Aula 3 – Lógica de Predicados e Funções v9.pptx

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1. L o ´gica de Predicados .

2. Predicados

3. Predicados: Intr o du ¸ c ˜ ao Exemplo 1 A afirmação “x ´e um n u ´ mero real” pode ser dividida em duas partes: a primeira parte, a vari´avel x , é o sujeito da afirmação , 2 a segunda parte “´e um n u ´ mero real” é um predicado , ou seja , uma propriedade que o sujeito da af irma ção pode ou n ão satisfazer. A afirmação “x ´e um n u ´ mero real” pode ter valores de verdade diferentes dependendo do valor que a v a r i ´ avel x assumir. Quando x = π , a afirmação “x ´e um n u ´ mero real” ´e verdadeira . Quando , a afirmação “x ´e um n u ´ mero real” é falsa.  

4. Predicados: Intr o du ¸ c ˜ ao Exemplo 1 (Continu a c ¸ ˜ a o) Podemos ver esta afirmação como uma fun c ¸ ˜ ao proposicional P ( x ): “x ´e um n u ´ mero real” que mapeia valores de x para valores verdade (verdadeiro ou falso): . . •  

5. Predicados Um predicado é uma sentença com um n u ´ mero finito de v a r i ´ aveis cujo valor de verdade pode ser determinado quando as v a r i ´ aveis s ã o substitu í das por valores espec í ficos . Intuitivamente, predicados : d ã o qualidades a sujeitos, relacionam sujeitos entre si, ou relacionam sujeitos a objetos . A v ari e dade de predicados depende do n u ´ mero argumentos que ele toma. Um predicado P ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) de n argumentos é chamado de um predicado n- á rio .

6. Predicados Exemplo 2 Seja P ( x ) o predicado u n ´ ario “x ≥ 10 ” . P (15) = V , pois substituindo x por 15 em “x ≥ 10 ” , obtemos uma afirmação verdadeira . P ( π ) = F , pois substituindo x por π em “x ≥ 10 ” , obtemos uma afirmação falsa . • Exemplo 3 C ( Bras í lia , Brasil ) = V , pois substituindo x por Bra sí lia e y por Brasil em “x é c apital de y” , obtemos uma afirmação verdadeira . C ( Paris , Inglaterra ) = F , pois substituindo x por Paris e y por Inglaterra em “x ´e capital de y” , obtemos uma afirmação falsa . • Seja C ( x , y ) o predicado bi n ´ ario “x é c apital de y” .

7. Predicados Exemplo 4 Seja S ( x , y , z ) o predicado ter n ´ ario “x + y = z” . S (1 , 4 , 5) = T , pois substituindo x por 1, y por 4 e z por 5 em “x + y = z” , obtemos uma afirmação verdadeira . S (4 , 5 , 1) = F , pois substituindo x por 4, y por 5 e z por 1 em “x + y = z” , obtemos uma afirmação falsa . S (0 , , 0) = T , pois substituindo x por 0, y por e z por em “x + y = z” , obtemos uma afirmação verdadeira . • . 10 / 53

8. Quantificadores: Intr o du ¸ c ˜ ao Em portug uê s, usamos palavras como “ nenhum ” , “ todos ” e “ algum ” para quantifica r predicados . Por exemplo, a aplica ção o do predicado “O computador x do laborat ó rio est á ligado ” precisa de um valor para x para ter um valor de verdad e, mas as seguintes senten ça s n ã o: 1 “ Nenhum computador do laborat ór io est á ligado .” “ Todos os computadores do laboratório estão ligados .” “ Algum computador do laborat ório est á ligado.” .

9. Quantificador universal Dado um predicado P ( x ), sua quantifica c ¸ ˜ ao universal ´ e ∀ x | P ( x ) significando “Para todos os valores x no domínio , P ( x ) é verdadeiro” ou simplesmente “Para todo x no domínio , P ( x ) ” O símbolo ∀ ´ e o símbolo de quantificador universal . A senten ¸ ca ∀ x | P ( x ) ´ e verdadeira se P ( x ) é ve rdadeiro para todo x no domínio , falsa se h´a algum x no domínio tal que P ( x ) seja falso. Um elemento x tal que P ( x ) = F é um contra- exemplo para ∀ x | P ( x ). .

10. Quantifica ¸ c ˜ ao universal Exemplo 5 Considere o universo de discurso D = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } . A sentença ∀ x | x 2 ≥ x ´ e verdadeira ou falsa? .

11. Quantifica ¸ c ˜ ao universal Exemplo 5 Considere o universo de discurso D = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } . A sentença ∀ x | x 2 ≥ x ´ e verdadeira ou falsa? Solução . Temos que 1 2 ≥ 1 , 2 2 ≥ 2 , 3 2 ≥ 3 , 4 2 ≥ 4 , e 5 2 ≥ 5 . Portanto temos que P (1), P (2), P (3), P (4) e P (5) s ˜ ao todos verdadeiros, e a senten ¸ ca universal ´ e, consequentemente, tam b ´ em verdadeira. • .

12. Quantifica ¸ c ˜ ao universal 1 Exemplo 6 A senten ¸ ca ∀ x ∈ R | x 2 ≥ x ´ e verdadeira ou falsa? .

13. Quantifica ¸ c ˜ ao universal 1 Exemplo 6 A senten ¸ ca ∀ x ∈ R | x 2 ≥ x ´ e verdadeira ou falsa? Solução. Temos o contra- exemplo   logo P ( 1 / 2 ) ´ e falso e, consequentemente, a senten ¸ ca universal ´ e falsa. • .

14. Quantifica ¸ c ˜ ao existencial Dado um predicado P ( x ), sua quantifica c ¸ ˜ ao existencial ´ e ∃ x | P ( x ) significando “Existe um valor de x no domínio tal que P ( x ) é verdadeiro” ou simplesmente “Existe x no domínio tal que P ( x ) ” O símbolo ∃ ´ e o símbolo de quantificador existencial . A senten ¸ ca ∃ x | P ( x ) ´ e verdadeira se P ( x ) é v erdadeiro para ao menos um x no domínio , falsa se para todo x no domínio P ( x ) é falso . Um elemento x tal que P ( x ) = V é uma testemunha de ∃ x | P ( x ). .

15. Quantifica ¸ c ˜ ao existencial Exemplo 7 Seja D = { 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 } o universo de discurso. A sentença ∃ m | m 2 = m ´ e verdadeira ou falsa? . 17 / 53

16. Quantifica ¸ c ˜ ao existencial Exemplo 7 Seja D = { 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 } o universo de discurso. A sentença ∃ m | m 2 = m ´ e verdadeira ou falsa? Solução. Analisando todos os casos, obtemos , , , , Portanto a seten ¸ ca existencial ´ e falsa.       • .

17. Quantifica ¸ c ˜ ao existencial Exemplo 8 Seja Z o universo de discurso. A setença ∃ m | m 2 = m ´ e verdadeira ou falsa? .

18. Quantifica ¸ c ˜ ao existencial Exemplo 8 Seja Z o universo de discurso. A setença ∃ m | m 2 = m ´ e verdadeira ou falsa? Solução . Temos que 1 2 = 1, logo 1 ´ e uma testemunha de que m 2 = m para pelo menos um inteiro m . Portanto a senten ¸ ca existencial ´ e verdadeira. • Note que nos dois exemplos anteriores a f ´ ormula ´ e a mesma ( ∃ m . m 2 = m ), mas com o universo de discurso m ∈ { 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 } ela ´ e falsa , enquanto que com o universo de discurso m ∈ Z ela ´ e verdadeira . .

19. Ordem de p r ece d ˆ encia dos quantificadores Comumente, os quantificadores ∀ e ∃ t ˆ em p rece d ˆ encia sobre todos os conectivos l ´ ogicos ( ¬ , ∧ , ∨ , → , ↔ , . . . ). Por exemplo: 1 A sentença ∀ x . P ( x ) ∨ Q ( x ) significa ( ∀ x . P ( x ) ) ∨ Q ( x ) . Note que a sentença n ã o significa ∀ x . ( P ( x ) ∨ Q ( x ) ) . Use parênteses com cuidado para expressar o que realmente você quer! .

20. Equivalências l o ´ gicas envolvendo quantificadores Afirma ¸ c ˜ oes envolvendo predicados s ˜ ao logicamente equivalentes se, e somente se, elas t ˆ em o mesmo valor de verdade independentemente de quais inter p reta ¸ c ˜ oes de predicados e domínio s de discurso s ˜ ao utilizados, i.e., se s ˜ ao iguais para todos os modelos poss í veis . Usamos S ≡ T para denotar que S e T s ˜ ao equivalentes.

21. Negando ex p ress ˜ oes quantificadas A nega ¸ c ˜ ao de ex p ress ˜ oes quantificadas ´ e dada por equivalências conhecidas como leis de De Morgan : Leis de De Morgan para quantificadores ¬∀ x | P ( x ) ≡ ∃ x | ¬ P ( x ) ¬∃ x | P ( x ) ≡ ∀ x | ¬ P ( x ) equivalências que seguem das leis de De Morgan s ˜ ao: Outras equivalências de negação ∀ x | P ( x ) ≡ ¬∃ x | ¬ P ( x ) ∃ x | P ( x ) ≡ ¬∀ x | ¬ P ( x ) .

22. Negando ex p ress ˜ oes quantificadas universalmente Exemplo 9 P : ∀ x ∈ R | x 2 ≥ ¬ P : ¬∀ x ∈ R | x 2 ≥ ≡ ∃ x ∈ R | ¬ ( x 2 ≥ 0) ≡ ∃ x ∈ R | x 2 < • Exemplo 10 P : “ Todos os programas de computador s˜ao finitos.” ¬ P : “ Nem todos os programas de computador que s˜ao finitos.” ≡ “ Existe um programa de computador que n ão é finito .” • Exemplo 11 P : “ Todo mundo gosta de sorvete ou de bolo .” ¬ P : “ Nem todo mundo gosta de sorvete ou de bolo .” ≡ “ Existe uma pessoa que n ã o gosta de sorvete e nem de bolo .” • .

23. Negando ex p ress ˜ oes quantificadas existencialmente Exemplo 12 P : ∃ x ∈ N | x 2 = x ¬ P : ¬∃ x ∈ N | x 2 = x ≡ ∀ x ∈ N | ¬ ( x 2 = x ) ≡ •   Exemplo 13 P : “ Algu m peixe respira ar.” ¬ P : “ Nenhum peixe respira ar.” “ Todo peixe não respira ar” • Exemplo 14 P : “ Algu m esportista é brasileiro e jove m .” ¬ P : “ Nenhum esportista é brasileiro e jovem .” “ Todo esportista n ão é brasileiro ou n ão é jovem .” ≡ • .

