Apostila pm pa

Apostila de matemática para soldado da Polícia Militar do Pará (PM-PA)

1. MATEMÁTICA P/ POLÍCIA MILITAR DO PARÁ
Professor Arthur Lima


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APOSTILA DE MATEM ÁTICA – PM/PA 2016



Olá, tudo bem? Sou o Prof. Arthur Lima, e resumi nas próximas páginas os pontos
do edital de MATEMÁTICA da POLÍCIA MILITAR DO PARÁ, cujas provas serão aplicadas
pela banca FADESP em 31/Julho/2016.
Além deste breve resumo, veja em seguida a resolução das questões da prova da
PM/PA 2007, que foi realizada também pela mesma banca (a prova de 2012 foi da UEPA).




Números inteiros: operações e propriedades. Números racionais,
representação fracionária e decimal: operações e propriedades. Mínimo
múltiplo comum. Porcentagem.

Números naturais: aqueles de “contagem natural”  {0, 1, 2, 3, ...}
Números inteiros: naturais e seus opostos  {... -2, -1, 0, 1, 2, ...}
Números racionais: podem ser escritos na forma
A
B
, onde A e B são inteiros. Três tipos:
- são racionais: frações, números com casas decimais finitas (ex.: 0,8751), dízimas
periódicas (ex.: 0,333... ou simplesmente 0,3);
- este conjunto inclui todos os inteiros, que por sua vez inclui todos os naturais.

Mínimo múltiplo comum (MMC): o MMC entre dois números é o menor número que é
múltiplo de ambos os números. Ex.: o MMC entre 10 e 15 é o número 30. Por outro
lado, veja que o número 30 é divisível por 10 e também por 15.

- para obter o MMC, basta fatorar os números, usando todos os divisores
necessários até tornar os dois números iguais a 1. Ex.:
Conheça meu curso completo de MATEMÁTICA (vídeos e aulas escritas) para a PM/PA
2016 aqui: https://www.estrategiaconcursos.com.br/curso/matematica-p-pm-pa-soldado-com-videoaulas/?pr=3215

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10 15 Fatores
5 15
(mantido, pois não é divisível por 2)
2
5
(mantido, pois não é divisível por 3)
5 3
1 1 5
(chegamos ao valor 1 para ambos os números, portanto temos o MMC)
MMC = 2 x 3 x 5 = 30

Porcentagem:
quantia de interesse
Porcentagem = 100%
total
 OU SEJA, quantia de interesse = porcentagem total

número percentual  fração  número decimal
20%  20/100  0,20

Aumentar um valor em x% é igual a multiplicá-lo por (1 + x%).
Reduzir um valor em x% é igual a multiplicá-lo por (1 – x%).
“De” equivale à multiplicação: portanto, 20% de 300 é igual a 20% x 300.

Razão e proporção. Regra de três simples.
- Grandezas diretamente proporcionais: crescem e decrescem juntas. Resolva
montando uma regra de três e fazendo a “multiplicação cruzada”;

- Grandezas inversamente proporcionais: uma aumenta quando a outra diminui.
Antes da “multiplicação cruzada”, inverta os valores de uma grandeza.

- Passos para resolver uma regra de três composta:
1) identificar, usando setas, as grandezas que são diretamente proporcionais
e as que são inversamente proporcionais em relação a grandeza que
queremos descobrir (aquela que possui o X).
2) inverter as colunas que forem inversamente proporcionais à grandeza que
queremos.
3) igualar a razão onde está a grandeza X com o produto das outras razões.

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Equação do 1º grau. Sistema de equações do 1º grau. Relação entre
grandezas: tabelas e gráficos. Média aritmética simples.
- Produtos notáveis mais importantes:
2 2 2
( ) 2a b a a b b     
2 2 2
( ) 2a b a a b b     
2 2
( ) ( )a b a b a b    

- Equação de 1º grau: a.x + b = 0 (sua raiz é x = -b/a)

- Método da substituição em sistema de equações de 1º grau: com duas equações e
duas variáveis, isole uma variável na primeira equação e substitua na segunda.

