Artificial Intelligence Theory And Applications Endre Pap

Artificial Intelligence Theory And Applications
Endre Pap download
https://ebookbell.com/product/artificial-intelligence-theory-and-
applications-endre-pap-52556890
Explore and download more ebooks at ebookbell.com

Here are some recommended products that we believe you will be
interested in. You can click the link to download.
Artificial Intelligence Theory And Applications Proceedings Of Aita
2023 Volume 2 1st Edition Harish Sharma
https://ebookbell.com/product/artificial-intelligence-theory-and-
applications-proceedings-of-aita-2023-volume-2-1st-edition-harish-
sharma-54781500
Forecasting With Artificial Intelligence Theory And Applications
Mohsen Hamoudia
https://ebookbell.com/product/forecasting-with-artificial-
intelligence-theory-and-applications-mohsen-hamoudia-52408100
Trends In Artificial Intelligence Theory And Applications Artificial
Intelligence Practices 33rd International Conference On Industrial
Engineering And Other Applications Of Applied Intelligent Systems
Ieaaie 2020 Kitakyushu Japan September 2225 1st Ed Hamido Fujita
https://ebookbell.com/product/trends-in-artificial-intelligence-
theory-and-applications-artificial-intelligence-practices-33rd-
international-conference-on-industrial-engineering-and-other-
applications-of-applied-intelligent-systems-ieaaie-2020-kitakyushu-
japan-september-2225-1st-ed-hamido-fujita-22500716
An Intuitive Exploration Of Artificial Intelligence Theory And
Applications Of Deep Learning 1st Ed 2021 Simant Dube
https://ebookbell.com/product/an-intuitive-exploration-of-artificial-
intelligence-theory-and-applications-of-deep-learning-1st-
ed-2021-simant-dube-33093478

Physics Of Artificial Intelligence Theory And Applications Nodrm
Unknown
https://ebookbell.com/product/physics-of-artificial-intelligence-
theory-and-applications-nodrm-unknown-230367864
Artificial Intelligence And Cybersecurity Theory And Applications
Tuomo Sipola
https://ebookbell.com/product/artificial-intelligence-and-
cybersecurity-theory-and-applications-tuomo-sipola-48707190
Artificial Intelligence Systems Based On Hybrid Neural Networks Theory
And Applications 1st Ed Michael Zgurovsky
https://ebookbell.com/product/artificial-intelligence-systems-based-
on-hybrid-neural-networks-theory-and-applications-1st-ed-michael-
zgurovsky-22505842
Artificial Intelligence Theory Models And Applications 1st Edition P
Kaliraj Editor
https://ebookbell.com/product/artificial-intelligence-theory-models-
and-applications-1st-edition-p-kaliraj-editor-34257546
Advances And Trends In Artificial Intelligence Theory And Applications
36th International Conference On Industrial Engineering And Other
Applications Of Applied Intelligent Systems Ieaaie 2023 Shanghai China
July 1922 2023 Proceedings Part I Hamido Fujita
https://ebookbell.com/product/advances-and-trends-in-artificial-
intelligence-theory-and-applications-36th-international-conference-on-
industrial-engineering-and-other-applications-of-applied-intelligent-
systems-ieaaie-2023-shanghai-china-july-1922-2023-proceedings-part-i-
hamido-fujita-232123812

Studies in Computational Intelligence 973
Endre Pap Editor
Artificial
Intelligence:
Theory and
Applications

Studies in Computational Intelligence
Volume 973
Series Editor
Janusz Kacprzyk, Polish Academy of Sciences, Warsaw, Poland

The series “Studies in Computational Intelligence” (SCI) publishes new develop-
ments and advances in the various areas of computational intelligence—quickly and
with a high quality. The intent is to cover the theory, applications, and design
methods of computational intelligence, as embedded in the ﬁelds of engineering,
computer science, physics and life sciences, as well as the methodologies behind
them. The series contains monographs, lecture notes and edited volumes in
computational intelligence spanning the areas of neural networks, connectionist
systems, genetic algorithms, evolutionary computation, artiﬁcial intelligence,
cellular automata, self-organizing systems, soft computing, fuzzy systems, and
hybrid intelligent systems. Of particular value to both the contributors and the
readership are the short publication timeframe and the world-wide distribution,
which enable both wide and rapid dissemination of research output.
Indexed by SCOPUS, DBLP, WTI Frankfurt eG, zbMATH, SCImago.
All books published in the series are submitted for consideration in Web of Science.
More information about this series athttp://www.springer.com/series/7092

Endre Pap
Editor
ArtiﬁcialIntelligence:
TheoryandApplications

Editor
Endre Pap
Singidunum University
Belgrade, Serbia
ISSN 1860-949X ISSN 1860-9503 (electronic)
Studies in Computational Intelligence
ISBN 978-3-030-72710-9 ISBN 978-3-030-72711-6 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-030-72711-6
© The Editor(s) (if applicable) and The Author(s), under exclusive license to Springer Nature
Switzerland AG 2021
This work is subject to copyright. All rights are solely and exclusively licensed by the Publisher, whether
the whole or part of the material is concerned, speciﬁcally the rights of translation, reprinting, reuse
of illustrations, recitation, broadcasting, reproduction on microﬁlms or in any other physical way, and
transmission or information storage and retrieval, electronic adaptation, computer software, or by similar
or dissimilar methodology now known or hereafter developed.
The use of general descriptive names, registered names, trademarks, service marks, etc. in this publication
does not imply, even in the absence of a speciﬁc statement, that such names are exempt from the relevant
protective laws and regulations and therefore free for general use.
The publisher, the authors and the editors are safe to assume that the advice and information in this book
are believed to be true and accurate at the date of publication. Neither the publisher nor the authors or
the editors give a warranty, expressed or implied, with respect to the material contained herein or for any
errors or omissions that may have been made. The publisher remains neutral with regard to jurisdictional
claims in published maps and institutional afﬁliations.
This Springer imprint is published by the registered company Springer Nature Switzerland AG
The registered company address is: Gewerbestrasse 11, 6330 Cham, Switzerland

Preface
Artiﬁcial Intelligence (AI) has become an important part of our everyday life, and
it will continue to grow in importance in the future. Therefore, managing further
developments in AI theory, and its applications in complex systems, is a matter
of urgency. The most important research is in the domains of the human brain and
powerful computers endowed with strong software. These are studied both separately
and together. As Alan Turing said, “What we want is a machine that can learn from
experience.” Machine Learning (ML) is a branch of artiﬁcial intelligence, and is
the study of computer algorithms that allow computer programs to automatically
improve through experience.
The present book is an up-to-date collection of 18 chapters, written by internation-
ally recognized experts in the ﬁelds of AI and environmental research. It is related to
the project ATLAS,https://ai.ipb.ac.rs/, and completed in collaboration with leading
scientists in the ﬁelds of AI and environmental research.
The volume centers on two main subjects, and is therefore organized into two
parts, theory and applications, although all chapters contain both approaches.
Part I of this book is devoted to theoretical issues which are mostly mathematically
based.
The chapter “Mathematical Foundation of Artiﬁcial Intelligence” is devoted to
some of the mathematical tools used in AI, which are largely related to decision-
making. Among the main tools are general aggregation functions (operators) with
some important special cases, such as triangular norms and copulas. A signiﬁcant
extension of classical mathematical analysis is pseudo-analysis, which is illustrated
with a short overview of some of its important applications. General fuzzy measures
and the corresponding integrals, including a number of many different generalizations
of the Choquet integral, are also presented.
The chapter “Collection and Decomposition Integrals in Multicriteria-Decision
Support” focuses on recently introduced collection and decomposition integrals, and
covers the Choquet, the Shilkret and the PAN integrals, among others. It discusses
some properties and contains several examples of these integrals, in particular
ones extending the Lebesgue integral. Possible applications in multicriteria-decision
support and domains containing imprecision and uncertainty are shown.
v

vi Preface
Fig. 1ATLAS project and completed in collaboration with leading scientists
The chapter “A Reﬁnement of the Jensen Type Inequality for the Pseudo-integral”
presents new results related to the Jensen-type inequality for the pseudo-integral,
using the Fubini type result for pseudo-integral. The fact that the pseudo-product
of two pseudo measures reduces to repeated pseudo-integrals, enables obtaining a
reﬁnement of the Jensen-type inequality.
The chapter “Convolutional Neural Networks Hyperparameters Tuning” discusses
image classiﬁcation with convolution neural networks. In this early stage of CNN
development, the common method of tuning CNN is by guessing and estimating,
also known as the guestimating method. Since this is a hard optimization problem,
there is a chance for optimization metaheuristic to be applied. One of the promising
approaches is the application of swarm intelligence algorithms.
In the chapter “The Case for Quantifying Artiﬁcial General Intelligence
with Entropy Semiﬁelds” it is supposed that Information Semiﬁelds are the under-
lying calculi that brains operate on, and it is postulated that strong artiﬁcial intel-
ligence should try to imitate them. These semiﬁelds emerge from pseudo-calculus
by the rational choices of generator functions that respect the classical postulates of
information theory, and align with the Renyi entropy and divergence. The chapter
provides relevant evidence from he ﬁelds of Neuroscience, Machine Learning,
Cognitive Computation, Information Theory and Complex Systems Theory.
The chapter “Fuzzy Metrics and Its Applications in Image Processing” is devoted
to fuzzy metrics and analyzes their application in image processing. Two applications
of fuzzy metrics related to image processing are illustrated: Image ﬁltering and
Copy-move forgery detection in images. The aim was to improve the sharpness
and the quality of the image, as measured by the image quality indices UIQI and
CPBD. Fuzzy metric parameters that give the best image quality and sharpness are

Preface vii
determined experimentally. Copy-Move Forgery Detection (CMFD) is one of the
methods used to detect forgeries.
The chapter “Aggregation Operators and Distributivity Equations” is devoted to
the issue of distributivity of aggregation operators, which is crucial in many different
areas such as decision-making theory and integration theory. The characterization of
all pairs(F; G)of special aggregation operators that satisfy the distributivity law are
given.
The chapter “The Use of Fuzzy Logic in Various Combinatorial Optimization
Problems” presents how fuzzy logic can be used for modeling uncertainties in a
number of combinatorial problems and improve their quality. The focus is on the
Location Set Covering Problem (LSCP), the Maximal Covering Location Problem
(MCLP) and the Minimal Covering Location Problem (MinCLP) as a special modi-
ﬁcation of MCLP. These problems are applicable in searching optimal places for
desired and undesired facilities under given conditions. Firstly, small dimensional
instances of problems will be solved with an exact algorithm and using the CPLEX
optimizer tool. When the dimensions of the problem become too large for exact solu-
tions, the instances will then be solved with the Particle Swarm Optimization (PSO)
metaheuristic.
The chapter “An Improved BAT Algorithm for Solving Job Scheduling Problems
in Hotels and Restaurants” is an improvement to the original Bat Algorithm (BA)
to speed up the convergence has been made. Each solution consists of many param-
eters. To conduct a comprehensive comparative analysis between the original BA,
the modiﬁed BA proposed in this chapter and other state-of-the-art bio143inspired
metaheuristics, the performance of both approaches is evaluated on a standard set
of 23 (unimodal, multimodal and ﬁxed-dimension multimodal) benchmark func-
tions. Subsequently, the modiﬁed BA was applied to solve real-world practical job
scheduling problems in hotels and restaurants.
Part II of the book presents a number of important applications of AI.
In the chapter “Patterns of PCB-138 Bioaccumulation in Small Pelagic
Fish from the Eastern Mediterranean Sea Using Explainable Machine Learning
Prediction” is examined the impact of 17 Fatty Acids (FAs) and 36 toxic organic
and inorganic contaminants on the behavior patterns of the indicator congener PCB-
138 in marine ﬁsh using eXtreme Gradient Boosting (XGBoost), SHapley Additive
exPlanations (SHAP) and SHAP value fuzzy clustering. XGBoost indicated non-
linear relationships between PCB-138 and the other examined variables that were
explained by SHAP values. The ten fuzzy clusters of SHAP values that were obtained
revealed that a higher intake of saturated myristic-C14:0 and margaric-C17:0 acids,
followed by the intake of nutritionally beneﬁcial eicosadienoic acid (C20:2n-6),
mostly doesn’t result in higher bio-accumulation of PCB-138.
In the chapter “Patterns of PCB-138 Occurrence in the Breast Milk of Primiparae
and Multiparae Using SHapley Additive exPlanations Analysis”, a novel SHapley
Additive exPlanations (SHAP) method was used to examine the key parameters
that govern the distribution of PCB-138 in breast milk. According to the results,
PCB-156, PCB-180, HCB, HCH and PCB-118 have a major impact, while PCB-28,
PCB-52 and PCB-189 have a minor impact on PCB-138 distribution in breast milk.

viii Preface
Similar contaminant behaviors, which belong to both the indicator congener group
(−28,−52,−180) and the toxicologically relevant PCBs (−118,−189), were also
noted.
In the chapter “What Information on Volatile Organic Compounds Can Be
Obtained from the Data of a Single Measurement Site Through the Use of Arti-
ﬁcial Intelligence?”, an innovative integrated methodology for the spatio-temporal
characterization and concentration forecasts of various pollutants was used. Toxic,
mutagenic and carcinogenic representatives of volatile organic species—benzene,
toluene, ethylbenzene and xylene, commonly referred to as BTEX—were studied.
Increasing air pollutant concentrations over the last few decades have been the focus
of contemporary scientiﬁc research due to their adverse effects on public health, the
environment and climate change. The methodology is based on receptor-oriented
air circulation modeling and artiﬁcial intelligence, implemented through machine
learning and explainable artiﬁcial intelligence methods. The correlations and ratios
between BTEX compounds were used for estimating their interrelationships and
presence in the air, which contributed to the identiﬁcation of their origin. XGBoost
was efﬁcient at forecasting BTEX levels, with low estimated errors (6–15%) signif-
icantly below the uncertainty obtained by conventional models for the evaluation of
average annual pollutant concentrations.
The chapter “The Linear Fuzzy Space: Theory and Applications” covers the
main theoretical results of the linear fuzzy space. It also analyzes its capabilities
to model spatial and spatio-temporal systems using representative examples of real-
world problems. It contains a brief, yet comprehensive, presentation of linear fuzzy
space theory. The third section presents an analysis of fuzzy linear space theory
concerning the modeling of spatial and temporal systems using two examples which
present its applications in modeling application topology and time series.
The chapter “Image Fuzzy Segmentation Using Aggregated Distance Functions
and Pixel Descriptors” is a review of recent research on image fuzzy segmentation
using a fuzzy c-means clustering algorithm based on the distance function constructed
by applying an aggregation function on the sequence of the initial distance func-
tions and pixel descriptors. In image segmentation algorithms, distance functions
compare pixels and represent a decision criterion for classifying the pixels into image
segments. The segmentation criterion is determined based on the information fusion
process, where the application of the appropriated aggregation function enables the
adjustment of the segmentation criteria according to the intuitively expected decision.
The chapter “A Generative Model for the Creation of Large Synthetic Image
Datasets Used for Distance Estimation” presents a generative model for the creation
of large synthetic image datasets. The model is implemented as a 3D scene, repre-
senting an urban environment in Blender. The images are rendered using the Cycles
rendering engine which allows for the creation of high ﬁdelity data. The data was
used for end-to-end training of a convolutional neural network, designed to estimate
distances from stereoscopic images. The evaluation of the neural networks’ perfor-
mance showed that the generative model presented in this chapter is a viable tool for
the generation of large image datasets for training predictive models.

Preface ix
The chapter “Appraisal of Apartments in Belgrade Using Hedonic Regres-
sion: Model Speciﬁcation, Predictive Performance, Suitability for Mass Appraisal,
and Comparison with Machine Learning Methods” presents a Bayesian hedonic
regression model for the appraisal of apartments located within the metropolitan
area of Belgrade, Serbia. Nested random effects are used to model the hierarchical
structure present in the location identiﬁers, and thin-plate spline functions are used
to capture non-linear effects. Major factors affecting prices include area in m2, ﬂoor
number, the total number of ﬂoors in the building, the availability of an elevator and
condition. The model achieves a Mean Average Percent Error (MAPE) of 13.06%
in the validation set. Its predictive performance is compared to that of three popular
Machine Learning (ML) methods, and its suitability for mass appraisal is examined.
Chapter “The Role of Chatbots in Foreign Language Learning: The Present Situ-
ation and the Future Outlook” is devoted to chatbots, computer programs developed
to engage in conversations with humans. The most natural and potentially powerful
application of chatbots is related to their fundamental nature—language practice.
However, their role and outcomes within both formal and informal language learning
is currently tangential the best. Existing research in the area has generally focused
on chatbots’ comprehensibility and the motivation they inspire in their users. In
this chapter, an overview of chatbots for learning languages is provided, existing
approaches are critically analyzed and major challenges for future research are given.
The chapter “Intelligent Interactive Technologies for Mental Health
and Well-Being” presents intelligent technologies used to automate the assess-
ment and evaluation of psychological treatments and mental well-being and
functioning. The technologies include different types of robots, video games and
conversational agents. The chapter critically analyzes existing solutions with future
research implications.
The book is intended for researchers in AI, and researchers in environmental
sciences as well as for Ph.D. students.
The editor is grateful to the authors for their excellent contributions. Many thanks
go to proofreaders Profs. Jasna Petrovi´c and Luke Deighton Chrisostomides for their
effort to help the volume reach its present form. This book was supported by the
Science Fund of the Republic of Serbia, #Grant No. 6524105, AI-ATLAS.
Belgrade, Serbia
February 2021
Endre Pap