24. Traduzindo de linguagem natural para ex p ress o ˜ es l o ó gicas Exemplo 15 Expresse como ex p ress ˜ oes quantificadas as seguintes afirma ¸ c ˜ oes em linguagem natural: “Nenhuma arara é pequena .” “ Araras s ão coloridas e grandes.” “Existe uma arara que n ão é colorida , nem pequena.” . 29 / 53

25. Exemplo 15 Expresse como ex p ress ˜ oes quantificadas as seguintes afirma ¸ c ˜ oes em linguagem natural: “Nenhuma arara é pequena.” “Araras são coloridas e grandes.” “Existe uma arara que não é colorida, nem pequena.” Solução . Primeiro tomamos como universo de discurso o conjunto de todos os animais , en t ˜ ao definimos : A ( x ) : “x é uma arara ” C ( x ) : “x é colorido ” P ( x ) : “x é pequeno ” . 29 / 53 Traduzindo de linguagem natural para ex p ress o ˜ es l o ó gicas

26. Exemplo 15 (Continu a c ¸ ˜ ao) Assim podemos traduzir as senten ¸ cas para linguagem formal como abaixo. (Neste problema, supomos que tudo que n ˜ ao ´ e pequeno ´ e grande, sem meio termo.) “Nenhuma arara é pequena” : ¬∃ x ( A ( x ) ∧ P ( x ) ) Forma equivalente: ∀ x ¬ ( A ( x ) ∧ P ( x ) ) ∀ x ( ¬ A ( x ) ¬ P ( x ) ) ∀ x ( A ( x ) → ¬ P ( x ) )   . Traduzindo de linguagem natural para ex p ress o ˜ es l o ó gicas A ( x ) : “x é uma arara” C ( x ) : “x é colorido” P ( x ) : “x é pequeno”

27. Exemplo 15 (Continu a c ¸ ˜ ao) “Araras são coloridas e grandes” : ∀ x . ( A ( x ) → C ( x ) ∧ ¬ P ( x ) ) “ Existe uma arara que n ão é colorida ou pequena ” : ∃ x . [ A ( x ) ∧ ( ¬ C ( x ) P ( x )) ]   • • . Traduzindo de linguagem natural para ex p ress o ˜ es l o ó gicas A ( x ) : “x é uma arara” C ( x ) : “x é colorido” P ( x ) : “x é pequeno”

28. Quantificadores aninhados .

29. Quantificadores aninhados: Intr o du ¸ c ˜ ao Muitas ex p ress ˜ oes usam m u ´ ltiplos quantificadores aninhados . Por exemplo, no universo de discurso dos n u ´ meros reais , temos o seguinte. 1 A express ã o ∀ x . ∀ y . ( ( x > 0) ∧ ( y < 0) → ( xy < ) ) significa “ O produto de quaisquer dois reais de sinais opostos é um real negativo .” 2 A express ã o ∀ x . ∃ y . ( x + y = ) significa “ Todo n u ú mero real tem um n u ú mero real oposto ( isto é , que somado ao original resulta em zero).” .

30. Entendendo quantificadores aninhados Exemplo 17 Seja o seguinte predicado sobre o domínio de todas as pessoas: A ( x , y ) : “A pessoa x ama a pessoa y” ∀ x . ∃ y . A ( x , y ) significa “ Todo mundo ama algu é m .” ∃ y . ∀ x . A ( x , y ) significa “ Existe algu é m que é amado por todo mundo .” ∀ y . ∃ x . A ( x , y ) significa “ Todo mundo é amado por algu é m .” ∃ x . ∀ y . A ( x , y ) significa “ Existe algu é m que ama todo mundo .” • .

31. A ordem dos quantificadores Exemplo 18 Seja o universo de discurso o conjunto dos n u ´ meros reais. Para cada senten ¸ ca, diga o que ela significa em linguagem natural e se ela ´ e verdadeira ou falsa. ∀ x . ∃ y . x < y significa . 35 / 53

32. A ordem dos quantificadores Exemplo 18 Seja o universo de discurso o conjunto dos n u ´ meros reais. Para cada senten ¸ ca, diga o que ela significa em linguagem natural e se ela ´ e verdadeira ou falsa. ∀ x . ∃ y . x < y significa “ Para todo n u ú mero real x , existe outro real maior que x .” Esta sentença é verdadeira . ∃ y . ∀ x . x < y significa . 35 / 53

33. A ordem dos quantificadores Exemplo 18 Seja o universo de discurso o conjunto dos n u ´ meros reais. Para cada senten ¸ ca, diga o que ela significa em linguagem natural e se ela ´ e verdadeira ou falsa. ∀ x . ∃ y . x < y significa “Para todo n u ´ mero real x, existe outro real maior que x.” Esta sentença é verdadeira . ∃ y . ∀ x . x < y significa “ Existe um n u ú mero real que é m aior que todos os demais n u ´ meros reais .” Esta sentença é falsa . As senten ¸ cas do exemplo anterior n ˜ ao s ˜ ao equivalentes logicamente. Em geral, ao se trocar a ordem de quantificadores de tipo diferente, o sentido da senten ¸ ca se altera. • . 35 / 53

34. Quantifica ¸ c ˜ ao sobre duas v a r i ´ aveis Quantificadores podem ser aninhados em v ´ á rios ní veis . Em particular, ´ e comum encontrar quantificadores aninhados em dois n í veis . afirmação Quando é verdadeira ? Quando é falsa? ∀ x . ∀ y . P ( x , y ) ∀ y . ∀ x . P ( x , y ) P ( x , y ) é verdadeiro para todo par x , y . Existe um par x , y tal que P ( x , y ) é falso. ∀ x . ∃ y . P ( x , y ) Para todo x existe um y tal que P ( x , y ) é verdadeiro. Existe um x tal que P ( x , y ) é falso para todo y . ∃ x . ∀ y . P ( x , y ) Existe um x tal que P ( x , y ) é verdadeiro para todo y . Para todo x existe um y tal que P ( x , y ) é falso. ∃ x . ∃ y . P ( x , y ) ∃ y . ∃ x . P ( x , y ) Exite um par x , y tal que P ( x , y ) é verdadeiro. P ( x , y ) é falso para todo par x , y . .

35. De senten ¸ cas quantificadas para linguagem natural Exemplo 19 Sejam os seguintes predicados sobre o domínio de estudantes: C ( x ) : “x tem um computador” F ( x , y ) : “x e y s˜ao amigos” ∀ x . ( C ( x ) ∨ ∃ y . ( C ( y ) ∧ F ( x , y ) ) ) significa “ Todo estudante tem um computador , ou tem um amigo que tenha um computador .” ∃ x . ∀ y . ∀ z . ( F ( x , y ) ∧ F ( x , z ) ∧ ( y z ) → ¬ F ( y , z ) ) significa “ Existe um estudante que se tem amigos , não são amigos entre si .” •   .

36. Nega ¸ c ˜ ao de quantificadores aninhados A nega ¸ c ˜ ao de quantificadores aninhados usa as mesmas leis de De Morgan para nega ¸ c ˜ ao de quantificadores. Leis de De Morgan para negação ¬∀ x . P ( x ) ≡ ∃ x . ¬ P ( x ) ¬∃ x . P ( x ) ≡ ∀ x . ¬ P ( x ) Notando que P ( x ) pode ser ela mesma uma ex p res s ˜ ao quantificada. Exemplo 21 Seja A ( x , y ) a sentença “A pessoa x ama a pessoa y” com universo de discurso como sendo todas as pessoas do mundo. P : ∀ x . ∃ y . A ( x , y ) “ Todo mundo ama algu é m ” ¬ P : ¬ [ ∀ x . ∃ y . A ( x , y ) ] ≡ ¬ P : ∃ x . ∀ y . ¬ A ( x , y )] ≡ “ Existe algu é m que não ama todo mundo .” • .

37. Nega ¸ c ˜ ao de quantificadores aninhados Exemplo 22 Sejam os seguintes predicados sobre o domínio de estudantes: D ( x ) : “x sabe dirigir” A ( x , y ) : “x e y s ã o amigos” sentença P: P : ∀ x . ∃ y . ( A ( x , y ) ∧ ¬ D ( y ) ) Afirmativa: “ Todo estudante tem um amigo que n ã o sabe dirigir .” ¬ P : ∃ x . ∀ y . ( A ( x , y ) → D ( y ) ) negação : “ Existe um estudante que se amigos de todos , então esses amigos sabem dirigir .” .

38. Nega ¸ c ˜ ao de p ro p osi ¸ c o ˜ es condicionais universais A nega ¸ c ˜ ao de uma senten ¸ ca condicional universal ´ e derivada como: ¬∀ x . ( P ( x ) → Q ( x ) ) ≡ ≡ ≡ ∃ x . ¬ ( P ( x ) → Q ( x ) ) ∃ x . ¬ ( ¬ P ( x ) ∨ Q ( x ) ) ∃ x . ( P ( x ) ∧ ¬ Q ( x ) ) (por De Morgan) (por equiv. de impl.) (por De Morgan) Exemplo 25 P : “Toda pessoa loira tem olhos azuis.” ¬ P : “Existe uma pessoa loira que n ã o tem olhos azuis.” • Exemplo 26 P : “Se um programa foi escrito em C, ele tem um erro.” ¬ P : “Existe pelo menos um programa escrito em C que n ã o tenha erro.” • .

39. FUNÇÕES Allas Oliveira

40. FUNÇ Ã O Dados os conjuntos não vazios 𝐴 e 𝐵 , uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 (lê- se: “uma função de 𝐴 em 𝐵 ”) é uma regra ou conjunto de instruções que diz como associar a cada elemento 𝑥 ∈ 𝐴 um elemento 𝑦 = 𝑓(𝑥) ∈ 𝐵 . O conjunto 𝐴 é denominado de domínio da função 𝑓 O conjunto 𝐵 de contradomínio da função 𝑓 . Para cada 𝑥 ∈ 𝐴 , o elemento 𝑓(𝑥) ∈ 𝐵 é denominado de imagem de 𝑥 pela função 𝑓 ou o valor assumido pela equação 𝑓 no ponto 𝑥 ∈ 𝐴 .

41. FUNÇ Ã O

42. Exemplo 1 As funções 𝑓: ℜ → ℜ , definidas por   ZERO DA FUNÇÃO Seja 𝑓: 𝐴 → 𝐵 uma função . Denominamos de zero da função 𝑓 a todo valor de 𝑥 ∈ 𝐴 para o qual se tem 𝑓 ( 𝑥 ) = .

43. Exemplo 2 As funções 𝑔: ℜ → ℜ , definidas por   ZERO DA FUNÇÃO Seja 𝑓: 𝐴 → 𝐵 uma função . Denominamos de zero da função 𝑓 a todo valor de 𝑥 ∈ 𝐴 para o qual se tem 𝑓 ( 𝑥 ) = .

44. Exemplo 2 As funções 𝑔: ℜ → ℜ , definidas por   ZERO DA FUNÇÃO

45. Exemplo 2 As funções 𝑔: ℜ → ℜ , definidas por   ZERO DA FUNÇÃO

46. FUNÇÃO AFIM Uma função 𝑓: ℜ → ℜ é denominada de função afim, quando existem constantes 𝑎, 𝑏 ∈ ℜ , com 𝑎 ≠ , tais que 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑎𝑥 + 𝑏 , ∀𝑥 ∈ ℜ .