- média aritmética simples: consiste na soma de todos os valores, dividida pela
quantidade total de valores.
Soma dos valores
Média =
Quantidade total


ou seja,

Soma dos valores Média Quantidade total 

- propriedades relativas à média de um conjunto de dados:
- somando-se ou subtraindo-se um valor constante em todos os valores, a
média desse novo conjunto será somada ou subtraída do mesmo valor.
- multiplicando-se ou dividindo-se todos os dados por um valor constante, a
média desse novo conjunto será multiplicada ou dividida pelo mesmo valor.
- o valor da média é calculado utilizando todos os valores da amostra.
Portanto, qualquer alteração nesses valores poderá alterar a média. Assim,
costumamos dizer que a média é afetada pelos valores extremos da
distribuição.

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Sistema métrico: medidas de tempo, comprimento, superfície e capacidade.
Noções de geometria: forma, perímetro, área, volume, teorema de Pitágoras.
Veja as principais unidades do sistema métrico em amarelo nas tabelas abaixo, seus
múltiplos e submúltiplos, e como efetuar as conversões:

Unidades de comprimento (distância)
Milímetro
(mm)
Centímetro
(cm)
Decímetro
(dm)
Metro
(m)
Decâmetro
(dam)
Hectômetro
(hm)
Quilômetro
(km)
1000mm 100cm 10dm 1m 0,1dam 0,01hm 0,001km
Multiplicar por 10   Dividir por 10

Unidades de superfície (área)
Milímetro
quadrado
(mm
2
)
Centímetro
quadrado
(cm
2
)
Decímetro
quadrado
(dm
2
)
Metro
quadrado
(m
2
)
Decâmetro
quadrado
(dam
2
)
Hectômetro
quadrado
(hm
2
)
Quilômetro
quadrado
(km
2
)
1.000.000mm
2
10.000cm
2
100dm
2
1m
2
0,01dam
2
0,0001hm
2
0,000001km
2

Multiplicar por 100   Dividir por 100

Unidades de capacidade (volume)
Milímetro
cúbico (mm
3
)
Centímetro
cúbico
(cm
3
)
Decímetro
cúbico
(dm
3
)
Metro
cúbico
(m
3
)
Decâmetro
cúbico
(dam
3
)
Hectômetro
cúbico
(hm
3
)
Quilômetro
cúbico (km
3
)
1000000000mm
3
1000000cm
3
1000dm
3
1m
3
0,001dam
3
0,000001hm
3
0,000000001km
3

Multiplicar por 1000   Dividir por 1000
** lembre que 1 litro = 1dm
3
, e que 1000 litros = 1m
3


- Perímetro: soma dos comprimentos dos lados de uma figura plana;

- Áreas das principais figuras planas:
Figura Área Figura Área
Retângulo

A = b x h
Área = base x altura
Quadrado

2
A L
Área = lado ao quadrado

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Trapézio

 
2
b B h
A
 

Área = (base menor + base
maior) x altura / 2
Losango

2
D d
A


Área = (diagonal menor x
diagonal maior) / 2
Paralelogramo



b

b

h


A = b x h
Área = base x altura
Triângulo***

2
b h
A


Área = (base x altura) / 2
Círculo

2
A r 
Área = pi x raio ao
quadrado

*** Teorema de Pitágoras (triângulos retângulos): hipotenusa
2
= (cateto1)
2
+ (cateto2)
2





- Volumes das principais figuras espaciais:

Figura Área Figura Área
Paralelepípedo


H

L

C


V = Ab x h
Volume = área da base
x altura
V = C x L x H
Volume = comprimento
x largura x altura
Cubo

A

A

A



3
V A
Volume = aresta ao
cubo
Cilindro


R

H


V = Ab x h
Volume = área da base
x altura
 
2
V R H
Volume = pi x raio ao
quadrado x altura
Cone



R

H

G


3
Ab H
V



Volume = área da
base x altura / 3
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Pirâmide

3
Ab H
V



Volume = área da base
x altura / 3
Prisma

H

L



V = Ab x h
Volume = área da
base x altura
Esfera

V = 4R
3
/3
Volume = 4 x pi x raio
ao cubo / 3





E aí, vamos resolver juntos as questões da prova da POLÍCIA MILITAR DO
PARÁ de 2007? Esta foi a última prova aplicada pela FADESP, que é a mesma
banca do concurso de 2016!

1. FADESP – Soldado PM/PA – 2007) Dos 100 soldados que participavam de um
curso de formação de cabos, 40 gostavam de praticar voleibol, 68 gostavam de
praticar futebol e 14 não gostavam de praticar esses esportes. A quantidade de
soldados que gostavam de praticar tanto voleibol quanto futebol é igual a
(A) 18.
(B) 22.
(C) 30.

