analisis_real_INDUKSI MATEMATIKA DAN HIMPUNAN HINGGA DAN TAK HINGGA

PPT

1. Induksi matematika dan himpunan hingga dan tak hingga Bpk . Ishariyadi S.Pd ., M.pd Nama nama Anggota : Kelompok 2 Santika S. Buhang Al maina A23123099 A23123077 A23123059 A23123076 Nurdarniati Jesikalin T. Budiman A23123030 Zesika Wulandari A23123036 A23123036 Ashadi Eka Novita Sari Fitria Kurniawati A23123078 Dhea Aurelia Putri M A23123100 Dany Dhaifullah S. Hi. Noor Nurul Aulia Khairunnisa A23123112 A23123129 Analisis peubah real Oleh kelompok 2

2. Nama nama Anggota : Kelompok 2 Santika S. Buhang Al maina A23123077 A23123059 A23123076 Nurdarniati Jesikalin T. Budiman A23123030 Zesika Wulandari A23123036 A23123036 Ashadi Eka Novita Sari Fitria Kurniawati A23123078 A23123099 A23123059 A23123076 Al maina Dhea Aurelia Putri M A23123100 Dany Dhaifullah S. Hi. Noor Nurul Aulia Khairunnisa A23123112 A23123129 Induksi matematika dan himpunan terhigga dan tak terhingga Analisis peubah real Oleh kelompok 2 Bpk . Ishariyadi S.Pd . M.pd 1. Induksi matematika 2. Himpunan hingga dan tak hingga

3. RUMUSAN MASALAH 1. Induksi matematika 2. Himpunan hingga dan tak hingga

4. INDUKSI MATEMATIKA Induksi Matematika adalah metode pembuktian yang digunakan untuk membuktikan pernyataan yang berlaku untuk semua bilangan asli . Kita akan mengasumsikan bahwa pembaca sudah familiar dengan himpunan bilangan asli : N = {1,2,3,...} 1. Induksi matematika 2. Himpunan hingga dan tak hingga Jika S merupakan bagian dari N dan jika S ≠ ∅. Maka terdapat m ∈ S sehingga m ≤ k untuk semua k ∈ S. Berdasarkan properti Penataan Baik , kita akan memperoleh versi Prinsip Induksi Matematika yang dinyatakan dalam bentuk himpunan bagian N.

5. Sifat T erurut Rapi (well -ordering property) dari N 1.1 Jika S merupakan bagian dari N dan jika S ≠ ∅. Maka terdapat m ∈ S sehingga m ≤ k untuk semua k ∈ S. Berdasarkan properti Penataan Baik , kita akan memperoleh versi Prinsip Induksi Matematika yang dinyatakan dalam bentuk himpunan bagian N. 1.2 Prinsip Induksi Matematika . Setiap bagian himpunan tak kosong dari N memiliki elemen terkecil Induksi Matematika adalah metode pembuktian yang digunakan untuk membuktikan pernyataan yang berlaku untuk semua bilangan asli . Kita akan mengasumsikan bahwa pembaca sudah familiar dengan himpunan bilangan asli : N = {1,2,3,...} Misalkan S adalah himpunan bagian dari N yang memiliki dua sifat : Bilangan 1 ∈ S. Untuk setiap k ∈ N , jika k ∈ S , maka k + 1 ∈ S. Maka kita memiliki S = N.

6. 1.2 Prinsip Induksi Matematika . Misalkan S adalah himpunan bagian dari N yang memiliki dua sifat : Bilangan 1 ∈ S. Untuk setiap k ∈ N , jika k ∈ S , maka k + 1 ∈ S. Maka kita memiliki S = N. Jika S merupakan bagian dari N dan jika S ≠ ∅. Maka terdapat m ∈ S sehingga m ≤ k untuk semua k ∈ S. Berdasarkan properti Penataan Baik , kita akan memperoleh versi Prinsip Induksi Matematika yang dinyatakan dalam bentuk himpunan bagian N. Bukti : Misalkan sebaliknya bahwa S ≠ N. Maka himpunan N\S tidak kosong, jadi menurut Prinsip Pengurutan Baik himpunan tersebut memiliki elemen terkecil m . Karena 1 ∈ S menurut hipotesis kita tahu bahwa m > 1. Namun ini menyiratkan bahwa 1 juga merupakan bilangan asli. Karena m – 1 < m dan karena m adalah elemen terkecil dalam N sehingga m ∉ S , kita simpulkan bahwa m – 1 ∈ S . Sekarang kita terapkan hipotesis. pada elemen k = m - 1 di S, untuk menyimpulkan bahwa k + 1 = ( m - 1) + 1 = m termasuk dalam S. Namun pernyataan ini bertentangan dengan fakta bahwa m ∉ S . Karena m diperoleh dari asumsi bahwa N\ S tidak kosong, kita telah memperoleh kontradiksi. Oleh karena itu kita harus memiliki S = N.

