuerzas conocidas (K00)
para calcular sus desplazamiento aplicando la ecuación [U]= [K00]
-1
[F]

Obteniendo la inversa de la matriz [K00] resulta

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
3948438 -351984-1622234 811117 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5
-351984 1316146 -811117 270372 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6
-1622234-811117 2699125 -272672-1076891 538445 0 0 0 0 0 0 0 0 7
811117 270372 -272672 899708 -538445 179482 0 0 0 0 0 0 0 0 8
0 0 -1076891-538445 1746813 -203484 -669922 334961 0 0 0 0 0 0 9
0 0 538445 179482 -203484 582271 -334961 111654 0 0 0 0 0 0 10
0 0 0 0 -669922 -334961 1339844 0 -669922 334961 0 0 0 0 11
0 0 0 0 334961 111654 0 446615 -334961 111654 0 0 0 0 12
0 0 0 0 0 0 -669922 -334961 1746813 203484 -1076891 538445 0 0 13
0 0 0 0 0 0 334961 111654 203484 582271 -538445 179482 0 0 14
0 0 0 0 0 0 0 0 -1076891-538445 2699125 272672 -1622234 811117 15
0 0 0 0 0 0 0 0 538445 179482 272672 899708 -811117 270372 16
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1622234-811117 3948438 351984 17
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 811117 270372 351984 131614618
[ K00 ] = 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
0,000001330,000001820,000002700,000000980,000003200,000000080,00000280-0,000000780,00000185-0,000001030,00000089-0,000000820,00000023-0,000000445
0,000001820,000003690,000004660,000002060,000005790,000000310,00000517-0,000001360,00000344-0,000001910,00000166-0,000001540,00000044-0,000000826
0,000002700,000004660,000008030,000004920,000010960,000001190,00001014-0,000002440,00000685-0,000003730,00000333-0,000003070,00000089-0,000001667
0,000000980,000002060,000004920,000005970,000008860,000002150,00000889-0,000001700,00000621-0,000003260,00000307-0,000002790,00000082-0,000001548
0,000003200,000005790,000010960,000008860,000018840,000005590,00001950-0,000003390,00001380-0,000007140,00000685-0,000006210,00000185-0,000003449
0,000000080,000000310,000001190,000002150,000005590,000006990,000008910,000000220,00000714-0,000003210,00000373-0,000003260,00000103-0,0000019110
0,000002800,000005170,000010140,000008890,000019500,000008910,000024710,000000000,00001950-0,000008910,00001014-0,000008890,00000280-0,0000051711
-0,00000078-0,00000136-0,00000244-0,00000170-0,000003390,000000220,000000000,000007220,000003390,000000220,00000244-0,000001700,00000078-0,0000013612
0,000001850,000003440,000006850,000006210,000013800,000007140,000019500,000003390,00001884-0,000005590,00001096-0,000008860,00000320-0,0000057913
-0,00000103-0,00000191-0,00000373-0,00000326-0,00000714-0,00000321-0,000008910,00000022-0,000005590,00000699-0,000001190,00000215-0,000000080,0000003114
0,000000890,000001660,000003330,000003070,000006850,000003730,000010140,000002440,00001096-0,000001190,00000803-0,000004920,00000270-0,0000046615
-0,00000082-0,00000154-0,00000307-0,00000279-0,00000621-0,00000326-0,00000889-0,00000170-0,000008860,00000215-0,000004920,00000597-0,000000980,0000020616
0,000000230,000000440,000000890,000000820,000001850,000001030,000002800,000000780,00000320-0,000000080,00000270-0,000000980,00000133-0,0000018217
-0,00000044-0,00000082-0,00000166-0,00000154-0,00000344-0,00000191-0,00000517-0,00000136-0,000005790,00000031-0,000004660,00000206-0,000001820,0000036918
[ K00 ]
-1
=

128

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Los desplazamientos en los grados de libertad serán: [U]= [Kc]
-1
[P]

[U]

U5= -0,000198
m
U6= -0,000351
rad
U7= -0,000639
m
U8= -0,000467
rad
U9= -0,001042
m
U10= -0,000333
rad
U11= -0,001243
m
U12= -0,000060
rad
U13= -0,001143
m
U14= 0,000271
rad
U15= -0,000754
m
U16= 0,000512
rad
U17= -0,000242
m
U18= 0,000424
rad
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Fuerzas
0,000001 0,000002 0,000003 0,000001 0,000003 0,000000 0,000003-0,0000010,000002-0,0000010,000001-0,0000010,000000 0,0000005 0 5
0,000002 0,000004 0,000005 0,000002 0,000006 0,000000 0,000005-0,0000010,000003-0,0000020,000002-0,0000020,000000-0,0000016 0 6
0,000003 0,000005 0,000008 0,000005 0,000011 0,000001 0,000010-0,0000020,000007-0,0000040,000003-0,0000030,000001-0,0000027 -49,057
0,000001 0,000002 0,000005 0,000006 0,000009 0,000002 0,000009-0,0000020,000006-0,0000030,000003-0,0000030,000001-0,0000028 0 8
0,000003 0,000006 0,000011 0,000009 0,000019 0,000006 0,000020-0,0000030,000014-0,0000070,000007-0,0000060,000002-0,0000039 0 9
0,000000 0,000000 0,000001 0,000002 0,000006 0,000007 0,000009 0,000000 0,000007-0,0000030,000004-0,0000030,000001-0,00000210 0 10
0,000003 0,000005 0,000010 0,000009 0,000020 0,000009 0,000025 0,000000 0,000020-0,0000090,000010-0,0000090,000003-0,00000511 0 11
-0,000001-0,000001-0,000002-0,000002-0,0000030,000000 0,000000 0,000007 0,000003 0,000000 0,000002-0,0000020,000001-0,00000112 0 12
0,000002 0,000003 0,000007 0,000006 0,000014 0,000007 0,000020 0,000003 0,000019-0,0000060,000011-0,0000090,000003-0,00000613 0 13
-0,000001-0,000002-0,000004-0,000003-0,000007-0,000003-0,0000090,000000-0,0000060,000007-0,0000010,000002 0,000000 0,00000014 0 14
0,000001 0,000002 0,000003 0,000003 0,000007 0,000004 0,000010 0,000002 0,000011-0,0000010,000008-0,0000050,000003-0,00000515 -73,57515
-0,000001-0,000002-0,000003-0,000003-0,000006-0,000003-0,000009-0,000002-0,0000090,000002-0,0000050,000006-0,0000010,00000216 0 16
0,000000 0,000000 0,000001 0,000001 0,000002 0,000001 0,000003 0,000001 0,000003 0,000000 0,000003-0,0000010,000001-0,00000217 0 17
0,000000-0,000001-0,000002-0,000002-0,000003-0,000002-0,000005-0,000001-0,0000060,000000-0,0000050,000002-0,0000020,00000418 0 18
X =
El desplazamiento vertical en los
puntos de aplicación de las cargas
y el centro de la viga
corresponden a los grados de
libertad 7,11 y 15:

U7=-0,000639m≈0,639 mm V ▼
U11= -0,001243m≈1,243mm V ▼
U15= -0,000754m≈0,76mm V ▼

129

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Figura 5.1-f. Deformada de la viga por la acción de las cargas
externas.

Reacciones en los empotrami entos de la viga

Las reacciones en la base será el producto de la sub matriz asociada al vector
de fuerzas (Kt0), con los desplazamientos calculados como se observó en los
ejercicios anteriores

[f]= [Kto]*[U]

Donde Kt0 será

Y es la sub matriz de la global que asocia las fuerzas con los desplazamientos
ya calculados.
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
-2326203,13 1163101,56 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,00 0,00 1
-1163101,56 387700,52 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,00 0,00 2
0,00 0,00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2326203,13 -1163101,56 3
0,00 0,00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1163101,56 387700,52 4
[ Kt0 ] =
4 x 14

130

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Las fuerzas calculadas a partir del producto de la sub matriz K t0 por los
desplazamientos conocidos son las se muestran en la tabla 5.1.

Tabla 5.1

Figura 5.1-g. Reacciones en los apoyos de la viga U globales
-0,00025
-0,000356
-0,000647
-0,000478
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
-0,001049
-2326203,13 1163101,56 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,00 0,00 1 -0,0003310
-1163101,56 387700,52 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,00 0,00 2 -0,0012411
0,00 0,00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2326203,13 -1163101,56 3 -6E-0512
0,00 0,00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1163101,56 387700,52 4 -0,0011413
0,0002714
-0,0007515
0,0005116
-0,0002417
0,0004218
14 x 1
[ Kt0 ] = x
4 x 14 Fuerza
Fuerza
kN,m
Fuerza
ton,m
f1
52,27 5,33
f2
94,12 9,60
f3
70,36 7,18
f4
-117,43 -11,98

131

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

5.2 Ejercicio 5.1 realizado en sap2000 versión académica

Se desea diseñar una viga en concreto reforzado para un puente bajo la
solicitación de las cargas dadas según la figura 5.1-a, por lo que se necesita
conocer sus reacciones, la deflexión en los puntos de aplicación de las cargas
y en el punto medio de la viga.
El concreto posee una resistencia a la compresión de 28 MPa y módulo de
elasticidad de 20 GPa.