47. FUNÇÃO AFIM

48. FUNÇÃO AFIM Uma função 𝑓: ℜ → ℜ é denominada de função afim, quando existem constantes 𝑎, 𝑏 ∈ ℜ , com 𝑎 ≠ , tais que 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑎𝑥 + 𝑏 , ∀𝑥 ∈ ℜ . - Funções lineares 𝑓: ℜ → ℜ , definida por 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑎𝑥

49. FUNÇÕES ESPECIAIS FUNÇÃO CONSTANTE Uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 é denominada de função constante quando a todo 𝑥 ∈ 𝐴 faz corresponder o número 𝑘 ∈ 𝐵 . Esta função pode ser representada por uma reta paralela ao eixo das abscissas, passando pelos pontos de ordenada 𝑦 = 𝑘 e o conjunto imagem possui um único elemento, isto é, Imf x = {𝑘} .

50. FUNÇÕES ESPECIAIS FUNÇÃO CONSTANTE

51. FUNÇÃO IDENTIDADE Uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 é denominada de função identidade de 𝐴 quando, para todo elemento 𝑥 pertencente ao conjunto 𝐴 tem- se a imagem 𝑓(𝑥) igual ao próprio elemento 𝑥 , isto é, 𝑓 𝑥 = 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝐴 .

52. FUNÇÃO EXPONENCIAL Dado um número real 𝑎 , positivo e diferente de 1, denomina- se de função exponencial de base 𝑎 , a função 𝑓 , de ℜ em ℜ , definida por 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 .

53. FUNÇÃO LOGARÍTMICA Dado um número real 𝑎 , positivo e diferente de 1, denomina- se função + logarítmica de base 𝑎 , a função 𝑓 , de ℜ ∗ em ℜ , definida por 𝑓 𝑥 = log 𝑎 𝑥 .

54. TIPOS DE FUNÇÕES FUNÇÃO INJETORA Uma função f é dita injetora quando dados dois quaisquer elementos do domínio x 1 e x 2 , se x 1  x 2 , então f(x 1 )  f(x 2 ) . Por outro lado, podemos utilizar a contra- positiva para demonstrar que uma função f é injetora, isto é, dados dois quaisquer elementos do domínio x 1 e x 2 , se f(x 1 ) = f(x 2 ) então x 1 = x 2 .

55. TIPOS DE FUNÇÕES FUNÇÃO SOBRETORA Diz- se que uma função f é sobrejetora quando o conjunto imagem coincide com o contradomínio de f, isto é, Im(f) = CD(f) . Em outras palavras podemos afirmar que uma função f é sobrejetora quando para todo y pertencente ao contradomínio de f , existe x pertencente ao domínio de f tal que f(x) = y .

56. TIPOS DE FUNÇÕES FUNÇÃO BIJETORA Diz que a função f é bijetora quando for injetora e sobrejetora simultaneamente.

57. Exemplo : A figura a seguir ilustra várias relações binárias Quais são funções? Dentre as que são funções,quais as sobrejetivas , injetivas e bijetivas ?  

58. Exemplo : A figura a seguir ilustra várias relações binárias Quais são funções? Dentre as que são funções,quais as sobrejetivas , injetivas e bijetivas ?   Injetora

59. Exemplo : A figura a seguir ilustra várias relações binárias Quais são funções? Dentre as que são funções,quais as sobrejetivas , injetivas e bijetivas ?   Injetora Não é função

60. Exemplo : A figura a seguir ilustra várias relações binárias Quais são funções? Dentre as que são funções,quais as sobrejetivas , injetivas e bijetivas ?   Injetora Não é função Bijetora

61. Exemplo : A figura a seguir ilustra várias relações binárias Quais são funções? Dentre as que são funções,quais as sobrejetivas , injetivas e bijetivas ?   Injetora Não é função Bijetora Sobrejetora

62. Exemplo: Seja S = {0, 2, 4, 6} e T = {1,3,5,7}. Determine se cada um dos conjuntos de pares ordenados a seguir é ou não uma função com domínio S e contradomínio T. Em cada caso afirmativo, indique se a função é injetiva , sobrejetiva e bijetiva . a. {(0,2), (2, 4), (4, 6), (6,0)} b. {(6, 3), (2,1), (0,3), (4, 5)} c. {(2, 3), (4, 7), (0,1), (6, 5)} d. {(2, 1), (4, 5), (6, 3)} e. {(6,1), (0,3), (4, l),(0, 7), (2, 5)}

63. Exemplo : Seja S = {0, 2, 4, 6} e T = {1,3,5,7}. Determine se cada um dos conjuntos de pares ordenados a seguir é ou não uma função com domínio S e contradomínio T. Em cada caso afirmativo, indique se a função é injetiva , sobrejetiva e bijetiva . a. {(0,2), (2, 4), (4, 6), (6,0)} -> não é função b. {(6, 3), (2,1), (0,3), (4, 5)} c. {(2, 3), (4, 7), (0,1), (6, 5)} d. {(2, 1), (4, 5), (6, 3)} e. {(6,1), (0,3), (4, l),(0, 7), (2, 5)}

64. Exemplo : Seja S = {0, 2, 4, 6} e T = {1,3,5,7}. Determine se cada um dos conjuntos de pares ordenados a seguir é ou não uma função com domínio S e contradomínio T. Em cada caso afirmativo, indique se a função é injetiva , sobrejetiva e bijetiva . a. {(0,2), (2, 4), (4, 6), (6,0)} -> não é função b. {(6, 3), (2,1), (0,3), (4, 5)} -> função c. {(2, 3), (4, 7), (0,1), (6, 5)} d. {(2, 1), (4, 5), (6, 3)} e. {(6,1), (0,3), (4, l),(0, 7), (2, 5)}

65. Exemplo : Seja S = {0, 2, 4, 6} e T = {1,3,5,7}. Determine se cada um dos conjuntos de pares ordenados a seguir é ou não uma função com domínio S e contradomínio T. Em cada caso afirmativo, indique se a função é injetiva , sobrejetiva e bijetiva . a. {(0,2), (2, 4), (4, 6), (6,0)} -> não é função b. {(6, 3), (2,1), (0,3), (4, 5)} -> função c. {(2, 3), (4, 7), (0,1), (6, 5)}-> Bijetora d. {(2, 1), (4, 5), (6, 3)} e. {(6,1), (0,3), (4, l),(0, 7), (2, 5)}

66. Exemplo : Seja S = {0, 2, 4, 6} e T = {1,3,5,7}. Determine se cada um dos conjuntos de pares ordenados a seguir é ou não uma função com domínio S e contradomínio T. Em cada caso afirmativo, indique se a função é injetiva , sobrejetiva e bijetiva . a. {(0,2), (2, 4), (4, 6), (6,0)} -> não é função b. {(6, 3), (2,1), (0,3), (4, 5)} -> função c. {(2, 3), (4, 7), (0,1), (6, 5)}-> Bijetora d. {(2, 1), (4, 5), (6, 3)} -> não é função e. {(6,1), (0,3), (4, l),(0, 7), (2, 5)}

67. Exemplo : Seja S = {0, 2, 4, 6} e T = {1,3,5,7}. Determine se cada um dos conjuntos de pares ordenados a seguir é ou não uma função com domínio S e contradomínio T. Em cada caso afirmativo, indique se a função é injetiva , sobrejetiva e bijetiva . a. {(0,2), (2, 4), (4, 6), (6,0)} -> não é função b. {(6, 3), (2,1), (0,3), (4, 5)} -> função c. {(2, 3), (4, 7), (0,1), (6, 5)}-> Bijetora d. {(2, 1), (4, 5), (6, 3)} -> não é função e. {(6,1), (0,3), (4, l),(0, 7), (2, 5)} -> não é função

68. ALGORÍTMOS INTERATIVOS E RECURSIVOS A sequência S é definida recursivamente por: O primeiro objeto em S é 2. Então o segundo objeto em S é S(2)=2S(1) = 2(2)=4. Novamente, S(3)=2S(2)=2(4)=8. Dessa forma podemos deduzir que a sequência é conforme abaixo:  

69. ALGORÍTMOS INTERATIVOS function S(n: integer): integer; {cálculo iterativo do valor S(n) para a seqüência de Exemplo } var i: integer ; {índice do loop} ValorCorrente : integer ; {valor corrente da função} begin If n = 1 then S:= 2 else begin i:= 2; ValorCorrente := 2; while i < = n do begin ValorCorrente : = 2 * ValorCorrente : I:= i + 1; end ; {o ValorCorrente tern agora o valor S(n) } S := ValorCorrente ; end ; end ;

70. ALGORÍTMOS INTERATIVOS function S(n: integer): integer; Suponhamos n=4 i=2 ; ValorCorrente = 2; while i < = 4 do begin ValorCorrente : = 2 * ValorCorrente : I:= i + 1; end ; n=4 ValorCorrente = 2x2=4; i=3 ;

71. ALGORÍTMOS INTERATIVOS function S(n: integer): integer; n=4 ValorCorrente =4; i=3 ; while i < = 4 do begin ValorCorrente : = 2 * ValorCorrente : I:= i + 1; end ; n=4 ValorCorrente = 2x4=8; i=4 ;

72. ALGORÍTMOS INTERATIVOS function S(n: integer): integer; n=4 ValorCorrente =8; i=4 ; while i < = 4 do begin ValorCorrente : = 2 * ValorCorrente : I:= i + 1; end ; n=4 ValorCorrente = 2x8=16; i=5 ;

73. ALGORÍTMOS INTERATIVOS function S(n: integer): integer; n=4 ValorCorrente =16; i=5 ; while i < = 4 do begin ValorCorrente : = 2 * ValorCorrente : I:= i + 1; end ;  

74. ALGORÍTMOS RECURSIVOS function S(n: integer): integer ; {cálculo iterativo do valor S(n) para a seqüência de Exemplo } begin If n = 1 then S:= 2 else S:= 2* S(n-1); End ; O corpo desta função consiste em uma única estrutura if-then-else . Para entendermos o seu funcionamento, vamos acompanhar a execução da mesma para calcular S (3). A função é inicialmente chamada para o valor de entrada n = 3. Como n é diferente de 1 , a execução é direcionada para a cláusula else . Função sendo chamda dentro da função

75. ALGORÍTMOS RECURSIVOS function S(n: integer): integer; {cálculo iterativo do valor S(n) para a seqüência de Exemplo } begin If n = 1 then S:= 2 else S:= 2*S(n-1); End ; Suponhamos n=2 S:=2*S(n-1)=2*S(2-1)=2*S(1)=2*2=4

76. ALGORÍTMOS RECURSIVOS function S(n: integer): integer; {cálculo iterativo do valor S(n) para a seqüência de Exemplo } begin If n = 1 then S:= 2 else S:= 2*S(n-1); End ; Suponhamos n=3 S:=2*S(n-1)=2*S(3-1)=2*S(2)= Aguardando n=2 S:=2*S(n-1)=2*S(2-1)=2*S(1)=2*2=4

77. ALGORÍTMOS RECURSIVOS function S(n: integer): integer; {cálculo iterativo do valor S(n) para a seqüência de Exemplo } begin If n = 1 then S:= 2 else S:= 2*S(n-1); End ; n=3 S:=2*S(n-1)=2*S(3-1)=2*S(2)= 2*4=8 n=2 S:=2*S(n-1)=2*S(2-1)=2*S(1)=2*2=4

