Aula-2.ppt Velocidade média Velocidade Instantânea

Velocidade média�
Velocidade Instantânea�

1. Movimento em uma dimensão 1-D
Ilustração dos
“Principia” de
Newtonmostrandoa
ideiadeintegral.

2. Movimento em 1-D
•Entenderomovimentoéumadasmetasdasleis
daFísicaClássica.
•AMecânicaestudaomovimentoeassuascausas.
•AsuadescriçãoefeitapelaCinemática.
•AssuascausassãodescritaspelaDinâmica.
•Iniciamoscomomovimentoem1-D.

3. Posição –1D
-3 -2 -1 0 1 2 3
escolha um ponto!
Emcinemática,osconceitosdetempoeposiçãosão
primitivos.Umobjetoélocalizadopelasuaposiçãoaolongo
deumeixoorientado,relativamenteaumpontodereferência
(observador),geralmentetomadocomoorigem(x=0)
Umconceitoimportanteéodarelatividadedomovimento:
suadescriçãodependedoobservador.
x(m)

4. O deslocamento
Exemplo: corrida de 100 metros.
x = x
2-x
1
t = t
2–t
1
: deslocamento
: intervalo de tempo
Odeslocamentounidimensionaldeumobjetonumintervalo
detempo(t
2-t
1)éadiferençaentreaposiçãofinal(x
2)no
instantet
2eaposiçãoinicial(x
1)not
1.

5. Velocidade média

6. Velocidade médiat
x
tt
xx
v
m






12
12
De 0 a 5,01 s : v
m= 40m / 5.01s = 8,0 m/s
De 5,01 a 10,5 s: v
m= 60m / 5,49s = 10,9 m/s
Em todo o intervalo (de 0 a 10,5 s) :
v
m= 100m / 10,5s = 9,5 m/s
OBS:A velocidade médianos dá informações sobre um intervalo de
tempo.Mas pode ser que queiramos saber a velocidade em umdado
instante.
Exemplo: Corrida de 100 metros.
** Se (movimento à direita, ou no
sentido de crescimento de x) e se
(movimento à esquerda, ou no sentido de
decréscimo de x)00 vx 00 vx

7. Velocidade Instantânea

9. Velocidade Instantânea)(tx t )(tx t 0t tt
0 
Velocidade média entre ttet 
00 tg
t
tx
v
m 



)( smv
m /6,0
?

10. Velocidade Instantânea)(tx t )(tx t 0t tt
0 
Velocidade média entre ttet 
00 smv
m /2,1 tg
t
tx
v
m 



)(

11. Velocidade Instantânea)(tx t 0t tt
0 
Velocidade média entre ttet 
00 smv
m /5,1 tg
t
tx
v
m 



)(

12. Velocidade instantânea)(tx t tg
dt
tdx
t
tx
tv
t





)()(
lim)(
0  0t
Velocidade instantânea em t
0smtv /5,1)(
0
reta tangente à curva
(a velocidade instantânea
é a derivada da posição
em relação ao tempo)

13. Velocidade instantânea
dt
dx
t
x
tv
t




0
lim
Geometricamente
Conceito Derivada
Exemplo:
Na corrida, de 100 m,
a velocidade em t= 2s ésm
s
m
stv 0,8
2,11
90
)2( 
Tangente

14. Visualização gráfica da derivada

15. Algumas derivadas importantes
0)(tf dttdgbdttdfa /)(/)(  )()( tgbtfa dttdf/)( constantea n
t 1n
nt tsin tcos tcos tsin t
e
 t
e

 tln 1
t

16. Emalgumassituações, .Entretanto,asduas
podemserbastantediferentes.Ex:partículapartedeO,em
ritmoconstante,atingePeretornaaO,depoisdedecorrido
umtempototaleterpercorridoumadistânciatotalL.
Velocidade escalar média e velocidade escalar
Avelocidadeescalarmédiaéumaformadiferentededescrevera“rapidez”comque
umapartículasemove.Elaenvolveapenasadistânciapercorrida,independentemente
dadireçãoesentido:t
v
em


totaldistância  
O P
t
x 2
 2
L
Avelocidadeescalaréomódulodavelocidade;
elaédestituídadequalquerindicaçãodedireçãoe
sentido.(Ovelocímetrodeumcarromarcaavelocidade
escalarinstantâneaenãoavelocidade,jáqueelenão
podedeterminaradireçãoeosentido).memvv
Neste caso:0
mv 
L
v
em
e