Figura 5.2-a

Resolución:

A continuación se presenta el análisis de la viga mediante el p rograma
sap2000 versión académica , a modo de comprobación y uso de este
reconocido programa de análisis y diseño.

132

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Espacio y generación de la cuadricula de trabajo

Click en New Model (ver figura 5.2-b).

Figura 5.2-b

Se designan las unidades (kN,m) y se seleccionan el modelo de viga (Beam)
como se muestra en la figura 5.2-b, Como son ocho elementos de un metro
de longitud, se establecen en el programa (Number of Spans=8) y la longitud
de cada vano será un metro, y se le da ok (ver figura 5.2-c y 5.2-d).

Figura 5.2-c

133

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Figura 5.2-d

Sap2000 trabaja en los planos x,z donde x es el p lano horizontal y z el
vertical. Se seleccionan todos los elementos, luego click en borrar, y de
manera sencilla se tiene la cuadricula de trabajo para la viga como se
observa en la figura 5.2-e.

Figura 5.2-e

134

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Generación de las propiedades de la viga

En el menú Define dando click en Materials, se establece las propiedades del
material de la viga (ver figura 5.2-g).

Figura 5.2-f

Se da click en Add New Material y se asignan las propiedades del concreto;
Modulo de elasticidad (Ec=20GPa) y resistencia del concreto a la compresión
(28MPa), en unidades de N,mm que son equivalentes a MPa y se le asigna el
nombre de concreto de 28 MPa , los demás datos se dejan por defecto (ver
figura 5.2-g y 5.2-h).

135

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Figura 5.2-h

Geometría de la viga

En el mismo menú Define se establecen también las propiedades geométricas
de la viga como se aprecia en la figura 5.2-i.

Figura 5.2-h

136

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Se da click en section propierties y luego en Frame Sections, inmediatamente
se despliega el cuadro frame propierties (ver figura 5.2-j).

Figura 5.2-j

Se selecciona en frame section property type, la opcion concreto luego se
selecciona el icono de secciones rectangulares, como se aprecia en la figura 5.2-
k.

Figura 5.2-k

137

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Seleccionada la seccion rectangular, se crea una seccion inicial de 0,4m x
0,7m que es la geometria de la viga en el empotramiento, luego se genera
otra seccion de viga cuadrada de 0,4m x 0,4m que tiene lugar en el centro de
la viga como se aprecia en las figuras 5.2-L y 5.2-n, con el material asignado
de “CONCRETO 28 MPa” y en property Modifiers se modifican las propiedades
de la viga asiganado solo al momento de inercia alrededor del eje 3, como se
muestra en la figura 5.2-m

Figura 5.2-L

Figura 5.2-m

138

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Figura 5.2-n. Cuadro de frame propierties con la sección de 0,4m x
0,7m creada.

Figura 5.2-o. Sección de 0,4m x 0,4m

Una vez creadas las dos secciones, Se selecciona en frame section property type,
la opción other luego se selecciona el icono de secciones no prismáticas
(Nonprimatic), como se aprecia en la figura 5.2-p y 5.2-q.

139

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Figura 5.2-p.

Figura 5.2-q

Dentro del cuadro de dialogo Nonprismatic section Definition se genera una
sección única nombrada sección 1, en la cual la sección de inicio (star
section) será de 0,4m x 0,7m y al final (End section) de 0,4m x 0,4m la
variación de la inercia será designada lineal , como se muestra en la figura
5.2-r.

140

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Figura 5.2-r

Figura 5.2-s. sección 1 con la inercia variable generada.

141

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Dibujo de la viga

Pasamos luego a dibujar la viga en el menú Draw frame (ver figura 5.2-t).

Figura 5.2-t

Asignamos sección 1para poderla dibujar, recordando que la viga inicia con
una sección de 0,4m x 07 m donde primero se da e l click, donde finalice será
una sección de 0,4m x 0,4m que corresponde al centro de la viga (ver figura
5.2-u)

Figura 5.2-u

142

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Figura 5.2-v. Dibujando la sección 1 desde A,1 hasta E,1.

Figura 5.2-w. sección 1 dibujada en la hasta la mitad de la vig a.

Se puede observar como sap2000, asimila la variación lineal de la inercia de
la viga de manera trapezoidal, esto no difiere en los cálculos teniendo en
cuenta el esquema inicial de la viga expuesto en el planteamiento del
ejercicio donde solamente el lado inferior de la viga es a que varía
linealmente.

143

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Figura 5.2-x. Dibujo de la sección faltante de la viga iniciando desde
I,1 hasta E,1.

Figura 5.2-y. Viga dibujada.

144

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Figura 5.2-z. selección de los nodos extremos de la viga

Figura 5.2-aa. Asignación de la condición d empotramiento en los
extremos de la viga

145

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Figura 5.2-ab. Asignación de la condición de empotramiento en los
extremos de la viga

Figura 5.2-ac. Viga con sección asignada y bien empotrada

146

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Luego se divide la viga en sus 8 secciones de un metro de longitus, para ellos
se entra al menu Edit, Edit lines y Divide Frame somo se muestra en la figura
5.2-ad.

Figura 5.2-ad.

Una vez ingresado en el cuadro divide frames, se divide las dos secciones
dibujadas manualmente en 4 de un metro de longitud cada una (ver figura
5.2-ae).

Figura 5.2-ae

147

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Finalmente se puede observar la viga dividida en los 8 vanos conectados por
sus nodos y de un metro de longitud como se muestra en la figura 5.2-af.

Figura 5.2-af

Asignación de cargas actuantes

En el planteamiento del ejercicio se observa que existen solo dos fuerzas que
actúan en la dirección gravitatoria a dos metros desde los extremos de la
viga.

Primero se entra en el menú Assign, join loads y forces ver figura 5.2-ag.

Figura 5.2-ag

148

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Luego se asignan las fuerzas en los nodos indicados según el ejercicio para
ello se cambia en el cuadro de dialogo joint forces las unidades a ton,m, y se
asignas las fuerzas actuantes (ver figura 5.2-ah).

Figura 5.2-ah

Figura 5.2-ai. Cargas actuantes sobre la viga en kN

149

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Análisis de la viga

Finalmente se analiza la viga con las secciones, materiales y condiciones de
carga estipuladas anteriormente, para ello se adentra en el menú Analyze,
Set Analysis options (ver figura 5.2-aj).

Figura 5.2-aj

Dentro del cuadro de dialogo del analysis options se le dice a Sap2000 que
solo realice el análisis en los plans XZ, para facilidad y operación del
programa ya que no existe la necesidad de realizar el análisis en tres
dimensiones (ver figura 5.2-ak).

Figura 5.2-ak

150

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Finalmente se le da correr al programa para que lleve a cabo el análisis de la
viga en el menú Analyze o con la tecla F5 (ver figura 5.2-aL).

Figura 5.2-aL

Figura 5.2-am corrida del programa Sap2000

151

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Resultados del analisis d ela viga

Figura 5.2-an. Diagrama de deformación de la viga debido a las
cargas impuestas

Figura 5.2-an. Diagrama de Momentos de la viga en ton,m

152

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Figura 5.2-ao. Reacciones de la viga en ton,m

Figura 5.2-ap. Desplazamientos en el centro de la viga debido a las
cargas impuestas

Se puede observar que la variación con la resolución analítica de la viga y
asumiendo secciones rectangulares con alturas equivalentes asumidas en el
ejercicio 5.1 es mínima, por lo tanto se puede concluir que el program a
realizó el análisis de manera acertada o quizás con mayor precisión por tener
en cuenta de manera más analítica la variación inercial de la viga.

153

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

5.3 Análisis sísmico de pórtico bidimensional de concreto con base en
el reglamento NSR -10.

Se desea diseñar el pórtico de la figura 5.3-a, para lo cual es necesario
conocer los desplazamientos relativos de piso debido a la carga sísmica de
análisis en la dirección x del sistema de coordenadas establecido.

Datos generales

Ciudad: Cúcuta
Grupo de uso: III
Perfil del suelo: Tipo E
Periodo efectivo en la dirección x: 0,45 s
Frecuencia: 2,21 Hz
Carga Muerta: 1,5 ton/m
Carga viva: 0,5 ton/m

Figura 5.3-a

154

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

 Propiedad del concreto y sección transversal:

Módulo de elasticidad del concreto (Ec): 20 GPa
Área: 0,09 m
2

Inercia de la sección: 0,000675 m
4

Resolución:

 Movimientos sísmicos de diseño para la ciudad de Cúcuta (A.2.2)

Con las especificaciones del reglamento se obtiene los coeficientes que están
asociados para los movimientos sísmicos de diseño (Aa, Av, Fa y Fv).

