Analysis Of Gravitationalwave Data Piotr Jaranowski Andrzej Krolak

Analysis Of Gravitationalwave Data Piotr
Jaranowski Andrzej Krolak download
https://ebookbell.com/product/analysis-of-gravitationalwave-data-
piotr-jaranowski-andrzej-krolak-51088376
Explore and download more ebooks at ebookbell.com

Here are some recommended products that we believe you will be
interested in. You can click the link to download.
Data Analysis Of Gravitational Waves Sahay Sk Rabounski Eds
https://ebookbell.com/product/data-analysis-of-gravitational-waves-
sahay-sk-rabounski-eds-1407068
Analysis Of Asme Boiler Pressure Vessel And Nuclear Components In The
Creep Range 2nd Edition 2nd Edition Maan H Jawad
https://ebookbell.com/product/analysis-of-asme-boiler-pressure-vessel-
and-nuclear-components-in-the-creep-range-2nd-edition-2nd-edition-
maan-h-jawad-44992422
Analysis Of Reactiondiffusion Models With The Taxis Mechanism Yuanyuan
Ke
https://ebookbell.com/product/analysis-of-reactiondiffusion-models-
with-the-taxis-mechanism-yuanyuan-ke-45035216
Analysis Of Forkjoin Systems Samyukta Sethuraman
https://ebookbell.com/product/analysis-of-forkjoin-systems-samyukta-
sethuraman-46149602

Analysis Of A Model For Epilepsy Application Of A Maxtype Dierence
Equation To Mesial Temporal Lobe Epilepsy Candace M Kent
https://ebookbell.com/product/analysis-of-a-model-for-epilepsy-
application-of-a-maxtype-dierence-equation-to-mesial-temporal-lobe-
epilepsy-candace-m-kent-46210118
Analysis Of Naturally Occurring Food Toxins Of Plant Origin Food
Analysis Properties 1st Edition Leo Ml Nollet Editor
https://ebookbell.com/product/analysis-of-naturally-occurring-food-
toxins-of-plant-origin-food-analysis-properties-1st-edition-leo-ml-
nollet-editor-46562682
Analysis Of Longitudinal Data By Example Yougan Wang Liya Fu Sudhir
Paul
https://ebookbell.com/product/analysis-of-longitudinal-data-by-
example-yougan-wang-liya-fu-sudhir-paul-46707710
Analysis Of Transport Phenomena 2nd Edition William M Deen
https://ebookbell.com/product/analysis-of-transport-phenomena-2nd-
edition-william-m-deen-47289226
Analysis Of Structures On Elastic Foundation Incorporating The
Spectral Method Of Boundary Elements Levon G Petrosian
https://ebookbell.com/product/analysis-of-structures-on-elastic-
foundation-incorporating-the-spectral-method-of-boundary-elements-
levon-g-petrosian-48224394

This page intentionally left blank

ANALYSIS OF GRAVITATIONAL-WAVE DATA
Research in this ﬁeld has grown considerably in recent years due to the
commissioning of a world-wide network of large-scale detectors. This net-
work collects a very large amount of data that is currently being ana-
lyzed and interpreted. This book introduces researchers entering the ﬁeld,
and researchers currently analyzing the data, to gravitational-wave data
analysis.
An ideal starting point for studying the issues related to current
gravitational-wave research, the book contains detailed derivations of
the basic formulae related to the detectors’ responses and maximum-
likelihood detection. These derivations are much more complete and
more pedagogical than those found in current research papers, and will
enable readers to apply general statistical concepts to the analysis of
gravitational-wave signals. It also discusses new ideas on devising the eﬃ-
cient algorithms needed to perform data analysis.
Piotr Jaranowski is an Associate Professor in the Faculty of Physics
at the University of Bialystok, Poland. He has been a visiting sci-
entist at the Max Planck Institute for Gravitational Physics and the
Friedrich Schiller University of Jena, both in Germany, and the Insti-
tut des Hautes
´
Etudes Scientiﬁques, France. He currently works in the
ﬁeld of gravitational-wave data analysis and general-relativistic problem
of motion.
Andrzej Kr´olakis a Professor in the Institute of Mathematics at
the Polish Academy of Sciences, Poland. He has twice been awarded the
Second Prize by the Gravity Research Foundation (once with Bernard
Schutz). He has been a visiting scientist at the Max Planck Institute
for Gravitational Physics, Germany, and the Jet Propulsion Laboratory,
USA. His ﬁeld of research is gravitational-wave data analysis and general
theory of relativity, and the phenomena predicted by this theory such as
black holes and gravitational waves.

CAMBRIDGE MONOGRAPHS
ON PARTICLE PHYSICS,
NUCLEAR PHYSICS AND COSMOLOGY
General Editors: T. Ericson, P. V. Landshoﬀ
1. K. Winter (ed.):Neutrino Physics
2. J. F. Donoghue, E. Golowich and B. R. Holstein:Dynamics of the Standard Model
3. E. Leader and E. Predazzi:An Introduction to Gauge Theories and Modern Particle
Physics, Volume 1: Electroweak Interactions, the ‘New Particles’ and the Parton Model
4. E. Leader and E. Predazzi:An Introduction to Gauge Theories and Modern Particle
Physics, Volume 2: CP-Violation, QCD and Hard Processes
5. C. Grupen:Particle Detectors
6. H. Grosse and A. Martin:Particle Physics and the Schr¨odinger Equation
7. B. Anderson:The Lund Model
8. R. K. Ellis, W. J. Stirling and B. R. Webber:QCD and Collider Physics
9. I. I. Bigi and A. I. Sanda:CP Violation
10. A. V. Manohar and M. B. Wise:Heavy Quark Physics
11. R.K.Bock,H.Grote,R.Fr¨uhwirth and M. Regler:Data Analysis Techniques for
High-Energy Physics, Second edition
12. D. Green:The Physics of Particle Detectors
13. V. N. Gribov and J. Nyiri:Quantum Electrodynamics
14. K. Winter (ed.):Neutrino Physics, Second edition
15. E. Leader:Spin in Particle Physics
16. J. D. Walecka:Electron Scattering for Nuclear and Nucleon Scattering
17. S. Narison:QCD as a Theory of Hadrons
18. J. F. Letessier and J. Rafelski:Hadrons and Quark-Gluon Plasma
19. A. Donnachie, H. G. Dosch, P. V. Landshoﬀ and O. Nachtmann:Pomeron Physics
and QCD
20. A. Hoﬀmann:The Physics of Synchroton Radiation
21. J. B. Kogut and M. A. Stephanov:The Phases of Quantum Chromodynamics
22. D. Green:High P
TPhysics at Hadron Colliders
23. K. Yagi, T. Hatsuda and Y. Miake:Quark-Gluon Plasma
24. D. M. Brink and R. A. Broglia:Nuclear Superﬂuidity
25. F. E. Close, A. Donnachie and G. Shaw:Electromagnetic Interactions and
Hadronic Structure
26. C. Grupen and B. A. Shwartz:Particle Detectors, Second edition
27. V. Gribov:Strong Interactions of Hadrons at High Energies
28. I. I. Bigi and A. I. Sanda:CP Violation, Second edition
29. P. Jaranowski and A. Kr´olak:Analysis of Gravitational-Wave Data

ANALYSIS OF
GRAVITATIONAL-WAVE DATA
PIOTR JARANOWSKI
University of Biaﬃlystok, Poland
ANDRZEJ KR
´
OLAK
Polish Academy of Sciences, Poland

CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS
Cambridge, New York, Melbourne, Madrid, Cape Town, Singapore,
São Paulo, Delhi, Dubai, Tokyo
Cambridge University Press
The Edinburgh Building, Cambridge CB2 8RU, UK
First published in print format
ISBN-13 978-0-521-86459-6
ISBN-13 978-0-511-60518-5
© P. Jaranowski and A. Krolak 2009
2009
Information on this title: www.cambrid
g
e.or
g
/9780521864596
This publication is in copyright. Subject to statutory exception and to the
provision of relevant collective licensing agreements, no reproduction of any part
may take place without the written permission of Cambridge University Press.
Cambridge University Press has no responsibility for the persistence or accuracy
of urls for external or third-party internet websites referred to in this publication,
and does not guarantee that any content on such websites is, or will remain,
accurate or appropriate.
Published in the United States of America by Cambridge University Press, New York
www.cambridge.org
eBook
(
NetLibrar
y)
Hardback

Contents
Preface pagevii
Notation and conventions x
1 Overview of the theory of gravitational radiation 1
1.1 Linearized general relativity 2
1.2 Plane monochromatic gravitational waves 7
1.3 Description in the TT coordinate system 10
1.4 Description in the observer’s proper reference frame13
1.5 Gravitational waves in the curved background 17
1.6 Energy–momentum tensor for gravitational waves 19
1.7 Generation of gravitational waves and
radiation reaction 20
2 Astrophysical sources of gravitational waves 26
2.1 Burst sources 27
2.2 Periodic sources 28
2.3 Stochastic sources 29
2.4 Case study: binary systems 30
2.5 Case study: a rotating triaxial ellipsoid 42
2.6 Case study: supernova explosion 45
2.7 Case study: stochastic background 47
3 Statistical theory of signal detection 51
3.1 Random variables 52
3.2 Stochastic processes 56
3.3 Hypothesis testing 62
3.4 The matched ﬁlter in Gaussian noise:
deterministic signal 71
3.5 Estimation of stochastic signals 76
v

vi Contents
3.6 Estimation of parameters
3.7 Non-stationary stochastic processes
4 Time series analysis 99
4.1 Sample mean and correlation function 99
4.2 Power spectrum estimation 101
4.3 Tests for periodicity 107
4.4 Goodness-of-ﬁt tests 109
4.5 Higher-order spectra 111
5 Responses of detectors to gravitational waves 114
5.1 Detectors of gravitational waves 114
5.2 Doppler shift between freely falling observers 115
5.3 Long-wavelength approximation 122
5.4 Responses of the solar-system-based detectors 124
6 Maximum-likelihood detection in Gaussian noise 131
6.1 Deterministic signals 131
6.2 Case studies: deterministic signals 150
6.3 Network of detectors 167
6.4 Detection of stochastic signals 184
7 Data analysis tools 192
7.1 Linear signal model 192
7.2 Grid of templates in the parameter space 197
7.3 Numerical algorithms to calculate theF-statistic 201
7.4 Analysis of the candidates 208
Appendix A: The chirp waveform 212
Appendix B: Proof of the Neyman–Pearson lemma 218
Appendix C: Detector’s beam-pattern functions 221
C.1 LISA detector 222
C.2 Earth-based detectors 225
Appendix D: Response of the LISA detector
to an almost monochromatic wave 229
Appendix E: Amplitude parameters of periodic waves 233
References 235
Index 249

Preface
Gravitational waves are predicted by Einstein’s general theory of rela-
tivity. The only potentially detectable sources of gravitational waves are
of astrophysical origin. So far the existence of gravitational waves has
only been conﬁrmed indirectly from radio observations of binary pulsars,
notably the famous Hulse and Taylor pulsar PSR B1913+16 [1]. As gravi-
tational waves are extremely weak, a very careful data analysis is required
in order to detect them and extract useful astrophysical information. Any
gravitational-wave signal present in the data will be buried in the noise
of a detector. Thus the data from a gravitational-wave detector are real-
izations of a stochastic process. Consequently the problem of detecting
gravitational-wave signals is a statistical one.
The purpose of this book is to introduce the reader to the ﬁeld of
gravitational-wave data analysis. This ﬁeld has grown considerably in the
past years as a result of commissioning a world-wide network of long arm
interferometric detectors. This network together with an existing network
of resonant detectors collects a very large amount of data that is currently
being analyzed and interpreted. Plans exist to build more sensitive laser
interferometric detectors and plans to build interferometric gravitational-
wave detectors in space.
This book is meant both for researchers entering the ﬁeld of gravitatio-
nal-wave data analysis and the researchers currently analyzing the data.
In our book we describe the basis of the theory of time series analysis,
signal detection, and parameter estimation. We show how this theory
applies to various cases of gravitational-wave signals. In our applications
we usually assume that the noise in the detector is a Gaussian and sta-
tionary stochastic process. These assumptions will need to be veriﬁed
in practice. In our presentation we focus on one very powerful method
of detecting a signal in noise called themaximum-likelihoodmethod.
This method is optimal by several criteria and in the case of Gaussian
vii

viii Preface
noise it consists of correlating the data with the template that is matched
to the expected signal. Robust methods of detecting signals in non-
Gaussian noise in the context of gravitational-wave data analysis are dis-
cussed in [2, 3]. In our book we do not discuss alternative data analysis
techniques such as time-frequency methods [4, 5], wavelets [6, 7, 8, 9],
Hough transform [10, 11], and suboptimal methods like those proposed
in [12, 13].
Early gravitational-wave data analysis was concerned with the detec-
tion of bursts originating from supernova explosions [14] and it consisted
mainly of analysis of coincidences among the detectors [15]. With the
growing interest in laser interferometric gravitational-wave detectors that
are broadband it was realized that sources other than supernovae can
also be detectable [16] and that they can provide a wealth of astrophys-
ical information [17, 18]. For example, the analytic form of the gravi-
tational-wave signal from a binary system is known to a good approxi-
mation in terms of a few parameters. Consequently, one can detect such
a signal by correlating the data with the waveform of the signal and
maximizing the correlation with respect to the parameters of the wave-
form. Using this method one can pick up a weak signal from the noise
by building a large signal-to-noise ratio over a wide bandwidth of the
detector [16]. This observation has led to a rapid development of the the-
ory of gravitational-wave data analysis. It became clear that detectability
of sources is determined by an optimal signal-to-noise ratio, which is the
power spectrum of the signal divided by power spectrum of the noise
integrated over the bandwidth of the detector.
An important landmark was a workshop entitledGravitational Wave
Data Analysisheld in Dyﬀryn House and Gardens, St. Nicholas near
Cardiﬀ, in July 1987 [19]. The meeting acquainted physicists interested in
analyzing gravitational-wave data with the basics of the statistical theory
of signal detection and its application to the detection of gravitational-
wave sources. As a result of subsequent studies the Fisher information
matrix was introduced to the theory of the analysis of gravitational-
wave data [20, 21]. The diagonal elements of the Fisher matrix give lower
bounds on the variances of the estimators of the parameters of the sig-
nal and can be used to assess the quality of the astrophysical informa-
tion that can be obtained from detections of gravitational-wave signals
[22, 23, 24, 25]. It was also realized that the application of matched-
ﬁltering to some signals, notably to periodic signals originating from neu-
tron stars, will require extraordinarily large computing resources. This
gave a further stimulus to the development of optimal and eﬃcient algo-
rithms and data analysis methods [26].
A very important development was the paper [27], where it was realized
that for the case of coalescing binaries matched-ﬁltering was sensitive to

Preface ix
very small post-Newtonian eﬀects of the waveform. Thus, these eﬀects
can be detected. This leads to a much better veriﬁcation of Einstein’s
theory of relativity and provides a wealth of astrophysical informa-
tion that would make a laser interferometric gravitational-wave detector
a true astronomical observatory complementary to those utilizing the elec-
tromagnetic spectrum. Further theoretical methods were introduced: to
calculate the quality of suboptimal ﬁlters [28], to calculate the number
of templates to do a search using matched-ﬁltering [29], to determine the
accuracy of templates required [30], to calculate the false alarm prob-
ability and thresholds [31]. An important point is the reduction of the
number of parameters that one needs to search for in order to detect a
signal. Namely, estimators of a certain type of parameters, calledextrinsic
parameters, can be found in a closed analytic form and consequently elimi-
nated from the search. Thus a computationally intensive search needs only
be performed over a reduced set ofintrinsic parameters[21, 31, 32, 33].
The book is organized as follows. Chapter 1 introduces linearized Ein-
stein equations and demonstrates how the gravitational waves arise in
this approximation. Chapter 2 reviews the most important astrophysical
sources of gravitational waves and presents in more detail calculations of
two independent polarizations of waves from a compact binary system
and emitted by a rotating triaxial ellipsoid. Also the main features of
a gravitational-wave burst from a supernova explosion and of stochastic
gravitational-wave background are considered. Chapter 3 is an introduc-
tion to the statistical theory of the detection of signals in noise and estima-
tion of the signal’s parameters. We discuss the basic properties of not only
stationary stochastic processes but also certain aspects of non-stationary
processes with applications to gravitational-wave data analysis. Chap-
ter 4 is an introduction to the time series analysis. Chapter 5 studies
the responses of detectors to gravitational waves for both ground-based
and space-borne detectors. Chapter 6 introduces the maximum-likelihood
detection method with an application to detection and estimation of
parameters of gravitational-wave signals buried in the noise of the detec-
tor. The noise in the detector is assumed to be Gaussian and stationary.
We consider both deterministic and stochastic signals. We also consider
detection by networks of detectors. Chapter 7 presents an in detail appli-
cation of the methods presented in Chapter 6 to the case of the periodic
gravitational-wave signal from a rotating neutron star. The methodol-
ogy explained in Chapter 7 can be used in the analysis of many other
gravitational-wave signals such as signals originating from the white-dwarf
binaries.
We would like to thank Gerhard Sch¨afer for reading parts of the ma-
nuscript of the book and for his useful remarks and comments.

