Archivo con demostraciones de espacios vectoriales

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1. ¶
Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem¶atica Aplicada, FI-UPM 1
2 Espacios vectoriales
2.1 Espacio vectorial
Unespacio vectorialsobre un cuerpoK(en generalRoC) es un conjuntoV6=;sobre el que
hay de¯nidas dos operaciones:
1.Suma:
+ :V£V¡!V
(u;v)¡!u+v
veri¯cando las siguientes propiedades:
(a)Conmutativa:u+v=v+u,8u;v2V.
(b)Asociativa: (u+v) +w=u+ (v+w),8u;v;w2V.
(c)Elemento neutro: Existe02Vtal queu+0=0+u=u,8u2V.
(d)Elemento opuesto: Para todou2Vexiste¡u2Vtal queu+ (¡u) = (¡u) +u=0
2.Producto por un escalar:
¢:K£V¡!V
(¸;u)¡!¸¢u
veri¯cando las siguientes propiedades:
(a)1¢u=u,8u2V.
(b)¸¢(¹¢u) = (¸¹)¢u,8¸; ¹2K,8u2V.
(c)(¸+¹)¢u=¸¢u+¹¢u,8¸; ¹2K,8u2V.
(d)¸¢(u+v) =¸¢u+¸¢v,8¸2K,8u;v2V.
Los elementos de un espacio vectorial se llamanvectores.
Unespacio vectorial reales un espacio vectorial sobre el cuerpoRde los n¶umeros reales.
Nota: En lo sucesivo, siempre que no haya confusi¶on se omitir¶a el punto (¢) en la operaci¶on
producto por escalar.
Ejemplos
Son espacios vectoriales reales, con las operaciones que se indican, los siguientes:
1.El conjunto den-uplas de n¶umeros reales:
R
n
=fx= (x1; x2; : : : ; xn) = (xi)1·i·n:xi2R;1·i·ng
con las operaciones:
x+y= (x1+y1; x2+y2; : : : ; xn+yn)
¸x= (¸x1; ¸x2; : : : ; ¸xn)

2. ¶
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2.El conjunto de matrices de dimensi¶onn£m:
Mn£m(R) =
½
A= (aij)1·i·n
1·j·m
:aij2R;1·i·n;1·j·m
¾
con las operaciones: suma de matrices y producto por n¶umeros reales.
3.El conjunto de todos los polinomios con coe¯cientes reales en la variablex:
P(R) =
(
n
X
k=0
akx
k
:n2N; ak2R
)
con las cl¶asicas operaciones de suma y producto por n¶umeros reales.
4.El conjunto de todos los polinomios, con coe¯cientes reales en la variablex, de grado
menor o igual quen:
Pn(R) =
(
n
X
k=0
akx
k
:ak2R
)
con las mismas operaciones anteriores.
5.El conjunto de todas las funciones reales:
F(R) =ff:R¡!Rg
con las operaciones: suma de funciones y producto por n¶umeros reales.
6.El conjunto de todas las sucesiones de n¶umeros reales:
S=f(xn)
1
n=0:xn2R; n¸1g
con las operaciones: suma de sucesiones y producto por n¶umeros reales.
7.SiZ2=f0;1g, entoncesZ
n
2
es un espacio vectorial sobre el cuerpoZ2, con las operaciones:
0 + 0 = 1 + 1 = 0;0 + 1 = 1 + 0 = 1 y 0¢0 = 0¢1 = 1¢0 = 0;1¢1 = 1
2.2 Propiedades
SiVes un espacio vectorial, entonces
1.0¢u=0.
2.(¡1)¢u=¡u.
para todou2V.
2.3 Subespacio vectorial
Se llamasubespacio vectorialde un espacio vectorialVa cualquier subconjunto no vac¶³o
S½Vque es espacio vectorial con las mismas operaciones de¯nidas sobreV.

3. ¶
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2.4 Caracterizaci¶on de subespacios vectoriales
SiVes un espacio vectorial yS½V,S6=;, entonces
Ses subespacio vectorial deV()
(
(1)u+v2S,8u;v2S
(2)¸u2S,8¸2Ky8u2S
Demostraci¶on:
()) Evidente, puesSes espacio vectorial.
