Analisis circuitos eléctricos primer y segundo orden

Se consideran circuitos que contienen diversas combinaciones de dos o tres elementos pasivos (R, L, C).
Los circuitos RC y RL se analizarán aplicando las leyes de Kirchhoff.
El análisis de circuitos resistivos da como resultado ecuaciones algebraicas. Sin embargo, los circuitos RC y RL producen ecuaciones diferenciales.
Las ecuaciones diferenciales resultantes del análisis de circuitos RC y RL son de primer orden. Por ello, se les denomina Circuitos de Primer Orden.
En la segunda parte se estudian los circuitos que tienen dos elementos de almacenamiento (L y C) conjuntamente con una R. A estos circuitos se les conoce como Circuitos de Segundo Orden porque se describen mediante ecuaciones diferenciales que contienen derivadas segundas.
En concreto, se estudia la respuesta de circuitos RLC, con fuente independiente.

1. CIRCUITOS I
ANÁLISIS TRANSITORIO DE CIRCUITOS DE
PRIMER Y SEGUNDO ORDEN
Jorge Patricio Muñoz Vizhñay
Ing. Eléctrico, MSc. , MBA

FACULTAD DE ENERGÍA, LAS
INDUSTRIAS Y LOS RECURSOS
NATURALES NO RENOVABLES

CARRERA DE
INGENIERÍA
ELECTROMECÁNICA

2. -En este tema se consideran circuitos que contienen diversas
combinaciones de dos o tres elementos pasivos (R, L, C).

-El circuito simple se examina de la siguiente manera:
1)el circuito con una resistencia y un condensador (circuito RC)
2)el circuito con una resistencia y una bobina (circuito RL)

-Los circuitos RC y RL se analizarán aplicando las leyes de Kirchhoff.

-El análisis de circuitos resistivos da como resultado ecuaciones
algebraicas. Sin embargo, los circuitos RC y RL producen ecuaciones
diferenciales.

-Las ecuaciones diferenciales resultantes del análisis de circuitos RC y
RL son de primer orden. Por ello, se les denomina Circuitos de Primer
Orden.


1. Introducción

3. -Se estudia circuitos con fuentes independientes.

-Cuando no hay fuentes independientes, las tensiones y corrientes en
el circuito se deben a las condiciones iniciales en el condensador o
en la bobina (a la energía inicialmente almacenada en ellos).

-En la segunda parte se estudiarán circuitos que tienen dos elementos
de almacenamiento (L y C) conjuntamente con una R. A estos circuitos
se les conoce como Circuitos de Segundo Orden porque se describen
mediante ecuaciones diferenciales que contienen derivadas segundas.

-En concreto, se estudia la respuesta de circuitos RLC, con fuente
independiente.

1. Introducción

4. •La respuesta sin fuente podría llamarse respuesta natural, respuesta
transitoria, respuesta libre o función complementaria, pero debido a su
naturaleza más descriptiva a menudo se denomina respuesta natural.
•Cuando se analizan fuentes independientes que actúan sobre un circuito,
parte de la respuesta recordará la naturaleza de la fuente particular que
se utiliza; dicha parte, se denomina solución particular, respuesta de
estado permanente o respuesta forzada.
•La respuesta consiste en la suma de la respuesta natural y la respuesta
forzada.
2. El circuito RL sin fuente

5. •El estudio comienza con el análisis transitorio considerando el simple
circuito RL en serie que se presenta en la figura.
•Se designa a la corriente variable en el tiempo como i (t); se representará
el valor de i(t) en t=0 como I
0.
•Solución método alterno

2. El circuito RL sin fuente
Ri + vL = Ri + L di/dt = 0

�??????
��
+
??????
�
??????=0

�??????
??????
=−
??????
�
��


�??????′
??????′
??????(�)
??????0
=−
??????
�
��′
�
0


ln??????
′
−ln??????
0=−
??????
�
(�−0)

??????�= ??????
0 �
−(
??????
??????
)�
= ??????
0 �
− ?????? �
⋮ (??????=
??????
�
)