Notation and conventions
General relativity. We adopt notation and conventions of the textbook by
Misner, Thorne, and Wheeler [34]. Greek indicesα,β,...run from 0 to 3
and Latin indicesi,j,...run from 1 to 3. We employ the Einstein sum-
mation convention. We use the spacetime metric of signature (−1,1,1,1),
so the line element of the Minkowski spacetime in Cartesian (inertial
coordinates (x
0
=ct,x
1
=x,x
2
=y,x
3
=z) reads
ds
2
=ηµνdx
µ
dx
ν
=−c
2
dt
2
+dx
2
+dy
2
+dz
2
. (1)
Numbers. N={1,2,...}is the set of natural numbers (i.e. the positive
integers);Z={...,−2,−1,0,1,2,...}denotes the set of all integers;Ris
the set of real numbers.Cdenotes the set of complex numbers; for the
complex numberz=a+ib(a, b∈R,i=
√
−1) the complex conjugate of
zis denoted byz
∗
:=a−iband|z|:=
√
a
2
+b
2
is the modulus ofz; the
real and imaginary parts ofzare denoted byﬃ(z):=aandΓ(z):=b.
3-vectors. For any 3-vectors a=(a
1
,a
2
,a
3
)andb =(b
1
,b
2
,b
3
) we deﬁne
their usual Euclidean scalar producta·b,and|a|denotes Euclidean
length of a 3-vectora:
a·b:=
3
ﬃ
i=1
a
i
b
i
,|a|:=
√
a·a=
ﬀ
ﬃ
ﬃ
Γ
3
ﬃ
i=1
(a
i
)
2
. (2)
Matricesare written in a sans serif font, e.g.M,N, . . . . Matrix multipli-
cation is denoted by a dot, e.g.M·N, and the superscriptTstands for
the matrix transposition, e.g.M
T
.
Fourier transform. Diﬀerent conventions are used for deﬁning Fourier
transform. In the general case the one-dimensional Fourier transform
x

Notation and conventions xi
ˆs=ˆs(ξ) of a functions=s(t)isdeﬁnedas
˜s(ξ):=
Λ
|b|
(2π)
1−a
Φ
+∞
−∞
e
ibξt
s(t)dt, (3)
whereaandb(bΛ= 0) are some real numbers. Then the solution of the
above equation with respect to the functions[i.e. the inverse Fourier
transform] reads
s(t)=
Λ
|b|
(2π)
1+a
Φ
+∞
−∞
e
−ibξt
˜s(ξ)dξ. (4)
Throughout the book we employ two conventions. With the Fourier vari-
able being the frequencyf(measured in Hz) we usea=0andb=−2π,
i.e.
˜s(f):=
Φ
+∞
−∞
e
−2πift
s(t)dt, s(t)=
Φ
+∞
−∞
e
2πift
˜s(f)df. (5)
When angular frequencyω:= 2πfis the Fourier variable we takea=−1
andb=−1, i.e.
˜s(ω):=
1
2π
Φ
+∞
−∞
e
−iωt
s(t)dt, s(t)=
Φ
+∞
−∞
e
iωt
˜s(ω)dω. (6)
Spectral densities. In Section 3.2 we introduce the two-sidedspectral den-
sity
¯
Sof a stationary stochastic process as a function of angular frequency
ω,
¯
S=
¯
S(ω). The function
¯
Sis the Fourier transform of the autocorrela-
tion functionRof the stochastic process, i.e.
¯
S(ω)=
1
2π
Φ
+∞
−∞
e
−iωt
R(t)dt,−∞<ω<+∞. (7)
In Section 3.4 the two-sided spectral densitySas a function of frequency
fis used,S=S(f). The functionSis also the Fourier transform of the
functionR,
S(f)=
Φ
+∞
−∞
e
−2πift
R(t)dt,−∞<f<+∞. (8)
Comparing Eqs. (7
¯
SandSis the following:
¯
S(ω)=
1
2π
S
∆
ω
2π
Ω
,S(f)=2π
¯
S(2πf). (9)
The relation betweenone-sidedand two-sided spectral densities is
explained in Eqs. (3.93

xii Notation and conventions
Dirac delta function,δ. We employ integral representation ofδfunction:
δ(t)=
Φ
+∞
−∞
e
2πift
df=
1
2π
Φ
+∞
−∞
e
iωt
dω, (10)
as well as its periodic representation of the form:
∞
ﬃ
n=−∞
δ(x−2nπ)=
1
2π
∞
ﬃ
n=−∞
e
inx
. (11)

1
Overview of the theory of
gravitational radiation
In this chapter we very brieﬂy review the theory of gravitational radiation.
A detailed exposition of the theory can be found in many textbooks on
general relativity, e.g. in Chapters 35–37 of [34], Chapter 9 of [35], or
Chapter 7 of [36]. A detailed exposition of the theory of gravitational
waves is contained in the recent monograph [37]. Reference [38] is an
introductory review of the theory of gravitational radiation and Ref. [16]
is an accessible review of diﬀerent aspects of gravitational-wave research.
Some parts of the present chapter closely follow Sections 9.2 and 9.3 of
the review article [16].
The chapter begins (in Section 1.1) with a discussion of general relativ-
ity theory in the limit of weak gravitational ﬁelds. In this limit spacetime
geometry is a small perturbation of the ﬂat geometry of Minkowski space-
time. We restrict our considerations to coordinate systems in which the
spacetime metric is the sum of the Minkowski metric and a small per-
turbation. We linearize Einstein ﬁeld equations with respect to this per-
turbation and then we study two classes of coordinate transformations
that preserve splitting the metric into the sum of Minkowski metric and
its small perturbation: global Poincar´e transformations and gauge trans-
formations. Finally we discuss the harmonic gauge, which allows one to
write the linearized Einstein ﬁeld equations in the form of inhomogeneous
wave equations for the metric perturbation.
In Sections 1.2–1.4 we introduce gravitational waves as time-dependent
vacuum solutions of the linearized Einstein equations. In Section 1.2 we
study the simplest such solution, namely a monochromatic plane grav-
itational wave. In Section 1.3 we introduce the TT coordinate system
in which description of gravitational waves is especially simple. We ﬁrst
develop in some detail the TT coordinate system for monochromatic plane
1

2 Overview of the theory of gravitational radiation
gravitational waves and then we remark that the TT coordinates can be
introduced for any kind of gravitational waves. In Section 1.4 we describe
in the proper reference frame of an observer the eﬀect of gravitational
waves on freely falling particles.
Section 1.5 is devoted to the problem of deﬁning gravitational waves
in curved backgrounds. In Section 1.6 we present the energy–momentum
tensor for gravitational waves. Section 1.7 discusses the generation of grav-
itational waves within the quadrupole formalism. It also contains approx-
imate formulae for the rates of emission of energy and angular momentum
carried away from the source by gravitational waves.
1.1 Linearized general relativity
If the gravitational ﬁeld is weak, then it is possible to ﬁnd a coordinate
system (x
α
) such that the componentsg µνof the metric tensor in this
system will be small perturbationsh
µνof the ﬂat Minkowski metric com-
ponentsη
µν:
g
µν=ηµν+hµν,|h µν|∆1. (1.1)
The coordinate system satisfying the condition (1.1
analmost Lorentziancoordinate system. For the almost Lorentzian coor-
dinates (x
α
) we will also use another notation:
x
0
≡ct, x
1
≡x, x
2
≡y, x
3
≡z. (1.2)
In the rest of Section 1.1 we assume that the indices of theh
µνwill be
raised and lowered by means of theη
µν
andη µν(andnotbyg
µν
andg µν).
Therefore we have, e.g.,
h
β
α
=η
βµ
hαµ,h
αβ
=η
αµ
hµ
β=η
αµ
η
βν
hµν. (1.3)
1.1.1 Linearized Einstein equations
In the heart of general relativity there are theEinstein ﬁeld equations,
G
µν=
8πG
c
4
Tµν, (1.4)
which relate spacetime geometry expressed in terms of theEinstein ten-
sorG
µνwith sources of a gravitational ﬁeld represented by anenergy–
momentum tensorT
µν. The components of the Einstein tensorG µν
are constructed from the components of theRiemann curvature tensor
describing spacetime geometry in the following way. We ﬁrst need to deﬁne

1.1 Linearized general relativity 3
theChristoﬀel symbolsΓ
µ
αβ
, which depend on the spacetime metric com-
ponents and their ﬁrst derivatives:
Γ
µ
αβ
=
1
2
g
µν
∆
∂
αgβν+∂βgνα−∂νgαβ
Ω
. (1.5)
The Riemann curvature tensor has components
R
µνρσ=gρλ

∂
µΓ
λ
νσ
−∂νΓ
λ
µσ
+Γ
λ
µη
Γ
η
νσ
−Γ
λ
νη
Γ
η
µσ

.(1.6)
Next we introduce the symmetricRicci tensor,
R
µν=g
ρσ
Rρµσν, (1.7)
and its trace known as theRicci scalar,
R=g
µν
Rµν. (1.8)
Finally, the Einstein tensor is deﬁned as
G
µν:=R µν−
1
2
g
µνR. (1.9)
If condition (1.1
tions (1.4 h
µν. To do this we start
from linearizing the Christoﬀel symbols Γ
µ
αβ
. For the metric (1.1
take the form
Γ
µ
αβ
=
1
2
η
µν
∆
∂
αhβν+∂βhνα−∂νhαβ
Ω
+O

h
2

=
12
∆
∂
αh
µ
β
+∂βh
µ
α
−η
µν
∂νhαβ
Ω
+O

h
2

. (1.10)
Because Christoﬀel symbols are ﬁrst-order quantities, the only contribu-
tion to the linearized Riemann tensor will come from the derivatives of
the Christoﬀel symbols. Making use of Eqs. (1.6
R
µνρσ=
1
2

∂
ρ∂νhµσ+∂σ∂µhνρ−∂σ∂νhµρ−∂ρ∂µhνσ

+O

h
2

.(1.11)
Next we linearize the Ricci tensor. Making use of (1.11
R
µν=
1
2
∆
∂
α∂µh
α
ν
+∂α∂νh
α
µ
−∂µ∂νh−ﬃh µν
Ω
+O

h
2

,(1.12)
wherehis the trace of the metric perturbationh
µν,
h:=η
αβ
hαβ, (1.13)
and where we have introduced the d’Alembertian operatorﬃin the ﬂat
Minkowski spacetime:
ﬃ:=η
µν
∂µ∂ν=−
1
c
2
∂
2
t
+∂
2
x
+∂
2
y
+∂
2
z
. (1.14)

4 Overview of the theory of gravitational radiation
Finally we linearize the Ricci scalar,
R=η
µν
Rµν+O

h
2

=∂
µ∂νh
µν
−ﬃh+O

h
2

. (1.15)
We are now ready to linearize the Einstein tensor. We get
G
µν=
1
2
∆
∂
µ∂αh
α
ν
+∂ν∂αh
α
µ
−∂µ∂νh−ﬃh µν+ηµν

ﬃh−∂
α∂βh
αβ

Ω
+O

h
2

. (1.16)
It is possible to simplify one bit the right-hand side of Eq. (1.16
introducing the quantity
¯
h
µν:=hµν−
1
2
η
µνh. (1.17)
From the deﬁnition (1.17
h
µν=
¯
hµν−
1
2
η
µν
¯
h, (1.18)
where
¯
h:=η
αβ¯
h
αβ(let us also observe that
¯
h=−h). Substituting the
relation (1.18
G
µν=
1
2
∆
∂
µ∂α
¯
hα
ν
+∂ν∂α
¯
hα
µ
−ﬃ
¯
h µν−ηµν∂α∂β
¯
hαβ
Ω
+O

h
2

.(1.19)
Making use of Eq. (1.16 form of the Einstein ﬁeld equations.
If spacetime (or its part) admits one almost Lorentzian coordinate
system, then there exists in spacetime (or in its part) inﬁnitely many almost Lorentzian coordinates. Below we describe two kinds of coordi- nate transformations leading from one almost Lorentzian coordinate sys- tem to another such system: global Poincar´e transformations and gauge transformations.
1.1.2 Global Poincar´e transformations
Let us consider theglobal Poincar´etransformation leading from the “old”
coordinates (x
α
) to some “new” ones (x
ﬀα
). The new coordinates are linear
inhomogeneous functions of the old coordinates,
x
ﬀα
(x
β
)=Λ
α
β
x
β
+a
α
. (1.20)
Here the constant (i.e. independent of the spacetime coordinatesx
µ
)
numbers Λ
α
β
are the components of the matrix representing the special-
relativistic Lorentz transformation, and the constant quantitiesa
α
rep-
resent some translation in spacetime. The matrix (Λ
α
β
) represents some

1.1 Linearized general relativity 5
Lorentz transformation provided it fulﬁlls the condition
Λ
α
µ
Λ
β
ν
ηαβ=ηµν. (1.21)
This condition means that the Lorentz transformation does not change
the Minkowski metric. Let us recall that if the new coordinates are related
to an observer that moves with respect to another observer related to the
old coordinates along itsxaxis with velocityv, then the matrix built up
from the coeﬃcients Λ
α
β
is the following
(Λ
α
β
)=




γ −vγ/c 00
−vγ/c γ 00
0010
0001




,γ:=
⊂
1−
v
2
c
2
τ
−1/2
.(1.22)
The transformation inverse to that given in Eq. (1.20
(x
ﬃα
)toold(x
α
) coordinates and is given by the relations
x
α
(x
ﬃβ
)=(Λ
−1
)
α
β
(x
ﬃβ
−a
β
), (1.23)
where the numbers (Λ
−1
)
α
β
form the matrix inverse to that constructed
from Λ
α
β
:
(Λ
−1
)
α
β
Λ
β
γ
=δ
α
γ
,Λ
α
β
(Λ
−1
)
β
γ
=δ
α
γ
. (1.24)
Let us also note that the matrix ((Λ
−1
)
α
β
) also fulﬁlls the requirement
(1.21),
(Λ
−1
)
α
µ
(Λ
−1
)
β
ν
ηαβ=ηµν. (1.25)
Let us now assume that the old coordinates (x
α
) are almost Lorentzian,
so the decomposition (1.1
ing use of the rule relating the components of the metric tensor in two
coordinate systems,
g
ﬃ
αβ
(x
ﬃ
)=
∂x
µ
∂x
ﬃα
∂x
ν
∂x
ﬃβ
gµν(x), (1.26)
by virtue of Eqs. (1.1
g
ﬃ
αβ
=ηαβ+h
ﬃ
αβ
, (1.27)
where we have deﬁned
h
ﬃ
αβ
:= (Λ
−1
)
µ
α
(Λ
−1
)
ν
β
hµν. (1.28)
This last equation means that the metric perturbationsh
µνtransform
under the Poincar´e transformation as the components of a (0,2) rank
tensor. The result of Eqs. (1.27
dinate system

x
ﬃα

will be almost Lorentzian, provided the numerical

6 Overview of the theory of gravitational radiation
values of the matrix elements (Λ
−1
)
α
β
are not too large, because then the
condition|h
µν|∆1 also implies that|h
ﬀ
αβ
|∆1.
1.1.3 Gauge transformations
Another family of coordinate transformations, which lead from one almost
Lorentzian coordinates to another such coordinates, consists of inﬁnites-
imal coordinate transformations known asgauge transformations.They
are of the form
x
ﬀα
=x
α
+ξ
α
(x
β
), (1.29)
where the functionsξ
α
are small in this sense, that
|∂
βξ
α
|∆1. (1.30)
Equations (1.29
∂x
ﬀα
∂x
β
=δ
α
β
+∂βξ
α
, (1.31a)
∂x
α
∂x
ﬀβ
=δ
α
β
−∂βξ
α
+O

(∂ξ)
2

. (1.31b)
Let us now assume that the coordinates (x
α
) are almost Lorentzian.
Making use of Eqs. (1.1 of the metric in the (x
ﬀα
) coordinates:
g
ﬀ
αβ
=ηαβ+hαβ−∂αξβ−∂βξα+O

h∂ξ,(∂ξ )
2

, (1.32)
where we have introduced
ξ
α:=ηαβξ
β
. (1.33)
The metric componentsg
ﬀ
αβ
can thus be written in the form
g
ﬀ
αβ
=ηαβ+h
ﬀ
αβ
+O

h∂ξ,(∂ξ )
2

, (1.34)
where we have deﬁned
h
ﬀ
αβ
:=hαβ−∂αξβ−∂βξα. (1.35)
Because condition (1.30 h
ﬀ
αβ
is
small,|h
ﬀ
αβ
|∆1, and the coordinates (x
ﬀα
) are almost Lorentzian. From
Eq. (1.35
how the metric perturbation
¯
h
αβchanges under the gauge transformation,
¯
h
ﬀ
αβ
=
¯
hαβ−∂αξβ−∂βξα+ηαβ∂µξ
µ
. (1.36)

1.2 Plane monochromatic gravitational waves 7
1.1.4 Harmonic coordinates
Among almost Lorentzian coordinates one can choose coordinates for
which the following additionalharmonicgauge conditions are fulﬁlled:
∂
β
¯
hβα
=0. (1.37)
Let us note that the conditions (1.37
η
βγ
∂β
¯
h
γα=0. (1.38)
If these conditions are satisﬁed, the linearized Einstein tensorG
µνfrom
Eq. (1.19
G
µν=−
1
2
ﬃ
¯
h
µν+O

h
2

, (1.39)
and the linearized Einstein ﬁeld equations take the simple form of the wave equations in the ﬂat Minkowski spacetime:
ﬃ
¯
h
µν+O

h
2

=−
16πG
c
4
Tµν. (1.40)
Harmonic coordinates are not uniquely deﬁned. The gauge conditions
(1.37 e transformations (1.20
they are also preserved by the inﬁnitesimal gauge transformations of the form (1.29 ξ
α
satisfy homogeneous wave
equations:
ﬃξ
α
=0. (1.41)
1.2 Plane monochromatic gravitational waves
The simplest way of introducing gravitational waves relies on studying vacuum solutions of linearized Einstein ﬁeld equations in harmonic co- ordinates. In vacuum the energy–momentum tensor vanishes,T
µν=0,
and the linearized ﬁeld equations in harmonic coordinates, Eqs. (1.40 reduce to homogeneous wave equations for all the components of the
metric perturbation
¯
h
µν:
ﬃ
¯
h
µν=0. (1.42)
Time-dependent solutions of these equations can be interpreted asweak
gravitational waves propagating through a region of spacetime where
Eqs. (1.42
Minkowskian.

