Aula 7 equação conservação de energia

engenharia civil

1. Mecânica dos Fluidos
Equação de Conservação  Equação de Conservação 
da Energia
(Regime Permanente)
Prof. M.Sc. Sílvio Diniz

2. Introdução
Nocapítuloanterior vimos aEq. da
Continuidadequenos mostraque, para
regimepermanente, a massadefluidoque
entraemumtubodecorrente(sistema) é
igual
a
massa
que
sai
do
mesmo
.
igual
a
massa
que
sai
do
mesmo
.
Combasenofatodequea energianãopode
ser criadanemdestruída, mas apenas
transformada, é possível construir umaeq. que
permitiráfazer obalançodeenergias, como
foi feitoparaas massas, por meiodaeq. da
continuidade.

3. Introdução
A eq. quepermitetal balançochama-seEq. da
Energiae nos permitirá, associadaà eq. da
continuidade, resolver inúmeros problemas
práticos, tais como:
E
Determinação
da
potência
de
máquinas
E
Determinação
da
potência
de
máquinas
hidráulicas;
E
Cálculodas perdas emescoamento;
E
Transformaçãodeenergiaetc.

4. Tipos de energias mecânicas 
associadas a um fluido
a)
Energiapotencial (E
p
)
E
É o estadodeenergiadosistemadevidoà
suaposiçãonocampodegravidadeem
relaçãoa umplanohorizontal dereferência
(PHR).
E
É
medida
pelo
potencial
de
realização
de
E
É
medida
pelo
potencial
de
realização
de
trabalhodosistema.
E
Seja, por explo., umsistemadepesoG =
mg, cujocentrodegravidadeestáa uma
cotazemrelaçãoa umPHR(Figura4.1)
Figura 4.1

5. Tipos de energias mecânicas 
associadas a um fluido
E
Como: Trabalho= Forçax Deslocamento
E
Então: W = Gz = mgz
E
Mas, peloquefoi ditoantes, E
p
= W; logo:
E
p
= mgz (Eq. 4.1)
b)
Energia
cinética
(E
c
)
Energia
cinética
(E
c
)
E
É o estadodeenergiadeterminadopelo
movimentodofluido.
E
Sejaumsistemademassame velocidade
v; a energiacinéticaserádadapor:
E
c
=mv
2
/2(Eq. 4.2)
Figura 4.2

6. Tipos de energias mecânicas 
associadas a um fluido
c)
Energiadepressão(E
pr
)
E
Correspondeaotrabalhopotencial das
forças depressãoqueatuamno
escoamentodofluido.
E
Seja, por exemplo, o tubodecorrenteda Figura
4
.
3
Figura
4
.
3
Figura 4.3

7. Tipos de energias mecânicas 
associadas a um fluido
E
Admitindoquea pressãosejauniformena
seção, entãoa forçaaplicadapelofluido
externonofluidodotubodecorrente, na
interfacedeáreaA, seráF =P.A
E
Nointervalodetempodt, o fluidoiráse deslocar
de
um
ds
,
sob
a
ação
da
força
F
,
deslocar
de
um
ds
,
sob
a
ação
da
força
F
,
produzindoumtrabalho:
dW= F.ds = P.A.ds = P.dV
Por definição: dW= dE
pr
e,portanto:
dE
pr
=P.dV(Eq. 4.3)

8. Tipos de energias mecânicas 
associadas a um fluido
d)
Energiamecânicatotaldofluido(E)
E
Excluindo-seenergias térmicas e levando
emcontaapenas efeitos mecânicos, a
energiatotal deumsistemafluidoserá:
E
=
E
+
E
+
E
(Eq
.
4
.
4
)
E
=
E
p
+
E
c
+
E
pr
(Eq
.
4
.
4
)
E=mgz+mv
2
/2 +∫∫∫∫
v
PdV(Eq.4.5)

9. Equação de Bernoulli
q
Hipótesessimplificadoras:
a)
Regimepermanente;
b)
Semmáquinanotrechodoescoamento.
("dispositivo mecânico que forneça ou retirer energia do
fluido, na forma de trabalho. As que doamenergia ao fluido
são
chamadas
‘bombas’
e
as
que
retiram
energia
do
fluidos,
são
chamadas
‘bombas’
e
as
que
retiram
energia
do
fluidos,
‘turbinas’;
c)
Semperdas por atritonoescoamentodo
fluidooufluidoideal;
d)
Propriedades uniformes nas seções;
e)
Fluidoincompressível;
f)
Semtrocas decalor.

10. Equação de Bernoulli
q
Pelas hipóteses (b), (c ) e (f) exclui-seque
notrechodoescoamentoemestudoseja
fornecidaouretiradaenergiadofluido.
q
Sejao tubodecorrentedaFig. (4.4), entre
as seções (1) e (2):
A   imag em n ão   p o d e ser   exib id a. T alv ez  o  c o mp u tad o r   n ão  ten h a  memó r ia su fic ien te  p ar a ab r ir   a  imag em o u   talv ez ela  estej a c o r r o mp id a.  Rein ic ie o   c o mp u tad o r  e  ab r a o   ar q u iv o  n o v amen te.  S e ain d a  assim  ap ar ec er  o   x v er melh o ,  p o d er á ser   n ec essár io  exc lu ir   a im ag em  e in ser i- la  n o v amen te.
Figura 4.4