(() (1) y (2) garantizan que las operaciones est¶an bien de¯nidas sobreS, al ser ¶este un conjunto
cerrado respecto de ellas. Adem¶as, por serSun subconjunto deV, se veri¯can todas las
propiedades de la suma y el producto siempre que sea cierto que02Sy que el opuesto de
cualquier elemento deSest¶a enS. Ahora bien, para cualquieru2S,
0= 0¢u2S y ¡u= (¡1)¢u2S
luegoSes un subespacio vectorial deV.
2.5 Corolario
SiVes un espacio vectorial yS½V,S6=;, entonces
Ses subespacio vectorial deV()¸u+¹v2S ;8¸; ¹2K;8u;v2S
Ejemplos
1.En todo espacio vectorialV, el conjuntof0ges un subespacio vectorial llamadosubespa-
cio trivial.
2.SeaF(R) =ff:R¡!Rgel espacio vectorial de las funciones reales. Son subespacios
vectoriales:
S1=ff2 F(R) :f(0) = 0g S2=ff2 F(R) :fcontinuag
S3=ff2 F(R) :facotadag S4=ff2 F(R) :fderivableg
y no lo son
S5=ff2 F(R) :f(x)>0;8x2Rg S6=ff2 F(R) :jf(x)j ·1;8x2Rg
3.Son subespacios vectoriales del espacio vectorialP(R), de todos los polinomios enxcon
coe¯cientes reales, los siguientes:
S1=
©
p2 P(R) :p
0
(0) = 0
ª
S2=fp2 P(R) :a0=a1= 0g
dondea0ya1son los coe¯cientes de grado 0 y 1, respectivamente. No son subespacios
vectoriales:
S3=fp2 P(R) : grado(p) = 4g S4=fp2 P(R) : el grado depes parg
4.En el espacio vectorial de todas las matrices cuadradas de ordenn, el subconjunto de las
matrices sim¶etricas es un subespacio vectorial, y no lo son el subconjunto de las matrices
regulares ni el de las matrices singulares.

4. ¶
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5.El conjunto de soluciones del sistema homog¶eneoAx=0,A2 Mm£n(R), es un subespacio
vectorial deR
n
.
6.Son subespacios vectoriales deM2£2(R):
S1=
½µ
0a
b0
¶
:a; b2R
¾
S2=
½µ
0a
¡a0
¶
:a2R
¾
y no lo es
S3=
½µ
0 1
a0
¶
:a2R
¾
2.6 Combinaci¶on lineal
SeaVun espacio vectorial. Se dice quev2Vescombinaci¶on linealde los vectores
fv1;v2; : : : ;vng ½V, si existen®1; ®2; : : : ; ®n2Ktales que
v=
n
X
i=1
®ivi
Ejemplos
1.EnR
3
, para averiguar si el vectorv= (1;2;3) es combinaci¶on lineal dev1= (1;1;1),
v2= (2;4;0) yv3= (0;0;1), se plantea la ecuaci¶on vectorial:
(1;2;3) =®(1;1;1) +¯(2;4;0) +°(0;0;1)
que equivale al siguiente sistema de ecuaciones, cuyas soluciones son las que se indican:
8
<
:
®+ 2¯ = 1
®+ 4¯ = 2
® +°= 3
=)
8
<
:
®= 0
¯= 1=2
°= 3
Luegov= 0v1+
1
2
v2+ 3v3, y el vectorves combinaci¶on lineal defv1;v2;v3g(y tambi¶en
defv2;v3g).
2.EnM2£2(R), para averiguar si la matrizA=
µ
¡1 0
2 4
¶
es combinaci¶on lineal deA1=
µ
1 1
2 2
¶
yA2=
µ
3 2
3 5
¶
, se plantea la ecuaci¶on matricial:
µ
¡1 0
2 4
¶
=®
µ
1 1
2 2
¶
+¯
µ
3 2
3 5
¶
=)
8
>
>
<
>
>
:
®+ 3¯=¡1
®+ 2¯= 0
2®+ 3¯= 2
2®+ 5¯= 4
Este sistema es incompatible, luegoAno es combinaci¶on lineal defA1; A2g.

5. ¶
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2.7 Dependencia e independencia lineal de vectores
SeaVun espacio vectorial. Se dice que el conjunto de vectoresfv1;v2; : : : ;vng ½Vesli-
nealmente dependientesi y s¶olo si existen®1; ®2; : : : ; ®n2K, con alg¶un®i6= 0, tales que
P
n
i=1
®ivi=0. En caso contrario, se dice que el conjuntofv1;v2; : : : ;vngeslinealmente
independiente.