Contents
Theory
Mathematical Foundation of Artiﬁcial Intelligence.................... 3
Endre Pap
Collection and Decomposition Integrals in Multicriteria-Decision
Support.......................................................... 31
Radko Mesiar and Adam Šeliga
A Reﬁnement of the Jensen Type Inequality for the Pseudo-integral.... 47
Mirjana Štrboja, Biljana Mihailovi´c, and Jelena Iveti´c
Convolutional Neural Networks Hyperparameters Tuning............. 65
Eva Tuba, Nebojša Baˇcanin, Ivana Strumberger, and Milan Tuba
The Case for Quantifying Artiﬁcial General Intelligence
with Entropy Semiﬁelds............................................ 85
Francisco J. Valverde-Albacete and Carmen Peláez-Moreno
Fuzzy Metrics and Its Applications in Image Processing............... 99
Nebojša Ralevi´c
Aggregation Operators and Distributivity Equations.................. 121
Dragan Joˇci´c and Ivana Štajner-Papuga
The Use of Fuzzy Logic in Various Combinatorial Optimization
Problems......................................................... 137
Darko Drakuli´c, Aleksandar Takaˇci, and Miroslav Mari´c
An Improved BAT Algorithm for Solving Job Scheduling Problems
in Hotels and Restaurants.......................................... 155
Tarik A. Rashid, Chra I. Shekho Toghramchi, Heja Sindi,
Abeer Alsadoon, Nebojša Baˇcanin, Shahla U. Umar, A. S. Shamsaldin,
and Mokhtar Mohammadi
xi

xii Contents
Applications
Patterns of PCB-138 Bioaccumulation in Small Pelagic
Fish from the Eastern Mediterranean Sea Using Explainable
Machine Learning Prediction....................................... 175
Andreja Stoji´c, Bosiljka Musta´c, Gordana Jovanovi´c,
Jasna Ðinovi´c Stojanovi´c, Mirjana Periši´c, Svetlana Staniši´c,
and Snježana Herceg Romani´c
Patterns of PCB-138 Occurrence in the Breast Milk of Primiparae
and Multiparae Using SHapley Additive exPlanations Analysis........ 191
Gordana Jovanovi´c, Marijana Matek Sari´c, Snježana Herceg Romani´c,
Svetlana Staniši´c, Marija Mitrovi´c Dankulov, Aleksandar Popovi´c,
and Mirjana Periši´c
What Information on Volatile Organic Compounds Can Be
Obtained from the Data of a Single Measurement Site Through
the Use of Artiﬁcial Intelligence?.................................... 207
Svetlana Staniši´c, Mirjana Periši´c, Gordana Jovanovi´c,
Dimitrije Maleti´c, Dušan Vudragovi´c, Ana Vrani´c, and Andreja Stoji´c
The Linear Fuzzy Space: Theory and Applications................... 227
Ðor
-
de Obradovi´c, Zora Konjovi´c, Endre Pap, and Andrej Šoštari´c
Image Fuzzy Segmentation Using Aggregated Distance Functions
and Pixel Descriptors.............................................. 255
Endre Pap, Ljubo Nedovi´c, and Nebojša Ralevi´c
A Generative Model for the Creation of Large Synthetic Image
Datasets Used for Distance Estimation............................... 275
Nebojša Neši´c, Mladen Vidovi´c, Ivan Radosavljevi´c,
Aleksandra Mitrovi´c, and Ðor
-
de Obradovi´c
Appraisal of Apartments in Belgrade Using Hedonic Regression:
Model Speciﬁcation, Predictive Performance, Suitability for Mass
Appraisal, and Comparison with Machine Learning Methods......... 293
Nemanja Staniši´c, Tijana Radojevi´c, and Nenad Stani´c
The Role of Chatbots in Foreign Language Learning: The Present
Situation and the Future Outlook................................... 313
Jasna Petrovi´c and Mla
-
dan Jovanovi´c
Intelligent Interactive Technologies for Mental Health
and Well-Being.................................................... 331
Mla
-
dan Jovanovi´c, Aleksandar Jevremovi´c, and Milica Pejovi´c-Milovanˇcevi´c

Theory

Mathematical Foundation of Artiﬁcial
Intelligence
Endre Pap
AbstractIn this chapter we present some of the mathematical tools used in AI,
mostly related to decision making. One of the main tools are general aggregation
functions (operators) with some special important cases as triangular norms and cop−
ulas. We present brieﬂy some of their important applications. Important extension
of the classical ﬁeld of real numbers is related to the so called pseudo−operations:
pseudo−addition and pseudo−multiplication. Here we present some of the important
cases. Then corresponding pseudo additive measures and corresponding integrals
are introduced, which make the base for the so called pseudo−analysis. The useful−
ness of the pseudo−analysis, which is a approach to nonlinearity, uncertainty and
optimization, is illustrated with a short overview of some important applications.
Very important tools in modeling decision making with overlaped events are general
fuzzy measures and corresponding integrals as Choquet integral. We present a fuzzy
integral approach to Cumulative Prospect theory. Further, we present many different
generalizations of the Choquet integral.
KeywordsArtiﬁcial intelligence
·Aggregation function·Triangular norm·
Copula·Fuzzy logic·Fuzzy sets·Pseudo−analysis·Fuzzy measure·Choquet
integral
·Cumulative Prospect Theory
1 Introduction
Generally there are many different mathematical tools and methods used in AI.
Here we present some of the mathematical tools used in AI, mostly related to deci−
sion making. Some of them will be used in the next chapters. There are also many
other approaches to AI, e.g., with machine learning, see [12], neural networks, with
DeepLearning, genetic algorithms. etc. (but here are also used some of the mathemat−
E. Pap (B)
Singidunum University, Belgrade, Serbia
e−mail:[email protected]
© The Author(s), under exclusive license to Springer Nature Switzerland AG 2021
E. Pap (ed.),Artiﬁcial Intelligence: Theory and Applications,
Studies in Computational Intelligence 973,
https://doi.org/10.1007/978−3−030−72711−6_1
3

4 E. Pap
ical tools presented here, but also as regression analysis, etc.). We will not consider
them here.
First of all one of the main tools are general aggregation functions (operators)
with some special important cases as triangular norms and copulas. We present
brieﬂy some of their applications as dependence of many dimensional distribution
functions, fuzzy logics, fuzzy sets. Important extension of the classical ﬁeld of real
numbers is related to the so called pseudo−operations: pseudo−addition and pseudo−
multiplication. Here we present some of the important cases. Then corresponding
pseudo additive measures and corresponding integrals are introduced, which make
the base for the so called pseudo−analysis. The usefulness of the pseudo−analysis,
which is a approach to nonlinearity, uncertainty and optimization, is illustrated with
a short overview of some important applications: utility theory, nonlinear equations,
fuzzy numbers, information theory, system theory, option pricing, large deviation
principle, physics of the universe.
Very important tools in modeling decision making with overlaped events are
general fuzzy measures and corresponding integrals as Choquet integral and Sugeno
integral. These integrals play important roles in decision making. We present a fuzzy
integral approach to Cumulative Prospect theory. Further, we give many new different
generalizations of the Choquet integral, as nonadditive integrals with new operations,
integral based on sublinear means, superdecomposition integral, integrals deﬁned by
two fuzzy measures.
2 Aggregation Functions
One of the basic tools in AI is the process of combining several numerical values into
a single representative, one is calledaggregation, and the numerical function per−
forming this process is calledaggregation function (aggregation operator), requiring
some natural conditions as monotonicity and boundary conditions. There is large ﬁeld
of application of aggregation: applied mathematics (e.g., probability, statistics, deci−
sion theory), computer sciences (e.g., artiﬁcial intelligence, operations research), as
well as many applied ﬁelds (economy and ﬁnance, pattern recognition and image pro−
cessing, data fusion, multicriteria decision aid, automated reasoning, etc.), see [21,
28,60]. We shall give here only the basic deﬁnition of the aggregagation function
with some basic examples, as triangular norms and copulas.
2.1 General Deﬁnition
We assume that variables are from a common domainI, which is a nonempty real
interval, bounded or not of the extended real number system
R=[−∞,∞],where
we use the convention that 0·∞=0 and∞+(−∞)=−∞.We denote byNthe
set of natural numbers and|V|is the cardinal number of the setV.We have by [21].

Mathematical Foundation of Artiﬁcial Intelligence 5
Deﬁnition 1Anaggregation functioninI
n
is a functionA
(n)
:I
n
→Iwhich satisﬁes
the following conditions
(i) is nondecreasing (in each variable)
(ii) the boundary conditions
inf
x1,...,x n∈I
n
A
(n)
(x1,...,x n)=infIand sup
(x1,...,x n)∈I
n
A
(n)
(x1,...,x n)=supI.
Specialy, forI=[0,1]the condition (ii) reduces onA(0,...,0)=0 andA(1,...,1)
=1.
Example 1(i) One of the mostly used aggregation function is thearithmetic mean,
given by
AM
(n)
(x1,...,x n)=
1
n
n
∞
i=1
xi
is an aggregation function in any domainI
n
.
(ii) Thegeometric meanfunctionGM:I
n
→Iis given by
GM(x
1,...,x n)=
→
n
∈
i=1
xi
∪
1/n
.
The aggregation of a singleton is not an aggregation, therefore we use the following
convention:A
(1)
(x)=x(x∈I).We now introduce the concept of extended aggre−
gation function.
Deﬁnition 2Anextended aggregation functionin∪
n∈NI
n
is a mapping
A:

n∈N
I
n
→
R.
whose restrictionA
(n)
=A| I
ntoI
n
is an aggregation function inI
n
for anyn∈N.
For example, the arithmetic mean as an extended aggregation function is the sequence
(AM
(n)
)n∈N, whereAM
(n)
is deﬁned for alln∈N. Usually in applications important
property of the aggregation function is the continuity, which means that any small
changes in the arguments (possible minor errors) should not make a big change in
the aggregated value (output error). There are many different types of continuity, see
[21]. We remark that in many applications aggregation functions are considered for
special intervalI=[0,1].Many applications can be found in [21,28,60]. Interesting
application of the extended aggregation function on images segmentation can be
found in [13].
One very important application is measuring the air quality, which is characterized
by air quality index (AQI). Namely, ﬁrst there is calculated sub−index (AQI
i) for each
pollutant (SO
2,PM10,PM2.5,NO2,...) by the following linear interpolation formula

6 E. Pap
AC Ii=
I
high−Ilow
Chigh−Cinv
(C−C low)+I low,
whereCis the monitored ambient average concentration of pollutanti;C
lowis the
breakpoint lower than or equal toC;C
highis the breakpoint higher than or equal
toC;andI
lowandI highare the sub−index values corresponding toC lowandC high,
respectively. Under the inﬂuence of the USA for the overall AQI is then taken the
simplest aggregation function
AQI=max(AQI
1,...,AQI n).
There are further investigations for new aggregation functions, which involve the
inﬂuence of all pollutants, see a review in [71].
2.2 Triangular Norm
One of the important special aggregation function in AI is given in the following
deﬁnition, see [21,28].
Deﬁnition 3Atriangular normT(t−norm) is a functionT:[0,1]
2
→[0,1]such
that
(T1)T(x,y)=T(y,x) (commutativity)
(T2)T(x,T(y,z))=T(T(x,y),z)(associativity)
(T3)T(x,y)∞T(x,z)fory∞z(monotonicity)
(T4)T(x,1)=x (boundary condition).
The following are the most importantt−norms
T
M(x,y)=min(x,y),T P(x,y)=xy
T
L(x,y)=max(0,x+y−1),T D(x,y)=
∧
min(x,y)if max(x,y)=1
0 otherwise.
The corresponding dual operationS,t−conorm, is given by
S(x,y)=1−T(1−x,1−y).
Many other importantt−norms andt−conorms can be found in [28], as well as many
important families of them.
We mention here an important application in decision making which is related to
the so called conditional distributivity oft−normTovert−conormS,i.e.,
T(x,S(y,z))=S(T(x,y),T(x,z))forS(y,z)<1.

Mathematical Foundation of Artiﬁcial Intelligence 7
Based on the result [28] of the characterization of the pair(T,S)which satisﬁes
the previous equality, there was obtained in [16,21,58] a generalization of von
Neumann–Morgenstern utility theory.
2.3 Copulas
Important functions that links a multi−dimensional probability distribution function
to its one−dimensional margins is given in the following deﬁnition, see [25,28,52].
Deﬁnition 4A (two−dimensional) copula is a functionC:[0,1]
2
→[0,1]such
that:
(i)C(x,0)=C(0,x)=0 andC(x,1)=C(1,x)=xfor anyx∈[0,1];
(ii)C(x
2,y2)+C(x 1,y1)ωC(x 1,y2)+C(x 2,y1)forx 1λx2andy 1λy2.
IfCis a copula, thenCis non−decreasing in each place and continuous.T
M,TPand
T
Lare associative and commutative copulas. We remark thatS M=max does not
satisfy (ii) in Deﬁnition4, and therefore it is not a copula. We have the boundaries
for arbitrary copulaC:
T
LλCλT M.
Example 2The family of Cuadras–Augé copulas(C
CA
λ
)λ∈[0,1] given by
C
CA
λ
=TM
λ·TP
1−λ
is not associative forλψ=0,1, and therefore it is not a t−norm, but we haveC
CA
0
=TP
andC
CA
1
=TM.
Deﬁnition 5A distribution function is a functionF:[−∞,∞] → [0,1]which is
left−continuous onR, non−decreasing andF(−∞)=0,F(∞)=1.
Let(X,A,P)be a probability measure space andU:Ω→RanA−measurable
function (random variable). Then the functionF
U:[−∞,∞] → [0,1]deﬁned by
F
U(x)=P({ω|ω∈X,U(ω)<x})(=P(U<x))
is a distribution function of the random variableU.Ajoint distribution functionis a
functionJ:[−∞,∞]
2
→[0,1]which is left−continuous onRwithJ(−∞,∞)=
1 and such that for everyx,y,u,v∈[−∞,∞]J(x,−∞)=J(−∞,x)=0 and
J(x,y)+J(u,v)ωJ(x,v)+J(u,y).
For a joint distributionJthe marginal distribution functionsFandGare deﬁned by
F(x)=J(x,∞)andG(x)=J(∞,x).

8 E. Pap
The following main theorem represents by a copula the joint distribution of a
random vector by corresponding marginal distributions.
Theorem 1(Sklar’s theorem)If J is a two-dimensional distribution function with
one-dimensional marginal distribution functions F and G then there exists a copula
Csuch that for all x,y∈R,
J(x,y)=C(F(x),G(y)).
If F and G are continuous thenCis unique; otherwiseCis uniquely determined on
(RangeF)×(RangeG).
We remark that the random variablesU,Vare independent if and only if it is
possible to takeC=T
P. Sklar’s theorem shows that much of the study of joint dis−
tribution functions can be reduced to the investigation of copulas. Therefore copulas
can be used for investigation of the dependence, see [25,52]. The notion of a cop−
ula can be extended tondimensions. Ann−copula is ann−dimensional distribution
function whose support is in the unitn−cube and whose one−dimensional margins
are uniform, see [25,52].
3 Fuzzy Systems
3.1 Fuzzy Logics
We shall show very brieﬂy where in the theory of fuzzy logics and fuzzy sets occur
the preceding operations oft−norms andt−conorms. Taking at−normT, the Zadeh
strong negationngiven byn(x)=1−xand, implicitly, with thet−conormSdual to
Tgiven byS(x,y)=n
∨
T(n(x),n(y)

, we can introduce the basic connectives in a
[0,1]–valued logic:conjunction:x∧
Ty=T(x,y),anddisjunction:x∨ Ty=
S(x,y).Restricting to Boolean (i.e., two–valued) logic with truth values 0 and 1
only, then we obtain the classical logical connectives. As in the classical logic, it
is possible to construct implication, bi–implication with negation, conjunction and
disjunction. Taking into account that in Boolean logic ‘notAorB’ is equivalent to
‘ifAthenB’, one possibility of modelling the implication in a[0,1]–valued logic
(based onT,nandS) is to deﬁne the functionI
T:[0,1]
2
→[0,1]by
I
T(x,y)=S(n(x),y)=n(T(x,n(y)))).
It is clear that in this case thelaw of contraposition I
T(x,y)=I T(n(y),n(x))is
always valid. For the two basict−normsT
M,TLwe obtain the following implications:

Mathematical Foundation of Artiﬁcial Intelligence 9
ITM
(x,y)=
α
y ifx+yω1,
1−xotherwise;
I
TL
(x,y)=
α
1if xλy,
1−x+yotherwise;
Another way of extending the classical binary implication operator (acting on
{0,1})to the unit interval[0,1]uses theresiduation R
T,see[28]. In general,I Tand
R
Tare different (although both are extensions of the Boolean implication), but we
haveI
TL
=RTL
.
3.2 Fuzzy Sets
As the classical set theory is based on the classical logic, so the theory of fuzzy
sets is based on fuzzy logics. The theory of fuzzy sets was introduced by Lotﬁ A.
Zadeh in 1965. Given a (crisp) universeX,afuzzy subset AofX(see, e.g., [28])
is characterized by itsmembership functionμ
A:X→[0,1],where forx∈Xthe
numberμ
A(x)is interpreted as thedegree of membershipofxin the fuzzy setA.
The membership functionμ
Aof a fuzzy subsetAofXis a generalization of the
characteristic function1
B:X→{0,1}of a crisp subsetBofX, assigning the value
1 to all elements ofXwhich belong toB, and the value 0 to all remaining elements
ofX. In order to generalize the Boolean set–theoretical operations likeintersection
andunion, it is quite natural to use triangular norms and conorms. For at−normT
and at−conormS, for any fuzzy subsetsA,Bof the universeX, the membership
functions of theintersection A∩B,theunion A∪Band thecomplement A
c
are
deﬁned by:
μ
A∩B(x)=T(μ A(x),μ B(x)),μ A∪B(x)=S
β
μ A(x),μ B(x)

,
μ
A
c(x)=1−μ A(x).
LetX
1×X2is the crisp Cartesian product of two crisp setsX 1andX 2. Then a
fuzzy relation RonX
1×X2is a fuzzy set onX 1×X2. The notion offuzzy relation
equation, ﬁrst introduced by Sanchez forT
M, is important in many applications,
as for example in automatic control by fuzzy controllers, see [28]. There are many
important practical applications of fuzzy systems, but also in many decision making
problems, see [60].
There is an important application in assessment and prediction of air quality, see
end of Sect.2.1, using fuzzy systems, see [10,69].

10 E. Pap
4 Pseudo-analysis
The ﬁrst traces of the pseudo−analysis goes to Grossman and Katz [22] and Burgin [6]
(see further [7]), then Maslov [38] (see further [36,39]). These ideas were managed
as a complete uniﬁed theory later by E. Pap in his pseudo−analysis, and as a special
case theg−calculus [53,54], see [28,45,46,55,57,59]. The main idea behind the
theory is to replace the usual ﬁeld of real numbers endowed the usual addition and
product, with new operations, so called pseudo−addition and pseudo−multiplication.
The advantage of the pseudo−analysis is to enable to treat in a uniﬁed way three
important problems as nonlinearity, uncertainty and optimization.
4.1 Pseudo-calculus
In this subsection, we recall some notions related to semirings and pseudo−integrals,
which are adopted from [55,57,59]. Let[a,b]be a closed (in some cases can be con−
sidered semiclosed) subinterval of[−∞,∞]. The full order on[a,b]will be denoted
by. A binary operation⊕on[a,b]is pseudo−addition, if it is commutative, non−
decreasing (with respect to) associative and with a zero (neutral) element denoted
by0.Let[a,b]
+⊆[a,b]with0x. A binary operation⊗on[a,b]is pseudo−
multiplication, if it is commutative, positively non−decreasing, i.e.,xyimplies
x⊗zy⊗zfor allz∈[a,b]
+, associative and with unit element1∈[a,b], i.e.,
for eachx∈[a,b],1⊗x=x. We also assume0⊗x=0and⊗is distributive over
⊕, i.e.,x⊗(y⊕z)=(x⊗y)⊕(x⊗z).The structure([a,b],⊕,⊗)is a (real)
semiring. In this paper, all pseudo−operations are supposed to be continuous.
According to considerations of a pair of pan−operations [46,53,55,57], there
are three canonical representations on semirings. For many other interesting cases,
please refer to [4,57].
Case I:Idempotent⊕and not non−idempotent⊗:
x⊕y=sup(x,y),x⊗y=g
−1
(g(x)·g(y)),
whereg:[a,b]→[0,∞]is continuous and strictly increasing bijection, called a
generator. A full order is induced as follows:xy⇔sup(x,y)=y,0=a.A
metric is induced as follows:d(x,y)=|g(x)−g(y)|.
Case II:g−semiring, i.e.:
x⊕y=g
−1
(g(x)+g(y))andx⊗y=g
−1
(g(x)·g(y)),
whereg:[a,b]→[0,∞]is continuous and strictly monotone, called a generator.
(a) Ifgis a strictly increasing generator, then0=a, the usual order induced by
⊕is as follows:xy⇔g(x)∞g(y).
(b) Ifgis a strictly decreasing generator, then0=b, the usual order induced
by⊕as follows:xy⇔g(x)→g(y).A metric is induced as follows:d(x,y)=
|g(x)−g(y)|.