17. Velocidade instantânea
Um caso particular: velocidade constante0
0
)(
tt
xx
v
dt
dx
tv
m


 )(tx t tt t tt )(tv
Graficamente:)(
00 ttvxx 
ou:

18. O cálculo de x(t) a partir de v(t))(
00 ttvxx 
Este é o problema inverso. Considere inicialmente o caso
de velocidade constante. Então:
Notequev(t–t
0)éaáreasobacurvada
velocidadev=constanteemfunçãodo
tempo.
Esteéumresultadogeral.Para
demonstrá-lo,usaremosqueparaintervalos
detempomuitocurtospodemosescrever:
onde v(t) é a velocidade instantânea em t.,)(ttvx 
t
v)(tv
t
0
v

19. O cálculo de x(t) a partir de v(t)t )(tv )(tv t tdtvxx
t
t

0
0
No limite Ne t0:0t it
v(t
i)0
()
( ) ( )
()
ii
i
i
i
i
x v t t
x t x t x
v t t
  

   


 0t t
Dividimos o intervalo (t-t
0)
em um número grande N de
pequenos intervalos t

20. O cálculo de x(t) a partir de v(t)

t
t
tdtvxtxe
dt
tdx
tv
0
)()(
)(
)(
0
Avelocidadeéobtidaderivando-seaposiçãoemrelação
aotempo;geometricamente,avelocidadeéocoeficiente
angulardaretatangenteàcurvadaposiçãoversustempono
instanteconsiderado.
Odeslocamentoéobtidopelaanti-derivação(ou
integração)davelocidade;geometricamente,odeslocamento
éaáreasobacurvadafunçãovelocidadeversustempo.

21. Algumas integrais importantes)(tf )()( tGbtFa )()( tgbtfa )(tF 1,nt
n 1/
1


nt
n tsin /cost tcos /sint t
e
 

/
t
e ||lnt 1
t at constantea

22. Aceleração médiat
v
tt
vv
a
m






12
12
Aceleração média:
de 0s até 4s: a
m= 10m/s / 4s = 2,5 m/s
2
Umcorredoracelerauniformemente
até10m/semt=4,0s.Mantéma
velocidadenospróximos4sereduz
avelocidadepara8,0m/snos4,7s
seguintes.Aceleraçõesmédias:
de 4s até 8s: a
m= 0m/s / 4s = 0 m/s
2
de 8s até 12,7s: a
m= -2m/s / 4,7s = -0,42 m/s
2

23. Aceleração média)(tv t )(tv t 0t tt
0 tg
t
tv
a
m 



)( 
Aceleração média entrettet 
00

24. )(tv t tg
dt
tdv
t
tv
ta
t





)()(
lim)(
0  0t Aceleração instantânea em t
0
Aceleração instantânea
(aaceleraçãoinstantânea
éaderivadada
Velocidadeemrelaçãoao
tempo)
reta tangente à curva da velocidade

25. Aceleração instantâneadt
dv
t
v
a
t




0
lim 2
2,2
7,2
9,5
)2( sm
s
sm
sta 
GráficosConceito
Derivada
Exemplo:
Na corrida de 100 m, a aceleração em t = 2s
é:2
2
dt
xd
dt
dx
dt
d
dt
dv
a 







Note que
Derivada
segunda
v(t)
v(t)
a(t)

26. Aceleração constante
0
0
tt
tvtv
aa
m


 atvv
0 2
00 vv
t
xx
v
m




Se a aceleração é constante
Se t
0= 0 e v(t
0)= v
0, temos que a velocidade fica:
Note que neste movimento a
velocidade média é dada por2
2
00
at
tvxx 
temos:Comotvxx
m
0 ,
?

27. Equação de Torricelli
Demonstrar em sala !!!!!! 
0
2
0
2
2 xxavv  2
00 vv
t
xx
v
m





28. Resumo: aceleração constante
Asequaçõesdemovimentoparaocasodeaceleração
constantesão: 
 tvvxx
xxavv
attvxx
atvv




00
0
2
0
2
2
00
0
2
1
2
2
1

29. Aceleração da gravidade
Galileo,oprimeirofísico
moderno,estudouaquedados
corpos.Refutouashipótesesde
Aristóteles.
Usandoexperimentos,mostrou
queoscorposcaemcomamesma
velocidade,independentementede
suamassa.
x~t
2
,v~t;conseqüênciasdeuma
aceleraçãoconstante!