78. ALGORÍTMOS RECURSIVOS function S(n: integer): integer; {cálculo iterativo do valor S(n) para a seqüência de Exemplo } begin If n = 1 then S:= 2 else S:= 2*S(n-1); End ; Suponhamos n=4 S:=2*S(n-1)=2*S(4-1)=2*S(3)= Aguardando n=3 S:=2*S(n-1)=2*S(3-1)=2*S(2)= Aguardando n=2 S:=2*S(n-1)=2*S(2-1)=2*S(1)=2*2=4

79. ALGORÍTMOS RECURSIVOS function S(n: integer): integer; {cálculo iterativo do valor S(n) para a seqüência de Exemplo } begin If n = 1 then S:= 2 else S:= 2*S(n-1); End ; n=4 S:=2*S(n-1)=2*S(4-1)=2*S(3)= 2*8=16 n=3 S:=2*S(n-1)=2*S(3-1)=2*S(2)= 2*4=8 n=2 S:=2*S(n-1)=2*S(2-1)=2*S(1)=2*2=4

80. ALGORÍTMOS RECURSIVOS function S(n: integer): integer; {cálculo iterativo do valor S(n) para a seqüência de Exemplo } begin If n = 1 then S:= 2 else S:= 2*S(n-1); End ; Neste ponto o procedimento para calcular S (3) é momentaneamente suspenso, até que o valor de S (2) seja conhecido. Qualquer informação relevante para a obtenção de S (3) é armazenada na memória do computador numa pilha, para ser posteriormente carregada quando o cálculo puder ser completado. (Uma pilha é uma coleção de dados onde qualquer novo item ao entrar é armazenado no topo, e somente o item do topo da pilha pode ser removido ou acessado. Uma pilha é então uma estrutura do tipo LIFO - last in, first out.)

81. ALGORÍTMOS RECURSIVOS function S(n: integer): integer; {cálculo iterativo do valor S(n) para a seqüência de Exemplo } begin If n = 1 then S:= 2 else S:= 2*S(n-1); End ; A função é novamente chamada para um valor de entrada n = 2. Novamente a cláusula else é executada e o cálculo de S( 2) é momentaneamente suspenso com as informações relevantes armazenadas na pilha, enquanto a função é chamada novamente, agora com n = 1 como entrada .

82. ALGORÍTMOS RECURSIVOS function S(n: integer): integer; {cálculo iterativo do valor S(n) para a seqüência de Exemplo } begin If n = 1 then S:= 2 else S:= 2*S(n-1); End ; A gora com n = 1 como entrada o valor de retorno, 2, pode ser calculado diretamente pela cláusula then da função. Esta última chamada à função retorna este valor à penúltima chamada, que pode recuperar qualquer informação relevante para o caso n = 2 da pilha, calcular S (2). E disponibilizar o resultado à chamada anterior (a primeira chamada). Finalmente, esta chamada inicial de S é capaz de esvaziar a pilha e concluir seus cálculos, retornando o valor de S (3).

83. ALGORÍTMOS RECURSIVOS Quais são as vantagens e desvantagens de algoritmos iterativo e recursivo para executar uma determinada tarefa? A versão recursiva é menor, pois dispensa o gerenciamento do laço; Descrever a execução de uma versão recursiva é mais complexo do que descrever a versão iterativa, porém todos os passos são realizados automaticamente. Não precisamos saber o que está acontecendo internamente, a função recursiva; Necessário apenas termos conhecimento de que uma quantidade grande de chamadas pode demandar muita memória para o armazenamento na pilha das informações necessárias às chamadas anteriores.

84. ALGORÍTMOS RECURSIVOS Quais são as vantagens e desvantagens de algoritmos iterativo e recursivo para executar uma determinada tarefa? Se for necessária mais memória do que o que se tem disponível, ocorre um "estouro de pilha". Além de usar muita memória, algoritmos recursivos podem demandar muitos outros procedimentos computacionais e, por isso, podem ser mais lentos do que os não-recursivos; Muitas linguagens de programação permitem o uso de recursão (infelizmente, nem todas).

85. ALGORÍTMOS RECURSIVOS Uma definição recursiva para a multiplicação de dois inteiros positivos m e n é: Escreva cinco exemplos:  

86. ALGORÍTMOS RECURSIVOS Uma versão em Pascal de um algoritmo recursivo para multiplicação baseada nesta definição é dada abaixo: function Produto( m,n:integer ): integer ; Begin if n = 1 then Produto := m else Produto := Produto(m, n— 1) +m; end ;  

87. function Produto( m,n:integer ): integer Begin if n = 1 then Produto := m else Produto := Produto(m, n— 1) +m; end ; Suponhamos n=2 Produto:=Produto(m, 2-1)+m = Produto(m,1)+m= m+m =2m

88. function Produto( m,n:integer ): integer Begin if n = 1 then Produto := m else Produto := Produto(m, n— 1) +m; end ; Suponhamos n=3 Produto:=Produto(m, 3-1)+m = Produto(m,2)+m= Aguardando n=2 Produto:=Produto(m, 2-1)+m = Produto(m,1)+m= m+m =2m

89. function Produto( m,n:integer ): integer Begin if n = 1 then Produto := m else Produto := Produto(m, n— 1) +m; end ; n=3 Produto:=Produto(m, 3-1)+m = Produto(m,2)+m= 2m+m=3m n=2 Produto:=Produto(m, 2-1)+m = Produto(m,1)+m= m+m =2m

90. function Produto( m,n:integer ): integer Begin if n = 1 then Produto := m else Produto := Produto(m, n— 1) +m; end ; Suponhamos n=4 Produto:=Produto(m, 4-1)+m = Produto(m,3)+m= Aguardando n=3 Produto:=Produto(m, 3-1)+m = Produto(m,2)+m= Aguardando n=2 Produto:=Produto(m, 2-1)+m = Produto(m,1)+m= m+m =2m

91. function Produto( m,n:integer ): integer Begin if n = 1 then Produto := m else Produto := Produto(m, n— 1) +m; end ; n=4 Produto:=Produto(m, 4-1)+m = Produto(m,3)+m= 3m+m=4m n=3 Produto:=Produto(m, 3-1)+m = Produto(m,2)+m= 2m+m=3m n=2 Produto:=Produto(m, 2-1)+m = Produto(m,1)+m= m+m =2m

92. ALGORÍTMOS RECURSIVOS Uma das tarefas mais comuns em processamento de dados é ordenar uma lista L de n termos em ordem crescente ou decrescente numérica ou alfabeticamente. (A lista pode consistir, por exemplo, em nomes de clientes, e na ordenação "Zé das Couves" deve vir depois de "João da Silva".) ALGORITMO SelectionSort procedure SelectionSort (L: lista ;j : integer ); {ordenação recursiva crescente dos itens de 1 até j da lista L} begin if j = 1 then ordenação está completa, imprima a lista ordenada else begin encontre o índice i do maior elemento de L entre 1 e j; troque L(i) com L(j); SelectionSort ( L,j - 1); end ; end ;

93. ALGORÍTMOS RECURSIVOS ALGORITMO SelectionSort procedure SelectionSort (L: lista ;j : integer ); {ordenação recursiva crescente dos itens de 1 até j da lista L} begin if j = 1 then ordenação está completa, imprima a lista ordenada else begin encontre o índice i do maior elemento de L entre 1 e j; troque L(i) com L(j); SelectionSort ( L,j - 1); end ; end ; j=5 SelectionSort (L,5 ); I Lista 1 22 2 24 3 25 4 21 5 23

94. procedure SelectionSort (L: lista ;j : integer ); begin if j = 1 then ordenação está completa, imprima a lista ordenada else begin i=2; max := L(1); i_max :=1; while i < = j do begin if max < L(i) then begin max : = L(i) : i_max :=i; end i:= i + 1; end ; i:=i_max; troque L(i) com L(j); SelectionSort ( L,j - 1); end ; end ; j=5 SelectionSort (L,5 ); i Lista max 1 22 22 2 24 3 25 i_max 4 21 1 5 23

95. procedure SelectionSort (L: lista ;j : integer ); begin if j = 1 then ordenação está completa, imprima a lista ordenada else begin i=2; max := L(1); i_max :=1; while i < = j do begin if max < L(i) then begin max : = L(i) : i_max :=i; end i:= i + 1; end ; i:=i_max; troque L(i) com L(j); SelectionSort ( L,j - 1); end ; end ; j=5 SelectionSort (L,5 ); i Lista max 1 22 24 2 24 3 25 i_max 4 21 2 5 23

96. procedure SelectionSort (L: lista ;j : integer ); begin if j = 1 then ordenação está completa, imprima a lista ordenada else begin i=2; max := L(1); i_max :=1; while i < = j do begin if max < L(i) then begin max : = L(i) : i_max :=i; end i:= i + 1; end ; i:=i_max; troque L(i) com L(j); SelectionSort ( L,j - 1); end ; end ; j=5 SelectionSort (L,5 ); i Lista max 1 22 25 2 24 3 25 i_max 4 21 3 5 23

97. procedure SelectionSort (L: lista ;j : integer ); begin if j = 1 then ordenação está completa, imprima a lista ordenada else begin i=2; max := L(1); i_max =1; while i < = j do begin if max < L(i) then begin max : = L(i) : i_max :=i; end i:= i + 1; end ; i:=i_max; troque L(i) com L(j); SelectionSort ( L,j - 1); end ; end ; j=5 SelectionSort (L,5 ); i Lista max 1 22 25 2 24 3 25 i_max 4 21 3 5 23

98. procedure SelectionSort (L: lista ;j : integer ); begin if j = 1 then ordenação está completa, imprima a lista ordenada else begin i=2; max := L(1); i_max =1; while i < = j do begin if max < L(i) then begin max : = L(i) : i_max :=i; end I:= i + 1; end ; i:=i_max; troque L(i) com L(j); SelectionSort ( L,j - 1); end ; end ; j=5 SelectionSort (L,5 ); i Lista max 1 22 25 2 24 3 25 i_max 4 21 3 5 23

99. procedure SelectionSort (L: lista ;j : integer ); begin if j = 1 then ordenação está completa, imprima a lista ordenada else begin i=2; max := L(1); i_max =1; while i < = j do begin if max < L(i) then begin max : = L(i) : i_max :=i; end I:= i + 1; end ; i:=i_max; troque L(i) com L(j); SelectionSort ( L,j - 1); end ; end ; j=5 SelectionSort (L,5 ); i Lista max 1 22 25 2 24 3 23 i_max 4 21 3 5 25

100. SelectionSort ( L, j - 1 ); SelectionSort (L, 5- 1 ); SelectionSort (L, 4 );

101. procedure SelectionSort (L: lista ;j : integer ); begin if j = 1 then ordenação está completa, imprima a lista ordenada else begin i=2; max := L(1); i_max :=1; while i < = j do begin if max < L(i) then begin max : = L(i) : i_max :=i; end i:= i + 1; end ; i:=i_max; troque L(i) com L(j); SelectionSort ( L,j - 1); end ; end ; j=4 SelectionSort (L,4 ); i Lista max 1 22 22 2 24 3 23 i_max 4 21 1 5 25

