Aula 5- Aritmética - 2025 (1).pdf critérios de divisibilidade
daniseabra78
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Oct 26, 2025
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About This Presentation
Aritmética basica
Slide Content
AULA TEÓRICA 6
AULA 5
Primos
Teorema Fundamental Aritmética
Pequeno Teorema de Fermat
AULA 5
Primos
Teorema Fundamental Aritmética
Pequeno Teorema de Fermat
DEFINIÇÃO 1
Um inteiro �>1é primo quando os seus únicos divisores positivos são 1e �.
Quando um inteiro �>1possui um divisor positivo �,com 1<�<�,ele é dito
composto.
Um inteiro �>1é primo quando os seus únicos divisores positivos são 1e �.
Quando um inteiro �>1possui um divisor positivo �,com 1<�<�,ele é dito
composto.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1
Seja �>1um número composto. Seja �
′
=min�∈ℕ��,1<�<�.Prove que �′é
primo.
Seja �>1um número composto. Seja �
′
=min�∈ℕ��,1<�<�.Prove que �′é
primo.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1
Resolução.
Suponha que �′seja composto. Assim existe um inteiro �′′, com 1<�
′′
<�
′
,tal que �
′′
|�
′
.
Ora, temos então �
′′
|�e �
′′
<�
′
.
Absurdo.
Resolução.
Suponha que �′seja composto. Assim existe um inteiro �′′, com 1<�
′′
<�
′
,tal que �
′′
|�
′
.
Ora, temos então �
′′
|�e �
′′
<�
′
.
Absurdo.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 2
Seja �>1um natural. Se �não é divisível por nenhum primo �tal que �
2
≤�.
Então �é primo.
Suponha, por contradição, que �é composto.
De acordo com o exercício resolvido 7, �=min�∈ℕ��,1<�<�é primo.
Existe �≥�tal que �=��,pois �divide �.
Logo �=��≥�.�=�
2
.
Absurdo, pois �não é divisível por nenhum primo �tal que �
2
≤�
Seja �>1um natural. Se �não é divisível por nenhum primo �tal que �
2
≤�.
Então �é primo.
Suponha, por contradição, que �é composto.
De acordo com o exercício resolvido 7, �=min�∈ℕ��,1<�<�é primo.
Existe �≥�tal que �=��,pois �divide �.
Logo �=��≥�.�=�
2
.
Absurdo, pois �não é divisível por nenhum primo �tal que �
2
≤�
EXERCÍCIO RESOLVIDO 2
Com base no exercício resolvido 1, �é primo. Existe �<�tal que
�=�.�≥�
2
.
Assim �≥�.
Com base no exercício resolvido 1, �é primo. Existe �<�tal que
�=�.�≥�
2
.
Assim �≥�.
APLICAÇÃO: CRIVO DE ERATÓSTENES
Determine os números primos entre 1 e 100
Passo 1: cálculo da raiz quadrada de 100:10.
Passo 2: primos selecionados para a análise: 2,3,5,7
Passo 3: reconhecimento dos números compostos
Determine os números primos entre 1 e 100
Passo 1: cálculo da raiz quadrada de 100:10.