6. •Solución método general
•Se supone la solución de la ecuación en forma exponencial
•??????�=??????�
�
1�


2. El circuito RL sin fuente
Ri + vL = Ri + L di/dt = 0

?????? �
1 �
�1�
+??????
??????
�
�
�1�
=0

??????�
�1�
�
1+
??????
�
=0

La solución A = 0 o s
1 = - ∞ no se considera.
Se elige:
�
1=−
??????
�

??????�=??????�
−(
??????
??????
)�


La constante A se obtiene aplicando i(0)=I
0
??????�=??????
0�
−(
??????
??????
)�
=??????
0�
− ?????? �

7. •Ejemplo: En t = 0 se abre el interruptor, calcular i
L, y v




2. El circuito RL sin fuente
Con referencia a la Fig. c
-v+10 i
L+5 di
L/dt = 0

??????
??????=−
�
40


5
40
��
��
+
10
40
+1 �=0
5
40
��
��
+
50
40
�=0
�??????
��
+10 �=0  s + 10 = 0

En la Fig. b  i
L = 24/10 = 2,4 A
i
L(0) = 2,4 A

Por tanto en la Fig. c  v(0) = 40 (-2,4) = - 96 V

De la ecuación característica se obtiene s = - 10
��=??????�
−10�
??????

8. •Ejemplo

2. El circuito RL sin fuente
−10??????�
−10�
+10??????�
−10�
=0

Se encuentra el valor de A fijando el valor de t = 0
y aplicando v(0) = - 96 V

��=−96 �
−10�


Aplicando la ley de Ohm
??????
??????=−
�(�)
40


??????
??????�=2,4 �
−10�
A, (t>0)

9. •Ejemplo

2. El circuito RL sin fuente
En t=0, la corriente tiene un valor I
0, pero cuando el
tiempo aumenta, la corriente disminuye y se
aproxima a cero. La forma de este decaimiento
exponencial se observa en la figura de i(t)/I
0 como
función de t.
Puesto que la función que se grafica es �
−(
??????
??????
)�
=
�
−?????? �
, la curva no cambiará si ?????? = R/L se mantiene
constante.

10. •Ejemplo

1
0
2. El circuito RL sin fuente
Para τ = 1 (constante de tiempo) la respuesta
disminuye hasta 36,8% de su valor inicial. Resulta
conveniente medir el decaimiento de la corriente en
intervalos de una constante de tiempo; además, se
puede calcular que i(t)/I
0 es 0,1353 en t = 2τ;
0,04979 en t = 3τ; 0,01832 en t = 4τ y 0,006738 en t
= 5 τ.

11. •Este tipo de circuitos resistencia-capacitor son más comunes que sus
análogos resistencia-inductor.
•Tienen menores pérdidas que se generan en un capacitor físico, el menor
costo y el hecho de que el modelo matemático simple concuerda mejor
con el comportamiento real del dispositivo, así como su tamaño y peso
menores.

3. El circuito RC sin fuente
�0= ??????
0
La corriente que sale del nodo en la parte superior
debe ser 0
??????
��
��
+
�
??????
= 0

��
��
+
�
????????????
= 0


��′
�′
??????(�)
??????0
=−
1
????????????
��′
�
0

12. •Este tipo de circuitos resistencia-capacitor son más comunes que sus
análogos resistencia-inductor.
•Tienen menores pérdidas que se generan en un capacitor físico, el menor
costo y el hecho de que el modelo matemático simple concuerda mejor
con el comportamiento real del dispositivo, así como su tamaño y peso
menores.

3. El circuito RC sin fuente

ln�
′
−ln??????
0=−
1
????????????
(�−0)

��= ??????
0 �
−(
1
????????????
)�
= ??????
0 �
− �/??????
⋮ (??????=????????????)

