Autovalores, Autovetores e Diagonalização

Notas de aula sobre autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes.

1. 1/28
Diagonaliza¸c˜ao sobre R
Diagonaliza¸c˜ao de matrizes sim´etricas
Referˆencias
DIAGONALIZAC¸ ˜AO, AUTOVALORES E
AUTOVETORES
(a consulta a estas notas de aulan˜ao dispensaa leitura da bibliografia de referˆencia)
Prof. Ricardo Saldanha de Morais
Centro Federal de Educa¸c˜ao Tecnol´ogica de Minas Gerais
Departamento de Matem´atica ( http://www.dm.cefetmg.br)
II semestre de 2021

2. 2/28
Diagonaliza¸c˜ao sobre R
Diagonaliza¸c˜ao de matrizes sim´etricas
Referˆencias
Sum´ario
1
Diagonaliza¸c˜ao sobreR
2
Diagonaliza¸c˜ao de matrizes sim´etricas
3
Referˆencias

3. 3/28
Diagonaliza¸c˜ao sobre R
Diagonaliza¸c˜ao de matrizes sim´etricas
Referˆencias
Diagonaliza¸c˜ao sobreR
ATeoria de Diagonaliza¸c˜aopossui v´arias aplica¸c˜oes, entre elas:
c´alculo da potˆencia de uma matriz,
identifica¸c˜ao de cˆonicas e qu´adricas,
c´alculo da exponencial de uma matriz,
resolu¸c˜ao de sistemas de equa¸c˜oes diferenciais.
Matriz diagonal´e uma matriz quadrada tal que os elementos situados
fora da diagonal principal s˜ao todos iguais a zero.
Exemplo 1
As matrizes
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
−π0 0
0 23 0
0 0 −
1
3
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
e[
√
13 0
0 0
]s˜ao diagonais.
Defini¸c˜ao (Matriz diagonaliz´avel)
Uma matriz quadradaA´ediagonaliz´avelse existirem uma matriz invert´ıvel
Pe uma matriz diagonalDtais que
P
−1
AP=D.

4. Exemplo 2
SejaK=[
−3 4
−1 2
]. Para as matrizesP=[
1 4
1 1
]eD=[
1 0
0−2
], vale
P
−1
KP=D. De fato,P
−1
=
1
det(P)
[
p
22−p
12
−p
21 p
11
]=−
1
3
[
1−4
−1 1
]e
P
−1
KP=−
1
3
[
1−4
−1 1
] [
−3 4
−1 2
] [
1 4
1 1
]=[
1 0
0−2
](verifique!).
Portanto,K´e uma matriz diagonaliz´avel.
Sob quais condi¸c˜oes uma matriz ´e diagonaliz´avel? Para uma matriz
diagonaliz´avel, como obter as matrizesPeD?
Suponhamos queA=[
a b
c d
]seja diagonaliz´avel. SejamP=[
p
11p
12
p
21p
22
]
eD=[
λ
10
0λ
2
]tais queP
−1
AP=D. Ent˜ao,
P
−1
AP=D⟹ P(P
−1
AP)=P D
⟹ (P P
−1
)
?????????????????????????????????????????
I2
AP=P D
⟹ AP=P D
4/28

5. 5/28
Diagonaliza¸c˜ao sobre R
Diagonaliza¸c˜ao de matrizes sim´etricas
Referˆencias
e
AP=P D⇔[
a b
c d
] [
p
11p
12
p
21p
22
]=[
p
11p
12
p
21p
22
] [
λ
10
0λ
2
]
⇔[
a p
11+b p
21a p
12+b p
22
c p
11+d p
21c p
12+d p
22
]=[
λ
1p
11λ
2p
12
λ
1p
21λ
2p
22
]
⇔[
a p
11+b p
21
c p
11+d p
21
]=[
λ
1p
11
λ
1p
21
]e[
a p
12+b p
22
c p
12+d p
22
]=[
λ
2p
12
λ
2p
22
]
⇔[
a b
c d
] [
p
11
p
21
]=λ
1[
p
11
p
21
]e[
a b
c d
] [
p
12
p
22
]=λ
2[
p
12
p
22
].
Ou seja, as colunas deP=[
p
11p
12
p
21p
22
]e os elementos da diagonal de
D=[
λ
10
0λ
2
]satisfazem a equa¸c˜ao matricialAX=λ X.
Ilustra¸c˜ao no GeoGebra:https://www.geogebra.org/classic/ypejqcvm.