Mathematical Foundation of Artiﬁcial Intelligence 11
Case III:Idempotent⊕and⊗:
x⊕y=x∨y=sup(x,y),x⊗y=x∧y=inf(x,y).
A full order is induced as follows:xy⇔sup(x,y)=yand0=a,1=b.A
metric is induced as follows:d(x,y)=|arctan(x)−arctan(y)|.
LetXbe a non−empty set andAbe aσ−algebra of subsets ofX, i.e.,(X,A)is a
measurable space.
Deﬁnition 6A set−functionm:A→[a,
b]+is a⊕−measureif it satisﬁes the fol−
lowing conditions
(i)m(∅)=0.(if⊕is nonidempotent, i.e.,x⊕xψ=xfor allx∈[a,b].)
(ii)m
β
∞
i=1
Ai

=

∞
i=1
m(Ai)=lim
n→∞

n
i=1
m(Ai)for any sequence(A i)of pair−
wise disjoint sets fromA.
Thepseudo-characteristic functiononA(∅ψ=A⊆X) with values in a semiring
([a,b],⊕,⊗)is deﬁned byχ
A(x)=1forx∈Aand0forx/∈A.Astep (measur-
able) functionis the mappinge:X→[a,b]that has the following representation
e=
n

i=1
ai⊗χAi
fora i∈[a,b],a 1a2··· a nand setsA i∈Aare pairwise disjoint if⊕is
nonidempotent. The above step functionecan be also represented bye=⊕
n
i=1
ai⊗
χ
Ci
,whereX=C 1,C2=∪
n
i=2
Ai,...,C n=An.
We have the following deﬁnition of pseudo−integral [28,53,55,57,59,80]:
Deﬁnition 7Letm:A→[a,b]
+be a⊕−measure.
(i) Thepseudo-integralof a step functione:X→[a,b]is deﬁned by

⊕
X
e⊗dm=
n
⊕
i=1
ai⊗m(A i).
(ii) Thepseudo-integralof a measurable function is deﬁned by

⊕
X
f⊗dm=lim
n→∞

⊕
X
en⊗dm,
where(e
n)is the sequence of step functions such thatd(e n(x),f(x))→0 uniformly
asn→∞.
Remark 1The pseudo−integral of a measurable functionf:X→[a,b]
+can be
equivalently deﬁned by

12 E. Pap

⊕
X
f⊗dm=sup
ef

⊕
X
e⊗dm.
Example 3Let([a,b],⊕,⊗)be ag−semiring. Then the pseudo−integral for a func−
tionf:X→[a,b]reduces to theg−integral [54],

⊕
X
f⊗dm=g
−1
⇔
X
(g◦f)dg◦m
∅
.
Example 4Let([a,b],sup,⊗)be a semiring Case I. Then the pseudo−integral for
a functionf:X→[a,b]is given by, see [38,39,55,57]

sup
X
f⊗dm=sup
x∈X
(f(x)⊗ψ(x))=sup
α∈[a,b]
α⊗m(αf),
where the functionψ:X→[a,b]deﬁnes a sup−measurembym(A)=sup
x∈A
ψ(x),
and(αf)={x∈X|αf(x)}.
It is well known that in the classical mathematical analysis the notion of convo−
lution of functions play important role, as well in many applications. Therefore we
have introduced the notion of pseudo−convolution, see [57,59,63]. LetGbe subset
ofR
n
and∗a commutative binary operation onGsuch that(G,∗)is a cancellative
semigroup with unit elemente.LetG
+={x|x∈G,xωe}be a subsemigroup of
G.
Deﬁnition 8Thepseudo-convolution of the ﬁrst typeof two functionsf:G→
[a,b]andh:G→[a,b]with respect to a⊕−measuremandx∈G
+is given in the
following way
fωh(x)=

⊕
G
x
+
f(u)⊗dm h(v),
forG
x
+
={(u,v)|u∗v=x,v∈G +,u∈G +},andm h=m,where
(i) for the case of sup−measurem(A)=sup
x∈A
h(x);
(ii) for the case of inf−measurem(A)=inf
x∈Ah(x);
(iii) for the case of⊕− measurem, where⊕has an additive generatorgandg◦mis
the Lebesgue measure,dm
h=h⎨dm.
Thesecond type of pseudo-convolution, when(G,∗)is a group, the pseudo−
integral is taken over whole setG:
fωh(x)=

⊕
G
f(x∗(−t))⊗dm h(t).
where(−t)is unique inverse element fortandx∈G.

Mathematical Foundation of Artiﬁcial Intelligence 13
4.2 Applications
We shall mention only some of important applications of the pseudo−analysis. For
more details see [8,9,28,32,38,39,55,57,59,64].
4.2.1 Nonlinear Equations
Pseudo−analysis is applied for solving nonlinear equations (ODE, PDE, difference
equations, etc.) using the pseudo−superposition principle [38,39,57,59], which
means that ifu
1andu 2are solutions of the considered nonlinear equation, then
alsoa
1⊗u1⊕a2⊗u2is a solution for any constantsa 1anda 2from[a,b].There
was obtained an exact solutions of the Burgers equation, as well as for the general
Hamilton–Jacobi equations, where the nonlinear Hamiltonian is not smooth, but it
is important in control theory, see [38,39,57].
4.2.2 Fuzzy Numbers
Generally, a fuzzy number is a fuzzy subset (represented by its membership function
μ
A:R→[0,1]) of the real lineR,see[28]. More precisely.
Deﬁnition 9LetAbe a fuzzy subset of the real line.Ais afuzzy numberif it is
normalized and convex, i.e., ifA(x)=1forsomex∈Rand for allx,y,z∈Rsuch
thatx<y<z,itisA(y)ωmin(A(x),A(z)).
Depending on applications there are used different types of fuzzy numbers.
Example 5AnLR-fuzzy number A=(a,α,β)
L,Ris a function from reals into the
interval[0,1]satisfying
A(x)=
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
R
ω
x−a
β
χ
ifaλxλa+β,
L
ω
a−x
α
χ
ifa−αλxλa,
0 otherwise ,
wherea∈Ris the center,α>0 is the left spread,β>0 is the right spread ofA,
LandRare non−increasing and continuous functions from[0,1]to[0,1]satisfying
L(0)=R(0)=1 andL(1)=R(1)=0.
The arithmetical operations with fuzzy numbers are based on Zadeh’s extension
principle (see [28]): LetTbe ant−norm and∗a binary operation onR. Then the
operation∗is extended to fuzzy numbersAandBby
A∗
TB(z)=sup
x∗y=z
T(A(x),B(y))

14 E. Pap
forz∈R.Some usual operations with fuzzy numbers are following: addition is
obtained for∗=+:A⊕
TB(z)=sup
x+y=z
T(A(x),B(y)),multiplication for∗=
·:A⎨
TB(z)=sup
x·y=z
T(A(x),B(y)).Multiplication and addition are generalized
pseudo−convolutions of the second type based on the semiring([0,1],max,T).
For the practical computations it is natural to preserve the shape of fuzzy numbers
during the arithmetic operations. Preserved shape allows us to control the resulting
spread while working with fuzzy numbers. In the sense of generalized pseudo−
convolution, preserving the shape means that generalized pseudo−convolution is
closed operation on certain family of functions. For some special shapes, there exist
some specialt−norms preserving that shape (see [28]).
4.2.3 Information Theory
The information theory based on the notion of a probability has been introduced in
1948 by Wiener and Shannon (see for more details the chapter of Sander in [56]
and [28]). Let(X,A,P)be a probability space. The mappingJ:A→[0,∞]is
called an information measure if for an eventA∈Awe haveJ(A)=−logP(A).
Axiomatization of information measure has been introduced in 1967 by Kampe de
Feriet and Forte (see [28]).
Deﬁnition 10Let(X,A)be a probability space. Then the following mappingJ:
A→[0,∞]is called aninformation measureif it satisfy the following conditions:
(I1)J(X)=0,
J(∅)=∞;
(I2)B⊂AimpliesJ(B)ωJ(A);
(I3) ifAandBare independent in the sense of Banach–Marczewski, then
J(A∩B)=J(A)+J(B);
(I4)J(A∪B)=F(J(A),J(B))wheneverA∩B=∅for a two−place functionF;
(I5)J(

∞
i=1
Ai)=lim n→∞J(

n
i=1
Ai).
Usually, forFare required: 1. continuity, 2. symmetry (F(x,y)=F(y,x)), 3. asso−
ciativity (F(F(x,y),z)=F(x,F(y,z))), 4. monotonicity (Fis non−decreasing in
both components), 5. neutral element. (F(x,∞)=x). Schweizer and Sklar, in 1969,
proposed that informationJtakes for value a random variable on[0,∞]instead of a
non−negative real number, see [26]. LetSbe a continuoust−conorm. Then functions
Π
S(H,G,x)=S(H(x),G(x)),τ S(H,G,x)=sup
u+v=x
S(H(u),G(v)),
whereu,v,x∈[0,∞]andH,Gare distributions on[0,∞],fulﬁll the required
axiom. The second one is an pseudo−convolution of the ﬁrst type with respect to
(max,S).

Mathematical Foundation of Artiﬁcial Intelligence 15
4.2.4 System Theory
Pseudo−convolutions are also important tools in the system theory, see [3,39]. There
is a numbering mechanism which assigns a number to each event in order of these
events taking place. We start with an initial ﬁnite valuek
0∈Z(whereZis set of all
integers). There is a special type of event that corresponds to ticks of an absolute
clock. These ticks are numbered in increasing order, starting from some valuet
0∈Z.
Mapping fromZintoZsuch that graph is the set of all pairs (event number, clock
value) isdaterassociated with a certain type of event.
Deﬁnition 11Asignal uis a mapping from(R,+,·)into([−∞,∞],max,+).
When a signal is a nondecreasing function it is called adater.
Daterdmay not be strictly increasing since events of the same type may occur
simultaneously. We have
d(k)=
⎧
⎨
⎩
−∞ whenk<k
0,
∞ event never took place
any ﬁnite value otherwise.
Domain ofdmay be extended by settingd(−∞)=−∞andd(∞)=∞.The semir−
ing for the range ofdis([−∞,∞],max,+).Now, pseudo−addition is the conven−
tional pointwise maximum: (d
1⊕d2)(k)=max(d 1(k),d 2(k)).Pseudo−
multiplication is:
(d
1⊗d2)(k)=sup
l∈Z
(d1(l)+d 2(k−l))
and that is a pseudo−convolution of the second type (integral is taken over whole
groupZ)for⊕=max,⊗=+and∗=+.One of elementary systems isshiftΓ
g
.
This system maps inputs to outputs according to the equationy(k)=u(k−g)for
allk, whereuis a signal.
Deﬁnition 12A linear systemSis calledshift-invariantif it commutes with all shift
operators, that is if for alluand for allc,S
→
Γ
c
(u)
∪
=Γ
c
→
S(u)
∪
.
Important fact is that in the shift−invariant case the input−output relation can be
expressed as follows:y(k)=sup
s∈R
→
h(k−s)+u(s)
∪
,i.e., the pseudo−convolution
of the second type (for⊕=max,⊗=+and∗=+), analogously in the same way
as the classical convolution in conventional system theory.
4.2.5 Option Pricing
The famous Black–Sholes and Cox–Ross–Rubinstein formulas from 1979 are basic
results in the recent theory of option pricing in ﬁnancial mathematics. They are
usually obtained by stochastic analysis. The systematic deterministic approach with

16 E. Pap
pseudo−analysis (more precisaly with idempotent analysis) to the option pricing leads
to a different type of generalizations of Black–Sholes and Cox–Ross–Rubinstein for−
mulas characterized by more rough assumptions on common stocks evolution (which
are therefore easier to verify) [32], see [57]. This approach reduces the analysis of
the option pricing to the study of certain homogeneous nonexpansive maps, which
are “strongly” inﬁnite dimensional. It was shown using exclusively deterministic
arguments by pseudo−analysis that the hedge exists and is the same for both cases
whenever the functionfis nondecreasing and convex (possibly not strictly). This
approach allows to obtain some generalizations of the standard Black–Sholes formula
and reduces the analysis of derivative securities pricing to the study of homogeneous
nonexpansive maps, which act in inﬁnite dimensional spaces.
4.2.6 Large Deviation Principle
We shall explain here brieﬂy the connection between probability and idempotent
measures, which is given by the large deviation principle. LetXbe a topological
space andAbe the algebra of its Borel sets.
Deﬁnition 13One says that a family of probabilities(P
ε),ε>0, on(X,A)has the
large deviation principleif there exists arate function I:X→[0,∞]such that
(i)Iis lower semi−continuous andX
a={x∈X|I(x)λa}is a compact set for
anya<∞,
(ii)−lim sup
ε→0
εlogP ε(C)ωinf ω∈CI(ω)for each closed setC⊂X,
(iii)−lim inf
ε→0εlogP ε(U)λinf x∈UI(x)for each open setU⊂X.
Thenm(A)=inf
x∈AI(x)is a positive inf−measure onA. Therefore, it was quite
natural to generalize the previous deﬁnition to weak large deviation principle [64].
Then by an idempotent version of the Riesz type theorem it was proved that the large
deviation principle and its weak version are actually equivalent for some (rather
general) “good” spacesX,see[64].
4.2.7 Physics of the Universe
In some situations there are physical quantities whose arithmetic is not the standard
one, e.g., velocities in special relativity are added by means of withg(x)=tanh
−1
(x),
see forgSect.4.1, as well as a parallel conﬁguration of resistors is a resistor whose
resistance is computed by means of the harmonic addition withg(x)=
1
x
.
Very recent applications of pseudo−analysis was obtained in physics of the uni−
verse [8,9]. We present only the motivations of these papers. At this times, the
space−time physics is at crossroads. The experimental value of the cosmological con−
stant is some 10
120
smaller than its theoretical estimate (Weinberg 1989)—probably
the worst disagreement between theory and experiment in history of science. Prob−
lems with dark energy and dark matter may indicate that physics is geometry and
arithmetic. Can we understand the equality

Mathematical Foundation of Artiﬁcial Intelligence 17
2
100
100
100
+2
100
100
100
=2
100
100
100
+1
?
Using today supercomputers we cannot process numbers greater than the so−called
machine inﬁnity, a ﬁnite numberN
1which does not increase if we add 1 to it, i.e.,
N
1<∞andN 1+1=N 1.This type of arithmetic is either inconsistent, or non−
Diophantine (named by [8,22]). Non−Diophantine arithmetic and the non−Newtonian
calculus (pseudo−analysis) implies automatically to two types of “dark universes”:
the ones where super−small and super−large physical quantities behave differently
even though they satisfy the same physical laws, and those identiﬁed with zero−
measure sets whose physics is equipped with the usual laws, but which are invisible
from the point of view of standard quantum measurements. Papers [8,9] give hints
to the arguments that the problems with dark energy and dark matter look like an
experimental indication that the arithmetic we all work with is not necessarily the
one preferred by Nature.
5 Fuzzy Measures and Corresponding Integrals
The non−additive integrals based on fuzzy measures have numerous applications in
many disciplines of mathematics, engineering and economics, especially in the prob−
lems that some aggregation procedure, optimization and modeling risk and uncer−
tainty have been required, and the most popular among them is the Choquet integral
[1,5,11,14,19,20,55,65,66,72,74–76]. The monotone non−decreasing set
functions, vanishing at the empty set in the literature appear under different names−
among others, monotone measures, non−additive measures, fuzzy measures or capac−
ities. The Choquet integral is an important aggregation function, which enable non−
probabilistic modeling. One of its advantage is to enable modeling dependent events.
Choquet integral [11], see [4,14,20,55], is given by
I(μ,f)=(C)

fdμ=

∞
0
μ({fωt})dt,
wheref:X→[0,∞[is a bounded measurable function andμ:A→[0,∞]is
a monotone measure (fuzzy measure) satisfying the following conditions on aσ−
algebraAof a given setX:(i)μ(∅)=0, (ii)μ(A)λμ(B)wheneverA⊆Band
A,B∈A. The integral on the right−hand side is the improper Riemann integral, the
functionh
f(x)=m({w|f(w)ωx}),xω0, is non−increasing and non−negative,
hence, Riemann−integrable. Many of important applications of Choquet integral
require further generalizations, see Sect.7.
In analogy with Choquet integral, but with different operations, Sugeno introduced
in 1974 [68] a new type of integral, with old traces by Ky Fan from 1944, see [20,
55,76].

18 E. Pap
Deﬁnition 14Letμbe a fuzzy measure onX, andf:X→[0,μ(X)].TheSugeno
integraloffwith respect toμis deﬁned by
(S)

fdμ=sup
α∈[0,μ(X)]
(α∧μ({x|f(x)>α}))
6 Decision Making Based on Non-additive Measures and
Integrals
One of the important application of aggregation functions, and specially useful non−
additive measures and corresponding integrals is related to decision theory, see [14,
20,21,76]. Making decision often means to aggregate scores or preferences on
a given set of alternatives, where the scores or preferences were obtained from
several decision makers, voters, experts, etc., or represent different points of view,
criteria, objectives, etc. This implies decision under multiple criteria or multiple
attributes, multiperson decision making, and multiobjective optimization. Approach
with non−additive measures and corresponding integrals enables to model situations
with dependent inputs, using many different types of interaction indices, see [20,
76].
In decision theory, further step is the consideration under the bipolar perspec−
tive. The integrals which can be viewed as generalization of the asymmetric Cho−
quet integral, based on the concept of symmetric pseudo−operations on the interval
[−a,a]⊆[−∞,∞], have been studied in [24,47]. The universal integral, recently
proposed in [30], generalizes the Choquet, Shilkret and Sugeno integrals, and very
recently, in [24] the concept of the discrete universal integral has been proposed in
the bipolar formulation. Here we shall present only a one part of decision theory.
Cumulative Prospect Theory (CPT) proposed in [72] is the numerical model for
comparing two decisions amounts regarding two pairs of sets, the positive and neg−
ative features of the alternatives. In general, CPT is the integral−based model for
a representation of the utility functionalI, deﬁned on the class of prospects (A−
measurable functions, fromXtoR), where a universal setXis a state of nature
((X,A)is a measurable space), based on the difference of the Choquet integrals
with respect to fuzzy measuresm
+
andm
−
. In actuarial science, the integral−based
premium principles have been widely used for calculation insurance prices, we will
mention some of them: the distortion premium principle, the CPT premium principle,
the exponential premium principle, theg−integral based premium principle, we refer
the reader to [23,27,37,73,75,79]. The bipolar models for decision making were
observed in [20]. In actuarial science, the necessity of new premium principles able
to model the bipolarity based on the concept of CPT has appeared [27]. Based on
apparatus of non−additive measure theory, the main goal of the approach presented
here, see [48], is to propose the CPT−like integral−based premium principle which
can be viewed as the common frame for the distortion premium principle, the general