7. Bukti : Misalkan sebaliknya bahwa S ≠ N. Maka himpunan N\S tidak kosong, jadi menurut Prinsip Pengurutan Baik himpunan tersebut memiliki elemen terkecil m . Karena 1 ∈ S menurut hipotesis kita tahu bahwa m > 1. Namun ini menyiratkan bahwa 1 juga merupakan bilangan asli. Karena m – 1 < m dan karena m adalah elemen terkecil dalam N sehingga m ∉ S , kita simpulkan bahwa m – 1 ∈ S . Sekarang kita terapkan hipotesis. pada elemen k = m - 1 di S, untuk menyimpulkan bahwa k + 1 = ( m - 1) + 1 = m termasuk dalam S. Namun pernyataan ini bertentangan dengan fakta bahwa m ∉ S . Karena m diperoleh dari asumsi bahwa N\ S tidak kosong, kita telah memperoleh kontradiksi. Oleh karena itu kita harus memiliki S = N. Misalkan S adalah himpunan bagian dari N yang memiliki dua sifat : Bilangan 1 ∈ S. Untuk setiap k ∈ N , jika k ∈ S , maka k + 1 ∈ S. Maka kita memiliki S = N. Misalkan n₀ ∈ N dan misalkan P(n) menjadi pernyataan untuk setiap bilangan asli n ≥ n₀ Misalkan: Pernyataan P(n₀) benar. Untuk semua k ≥ nₒ , kebenaran P(k) menyiratkan kebenaran P(k + 1). Maka P(n) benar untuk semua n ≥ nₒ 1.3 Prinsip Induksi Matematika ( Versi kedua )

8. 1.3 Prinsip Induksi Matematika ( Versi kedua ) Misalkan n₀ ∈ N dan misalkan P(n) menjadi pernyataan untuk setiap bilangan asli n ≥ n₀ Misalkan: Pernyataan P(n₀) benar. Untuk semua k ≥ nₒ , kebenaran P(k) menyiratkan kebenaran P(k + 1). Maka P(n) benar untuk semua n ≥ nₒ Bukti : Misalkan sebaliknya bahwa S ≠ N. Maka himpunan N\S tidak kosong, jadi menurut Prinsip Pengurutan Baik himpunan tersebut memiliki elemen terkecil m . Karena 1 ∈ S menurut hipotesis kita tahu bahwa m > 1. Namun ini menyiratkan bahwa 1 juga merupakan bilangan asli. Karena m – 1 < m dan karena m adalah elemen terkecil dalam N sehingga m ∉ S , kita simpulkan bahwa m – 1 ∈ S . Sekarang kita terapkan hipotesis. pada elemen k = m - 1 di S, untuk menyimpulkan bahwa k + 1 = ( m - 1) + 1 = m termasuk dalam S. Namun pernyataan ini bertentangan dengan fakta bahwa m ∉ S . Karena m diperoleh dari asumsi bahwa N\ S tidak kosong, kita telah memperoleh kontradiksi. Oleh karena itu kita harus memiliki S = N. Untuk setiap n ∈ N, jumlah bilangan asli n pertama diberikan oleh 1+2+...+n = ½n(n+1) Jawaban : misalkan S adalah himpunan semua n ∈ N yang rumusnya benar. Kita akan m embuktikan bahwa kondisi (a ) dan (b ) dari 1.2 terpenuhi. Jika n = 1, maka kita memiliki 1 = ½ . 1 . (1+1) sehingga 1 ∈ S, dan (1) terpenuhi. Selanjutnya, dengan asumsi ini akan ditunjukan k + 1 ∈ S. jika k ∈ S, maka 1 + 2 +...+ k = ½k (k+1). Jika kita menambahkan k + 1 ke kedua sisi persamaan yang diasumsikan, kita memperoleh 1 + 2 + ... + k + (k+1) = ½k(k+1) + (k+1) = ½(k+1)(k+2). Karena ini adalah rumus yang dinyatakan untuk n = k + 1, kita simpulkan bahwa k + 1 ∈ S. Oleh karena itu, kondisi (a ) dari 2.1.3 terpenuhi. Oleh karena itu, berdasarkan Prinsip Induksi Matematika, kita simpulkan bahwa S = N. Jadi rumus tersebut berlaku untuk semua n ∈ N.