6. 6/28
Diagonaliza¸c˜ao sobre R
Diagonaliza¸c˜ao de matrizes sim´etricas
Referˆencias
´
E v´alida a implica¸c˜ao “SeA=(a
ij)
n×n
´e diagonaliz´avel, ent˜ao existem
uma matrizP=(p
ij)
n×n
e uma matriz diagonalD=(d
ij)
n×n
tais que
AP=P D”. Contudo, a rec´ıprocan˜ao ´everdadeira, a menos quePseja
invert´ıvel.
Defini¸c˜ao (Autovalor e autovetor)
SejaAuma matrizn×n. Um n´umerorealλ´e chamadoautovalor(real)
deAse existe uma matriz (vetor)X=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
x
1
x
2
⋮
x
n
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
∈R
n
(M(n,1)≅R
n
),n˜ao
nula, tal queAX=λ X. A solu¸c˜ao n˜ao nulaX´e chamadaautovetorde
Aassociado ao autovalorλ.
AX=λ X⇔AX−λ X=¯0⇔AX−λ I
nX=¯0⇔(A−λ I
n)X=¯0 .
O sistema linear homogˆeneo(A−λ I
n)X=¯0 admite solu¸c˜aon˜ao trivial
se e somente se det(A−λ I
n)=0 .

7. Teorema (Determina¸c˜ao dos autovalores e autovetores)
SejaAuma matrizn×n.
(a) autovalores(reais) As˜ao as ra´ızesreaisdo polinˆomio
p(λ)=det(A−λI
n) p(λ)=(−1)
n
λ
n
+a
n−1λ
n−1
+ ⋯ +a
1λ+a
0)
chamadopolinˆomio caracter´ısticodeA.
(b) λ, os autovetores associados aλs˜ao os vetores n˜ao
nulos do conjunto solu¸c˜ao do sistema(A−λI
n)X=¯0 .
p(λ)possuinra´ızes emC(conjunto dos n´umeros complexos).
Exemplo 3
Considere a matrizK=[
−3 4
−1 2
]doExemplo 2. Determine seus auto-
valores e autovetores.
Solu¸c˜ao:
Temos que
K−λ I
2=[
−3 4
−1 2
]−λ[
1 0
0 1
]=[
−3−λ 4
−1 2−λ
].
7/28

8. Exemplo 3 (cont.)
O polinˆomio caracter´ıstico da matrizK´e
p(λ)=det(K−λI
2)=(−3−λ) (2−λ)+4=λ
2
+λ−2.
Aplicando a f´ormula de Bhaskara, vemos que as ra´ızes dep(λ), ou os auto-
valores deK, s˜aoλ
1=1 eλ
2=−2.
Com respeito aoExemplo 2, vale ressaltar que os elementos da diagonal
principal da matrizDs˜aoλ
1eλ
2e que as colunas da matrizPs˜ao autove-
tores deK, que determinaremos a seguir.
Autoespa¸co associado aλ
1=1:
O autoespa¸co associado ao autovalorλ
1´e o conjunto solu¸c˜ao do sistema linear
homogˆeneo(K−λ
1I
2)X=¯0⇔[
−4 4
−1 1
] [
x
y
]=[
0
0
]. Esse sistema ´e
equivalente a{x−y=0,cujo conjunto solu¸c˜ao ´e
X=[
α
α
], α∈R,ouW
λ1
={(α, α) ∣α∈R}.
Os autovetores deKassociados aλ
1s˜ao os vetores n˜ao nulos deW
λ1
. Em
particular,⃗p=(1,1)e⃗q=(−
√
3,−
√
3)s˜ao autovetores vinculados ao auto-
valor 1.8/28