13. •En t = 0 se obtiene la condición inicial correcta, a medida que t se hace infinita, la
tensión tiende a cero.
•Este resultado concuerda con la idea de que si cualquier tensión se conserva en el
capacitor, la energía continuaría fluyendo hacia la resistencia y se disiparía en
calor.
•La constante de tiempo del circuito ??????=???????????? se determinaría mediante las
relaciones de dualidad con respecto a la expresión de la constante de tiempo del
circuito RL o solo por observar el tiempo en el que la respuesta disminuyó hasta el
36,8% de su valor inicial.

1
3
3. El circuito RC sin fuente

14. 3. El circuito RC sin fuente

15. •Ejemplo 1: El único propósito de analizar el circuito de la figura b es
obtener una tensión inicial del capacitor; se supone que cualquier
transitorio en ese circuito desapareció hace mucho tiempo y quedó un
circuito de CC puro. Si no existe ninguna corriente que circule a través del
capacitor o la resistencia de 4 Ω, entonces: v(0) = 9 V
3. El circuito RC sin fuente

16. •Solución:

3. El circuito RC sin fuente
??????=????????????=2+410??????10
−6
=60??????10
−6
�

��=�0�
−
1
??????
�
�0�
−
1
????????????
�
=�(0)�
−
1
60??????10
−6
�


La tensión en el capacitor debe ser igual en
ambos circuitos en t = 0; en ninguna otra tensión
o corriente se pone dicha restricción.
��=9 �
−
1
60??????10
−6
�




63,2%
Cuanto más pequeño es ?????? más rápida es la descarga

17. 3. El circuito RC sin fuente
•Ejemplo 2: Sabiendo que V
c(0) = 15 V, calcular v
c, v
x e i
x

18. Solución:
La forma más directa de encontrar la solución es
reducir el circuito problema a un circuito RC
simple como el de la figura, ya que la solución
de este circuito es conocida:
�
??????=??????
0�
−(
1
????????????????????????
)�
=??????
0�
−
1
??????
�
con τ  RC

Entonces, el problema se reduce a calcular R
eq,
que es la resistencia equivalente vista desde los
terminales del condensador, esto es:
??????
�?????? =
12+8??????5
12+8+5
=4 
Por tanto ?????? = ??????
�?????? ?????? = 4 ?????? 0,1 = 0,4 �

�
??????�=15 �
−2,5�

C R
eq

v
C (t)
3. El circuito RC sin fuente
•Ejemplo 2: Sabiendo que V
c(0) = 15 V, calcular V
c, V
x e I
x

19. −Una vez obtenido v
C
, la tensión v
X
se calcula mediante un divisor de
tensión:

�
?????? =
12
12+8
�
?????? =
3
5
15 �
−2,5�
=9�
−2,5�


−La corriente i
X mediante la ley de Ohm:

??????
?????? =
�
??????
12
= 0,75 �
−2,5�

3. El circuito RC sin fuente

20. •El circuito está compuesto por una batería cuya tensión es V
0 en serie con
un interruptor, una resistencia R, y un inductor L.
•El interruptor se cierra en t = 0, como se indica en la figura.
•La corriente i(t) es nula antes de t = 0, en consecuencia, se puede sustituir
la batería y el interruptor por una función forzada de escalón de tensión
V
0u(t), que no produce tampoco respuesta antes de t = 0.

•��−�
0=
0 &#3627408481;<&#3627408481;
0
??????
0 &#3627408481;
0
<&#3627408481;<&#3627408481;
1
0 &#3627408481;>&#3627408481;
1


4. El circuito RL con fuente

21. ?????? ?????? + &#3627408447;
&#3627408465;??????
&#3627408465;&#3627408481;
= ??????
0 &#3627408482;(&#3627408481;)
??????&#3627408481;=0 &#3627408481; < 0
Para el tiempo positivo t > 0 se debe resolver la ecuación
?????? ?????? + &#3627408447;
&#3627408465;??????
&#3627408465;&#3627408481;
= ??????
0 &#3627408481; > 0


&#3627408447; &#3627408465;??????
??????
0−?????? ??????
=&#3627408465;&#3627408481;

4. El circuito RL con fuente

22. Integrando en forma directa
−
&#3627408447;
??????
ln??????
0−?????? ??????=&#3627408481; +??????

Para evaluar k, debe referirse a una condición inicial. Antes de t = 0, i (t) es
cero, y por ello i (0
−
) = 0. Puesto que no se puede cambiar la corriente en un
inductor por una cantidad finita en el tiempo cero sin que se asocie con una
tensión infinita, se debe tener i (0
+
) = 0. Dejando i = 0 en t = 0, se obtiene

−
&#3627408447;
??????
ln??????
0= ??????