8 Overview of the theory of gravitational radiation
The simplest solution of Eqs. (1.42monochromatic plane wave,
which is of the form
¯
h
µν(x
α
)=A µνcos

k αx
α
−α
(µ)(ν)

. (1.43)
HereA
µνandα
(µ)(ν) is the constantamplitudeand the constantinitial
phase, respectively, of theµνcomponent of the wave, andk
αare another
four real constants. We have encircled the indicesµandνof the initial
phases by parentheses to indicate that there is no summation over these
indices on the right-hand side of Eq. (1.43
(1.42
and only if
η
αβ
kαkβ=0, (1.44)
which means that if we deﬁnek
α
:=η
αβ
kβ, thenk
α
are the components
of a null (with respect to the ﬂat Minkowski metric) 4-vector.
Let us write the argument of the cosine function in (1.43
explicit way. The contractionk
αx
α
can be written as
k
αx
α
=k0x
0
+
3
ﬃ
i=1
kix
i
=−k
0
x
0
+
3
ﬃ
i=1
k
i
x
i
=−ck
0
t+k·x.(1.45)
Here we have introduced the two 3-vectors:kwith components (k
1
,k
2
,k
3
)
andxwith components (x
1
,x
2
,x
3
). If we additionally introduce the quan-
tityω:=ck
0
, then the plane-wave solution (1.43
¯
h
µν(t,x)=A µνcos

ωt−k·x+α
(µ)(ν)

. (1.46)
We can assume, without loss of generality, thatω≥0. Thenωisangular
frequencyof the wave; it is measured in radians per second. We will also
usefrequencyfof the wave, measured in hertz (i.e. cycles per second).
These two quantities are related to each other by the equation
ω=2πf. (1.47)
The 3-vectorkis known as awave vector, it points to the direction in
which the wave is propagating and its Euclidean length is related to the
wavelengthλ,
λ|k|=2π. (1.48)
Equation (1.44 ωandktakes the form
ω=c|k|. (1.49)
This is thedispersion relationfor gravitational waves. It implies that both
the phase and the group velocity of the waves are equal toc.

1.2 Plane monochromatic gravitational waves 9
Summing up: the solution (1.46
with frequencyf=ω/(2π) and wavelengthλ=2π/|k|, which propagates
through the 3-space in the direction of the 3-vectorkwith the speed of
light.
Einstein ﬁeld equations take the simple form (1.42
monic gauge conditions (1.37
ally require that the functions
¯
h
µν(x
α
) from Eq. (1.46
us rewrite these functions in the form
¯
h
µν(t,x)=C µνcos(ωt −k·x)+S µνsin(ωt−k·x), (1.50)
where we have introduced new quantities
C
µν:=A µνcosα
(µ)(ν),Sµν:=−A µνsinα
(µ)(ν). (1.51)
Then the requirements (1.37
C
µνk
ν
=0,S µνk
ν
=0. (1.52)
Equations (1.52 C
µνandS µν:
they must be orthogonal to the 4-vectork
µ
. As a consequence the whole
plane-wave solution
¯
h
µν, Eq. (1.50 k
µ
:
¯
h
µνk
ν
=0. (1.53)
The Poincar´e transformations preserve the form of the plane-wave solu-
tion (1.43
that the coordinate transformation (1.20
bations (1.43
¯
h
ﬃ
µν
,
¯
h
ﬃ
µν
(x
ﬃ
)=A
ﬃ
µν
cos

k
ﬃ
α
x
ﬃα
−α
ﬃ
(µ)(ν)

, (1.54)
where the new constantsk
ﬃ
α
are related to the old onesk αby
k
ﬃ
α
=(Λ
−1
)
β
α
kβ, (1.55)
so they transform as components of a (0, 1) rank tensor, and the new
amplitudes and initial phases are deﬁned through the relations
A
ﬃ
µν
cosα
ﬃ
(µ)(ν)
=(Λ
−1
)
α
µ
(Λ
−1
)
β
ν
Aαβcos(α
(α)(β) +k
ﬃ
σ
a
σ
),(1.56)
A
ﬃ
µν
sinα
ﬃ
(µ)(ν)
=(Λ
−1
)
α
µ
(Λ
−1
)
β
ν
Aαβsin(α
(α)(β) +k
ﬃ
σ
a
σ
).(1.57)
Because the Poincar´e transformations preserve the harmonicity condi-
tions (1.37
preserved.

10 Overview of the theory of gravitational radiation
1.3 Description in the TT coordinate system
Equations (1.53
gravitational plane wave from 10 to 6. These equations are a consequence
of the harmonic gauge conditions (1.37
transformations (1.29 ξ
α
is a solution of homo-
geneous wave equation [see Eq. (1.41
four functionsξ
α
(forα=0,1,2,3), we can use them to further restrict
the number of independent components of the plane wave from 6 to 2.
The choice of the functionsξ
α
is equivalent to the choice of a coordi-
nate system. We describe now the choice ofξ
α
leading to the so called
transverseandtraceless(TT in short) coordinate system.
At each event in the spacetime region covered by some almost
Lorentzian and harmonic coordinates (x
α
) let us choose the timelike unit
vectorU
µ
,gµνU
µ
U
ν
=−1. Let us consider a gauge transformation gen-
erated by the functionsξ
α
of the form
ξ
α
(t,x)=B
α
cos

ωt−k·x+β
(α)

, (1.58)
withω=c|k|andkthe same as in the plane-wave solution (1.46
is possible to choose the quantitiesB
α
andβ
(α)in such a way, that in
the new almost Lorentzian and harmonic coordinatesx
ﬀα
=x
α
+ξ
α
the
following conditions are fulﬁlled
¯
h
ﬀ
µν
U
ﬀν
=0, (1.59a)
η
µν¯
hﬀ
µν
=0. (1.59b)
Furthermore, the gauge transformation based on the functions (1.58
serves the condition (1.53
¯
h
ﬀ
µν
k
ﬀν
=0. (1.59c)
Let us also note that, as a consequence of Eq. (1.59b
¯
h
ﬀ
µν
=h
ﬀ
µν
. (1.60)
Equations (1.59
ﬁeld,U
ﬀµ
. These equations comprise eight independent constraints on the
components of the plane-wave solution
¯
h
ﬀ
µν
. This means that any plane
monochromatic gravitational wave possesses two independent degrees of
freedom, often also called the wave’spolarizations.
The simplest way to describe the two gravitational-wave polarizations
is by making more coordinate changes. We have used all the freedom
related to the gauge transformations, but we are still able to perform
global Lorentz transformations, which preserve equations (1.59
the TT gauge. One can ﬁrst move to coordinates in which the vectorU
µ

1.3 Description in the TT coordinate system 11
(from now we omit the primes in the coordinate names) has components
U
µ
=(1,0,0,0). Then Eqs. (1.59a
¯
h
µ0=0. (1.61)
Further, one can orient spatial coordinate axes such that the wave propa-
gates in, say, the +z direction. Thenk=(0,0,ω/c),k
µ
=(ω/c,0,0,ω/c),
and Eqs. (1.59c
¯
h
µ3=0. (1.62)
The last constraint on the plane-wave components
¯
h
µνprovides
Eq. (1.59b
¯
h
11+
¯
h22=0. (1.63)
It is common to use the following notation:
h
+:=
¯
h11=−
¯
h 22,h×:=
¯
h12=
¯
h21. (1.64)
The functionsh
+andh ×are calledplusandcrosspolarization of the
wave, respectively.
We will label all quantities computed in the TT coordinate system by
super- or subscript “TT.” Equations (1.61
plane-wave solution (1.46
h
TT
µν
(t,x)=




00 0 0
0h
+(t,x)h ×(t,x)0
0h
×(t,x)−h +(t,x)0
00 0 0




, (1.65)
where the plush
+and the crossh ×polarizations of the plane wave with
angular frequencyωtraveling in the +z direction are given by
h
+(t,x)=A +cos
∆
ω
∆
t−
z
c
Ω
+α
+
Ω
,
h
×(t,x)=A ×cos
∆
ω
∆
t−
z
c
Ω
+α
×
Ω
. (1.66)
Any gravitational wave can be represented as a superposition of plane
monochromatic waves. Because the equations describing TT gauge,
∂
ν
¯
hµν
=0,
¯
h µνU
ν
=0,η
µν¯
h
µν=0, (1.67)
are all linear in
¯
h
µν, it is possible to ﬁnd the TT gauge foranygrav-
itational wave. If we restrict ourselves to plane (but not necessarily
monochromatic) waves and orient the spatial axes of a coordinate system
such that the wave propagates in the +zdirection, then Eqs. (1.61
are still valid. Moreover, because all the monochromatic components of

12 Overview of the theory of gravitational radiation
the wave depend on spacetime coordinates only through the combina-
tiont−z/c, the same dependence will be valid also for the general wave.
Therefore any weak plane gravitational wave propagating in the +zdirec-
tion is described in the TT gauge by the metric perturbation of the fol-
lowing matrix form:
h
TT
µν
(t,x)=




00 0 0
0h
+(t−z/c)h ×(t−z/c)0
0h
×(t−z/c)−h +(t−z/c)0
00 0 0




. (1.68)
If we introduce the polarization tensorse
+
ande
×
by means of equations
e
+
xx
=−e
+
yy
=1,e
×
xy
=e
×
yx
=1,all other components zero,(1.69)
then one can reconstruct the full gravitational-wave ﬁeld from its plus
and cross polarizations as
h
TT
µν
(t,x)=h +(t,x)e
+
µν
+h×(t,x)e
×
µν
. (1.70)
It turns out thath
TT
µν
is a scalar under boosts and behaves like a spin-
two ﬁeld under rotations. This means that in two diﬀerent reference frames
related by a boost in some arbitrary direction (with the spatial axes of the
frames unrotated relative to each other) the gravitational-wave ﬁeldsh
TT
µν
are the same; whereas if one rotates thexandyaxes in the transverse
plane of the wave through an angleψ, the gravity-wave polarizations are
changed to
⊂
h
new
+
h
new
×
τ
=
⊂
cos 2ψsin 2ψ
−sin 2ψ cos 2ψ
∗⊂
h
old
+
h
old
×
τ
. (1.71)
For further details see Section 2.3.2 of [38].
It is useful to write explicitly all the non-zero components of the
gravitational-wave Riemann tensor in the TT coordinates. Components
of the Riemann tensor linearized with respect to metric perturbationsh
µν
are given by Eq. (1.11
computes
R
TT
x0x0
=−R
TT
y0y0
=−R
TT
x0xz
=R
TT
y0yz
=R
TT
xzxz
=−R
TT
yzyz
=−
1
2
∂
2
0
h+,
(1.72a)
R
TT
x0y0
=−R
TT
x0yz
=−R
TT
y0xz
=R
TT
xzyz
=−
1
2
∂
2
0
h×. (1.72b)
All other non-zero components can be obtained by means of symmetries of the Riemann tensor.

1.4 Description in the observer’s proper reference frame13
1.4 Description in the observer’s proper reference frame
Let us consider two nearby observers freely falling in the ﬁeld of a weak
and plane gravitational wave. The wave produces tiny variations in the
proper distance between the observers. We describe now these variations
from the point of view of one of the observers, which we call thebasic
observer. We endow this observer with hisproper reference frame,which
consists of a small Cartesian latticework of measuring rods and syn-
chronized clocks. The time coordinateˆtof that frame measures proper
time along the world line of the observer whereas the spatial coordi-
nate ˆx
i
(i=1,2,3)
1
measures proper distance along hisith axis. Space-
time coordinates (ˆx
0
:=cˆt,ˆx
1
,ˆx
2
,ˆx
3
)arelocally Lorentzian along the
whole geodesic of the basic observer, i.e. the line element of the metric in
these coordinates has the form
ds
2
=−c
2
dˆt
2
+δijdˆx
i
dˆx
j
+O

(ˆx
i
)
2

dˆx
α
dˆx
β
, (1.73)
so this line element deviates from the line element of the ﬂat Minkowski
spacetime by terms that are at least quadratic in the values of the spatial
coordinates ˆx
i
.
Let the basic observerAbe located at the origin of his proper ref-
erence frame, so his coordinates are ˆx
α
A
(ˆt)=(cˆt,0,0,0). A neighboring
observerBmoves along the nearby geodesic and it possesses the coordi-
nates ˆx
α
B
(ˆt)=(cˆt,ˆx
1
(ˆt),ˆx
2
(ˆt),ˆx
3
(ˆt)). We deﬁne thedeviation vector
ˆ
ξ
α
describing the instantaneous relative position of the observerBwith
respect to the observerA:
ˆ
ξ
α
(ˆt):=ˆx
α
B
(ˆt)−ˆx
α
A
(ˆt)=

0,ˆx
1
(ˆt),ˆx
2
(ˆt),ˆx
3
(ˆt)

. (1.74)
The relative acceleration D
2ˆ
ξα
/dˆt
2
of the observers is related to the space-
time curvature through theequation of geodesic deviation,
D
2ˆ
ξα
dˆt
2
=−c
2ˆ
Rα
βγδ
ˆu
βˆ
ξγ
ˆu
δ
, (1.75)
where ˆu
β
:= dˆx
α
/(cdˆt) is the 4-velocity of the basic observer. Let us note
that all quantities in Eq. (1.75
are functions of the time coordinateˆtonly. Equation (1.73
Christoﬀel symbols
ˆ
Γ
α
βγ
vanish along the basic geodesic. Therefore their
time derivative, d
ˆ
Γ
α
βγ
/dˆt, also vanishes there, and D
2ˆ
ξα
/dˆt
2
=d
2ˆ
ξα
/dˆt
2
along that geodesic. Also taking into account the fact that ˆu
α
=(1,0,0,0)
1
We will also use another notation for the spatial coordinates: ˆx
1
≡ˆx,ˆx
2
≡ˆy,ˆx
3
≡ˆz.

14 Overview of the theory of gravitational radiation
and making use of Eq. (1.74
d
2
ˆx
i
dˆt
2
=−c
2ˆ
Ri
0j0
ˆx
j
=−c
2ˆ
R
i0j0ˆx
j
+O

(ˆx
i
)
3

. (1.76)
If one chooses the TT coordinates in such a way that the 4-velocity
ﬁeld needed to deﬁne TT coordinates coincides with the 4-velocity of our
basic observer, then the TT coordinates (t, x
i
) and the proper-reference-
frame coordinates (ˆt,ˆx
i
) diﬀer from each other in the vicinity of the basic
observer’s geodesic by quantitieslinearinh. It means that, up to the
terms quadratic inh, the components of the Riemann tensor in both
coordinate systems coincide,
ˆ
R
i0j0=R
TT
i0j0
+O(h
2
). (1.77)
Now we make use of the fact that in the TT coordinates
¯
h
TT
0µ
= 0 [see Eq.
(1.61
tensor we get [remembering that in the TT coordinate system
¯
h
TT
µν
=h
TT
µν
,
Eq. (1.60
R
TT
i0j0
=−
1
2c
2
∂
2
h
TT
ij
∂t
2
+O(h
2
)=−
1
2c
2
∂
2
h
TT ij
∂ˆt
2
+O(h
2
).(1.78)
In the derivation of the above relation we have not needed to assume that
the wave is propagating in the +zdirection of the TT coordinate sys-
tem, thus this relation is valid for the wave propagating in any direction.
Collecting Eqs. (1.76 O(h
2
), one
obtains
d
2
ˆx
i
dˆt
2
=
1
2
∂
2
h
TT
ij
∂ˆt
2
ˆx
j
, (1.79)
where the second time derivative∂
2
h
TT
ij
/∂ˆt
2
is to be evaluated along the
basic geodesic ˆx=ˆy=ˆz=0.
Let us now imagine that for timesˆt≤0 there were no waves (h
TT
ij
=0)
in the vicinity of the two observers and that the observers were at rest
with respect to each other before the wave has come, so
ˆx
i
(ˆt)=ˆx
i
0
= const.,
dˆx
i
dˆt
(ˆt)=0,forˆt≤0. (1.80)
Atˆt= 0 some wave arrives. We expect that ˆx
i
(ˆt)=ˆx
i
0
+O(h)forˆt>0,
therefore, because we neglect termsO(h
2
), Eq. (1.79
d
2
ˆx
i
dˆt
2
=
1
2
∂
2
h
TT
ij
∂ˆt
2
ˆx
i
0
. (1.81)

1.4 Description in the observer’s proper reference frame15
Making use of the initial conditions (1.80
is
ˆx
i

ˆt

=
∆
δ
ij+
1
2
h
TT
ij

ˆt

Ω
ˆx
i
0
,ˆt>0. (1.82)
Let us orient the spatial axes of the proper reference frame such
that the wave is propagating in the +ˆzdirection. Then we can employ
Eq. (1.68 z= 0 and replacetbyˆt) to write Eqs. (1.82
the more explicit form
ˆx

ˆt

=ˆx
0+
1
2
∆
h
+

ˆt

ˆx
0+h×

ˆt

ˆy
0
Ω
, (1.83a)
ˆy

ˆt

=ˆy
0+
1
2
∆
h
×

ˆt

ˆx
0−h+

ˆt

ˆy
0
Ω
, (1.83b)
ˆz

ˆt

=ˆz
0. (1.83c)
Equations (1.83 transverse:itpro-
duces relative displacements of the test particles only in the plane per-
pendicular to the direction of the wave propagation.
We will study in more detail the eﬀect of the gravitational wave on
the cloud of freely falling particles. To do this let us imagine that the
basic observer is checking the presence of the wave by observing some
neighboring particles that form, before the wave arrives, a perfect ring in
the (ˆx,ˆy) plane. Let the radius of the ring ber
0and the center of the ring
coincides with the origin of the observer’s proper reference frame. Then
the coordinates of any particle in the ring can be parametrized by some
angleφ∈[0,2π] such that they are equal
ˆx
0=r0cosφ,ˆy 0=r0sinφ,ˆz 0=0. (1.84)
Equations (1.83
the ˆzcoordinates of all the ring’s particles remain equal to zero: ˆz

ˆt

=0,
so only ˆxand ˆycoordinates of the particles should be analyzed.
1.4.1 Plus polarization
The gravitational wave is in the plus mode whenh
×= 0. Then, making
use of Eqs. (1.83
ˆx

ˆt

=r
0cosφ
∆
1+
1
2
h
+

ˆt

Ω
,ˆy

ˆt

=r
0sinφ
∆
1−
1
2
h
+

ˆt

Ω
.(1.85)
Initially, before the wave arrives, the ring of the particles is perfectly circular. Does this shape change after the wave has arrived? One can

16 Overview of the theory of gravitational radiation
Fig. 1.1. The eﬀect of a plane monochromatic gravitational wave with + polar-
ization on a circle of test particles placed in a plane perpendicular to the direction
of the wave propagation. The plots show deformation of the circle measured in
the proper reference frame of the central particle at the instants of time equal
tonT/4( n=0,1,2,...), whereTis the period of the gravitational wave.
treat Eqs. (1.85 φbeing
the parameter. It is easy to combine the two equations (1.85
φis eliminated. The resulting equation reads
ˆx
2

a
+(ˆt)

2
+
ˆy
2

b
+(ˆt)

2
=1, (1.86)
where
a
+(ˆt):=r 0
∆
1+
1
2
h
+

ˆt

Ω
,b
+(ˆt):=r 0
∆
1−
1
2
h
+

ˆt

Ω
.(1.87)
Equations (1.86
the coordinate system. The ellipse has semi-axes of the lengthsa
+(ˆt)and
b
+(ˆt), which are parallel to the ˆxor ˆyaxis, respectively. Ifh +

ˆt

is the
oscillatory function, which changes its sign in time, then the deformation
of the initial circle into the ellipse is the following: in time intervals when
h
+

ˆt

>0, the circle is stretched in the ˆxdirection and squeezed in the ˆy
direction, whereas whenh
+

ˆt

<0, the stretching is along the ˆyaxis and
the squeezing is along the ˆxaxis. This is illustrated in Fig. 1.1.
Let us now ﬁx a single particle in the ring. The motion of this parti-
cle with respect to the origin of the proper reference frame is given by
Eqs. (1.85 φ. What is the shape of the particle’s
trajectory? It is again easy to combine Eqs. (1.85
functionh
+

ˆt

is eliminated. The result is
ˆx
r0cosφ
+
ˆy
r0sinφ
−2=0. (1.88)
Equation (1.88 around its initial position along some straight line.