9. Exemplo 3 (cont.)
Autoespa¸co associado aλ
2=−2:
O autoespa¸co associado ao autovalorλ
2´e o conjunto solu¸c˜ao do sistema
homogˆeneo(K−λ
2I
2)X=¯0⇔[
−1 4
−1 4
] [
x
y
]=[
0
0
], que ´e equivalente
a{x−4y=0.O conjunto solu¸c˜ao ´e
X=[
4α
α
], α∈R,ouW
λ2
={(4α, α) ∣α∈R}.
Os autovetores deKassociados aλ
2s˜ao os vetores n˜ao nulos deW
λ2
. Em
particular,⃗a=(4,1)´e um autovetor associado ao autovalor−2.
Exemplo 4
SejaA=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1−3 3
3−5 3
6−6 4
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
. Determine os autovalores e autovetores deA.
Solu¸c˜ao: Temos que
A−λI
3=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1−3 3
3−5 3
6−6 4
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
−λ
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1−λ −3 3
3−5−λ 3
6 −6 4−λ
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
9/28

10. Exemplo 4 (cont.)
Calculando o determinante pela 1
a
¯linha, obtemos que o polinˆomio carac-
ter´ıstico deA´e
p(λ)=det(A−λI
3)=(1−λ){(−1)
1+1
det[
−5−λ 3
−6 4−λ
]}+
(−3){(−1)
1+2
det[
3 3
6 4−λ
]}+3{(−1)
1+3
det[
3−5−λ
6 −6
]}
=−λ
3
+12λ+16.
Precisamos encontrar as ra´ızes dep(λ). O seguinte resultado pode ser ´util:
Sea
0, a
1,⋯, a
n−1s˜ao inteiros, ent˜ao as ra´ızes racionais de
p(λ)=(−1)
n
λ
n
+a
n−1λ
n−1
+ ⋯ +a
1λ+a
0
s˜ao n´umeros inteiros e divisores do coeficiente do termo de grau zeroa
0.
Os divisores dea
0=16 s˜ao±1,±2,±4,±8,±16. Testando esses valores,
constatamos que
p(−2)=−(−2)
3
+12⋅(−2)+16=8−24+16=0.
Logo,λ−(−2)=λ+2 ´e umfatordep(λ).
10/28

11. Exemplo 4 (cont.)
−λ
3
+12λ+16λ+2
−λ
2
+2λ+8λ
3
+2λ
2
2λ
2
+12λ
−2λ
2
−4λ
8λ+16
−8λ−16
0
Efetuando a divis˜ao polinomial,
vemos que
p(λ)=(λ+2)(−λ
2
+2λ+8)
???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
Bhaskara
=−(λ+2)(λ+2)(λ−4)
=−(λ+2)
2
(λ−4).
Da´ı,λ
1=−2 eλ
2=4 s˜ao os auto-
valores deA.
Autoespa¸co associado aλ
1=−2:
O autoespa¸co associado ao autovalorλ
1´e o conjunto solu¸c˜ao do sistema
homogˆeneo(A−λ
1I
3)X=¯0⇔
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
3−3 3
3−3 3
6−6 6
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
x
y
z
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0
0
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
. Esse sis-
tema ´e equivalente a{x−y+z=0.Consequentemente, o conjunto solu¸c˜ao ´e
X=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
α−β
α
β
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
, α, β∈R,ouW
λ1
={(α−β, α, β) ∣α, β∈R}.
11/28