CIUDAD
CÓDIGO
DEL
MUNICIPIO

Aa

Av
ZONA DE
AMENAZA

Ae

Ad
Cúcuta 54001 0,35 0,25 Alta 0,25 0,10

 Espectro elástico de análisis (A.2.6.1)
La forma del espectro elástico de aceleraciones, Sa expresada como fracción
de la gravedad, para un coef iciente de cinco por ciento (5%) del
amortiguamiento crítico, que se debe utilizar en el diseño, se da en la figura
A.2.6-1.

155

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

 Resumen de los Movimientos sísmicos de diseño

Espectro elástico de aceleraciones

Se obtiene entonces que para el periodo de 0,45 s, la aceleración efectiva es
igual a: Sa= 1,15.
Ciudad Cúcuta
Coeficiente de
Importancia
(Uso III)
1,25
Zona Sísmica Alta
Tipo de Perfil E
Aa 0,35
Av 0,25
Ae 0,25
Ad 0,10
Fa 1,05
Fv 3,00
Tc 0,98
Tl 7,20
To 0,20

156

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

 Determinación de las fuerzas sísmicas

Las cargas sísmicas se calculan a partir de la fuerza horizontal equivalente
como está establecido en el capítulo A.4 del reglamento NSR-10.

El cortante sísmico en la base (Vs) equivalente a la totalidad de los efectos
inerciales horizontales producidos por los movimientos sísmicos de diseño, en
la dirección en estudio, se obtiene por medio de la siguiente ecuación:

Vs = Sa g M donde M es la masa total de la estructura.

o Cálculo de la masa total de la estructura

Asumiendo un peso específico de 2,4 ton/m
3
para concreto reforzado se
obtiene:

Columnas: 6,15 x (0,3 x 0,3) x 2 x 2,4= 2,6568 ton
Vigas: 5,2 x (0,3 x 0,3) x 2 x 2,4= 2,2464 ton
Carga muerta: 5,2 x 1,5 x 2= 15,16 ton

Masa total= 20,07 toneladas ≈ 20.070 kg

Por lo tanto el cortante sísmico, Vs, será igual a:

Vs= 1,15 x 9,81m/s
2
x 20.070 kg
Vs=23,1 ton

157

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

o Distribución de las masa por entrepiso

Figura 5.3-b. Distribución de las masas en los entrepisos del pórtico

A partir de la figura anterior, Se obtiene que la masa que se concentra a 3 y
6 metros será igual a 10,032 ton y 9,3642ton respectivamente.

o Calculo de la fuerza sísmica horizontal

A.4.3.2 — La fuerza sísmica horizontal, Fx, en cualquier nivel x, para la
dirección en estudio, debe determina a partir de la siguiente ecuación:

158

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Donde k es un exponente relacionado con el período fundamental, T , de la
edificación como sigue

(a) Para T menor o igual a 0.5 segundos, k = 1.0
(b) Para T entre 0.5 y 2.5 segundos, k = 0.75 + 0.5*T y
(c) Para T mayor que 2.5 segundos, k = 2.0

Para T ≤ 0,5 segundos el exponte k será 1.0, ya que T=0,45 s < 0,5 s

Distribución de las fuerzas sísmicas sobre el pórtico

Figura 5.3-c. Distribución de las fuerzas sísmicas en el pórtico

6 9,3642 56,19 0,65 15,04215,0424
3,0 10,032 30,10 0,35 8,058 23,1
Ʃ 86,28 1,00
fi (ton)Ci (ton)hi (m) mi mi*(hi^k) Cvi

159

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Análisis de la estructura

 Discretización del pórtico

Se numera los grados de libertad de tal manera que las reacciones resulten
agrupadas, como se aprecia en la figura 5.3-d.

Figura 5.3-d. Discretización del pórtico

Cabe mencionar que el análisis se realiza sin tener en cuenta las cargas
muertas de la estructura, ya que se pretende mediante el análisis dar la
rigidez suficiente para controlar las derivas de piso.

160

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Matriz de rigidez local y global de los elementos de la estructura

Elemento 1
Angulo de rotación 90° (1,57 rad). L=3,0 m

Matriz de rigidez en coordenadas locales en kN/m

Para un Angulo de rotación de 90° y sustituyendo en la matriz de rotación del
para un elemento pórtico se obtiene
E= 20000000 kpa
L= 3,00 m
B 0,30 m
H 0,30 m
A= 0,0900
I= 0,0006750
Ѳ= 90,00 °
Ѳ= 1,57 rad 1 2 3 4 5 6
600000,0 0,0 0,0 -600000,0 0,0 0,0 1
0,0 6000,0 9000,0 0,0 -6000,0 9000,0 2
0,0 9000,0 18000,0 0,0 -9000,0 9000,0 3
-600000,0 0,0 0,0 600000,0 0,0 0,0 4
0,0 -6000,0 -9000,0 0,0 6000,0 -9000,0 5
0,0 9000,0 9000,0 0,0 -9000,0 18000,0 6
[ k
1 ] =

161

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Realizando la operación matricialmente K global= [T’][K local][T] se obtiene la
matriz de rigidez global del elemento (girado los 90°), y asociada a los
grados de libertad globales del pórtico.

Elemento 2

Angulo de rotación 90° (1,57 rad). L=3,0 m

0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0
-1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0
0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,0
0,0 0,0 0,0 -1,0 0,0 0,0
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0
[ T ] = 1 2 3 10 11 12
6000,00 0,00 -9000,00 -6000,00 0,00 -9000,00 1
0,00 600000,00 0,00 0,00 -600000,00 0,00 2
-9000,00 0,00 18000,00 9000,00 0,00 9000,00 3
-6000,00 0,00 9000,00 6000,00 0,00 9000,00 10
0,00 -600000,00 0,00 0,00 600000,00 0,00 11
-9000,00 0,00 9000,00 9000,00 0,00 18000,00 12
[ K
1 ] = E= 20000000 kpas
L= 3,00 m
B 0,30 m
H 0,30 m
A= 0,0900
I= 0,0006750
Ѳ= 90,00 °
Ѳ= 1,57 rad

162

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Matriz de rigidez en coordenadas locales en kN/m

Para un Angulo de rotación de 90° y sustituyendo en la matriz de rotación del
para un elemento pórtico se obtiene

Realizando la operación matricialmente K global= [T’][k2][T] se obtiene la
matriz de rigidez global del elemento (girado los 90°), y asociada a los
grados de libertad globales del pórtico.

1 2 3 4 5 6
600000,00 0,00 0,00 -600000,00 0,00 0,00 1
0,00 6000,00 9000,00 0,00 -6000,00 9000,00 2
0,00 9000,00 18000,00 0,00 -9000,00 9000,00 3
-600000,00 0,00 0,00 600000,00 0,00 0,00 4
0,00 -6000,00 -9000,00 0,00 6000,00 -9000,00 5
0,00 9000,00 9000,00 0,00 -9000,00 18000,00 6
[ k
2 ] = 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00
-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00
0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00
0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00
[ T ] = 4 5 6 7 8 9
6000,00 0,00 -9000,00 -6000,00 0,00 -9000,00 4
0,00 600000,00 0,00 0,00 -600000,00 0,00 5
-9000,00 0,00 18000,00 9000,00 0,00 9000,00 6
-6000,00 0,00 9000,00 6000,00 0,00 9000,00 7
0,00 -600000,00 0,00 0,00 600000,00 0,00 8
-9000,00 0,00 9000,00 9000,00 0,00 18000,00 9
[ K
2 ] =

163

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Elemento 3

Angulo de rotación 90° (1,57 rad). L=3,0 m

Matriz de rigidez en coordenadas locales en kN/m

Para un Angulo de rotación de 90° y sustituyendo en la matriz de rotación del
para un elemento pórtico se obtiene:

E= 20000000 kpas
L= 3,00 m
B 0,30 m
H 0,30 m
A= 0,0900
I= 0,0006750
Ѳ= 90,00 °
Ѳ= 1,57 rad 1 2 3 4 5 6
600000,00 0,00 0,00 -600000,00 0,00 0,00 1
0,00 6000,00 9000,00 0,00 -6000,00 9000,00 2
0,00 9000,00 18000,00 0,00 -9000,00 9000,00 3
-600000,00 0,00 0,00 600000,00 0,00 0,00 4
0,00 -6000,00 -9000,00 0,00 6000,00 -9000,00 5
0,00 9000,00 9000,00 0,00 -9000,00 18000,00 6
[ k
3 ] = 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0
-1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0
0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,0
0,0 0,0 0,0 -1,0 0,0 0,0
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0
[ T ] =

164

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Realizando la operación matricialmente K global= [T’][k3][T] se obtiene la
matriz de rigidez global del elemento (girado los 90°), y asociada a los
grados de libertad globales del pórtico.