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(D) 46.
RESOLUÇÃO:
Sendo V e F os conjuntos de soldados que gostavam de voleibol e futebol,
respectivamente, podemos dizer que:
n(V) = 40
n(F) = 68

Como, das 100 pessoas, 14 não gostavam de nenhum desses esportes,
então 100 – 14 = 86 gostavam de pelo menos um dos esportes. Ou seja,
n(V ou F) = 86

Usando a fórmula para dois conjuntos, temos:
n(V ou F) = n(V) + n(F) – n(V e F)
86 = 40 + 68 – n(V e F)
n(V e F) = 108 – 86
n(V e F) = 22

Isto é, 22 pessoas gostavam de ambos os esportes.
Resposta: B

2. FADESP – Soldado PM/PA – 2007) Se numa festa a quantidade de moças está
para a quantidade de rapazes na razão de 13 para 12, então a porcentagem de
moças presentes é
(A) 46%.
(B) 48%.
(C) 50%.
(D) 52%
RESOLUÇÃO:
Para cada 13 moças, temos 12 rapazes. Portanto, em um grupo de 13+12 =
25 pessoas na festa, teremos 13 moças e 12 rapazes. Portanto, o percentual de
mulheres na festa é:
Percentual = mulheres / total
Percentual = 13 / 25

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Multiplicando numerador e denominador por 4, ficamos com:
Percentual = 52 / 100
Percentual = 52%
Resposta: D

3. FADESP – Soldado PM/PA – 2007) A prova de um concurso continha 60
questões, e os pontos eram calculados pela fórmula P = 3C – 2E + 120, onde C era
a quantidade de questões certas e E a de questões erradas. Um candidato que
obteve 225 pontos acertou:
(A) 45 questões.
(B) 30 questões.
(C) 20 questões.
(D) 15 questões.
RESOLUÇÃO:
O total de questões é igual a 60. Portanto, se acertamos “C” questões, o
número de questões erradas é de 60 – C. Ou seja, E = 60 – C. Sabendo que o
candidato fez 225 pontos, podemos escrever que:
P = 3C – 2E + 120
225 = 3C – 2(60 – C) + 120
225 = 3C – 120 + 2C + 120
225 = 5C
C = 225 / 5
C = 450 / 10
C = 45

Ou seja, o candidato acertou 45 questões.
Resposta: A

4. FADESP – Soldado PM/PA – 2007) Sabendo-se que uma pessoa consome
aproximadamente 800 metros cúbicos de água por ano e que o planeta dispõe de,
no máximo, 9000 quilômetros cúbicos de água para o consumo por ano, pode-se
afirmar que a capacidade máxima de habitantes que o planeta suporta,
considerando-se apenas a disponibilidade de água para consumo, é
aproximadamente:

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(A) 11.100.000.000.
(B) 11.150.000.000.
(C) 11.250.000.000.
(D) 11.350.000.000.
RESOLUÇÃO:
Cada pessoa consome 800 metros cúbicos. O planeta possui 9.000
quilômetros cúbicos de água. Para transformar quilômetros cúbicos em metros
cúbicos, devemos multiplicar por 1.000 três vezes consecutivas (para ir de km
3
para
hm
3
, depois para dam
3
, e então para m
3
). Ou seja,
9.000 km
3
= 9.000 x 1.000 x 1.000 x 1.000 m
3
9.000 km
3
= 9.000.000.000.000 m
3


Portanto, se 1 habitante consome 800m
3
, vejamos quantos habitantes
precisamos para consumir 9.000.000.000.000m
3
:
1 pessoa ---------------- 800 m
3
N pessoas ---------------- 9.000.000.000.000 m
3


1 x 9.000.000.000.000 = N x 800
90.000.000.000 = N x 8
45.000.000.000 = N x 4
22.500.000.000 = N x 2
N = 11.250.000.000 pessoas
Resposta: C

5. FADESP – Soldado PM/PA – 2007) Para encher um recipiente com capacidade
de 15 litros, a quantidade mínima de vezes que terei de utilizar uma garrafa de
refrigerante com capacidade para 600 ml é
(A) 20.
(B) 25.
(C) 30.
(D) 35.
RESOLUÇÃO:
Sendo N o número de vezes que vamos usar a garrafa de 600ml (ou melhor,
de 0,6 litro), podemos dizer que:

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N x 0,6 litro = 15 litros
N = 15 / 0,6
N = 150 / 6
N = 50 / 2
N = 25 vezes
Resposta: B

6. FADESP – Soldado PM/PA – 2007) O trabalho realizado por três máquinas
durante 6 horas por dia, em 2 dias, custa R$ 1.800,00. Se uma máquina apresentar
defeito e parar de funcionar, o custo da operação por 4 dias, com um funcionamento
de 5 horas por dia, é igual a
(A) R$ 1.850,00.
(B) R$ 1.900,00.
(C) R$ 1.950,00.
(D) R$ 2.000,00.
RESOLUÇÃO:
Podemos esquematizar as informações do enunciado assim:

Máquinas Horas por dia Dias Custo
3 6 2 1.800
2 5 4 C

Veja que o número de máquinas caiu de 3 para 2, afinal uma parou de
funcionar. Queremos descobrir o custo C na segunda situação. Precisamos agora
avaliar quais grandezas são diretamente proporcionais e quais são inversamente
proporcionais em relação ao Custo, que é o que queremos descobrir.
Intuitivamente, observe que quanto MAIOR o número de máquinas, MAIOR o
custo. Da mesma forma, quanto MAIS horas por dia, MAIOR é o custo. E quanto
MAIS dias de trabalho, MAIOR é o custo. Todas as grandezas são diretamente
proporcionais ao custo. Podemos montar nossa proporção, deixando a coluna da
nossa variável (custo) de um lado e as demais colunas do outro lado da igualdade:
1800 3 6 2
2 5 4C
  

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1800 3 6 1
2 5 2C
  
1800 3 3 1
1 5 2C
  
1800 9
10C

1800 x 10 = 9C
200 x 10 = C
2000 = C
O custo é de 2.000 reais.
Resposta: D

Para responder às DUAS próximas questões, leia atentamente o texto abaixo.
Considere pi aproximadamente igual a 3. Para realizar o Teste de Aptidão Física
(TAF), as Forças Armadas utilizam uma pista cujas laterais são semelhantes a um
retângulo com a largura igual à metade do comprimento, tendo, nas extremidades
do comprimento, dois semicírculos.
7. FADESP – Soldado PM/PA – 2007) Se o comprimento da pista é igual a 420 m,
então o raio dos semicírculos é igual a
(A) 30 m.
(B) 35 m.
(C) 40 m.
(D) 45 m.
RESOLUÇÃO:
A pista tem a forma de um retângulo onde a largura é a metade do
comprimento, ou seja, o comprimento C é o dobro da largura L, ou melhor, C = 2L:

As laterais são semicírculos:

12. MATEMÁTICA P/ POLÍCIA MILITAR DO PARÁ
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Note que o comprimento total da pista é igual à soma dos dois segmentos de
medida 2L, e mais os 2 semicírculos, que juntos formam um círculo. Este círculo
tem diâmetro com medida L, de modo que o seu raio mede L/2. O comprimento
deste círculo é:
Comprimento do círculo = 2 x pi x raio
Comprimento = 2 x 3 x L/2
Comprimento = 3L

Assim, sabendo que o comprimento total da pista é de 420 metros, podemos
escrever que:
Comprimento total da pista = círculo + segmentos retos
420 = 3L + 2L + 2L
420 = 7L
L = 420 / 7
L = 60 metros

O raio de cada semicírculo é de L/2 = 60/2 = 30 metros.
Resposta: A

8. FADESP – Soldado PM/PA – 2007) A área, em metros quadrados, ocupada pela
pista é igual a
(A) 6900.
(B) 7900.
(C) 8900.
(D) 9900.
RESOLUÇÃO:

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A área total da pista é a soma da área de um círculo de raio 30 metros com a
área de um retângulo de largura L = 60 metros e comprimento 2L = 120 metros. Ou
seja,
Área total = área do círculo + área do retângulo
Área total = pi x raio
2
+ largura x comprimento
Área total = 3 x 30
2
+ 60 x 120
Área total = 3 x 900 + 6 x 1200
Área total = 2700 + 7200
Área total = 9900 m
2