4. El circuito RL con fuente

23. Por tanto
−
&#3627408447;
??????
ln ??????
0−?????? ??????−ln??????
0= &#3627408481;

??????
0−?????? ??????
??????
0
=&#3627408466;
−(
??????
??????
)&#3627408481;

??????=
??????
0
??????
−
??????
0
??????
&#3627408466;
−
??????
??????
&#3627408481;
&#3627408481; > 0

??????&#3627408481;=
??????
0
??????
−
??????
0
??????
&#3627408466;
−
??????
??????
&#3627408481;
&#3627408482;(&#3627408481;)
4. El circuito RL con fuente

24. Se expresa esta corriente como la suma de la corriente natural (i
n) y de la
corriente forzada (i
f), esto es:

??????=??????
&#3627408467; + ??????
??????

??????=
??????
0
??????
−
??????
0
??????
&#3627408466;
−
??????
??????
&#3627408481;

4. El circuito RL con fuente

25. •Figura que indica la corriente que fluye por el inductor.
•Extendiendo la línea tangente al origen de los ejes se alcanza la respuesta
•forzada en t = ??????

4. El circuito RL con fuente
Se observa cómo se forma la corriente a partir de
su valor inicial de 0, hasta su valor final de V
0/R. La
transición efectivamente se produce en un tiempo
3?????? . Si la bobina fuese el campo de un gran motor
de CC, resultaría factible tener L = 10 H, R = 20 Ω,
resultando ?????? = 0,5 s. De esta manera, la corriente
de campo se establece cerca de 1,5 s (3??????).

26. Ejemplo:
Determinar i(t) para todos los valores de tiempo en el circuito de la figura.

Solución:
•??????=
??????
??????
????????????
=
3
1,5
=2 &#3627408480;
•??????=??????
&#3627408467;+??????
??????
•??????
??????=&#3627408446; &#3627408466;
−&#3627408481;/2
t > 0
El inductor actúa como un cortocircuito en la CC, de modo que
•??????
&#3627408467;=
100
2
= 50 ??????
•??????=50 +&#3627408446; &#3627408466;
−0,5&#3627408481;
t > 0


4. El circuito RL con fuente

27. Para evaluar K, se debe establecer el valor inicial de la corriente del
inductor. Antes de t = 0, la corriente es igual a 25 A (50 V / 2 Ω) y no puede
cambiar en forma instantánea; en consecuencia,

•25= 50+ &#3627408446;
•K=−25
•??????=50 −25 &#3627408466;
−0,5&#3627408481;
&#3627408481;>0
Se completa la solución al establecer
•??????=50 −25 &#3627408466;
−0,5∗0

•??????=25 A t < 0
•??????=25 +25 1−&#3627408466;
−0,5&#3627408481;
&#3627408482;(&#3627408481;)


4. El circuito RL con fuente

28. La respuesta i(t) del circuito que se muestra en la figura 8.37 se dibuja para
valores de tiempo menores y mayores que cero.
4. El circuito RL con fuente

29. Ejemplo:
Determinar la tensión en el capacitor v
C
(t) y la corriente i(t) en la resistencia
de 200 Ω de la figura para cualquier tiempo.

Solución:
Considerando el estado del circuito en t < 0, correspondiente al interruptor
en la posición como en la figura b. Se supone que no hay transitorios
presentes, por lo que sólo es relevante para encontrar v
C
(0
−
) una respuesta
forzada debido a la fuente de 120 V. En consecuencia, la simple división de
tensión produce la siguiente tensión inicial


5. El circuito RC con fuente

30. &#3627408483;
??????0=
50
50+10
120=100 ??????