Elemento 4

Angulo de rotación 90° (1,57 rad). L=3,0 m

10 11 12 16 17 18
6000,00 0,00 -9000,00 -6000,00 0,00 -9000,00 10
0,00 600000,00 0,00 0,00 -600000,00 0,00 11
-9000,00 0,00 18000,00 9000,00 0,00 9000,00 12
-6000,00 0,00 9000,00 6000,00 0,00 9000,00 16
0,00 -600000,00 0,00 0,00 600000,00 0,00 17
-9000,00 0,00 9000,00 9000,00 0,00 18000,00 18
[ K
3 ] = E= 20000000 kpas
L= 3,00 m
B 0,30 m
H 0,30 m
A= 0,0900
I= 0,0006750
Ѳ= 90,00 °
Ѳ= 1,57 rad

165

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Matriz de rigidez en coordenadas locales en kN/m

Para un Angulo de rotación de 90° y sustituyendo en la matriz de rotación del
para un elemento pórtico se obtiene:

Realizando la operación matricialmente K global= [T’][k4][T] se obtiene la
matriz de rigidez global del elemento (girado los 90°), y asociada a los
grados de libertad globales del pórtico.

1 2 3 4 5 6
600000,00 0,00 0,00 -600000,00 0,00 0,00 1
0,00 6000,00 9000,00 0,00 -6000,00 9000,00 2
0,00 9000,00 18000,00 0,00 -9000,00 9000,00 3
-600000,00 0,00 0,00 600000,00 0,00 0,00 4
0,00 -6000,00 -9000,00 0,00 6000,00 -9000,00 5
0,00 9000,00 9000,00 0,00 -9000,00 18000,00 6
[ k
4 ] = 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00
-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00
0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00
0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00
[ T ] = 7 8 9 13 14 15
6000,00 0,00 -9000,00 -6000,00 0,00 -9000,00 7
0,00 600000,00 0,00 0,00 -600000,00 0,00 8
-9000,00 0,00 18000,00 9000,00 0,00 9000,00 9
-6000,00 0,00 9000,00 6000,00 0,00 9000,00 13
0,00 -600000,00 0,00 0,00 600000,00 0,00 14
-9000,00 0,00 9000,00 9000,00 0,00 18000,00 15
[ K
4 ] =

166

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Elemento 5

Angulo de rotación 0° (1,57 rad). L=3,0 m

Matriz de rigidez en coordenadas locales en kN/m

Dado que no existe rotación del sistema para este elemento, la matriz de
rigidez global es la misma local, siempre y cuando se asocien los grados de
libertad globales del pórtico a elemento como se muestra en la siguiente
matriz.
E= 20000000 kpas
L= 5,50 m
B 0,30 m
H 0,30 m
A= 0,0900
I= 0,0006750
Ѳ= 0,00 °
Ѳ= 0,00 rad 1 2 3 4 5 6
327272,73 0,00 0,00 -327272,73 0,00 0,00 1
0,00 973,70 2677,69 0,00 -973,70 2677,69 2
0,00 2677,69 9818,18 0,00 -2677,69 4909,09 3
-327272,73 0,00 0,00 327272,73 0,00 0,00 4
0,00 -973,70 -2677,69 0,00 973,70 -2677,69 5
0,00 2677,69 4909,09 0,00 -2677,69 9818,18 6
[ k
5 ] = 16 17 18 13 14 15
327272,73 0,00 0,00 -327272,73 0,00 0,00 16
0,00 973,70 2677,69 0,00 -973,70 2677,69 17
0,00 2677,69 9818,18 0,00 -2677,69 4909,09 18
-327272,73 0,00 0,00 327272,73 0,00 0,00 13
0,00 -973,70 -2677,69 0,00 973,70 -2677,69 14
0,00 2677,69 4909,09 0,00 -2677,69 9818,18 15
[ K
5 ] =

167

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Elemento 6
Angulo de rotación 0° (1,57 rad). L=3,0 m

Matriz de rigidez con coordenadas locales en kN/m

Al igual que el elemento 5, para este no existe rotación del sistema por lo
tanto la matriz de rigidez global es la misma local, siempre y c uando se
asocien los grados de libertad globales del pórtico a elemento como se
muestra en la siguiente matriz.

E= 20000000 kpas
L= 5,50 m
B 0,30 m
H 0,30 m
A= 0,0900
I= 0,0006750
Ѳ= 0,00 °
Ѳ= 0,00 rad 1 2 3 4 5 6
327272,73 0,00 0,00 -327272,73 0,00 0,00 1
0,00 973,70 2677,69 0,00 -973,70 2677,69 2
0,00 2677,69 9818,18 0,00 -2677,69 4909,09 3
-327272,73 0,00 0,00 327272,73 0,00 0,00 4
0,00 -973,70 -2677,69 0,00 973,70 -2677,69 5
0,00 2677,69 4909,09 0,00 -2677,69 9818,18 6
[ k
6 ] = 10 11 12 7 8 9
327272,73 0,00 0,00 -327272,73 0,00 0,00 10
0,00 973,70 2677,69 0,00 -973,70 2677,69 11
0,00 2677,69 9818,18 0,00 -2677,69 4909,09 12
-327272,73 0,00 0,00 327272,73 0,00 0,00 7
0,00 -973,70 -2677,69 0,00 973,70 -2677,69 8
0,00 2677,69 4909,09 0,00 -2677,69 9818,18 9
[ K
6 ] =

168

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Matriz de rigidez del pórtico (kN/m)

La matriz es simétrica de 18x18 que es el número de grados de libertad establecidos en la
discretización de la estructura y está en unidades de kN/m.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
6000 0 -9000 0 0 0 0 0 0 -6000 0 -9000 0 0 0 0 0 0 1
0 600000 0 0 0 0 0 0 0 0 -600000 0 0 0 0 0 0 0 2
-9000 0 18000 0 0 0 0 0 0 9000 0 9000 0 0 0 0 0 0 3
0 0 0 6000 0 -9000 -6000 0 -9000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4
0 0 0 0 600000 0 0 -600000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5
0 0 0 -9000 0 18000 9000 0 9000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6
0 0 0 -6000 0 9000 339273 0 0 -327273 0 0 -6000 0 -9000 0 0 0 7
0 0 0 0 -600000 0 0 1200974 -2678 0 -974 -2678 0 -600000 0 0 0 0 8
0 0 0 -9000 0 9000 0 -2678 45818 0 2678 4909 9000 0 9000 0 0 0 9
-6000 0 9000 0 0 0 -327273 0 0 339273 0 0 0 0 0 -6000 0 -900010
0 -600000 0 0 0 0 0 -974 2678 0 1200974 2678 0 0 0 0 -600000 0 11
-9000 0 9000 0 0 0 0 -2678 4909 0 2678 45818 0 0 0 9000 0 9000 12
0 0 0 0 0 0 -6000 0 9000 0 0 0 333273 0 9000-327273 0 0 13
0 0 0 0 0 0 0 -600000 0 0 0 0 0 600974 -2678 0 -974 -267814
0 0 0 0 0 0 -9000 0 9000 0 0 0 9000 -2678 27818 0 2678 4909 15
0 0 0 0 0 0 0 0 0 -6000 0 9000-327273 0 0 333273 0 9000 16
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -600000 0 0 -974 2678 0 600974 2678 17
0 0 0 0 0 0 0 0 0 -9000 0 9000 0 -2678 4909 9000 2678 2781818
[Kp] =

169

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Vector de fuerzas externas

Vector de desplazamientos

La rigidez (K) está dada por

??????=
F
U

[U]= [K]
-1
[F]
gdlFuerzas
1 Ax
2 Ay
3 M
A
4 Bx
5 By
6 M
B
7 39,5
8 0
9 0
10 39,5
11 0
12 0
13 73,706
14 0
15 0
16 73,706
17 0
18 0
Estas son las fuerzas externas en kN
asociadas a los grados de libertad de la
estructura según la discretización (ver
figuras 5.2-b y 5.2-c).