Passo 2: primos selecionados para a análise: 2,3,5,7
Passo 3: reconhecimento dos números compostos
APLICAÇÃO: CRIVO DE ERATÓSTENES
APLICAÇÃO: CRIVO DE ERATÓSTENES
APLICAÇÃO: CRIVO DE ERATÓSTENES
APLICAÇÃO: CRIVO DE ERATÓSTENES
APLICAÇÃO: CRIVO DE ERATÓSTENES
APLICAÇÃO: CRIVO DE ERATÓSTENES
⚪1 ✅2 ✅3 ❌4 ✅5 ❌6 ✅7 ❌8 ❌9 ❌10
✅11 ❌12 ✅13 ❌14 ❌15 ❌16 ✅17 ❌18 ✅19 ❌20
✅21 ❌22 ❌23 ❌24 ❌25 ❌26 ❌27 ❌28 ✅29 ❌30
✅31 ❌32 ❌33 ❌34 ❌35 ❌36 ✅37 ❌38 ❌39 ❌40
✅41 ❌42 ✅43 ❌44 ❌45 ❌46 ✅47 ❌48 ❌49 ❌50
✅51 ❌52 ✅53 ❌54 ❌55 ❌56 ❌57 ❌58 ✅59 ❌60
✅61 ❌62 ❌63 ❌64 ❌65 ❌66 ✅67 ❌68 ❌69 ❌70
✅71 ❌72 ✅73 ❌74 ❌75 ❌76 ❌77 ❌78 ✅79 ❌80
✅81 ❌82 ✅83 ❌84 ❌85 ❌86 ❌87 ❌88 ✅89 ❌90
❌91 ❌92 ❌93 ❌94 ❌95 ❌96 ✅97 ❌98 ❌99 ❌100
⚪1 ✅2 ✅3 ❌4 ✅5 ❌6 ✅7 ❌8 ❌9 ❌10
✅11 ❌12 ✅13 ❌14 ❌15 ❌16 ✅17 ❌18 ✅19 ❌20
✅21 ❌22 ❌23 ❌24 ❌25 ❌26 ❌27 ❌28 ✅29 ❌30
✅31 ❌32 ❌33 ❌34 ❌35 ❌36 ✅37 ❌38 ❌39 ❌40
✅41 ❌42 ✅43 ❌44 ❌45 ❌46 ✅47 ❌48 ❌49 ❌50
✅51 ❌52 ✅53 ❌54 ❌55 ❌56 ❌57 ❌58 ✅59 ❌60
✅61 ❌62 ❌63 ❌64 ❌65 ❌66 ✅67 ❌68 ❌69 ❌70
✅71 ❌72 ✅73 ❌74 ❌75 ❌76 ❌77 ❌78 ✅79 ❌80
✅81 ❌82 ✅83 ❌84 ❌85 ❌86 ❌87 ❌88 ✅89 ❌90
❌91 ❌92 ❌93 ❌94 ❌95 ❌96 ✅97 ❌98 ❌99 ❌100
LEMA DE GAUSS
VERSÃO PARA PRIMOS
Resultado visto na aula teórica 3.
Sejam �,�e �inteiros. Se �|��e �,�=1,então �|�.
Adaptação para aula atual.
VERSÃO PARA PRIMOS
Resultado visto na aula teórica 3.
Sejam �,�e �inteiros. Se �|��e �,�=1,então �|�.
Adaptação para aula atual.
LEMA DE GAUSS
VERSÃO PARA PRIMOS
Sejam ??????,�e �inteiros, com ??????primo. Se ??????|��e ??????∤�
(consequentemente �,??????=�), então ??????|�.
Em resumo: se ??????|��,então ??????|�ou ??????|�.
VERSÃO PARA PRIMOS
Sejam ??????,�e �inteiros, com ??????primo. Se ??????|��e ??????∤�
(consequentemente �,??????=�), então ??????|�.
Em resumo: se ??????|��,então ??????|�ou ??????|�.
GENERALIZAÇÃO
Sejam �
1,…,�
�inteiros. Seja �um primo.
Se �|�
1…�
�, então �|�
�para algum �=1,…,�.
Sejam �
1,…,�
�inteiros. Seja �um primo.
Se �|�
1…�
�, então �|�
�para algum �=1,…,�.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 3
A) Seja �>3um número primo. Prove que �
2
+2é composto.
B) Seja �>5um número primo. Prove que �
2
+1ou �
2
−1é composto.
A) Seja �>3um número primo. Prove que �
2
+2é composto.
B) Seja �>5um número primo. Prove que �
2
+1ou �
2
−1é composto.
RESOLUÇÃO
A) Se �>3é primo, então �=3�+1ou �=3�+2. Nos dois casos �≥1.
Se �=3�+1, temos �
2
+2=9�
2
+6�+1+2=33�
2
+2�+1.
Se �=3�+2, temos �
2
+2=9�
2
+6�+4+2=9�
2
+6�+6=3(3�
2
+2�+2).