Puesto que la tensión del capacitor no puede cambiar en forma instantánea,
esta tensión también es válida en t = 0
−
y t = 0
+
. El interruptor se mueve
ahora hacia b, de modo que la respuesta completa es

&#3627408483;
??????=&#3627408483;
??????&#3627408467;+&#3627408483;
????????????
5. El circuito RC con fuente

31. Se considera la figura c. La forma de la respuesta natural se obtiene
mediante la sustitución de la fuente de 50 V por un cortocircuito luego de
evaluar la resistencia equivalente para encontrar la constante de tiempo (se
trata de determinar la resistencia equivalente de Thévenin “vista” desde las
terminales del capacitor):

??????
&#3627408466;??????=
1
1
50
+
1
200
+
1
60
=24 Ω

&#3627408483;
????????????=??????&#3627408466;
−&#3627408481;/??????
??????????????????


5. El circuito RC con fuente

32. Para evaluar la respuesta forzada con el interruptor en b, se espera hasta
que todas las tensiones y corrientes hayan dejado de cambiar; por lo tanto,
se considera al capacitor como un circuito abierto y se aplica una vez más la
división de tensión:
&#3627408483;
??????&#3627408467;=50
200║50
60+200║50

&#3627408483;
??????&#3627408467;=50
(200)(50)/(250)
60+(200)(50)/(250)
=20 ??????

&#3627408483;
??????=20+??????&#3627408466;
−&#3627408481;/1,2


5. El circuito RC con fuente

33. De la condición inicial
100=20+??????
??????=80

&#3627408483;
??????=20+80&#3627408466;
−&#3627408481;/1,2
&#3627408481;≥0

&#3627408483;
??????=100 ?????? &#3627408481;<0





5. El circuito RC con fuente
??????&#3627408481;=??????
&#3627408467;+??????
??????

34. La respuesta se grafica en la figura a; también en este caso se ve que la
respuesta natural forma una transición desde la respuesta inicial hasta la
final.
A continuación se aborda i(t). La respuesta no necesita permanecer
constante durante el periodo de conmutación. Con el contacto en a, resulta
evidente que i = 50/260 = 192,3 mA. Cuando el interruptor se mueve de la
posición “a“ la “b“, la respuesta forzada para esta corriente se convierte en
??????
&#3627408467;=
50
60+(50)(200)/(50+200)
50
50+200
=0,1 ??????

??????=0,1+??????&#3627408466;
−&#3627408481;/1,2





5. El circuito RC con fuente

35. Para evaluar A, se necesita conocer i(0
+
), la cual se calcula en base al
elemento de almacenamiento de energía (el capacitor). El hecho de que v
C

deba permanecer en 100 V durante el intervalo de conmutación es la
condición directriz gobernante que establece las demás corrientes y
tensiones en t = 0
+
. Puesto que v
C
(0
+
) = 100 V, y como el capacitor está en
paralelo con la resistencia de 200 Ω, se encuentra que i(0
+
) = 0,5 A, A = 0,4
A, por lo cual
??????&#3627408481;=0,1923 ?????? &#3627408481;<0
??????&#3627408481;=0,1+0,4 &#3627408466;
−&#3627408481;/1,2
&#3627408481;>0
??????&#3627408481;=0,1923+−0,0923+0,4 &#3627408466;
−&#3627408481;/1,2
&#3627408482;&#3627408481; 0>&#3627408481;≥0

5. El circuito RC con fuente

36. 36
•Primeramente se analiza el circuito sin fuente. Luego se podrían incluir fuentes
de CC, interruptores o fuentes de escalón en el circuito que de nuevo
representen la respuesta total como la suma de la respuesta natural y la
respuesta forzada.
•Se comenzará con el cálculo de la respuesta natural de un circuito simple que se
forma al conectar R, L y C en paralelo.









