Analisis Numerik terkait Integrasi Numerik

Analisis Numerik terkait Integarasi Numerik

1. Integrasi numeriK : Metode pias aturan rectangular dan trapezoid Andrian Wisnu Dewangga S.Pd ., M.Pd ,

2. Integrasi Numerik Integrasi numerik dilakukan apabila : Integral sulit diselesaikan secara analitis . Fungsi yang diintegralkan tidak diberikan dalam bentuk analitis , tetapi dalam bentuk angka tabel . Metode integrasi numerik merupakan integral tertentu yang didasarkan pada hitungan perkiraan , sehingga hasil yang diperoleh tidak sama persis dengan penyelesaian eksaknya . Hitungan dilakukan dengan membagi luasan dalam sejumlah pias kecil . Luas total adalah jumlah dari luas semua pias .

3. l = luasan yang diarsir atau luasan yang dibatasi oleh fungsi f(x) dan sumbu x. batas x = a dan b.

4. Metode Pias Wilayah integrasi dipartisi menjadi sejumlah pias berbentuk segi empat . Geometri integral tentu dihubungkan oleh tafsiran-tafsiran dimana titik-titik yang terdapat pada tabel dinyatakan sebagai pembagi daripada selang integrasi [a, b] menjadi n buah pias atau segmen . Lebar tiap-tiap pias dinyatakan sebagai h dan memiliki persamaan sebagai berikut : Titik jarak tegak lurus suatu titik dari sumbu -y ( absis ) pada pias dinyatakan sebagai berikut :

5. Nilai untuk fungsi pada titik absis pias memiliki persamaan sebagai berikut : Luas daerah atau wilayah yang di integrasi [a, b] dihampiri sebagai n buah pias . Metode ini disebut sebagai metode pias dikarenakan integrasi numeriknya berbasis pada pias .

6. Metode Pias Kaidah integrasi numerik yang dapat diturunkan dengan metode pias adalah : Kaidah segiempat (rectangular rule) Kaidah trapesium (trapezoidal rule) Kaidah titik tengah (midpoint rule) • Rectangular dan Trapezoidal rule hakekatnya sama , tetapi cara penurunan rumusnya yang berbeda • Midpoint rule merupakan bentuk kompromi untuk memperoleh nilai hampiran yang valid.

7. Rectangular Rule Sebuah pias berbentuk rectangular dari x = x0 sampai x = x1. Garis putus-putus merupakan sebuah garis bantu dalam aturan segiempat agar pias tersebut berwujud menjadi sebuah segiempat . Luas persegi secara umum kita kenal dengan persamaan Luas= panjang (p) x lebar (l). Dalam hal ini panjang atau tinggi pias dinyatakan sebagai 𝑓(𝑥0) dan lebar pias dinyatakan sebagai ℎ. Luas untuk satu buah pias memiliki persamaan sebagaimana tertulis di bawah ini : Luas satu pias adalah ( tinggi pias = f(x0)) Luas satu pias adalah ( tinggi pias = f(x1))

8. Kemudian bagi dengan 2 hasil penjumlahan tersebut , maka akan didapatkan luas rectangular dengan persamaan : Persamaan yang telah disederhanakan disebut dengan aturan rectangular.

9. dengan lebar (h) yang membagi selang [a, b] menjadi n buah pias segiempat , yakni pias dengan titik jarak tegak lurus suatu titik dari sumbu -y ( absis ) [x0,x1], [x1,x2], [x2,x3], …, dan pias [xn-1,xn]. Hasil dari penjumlahan keseluruhan pias berbentuk segiempat tadi dikenal secara umum dengan sebutan hampiran luas . Aturan integrasi yang didapat disebut dengan aturan segiempat gabungan sebagaimana akan dijabarkan di bawah ini :

10. Kemudian bagi dengan 2 hasil persamaan tadi untuk mendapatkan hasil seperti berikut: Maka , aturan segiempat gabungan yang didapatkan : dengan 𝑓 𝑟 = 𝑓(𝑥 𝑟 ) , r = 0,1,2,3,4,…,n.

11. Trapezoidal Rule Seperti halnya aturan segiempat , garis putus-putus yang ada pada gambar di atas merupakan sebuah garis bantu dalam aturan trapesium agar pias tersebut berwujud menjadi trapesium dan memudahkan dalam penghitungan dengan metode ini . Adapun luas daerah pada aturan trapesium memiliki persamaan :

12. Penghitungan luasan dibawah kurva didekati dengan luasan trapesium ( bagian yang diarsir ). Luas trapesium = lebar x ( jumlah garis sejajar )/2

13. Gabungan Trapezoidal Rule

14. Gabungan Trapezoidal Rule

15. Contoh Trapezoidal Rule Tentukan integral berikut dengan menggunakan metode trapesium , dan berapa kesalahan yang terjadi dibandingkan dengan penyelesaian eksaknya !

16. Solusi

17. Contoh Trapezoidal Rule Tentukan integral berikut dengan menggunakan metode trapesium empat pias dengan lebar pias  x = 1, dan berapa kesalahan yang terjadi dibandingkan dengan penyelesaian eksaknya !

18. Solusi

19. Contoh Trapezoidal Rule Hitung integral dengan kaidah trapesium . Ambil h = 0.2, gunakan 5 angka signifikan!

20. Solusi

21. Midpoint Rule Sebuah pias berbentuk empat persegi panjang dari x = x0 sampai x = x1 dan titik tengah absis x = x 0 + h/2

22. Galat Metode Pias Misalkan I adalah nilai integrasi sejati , dan I’ adalah integrasi secara numerik . Maka galat hasil integrasi numerik didefinisikan sebagai E = I – I’ . untuk penurunan galat , kita tinjau dalam selang [0,h].

23. Metode Galat Midpoint Rule

24. Galat integrasi dengan kaidah midpoint sama dengan 1/2 kali galat pada kaidah trapesium .

25. Terima Kasih