1.5 Gravitational waves in the curved background17
1.4.2 Cross polarization
The gravitational wave is in the crosss mode whenh
+=0. Then from
Eqs. (1.83
ˆx

ˆt

=r
0
∆
cosφ+
1
2
sinφh
×

ˆt

Ω
,ˆy

ˆt

=r
0
∆
sinφ+
1
2
cosφh
×

ˆt

Ω
.
(1.89)
Let us now introduce in the (ˆx,ˆy) plane some new coordinates (ˆx
ﬃ
,ˆy
ﬃ
).
The new coordinates one gets from the old ones by rotation around the ˆz
axis by the angle ofα=45
◦
. Both coordinate systems are related to each
other by the rotation matrix,
⊂
ˆx
ﬃ
ˆy
ﬃ
τ
=
⊂
cosαsinα
−sinαcosα
∗⊂
ˆx
ˆy
τ
=
√
2
2
⊂
11
−11
∗⊂
ˆx
ˆy
τ
.(1.90)
It is easy to rewrite Eqs. (1.89 x
ﬃ
,ˆy
ﬃ
). The
result is
ˆx
ﬃ

ˆt

=
√
2
2
r
0(sinφ+cosφ)
∆
1+h ×

ˆt

Ω
, (1.91a)
ˆy
ﬃ

ˆt

=
√
2
2
r
0(sinφ−cosφ)
∆
1−h ×

ˆt

Ω
. (1.91b)
After eliminating from Eqs. (1.91 φ, one gets
ˆx
ﬃ2

a
×(ˆt)

2
+
ˆy
ﬃ2

b
×(ˆt)

2
=1, (1.92)
where
a
×(ˆt):=r 0
∆
1+
1
2
h
×

ˆt

Ω
,b
×(ˆt):=r 0
∆
1−
1
2
h
×

ˆt

Ω
.(1.93)
Equations (1.92
means that the initial circle of particles is deformed into an ellipse with
its center at the origin of the coordinate system. The ellipse has semi-axes
of the lengthsa
×(ˆt)andb ×(ˆt), which are inclined by an angle of 45
◦
to
the ˆxor ˆyaxis, respectively. This is shown in Fig. 1.2.
1.5 Gravitational waves in the curved background
So far we have considered gravitational waves in such regions of spacetime,
where the waves are the only non-negligible source of spacetime curvature.
If there exist other sources it is not possible in a fully precise manner,
because of the non-linear nature of relativistic gravity, to separate the

18 Overview of the theory of gravitational radiation
Fig. 1.2. The eﬀect of a plane monochromatic gravitational wave with×polar-
ization on a circle of test particles placed in a plane perpendicular to the direction
of the wave propagation. The plots show deformation of the circle measured in
the proper reference frame of the central particle at the instants of time equal
tonT/4( n=0,1,2,...), whereTis the period of the gravitational wave.
contribution of a gravitational wave to the spacetime curvature from the
contributions of the other sources. Such separation can only be made
approximately. We describe now a method of deﬁning a gravitational wave
that is a special case of a standard technique in mathematical physics
called (among other names)shortwave approximation.
Let us consider a gravitational wave with a wavelengthλ.Thiswave
creates spacetime curvature that varies on the scale of the order of the
reduced wavelength¯λof the wave, where
¯λ:=
λ
2π
. (1.94)
In many realistic astrophysical situations the lengthscale¯λis very short
compared to lengthscalesLon which all other non-gravitational-wave
curvatures vary:
¯λ∆L. (1.95)
This inequality allows one to split the full Riemann curvature tensorR
αβγδ
into a background curvatureR
b
αβγδ
and a gravitational-wave produced
partR
gw
αβγδ
. The background curvatureR
b
αβγδ
is the average of the full
Riemann tensorR
αβγδover several gravitational-wave wavelengths
R
b
αβγδ
:=R αβγδ, (1.96)
whereas the gravitational-wave curvatureR
gw
αβγδ
is the rapidly varying
diﬀerence:
R
gw
αβγδ
:=R αβγδ−R
b
αβγδ
. (1.97)
It is possible to introduce a TT coordinate system for the gravitational
wave propagating in the curved background. In this coordinate system the spacetime metric is nearly Minkowskian and can be written in the form
g
αβ=ηαβ+h
b
αβ
+h
TT
αβ
, (1.98)

1.6 Energy–momentum tensor for gravitational waves19
whereh
b
αβ
(|h
b
αβ
|∆1) is the background metric perturbation that varies
on a long lengthscaleL,andh
TT
αβ
(|h
TT
αβ
|∆1) is the gravity-wave metric
perturbation that varies on a short lengthscale¯λ. The time–timeh
TT
00
and
the space–timeh
TT
0i
=h
TT
i0
components of the gravity-wave perturbation
vanish in the TT coordinate system, and if the wave propagates in the +z
direction, then the metric perturbationh
TT
αβ
may be written in the form
given in Eq. (1.68
The extent of the TT coordinates in both time and space must be far
smaller than the radius of background curvature. In typical astrophysical
situations one can stretch TT coordinates over any small region compared
to the distance at which curvature of the cosmological background of our
universe becomes important (“the Hubble distance”), cutting out holes
in the vicinities of black holes and neutron stars.
1.6 Energy–momentum tensor for gravitational waves
A fully satisfactory mathematical description of the energy carried by a
gravitational wave was devised by Isaacson [39, 40], who introduced an
energy–momentum tensor for gravitational waves. This tensor is obtained
by averaging the squared gradient of the wave ﬁeld over several wave-
lengths. In the TT gauge it has components
T
gw
αβ
=
c
4
32πG
η
µν
η
ρσ
ε
∂
αh
TT
µρ
∂βh
TT
νσ
ι
. (1.99)
The gravitational-wave energy–momentum tensorT
gw
αβ
, like the back-
ground curvature, is smooth on the lengthscale¯λ. If one additionally
assumes thath
TT
0µ
= 0, then Eq. (1.99
T
gw
αβ
=
c
4
32πG
3
ﬃ
i=1
3
ﬃ
j=1
ε
∂
αh
TT
ij
∂βh
TT
ij
ι
. (1.100)
For the plane gravitational wave propagating in the +zdirection, the
tensorT
gw
αβ
takes the standard form for a bundle of zero-rest-mass particles
moving at the speed of light in the +zdirection, which can be immediately
demonstrated by means of Eqs. (1.68
T
gw
00
=−T
gw
0z
=−T
gw
z0
=T
gw
zz
=
c
2
16πG
θ
⊂
∂h
+
∂t
τ
2
+
⊂
∂h
×
∂t
τ
2
χ
(1.101)
(all other components are equal to zero).

20 Overview of the theory of gravitational radiation
The energy–momentum tensor for gravitational waves deﬁned in
Eq. (1.99
momentum tensor for any other ﬁeld in the background spacetime. It gen-
erates background curvature through the Einstein ﬁeld equations (aver-
aged over several wavelengths of the waves); it has vanishing divergence
in regions where there is no wave generation, absorption, and scattering.
Let us compute the components of the energy–momentum tensor
for the monochromatic plane wave with angular frequencyω.The
gravitational-wave polarization functionsh
+andh ×for such a wave are
given in Eqs. (1.66
T
gw
00
=−T
gw
0z
=−T
gw
z0
=T
gw
zz
=
c
2
ω
2
16πG
×
⊂
A
2
+
ζ
sin
2
⊂
ω
∆
t−
z
c
Ω
+α
+

+A
2 ×
ζ
sin
2
⊂
ω
∆
t−
z
c
Ω
+α
×

.
(1.102)
Averaging the sine squared terms over one wavelength or one wave period
gives 1/2. After substituting this into (1.102 ωby the
frequencyf=ω/(2π) measured in hertz, one obtains
T
gw
00
=−T
gw
0z
=−T
gw
z0
=T
gw
zz
=
πc
2
f
2
8G
∆
A
2
+
+A
2
×
Ω
.(1.103)
Typical gravitational waves that we might expect to observe at Earth
have frequencies between 10
−4
and 10
4
Hz, and amplitudes of the order
ofA
+∼A×∼10
−22
. The energy ﬂux in the +zdirection for such waves
can thus be estimated as
−T
gw
tz
=−cT
gw
0z
=1.6×10
−6
⊂
f
1Hz
τ
2
A
2
+
+A
2
×
(10
−22
)
2
erg
cm
2
s
.
1.7 Generation of gravitational waves and radiation reaction
Quadrupole formalism.The simplest technique for computing the
gravitational-wave ﬁeldh
TT µν
is delivered by the famousquadrupole formal-
ism. This formalism is especially important because it is highly accurate
for many astrophysical sources of gravitational waves. It does not require,
for high accuracy, any constraint on the strength of the source’s internal
gravity, but requires that internal motions inside the source are slow. This
requirement implies thatthe source’s sizeLmust be small compared to
the reduced wavelength¯λof the gravitational waves it emits.
Let us introduce a coordinate system (t, x
i
s
)centered on a gravitatio-
nal-wave sourceand let an observerat restwith respect to the source

1.7 Generation of gravitational waves and radiation reaction21
measure the gravitational-wave ﬁeldh
TT
µν
generated by that source. Let
us further assume that the observer is situated within thelocal wave zone
of the source, where the background curvature both of the source and
of the external universe can be neglected. It implies (among other things)
that the distance from the observer to the source is very large compared
to the source’s size. Then the quadrupole formalism allows one to write
the gravitational-wave ﬁeld in the following form:
h
TT
0µ
(t, x
i
s
)=0,h
TT
ij
(t, x
i
s
)=
2G
c
4
1
R
d
2
J
TT
ij
dt
2
∆
t−
R
c
Ω
,(1.104)
whereR:=

δijx
i
s
x
j
s
is the distance from the point (x
i
s
) where the
gravitational-wave ﬁeld is observed to the source’s center,tis proper time
measured by the observer, andt−R/cis retarded time. The quantityJ
ij
is the source’sreduced mass quadrupole moment(which we deﬁne below),
and the superscript TT atJ
ijmeansalgebraically project out and keep
only the part that is transverse to the direction in which wave propagates
and is traceless. Quite obviously Eqs. (1.104 sphericalgravi-
tational wave generated by the source located at the origin of the spatial
coordinates.
Letn
i
:=x
i
s
/Rbe the unit vector in the direction of wave propagation
and let us deﬁne the projection operatorP
i
j
that projects 3-vectors to a
2-plane orthogonal ton
i
,
P
i
j
:=δ
i
j
−n
i
nj. (1.105)
Then the TT part of the reduced mass quadrupole moment can be com-
puted as (see Box 35.1 of [34])
J
TT
ij
=P
k
i
P
l
j
Jkl−
1
2
P
ij
∆
P
kl
Jkl
Ω
. (1.106)
For the wave propagating in the +zdirection the unit vectorn
i
has
components
n
x
=n
y
=0,n
z
=1. (1.107)
Making use of Eqs. (1.105 projection of the reduced mass quadrupole moment. The result is
J
TT
xx
=−J
TT
yy
=
1
2
(J
xx−Jyy), (1.108a)
J
TT
xy
=J
TT
yx
=Jxy, (1.108b)
J
TT
zi
=J
TT
iz
=0 fori=x, y, z. (1.108c)

22 Overview of the theory of gravitational radiation
Making use of these equations and the notation introduced in Eq. (1.64
one can write the following formulae for the plus and the cross polar-
izations of the wave progagating in the +zdirection of the coordinate
system:
h
+(t, x
i
s
)=
G
c
4
R
⊂
d
2
Jxx
dt
2
∆
t−
R
c
Ω
−
d
2
Jyy
dt
2
∆
t−
R
c
Ω
τ
, (1.109a)
h
×(t, x
i s
)=
2G
c
4
R
d
2
Jxy
dt
2
∆
t−
R
c
Ω
. (1.109b)
Polarization waveforms in the SSB reference frame.Let us now intro-
duce another coordinate system (t, x
i
) about which we assume that some
solar-system-related observer measures the gravitational-wave ﬁeldh
TT
µν
in the neighborhood of its spatial origin. In the following chapters of
the book, where we discuss the detection of gravitational waves by solar-
system-based detectors, the origin of these coordinates will be located at
thesolar system barycenter(SSB x
∗
the constant 3-
vector joining the origin of our new coordinates (x
i
) (i.e. the SSB) with
the origin of the (x
i
s
) coordinates (i.e. the “center” of the source). We
also assume that the spatial axes in both coordinate systems are parallel
to each other, i.e. the coordinatesx
i
andx
i
s
just diﬀer by constant shifts
determined by the components of the 3-vectorx
∗
,
x
i
=x
∗i
+x
i
s
. (1.110)
It means that in both coordinate systems the componentsh
TT
µν
of the
gravitational-wave ﬁeld are numerically the same.
Equations (1.108 zaxis of the TT
coordinate system is parallel to the 3-vectorx
∗
−xjoining the observer
located atx(xis the 3-vector joining the SSB with the observer’s location)
and the gravitational-wave source at the positionx
∗
. If one changes the
locationxof the observer, one has to rotate the spatial axes to ensure that
Eqs. (1.108 ﬁx, in the whole region
of interest, the direction of the +zaxis of both the coordinate systems
considered here, by choosing it to be antiparallel to the 3-vectorx
∗
(so for
the observer located at the SSB the gravitational wave propagates along
the +z direction). To a very good accuracy one can assume that the size
of the region where the observer can be located is very small compared
to the distance from the SSB to the gravitational-wave source, which
is equal tor
∗
:=|x
∗
|. Our assumption thus means thatr∆r
∗
, where
r:=|x|.Thenx
∗
=(0,0,−r
∗
) and the Taylor expansion ofR=|x−x
∗
|

1.7 Generation of gravitational waves and radiation reaction23
andn:= (x−x
∗
)/Raroundx
∗
reads
|x−x
∗
|=r
∗
⊂
1+
z
r
∗
+
x
2
+y
2
2(r
∗
)
2
+O

(x
l
/r
∗
)
3

∗
, (1.111a)
n=
⊂
−
x
r
∗
+
xz
2(r
∗
)
2
,−
y
r
∗
+
yz
2(r
∗
)
2
,1−
x
2
+y
2
2(r
∗
)
2
∗
+O

(x
l
/r
∗
)
3

.
(1.111b)
Making use of Eqs. (1.105
projection of the reduced mass quadrupole moment at the pointxin the
direction of the unit vectorn(which, in general, is not parallel to the +z
axis). One gets
J
TT
xx
=−J
TT
yy
=
1
2
(J
xx−Jyy)+O

x
l
/r
∗

, (1.112a)
J
TT
xy
=J
TT
yx
=Jxy+O

x
l
/r
∗

, (1.112b)
J
TT
zi
=J
TT
iz
=O

x
l
/r
∗

fori=x, y, z. (1.112c)
To obtain the gravitational-wave ﬁeldh
TT
µν
in the coordinate system (t, x
i
)
one should plug Eqs. (1.112
one neglects in Eqs. (1.112 x
l
/r
∗
, then in the
whole region of interest covered by thesingleTT coordinate system, the
gravitational-wave ﬁeldh
TT
µν
can be written in the form
h
TT
µν
(t,x)=h +(t,x)e
+
µν
+h×(t,x)e
×
µν
+O

x
l
/r
∗

,(1.113)
where the polarization tensorse
+
ande
×
are deﬁned in Eq. (1.69
the functionsh
+andh ×are of the form given in Eqs. (1.109
Dependence of the 1/R factors in theamplitudesof the wave polariza-
tions (1.109 x(with respect to the SSB) is
usually negligible, so 1/Rin the amplitudes can be replaced by 1/r
∗
[this
is consistent with the neglection of theO(x
l
/r
∗
) terms we have just made
in Eqs. (1.112 J
TT
ij
in (1.109
phasesand which is evaluated at the retarded timet−R/c. Here it is
usually enough to take into account the ﬁrst correction tor
∗
given by
Eq. (1.111a

24 Overview of the theory of gravitational radiation
(1.109
h
+(t, x
i
)=
G
c
4
r
∗
⊂
d
2
Jxx
dt
2
∆
t−
z+r ∗
c
Ω
−
d
2
Jyy
dt
2
∆
t−
z+r ∗
c
Ω
τ
,(1.114a)
h
×(t, x
i
)=
2G
c
4
r
∗
d
2
Jxy
dt
2
∆
t−
z+r ∗
c
Ω
. (1.114b)
The wave polarization functions (1.114
dinates (t, x
i
) only through the combinationt−z/c, so they represent a
planegravitational wave propagating in the +zdirection.
Mass quadrupole moment of the source.We shift now to the deﬁnition of
the source’s mass quadrupole momentJ
ij. We restrict only to situations
when the source has weak internal gravity and small internal stresses, so
Newtonian gravity is a good approximation to general relativity inside
and near the source. ThenJ
ijis the symmetric and trace-free (STF
part of the second moment of the source’s mass densityρcomputed in a
Cartesian coordinate system centered on the source:
J
ij(t):=
⊂Φ
ρ(x
k
,t)x
i
x
j
d
3
x
τ
STF
=
Φ
ρ(x
k
,t)
∆
x
i
x
j
−
1
3
r
2
δij
Ω
d
3
x.
(1.115)
Equivalently,J
ijis the coeﬃcient of the 1/r
3
term in the multipolar
expansion of the source’s Newtonian gravitational potential Φ,
Φ(t, x
k
)=−
GM
r
−
3G
2
J
ij(t)x
i
x
j
r
5
−
5G
2
J
ijk(t)x
i
x
j
x
k
r
7
+···.(1.116)
Gravitational-wave luminosities.From the quadrupole formula (1.104
and Isaacson’s formula (1.100 gravitational waves, one can compute the ﬂuxes of energy and angular momentum carried by the waves. After integrating these ﬂuxes over a sphere surrounding the source in the local wave zone one obtains the rates L
gw
E
andL
gw
J
i
of emission respectively of energy and angular momentum:
L
gw
E
=
G
5c
5
3
ﬃ
i=1
3
ﬃ
j=1
θ
⊂
d
3
Jij
dt
3
τ
2
χ
, (1.117a)
L
gw
J
i
=
2G
5c
5
3
ﬃ
j=1
3
ﬃ
k=1
3
ﬃ
=1
⊂ijk
ζ
d
2
Jj
dt
2
d
3
Jk
dt
3

. (1.117b)
Formula (1.117a
(1.117b

1.7 Generation of gravitational waves and radiation reaction25
The laws of conservation of energy and angular momentum imply
thatradiation reactionshould decrease the source’s energy and angu-
lar momentum at rates just equal to minus rates given by Eqs. (1.117
dE
source
dt
=−L
gw
E
, (1.118a)
dJ
source
i
dt
=−L
gw J
i
. (1.118b)
Justiﬁcation of the validity of thebalance equations[examples of which
are Eqs. (1.118
Section 6.15 of Ref. [44] (see also references therein).