•En base al circuito se puede escribir la expresión simple:

•
??????
??????
+
1
??????
&#3627408483;&#3627408465;&#3627408481;−??????&#3627408481;
0+??????
&#3627408465;??????
&#3627408465;&#3627408481;
=0
&#3627408481;
&#3627408481;0


•El signo (-) es consecuencia de la dirección supuesta de i


6. Circuito RLC en paralelo sin fuente

37. 37
•Se debe resolver esta ecuación sujeta a las siguientes condiciones iniciales:
•??????0
+
=??????
0
•&#3627408483;0
+
=??????
0

•Diferenciando una vez con respecto al tiempo, el resultado es una ecuación
diferencial lineal homogénea de segundo orden:

•??????
&#3627408465;
2
??????
&#3627408465;&#3627408481;
2
+
1
??????
&#3627408465;??????
&#3627408465;&#3627408481;
+
1
??????
&#3627408483;=0

•Hay varias formas de resolver esta ecuación, se plantea la siguiente:

•??????&#3627408480;
2
+
1
??????
&#3627408480;+
1
??????
=0

•Las soluciones son las siguientes:

•&#3627408480;
1=−
1
2????????????
+
1
2????????????
2
−
1
????????????


•&#3627408480;
2=−
1
2????????????
−
1
2????????????
2
−
1
????????????

6. Circuito RLC en paralelo sin fuente

38. 38
•Sustituyendo s
1 y s
2 en la posible solución:

•&#3627408483;
1=??????
1&#3627408466;
&#3627408480;1&#3627408481;

•&#3627408483;
2=??????
2&#3627408466;
&#3627408480;2&#3627408481;


•La primera satisface la ecuación diferencial

•??????
&#3627408465;
2
??????1
&#3627408465;&#3627408481;
2
+
1
??????
&#3627408465;??????1
&#3627408465;&#3627408481;
+
1
??????
&#3627408483;
1=0

•Y la segunda satisface

•??????
&#3627408465;
2
??????2
&#3627408465;&#3627408481;
2
+
1
??????
&#3627408465;??????2
&#3627408465;&#3627408481;
+
1
??????
&#3627408483;
2=0

•Sumando estas dos ecuaciones diferenciales y se combina términos semejantes

•??????
&#3627408465;
2
(??????1+??????2)
&#3627408465;&#3627408481;
2
+
1
??????
&#3627408465;(??????1+??????2)
&#3627408465;&#3627408481;
+
1
??????
(&#3627408483;
1+&#3627408483;
2)=0




6. Circuito RLC en paralelo sin fuente

39. 39
•Prevalece la linealidad y se observa que la suma de ambas soluciones también
es una solución.

•&#3627408483;(&#3627408481;)=??????
1&#3627408466;
&#3627408480;1&#3627408481;
+??????
2&#3627408466;
&#3627408480;2&#3627408481;


•A
1 y A
2 son constantes arbitrarias que se deben seleccionar para satisfacer las
dos condiciones iniciales.
•Se define un nuevo término ω
0 y se reserva par éste el término frecuencia
resonante.

•??????
0=
1
????????????


•Por otro lado se denomina a (1/2RC) a la frecuencia de Neper o el coeficiente de
amortiguamiento exponencial de la siguiente manera:

•??????=
1
2????????????




6. Circuito RLC en paralelo sin fuente

40. 40
•En forma conjunta estos resultados.

•&#3627408483;(&#3627408481;)=??????
1&#3627408466;
&#3627408480;1&#3627408481;
+??????
2&#3627408466;
&#3627408480;2&#3627408481;


•&#3627408480;
1=−??????+??????
2
−??????
0
2

•&#3627408480;
2=−??????−??????
2
−??????
0
2


•??????
0=
1
????????????


•??????=
1
2????????????