Resposta: D

9. FADESP – Soldado PM/PA – 2007) Nos Jogos da Polícia Militar, a delegação de
um batalhão obteve 37 medalhas. Sendo o número de medalhas de prata 20%
superior ao das de ouro, e o número de medalhas de bronze 25% superior ao das
de prata, o número de medalhas de prata obtido por essa delegação foi de
(A) 17.
(B) 15.
(C) 12.
(D) 10.
RESOLUÇÃO:
Seja N o número de medalhas de ouro. As medalhas de prata são 20% a
mais, ou seja,
Prata = Ouro x (1+20%)
Prata = N x (1 + 0,20)
Prata = N x (1,20)
Prata = 1,2N

As medalhas de bronze são 25% a mais que as de prata:
Bronze = Prata x (1 + 25%)
Bronze = Prata x (1 + 0,25)
Bronze = Prata x (1,25)
Bronze = 1,2N x (1,25)
Bronze = 1,2x1,25xN
Bronze = 1,5N

14. MATEMÁTICA P/ POLÍCIA MILITAR DO PARÁ
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O total de medalhas é 37, ou seja,
37 = ouro + prata + bronze
37 = N + 1,2N + 1,5N
37 = 3,7N
N = 37 / 3,7
N = 10 medalhas de ouro

O número de medalhas de prata é 1,2N = 1,2x10 = 12.
Resposta: C

10. FADESP – Soldado PM/PA – 2007) Ao se aumentar em 2 m um dos lados de
uma sala de forma quadrangular, e o outro lado em 3 m, a sala tornou-se retangular,
com 56 m
2
de área. Então, a medida, em metros, do lado do quadrado era igual a
(A) 5.
(B) 6.
(C) 7.
(D) 8.
RESOLUÇÃO:
Suponha que o lado do quadrado original media L. Ao aumentar um lado em
2m e o outro em 3m, ficamos com um retângulo com largura L+2 e comprimento
L+3. Sabendo que a área deste retângulo é de 56m
2
, podemos dizer que:
Área do retângulo = largura x comprimento
56 = (L+2) x (L+3)

Nesta expressão acima podemos testar as opções de resposta. Testando L =
5 (alternativa A), temos o seguinte:
(L+2) x (L+3) =
(5+2) x (5+3) =
7 x 8 =
56

Portanto, veja que chegamos em 56m
2
, o que demonstra que o lado do
quadrado original era mesmo L = 5 metros.

15. MATEMÁTICA P/ POLÍCIA MILITAR DO PARÁ
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Resposta: A

11. FADESP – Soldado PM/PA – 2007) Dois amigos dividiram uma conta de
R$135,00. O mais velho apresentou certa quantia e o mais novo completou com
dois terços da quantia apresentada pelo mais velho. O valor que o mais novo
apresentou foi igual a
(A) R$ 84,00.
(B) R$ 74,00.
(C) R$ 64,00.
(D) R$ 54,00.
RESOLUÇÃO:
Seja V a quantia paga pelo mais velho. O mais novo pagou 2/3 disto, ou seja,
2V/3. O total pago foi de 135 reais, ou seja,
V + 2V/3 = 135
3V/3 + 2V/3 = 135
5V/3 = 135
V = 135 x 3/5
V = 27 x 3
V = 81 reais

Portanto, o mais novo pagou:
2V/3 = 2x81/3 = 2x27 = 54 reais
Resposta: D

12. FADESP – Soldado PM/PA – 2007) Uma pessoa, após receber seu salário,
gasta um quinto com transporte e, do que sobra, gasta um terço com alimentação,
restando-lhe ainda R$ 480,00. Seu salário é
(A) R$ 810,00.
(B) R$ 840,00.
(C) R$ 870,00.
(D) R$ 900,00.
RESOLUÇÃO:

16. MATEMÁTICA P/ POLÍCIA MILITAR DO PARÁ
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Seja S o salário da pessoa. Subtraindo 1/5 deste salário (transporte), sobram
4/5 do salário, isto é, 4S/5. Deste restante, são gastos 1/3 com alimentação,
sobrando 2/3 disto, que corresponde a 480 reais. Ou seja,
2/3 de (4S/5) = 480
2/3 x (4S/5) = 480
4S/5 = 480 x 3/2
4S/5 = 240 x 3
4S/5 = 720
S = 720 x 5/4
S = 180 x 5
S = 900 reais
Resposta: D








TENHA UMA EXCELENTE PROVA!
Saudações,
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