A) Se �>3é primo, então �=3�+1ou �=3�+2. Nos dois casos �≥1.
Se �=3�+1, temos �
2
+2=9�
2
+6�+1+2=33�
2
+2�+1.
Se �=3�+2, temos �
2
+2=9�
2
+6�+4+2=9�
2
+6�+6=3(3�
2
+2�+2).
RESOLUÇÃO
B) Se �>5é primo, então �=5�+1, ou �=5�+2,ou �=5�+3ou �=5�+4. Nos quatro casos: �≥1.
Para �=5�+1,temos �
2
−1=25�
2
+10�+1−1=25�
2
+10�=55�
2
+2�.
Para �=5�+2,temos �
2
+1=5�+2
2
+1=25�
2
+20�+4+1=25�
2
+20�+5=5(5�
2
+4�+
B) Se �>5é primo, então �=5�+1, ou �=5�+2,ou �=5�+3ou �=5�+4. Nos quatro casos: �≥1.
Para �=5�+1,temos �
2
−1=25�
2
+10�+1−1=25�
2
+10�=55�
2
+2�.
Para �=5�+2,temos �
2
+1=5�+2
2
+1=25�
2
+20�+4+1=25�
2
+20�+5=5(5�
2
+4�+
TEOREMA
FUNDAMENTAL
DA ARITMÉTICA
Seja �≥�um inteiro.
Existem inteiros positivos ??????,�
�,…,�
??????e existem
números primos ??????
�,…,??????
??????,com
??????
�<⋯<??????
??????,tais que �=??????
�
��
…??????
??????
�??????
.
Além disso, os inteiros �
�,…,�
??????,??????,??????
�,…,??????
??????são
univocamente determinados.
FUNDAMENTAL
DA ARITMÉTICA
Seja �≥�um inteiro.
Existem inteiros positivos ??????,�
�,…,�
??????e existem
números primos ??????
�,…,??????
??????,com
??????
�<⋯<??????
??????,tais que �=??????
�
��
…??????
??????
�??????
.
Além disso, os inteiros �
�,…,�
??????,??????,??????
�,…,??????
??????são
univocamente determinados.
COROLÁRIO
DO TEOREMA
FUNDAMENTAL
DA ARITMÉTICA
Sejam �,�dois inteiros maiores do que �.
Suponha que
�=??????
�
��
…??????
??????
�??????
,
�=??????
�
��
…??????
??????
�??????
,
sendo que
??????,�
�,…,�
??????;�
�,…,�
??????;??????
�,…,??????
??????são inteiros tais que
??????≥�,�
�,…,�
??????,�
�,…,�
??????≥�;
DO TEOREMA
FUNDAMENTAL
DA ARITMÉTICA
Sejam �,�dois inteiros maiores do que �.
Suponha que
�=??????
�
��
…??????
??????
�??????
,
�=??????
�
��
…??????
??????
�??????
,
sendo que
??????,�
�,…,�
??????;�
�,…,�
??????;??????
�,…,??????
??????são inteiros tais que
??????≥�,�
�,…,�
??????,�
�,…,�
??????≥�;
COROLÁRIO
DO TEOREMA
FUNDAMENTAL
DA ARITMÉTICA
??????
�,…,??????
??????são primos, com ??????
�<⋯<??????
??????.
DO TEOREMA
FUNDAMENTAL
DA ARITMÉTICA
??????
�,…,??????
??????são primos, com ??????
�<⋯<??????
??????.
COROLÁRIO
DO TEOREMA
FUNDAMENTAL
DA ARITMÉTICA
Para cada ??????=�,…,??????,seja �
??????=�??????�{�
??????,�
??????}e seja
??????
??????=�????????????{�
??????,�
??????}.
Temos então:
�,�=??????
�
??????�
…??????
??????
????????????
e(�,�)=??????
�
��
…??????
??????
�??????
DO TEOREMA
FUNDAMENTAL
DA ARITMÉTICA
Para cada ??????=�,…,??????,seja �
??????=�??????�{�
??????,�
??????}e seja
??????