Para estudiar si un conjunto de vectoresfv1;v2; : : : ;vnges linealmente dependiente o inde-
pendiente, se plantea la ecuaci¶on
n
X
i=1
®ivi=0
y se estudian sus soluciones. Si admite alguna soluci¶on no nula el conjunto de vectores es
linealmente dependiente, y si s¶olo admite la soluci¶on nula es linealmente independiente.
Ejemplos
1.EnR
4
, los vectoresv1= (1;0;¡1;2),v2= (1;1;0;1) yv3= (2;1;¡1;1) son linealmente
independientes, pues
®v1+¯v2+°v3=0=)
8
>
>
<
>
>
:
®+¯+ 2°= 0
¯+°= 0
¡® ¡°= 0
2®+¯+°= 0
=)®=¯=°= 0
2.EnR
4
, los vectoresv1,v2, yv3, del ejemplo anterior, yv4= (1;0;¡1;4) son linealmente
dependientes, pues
®v1+¯v2+°v3+±v4=0=)
8
>
>
<
>
>
:
®+¯+ 2°+±= 0
¯+° = 0
¡® ¡°¡±= 0
2®+¯+°+ 4±= 0
=)
8
>
>
<
>
>
:
®=¡2t
¯=¡t
°=t
±=t
; t2R
que admite soluciones no nulas. Por ejemplo, parat=¡1, 2v1+v2¡v3¡v4=0.
2.8 Propiedades
En un espacio vectorialVse cumplen las siguientes propiedades:
1.fvglinealmente dependiente()v=0
2.02A½V=)Aes linealmente dependiente
3.fu;vglinealmente dependiente()u=¸v(son proporcionales)
4.Alinealmente independiente yB½A=)Bes linealmente independiente
5.Alinealmente dependiente yA½B=)Bes linealmente dependiente
6.Alinealmente dependiente()Existev2Aque es combinaci¶on lineal deAn fvg
7.Alinealmente independiente()No existev2Aque sea combinaci¶on lineal deAn fvg

6. ¶
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2.9 Lema
SiVes un espacio vectorial yA=fv1; : : : ;vmg ½V, entonces
L(A) =
(
m
X
i=1
®ivi:®i2K
)
es un subespacio vectorial deV, que se llamasubespacio generadoporA. El conjuntoAse
llamasistema de generadoresdeL(A).
Demostraci¶on: Siu=
P
m
i=1
®ivi2L(A),v=
P
m
i=1
¯ivi2L(A), y¸; ¹2K, entonces
¸u+¹v=
m
X
i=1
(¸®i+¹¯i)vi2L(A)
Ejemplos
1.SiV=R
3
yA=fv1= (1;0;1);v2= (1;1;¡1)g, entonces
L(A) =fv=®v1+¯v2:®; ¯2Rg=fv= (®+¯; ¯; ®¡¯) :®; ¯2Rg
Las ecuaciones 8
<
:
x=®+¯
y=¯
z=®¡¯
;®; ¯2R
se llamanecuaciones param¶etricasdeL(A). Las ecuaciones param¶etricas son ¶utiles
para obtener, d¶ando valores reales a los par¶ametros®y¯, los diferentes vectores deL(A).
As¶³, por ejemplo, para®= 2 y¯=¡1 se obtiene el vectorv= (1;¡1;3)2L(A).
Eliminando par¶ametros en las ecuaciones param¶etricas, se obtiene:
x¡2y¡z= 0
que se llamanecuaciones impl¶³citasdeL(A) (en este caso s¶olo una). Las ecuaciones
impl¶³citas son ¶utiles para comprobar si un determinado vector pertenece aL(A) (el vector
debe veri¯car todas las ecuaciones). Por ejemplo, el vector (3;1;1)2L(A) pues 3¡2¢1¡1 =
0, y el vector (¡1;2;1)62L(A), pues¡1¡2¢2¡16= 0.
