Assimetria e Curtose da Poisson (Parte 1)

Cálculo da média, variância, desvio padrão, coeficiente de assimetria e coeficiente de curtose da distribuição de Poisson. Veja ainda resoluções envolvendo o coeficiente de variação e os momentos da distribuição de poisson usando a função geratriz de momentos.

1. Distribuição de Poisson
Anselmo Alves de Sousa
July 21, 2016

2. [email protected]

3. Distribuição de Poisson
P(X=x) =

x
e

x!
; x= 0;1;2;:::
=E(X) =

2
=V ar(X) =)=
p

3= 1=
p

4= 3 + 1=
MX(t) =E(e
tX
)

4. Preliminares
Regras de derivação:
ISef(x) =h(x) +g(x))f
0
(x) =h
0
(x) +g
0
(x)
ISef(x) =h(x)g(x))f
0
(x) =h
0
(x)g(x) +h(x)g
0
(x)
ISef(x) =e
g(x)
)f
0
(x) =g
0
(x)e
g(x)
Outros Resultados importantes:
1
X
x=0

x
x!
= 1 ++

2
2!
+

3
3!
+:::=e

1
X
x=0

e
t

x
= 1 +e
t
+
(e
t
)
2
2!
+
(e
t
)
3
3!
+:::=e
e
t

5. FGM da Poisson
P(X=x) =

x
e

x!
; x= 0;1;2;:::
MX(t) =E(e
tX
) =
1
X
x=0
e
tx


x
e

x!
=e

1
X
x=0
(e
t
)
x
x!
=e


1 +e
t
+
(e
t
)
2
2!
+
(e
t
)
3
3!
+:::

=e

e
e
t
=e
e
t

= exp[exp(t)]

6. Importância da FGM
MX(t) =E(e
tX
)
M
0
X(t) =E(Xe
tX
))M
0
X(0) =E(X)
M
00
X(t) =E(X
2
e
tX
))M
00
X(0) =E(X
2
)
M
000
X(t) =E(X
3
e
tX
))M
000
X(0) =E(X
3
)
:::=:::
M
(n)
X
(t) =E(X
n
e
tX
))M
(n)
X
(0) =E(X
n
)

7. Média, Variância e Desvio Padrão da Poisson
P(X=x) =

x
e

x!
; x= 0;1;2;:::)MX(t) = exp[exp(t)]
MX(t) = exp
g(t)
z}|{
[exp(t)] =e
g(t)
M
0
X(t) =exp(t)exp[exp(t)] =exp(t)MX(t)
M
0
X(0) =exp(0)[exp(0)]
M
0
X(0) =exp[] =exp(0) =)E(X) =

8. Média, Variância e Desvio Padrão da Poisson
V ar(X) =E(X
2
)E(X)
2
MX(t) = exp[exp(t)]
M
0
X(t) =exp(t)MX(t)
M
00
X(t) =exp(t)MX(t) +exp(t)M
0
X(t)
=exp(t)
h
MX(t) +M
0
X(t)
i
M
00
X(0) =exp(0)
h
MX(0) +M
0
X(0)
i
=E(X
2
) =(1 +)
V ar(X) =E(X
2
)E(X)
2
=+
2

2
=e=
p

9. CESPE/UnB SEI/SAEB 2012
A quantidade diária de acidentes domésticos X segue
uma distribuição de Poisson. Sabe-se que a média da variável
aleatória X é igual a 1 acidente por dia. Em70%dessas
ocorrências de acidentes, há envolvimento de pessoas menores
de idade. A partir dessas informações, julgue os itens que se
seguem.
70.ln[P(X= 0)] =1.
71.
envolvimento de pessoas menores de idade segue uma
distribuição de Poisson com média igual a0;7acidente/dia.
72. Xé igual a1.

10. CESPE/UnB SEI/SAEB 2012
70. = 1acidente/dia
P(X=x) =

x
e

x!
; x= 0;1;2;:::)P(X=x) =
e
1
x!
Consequentemente:
P(X= 0) =e
1
)ln[P(X= 0)] = lne
1
=1
Certo!

11. CESPE/UnB SEI/SAEB 2012
71. 1= 0;70acidente/dia
P(X=x) =

x
e

x!
; x= 0;1;2;:::)P(X=x) =
0;70
x
e
0;70
x!
Certo!

12. CESPE/UnB SEI/SAEB 2012
72. XPoisson())E(X) =e=
p
.
CV(X) =


=
p


=
1
p

6= 1
Errado!

13. Próxima Aula
ICoeciente de Assimetria
3=E

(X)
3

3

ICoeciente de Curtose
4=E

(X)
4

4