30. Aceleração da gravidade
Mas...devemosnotarquehá,em
geral,outrasforçasatuandono
corpoconsiderado,oquepode
frustrarumaexperiênciasenão
formossuficientementecuidadosos.
a resistência do
ar!!

31. Corpos em queda livre
Bola jogada
para cima
Para cima:
diminuindo v
Bola para
Para baixo
v aumenta

32. Resumo: aceleração constante (-g)
Asequaçõesdemovimentoparaocasodeaceleraçãoda
gravidade-gsão(aolongodoeixoy): 
 tvvyy
yygvv
gttvyy
gtvv




00
0
2
0
2
2
00
0
2
1
2
2
1
g
y

33. Exemplogtvegty 
2
2
1
Umcorpocailivrementeapartirdo
repouso;calculeasuaposiçãoe
velocidadeemt=1,0,2,0e3,0s.
Em t = 1,0 s:
y = -4,9 m e v= -9,8m/s
Continuando temos ...

34. O cálculo de v(t) a partir de a(t))(
00 ttavv 
Este é novamente o problema inverso. Considere inicialmente o
caso de aceleração constante. Então,
Note que a(t-t
0) é a área sob a curva da
aceleraçãoa(t) = constante em função do tempo.
Este também é um resultado geral. Para
demonstrá-lo, usaremos que para intervalos de
tempo muito curtos podemos escrever
onde a(t) é a aceleração instantânea no instante t.ttav  )(
t
a0t
a(t)

35. O cálculo de v(t) a partir de a(t))(ta t tdtavv
t
t

0
0 0t
Dividimos o intervalo (t-t
0
)
em um número grande N de
pequenos intervalos .0
()
( ) ( )
()
ii
i
i
i
i
v a t t
v t v t v
a t t
  

   


 t t t 0t it )(ta
a(t
i)
No limite Ne t0:

36. O cálculo de v(t) a partir de a(t)

t
t
tdtavtve
dt
tdv
ta
0
)()(
)(
)(
0
Aaceleraçãoéobtidaderivando-seavelocidade;
geometricamente,éocoeficienteangulardareta
tangenteàcurvadavelocidadeversustempono
instanteconsiderado.
Avelocidadeéobtidapelaanti-derivação(ou
integração)daaceleração;geometricamente,a
variaçãodevelocidadeéaáreasobacurvada
funçãoaceleraçãoversustempo.

37. Movimento relativo 1D
Dadas as posições x
Ae x
B de dois corpos A e B em relação
a uma origem 0 (referencial), a posição relativa de A em relação
a B é dada por:
x
AB = x
A –x
B
Então, a velocidade relativa v
ABde A em relação a B é:BA
BAAB
AB vv
dt
dx
dt
dx
dt
dx
v 
E a aceleração relativa a
ABde A em relação a B é:BA
AB
AB aa
dt
dv
a 

38. Exercícios
1.Umautomóvelviajaemumaestradaretilíneapor40km
a30km/h.Emseguida,continuandonomesmosentido,
percorreoutros40kma60km/h.(a)Qualéavelocidade
médiadocarroduranteestepercursode80km?
(Suponhaqueocarrosemovenosentidopositivodex.)
(b)Qualéavelocidadeescalarmédia?(c)Traceo
gráficodexemfunçãodetemostrecomocalculara
velocidademédiaapartirdográfico.
2.Aodarumespirroforte,seusolhospodemfecharpor0,5
segundos.Sevocêestiverdirigindoumcarroa90Km/h,
quedistânciapercorreráduranteessetempo?

39. Umautomóvelviajaemumaestradaretilíneapor40kma30km/h.Emseguida,
continuandonomesmosentido,percorreoutros40kma60km/h.(a)Qualéavelocidade
médiadocarroduranteestepercursode80km?(Suponhaqueocarrosemovenosentido
positivodex.)(b)Qualéavelocidadeescalarmédia?(c)Traceográficodexemfunçãodet
emostrecomocalcularavelocidademédiaapartirdográfico.