??????=�????????????{�
??????,�
??????}.
Temos então:
�,�=??????
�
??????�
…??????
??????
????????????
e(�,�)=??????
�
��
…??????
??????
�??????
PROVA
Parte 1: existência.
A prova será feita por indução matemática.
Base de indução: �=2.A prova é imediata, pois 2é primo.
Passo indutivo.
Hipótese : suponha o resultado válido para �=2,…,�.
Tese: o resultado é válido para �=�+1.
Parte 1: existência.
A prova será feita por indução matemática.
Base de indução: �=2.A prova é imediata, pois 2é primo.
Passo indutivo.
Hipótese : suponha o resultado válido para �=2,…,�.
Tese: o resultado é válido para �=�+1.
PROVA
Ora, se �=�+1é primo, a prova é imediata.
Caso �=�+1seja composto, existe um inteiro �, com 1<�<�+1,tal que �
′
�=�para
algum �
′
∈ℕ.
Pelo exercício resolvido 1, podemos assumir, sem perda de generalidade, que �é primo.
Note que 1<�
′
<�+1.
Por hipótese de indução, existem inteiros positivos ??????,�
1,…,�
??????e existem números primos
�
1,…,�
??????,com �
1<⋯<�
??????,tais que
�
′
=�
1
�
1
…�
??????
�
??????
.
Ora, se �=�+1é primo, a prova é imediata.
Caso �=�+1seja composto, existe um inteiro �, com 1<�<�+1,tal que �
′
�=�para
algum �
′
∈ℕ.
Pelo exercício resolvido 1, podemos assumir, sem perda de generalidade, que �é primo.
Note que 1<�
′
<�+1.
Por hipótese de indução, existem inteiros positivos ??????,�
1,…,�
??????e existem números primos
�
1,…,�
??????,com �
1<⋯<�
??????,tais que
�
′
=�
1
�
1
…�
??????
�
??????
.
PROVA
Temos então �=��
1
�
1
…�
??????
�
??????
.
Façamos �=�
0.Temos �
0<�
1ou �
0=�
1.
No primeiro caso, �=�
0�
1
�
1
…�
??????
�
??????
.
No segundo caso, �=�
1
�
1+1
…�
??????
�
??????
.
O resultado segue por indução matemática.
Temos então �=��
1
�
1
…�
??????
�
??????
.
Façamos �=�
0.Temos �
0<�
1ou �
0=�
1.
No primeiro caso, �=�
0�
1
�
1
…�
??????
�
??????
.
No segundo caso, �=�
1
�
1+1
…�
??????
�
??????
.
O resultado segue por indução matemática.
PROVA
•Parte 2: Unicidade.
A prova será feita por indução .
Para �=2,é claro que a decomposição em fatores primos de 2é única.
Passo indutivo.
Hipótese : suponha o resultado válido para �=2,…,�.
Tese: o resultado é válido para �=�+1.
•Parte 2: Unicidade.
A prova será feita por indução .
Para �=2,é claro que a decomposição em fatores primos de 2é única.
Passo indutivo.
Hipótese : suponha o resultado válido para �=2,…,�.
Tese: o resultado é válido para �=�+1.
PROVA
Inicialmente, note que se �+1é primo, a demonstração é imediata.
Daqui para frente, suporemos que �+1é composto.
Suponhamos que �+1=�
1…�
�=�
1…�
�,sendo �,�inteiros positivos maiores ou iguais a
dois, �
1,…,�
�;�
1,…,�
�primos, com �
1≤⋯≤�
�,�
1≤⋯≤�
�.
Visto que �
1…�
�=�
1…�
�,segue que �
1|�
1…�
�.
Existe um inteiro �,com 1≤�≤�,tal que �
1|�
�.
Por simplicidade, iremos supor que �=1.
Temos assim que �
1|�
1.
Inicialmente, note que se �+1é primo, a demonstração é imediata.
Daqui para frente, suporemos que �+1é composto.