2.EnR
4
, las ecuaciones param¶etricas e impl¶³citas del subespacio generado por
A=fv1= (1;¡1;1;¡1);v2= (1;2;¡1;3)g
son 8
>
>
<
>
>
:
x1=®+¯
x2=¡®+ 2¯
x3=®¡¯
x4=¡®+ 3¯
;®; ¯2R=)
½
x1¡2x2¡3x3= 0
x1¡2x3¡x4= 0
2.10 Propiedades
SiAyBson dos subconjuntos ¯nitos de un espacio vectorialV, entonces:
1.A½B=)L(A)½L(B).
2.A½L(B)()L(A)½L(B).
3.L(A) =L(B)()A½L(B) yB½L(A).

7. ¶
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2.11 Proposici¶on
SeaVun espacio vectorial yfv1; : : : ;vmg ½V. Sivmes combinaci¶on lineal defv1; : : : ;vm¡1g,
entonces
L(fv1; : : : ;vmg) =L(fv1; : : : ;vm¡1g)
Demostraci¶on:
(¾) Siv2L(fv1; : : : ;vm¡1g), entonces
v=
m¡1
X
i=1
®ivi=
m¡1
X
i=1
®ivi+ 0vm2L(fv1; : : : ;vmg)
(½) Seavm=
P
m¡1
i=1
¯ivi. Siv2L(fv1; : : : ;vmg), entonces
v=
m
X
i=1
®ivi=
m¡1
X
i=1
®ivi+®m
m¡1
X
i=1
¯ivi=
m¡1
X
i=1
(®i+®m¯i)vi2L(fv1; : : : ;vm¡1g)
2.12 Base de un espacio vectorial
Se llamabasede un espacio vectorial (o subespacio vectorial) a cualquiera de sus sistemas de
generadores que est¶e formado por vectores linealmente independientes.
2.13 Teorema de la base
Todo espacio vectorialV6=f0g(o subespacio vectorial) con un sistema de generadores ¯nito
posee al menos una base.
Demostraci¶on: SeaAm=fv1; : : : ;vmgun sistema de generadores deV. SiAmes linealmente
independiente, entoncesB=Ames una base deV. En caso contrario habr¶a un vector, que se
puede suponervm, que es combinaci¶on lineal de los restantes, por lo que
V=L(Am) =L(Am¡1) conAm¡1=fv1; : : : ;vm¡1g
SiAm¡1es linealmente independiente, entoncesB=Am¡1es una base deV. En caso contrario,
se repite el razonamiento anterior hasta llegar a alg¶unAi=fv1; : : : ;vigque sea linealmente
independiente y que ser¶a la base.
El ¯nal del proceso anterior est¶a asegurado pues, en el peor de los casos, despu¶es dem¡1 pasos
se llegar¶³a aA1=fv1gconv16=0(puesL(A1) =V6=f0g), y este ser¶³a la base.
2.14 Coordenadas respecto de una base
SiB=fv1; : : : ;vnges una base del espacio vectorialV, entonces para todov2Vse tiene que
v=x1v1+: : :+xnvn=
n
X
i=1
xivi
Se llamancoordenadasdevrespecto de la baseBa lan-upla (x1; : : : ; xn)2K
n
, y se indica
v= (x1; : : : ; xn)
B

8. ¶
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2.15 Unicidad de las coordenadas
En un espacio vectorial, las coordenadas de un vector respecto de una base ¯nita son ¶unicas.
Demostraci¶on: SiB=fv1; : : : ;vnges una base deV, yv2V, entonces
½
v= (x1; : : : ; xn)
B
=
P
n
i=1
xivi
v= (x
0
1
; : : : ; x
0
n)
B
=
P
n
i=1
x
0
i
vi
=)
n
X
i=1
(xi¡x
0
i)vi=0=)xi=x
0
i;1·i·n
ya que los vectores deBson linealmente independientes. Luego las coordenadas de cualquier
vector respecto de la base son ¶unicas.
2.16 Bases usuales
En cada uno de los siguientes espacios vectoriales, la base usual es la que se indica:
1.EnR
n
,
Bc=fe1= (1;0;0; : : : ;0);e2= (0;1;0; : : : ;0); : : : ;en= (0;0;0; : : : ;1)g
que tambi¶en se llamabase can¶onica.