12. 12/28
Diagonaliza¸c˜ao sobre R
Diagonaliza¸c˜ao de matrizes sim´etricas
Referˆencias
Exemplo 4 (cont.)
Os autovetores deA, vinculados ao autovalorλ
1=−2, s˜ao os vetores n˜ao
nulos pertences ao autoespa¸coW
λ1
.
Autoespa¸co associado aλ
2=4:
Como fizemos anteriomente, vamos resolver o sistema(A−λ
2I
3)X=¯0⇔
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
−3−3 3
3−9 3
6−6 0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
x
y
z
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0
0
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
,que ´e equivalente a
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
x −
1
2
z=0
y−
1
2
z=0
,que
possui conjunto solu¸c˜aoW
λ2
={(
1
2
α,
1
2
α, α)
?
?
?
?
?
?
α∈R}.
Logo, os autovetores deA, associados ao autovalorλ
2=4, s˜ao os vetores n˜ao
nulos do autoespa¸coW
λ2
.
Importa registrar que os autoespa¸cosW
λ1
eW
λ2
, doExemplo 4(do
Exemplo 3), s˜aosubespa¸cosdoR
3
(doR
2
), visto que s˜ao conjuntos
solu¸c˜oes de sistemas lineares homogˆeneos cujas matrizes dos coeficientes
possuem 3 colunas.

13. Teorema (Caracteriza¸c˜ao das matrizes diagonaliz´aveis)
SejaAuma matrizn×n.A´ediagonaliz´avelse e somente seAtemnau-
tovetoresLI. Nesse caso, se⃗v
1,⃗v
2,⋯,⃗v
ns˜ao autovetores LI, associados aos
autovaloresλ
1,λ
2,⋯,λ
n(n˜ao necessariamente distintos), ent˜ao as matrizes
P=[⃗v
1∣⃗v
2∣⋯∣⃗v
n]eD=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
λ
10⋯0
0λ
2⋯0
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
0 0 ⋯λ
n
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
s˜ao tais queP
−1
AP=D.
Exemplo 5
A matrizA=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1−3 3
3−5 3
6−6 4
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
´e diagonaliz´avel?
Solu¸c˜ao:
Vimos noExemplo 4que os autovalores deAs˜aoλ
1=−2 eλ
2=4 e que
os autoespa¸cos correspondentes s˜ao
W
λ1
={(α−β, α, β) ∣α, β∈R}eW
λ2
={(
1
2
α,
1
2
α, α)
?
?
?
?
?
?
α∈R}.
13/28

14. 14/28
Diagonaliza¸c˜ao sobre R
Diagonaliza¸c˜ao de matrizes sim´etricas
Referˆencias
Exemplo 5 (cont.)
Para verificar se existem3autovetores deAformando um conjunto LI,
vamos primeiramente encontrar uma base para cada um dos autoespa¸cos.
Temos que
(α−β, α, β)=α(1,1,0)
∈W
λ1
+β(−1,0,1)
∈W
λ1
e
(
1
2
α,
1
2
α, α)=α(
1
2
,
1
2
,1)
∈W
λ2
,
ou seja,W
λ1
=[⃗v
1=(1,1,0),⃗v
2=(−1,0,1)]eW
λ2
=[⃗v
3=(
1
2
,
1
2
,1)].
Al´em disso,S={⃗v
1,⃗v
2}eT={⃗v
3}s˜ao conjuntos linearmente inde-
pendentes.
Assim,SeTs˜ao bases dos autoespa¸cosW
λ1
eW
λ2
, respectivamente.

15. 15/28
Diagonaliza¸c˜ao sobre R
Diagonaliza¸c˜ao de matrizes sim´etricas
Referˆencias
Exemplo 5 (cont.)
O conjuntoU=S∪T={⃗v
1,⃗v
2,⃗v
3}´e formado por 3 autovetores deA. Esse
conjunto ´e LI?
Sabemos que 3 vetores doR
3
s˜ao LI se e somente se elesn˜ao s˜aoco-
planares ⃗v
1⋅(⃗v
2×⃗v
3)≠0). Como det
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 1 0
−1 0 1
1/2 1/2 1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
=1≠0,U´e
um conjunto LI. Logo,A´e uma matriz diagonaliz´avel.
De acordo com o teorema acima, para as matrizes
P=[⃗v
1∣⃗v
2∣⃗v
3]=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1−1 1/2
1 0 1/2
0 1 1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
eD=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
−2 0 0
0−2 0
0 0 4
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
,
temos queP
−1
AP=D(confira!).
FATO:{⃗v
1,⃗v
2,⋯,⃗v
n}⊂R
n
´e LI se e s´o se det[⃗v
1∣⃗v
2∣⋯∣⃗v
n]≠0.