Suponhamos que �+1=�
1…�
�=�
1…�
�,sendo �,�inteiros positivos maiores ou iguais a
dois, �
1,…,�
�;�
1,…,�
�primos, com �
1≤⋯≤�
�,�
1≤⋯≤�
�.
Visto que �
1…�
�=�
1…�
�,segue que �
1|�
1…�
�.
Existe um inteiro �,com 1≤�≤�,tal que �
1|�
�.
Por simplicidade, iremos supor que �=1.
Temos assim que �
1|�
1.
PROVA
Tendo em mente que �
1e �
1são primos e �
1|�
1,segue que �
1=�
1.
Consideremos �=�
2…�
�=�
2…�
�,sendo que 2≤�≤�.
Por hipótese de indução, a unicidade da decomposição em primos se aplica a �.
Daí, temos �=�.Além disso, para cada �∈2,…,�,existe ??????�∈{2,…,�}tal que
�
�=�
??????(�).
Concluímos assim que a decomposição de �+1em fatores primos, no sentido do enunciado do
teorema, é única.
O resultado segue por indução matemática.
Tendo em mente que �
1e �
1são primos e �
1|�
1,segue que �
1=�
1.
Consideremos �=�
2…�
�=�
2…�
�,sendo que 2≤�≤�.
Por hipótese de indução, a unicidade da decomposição em primos se aplica a �.
Daí, temos �=�.Além disso, para cada �∈2,…,�,existe ??????�∈{2,…,�}tal que
�
�=�
??????(�).
Concluímos assim que a decomposição de �+1em fatores primos, no sentido do enunciado do
teorema, é única.
O resultado segue por indução matemática.
PROVA DO COROLÁRIO
Ora, os divisores e múltiplos comuns (positivos) a �e �são elementos dos seguintes
conjuntos, respectivamente:
??????
+
�,�=�
1
�1
�
2
�2
.⋯.�
??????
�??????
|�
1,⋯,�
??????∈ℕ∪0,0≤�
�≤�
��=1,2,…,??????
??????
+
�,�=�
1
�1
�
2
�2
.⋯.�
??????
�??????
|�
1,⋯,�
??????∈ℕ∪0,�
�≥??????
��=1,2,…,??????
Ora, os divisores e múltiplos comuns (positivos) a �e �são elementos dos seguintes
conjuntos, respectivamente:
??????
+
�,�=�
1
�1
�
2
�2
.⋯.�
??????
�??????
|�
1,⋯,�
??????∈ℕ∪0,0≤�
�≤�
��=1,2,…,??????
??????
+
�,�=�
1
�1
�
2
�2
.⋯.�
??????
�??????
|�
1,⋯,�
??????∈ℕ∪0,�
�≥??????
��=1,2,…,??????
PROVA DO COROLÁRIO
Desta maneira:
(�,�)=max{??????
+
�,�}=�
1
�1
�
2
�2
.⋯.�
??????
�??????
�,�=min(??????
+
�,�)=�
1
??????1
�
2
??????2
.⋯.�
??????
????????????
Desta maneira:
(�,�)=max{??????
+
�,�}=�
1
�1
�
2
�2
.⋯.�
??????
�??????
�,�=min(??????
+
�,�)=�
1
??????1
�
2
??????2
.⋯.�
??????
????????????
ENQ –QUESTÃO 1 –ENQ 2021 -1
RESOLUÇÃO
Escolheremos um número da forma 2
�
3
�
5
�
, em que
�é múltiplo de 15=[3,5]e �−1é par.
�é múltiplo de 10=[2,5]e �−1é múltiplo de 3.
�é múltiplo de 6=[2,3]e �−1é múltiplo de 5.
Escolheremos um número da forma 2
�
3
�
5
�
, em que
�é múltiplo de 15=[3,5]e �−1é par.
�é múltiplo de 10=[2,5]e �−1é múltiplo de 3.
�é múltiplo de 6=[2,3]e �−1é múltiplo de 5.
RESOLUÇÃO
Uma escolha possível é �=15,�=10,�=6.
Um número que atende as condições do enunciado é 2
15
3
10
5
6
Uma escolha possível é �=15,�=10,�=6.