170

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Se sustrae la sub matriz de rigidez asociada a las fuerzas conocidas (K00)
para calcular sus desplazamiento aplicando la ecuación [U]= [K00]
-1
[F]

Obteniendo la inversa de la matriz K00 resulta

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
339272,7 0,0 0,0 -327272,7 0,0 0,0 -6000,0 0,0 -9000,0 0,0 0,0 0,07
0,0 1200973,7-2677,7 0,0 -973,7 -2677,7 0,0 -600000,0 0,0 0,0 0,0 0,08
0,0 -2677,745818,2 0,0 2677,7 4909,1 9000,0 0,0 9000,0 0,0 0,0 0,09
-327272,7 0,0 0,0 339272,7 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -6000,0 0,0 -9000,010
0,0 -973,7 2677,7 0,0 1200973,72677,7 0,0 0,0 0,0 0,0 -600000,0 0,011
0,0 -2677,7 4909,1 0,0 2677,7 45818,2 0,0 0,0 0,0 9000,0 0,0 9000,012
-6000,0 0,0 9000,0 0,0 0,0 0,0 333272,7 0,0 9000,0-327272,7 0,0 0,013
0,0 -600000,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 600973,7-2677,7 0,0 -973,7 -2677,714
-9000,0 0,0 9000,0 0,0 0,0 0,0 9000,0 -2677,727818,2 0,0 2677,7 4909,115
0,0 0,0 0,0 -6000,0 0,0 9000,0-327272,7 0,0 0,0 333272,7 0,0 9000,016
0,0 0,0 0,0 0,0 -600000,0 0,0 0,0 -973,7 2677,7 0,0 600973,72677,717
0,0 0,0 0,0 -9000,0 0,0 9000,0 0,0 -2677,7 4909,1 9000,0 2677,7 27818,218
[K
00] = 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
0,00013 0,00000-0,000030,00013 0,00000-0,000030,00019 0,00000-0,000010,00019 0,00000-0,000017
0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,000008
-0,00003 0,00000 0,00004-0,00003 0,00000 0,00001-0,00007 0,00000 0,00000-0,00007 0,00000 0,000019
0,00013 0,00000-0,000030,00013 0,00000-0,000030,00019 0,00000-0,000010,00019 0,00000-0,0000110
0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,0000011
-0,00003 0,00000 0,00001-0,00003 0,00000 0,00004-0,00007 0,00000 0,00001-0,00007 0,00000 0,0000012
0,00019 0,00000-0,000070,00019 0,00000-0,000070,00048 0,00000-0,000060,00047 0,00000-0,0000613
0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,0000014
-0,00001 0,00000 0,00000-0,00001 0,00000 0,00001-0,00006 0,00000 0,00005-0,00006 0,00000 0,0000015
0,00019 0,00000-0,000070,00019 0,00000-0,000070,00047 0,00000-0,000060,00048 0,00000-0,0000616
0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,0000017
-0,00001 0,00000 0,00001-0,00001 0,00000 0,00000-0,00006 0,00000 0,00000-0,00006 0,00000 0,0000518
[K
00]
-1
=

171

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Los desplazamientos en los grados de libertad serán: [U]= [K00]
-1
[F]

Los desplazamientos se la estructura para cada grado de libertad serán:

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Fuerzas
0,00013 0,00000-0,000030,00013 0,00000-0,000030,00019 0,00000-0,000010,00019 0,00000-0,000017 39,507
0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,000008 0,008
-0,00003 0,00000 0,00004-0,00003 0,00000 0,00001-0,00007 0,00000 0,00000-0,00007 0,00000 0,000019 0,009
0,00013 0,00000-0,000030,00013 0,00000-0,000030,00019 0,00000-0,000010,00019 0,00000-0,0000110 39,5010
0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,0000011 0,0011
-0,00003 0,00000 0,00001-0,00003 0,00000 0,00004-0,00007 0,00000 0,00001-0,00007 0,00000 0,0000012 0,0012
0,00019 0,00000-0,000070,00019 0,00000-0,000070,00048 0,00000-0,000060,00047 0,00000-0,0000613 73,70613
0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,0000014 0,0014
-0,00001 0,00000 0,00000-0,00001 0,00000 0,00001-0,00006 0,00000 0,00005-0,00006 0,00000 0,0000015 0,0015
0,00019 0,00000-0,000070,00019 0,00000-0,000070,00047 0,00000-0,000060,00048 0,00000-0,0000616 73,70616
0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,0000017 0,0017
-0,00001 0,00000 0,00001-0,00001 0,00000 0,00000-0,00006 0,00000 0,00000-0,00006 0,00000 0,0000518 0,0018
12 x 1
X[U] =
12 x 12 U7= 0,03922 m
U8= -0,00020 m
U9= -0,01357 rad
U10= 0,03922 m
U11= 0,00020 m
U12= -0,01357 rad
U13= 0,08536 m
U14= -0,00028 m
U15= -0,00900 rad
U16= 0,08536 m
U17= 0,00028 m
U18= -0,00900 rad

172

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Figura 5.3-e. deformada de la viga por la acción de las cargas
externas.

Reacciones en los empotramientos de la viga

Las reacciones en la base será el producto de la sub matriz asociada al vector
de fuerzas (Kto), con los desplazamientos calculados resulta

[F]= [Kf]*[U]

Donde Kto será

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
0,0 0,0 0,0 -6000,0 0,0 -9000,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1
0,0 0,0 0,0 0,0 -600000,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 2
0,0 0,0 0,0 9000,0 0,0 9000,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 3
-6000,0 0,0 -9000,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 4
0,0 -600000,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 5
9000,0 0,0 9000,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 6
6 x 12
[ K
to ] =

173

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Las reacciones en la base del pórtico serán entonces:

Por lo tanto las fuerzas serán

[U]
0,03922 7
-0,000208
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 -0,013579
0,0 0,0 0,0 -6000,0 0,0 -9000,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1 0,03922 10
0,0 0,0 0,0 0,0 -600000,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 2 0,00020 11
0,0 0,0 0,0 9000,0 0,0 9000,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 3 -0,0135712
-6000,0 0,0 -9000,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 4 0,08536 13
0,0 -600000,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 5 -0,0002814
9000,0 0,0 9000,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 6 -0,0090015
0,08536 16
0,00028 17
-0,0090018
12 x 1
6 x 12
X[ K
to ] = Fuerza
Fuerza
(kN,m)
Fuerza
(ton,m)
Ax -113,21-11,55
Ay -119,95-12,24
M
A 230,87 23,56
Bx -113,21-11,55
By 119,95 12,24
M
B 230,87 23,56

174

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Figura 5.3-f. Reacciones en la base del pórtico

El concreto es un material que soporta eficientemente esfuerzos a
compresión, pero cuando se exige a tensión su respuesta es deficiente por
eso la necesidad del concreto reforzado con barras de acero.

El módulo de elasticidad del concreto está dado por la ecuación 5.1 según el
reglamento NSR-10

Ec= 4700√&#3627408467;´&#3627408464; en MPa ecu. 5.1

Una alternativa es estimarlo a partir del modelo matemático expuesto en los
comentarios oficiales del reglamento, en el cual se establece que el módulo
de elasticidad del concreto será el expresado en la ecuación 5.2.

Ec= 3900√&#3627408467;´&#3627408464; en MPa ecu. 5.2

Y es el producto de la investigación realizada por la universidad de los Andes
y Javeriana con diversos agregados del país, cuya expresión es el valor medio

175

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

para toda la información experimental nacional, sin distinguir el tipo de
agregado debido a su origen geológico (sedimentario, ígneo o metamórfico).

Figura 5.2-g. Curvas de esfuerzo deformación del concreto sometido
a esfuerzos de compresión

Ahora bien, este módulo de elasticidad se obtiene a partir de ensayos a
compresión en el concreto (ver figura 5.3-g), surge entonces un interrogante
¿el módulo de elasticidad del concreto a compresión es el mismo si se calcula
a partir de ensayo a tensión?

Se ha demostrado a través de ensayos a tensión de cilindros de concreto,
que el módulo de elasticidad del concreto a tensión en tan pequeño que
tiende a cero, como se observa en la figura 5.3-h

176

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Figura 5.3-h. Concreto sometido a esfuerzos de tensión

Revisando la matriz de rigidez de los elementos que involucra esta variable,
se aprecia que su valor es constante, como se ha desarrollado en los
ejercicios del texto.

1 2 3 4 5 6
0 0 0 0 1
0 0 2
0 0 3
0 0 0 0 4
0 0 5
0 0 6
=[K]

-

-

-

-

-

-

-

-

177

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

No importa si los elementos se deformen por compresión o tensión, el módulo
de elasticidad dentro de la matriz de rigidez siempre será constante, por lo
tanto cuando las fuerzas internas de elementos en concreto resulten a
tensión como el ejercicio anterior, en el cual una de las columnas estará
sometida a tensión y la otra a compresión para conservar el equilibrio
estático, automáticamente se calculan desplazamientos a partir de un módulo
de elasticidad que para ciertos elementos no resulta real.

Cuando se analizan estructuras de concreto como la anterior, para controlar
derivas y calcular posteriormente las fuerzas internas de diseño teniendo en
cuenta la ductilidad de la estructura, se presentan variaciones en las
propiedades mecánicas del concreto ante diversos regímenes de esfuerzos.

Una forma de disminuir la incertidumbre, es obtener comparaciones
estratégicas de las cargas axiales por sismo y cargas muertas de la
estructura, es decir, que la fuerza axial que concentra un elemento por las
cargas muertas sea mayor o igual a las fuerzas de tensión que se calculan a
partir del análisis sísmico de la estructura dividida entre un factor de
seguridad que será mayor o igual a 1,0.