2
Astrophysical sources of
gravitational waves
It is convenient to split the expected astrophysical sources of gravitational
waves into three main categories, according to the temporal behavior of
the waveforms they produce: burst, periodic, and stochastic sources. In
Sections 2.1–2.3 of the present chapter we enumerate some of the most
typical examples of gravitational-wave sources from these categories (more
detailed reviews can be found in [45], Section 9.4 of [16], and [46, 47]).
Many sources of potentially detectable gravitational waves are related
to compact astrophysical objects: white dwarfs, neutron stars, and black
holes. The physics of compact objects is thoroughly studied in the mono-
graph [48].
In the rest of the chapter we will perform more detailed studies of gravi-
tational waves emitted by several important astrophysical sources. In Sec-
tion 2.4 we derive gravitational-wave polarization functionsh
+andh ×for
diﬀerent types of waves emitted by binary systems. As an example of peri-
odic waves we consider, in Section 2.5, gravitational waves coming from
a triaxial ellipsoid rotating along a principal axis; we derive the functions
h
+andh ×for these waves. In Section 2.6 we relate the amplitude of gravi-
tational waves emitted during a supernova explosion with the total energy
released in gravitational waves and with the time duration and the fre-
quency bandwidth of the gravitational-wave pulse. Finally in Section 2.7
we express the frequency dependence of the energy density of stationary,
isotropic, and unpolarized stochastic background of gravitational waves
in terms of their spectral density function.
26

2.1 Burst sources 27
2.1 Burst sources
2.1.1 Coalescing compact binaries
Binary systems consisting of any objects radiate gravitational waves and
as a result of radiation reaction the distance between the components of
the binary decreases. This results in a sinusoidal signal whose amplitude
and frequency increases with time and which is called achirp.
For the binary of circular orbits the characteristic dimensionless ampli-
tudeh
0of the two gravitational-wave polarizations [see Eq. (2.40
derivation in Section 2.4 later in this chapter] is equal:
h
0=2.6×10
−23
⊂
M
MΦ
τ
5/3⊂
f
gw
100 Hz
τ
2/3⊂
R
100 Mpc
τ
−1
,(2.1)
whereMis thechirp massof the system [see Eq. (2.34
ofMin terms of the individual masses of the binary components],f
gwis
the frequency of gravitational waves (which is twice the orbital frequency), andRis the distance to the binary. The characteristic timeτ
gw:=fgw/
˙
fgw
(where
˙
f gw:= df gw/dt) for the increase of gravitational-wave frequency
f
gwis given by [here Eq. (2.38
τ
gw=8.0s
⊂
M
MΦ
τ
−5/3⊂
f
gw
100 Hz
τ
−8/3
. (2.2)
Among all coalescing binaries the most interesting are those made of
compact objects, neutron stars (NS minutes of their inspiral. There are three kinds of such compact binaries: NS/NS, NS/BH, and BH/BH binaries. The ﬁnal merger of the two NS in a NS/NS binary is a promising candidate for the trigger of some types of gamma-ray bursts. At the endpoint of a NS/BH inspiral, a neutron star can be tidally disrupted by its BH companion, and this disruption is another candidate for triggering gamma-ray bursts. For heavier BH/BH binaries, most of the detectable gravitational waves can come from the merger phase of the evolution as well as from the vibrational ringdown of the ﬁnal BH.
The number densities per unit time of diﬀerent compact binary coales-
cences are rather uncertain. Their estimates crucially depend on the event rateR
Galof binary mergers in our Galaxy. Recent studies (see Section 2.3
of [47] and references therein) give 10
−6
yr
−1
ﬀRGalﬀ5×10
−4
yr
−1
for
NS/NS mergers, and 10
−7
yr
−1
ﬀRGalﬀ10
−4
yr
−1
for NS/BH inspirals.
For BH/BH binaries two distinct estimates can be made: one for the binaries not contained in globular and other types of dense star clusters (“in ﬁeld” binaries), and the other for binaries from these clusters. The

28 Astrophysical sources of gravitational waves
BH/BH event rate estimates are: 10
−7
yr
−1
ﬀRGalﬀ10
−5
yr
−1
for “in
ﬁeld” binaries, and 10
−6
yr
−1
ﬀRGalﬀ10
−5
yr
−1
for binaries in clusters.
2.1.2 Supernovae
Neutron stars and black holes (of stellar masses) form in the gravitational
collapse of a massive star, which leads to a supernova type II explosion
(“core-collapse” supernova). Because of our incomplete knowledge of the
process of collapse (we do not know how non-spherical the collapse might
be in a typical supernova) and the diversity of emission mechanisms, we
cannot predict the gravitational waveform from this event accurately. A
gravitational-wave burst might be rather broad-band with frequency cen-
tered on 1 kHz, or it might contain a few cycles of radiation at a frequency
anywhere between 100 Hz and 10 kHz, chirping up or down.
The dimensionless amplitudeh
0of the gravitational-wave pulse from
supernova explosion can be estimated by [see Eq. (2.77
h
0ψ1.4×10
−21
⊂
∆E
gw
10
−2
MΦc
2
∗
1/2∆
τ
1ms
Ω
−1/2
⊂
∆f
gw
1kHz
∗
−1⊂
R
15 Mpc
∗
−1
,
(2.3)
where ∆E
gwis the total energy carried away by gravitational waves during
the explosion,τis the duration of the pulse and ∆f
gwis its frequency
bandwidth,Ris the distance to the source. The value of ∆E
gwis very
uncertain, it can diﬀer from the above quoted number (around 10
−2
MΦc
2
)
by orders of magnitude. We expect around ten such sources per year in
the Virgo cluster of galaxies (15 Mpc is the distance to the center of the
Virgo cluster).
For a recent review of the theory of core-collapse supernovae see [49],
and recent studies of gravitational waves emitted during the core-collapse
supernova can be found in [50, 51], see also the review article [52].
2.2 Periodic sources
The primary example of sources of periodic gravitational waves are spin-
ning neutron stars. Because a rotating body, perfectly symmetric around
its rotation axis, does not emit gravitational waves, the neutron star will
emit waves only if it has some kind of asymmetry. Several mechanisms
leading to such an asymmetry have been discovered and studied. These
mechanisms include elastic deformations of the star’s solid crust (or core)
developed during the crystallization period of the crust and supported by
anisotropic stresses in it. The strong magnetic ﬁeld present in the star may

2.3 Stochastic sources 29
not be aligned with the rotation axis, consequently the magnetic pressure
distorts the entire star. Some mechanisms result in a triaxial neutron star
rotating about a principal axis. Detailed computations of gravitational
waves emitted by a triaxial ellipsoid rotating about a principal axis are
presented in Section 2.5 later in the current chapter.
The dimensionless amplitude of the gravitational waves emitted by a
rotating neutron star can be estimated by [this is Eq. (2.67
physical constants are replaced by their numerical values]
h
0=4.2×10
−25
ε
10
−5
I
zz
s
10
45
gcm
2
⊂
f
0
100 Hz
τ
2⊂
R
10 kpc
τ
−1
,(2.4)
whereεis the star’s ellipticity [deﬁned in Eq. (2.63I
zz
s
is its moment
of inertia around the rotation axis,f
0is the rotational frequency of the
star, andRis the distance to the star.
The LIGO Scientiﬁc Collaboration has recently imposed, using data
from LIGO detectors, a non-trivial upper limit onh
0for the Crab pul-
sar (PSR B0531+21 or PSR J0534+2200). The upper limit ish
95%
0
=
3.4×10
−25
[53], whereh
95%
0
is the joint 95% upper limit on the gravitatio-
nal-wave amplitude using uniform priors on all the parameters. This limit
is substantially less than the spin-down upper limith
sd
0
=1.4×10
−24
that
can be inferred assuming that all the energy radiated by the Crab pulsar
is due to gravitational-wave emission. This result assumes that the Crab’s
spin frequencyf
0=29.78 Hz, spin-down rate
˙
f 0=−3.7×10
−10
Hz s
−1
,
principal moment of inertiaI
zz
s
=10
45
gcm
2
, and distanceR= 2 kpc.
Moreover the analysis assumes that the gravitational-wave emission fol-
lows the observed radio timing.
2.3 Stochastic sources
A stochastic background of gravitational radiation arises from an ex-
tremely large number of weak, independent, and unresolved gravitatio-
nal-wave sources. Such backgrounds may arise in the early universe from
inﬂation, phase transitions, or cosmic strings. It may also arise from pop-
ulations of astrophysical sources (e.g., radiation from many unresolved
binary star systems). See Ref. [54] for a comprehensive review of stochas-
tic gravitational-wave sources.
There is a broadband observational constraint on the stochastic back-
ground of gravitational waves that comes from a standard model of big-
bang nucleosynthesis. This model provides remarkably accurate ﬁts to
the observed abundances of the light elements in the universe, tightly
constraining a number of key cosmological parameters. One of the

30 Astrophysical sources of gravitational waves
parameters constrained in this way is the expansion rate of the universe at
the time of nucleosynthesis. This places a constraint on the energy density
of the universe at that time, which in turn constrains the energy density
in a cosmological background of gravitational radiation. This leads to the
following bound [54], which is valid independently of the frequencyf(and
independently of the actual value of the Hubble expansion rate)
h
2
100
Ωgw(f)ﬀ5×10
−6
, (2.5)
where Ω
gwis the dimensionless ratio of the gravitational-wave energy
density per logarithmic frequency interval to the closure density of the
universe [see Eq. (2.88h
100is related to the Hubble constantH 0by
H
0=h100×100
km s
−1
Mpc
. (2.6)
From observations it follows thath
100almost certainly lies in the range
0.6ﬀh
100ﬀ0.8 (see e.g. Ref. [55]). In terms of the nucleosynthesis bound
(2.5 dimensionless amplitudeh
cof the gravitational-wave stochastic back-
ground [see Eq. (2.92
h
c(f)ψ2.8×10
−23
⊂
h
2
100
Ωgw(f)
5×10
−6
τ
1/2⊂
f
100 Hz
τ
−1
. (2.7)
There are other, tighter constraints onh
2
100
Ωgw(f) that come from
observed isotropy of the cosmic microwave background and timing of the
millisecond pulsars, but they are valid for very small frequencies, well
below the bands of the existing and planned gravitational-wave detectors.
2.4 Case study: binary systems
Therelativistic two-body problem, i.e. the problem of describing the
dynamics and gravitational radiation of two extended bodies interacting
gravitationally according to general relativity theory, is very diﬃcult (see
the review articles [44, 56]). Among all binary systems the most impor-
tant sources of gravitational waves are binaries made ofcompactobjects:
white dwarfs, neutron stars, or black holes. Only compact objects can
reach separations small enough and relative velocities large enough to
enter the essentially relativistic regime in which using Einstein’s equa-
tions is unavoidable. There are two approaches to studying the two-body
problem in its relativistic regime. The ﬁrst approach is to solve Einstein’s
equations numerically. Another is to employ an analytic approximation
scheme. Among the many approximation schemes that were developed,

2.4 Case study: binary systems 31
the most eﬀective approach turned out to be thepost-Newtonian(PN)
one, in which the gravitational ﬁeld is assumed to be weak and relative
velocities of the bodies generating the ﬁeld are assumed to be small (so
it is a weak-ﬁeld and slow-motion approximation).
We focus here on binary systems made of black holes. The time evo-
lution of a black-hole binary driven by gravitational-wave emission can
be split into three stages [57]: adiabatic inspiral, merger or plunge, and
ringdown. In the inspiral phase, the orbital period is much shorter than
the time scale over which orbital parameters change. This stage can be
accurately modeled by PN approximations. During the merger stage gra-
vitational-wave emission is so strong that the evolution of the orbit is
no longer adiabatic, and the black holes plunge together to form a sin-
gle black hole. Full numerical simulations are needed to understand this
phase. Finally, in the ringdown phase the gravitational waves emitted can
be well modeled byquasi-normal modesof the ﬁnal Kerr black hole.
Only recently there was a remarkable breakthrough in numerical sim-
ulations of binary black-hole mergers (see the review article [57]). Here
we are more interested in explicit approximate analytical results con-
cerning motion and gravitational radiation of compact binary systems.
Such results were obtained by perturbative solving Einstein ﬁeld equa-
tions within the PN approximation of general relativity.
Post-Newtonian approximate results.Post-Newtonian calculations pro-
vide equations of motion of binary systems and rates of emission of energy
and angular momentum carried by gravitational waves emitted by the
binary (gravitational-wave luminosities) in the form of the PN series, i.e.
the power series of the ratiov/c, wherevis the typical orbital veloc-
ity of the binary members. Let us mention that the most higher-order
PN explicit results were obtained under the assumption that the binary
members can be modeled aspoint particles. Diﬀerent PN formalisms are
presented in Refs. [58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67].
The PN dynamics of binary systems can be split into a conservative
part and a dissipative part connected with the radiation-reaction eﬀects.
The conservative dynamics can be derived from an autonomous Hamil-
tonian. Equations of motion of compact binary systems made ofnon-
rotatingbodies (which can be modeled asspinlesspoint particles) were
explicitly derived up to the 3.5PN order, i.e. up to the terms of the order
(v/c)
7
beyond Newtonian equations of motion. The details of derivations
of the most complicated 3PN and 3.5PN contributions to the equations
of motion can be found in Refs. [68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78,
79, 80, 81]. The rate of emission of gravitational-wave energy by binary
systems was computed up to the terms of the order (v/c )
7
beyond the
leading-order quadrupole formula for binaries alongquasi-circularorbits

32 Astrophysical sources of gravitational waves
[82, 83, 84, 85, 86, 87, 88] and up to the terms of the order (v/c )
6
beyond
the leading-order contribution for generalquasi-ellipticalorbits [89].
Analytical results concerning compact binaries made ofrotatingbodies
were also obtained in the form of a PN expansion. There are various
spin-dependent contributions to the PN-expanded equations of motion
and gravitational-wave luminosities of a binary system: terms exist that
are linear, quadratic, cubic, etc., in the individual spinsS
1andS 2of the
bodies. Gravitational spin-orbit eﬀects (i.e. eﬀects that are linear in the
spins) were analytically obtained to the next-to-leading order terms (i.e.
one PN order beyond the leading-order contribution) both in the orbital
and spin precessional equations of motion [90, 91, 92] and in the rate of
emission of gravitational-wave energy [93, 94]. Higher-order in the spins
eﬀects (i.e. the eﬀects of the order ofS
1·S2,S
2
1
,S
2
2
, etc.) were recently
discussed in Refs. [95, 96, 97, 98, 99].
PN eﬀects modify not only the orbital phase evolution of the binary,
but also the amplitudes of the two independent wave polarizationsh
+
andh ×. In the case of binaries along quasi-circular orbits the PN ampli-
tude corrections were explicitly computed up to the 3PN order beyond
the leading-order formula given in Eqs. (2.26
therein). For quasi-elliptical orbits the 2PN-accurate corrections to wave
polarizations were computed in Ref. [101].
It is not an easy task to obtain the wave polarizationsh
+andh ×as
explicit functions of time, taking into account all known higher-order PN
corrections. To do this in the case of quasi-elliptical orbits one has to deal
with three diﬀerent time scales: orbital period, periastron precession, and
radiation-reaction time scale. Explicit results concerning the “phasing” of
the inspiraling binaries along quasi-elliptical orbits were obtained e.g. in
Refs. [102, 103] (see also references therein).
Eﬀective-one-body approach.We should also mention here the eﬀective-
one-body (EOB
description of the motion and radiation of a coalescing black-hole binary at
all stages of its evolution, from adiabatic inspiral to ringdown. The “quasi-
analytical” means here that to compute a waveform within the EOB
approach one needs to solve numerically some explicitly given ordinary
diﬀerential equations (ODEs
contrary to computationally very expensive (3 + 1)-dimensional numeri-
cal relativity simulations of merging black holes.
The core of the EOB formalism is mapping, through the use of invari-
ant (i.e. gauge-independent) functions, the real two-body problem (two
spinning masses orbiting around each other) onto an “eﬀective one-
body” problem: one spinless mass moving in some “eﬀective” background
metric, which is a deformation of the Kerr metric. The EOB approach