Um número que atende as condições do enunciado é 2
15
3
10
5
6
PEQUENO
TEOREMA DE
FERMAT
Sejam �um primo e �um inteiro. Então �|�
??????
−�.
TEOREMA DE
FERMAT
Sejam �um primo e �um inteiro. Então �|�
??????
−�.
PROVA PARA �=2
•Para �=2,temos �
2
−�=�(�−1).
•Como �ou �−1é par, segue que 2|�
2
−�.
•Para �=2,temos �
2
−�=�(�−1).
•Como �ou �−1é par, segue que 2|�
2
−�.
PROVA PARA PÍMPAR
Considerações iniciais
Note que �|�
??????
−�se, e só se, �|−(�
??????
−�). Por sua vez, �|−(�
??????
−�) se, e só se,
�|−�
??????
−−�.
A prova para �=0é imediata. Para os demais casos, é suficiente supor �positivo.
A demonstração será feita por indução em �.
Considerações iniciais
Note que �|�
??????
−�se, e só se, �|−(�
??????
−�). Por sua vez, �|−(�
??????
−�) se, e só se,
�|−�
??????
−−�.
A prova para �=0é imediata. Para os demais casos, é suficiente supor �positivo.
A demonstração será feita por indução em �.
PROVA PARA PÍMPAR
Base de indução: �=1. Imediato, pois �|(1
??????
−1), sendo que 1
??????
−1=0
Hipótese de indução: �|�
??????
−�
Tese de indução: �|(�+1)
??????
−(�+1)
Temos: �+1
??????
−�+1=(�
??????
−�)+σ
�=1
??????−1??????
�
�
�
.
Base de indução: �=1. Imediato, pois �|(1
??????
−1), sendo que 1
??????
−1=0
Hipótese de indução: �|�
??????
−�
Tese de indução: �|(�+1)
??????
−(�+1)
Temos: �+1
??????
−�+1=(�
??????
−�)+σ
�=1
??????−1??????
�
�
�
.
PROVA PARA PÍMPAR
Para provar a tese de indução, é necessário provar um resultado intermediário.
Resultado intermediário: �|σ
�=1
??????−1??????
�
�
�
.
Ao provar este fato, basta aplicar a hipótese de indução à igualdade:
�+1
??????
−�+1=(�
??????
−�)+σ
�=1
??????−1??????
�
�
�
Para provar a tese de indução, é necessário provar um resultado intermediário.
Resultado intermediário: �|σ
�=1
??????−1??????
�
�
�
.
Ao provar este fato, basta aplicar a hipótese de indução à igualdade:
�+1
??????
−�+1=(�
??????
−�)+σ
�=1
??????−1??????
�
�
�
PROVA DO RESULTADO INTERMEDIÁRIO
•Para 1≤�≤�−1.
•Tendo em mente que
??????
�
=
??????!
�!??????−�!
=�
??????−1…(??????−�+1)
�!
é um natural e i!,p=1, não é
difícil constatar que �!|�−1…(�−�+1). Portanto �|
??????
�
.
•Ou seja �|σ
�=1
??????−1??????
�
�
�
.
•Para 1≤�≤�−1.
•Tendo em mente que
??????
�
=
??????!
�!??????−�!
=�
??????−1…(??????−�+1)
�!
é um natural e i!,p=1, não é
difícil constatar que �!|�−1…(�−�+1). Portanto �|
??????
�
.
•Ou seja �|σ
�=1
??????−1??????
�
�
�
.
VOLTANDO À DEMONSTRAÇÃO
Por hipótese de indução, temos �|�
??????
−�.
Assim �|�+1
??????
−�+1.
O resultado segue por indução matemática.
Por hipótese de indução, temos �|�
??????
−�.
Assim �|�+1
??????
−�+1.
O resultado segue por indução matemática.
COROLÁRIO DO PEQUENO TEOREMA DE FERMAT
Sejam �um primo �um inteiro. Se �∤�, então �|�
??????−1
−1.