102. procedure SelectionSort (L: lista ;j : integer ); begin if j = 1 then ordenação está completa, imprima a lista ordenada else begin i=2; max := L(1); i_max :=1; while i < = j do begin if max < L(i) then begin max : = L(i) : i_max :=i; end i:= i + 1; end ; i:=i_max; troque L(i) com L(j); SelectionSort ( L,j - 1); end ; end ; j=5 SelectionSort (L,5 ); i Lista max 1 22 24 2 24 3 23 i_max 4 21 2 5 25

103. procedure SelectionSort (L: lista ;j : integer ); begin if j = 1 then ordenação está completa, imprima a lista ordenada else begin i=2; max := L(1); i_max :=1; while i < = j do begin if max < L(i) then begin max : = L(i) : i_max :=i; end i:= i + 1; end ; i:=i_max; troque L(i) com L(j); SelectionSort ( L,j - 1); end ; end ; j=5 SelectionSort (L,5 ); i Lista max 1 22 24 2 24 3 23 i_max 4 21 2 5 25

104. procedure SelectionSort (L: lista ;j : integer ); begin if j = 1 then ordenação está completa, imprima a lista ordenada else begin i=2; max := L(1); i_max =1; while i < = j do begin if max < L(i) then begin max : = L(i) : i_max :=i; end I:= i + 1; end ; i:=i_max; troque L(i) com L(j); SelectionSort ( L,j - 1); end ; end ; j=5 SelectionSort (L,5 ); i Lista max 1 22 24 2 24 3 23 i_max 4 21 2 5 25

105. procedure SelectionSort (L: lista ;j : integer ); begin if j = 1 then ordenação está completa, imprima a lista ordenada else begin i=2; max := L(1); i_max =1; while i < = j do begin if max < L(i) then begin max : = L(i) : i_max :=i; end I:= i + 1; end ; i:=i_max; troque L(i) com L(j); SelectionSort ( L,j - 1); end ; end ; j=5 SelectionSort (L,5 ); i Lista max 1 22 24 2 21 3 23 i_max 4 24 2 5 25

106. SelectionSort ( L, j - 1 ); SelectionSort (L, 4- 1 ); SelectionSort (L, 3 );

107. procedure SelectionSort (L: lista ;j : integer ); begin if j = 1 then ordenação está completa, imprima a lista ordenada else begin i=2; max := L(1); i_max :=1; while i < = j do begin if max < L(i) then begin max : = L(i) : i_max :=i; end i:= i + 1; end ; i:=i_max; troque L(i) com L(j); SelectionSort ( L,j - 1); end ; end ; j=3 SelectionSort (L,3 ); i Lista max 1 22 22 2 21 3 23 i_max 4 24 1 5 25

108. procedure SelectionSort (L: lista ;j : integer ); begin if j = 1 then ordenação está completa, imprima a lista ordenada else begin i=2; max := L(1); i_max :=1; while i < = j do begin if max < L(i) then begin max : = L(i) : i_max :=i; end i:= i + 1; end ; i:=i_max; troque L(i) com L(j); SelectionSort ( L,j - 1); end ; end ; j=5 SelectionSort (L,5 ); i Lista max 1 22 22 2 21 3 23 i_max 4 24 1 5 25

109. procedure SelectionSort (L: lista ;j : integer ); begin if j = 1 then ordenação está completa, imprima a lista ordenada else begin i=2; max := L(1); i_max :=1; while i < = j do begin if max < L(i) then begin max : = L(i) : i_max :=i; end i:= i + 1; end ; i:=i_max; troque L(i) com L(j); SelectionSort ( L,j - 1); end ; end ; j=5 SelectionSort (L,5 ); i Lista max 1 22 23 2 21 3 23 i_max 4 24 3 5 25

110. procedure SelectionSort (L: lista ;j : integer ); begin if j = 1 then ordenação está completa, imprima a lista ordenada else begin i=2; max := L(1); i_max =1; while i < = j do begin if max < L(i) then begin max : = L(i) : i_max :=i; end I:= i + 1; end ; i:=i_max; troque L(i) com L(j); SelectionSort ( L,j - 1); end ; end ; j=5 SelectionSort (L,5 ); i Lista max 1 22 23 2 21 3 23 i_max 4 24 3 5 25

111. procedure SelectionSort (L: lista ;j : integer ); begin if j = 1 then ordenação está completa, imprima a lista ordenada else begin i=2; max := L(1); i_max =1; while i < = j do begin if max < L(i) then begin max : = L(i) : i_max :=i; end I:= i + 1; end ; i:=i_max; troque L(i) com L(j); SelectionSort ( L,j - 1); end ; end ; j=5 SelectionSort (L,5 ); i Lista max 1 22 24 2 21 3 23 i_max 4 24 2 5 25

112. SelectionSort ( L, j - 1 ); SelectionSort (L, 3- 1 ); SelectionSort (L, 2 );

113. procedure SelectionSort (L: lista ;j : integer ); begin if j = 1 then ordenação está completa, imprima a lista ordenada else begin i=2; max := L(1); i_max :=1; while i < = j do begin if max < L(i) then begin max : = L(i) : i_max :=i; end i:= i + 1; end ; i:=i_max; troque L(i) com L(j); SelectionSort ( L,j - 1); end ; end ; j=2 SelectionSort (L,2 ); i Lista max 1 22 22 2 21 3 23 i_max 4 24 1 5 25

114. procedure SelectionSort (L: lista ;j : integer ); begin if j = 1 then ordenação está completa, imprima a lista ordenada else begin i=2; max := L(1); i_max :=1; while i < = j do begin if max < L(i) then begin max : = L(i) : i_max :=i; end i:= i + 1; end ; i:=i_max; troque L(i) com L(j); SelectionSort ( L,j - 1); end ; end ; j=5 SelectionSort (L,5 ); i Lista max 1 22 22 2 21 3 23 i_max 4 24 1 5 25

115. procedure SelectionSort (L: lista ;j : integer ); begin if j = 1 then ordenação está completa, imprima a lista ordenada else begin i=2; max := L(1); i_max =1; while i < = j do begin if max < L(i) then begin max : = L(i) : i_max :=i; end I:= i + 1; end ; i:=i_max; troque L(i) com L(j); SelectionSort ( L,j - 1); end ; end ; j=5 SelectionSort (L,5 ); i Lista max 1 22 22 2 21 3 23 i_max 4 24 1 5 25

116. procedure SelectionSort (L: lista ;j : integer ); begin if j = 1 then ordenação está completa, imprima a lista ordenada else begin i=2; max := L(1); i_max =1; while i < = j do begin if max < L(i) then begin max : = L(i) : i_max :=i; end I:= i + 1; end ; i:=i_max; troque L(i) com L(j); SelectionSort ( L,j - 1); end ; end ; j=5 SelectionSort (L,5 ); i Lista max 1 21 22 2 22 3 23 i_max 4 24 1 5 25

117. Sinal de uma função Definição. Uma função 𝑓 é positiva em um número 𝑐 se 𝑓 ( 𝑐 ) > 0. Uma função 𝑓 é negativa em um número 𝑐 se 𝑓 ( 𝑐 ) < 0. Observação. Determinar o sinal de uma função 𝑓 significa encontrar todos os valores de 𝑥 para os quais 𝑓 é positiva e todos os valores de 𝑥 para os quais 𝑓 é negativa. No gráfico, a função é positiva nos intervalos onde o gráfico está acima do eixo 𝑥 e negativa nos intervalos onde o gráfico está abaixo do eixo 𝑥 . 𝑦 + + + − + + − − + + − 𝑥 𝑓

118. Sinal de uma função Para determinar o sinal de um função do primeiro grau 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 basta encontrar o zero da função e verificar se ela é crescente ou decrescente. Crescente ( 𝑎 > 0) Decrescente ( 𝑎 < 0) Sinal da função do primeiro grau. Positiva 𝑏 −∞, − 𝑎 𝑏 − 𝑎 Positiva − , +∞ 𝑎 − 𝑏 𝑎 + + + + 𝑥 𝑏 Negativa − − 𝑏 −∞, − 𝑎 − − + + + + Negativa − − − 𝑏 − , +∞ 𝑎 − 𝑥

119. Sinal de uma função Positiva Negativa (2, +∞) (−∞, 2) 2 + 𝑥 − Exemplo. Determine o sinal da função 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 4 . Solução: Como 𝑎 = 2 e 𝑏 = −4 temos: 𝑏 −4 − = − = 2 𝑎 2 (Zero da Função) 𝑎 = 2 > (crescente) 𝑥 1 3 + − 𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≤ 1 3 Exemplo. Encontre o domínio da função . Solução : A função que está dentro da raiz deve ser não negativa, ou seja 𝑦 = 1 − 3𝑥 ≥ Como 𝑎 = −3 e 𝑏 = 1 temos: (Zero da Função) 𝑎 = −3 < (decrescente)  

120. Inequações do primeiro grau Portanto Analisando o sinal do quociente, tem- se Exemplo: Determine o domínio da função 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑥 3𝑥 + 6 Sinal do fator 1 − 𝑥 𝐷(𝑓) = (−2,1] Sinal do fator 3𝑥 + 6 1 −2 + 𝑥 − Intervalo onde 1 − 𝑥 3𝑥 + 6 ≥ 3𝑥 + 6 𝑆 𝑥 −2 1 Note que −2 ∉ 𝐷(𝑓) pois −2 zera o denominador!! Solução: Nesta caso, a condição imposta pela raiz quadrada é: 1 − 𝑥 3𝑥 + 6 ≥ 0. 𝑥 1 − + 1 − 𝑥 + + + + + + − − − 𝑥 1 + + + 1 − 𝑥 3𝑥 + 6 − − − + + + + + + + −2 − − − −2 𝑥 − − − 𝑥

121. Função do segundo grau Definição. Dados 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ tais que 𝑎 ≠ . A função 𝑓 ∶ ℝ → ℝ dada por 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 é chamada de função do segundo grau ou função quadrática . Exemplos. (a) 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 (b) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 2 + 3𝑥 − 1 (c) 𝑓 𝑥 = −𝑥 2 + 1 𝑐 = 𝑎 = 1 𝑏 = 𝑐 = −1 𝑎 = 2 𝑏 = 3 𝑐 = 1 𝑎 = −1 𝑏 = O gráfico de uma função quadrática é uma parábola . 𝑎 > 𝑎 < Se 𝑎 > , a parábola tem concavidade voltada para cima. Se 𝑎 < , a parábola tem concavidade voltada para baixo. Concavidade A parábola pode ter concavidade voltada para cima ou concavidade voltada para baixo, de acordo com o sinal do coeficiente 𝑎 .