PD ≥
P
S
fs

Dónde:
PD: fuerza axial por cargas muertas
PS: fuera axial de tensión por sismo
fs: Factor de seguridad (fs≥ 1,0)

De esta manera se podría tener una aproximación de los desplazamientos de
la estructura o se realizaría el análisis de la estructura con las cargas de
sismo y cargas muertas, como se observa en la figura 5.3-i.

178

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Figura 5.3-i. Cargas muertas y de sismo en el pórtico

Aun así es necesario establecer nuevas metodologías de análisis para
estructuras en concreto que realmente reflejen estas fluctuaciones de las
propiedades mecánicas del concreto bajo diferentes estados de esfuerzos y
llegar a una aproximación más real del comportamiento de la estructura por
la acción de cargas externas, principalmente de sismo.

179

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

5.4 Análisis de la sección trasversal de un puente apoyado sobre una
columna.

Se desea conocer las reacciones y deflexiones de los extremos de los
voladizos para las cargas externas a las cuales está sometida la estructura.
El concreto posee una resistencia a la compresión de 28 MPa y módulo de
elasticidad de 20 GPa, el ancho de los todos los elementos es de 0,7 m. no
considere el peso propio.

Figura 5.4-a
Resolución:

E= 20 000 000 KPa
b= 0,7 m
h= variable
Inercia (elem. 1, 2 y 5)=

&#3627408463;ℎ

(ver figura 5.3-b)
Inercia elementos 3 y 4= variable

180

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Discretización de la estructura

Para el presente ejercicio se asumió un número de elementos iguales a 5
unidos por nodos que tendrán tres posibilidades de desplazamiento;
horizontal, vertical y de giro como se muestra a continuación.

Figura 5.4-b. Discretización de la estructura

Las variables necesarias para construir la matriz de rigidez local de los
elementos están establecidas como lo es E y A pero la inercia de los
elementos 3 y 4 son variables, será necesario su cálculo de manera analítica
para sustituir luego en la matriz de rigidez de estos elementos.

Realizando el cálculo de manera analítica de los elementos 3 y 4 resulta

181

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

h varia respecto a x; el ancho de la viga es constante e igual a 0,7 m.
La función que describe esta variación será de la forma y= ax
2
+bx+c
Evaluando la ecuación para cada punto se obtienen los coeficientes a, b y c.

Punto No 1: (x,y) = (0,0)
0=a(0)+b(0)+c
Por lo tanto c= 0

Punto No 2: (x,y) = (1.21,0.51)
0,51=a(1,21)
2
+b(1,21)
1,464a+1,21b= 0,51 Ec. 1

Punto No 3: (x,y) = (2.5,0.75)
0,75=a(2,5)
2
+b(2,5)
6,25a+2,5b= 0,754 Ec. 2

Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene:
1,464a+1,21b= 0,51
6,25a+2,5b= 0,754
a= -0,0938
b= 0,535

Por lo tanto la ecuación que describe la variación de la altura del elemento en
función de x será:

h=1,25 - (-0,0938x
2
+ 0,535x)
h= 1,25 + 0,0938x
2
-0,535x

La inercia de la sección será

=

∗0,7∗∫(&#3627409359;,&#3627409360;&#3627409363; + &#3627409358;,&#3627409358;&#3627409367;&#3627409361;&#3627409366;??????&#3627409360; −&#3627409358;,&#3627409363;&#3627409361;&#3627409363;??????)

&#3627408465;??????
,5
0
Resolviendo la integral,
=

∗0,7∗( , 7)
I= 0,0858 m
4

A= bh= 0,7*∫(&#3627409359;,&#3627409360;&#3627409363; + &#3627409358;,&#3627409358;&#3627409367;&#3627409361;&#3627409366;??????&#3627409360; −&#3627409358;,&#3627409363;&#3627409361;&#3627409363;??????)&#3627408465;??????
,5
0
= 1,36 m
2

A= 1,36 m
2

182

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Matriz de rigidez local y global de los elementos de la estructura

Elemento 1: Angulo de rotación 90° (1,57 rad). L=3,0 m

Sustituyendo los valores de E, A y I se obtiene la Matriz de rigidez en
coordenadas locales presentada en capítulo 1 del presente texto:

Para un Angulo de rotación de 90° y sustituyendo en la matriz de rotación del
para un elemento pórtico se obtiene:

E= 20000000 kpas
L= 5,50 m
B 0,70 m
H 1,00 m
A= 0,7000
I= 0,05833 m4
Ѳ= 90,00 ° 1 2 3 4 5 6
2545454,55 0,00 0,00 -2545454,55 0,00 0,00 1
0,00 84147,26 231404,96 0,00 -84147,26 231404,96 2
0,00 231404,96 848484,85 0,00 -231404,96 424242,42 3
-2545454,55 0,00 0,00 2545454,55 0,00 0,00 4
0,00 -84147,26 -231404,96 0,00 84147,26 -231404,965
0,00 231404,96 424242,42 0,00 -231404,96 848484,85 6
[ k
1 ] = 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00
-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00
0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00
0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00
[ T
] =

183

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Realizando la operación matricialmente K global= [T’]*[K local]*[T] se
obtiene la matriz de rigidez global del elemento 1 (girado los 90°), y asociada
a los grados de libertad globales de la estructura.

Elemento 2: Angulo de rotación 0°.L=2,5 m

Matriz de rigidez en coordenadas locales

1 2 3 10 11 12
84147 0 -231405 -84147 0 -231405 1
0 2545455 0 0 -2545455 0 2
-231405 0 848485 231405 0 424242 3
-84147 0 231405 84147 0 231405 10
0 -2545455 0 0 2545455 0 11
-231405 0 424242 231405 0 848485 12
[ K
1 ] = E= 20000000 kpas
L= 2,50 m
B 0,70 m
H 0,50 m
A= 0,3500 m2
I= 0,00729 m4
Ѳ= 0,00 ° 1 2 3 4 5 6
2800000 0 0 -2800000 0 0 1
0 112000 140000 0 -112000 140000 2
0 140000 233333 0 -140000 116667 3
-2800000 0 0 2800000 0 0 4
0 -112000 -140000 0 112000 -140000 5
0 140000 116667 0 -140000 233333 6
[ k
2] =

184

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Para un Angulo de rotación de 0° y sustituyendo en la matriz de rotación del
para un elemento pórtico se obtiene la matriz identidad significa que no hay
giro pues el Angulo es 0°.

Realizando la operación matricialmente K global= [T’]*[K local]*[T] se
obtiene la matriz de rigidez global del elemento que coincide con la local,
pero asociado a los grados de libertad globales.

Elemento 3: Angulo de rotación 0°.L=2,5 m

1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0
0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0
0,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0
0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,0
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0
[ T
] = 4 5 6 7 8 9
2800000 0 0 -2800000 0 0 4
0 112000 140000 0 -112000 140000 5
0 140000 233333 0 -140000 116667 6
-2800000 0 0 2800000 0 0 7
0 -112000 -140000 0 112000 -140000 8
0 140000 116667 0 -140000 233333 9
[ K
2] = E= 20000000 kpas
L= 2,50 m
B 0,70 m
H variable
A= 1,3600 m2
I= 0,08580 m4
Ѳ= 0,00 °
Ѳ= 0,00 rad

185

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Matriz de rigidez en coordenadas locales

Para un Angulo de rotación de 0° y sustituyendo en la matriz de rotación del
para un elemento pórtico se obtiene la matriz identidad significa que no hay
giro pues el Angulo es 0°.

Realizando la operación matricialmente K global= [T’]*[K local]*[T] se
obtiene la matriz de rigidez global del elemento que coincide con la local,
pero asociado a los grados de libertad globales.

1 2 3 4 5 6
13600000,0 0,0 0,0 -13600000,0 0,0 0,0 1
0,0 2574000,0 2574000,0 0,0 -2574000,0 2574000,0 2
0,0 2574000,0 3432000,0 0,0 -2574000,0 1716000,0 3
-13600000,0 0,0 0,0 13600000,0 0,0 0,0 4
0,0 -2574000,0 -2574000,0 0,0 2574000,0 -2574000,05
0,0 2574000,0 1716000,0 0,0 -2574000,0 3432000,0 6
[ k
3] = 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00
0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00
0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00
0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00
[ T
] = 7 8 9 10 11 12
13600000,0 0,0 0,0 -13600000,0 0,0 0,0 7
0,0 2574000,0 2574000,0 0,0 -2574000,0 2574000,0 8
0,0 2574000,0 3432000,0 0,0 -2574000,0 1716000,0 9
-13600000,0 0,0 0,0 13600000,0 0,0 0,0 10
0,0 -2574000,0 -2574000,0 0,0 2574000,0 -2574000,011
0,0 2574000,0 1716000,0 0,0 -2574000,0 3432000,0 12
[ K
3] =

186

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Elemento 4: Angulo de rotación 0°.L=2,5 m

Matriz de rigidez en coordenadas locales

Para un Angulo de rotación de 0° y sustituyendo en la matriz de rotación del
para un elemento pórtico se obtiene la matriz identidad significa que no hay
giro pues el Angulo es 0°.