2.EnMn£m(R),B=
=
8
>
>
>
<
>
>
>
:
E1=
0
B
B
B
@
1 0¢ ¢ ¢0
0 0¢ ¢ ¢0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0¢ ¢ ¢0
1
C
C
C
A
; E2=
0
B
B
B
@
0 1¢ ¢ ¢0
0 0¢ ¢ ¢0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0¢ ¢ ¢0
1
C
C
C
A
; : : : ; En¢m=
0
B
B
B
@
0 0¢ ¢ ¢0
0 0¢ ¢ ¢0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0¢ ¢ ¢1
1
C
C
C
A
9
>
>
>
=
>
>
>
;
3.EnPn(R),
B=
©
1; x; x
2
; : : : ; x
n
ª
Siempre que no haya confusi¶on, se suele omitir la indicaci¶on de la base en la expresi¶on de las
coordenadas respecto de las bases usuales.
2.17 Uso de operaciones elementales para obtenci¶on de bases
SeaV=R
n
yA=fv1; : : : ;vmg ½V. Si se representa tambi¶en porAla matriz cuyas ¯las son
los vectores deA, yAres una matriz reducida deA, entonces una base deL(A) est¶a formada por
los vectores correspondientes a las ¯las no nulas deAr. Si la matriz reducida que se considera
es la escalonada, la base que se obtiene es la m¶as sencilla posible.
Todo lo anterior es igualmente v¶alido cuandoVes un espacio vectorial arbitrario con base
¯nita, y sus vectores vienen expresados por sus coordenadas respecto de dicha base.
Ejemplos
1.SiA=fv1= (1;3;4);v2= (2;¡1;1);v3= (3;2;5);v4= (5;15;20)g ½R
3
, entonces
0
B
B
@
1 3 4
2¡1 1
3 2 5
5 15 20
1
C
C
A
¡!
0
B
B
@
1 3 4
0 7 7
0 7 7
0 0 0
1
C
C
A
¡!
0
B
B
@
1 3 4
0 1 1
0 0 0
0 0 0
1
C
C
A

9. ¶
Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem¶atica Aplicada, FI-UPM 9
yB=fu1= (1;3;4);u2= (0;1;1)ges una base deL(A). Para hallar las coordenadas del
vectorv= (2;¡1;1) respecto de dicha base, se procede as¶³:
v=®u1+¯u2=)(2;¡1;1) =®(1;3;4) +¯(0;1;1) =)
8
<
:
® = 2
3®+¯=¡1
4®+¯= 1
)
½
®= 2
¯=¡7
de dondev= 2u1¡7u2= (2;¡7)B. En referencia a esta base, las ecuaciones param¶etricas
e impl¶³citas deL(A) son:
8
<
:
x=®
y= 3®+¯
z= 4®+¯
;®; ¯2R=)x+y¡z= 0
2.Antes de proceder a hallar una base del subespacio generado por
A=
©
p1= 1¡x
3
;p2=x¡x
3
;p3= 1¡x;p4= 1 +x¡2x
3
ª
½ P3(R)
se expresan los vectores (polinomios) respecto de la base usual:
A=fp1= (1;0;0;¡1);p2= (0;1;0;¡1);p3= (1;¡1;0;0);p4= (1;1;0;¡2)g
Entonces 0
B
B
@
1 0 0 ¡1
0 1 0 ¡1
1¡1 0 0
1 1 0 ¡2
1
C
C
A
¡!
0
B
B
@
1 0 0¡1
0 1 0¡1
0 1 0¡1
0 1 0¡1
1
C
C
A
¡!
0
B
B
@
1 0 0¡1
0 1 0¡1
0 0 0 0
0 0 0 0
1
C
C
A
y una base deL(A) es:
B=
©
q1= (1;0;0;¡1) = 1¡x
3
;q2= (0;1;0;¡1) =x¡x
3
ª
Para hallar las coordenadas del polinomiop=¡1 + 2x¡x
3
= (¡1;2;0;¡1) respecto de
dicha base, se procede as¶³:
p= (¡1;2;0;¡1) =®(1;0;0;¡1) +¯(0;1;0;¡1) =)
8
>
>
<
>
>
:
® =¡1
¯= 2
0 = 0
¡®¡¯=¡1
)
½
®=¡1
¯= 2
de dondep=¡q1+ 2q2= (¡1;2)B. En referencia a esta base, y representando un
polinomio arbitrario porp=a+bx+cx
2
+dx
3
= (a; b; c; d), las ecuaciones param¶etricas
e impl¶³citas deL(A) son:
8
>
>
<
>
>
:
a=®
b=¯
c= 0
d=¡®¡¯
;®; ¯2R=)
½
a+b+d= 0
c= 0

10. ¶
Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem¶atica Aplicada, FI-UPM 10
3.Antes de proceder a hallar una base del subespacio generado enM2£2(R) porA=
=
½
M1=
µ
1¡1
0¡1
¶
; M2=
µ
0 0
1 1
¶
; M3=
µ
2¡2
2¡2
¶
; M4=
µ
¡3 3
5 3
¶
; M5=
µ
¡1 1
3 1
¶¾
se expresan los vectores (matrices) respecto de la base usual:
A=
½
M1= (1;¡1;0;¡1); M2= (0;0;1;1); M3= (2;¡2;2;¡2); M4= (¡3;3;5;3);
M5= (¡1;1;3;1)
¾
Entonces
0
B
B
B
B
@
1¡1 0¡1
0 0 1 1
2¡2 2¡2
¡3 3 5 3
¡1 1 3 1
1
C
C
C
C
A
¡!