122. Gráfico da função do segundo grau 2 3 4 𝑥 2 3 −4 −3 −2 −1 −1 4 5 6 1 7 8 𝑦 9 (−3, 9) (−2, 4) (−1, 1) (0, 0) 1 (1, 1) (2, 4) (3, 9) Com o objetivo de esboçar o gráfico da função 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 note que: 𝑓 −3 = (−3) 2 = 9 𝑓 −2 = (−2) 2 = 4 𝑓 −1 = (−1) 2 = 1 𝑓 = 2 = 𝑓 1 = (1) 2 = 1 𝑓 2 = (2) 2 = 4 𝑓 3 = (3) 2 = 9

123. Zeros da função do segundo grau Os zeros da função 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 podem ser obtidos resolvendo a equação do segundo grau 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = utilizando a fórmula de Bháskara. 𝑥 1,2 = −𝑏 ± ∆ 2𝑎 ∆ = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 A quantidade de zeros reais obtidas para uma função quadrática depende do sinal de ∆ . ∆ = Um único zero ∆ < Nenhum zero ∆ > Dois zeros ∆ > 𝑥 1 𝑥 2 Dois zeros reais e distintos ∆ = 𝑥 1 Um único zero real ∆ < Nenhum zero real

124. Sinal da função do segundo grau 𝑥 1 𝑥 1 ∆ = ∆ < 𝑥 1 𝑥 1 ∆ = ∆ < + + ∆ > + ∆ > − − − + 𝑥 2 + + + + + + + + + + + − − 𝑥 2 − − − − − − − − − − O sinal da função quadrática 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 depende dos sinais de 𝑎 (determina a concavidade) e de Δ (determina a quantidade de zeros). Concavidade voltada para cima (𝑎 > 0) Concavidade voltada para baixo (𝑎 < 0)

125. 5 𝑥 −1 1 2 3 −1 𝑦 4 −2 Função do segundo grau Exemplo. Esboce o gráfico, determine os zeros e o sinal da função quadrática 𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 3 ∆ = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = −4 2 − 4(1)(3) = 4 𝑥 1,2 = = −(−4) ± 4 4 ± 2 2(1) Portanto, 2 = 2 ± 1. Gráfico de 𝑓 𝑥 1 = 1 e 𝑥 2 = 3 (Zeros de 𝑓 ) Como 𝑐 = 3 , tem- se que o gráfico intercepta o eixo 𝑦 no ponto 0, 3 . Como 𝑎 > , a concavidade é voltada para cima. (1, 0) (3, 0) 1 2 3 4 (0, 3) Sinal Positiva Negativa −∞, 1 ∪ (3, +∞) (1,3) Solução: Neste caso, tem- se 𝑎 = 1, 𝑏 = −4 e 𝑐 = 3 .

126. Função do segundo grau Exemplo. Determine o domínio da função 𝑥 = − −1 ± −1 2 − 4 ∙ 1 ∙ −6 2 ∙ 1 = 1 ± 25 2 𝑓 𝑥 4 = 𝑥 2 − 𝑥 − 6 = 1 ± 5 2 𝑥 1 = 1 + 5 2 = 3 𝑥 2 = 1 − 5 2 = −2 + − − + Solução: Será necessário determinar os valores de 𝑥 para os quais a função 𝑦 = 𝑥 2 − 𝑥 − 6 é não negativa. Para isso, será analisado o sinal desta função. Usando a fórmula de Bháskara para encontrar os zeros desta função, tem- se Estudo do sinal Como 𝑎 > , a parábola possui concavidade voltada para cima. −2 3 Sinal da função Portanto, o conjunto solução da inequação 𝑥 2 − 𝑥 − 6 ≥ é dado por: 𝐷 𝑓 = −∞, −2 ∪ 3, +∞ .

127. Coordenadas do vértice No gráfico de uma função quadrática 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , o ponto mínimo ( 𝑎 > ) ou ponto máximo ( 𝑎 < ) é chamado de vértice da parábola. Coordenadas do vértice 𝑏 𝑥 𝑣 = − 2𝑎 ∆ 𝑦 𝑣 = − 4𝑎 e Observação. Imagem da função quadrática: Se 𝑎 > , então: Se 𝑎 < , então: 𝐼𝑚 𝑓 𝐼𝑚 𝑓 = [𝑦 𝑣 , +∞) = (−∞, 𝑦 𝑣 ] (𝑎 > 0) Mínimo (𝑎 < 0) Máximo 𝑦 𝑥 𝑥 𝑣 𝑦 𝑣 Vértice 𝐼𝑚(𝑓) 𝑦 𝑥 Vértice 𝑥 𝑣 𝑦 𝑣 𝐼𝑚(𝑓)

128. 5 𝑥 1 −1 2 3 −1 4 5 𝑦 6 1 Função do segundo grau Exemplo. Esboce o gráfico da função 𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 5 5 = −4 Gráfico de 𝑓 Portanto, 𝑓 não possui zeros. Como 𝑐 = 5 , tem- se que o gráfico intercepta o eixo 𝑦 no ponto 0, 5 . (0, 5) 𝑣 2(1) (−4) 𝑥 = − = 2 ∆ −4 𝑦 𝑣 = − 4𝑎 = − 4 1 = 1 𝑉(2, 1) 2 3 4 Portanto, o vértice da parábola é dado por 𝑉 2,1 . Como 𝑎 > , a concavidade é voltada para cima. Solução: Neste caso, tem- se 𝑎 = 1, 𝑏 = −4 e 𝑐 = 5 . ∆ = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = −4 2 − 4 1

129. Crescimento/decrescimento A abscissa do vértice ( 𝑥 𝑣 ) na função quadrática 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , delimita onde ocorre uma mudança de comportamento no gráfico da função. 𝑥 Decrescente [𝑥 𝑣 , +∞) Crescente [𝑥 𝑣 , +∞) Decrescente (−∞, 𝑥 𝑣 ] Crescente (−∞, 𝑥 𝑣 ] Mínimo Muda de decrescente para crescente. Máximo Muda de crescente para decrescente. Exemplo. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função Solução: Decrescente (−∞, 2] Crescente [2, +∞) Compare o resultado obtido com o gráfico desta função, no slide anterior. (𝑎 > 0) 𝑥 𝑣 = 2 𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 5 ( mesma função do exemplo anterior) (𝑎 > 0) (𝑎 < 0) 𝑦 𝑥 𝑥 𝑣 𝑦 𝑣 Mínimo 𝑦 Máximo 𝑥 𝑣 𝑦 𝑣

130. Função do segundo grau Solução: O domínio da função é formado pelos valores de 𝑥 nos quais Exemplo. Determine o domínio da função 2𝑥 − 2 𝑥 2 − 9 ≥ 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 2 𝑥 2 − 9 . 𝑥 2 − 9 3 −3 Sinal do denominador + − + 2𝑥 − 2 1 Sinal do numerador − − + Portanto Analisando o sinal do quociente, tem- se 𝐷(𝑓) = (−3, 1] ∪ (3, +∞). 𝑥 2𝑥 − 2 − − − − − + + + + −3 𝑥 1 3 𝑥 𝑥 2 − 9 3 𝑥 1 3 2𝑥 − 2 𝑥 2 − 9 𝐷(𝑓) 1 + + − − − − − + + −3 − − + + − − + + −3

131. Exercícios Propostos

132. Exercícios 1) Para cada uma das funções de 1º grau abaixo, classifique-as em crescente ou decrescente, encontre o zero da função e esboce o gráfico. (a) 𝑦 = 2𝑥 + 3 (b) 𝑦 = −𝑥 + 3 (c) 𝑦 = 2𝑥 − 1 (d) 𝑦 = −3𝑥 + 4 2) Em cada caso, determine a lei de formação da função representada pelo gráfico. a) b) −2 −1 1 2 3 𝑥 1 2 −1 −3 3 4 𝑦 5 1 2 3 𝑥 1 2 −1 −3 −2 −1 3 4 𝑦 5

133. Exercício 1: Respostas Crescente zero: 𝑥 = − 3 2 a) 1 2 3 𝑥 1 2 −1 −1 −3 −2 3 4 𝑦 5 Decrescente zero: 𝑥 = 3 b) 1 2 3 4 5 𝑥 1 2 −1 −1 3 4 𝑦 5

134. Respostas Crescente zero: 𝑥 = 1 2 c) 1 2 3 𝑥 1 2 −1 −3 −2 −1 3 4 𝑦 5 Decrescente zero: 𝑥 = 4 3 d) 1 2 3 4 5 𝑥 1 2 −1 −1 3 4 𝑦 5

135. Respostas 2 3𝑥 𝑦 = + 3 𝑦 = −𝑥 + 2 Exercício 2: a) b ) a) b) −2 −1 1 2 3 𝑥 1 2 −1 −3 3 4 𝑦 5 1 2 3 𝑥 1 2 −1 −3 −2 −1 3 4 𝑦 5

136. 3) Para cada uma das funções de 2º grau a seguir, determine os zeros (se existirem), as coordenadas do vértice, o conjunto imagem e esboce o gráfico. (a) 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 (c) 𝑦 = −𝑥 2 − 1 (b) 𝑦 = −𝑥 2 + 2𝑥 + 3 (d) 𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 4 Exercícios 4) Determine o domínio de cada uma das funções dadas: (a) 𝑦 = 𝑥 + 3 (b) 𝑦 = 5 − 𝑥 2𝑥 + 1 (f) 𝑦 = 3 2 − 𝑥 (c) 𝑓 𝑥 = 5𝑥 − 𝑥 2 (e) 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 + 2𝑥 − 8 −𝑥 2 + 9 (d) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1 𝑥 2 + 𝑥 − 6

137. Respostas Exercício 3: Vértice: V(1, −1) Imagem: 𝐼𝑚 𝑓 Zeros: 𝑥 1 = e 𝑥 2 = 2 a) = [−1, +∞) 1 2 3 4 5 𝑥 −1 −2 3 2 1 5 4 −3 −2 −1 (a) 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 (𝑎 > 0) Mínimo ∆ > 𝑥 1 𝑥 2 Dois zeros reais e distintos 𝑦  

138. Respostas = (−∞, 4] Zeros: 𝑥 1 = −1 e 𝑥 2 = 3 b) Vértice: V(1, 4) Imagem: 𝐼𝑚 𝑓 𝑦 1 2 3 4 5 𝑥 1 2 −1 −2 3 4 5 −3 −2 −1 (b) 𝑦 = −𝑥 2 + 2𝑥 + 3   (𝑎 < 0) Máximo

139. Respostas 1 2 3 4 𝑥 −2 −1 −4 −3 −2 −1 −3 1 2 −4 −5 Zeros: Não existem. Vértice: V(0, −1) Imagem: 𝐼𝑚 𝑓 = (−∞, −1] 𝑦 c) (c) 𝑦 = −𝑥 2 − 1 ∆ < (𝑎 < 0) Máximo  

140. Respostas = [0, +∞) d) Zeros: 2 Vértice: V(2, 0) Imagem: 𝐼𝑚 𝑓 𝑦 1 2 3 4 5 𝑥 1 2 −1 −2 3 4 5 −3 −2 −1 (d) 𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 4 ∆ = 𝑥 1 Um único zero real (𝑎 > 0) Mínimo  