Sejam �um primo �um inteiro. Se �∤�, então �|�
??????−1
−1.
COROLÁRIO DO PEQUENO TEOREMA DE FERMAT
•Prova.
À luz do Pequeno Teorema de Fermat, temos �|�
??????
−�.
Ou seja �|��
??????−1
−1.
Haja vista que �∤�(como �é primo, temos �,�=1), segue que �|�
??????−1
−1.
•Prova.
À luz do Pequeno Teorema de Fermat, temos �|�
??????
−�.
Ou seja �|��
??????−1
−1.
Haja vista que �∤�(como �é primo, temos �,�=1), segue que �|�
??????−1
−1.
ENQ –QUESTÃO 8 -ENQ 2019 –2
RESOLUÇÃO
a)Por hipótese, existem �,�inteiros tais ��=�+�,��=�. Desta forma
��−��=��−�=�+�−�=�
Logo �|�
b) De acordo com o Pequeno Teorema de Fermat, �|3
??????
−3. Podemos escrever
3
??????
+382=(3
??????
−3)+385
Para que �|3
??????
−3+385,devemos ter �|385. Trata-se de uma condição necessária e
suficiente
a)Por hipótese, existem �,�inteiros tais ��=�+�,��=�. Desta forma
��−��=��−�=�+�−�=�
Logo �|�
b) De acordo com o Pequeno Teorema de Fermat, �|3
??????
−3. Podemos escrever
3
??????
+382=(3
??????
−3)+385
Para que �|3
??????
−3+385,devemos ter �|385. Trata-se de uma condição necessária e
suficiente
RESOLUÇÃO
A fatoração de 385 é 5.7.11.
Logo os possíveis valores de �são 5,7,11.
A fatoração de 385 é 5.7.11.
Logo os possíveis valores de �são 5,7,11.
TEOREMA DA
INFINITUDE DO
CONJUNTO
DOS NÚMEROS
PRIMOS
Existem infinitos números primos.
INFINITUDE DO
CONJUNTO
DOS NÚMEROS
PRIMOS
Existem infinitos números primos.
PROVA
•Suponha por absurdo que o conjunto dos números primos seja finito.
•Seja então ??????={�
1,…,�
�}o conjunto dos números primos.
•Considere o inteiro �=�
1…�
�+1.
•O elemento �>1é maior que qualquer elemento do conjunto ??????.
•Temos assim que �é composto.
•É claro que algum elemento �
�∈??????tem que dividir �.
•Haja vista que �
�|�
1…�
�e �
�|�,segue que �
�|1.
•Absurdo.
•Suponha por absurdo que o conjunto dos números primos seja finito.
•Seja então ??????={�
1,…,�
�}o conjunto dos números primos.
•Considere o inteiro �=�
1…�
�+1.
•O elemento �>1é maior que qualquer elemento do conjunto ??????.
•Temos assim que �é composto.
•É claro que algum elemento �
�∈??????tem que dividir �.
•Haja vista que �
�|�
1…�
�e �
�|�,segue que �
�|1.
•Absurdo.
EXERCÍCIOS DO LIVRO
•7.3, 7.4, 7.5, 7.6,7.10,7.14, 7.15, 7.16, 7.17, 7.20, 7.21, 7.22.
•7.3, 7.4, 7.5, 7.6,7.10,7.14, 7.15, 7.16, 7.17, 7.20, 7.21, 7.22.
EXERCÍCIOS DO ENQ
ENQ 2013-1: Questão 8
ENQ 2014-I: Questão 1
ENQ 2017-I: Questão 3
ENQ 2017-2: Questão 6
ENQ 2019-I: Questão 1
ENQ 2023-I: Questão 8
ENQ 2024-1: Questão 2
ENQ 2025-1: Questão 7
ENQ 2013-1: Questão 8
ENQ 2014-I: Questão 1
ENQ 2017-I: Questão 3
ENQ 2017-2: Questão 6
ENQ 2019-I: Questão 1
ENQ 2023-I: Questão 8
ENQ 2024-1: Questão 2
ENQ 2025-1: Questão 7
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