Aplicaciones de la congruencia de triángulos

El estudio de la congruencia de triángulos nos ayuda a resolver situaciones problemáticas.

1. APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS


TEOREMA DE LA BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

Todo punto perteneciente a la bisectriz de un ángulo equidista de los lados de
dicho ángulo.


OP
Bisectriz del  AOB
 OAP  OBP
AP = BP


TEOREMA DE LA MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO

Todo punto perteneciente a la mediatriz de un segmento equidista de los
extremos de dicho segmento.



SI: L Mediatriz de AB
PA = PB





COROLARIO: En un triángulo isósceles, la altura relativa al lado desigual
es también bisectriz, mediana y porción de mediatriz del triángulo.









La altura HC divide al  C en dos ángulos de igual medida  por ser el
 ABC isósceles.

 Altura
 Bisectriz
Mediana
Porción de mediatriz

2. Luego se concluye que: AHC  CHB.

TEOREMA DE LOS PUNTOS MEDIOS (BASE MEDIA)

El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es
paralelo al tercero y tiene la mitad de su longitud.



Si M y N: puntos medios
MN // AC
2
AC
MN
ó AC = 2MN

COROLARIOS

a) Si por el punto medio de un lado del triángulo trazamos una paralela hacia
uno de los otros dos lados, entonces el tercer lado queda dividido en dos
segmentos iguales


Si AM = MB
y MN // AC
 CN = NB



b) En un triángulo rectángulo, la mediana relativa a la hipotenusa es de igual
medida de los segmentos en que la divide.


Si m  C = 90° y AM = MB


 CM = AM = MB

3. PROBLEMAS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

1) En la figura:DCAB ;DEDB .Hallar .







Solución:

  ABD  EDC (LAL)

mECD = mBAD = 20°

 Como el  DBE es isósceles

mDBE = mDEB = 80°

 En el ABC
20° + ( + 80°) + 20° = 180°

1) Del gráfico FGHA , FA = 8, hallar la longitud de HF












Solución:

Identificamos datos en la figura:

 BHA  FGA (ALA)
HB = AF = 8 u.





 = 60°

4.  Por el teorema del  externo:

 FAG:  externo A =  + 2 = 3
 BHA:  externo B =  + 2 = 3

 El  BFA es isósceles
BF = AF = 8
 Luego: x = 8 + 8




2) En un triángulo rectángulo ABC recto en B se traza la altura BH . La
bisectriz exterior de A con la prolongación de CB se cortan en N.si AB =
3cm., AH = 2cm.

Solución:

 Sea NP = x la distancia pedida.
 Al trazar NQ perpendicular a
la prolongación de CA resulta:

AQN  ABN

 AQ = AB = 3 cm

 En el rectángulo NQHP:

NP = QH

x = 5





3) En la siguiente figura Sí: AB = CD calcular “x”







Solución:

 El  BDE es isósceles:
= 16 u
NP = 5 cm
 x

70

5. DB = DE

  ABD  CDE (L.A.L)
Entonces:  = 40°

  ABC: 40° + (x + 70°) +  = 180°
40° + (x + 70°) + 40° = 180°



x = 30°