141. Exercícios 4) Determine o domínio de cada uma das funções dadas: (a) 𝑦 = 𝑥 + 3 Crescente ( 𝑎 > 0) − 𝑏 𝑎 + + + + 𝑥 − − − −  

142. Exercícios 4) Determine o domínio de cada uma das funções dadas: (b) 𝑦 = 5 − 𝑥 Decrescente ( 𝑎 < 0) 𝑏 − 𝑎 + + + + − − − − 𝑥  

143. Exercícios 4) Determine o domínio de cada uma das funções dadas: (c) 𝑓 𝑥 = 5𝑥 − 𝑥 2   𝑥 1 + + ∆ > − − 𝑥 2 Concavidade voltada para baixo (𝑎 < 0)

144. Exercícios 4) Determine o domínio de cada uma das funções dadas: (d) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1 𝑥 2 + 𝑥 − 6   Concavidade voltada para cima (𝑎 > 0) 𝑥 1 + ∆ > − − − + 𝑥 2

145. Exercícios 4) Determine o domínio de cada uma das funções dadas: (e) 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 + 2𝑥 − 8 −𝑥 2 + 9 𝐷 ( 𝑓 ) = [−4, −3) ∪ [2,3)     -3 + + − − 3 -4 + − − − + 2 − + − − +

146. Exercícios 4) Determine o domínio de cada uma das funções dadas: 2𝑥 + 1 (f) 𝑦 = 3 2 − 𝑥 𝐷 𝑓 = ℝ − {2}

147. Exercícios 5) Obtenha os intervalos nos quais a função dada é crescente e nos quais é −2 6) Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos A e B nos seguintes casos e esboce o gráfico: (a) 𝐴 1 , 2 𝐵(2 , 3) (b) 𝐴 −1 , 𝐵(4 , 2) (c) 𝐴 2 , 1 𝐵(0 , 4) (a) y = 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 (b) y = −𝑥 2 + 7𝑥 − 10 (c) y = 𝑥 2 + 2𝑥 + 1 7) Construa os gráficos das funções definidas em ℝ e faça o estudo de sinal. decrescente, indicando pontos de máximo e de mínimo para a figura a seguir: 𝑦 𝑥 1 2 3 4 5 −1 5 4 3 2 1 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 6 7

148. Respostas Exercício 5: Intervalos crescentes: (- 7 , - 4) U (- 1 , 1) U (4 , 6) Intervalos decrescentes: (- 4 , - 1) U (1 , 4) U (6 , 7) Pontos de máximos: { (- 4 , 2), (1 , 3), (6 , 5) } Pontos de mínimo: { (- 1 , - 2), (4 , 1) } (𝑎 > 0) (𝑎 < 0) 𝑦 𝑥 𝑥 𝑣 𝑦 𝑣 Mínimo 𝑦 Máximo 𝑥 𝑣 𝑦 𝑣 𝑦 𝑥 1 2 3 4 5 −1 5 4 3 2 1 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 6 7 −2

149. Respostas Exercício 6: 1 2 3 4 5 𝑥 −1 −2 3 2 1 4 5 −3 −2 −1 (a) 𝐴 ( 1 , 2 ) 𝐵(2 , 3) a) 𝑦 = 𝑥 + 1    

150. b) 𝑦 = 2 𝑥 + 2 5 5 Respostas 1 2 3 4 5 𝑥 1 2 −1 −2 −1 −2 3 4 𝑦 5 −3 b) 𝐴 ( −1 , ) 𝐵(4 , 2)    

151. Respostas b) 3 𝑦 = − 𝑥 + 4 2 1 2 3 4 5 𝑥 1 2 −1 −2 3 4 5 −3 −2 −1 (c) 𝐴 ( 2 , 1 ) 𝐵(0 , 4)  

152. 1 2 3 4 5 𝑥 1 2 −1 −2 3 4 𝑦 5 −3 −2 −1 Positiva: −∞, 1 Negativa: (1 , 2) ∪ (2, +∞) Exercício 7: Respostas a) (a) y = 𝑥 2 − 3𝑥 + 2  

153. Exercício 7: Respostas b) 1 2 3 4 5 𝑥 1 2 −1 −2 3 4 𝑦 5 −3 −2 −1 Positiva: (2 , 5) −∞, 2 ∪ (5, +∞) Negativa: (b) y = −𝑥 2 + 7𝑥 − 10  

154. 1 2 3 4 5 𝑥 −1 −2 4 3 2 1 𝑦 5 −3 −2 −1 Positiva: −∞, −1 ∪ (−1, +∞) c) Respostas   (c) y = 𝑥 2 + 2𝑥 + 1

155. Função composta De forma simplificada, suponha que seja necessário realizar dois cálculos, onde o resultado do segundo cálculo depende do resultado encontrado no primeiro. A ideia de função composta é acoplar ou compor os dois cálculos em uma única fórmula. Exemplo. A incidência de Dengue é dada em função da proliferação do mosquito Aedes aegypti, que é o transmissor desta doença. Contudo, a proliferação do referido mosquito é dada em função do número de criadouros do mesmo. Portanto, pode- se dizer que a incidência desta doença pode ser dada em função do número de criadouros. Função composta Criadouros Número de mosquitos Segunda função Primeira função Pessoas infectadas

156. Função composta Observação: Na expressão 𝑔 ∘ 𝑓 , a função 𝑓 é chamada de função de dentro e a função 𝑔 é chamada de função de fora . Definição. Dadas as funções 𝑓: 𝐴 → 𝐵 e 𝑔: 𝐵 → 𝐶 , a função 𝑔 ∘ 𝑓: 𝐴 → 𝐶, dada por é chamada de função composta de 𝑓 e 𝑔 . 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑓(𝑥)) ∀𝑥 ∈ 𝐴. 𝑥 𝑓(𝑥) 𝑨 𝑓 𝑩 𝑪 𝑔(𝑓 𝑥 ) 𝑔 𝑔 ∘ 𝑓 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑓(𝑥)) Função de dentro Função de fora

157. Função composta Exemplo. Uma determinada empresa fabrica placas de trânsito (quadradas) de vários tamanhos, a um custo de R$ 25,00 o metro quadrado da placa. Determine a lei da função que estabelece: a área de uma placa em função do comprimento do lado do quadrado; o custo de uma placa em função de sua área, em metros quadrados; o custo final de uma placa em função do comprimento do seu lado. Solução: (b) (c) (a) 𝑥: comprimento do lado de cada placa; 𝑓 𝑥 : área de uma placa de lado 𝑥 ; 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 𝑦: área de cada placa; 𝑔 𝑦 : custo para fabricação de uma placa de área 𝑦 ; 𝑔 𝑦 = 25 ⋅ 𝑦 𝑥: comprimento do lado de cada placa; ℎ 𝑥 : custo para fabricação de uma placa de lado 𝑥 ; ℎ(𝑥) = 25 ⋅ 𝑥 2 Note que ℎ 𝑥 = 𝑔(𝑓(𝑥)) é a função composta, que “acopla” as duas informações anteriores. 𝑥 𝑥 2 25 ⋅ 𝑥 2 Representação na forma de diagrama 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 𝑔 𝑦 = 25 ⋅ 𝑦 ℎ(𝑥) = 25 ⋅ 𝑥 2

158. Função composta Exemplo. Dadas as funções 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 e 𝑔 𝑥 = 𝑥 3 , calcule 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 . 𝑥 𝑥 + 1 𝑓 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑥 + 1 3 𝑔 𝑔 𝑥 = 𝑥 3 𝑔 ∘ 𝑓 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 + 1 = 𝑥 + 1 3 Solução: Note que 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(𝑥 + 1) = 𝑥 + 1 3 . 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 Representação na forma de diagrama

159. Função composta Exemplo. Dadas as funções 𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 2 e 𝑔 𝑥 (c) (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑥 2 − 5 , calcule (d) (𝑓 ∘ 𝑔)(2) (a) (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) Solução: (a) (b) (𝑔 ∘ 𝑓)(2) (b) (c) (d) = 3𝑥 + 2 2 − 5 = 3𝑥 2 − 15 + 2 = 3𝑥 2 − 13. = 𝑓 𝑥 2 − 5 = 3 𝑥 2 − 5 + 2 = 3 2 2 − 13 = 12 − 13 = −1. 𝑓 ∘ 𝑔 2 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 𝑔 ∘ 𝑓 = 9𝑥 2 + 12𝑥 + 4 − 5 = 9𝑥 2 + 12𝑥 − 1. 2 = 9(2) 2 +12 2 − 1 = 36 + 24 − 1 = 59. 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑓 𝑥 = 𝑔 3𝑥 + 2

160. Função composta Solução: Lembre que Exemplo. Em cada caso, encontre duas funções ℎ e 𝑔 tais que 𝑓 = ℎ ∘ 𝑔 . 1 (a) 𝑓 𝑥 = 5𝑥 + 6 (b) 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 + 1 𝑓 = ℎ ∘ 𝑔 ℎ ∘ 𝑔 “Prova real” 𝑥 = ℎ 𝑔 𝑥 = ℎ 5𝑥 + 6 (b) 𝑔 𝑥 = 5𝑥 + 6 Função de dentro ℎ 𝑥 = 𝑥 Função de fora = 5𝑥 + 6 = 𝑓(𝑥) Função de dentro: primeira função que age. Função de fora: segunda função que age. (a) 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 + 1 Função de dentro ℎ 𝑥 = 1 𝑥 Função de fora ℎ ∘ 𝑔 “Prova real” 𝑥 = ℎ 𝑔 𝑥 = ℎ 𝑥 2 + 1 = 1 2 𝑥 + 1 = 𝑓(𝑥)

161. Exercícios Propostos

162. Exercícios = −12𝑥 + 2 , determine: Sabendo que ℎ 𝑥 = 𝑥 2 + 3𝑥 − 1 e 𝑖 𝑥 𝑖 ∘ 𝑖 (b) ℎ ∘ ℎ  

163. Exercícios 2) Sejam 𝑓: [0, +∞) → ℝ , 𝑔: ℝ → ℝ , e ℎ: ℝ ∗ → ℝ ∗ dadas por Obtenha : ( a ) 𝑓 ∘ 𝑓 ∘ 𝑔 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 + 1 ℎ 𝑥 = 1 𝑥

164. Exercícios 2) Sejam 𝑓: [0, +∞) → ℝ , 𝑔: ℝ → ℝ , e ℎ: ℝ ∗ → ℝ ∗ dadas por Obtenha : ( a ) 𝑓 ∘ 𝑓 ∘ 𝑔 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 + 1 ℎ 𝑥 = 1 𝑥  

165. Exercícios Obtenha : ( b ) 𝑓 ∘ 𝑔 ∘ ℎ 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 + 1 ℎ 𝑥 = 1 𝑥 2) Sejam 𝑓: [0, +∞) → ℝ , 𝑔: ℝ → ℝ , e ℎ: ℝ ∗ → ℝ ∗ dadas por

166. Exercícios Obtenha : ( b ) 𝑓 ∘ 𝑔 ∘ ℎ 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 + 1 ℎ 𝑥 = 1 𝑥 2) Sejam 𝑓: [0, +∞) → ℝ , 𝑔: ℝ → ℝ , e ℎ: ℝ ∗ → ℝ ∗ dadas por  

167. Exercícios Obtenha : ( c ) 𝑓 ∘ ℎ ∘ 𝑓 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 + 1 ℎ 𝑥 = 1 𝑥 2) Sejam 𝑓: [0, +∞) → ℝ , 𝑔: ℝ → ℝ , e ℎ: ℝ ∗ → ℝ ∗ dadas por

168. Exercícios Obtenha : ( c ) 𝑓 ∘ ℎ ∘ 𝑓 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 + 1 ℎ 𝑥 = 1 𝑥 2) Sejam 𝑓: [0, +∞) → ℝ , 𝑔: ℝ → ℝ , e ℎ: ℝ ∗ → ℝ ∗ dadas por  

169. Exercícios 3. Para e temos que é:  

170. Exercícios 3. Para e temos que é:  

171. Exercícios Sejam as funções reais 𝑓 e 𝑔 , definidas por 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 2 + 4𝑥 − 5 e 𝑔 ( 𝑥 ) = 2𝑥 − 3 . Obtenha 𝑓 ∘ 𝑔 e d etermine os valores do domínio da função (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) que produzem imagem 16.