Mathematical Foundation of Artiﬁcial Intelligence 19
CPT premium principle and the mean premium principle. We present here only a
small part of [48].
6.1 Integral-Based Premium Principles
Let us consider a classFofinsurance risks,f:X→R(random variables) on a
measurable space(X,A),whereAis aσ−algebra of subsets ofX,P:A→[0,1]is
a probability measure, andF
+
denotes the class of all non−negative insurance risks.
LetMdenotes the class of all fuzzy measures on the measurable space(X,A).We
say that a set functionm:A→[0,∞[,isa fuzzy measureif it satisﬁesm(∅)=0,
m(X)>0 and for allA,B∈Asuch thatA⊆Bit holdsm(A)λm(B).Let
M
bdenotes class of all fuzzy measures such thatm(X)=b,whereb∈]0,∞[.If
m(X)=1 we say that a fuzzy measure isnormalized. Obviously, ifmis aσ−additive
normalized fuzzy measure then it is a probability measure. Ifmis aσ−additive fuzzy
measure then it is a measure. Recall thata dual set functionofm,m∈M
b,isaset
function
m:A→[0,∞[deﬁned for allA∈Aby:
m(A)=m(X)−m(X\A).
Obviously, it holdsm∈M b. In the case thatX={x 1,x2,...,x n}the monotone
integral reduces to the following form:
I(f,m)=
n
λ
i=1
β
f
β
x
α(i)

−f
β
x
α(i−1)

m
β
A
α(i)

,
whereαdenotes a permutation such that 0λf
β
x
α(1)

λ···λf
β
x
α(n)

λ1,
f
β
x
α(0)

=0 andA
α(i)={x α(i),...,x α(n)}. Recall some types of the integral−
based premium principles widely studied in the literature: (wheref
+
=f∨0 and
f
−
=(−f)∨0, avoiding∞−∞):
Example 6(i)The net premium principle,forf∈Fand a probability measure
P∈M
1:
E(f)=Π
N(f,P,P)=I(f
+
,P)−I(f
−
,P).
(ii)The asymmetric Choquet integral-based premium principle, deﬁned forf∈F
and a fuzzy measurem∈M
bby:
Π
AC H(f,m,m)=I(f
+
,m)−I(f
−
,
m),
wheremis a dual set function ofm.
(iii)The distortion premium principle, deﬁned forf∈Fandm∈M
1by:
Π
DPP(f,m,m)=I(f
+
,m)−I(f
−
,
m),

20 E. Pap
wherem=g◦Pfor a non−decreasing distortion functiong:[0,1]→[0,1],
g(0)=0,g(1)=1.
(iv)The general CPT premium principle,forf∈Fand fuzzy measuresm
1,m2∈
M
b:
Π
CPT(f,m 1,m2)=I(f
+
,m1)−I(f
−
,
m2),
(as a special casem
i=gi◦Pfor non−decreasing distortion functionsg i:
[0,1]→[0,∞[,g
i(0)=0,i=1,2).
Remark 2(i) The asymmetric Choquet integral−based premium principle is asym−
metric, in the sense that for allf∈Fwe haveΠ(−f,m,m)=−Π(f,
m,m),
while, e.g.,the symmetric Choquet integral-based premium principle, deﬁned
forf∈Fand a fuzzy measurem∈M
bby:
Π
SC H(f,m,m)=I(f
+
,m)−I(f
−
,m)
in general, is not the asymmetric premium principle. It is asymmetric iffmis
additive.
(ii) If we deﬁne functionalsU(f,m
1,m2)=Π (∗)(u(f),m 1,m2), for all the above
premium principles, whereudenotes non−decreasing (strictly increasing) utility
function,u(0)=0, (by replacingI(f,m)withI(u(f),m)in all above for−
mulae) we obtain the integral−based premium principles from Von Neumann
and Morgenstern utility theory. Notice, that in the case of the sign−dependent
premium principles, different utility functionsu
1,u2,ui(0)=0,i=1,2 can
be considered. For more details about this integral−based premium principles,
appropriate for calculation insurance prices in a competitive market setting, we
refer to [65,72,74,78].
The asymmetric premium principles have this form:
Π(f,m
1,m2)=I(f
+
,m1)−I(f
−
,
m2).
On the other hand, some premium principle are not in the previous form, although
they have representation in the terms of the monotone integral.
Example 7(i) Forf∈F, a probability measureP∈M
1and an increasing real−
valued functionφ,φ(0)=0,the mean premium principleis deﬁned by:
π
M(f)=φ
−1
(I(φ(f),P)).
(ii) Forf∈F, a probability measureP∈M
1andα>0,the exponential premium
principleis deﬁned by:
π
exp(f)=
1
α
ln(I(e
αf
,P)).

Mathematical Foundation of Artiﬁcial Intelligence 21
6.2 General CPT-Like Integral-Based Premium Principle
We say thatthe integral-based premium principleis any rule (a real−valued functional)
Π:F×M×M→Rfor assigning a premium (a real−value)Π(f,m
1,m2)to an
insurance risk (a random variable)f:X→R.LetF
adenotes the class of insurance
risksf:X→[−a,a],a∈
R
+
and with the notations introduced in the previous
section, we have the next deﬁnition:
Deﬁnition 15The CPT-like integral-based premium principleΠ
CPTφ
:Fa×M b×
M
b→Rfor an insurance riskf∈F a, andm 1,m2∈M b, is deﬁned by:
Π
CPTφ
(f,m 1,m2)=φ
−1
β
I(φ(f
+
),m1)−I(φ(f
−
),
m2)

,
for an odd, increasing, continuous functionφ:[−a,a]→[−∞,∞],φ(0)=0,
φ(a)=∞, with the convention∞−∞=∞ .
Remark 3(i) Ifφ(x)=x,andm
1=m2=Pis a probability measure thenΠ CPTφ
=Π N, i.e. coincides with the mathematical expectationE(f)of a random variable
f.
(ii) Ifm
1=m2=Pis a probability measure thenΠ CPTφ
=πM, i.e. it coincides with
the mean premium principle of a random variablef.
(iii) If we consider only non−negative risksf∈F
+
1
, withφ(x)=e
αx
−1, andm 1=
P,wehaveΠ
CPTφ
=πexp.
It was shown in [48] that our CPT−like integral−based premium principle from
Deﬁnition15is appropriate for solving the decision problem which was not possible
to handle with previous types of CPT integrals.
7 Recent Generalizations of the Choquet Integral
We present some generalizations of the Choquet integral, see also [62]. First general−
ization is based on pseudo−operations. Second generalization of the Choquet integral
is based on sublinear means [15,61] (Sect.7.2). The third generalization is based
on different collection of ﬁnite systems [35,44] (Sect.7.3). Fourth generalization is
based on two fuzzy measures, one of which is pseudo−additive [81] (Sect.7.4).
7.1 Fuzzy Integral with Pseudo-operations
Applying pseudo−analysis approach on general monotone set functions (fuzzy mea−
sures) we can replace in the Choquet integral the usual addition and multiplication
by pseudo−addition and pseudo−multiplication, see [4,76].

22 E. Pap
Deﬁnition 16Letμ:A→[a,b] +be a fuzzy measure.
(i) The generalized fuzzy integral of a step functione:X→[a,b]
+is deﬁned by
(G)

⊕
X
e⊗dμ=
n

i=1
ai⊗μ(C i).
(ii) The generalized fuzzy integral of a measurable functionf:X→[a,b]
+is
deﬁned by
(G)

⊕
X
f⊗dμ=sup
ef

⊕
X
e⊗dμ.
Remark 4There are also some other kinds of interesting integrals based on pseudo−
operations (or pan−operations), such as the pan−integral [4,77], pseudo−concave
integrals (for ag−addition andg−multiplication) [41] which cover concave integrals
[35], and the generalized Lebesgue integral [76] which can cover (S) fuzzy integral,
(N)fuzzy integral and Lebesgue integral.
7.2 Choquet Integral Based on Sublinear Means
This part is based on the papers [15,61]. We use the notions from [21,33]. First, we
consider the ﬁnite case. LetN={1,2,...,n}.
Deﬁnition 17A monotone measureμ:2
N
→[0,∞]is a submeasure if it satisﬁes
(i)μ(∅)=0.
(ii) (Monotonicity)E,F∈2
N
andE⊂Fimplyμ(E)λμ(F).
(iii) (Subadditivity)E,F∈2
N
andμ(E∪F)λμ(E)+μ(F).
LetM:[0,∞]
n
→[0,∞]
2
N
be a mean. We have forx∈R
n
+
andE⊆N,where
E={i
1,i2,...,i s}andi 1λ···λi s,that
M(x)(E)=M(x
i1
,xi2
,...,x is
).
Deﬁnition 18A meanM:[0,∞]
n
→[0,∞]
2
N
is sublinear if for everyE⊆N
(i) (Monotonicity)xλy⇒M(x)(E)λM(y)(E).
(ii) (Homogenity)M(αx)(E)=αM(x)(E)for allαω0.
(iii) (Subadditivity)M(x+y)(E)λM(x)(E)+M(y)(E).
We have the following examples of sublinear means: the weighted sum, geometric
mean, quasi arithmetical mean (see [21], forfstrictly mononotone increasing is a
sublinear mean if and only iffis sublinear function), the Choquet integral forμa
submeasure (see [14,55,56]), the convex integral [44].

Mathematical Foundation of Artiﬁcial Intelligence 23
Deﬁnition 19Letμbe a submeasure and letMbe a sublinear mean. Then we deﬁne
(MC)

xdμ=

maxi∈NMi(x)
0
μ({i∈N|M i(x)ωt})dt,
whereM
i(x)=M(x 1,x2,...,x i).
The (MC) integral with respect to submeasureμandx∈R
n
+
can be written in the
following form
(MC)

xdμ=
n
λ
i=1
(Mσ(i)(x)−M σ(i−1)(x))μ({σ(i),...,σ(n)}),
with a permutationσsuch thatM
σ(1)(x)λM σ(2)(x)λ···λM σ(n)(x)and the con−
ventionM
σ(0)(x)=0.
Example 8(i) TakingMsuch thatM
i(x)=x ifori=1,2,...,n,we obtain the
Choquet integral.
(ii) TakingM(x)=(C)

xdμ,for a submeasureμ,we obtain the multilevel Chou−
quet integral, see [50].
(iii) The geometrical mean can not be represented by Choquet integral but as a sub−
linear mean it can be used in an (MC) integral construction.
Theorem 2The (MC) integral is monotone, homogeneous and subadditive.
We deﬁne forx∈R
n
+
xL
∞
(N,M) =maxE∈2
NM(x)(E).Letμ:2
N
→[0,∞]
be a submeasure and 0<p<∞.Then we deﬁne forx∈R
n
+
the following norms
x
L
p
(N,M) =
⇒
n
λ
i=1
β
M
σ(i)(x)
p
−M σ(i−1)(x)
p

μ({σ(i),...,σ(n)}

1/p
,
x
L
p,∞
(N,M) =
⇔
max
i∈{1,...,n}
Mσ(i)(x)
p
μ({σ(i),...,σ(n)}
∅
1/p
,
with a permutationσsuch thatM
σ(1)(x)
p
λM σ(2)(x)
p
λ···λM σ(n)(x)
p
and the
conventionM
σ(0)(x)=0.Choquet−like integral [40] and integrals introduced in [50],
see [21], are related to previous deﬁnitions of norms. We introduceL
∞
(N,M),
L
p
(N,M)andL
p,∞
(N,M)the spaces of elementsx∈R
n
+
endowed with norms
x
L
∞
(N,M),x L
p
(N,M)andx L
p,∞
(N,M),respectively.
Further investigation was extended on the inﬁnite case, which is much more com−
plex, see [1,15], using outer measures which are monotone and countable subaddi−
tive. TheL
p
theory for outer measure is very useful in the investigations of singular
integrals, e.g., Carleson embedding theory and in time frequence analysis, see [1,
15].

24 E. Pap
7.3 Superdecomposition Integral
This section is based on [17,34,35,44]. For a ﬁxed measurable space(X,A)denote
byXthe set of all collection systemsH,whereC⊆A\{∅}is acollectionwhenever
it is ﬁnite. Taking(X,A)we denote byMthe set of all monotone measures on(X,A)
and withFthe set of all bounded measurable functionsf:X→[0,∞[.
Deﬁnition 20LetH∈Xbe ﬁxed. Then the mappingI
H
:M×F→[0,∞]given
by
I
H
(μ,f)=inf
⊇
λ
A∈C
aA·μ(A)|C∈H,a Aω0 for eachA∈C,
λ
A∈C
aA1Aωf
≺
is called a superdecomposition integral.
It is obvious that each superdecomposition integralI
H
is positively homogeneous
and increasing in each coordinate.
Example 9(i) TakingH
1={{A}|A∈A}we obtain
I
H1
(μ,f)=inf{a·μ(A)|A∈A,a·1 Aωf}
=sup{f(x)|x∈X}·μ({f>0}).
Remark that ifμhas no non−trivial null−sets, i.e.,m(A)=0 only ifA=∅,then
I
H1
coincide with the greatest universal integral (see [30]) related to the product
as underlying multiplication.
(ii) TakingH
2={C|Cis a ﬁnite chain inA},i.e,Cis a ﬁnite chain inAif and only
if there is an integerkandC={A
1,...,A k}⊂AsatisﬁesA 1⊂A2⊂···⊂
A
k,we obtain theI
H2
is the Choquet integral.
Related the order we have that forH,G⊆Xsuch thatH⊆G,I
H
ωI
G
,i.e.,
for eachm∈Mandf∈Fit holdsI
H
(μ,f)ωI
G
(μ,f).Specially forH 3={G|
Gis a ﬁnite subset ofA},it holdsH
3⊇Hfor eachH∈X,and thereforeI
H3
λI
H
,
i.e.,I
H3
is the smallest superdecomposition integral. For further results and proofs
see [44].
We compare in [44] superdecomposition integral with the decomposition integrals
[17,35], which is based on a systemHof ﬁnite set systems fromA\{∅}(called
collections in [17]),
I
H(m,f)=sup
⊇
λ
i∈I
aim(Ai)|(A i)i∈I∈H,
λ
i∈I
ai1Ai
λf
≺
,
where all constantsa
i,i∈I,are non−negative. Depending onH,several classical
integrals can be constructed. For example, for a ﬁxed measurable space(X,A)I
H1
is Shilkret integral [67],I H2
is a Choquet integral,I H3
is the concave integral [34].
For more details see [17,44].

Mathematical Foundation of Artiﬁcial Intelligence 25
7.4 Choquet Integral Based on Two Fuzzy Measures
We use some notions and notations from [53–55,57]. For more details see [55,57].
Now we present some of the results obtained recently in [81], for more results and
proofs see there.
Deﬁnition 21Given a semiring([a,b],⊕,⊗).Letμ:A→[a,b]
+be a fuzzy mea−
sure andm:Borel([a,b])→[a,b]be an⊕−measure. The generalized Choquet
integral of a nonnegative measurable functionf:X→[a,b]
+with respect toμ,m
overA∈Ais given by
(C
μ,m)

⊕
A
f⊗d(μ,m)=

⊕
[a,b]
+
μ(A∩(t≺f))⊗dm(t).
ForX=Awe use the notation(C
μ,m)

⊕
f⊗d(μ,m).
Example 10For a measurable functionf:X→[0,∞], a fuzzy measureμ:
A→[0,∞]andA∈A, we denote by(f>t)={x∈X|f(x)>t}and Mesiar’s
Choquet−like integral [40] is given by
(ˆC)

A
fdμ=(SM)

ˆ+
[0,∞]
μ(A∩(f>t))ˆ·dλ ˆ+,
where the right−hand side integral is Sugeno and Murofushi’s pseudo−additive inte−
gral based on the structure([0,∞],ˆ+,ˆ·),see[70]. Taking([0,∞],ˆ+,ˆ·), and
m:Borel([0,∞])→[0,∞]aˆ+measure, then the generalized Choquet integral
reduces to the integral(ˆC)

A
.
Proposition 1The generalized Choquet integral has the following properties:
(i) f=0orμ(A)=0implies(C
μ,m)

⊕
A
f⊗d(μ,m)=0;
(ii) fgimplies(C
μ,m)

⊕
A
f⊗d(μ,m)(C μ,m)

⊕
A
g⊗d(μ,m);
(iii) A⊆Bimplies(C
μ,m)

⊕
A
f⊗d(μ,m)(C μ,m)

⊕
B
f⊗d(μ,m);
(iv)(C
μ,m)

⊕
A
f⊗d(μ,m)=(C μ,m)

⊕
χA◦f⊗d(μ,m);
(v)(C
μ,m)

⊕
A
c⊗dμ=m([0,c])⊗μ(A),for0c;
(vi)μ
1μ2implies(C μ,m)

⊕
A
f⊗d(μ 1,m)(C μ,m)

⊕
A
f⊗d(μ 2,m);
(vii)μ=μ
1⊕μ2,implies
(Cμ,m)

⊕
A
f⊗d(μ,m)=(C μ,m)

⊕
A
f⊗d(μ 1,m)⊕(C μ,m)

⊕
A
f⊗d(μ 2,m)
(for Cases I,II and III).
Example 11For a nonnegative step functions=⊕
k
i=1
ai⊗χAi
with
0=a
0a1a2··· a n=b(suppose0≺b)

26 E. Pap
the corresponding generalized Choquet integral is given by
(C
μ,m)

⊕
s⊗dμ=
k

i=1
m([a i−1,ai])⊗μ(∪
k
i=1
Ai).
We have proved in [81] some important properties of the generalized Choquet inte−
gral. Here we present only two of them, without proof.
Theorem 3(Monotone non−decreasing convergence theorem)Let([a,b],⊕,⊗)be
a semiring and let(f
n)be a sequence of nonnegative measurable functions and f
be a nonnegative function. Ifμis lower semicontinuous, then f
n↑f implies
(C
μ,m)

⊕
fn⊗d(μ,m)↑(C μ,m)

⊕
f⊗d(μ,m).
Theorem 4(Monotone non−decreasing convergence theorem for fuzzy measures)
Let([a,b],⊕,⊗)be a semiring and let(μ
n)be a sequence of fuzzy measures andμ
be a set function. Thenμ
n↑μimplies
(C
μ,m)

⊕
f⊗d(μ n,m)↑(C μ,m)

⊕
f⊗d(μ,m).
It is interesting that for the generalized Choquet integral, in general, the monotone
nonincreasing convergence theorem does not hold. We shall consider some important
spacial cases.
Deﬁnition 22Let([a,b],⊕,⊗)be a semiring Case II and
m([a,t])=g
−1
(α(g(t))),
whereα:[0,∞] → [0,∞]is a non−decreasing function withα(0)=0. Then the
generalized Choquet integral, denoted by(CS
α)

⊕
A
f⊗dμ, is called a pseudo−
Choquet−Stieltjes integral offwith respect toμ,α,overA∈A.
Example 12(i) Let[a,b]=[0,∞]andg(x)=x,x∈[0,∞].Then
(CS
α)

⊕
A
f⊗dμreduces to the Choquet−Stieltjes integral [18,50].
(ii)(CS
α)

⊕
A
f⊗dμreduces forα(t)=t,t∈[0,∞]to theg−Choquet integral
[40], denoted by(C
g)

⊕
A
f⊗dμ.
We give some representations for generalized Choquet integrals.
Proposition 2Let([a,b],⊕,⊗)be a semiring Case I or III from Sect.4.1. Then we
have

Mathematical Foundation of Artiﬁcial Intelligence 27
(CSα)

sup
A
f⊗dμ=sup
α∈[a,b]
(α⊗μ(A∩(αf))
=sup{Q(s,A)|sf}.
where
Q(s,A)=
↑
n
i=1
αi⊗μ(A∩E i),s=
↑
n
i=1
αi⊗χA∩E i
,
forα
i∈[a,b],E i∈A,1λiλn.
We need the following notion, see [49,55]
Deﬁnition 23Functionsf,hare co−monotone onA⊆X, denoted byf∼h|
A,iff
f(s)≺f(t)impliesh(s)h(t)for alls,t∈A.
Theorem 5Let([a,b],⊕,⊗)be a semiring Case II andα(t)be a linear increasing
function. If f,h are co-monotone on A, then the following equality holds:
(CS
α)