E= 20000000 kpas
L= 2,50 m
B 0,70 m
H variable
A= 1,3600 m2
I= 0,08580 m4
Ѳ= 0,00 °
Ѳ= 0,00 rad 1 2 3 4 5 6
13600000,0 0,0 0,0 -13600000,0 0,0 0,0 1
0,0 2574000,0 2574000,0 0,0 -2574000,0 2574000,0 2
0,0 2574000,0 3432000,0 0,0 -2574000,0 1716000,0 3
-13600000,0 0,0 0,0 13600000,0 0,0 0,0 4
0,0 -2574000,0 -2574000,0 0,0 2574000,0 -2574000,05
0,0 2574000,0 1716000,0 0,0 -2574000,0 3432000,0 6
[ k
4] = 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0
0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0
0,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0
0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,0
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0
[ T
] =

187

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Realizando la operación matricialmente K global= [T’]*[K local]*[T] se
obtiene la matriz de rigidez global del elemento que coincide con la local,
pero asociado a los grados de libertad globales.

Elemento 5: Angulo de rotación 0°.L=2,5 m

Matriz de rigidez en coordenadas locales

10 11 12 13 14 15
13600000,0 0,0 0,0 -13600000,0 0,0 0,0 10
0,0 2574000,0 2574000,0 0,0 -2574000,0 2574000,0 11
0,0 2574000,0 3432000,0 0,0 -2574000,0 1716000,0 12
-13600000,0 0,0 0,0 13600000,0 0,0 0,0 13
0,0 -2574000,0 -2574000,0 0,0 2574000,0 -2574000,0 14
0,0 2574000,0 1716000,0 0,0 -2574000,0 3432000,0 15
[ K
4] = E= 20000000 kpas
L= 2,50 m
B 0,70 m
H 0,50 m
A= 0,3500 m2
I= 0,00729 m4
Ѳ= 0,00 ° 1 2 3 4 5 6
2800000,0 0,0 0,0 -2800000,0 0,0 0,0 1
0,0 112000,0 140000,0 0,0 -112000,0 140000,0 2
0,0 140000,0 233333,3 0,0 -140000,0 116666,7 3
-2800000,0 0,0 0,0 2800000,0 0,0 0,0 4
0,0 -112000,0 -140000,0 0,0 112000,0 -140000,0 5
0,0 140000,0 116666,7 0,0 -140000,0 233333,3 6
[ k
5] =

188

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Para un Angulo de rotación de 0° y sustituyendo en la matriz de rotación del
para un elemento pórtico se obtiene la matriz identidad significa que no hay
giro pues el Angulo es 0°.

Realizando la operación matricialmente K global= [T’]*[K local]*[T] se
obtiene la matriz de rigidez global del elemento que coincide con la local,
pero asociado a los grados de libertad globales.
1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0
0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0
0,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0
0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,0
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0
[ T
] = 13 14 15 16 17 18
2800000,0 0,0 0,0 -2800000,0 0,0 0,0 13
0,0 112000,0 140000,0 0,0 -112000,0 140000,0 14
0,0 140000,0 233333,3 0,0 -140000,0 116666,7 15
-2800000,0 0,0 0,0 2800000,0 0,0 0,0 16
0,0 -112000,0 -140000,0 0,0 112000,0 -140000,0 17
0,0 140000,0 116666,7 0,0 -140000,0 233333,3 18
[ K
5] =

189

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Matriz de rigidez del pórtico

La matriz es simétrica de 18x18 que es el número de grados de libertad establecidos en la
discretización de la viga y está en unidades de kN/m.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
84147 0 -231405 0 0 0 0 0 0 -84147 0 -231405 0 0 0 0 0 0 1
0 2545455 0 0 0 0 0 0 0 0 -2545455 0 0 0 0 0 0 0 2
-231405 0 848485 0 0 0 0 0 0 231405 0 424242 0 0 0 0 0 0 3
0 0 0 2800000 0 0 -2800000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4
0 0 0 0 112000 140000 0 -112000 140000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5
0 0 0 0 140000 233333 0 -140000 116667 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6
0 0 0 -2800000 0 0 13680000 0 0 -10880000 0 0 0 0 0 0 0 0 7
0 0 0 0 -112000 -140000 0 1429888 1507360 0 -1317888 1647360 0 0 0 0 0 0 8
0 0 0 0 140000 116667 0 1507360 2978933 0 -1647360 1372800 0 0 0 0 0 0 9
-84147 0 231405 0 0 0 -10880000 0 0 21844147 0 231405 -10880000 0 0 0 0 0 10
0 -2545455 0 0 0 0 0 -1317888 -1647360 0 5181231 0 0 -1317888 1647360 0 0 0 11
-231405 0 424242 0 0 0 0 1647360 1372800 231405 0 6339685 0 -1647360 1372800 0 0 0 12
0 0 0 0 0 0 0 0 0 -10880000 0 0 13680000 0 0 -2800000 0 0 13
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1317888 -1647360 0 1429888 -1507360 0 -112000 140000 14
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1647360 1372800 0 -1507360 2978933 0 -140000 116667 15
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2800000 0 0 2800000 0 0 16
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -112000 -140000 0 112000 -140000 17
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 140000 116667 0 -140000 233333 18
[ Ke] =

190

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Vector de fuerzas externas

gdl fuerzas
1 F1
2 F2
3 F3
4 0
5 -4,9
6 0
7 0
8 -147
9 0
10 0
11 0
12 0
13 0
14 -98
15 0
16 0
17 -4,9
18 0
Estas son las fuerzas externas en kN
asociadas a los grados de libertad de la
viga según la discretización.

191

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Vector de desplazamientos

La rigidez (K) está dada por

??????=
F
U

[U]= [K]
-1
[F]

Se sustrae la sub matriz de rigidez asociada a las fuerzas conocidas para calcular sus desplazamiento
aplicando la ecuación [U]= [K]
-1
[F]

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
2800000,0 0,0 0,0 -2800000,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 4
0,0 112000,0 140000,0 0,0 -112000,0 140000,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 5
0,0 140000,0 233333,3 0,0 -140000,0 116666,7 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 6
-2800000,0 0,0 0,0 13680000,0 0,0 0,0 -10880000,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 7
0,0 -112000,0 -140000,0 0,0 1429888,0 1507360,0 0,0 -1317888,0 1647360,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 8
0,0 140000,0 116666,7 0,0 1507360,0 2978933,3 0,0 -1647360,0 1372800,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 9
0,0 0,0 0,0 -10880000,0 0,0 0,0 21844147,3 0,0 231405,0 -10880000,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 10
0,0 0,0 0,0 0,0 -1317888,0 -1647360,0 0,0 5181230,5 0,0 0,0 -1317888,0 1647360,0 0,0 0,0 0,0 11
0,0 0,0 0,0 0,0 1647360,0 1372800,0 231405,0 0,0 6339684,8 0,0 -1647360,0 1372800,0 0,0 0,0 0,0 12
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -10880000,0 0,0 0,0 13680000,0 0,0 0,0 -2800000,0 0,0 0,0 13
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -1317888,0 -1647360,0 0,0 1429888,0 -1507360,0 0,0 -112000,0 140000,0 14
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1647360,0 1372800,0 0,0 -1507360,0 2978933,3 0,0 -140000,0 116666,7 15
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -2800000,0 0,0 0,0 2800000,0 0,0 0,0 16
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -112000,0 -140000,0 0,0 112000,0 -140000,017
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 140000,0 116666,7 0,0 -140000,0 233333,3 18
[K
00] =

192

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Obteniendo la inversa de la matriz K00, resulta

Los desplazamientos en los grados de libertad serán: [U]= [Kc]
-1
[P]