16. Exemplo 6
A matrizB=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 0 0
1 2 0
−3 5 2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
´e diagonaliz´avel?
Solu¸c˜ao: Temos que
B−λI
3=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 0 0
1 2 0
−3 5 2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
−λ
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1−λ 0 0
1 2−λ 0
−3 5 2 −λ
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
O polinˆomio caracter´ıstico deB´ep(λ)=det(A−λI
3)=(1−λ)(2−λ)(2−λ)=
−(λ−1)(λ−2)
2
.Ent˜ao, os autovalores deBs˜aoλ
1=2 eλ
2=1.
Autoespa¸co associado aλ
1=2:
O problema(B−λ
1I
3)X=¯0⇔
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
−1 0 0
1 0 0
−3 5 0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
x
y
z
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0
0
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
´e equivalente
ao sistema{
x =0
y=0
. Por conseguinte, o conjunto solu¸c˜ao pode ser
descrito porW
λ1
={(0,0, α) ∣α∈R}.
´
E evidente queW
λ1
=[⃗v
1=(0,0,1)]
e que{⃗v
1}´e LI. Portanto,{⃗v
1}´e uma base do autoespa¸coW
λ1
.
16/28

17. Exemplo 6 (cont.)
Autoespa¸co associado aλ
2=1:
Temos que(B−λ
2I
3)X=¯0⇔
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0 0 0
1 1 0
−3 5 1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
x
y
z
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0
0
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
´e equivalente
ao problema{
x −(1/8)z=0
y+(1/8)z=0
,que possui conjunto solu¸c˜ao
W
λ2
={(
1
8
α,−
1
8
α, α)
?
?
?
?
?
?
α∈R}.Podemos verificar facilmente queW
λ2
´e
gerado por⃗v
2=(
1
8
,−
1
8
,1)e que{⃗v
2}´e LI. Assim,{⃗v
2}´e uma base do
autoespa¸coW
λ2
.
Os autovetores deBpertencem aW
λ1
ou aW
λ2
. Ent˜ao, num conjunto com
3 autovetores, pelo menos 2 deles pertencem a um mesmo autoespa¸co.
Mas, no caso em quest˜ao, uma cole¸c˜ao contendo 2 elementos de um mesmo
autoespa¸co ´e necessariamente LD, pois esses 2 vetores s˜ao paralelos entre si
(ambos s˜ao m´ultiplos escalares de⃗v
1ou de⃗v
2).
Logo,n˜ao existeum conjunto com3autovetores deBque seja LI. Conse-
quentemente, a matrizBn˜ao ´ediagonaliz´avel.
17/28

18. Multiplicidade alg´ebricado autovalorλ
0´e o n´umero de vezes queλ
0
´e raiz do polinˆomio caracter´ıstico.
Multiplicidade geom´etricado autovalorλ
0´e a dimens˜ao do auto-
espa¸co associadoW
λ0
.
Teorema
Seλ
0´e um autovalor qualquer, ent˜ao
1≤multiplicidade geom´etrica deλ
0≤multiplicidade alg´ebrica deλ
0.
Teorema (Caracteriza¸c˜ao alternativa das matrizes diagonaliz´aveis)
Uma matrizA=(a
ij)
n×n
´e diagonaliz´avel R)
polinˆomio caracter´ıstico admite somente ra´ızes reais e
geom´etrica e alg´ebrica, de cada autovalor, s˜ao iguais.
Exemplo 7
O polinˆomio caracter´ıstico da matrizAdoExemplo 5tem somente ra´ızes
reais. Os autovalores deA,λ
1eλ
2, tˆem multiplicidade alg´ebrica 2 e 1,
respectivamente. Ademais, vimos que dimW
λ1
=2 e dimW
λ2
=1. Ou seja,
as multiplicidades alg´ebrica e geom´etrica, de cada um dos autovalores, s˜ao
iguais. Por essas raz˜oes, de acordo com o resultado acima,A´e diagonaliz´avel.
18/28