⊕
A
(f⊕h)⊗dμ=(CS α)

⊕
A
f⊗dμ⊕(CS α)

⊕
A
h⊗dμ.
Theorem 6Let([a,b],⊕,⊗)be a semiring Case I or III. If f,h are co-monotone
on A, then the following equality holds:
(CS
α)

sup
A
(f∨h)⊗dμ=(CS α)

sup
A
f⊗dμ∨(CS α)

sup
A
h⊗dμ.
AcknowledgementsThis research was supported by Science Fund of the Republic of Serbia,
#Grant No. 6524105, AI−ATLAS.
References
1. Adams, D.R.: Choquet integrals in potential theory. Publ. Mat.42(1), 3–66 (1998)
2. Aumann, R.J., Shapley, L.S.: Values of Non−Atomic Games. Princeton University Press, Princ−
ton (1974)
3. Baccelli, F., Cohen, G., Olsder, G.J., Quadra, J.P.T: Synchronization and Linearity: An Algebra
for Discrete Event Systems. Wiley, New York (1992)
4. Benvenuti, P., Mesiar, R., Vivona D.: Monotone set functions−based integrals. In: Pap, E. (eds.)
Handbook of Measure Theory, vol. II, pp. 1329–1379 . Elsevier, Amsterdam (2002)
5. Bernard, C., Ghossoub, M.: Static portfolio choice under cumulative prospect theory. Math.
Financ. Econ.2, 277–306 (2010)
6. Burgin, M.S.: Nonclassical models of the natural numbers. Uspekhi Mat. Nauk32, 209–210
(1977). (in Russian)
7. Burgin, M., Meissner, G.: 1+1=3:Synergy arithmetics in economics. Appl. Math.8, 133–
134 (2017)
8. Czachor, M.: A Loophole of all “Loophole−Free” Bell−type theorems. Found. Sci.25, 971–985
(2020).https://doi.org/10.1007/s10699−020−09666−0

28 E. Pap
9. Czachor, M.: Non−Newtonian mathematics instead of non−Newtonian physics: dark matter and
dark energy from a mismatch of arithmetics. Found. Sci.26, 75–95 (2021).https://doi.org/10.
1007/s10699−020−09687−9(0123456789(),−volV)(0123456789().,−volV)
10. Carbajal−Hernandez, J.J., Sanchez−Fernandez, L.P., Carrasco−Ochoa, J.A.: Assessment and
prediction of air quality using fuzzy logic and autoregressive models. Atmos. Environ.60,
3–50 (2012)
11. Choquet, G.: Theory of capacities. Ann. lnst. Fourier5, 131–295 (1953)
12. Deisenroth, M.P., Faisal, A.A., Ong, C.S.: Mathematics for Machine Learning. Cambridge
University Press, Cambridge (2020)
13. Deli´c, M., Nedovi´c, E., Pap, E.: Extended power−based aggregation of distance functions and
application in image segmentation. Inf. Sci.494, 155–173 (2019)
14. Denneberg, D.: Non−additive Measure and Integral. Kluwer, Dordrecht (1994)
15. Do, Y., Thiele, C.:L
p
theory for outer measures and two themes of Lennart Carlson united.
Bull. Amer. Math. Soc.52(2), 249–296 (2015)
16. Dubois, D., Pap, E., Prade, H.: Hybrid probabilistic−possibilistic mixtures and utility functions.
In: Fodor, J., de Baets, B., Perny, P. (eds. ) Preferences and Decisions Under Incomplete
Knowledge, volume 51 of Studies in Fuzziness and Soft Computing, pp. 51–73. Springer,
Berlin (2000)
17. Even, Y., Lehrer, E.: Decomposition−integral: unifying Choquet and concave integrals. Econom.
Theory56, 33–58 (2014)
18. Gal, G.: On a Choquet−Stieltjes type integral on intervals. Math. Slovaca69, 801–814 (2019)
19. Gilboa, I., Schmeidler, D.: Additive Representations of non−additive measures and the Choquet
integral. Ann. Oper. Res.52, 43–65 (1994)
20. Grabisch, M.: Set Functions. Games and Capacities in Decision Making. Springer, Cham (2016)
21. Grabisch, M., Marichal, J.L., Mesiar, R., Pap, E.: Aggregation Functions. Encyclopedia of
Mathematics and Its Applications, vol. 127, Cambridge University Press, Cambridge (2009)
22. Grossman, M., Katz, R.: Non−Newtonian Calculus. Lee Press, Pigeon Cove (1972)
23. Grbi´c, T., Medi´c, S., Perovi´c, A., Mihailovi´c, B., Novkovi´c, N., Durakovi´c, N.: A premium
principle based on theg−integral. Stoch. Anal. Appl.35(3), 465–477 (2017)
24. Greco, S., Mesiar, R., Rindone, F.: Discrete bipolar universal integral. Fuzzy Sets Syst.252,
55–65 (2014)
25. Joe, H.: Dependence Modeling with Copulas. Monographs on Statistics and Applied Proba−
bility, vol. 134. CRC Press, Boca Raton (2015)
26. Hadži´c, O., Pap, E.: Fixed Point Theory in Probabilistic Metric Spaces. Mathematics and Its
Applications, vol. 536. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht (2001)
27. Kaluszka, M., Krzeszowiec, M.: Pricing insurance contracts under cumulative prospect theory.
Insur. Math. Econ.50, 159–166 (2012)
28. Klement, E.P., Mesiar, R., Pap, E.: Triangular Norms. Kluwer, Amsterdam (2000)
29. Klement, E.P., Mesiar, R., Pap, E.: Integration with respect to decomposable measures based on
a conditionally distributive semiring on the unit interval. Int. J. Uncertain. Fuzziness Knowl.−
Based Syst.8, 701–717 (2000)
30. Klement, E.P., Mesiar, R., Pap, E.: A universal integral as common frame for Choquet and
Sugeno integral. IEEE Trans. Fuzzy Syst.18(1), 178–187 (2010)
31. Klement, E.P., Li, J., Mesiar, R., Pap, E.: Integrals based on monotone set functions. Fuzzy
Sets Syst.281, 88–102 (2015)
32. Kolokoltsov, V.N.: Nonexpansive maps and option pricing theory. Kybernetika34(6), 713–724
(1998)
33. Kuczma, M., Gilányi, A. (ed.): An Introduction to the Theory of Functional Equations and
Inequalities, Cauchy’s Equation and Jensens Inequality, 2nd edn. Birkhäuser, Basel (2009)
34. Lehrer, E.: A new integral for capacities. Econom. Theory39, 157–176 (2009)
35. Lehrer, E., Teper, R.: The concave integral over large spaces. Fuzzy Sets Syst.159, 2130–2144
(2008)
36. Litvinov, G.L., Maslov, V.P. (eds): Idempotent Mathematics and Mathematical Physics. Con−
temporary Mathematics, vol. 377. American Mathematical Society, Providence (2003)

Mathematical Foundation of Artiﬁcial Intelligence 29
37. Mao, T., Yang, F.: Characterizations of risk aversion in cumulative prospect theory. Mathematics
and Financial Economics.https://doi.org/10.1007/s11579−018−0229−0
38. Maslov, V.P.: A new superposition principle for optimization problems. Uspekhi Mat Nauk
42(3), 39–48 (1987)
39. Maslov, V.P., Samborskii, S.N. (eds.): Idempotent Analysis. Advances in Soviet Mathematics,
vol. 13. American Mathematical Society, Providence (1992)
40. Mesiar, R.: Choquet−like integral. J. Math. Anal. Appl.194, 477–488 (1995)
41. Mesiar, R., Li, J., Pap, E.: Pseudo−concave integrals. In: NLMUA 2011, Advances in Intelligent
Systems and Computing, vol. 100, pp. 43–49. Springer, Berlin (2011)
42. Mesiar, R., Li, J., Pap, E.: The Choquet integral as Lebesgue integral and related inequalities.
Kybernetika46, 1098–1107 (2010)
43. Mesiar, R., Li, J., Pap, E.: Discrete pseudo−integrals. J. Approx. Reason.54, 357–364 (2013)
44. Mesiar, R., Li, J., Pap, E.: Superdecomposition integral. Fuzzy Sets Syst.259, 3–11 (2015)
45. Mesiar, R., Pap, E.: Idempotent integral as limit ofg−integrals. Fuzzy Sets Syst.102, 385–392
(1999)
46. Mesiar, R., Rybarik, J.: Pan−operations structure. Fuzzy Sets Syst.74, 365–369 (1995)
47. Mihailovi´c, B., Pap, E.: Asymmetric integral as a limit of generated Choquet integrals based
on absolutely monotone real set functions. Fuzzy Sets Syst.181, 39–49 (2011)
48. Mihailovi´c, B., Pap, E., Štrboja, M., Simi´cevic A.: A uniﬁed approach to the monotone integral−
based premium principles under the CPT theory. Fuzzy Sets Syst.398, 78–97 (2020)
49. Murofushi, T., Sugeno, M.: A theory of fuzzy measures: representations, the Choquet integral,
and null sets. J. Math. Anal. Appl.159, 532–549 (1991)
50. Narukawa, Y., Murofushi, T.: Then−step Choquet integral on ﬁnite spaces. In: Proceedings of
the 9th International Conference on Information Processing and Management of Uncertainty
in Knowledge−Based Systems, Annecy, pp. 539–543 (2002)
51. Nedovi´c, Lj., Pap, E.: Aggregation of sequence of fuzzy measures. Iranian J. Fuzzy17(2),
39–55 (2020)
52. Nelsen, R.B.: An Introduction to Copulas. Lecture Notes in Statistics. Springer, Berlin (1999)
53. Pap, E.: An integral generated by decomposable measure. Univ. Novom Sadu Zb. Rad. Prirod.−
Mat. Fak. Ser. Mat.20(1), 135–144 (1990)
54. Pap, E.:g−calculus. Univ. u Novom Sadu, Zb. Rad. Prirod.−Mat. Fak. Ser. Mat.23(1), 145–150
(1993)
55. Pap, E.: Null−additive set functions. Mathematics and Its Applications, vol. 337. Kluwer Aca−
demic Publishers, Dordrecht (1995)
56. Pap, E. (ed.): Handbook of Measure Theory: I, II. Elsevier, Amsterdam (2002)
57. Pap, E.: Pseudo−additive measures and their applications. In: Pap, E. (ed.) Handbook of Measure
Theory, vol. II, pp. 1403–1465. Elsevier, North−Holland (2002)
58. Pap, E.: A generalization of the utility theory using a hybrid idempotent−probabilistic measure.
In: Litvinov, G.L., Maslov, V.P. (eds.) Proceedings of the Conference on Idempotent Mathemat−
ics and Mathematical Physics, Contemporary Mathematics, vol. 377, pp. 261–274. American
Mathematical Society, Providence (2005)
59. Pap, E.: Generalized real analysis and its application. Int. J. Approx. Reason.47, 368–386
(2008)
60. Pap, E. (ed.): Intelligent Systems: Models and Applications. Topics in Intelligent Engineering
and Informatics, vol. 3. Springer, Berlin (2013)
61. Pap, E.: Sublinear Means. In: 36th Linz Seminar on Fuzzy Sets Theory: Functional Equations
and Inequalities, Linz, 2–6 February 2, pp. 75–79 (2016)
62. Pap, E.: Three types of generalized Choquet integral. Bull. Un. Mat. Ital.13(4), 545–553 (2020)
63. Pap, E., Štajner, I.: Generalized pseudo−convolution in the theory of probabilistic metric spaces,
information, fuzzy numbers, system theory. Fuzzy Sets Syst.102, 393–415 (1999)
64. Puhalskii, A.: Large Deviations and Idempotent Probability. CRC Press, Boca Raton (2001)
65. Quiggin, J.: Generalized Expected Utility Theory. The Rank−Dependent Model. Kluwer Aca−
demic Publishers, Boston (1993)

30 E. Pap
66. Schmeidler, D.: Subjective probability and expected utility without additivity. Econometrica
57, 517–587 (1989)
67. Shilkret, N.: Maxitive measure and integration. Indag. Math.33, 109–116 (1971)
68. Sugeno, M.: Theory of fuzzy integrals and its applications. Ph.D. Thesis, Tokyo Institute of
Technology (1974)
69. Sowlat, M.H., Gharibi, H., Yunesian, M., Mahmoudi, M.T., Lotﬁ, S.: A novel, fuzzy−based air
quality index (FAQI) for air quality assessment. Atmos. Environ.45, 2050–2059 (2011)
70. Sugeno, M., Murofushi, T.: Pseudo−additive measures and integrals. J. Math. Anal. Appl.122,
197–222 (1987)
71. Tan, X., Han, L., Zhang, X., Zhou, W., Li, W., Qian, Y.: A review of current quality indexes
and improvements under the multi−contaminant air pollution exposure. J. Environ. Manag.279
(2021).https://doi.org/10.1016/j.jenvaman.2020.111681
72. Tversky, A., Kahneman, D.: Advances in prospect theory. Cumulative representation of uncer−
tainty. J. Risk Uncertain.5, 297–323 (1992)
73. Wang, S.S., Young, V.R., Panjer, H.H.: Axiomatic characterization of insurance prices. Insur.:
Math. Econ.21, 173–183 (1997)
74. Wakker, P.P.: Prospect Theory: For Risk and Ambiguity. Cambridge University Press, New
York (2010)
75. Wakker, P., Tversky, A.: An axiomatization of cumulative prospect theory. J. Risk Uncertain.
7, 147–175 (1993)
76. Wang, Z., Klir, G.J.: Generalized Measure Theory. Springer, Boston (2009)
77. Yang, Q.: The pan−integral on the fuzzy measure space. Fuzzy Math.3, 107–114 (1985). (in
Chinese)
78. Yaari, M.E.: The dual theory of choice under risk. Econometrica55, 95–115 (1987)
79. Young, V.R.: Premium principles. Encyclopedia of Actuarial Science. Wiley, New York (2006)
80. Zhang, D., Pap, E.: Fubini theorem and generalized Minkowski inequality for the pseudo−
integral. J. Approx. Reason.122, 9–23 (2020)
81. Zhang, D., Mesiar, R., Pap, E.: Pseudo−integral and generalized Choquet integral. Fuzzy Sets
Syst.https://doi.org/10.1016/j.fss.2020.12.005

Collection and Decomposition Integrals
in Multicriteria-Decision Support
Radko Mesiar and Adam Šeliga
AbstractIntegrals generalizing the expected value of random variables play an
essential role in multi−criteria decision problems, where they are considered as util−
ity functions. In this chapter, we focus on the recently introduced collection and
decomposition integrals, covering, among others, the Choquet, the Shilkret and the
PAN integrals. We discuss some properties and give several examples of these inte−
grals, in particular those extending the Lebesgue integral. Later, we discuss this
type of integral for interval−valued functions. Finally, possible applications in multi−
criteria−decision support and imprecise probability domains are shown.
KeywordsMulticriteria−decision
·Monotone measure·Decomposition system·
Choquet integral·Shilkret integral·Decomposition integral·Interval−valued
function
1 Introduction
Two standard approaches to integration can be traced back to Lebesgue [5] and
Choquet [1], considering the vertical and horizontal decomposition of simple func−
tions. Formally, vertical decompositions are related to partitions while horizontal
decompositions are linked to chains. Recently, Lehrer [6] considered all non−empty
subsets of a ﬁnite spaceXas a background of his concave integral (related convex
integral was proposed).
A generalization of aforementioned approaches was proposed by Even and Lehrer
[3] and was extended in several subsequent works. Note that all proposed integrals can
be regarded as the solutions to optimization problems, in particular in economics and
R. Mesiar (B)·A. Šeliga
Faculty of Civil Engineering, Slovak University of Technology, Radlinského 11,
810 05 Bratislava, Slovakia
e−mail:[email protected]
A. Šeliga
e−mail:[email protected]
© The Author(s), under exclusive license to Springer Nature Switzerland AG 2021
E. Pap (ed.),Artiﬁcial Intelligence: Theory and Applications,
Studies in Computational Intelligence 973,
https://doi.org/10.1007/978−3−030−72711−6_2
31

32 R. Mesiar and A. Šeliga
multi−criteria decision support, where they are applied as speciﬁc utility functions. In
this chapter, we give an overview of some results concerning decomposition integrals,
and include some new ones. After the preliminaries introduced in Sect.2, we present
some examples and properties of decomposition integrals in Sect.3. Section4deals
with decomposition integrals which extend the Lebesgue integral, i.e., they coincide
with the Lebesgue integral once it is deﬁned (when additive measures are considered).
Decomposition integrals for interval−valued functions are studied in Sect.5. Section6
shows two applications of decomposition integrals, the ﬁrst concerning multicriteria
decision support, and the second is giving a suggestion for constructing coherent
lower and upper previsions. Finally, some concluding remarks are added.
2 Preliminaries
Throughout this chapter we will consider a ﬁxed ﬁnite setXreferred to as aspace.
Without any loss of generality, we may assume thatX={1,2,...,n}for some
natural numbern∈N. We will consider only non−negative functionsf:X→[0,∞[
and the class of all such functions will be denoted byF.
ByL([0,∞[)we understand the class of all closed intervals that are a subset of
[0,∞[. The class of all non−negative interval−valued functionsv:X→L([0,∞[)
will be denoted byV. We say that a functionf∈Fis a selector of an interval−valued
functionv∈V, denoting it byf∈v, if and only iff(x)∈v(x)for allx∈X.Also
note that for every interval−valued functionv∈Vthere are two functionsa
v,bv∈F
such thatv(x)=[a
v(x),b v(x)]for allx∈X. The functiona vis called a lower
boundary ofvandb
vis called an upper boundary ofv.
Deﬁnition 1Amonotone measureis any set functionμ:2
X
→[0,∞[that is
grounded, i.e.,μ(∅)=0, and non−decreasing with respect to set inclusion, i.e.,
A⊆B⊆Ximpliesμ(A)∈μ(B). A monotone measureμis called:
•acapacity,ifμ(X)=1;
•ameasure,ifA∩B=∅impliesμ(A∪B)=μ(A)+μ(B)for allA,B∈2
X
.
The class of all monotone measures will be denoted byM, the class of all capacities
byM
1and the class of all measures byM +.
Deﬁnition 2Acollection, mostly denoted byD, is a non−empty subset of 2
X
\{∅}.
The class of all collections will be denoted byD. We say that a collectionD∈Dis
logically independentif and only if
∈
A∈D
A =∅.
Example 1The following sets are examples of collections:
•the maximal collectionD
max=2
X
\{∅};

Collection and Decomposition Integrals in Multicriteria−Decision Support 33
•a sub−partitionD part={A i}
k
i=1
, whereA i∩Aj=∅fori =j;
•a chainD
ch={A i}
k
i=1
, where
X⊇A
1∈A2∈···∈A 1 =∅,
and note that eachD
chis logically independent;
•a PC collectionD
PCis such thatA,B∈D PCimpliesA∩B∈{A,B,∅}.
Deﬁnition 3([3]) Adecomposition system, mostly denoted byH, is a non−empty
set of collections. The class of all decomposition systems will be denoted byH.A
decomposition systemH∈His calledcompleteif and only if for everyA⊆2
X
,
A =∅, there exists a collectionD∈Hsuch thatA∈D.
Example 2The following sets are examples of decomposition systems:
•the maximal decomposition systemH
max={D max};
•the PAN decomposition systemH
PA N={D∈D:Dis a sub−partition};
•the Choquet decomposition systemH
Ch={D∈D:Dis a chain};
•the PC decomposition systemH
PC={D∈D:Dis a PC collection};
•the Shilkret decomposition systemH
Sh={{A}: ∅ =A⊆X}.
Deﬁnition 4LetH∈Hbe a decomposition system. Asub-decomposition integral
with respect to a decomposition systemHis an operator
dec
H:F×M→[0,∞[
deﬁned by
dec
H(f,μ)=
→
D∈H
→
∞
∅
A∈D
αAμ(A)|
∅
A∈D
αA1A∈f,α A→0
⊆
for allf∈Fandμ∈M.
Deﬁnition 5([7]) LetH∈Hbe a decomposition system. Asuper-decomposition
integralwith respect to a decomposition systemHis an operator
dec
∗
H
:F×M→[0,∞]
deﬁned by
dec
∗
H
(f,μ)=
∩
D∈H
∩
∞
∅
A∈D
αAμ(A)|
∅
A∈D
αA1A→f,α A→0
⊆
for allf∈Fandμ∈M.

