ATP_Smart_Book_Matematika_Tingkat_Lanjut_11_Bab_2_B1547116.pptx

ATP_Smart_Book_Matematika_Tingkat_Lanjut_11_Bab_2_B1547116

1. Mulai

2. Bab 2 Matriks

3. Tujuan Pembelajaran Menjelaskan konsep matriks . Mengidentifikasi jenis-jenis matriks berdasarkan ordo dan elemen penyusunnya . Menentukan transpose matriks . Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kesamaan dua matriks . Menentukan hasil operasi penjumlahan dan pengurangan dua matriks . Menentukan hasil operasi perkalian skalar dengan matriks dan perkalian dua matriks . Menentukan determinan dan invers matriks berordo 2 × 2 dan 3 × 3. Menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan matriks .

4. Materi Pokok . A. Konsep dan Jenis Matriks C . Penjumlahan dan Pengurangan Matriks B . Transpose dan Kesamaan Dua Matriks D . Perkalian Matriks E . Determinan dan Invers Matriks

5. 2 . Jenis Matriks 1 . Konsep Matriks A. Konsep dan Jenis Matriks

6. 1 . Konsep Matriks Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun dalam baris dan kolom berbentuk persegi atau persegi panjang . Kumpulan bilangan dalam matriks diberi batas berupa kurung biasa ( ), kurung siku [ ], atau kurung lurus ganda || ||. Matriks dinamai dengan huruf kapital , misalnya matriks A, matriks B, dan matriks C. Bilangan-bilangan penyusun matriks disebut elemen atau anggota matriks . Elemen matriks ditulis dengan huruf kecil sesuai nama matriks . Sebagai contoh a ij adalah elemen matriks A. Notasi i dan j menunjukkan letak elemen , yaitu pada baris ke-i dan kolom ke -j.

7. Misalkan diketahui matriks A terdiri atas m baris dan n kolom . Matriks A dikatakan berordo m × n dan ditulis A m × n . Secara umum , matriks A m × n ditulis sebagai berikut .

8. Contoh Soal Tentukan nilai kebenaran pernyataan berikut. Jika matriks berordo m × n dengan m < n, baris matriks M lebih banyak daripada kolomnya. Banyak elemen matriks berordo m × n sama dengan banyak elemen matriks berordo n × m. Jawaban : Diketahui matriks berordo m × n sehingga banyak baris = m dan banyak kolom = n. Diketahui m < n sehingga baris matriks M lebih sedikit daripada kolomnya. (Pernyataan a salah) Banyak elemen matriks berordo m × n = mn. Banyak elemen matriks berordo n × m = mn. (Pernyataan b benar).

9. Latihan Diketahui matriks B berordo 2 × 6. Apakah terdapat elemen a62 pada matriks tersebut ? Berikan penjelasanmu . Misalkan matriks C mempunyai elemen yang sama banyak dengan matriks B. Tuliskan seluruh ordo matriks C yang mungkin .

10. 2 . Jenis Matriks Secara umum , matriks dibedakan berdasarkan bentuk atau elemennya . Berdasarkan bentuk , matriks dibedakan menjadi matriks persegi , matriks baris, dan matriks kolom . Berdasarkan elemennya , matriks dibedakan menjadi matriks segitiga , matriks diagonal, matriks identitas , matriks nol , dan matriks simetris . Matriks Persegi Matriks persegi adalah matriks yang memiliki baris dan kolom sama banyak . Dengan demikian , matriks persegi dapat berordo 2 × 2, 3 × 3, 4 × 4, hingga n × n. Dalam matriks persegi dikenal istilah diagonal samping dan diagonal utama . Perhatikan matriks persegi n × n berikut .

11. Dalam matriks persegi dikenal istilah diagonal samping dan diagonal utama . Perhatikan matriks persegi n × n di samping . Matriks Baris Matriks baris berupa matriks yang mempunyai 1 baris dan beberapa kolom . Secara umum , matriks baris mempunyai ordo 1 × n. Beberapa contoh matriks baris sebagai berikut .

12. Matriks Kolom Matriks kolom berupa matriks yang mempunyai 1 kolom dan beberapa baris. Secara umum matriks kolom mempunyai ordo n × 1. Perhatikan contoh matriks kolom di samping . Matriks Segitiga Matriks segitiga merupakan matriks persegi yang memenuhi syarat tertentu . Syarat tersebut yaitu semua elemen yang berada di bawah atau di atas diagonal utama bernilai nol. Jika semua elemen di bawah diagonal bernilai nol , matriks itu disebut matriks segitiga atas . Jika semua elemen di atas diagonal utama bernilai nol , matriks itu disebut matriks segitiga bawah .