9. 1.4 contoh soal Untuk setiap n ∈ N, jumlah bilangan asli n pertama diberikan oleh 1+2+...+n = ½n(n+1) Jawaban : misalkan S adalah himpunan semua n ∈ N yang rumusnya benar. Kita akan m embuktikan bahwa kondisi (a ) dan (b ) dari 1.2 terpenuhi. Jika n = 1, maka kita memiliki 1 = ½ . 1 . (1+1) sehingga 1 ∈ S, dan (1) terpenuhi. Selanjutnya, dengan asumsi ini akan ditunjukan k + 1 ∈ S. jika k ∈ S, maka 1 + 2 +...+ k = ½k (k+1). Jika kita menambahkan k + 1 ke kedua sisi persamaan yang diasumsikan, kita memperoleh 1 + 2 + ... + k + (k+1) = ½k(k+1) + (k+1) = ½(k+1)(k+2). Karena ini adalah rumus yang dinyatakan untuk n = k + 1, kita simpulkan bahwa k + 1 ∈ S. Oleh karena itu, kondisi (a ) dari 2.1.3 terpenuhi. Oleh karena itu, berdasarkan Prinsip Induksi Matematika, kita simpulkan bahwa S = N. Jadi rumus tersebut berlaku untuk semua n ∈ N. 1. Misalkan n₀ ∈ N dan misalkan P(n) menjadi pernyataan untuk setiap bilangan asli n ≥ n₀ Misalkan: Pernyataan P(n₀) benar. Untuk semua k ≥ nₒ , kebenaran P(k) menyiratkan kebenaran P(k + 1). Maka P(n) benar untuk semua n ≥ nₒ Misalkan S adalah suatu himpunan bagian dari N sehingga ; a. 1 ∈ S. b. Untuk setiap k ∈ N, jika {1, 2, … k} S Maka k + 1 ∈ S maka S = N.

10. 1.5 Prinsip Induksi Kuat Misalkan S adalah suatu himpunan bagian dari N sehingga ; a. 1 ∈ S. b. Untuk setiap k ∈ N, jika {1, 2, … k} S Maka k + 1 ∈ S maka S = N. Untuk setiap n ∈ N, jumlah bilangan asli n pertama diberikan oleh 1+2+...+n = ½n(n+1) Jawaban : misalkan S adalah himpunan semua n ∈ N yang rumusnya benar. Kita akan m embuktikan bahwa kondisi (a ) dan (b ) dari 1.2 terpenuhi. Jika n = 1, maka kita memiliki 1 = ½ . 1 . (1+1) sehingga 1 ∈ S, dan (1) terpenuhi. Selanjutnya, dengan asumsi ini akan ditunjukan k + 1 ∈ S. jika k ∈ S, maka 1 + 2 +...+ k = ½k (k+1). Jika kita menambahkan k + 1 ke kedua sisi persamaan yang diasumsikan, kita memperoleh 1 + 2 + ... + k + (k+1) = ½k(k+1) + (k+1) = ½(k+1)(k+2). Karena ini adalah rumus yang dinyatakan untuk n = k + 1, kita simpulkan bahwa k + 1 ∈ S. Oleh karena itu, kondisi (a ) dari 2.1.3 terpenuhi. Oleh karena itu, berdasarkan Prinsip Induksi Matematika, kita simpulkan bahwa S = N. Jadi rumus tersebut berlaku untuk semua n ∈ N. Himpunan Hingga dan Tak Hingga membahas konsep jumlah elemen dalam suatu himpunan. Himpunan disebut hingga jika memiliki jumlah elemen tertentu, sedangkan tak hingga jika tidak dapat dihitung hingga selesai. Beberapa himpunan seperti bilangan bulat dan bilangan rasional termasuk dalam kategori terhitung (countable), sementara bilangan real merupakan contoh tak terhitung (uncountable).