34 R. Mesiar and A. Šeliga
Remark 1Note that, in the deﬁnition of super−decomposition integrals, not only
the inequality sign and supremum are replaced, the range of values is also extended
to include inﬁnity.
Through decomposition integrals we understand both sub−decomposition and
super−decomposition integrals. In the original publication [3], sub−decomposition
integrals are referred to as decomposition integrals.
If we restrict ourselves to singleton decomposition systems, we obtain the so−
called collection integrals introduced in [9].
Deﬁnition 6LetD∈Dbe a collection. Asub-collection integralwith respect to
collectionDis an operatorcol
D:F×M→[0,∞[given bycol D=dec{D}and a
super-collection integralwith respect to collectionDis an operatorcol
∗
D
:F×M→
[0,∞]given bycol
∗
D
=dec
∗
{D}
.
Note that for anyH∈Hwe have
dec
H=
→
D∈H
colDanddec
∗
H
=
∩
D∈H
col
∗
D
.
3 Examples and Basic Properties of Decomposition
Integrals
Many useful non−linear integrals are a particular instance of decomposition integrals.
In the following example, we list some of them.
Example 3•dec
Hmax
=colDmax
is the concave integral [6];
•dec
HPA N
is the PAN integral [13,15];
•dec
HCh
=dec
∗
H
Ch
is the Choquet integral [1];
•dec
HPC
is the PC integral [12];
•dec
HSh
is the Shilkret integral [11];
•dec
∗
H
max
=col
∗
D
max
is the convex integral [7];
In the following theorem, the basic properties of decomposition integrals are
given.
Theorem 1LetHbe a decomposition system. Then both decomposition integrals
with respect toH, i.e.,dec
Handdec
∗
H
,are
•non-decreasing in both arguments;
•positively homogeneous in both arguments.
To the class of collectionsDa relationcan be introduced and on the class of
decomposition systemsHa relationcan be introduced.

Collection and Decomposition Integrals in Multicriteria−Decision Support 35
Deﬁnition 7LetD 1,D2∈Dbe two collections. We sayD 1D2if and only if
D
1⊆D2holds.
Deﬁnition 8LetH
1,H2∈Hbe two decomposition systems. We sayH 1H 2if
and only if for everyD
1∈H1there existsD 2∈H2such thatD 1D2.
Note thatis a partial order onDbutis not a partial order onH. The relation
is reﬂexive, transitive, but is not anti−symmetric, i.e.,is a preorder.
Theorem 2LetD
1,D2∈Dbe collections such thatD 1D2. Then
col
D1
∈colD2
andcol
∗
D
1
→col
∗
D
2
.
Moreover, ifH
1,H2∈Hare two decomposition systems such thatH 1H 2, then
dec
H1
∈decH2
anddec
∗
H
1
→dec
∗
H
2
.
Following the results of the publication [8], we obtain the following results.
Theorem 3LetD∈Dbe a logically independent collection and letH∈Hbe a
complete decomposition system. Then
col
D(1A,μ)∈μ(A)andcol
∗
D
(1A,μ)→μ(A),
dec
H(1A,μ)→μ(A)anddec
∗
H
(1A,μ)∈μ(A),
for all sets A⊆X.
From the previous theorem, one can easily obtain the following result.
Theorem 4LetH∈Hbe a complete decomposition system such that every
collectionD∈Hin it is logically independent. Then the sub-decomposition and
super-decomposition integrals with respect to the decomposition systemHreturn
the underlying monotone measure, i.e.,
dec
H(1A,μ)=μ(A)=dec
∗
H
(1A,μ)
for all sets A⊆X.
Another interesting result was obtained in [10], where all sub−collection integrals
representable by the Choquet integral were characterized. Naturally, one can also
extend this result for the super−collection integrals.
Theorem 5A collection integral with respect to a collectionD∈Dcan be repre-
sented by the Choquet integral if and only ifDis a PC-collection.

36 R. Mesiar and A. Šeliga
Remark 2Note that the representability of the collection integralcol D(or,col
∗
D
),
whereDis a PC−collection, by the Choquet integral is in the following sense: For
every monotone measureμ∈Mthere exists a monotone measureν∈Msuch that
col
D(·,μ)=Ch(·,ν),
∪
or,col
∗
D
(·,μ)=Ch(·,ν)

.
Moreover, the monotone measureνis given by
ν(A)=col
D(1A,μ),
∪
or,ν(A)=col
∗
D
(1A,μ)

,
for all setsA⊆X.
Remark 3It seems that the collection integrals based on PC−collectionsD
PChave
an important place within the collection integrals, because in [10] it was proved that,
in general, Chebyshev’s, Jensen’s, Cauchy’s, and Hölder’s inequalities do hold for
these integrals and only for them.
4 Decomposition Integrals Extending Lebesgue Integral
Restricting ourselves to measures only, the following property of decomposition
integrals can be obtained.
Theorem 6LetD∈Dbe a collection and letH∈Hbe a decomposition system.
Then
col
D(·,μ)∈Leb(·,μ)∈col
∗
D
(·,μ)
and
dec
H(·,μ)∈Leb(·,μ)∈dec
∗
H
(·,μ)
for all measuresμ∈M
+.
Remark 4In general, neitherdec
H∈dec
∗
H
nordec H→dec
∗
H
is true.
The following classes of collections and decomposition systems are of interest in
this section.
Deﬁnition 9A subclassD
+of the class of all collectionsDconsists of those collec−
tionsD∈Dfor whichcol
Dextends the Lebesgue integral. Analogously, a subclass
H
+of all decomposition systems consists of the decomposition systemsH∈Hfor
whichdec
Hextends the Lebesgue integral.
Remark 5Note that in the deﬁnition ofD
+we used the sub−collection integral and
in the deﬁnitionH
+we used the sub−decomposition integral. One can replace the
sub−collection integral with the super−collection integral and the sub−decomposition

Collection and Decomposition Integrals in Multicriteria−Decision Support 37
integral with the super−decomposition integral while the classesD +andH +remain
unchanged.
The following characterization of decomposition integrals extending the Lebesgue
integral was given in the original publication [3, Proposition 3] of Even and Lehrer.
Theorem 7LetH∈Hbe a decomposition system. ThenH∈H
+if and only if for
every function f∈Fthere exists a collectionD∈Dand non-negative coefﬁcients
{α
A}A∈Dsuch that
f=
∅
A∈D
αA1A.
Remark 6The previous characterization is an important theoretical result, but it is
inconvenient for practical purposes.
For collections, a full characterization was obtained, see, e.g., [9].
Theorem 8LetD∈Dbe a collection. ThenD∈D
+if and only if

{x}|x∈X

⊆D.
Unfortunately, there is no full characterization of the classH
+. In the following,
we give a sufﬁcient condition.
Theorem 9LetH∈H. If for every permutationσ:X→X there exists a PC-
collectionD
PC∈Hand coefﬁcients{α A}A∈D PC
such that
σ=
∅
A∈D PC
αA1A,
thenH∈H
+.
Example 4Based on the previous theorem, the Choquet integral, the PAN inte−
gral, the concave integral, and the PC integral extend the Lebesgue integral, i.e.,
H
Ch,HPA N,Hmax,HPC∈H+. In general, ifH 1∈H+andH 2∈Hare decomposi−
tion systems such thatH
1H 2, then alsoH 2∈H+.
The next result can be regarded as a construction method for decomposition sys−
temsH∈H
+. For any non−empty subsetA⊆X, we denote byD
A
a collection of
non−empty subsets ofA. Similarly, the notationH
A
,H
A
, andH
A
+
is considered.
Theorem 10Let{A
1,A2,...,A k}be a partition of X and letH
Ai
∈H
Ai
,fori=
1,2,...,k. Then the decomposition system
H=

D∈D|D∩A
i∈H
Ai

38 R. Mesiar and A. Šeliga
belongs toH +, whereD∩A={B∩A|B∈D}. Therefore
dec
H(f,μ)=
k
∅
i=1
dec
H
A
i(f∞Ai
,μ∞
2
A
i).
5 Decomposition Integrals for Interval-Valued Functions
In this section, we will discuss two different approaches of extending decomposition
integrals for interval−valued functions. Interestingly, both of these approaches lead to
the same result. The ﬁrst approach is based on the Aumann extension of the Riemann
integral and the second one is a direct modiﬁcation using interval algebra. In the ﬁrst
part of this section we will concentrate only on sub−collection and sub−decomposition
integrals.
Deﬁnition 10LetH∈Hbe a decomposition system. An Aumann−like sub−
decomposition integral with respect to the decomposition systemHis an operator
ˆ
dec
H:V×M→2
[0,∞[
such that
ˆ
dec H(v,μ)=

dec H(f,μ)|f∈v

for all interval−valued functionsv∈Vand all monotone measuresμ∈M.
It is easy to see thata
v,bv∈vand thus we obtain trivially the following propo−
sition.
Proposition 1LetH∈Hbe a decomposition system, letv∈Vbe an interval-valued
function, and letμ∈Mbe a monotone measure. Then

dec
H(av,μ),dec H(bv,μ)

⊆
ˆ
dec H(v,μ).
In the next proposition we will prove that not only that the sub−decomposition
integrals of boundaries ofvdo belong to
ˆ
dec
H(v,μ)but also that all values in−
between them do.
Proposition 2LetH∈Hbe a decomposition system, let f,g∈Fbe two functions
such that f∈g, and letμ∈Mbe a monotone measure. Then for every real number
γ∈
∨
dec
H(f,μ),dec H(g,μ)

there exists a function hγ∈Fsuch that f∈h γ∈g
anddec
H(hγ,μ)=γ.
ProofLet us denoteα=dec
H(f,μ)andβ=dec H(g,μ). From the monotonicity
we have thatα∈βand thus[α,β]is indeed an interval. Now letγ∈[α,β]be any
real number betweenαandβ. Let us construct two sequences of functions{l
n}n∈N
and{r n}n∈Ndeﬁned recursively byl 1=f,r 1=g,

Collection and Decomposition Integrals in Multicriteria−Decision Support 39
ln+1=
∞
(l
n+rn)/2,ifdec H((ln+rn)/2,μ)∈γ,
l
n, otherwise,
and
r
n+1=
∞
r
n, ifdec H((ln+rn)/2,μ)∈γ,
(l
n+rn)/2,otherwise.
Note that
r
n−ln=
g−f
2
n−1
which implies that
lim
n→∞
ln=lim
n→∞
rn.
Let us denote this limit function ash
γ. The sequences{l n}n∈Nand{r n}n∈Nwere
constructed in a such way thatdec
H(ln,μ)∈γanddec H(rn,μ)→γfor alln∈N.
This implies thatdec
H(hγ,μ)∈γanddec H(hγ,μ)→γand thus a functionh γ
such thatdec H(hγ,μ)=γandf∈h γ∈gwas discovered. ∅
Combining the previous two propositions and the fact that allf∈vare bounded
from below bya
vand from above byb v, we obtain the main theorem concerning the
Aumann−like extension of sub−decomposition integrals.
Theorem 11LetH∈Hbe a decomposition system, letv∈Vbe an interval-valued
function, and letμ∈Mbe a monotone measure. Then
ˆ
dec
H(v,μ)=
∨
dec H(av,μ),dec H(bv,μ)

.
A direct modiﬁcation of the original deﬁnition of sub−decomposition integrals
based on the interval algebra offers another look at interval−valued sub−decomposition
integrals.
Deﬁnition 11LetH∈Hbe a decomposition system. An interval−valued sub−
decomposition integral is an operator
¯
dec
H:V×M→[0,∞[given by
¯
dec
H(v,μ)=
→
D∈H
¯
col
D(v,μ)
for all interval−valued functionsv∈Vand all monotone measuresμ∈M, where
¯
col
D:V×M→[0,∞[is an interval−valued sub−collection integral such that
¯
col D(v,μ)
equals
→
∞
∅
A∈D
[αA,βA]μ(A)|
∅
A∈D
[αA,βA]1A∈v,[α A,βA]→[0,0]
⊆
for all interval−valued functionsv∈Vand all monotone measuresμ∈M.

Random documents with unrelated
content Scribd suggests to you:

syrjään ajan taiteesta. Hän oli epäsikiö, elävä anakronismi. Sitä hän
oli ollut aina. Kymmenvuotinen yksinäisyys oli jyrkentänyt hänen ja
maailman vastakohtaa. Hänen poissa ollessaan oli Europassa ja
varsinkin Parisissa tapahtunut uudistustyö, kuten hän itsekin hyvin
näki. Uusi elämänkäsitys oli syntymässä. Nousi sukupolvi, joka tahtoi
enemmän toimia kuin ymmärtää, janosi enemmän onnea kuin
totuutta. Se tahtoi elää, se tahtoi valloittaa elämän, vaikkapa sen
olisi täytynyt valehdellakin. Ylpeyden valhe, ylpeyden kaikki aiheet:
rotuylpeys, luokkaylpeys, uskontokunnallinen ylpeys, kulttuuri- ja
taideylpeys, — kaikki ne kelpasivat sille, kunhan ne vain antoivat sille
rautaisen panssarin, sopivat sille miekaksi ja kilveksi, suojasivat sitä
sen marssiessa voittoon. Niinpä siitä polvesta oli ilkeää kuulla suutta
surun sortamaa ääntä, joka puhui sille, että tuska ja epäilyskin ovat
olemassa, nuo pahat ja äsken väistynyttä yötä häirinneet myrskyt,
jotka uhkaavat yhä ihmiskuntaa välittämättä siitä, että niitä
koetetaan kieltää ja unohtaa. Sitä ääntä oli mahdoton olla
kuuntelematta; mennyt yö oli vielä liian lähellä. Silloin nuo nuoret
miehet tukkivat uhallakin siltä korvansa; ja he huusivat täyttä
kurkkua, jotteivät olisi sitä kuulleet. Mutta ääni puhui sittenkin
voimakkaammin, ja siitä he olivat vihoissaan.
Christophe puolestaan suhtautui heihin ystävällisesti. Hän iloitsi
maailman kulusta onnea kohti. Se, että tuossa liikkeessä oli paljon
tahallisen ahdasta, ei pahoittanut häntä. Jos tahtoo kulkea suoraan
määränpäähän, täytyy katsella suoraan eteensä. Hän, joka oli
joutunut maailmojen käännepaikkaan, nautti sekä siitä traagillisesta
yön säteilystä, jonka hän näki takanaan, että nuorten toiveiden
hymystä, raikkaan ja kuumeisen aamunkoiton epämääräisestä
kauneudesta. Hän oli heilurin liikkumattomassa napapisteessä silloin,
kun heiluri nousi ylös. Seuraamatta sen liikettä kuunteli hän
riemukseen elämän tahdikasta rytmiä. Hän yhtyi niiden toiveisiin,

jotka kielsivät hänen menneet tuskansa. Mikä oli tuleva, se tuli nyt,
niinkuin hän itsekin oli uneksinut. Kymmenen vuotta sitten oli Olivier,
— tuo pieni gallialainen kukko, — ennustanut heiveröisellä laulullaan
yössä ja pimeässä kaukaista päivää. Laulajaa ei enää ollut olemassa;
mutta hänen laulunsa toteutui. Linnut heräsivät Ranskan
puutarhassa. Ja yhtäkkiä kuuli Christophe selvempänä muiden
lintujen laulua, voimakkaampana ja onnellisempana, ylösnousseen
Olivier Jeanninin äänen.
Christophe silmäili hajamielisenä erään kirjakaupan näytepöydän
ääressä runovihkoa, jonka tekijän nimi oli hänelle tuntematon. Jokin
lauselma kirjassa herätti hänen huomiotaan; teos alkoi kiinnittää
hänen mieltään. Kun hän luki avaamattomien lehtien välistä
edelleen, oli hän erottavinaan tutun äänensävyn, näkevinään
ikäänkuin jotkin ystävän kasvot… Oli mahdotonta määritellä, mitä
hän tunsi, ja kun hän ei voinut erota kirjasta, osti hän sen. Kotonaan
ryhtyi hän kohta sitä lukemaan. Ja äskeinen tunnelma tuli jälleen
takaisin. Runojen väkevä henki johti hänen mieleensä
näkyilmestyksen tarkkuudella vuosisatoja sitten eläneet miljoonat
sielut, — nuo jättiläismäiset puut, joiden lehtiä ja hedelmiä me
olemme, — Maan henget. Sivuilta selkenivät Emon yli-inhimilliset
kasvot, — hänen, joka oli meitä ennen, joka säilyy meidän
kadottuamme, joka istuu kuin bysantilainen Madonna
vuorenkorkuisella valtaistuimella, minkä juurella ihmismuurahaiset
rukoilevat. Runoilija lauloi suurten jumalatarten homeerisista
taisteluista, heidän miekkojensa kalskeesta aikojen alusta asti; hän
kuvaili tuota iankaikkista Iliadia, joka on Troian sotaan verraten sama
kuin alpit pienten kreikkalaisten kukkulain rinnalla.