2.4 Case study: binary systems 33
was introduced at the 2PN level for non-rotating bodies in [104, 105].
The method was then extended to the 3PN level in [106], and spin eﬀects
were included in [107, 108]. See Ref. [109] for a comprehensive introduc-
tion to the EOB formalism.
2.4.1 Newtonian binary dynamics
In the rest of this section we consider a binary system made of two bodies
with massesm
1andm 2(we will always assumem 1≥m2). We introduce
M:=m
1+m2,µ:=
m
1m2
M
, (2.8)
soMis the total mass of the system andµis its reduced mass. It is also
useful to introduce the dimensionlesssymmetric mass ratio
η:=
m
1m2
M
2
=
µ
M
. (2.9)
The quantityηsatisﬁes 0≤η≤1/4, the caseη= 0 corresponds to the
test-mass limit andη=1/4 describes equal-mass binary. We start from
deriving the wave polarization functionsh
+andh ×for waves emitted by a
binary system in the case when the dynamics of the binary can reasonably be described within the Newtonian theory of gravitation.
Letr
1andr 2denote the position vectors of the bodies, i.e. the 3-
vectors connecting the origin of some reference frame with the bodies. We introduce therelativeposition vector,
r
12:=r1−r2. (2.10)
Thecenter-of-massreference frame is deﬁned by the requirement that
m
1r1+m2r2=0. (2.11)
Solving Eqs. (2.10 r
1andr 2one gets
r
1=
m
2
M
r
12,r2=−
m
1
M
r
12. (2.12)
In the center-of-mass reference frame we introduce the spatial coor-
dinates (x
c,yc,zc) such that the total orbital angular momentum vector
Jof the binary is directed along the +z
caxis. Then the trajectories of
both bodies lie in the (x
c,yc) plane, so the position vectorr aof theath
body (a=1,2) has componentsr
a=(x ca,yca,0), and the relative position
vector components arer
12=(x c12,yc12,0), wherex c12:=xc1−xc2and
y
c12:=yc1−yc2. It is convenient to introduce in the coordinate (x c12,yc12)
plane the usual polar coordinates (r, φ):
x
c12=rcosφ, y c12=rsinφ. (2.13)

34 Astrophysical sources of gravitational waves
Within Newtonian gravity the orbit of the relative motion is an ellipse
(here we consider only gravitationally bound binaries). We place the focus
of the ellipse at the origin of the (x
c12,yc12) coordinates. In polar coordi-
nates the ellipse is described by the equation
r(φ)=
a(1−e
2
)
1+ecos(φ −φ 0)
, (2.14)
whereais the semi-major axis,eis the eccentricity, andφ
0is the
azimuthal angle of the orbital periapsis. The time dependence of the rel- ative motion is determined by Kepler’s equation,
˙
φ=
2π
P
(1−e
2
)
−3/2

1+ecos(φ −φ
0)

2
, (2.15)
wherePis the orbital period of the binary,
P=2π
ˆ
a
3
GM
. (2.16)
The binary’s binding energyEand the modulusJof its total angular
orbital momentum are related to the parameters of the relative orbit through the equations
E=−
GMµ
2a
,J=µ
˙
GMa(1 −e
2
). (2.17)
Let us now introduce the TT “wave” coordinates (x
w,yw,zw)inwhich
the gravitational wave is traveling in the +z
wdirection and with the origin
at the SSB. The line along which the plane tangential to the celestial sphere at the location of the binary’s center-of-mass [this plane is parallel to the (x
w,yw) plane] intersects the orbital (x c,yc) plane is called the
line of nodes. Let us adjust the center-of-mass and the wave coordinates in such a way that thexaxes of both coordinate systems are parallel
to each other and to the line of nodes. Then the relation between these coordinates is determined by the rotation matrixS,


x
w
yw
zw

=


x
∗
w
y
∗
w
z
∗
w

+S


x
c
yc
zc

,S:=


10 0
0cosιsinι
0−sinιcosι

,(2.18)
where (x
∗
w
,y
∗
w
,z
∗
w
) are the components of the vectorx
∗
joining the SSB
and the binary’s center-of-mass, andι(0≤ι≤π) is the angle between
the orbital angular momentum vectorJof the binary and the line of sight
(i.e. the +z
waxis). We assume that the center-of-mass of the binary is at
rest with respect to the SSB.

2.4 Case study: binary systems 35
In the center-of-mass reference frame the binary’smoment of inertia
tensorhas changing in time components that are equal
I
ij
c
(t)=m 1x
i
c1
(t)x
j
c1
(t)+m 2x
i
c2
(t)x
j
c2
(t). (2.19)
Making use of Eqs. (2.12 I
cbuilt
from theI
ij
c
components of the inertia tensor equals
I
c(t)=µ


(x
c12(t))
2
xc12(t)yc12(t)0
x
c12(t)yc12(t)( y c12(t))
2
0
000

. (2.20)
The inertia tensor components in wave coordinates are related to those
in center-of-mass coordinates through the relation
I
ij
w
(t)=
3
ﬃ
k=1
3
ﬃ
→=1
∂x
i
w
∂x
k
c
∂x
j
w
∂x
→
c
I
k→
c
(t), (2.21)
which in matrix notation reads
I
w(t)=S ·I c(t)·S
T
. (2.22)
To obtain the wave polarization functionsh
+andh ×we plug the com-
ponents of the binary’s inertia tensor [computed by means of Eqs. (2.18
(2.20
the componentsJ
ijof the reduced quadrupole moment can be replaced by
the componentsI
ijof the inertia tensor, compare the deﬁnitions (1.115
and (2.56 R=|x
∗
|is the distance to the binary’s center-
of-mass andt
r=t−(z w+R)/cis the retarded time]
h
+(t,x)=
Gµ
c
4
R
∆
sin
2
ι

˙r(t r)
2
+r(t r)¨r(tr)

+(1+cos
2
ι)

˙r(t r)
2
+r(t r)¨r(tr)−2r(t r)
2˙
φ(t
r)
2

cos 2φ(t
r)
−(1 + cos
2
ι)

4r(t r)˙r(tr)
˙
φ(tr)+r(t r)
2¨
φ(t
r)

sin 2φ(t r)
Ω
,
(2.23a)
h
×(t,x)=
2Gµ
c
4
R
cosι
∆

4r(t
r)˙r(tr)
˙
φ(tr)+r(t r)
2¨
φ(t
r)

cos 2φ(t r)
+

˙r(t
r)
2
+r(t r)¨r(tr)−2r(t r)
2˙
φ(t
r)
2

sin 2φ(t
r)
Ω
.(2.23b)
Polarization waveforms without radiation-reaction eﬀects.Gravitational
waves emitted by the binary diminish the binary’s binding energy and total orbital angular momentum. This makes the orbital parameters

36 Astrophysical sources of gravitational waves
changing in time. Let us ﬁrst assume that these changes are so slow that
they can be neglected during the time interval in which the observations
are performed. Making use of Eqs. (2.15
nate from the formulae (2.23
randφ, treating the parameters of the orbit,aande, as constants. The
result is the following [110]:
h
+(t,x)=
4G
2
Mµ
c
4
Ra(1−e
2
)
∆
A
0(tr)+A 1(tr)e+A 2(tr)e
2
Ω
, (2.24a)
h
×(t,x)=
4G
2
Mµ
c
4
Ra(1−e
2
)
cosι
∆
B
0(tr)+B 1(tr)e+B 2(tr)e
2
Ω
,(2.24b)
where the functionsA
iandB i,i=0,1,2, are deﬁned as follows
A
0(t)=−
1
2
(1 + cos
2
ι)cos2φ(t), (2.25a)
A
1(t)=
1
4
sin
2
ιcos(φ(t) −φ 0)
−
1
8
(1 + cos
2
ι)
∆
5 cos(φ(t)+φ 0) + cos(3φ(t)−φ 0)
Ω
,(2.25b)
A
2(t)=
1
4
sin
2
ι−
1
4
(1 + cos
2
ι)cos2φ 0, (2.25c)
B
0(t)=− sin 2φ(t), (2.25d)
B
1(t)=−
1
4
∆
sin(3φ(t) −φ
0)+5sin(φ(t)+φ 0)
Ω
, (2.25e)
B
2(t)=−
1
2
sin 2φ
0. (2.25f)
In the case of circular orbits the eccentricityevanishes and the wave
polarization functions (2.24
h
+(t,x)=−
2G
2
Mµ
c
4
Ra
(1 + cos
2
ι)cos2φ(t r), (2.26a)
h
×(t,x)=−
4G
2
Mµ c
4
Ra
cosιsin 2φ(t
r), (2.26b)
whereais the radius of the relative circular orbit.
Polarization waveforms with radiation-reaction eﬀects.Let us now con-
sider short enough observational intervals that it is necessary to take into account the eﬀects of radiation reaction changing the parameters of the bodies’ orbits. In the leading order the rates of emission of energy and angular momentum carried by gravitational waves are given by the formu- lae (1.117

Random documents with unrelated
content Scribd suggests to you:

Blekingeläiset, jotka olivat ruotsalaisten vanhoja vihollisia, ottivat
hänet ystävällisesti vastaan ja auttoivat häntä ruokavaroilla.
Mutta Dacke ei aikonut pysyä halpana metsävarkaana. Hän hautoi
suuria tuumia.
Tähän aikaan kiertelivät karkoitetut munkit pitkin maata ja useat
heistä olivat paenneet rohkean seikkailijan, Niilo Dacken, turviin.
Muuan heistä, isä Klemens, soveltui erittäin hyvin Dacken nykyisiin
tarkoituksiin.
Niilo oli, kumma kyllä, hankkinut tietoja kaikellaisista ulkonaisista
asianhaaroista.
Hän tiesi, että sekä saksalainen pfalzkreivi Fredrik että herttua
Albrekt Meklenburgilainen tavottelivat Ruotsin kruunua. Tosin ei
hänen tarkoituksensa suinkaan ollut auttaa kumpaakaan, mutta hän
päätti ryhtyä kirjevaihtoon heidän kanssaan, saadakseen nähdä,
missä määrin heistä saattaisi olla hyötyä.
Ja juuri siinä suhteessa kelpasi munkki häntä auttamaan; hän
kirjoitti näille herroille ja he vastasivat omakätisissä kirjeissä Niilo
Dackelle. Yksin saksalainen keisari Kaarle V alentui persoonallisesti
kiihoittamaan rohkeaa tuumaa ja suosittamaan pfalzkreivi Fredrikiä
Ruotsin kuninkaaksi. Moni maanpakolaisuuteen ajettu herra kirjoitti
Dackelle, tarjoten hänelle apuaan ja rohkaisten häntä niin suurilla
lupauksilla, että Dacke itsekin tuli siihen vakaumukseen, että kohtalo
oli määrännyt hänet täyttämään suuria, jopa korkeimpia päämääriä.
* * * * *

Kauniina kevätpäivänä v. 1542 seisoi Niilo Dacke mietteisiin
vaipuneena Blekingen vanhan linnan edustalla, jonka muurien
takana hänen väkensä tavallisesti asusteli.
Hänen takkinsa oli tummanvihreästä verasta, hihat halaistut ajan
tavan mukaan ja silkillä sisustetut; edestä oli takki auki, joten kaula
ja osa rintaa jäi paljaaksi. Väljät ruskeat polvihousut olivat sarkaa;
polvien kohdalta piteli niitä hopeanapit.
Sääret olivat aivan paljaat ja jalat pistetyt karkeisiin kenkiin. Takin
alla oli ohut, rautalangoista kudottu sotapaita, päässä nahkainen
ryntökypärä ilman silmikkoa, niinkuin sotamiehillä. Sen harjana oli
musta jouhitöyhtö, jonka juuressa välkkyi kallisarvoinen, sinisistä ja
valkeista kivistä tehty, kullalla juotettu, tähti. Leveään nahkavyöhön
oli pistetty lyhytvarsinen sotakirves sekä kaksi leveäsäiläistä veistä.
Olkapään yli kulki miekanhankkilus, jossa riippui lyhyt, hiukan
käyrä miekka sekä kuparinen jahtitorvi. Pitkät, ruskeat hiukset
valuivat olkapäille ja tuuhea, kihara parta kaarsi leuan ja huulet,
tehden synkät kasvot hurjan näköisiksi.
Puku oli puoleksi aatelinen, puoleksi talonpoikainen, mutta
kasvojen ilme vaihteli lakkaamatta; tuli ehdottomasti ajatelleeksi
pimeää huonetta, jossa säilytetään paljon tavaraa.
Linnanraunioissa syntyi pian elämääpä liikettä; vuoroin kuului
sieltä raakaa naurua tai pilapuheita, vuoroin kirouksia, mutta Niilo
Dacke seisoi yhä liikkumattomana, tuijottaen tielle, jossa kaksi
henkilöä näkyi likenevän; toinen heistä oli mies, toinen näytti olevan
lapsi.

Mies varjosti kädellä silmiään, huomasi Dacken ja huudahti
ääneen, sitte alkaakseen kömpiä ylös mäkeä.
Dacken kasvoista ei hetkenäkään olisi saattanut päättää, että hän
tunsi hänet; ne kuvasivat ainoastaan odotusta.
Vihdoin tuli mies likemmä; hänen kädessään oli miekka, jota hän
tällä haavaa käytti keppinä ja Dacke tunsi nyt hänet munkki Pietari
Erlandinpojaksi, jonka hän hiljan oli lähettänyt Smålantiin ottamaan
selkoa kansan mielialasta.
— Hähä, nauroi Niilo, — mikä jumalallinen olento on antanut teille
siivet, koska te jo olette täällä?
— Intoni ja innostukseni!
— Ne tunnen… mitä uutisia tuotte?
— Mitä parhaimpia!
Enempää ei munkki saanut sanotuksi, hän läähätti palkeitten lailla,
rasitus oli hänelle ollut aivan liian suuri, hänen täytyi tointua.
Pietari Erlandinpoika oli kuin raaka sotamies, hänen karkea
villakaapunsa oli täynnä likapilkkuja ja reikiä, solmuinen nuoranpätkä
oli hänen vyöllään ja rukousnauha, joka oli siihen kiinnitetty, näytti
pitkän aikaa riippuneen käyttämättömänä; se oli varmaan tarttunut
pensaisiin ja aitoihin, sillä nappuloita oli jäänyt jälelle tuskin niin
paljon, että hän olisi voinut lukea kymmenen isämeitää perätysten.
— Minkä kapineen sinä toit kanssasi?
— Siitä voi vielä olla hyötyä, sanoi munkki hymyillen.

— Minä kysyn, mikä kapine se on?
Munkki vihelsi ja tuttavamme Aatami astui esiin. Hänen vaatteensa
olivat risaiset ja likaiset.
— Mikä peto sinä olet?
— Kääpiö, hyvä herra.
— Ehkä vakoilija?
— Sinun kimppuusi eivät vakoilijat uskalla käydä! vastasi pieni
mies.
Dacke hymähti.
— Sinäpä näyt osaavan asettaa sanasi; mistä tulet?
— Etkö ole kuullut puhuttavan kuningas Kristianin kääpiöstä, joka
luopui hänestä?
— Minä luulin sitä vielä vanhemmaksi.
— Kiitoksia, mutta on sitä mullakin ikää.
— Mitä sinä täältä haet?
— Tahdon palvella sinua.
— Luovuitko sinä herrastasi?
— Hän luopui minusta; ruoka ei riittänyt kahdelle.
— Todellako?

— Hän tahtoi, että minä tulisin onnelliseksi…
— Minun luonaniko?
— Niin, herra, täällä ovat kaikki mahdollisuudet.
— Kuinka sinä sen tiedät?
— Luen sen silmistäsi.
— Oletko tietäjä?
— Kaikki jotka kuuluvat minun sukuuni ovat tietäjiä.
— Menestyvätkö tuumani?
Aatami tarttui hänen käteensä.
— Tuo karkea viiva tietää odottamatonta onnea.
— Onni ei koskaan tule minulle odottamattomana!
— Se seuraa sinua kauvan, kauvan!
Aatami tarkasteli yhä hänen kättään.
— No heittääkö se minut vihdoin?
— Ei ennenkuin viime hetkessä.
Aatami päästi hänen kätensä.
— Elämän rajalla! Enempää en pyydä! Tahdotko jäädä minun
luokseni?

— Minä voin sekä huvittaa että palvella sinua.
— Maata pannessani pitää sinun kertoa minulle kuningas
Kristianista, jotta voisin eläytyä kuninkaan ajatusten juoksuun; se on
aina hyödyllistä.
— On kyllä, sanoi Aatami vilpittömästi, — eihän sitä tiedä, miten
asiat voivat kääntyä.
Pietari Erlandinpojan vaaniva silmä kohtasi tänä hetkenä Niilo
Dacken silmän; hän tuli hiukan hämilleen, mutta naurahti sitä
peittääkseen ja lausui:
— Kertokaappa nyt uutiset!
— Kansa tahtoo seurata sinua!
— Vai niin.
Sanat lausuttiin hitaasti ja polttava puna peitti Dacken kasvot.
— Mutta minulla on toinen huonompi sanoma.
— No mikä?
— Arvid Vestgöte on hirtättänyt lähettilääsi.
Dacken kurkusta pääsi mylvinä.
— Vai on hän uskaltanut!
— Hän asuu niin kaukana teistä.

— Pyhän Pietarin nimessä, kyllä minä etäisyyttä lyhennän.
Hengellään saa hän tekonsa maksaa.
Uteliaasti silmäili Aatami toisesta toiseen, hypistellen risaista
takkiaan.
Verkalleen asteli Dacke takaisin linnaan; munkki ja Aatami
seurasivat häntä.
Rosvojoukko asusti suuren rakennuksen sisimmissä suojissa.
Suljetulla linnanpihalla paloi suuria tulia. Joku mies oli
teurastamassa ryöstettyä karjaa, toiset kärvensivät tulessa
lihakappaleita, joita oli ripustettu pitkien seipäitten neniin. Muutamat
ratsastelivat pihamaalla, toiset huvittelivat sotaleikillä, olivat
miekkasilla, ampuivat jousella, koettivat tulipyssyjä, jotka siihen
aikaan vielä olivat sangen puutteelliset, tai harjoittivat lingolla-
heittämistä.
Toiset olivat heittäneet pitkäkseen maahan, toiset pelasivat
arpapeliä, tuontuostakin haukkuen toisiaan tai yltyen tappelemaan.
Muutamat hoilottivat rakkauslauluja tai sotaisia viisuja, useimmat
makasivat juopuneina.
Koko joukossa ilmeni hillitsemättömien, raakojen intohimojen
leima.
Puvut olivat tehdyt eläinten nahoista tai karkeasta sarkavaatteesta.
Dacke asteli edestakaisin miestensä joukossa, vähääkään
huomaamatta mitä he tekivät.
Hän heittäytyi pitkäkseen rovion ääreen ja kutsui alipäällikkönsä
luokseen.