11. Equação de Bernoulli
q
Deixandopassar umintervalodetepodt,
umamassainfinitesimaldm
1
, defluidoa
montantedaseção(1) atravessa-a e
penetranotrecho(1) – (2) acrescentando-
lheenergia:
dE
1
=dm
1
gz
1
+dm
1
v
1
2
/2+P
1
dV
1
q
Naseção(2), umamassadm
2
dofluidoque
pertenceaotrecho(1) – (2) escoapara
fora, levandoa suaenergia:
dE
2
=dm
2
gz
2
+dm
2
v
2
2
/2+P
2
dV
2

12. Equação de Bernoulli
q
Comopelahipóteses (b), (c ), e (f) nãose
fornecenemseretiraenergiadofluido, para
queo regimesejapermanenteé necessário
quenotrecho(1) – (2) nãohajavariaçãode
energia⇒
dE
=
dE
ou
dE
1
=
dE
2
ou
dm
1
gz
1
+ dm
1
v
1
2
/2 + P
1
dV
1
= dm
2
gz
2
+ dm
2
v
2
2
/2 + P
2
dV
2
q
Comor= dm/dVe portantodV= dm/r,
tem-se:
q
dm
1gz
1+ dm
1v
1
2
/2 + (P
1/rrrr
1)dm
1= dm
2gz
2+ dm
2v
2
2
/2 + (P
2/rrrr
2)dm
2

13. Equação de Bernoulli
q
Comoo fluidoé incompressível,rrrr
1
=rrrr
2
e,
comoo regimeé permanente, dm
1
=dm
2
,
portanto:
gz
1+ v
1
2
/2 + P
1/rrrr= gz
2+ v
2
2
/2 + P
2/rrrr
q
Dividindoa eq. por g e lembrandoqued=
r.g,tem-se:
z
1
+v
1
2
/2g+P
1
/dddd=z
2
+v
2
2
/2+P
2
/dddd
Eq.(4.6)–EquaçãodeBernoulli

14. Equação de Bernoulli
q
A Eq. DeBernoulli permiterelacionar cotas,
velocidades e pressões entreduas seções de
escoamentodeumfluido.
q
Vejao significadodecadatermodessaeq.: z
=
mgz/mg
=
E
/G
= energia potencial por unidade de peso ou 
q
z
=
mgz/mg
=
E
p
/G
q
v
2
/2g = mv
2
/2gm= mv
2
/2G = E
c
/G
q
P/d= PV/dV = PV/G= E
pr
/G
= energia potencial por unidade de peso ou  energia potencial de uma partícula de peso 
unitário
= energia cinética  por unidade de peso  ou energia cinética  de uma partícula de  peso unitário
= energia de pressão por 
unidade de peso ou energia de 
pressão de uma partícula de 
peso unitário

15. Equação de Bernoulli
q
Notequea Eq. 4.6 expresaqueaopenetrar
por (1) umapartículadepesounitário, à
qual estãoassociadas as energiaz
1
, v
1
2
/ge
P
1
/d, deverásair por (2) umapartículade
pesounitárioà qual estejamassociadas as
energias
z
2
,
v
2
2
/g
e
P
2
/
d
,
de
forma
que
a
energias
z
2
,
v
2
/g
e
P
2
/
d
,
de
forma
que
a
somadelas sejaidênticaà somaem(1)
paramanter a energiaconstantenovolume
entre(1) e (2).

16. Equação de Bernoulli
q
Notequesendoz umacota, suaunidade
seráumaunidadedecomprimento(por
exemplo,metros);
q
Logo, tantoa v
2
/ge P/dtambémserão
medidos dessaforma.
q
Não
esqueça
que,
apesar
disso,
cada
uma
q
Não
esqueça
que,
apesar
disso,
cada
uma
das parcelas daEq. 4.6 temo significadode
energiaporunidadedepeso.
q
Alémdisso, lembre-sequenocapítulo2 a
cargadepressãofoi definidacomosendoh
=P/d.
q
Logo, a energiadepressãopor unidadede
pesoé a própriacargadepressão.

17. Equação de Bernoulli
q
Demodoanálogo, serãodenominadas:
q
z = cargapotencial;
q
v
2
/g= cargadavelocidadeoucarga
cinética;
q
Observequea palavra‘carga’ substitui a expressão
‘energia
por
unidade
de
peso’
.
expressão
‘energia
por
unidade
de
peso’
.
q
FazendoH =z + v
2
/g+ P/d
q
OndeH = energiatotal por unidadedepeso
numaseçãooucargatotal naseção.
q
Coma noçãodecargatotal, a Eq. 4.76
poderáser escrita:
H
1
= H
2

18. Equação de Bernoulli
q
Essaequaçãopoderáser enunciadada
seguinteforma:
“Se, entreduas seções doescoamento, o
fluidofor incompressível, sematritos, e o
regime
permanente,
se
não
houver
regime
permanente,
se
não
houver
máquinanemtrocadecalor, entãoas
cargas totais semanterãoconstantes em
qualquer seção, hãohavendonem
ganhos nemperdas decarga.”

19. Exercício 1)Água escoa emregime permanente no Venturi da
figura. No trecho considerado, supõe-se as perdas por
atrito desprezíveis e as propriedades uniformes nas
seções. A área (1) é 20 cm
2
, enquanto que a da
garganta (2) é 10 cm
2
. Ummanômetro cujo fluido
manométrico é mercúrio (d
Hg= 136.000 N/m
3
) é ligado
entre
as
seções
(
1
)
e
(
2
)
e
indica
o
desnível
mostrado
entre
as
seções
(
1
)
e
(
2
)
e
indica
o
desnível
mostrado
na figura. Pede-se a vazão da água que escoa pelo
Venturi (d
H2O= 10.000 N/m
3
) (figura pág. 89 Livro Brunetti)