19. Exemplo 8
NoExemplo 6, o polinˆomio caracter´ıstico deBadmite somente ra´ızes reais.
Al´em disso, os autovalores deB,λ
1eλ
2, possuem multiplicidade alg´ebrica
2 e 1, nessa ordem. Mas dimW
λ1
=1. Isto ´e, as multiplicidades geom´etrica
e alg´ebrica, do autovalorλ
1, s˜ao diferentes. Por isso,Bn˜ao ´euma matriz
diagonaliz´avel.
Exemplo 9
SejaC=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 0 0
0 0−2
0 1 0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
. Podemos verificar que o polinˆomio caracter´ıstico
deC´ep(λ)=(1−λ)(λ
2
+2)
?????????????????????????????????????????????
∆<0
,que possui pelo menos uma raiz emC\R(i.e.,
raiz da formaa+i b, comb≠0). Logo,Cn˜ao ´ediagonaliz´avel R).
Teorema
SejaAuma matrizn×n. Se⃗v
(1)
1,⋯,⃗v
(1)
n1
s˜aoautovetoresLI associados a
λ
1,⃗v
(2)
1,⋯,⃗v
(2)
n2
s˜aoautovetoresLI associados aλ
2,⋯,⃗v
(k)
1,⋯,⃗v
(k)
nk
s˜ao
autovetoresLI associados aλ
k– comλ
1,λ
2,⋯,λ
kdistintos – ent˜ao
{⃗v
(1)
1,⋯,⃗v
(1)
n1
,⃗v
(2)
1,⋯,⃗v
(2)
n2
,⋯,⃗v
(k)
1,⋯,⃗v
(k)
nk
}´e um conjunto LI.
19/28

20. Exemplo 10
NoExemplo 5, vimos queS={⃗v
1,⃗v
2}´e um conjunto LI de autovetores
associados ao autovalorλ
1e queT={⃗v
3}´e um conjunto LI de autovetor
vinculado ao autovalorλ
2. Al´em disso,λ
1≠λ
2. Mostramos que o conjunto
U=S∪T={⃗v
1,⃗v
2,⃗v
3}´e LI. Isso ilustra o teorema acima.
Corol´ario
Se uma matrizA,n×n, temnautovaloresreais distintos, ent˜aoA´e dia-
gonaliz´avel.Prova: Neste caso,ApossuinautovetoresLI. Por isso, ´e diagonaliz´avel.
Exemplo 11
SejaM=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0 1 0
0 0 1
4−17 8
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
. Os autovalores deMs˜aoλ
1=4,λ
2=2+
√
3
eλ
3=2−
√
3. Portanto, M´e diagonaliz´avel, isto ´e, existe uma
matrizPinvert´ıvel tal queP
−1
MP=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
4 0 0
0 2+
√
3 0
0 0 2 −
√
3
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
20/28

21. Roteiro para diagonaliza¸c˜ao
SejaAuma matrizn×n. Para diagonalizarAsobreR(quando poss´ıvel):
1
Encontre os autovalores usando o polinˆomio caracter´ıstico deA.
Se o polinˆomio caracter´ıstico possui ra´ızes emC\R,An˜ao ´ediagona-
liz´avel e o processo pode ser interrompido aqui.
2
Se o polinˆomio caracter´ıstico admite somente ra´ızes reais, obtenha uma
base para cada um dos autoespa¸cos deA, come¸cando por aqueles asso-
ciados aos autovalores com multiplicidade alg´ebrica maior que 1.
Durante a execu¸c˜ao desta etapa, se surgir algum autovalor com multipli-
cidades geom´etrica e alg´ebrica diferentes, ent˜aoAn˜ao ´ediagonaliz´avel.
3
Se a situa¸c˜ao descrita no ´ultimo par´agrafo A
´e diagonaliz´avel e a uni˜ao de todas as bases forma um conjunto den
autovetores LI.
4
Se{⃗v
1,⃗v
2,⋯,⃗v
n}´e um conjunto comnautovetores LI ent˜ao, para as
matrizesP=[⃗v
1∣⃗v
2∣⋯∣⃗v
n]eD=diag(λ
1, λ
2,⋯, λ
n),em queλ
i´e o
autovalor associado a⃗v
i, temos
P
−1
AP=D.
21/28