11. Himpunan terhingga dan tak terhingga 2. Himpunan Hingga dan Tak Hingga membahas konsep jumlah elemen dalam suatu himpunan. Himpunan disebut hingga jika memiliki jumlah elemen tertentu, sedangkan tak hingga jika tidak dapat dihitung hingga selesai. Beberapa himpunan seperti bilangan bulat dan bilangan rasional termasuk dalam kategori terhitung (countable), sementara bilangan real merupakan contoh tak terhitung (uncountable). Misalkan S adalah suatu himpunan bagian dari N sehingga ; a. 1 ∈ S. b. Untuk setiap k ∈ N, jika {1, 2, … k} S Maka k + 1 ∈ S maka S = N. Himpunan kosong dikatakan memiliki 0 elemen. Jika n ∈ ℕ, suatu himpunan S dikatakan memiliki n elemen jika terdapat bijeksi dari himpunan {1, 2, ..., n} ke S. Himpunan S dikatakan berhingga jika himpunan tersebut kosong atau memiliki n elemen untuk beberapa n ∈ N. Himpunan S dikatakan tak hingga jika himpunan tersebut tidak berhingga.

12. 2.1 Definisi Himpunan kosong dikatakan memiliki 0 elemen. Jika n ∈ ℕ, suatu himpunan S dikatakan memiliki n elemen jika terdapat bijeksi dari himpunan {1, 2, ..., n} ke S. Himpunan S dikatakan berhingga jika himpunan tersebut kosong atau memiliki n elemen untuk beberapa n ∈ N. Himpunan S dikatakan tak hingga jika himpunan tersebut tidak berhingga. Himpunan Hingga dan Tak Hingga membahas konsep jumlah elemen dalam suatu himpunan. Himpunan disebut hingga jika memiliki jumlah elemen tertentu, sedangkan tak hingga jika tidak dapat dihitung hingga selesai. Beberapa himpunan seperti bilangan bulat dan bilangan rasional termasuk dalam kategori terhitung (countable), sementara bilangan real merupakan contoh tak terhitung (uncountable). 2.2 Teorema Keunikan Jika S adalah himpunan hingga, maka jumlah elemen dalam S adalah suatu bilangan unik dalam N. 2.3 Teorema Himpunan bilangan asli adalah himpunan tak hingga. Hasil berikutnya memberikan beberapa sifat dasar himpunan hingga dan tak hingga.

13. 2.2 Teorema Keunikan Jika S adalah himpunan hingga, maka jumlah elemen dalam S adalah suatu bilangan unik dalam N. 2.3 Teorema Himpunan bilangan asli adalah himpunan tak hingga. Hasil berikutnya memberikan beberapa sifat dasar himpunan hingga dan tak hingga. Himpunan kosong dikatakan memiliki 0 elemen. Jika n ∈ ℕ, suatu himpunan S dikatakan memiliki n elemen jika terdapat bijeksi dari himpunan {1, 2, ..., n} ke S. Himpunan S dikatakan berhingga jika himpunan tersebut kosong atau memiliki n elemen untuk beberapa n ∈ N. Himpunan S dikatakan tak hingga jika himpunan tersebut tidak berhingga. 2.4 Teorema Jika A adalah himpunan dengan m elemen dan B adalah himpunan dengan n elemen dan jika A ∩ B = ∅ , maka A ∪ B memiliki m + n elemen. Jika A adalah himpunan dengan m elemen dan C ⊆ A adalah himpunan dengan 1 elemen, maka A/C adalah himpunan dengan m - 1 elemen. Jika C adalah himpunan tak hingga dan B adalah himpunan hingga, maka C/B adalah himpunan tak hingga .

14. 2.4 Teorema Jika A adalah himpunan dengan m elemen dan B adalah himpunan dengan n elemen dan jika A ∩ B = ∅ , maka A ∪ B memiliki m + n elemen. Jika A adalah himpunan dengan m elemen dan C ⊆ A adalah himpunan dengan 1 elemen, maka A/C adalah himpunan dengan m - 1 elemen. Jika C adalah himpunan tak hingga dan B adalah himpunan hingga, maka C/B adalah himpunan tak hingga . 2.2 Teorema Keunikan Jika S adalah himpunan hingga, maka jumlah elemen dalam S adalah suatu bilangan unik dalam N. 2.3 Teorema Himpunan bilangan asli adalah himpunan tak hingga. Hasil berikutnya memberikan beberapa sifat dasar himpunan hingga dan tak hingga. 2.5 Teorema Misalkan S dan T adalah himpunan dan T ⊆ S. Jika S adalah himpunan hingga, maka T adalah juga himpunan hingga. Jika T adalah himpunan tak hingga, maka S adalah himpunan tak hingga.