0
B
B
B
B
@
1¡1 0¡1
0 0 1 1
0 0 2 0
0 0 5 0
0 0 3 0
1
C
C
C
C
A
¡!
0
B
B
B
B
@
1¡1 0¡1
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
1
C
C
C
C
A
¡!
0
B
B
B
B
@
1¡1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
1
C
C
C
C
A
y una base deL(A) esB=
½
N1= (1;¡1;0;0) =
µ
1¡1
0 0
¶
; N2= (0;0;1;0) =
µ
0 0
1 0
¶
; N3= (0;0;0;1) =
µ
0 0
0 1
¶¾
Puesto que la base se ha obtenido llegando hasta la matriz escalonada, ahora es mucho
m¶as f¶acil obtener las coordenadas de una matriz respecto de ella. De esta manera
M=
µ
2¡2
3¡2
¶
= (2;¡2;3;¡2) = 2N1+ 3N2¡2N3= (2;3;¡2)B
En referencia a esta base, y representando una matriz arbitraria por
M=
µ
a b
c d
¶
= (a; b; c; d)
las ecuaciones param¶etricas e impl¶³citas deL(A) son:
8
>
>
<
>
>
:
a=®
b=¡®
c=¯
d=°
;®; ¯; °2R=)a+b= 0
2.18 Proposici¶on
SiV6=f0ges un espacio vectorial con una base formada pornvectores, entonces cualquier
conjunto den+ 1 vectores es linealmente dependiente.
Demostraci¶on: SeaB=fv1; : : : ;vnguna base deVyA=fu1; : : : ;un;un+1g ½V, con
ui=
n
X
j=1
aijvj= (ai1; ai2; : : : ; ain)
B
;1·i·n+ 1

11. ¶
Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem¶atica Aplicada, FI-UPM 11
Para que una combinaci¶on lineal de los vectores deAsea igual al vector cero, se ha de cumplir:
n+1
X
i=1
®iui=
Ã
n+1
X
i=1
ai1®i;
n+1
X
i=1
ai2®i; : : : ;
n+1
X
i=1
ain®i
!
=0()
8
>
>
>
<
>
>
>
:
P
n+1
i=1
ai1®i= 0
P
n+1
i=1
ai2®i= 0
.
.
.
P
n+1
i=1
ain®i= 0
que es un sistema lineal homog¶eneo denecuaciones conn+ 1 inc¶ognitas, y tiene por tanto
in¯nitas soluciones (®1; ®2; : : : ; ®n+1)6= (0;0; : : : ;0). LuegoAes linealmente dependiente.
2.19 Teorema del cardinal o de la dimensi¶on
Todas las bases de un espacio vectorialV6=f0gtienen el mismo n¶umero de elementos (cardinal).
Demostraci¶on: SeanB1=fv1; : : : ;vngyB2=fu1; : : : ;umgdos bases deV. Puesto queB1
es base yB2es linealmente independiente,m·n, y puesto queB2es base yB1es linealmente
independiente,n·m. Luegom=n.
2.20 Dimensi¶on de un espacio vectorial
Se llamadimensi¶onde un espacio vectorialV6=f0g, que se representa por dimV, al cardinal
de una cualquiera de sus bases. La dimensi¶on deV=f0ges cero.
Observaci¶on: Una base de un espacio vectorialV6=f0gde dimensi¶onnest¶a formada por
cualesquieranvectores linealmente independientes.