Moinen ylpeyden ja sotaisen toiminnan epopeia oli kaukainen
sellaisen europalaisen hengen ajatuksille kuin Christophen. Ja
kuitenkin näki hän tuossa ranskalaisen hengen visionissa, — (se oli
siro neitsyt, Pallas-Athenen kilpeä kantava, — jumalatar, jonka
sinisten silmien katse tunkee läpi pimeyksien: työn jumalatar,
verraton taideniekka, vallitseva järki, jonka välkkyvä keihäs kaataa
hälisevin huudoin ryntäävät barbaarit maahan) — kuitenkin näki hän
siinä vilahdukselta katseen ja hymyn, jotka hän tunsi ja joita hän oli
ennen muinoin rakastanut. Mutta ennenkuin hän pääsi selville
huomiostaan, oli näky haihtunut. Ja kun hän sitten kiihtyen ajeli sitä
takaa eikä saanut kiinni, niin kuuli hän yhtäkkiä erästä sivua
kääntäessään tarinan, jonka Olivier Jeannin oli kertonut hänelle joku
päivä ennen kuolemaansa…
Christophe joutui aivan päästä pyörälle. Hän juoksi kirjan
kustantajan luokse ja kysyi runoilijan osotetta. Sitä kieltäydyttiin
ilmoittamasta, kuten tapa vaatii. Christophe suuttui. Se ei auttanut.
Viimein pälkähti hänen päähänsä, että ehkäpä hän saisi
tarvitsemansa tiedon osoitekalenterista. Hän löysikin siitä osoitteen,
ja heti paikalla lähti hän kirjailijan luokse. Milloin hän tahtoi jotain, ei
hän koskaan malttanut hetkeäkään odottaa.
Kortteli Batignolles, siellä talon ylimmässä kerroksessa. Useita ovia
yhteiseen eteiskäytävään. Christophe naputti oveen, jota hänelle oli
neuvottu. Aukeni viereinen ovi. Muuan nuori nainen, ei mitenkään
kaunis, — hyvin ruskeaverinen, hiukset otsalla, ihonväri samea,
kasvot hermostuneet, silmät vilkaseleiset, — kysyi, mitä hän tahtoi,
ja näytti epäluuloiselta. Christophe selitteli, ketä hän oli tullut
tapaamaan, ja kun uudestaan kysyttiin, ilmoitti nimensä. Nainen tuli
nyt huoneestaan ja aukaisi toisen oven, avaimella, joka oli hänen
hallussaan. Mutta hän ei vienyt Christophea heti sisään. Hän pyysi

vierasta odottamaan käytävässä, ja pujahti yksinään sisään, sulkien
oven hänen nenänsä edessä. Viimein pääsi Christophe tuohon näin
vartioituun asumukseen. Hän meni huoneen läpi, joka oli melkeinpä
tyhjä ja jota käytettiin nähtävästi ruokasalina: siellä oli ainoastaan
muutamia vanhoja ja rikkonaisia huonekaluja; uutimettoman ikkunan
edessä viserteli kymmenkunnan pikkulintua häkissä. Taemmassa
kamarissa loikoi kuluneella sohvalla mies. Hän nousi nyt ylös
ottamaan Christophea vastaan. Nuo laihtuneet kasvot, joille sielu loi
hohdettaan, nuo sametinpehmeät, kauniit silmät, joissa paloi
kuumeinen tuli, ja pitkät älykkäät kädet, ruma ruumis, käheältä soiva
ääni: Christophe tunsi heti paikalla… Emmanuelin! Sen sairaan pikku
työläisen, joka oli ollut tahtomattaan syypää… Myöskin Emmanuel
kavahti yhtäkkiä pystyyn ja tunsi Christophen.
He eivät puhuneet kotvaan mitään. Molemmat näkivät he sillä
hetkellä Olivier Jeanninin… He eivät saaneet edes annetuksi
toisilleen kättä. Emmanuel oli ponnahtanut askeleen taapäin. Nyt,
vielä kymmenen vuoden päästä, nousi entinen salainen kauna,
vanha kateus, jota hän oli tuntenut Christophea kohtaan, esille
hänen vaistoelämänsä epäselvästä syvyydestä. Emmanuel seisoi
siinä epäluuloisena ja vihamielisenä. — Mutta kun hän näki, miten
liikutettu Christophe oli, ja luki jo hänen huuliltaan sen nimen, jota
he kumpikin ajattelivat: "Olivier…", niin voitti tunne hänet: hän
heittäytyi Christophen avattuun syliin.
Emmanuel kysyi:
— Minä tiesin, että te olitte Parisissa. Mutta kuinka te saatoitte
löytää minut?
Christophe vastasi:

— Minä luin teidän viimeisen kirjanne; sen rivien alta kuulin hänen
äänensä.
— Niinkö? sanoi Emmanuel; että te siis sen tunsitte? Kaikesta,
mitä nyt olen, olen hänelle kiitollisuuden velassa.
(Hän ei millään muotoa lausunut Olivier Jeanninin nimeä.)
Tuokion kuluttua hän jatkoi synkentyneenä:
— Hän piti teistä enemmän kuin minusta.
Christophe hymyili:
— Se, joka rakastaa paljon, ei tiedä, mikä on enempi, mikä
vähempi; hän antaa kaikkensa niille, joita hän rakastaa.
Emmanuel katsahti Christopheen; hänen itsepäisten silmiensä
vakavan traagilliseen katseeseen syttyi yhtäkkiä syvästi lempeä
hohde. Hän otti Christophea kädestä ja pyysi häntä istumaan
viereensä sohvalle.
He kertoivat toisilleen elämänsä vaiheita. Neljäntoista ja
viidenkolmatta ikävuoden välillä oli Emmanuel yrittänyt jos
jonkinlaisia ammatteja: hän oli ollut latojana, verhoilijana, kiertävänä
kaupustelijana, kirjakauppojen asiamiehenä, asianajajain kirjurina,
erään valtiomiehen sihteerinä, sanomalehtimiehenä… Kaikissa näissä
ammateissa hän oli keksinyt tilaisuuksia opiskelemiseen yhä ja
alinomaa; joskus hän oli saanut tukea kunnon ihmisiltä, joita tuon
pikku olennon tarmo hämmästytti; mutta enimmäkseen hän oli
joutunut sellaisten kynsiin, jotka käyttivät hänen köyhyyttään ja
lahjojaan väärin. Pahimmistakin kokemuksistaan hän oli rikastunut ja
läpäissyt ne pahasti katkeroitumatta, joskin yhä huonontuvalla

terveydellä. Hänen erikoinen taipumuksensa muinaisiin kieliin (se ei
ole kovinkaan harvinaista ranskalaisen rodun keskuudessa, rodun,
jonka vereen humanistiset traditsionit ovat syöpyneet) oli hankkinut
hänelle erään vanhan hellenisoivan papin suopeuden ja tuen. Nämä
kielitutkimukset, joita hänellä ei ollut aikaa kehittää kovin pitkälle,
opettivat hänet älylliseen kuriin ja neuvoivat hänelle tyyliä. Siksi oli
Emmanuel, tuo aivan kansan pohjasakasta kohonnut mies, jonka
koko sivistys oli omatekoista, sattumalta saatua ja täynnä hirveitä
aukkoja, saavuttanut niin erinomaisen sanallisen ilmaisukyvyn,
sellaisen taidon ajatuksen muotohallintaan, ettei nuori porvaristo
pääse moiseen kymmenvuotisellakaan yliopistokasvatuksella.
Emmanuel piti tätä Olivier Jeanninin hyvänä työnä häntä kohtaan.
Mutta oikeastaan olivat muut auttaneet häntä tehokkaammin siinä
suhteessa kuin Olivier, joskin se säkene, joka sytytti hänen sieluunsa
ikuisesti palavan tulen, oli lähtenyt Olivier Jeanninista. Toiset olivat
ainoastaan kaataneet öljyä lamppuun.
Emmanuel sanoi:
— Minä aloin ymmärtää häntä vasta siitä ajasta, jolloin hän lähti
pois. Mutta kaikki, mitä hän oli sanonut, oli mennyt olemukseeni.
Hänen valonsa ei ole hylännyt koskaan minua.
Emmanuel puhui elämäntyöstään, siitä tehtävästä, jonka Olivier oli
jättänyt hänelle perinnöksi, kuten Emmanuel pyhästi uskoi:
ranskalaisten voimien heräämisestä, sen sankarillisen idealismin
syttymisestä, jonka airut Olivier oli ollut; tämän ihanteellisuuden
kaikuvaksi ääneksi tahtoi Emmanuel tulla, ääneksi, joka kuuluisi yli
kamppailun ja soittaisi lähenevää voittoa; hän lauloi ylösnousseen
rotunsa epopeiaa.

Emmanuelin runot olivat hänen rotunsa luonteenomaista luomaa,
tuon omituisen rodun, joka on kautta vuosisatojen säilyttänyt
voimakkaan kelttiläisen aroominsa, pitäen samalla merkillisenä
ylpeytenään pukea ajatuksensa muinaisen roomalaisen valloittajan
jättämään asuun ja hänen määräämänsä lakeihin. Niissä runoissa
tapasi puhtaana koko gallialaisen rohkeuden, sankarillisen järjen ja
ironian hengen, tuon sekoituksen kerskailua ja huimapäisyyttä, joka
sai aikoinaan miehet tempaisemaan parrasta Rooman senaattoreja,
ryöstämään Delphoin temppeliä ja singauttamaan nauraen
heittokeihäänsä päin taivasta. Mutta tietysti oli tämän pienen
parisilaisen suutarin täytynyt ruumillistuttaa intohimonsa muinaisten,
kaksituhatta vuotta sitten kuolleiden sankarien ja Kreikan jumalien
hahmoon, aivan niinkuin aikoinaan olivat tehneet hänen
peruukkipäiset ammatti-isänsä ja niinkuin varmaankin hänen
jälkeläisettäkin tekevät. Omituinen kansallisvaisto, jolla on oma
varmuutensa: kun ranskalainen sijoittaa ajatuksensa menneiden
vuosisatojen jättämiin pyörän uurteisiin, tietää hän siten ohjaavansa
nuo ajatuksensa vuosisatojen turvaan. Tällainen klassillisen muodon
pakko antoi Emmanuelin intohimoille sitäkin kiivaampaa
purkautumisvoimaa. Olivier Jeanninin tyyni luottamus Ranskan
kohtaloihin oli muuttunut hänen pikku suojatissaan palavaksi
uskoksi, joka himoitsi tekoja ja oli varma voitosta. Emmanuel tahtoi
sitä voittoa, hän näki sen, hän tervehti riemuin sitä. Haltioituneella
uskollaan ja optimismillaan oli hän innostuttanut ranskalaisen
yleisön. Hänen kirjansa oli ollut yhtä tehokas kuin suuri aseellinen
taistelu. Hän oli murtanut aukon epäilyksen ja pelon
rintavarustuksiin. Koko nuori polvi oli rynnännyt hänen perästään
siihen aukkoon, päin uusia kohtaloita…
Emmanuel vilkastui puhuessaan; hänen silmänsä hehkuivat, hänen
kelmeille poskilleen syttyi punaisia läikkiä, hänen äänensä tuli

kimeäksi. Christophe ei saattanut olla huomaamatta, minkälainen
vastakohta oli tämän kuluttavan tulen ja sen surkean ruumiin välillä,
jota se tuli poltti. Hänestä tuntui katkeralta kohtalon ivalta, että tämä
tarmon laulaja, runoniekka, joka ylisti reippaan urheilun, toiminnan
ja sodan sukupolvea, osasi käydä tuskin askeltakaan hengästymättä,
oli pidättyväinen ruokaan ja juomaan nähden, noudatti ylen tarkkaa
elämänjärjestystä, joi ainoastaan vettä, ei voinut tupakoida, eli ilman
rakastajattaria. Hänessä hehkuivat kaikki intohimot, mutta huono
terveys oli pakottanut hänet surkeaan asketismiin.
Christophe katseli Emmanuelia; ja hän tunsi häntä kohtaan sekä
ihailua että veljellistä sääliä. Hän ei suinkaan tahtonut mielialaansa
ilmaista; mutta varmaankin näkyi se kuitenkin hänen silmistään, tahi
oli sitten Emmanuel, jonka povessa kirveli ainainen avoin haava,
näkevinään Christophen katseessa sääliä, mitä hän vihasi vieläkin
enemmän kuin vihaa. Sillä Emmanuelin innostus lamaantui yhtäkkiä.
Hän herkesi puhumasta. Turhaan koetti Christophe enää saada häntä
luottavaksi. Emmanuelin sielu oli sulkeutunut. Christophe huomasi
loukanneensa Emmanuelia.
Vihamielistä hiljaisuutta kesti kauan. Christophe nousi paikaltaan.
Emmanuel saattoi häntä sanaakaan virkkamatta ovelle. Hänen
käyntitavastaan huomasi hänen sairautensa; hän tiesi sen; hän
koetti ylpeästi olla siitä välinpitämätön, mutta kumminkin hän
ajatteli, että Christophe katseli häntä, ja hänen katkeruutensa vain
kasvoi.
Juuri kun Emmanuel puristi kylmästi vieraansa kättä ja hyvästeli
häntä, soitti ovikelloa muuan nuori ja hienosti puettu nainen. Hänen
seuralaisenaan oli joku vaativa keikari, jonka Christophe tunsikin
ulkonäöltä, sillä hän oli nähnyt hänet ensimäisinä teatteri-iltoina:

aina hymy huulilla, lavertelemassa, tervehtimässä tuttaviaan kättään
vilkuttamalla, suutelemassa naikkosten käpäliä ja heittelemässä
orkesteripaikaltaan maireita hymyjä katsomon perille asti; koska
Christophe ei tiennyt hänen nimeään, oli hän mielessään antanut
hänelle nimen "hölmö". — Hölmö ja hänen naistoverinsa hyökkäsivät
heti, kun näkivät Emmanuelin, hänen kimppuunsa, kutsuivat häntä
"rakkaaksi mestarikseen" ja kukkuroivat hänet kaikenlaisilla
tutunomaisen tungettelevilla tunteenpurkauksilla. Christophe kuuli
poistuessaan Emmanuelin vastaavan kuivalla äänellä, ettei aika ollut
vieraille soveltuva, sillä hänellä oli työtä. Christophe ihaili
Emmanuelin erinomaista kykyä olla epämiellyttävä. Hän ei tiennyt,
mistä syystä Emmanuel oli niin yrmeä ja jörö noille rikkaille
hienostelijoille, jotka täten tulivat lahjoittamaan hänelle oikeinpa
hienoja ja lähenteleviä visiittejäänkin: heiltä riitti kyllä kauniita
fraaseja ja ylistyksiä, mutta Emmanuelin köyhyyden vaivojen
helpottamista he ajattelivat yhtä vähän kuin ennen muinoin Cesar
Franckin kuuluisat ystävät: eivät hekään koettaneet vapauttaa häntä
pianotunneista, joita hänen oli pakko antaa kuolinpäiväänsä asti.
Christophe kävi sitten useampia kertoja Emmanuelin luona. Hän ei
saanut seurustelua enää läheskään niin välittömäksi kuin se oli ollut
ensimäisellä käynnillä. Emmanuel ei näyttänyt yhtään iloitsevan
hänen tulostaan, ja hän pysyttelihe epäluuloisen hillittynä. Joskus
ainoastaan sai hänelle luonteenomainen avomielisyyden kaipuu
vallan hänessä; Christophen sanat vapisuttivat häntä jonkin kerran
hänen olemuksensa pohjiin asti; silloin hän heittäytyi hetkellisen
entusiastisen luottamuksensa lumoihin; ja hänen idealisminsa valaisi
silloin hänen salatun sielunsa pauhaavan runouden salamoilla. Sitten
hän yhtäkkiä suistui alas innostuksensa korkeudesta; hän jäykistyi ja
oli itsepintaisesti vaiti; ja Christophella oli jälleen edessään vihamies.

Monenmoiset seikat erottivat heitä. Ikäero ei ollut niistä
vähäpätöisin. Christophen kehitys läheni täyttä tietoisuutta ja
täydellistä itsensä hillitsemistä. Emmanuel eli vielä
muuttumiskaudessa ja oli kaoottisempi kuin Christophe oli koskaan
ollut. Hänen luonteensa omalaatuisuus johtui sen ristiriitaisista
aineksista, jotka olivat keskenään ainaisessa taistelussa: niitä
luonteen piirteitä oli voimakas stooalaisuus, joka koetti painaa
atavististen himojen repimää kokonaisuutta ikeensä alle, — (olihan
hän alkohoolin turmeleman isän ja prostitueeratun naisen poika); —
hillitön mielikuvitus, joka nousi kapinaan teräksistä tahtoa vastaan;
suunnaton itsekkyys ja yhtä suunnaton rakkaus toisia ihmisiä
kohtaan, — eikä koskaan voinut arvata, itsekkyyskö vai rakkaus
milloinkin voitti —; sankarillinen idealismi ja niin sairaloinen
kunniannälkä, että se sai hänet aina levottomuudella ajattelemaan
toisia, häntä etevämpiä. Hän oli kyllä syvästi aatteellinen ja
riippumaton kuten Olivier ja omaa etuaan katsomaton kuten hän, ja
mestaristaan voitollakin rahvasmaisen elinvoimaisuutensa puolesta,
joka ei tuntenut mitään inhoa toimintaa kohtaan; samoin hän oli
runollisilta lahjoiltaankin häntä etevämpi, ja karkea kuori suojeli
häntä hyvin kaikenlaiselta kyllästymiseltä. Mutta Antoinetten veljen
kuulautta ei hänessä sensijaan läheskään ollut. Hänen luonteensa oli
turhamainen, rauhaton; ja hänen sielunsa sekaisuutta lisäsivät nyt
vielä hänen lähimpänsäkin.
Emmanuel eli näet riitaista yhdyselämää erään nuoren naisen
kanssa, joka oli hänen seinänaapurinaan: sen naisen, joka oli ottanut
Christophen Emmanuelin luona ensi kerralla vastaan. Hän rakasti
Emmanuelia ja vaali häntä mustasukkaisen hellästi, hoiti hänen
taloutensa, kopioi hänen kirjoituksiaan, kirjoitti hänen sanelunsa
mukaan. Hän ei ollut kaunis, ja intohimojen raatelema sielu oli
hänellä elämän taakkana. Hän oli kansanlapsi, oli ollut kauan

työläisenä eräässä pahvituotetehtaassa ja sitten postivirkailijana.
Hänen lapsuutensa oli mennyt Parisin köyhien työläisten tavallisissa
tukehduttavissa oloissa: tehtaissa, joissa ruumiit ja sielut sullotaan
sekaisin, jossa päivät ovat näännyttävää työtä kaikenkarvaisten
toverien parissa, ei ilmaa, ei hiljaisuutta, ei saa koskaan olla
yksinään, mahdotonta koota itseään, suojata oman sydämensä
pyhäkköä. Tyttö oli ylpeä henki; hänen sielunsa pohjalla piili
uskonnollisen palava ja sekava totuuden-ihanteen kaipuu; hän oli
turmellut silmänsä kopioimalla öisin, ja useinkin ilman lamppua ja
kynttilää, pelkästään kuunvalossa, "Kurjia", Hugon Les Misérables-
romaania. Hän sattui kohtaamaan Emmanuelin aikana, jolloin
runoilija oli vieläkin onnettomampi kuin hän, sairas ja aivan ilman
toimeentulon mahdollisuuksia; hän oli silloin omistautunut
ruumiineen ja sieluineen Emmanuelille. Tämä intohimo oli tytön
ensimäinen ja ainoa rakkaus. Hän antautuikin siihen oikealla
nälkäisen kiihkolla. Hänen tunteensa oli Emmanuelille hirvittävä
rasitus, sillä hänen sydämellään ei ollut antaa niin paljon kuin se
puolestaan sai vastaanottaa. Tytön uskollisuus liikutti häntä; hän
tiesi, että tuo nainen oli hänen parhain ystävänsä, ainoa olento, jolle
hän oli kaikki kaikessa ja joka ei voinut elää ilman häntä. Mutta juuri
se tieto painoi häntä raskaana taakkana. Emmanuel tarvitsi vapautta,
hänen tarvitsi saada olla yksin; hänestä oli tuskastuttavaa, että nuo
silmät kerjäsivät häneltä alinomaa hellää katsetta; Emmanuel
puhutteli häntä usein tylysti, hänen teki mielensä sanoa hänelle:
"Mene matkaasi!" Emmanuelia kiusasi hänen rumuutensa ja hänen
oikulliset tunteenpuuskansa. Vaikka Emmanuel oli nähnyt niin vähän
ylhäisöä, ja vaikka hän sitä oli halveksivinaankin, — sillä hän kärsi,
kun tiesi olevansa sen rinnalla ruma ja naurettava, — niin oli hän
herkkä kaikelle hienolle, ja häntä viehättivät vallasnaiset (oi, heidän
tunteensa Emmanuelia kohtaan olivat todellisuudessa samanlaisia