13. Matriks Diagonal Mirip matriks segitiga , matriks diagonal juga berupa matriks persegi dengan syarat tertentu . Syarat itu adalah semua elemen bernilai nol , kecuali elemen diagonal utama . Perhatikan contoh matriks diagonal di samping . Matriks Identitas Semua elemen diagonal utama matriks identitas bernilai 1 dan elemen lain bernilai nol. Matriks identitas berupa matriks persegi dengan ordo 2 × 2, 3 × 3, dan seterusnya hingga n × n. Perhatikan contoh matriks identitas di samping .

14. Matriks Nol Matriks nol adalah matriks berordo m × n yang seluruh elemennya bernilai nol. Perhatikan contoh matriks nol di samping . Matriks Simetris Matriks persegi mempunyai diagonal utama . Matriks A dikatakan simetris jika nilai a ij = a ji ( dengan i ≠ j). Perhatikan contoh matriks simetris di samping .

15. Contoh Soal Diketahui matriks A dengan 16 elemen. Tentukan: seluruh ordo matriks A yang mungkin. satu contoh matriks A jika matriks A berupa matriks segitiga atas. Jawaban : Diketahui matriks A mempunyai 16 elemen. Oleh karena itu, ordo matriks berupa pasangan bilangan yang habis membagi 16. Ordo matriks A yang mungkin: 1 × 16, 2× 8, 4 × 4, 8 × 2, dan 16 × 1 A matriks segitiga atas sehingga matriks A berupa matriks persegi dan seluruh elemen di bawah diagonal utama bernilai nol. Contoh matriks A:

16. Latihan

17. 1 . Transpose Matriks 2 . Kesamaan Dua Matriks B. Transpose dan Kesamaan Dua Matriks

18. 1 . Transpose Matriks Matriks B disebut transpose matriks A jika elemen kolom matriks B sama dengan elemen baris matriks A, dan sebaliknya. Transpose matriks A dinotasikan dengan A T . Transpose matriks A = (a ij ) adalah A T = (a ji ).

19. Contoh Soal Tentukan transpose matriks berikut . Jawaban : Transpose matriks A: Transpose matriks B:

20. Latihan

21. 2 . Kesamaan Dua Matriks Misalkan diketahui matriks A dan matriks B. Matriks A sama dengan matriks B jika memenuhi aturan berikut . a. ordo kedua matriks sama ; b. elemen-elemen yang seletak bernilai sama .

22. Contoh Soal Jawaban : Diketahui A = A T sehingga : x 2 + 3x – 1 = -3 x 2 + 3x + 2 = 0 (x + 2)(x + 1) = 0 x + 2 = 0 atau x + 1 = 0 x = -2 atau x = -1 Diketahui matriks A = Jika A = A T , tentukan nilai x yang memenuhi .

23. Latihan

24. 1 . Penjumlahan Matriks 2 . Pengurangan Matriks C . Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

25. 1 . Penjumlahan Matriks Misalkan A matriks berordo m × n dengan elemen a ij . Matriks B berordo m × n dengan elemen b ij . Hasil penjumlahan matriks A + B menghasilkan matriks C berordo m × n dengan elemen c ij = a ij + b ij . Jadi, penjumlahan matriks dapat dilakukan jika ordo kedua matriks sama. Penjumlahan dilakukan dengan menjumlahkan elemen-elemen seletak.

26. Pada penjumlahan matriks berlaku sifat-sifat berikut. Sifat komutatif, yaitu: A + B = B + A Sifat asosiatif, yaitu: A + (B + C) = (A + B) + C A + O = O + A = A dengan O adalah matriks nol. Matriks O disebut unsur identitas penjumlahan matriks. A + (–A) = (–A) + A = O. Matriks –A disebut lawan matriks A. Elemen-elemen matriks –A bernilai sama dengan elemen-elemen matriks A, tetapi berlawanan tanda. Matriks –A disebut invers penjumlahan matriks. (A + B) T = A T + B T .

27. Contoh Soal Jawaban : Tentukan hasil penjumlahan matriks berikut.

28. Latihan

29. 2 . Pengurangan Matriks Operasi pengurangan dua matriks dapat dilakukan jika ordo kedua matriks sama . Pengurangan dilakukan dengan mengurangkan elemen-elemen yang seletak . Pada pengurangan matriks , berlaku sifat A – B ≠ B – A.