2.21 Teorema de extensi¶on de la base
SeaV6=f0gun espacio vectorial de dimensi¶onnyA=fv1; : : : ;vrg ½Vun conjunto li-
nealmente independiente der < nvectores. Entonces existenfvr+1; : : : ;vng ½Vtales que
fv1; : : : ;vr;vr+1; : : : ;vnges base deV.
Demostraci¶on: Puesto queAes linealmente independiente y su cardinal esr < n,Ano
es sistema de generadores deV, luego existir¶avr+12Vtal quevr+162L(A). Entonces
A1=A[ fvr+1ges linealmente independiente.
Sir+ 1 =n,A1es base. En caso contrario, se repite el proceso anterior para obtenerA2
linealmente independiente conr+ 2 vectores, y as¶³ sucesivamente.
2.22 Interpretaci¶on geom¶etrica de subespacios
SeanV=R
n
yS½R
n
es un subespacio vectorial.
1.Si dimS= 0,S=f0ges unpunto(el origen).
2.Si dimS= 1,S=L(fug) es larectaque pasa por el origen con vector de direcci¶onu.
3.Si dimS= 2,S=L(fu;vg) es elplanoque pasa por el origen con vectores de direcci¶on
uyv.
4.Si 2< k= dimS < n¡1,Ses unk-planoque pasa por el origen.
5.Si dimS=n¡1,Ses unhiperplanoque pasa por el origen.
6.Si dimS=n,S=R
n
es todo el espacio.

12. ¶
Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem¶atica Aplicada, FI-UPM 12
2.23 Suma e intersecci¶on de subespacios
SiSyTson dos subespacios vectoriales, de un mismo espacio vectorialV, se de¯ne suinter-
secci¶onysumacomo
S\T=fv2V:v2Syv2Tg y S+T=fu+v2V:u2Syv2Tg
respectivamente. Los conjuntosS\TyS+Tson subespacios vectoriales.
Ejemplo
SeanS=f(x; y; z) :y= 0gyT=f(x; y; z) :x¡z= 0gdos subespacios vectoriales deR
3
.
Los vectores deS\Tson aquellos que est¶anSyT, por lo que sus ecuaciones impl¶³citas son la
uni¶on de las de ambos subespacios. Por lo tanto, las ecuaciones y una base deS\Tson
½
y= 0
x¡z= 0
=)
8
<
:
x=®
y= 0
z=®
;®2R=)BS\T=f(1;0;1)g
Un sistema de generadores deS+Tes la uni¶on de una base deScon otra deT. Puesto que
BS=f(1;0;0);(0;0;1)gyBT=f(0;1;0);(1;0;1)g, entonces
0
B
B
@
1 0 0
0 0 1
0 1 0
1 0 1
1
C
C
A
¡!
0
B
B
@
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
1
C
C
A
=)BS+T=fe1;e2;e3g=)S+T=R
3
Se puede observar que la representaci¶on de un vector deS+Tcomo suma de un vector deSy
otro deTno es ¶unica. Por ejemplo,
u= (1;1;1) = (1;0;1) + (0;1;0) = (3;0;3) + (¡2;1;¡2)
siendo, en cada suma, el primer vector deSy el segundo deT.
2.24 Suma directa de subespacios
SiSyTson dos subespacios vectoriales, de un mismo espacio vectorialV, se dice queS+Tes
suma directade los subespaciosSyT, que se representa porS©T, si es ¶unica la expresi¶on
de cada vector de la suma como un vector deSm¶as otro deT.
2.25 Caracterizaci¶on de la suma directa
SeanSyTdos subespacios vectoriales deV. Entonces
La suma deSyTes directa() S\T=f0g
Demostraci¶on:
()) SiS\T6=f0g, entonces existev6=0conv2S\T, de dondev=v+0=0+v, y la
suma no ser¶³a directa.
(() Siu=v1+w1=v2+w2, entoncesv1¡v2=w2¡w12S\T, luegov1¡v2=w2¡w1=0
de dondev1=v2yw1=w2, y la suma ser¶³a directa.