kuin Emmanuelin tätä hänen oikeaa ystävätärtään; mutta sitä
seikkaa ei Emmanuel aavistanut). Hän koetti kohdella ystävätärtään
hellyydellä, jota hänellä ei pohjaltaan ollut tahi jota ainakin
ohimenevät vihanpuuskat väkistenkin synkensivät. Hänen ei
onnistunut niitä puuskiaan hillitä; hänen rinnassaan oli jalo sydän,
joka tahtoi kiihkeästi tehdä hyvää, mutta myöskin väkivaltainen
demooni, joka osasi tehdä pahaa. Tällainen sisällinen taistelu ja
tietoisuus, ettei hän saisi sitä koskaan loppumaan, tekivät
Emmanuelin vaiteliaan ärtyneeksi, ja siitä ärtyneisyydestä sai
myöskin Christophe nyt osansa.
Emmanuel ei voinut mitään sille, että Christophe oli hänestä
vastenmielinen; siihen oli kaksikin eri syytä: toinen oli hänen vanha
kateutensa (tuo hänen lapsuudenaikainen intohimonsa: sellaisesta
jää ihmiseen aina jäljelle jokin yleinen sävy, vaikkapa hän olisikin itse
asian jo unohtanut); toisena syynä oli Emmanuelin tulinen
natsionalismi. Hänelle oli Ranska kaikkien jalojen aatteitten
ruumiillistunut ilmiö: oikeuden, säälin, inhimillisen veljeyden, kaiken,
mistä hänen aikansa parhaat olivat uneksineet. Hän ei asettanut sitä
muun Europan vastakohdaksi, ei viholliseksi, jonka menestys kasvaa
toisten kansojen raunioista; hän asetti sen noiden kansojen
johtajaksi, ikäänkuin lailliseksi hallitsijaksi, joka valtikoi kaikkien
yhteiseksi hyväksi; Ranska oli hänelle ihanteen miekka, ihmissuvun
yhteisen rintaman sivusmies. Hän olisi mieluummin kuollut kuin
nähnyt Ranskan tekevän vääryyttä. Mutta hän ei voinut aavistaa
ihanteessaan olevan mitään heikkouksia. Hän oli täydellisesti
ranskalainen, sydämeltään ja kulttuuriltaan, yksinomaan
ranskalaisten traditsionien syövyttämä, traditsionien, joiden
oikeutusta hänen ranskalainen vaistoelämänsä ei voinut epäillä. Hän
väheksyi, aivan rehellisesti kyllä, muukalaista ajatustapaa ja

suhtautui siihen halveksivan alentuvaisesti, — olipa ärtynytkin, ellei
muukalainen tyytynyt hänelle suotuun nöyryyttävään asemaan.
Christophe näki kaiken tämän hänessä, mutta kun hän oli
vanhempi ja enemmän elämän kokemuksia saanut, ei hän siitä
välittänyt. Niin loukkaavaa kuin tuollainen rotuylpeys olikin, ei se
Christopheen pystynyt; olihan se vain lapsenrakkauden kuvitelmien
kaunis ilmaus, eikä Christophe tahtonut suinkaan tuomita mitään
pyhiä tunteita, vaikkapa ne olisivat menneetkin liiallisuuksiin. Ja
onhan muuten kansojen turhamaisesta uskosta oman
kutsumuksensa pyhyyteen koko ihmisyydelle vain suurta etua.
Kaikesta, mikä vieroitti häntä Emmanuelista, oli hänelle ainoastaan
yksi seikka sietämätön: Emmanuelin ääni, joka kohosi joskus
äärimäisen kimeään sävyyn. Christophen korva kärsi siitä hirveästi.
Hän ei aina voinut olla irvistämättä suutaan kuullessaan sitä. Hän
koetti salata mielialansa Emmanuelilta. Koetti kuulla itse musiikkia,
eikä soittokonetta. Säteilihän sairaasta runoilijasta niin paljon
sankarillisuuden kauneutta, kun hän puhui haltioituneena hengen
voitoista, — noista toisten ja toisenlaisten voittojen edeltäjistä, —
ilmojen valloituksista, "lentävästä Jumalasta", joka kohotti joukot ja
vei niinkuin Betlehemin tähti ne innosta autuaina mukanaan
kaukaisuuden ääriin, joissa Ranskaa odotti läheinen revanche!
Näiden elämäntarmon visionien loisto ei estänyt Christophea
huomaamasta vaaraa, johon tällainen väkirynnäkkö johti, eikä
kuulemasta tämän uuden marseljeesin yhä kasvavaa pauhua. Hän
ajatteli, hiukan ironisesti, (kaipaamatta menneisyyttä tahi
pelkäämättä tulevaisuutta), että sitä laulua seuraisi kaiku, jota
laulaja itse ei vielä aavistanutkaan, ja että tulisi päivä, jolloin ihmiset
pitäisivät Markkinatorin aikoja parempina kuin nykyistä aikaa… Silloin
ajateltaisiin: Kuinka vapaita noina aikoina sittenkin oltiin! Todellista
vapauden kulta-aikaa! Koskaan ei enää saataisi sitä takaisin.

Maailma kulki voiman, terveyden, miehekkään puuhan aikakautta
kohti, ehkäpä kunniankin, mutta kovan auktoriteetin ja ahtaan
järjestyksen kahleisiin. Miten me ihannoimmekaan entisiä rauta-
aikojamme, klassillisuuden aikoja! Suuret klassilliset ajat, — Ludvig
XIV tai Napoleon, — näyttävät meistä kaukaa katsoen ihmisyyden
huipuilta. Ja ehkäpä on kansamme niinä aikoina voitokkaimmin
toteuttanut valtio-ihanteensa. Mutta kysykäämmepä silloisilta
sankareilta, mitä he ajastaan arvelevat! Ystävänne Nicolas Poussin
muutti elämään ja kuolemaan Roomaan; hän oli tukehtua
Ranskassa. Ystävänne Pascal ja Racine sanoivat maailmalle
jäähyväiset. Ja kuinka monet muut suurimmista elivät silloin kaikesta
täydelleen syrjässä, epäsuosiossa ja sorrettuina! Yksinpä sellainenkin
kuin Molière oli usein katkeroitunut. — Mitä tulee teidän
jumaloimaanne Napoleoniin, jota te niin kaipaatte, isänne eivät näy
aavistaneen hänen heille antamansa onnen suuruutta; eikä itse
antajakaan ollut totuudesta epätietoinen; hän tunnusti, että kun hän
katoaisi, niin maailma huokaisisi helpotuksesta: "Ohhoi!"…
Minkälainen erämaa olikaan Imperatorin ympärillä aatteisiin nähden!
Äärettömällä hietikolla afrikalainen aurinko…
Christophe ei ilmaissut näitä mietteitään. Kun hän oli sattunut
niihin vihjaisemaankin, joutui Emmanuel vimman valtaan; eikä
Christophe silloin uudistanut yritystään. Mutta vaikka hän säilyttikin
ajatuksensa ominaan, tiesi Emmanuel kuitenkin, mitä hän ajatteli. Ja
vielä selvemmin hän jollakin epämääräisellä tavalla tunsi, että
Christophe oli häntä kaukonäköisempi. Ja se ärsytti häntä yhä
enemmän. Nuoret eivät anna vanhemmille veljilleen anteeksi, että
nämä pakottavat heitä näkemään, minkälaisia he ovat
kahdenkymmenen vuoden päästä.

Christophe arvasi hyvin Emmanuelin tunteet, ja hän ajatteli
itsekseen:
— Hän on oikeassa. Pitäköön kukin uskonsa. Täytyy saada uskoa
siihen, mitä uskoo. Jumala varjelkoon minua järkyttämästä hänen
vahvaa luottamustaan tulevaisuuteen!
Mutta yksinpä Christophen läsnäolokin häiritsi Emmanuelia. Kun
kaksi persoonallisuutta joutuu yhteen, painaa heistä aina toinen
toista alleen, vaikka kumpikin koettaisi hälventää mahdollisimman
paljon omaa vaikutustaan. Ja kukistettu tuntee silloin aina
nöyryytetyn kaunaa. Emmanuelin ylpeys kärsi Christophen
kokemusten ja luonteen ylemmyydestä. Ja ehkäpä yritti Emmanuel
vaistomaisesti ainoastaan torjua rakkautta, joka hänessä kasvoi
Christophea kohtaan…
Emmanuel tuli yhä jäykemmäksi ja aremmaksi. Hän lukitsi
Christophelta ovensa. Hän ei vastannut hänen kirjeisiinsä. —
Christophen täytyi tyytyä olemaan tapaamatta häntä.
Oli tullut heinäkuun alku. Christophe päätteli, että nämä muutamat
Parisissa oleskelun kuukaudet olivat antaneet hänelle paljon uusia
aatteita, mutta vähän ystäviä. Loistavia ja samalla naurettavia
voittoja: ei ollut liioin ilahduttavaa nähdä omaa kuvaansa, teoksiaan,
keskolaisten älyjen heikontamana tahi irvikuvaksi vääntämänä. Ja
ne, joiden ymmärtämyksestä hän olisi pitänyt, eivät tunteneet
sympatiaa häntä kohtaan; he eivät välittäneet hänen
lähentymisyrityksistään; hän ei voinut heihin yhtyä, vaikka hän
olisikin kannattanut heidän toiveitaan, tahtonut olla heidän

liittolaisensa; tuntui siltä kuin heidän itserakkautensa olisi
levottomana kieltäytynyt hänen ystävyydestään ja pitänyt hänet
mieluummin vihamiehellä. Lyhyesti sanoen: hän oli antanut oman
sukupolvensa virran vieriä ohitseen, sen mukana liikkumatta; eikä
uuden polven virta nyt huolinut hänestä. Hän oli joutunut yksikseen,
mitä seikkaa hän ei kummastellutkaan, koska hän oli koko ikänsä
tottunut elämään niin. Mutta nyt, tämän uuden yrityksen jälkeen, oli
hän mielestään saanut täyden oikeuden palata sveitsiläiseen
erakkomajaansa ja ryhtyä siellä toteuttamaan erästä työtä, joka oli
vähitellen hänen mielessään selventänyt. Sikäli kuin hän vanheni,
vaivasi häntä yhä enemmän kaipuu asettua tuohon kotimaahansa.
Hän ei tuntenut siellä enää ketään, ja hän uskoi, että hän tapaisi
siellä hengenheimolaisia vieläkin vähemmän kuin tässä hänelle
vieraassa kaupungissa; mutta olihan Sveitsi toki hänen kotimaansa:
niiltä, jotka ovat meidän vertamme, emme vaadi, että heidän on
ajateltava samaan tapaan kuin me; heidän ja meidän välillämme on
tuhansia salaisia yhdyssiteitä; vaistot ovat oppineet lukemaan samaa
taivaan ja maan kirjaa, sydämemme puhuvat samaa kieltä.
Christophe kertoi iloisella tavalla näistä pettymyksistään Grazialle
ja ilmaisi hänelle aikeensa lähteä takaisin Sveitsiin; leikkiä laskien
pyysi hän häneltä lupaa saada poistua Paasista ja ilmoitti
matkustavansa sieltä seuraavalla viikolla. Mutta kirjeen, loppuun
tulikin sitten seuraava post-scriptum:
"Olen nyt muuttanut päätökseni. Lähtö on lykätty."
Christophe luotti Graziaan täydellisesti kaikissa asioissaan; hän
paljasti hänelle aina syvimmätkin salaisuudet. Ja kuitenkin oli hänen
sydämessään eräs pohjukka, mihin hän ei laskenut ketään muita
kuin itsensä: se oli ne hänen muistonsa, jotka eivät olleet pelkästään

hänen omiaan, vaan niidenkin, joita hän oli muinoin rakastanut.
Niinpä hän ei ollut hiiskunut Grazialle mitään Olivier Jeanninia
koskevaa. Sellaista salaamista ei hän tehnyt tieten taiten. Sanat eivät
päässeet hänen suustaan, jos hän aikoi puhua Grazialle tuosta
ystävästään. Eihän Grazia ollut Olivier Jeanninia tuntenut…
Sinä aamuna, jolloin Christophe kirjoitti ystävättärelle tätä kirjettä,
tultiin kolkuttamaan hänen oveensa. Hän meni avaamaan, ja nurisi,
että häntä häirittiin. Jokin nuori, noin neljän-, viidentoista vuoden
ikäinen poika kysyi, oliko monsieur Krafft tavattavissa. Christophe
pyysi tulijaa äkääntyneenä sisään. Poika oli vaaleaverinen, silmät
siniset, piirteet hienot; hän ei ollut kovin kookas, vartalo hento ja
pysty. Hän seisoi hetken Christophen edessä mitään puhumatta,
hiukan hämillään. Mutta nopeasti hän siitä selvisi ja loi Christopheen
kirkkaat silmänsä ja katseli häntä tarkastelevasti. Christophe hymyili
katsoessaan noita kauniita kasvoja; ja poikanenkin hymyili silloin.
— No, virkkoi Christophe, mitä te nyt tahdotte?
— Minä tulin, alkoi poika…
(Hän sekautui uudestaan, punastui ja oli vaiti.)
— Kyllähän näen, että tulitte, nauroi Christophe; mutta mitä
varten tulitte? Katsokaa nyt minuun, pelkäättekö te minua?
Poika hymyili jälleen, pudisti päätänsä ja vastasi:
— En pelkää.
— Hyvä! No, sanokaahan nyt ensin, kuka olette.
— Olen… yritti poika jälleen.

Hän keskeytti taas. Hänen katseensa, joka kierteli uteliaana pitkin
huonetta, oli huomannut uunin reunalla Olivier Jeanninin valokuvan.
Christophe silmäili vaistomaisesti sinne, minne poikakin.
— No niin, rohkeasti vaan! huudahti Christophe.
Poika sanoi:
— Minä olen hänen poikansa.
Christophe hätkähti; hän ponnahti tuoliltaan, tempasi pojan kaksin
käsin luokseen ja veti hänet rintaansa vasten; hän vaipui takaisin
paikalleen ja pusersi häntä syliinsä; heidän kasvonsa koskivat
melkein toisiinsa, ja Christophe katseli poikaa ja hoki:
— Pikkuiseni… rakkaani…
Yhtäkkiä hän taittui pojan ohimoihin kaksin käsin, ja suuteli häntä
otsalle, silmiin, poskille, nenään, hiuksiin. Poika säikähti ja tuli näin
rajusta tunteenpurkauksesta noloksi ja vetäytyi irti hänen käsistään.
Christophe päästi hänet. Hän kätki kasvonsa käsiinsä, hän painoi
otsansa seinää vasten ja seisoi hetken niin. Poika oli peräytynyt
toiselle puolelle huonetta. Christophe kohotti päätänsä. Hänen
kasvonsa olivat nyt rauhoittuneet; hän katseli poikaa, hellä hymy
huulillaan:
— Minä säikäytin sinut, sanoi hän. Anna anteeksi… Näetkös, minä
rakastin häntä niin paljon.
Poika oli vaiti ja yhä arka.
— Miten sinä olet hänen näköisensä! huudahti Christophe… Ja
kuitenkaan en olisi sinua tuntenut. Mikä tehneekään toiseksi?

Hän kysyi:
— Mikä on nimesi?
— Georges.
— Aivan niin. Muistan nyt. Christophe-Olivier-Georges… Miten
vanha olet?
— Neljätoista vuotta.
— Neljätoista vuotta! Niin kauanko siitä jo on?… Se on minusta
niinkuin eilinen päivä, — tai niinkuin pitkien aikakausien yö… Kuinka
sinä oletkin hänen näköisensä! Samat kasvojen muodot. Samat, ja
kuitenkin toiset. Sama silmien väri, eivätkä kuitenkaan samat silmät.
Sama hymy, sama suu, eikä silti sama äänensointu. Sinä olet
voimakkaamman näköinen, ryhtisi parempi. Kasvosi täyteläämmät,
mutta punastut aivan kuin hän. Tule istumaan tänne, niin jutellaan.
Kuka sinut lähetti minun luokseni?
— Ei kukaan.
— Itsestäsikö sinä siis tulit? Miten sinä minut tunsit?
— Olen kuullut puhuttavan teistä.
— Kuka on puhunut?
— Äiti.
— Niinkö! huudahti Christophe. Tiesikö hän, että sinä lähdit
luokseni.
— Ei.

Christophe oli hetkisen vaiti; sitten hän kysyi:
— Missä te asutte?
— Parc Monceaun lähistöllä.
— Tulitko sieltä jalkaisin? Niinkö? Siinä on patikoimista. Taidatpa
olla väsynyt.
— Minä en ole väsynyt milloinkaan.
— Kas vaan! Näytäpäs käsivarsiasi.
(Christophe tunnusteli hänen käsivarsiaan.)
Sinäpä olet luja miehenalku… Ja mikä sinut sai tulemaan minua
katsomaan?
— Se, että isä piti teistä enemmän kuin kenestäkään.
— Niinkö hän sinulle sanoi?
(Tämän lauseensa Christophe oikaisi:)
— Äitisikö sinulle on niin sanonut?
— Äiti.
Christophe hymyili mietteissään. Hän ajatteli: "Hänkin,
Jacqueline… Miten he kaikki rakastivat häntä! Miksi he eivät sitten
rakkauttaan hänelle näyttäneet?…"
Christophe jatkoi:
— Minkä tähden sinä tulit vasta nyt?

Welcome to our website – the perfect destination for book lovers and
knowledge seekers. We believe that every book holds a new world,
offering opportunities for learning, discovery, and personal growth.
That’s why we are dedicated to bringing you a diverse collection of
books, ranging from classic literature and specialized publications to
self-development guides and children's books.
More than just a book-buying platform, we strive to be a bridge
connecting you with timeless cultural and intellectual values. With an
elegant, user-friendly interface and a smart search system, you can
quickly find the books that best suit your interests. Additionally,
our special promotions and home delivery services help you save time
and fully enjoy the joy of reading.
Join us on a journey of knowledge exploration, passion nurturing, and
personal growth every day!
ebookbell.com

Artificial Intelligence Theory And Applications Endre Pap

About This Presentation

Slide Content

Tags

Categories

Download

Quick Actions

Statistics

Related Slideshows

Artificial Intelligence Theory And Applications Endre Pap

About This Presentation

Slide Content

Slide 1

Slide 2

Slide 3

Slide 5

Slide 6

Slide 7

Slide 8

Slide 9

Slide 10

Slide 11

Slide 12

Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18

Slide 19

Slide 20

Slide 21

Slide 22

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28

Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35

Slide 36

Slide 37

Slide 38

Slide 39

Slide 40

Slide 41

Slide 42

Slide 43

Slide 44

Slide 45

Slide 46

Slide 47

Slide 48

Slide 49

Slide 50

Slide 51

Slide 52

Slide 53

Slide 54

Slide 55

Slide 56

Slide 57

Slide 58

Slide 59

Slide 60

Slide 61

Slide 62

Slide 63

Slide 64

Slide 65

Slide 66

Slide 67

Slide 68

Slide 69

Slide 70

Slide 71

Slide 72

Slide 73

Slide 74

Slide 75

Slide 76

Tags

Categories