30. Contoh Soal Jawaban :

31. Latihan

32. 1 . Perkalian Matriks dan Skalar 2 . Perkalian Dua Matriks D . Perkalian Matriks

33. 1 . Perkalian Matriks dan Skalar Misalkan diketahui matriks A m × n dan bilangan skalar (bilangan real) k. Elemen-elemen matriks A dinotasikan dengan a ij . Perkalian kA diperoleh dengan mengalikan setiap elemen matriks A dengan k. Dengan demikian, elemen matriks kA adalah ka ij . Misalkan A dan B adalah matriks dengan ordo sama. Misalkan pula k dan h adalah skalar. Pada perkalian matriks dengan skalar berlaku sifat-sifat berikut. a. kO = O, dengan O matriks nol. b. kA = O untuk k = 0. c. h(kA) = (hk)A (sifat asosiatif). d. (h ± k)A = hA ± kA (sifat distributif) e. k(A ± B) = kA ± kB (sifat distributif)

34. Contoh Soal Diketahui matriks A dan B berikut. Tentukan matriks C jika C = 2A – B. Jawaban :

35. Latihan Diketahui matriks berikut . Tentukan matriks C jika C = A – 3B.

36. 2 . Perkalian Dua Matriks Misalkan matriks A berordo m × n dan matriks B berordo p × q. Perkalian matriks A × B menghasilkan matriks C dengan ordo m × q. Perkalian matriks tersebut dapat dikalikan jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B. Jadi, syaratnya n = p. Hasil perkalian matriks A × B tidak sama dengan B × A.

37. Misalkan semua hasil kali dan hasil penjumlahan terdefinisi untuk matriks A, B, dan C serta untuk k bilangan real. Sifat perkalian matriks sebagai berikut . Sifat asosiatif : A(BC) = (AB)C Sifat distributif kiri : A(B + C) = AB + AC A(B – C) = AB – AC Sifat distributif kanan : (B + C)A = BA + CA (B – C)A = BA – CA Sifat asosiatif : k(AB) = (kA)B = A(kB)

38. Pada matriks persegi terdapat matriks identitas I sedemikian hingga berlaku IA = AI = A. Jika AB = O belum tentu A = O atau B = O. O adalah matriks yang semua elemennya 0. Jika AB = AC belum tentu B = C. Jika A T dan B T berturut-turut adalah transpose dari matriks A dan matriks B, berlaku : (AB) T = B T A T

39. Contoh Soal Jawaban : Perkalian A × B tidak dapat dilakukan . Hasil perkalian A × B sebagai berikut .

40. Latihan

41. 1 . Determinan Matriks 2 . Invers Matriks E . Determinan dan Invers Matriks

42. 1 . Determinan Matriks Determinan matriks diperoleh dengan perkalian elemen-elemen secara diagonal. Oleh karena itu, determinan hanya dimiliki oleh matriks persegi. Pada pembahasan ini kamu akan mempelajari determinan matriks berordo 2 × 2 dan 3 × 3. Determinan Matriks 2 × 2 Matriks berordo 2 × 2 mempunyai diagonal utama dan diagonal samping. Determinan berhubungan erat dengan perkalian elemen-elemen diagonal tersebut.

43. Nilai determinan berpengaruh terhadap jenis matriks. Jika nilai determinannya nol, matriks disebut matriks singular. Jika nilai determinannya bukan nol, matriks disebut matriks nonsingular. Pada matriks berlaku sifat determinan berikut. det (AB) = det (A) det (B) det (A) = det (A T ) det (kA) = k 2 det (A) untuk A 2 × 2 dan det (kA) = k 3 det (A) untuk A 3 × 3 det (A n ) = (det (A)) n

44. Determinan Matriks 3 × 3

45. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear dengan Determinan Matriks

46. Contoh Soal Jawaban :

47. Latihan

48. 2 . Invers Matriks Diketahui matriks A. Misalkan hasil perkalian matriks A dan matriks B menghasilkan matriks identitas . Matriks B yang memenuhi AB = I dinamakan invers matriks A. Selanjutnya invers matriks A dinotasikan dengan A –1 . Invers Matriks 2 × 2

49. Invers Matriks 3 × 3

50. Sifat-Sifat Invers Matriks

51. Contoh Soal Jawaban :

52. Latihan