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
0,000048 0,000065 -0,000013 0,000048 0,000032 -0,000013 0,000048 0,000000 -0,000013 0,000048 -0,000032 -0,000013 0,000048 -0,000065 -0,000013 4
0,000065 0,000175 -0,000050 0,000065 0,000067 -0,000029 0,000065 0,000000 -0,000024 0,000065 -0,000059 -0,000024 0,000065 -0,000117 -0,000024 5
-0,000013 -0,000050 0,000023 -0,000013 -0,000014 0,000006 -0,000013 0,000000 0,000005 -0,000013 0,000012 0,000005 -0,000013 0,000024 0,000005 6
0,000048 0,000065 -0,000013 0,000048 0,000032 -0,000013 0,000048 0,000000 -0,000013 0,000048 -0,000032 -0,000013 0,000048 -0,000065 -0,000013 7
0,000032 0,000067 -0,000014 0,000032 0,000033 -0,000014 0,000032 0,000000 -0,000012 0,000032 -0,000029 -0,000012 0,000032 -0,000059 -0,000012 8
-0,000013 -0,000029 0,000006 -0,000013 -0,000014 0,000006 -0,000013 0,000000 0,000005 -0,000013 0,000012 0,000005 -0,000013 0,000024 0,000005 9
0,000048 0,000065 -0,000013 0,000048 0,000032 -0,000013 0,000048 0,000000 -0,000013 0,000048 -0,000032 -0,000013 0,000048 -0,000065 -0,000013 10
0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 11
-0,000013 -0,000024 0,000005 -0,000013 -0,000012 0,000005 -0,000013 0,000000 0,000005 -0,000013 0,000012 0,000005 -0,000013 0,000024 0,000005 12
0,000048 0,000065 -0,000013 0,000048 0,000032 -0,000013 0,000048 0,000000 -0,000013 0,000048 -0,000032 -0,000013 0,000048 -0,000065 -0,000013 13
-0,000032 -0,000059 0,000012 -0,000032 -0,000029 0,000012 -0,000032 0,000000 0,000012 -0,000032 0,000033 0,000014 -0,000032 0,000067 0,000014 14
-0,000013 -0,000024 0,000005 -0,000013 -0,000012 0,000005 -0,000013 0,000000 0,000005 -0,000013 0,000014 0,000006 -0,000013 0,000029 0,000006 15
0,000048 0,000065 -0,000013 0,000048 0,000032 -0,000013 0,000048 0,000000 -0,000013 0,000048 -0,000032 -0,000013 0,000048 -0,000065 -0,000013 16
-0,000065 -0,000117 0,000024 -0,000065 -0,000059 0,000024 -0,000065 0,000000 0,000024 -0,000065 0,000067 0,000029 -0,000065 0,000175 0,000050 17
-0,000013 -0,000024 0,000005 -0,000013 -0,000012 0,000005 -0,000013 0,000000 0,000005 -0,000013 0,000014 0,000006 -0,000013 0,000050 0,000023 18
[K
00]
-1
=

193

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Los desplazamientos se la estructura para cada grado de libertad serán:
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Fuerzas
0,000048 0,000065 -0,000013 0,000048 0,000032 -0,000013 0,000048 0,000000 -0,000013 0,000048 -0,000032 -0,000013 0,000048 -0,000065 -0,000013 4 0,0 4
0,000065 0,000175 -0,000050 0,000065 0,000067 -0,000029 0,000065 0,000000 -0,000024 0,000065 -0,000059 -0,000024 0,000065 -0,000117 -0,000024 5 -4,9 5
-0,000013 -0,000050 0,000023 -0,000013 -0,000014 0,000006 -0,000013 0,000000 0,000005 -0,000013 0,000012 0,000005 -0,000013 0,000024 0,000005 6 0,0 6
0,000048 0,000065 -0,000013 0,000048 0,000032 -0,000013 0,000048 0,000000 -0,000013 0,000048 -0,000032 -0,000013 0,000048 -0,000065 -0,000013 7 0,0 7
0,000032 0,000067 -0,000014 0,000032 0,000033 -0,000014 0,000032 0,000000 -0,000012 0,000032 -0,000029 -0,000012 0,000032 -0,000059 -0,000012 8 -147,08
-0,000013 -0,000029 0,000006 -0,000013 -0,000014 0,000006 -0,000013 0,000000 0,000005 -0,000013 0,000012 0,000005 -0,000013 0,000024 0,000005 9 0,0 9
0,000048 0,000065 -0,000013 0,000048 0,000032 -0,000013 0,000048 0,000000 -0,000013 0,000048 -0,000032 -0,000013 0,000048 -0,000065 -0,000013 10 0,0 10
0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 11 0,0 11
-0,000013 -0,000024 0,000005 -0,000013 -0,000012 0,000005 -0,000013 0,000000 0,000005 -0,000013 0,000012 0,000005 -0,000013 0,000024 0,000005 12 0,0 12
0,000048 0,000065 -0,000013 0,000048 0,000032 -0,000013 0,000048 0,000000 -0,000013 0,000048 -0,000032 -0,000013 0,000048 -0,000065 -0,000013 13 0,0 13
-0,000032 -0,000059 0,000012 -0,000032 -0,000029 0,000012 -0,000032 0,000000 0,000012 -0,000032 0,000033 0,000014 -0,000032 0,000067 0,000014 14 -98,0 14
-0,000013 -0,000024 0,000005 -0,000013 -0,000012 0,000005 -0,000013 0,000000 0,000005 -0,000013 0,000014 0,000006 -0,000013 0,000029 0,000006 15 0,0 15
0,000048 0,000065 -0,000013 0,000048 0,000032 -0,000013 0,000048 0,000000 -0,000013 0,000048 -0,000032 -0,000013 0,000048 -0,000065 -0,000013 16 0,0 16
-0,000065 -0,000117 0,000024 -0,000065 -0,000059 0,000024 -0,000065 0,000000 0,000024 -0,000065 0,000067 0,000029 -0,000065 0,000175 0,000050 17 -4,9 17
-0,000013 -0,000024 0,000005 -0,000013 -0,000012 0,000005 -0,000013 0,000000 0,000005 -0,000013 0,000014 0,000006 -0,000013 0,000050 0,000023 18 0,0 18
X[U] =
U4= -0,0015881 m
U5= -0,0043821 m
U6= 0,0009770 rad
U7= -0,0015881 m
U8= -0,0020272 m
U9= 0,0008720 rad
U10= -0,0015881 m
U11= -0,0001001 m
U12= 0,0005775 rad
U13= -0,0015881 m
U14= 0,0010090 m
U15= 0,0003723 rad
U16= -0,0015881 m
U17= 0,0017647 m
U18= 0,0002673 rad

194

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Figura 5.4-c. Deformada de la estructura por la acción de las cargas
externas

Reacciones en los empotramientos de la viga

Las reacciones en la base será el producto de la sub matriz asociada al vector
de fuerzas (Kt0), con los desplazamientos calculados

[F]= [Kto]*[U]

Donde Kto será igual a:

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
0 0 0 0 0 0 -84147,3 0 -231405,0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 -2545454,5 0 0 0 0 0 0 0 2
0 0 0 0 0 0 231405,0 0 424242,4 0 0 0 0 0 0 3
[Kto] =

195

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Las reacciones en la base del pórtico serán entonces

De la operación matricial anterior resulta

[U]
-0,00158812 4
-0,00438213 5
0,00097697 6
-0,00158812 7
-0,0020272 8
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
0,00087197 9
0 0 0 0 0 0 -84147,3 0 -231405,0 0 0 0 0 001 -0,00158812 10
0 0 0 0 0 0 0 -2545454,5 0 0 0 0 0 002 -0,0001001 11
0 0 0 0 0 0 231405,0 0 424242,4 0 0 0 0 003 0,0005775 12
-0,00158812 13
0,00100902 14
0,00037226 15
-0,00158812 16
0,00176468 17
0,00026726 18
X[F] = Fuerza
Asociada
Fuerza
kN,m
Fuerza
ton,m
F1 0,0 0,0
F2 254,80 26,0
F3 -122,50 -12,50

196

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Figura 5.4-d. Reacciones en la base del pórtico

197

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Apéndice A
Momentos de empotramiento en vigas

198

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

BIBLIOGRAFIA

ROJAS, Rafael M. y PADILLA, Helia M. Análisis Estructural con matrices. 1 ed.
México D.F.: Trillas, 2009. p 133 – 271.

BLANCO, José L; GONZALES Antonio y GARCIA -MANRIQUE José M. Análisis
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GUZMÁN, Andrés. Notas de clase Análisis de estructuras. Universidad del
Norte. 2014.

HIBBELER, Russell. Análisis Estructural. 3 ed. México D.F.: Prentice -hall,
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edificaciones. Universidad industrial de Santander. 2004. p 231 – 245.

MERLANO, An tonio. Notas de clase diseño avanzado de estructuras.
Universidad del Norte. 2015.

199

Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos

Análisis matricial de estructuras
por el método de la rigidez
Apuntes
Resolución de problemas e
Introducción a los Elementos finitos
Esta primera edición, mantiene el propósito del
módulo de análisis estructural de la especialización
en análisis y diseño de estructuras de la universidad
del Norte y del autor, de presentar un texto que
facilite el trabajo de estudiantes y profesores en l a
compresión y realización de análisis de estructuras
como pórticos, cerchas y vigas mediante matrices y
basado en el método de la rigidez y saber cómo
operan los programas computacionales más usados
hoy en día en el diseño estructural que se basan en
esta teoría. De esta manera el ingeniero estructural
puede comprobar su funcionamiento y no limitarse a
confiar en los resultados que estos arrojan para sus
proyectos de diseño.

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