22. Diagonaliza¸c˜ao de matrizes sim´etricas
Defini¸c˜ao (Matriz sim´etrica)
Uma matrizA,n×n, ´esim´etricase satisfazA
t
=A.
Exemplo 12
K=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 5 9
5 3 8
9 8 7
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
´e uma matriz sim´etrica poisK
t
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 5 9
5 3 8
9 8 7
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
=K.
Defini¸c˜ao (Matriz ortogonal)
Uma matriz quadradaP´eortogonalseP
−1
=P
t
.
Exemplo 13
Q=[
cosθsenθ
−senθcosθ
]´e uma matriz ortogonal poisQ
t
=[
cosθ−senθ
senθcosθ
]
eQQ
t
=[
cosθsenθ
−senθcosθ
] [
cosθ−senθ
senθcosθ
]=[
1 0
0 1
]=I
2,visto que
sen
2
θ+cos
2
θ=1. Ou seja,Q
−1
=Q
t
.
22/28

23. Teorema
Uma matrizP´eortogonalse e somente se suas colunas formam um conjunto
ortonormalde vetores.
Teorema Espectral
SeA´e uma matrizn×n, ent˜ao as seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes:
(a)A´eortogonalmentediagonaliz´avel.
(b)Atem um conjuntoortogonaldenautovetores.
(c)A´esim´etrica.
Exemplo 14
Encontre uma matriz ortogonalPque diagonalizaA=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
2 1 1
1 2 1
1 1 2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
Solu¸c˜ao:
A matrizA´e ortogonalmente diagonaliz´avel, j´a que ´e uma matriz sim´etrica.
ComoA−λI
3=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
2−λ 1 1
1 2−λ 1
1 1 2 −λ
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
, o polinˆomio caracter´ıstico ´e
p(λ)=det(A−λI
3)=−λ
3
+6λ
2
−12λ+4=−(λ−4)(λ−1)
2
,donde
conclu´ımos que os autovalores s˜aoλ
1=1 eλ
2=4.
23/28

24. Exemplo 14 (cont.)
Autoespa¸co associado aλ
1=1:
(A−λ
1I
3)X=¯0⇔
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 1 1
1 1 1
1 1 1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
x
y
z
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0
0
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
possui o mesmo conjunto
solu¸c˜ao que o sistema{x+y+z=0 . Assim, o autoespa¸co correspondente a
λ
1´e
W
λ1
={(−α−β, α, β) ∣α, β∈R}.
Podemos verificar facilmente que{⃗v
1=(−1,1,0),⃗v
2=(−1,0,1)}´e uma base
deW
λ1
.
Conv´em notar que⃗v
1⋅⃗v
2=(−1)⋅(−1)+1⋅0+0⋅1=1≠0, ou seja,{⃗v
1,⃗v
2}
n˜ao ´euma base ortogonal.
Como precisamos de um conjunto ortonormal de autovetores para compor
as colunas duma matriz ortogonalPque diagonalizaA, encontraremos uma
base ortonormal deW
λ1
por meio do Processo de Ortogonaliza¸c˜ao de Gram-
Schmidt: sejam
⃗w
1=⃗v
1=(−1,1,0)e
⃗w
2=⃗v
2−proj
⃗w1
⃗v
2=⃗v
2−(
⃗v
2⋅⃗w
1
∥⃗w
1∥
2
)⃗w
1=(−1,0,1)−
1
2
(−1,1,0)
=(−1/2,−1/2,1).
24/28