13. ¶
Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem¶atica Aplicada, FI-UPM 13
2.26 F¶ormula de la dimensi¶on
SeanSyTsubespacios vectoriales de un espacio vectorialVde dimensi¶on ¯nita. Entonces
dim(S\T) + dim(S+T) = dimS+ dimT
Demostraci¶on: Si dimS=n, dimT=m, dim(S\T) =ryfv1; : : : ;vrges una base deS\T,
usando el teorema de extensi¶on de la base, sean
BS=fv1; : : : ;vr;vr+1; : : : ;vng y BT=fv1; : : : ;vr;wr+1; : : : ;wmg
bases deSyT, respectivamente. Para demostrar la f¶ormula de la dimensi¶on, es su¯ciente
demostrar que
B=fv1; : : : ;vr;vr+1; : : : ;vn;wr+1; : : : ;wmg
es una base deS+T. En primer lugar,Bes linealmente independiente:
n
X
i=1
®ivi+
m
X
j=r+1
¯jwj=0=)
m
X
j=r+1
¯jwj=¡
n
X
i=1
®ivi2S\T=)
m
X
j=r+1
¯jwj=
r
X
j=1
¯jvj
=)
r
X
j=1
¯jvj¡
m
X
j=r+1
¯jwj=0=)¯j= 0;1·j·m=)¯j= 0; r+ 1·j·m
puesBTes base deT, y entonces
n
X
i=1
®ivi=0=)®i= 0;1·i·n
puesBSes base deS. Finalmente,Bes sistema de generadores deS+T, pues siu2S+T
entonces
u=
n
X
i=1
®ivi+
r
X
i=1
¯ivi+
m
X
i=r+1
¯iwi=
r
X
i=1
(®i+¯i)vi+
n
X
i=r+1
®ivi+
m
X
i=r+1
¯iwi
Ejemplo
EnR
4
se consideran los subespacios vectoriales
S=L(f(1;0;¡1;2);(0;1;1;0)g) yT=L(f(1;0;1;¡1);(0;1;¡1;3)g)
Puesto que
0
B
B
@
1 0¡1 2
0 1 1 0
1 0 1 ¡1
0 1¡1 3
1
C
C
A
¡!
0
B
B
@
1 0¡1 2
0 1 1 0
0 0 2 ¡3
0 0 2 ¡3
1
C
C
A
¡!
0
B
B
@
1 0¡1 2
0 1 1 0
0 0 2 ¡3
0 0 0 0
1
C
C
A
una base deS+TesBS+T=f(1;0;¡1;2);(0;1;1;0);(0;0;2;¡3)g, y sus ecuaciones son:
8
>
>
<
>
>
:
x1=®
x2=¯
x3=¡®+¯+ 2°
x4= 2®¡3°
;®; ¯; °2R=)x1+ 3x2¡3x3¡2x4= 0

14. ¶
Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem¶atica Aplicada, FI-UPM 14
Usando la f¶ormula de la dimensi¶on, dim(S\T) = 2 + 2¡3 = 1. Las ecuaciones impl¶³citas deS
yTson
S´
8
>
>
<
>
>
:
x1=®
x2=¯
x3=¡®+¯
x4= 2®
;®; ¯2R=)
½
x1¡x2+x3= 0
2x1¡x4= 0
T´
8
>
>
<
>
>
:
x1=®
x2=¯
x3=®¡¯
x4=¡®+ 3¯
;®; ¯2R=)
½
x1¡x2¡x3= 0
x1¡3x2+x4= 0
y las ecuaciones y base deS\Tson
8
>
>
<
>
>
:
x1¡x2+x3= 0
2x1¡x4= 0
x1¡x2¡x3= 0
x1¡3x2+x4= 0
=)
8
<
:
x1¡x2= 0
2x2¡x4= 0
x3= 0
=)
8
>
>
<
>
>
:
x1=®
x2=®
x3= 0
x4= 2®
;®2R=)BS\T=f(1;1;0;2)g
2.27 Subespacios suplementarios
Dos subespaciosSyTde un espacio vectorialVse llamansuplementariossiV=S©T.
SiS©T=U V, se dice queSyTson suplementarios enU.
SiV=S©T, entonces dimV= dimS+ dimT. Adem¶as,
½
fv1; : : : ;vrgbase deS
fvr+1; : : : ;vngbase deT
=) fv1; : : : ;vr;vr+1; : : : ;vngbase deV
y tambi¶en:
½
fv1; : : : ;vrgbase deS
fv1; : : : ;vr;vr+1; : : : ;vngbase deV
=)L(fvr+1; : : : ;vng) es suplementario deS