172. Exercícios Sejam as funções reais 𝑓 e 𝑔 , definidas por 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 2 + 4𝑥 − 5 e 𝑔 ( 𝑥 ) = 2𝑥 − 3 . Obtenha 𝑓 ∘ 𝑔 e d etermine os valores do domínio da função (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) que produzem imagem 16.    

173. Exercícios 5) Dadas as funções reais definidas por 𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 2 e 𝑔 𝑥 determine o valor de 𝑎 de modo que se obtenha 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑔 ∘ 𝑓 . = 2𝑥 + 𝑎 ,

174. Exercícios 5) Dadas as funções reais definidas por 𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 2 e 𝑔 𝑥 determine o valor de 𝑎 de modo que se obtenha 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑔 ∘ 𝑓 . = 2𝑥 + 𝑎 ,  

175. Exercícios 6 ) Sejam as funções reais 𝑓 𝑥 a lei da 𝑔 . = 3𝑥 − 5 e 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 − 3 . Determine  

176. Exercícios 7 ) Se 𝑓 𝑥 = 1 1−𝑥 , Determine (𝑓 ∘ (𝑓 ∘ 𝑓)) 𝑥 em uma expressão simplificada e irredutível.

177. Exercícios 7 ) Se 𝑓 𝑥 = 1 1−𝑥 , Determine (𝑓 ∘ (𝑓 ∘ 𝑓)) 𝑥 em uma expressão simplificada e irredutível.  

178. Exercícios   8. Sejam as funções definidas por e . Determinar os domínios das funções e     Concavidade voltada para cima (𝑎 > 0) 𝑥 1 + ∆ > − − − + 𝑥 2

179. Exercícios   8. Sejam as funções definidas por e . Determinar os domínios das funções e    

180. Função inversa Seja f(x) uma função f: A→ B, em que f(a) = b. Se seja a função f(x) bijetora se pode definir uma função 𝑔 com domínio igual a 𝐵 e contra domínio igual a 𝐴 que faz as relações inversas das relações determinadas pela função 𝑓 . A função 𝑔 acima é chamada de função inversa da função 𝑓 , e é denotada por 𝑓 −1 . Exemplo. 𝑓 −1 𝑓 −1 𝑓 −1 𝑎 = 𝑏 = 1 𝑐 = 2 𝑓 = 𝑎 𝑓 1 = 𝑏 𝑓 2 = 𝑐 𝑓: 𝐴 → 𝐵 Domínio: 𝐴 Imagem: 𝐵 Domínio: 𝐵 Imagem: 𝐴 𝑓 −1 : 𝐵 → 𝐴 1 2 𝑎 𝑏 𝑐 𝑨 𝑩 𝑓 𝑩 𝑨 𝑓 −1 1 2 𝑎 𝑏 𝑐

181. Função inversa Exemplo. Determine a função inversa de 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 4 Solução: Neste caso, a função é dada por 𝑦 = 2𝑥 + 4 Seguindo os passos para encontrar a função inversa, tem- se: Substitua 𝑥 por 𝑦 e 𝑦 por 𝑥 na lei de formação da função 𝑦 = 𝑓 𝑥 . 𝑥 = 2𝑦 + 4 Isole a variável 𝑦 na equação obtida no passo anterior. 𝑓 −1 2 𝑥 − 4 𝑥 = . 𝑥 = 2𝑦 + 4 2𝑦 = 𝑥 − 4 Portanto, a função inversa é dada por: 𝑥 − 4 𝑦 = 2

182. Função inversa Exemplo. Determine a função inversa de 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 5 Solução: Neste caso, a função é dada por 𝑦 = 𝑥 3 − 5 Seguindo os passos para encontrar a função inversa, tem- se: Substitua 𝑥 por 𝑦 e 𝑦 por 𝑥 na lei de formação da função 𝑦 = 𝑓 𝑥 . 𝑥 = 𝑦 3 − 5 Isole a variável 𝑦 na equação obtida no passo anterior. 𝑓 −1 3 𝑥 = 𝑥 + 5. 𝑥 = 𝑦 3 − 5 𝑦 3 = 𝑥 + 5 Portanto, a função inversa é dada por: 3 𝑦 = 𝑥 + 5

183. Gráfico da função inversa Para obter a função inversa de uma função bijetora, o processo consiste em “inverter os papéis de 𝒙 e 𝒚 ” na lei de formação da função. Desta inversão, resulta que os gráficos das funções 𝑓 simétricos em relação à reta 𝑦 = 𝑥 . Exemplo. e 𝑓 −1 são 1 2 3 4 5 6 𝑥 6 5 4 3 2 1 𝑦 𝑦 = 𝑥 𝑓 −1 𝑓

184. 𝑥 1 2 1 −3 −2 −1 −3 2 3 𝑦 4 −1 −2 −4 −4 3 4 Gráfico da função inversa Exemplo. Considere a função bijetora 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 . (b) Esboce os gráficos de 𝑓 e 𝑓 −1 ; 𝑦 = 𝑥 𝑦 = 𝑥 3 𝑦 = 3 𝑥 (a) Determine a lei de formação de 𝑓 −1 ; Solução: (a) Determinando a função 𝑓 −1 , tem- se 𝑦 = 𝑥 3 𝑥 = 𝑦 3 𝑦 = 3 𝑥 𝑓 −1 (𝑥) = 3 𝑥 (b) Esboçando os gráficos de 𝑓 e 𝑓 −1 é possível perceber a simetria em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares (reta 𝑦 = 𝑥 ).

185. Função logarítmica e função exponencial Em outras palavras, função exponencial de base 𝑎 é bijetora, e sua função inversa é a função logarítmica de base 𝑎 . + 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 𝑓: ℝ ⟶ ℝ ∗ 𝑥 = log 𝑎 𝑥 + 𝑓 −1 𝑓 −1 : ℝ ∗ ⟶ ℝ Observação: A inversa da função exponencial de base 𝑎 é a função logarítmica de mesma base. Observação: Lembre que existe simetria , em relação à reta 𝑦 = 𝑥 , entre os gráficos de uma função 𝑓 e de sua inversa 𝑓 −1 . Exemplo. Em cada caso, determine a função inversa da função dada. (a) 𝑓 𝑥 = log 5 𝑥 (b) 𝑓 𝑥 = 4 𝑥 Solução: Em cada caso, tem- se 𝑓 −1 𝑓 −1 𝑥 = 5 𝑥 𝑥 = log 4 𝑥 A inversa da função logarítmica de base 5 é a função exponencial de base 5 . A inversa da função exponencial de base 4 é a função logarítmica de base 4 .

186. 1 2 3 4 5 𝑥 2 1 −1 −2 −2 −1 𝑦 5 4 3 1 2 3 4 5 𝑥 −1 −2 −2 −1 𝑦 5 4 3 2 1 𝑦 = 𝑥 𝑦 = 𝑥 𝑦 = 2 𝑥 2 𝑦 = log 𝑥 𝑓 −1 𝑥 = log 2 𝑥 Exemplo. Determine a função inversa da função exponencial 𝑓 𝑥 = 2 𝑥 Esboce os gráficos de 𝑓 e 𝑓 −1 . Solução: A função inversa da função exponencial é a função Função logarítmica e função exponencial

187. Função inversa Observação. Note que 𝑓 −1 possui domínio igual a 𝐵 e contradomínio igual a 𝐴 . 𝑓 −1 : 𝐵 → 𝐴 “o que era domínio vira imagem e o que era imagem vira domínio ” . Observação. Somente funções bijetoras possuem inversa. Por este motivo, as funções bijetoras são ditas funções inversíveis. Para determinar a lei de formação da função inversa de uma função bijetora, basta seguir os passos: Substitua 𝑥 por 𝑦 e 𝑦 por 𝑥 na lei de formação da função 𝑦 = 𝑓 𝑥 . Isole a variável 𝑦 na equação obtida no passo anterior. O resultado obtido será a função inversa 𝑦 = 𝑓 −1 (𝑥) .

188. Exercícios Propostos

189. Exercícios Determine a lei da função inversa às seguintes funções: 𝑦 = 𝑥 + 3 𝑦 = 6𝑥 𝑦 = 2𝑥 − 1 𝑥−2 (d) 𝑦 = 𝑥+2 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≠ 2

190. Exercícios Determine a lei da função inversa às seguintes funções: 𝑦 = 𝑥 + 3 𝑦 = 6𝑥 𝑦 = 2𝑥 − 1 𝑥−2 (d) 𝑦 = 𝑥+2 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≠ 2        

191. Exercícios 2) Dada a função 𝑓 𝑥 = 5𝑥 + 11 , calcule 𝑓 −1 (6) . + 𝑓 −1 3) Calcule 𝑓 −1 2 3 , sabendo que 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 2 .    

192. Exercícios 4) A função f em definida por admite função inversa? Justifique  

193. Exercícios 4) A função f em definida por admite função inversa? Justifique Não, pois f não é injetora e logo não é bijetora. Por exemplo:  

194. Exercícios 5) Dadas as funções f e g, determinar a função inversa de g o f:  

195. Exercícios 5) Dadas as funções f e g, determinar a função inversa de g o f:  

196. Exercícios 5) Dadas as funções f e g, determinar a função inversa de g o f: b)    

197. Exercícios 7) Nas funções bijetoras abaixo, de ℝ em ℝ , obtenha a lei de correspondência que define a função inversa. (a) 𝑝 𝑥 = 𝑥 − 1 3 + 2 𝑟(𝑥) = 3 𝑥 − 1 3 (c) 𝑠(𝑥) = 1 − 𝑥 3

198. Exercícios 7) Nas funções bijetoras abaixo, de ℝ em ℝ , obtenha a lei de correspondência que define a função inversa. (a) 𝑝 𝑥 = 𝑥 − 1 3 + 2 𝑟(𝑥) = 3 𝑥 − 1 3 (c) 𝑠(𝑥) = 1 − 𝑥 3