25. Exemplo 14 (cont.)
O conjunto{⃗w
1,⃗w
2}´e uma base ortogonal deW
λ1
e
{⃗u
1=
⃗w
1
∣∣⃗w
1∣∣
=(−
1
√
2
,
1
√
2
,0),⃗u
2=
⃗w
2
∣∣⃗w
2∣∣
=(−
1
√
6
,−
1
√
6
,
2
√
6
)}
´e uma base ortonormal deW
λ1
.
Autoespa¸co associado aλ
2=4:
(A−λ
2I
3)X=¯0⇔
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
−2 1 1
1−2 1
1 1 −2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
x
y
z
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0
0
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⇔{
x −z=0
y−z=0
.
Assim, o autoespa¸co ´eW
λ2
={(γ, γ, γ) ∣γ∈R}.
´
E imediato que
{⃗v
3=(1,1,1)}´e uma base deW
λ2
e que
{⃗u
3=
1
∥⃗v
3∥
⃗v
3=(
1
√
3
,
1
√
3
,
1
√
3
)}
´e uma base ortonormal deW
λ2
.
Cabe notar que⃗u
3⋅⃗u
1=⃗u
3⋅⃗u
2=0, isto ´e,⃗u
3⊥⃗u
1e⃗u
3⊥⃗u
2. Desse modo,
{⃗u
1,⃗u
2,⃗u
3}´e um conjunto ortonormal de autovetores da matrizA.
25/28

26. Exemplo 14 (cont.)
Logo,P=[⃗u
1∣⃗u
2∣⃗u
3]=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
−1/
√
2−1/
√
6 1/
√
3
1/
√
2−1/
√
6 1/
√
3
0 2/
√
6 1/
√
3
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
´e uma matriz ortogo-
nal que diagonalizaA. Em outros termos,P
−1
AP=P
t
AP=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 0 0
0 1 0
0 0 4
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
No exemplo anterior, a matrizM=[⃗v
1∣⃗v
2∣⃗v
3]=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
−1−1 1
1 0 1
0 1 1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
tamb´em diagonalizaA, isto ´e,M
−1
AM=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 0 0
0 1 0
0 0 4
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.MasMn˜ao ´e
uma matriz ortogonal.
Com respeito ao mesmo exemplo, como dimW
λ1
=2, para obtermos
uma base ortogonal deW
λ1
, podemos alternativamente procurar por
um vetorn˜ao nuloda forma(−α−β, α, β)que seja ortogonal a um dos
vetores da base que encontramos, isto ´e,
(−α−β, α, β)⋅⃗v
1=0 ou(−α−β, α, β)⋅⃗v
2=0.
26/28

27. Por exemplo, temos que
(−α−β, α, β)⋅⃗v
2=0⟺(−1)⋅(−α−β)+0⋅α+1⋅β=0⟺α+2β=0.
Essa equa¸c˜ao ´e satisfeita em particular paraα=−2 eβ=1. Al´em disso,
o vetor correspondente,
⃗v=(−α−β, α, β)=(1,−2,1),
´e n˜ao nulo. Por isso,⃗v´e um vetor deW
λ1
, que juntamente com⃗v
2,
forma uma base ortogonal deW
λ1
.
Ainda em rela¸c˜ao ao ´ultimo exemplo, ´e oportuno observar que todo
elemento deW
λ1
´e ortogonal a qualquer elemento deW
λ2
. Com efeito,
temos que
(−α−β, α, β)⋅(γ, γ, γ)=(−α−β)⋅γ+α⋅γ+β⋅γ=0,
quaisquer que sejamα, β, γ∈R. De modo geral, vale o seguinte
Teorema
SeA´e uma matriz sim´etrica, ent˜ao dois autovetores quaisquer deA, corres-
pondentes a autovalores distintos, s˜ao ortogonais.
27/28

28. 28/28
Diagonaliza¸c˜ao sobre R
Diagonaliza¸c˜ao de matrizes sim´etricas
Referˆencias
Referˆencias
SANTOS, R.J.Geometria Anal´ıtica e´Algebra Linear. Belo Hori-
zonte: Imprensa Universit´aria da UFMG, 2014.
ANTON, H.; RORRES, C. ´Algebra Linear com Aplica¸c˜oes. 8. ed.
Porto Alegre: Bookman, 2001.
POOLE, D.´Algebra Linear. S˜ao Paulo: Pioneira Thomson Learning,
2004.
https://www.geogebra.org/
L
ATEXhttps://www.latex-project.org/