Nämä asettuivat paikalla hänen ympärilleen. He olivat: Thord
Bonde, Maunu Hane ja Pikku Jössi. Pietari Erlandinpoikaa ja Aatamia
käskettiin istuutumaan pelottavan Niilo Dacken taakse.
Hän kertoi nyt päälliköilleen miten miehen oli käynyt, joka
lähetettiin Arvid Vestgöten luo.
— Kostoa, kostoa! huusi Thord Bonde.
— Me hirtämme hänet! kirkui Pikku Jössi.
— Tai teemme hänet nuoliemme maaliksi! huusi Maunu.
— Minä pidätän hänet itselleni, sanoi Niilo Dacke, — ja te voitte
olla varmat siitä, että hän kymmenin kerroin saa maksaa sen, että
meitä loukkasi.
He huusivat ja mylvivät kaikki yhtaikaa, mikä ehdotteli kiehuvaa
tervaa, mikä sulatettua tinaa; uusien kidutuskeinojen keksimistä
pidettiin siihen aikaan kunniana.
— Johan minä sanoin, että itse pidän huolta siitä asiasta, huusi
Dacke vihoissaan.
Vihdoin vaikeni joukko.
— Kuulkaa nyt miten aion menetellä. Minä kutsun Kongan ja Etelä
Mören kihlakuntien talonpojat käräjiin. Kansa odottaa,
tyytymättömyys on yleinen; me tahdomme elää niinkuin entisinä
aikoina.
— Niin, niin tahdomme!

He kalistelivat aseitaan, huusivat ja kirkuivat. Äkkiä pisti
Erlandinpoika esiin päänsä.
— Minäpä sanon, että suuret verokuormat, mutta varsinkin
kerettiläinen usko on vieroittanut kaikkien mielet tyrannista, Kustaa
Eerikinpojasta.
He päättivät nyt ottaa selvää, mitä mieltä Thorsåsin, Elmbodan ja
Linnerydin pitäjien talonpojat olivat, sekä sieltä lähteä
herraskartanoihin ja voutien taloihin Smålannissa ja Itägötlannissa,
rosvoamaan ja polttelemaan.
Pietari Erlandinpoika kannatti ehdotusta voimiensa takaa; se oli
aivan hänen mielensä mukainen.
Isä Klemens, joka tähän saakka niin tehokkaasti oli ottanut osaa
yhteisiin pyrintöihin, ei tällä kertaa ollut saapuvilla; jokainen tunsi
hänen varovaisuutensa, sentähden tahdottiin kiireen kautta ryhtyä
leikkelemään sanakapuloita, jotta ne jo samana iltana voitaisiin
panna liikkeelle.
Keskustelun päätyttyä erosivat miehet.
Muurin ulkopuoliselle seinävierustalle oli sinne tänne tehty pieniä
multamajoja. Tällaiseen majaan läksi Dacke, käskien Aatamia
tulemaan mukaansa.
Suoja oli sangen suuri, mutta miltei tyhjä. Suden- ja karhuntaljoja
oli heitetty läjään lattialle. Dacke laskeutui niiden päälle.
Äänetönnä seisoi Aatami hänen vieressään, tuntien, että Dacken
silmät häntä seurasivat.

— Miksi sinä tulit tänne? kysyi Dacke.
— Saadakseni palvella sinua.
— Tunnetaanko minua Tanskassa?
— Kyllä, monet korkeat herrat puhuvat sinusta.
— Minä tiedän sen, sanoi Dacke, oikoen jäseniään.
— He sanovat, että sinä tulet suorittamaan suuria tekoja.
— Vai niin he sanovat!
— Niin sanoi Kristian kuningaskin.
— Mitä hän sitte saattaa tietää minusta?
— Hän saa nykyään tietää kaikki mitä tapahtuu.
— No, mitä hän sanoi?
— Että minä tein oikein, kun läksin sinua hakemaan.
— Vai kehoittiko hän sinua lähtemään?
— Kyllä, hän soi minut sinulle.
— Mihin sinä kelpaat?
— Mihin vain tahdot.
— Käytätpä sinä suuria sanoja.
— En liian suuria.

— No minä koetan, mutta voi sinua, jos olet vakoilija!
— Tällaisen raukan kuin minä, voit sinä näpäyttää kuoliaaksi
sormesi päällä.
— Sen minä teenkin heti, kun vaan rupean epäilemään.
— Siihen on sinulla täysi oikeus!
— Osaatko ohjata hevosta?
— Osaan.
— Sinä pääset mukaan matkalle.
— Saanko ratsastaa likellä sinua?
— Miksi niin?
— Sinun tähtesihän minä olen täällä.
— Saammepa nähdä!… Saat nukkua jalkaini juuressa. Aatami
totteli käskyä. Hänen päässään liikkui moni uhrautuva ajatus; hän
muisteli vuoroin vanhaa ystävää, joka oli kuollut, vuoroin häntä, jota
oli luvannut uskollisesti palvella. Hänellä itsellään ei enään ollut
ainoaakaan omaista maan päällä, ja sentään hän tunsi, että
näkymättömät langat liittivät hänet moneen ihmiseen.
Nuori päällikkö hänen vieressään käänteli kauvan levottomasti,
vihdoin molemmat nukkuivat.
* * * * *

Östbon kihlakunnassa oli Växtorpin talo ja siellä asui kuningas
Kustaan vanha sotatoveri Arvid Vestgöte.
Hänen tiluksensa oli kuin tavallinen talonpoikaistalo, paitsi että
asuinrakennus oli suurempi, ja aitaus, joka ympäröi rakennusryhmää
ja tavattoman suurta pihamaata, oli erittäin vankkaa tekoa. Sitä oli
lisäksi vielä vahvistettu paaluilla.
Tämä aitaus oli oikeastaan rakennettu suojaksi susia vastaan, joita
usein suurissa laumoissa kierteli metsissä ja joita tallinhaju
houkutteli taloihin. Mutta samalla oli se hyvänä suojana ympäristön
metsävarkaiden varalta.
Asuinrakennus oli turpeilla peitetty; tallit ja ladot muodostivat
suljetun neliön.
Itse pihamaa oli paikoittain kivitetty, mutta yksi kulma oli kuokittu
ja multaan istutettu nuoria hedelmäpuita. Se oli siihen aikaan sangen
harvinaista Ruotsissa.
Istutusten ympärille oli tehty pieni kaalimaa.
Talossa vallitsi mitä suurin siisteys ja sinne tänne oli asetettu
maanviljelys- ja kalastustarpeita. Kaikki todisti, että isäntä suuresti
rakasti järjestystä.
Keväinen aurinko oli vasta sulattanut jääpeiton ja ruis- ja
ohravainioiden vihanta loisti kuin vihreä sametti etäisyydestä.
Sisäpuolelta oli asuinrakennus jaettu kahteen huoneeseen, joista
suurempi teki sekä asuinhuoneen että keittiön virkaa.

Arvid Vestgöte oli ylhäinen herra, jota pidettiin suuressa
kunniassa, mutta siitä huolimatta oli hän pysynyt uskollisena esi-
isiensä yksinkertaisille tavoille.
Hänen oma yksityinen huoneensa oli pitkä ja kapea, seinät
laudoitetut ja äärimäisellä seinällä suuri liesi; savu pääsi ulos
rautapeltistä tehdyn huikun kautta. Täällä paloi tavallisesti aamusta
iltaan suuri rovio.
Pihanpuoleisessa seinässä oli kolme suurta aukkoa eli akkunaa,
joiden päällitse oli pingoitettu ohutta, läpikuultavaa nahkaa;
säästeliäästi tunki sen läpi päivänvalo.
Lasiruudut olivat siihen aikaan ylellisyystavaraa, jota ainoastaan
kaupungissa käytettiin.
Pitkä, maalaamaton puupöytä seisoi keskellä huonetta, pitkin
seiniä kulki tamminen rahi, ilman patjoja ja selkänojaa. Sitäpaitsi oli
huoneessa muutamia kauniisti veistettyjä kaappeja ja arkkuja.
Perällä oli kaksi ovea, ne veivät Arvidin ja hänen tyttärensä
makuusuojiin.
Nuoren Elsan vuoteessa oli höyhenpatjoja ja villapeitteitä, mutta
Arvid nukkui oljilla, eläinten nahkojen päällä.
Vielä on muistettava, että suuren asuinhuoneen seinillä kulki
valkeita hyllyjä, joilla kiilsi joukko kuparisia tai rautaisia keittoastioita.
Arvid istui paraikaa takkavalkean ääressä, tuijottaen kirkkaaseen
tuleen.
Keväisestä ilmasta huolimatta oli vanhus vielä puettu avaraan,
nahalla vuorattuun takkiin ja lakki oli näädännahalla reunustettu.

Hänen rinnallaan riippui valkea parta ja valkeat hiukset kähertyivät
kaulalle.
Hän oli vanhan ja väsyneen näköinen. Muistot menneiltä ajoilta
väikkyivät vielä hänen silmissään, muistot niiltä ajoilta, jolloin hän
istui tepastelevan hevosensa selässä tai työnsi metsästysveitsensä
petoeläimen rintaan, tuntien sen lämpöisen veren virtaavan
käsivarsilleen, tai kun hän taisteli kuninkaansa rinnalla rakkaan
synnyinmaan edestä, tai ehkä oli hänen rakkain muistonsa nuori
morsian, jota hän oli painanut povelleen ja joka sittemmin oli
lahjoittanut hänelle hänen Elsansa. Nämä muistot leijailivat hänen
mielessään, kun hän liekkejä katseli, ja siksi ei hän tahtonut lakata
niihin tuijottamasta.
Ovi avautui ja Elsa astui huoneeseen. Hänet nähdessä tuli
ehdottomasti ajatelleeksi liljaa, joka on puhkeamaisillaan; hän oli niin
puhtaan ja viattoman näköinen, että miltei tuntui siltä kuin ei pahuus
ikinä saattaisi häneen kajota.
Hiljaa likeni hän vanhusta, istuutui hänen jalkainsa juureen ja
painoi päänsä hänen polveaan vastaan, alkaakseen, niinkuin hänkin,
tuijottaa tuleen. Mutta isän nähdessä menneitten päivien vaiheiden
liehuvan liekeissä, etsi tytär niistä selitystä tulevaisuutensa
arvoitukselle.
Hyväillen laski vanhus kätensä hänen päälaelleen ja lausui:
— Sinä vanhuuteni lohdutus!
Elsa otti käden, suuteli sitä hiljaa ja vei sen takaisin päälaelleen.
Pitkän aikaa istuivat he ääneti.

— Asiat eivät kauvan saa olla tällä kannalla, virkkoi Arvid ikäänkuin
voimanponnistuksella. — Minun täytyy tehdä päätös.
— Lähdetkö Tukholmaan, isä?
— En nyt saata sitä tehdä! vastasi vanhus kiivaasti.
— Sanotaan, että vaarat uhkaavat.
— Olenko minä koskaan pelännyt vaaroja? Olen tosin jo vanha,
mutta käsivarressa on vielä rautaa.
— Minä jään sinun luoksesi.
— Sitä minä en salli… Kuningas kirjoittaa, että hän sinulle valitsee
sulhasen, joka on meidän molempien arvoinen.
— Isä, anna minun jäädä luoksesi!
— Sinun pitää seurata kutsumuksesi ääntä, mutta minä en
ruotiukon lailla saata paeta piiloon, kun tunnen vaaran likenevän;
minun täytyy kunnialla kantaa seitsemääkymmentä ikävuottani.
— Mutta odottakaamme, isäni.
— Kuningas kirjoitti, että sinun pian piti tulla, ja kääpiö… mutta
missä hän on?
— Ollut poissa jo monta päivää.
— Sanomatta hyvästi?
— Hän sanoi palaavansa.

— Kummallinen olento!
— Hän sanoi ennenkuin läksi, että kuningas Kristianilla oli ollut
kääpiö ja että hän ehkä oli juuri sama olento, mutta että minun silti
piti luottaa häneen.
— Toihan hän kuninkaan kirjeen?
— Kyllä!
— Se ei voi olla petosta.
— Varsinkin kun Märta rouva Stegeborgista lähetti palvelijan
noutamaan hevosta takaisin.
— Onko hän sitte nyt ottanut hevosen meidän tallistamme?
— Ei, hän meni jalkaisin.
— Sitä ei sinun olisi pitänyt sallia.
— Imo ei pyydä lupaa keneltäkään.
— Imoko hänen nimensä on?
— Hän sanoi, että minä häntä kutsuisin Imoksi.
Samassa tuli vanha palvelija Matti ilmoittamaan, että vieraita,
aseellisia miehiä joka taholta, varsinkin idästäpäin näkyi rientävän
taloa kohti.
— Kutsu kokoon kaikki palvelijani, käski päällikkö, — ja anna heille
jouset ja nuolet.

— Kyllä me metsävarkaat voitamme, jatkoi Matti. — Päästän irti
koirat, jos niiksi tulee; isännän ei tarvitse vaivautua leikkiin.
— Tulen, jos tahdon, vastasi vanhus reippaasti. Palvelija riensi
pois, ensin koetettuaan katseellaan rauhoittaa pelästynyttä tyttöä.
Raskaana lisahti tamminen ovi lukkoon hänen jälkeensä ja
hetkisen kuluttua soi hätäkello, kutsuen kokoon talon miehiä
kiireiseen apuun.
Koiratkin päästettiin irti ja niiden iloiseen haukkuun sekaantui pian
raju ulvonta.
— Sudet tulevat, virkkoi vanha Arvid, — ne ovat haistaneet, että
syntinen riippuu hirsipuussa.
— Raukka! huokasi Elsa, kätkien kasvot käsiinsä.
— Sen täytyi tapahtua! Vero kuuluu kuninkaalle ja hänen
käskynhaltijanaan täytyy minun pitää huolta siitä, etteivät velikullat
ryöstä sitä itselleen… Mitä tämä nyt merkitsee?
Ulkoa kuului kamala melu, koirat haukkuivat vallan raivoissaan.
Arvid aukaisi oven etehiseen.
— Mitä täällä tapahtuu? huusi hän jymisevällä äänellä.
— Piru täällä elämöi, tuli vastaukseksi ja samassa kiipesi Pietari
Erlandinpoika aidan yli.
— Älköön kukaan pääskö sanomaan, että vanha Arvid olisi
paennut vaaraa, huusi vanhus, vyötti itsensä miekallaan, ripusti
kilven käsivarrelleen ja otti raskaan sotakirveen seinältä.

Mutta Elsa oli käyttänyt tilaisuutta hyväkseen, sulkenut portin ja
heittänyt avaimen menemään.
Vanha päällikkö ei ollut sitä huomannut, hän luuli vastustuksen
tulevan ulkoapäin ja röykytti koko voimallaan raskasta tammiovea,
joka ei silti liikahtanut paikaltaan.
— Minä menen sitte ikkunasta! huusi hän.
Villit huudot yhä likenivät; uhkauksiin ja kirouksiin sekaantui itkua
ja valitusta. Uhkausten tulva kävi yhä taajemmaksi ja
kamalammaksi.
Kova isku kohtasi porttia.
Arvid Vestgöte painoi ryntökypärän valkeille hiuksilleen. Hänen
silmänsä säihkyivät.
— Jumala meitä varjelkoon! lausui hän, luoden silmäyksen
tyttäreensä. Sitte hän, sotakirves oikealla olallaan, asettui
odottamaan uhkaavaa vihollista.
Tammiovi yhä kesti.
— Nyt tulee Dacke! huudettiin.
— Te hentosormiset raukat! kuului samassa voimakas ääni ja
tammiovea kohtasi niin kova isku, että se särkyi.
Oven takana seisoi vanhus, valmiina iskemään kirveellään
kuoliaaksi ensi tulijaa, ja hänen rinnallaan Elsa, kalman kalpeana,
mutta tyynenä, liikkumattomana, valmiina nöyrästi kuolemaan.

Mutta ryövärien käsistä vaipuivat aseet ja heidän joukossaan
syntyi äkkiä äänettömyys; hämillään katselivat he toisiinsa, kukaan ei
uskaltanut astua likemmä.
— No, verenhimoiset pedot, huudahti vanhus hetkisen kuluttua, —
eikö ole joukossanne ketään, jota haluttaa lyödä kuoliaaksi vanhan
Arvid Vestgöten?
Mutta kukaan ei liikahtanut paikalta. Likinnä vanhusta seisoi
Dacke, katse tähdättynä Elsaan.
— Eteenpäin, kelpo pojat! Tappakaa kerettiläisorja! Tappakaa
hänen sikiönsä! Tappakaa heidät Jumalan ja pyhimysten kunniaksi!
Peseytykää heidän veressään, jokainen pisara on taivaan
valtakunnassa kantava tuhatkertaisen sadon!
Näin mylvi kurja Pietari Erlandinpoika.
Mutta Dacke ei liikahtanut paikalta.
Silloin hiipi munkki hänen taaksensa, pääsi huomaamatta
livahtamaan vanhan soturin ohi ja iski häntä olkapäähän.
— Kurja murhaaja! mutisi vanhus, kirves putosi hänen kädestään
ja hän vaipui maahan.
Elsa kietoi tuskallisesti käsivartensa hänen ympärilleen. Hän korotti
katseensa miehiin ja hänen rukoilevat silmänsä sattuivat Dackeen.
— Tapa minutkin, niin siunaan sinua!
Dacke astui askeleen taaksepäin. Samassa huomasi hän munkin ja
katsahti häneen niin ylenkatseellisesti ja vihamielisesti, että Pietari

suinpäin läksi pakoon.
Dacke katseli ympärilleen, itse ei hän tahtonut eikä voinut mitään
tehdä.
— Ilkeä teko, arvoisa isä, sanoi Hane munkille, — Hullingsvin Nisse
ei ole sen arvoinen kuin ainoa pisara tuon miehen verta, jonka juuri
tapoitte.
Pihassa seisoi Dacke, rajun, kummallisen näköisenä.
— Eikö täällä ole ketään, joka voisi tutkia vanhuksen haavaa? kysyi
hän kiivaasti.
— Ehkä minä nyt hätätilassa voin, vastasi Aatami niin
välinpitämättömästi kuin taisi.
— Mene sitte, pikkumies!
Kääpiö astui huoneeseen. Viereisissä huoneissa hakivat ryövärit
saalista.
Aatami lankesi polvilleen Elsan viereen.
— Älä ole tuntevinasi minua, kuiskasi hän ja alkoi Elsan avulla
varovaisesti tarkastaa haavaa.
Se oli syvä ja ulottui aina käsivarteen asti; mahdotonta oli tietää,
paranisiko se milloinkaan. Vanhus vaikeroi hiljaa.
Aatami sitoi haavan niin hyvin kuin taisi, lainasi Häneltä Arvidin
oman karhuntaljan, jonka tämä oli ryöstänyt itselleen, ja pani sen
sairaan pään alle. Sitte riensi hän ulos.

