(Aula 3) equações logaritmicas

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1. EQUACOES EXPONENCIAIS

Como havíamos dito quando do primeiro estudo de equacóes exponenciais,
voltamos novamente a esse assunto,

Abordaremos agora, as equacóes exponenciais que náo podem ser reduzi-
das a uma igualdade de poténcias de mesma base, através de simples aplicacáo
das propriedades das potencias.

A resolucáo de uma equacáo deste tipo baseia-se na definigáo de logarítmo,
isto é, se 0 < a + 1eb>0 temse:

aX = be x = log b

2. EXERCICIOS

Resolver as equacdes

a) 2% = 3 be
Solugöes
a) 2-3 — x - log 3
S = ¿log 3}
52x
bi 52*-3:3 > 3 => 25% = 375 =x = logs 375

S = {logs 375)

3. EQUAÇOES LOGARITMICAS

Podemos classificar as equacdes logarítmicas em trés tipos:

1° Tipo: log, f(x} = log, g(x)

E a equaçäo que apresenta ou é redutível a uma igualdade entre dois loga-
ritmos de mesma base a (0 < a # 1).

A resolucáo de uma equaçäo deste tipo baseia-se na quarta conseqiiéncia da
definiçäo.

4. 2° Tipo: log, fix) = a.

É a equaçäo logarítmica que apresenta ou é redutivel a uma igualdade entre
um logaritmo e um número real,

A resolucáo de uma equacáo deste tipo é simples, basta aplicarmos a defini-
cáo de logaritmo,

Esquematicamente, temos:

Se 0<a+1 e ai entio

log, flx) = a = fix) = a

5. Näo precisamos nos preocupar com a condigáo de existéncia do logaritmo,
sendo 0< a 1, temos 0 para todo a real e consequentemente

lx) = 200,

6. Exemplos

19) Resolver a equaçäo log, (3x + 1) = 4.
Solucáo
log, (3x + 1) =4 => 3x+1=24 = 3x =15 =>x=5
S = (5).

7. 2°} Resolver a equaçäo logs (x? + 3x - 1) = 2.
Soluçäo

logs (x? + 3x - 1) = 2 or + 3x - 1 = 9Ù =x + 3x - 10 = 0 —
=x=2o0ux=-5,

$= (2, -5}.

8. 39) Resolver a equagäo log, [1 + logs (1 - 2x)] = 2.

Solucáo

log, [1 + logs (1 - 2x)] = 2 — 1 + log (1 - 2x) = 2? =>
=> log; (1 - 2x) = 3 == 1 - 2x = 3? — x = -13.

S = (-13)

9. 3° Tipo: incógnita auxiliar

Säo as equaçôes que resolvemos fazendo inicialmente uma mudança de
incógnita.

10. Exemplos

19} Resolver a equaçäo logí x - log x = 2.
Solugao
A equaçäo proposta € equivalente à equagäo
(log, x}? - log, x - 2 = 0

Fazendo log, x = y temos: y? - y - 2 = 0 — y = 2 où y = 1.
Mas, y = log, x, entao:
logx=2— x-2 -4 log; x = = x = 271

gl
S= {4, ait

N|=

11. 2 + log; x é logs X

0) R 40 —_——_ + _—— =
2°) Resolver a equaçäo ra ET 2.
Soluçäo
Fazendo log; x = y, temos:
A la aseyittylty = ality) =
y (+ y
=> 2) +3y+2= 2 +2 => y=-2
Mas y = log; x, entáo: logs x = -2=>x = 3? = ;
-1
S= {-}

9

12. Nao nos devemos esquecer das condigöes de existéncia do logaritmo, isto €,
a base do logaritmo deverá ser positiva e diferente de um e o logaritmando
deverá ser positivo. Assim sendo, os valores encontrados na resolugäo da equacáo
só seräo considerados solusöes da equagäo logarítmica proposta se for um valor
que satisfaz as condigóes de existéncia do logaritmo,

Esquematicamente, temos:

Se0<az1 ento

log, f(x) = log, gx) => fix) = glx) > 0

13. Exemplos

10) Resolver a equacáo log, (3x - 5) = log: 7.
Solugäo
log; (3x - 5) = logy 7 == 3x -5=7>0
Resolvendo
3x-5=7 = x=4

x = 4 é soluçéo da equacáo proposta e náo há necessidade de verificarmos pois
7 > 0 é satisfeita para todo x real.

S = {4}.

14. 2°) Resolver a equagäo logs {2x - 3) = log; (4x - 5).

Soluçäo

logs (2x - 3) = logs (4x - 5) => 2x - 3 = 4x-6>0.

Resolvendo

x-3=4x-5 = x=]
x = 1 nao é solugäo da equaçäo proposta pois fazando x = 1 em 4x - 5 encontra-
mos 4+ 1 - 5=-1<0), logo a equaçäo proposta náo tem solugäo. Chegaria-
mos a mesma conclusáo se ao invés de fazer x = 1 em 4x - 5, o fizéssemos em
2x - 3, já que 2x - 3 = 4x - 5,

5-8.

15. 30) Resolver a equacdo logs (x? - 3x - 10) = logs (2 - 2x),

Soluçäo

logs (x? - 3x - 10) = logs (2 - 2x) => x? - 3x - 10 = 2- 2x > 0.
Resolvendo

2 -%-10-2-% = x -x- 1220 — x = 4 ou x = 3.
x = 4 no é solucdo, pois, fazendo x = 4 em 2-2 encontramos

2-2:4= 6<0.
x = -3 é solucáo, pois, fazendo x = -3 em 2 - 2x encontramos

2-2: (-3)=8>0.
$= (-3)

16. EXERCICIOS

4 Resolver as equaçôes:

a) loga (3x + 2) = loga (2x + 5)
b) log3 {5x - 6) = logz3.(3x - 5)
c} log yz (3x7 +7x+3}=0

d) loga (2x? + 5x + 4) = 2
e) log; {2 - logs [1 + toga ix + 311) = 2
f log [1 + 2 + toga (3 - loga x2)] = 1

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