15. 2.5 Teorema Misalkan S dan T adalah himpunan dan T ⊆ S. Jika S adalah himpunan hingga, maka T adalah juga himpunan hingga. Jika T adalah himpunan tak hingga, maka S adalah himpunan tak hingga. 2.4 Teorema Jika A adalah himpunan dengan m elemen dan B adalah himpunan dengan n elemen dan jika A ∩ B = ∅ , maka A ∪ B memiliki m + n elemen. Jika A adalah himpunan dengan m elemen dan C ⊆ A adalah himpunan dengan 1 elemen, maka A/C adalah himpunan dengan m - 1 elemen. Jika C adalah himpunan tak hingga dan B adalah himpunan hingga, maka C/B adalah himpunan tak hingga . 2.6 Definisi Suatu himpunan S dikatakan dapat dihitung secara berhingga (denumerable) atau tak hingga yang dapat dihitung (countably infinite) jika terdapat bijeksi dari ℕ ke S Suatu himpunan S dikatakan dapat dihitung (countable) jika S bersifat hingga atau dapat dihitung secara berhingga.. Suatu himpunan dikatakan tak terhitung (uncountable) jika tidak dapat dihitung

16. 2.6 Definisi Suatu himpunan S dikatakan dapat dihitung secara berhingga (denumerable) atau tak hingga yang dapat dihitung (countably infinite) jika terdapat bijeksi dari ℕ ke S Suatu himpunan S dikatakan dapat dihitung (countable) jika S bersifat hingga atau dapat dihitung secara berhingga.. Suatu himpunan dikatakan tak terhitung (uncountable) jika tidak dapat dihitung 2.5 Teorema Misalkan S dan T adalah himpunan dan T ⊆ S. Jika S adalah himpunan hingga, maka T adalah juga himpunan hingga. Jika T adalah himpunan tak hingga, maka S adalah himpunan tak hingga. Himpunan bilangan genap: E := {2n |n ∈ ℕ} dari bilangan genap adalah dapat dihitung secara berhingga, karena pemetaan f : ℕ → E yang didefinisikan sebagai f(n) := 2n untuk n ∈ ℕ adalah bijeksi dari ℕ ke E. Demikian pula, himpunan bilangan ganjil O := {2n - 1 |n ∈ ℕ} juga dapat dihitung secara berhingga.

17. 2.7 Contoh Himpunan bilangan genap: E := {2n |n ∈ ℕ} dari bilangan genap adalah dapat dihitung secara berhingga, karena pemetaan f : ℕ → E yang didefinisikan sebagai f(n) := 2n untuk n ∈ ℕ adalah bijeksi dari ℕ ke E. Demikian pula, himpunan bilangan ganjil O := {2n - 1 |n ∈ ℕ} juga dapat dihitung secara berhingga. 2.6 Definisi Suatu himpunan S dikatakan dapat dihitung secara berhingga (denumerable) atau tak hingga yang dapat dihitung (countably infinite) jika terdapat bijeksi dari ℕ ke S Suatu himpunan S dikatakan dapat dihitung (countable) jika S bersifat hingga atau dapat dihitung secara berhingga.. Suatu himpunan dikatakan tak terhitung (uncountable) jika tidak dapat dihitung Latihan soal Buktikan bahwa himpunan tak kosong T1 berhingga jika dan hanya jika terdapat bijeksi dari T1 ke himpunan   berhingga  T2. untuk semua  

18. Latihan soal Buktikan bahwa himpunan tak kosong T1 berhingga jika dan hanya jika terdapat bijeksi dari T1 ke himpunan   berhingga  T2. untuk semua   Himpunan bilangan genap: E := {2n |n ∈ ℕ} dari bilangan genap adalah dapat dihitung secara berhingga, karena pemetaan f : ℕ → E yang didefinisikan sebagai f(n) := 2n untuk n ∈ ℕ adalah bijeksi dari ℕ ke E. Demikian pula, himpunan bilangan ganjil O := {2n - 1 |n ∈ ℕ} juga dapat dihitung secara berhingga. ADA PERTANYAAN ? TERIMA KASIH

19. TERIMA KASIH ADA PERTANYAAN ? Latihan soal Buktikan bahwa himpunan tak kosong T1 berhingga jika dan hanya jika terdapat bijeksi dari T1 ke himpunan   berhingga  T2. untuk semua