Dacke oli seisonut pihassa jakelemassa käskyjä. Hän oli pitänyt
huolta siitä, että karja oli ajettu talosta ja että ryöstetyt tavarat olivat
asetetut kuormiin. Mutta hänen käskynsä olivat olleet lyhyet ja
varmat, hän ei ollut käyttänyt pilapuheita niinkuin tavallisesti; miehet
tuumailivat keskenään, että mikä päällikköä nyt vaivaa.
Aatami tuli samassa pihaan.
— No, miten on? ärjäisi Dacke häntä vastaan.
— Vielähän hänessä on henkeä.
— Ja… ja entä se toinen?
— Hän kyllä kuolee, jos isä kuolee.
— Häntä pitää hoitaa niin huolellisesti kuin suinkin, huusi Niilo
Dacke miltei kuumeentapaisesti.
Aatami säpsähti. Näytti miltei siltä kuin hän olisi tehnyt keksinnön.
— Tännekö he jäävät?
— Ei, he ovat vietävät linnaan.
— Tokkohan hän vaan kestänee kuljetuksen?
— Tuohon, sanoi Dacke, osoittaen heinähäkkiä, — tuohon hän on
pantava.
Vai oli Niilo Dacke ajatellut sellaisia asioita! Silloin oli varmaan
Aatami arvannut oikein!
Suurella varovaisuudella kannettiin vanhus ulos ja pantiin rattaille.

Samat taljat, joita hän tavallisesti käytti, pantiin hänen allensa.
Hänen rinnallaan, tukien häntä, istui hänen hurskas tyttärensä.
Hitaasti läksivät rattaat liikkeelle; Aatami oli saanut käskyn seurata
niitä.
Dacke jäi hetkiseksi taloon. Kun kaikki muut olivat lähteneet, meni
hän huoneisiin, jotka olivat miltei aivan tyhjät; hän asteli huoneesta
huoneeseen, hengittäen syvästi, raskaasti, ikäänkuin imeäkseen
keuhkoihinsa niiden ilmaa.
Hänessä oli totisesti tapahtunut ihmeellinen muutos. Elsa oli
häneen tehnyt vaikutuksen, jonka vertaista ei hän ikinä ollut
tuntenut.
Oliko se rakkautta?
Monasti oli hän nähnyt ihmisiä, joiden sydän oli kiintynyt naisiin.
Narreja olivat hänen mielestään ne, jotka surivat onnetonta
rakkautta.
Hän ei koskaan ollut kärsinyt naisia, ei milloinkaan hakenut heidän
suosiotaan.
Moni oli koettanut houkutella häntä hymyilyllä ja katseilla.
Hän oli vaan nauranut heitä.
Muuan tyttö tarjosi hänelle punaiset huulensakin.
Häntä hän löi.
Ja nyt oli kalpea, sureva tyttö pannut hänet kuin kahleisiin.

Se se oli hulluutta!
Niilo Dacke rakasti. Hän, joka ei koskaan ollut tietänyt mitä
rakkaus on, tunsi nyt mitä rajuimman intohimon meluavan
rinnassaan… mutta samalla hän pelkäsi, että hänen salaisuutensa
tulisi ilmi… hän vartioi sitä mustasukkaisuuden kiihkolla… se täytti
hänen rintansa aavistamattomalla riemulla.
Tyttö tulee olemaan hänen kodissaan, hän saa suojella ja varjella
häntä, kätkeä hänet muiden katseilta; vaikkei hän itse milloinkaan
uskaltaisikaan hänelle sanoa, miten hirveästi hän häntä rakastaa,
niin eivät ainakaan muutkaan saa sitä tehdä.
Palatessaan linnaan, huomasi Dacke, että kääpiö jo oli arvannut ja
täyttänyt hänen toivomuksensa; paras huone oli annettu vangeille ja
vanhus lepäsi tyynenä vuoteellaan.
Kertoessaan hänen terveytensä tilasta, esiintyi Aatami niin
levollisena, ettei Niilo Dacken päähän edes pälkähtänytkään, että
hän tiesi salaisuuden, jonka hän kaikilta tahtoi peittää.
Hän uskoi vangit "Imon" haltuun.
— Minä tarvitsen vanhusta tuumieni toteuttamiseksi, selitti hän.
Aatami lupasi täyttää päällikön käskyt ja sai luvan viettää yönsä
vankien oven edessä.
Ja nyt keskitti Aatami koko huolenpitonsa Arvidiin ja hänen
tyttäreensä.
Tuntikausia käveli hän metsässä kokoilemassa yrttejä.

Sitte keitti hän lääkkeitä ja juomia, jotka vaikuttivat erinomaisen
hyvää.
Itse hän valmisti heidän ruokansa ja Dacken viinivarastosta oli
hänellä lupa ottaa miten paljon tahansa.
Vanha Arvid tointui silminnähtävästi.
Malttamattomasti kyseli Dacke, miten hän jaksaa. Varmaan hän
hautoili jotakin mielessään, sillä hän lähetti väkensä polttamaan kyliä
ja suurempia taloja, mutta pysyi itse kotosalla. Kerrottiin, että hän
miettii suurta yritystä, johon itse aikoo ottaa osaa, mutta ettei aika
vielä ole varmaan päätetty.
Eräänä päivänä kääntyi Dacke tavallista malttamattomammin
Aatamin puoleen ja kysyi, eikö herra Arvidia jo saa puhutella.
— Toivoisin, että vielä odottaisit ainakin viikon, sillä hän on hyvin
heikko.
— Entä… se toinen?
— Aivan niinkuin isä.
— Hyvä on. Viikon odotan, mutta en päivääkään enemmän.
Samana iltana virkkoi Aatami molemmille turvateilleen:
— Hän tulee tänne.
— Mitä hän tahtoo? kysyi Arvid.
— Sitä hän ei sanonut.

— Tulkoon vain, minä olen valmis.
Hetken kuluttua, kun vanhus oli nukkunut, kutsui Aatami Elsan
suureen etehiseen.
— Sinua uhkaa mitä suurin vaara, virkkoi hän.
— Minuako? kysyi tyttö hämmästyneenä.
— Hän rakastaa sinua.
— Uskaltaako hän?
— Rakkaus ei koskaan pyydä lupaa… mutta pahemmin käy, jos
sinä unohdat, että te olette hänen vankejaan.
— Mitä sinä pelkäät?
— Että sinä ärsytät häntä.
— Mitä sinä minulta pyydät?
— Että pysyt tyynenä.
— Koetan pysyä.
— Älä jyrkästi kiellä.
— Minun täytyy!
— Ajattele isääsi.
— Hän näkisi minut mieluummin kuolleena.
— Mutta ethän sinä tahdo hänen kuolemaansa.

— En, en!
— Ole siis viisas ja viekas. Älä lupaa, mutta älä kielläkkään.
— Sinä vaadit vaikeita asioita.
— Mutta vaikeampia saattaisi sattua
— Koska hän tulee?
— Jos minä sen saan tietää edeltäkäsin, niin kyllä ilmoitan teille.
— Sanonko kaikki isälleni?
Kääpiö vaipui mietteisiin.
— Arvelen, että on parempi olla sanomatta, vastasi hän vihdoin.
— Kiitos siitä että olet ystävämme!
— Se on synninkatumusta.
— Mitä syntiä olet tehnyt?
— Olin kerran suuri narri, minulla ei ole mitään muita ansioita, ja
sitä saan nyt sovittaa.
— Lausut ajatuksesi arvoituksina, Imo.
— Ehkä… Sen vaan sanon, että jos sinä kohtelet Niilo Dackea
armollisesti, niin siitä on hyötyä itsellesi ja varsinkin vanhalle isällesi.
Miettivänä palasi Elsa isänsä luo ja kun hän illalla jäi yksin, niin
hän levottomuudella ajatteli tulevaisuuttaan. Hän oli tähän asti
elänyt yksinäistä elämää, joutumatta tekemisiin nuorten

säätyläisherrojen kanssa. Sentähden ei hän koskaan ollut kuullut
rakkaudentunnustusta.
Nyt hän sen tulee kuulemaan ensi kerran, mutta miehen huulilta,
jota hän halveksii; eikä hän saa sitä sanoa hänelle… hänen täytyy
antaa hänen pysyä siinä luulossa, että se on mahdollista… Voi!
Tuntui miltei siltä kuin Imo olisi puhunut Niilo Dackesta
myötätuntoisuudella: ansaitsiko hän myötätuntoisuutta?
Elsan tulee olla viekas, hänen tulee valehdella, rikkoa pyhimpiä,
sisimpiä tunteitaan vastaan!
Se on mahdotonta. Hän ei saata sitä tehdä!
Eräänä päivänä astui päällikkö aivan odottamatta heidän
huoneeseensa.
Hän oli pukeutunut harvinaisella huolellisuudella.
Vanha Arvid istui rahilla ja Elsa seisoi hänen takanaan sukien
hänen hiuksiaan.
— Minä tulen äkkiarvaamatta, virkkoi hän hiukan hämillään, —
mutta soturi ei ymmärrä hienoja tapoja.
— Emme sellaisia pyydäkkään, vastasi vanhus.
— Miten te jaksatte?
— Paljon paremmin kuin vangin sopii odottaa
— Imo on siis täyttänyt käskyni.

— Imo osoittaa olleensa kuninkaan palvelija.
— Siitähän hän ylpeilee… Entä te, kaunis neiti, oletteko tekin
häneen tyytyväinen?
Dacken ääneen tuli uusi sointu. Elsa punastui vasten tahtoaan.
— Hän tekee kaikki, mitä saa ja voi, vastasi hän. Niilo Dacke
katseli häneen kummastuneena, mutta malttoi äkkiä mielensä ja
lausui:
— Herra Arvid Vestgöte, minä tulen teille esittämään tärkeää
asiaa.
— Puhukaa! sanoi vanhus.
— Te olette suuresti rikkonut minua vastaan ja minä saattaisin
teille julmasti kostaa.
— Minä olen vallassanne.
— Aikomukseni ei ole väärinkäyttää valtaani, vastasi Niilo Dacke,
mutta älkää unohtako, että saatan lahjoittaa teille elämän ja
tuhatkertaisesti korvata sen, minkä olette kadottanut.
— Entä millä ehdolla?
— Sillä, että luovutte kuninkaasta ja autatte minua kokoamaan
smålantilaiset ja johtamaan heitä.
Elsa oli kietonut käsivartensa isän ympäri. Rukoillen pyysi hän
häntä pysymään tyynenä.

Sääliväinen hymy nousi Arvidin huulille ja tukahuttaen katkerat
sanansa lausui hän:
— Jos olisit ottanut henkeni, niin olisin rukoillut Jumalaa suomaan
anteeksi pahat tekosi, mutta sinä ehdotat, että rupeaisin kavaltajaksi
ja sitä en ikinä suo sinulle anteeksi.
Dacke oli käynyt kalman kalpeaksi.
— Ruotsin onni ja pelastus on tässä kysymyksessä, vastasi hän.
— Jos Jumala olisi tehnyt minut mielipuoleksi, vastasi Arvid, — niin
ehkä kallistaisin korvani puheellesi; mutta nyt sanon sinulle
ainoastaan, että mieluummin annan käsivarteni kuivettua kuin
nostan sen jaloa Kustaa Vaasaa vastaan.
Hyväillen ja hiljaa pyytäen koetti Elsa rauhoittaa isänsä vihaa.
Dacke ei voinut riistää silmiään hänestä.
— Saamme vastaisuudessa likemmin puhua asiasta, sanoi hän ja
jätti huoneen.
— Mikä meitä nyt odottaa? lausui Elsa vavisten.
— Jumala yksin sen tietää… Antautukaamme hänen haltuunsa.
Molemmat olivat levottomat; he tunsivat vaaran likenevän.
Sillaikaa syntyi linnassa elämää ja liikettä. Dacken sanansaattajat
olivat rahvaalle ilmoittaneet, että suuri yritys on tekeillä. Vanha viha
porvarien ja talonpoikien välillä oli leimahtanut ilmi tuleen ja
smålantilaisten herkkiin mieliin syöpyi syöpymistään se luulo, että

Kyösti kuningas tahtoo supistaa ruotsalaisten ikivanhaa vapautta ja
kahlehtia heidät saksalaisen ikeen alle.
Rahvas oli kutsuttu käräjiin. Dacke tahtoi nyt ottaa haltuunsa
johtajatoimen.
Hän käski miestensä valmistautua lähtöön ja pukeutui itse
komeaan pukuun, niinkuin johtajan sopii.
Sitte hän yksin asteli edestakaisin huoneessaan, vaistomaisesti
kuunnellen melua linnan pihassa, kun metsävarkaat pukeutuivat
aseihinsa. Suuret tuumat ja rohkeat toiveet liikkuivat hänen
mielessään.
Potrat pojat olivat asettuneet riveihin ja Dacke asteli tarkastellen
heidän joukossaan.
Häntä huvitti nähdä, että nuo villit, vastahakoiset miehet tottelivat
hänen pienintäkin viittaustaan.
Tarkastuksen loputtua lausui hän tyytyväisyytensä ja käski miehiä
olemaan valmiina varhain aamulla. Sitte jätti hän heidät ja palasi
huoneeseensa.
Hetkeä aikaisemmin oli Aatami mennyt vankien luo.
— Ilma on niin ihana, sanoi hän, — tie on auki ja neiti kulta
tarvitsee raitista ilmaa.
— Minä en jätä isääni, sanoi tyttö.
— Häntä ei uhkaa mikään vaara.

— Mene, siunattu lapseni, sanoi vanha Arvid, — raitis ilma tekee
sinulle hyvää.
Ihmeellinen kauhu oli vallannut Elsan; hän huomasi, että kääpiöllä
oli erityinen tarkoitus, ja syleiltyään isäänsä, seurasi hän häntä.
— Mikä on, Imo?
— Hän odottaa sinua.
— Missä?
— Huoneessaan.
— Sinne minä en mene!
— Hän käski.
— Mutta jollen tottele?
— Toivoisin että sen tekisit.
— Tuletko sinä mukaan?
— En saa, mutta annan sinulle paremman turvan… kas tässä!
— Isänikö tikari?
— Löysin sen teidän talonne lattialta.
— Kiitos! lausui tyttö, suudellen asetta. — Nyt en pelkää.
— Mutta muista, että ainoastaan äärimmässä hädässä.
— Minä olen ajatteleva isääni.

— Niin, jos sinä kuolet, kuolee hänkin.
— Hän toivoo kuolemaa.
— Mutta sinä et tiedä mitä kidutuksia he saattavat keksiä.
— Koetan olla viisas ja varovainen.
Samassa kuulivat he Dacken menevän huoneeseen.
— Pian, pian, joudu! Hän tahtoi, että olisit huoneessa ennen
häntä, kuiskasi Imo.
… Jumala minua auttakoon! huokasi Elsa ja astui miltei ääneti
huoneeseen, jonka ovi oli auki.
Dacke seisoi ikkunan ääressä, malttamattomana, hiljaa kiroillen
itsekseen.
— Sinä kutsuit minua, virkkoi tyttö. Mies säpsähti.
— Joko sinä kauvan olet ollut täällä?
— En kauvemmin kuin sinä itsekään.
— Miksi sinä jätit oven auki?
— Se oli auki ennen kuin tulin.
— Sulje se!
Elsa totteli.
— Ota pois avain ja anna se minulle!

Welcome to our website – the perfect destination for book lovers and
knowledge seekers. We believe that every book holds a new world,
offering opportunities for learning, discovery, and personal growth.
That’s why we are dedicated to bringing you a diverse collection of
books, ranging from classic literature and specialized publications to
self-development guides and children's books.
More than just a book-buying platform, we strive to be a bridge
connecting you with timeless cultural and intellectual values. With an
elegant, user-friendly interface and a smart search system, you can
quickly find the books that best suit your interests. Additionally,
our special promotions and home delivery services help you save time
and fully enjoy the joy of reading.
Join us on a journey of knowledge exploration, passion nurturing, and
personal growth every day!
ebookbell.com

Analysis Of Gravitationalwave Data Piotr Jaranowski Andrzej Krolak

About This Presentation

Slide Content

Tags

Categories

Download

Quick Actions

Statistics

Related Slideshows

Analysis Of Gravitationalwave Data Piotr Jaranowski Andrzej Krolak

About This Presentation

Slide Content

Slide 1

Slide 2

Slide 3

Slide 6

Slide 7

Slide 8

Slide 9

Slide 10

Slide 11

Slide 12

Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18

Slide 19

Slide 20

Slide 21

Slide 22

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28

Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35

Slide 36

Slide 37

Slide 38

Slide 39

Slide 40

Slide 41

Slide 42

Slide 43

Slide 44

Slide 45

Slide 46

Slide 47

Slide 48

Slide 49

Slide 50

Slide 51

Slide 52

Slide 53

Slide 54

Slide 55

Slide 56

Slide 57

Slide 58

Slide 59

Slide 60

Slide 61

Slide 62

Slide 63

Slide 64

Slide 65

Slide 66

Slide 67

Slide 68

Slide 69

Slide 70

Slide 71

Slide 72

Slide 73

Slide 74

Slide 75

Slide 76

Slide 77

Slide 78

Slide 79