•Si ?????? > ??????
0 (números reales) respuesta sobreamortiguada
•Si ?????? = ??????
0 respuesta críticamente amortiguada
•Si ?????? < ??????
0 (números imaginarios) respuesta subamortiguada


6. Circuito RLC en paralelo sin fuente

41. 41
Cálculo de los valores A
1 y A
2

•Considerando la siguiente expresión:

&#3627408483;(&#3627408481;)=??????
1&#3627408466;
&#3627408480;1&#3627408481;
+??????
2&#3627408466;
&#3627408480;2&#3627408481;


•Si se conociera v(t) en dos valores diferentes del tiempo, podrían sustituirse en la
ecuación y obtener A
1 y A
2. Sin embargo, es común conocer un solo valor de v(t):

•&#3627408483;0=0
•0=A
1 + A
2

•Por ejemplo al tener un circuito paralelo con R = 6 Ω, L = 7 H y C= 1/42 F, con
una tensión inicial v(0) = 0 y una corriente en el inductor i(0) = 10 A.

•α = 3,5
•??????
0=6
•s
1 = -1 y s
2 = -6

•&#3627408483;(&#3627408481;)=??????
1&#3627408466;
−&#3627408481;
+??????
2&#3627408466;
−&#3627408481;

6. Circuito RLC en paralelo sin fuente

42. 42
Cálculo de los valores A
1 y A
2

•Derivando la expresión anterior en ambos lados:

&#3627408465;&#3627408483;(&#3627408481;)
&#3627408465;&#3627408481;
=−??????
1&#3627408466;
−&#3627408481;
−6??????
2&#3627408466;
−6&#3627408481;


•Al evaluar la derivada en t = 0 se obtiene una segunda ecuación que aún no es
útil por no conocer el valor numérico del valor inicial de la derivada:

•
&#3627408465;??????
&#3627408465;&#3627408481;
&#3627408481;=0
=−??????
1−6??????
2 esto sugiere ??????
??????=??????
&#3627408465;??????
&#3627408465;&#3627408481;
→
&#3627408465;??????
&#3627408465;&#3627408481;
&#3627408481;=0
=
????????????(0)
??????


•Aplicando la primera ley de Kirchhoff

•−??????
??????0+??????0+??????
??????0=0

•
&#3627408465;??????
&#3627408465;&#3627408481;
&#3627408481;=0
=
????????????(0)
??????
=
??????0+????????????0
??????
=
??????0
??????
=420 ??????/&#3627408480; puesto que i
R(0) = 0



6. Circuito RLC en paralelo sin fuente

43. 43
Cálculo de los valores A
1 y A
2

•En consecuencia en t = 0, se tiene la segunda ecuación:

&#3627408465;&#3627408483;
&#3627408465;&#3627408481;
&#3627408481;=0
=420=−??????
1−6??????
2

•La solución simultánea:

•420=−??????
1−6??????
2
•0=??????
1+??????
2

•Obteniendo A
1 = 84 y A
2 = -84

•Por tanto, la solución final de la respuesta natural es:

•??????(??????)=????????????(??????
−??????
−??????
−????????????
)


6. Circuito RLC en paralelo sin fuente

44. 44
6. Circuito RLC en paralelo sin fuente

45. 45
Ejemplo:

•Considerar un circuito RLC en paralelo que tiene una inductancia de 10 mH y
una capacitancia de 100 µF. Determinar los valores de resistencia que llevarían a
que el circuito tuviera una respuesta sobreamortiguada y subamortiguada.








Solución:

•La frecuencia de resonancia del circuito:

•??????
0=
1
????????????
=
1
10 ?????? 10
−3
?????? 100 ??????10
−6
=10
3
&#3627408479;??????&#3627408465;/&#3627408480;

•Se tendrá una respuesta sobreamortiguada si ??????>??????
0 y una subamortiguada si
??????<??????
0 .
10 mH 100 µF
6. Circuito RLC en paralelo sin fuente

46. 46

•Por tanto será sobreamortiguada, si

•
1
2????????????
>10
3


•
1
2??????10
3
??????100??????10
−6
>??????
•??????<5 ??????ℎ??????

•Será subamortiguada cuando ??????>5 ??????ℎ??????


•??????
0=
1
????????????
=
1
10??????10
−3
??????100??????10
−6
=1.000 rad/s

•Para R=5 Ω

•??????=
1
2????????????
=
1
2??????5??????10010
−6
=1.000
6. Circuito RLC en paralelo sin fuente